não comutatividade e dualidade t em cordas bosônicas

Um Estudo sobreNao-Comutatividade e

Dualidade T emCordas Bosonicas

Rafael D’Andrea Alves da Rocha

Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga

Um Estudo sobre Nao-Comutatividade eDualidade T em Cordas Bosonicas

Rafael D’Andrea Alves da Rocha

Tese de Mestrado apresentada ao Programa dePos-Graduacao em Fısica, Instituto de Fısica, daUniversidade Federal do Rio de Janeiro, comoparte dos requisitos necessários a obtencao dotıtulo de Mestre em Ciências (Fısica).

Orientador: Nelson Ricardo de Freitas BragaColaborador: Carlos Alfonso M. Ballón Bayona

Rio de JaneiroMarco de 2008

D’Andrea, Rafael

Um Estudo sobre Não-Comutatividade e Dualidade T em

Cordas Bosonicas/ Rafael D’Andrea A. da Rocha. Rio de

Janeiro: UFRJ/IF, 2008.

xi, 91f.: il. ; 30cm.

Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga.

Dissertacao (Mestrado) - UFRJ / Instituto de Fısica /

Programa de Pós-graduacao em Fısica, 2008.

Referencias Bibliograficas: f. 90-93.

1. Teoria de Cordas. 2. Nao-Comutatividade. 3. Du-

alidade T. 4. Quantizacao de Dirac. 5. D-branas. I. Braga,

Nelson Ricardo de Freitas. II. Universidade Federal do Rio

de Janeiro. Instituto de Fısica. Programa de Pós-graduacao

em Fısica. III. Um Estudo sobre Não-Comutatividade e D-

ualidade T em Cordas Bosonicas.

Resumo

Um Estudo sobre Nao-Comutatividade e Dualidade T em Cordas

Bosonicas

Rafael D’Andrea Alves da Rocha.

Orientador: Nelson Ricardo de Freitas Braga.

Colaborador: Carlos Alfonso M. Ballón Bayona.

Resumo da Dissertacao de Mestrado submetida ao Programa de Pos-graduacao em Fısica, Instituto de Fısica,

da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessarios a obtencao do t´ıtulo de

Mestre em Ciências (Fısica)

A dissertacao e um estudo sobre nao-comutatividade e dualidade T em D-branas de cor-

das bosonicas. Particularmente, o objetivo e investigar se (ou como) a nao-comutatividade

se manifesta no sistema dual a uma D2-brana com campo magnetico, este sendo um espaco

nao-comutativo. O trabalho organiza-se como a seguir: 1. Introducao da corda bosonica. 2.

Quantizacao da corda. Surgimento da não-comutatividade em cordas ligadas a D-branas com

campo de fundo constante. 3. Breve exposicao sobre dualidade T em cordas fechadas e abertas.

Apresentacao dos ”candidatos” a sistema dual. 4. Quantizacao dos candidatos. 5. Conclusões.

Palavras-chave: teoria de Cordas, nao-comutatividade, dualidade T, quantizacao de Dirac, quantizacao

simpletica, D-branas.

Rio de Janeiro

Marco de 2008

Abstract

A Study of Noncommutativity and T-Duality in Bosonic Strings

Rafael D’Andrea Alves da Rocha.

Advisor: Nelson Ricardo de Freitas Braga.

Collaborator: Carlos Alfonso M. Ballon Bayona.

Abstractda dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa de Pos-graduacao em Fısica, Instituto de Fısica,

da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessarios a obtencao do t´ıtulo de

Mestre em Ciˆencias (Fısica)

The dissertation is a study on noncommutativity and T-duality in D-branes for bosonic

strings. In particular, the goal is to figure out whether (or how) noncommutativity appears in a

system dual to a D2-brane with background, which a known noncommutative space. The work

is organized as follows: 1. The bosonic string setup is introduced. 2. The string is quantized by

means of several methods; noncommutativity shows up for a D2-brane with a constant B-field

spread over it. 3. A brief explanation on T-duality in closed and open strings is given; the

candidates for a dual system are presented. 4. Those candidates are quantized. 5. Conclusions.

Key-words: string theory, noncommutativity, T-duality, Dirac quantization, symplectic quanti-

zation, D-branes.

Rio de Janeiro

March 2008

Indice

1 Introduc ao 6

1.1 A acao da corda bosonica livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Introducao dos campos de fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Compatibilidade entre comutadores e condicoes de contorno . . . . . . . . . . 13

1.4 A expans˜ao em modos de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Quantizacao e Nao-Comutatividade 18

2.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Quantizacao simpletica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Quantizacao de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Dualidade T 33

3.1 Cordas fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.1 Cordas fechadas emR1,25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Cordas abertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Caso livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2 D2-brana num toroT 2 com campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3 Uma prescricao para a dualizacao deX2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.4 Uma outra dualizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.5 DualizandoX1 eX2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

xi

xii

4 Quantizacao do Sistema Dual 60

4.1 Dualizacao por condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.2 Quantizacao via metodo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Dualizacao por multiplicador de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.3 Dualizacao deX1 eX2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Apendices 69

A M etodo de quantizacao de Dirac para a corda livre num espaco 1-d 69

B Calculo da massa 76

B.1 Cordas fechadas emR1,25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B.3 Cordas abertas livres emS1 ⊗ R1,24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

B.4 D2-brana num toroT 2 com campo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

B.5 Sistemas duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

C Conexoes entre simetrias da teoria e simetrias do toro 85

D Descricao da worldsheet comX i adimensionais 88

Conclusoes 90

Primeiras palavras

Motivacao: Uma breve historia das cordas

A teoria de cordas surgiu nos anos 60 como uma tentativa de descrever as interacoes fortes.

Apos um perıodo inicial de popularidade, essa iniciativa foi suplantada em 1974 pela recém-

nascida cromodinamica quantica. Não obstante, logo em seguida se descobriu que o gráviton

surge naturalmente nessa descricao baseada em cordas, e comecou-se a pensar nas cordas como

um modelo para a gravitacao. Estava inaugurada a teoria de cordas bosonicas.

No entanto, a teoria tinha problemas. Por exemplo, o espectro das cordas apresentava esta-

dos de massa negativa (taquions). Alem disso, percebeu-se que a teoria apresentaria anomalias

a menos que o espaco-tempo tivesse inopinadas 26 dimensoes; demais, os fermions não eram

descritos pela teoria. Para consertar esses embaracos, acrescentou-se-lhe a supersimetria, que

promoveu as cordas a “supercordas”, e nao só introduziu os fermions no jogo como eliminou os

taquions. E, se nao livrou a teoria das inacreditáveis 22 dimensoes extras, reduziu seu numero

para mais toleraveis 6, constituindo um espaco-tempo de (1+9) dimensoes.

Na decada de 80, com a chamada primeira revolucao das supercordas, a teoria despontou

como uma possıvel descricao de todas as interacoes conhecidas, e portanto uma promessa de

unificacao da fısica. Foi nessa epoca que comecou a ser chamada de “teoria de tudo”. Vier-

am os anos 90, e, com eles, a segunda revolucao das supercordas, que trouxe as D-branas, as

equivalencias da teoria (tais como a dualidade T), e a correspondência AdS/CFT [18], que en-

gatilhou uma nova busca por descricoes das interacoes fortes via modelos fenomenologicos de

1

2

cordas, uma area muito ativa hoje na fısca teórica. Ela possui muitas caracter´ısticas de interesse

matematico e incorpora naturalmente todas as propriedades essenciais do Modelo Padrão, tais

como grupos de calibre nao-abelianos e As supercordas, entretanto, têm seus cr´ıticos, que não

sao poucos. A teoria ainda não foi verificada fermions quirais. experimentalmente. Na ver-

dade, nenhuma versao da teoria de cordas apresentou qualquer resultado sujeito aos meios de

verificcao atuais que difira daqueles de outras teorias. A escala de energia em que seria possıvel

ver o carater “cordico” das partıculas e muito maior do que as disponıveis experimentalmente.

O LHC e visto como uma oportunidade sem precedentes de se obter suporte empırico a teo-

ria, como a deteccao de part´ıculas supersimetricas ou a observacao de um caráter inedito da

interacao gravitacional condizente com dimensoes extras. De qualquer modo, a teoria tal como

esta poderia sobreviver mesmo a ausencia de quaisquer novidades experimentais encorajadoras

que o LHC possa trazer, e por isso alguns argumentam [30] que até o momento a teoria de

cordas não e falseavel, e portanto talvez sequer mereca ser chamada de ciência.

Nao esta claro como as supercordas produzirao um modelo realista e preditivo da natureza,

se e que um dia o farão. Mas a teoria e elegante, e no mınimo ja apresentou a comunidade cien-

tıfica novos conceitos, como D-branas e dimensoes extras compactificadas, que possivelmente

serao parte fundamental de uma descricao completa do Universo. De maneira que, assim me

parece, não faltam motivos para investigar o que mais pode advir desta “notável e fascinante

teoria” [4].

A dissertacao

Os conceitos-chave nesta dissertacao saonao-comutatividade, dualidade Te D-branas.

Segue abaixo uma explanacao sobre o que sao esses conceitos e o que se propõe fazer com

eles neste trabalho.

3

Nao-comutatividade

Este nao e um assunto novo. Pelo menos desde 1947 [51] concebeu-se um espaco-tempo

nao comutativo em mecanica quantica. No entanto, até recentemente nao se levava realmente a

serio tal tipo de tratamento, por razões que envolvem a não-localidade intrınseca a tais modelos

e ate mesmo quebra da invariancia de Lorentz e da causalidade [10, 22].

No entanto, há mais de uma boa razão para estudar não-comutatividade. Uma delas seria a

possiblidade de melhorar a divergencia UV em teorias de campos. Uma segunda motivacao e

a tentativa de se encontrar variantes de teorias de Yang-Mills que sejam mais tratáveis pertur-

bativamente. Entre essas variantes, figuram teorias de calibre não-comutativas [40, 52]. Uma

outra razao e a busca pela gravidade quantica. Talvez espacos nao-comutativos sejam mais ad-

equados para descrever a gravidade a pequenas distancias.E possıvel que a gravidade sequer

seja local nessa escala. O fato e que a não-localidade ainda não e bem entendida, e não faria

mal estuda-la em modelos simples a fim de aplicá-las em tentativas realistas de se chegar a uma

teoria quantica da gravitacao.

Essa e uma das principais motivacoes para a atual atividade na area em teoria de cordas. De

fato, a nao-comutatividade surge em modelos muito simples de cordas interagindo com campos

de fundo. E o melhor e que as patologias apresentadas em teorias com nao-comutatividade do

espaco-tempo nao aparecem em teorias de cordas [22]. Um desses modelos simples e analisado

nesta dissertacao.

D-branas

Existem dois tipos gerais de cordas: fechadas e abertas, e varias versoes de teorias de cordas

envolvem ambas (nem todas envolvem as abertas). Cedo se deu conta de que existe um fluxo

de energia pela corda, e no caso da corda aberta isso implica um problema com conservacao da

energia. Portanto, uma teoria de cordas abertas consistente deve incluir um lugar para onde a

4

energia flua uma vez que deixe a corda pelas pontas. Esse lugar e a chamadaD-brana. Toda

corda aberta deve ter cada uma de suas pontas presas a alguma D-brana, que aliás, nao e encar-

ada como uma estrutura matematica, e sim como um objeto fısico, tão real quanto as próprias

cordas.

D-branas sao hiper-superfıcies e podem possuir qualquer numero de dimensoes, com um

limite maximo estabelecido pela dimensionalidade do espaco-tempo (no caso das cordas bosonicas,

25 dimensoes espaciais). Como as pontas de uma corda aberta não podem se soltar da D-brana,

decorre que D-branas determinam a condicao de contorno que as cordas devem satisfazer. Uma

ponta de corda presa a uma D1-brana que se estende sobre o eixoX1 pode mover-se apenas

nesta direcao, enquanto que uma ponta de corda presa a uma D25-brana (space-filling brane)

esta livre para mover-se sobre todo o espaco. No caso mais simples, as condicoes de contorno

satisfeitas pelas 25 coordenadas de uma ponta de corda sao indepententes entre si, e teremos

condicoes de Neumann para todas as direcoes paralelas a D-brana e de Dirichlet (o “D” em

D-brana e deDirichlet) para as ortogonais. As coisas se complicam quando existem campos na

D-brana, como veremos.

As D-branas, como objetos fısicos que sao, possuem tensao, massa, e uma acao que deter-

mina sua dinamica. No entanto, para os nossos fins, basta que elas sejam tratadas como objetos

infinitamente massivos e sem dinâmica, e nossa acao nao incluira termos de D-branas.

Dualidade T

A palavra “dualidade” sera usada aqui com o significado deequivalencia fısicaentre difer-

entes descricoes ou teorias. Em fısica, uma dualidade e sempre bem-vinda, porque nos permite

aplicar resultados de um dado modelo tratável mas não realista no sistema que efetivamente

queremos descrever, que em geral e bem menos simples e palatável.

A dualidade T, especificamente, relaciona diferentes teorias de corda (uma vez que se lhes

inclua supersimetria, uma caracter´ıstica importante de teorias de cordas mais realistas mas que

nao sera incluıda nesta dissertacao), o que aponta para uma unificacao de duas das diferentes

5

versoes de supercordas (quais sejam, IIA e IIB) [16, 20, 4]. Para nós, no entanto, o que interessa

e que a dualidade T aparece sempre que se tem espacos em que ao menos uma direcao possui a

topologia de uma c´ırculo (o que chamaremos de “compactificacao”), e conecta um espaco com

raio de compactificacao pequeno a um de raio grande (essencialmente, de raio inverso). Mais

detalhes sobre essa propriedade a conferir no cap´ıtulo 3.

Roteiro do trabalho

E sabido [1, 23, 8, 14, 5] que uma D-brana com campo magnetico (ou, equivalentemente,

um campo de Kalb-Rammond) configura um espaco não-comutativo. Nosso objetivo principal

e estabelecer a permanencia (ou não) do caráter nao-comutativo na teoria que contém o espaco

dual a esse (dual via dualidade T, entenda-se). Chegamos a um resultado surpreendente, que

pede uma reinterpretacao do papel fısico desempenhado pelas propriedades de comutacao de

campos em dimensoes compactificadas. Pelo caminho, encontramos mais de uma maneira de

encontrar o espaco dual (cap´ıtulo 3), e um curioso paralelismo entre simetrias da nossa teoria e

simetrias do toro sobre o qual a situamos (apêndice C).

No cap.1, introduzimos a acao da corda bosonica, o tal sistema da D-brana com um cam-

po magnetico, as expansões de Fourier dos campos e da hamiltoniana, e mostramos a incon-

sistencia dos comutadores canônicos no sistema referido. No cap.2, apresentamos tres difer-

entes maneiras consistentes de quantizar as cordas, o que nos leva as relacoes de comutacao

apropriadas. No cap.3, falamos de dualidade T, mostramos como ela assoma em sistemas sim-

ples e, em particular, obtemos o espaco dual ao sistema de interesse deste estudo. No cap.4,

aplicamos os metodos de quantizacao do cap.2 ao sistema dual apresentado no cap.3. Fechamos

com as conclusoes e os apêndices.

Capıtulo 1

Introduc ao

Neste cap´ıtulo apresentamos o ferramental basico da teoria de cordas bosonicas abertas,

delineamos o sistema sobre o qual desejamos nos deter, e mostramos por que a quantizacao

canonica nao funciona para ele.

A corda bosonica possui coordenadasX i(τ, σ) e momentos canônicosP i(τ, σ), como se

vera. Assim, parece razoável postular os comutadores canônicos

(X i(τ, σ), P j(τ, σ′)) = iδijδ(σ − σ′)

(X i(τ, σ), Xj(τ, σ′)) = 0 (1.1)

(P i(τ, σ), P j(τ, σ′)) = 0.

No entanto, e necessário verificar a compatibilidade dos comutadores com as condicoes

de contorno para uma corda aberta. O campo de fundo (background) altera as condicoes de

contorno que aparecem para a acao de corda livre, de modo que não e automatico que relacoes

de comutacao que valham em um caso sejam aceitáveis em outro. A bem da verdade, mesmo

para uma corda livre os comutadores acima não sao permitidos.

1.1 A acao da corda bosonica livre

6

7

Devido ao fato de que uma part´ıcula relativıstica livre se move numa geodésica sobre o

espaco-tempo, sua acao e aquela que extremiza o comprimento invariante de sua trajetória (linha

de mundo, ouworldline),

Sparticula ∝∫

ds, (1.2)

Da mesma forma, a acao de um objeto dep dimensoes movendo-se no espaco-tempo e

proporcional ao hiper-volume (p+1)-dimensional da trajetória [20, 13, 4, 17, 16]. Para o caso

espec´ıfico de cordas, que sao objetos bidimensionais, a acao e proporcional aareade suafolha

de mundoou worldsheet(que nada mais e que a extensão natural da linha de mundo de uma

partıcula a corda):

S = T

∫d2σ

√− det Gαβ (1.3)

ondeT e a tensão da corda e a metrica induzida e dada por

Gαβ = gµν(X)∂αXµ∂βXν α, β = 0, 1. (1.4)

e a worldsheet e parametrizada pelas coordenadasσ0 = τ , de carater temporal, eσ1 = σ,

de carater espacial. Para cordas abertas,σ assume valores num intervalo finito (que aqui e

escolhido comoσ ∈ [0, π], sendo queσ = 0 corresponde a uma das pontas da corda eσ = π

corresponde a outra). No caso de cordas fechadas,σ e periodico (ja que as “pontas” devem ser

identificadas).

O espaco no qual a worldsheet esta inserida e descrito pelas coordenadasXµ(τ, σ), cf.

Fig.1.2.

Para o caso de um espaco de Minkowski, a acao (1.3) toma a forma

SNG = T

∫d2σ

√(X · X ′)2 − X2X ′2, (1.5)

chamadaacao de Nambu-Goto[31]. O ponto denota derivada emτ , e a linha, emσ. Devido

a raiz quadrada que aparece em 1.5, esta acao e complicada de quantizar. Para contornar esse

problema, usa-se uma acao classicamente equivalente: a chamadaacao de modelo sigma de

8

Figura 1.1: worldline de uma partıcula, worldsheet de uma corda aberta, e worldsheet de umacorda fechada

Figura 1.2: Worldsheet no embedding space. A linha na worldsheet representa uma corda numdado tempoτ . Um ponto da corda e mapeado para as coordenadasXµ(τ, σ).

cordas, ouacao de Polyakov[20, 4]:

Sσ =T

2

∫d2σ

√−hhαβ∂αX · ∂βX, (1.6)

Repare que a´ı se utiliza um campo auxiliar, ametrica da worldsheet, hα,β, comh = det hαβ

e hα,β = (h−1)α,β. Esta acao possui simetrias, que nos permitirao, ao serem fixadas com

escolhas de calibre convenientes, tornar a quantizacao particularmente simples. Ei-las:

• Transformacoes de Poincare

9

• Reparametrizacoes. A acao e invariante sob os difeomorfismos

σα → fα(σ) = σ′α, hαβ(σ) =∂f γ

∂σα

∂f δ

∂σβhγδ(σ

′)

• Transformacoes de Weyl. A acao e invariante sob a transformacao de escala

hαβ → eφ(σ,τ)hαβ, δXµ = 0

As ultimas duas sao simetrias locais, que podem ser usadas para escolher um calibre em que

a metricahαβ assume uma forma particular. Fixaremos nossa metrica como se segue:

hαβ = ηαβ =

1 0

0 −1

(1.7)

Com isso, (1.6) toma a forma

S =T

2

∫d2σ(X2 − X ′2) (1.8)

A tensaoT da corda pode ser escrita em termos de um parâmetro da teoria de cordas, o

parametro de Regge (Regge slope), α′, que remonta aos primordios da teoria de cordas e provém

da associacao das trajetorias de Regge observadas para hadrons a estados de cordas. A relacao

e [31] T = 12πα′ . Esse parâmetro tambem se relaciona com a escala de comprimento da corda,

ls, sendols =√

2α′. Para simplificar a notacao, estabeleceremos daqui em dianteT = 1 [8].

Esta, pois, apresentada a acao para a corda livre. Estaremos interessados, entretanto, no

caso em que existe um campo de fundo com o qual a corda interage.

1.2 Introducao dos campos de fundo

Quando se calcula o espectro de cordas abertas e fechadas, aparecem campos nao mas-

sivos (entre eles, o graviton e o foton). Estes campos, assim como as D-branas, possuem uma

10

dinamica ditada por uma acao. Novamente como com as D-branas, n˜ao estamos interessados

na dinamica deles, e sim em como eles afetam a dinˆamica das cordas, de modo que aqui ol-

haremos apenas para o termo de interacao da corda com os campos. Estes, pois, serao tratados

como campos de fundo prescritos. No caso, para nossos fins (quais sejam, de obter um espaco

nao-comutativo), basta-nos considerar a interacao da corda aberta com dois desses campos, o

campo de Kalb-Rammond [31] e o de Maxwell. Na verdade, sequer precisamos considerar os

dois. O acoplamento deles com as cordas e tal que, como sera mostrado abaixo, existe uma

liberdade de calibre que nos permite ajustar, e.g., o campo de Maxwell para zero.

Investiguemos, portanto, o caso de cordas abertas interagindo com um campo de fundo

composto por um campo antissimetrico de Kalb-Rammond e um campo de Maxwell. A acao

sera composta do termo livre (1.8) mais os termos de interacao com os respectivos campos [20]:

S = Sf + SB + SA

Sf =1

2

∫d2σ gµν(X

µXν − X ′µX ′ν)

SB =1

2

∫d2σ εαβBµν∂αXµ∂βXν

SA =

∫dτAµ∂τX

µ|σ=πσ=0 (1.9)

ondeεαβ =

0 1

−1 0

.

Podemos expressarSA em uma forma mais interessante. SejaF = dA uniforme. Temos

Aµ = −12FµνX

ν, e

SA = −1

2

∫dτFµνX

ν∂τXµ|σ=π

σ=0

= −1

2

∫dτdσ∂σ(FµνX

ν∂τXµ)

= −1

2

∫dτdσFµν∂σXν∂τX

µ − 1

2

∫dτdσFµνX

ν∂σ∂τXµ

11

Integrando por partes emτ o ultimo termo, temos

SA = −1

2

∫dτdσFµν∂σXν∂τX

µ +1

2

∫dτdσFµν∂τX

ν∂σXµ − 1

2

∫dσ Fµν∂σXνXµ|τ2τ1

= −∫

dτdσεαβFµν∂αXµ∂βXν (1.10)

onde se suposFµν(τ1) = Fµν(τ2) = 0.

Note-se que a acao resultante,

S =1

2

∫d2σhαβgµν∂αXµ∂βXν + εαβ(Bµν − Fµν)∂αXµ∂βXν, (1.11)

possui uma simetria de calibre nos campos debackground,

Bµν → Bµν + ∂(µΛν)

Fµν → Fµν + ∂(µΛν)

(1.12)

de modo que o campo fisicamente significativo (invariante de calibre) eF := B − F . Isso sig-

nifica que podemos escolher um calibre em que, por exemplo,B = 0, ouF = 0. Trabalharemos

com este ultimo. Nossa acao, portanto, simplifica-se:

S =1

2

∫d2σ(hαβgµν + εαβBµν)∂αXµ∂βXν. (1.13)

Usamos o princ´ıpio variacional para encontrar as equacoes de movimento e as condicoes de

contorno:

δS =1

2

∫d2σ(∂αXµ∂βδXν + ∂αδXµ∂βXν)(hαβgµν + εαβBµν)

=1

2

∫d2σ ∂β(∂αXµδXν(hαβgµν + εαβBµν)) − δXν∂α∂βXµ(hαβgµν + εαβBµν)

=1

2

∫d2σ ∂β(∂αXµδXν(hαβgµν + εαβBµν)) − δXν∂α∂βXµhαβgµν

= 0. (1.14)

Na segunda linha, integramos por partes, e, na terceira, eliminamos o ultimo termo pela

12

antissimetria deεαβ. A equacao de movimento e, portanto,

hαβ∂α∂βgµνXµ = 0 (1.15)

Vemos, com isso, que o campoB nao contribui para a equacao de movimento (que e a

mesma encontrada no casoB = 0), o que e esperado, j´a que o campo interage com a corda

somente nas pontas. Para o termo de superfıcie, encontramos

δXν(∂σgµνXµ + ∂τBµνX

µ) = 0. (1.16)

Vamos trabalhar com um campoBµν constante e uniforme e tal queB12 = −B21 = B e

Bµ,ν = 0 ∀ µ, ν 6= 1, 2.1 Al em disso, estaremos num espaco plano de Minkowski,gµν = ηµν =

diag{−1, 1, ..., 1}. A equacao de movimento torna-se a equacao de onda

X′′µ(τ, σ) − Xµ(τ, σ) = 0, µ = 0, 1, ..., 25. (1.17)

Usaremos o calibre est´atico,X0(τ, σ) = τ . Neste calibre, a equacao de movimento (1.17) e

trivialmente satisfeita paraµ = 0.

Do conjunto de condicoes de contorno que anulam o termo de superfıcie, escolhemos o

seguinte:

X ′a|σ=0,π = 0, a = 0, 3, 4, ..., 25

X′1 + BX2 |σ=0,π = 0

X′2 − BX1 |σ=0,π = 0

(1.18)

Nos limitesB = 0 eB → ∞, obtemos condicoes de Neumann e Dirichlet, respectivamente.

Portanto, eis a´ı a contribuicao do campoB: ele torna o que seriam as usuais condicoes de

contorno de Neumann e de Dirichlet em condicoes mistas, e que correlacionam as coordenadas

1Repare-se que isso e equivalente, por uma transformacao de calibre do tipo (1.12), a ter-seF12 = B eFµν =0 ∀ µ, ν 6= 1, 2. Em outras palavras, um campo B de Kalb-Rammond constante sobre todo o espaco-tempo efisicamente equivalente a um campo magnetico constante sobre a superfıcie onde as cordas prendem suas pontas.

13

X1 eX2. Veremos que este sistema não e compatıvel com os comutadores canônicos, fazendo-

se necessários metodos de quantizacao que levem em conta esse conjunto de condicoes de

contorno.

1.3 Compatibilidade entre comutadores e condicoes de con-

torno

Vamos analisar a estrutura canônica desta corda bosonica. Da acao (1.13), temos a la-

grangeana

L(τ) =1

2

∫dσ (X)2 − (X ′)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1X2) (1.19)

Os momentos conjugados2 sao

P a(τ, σ) = Xa(τ, σ) (1.20)

P 1(τ, σ) = X1(τ, σ) + BX ′2(τ, σ) (1.21)

P 2(τ, σ) = X2(τ, σ) − BX ′1(τ, σ) (1.22)

Nota: Como se pode ver, a escolha deBµν = 0 ∀ µ, ν 6= 1, 2 deixa as coordenadasXa into-

cadas, com o momento e as condicoes de contorno usuais. Doravante, portanto, registraremos

Xa apenas quando for relevante.

Escrevamos as c.c. (condicoes de contorno) em funcao de X e P:

MX ′1 + BP 2 |σ=0,π = 0 (1.23)

MX ′2 − BP 1 |σ=0,π = 0 (1.24)

comM := 1 + B2. Conforme veremos no Cap´ıtulo 2, podemos encarar (1.23) e (1.24) como

2A rigor, densidades de momento.

14

vınculos. Nesse caso, o comutador entre (1.23) e (1.24) deve se anular:

(MX ′1(σ) + BP 2(σ)|σ=0, MX ′2(σ′) − BP 1(σ′)|σ′=0) ≈ 0

Se aplicarmos as relacoes usuais de comutacao, (1.1), e usarmos a relacao entre a distribuicao

de Dirac e sua derivadaδ′(x) = −δ(x)/x [29], isso torna-se

−MB((∂σX1(σ), P 1(σ′))|σ,σ′=0 + (∂σ′X2(σ′), P 2(σ))|σ,σ′=0

)=

−2MB(∂σδ(σ − σ′)

)|σ,σ′=0 = 2MB

δ(σ − σ′)

σ − σ′ |σ,σ′=0 ≈ 0, absurdo !

Outra maneira de constatar esse conflito e discretizar a coordenadaσ, dividindo o intervalo

[0, π] numa malha deN pontos, comN → ∞:

X i(σ) → X in

X i(σ = 0, π) 7→ X i0,π

com X i0 e X i

π correspondendo as pontasσ = 0 e σ = π, respectivamente. A lagrangeana

discretizada e

L → 1

2

∑

n=0

ε[(Xn)2 − 1

ε2(Xn+1 −Xn)2 +

2B

ε

(X1

n(X2n+1 −X2

n)− (X1n+1 −X1

n)X2)]

, (1.25)

e os momentos,

P 1n = εX1

n + BX2n+1 n (1.26)

P 2n = εX2

n − BX1n+1 n (1.27)

ondeXn+1 n := Xn+1 − Xn. Note-se que no limiteε → 0, temosP (σ) → Pn

ε, dondePn e de

ordemO(ε).

15

Os comutadores canônicos (1.1) para a versão discretizada sao

(X im, P j

n) := δijδmn (1.28)

(X im, Xj

n) := (P im, P j

n) := 0 (1.29)

Observe que, no limiteε → 0, esses comutadores reproduzem os da versao cont´ınua.

As c.c. tornam-se

φ1 :=1

ε(MX1

10 + BP 20 ) = 0 (1.30)

φ2 :=1

ε(MX2

10 − BP 10 ) = 0. (1.31)

Assim, para que valham as c.c., devemos ter(φ1, φ2) ≈ 0.

1

ε2(MX1

10 + BP 20 , MX2

10 − BP 10 ) ≈ 0.

Se aplicarmos (1.28) e(1.29), obtemos

MB

ε2

(−(X1

10, P10 ) + (P 2

0 , X210)

)=

MB

ε2

((X1

0 , P 10 ) + (X2

0 , P20 )

)≈ 0, (1.32)

o que e uma contradicao.

Portanto, vemos que este sistema não aceita os comutadores canônicos3. Devemos proceder

a quantizacao com cuidado. Proporemos neste estudo tres metodos de quantizacao: quantizacao

via equacao de Heisenberg, a quantizacao simpletica e a quantizacao de Dirac, a serem desen-

volvidos no proximo cap´ıtulo. Os dois primeiros metodos fazem uso da expansao das coorde-

nadas e momentos em modos de Fourier, que apresentaremos a seguir.

3A rigor, as relacoes (1.1) devem ser modificadas mesmo no caso de corda livre. A saber, aδ(σ − σ′) deve sersubstitu´ıda por uma funcao semelhante, mas cuja derivada se anule paraσ(′) = 0, π

16

1.4 A expansao em modos de Fourier

A expansao de Fourier da solucao mais geral possıvel para a equacao de movimento (1.17)

e

X i(τ, σ) = xi + piτ + wiσ + i∑

n 6=0

1

nαi

ne−inτ cos nσ +∑

n 6=0

1

nβi

ne−inτ sin nσ, (1.33)

comi = 1, 2. A condicao de realidade sobreX i(τ, σ) impoe as relacoesαin = αi

−n, βin = βi

−n.

Com isso, podemos reescrever (1.33):

X i(τ, σ) = xi+piτ +wiσ+i∑

n>0

1

n(αi

ne−inτ−αineinτ ) cos nσ+

∑

n>0

1

n(βi

ne−inτ +βine

inτ ) sin nσ.

(1.34)

Vamos introduzir os modos dependentes deτ , αin(τ) := αi

ne−inτ , βin(τ) := βi

ne−inτ , e a

notacaoαi+n (τ) := αi

n(τ) + αin(τ); αi−

n (τ) := αin(τ) − αi

n(τ); (analogo paraβ). A expans˜ao

fica

X i(τ, σ) = xi + piτ + wiσ +i

nαi−

n (τ) cos nσ +1

nβi+

n (τ) sin nσ. (1.35)

Daqui em diante, o somatorio emn > 0 fica implıcito. Se substituirmos (1.35) em (1.18),

obtemos relacoes entre os modos deX1 eX2:

X ′1 + BX2 |σ=0,π = w1 + β1+n (τ) + Bp2 + Bα2+

n (τ) = 0

X ′2 − BX1 |σ=0,π = w2 + β2+n (τ) − Bp1 − Bα1+

n (τ) = 0

⇓

w1 = −Bp2 w2 = Bp1 β1n(τ) = −Bα2

n(τ) β2n(τ) = Bα1

n(τ)

Para simplificar a notacao, vamos renomear os modos:

p := p1 w := p2 αn(τ) := α1n(τ) βn(τ) := α2

n(τ)

17

Com isso, as expansões paraX1(τ, σ) eX2(τ, σ), tornam-se, finalmente,

X1(τ, σ) = x1 + pτ − Bwσ +i

nα−

n cos nσ − B

nβ+

n sin nσ (1.36)

X2(τ, σ) = x2 + wτ + Bpσ +i

nβ−

n cos nσ +B

nα+

n sin nσ, (1.37)

onde, por brevidade, omitiremos o argumento dosα′s e β ′s, mantendo em mente que eles sao

funcoes deτ .

As expansões para os momentos (1.21) e (1.22) são

P 1(τ, σ) = M(p + α+n cos nσ) (1.38)

P 2(τ, σ) = M(w + β+n cos nσ) (1.39)

A hamiltoniana e

H(τ) =

∫dσ P · X − L

=

∫dσ (X1 + BX ′2)X1 + (X2 − BX ′1)X2 − 1

2

[(X)2 − (X ′)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1X2)

]

=1

2

∫ π

0

dσ (X)2 + (X ′)2

=1

2

∫ π

0

dσ (P )2 + M(X ′)2 + 2B(−P 1X ′2 + P 2X ′1) (1.40)

=Mπ

2[(p2 + w2) + αnαn + αnαn + βnβn + βnβn] (1.41)

Obs: Conquanto a hamiltoniana receba contribuicoes das coordenadas transversais ao cam-

po,Xa, a = 3, 4, ..., 25, focaremo-nos apenas nas coordenadasX1 e X2, ja que, como dito, as

transversais comoportam-se de maneira identica a do caso livre.

Capıtulo 2

Quantizacao e Nao-Comutatividade

Aqui, apresentamos os metodos de quantizacao usados neste estudo (para outras abordagen-

s, cf., e.g., [19, 6, 21]).E neste cap´ıtulo que obtemos a não-comutatividade, ao calcularmos as

relacoes de comutacao numa D2-brana com campo magnetico.

2.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg

O metodo mais simples de encontrar os comutadores(Xµ(τ, σ), Xν(τ, σ′)), (Xµ(τ, σ), P ν(τ, σ′)),

(P µ(τ, σ), P ν(τ, σ′)) consiste em aplicar a equacao de Heisenberg nos operadoresXµ. Com-

paramos as expansões do comutador entreX i(τ, σ) e a Hamiltoniana com a expansão deX i(τ, σ).

Com isso, fazendo uso de algumas hipóteses simplificadoras, obtemos muito diretamente os co-

mutadores dos modos de expansão. Finalmente, usamos estes para calcular os comutadores

desejados.

Usando as expansoes (1.35) paraX e (1.41) para a hamiltoniana, aplicamos a equacao de

Heisenberg emX1(τ, σ):

(X1(τ, σ), H(τ)) =Mπ

2[(x1, p2 + w2) +

i

n(α−

n , αmαm + αmαm) cos nσ −

−B

n(β+

n , βmβm + βmβm) sin nσ]

= X1(τ, σ) = p + α+n cos nσ + iBβ−

n sin nσ ,

18

19

onde fizemos nossa primeira hipótese, de que os modos-zeroxi, p, w comutam com os modos

de oscilacao,αn, αn, etc. Comparando os termos emτ eσ, vem

Mπ

2(x1, p2 + w2) = p

iMπ

2n(αn − αn, αmαm + αmαm) = α+

n

−MπB

2n(βn + βn, βmβm + βmβm) = iBβ−

n

Supondo, agora, que os comutadores1 dos modos de expansão sejam números, obtemos

(x1, p) =1

πM(2.1)

iMπ

2n[αm(αn, αm) + (αn, αm)αm − (αn, αm)αm − αm(αn, αm)] =

iMπ

n[(αn, αm)αm + (αm, αn)αm] = α+

n

→ (αn, αm) = − in

πMδmn (2.2)

(βn, βm) = − in

πMδmn (2.3)

Aplicando o mesmo procedimento paraX2(τ.σ), o unico comutador novo e

(x2, w) =1

πM(2.4)

Todos os outros comutadores se anulam.1Na verdade, estes são os parenteses de Poisson, da teoria clãssica. Como usaremos sempre a prescricao

usual de quantizacao,[A, B]P.B. 7→ i(A, B), tomaremos a liberdade de nos referirmos aos parenteses de Poissoncomo “comutadores” por todo o resto do trabalho, subentendendo-se sempre essa prescricao para os comutadoresquanticos.

20

Para futura referencia, eis algumas expansões de Fourier uteis [3]:

1

π(1 + 2

∑

n>0

cos nσ cos nσ′) = δN(σ − σ′)2, para σ, σ′ ∈ [0, π] (2.5)

1

π2∑

n>0

sin nσ sin nσ′ = δD(σ − σ′)3, para σ, σ′ ∈ [0, π]. (2.6)

2∑

n>0

1

nsin n(σ + σ′) =

π − (σ + σ′), para 0 < σ + σ′ < 2π

0, σ, σ′ = 0 ou π(2.7)

De posse disso, procedemos aos comutadores dos campos:

(X1(τ, σ), P 1(τ, σ′)) = (X2(τ, σ), P 2(τ, σ′)) = M(x1, p) +iM

n(α−

n , α+m) cos nσ cos nσ′

=1

π(1 + 2 cos nσ cos nσ′)

= δN(σ − σ′) (2.8)

(X1(τ, σ), P 2(τ, σ′)) = (X2(τ, σ), P 1(τ, σ′)) = 0 (2.9)

(P 1(τ, σ), P 2(τ, σ′)) = 0 (2.10)

(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) = (x1, x2) + (x1, p)Bσ′ − (w, x2)Bσ +

iB

nm(α−

n , α+m) cos nσ sin mσ′ − iB

nm(β+

n , β−m) sin nσ cos mσ′

= (x1, x2) +B

πM[(σ′ + σ) + 2

1

nsin n(σ′ + σ)] (2.11)

De (2.7), vemos que o somatorio acima sofre uma descontinuidade entre o corpo (bulk) e as

pontas da corda. Nobulk, ele cancela a dependência do comutador emσ e σ′. Portanto, nesta

regiao(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) e constante,

(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) = (x1, x2) +B

M.

Como B nao interage com a corda nesta região, e natural impormos(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) =

21

0, como no caso livre. Com isso, fixamos o valor da constante,(x1, x2) = − BM

, e podemos

avaliar o comutador(X1(σ), X2(σ′)) em todos os pontos. Resumindo nossos resultados, fi-

camos com

(P i(σ), P j(σ′)) = 0 (2.12)

(X i(σ), P j(σ′)) = δijδN(σ − σ′) (2.13)

(X i(σ), Xj(σ′)) =

0, 0 < σ, σ′ < π

−Bij

M, ponta σ = σ′ = 0

Bij

M, ponta σ = σ′ = π

(2.14)

onde subentendem-se comutadores a tempos iguais.

Nota-se que a unica diferenca entre os comutadores neste sistema e aqueles no caso de uma

D2-brana sem campo e a n˜ao-comutatividade entreX1(τ, σ) e X2(τ, σ), que, alias, se anula

paraB = 0. Todas as outras relacoes de comutatividade sao identicas.

A diferenca de sinal entre os comutadores nas pontas

Observe-se que o sinal do comutador na ponta0 e oposto ao da pontaπ. Tal situacao

e intrigante porque, em princ´ıpio, a nao-comutatividade e uma caracter´ıstica do espaco, nao

devendo ter dependˆencia com a corda.

Em [8], argumenta-se que isso e esperado, porque estamos trabalhando com uma teoria de

cordas orientadas (isto e, uma teoria sensıvel a uma inversao na orientacao da corda). De fato,

se reorientarmos a corda, via uma reparametrizacaoσ → σ := π − σ, inverte-se o sinal do

22

acoplamento com o campoB na acao, efetivamente mudando o sinal do campo:

S =

∫dτ

∫ π

0

dσ (∂τX)2 − (∂σX)2 + 2B(∂τX1∂σX2 − ∂σX1∂τX

2)

= −∫

dτ

∫ 0

π

dσ (∂τX)2 − (∂σX)2 − 2B(∂τX1∂σX2 − ∂σX1∂τX

2)

=

∫dτ

∫ π

0

dσ (∂τX)2 − (∂σX)2 − 2B(∂τX1∂σX2 − ∂σX1∂τX

2).

Ou seja, a mudanca de sinal no comutador que ocorreria por causa da reorientacao e neu-

tralizada pela correspondente mudanca de sinal deB.

Mas isso não liquida o problema. Se tivermos uma corda aberta com ambas as pontas presas

a uma mesma brana, ou duas cordas de orientacoes opostas tocando a mesma D-brana, difer-

entes pontos na D-brana apresentarão diferentes valores para(X1, X2). E, e.g., se porventura

um ponto da brana que num dado tempo foi visitado por uma ponta da corda vier a ser visitado

pela outra, teremos uma inversao no sinal do comutador ali. Mais ainda, pode-se perguntar o

que acontece com a nao-comutatividade na D-brana quando nao há cordas presas a ela.

Figura 2.1: (A) Uma corda com as duas pontas presas a mesma brana; (B) Duas cordas deorientacoes opostas presas a uma brana; (C) Uma corda movendo-se: a ponta0 tocara o pontoque no momento e tocado pela pontaπ; (D) Uma brana sem cordas

Enfim, se aceitarmos a dependência do comutador na brana com a ponta de corda em

questao, somos levados a questoes como que significado fısico tem as relacoes de comutacao

entre as coordenadas da ponta corda na D-brana.

23

2.2 Quantizacao simpletica

Outro metodo para encontrar os comutadores e o de quantizacao simpletica. Aqui, o mecan-

ismo tambem consistira em obter os comutadores dos modos de expans˜ao e usa-los para calcular

os comutadores entreX eP .

Primeiramente, escrevemos a lagrangeana na forma simpletica (i.e., com somente termos

lineares nas velocidades),

L(τ) = −H(τ) +

∫dσ P · X

= −H + M

∫ π

0

dσ (p + α+m cos mσ)(p +

i

nα−

n cos nσ − B

nβ+

n sin nσ)

+(w + β+m cos mσ)(w +

i

nβ−

n cos nσ +B

nα+

n sin nσ) (2.15)

Integrando emσ, obtemos

L = πM(p2 + w2) +iπM

2n(α+

n α−n + β+

n β−n ) +

MB

n2(cos nπ − 1)(pβ+

n − wα+n )

+MB

n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)(β+

mα+n − α+

mβ+n ) − H (2.16)

Aqui, estenderemos ao nosso caso o metodo apresentado por Faddeev e Jackiw em [11]:

L =∑

n>0

∑

µ=1,2

∑

i=1,2

aµin ξµi

n − H

=∑

n>0

anαn + an ˙αn + bnβn + bn˙βn − H, (2.17)

comµ sendo o ındice de Lorentz ei indicando se se trata deα eβ, ou de seus complexos con-

jugados. Aqui, portanto, as variaveis simpleticasξ sao osαn, ˙αn, βn, ˙βn e os coeficientes sao

osan, an, bn, bn.

Parentese: um modo alternativo, com uma notacao menos pesada, e usar um unico ındice,

que de conta de todos os osciladoresαn, βn e seus conjugados. Nesse caso, ter´ıamos um sistema

24

nao muito diferente do tratado em [11]:

L =∑

n

anξn − H

No entanto, a notacao usada nesta secao, com v´arios ındices, e vantajosa no ato de calcular os

comutadores.

Os comutadores dos osciladores – que aqui sao as vari´aveis simpleticas – sao dados pela

inversa da matriz Hessiana da Lagrangeana.

(ξµim , ξνj

n ) =[[(fµν)−1]ji

]mn

(2.18)

(fµνij )mn =

∂aνin

∂ξµjm

− ∂aµjm

∂ξνin

(2.19)

Assim,

(fµν11 )mn =

∂aνn

∂ξµm− ∂aµ

m

∂ξνn

=

∂an

∂αm− ∂am

∂αn

∂bn

∂αm− ∂am

∂βn

∂an

∂βm− ∂bm

∂αn

∂bn

∂βm− ∂bm

∂βn

(2.20)

(fµν12 )mn =

∂aνn

∂ξµm− ∂aµ

m

∂ξνn

=

∂an

∂αm− ∂am

∂αn

∂bn

∂αm− ∂am

∂βn

∂an

∂βm− ∂bm

∂αn

∂bn

∂βm− ∂bm

∂βn

(2.21)

etc.

No caso,

an =∂L

∂αn=

iπM

2nα+

n − MB

n2(cos nπ − 1)w +

MB

n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)β+

m

an =∂L

∂ ˙αn= − iπM

2nα+

n − MB

n2(cos nπ − 1)w +

MB

n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)β+

m

bn =∂L

∂βn

=iπM

2nβ+

n +MB

n2(cos nπ − 1)p − MB

n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)α+

m

bn =∂L

∂ ˙βn

= − iπM

2nβ+

n +MB

n2(cos nπ − 1)p − MB

n2 − m2(1 − cos mπ cos nπ)α+

m

25

donde obtemos

(fµν11 )mn = (fµν

22 )mn = 0

(fµν12 )mn = −(fµν

22 )mn = iπM

δmn

n0

0 δmn

n

.

Portanto,

fµν = iπM

0 0 δmn

n0

0 0 0 δmn

n

− δmn

n0 0 0

0 − δmn

n0 0

⇒ (fµν)−1 =i

πM

0 0 nδmn 0

0 0 0 nδmn

−nδmn 0 0 0

0 −nδmn 0 0

.

Assim, os unicos comutadores nao-nulos para os osciladores sao

(αm, αn) = (βm, βn) = − in

πMδm,n (2.22)

identico a (2.2) e (2.3). Os comutadores restantes, entre os modos-zero, sao obtidos pela

equacao de movimento dos operadores, com exatamente o mesmo mecanismo desenvolvido

na secao anterior, de modo que o resultado e necessariamente o mesmo.

Portanto, o metodo de quantizacao simpletica dos osciladores fornece os mesmos resultados

que obtivemos com o metodo via equacao de Heisenberg: (2.12), (2.13), (2.14).

2.3 Quantizacao de Dirac

26

Um modo alternativo de quantizacao e encarar as condicoes de contorno como v´ınculos e

usar o metodo de Dirac para sistemas vinculados [23].

O mecanismo consiste em, primeiramente, construir uma serie de vınculosφ(m), m =

0, 1, 2, ... a partir das condicoes de contorno. Entao, se o conjunto de vınculos obtido for de

segunda classe, define-se a matriz inversıvel C a partir dos comutadores canônicos entre os

vınculos,Cmn := (φ(m), φ(n)) (se os v´ınculos formarem um conjunto de primeira classe, então

ainda subsiste uma simetria a fixar na teoria). Com isso, os comutadores de Dirac sao definidos

por

(A, B)∗ := (A, B) − (A, φ(m))C−1mn(φ(n), B) (2.23)

Comutadores de Dirac implementam os vınculos na quantizacao do sistema. Esses comuta-

dores possuem a propriedade de valer fortemente para os v´ınculos, pois

(A, φ(p))∗ = (A, φ(p)) − (A, φ(m))C−1mn (φ(n), φ(p))︸︷︷︸

= (A, φ(p)) − (A, φ(m))δmp Cnp

= 0

Para fins de ilustracao, no apêndice A aplicamos o metodo ao caso da corda livre (sem

campo de fundo) num espaco 1-d (uma dimensao espacial). Na secao a seguir, estendemos para

o caso de interesse – a D2-brana com campoB.

D2-brana com campo B

Comecamos pela cadeia de v´ınculos, que obtemos de modo análogo ao usado no apêndice

A.

φi(m) =

M∂(m+1)X i + Bij∂(m)P j |σ=0,π, m par

∂(m)P i |σ=0,π, m impar(2.24)

27

A matriz C, neste caso, e

Cijmn =

0, m, n impar

−2MBij∫

dσdσ′δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂

(n)σ′ δ(σ − σ′), m, n par

Mδij∫

dσdσ′δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂

(n)σ′ δ(σ − σ′), m par, n impar

(2.25)

Aqui, podemos escrever C comoC = D ⊗ E + A ⊗ N , com

D =

−2MB 0

0 0

A =

0 M

−M 0

sendo que

Cij(2m′−2)(2n′−2) = Dij

00Em′n′ := −2MBij(−1)2m′−1(2(m′ + n′) − 3)! limε,σ→0

e−(σ/ε)2

ε√

π

1

σ2(m′+n′)−3

Cij(2m′−2)(2n′−1) = Aij

01Nm′n′ := M ij(−1)2m′−1(2(m′ + n′) − 2)! limε,σ→0

e−(σ/ε)2

ε√

π

1

σ2(m′+n′)−2

comm′, n′ = 1, 2, 3, .... De modo que

Em′n′ = Gm′n′ limε,σ→0

1

ε

1

σ2(m′+n′)−3

Nm′n′ = Fm′n′ limε,σ→0

1

ε

1

σ2(m′+n′)−2

ondeGm′n′ = − 1√π(2(m′ + n′) − 3)! eFm′n′ = − 1√

π(2(m′ + n′) − 2)!. Com isso,

E−1m′n′ = G−1

m′n′ limε,σ→0

εσ2(m′+n′)−3 (2.26)

N−1m′n′ = F−1


εσ2(m′+n′)−2, (2.27)

Quanto a inversa de C

C = M

−2BE N

−N 0

⇒ C−1 =

1

M

0 −N−1

N−1 −2BN−1EN−1

(2.28)

28

Os comutadores de X e P com os vınculos sao

(X i(σ), φ(m)j) =

∫dσ′ δ(σ′)(X i(σ), ∂

(m)σ′ P j(σ′)), m impar

Bjk∫

dσ′ δ(σ′)(X i(σ), ∂(m)σ′ P k(σ′)), m par

∫dσ′ δ(σ′)∂

(m)σ′ δ(σ − σ′) = (−1)m

∫dσ′ δ(σ′)∂(m)

σ δ(σ − σ′)

= (−1)m∂(m)σ δ(σ) = m!

δ(σ)

σm

= m!δ(σ) limσ→0

1

σm

⇒ (X i(σ), φ(m)j) =

δijm!δ(σ) limσ→0

1

σm, m impar

Bjim!δ(σ) limσ→0

1

σm, m par

(2.29)

(φ(n)i, P j(σ′)) =

0, n impar

M ij∫

dσ δ(σ)∂(n+1)σ δ(σ − σ′), n par

=

0, n impar

M ij(n + 1)!δ(σ′) limσ′→0

1

σ′n+1, n par

(2.30)

Usando (2.26), (2.27), (2.28), (2.29) e (2.30), procedemos aos comutadores. Para(X i, P j),

29

temos

(X i(σ), P j(σ′))∗ = δijδ(σ − σ′) − (X i(σ), φ(m)k)(C−1)klmn(φ(n)l, P j(σ′))

= δijδ(σ − σ′) − (X i(σ), φ(2m′−1)k)(C−1)kl(2m′−1)(2n′−2)(φ

(2n′−2)l, P j(σ′))

−(X i(σ), φ(2m′−2)k)(C−1)kl(2m′−2)(2n′−2)(φ

(2n′−2)l, P j(σ′))

= δijδ(σ − σ′) −[δik(2m′ − 1)!δ(σ) lim

σ→0

1

σ2m′−1

][− 1

MδklN−1

m′n′

]×

[M lj(2n′ − 1)!δ(σ′) lim

σ′→0

1

σ2n′−1

]−

[−Bik(2m′ − 2)!δ(σ) lim

σ→0

1

σ2m′−2

]×

[− 2

MBkl(N−1EN−1)m′n′

][M lj(2n′ − 1)!δ(σ′) lim

σ′→0

1

σ2n′−1

]

= δijδ(σ − σ′) + δijδ(σ)δ(σ′)ε(2m′ − 1)!(2n′ − 1)!F−1m′n′

−2BikBklδljδ(σ)δ(σ′)(2m′ − 2)!(2n′ − 1)!(N−1EN−1)m′n′ limσ→0

σ−(2m′−2)−(2n′−1)

= δijδ(σ − σ′) + δijδ(σ)δ(σ′)εκ − B2δijδ(σ)δ(σ′)ελ limσ→0

σ2 (2.31)

comκ :=

∞∑

m′,n′=1

(2m′−1)!(2n′−1)!F−1m′n′ eλ :=

∞∑

m′,n′=1

2(2m′−2)!(2n′−1)!(F−1GF−1)m′n′ .

Regularizando as funcoes delta em (2.31), vemos que o ultimo termo se anula. Ficamos com

(X i(σ), P j(σ′))∗ = δij[δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′)

](2.32)

30

Para o comutador(X i, Xj), temos

(X i(σ), Xj(σ′))∗ = −(X i(σ), φ(m)k)(C−1)klmn(φ(n)l, Xj(σ′))

= −(X i(σ), φ(2m′−1)k)(C−1)kl(2m′−1)(2n′−1)(φ

(2n′−1)l, Xj(σ′))

−(X i(σ), φ(2m′−2)k)(C−1)kl(2m′−2)(2n′−1)(φ

(2n′−1)l, Xj(σ′))

−(X i(σ), φ(2m′−1)k)(C−1)kl(2m′−1)(2n′−2)(φ

(2n′−2)l, Xj(σ′))

= −(δikδ(σ)(2m′ − 1)!ε−(2m′−1)

)(− 2

MBkl(N−1EN−1)m′n′

)×

(−δljδ(σ′)(2n′ − 1)!ε−(2n′−1))

−(−Bikδ(σ)(2m′ − 2)!ε−(2m′−2)

)(− 1

MδklN−1

m′n′

)(−δljδ(σ′)(2n′ − 1)!ε−(2n′−1)

)

−(δikδ(σ)(2m′ − 1)!ε−(2m′−1)

)( 1

MδklN−1

m′n′

)(−Bljδ(σ′)(2n′ − 2)!ε−(2n′−2)

)

= −Bij

Mδ(σ)δ(σ′)ε2

((2m′ − 1)!(2n′ − 1)!(F−1GF−1)m′n′

−(2m′ − 2)!(2n′ − 1)!F−1m′n′ − (2m′ − 1)!(2n′ − 2)!F−1

m′n′

)(2.33)

Definindo ξ := 1π

((2m′ − 1)!(2n′ − 1)!(F−1GF−1)m′n′ − 2(2m′ − 2)!(2n′ − 1)!F−1

m′n′

),

obtemos

(X i(σ), Xj(σ′))∗ = −ξBij

Mε2δ(σ)δ(σ′) (2.34)

O comutador(P i, P j)∗ e nulo, como e facil de ver.

Para calcular as constantesκ e ξ, usamos um truque semelhante ao do caso livre. Exigimos

consistencia no comutador de um v´ınculo com uma funcao arbitraria,

(M∂σX1(σ) + BP 2(σ)|σ=0, f(X, P ))∗ =

∫dσδ(σ)

{M∂σ(X1(σ), P 1(σ′))∗

∂f

∂P 1(σ′)

+M∂σ(X1(σ), X2(σ′))∗∂f

∂X2(σ′) + B(P 2(σ), X2(σ′))∗

∂f

∂X2(σ′)

}

= 0

31

Comof e arbitraria, isso implica

∫dσδ(σ) M∂σ(X1(σ), P 1(σ′))∗

∂f

∂P 1(σ′) = 0

∫dσδ(σ)

[M∂σ(X1(σ), X2(σ′))∗ + B(P 2(σ), X2(σ′))∗

] ∂f

∂X2(σ′) = 0

Substituindo (2.32) e (2.34),

∫dσδ(σ) M∂σ [δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′)]

∂f

∂P 1(σ′) = 0

(2.35)∫

dσδ(σ)[M∂σ(−ξ

B

Mε2δ(σ)δ(σ′)) − B(δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′))

] ∂f

∂X2(σ′) = 0

(2.36)

A expressao (2.35) e igual a (A.11), de modo que obtemosκ =√

π. Devemos, agora,

determinarξ atraves de (2.36).

∫dσδ(σ)

[ξε2δ(σ′)∂σδ(σ) + δ(σ − σ′) +

√πεδ(σ)δ(σ′)

] ∂f

∂X2(σ′) = 0

∫dσδ(σ)

[δ(σ − σ′) + (

√π − ξ

ε

σ)εδ(σ′)δ(σ)

] ∂f

∂X2(σ′) = 0 (2.37)

onde na segunda linha usamos (A.6). Realizando a integral sobreσ:

(δ(σ′) + (√

π − ξ)1√π

δ(σ′))∂f

∂X2(σ′) = 0 (2.38)

onde usamos (A.7) e fizemoslimε,σ→0

ε

σ= 1. Integremos sobreσ′,

(2 − ξ√π

)∂f

∂X2(0) = 0, (2.39)

32

dondeξ = −2√

π. Abaixo segue o resumo dos resultados, incluindo a pontaπ:

(P i(σ), P j(σ′))∗ = 0 (2.40)

(X i(σ), P j(σ′))∗ = δijδN(σ − σ′) (2.41)

(X i(σ), Xj(σ′))∗ =

0, bulk

− 2√π

Bij

M, σ = σ′ = 0

2√π

Bij

M, σ = σ′ = π

(2.42)

Comparando os resultados acima com (2.12), (2.13) e (2.14), vemos que a unica diferenca

e o fator numerico em (2.42).

Encontramos aqui o efeito de termos afrouxado o rigor ao lidar com os limites. De fato,

diante da impossibilidade de definir de forma inequıvoca o valor de expressoes comolimx,y→0

x

y,

nao se deve considerar a risca os resultados obtidos.E razoavel supor que estes resultados aqui

obtidos sao definidos a menos de constantes.

O metodo de Dirac foi aqui desenvolvido como um procedimento alternativo para obter

as relacoes de comutacao, de modo a dar respaldo a nosso resultado anterior e efetivamente

confirmar a n˜ao-comutatividade neste sistema, o que, como se ve, foi realizado com sucesso.

Na pratica, entretanto, preferimos o metodo da equacao de Heisenberg, que e mais facil de

ser implementado e n˜ao possui essas ambiguidades provenientes da regularizacao das funcoes

delta.

Capıtulo 3

Dualidade T

Apresentamos aqui um breve resumo do que e a dualidade T, como surge, o que representa,

e como implementa-la para o caso de branas com campo de fundo.

A dualidade T aparece em teorias de cordas quando se tem compactificacao toroidal (daı

o “T”) de uma ou mais dimensoes espaciais. Ela relaciona espaco-tempos compactificados de

raios pequenos com espacotempos de raios grandes.

Sob dualidade T, cordas fechadas em uma geometria transformam-se em cordas fechadas

na geometria dual, que e diferente, mas similar. Com cordas abertas, no entanto, a situacao

e outra. Veremos que uma transformacao de dualidade T altera as condicoes de contorno da

corda aberta, de modo que a dualidade T em cordas abertas mapeia estruturas essencialmente

distintas.

Historicamente, a dualidade T fundamenta o conceito de D-brana, que e então definida

como uma hiper-superfıcie onde se prendem as pontas das cordas abertas. A D-brana nao e

um artifıcio matematico; ela e um objeto fısico, possui momento, tensão, cargas. Uma parte

da importancia das D-branas reside no fato de que elas sao capazes de introduzir simetrias

de calibre nao-abelianas na teoria de cordas. Além disso, D-branas facilitam a identificacao

de dualidades entre as aparentemente distintas teorias de cordas existentes. Isso nos motiva a

estudar a dualidade T numa D-brana.

Comecamos mostrando o aparecimento da dualidade em cordas fechadas e depois estende-

mos para cordas abertas livres. Finalmente, aplicamos ao caso de interesse, de uma D2-brana

33

34

com campoF constante.

3.1 Cordas fechadas

A fim de demonstrar a simetria contida na dualidade T, estudemos a expressao para a massa

da corda fechada bosonica.

3.1.1 Cordas fechadas emR1,25

Para cordas fechadas, estabelecemos que o intervalo sobre o qualσ e definido e[0, 2π].

Obviamente, dado o car´ater periodico da corda, temos a condicao de periodicidade

Xµ(τ, σ + 2π) = Xµ(τ, σ) (3.1)

A solucao mais geral da equacao de movimento paraXµ e

Xµ(τ, σ) = XµL(τ + σ) + Xµ

R(τ − σ) (3.2)

Aplicando (3.1) em (3.2), obtemos

XµL(u + 2π) + Xµ

R(v − 2π) = XµL(u) + Xµ

R(v)

→ XµL(u + 2π) − Xµ

L(u) = XµR(v) − Xµ

R(v − 2π) (3.3)

ondeu := τ + σ ev := τ − σ.

As expans˜oes das solucoes que satisfazem (3.3) sao

XµL(u) =

1

2xµ

L +

√α′

2lµ0u +

√α′

2

∑

n 6=0

i

nlµne−inu (3.4)

XµR(v) =

1

2xµ

R +

√α′

2rµ0v +

√α′

2

∑

n 6=0

i

nrµne−inv (3.5)

35

De (3.3), temos

rµ0 = lµ0 (3.6)

Em termos do momento total (momento do centro de massa), escrevemos

pµ =

∫ 2π

0

dσ P µ(τ, σ) =

∫ 2π

0

dσ Xµ(τ, σ) = 2π 2

√α′

2lµ0

→ lµ0 =

√α′

2pµ (3.7)

onde, como sempre, fizemos12πα′ = 1.

O calculo da massa (cf. Apêndice B) fornece a expressao

M2 =2

α′ (NL + NR − 2) (3.8)

comNL =∑

n>0

l−n · ln e NR =∑

n>0

r−n · rn os operadores número.

3.1.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24

Se compactificarmos circularmente uma direcao, e.g.,x25 ∼ x25 + 2πmR, as condicoes de

periodicidade nesta coordenada mudam:

X25(σ + 2π) = X25(σ) + 2πmR. (3.9)

A interpretacao param e o numero de voltas (winding number) que se da ao redor do c´ırculo

quando se percorre a corda uma vez (i.e., no intervaloσ = [0, 2π]). Como estamos trabalhando

com uma teoria de cordas orientadas,m pode ser negativo. Veja alguns exemplos de cordas

fechadas com diferenteswinding numbersna Fig.3.1.

Uma caracter´ıstica interessante de uma dimensao compactificada e que o momento nesta

direcao fica discretizado (o que não e prerrogativa das cordas; aqui, isso ocorre exatamente co-

mo em mecanica quantica, onde o momento de uma part´ıcula confinada e sempre discretizado).

36

Figura 3.1: Exemplos de winding number. (A)m = 1; (B) m = −1; (C) m = 2; (D) m = 0.

Senao, vejamos: uma translacao de uma volta inteira (ou qualquer n´umero inteiro de voltas)

na direcao compactificada corresponde a nao sair do lugar. Ou seja, o operador de translacao,

eip·∆x, tem de corresponder a identidade quando o deslocamento for de∆x = 2πR.

eip 2πR = 1 = e2inπ

p =n

R, n ∈ Z. (3.10)

Aqui, como emR1,25, as expans˜oes sao

XµL(u) =

1

2xµ

L +

√α′

2lµ0u +

√α′

2

∑

n 6=0

i

nlµne−inu (3.11)

XµR(v) =

1

2xµ

R +

√α′

2rµ0v +

√α′

2

∑

n 6=0

i

nrµne−inv (3.12)

A partir da equacao (3.9), obtemos, aqui,

l250 − r250 = 2πmR.

Definamosw := mRα′ . Assim, temos

l250 − r250 =

√2α′w.

A expressao analoga a (3.7) para a coordenadap25 (que chamaremos, por brevidade, dep)

37

do momento total, neste caso, e:

p =

∫ 2π

0

dσ X25 =1√2α′

(l250 + r250 ) (3.13)

Portanto, temos as relacoes

l250 + r250 =

√2α′p

l250 − r250 =

√2α′w

(3.14)

Aqui, a expressao para a massa torna-se (cf. Apˆendice B)

M2 = p2 + w2 +2

α′ (NL + NR − 2)

=( n

R

)2

+(mR

α′

)2

+2

α′ (NL + NR − 2) (3.15)

Com esta expressao obtem-se o espectro de massa de uma teoria com dimensao compacti-

ficada de raioR. Mas existe uma simetria nesta expressao: ela tambem fornece o espectro de

massa para uma teoria com dimensao compactificada de raioR = α′

R. Em outras palavras, duas

teorias distintas possuem o mesmo espectro de massa. Isso nos leva a considerar a possibilidade

de haver uma equivalˆencia fısica (dualidade) entre tais teorias. Vejamos: sejam

p =m

Rw =

nR

α′ com R :=α′

R

⇒ p =mR

α′ = w w =n

R= p

Nota-se queM2(R, p, w) = M2(R, p, w), com

p 7→ p = w

w 7→ w = p

R 7→ R = α′/R

Isso nos leva a cogitar dualidade entre uma teoria com uma coordenadaX25(τ, σ) compact-

38

ificada num raioR de momentop e winding numberw, e uma teoria com uma coordenada

X25(τ, σ) compactificada num raioα′/R de momentow e winding numberp. As expansões

em modos seriam

X25(τ, σ) = x + α′p τ + α′wσ + osciladores

X25(τ, σ) = x + α′p τ + α′wσ + õsciladores

= q + α′wτ + α′p σ + õsciladores

E possıvel relacionarX25 e X25? Nota-se pelos modos-zero queX25 parece poder ser

construıdo com os mesmos modos de expansao queX25, a partir da regra

X(τ, σ) = XL(τ + σ) + XR(τ − σ) (3.16)

X(τ, σ) = XL(τ + σ) − XR(τ − σ) (3.17)

Podemos, então, definir uma transformacao,

∼ : S1(R) × R1,24 → S1

(R)× R1,24

: X25(τ, σ) 7→ X25(τ, σ) (3.18)

X25(τ, σ) := XL(τ + σ) − XR(τ − σ),

investigar os aspectos fısicos desse sistema dual e compara-los com nossa teoria original.

A partir da regra de transformacao (3.17), podemos tracar um mapa entre os modos:

XL(τ + σ) =1

2(x + q) +

1

2α′(p + w)(τ + σ) + i

√α′

2

∑

n 6=0

1

nlne−in(τ+σ) (3.19)

XR(τ − σ) =1

2(x − q) +

1

2α′(p − w)(τ − σ) + i

√α′

2

∑

n 6=0

1

nrne−in(τ−σ) (3.20)

39

X(τ, σ) = x + α′p τ + α′wσ + i

√α′

2

∑

n 6=0

1

ne−inτ (lne−inσ + rneinσ) (3.21)

X(τ, σ) = q + α′wτ + α′p σ + i

√α′

2

∑

n 6=0

1

ne−inτ (lne−inσ − rneinσ) (3.22)

x 7→ x = q p 7→ p = w ln 7→ ln = ln

w 7→ w = p rn 7→ rn = −rn

O mapeamento dos modos das outras coordenadas, correspondentes as dimensoes nao com-

pactificadas, e a identidade.

Comparemos as hamiltonianas. Na teoria original, a partir da acao

S =1

2

∫d2σ (X)2 − (X ′)2, (3.23)

obtemos a hamiltoniana

H =1

2

∫dσ XµX

µ + X ′µX ′µ

= πα′2(pipi + p2 + w2) + πα′∑

n 6=0

(ln · l−n + rn · r−n)

=α′

2(pipi + p2 + w2) + NL + NR − 2 (3.24)

onde−2 e a constante de ordenamento necess´aria apos a quantizacao [4, 31].

A hamiltoniana dual e

H =α′

2(pipi + p2 + w2) + NL + NR − 2

=α′

2(pipi + w2 + p2) + NL + NR − 2

= H (3.25)

Portanto, a hamiltoniana e preservada sob a transformacao!

Precisamos, agora, checar os comutadores. Todavia, essa e uma tarefa simples, pois os mo-

40

dos de expansão duais sao os mesmos que os da teoria original (sem compactificacao); suas

relacoes de comutacao já estao determinadas. Os unicos comutadores novos sao os que en-

volvem q, o unico novo termo. Podemos calcula-los com o metodo da expansão, usado no

Capıtulo 2, e o resultado obtido e

(rm, rn) = (−rm,−rn) = (rm, rn) = −in

(lm, ln) = (lm, ln) = −in

(rm, ln) = −(rm, ln) = 0

(p, w) = (w, p) = 0

(q, w) = (x, p) = 1

Daı, seguimos para as relacoes de comutacao entre os campos:

(X(τ, σ), P (τ, σ′)) = α′(x, p) +iα′

2n[(βn, β−n) + (αn, α−n)] = 2α′ =

1

π

(X(τ, σ), P (τ, σ′)) = α′(q, w) +iα′

2n[(βn, β−n) + (−αn,−α−n)] =

1

π

= (X(τ, σ), P (τ, σ′))

Portanto, temos uma simetria completa: a Hamiltoniana e as relacoes de comutacao se

preservam sob a transformacao (3.18). Assim, concluımos que a dualidade T e uma simetria

verdadeira da teoria de cordas fechadas livres (na verdade, isso tambem vale para cordas com

interacoes [4, 16]).

No exemplo que acabamos de considerar, a dualidade T mapeia entre si duas teorias do

mesmo tipo, comparametros(raios de compactificacao) diferentes – veremos que nas cordas

abertas isso não e tao simples. O raio do c´ırculo deve ser visto como um parâmetro de uma

classe particular de espaco-tempos compactificados que permitem uma definicao consistente da

teoria de cordas. O raio não e um parâmetro da teoria em si, e sim um parâmetro ajustavel do

41

espaco-tempo usado na teoria. A existencia de uma dualidade está nos mostrando que o espaco

de tais parâmetros e restrito, contendo apenas raios maiores ou iguais ao raio auto-dual,R∗,

R∗ =α′

R∗ = R∗ ⇒ R∗ =√

α′.

Repare que este raio especial e da escala do comprimento da corda,lS =√

2α′. Assim,

nao e de surpreender que em teoria de cordas ocorram quebras de conceitos geometricos usuais,

tais como a equivalencia fısica entre um c´ırculo de raioR e um c´ırculo de raioα′/R, pois,

para raios da ordem deR∗ ou menores, estamos sondando um espaco geometrico que possui a

mesma escala dos objetos que nele interagem.

3.2 Cordas abertas

Uma questao natural a se fazer neste ponto e se algo análogo ocorre no caso de cordas

abertas. Veremos separadamente o caso de cordas abertas livres (sem campo de fundo) e o de

cordas na presenca de um campo de Kalb-Rammond.

3.2.1 Caso livre

Seja uma corda livre num espaco com uma dimensaox compactificada, de raioR.

S[Xµ, X] =1

2

∫d2σ XµX

µ − X ′µX ′µ + (X)2 − (X ′)2. (3.26)

ondeX i sao as outras coordenadas.

As condicoes de contorno sao

∂σXµ|σ=0,π = 0

∂σX|σ=0,π = 0

42

A expansao do campoX na direcao compactificada e

X(τ, σ) =1

π(x + p τ +

i

nα−

n cos nσ)1,2 (3.27)

com momento total (momento do centro de massa)

∫ π

0

dσ P (τ, σ) =

∫ π

0

dσ X(τ, σ) = p =n

R,

como visto anteriormente.

A hamiltoniana e

H =1

2

∫dσ XµXµ + X ′

µX ′µ + (X)2 + (X ′)2

=1

2π(pµpµ + αµ

nαµn + p2 + αnαn) (3.28)

e o espectro de massa (cf. Apêndice B) e

M2 = p2 +1

α′ (N − 1) =( n

R

)2

+1

α′ (N − 1) (3.29)

A primeira coisa a se notar e que aqui não hawinding; uma corda aberta livre sempre pode

se contrair a um ponto. Como owindingfoi crucial para relacionar o espectro da corda fechada

com seu dual, não se deve esperar que a dualidade T se de da mesma maneira com cordas aber-

tas. Ao contrario das cordas fechadas, as abertas claramente distinguem uma compactificacao

de raioR de uma de raioα′

R. Parece entao que talvez não se deva esperar dualidade T para

cordas abertas. E, no entanto, existe uma maneira!

Separemos (3.27) emXL eXR:

X(τ, σ) := XL(τ + σ) + XR(τ − σ)

1Esta notacao para a expansao deX(τ, σ) sera mais conveniente doravante.2Lembremo-nos de que o somatorio sobren > 0 esta implıcito.

43

XL(τ + σ) =1

2π

((x + x) + p(τ + σ) +

i

n(αne

−inσ − αneinσ))

XR(τ − σ) =1

2π

((x − x) + p(τ − σ) +

i

n(αneinσ − αne−inσ)

)

Investiguemos o campoX(τ, σ) definido por

X(τ, σ) := XL(τ + σ) − XR(τ − σ)

=1

π

(x + p σ +

1

nα+

n sin nσ)

(3.30)

Qual a interpretacao para essa coordenada? Note-se que (3.30) e a expans˜ao de uma corda

que se estende entre duas branas paralelas, comX(τ, π) − X(τ, 0) = d.

Figura 3.2: Corda com pontas em duas branas paralelas.

Acontece que, de (3.30),

X(τ, π) − X(τ, 0) = p =n

R= d

Podemos interpretar isso como uma serie infinita de D-branastransversaisa direcao X,

separadas a uma distancia de1/R uma da outra, ou, equivalentemente, a termos uma unica D-

brana num espaco cuja direcaoX e periodica (compactificada), de per´ımetro2πR = 1/R (cf.

Fig.3.3).

Portanto, segundo esta definicao, a coordenada dual a uma coordenadaX compactificada

num raioR e uma coordenadaX compactificada num raioR = 1/2πR = α′/R.

44

Figura 3.3: Infinitas D1-branas separadas a uma distancia1R

= 2πR entre si na direcaoX, ou,equivalentemente, uma D1-brana num c´ırculo de raioR.

E interessante notar a relacao entre as condicoes de contorno:

∂σX = ∂τX ∂τ X = ∂σX (3.31)

Consideremos uma acao

S[Xµ, X] =1

2

∫d2σ XµX

µ − X ′µX ′µ + ( ˙X)2 − (X ′)2. (3.32)

A hamiltoniana para essa teoria e

H =1

2


µX ′µ + ( ˙X)2 + (X ′)2

=1

2


µX ′µ + (X ′)2 + (X)2

= H (3.33)

e o espectro de massa (cf. Apˆendice B) e

M2 = p2 +1

α′ (N − 1) =( n

R

)2

+1

α′ (N − 1) = M2 (3.34)

Portanto, descobrimos nossa dualidade. Em cordas abertas em espacos compactificados,

existe dualidade entre um sistema com corda livre (que possui momento, mas nenhumwind-

ing) e outro com D-branas (que possuiwinding, mas nenhum momento), e a relacao entre os

45

parametros de compactificacao eR 7→ R = α′

R.

Observe-se que a coordenadaX(τ, σ), dual aX(τ, σ), foi construıda com o mesmo algorit-

mo usado nas cordas fechadas:

X(τ, σ) = XL(τ + σ) + XR(τ − σ) 7→ X(τ, σ) = XL(τ + σ) − XR(τ − σ) (3.35)

Descobrimos que a dualidade T relaciona uma corda aberta livre (condicoes de Neumann

em todas as coordenadas) com uma corda aberta presa a uma D-brana (condicao de Dirichlet

na direcao dualizada), e vice-versa. O fato de ela nao alterar as coordenadas n˜ao envolvidas na

dualizacao permite generalizar trivialmente esse resultado para o caso de dualizacao simultanea

den dimensoes:

Dp − branas ↔ D(p − n) − branas

As relacoes de comutacao, para comparacao, sao

(X(τ, σ), P (τ, σ)) = δN (σ − σ′) (3.36)

(X(τ, σ), P (τ, σ)) = δD(σ − σ′) (3.37)

O fato de serem diferentes, se por um lado e facilmente compreendido a luz das diferentes

condicoes de contorno satisfeitas porX(τ, σ) eX(τ, σ), por outro levanta a questao de se deve-

mos esperar invariancia dos comutadores (e do carater comutativo do espaco) sob transformacao

de dualidade T, e como interpretar isso. Estudaremos melhor esta questao adiante.

3.2.2 D2-brana num toroT 2 com campo B

Tratemos agora do sistema apresentado no cap´ıtulo 1, de cordas presas a uma D2-brana com

campo de Kalb-Rammond constante e uniforme. Retomemos a acao, a hamiltoniana (1.40), as

46

condicoes de contorno (1.18), e as expans˜oes (1.36), (1.37):

S =

∫d2σ (X1)2 − (X ′1)2 + (X2)2 − (X ′2)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1X2) (3.38)

H =1

2

∫ π

0

dσ (P 1)2 + (P 2)2 + M((X ′1)2 + (X ′2)2) + 2B(−P 1X ′2 + P 2X ′1) (3.39)

X′1 + BX2 |σ=0,π = 0

X′2 − BX1 |σ=0,π = 0

(3.40)

X1(τ, σ) =1

π(x1 + pτ − Bwσ +

i

nα−

n cos nσ − B

nβ+

n sin nσ) (3.41)

X2(τ, σ) =1

π(x2 + wτ + Bpσ +

i

nβ−

n cos nσ +B

nα+

n sin nσ) (3.42)

P 1(τ, σ) =M

π(p + α+

n cos nσ) (3.43)

P 2(τ, σ) =M

π(w + β+

n cos nσ) (3.44)

Suponhamos, tambem, queX2 e uma direcao compactificada, de raioR2.

A compactificacao deX1 e a quantizacao do fluxo deB

Um fenomeno interessante acontece quando consideramos a simetria de calibre do campo

de Maxwell,Aµ.3 Em espacos compactificados, a simetria de calibre do campo de Maxwell,

Aµ ∼ Aµ + ∂µλ, adota uma forma especial. Em particular, no nosso caso de uma D2-brana

com compactificacao emX2, a periodicidade emX2 gera paraA2 a seguinte transformacao de

calibre [31]:

A2 ∼ A2 +n

R2.

3Lembremo-nos de que, como visto no Capıtulo 1, existe uma simetria de calibre que conecta um sistema comcampoBµν e sem campo de Maxwell a um sistema com campo de Maxwell e sem campoBµν . Portanto, o quevale para um tambem vale para o outro.

47

Para um campoFµν constante dado porF12 = B, temos

A1 = 0

A2 = Bx1

Assim, a simetria de calibre induz uma compactificacao emX1!

Bx1 ∼ Bx1 +n

R2⇒ R1 =

n

2πmBR2, com n, m ∈ Z. (3.45)

Ou seja, estamos falando de uma D2-brana enrolada num toro,T 2(R1, R2).

Figura 3.4: Brana enrolada sobre um toroT 2(R1, R2)

Calculando o fluxo do campoB sobre o toro, obtemos

ΦB = B(2πR1)(2πR2) = 2πn

m(3.46)

Dadas estas compactificacoes, ocorre, como vimos, discretizacao dos momentos:

∫ π

0

dσP 1(τ, σ) = Mp =n1

R1⇒ p =

n1

MR1(3.47)

∫ π

0

dσP 2(τ, σ) = Mw =n2

R2⇒ w =

n2

MR2(3.48)

48

O espectro para este sistema (cf. Apendice B) e dado por4

M2 = M(p2 + w2) +1

α′ (NB − 1) = M

(( n1

R1

)2

+( n2

R2

)2)+

1

α′ (NB − 1), (3.49)

Cabe-nos, agora, encontrar o sistema T-dual a esta D2-brana neste toro. Primeiramente,

dualizamos apenas a direcaoX2. Depois, dualizaremos tambemX1.

3.2.3 Uma prescricao para a dualizacao deX2

Da nossa experiˆencia com as cordas fechadas e a corda aberta livre, e natural cogitarmos

aplicar a transformacao (3.35) sobre (3.42), ou, o que e equivalente, definirX2 pelas suas

derivadas:

∂σX2(τ, σ) := ∂τX2(τ, σ) (3.50)

∂τ X2(τ, σ) := ∂σX2(τ, σ) (3.51)

Isso nos basta para construir a expansao deX2(τ, σ):

X2(τ, σ) =1

π(x2 + Bpτ + wσ +

iB

nα−

n cos nσ +1

nβ+

n sin nσ) (3.52)

Da mesma forma que em (3.32), construiremos nossa acaoSB[X1, X2] simplesmente tro-

candoX2(τ, σ) por X2(τ, σ):

SB :=1

2

∫d2σ (X1)2 − (X ′1)2 + ( ˙X2)2 − (X ′2)2 + 2B(X1X ′2 − X ′1 ˙X2) (3.53)

Os momentos, portanto, sao

P 1(τ, σ) =1

π[(p + Bw) + (α+

n + Bβ+n ) cos nσ + iB(β−

n − Bα−n ) sin nσ] (3.54)

P 2(τ, σ) =1

π[B(p + Bw) + B(α+

n + Bβ+n ) cos nσ − i(β−

n − Bα−n ) sin nσ]. (3.55)

4Nao confundir o operador massa ao quadradoM2 com o parametroM ≡ 1 + B2.

49

As condicoes de contorno satisfeitas porX1(τ, σ) e X2(τ, σ) sao

X ′1 + BX ′2 |σ=0,π = 0

˙X2 − BX1 |σ=0,π = 0(3.56)

diferindo de (3.40) apenas em que as derivadas emτ eσ deX2 sao trocadas entre si.

Podemos notar que, se definirmos

Y 1 ≡ 1√M

(X1 + BX2) (3.57)

Y 2 ≡ 1√M

(X2 − BX1), (3.58)

teremos

∂σY 1|σ=0,π = 0

∂τY2|σ=0,π = 0

, (3.59)

ou seja, teremos uma D1-brana, estendida na direcaoY 1 e transversal aY 2. As direcoesY 1, Y 2

relacionam-se aX1,X2 por uma rotacao de um anguloϕ = tan−1 B.

Figura 3.5:

ComoX1 nao foi alterada, ainda e uma dimensao compactificada. Supondo queX2 tambem

e compactificada, temos uma D1-brana cingindo um toro dualT 2(R1, R2) (cf. Fig.3.6.).

Na Fig.3.6., a D1-brana d´a um numero inteiro de voltas no toro, tornando a coordenada

Y 1 periodica (compactificada). Isso, em princ´ıpio, nao e necessariamente verdade. Veremos,

50

entretanto, que a condicao de quantizacao do fluxoΦB, (3.46), garante essa situacao.

Y 2, sendo uma direcao perpendicular a brana, e necessariamente compactificada. Sen˜ao,

vejamos: seja uma corda com as pontas presas a D-brana, e que possui winding numberm = 1

na direcaoX2, cf. Fig.3.7. Note-se que ambas as pontas possuem mesma coordenadaY 2,

Y 2(0) = Y 2(π) = 0. Supondo que a corda tenha tamanho finito, e facil ver que, para que isso

seja possıvel,Y 2 tem de ser compactificada.

Figura 3.6: D1-brana circundando o toroT 2(R1, R2). O angulo entre a brana e a direcaoX1 eϕ.

Figura 3.7: Esquema do toro dual planificado, mostrando a compactificacao deY 2.

Da Fig.3.7., vemos que

RY 2 = R2 cos ϕ =R2√M

(3.60)

51

Isso sera util para determinarmos o raio dualR2, como veremos adiante.

Para a hamiltoniana, temos

H =

∫d2σ P · X − L

=1

2

∫d2σ(X1)2 + (X ′1)2 + ( ˙X2)2 + (X ′2)2

=1

2

∫d2σ(X1)2 + (X ′1)2 + (X ′2)2 + (X2)2

= H (3.61)

Portanto, nossa transformacao preserva a hamiltoniana. O espectro tambem e preservado

(cf. Apendice B). Podemos ver que, na verdade, as teorias paraX2 e X2 diferem apenas em

suas condicoes de contorno, e nos referiremos a essa forma de dualizar como dualizacao por

condicoes de contorno.

3.2.4 Uma outra dualizacao

Podemos encontrar na literatura [4, 16, 17] uma acao dual distinta da nossa. Ela e con-

struıda por meio de um campo auxiliar e um multiplicador de Lagrange. Discutimos agora essa

dualizacao.

Seja um espaco com campo de fundoBµν (Aµ = 0) onde a direcaoXk e compactificada.

Seja

Vα := ∂αXk. (3.62)

Entao a acao (1.13) e

S =1

2

∫d2σ

√−hhαβ(gkkVαVβ + 2gkµVα∂βXµ + gµν∂αXµ∂βXν)

+εαβ(2BkµVα∂βXµ + Bµν∂αXµ∂βXν) (3.63)

52

De (3.62), temosεαβ∂βVα = 0. Assim, podemos incluir um multiplicador de Lagrange,

S =1

2

∫d2σ

√−hhαβ(gkkVαVβ + 2gkµVα∂βXµ + gµν∂αXµ∂βXν)

+εαβ(2BkµVα∂βXµ + Bµν∂αXµ∂βXν) + 2Xkεαβ∂αVβ (3.64)

Variando a acao em relacao aVα, encontramos a equacao de movimento

Vα =1

gkk

εβα(Bµk∂βXµ − ∂βXk). (3.65)

ondeεβα ≡ hαρε

ρβ =

0 1

1 0

.

EliminandoVα da acao, encontramos

S =1

2

∫d2σ

√−hhαβ(gkk∂αXk∂βXk + 2gkµ∂αXk∂βXµ + gµν∂αXµ∂βXν)

+εαβ(2Bkµ∂αXk∂βXµ + Bµν∂αXµ∂βXν) (3.66)

onde

gkk =1

gkk, gkµ = gµk =

Bkµ

gkk, gµν = gµν +

BkµBkν − gkµgkν

gkk,

Bkµ = −Bµk =gkµ

gkk

, Bµν = Bµν +gkµBkν − Bkµgkν

gkk

(3.67)

Nesta abordagem, trata-seXk como o dual deXk. E uma abordagem em que tambem os

campos sofrem dualizacao.

Para o nosso caso, temosk = 2 e

g22 = 1, g21 = −B, g11 = M, B21 = 0

e a acao fica

SS[X1, X2S] =

1

2

∫d2σ M((X1)2−(X ′1)2)+( ˙X2

S)2−(X ′2S )2−2B(X1 ˙X2

S−X ′1X ′2S ). (3.68)

53

onde passaremos a denotar a coordenada dual nesta acao porX2S. VariandoSS, obtemos as

equacoes de movimento e o termo de superfıcie:

X ′′i − X i = 0, i = 1, 2 (3.69)

δS(sup.)S =

∫dσ ∂σ

((MX ′1 − BX ′2

S )δX1 + (−X ′2S + BX ′1)δX2

S

)(3.70)

Uma escolha de condicoes de contorno que anula o termo de superfıcie e

δX2S|σ=0,π = 0 → ˙X2

S = 0

MX ′1 − BX ′2S |σ=0,π = 0

(3.71)

De (3.62) e (3.65), sai

X2S = −X2

B + BX1 (3.72)

ondeX2B := X2 = XL − XR e a coordenada dual definida na secao anterior. Substituindo

(3.72) em (3.71), obtemos

˙X2B − BX1|σ=0,π = 0

X ′1 + BX ′2B |σ=0,π = 0

, (3.73)

identicas a (3.56). Comparando (3.72) com as coordenadasY i, vemos que

X2S = −

√M Y 2, (3.74)

sendo, pois, uma combinacao linear deX1 e X2.

No entanto, as acoesSS e SB nao sao equivalentes. Sen˜ao, vejamos:

SS[X1, X2B] =

1

2

∫dσ M((X1)2 − (X ′1)2) + (− ˙X2

B + BX1)2 − (−X ′2B + BX ′1)2

−2BX1(− ˙X2B + BX1) + 2BX ′1(−X ′2

B + BX ′1)

=1

2

∫dσ (X1)2 − (X ′1)2 + ( ˙X2

B)2 − (X ′2B )2

6= SB[X1, X2B]

54

Seguem as expansões dos campos que satisfazem (3.69) e (3.71):

X1S(τ, σ) = xS + pSτ +

B

MwSσ +

i

nαn

−S cos nσ +

B

Mnβn

+S sin nσ (3.75)

X2S(τ, σ) = qS + wSσ +

1

nβn

+S sin nσ (3.76)

IgualandoX1S = X1 (o que e razoável, ja que a dualizacao se dá apenas emX2), obtemos

X1(τ, σ) =1

π(x + pτ − Bwσ +

i

nα−

n cos nσ − B

nβ+

n sin nσ) (3.77)

X2S(τ, σ) =

1

π(q − Mwσ − M

nβ+

n sin nσ) (3.78)

Prosseguimos para os momentos e a hamiltoniana5:

P 1S(τ, σ) = MX1 − B ˙X2

S =M

π(p + α+

n cos nσ) (3.79)

P 2S(τ, σ) = ˙X2

S − BX1 = − 1

π(Bp + Bα+

n cos nσ − iβ−n sin nσ) (3.80)

HS =

∫dσ P 1

S(τ, σ)X1(τ, σ) + P 2S(τ, σ) ˙X2

S(τ, σ) − LS

=1

2

∫dσ M((X1)2 + (X ′1)2) + ( ˙X2

S)2 + (X ′2S )2

−2B(X1 ˙X2S + X ′1X ′2

S )

=M

2π(p2 + w2 + 2αnαn + 2βnβn)

= HB = H (3.81)

O espectro aqui, assim como na dualizacao por condicoes de contorno, e preservado (cf.

Apendice B).

Raios

5Note-se queP 1S = P 1

55

Determinemos, agora, os raios de compactificacao paraX2S e X2

B. Como X2S obedece

condicao de Dirichlet, esta direcao e perpendicular a D1-brana, e, conforme vimos na secao

anterior, essa dimensao e compactificada. Assim, uma corda presa a D1-brana possuiwinding

nesta direcao:X2S(π) − X2

S(0) = 2πmRS. Substituindo a expans˜ao (3.78), sai

w = mRS

α′M

Aplicando (3.48), obtemosRS = α′

R2. Se agora levarmos em conta as relacoes (3.74) entre

X2S eY 2 e (3.60) entreRY 2 e R2, chegamos a

RS = R2 =α′

R2

. (3.82)

O raio se inverte! Argumentando que a dualidade T e uma simetria da teoria, temos aqui

uma consequencia muito interessante: existe um raio de compactificacao mınimo. Qualquer

raio R menor que esse raio crıticoRc =√

α′ ∼ lS sempre pode ser relacionado com um raio

R > Rc usando dualidade T.

Resgatemos a expressao (3.46) para o fluxo deB:

ΦB = B(2πR1)(2πR2) = 2πn

m

Introduzindo o resultado acima paraR2, (3.82), obtemos

BR1

R2

=n

m⇒ tan ϕ =

n

m

R2

R1

(3.83)

o que significa que a D1-brana d´a n voltas inteiras emX2B para cadam voltas inteiras emX1

no toro dual, justificando a Fig.3.6.

56

Comparando as prescricoes

Vemos, pois, que os dois esquemas de dualizacao apresentados aqui sao semelhantes em

varios aspectos, o que nos encoraja a considerá-los como modelos igualmente validos, ape-

sar de essencialmente diferentes. Como ambas as versoes comportam a mesma hamiltoniana,

as mesmas condicoes de contorno, e a mesma topologia, então ambas descrevem (ou podem

descrever) o mesmo sistema fısico, e representam a mesma dualidade da teoria de cordas.

A dualizacao por condicoes de contorno apresenta problemas, no entanto. Ela não nos diz

que acao usar. Nosso ansatz (3.53) para a acao dual parece razoável, mas nao mantem o mo-

mentoP 1(τ, σ) invariante, como faz a acao (3.68) na dualizacao por multiplicador de Lagrange.

Com efeito, os momentos totais definidos a partir de (3.53) sao problematicos, introduzindo

vınculos estranhos quando tentamos discretizá-los. Sem embargo, podemos confiar pelo menos

nos resultados cujos cálculos nao dependem dos momentos, como a invariância da hamiltoni-

ana e do espectro, o cálculo do raio, e, especialmente, a relacao de comutacao entreX1(τ, σ) e

X2(τ, σ).

3.2.5 DualizandoX1 eX2

Como a dualidade T e uma simetria de cordas em espacos compactificados, podemos tam-

bem ver o que acontece quando, além deX2, dualiza-se tambemX1.

Desenvolveremos a dualizacao pelo metodo apresentado na secao 3.2.3, e referiremos o

resultado obtido seguindo o processo de dualizacao da secao 3.2.4.

Dualizacao por derivadas

57

De acordo com o metodo de dualizacao da secao 3.2.3, temos as seguintes definicoes:

˙X1 := X ′1

X ′1 := X1

X1(τ, σ) =1


i

nα−

n cos nσ − B

nβ+

n sin nσ)

⇓

X1(τ, σ) =1

π(x1 − Bwτ + pσ − i

B

nβ−

n cos nσ +1

nα+

n sin nσ) (3.84)

Quanto aX2(τ, σ), ja o temos:

X2(τ, σ) =1

π(x2 + Bpτ + wσ + i

B

nα−

n cos nσ +1

nβ+

n sin nσ) (3.85)

O ansatz para a nova acao e an´alogo ao ja usado na secao 3.2.3, de modo que os momentos

sao

P 1(τ, σ) = ˙X1(τ, σ) + BX ′2(τ, σ) = −iM

πα−

n sin nσ (3.86)

P 2(τ, σ) = ˙X2(τ, σ) − BX ′1(τ, σ) = −iM

πβ−

n sin nσ (3.87)

Agora, para as condicoes de contorno: podemos obte-las de dois modos. O primeiro, muito

simples, e pelo mapa entre as derivadas. O segundo e pelo mapa entre as coordenadas, que se

obtem comparando as expansoes (3.84) e (3.85) com (1.36) e (1.37):

B → B = − 1

B

X1(B, τ, σ) → X1(B, τ, σ) =1

BX2(B, τ, σ)

X2(B, τ, σ) → X2(B, τ, σ) = − 1

BX1(B, τ, σ) (3.88)

58

Com ambos, chega-se a

X ′1 + BX2|σ=0,π = 0

X ′2 − BX1|σ=0,π = 0→

˙X1 + BX ′2|σ=0,π = 0

˙X2 − BX ′1|σ=0,π = 0(3.89)

que se pode reescrever

X ′2 + 1B

˙X1|σ=0,π = 0

X ′1 − 1B

˙X2|σ=0,π = 0(3.90)

Pode-se usar o mapa (3.88) ou as c.c. (3.90) para antecipar a relacao de comutacao

(X1(σ), X2(σ′)) (cf. Cap.4).

Uma pergunta que logo assoma e: em que tipo de estrutura de branas vivem as cordas aqui?

Pode-se argumentar que, dada a similaridade entre as condicoes de contorno (3.90) e (3.40),

e dado o mapa (3.88), tratar-se-ia de uma D2-brana combackground, como no caso “primal”.

Entretanto, outra interpretacao tambem e possıvel.

No caso primal, a idéia de que se tratava de uma D2-brana combackgroundvinha do fato de

que as c.c. satisfeitas porX1 eX2 sao do tipo Neumann no limiteB → 0. Aqui, as c.c. deX1

e X2 no limite de campo nulo sao do tipo Dirichlet. Portanto, pelo mesmo racioc´ınio, deduz-se

que aqui temos D0-branas.E claro que para D0-branas estaticas comuns não ha qualquer tipo

de movimento das pontas da corda, de modo que as c.c. seriam irremediavelmente de Dirichlet.

Assim, nao pode ser uma estrutura ordinária de D0-branas estáticas. Fala-se em D0-branas

dissolvidasnuma D2-brana (Fig.3.8) [1, 24, 31].

Portanto, temos uma ambiguidade na estrutura de brana do nosso sistema bi-dualizado.

Ele tanto pode ser encarado como uma D2-brana combackgroundquanto como D0-branas

dissolvidas numa D2-brana. Tal ambiguidade poe em questao o caráter fısico da estrutura de

brana de uma teoria.

Dualizacao por multiplicador de Lagrange

Citaremos o resultado obtido por esta dualizacao (que pode ser encontrado em [12]): con-

59

Figura 3.8: (A) sistema inicial: D2-brana combackground; (B) dualizacao deX2: D1-branainclinada; (C) e (D) dualizacao deX1: D0-branas dissolvidas numa D2-brana, ou uma D2-branacombackgroundB = − 1

B.

sidere compactificacao emT 2 com um campoB de Kalb-Rammond constante. Sob dualizacao

simultanea de todas as coordenadas, a combinacaoFij = (G − B)ij inverte-se, ondeG e a

metrica expressa em unidades da corda (cf. Apêndice D).

Portanto, para o toro dual, e

F = G − B =1

R21R

22 + B2

R22 B

−B R21

Aqui, nota-se que so ha inversão dos raios no limiteB → 0. Fora desse regime, coisas

interessantes podem acontecer. Por exemplo, se um dos raios e pequeno (de modo queR21R

22 �

B2), temos efetivamente uma troca entreR1 eR2. Pois se, e.g.,R2 ' 0, teremos (cf. Apêndice

D)

G11 = R21 ∼

R22

B2G22 = R2

2 ∼ R21

B2,

dondeR1 ∼ R2/B e R2 ∼ R1/B. Para mais comentarios sobre isso, ver [39].

Capıtulo 4

Quantizacao do Sistema Dual

O objetivo deste cap´ıtulo e aplicar os mecanismos de quantizacao usados no Cap´ıtulo 2 as

teorias duais apresentados no Cap´ıtulo 3. Desejamos verificar se as relacoes de comutacao e,

em particular, o car´ater nao-comutativo do espaco, se preservam sob a dualidade T.

4.1 Dualizacao por condicoes de contorno

Nesta secao, quantizaremos o sistema exposto na subsecao 3.2.3, que constr´oi a coordenada

dual a partir de suas derivadas. Como no Cap´ıtulo 2, implementaremos o metodo de quantizacao

por equacao de Heisenberg, e, em seguida, o de Dirac.

4.1.1 Quantizacao via equacao de Heisenberg

Eis as expansoes:

X1(τ, σ) = x1 + pτ − Bwσ +i

nα−

n cos nσ − B

nβ+

n sin nσ (4.1)

X2B(τ, σ) = x2 + Bpτ + wσ +

iB

nα−

n cos nσ +1

nβ+

n sin nσ (4.2)

P 1B(τ.σ) = (p + Bw) + (α+

n + Bβ+n ) cos nσ + iB(β−

n − Bα−n ) sin nσ (4.3)

P 2B(τ.σ) = B(p + Bw) + B(α+

n + Bβ+n ) cosnσ − i(β−

n − Bα−n ) sin nσ. (4.4)

60

61

Como as novas coordenadas e momentos,X2B(τ, σ), P 1

B(τ.σ), P 2B(τ.σ), sao expressas em

termos dos mesmos modos do sistema “primal”, n˜ao precisamos recalcular todos os comuta-

dores. O unico novo termo ex2. Aplicando a equacao de Heisenberg emX2B(τ, σ), obtemos

(x2, w) =B

πM.

Com isso, podemos calcular os comutadores dos operadores duais:

(X1(τ, σ), X2B(τ, σ′)) = (x1, x2) + (p, x2)τ + (x1, p)Bτ

= (x1, x2) (4.5)

(X1(τ, σ), P 1B(τ, σ′)) = (x1, p) +

i

n(α−

n , α+n ) cos nσ cos nσ′

− iB2

n(β+

n , β−n ) sin nσ sin nσ′

=1

πM[(1 + 2 cos nσ cos nσ′) + 2B2 sin nσ sin nσ′]

=1

M(δN(σ − σ′) + B2δD(σ − σ′)) (4.6)

(X1(τ, σ), P 2B(τ, σ′)) = B(x1, p) +

iB

n(α−


+iB

n(β+


=B

πM[(1 + 2 cosnσ cos nσ′) − 2 sinnσ sin nσ′]

=1

M(δN (σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.7)

(X2B(τ, σ), P 1

B(τ, σ′)) = (x2, p) +iB

n(α−


+iB

n(β+

n , β−n )sin(nσ)sin(nσ′)

=B

πM[(1 + 2 cos nσ cos nσ′) − 2sin(nσ)sin(nσ′)]

=1

M(δN(σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.8)

62

(X2B(τ, σ), P 2

B(τ, σ′)) = B(x2, p) +iB2

n(α−


− i

n(β+


=1

πM[B2(1 + 2 cosnσ cos nσ′) + 2 sin nσ sin nσ′]

=1

M(B2δN (σ − σ′) + δD(σ − σ′)) (4.9)

(P 1B(τ, σ), P 2

B(τ, σ′)) = iB[(α+n , α−

n ) − (β+n , β−

n )] cos nσ cos nσ′

+iB2[(β−n , β+

n ) − (α−n , α+

n )] sin nσ sin nσ′

= 0 (4.10)

Reescrevemos esses comutadores abaixo, destacando seu comportamento dıspar entre obulk

e as pontas:

(X1(τ, σ), X2B(τ, σ′)) = (x1, x2) (4.11)

(X1(τ, σ), P 1B(τ, σ′)) =

δ(σ − σ′), bulk

1M

δN(σ − σ′), pontas(4.12)

(X1(τ, σ), P 2B(τ, σ′)) = (X2

B(τ, σ), P 1B(τ, σ′)) =

0, bulk

BM

δN(σ − σ′), pontas(4.13)

(X2B(τ, σ), P 2

B(τ, σ′)) =

δ(σ − σ′), bulk

B2

MδN(σ − σ′), pontas

(4.14)

(P 1B(τ, σ), P 2

B(τ, σ′)) = 0. (4.15)

O comutador(X1(τ, σ), X2B(τ, σ′)) e constante sobre toda a corda. Esta constante não pode

ser determinada por este metodo, a não ser por consideracoes fısicas: uma vez que o campo

interage com a corda apenas na brana, não esperamos encontrar não-comutatividade nobulk.

Assim,escolhemos (x1, x2) = 0, e, com isso, temoscomutatividade para este sistema.

Novamente, observamos que a discrepância entre as relacoes de comutacao para o caso com

campo e aquelas para o caso livre existe apenas nas pontas da corda. Nota-se que no limite

63

B = 0 os comutadores reduzem-se aos do caso Neumann paraX1 e Dirichlet paraX2B, como e

de se esperar.

4.1.2 Quantizacao via metodo de Dirac

As condicoes de contorno escritas em termos deX i eP i,

φ(0)1 = ∂σX1 + B∂σX2|σ=0,π

φ(0)2 = P 2 − BP 1|σ=0,π

dao origem a cadeia de vınculos

φ(m)1 =

∂(m+1)(X1 + BX2)|σ=0,π, m par

∂(m)(P 1 + BP 2)|σ=0,π, m impar(4.16)

φ(n)2 =

∂(n)(P 2 − BP 1)|σ=0,π, n par

∂(n+1)(X2 − BX1)|σ=0,π, n impar(4.17)

Para a matriz C, temos:

C11mn =

M∫

dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂

(n)σ′ δ(σ − σ′), m par, n impar

0, outros casos

C22mn =

−M∫

dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(m)σ ∂

(n+1)σ′ δ(σ − σ′), m par, n impar

0, outros casos

Assim,C11 eC22 sao produtos diretos de matrizes, do tipo

C11 = M

0 1

−1 0

︸︷︷︸

⊗ N C22 = M

0 −1

1 0

⊗ N

A

64

sendo que

C11mn = M(−1)n∂(m+n+1)

σ δ(0) = M(−1)m+2n+1(m + n + 1)! limσ→0

δ(σ)

σm+n+1, m par

n impar

C22mn = −M(−1)n+1∂(m+n+1)

σ δ(0) = M(−1)n∂(m+n+1)σ δ(0), m par

n impar= C11

mn

Assim,

Cij(2m′−2)(2n′−1) = δijA01Nm′n′ (4.18)

comNm′n′ = − 1√π(2(m′ + n′) − 2)! lim

ε,σ→0

1

ε σ2(m′+n′)−2= fm′n′ lim

ε,σ→0

1

ε σ2(m′+n′)−2.

C = M

0 12×2

−12×2 0

⊗ N C−1 =

1

M

0 −12×2

12×2 0

⊗ N−1

N−1m′n′ = εf−1

m′n′ limσ→0

σ2(m′+n′)−2 (4.19)

(C−1)ij(2m′−2)(2n′−1) = −δij

Mεf−1

m′n′ limσ→0

σ2(m′+n′)−2 (4.20)

Os comutadores entre as coorenadas e os vınculos seguem-se:

(X1(σ), φ(m)1) =

0, m par∫

dσ′δ(σ′)∂(m)σ′ δ(σ − σ′) = m!δ(σ) lim 1

σm , m impar(4.21)

(X2(σ), φ(m)1) = B(X1(σ), φ(m)1) (4.22)

(X2(σ), φ(m)2) =

∫dσ′δ(σ′)∂

(m)σ′ δ(σ − σ′) = m!δ(σ) lim 1

σm , m par

0, m impar(4.23)

(X1(σ), φ(m)2) = −B(X2(σ), φ(m)2) (4.24)

65

(P 1(σ), φ(n)1) =

−∫

dσ′δ(σ′)∂(n+1)σ′ δ(σ − σ′) = (n + 1)!δ(σ) lim 1

σ(n+1) , n par

0, n impar(4.25)

(P 2(σ), φ(n)1) = B(P 1(σ), φ(n)1) (4.26)

(P 2(σ), φ(n)2) =

0, n par

(n + 1)!δ(σ) lim 1σ(n+1) , n impar

(4.27)

(P 1(σ), φ(n)2) = −B(P 2(σ), φ(n)2) (4.28)

Os comutadores de Dirac, neste caso, sao

(X1(σ), P 1(σ′))∗ = δ(σ − σ′) − (X1(σ), φ(2m′−1)1(C−1)11(2m′−1)(2n′−2)(φ

(2n′−2)1, P 1(σ′))

−(X1(σ), φ(2m′−2)2(C−1)22(2m′−2)(2n′−1)(φ

(2n′−1)2, P 1(σ′))

= δ(σ − σ′) +ε

Mδ(σ)δ(σ′)(h − B2h), (4.29)

ondeh :=∑

(2m′ − 1)!(2n′ − 1)!f−1m′n′ , h :=

∑(2m′ − 2)!(2n′)!f−1

m′n′.

(X2(σ), P 2(σ′))∗ = δ(σ − σ′) +ε

Mδ(σ)δ(σ′)(B2h − h) (4.30)

(X1(σ), P 2(σ′))∗ = (X2(σ), P 1(σ′))∗ =ε

Mδ(σ)δ(σ′)B(h + h) (4.31)

(X i(σ), Xj(σ′))∗ = −(X i(σ), φ(m)k)(C−1)klmn(φ(n)l, Xj(σ′)) (4.32)

De (4.20), vemos que o elemento de matriz(C−1)ijmn e nao-nulo apenas sei = j e se a

paridade dem e oposta a den. Se impusermos isso em (4.32) e considerarmos (4.21) a (4.24),

vemos que(X i(σ), Xj(σ′))∗ = 0. (o comutador entre os momentos se anula pelo mesmo

motivo). Temos, portanto, que o espaco dual ecomutativo!

Podemos, em face da dificuldade de calcularh e h, deduzi-los a partir dos resultados con-

66

hecidos no limiteB = 0. Neste caso, temos

(X1(σ), P 1(σ′))∗ = δN (σ − σ′) = δ(σ − σ′) +√

πεδ(σ)δ(σ′) (4.33)

(X2(σ), P 2(σ′))∗ = δD(σ − σ′) = δ(σ − σ′) −√

πεδ(σ)δ(σ′) (4.34)

Impoe-se isso em (4.29) e (4.30), e conclui-se queh = h =√

π. Substituindo, obtemos

(X1(σ), P 1(σ′))∗ = δ(σ − σ′) +(1 − B2)

M


=1 + B2

Mδ(σ − σ′) +

(1 − B2)

M


=1

M(δN(σ − σ′) + B2δD(σ − σ′)) (4.35)

(X2(σ), P 2(σ′))∗ = δ(σ − σ′) − (1 − B2)

M


=1

M(B2δN (σ − σ′) + δD(σ − σ′)) (4.36)

(X1(σ), P 2(σ′))∗ = (X2(σ), P 1(σ′))∗ = 2B

M


=B

M(δN(σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.37)

(X1(σ), X2(σ′))∗ = (P 1(σ), P 2(σ′))∗ = 0. (4.38)

Comparando com (4.5)-(4.10), observamos a consistencia entre estes resultados e aqueles

obtidos pelo metodo da expans˜ao.

4.2 Dualizacao por multiplicador de Lagrange

Nesta secao, quantizamos o sistema mostrado na subsecao 3.2.4. Usaremos o metodo da

equacao de Heisenberg, mas o resultado e previsıvel, uma vez que os camposXS(τ, σ) e

67

PS(τ, σ) relacionam-se aX(τ, σ) eP (τ, σ) pelo seguinte:

X2S = −X2

B + BX1 (4.39)

P 1S = X1 + B ˙X2

B = X1 + BX ′2 = P 1 (4.40)

P 2S = − ˙X2

B = −P 2B − BX ′1 (4.41)

Retomemos as expansoes (3.77)-(3.80):

X1(τ, σ) =1

π(x + pτ − Bwσ +

i

nα−

n cos nσ − B

nβ+

n sin nσ) (4.42)

X2S(τ, σ) =

1

π(q − Mwσ − M

nβ+

n sin nσ) (4.43)

P 1S(τ, σ) =

M

π(p + α+

n cos nσ) (4.44)

P 2S(τ, σ) = − 1

π(Bp + Bα+

n cos nσ − iβ−n sin nσ) (4.45)

H =M

2π(p2 + w2 + 2αnαn + 2βnβn) (4.46)

Aplicando as equacoes de Heisenberg, temos os resultados de antes1

(x, p) =π

M(αm, αn) = (βm, βn) = − inπ

Mδmn

mais

(q, ...) = 0

1I.e., os mesmos do Capıtulo 2, corrigidos para a nova notacao para a expansao das coordenadas e momentos.

68

As relacoes de comutacao, portanto, sao

(X1(σ), X2S(σ′)) = (x, q) = 0 (4.47)

(X1(σ), P 1S(σ′)) = δN (σ − σ′) (4.48)

(X2S(σ), P 2

S(σ′)) = δD(σ − σ′) (4.49)

(X1(σ), P 2S(σ′)) = − B

M(δN(σ − σ′) − δD(σ − σ′)) (4.50)

(X2S(σ), P 1

S(σ′)) = 0 (4.51)

(P 1S(σ), P 2

S(σ′)) = 0 (4.52)

que estão em sintonia com as relacoes (4.39), (4.40) e (4.41). Apesar de os comutadores não

serem identicos aos obtidos na secao 4.1 (comentarios sobre o significado f´ısico dos comuta-

dores sao feitos nas Conclusões), e de se notar que aqui, tambem, a nao-comutatividade desa-

parece.

4.3 Dualizacao deX1 eX2

Aplicando o procedimento de quantizacao via equacao de Heisenberg, obtem-se

(P 1(σ), P 2(σ′)) = 0 (4.53)

(X i(σ), P j(σ′)) = δijδD(σ − σ′), para σ, σ′ ∈ [0, π] (4.54)

(X1(σ), X2(σ′)) =

BM

, ponta 0

− BM

, ponta π

0, bulk

(4.55)

Ou seja, recupera-se a não-comutatividade que havia para a D2-brana com campoB. Isso

ja era esperado, uma vez que estas coordenadas satisfazem condicoes de contorno mistas, como

as da D2-brana combackground. Nao se deve pensar, entretanto, que as relacoes de comutativi-

dade se preservam: não so os comutadores entre as coordenadas e os momentos alteraram-se

(cf.(2.13)), como(X1(σ), X2(σ′)) tem sinal inverso ao de(X1(σ), X2(σ′)) (cf.(2.14)).

Apendice A

Metodo de quantizacao de Dirac para a

corda livre num espaco 1-d

Para a corda livre, o v´ınculo primario e a condicao de contorno de Neumann:

φ(0) = ∂(1)X(σ) |σ=0,π (A.1)

Calculemos a derivada temporal deste v´ınculo:

φ(0) = (φ(0), H) =1

2

∫ ∞

−∞dσ

∫ π

0

dσ′ δ(σ) ∂(1)σ (X(σ), (P (σ′))2)

=

∫dσdσ′ δ(σ) ∂(1)

σ δ(σ − σ′)P (σ′)

= −∫

dσ ∂(1)σ δ(σ)

∫dσ′ δ(σ − σ′)P (σ′)

= ∂(1)σ P (σ) |σ=0

(a pontaπ produz resultado semelhante). Comoφ(0) = 0 deve valer para todos os tempos, sua

derivada deve se anular. Assim, obtemos um novo v´ınculo,φ(1) := ∂(1)σ P (σ) |σ=0.

Devemos, agora, aplicar esta mesma verificacao de consistencia ao novo v´ınculo:

φ(1) = (φ(1), H) + λ0(φ(1), φ(0))

69

70

ondeλ0 e um multiplicador de Lagrange (uma vez estabelecidos v´ınculos no sistema, a hamil-

toniana fica definida a menos de termos do tipoλmφ(m)). A partir daqui, podem resultar 2

situacoes:

1) (φ(1), φ(0)) < ∞. Neste caso, obtem-se uma equacao paraλ0, e a serie de vınculos e

interrompida;

2) (φ(1), φ(0)) = 0 ou → ∞. Aqui, λ0 fica indefinido (ou e nulo), e nao e capaz de truncar a

serie de vınculos. Neste caso, o surgimento de novos v´ınculos depende de se(φ(1), H) se anula

trivialmente ou n˜ao.

No caso em questao, temos(φ(1), φ(0)) → ∞:

(φ(1), φ(0)) = −∫

dσdσ′ δ(σ)δ(σ′) ∂(1)σ ∂

(1)σ′ δ(σ′ − σ) (A.2)

Isso forcaλ0 = 0. Procedendo com a verificacao de consistencia deφ(1),

φ(1) = (φ(1), H) =1

2

∫dσdσ′ δ(σ) ∂(1)

σ (P (σ), (∂(1)σ′ X(σ′))2)

= −∫

dσdσ′ δ(σ) ∂(1)σ ∂

(1)σ′ δ(σ − σ′)∂

(1)σ′ X(σ′)

= −∫

dσ ∂(1)σ δ(σ)

∫dσ′ δ(σ − σ′)∂

(2)σ′ X(σ′)

= ∂(3)σ X(σ) |σ=0

Temos, portanto, um novo vınculo,φ(2) := ∂(3)σ X(σ) |σ=0. Aplicando mais uma vez a

verificacao de consistencia, temos

φ(2) = (φ(2), H) + λ1(φ(2), φ(1)).

Mais uma vez,(φ(2), φ(1)) → ∞, de modo que e

φ(2) = (φ(2), H) =

∫dσdσ′ δ(σ) ∂(3)

σ δ(σ − σ′)P (σ′)

= −∫

dσ ∂(3)σ δ(σ)

∫dσ′ δ(σ − σ′)P (σ′)

= ∂(3)σ P (σ) |σ=0

71

e assim temosφ(3) := ∂(3)σ P (σ) |σ=0.

Prosseguindo com esse processo, obtemos uma cadeia infinita:

φ(m) =

∂(m+1)σ X(σ) |σ=0, m par

∂(m)σ P (σ) |σ=0, m impar

(A.3)

Os calculos est˜ao sendo feitos explicitamente para a ponta0, mas e facil ver que os resulta-

dos valem igualmente para a pontaπ.

Assim, a matriz antissimetrica C e dada por

Cmn =

0, m par e n par

0, m impar e n impar∫

dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(m+1)σ ∂

(n)σ′ (X(σ), P (σ′)), m par e n impar

(A.4)

Trabalhemos o elemento n˜ao-nulo da matriz. Sejamm := 2m′ − 2 en := 2n′ − 1.

C(2m′−2)(2n′−1) =

∫dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(2m′−1)

σ ∂(2n′−1)σ′ δ(σ − σ′)

= (−1)2n′−1

∫dσdσ′ δ(σ)δ(σ′)∂(2(m′+n′−1))

σ δ(σ − σ′)

= (−1)2m′+4n′−3

∫dσ ∂(2(m′+n′−1))

σ δ(σ)

∫dσ′ δ(σ′)δ(σ − σ′)

= −∂(2(m′+n′−1))σ δ(σ) |σ=0 (A.5)

Podemos, portanto, escreverCmn como um produto direto de matrizes:

C = A ⊗ N,

comA =

0 1

−1 0

e Nmn = −∂

(2(m+n−1))σ δ(σ) |σ=0, m, n = 1, 2, 3, ... . Usando a relacao

[29]

xn∂(n)δ(x) = (−1)nn!δ(x) (A.6)

72

e a regularizacao da funcao delta,

δ(x) = limε→0

1

ε√

πe−

x2

ε2 , (A.7)

reescrevemosNmn

Nmn = −(−1)2(m+n−1)(2(m + n − 1))! limσ→0

δ(σ)

σ2(m+n−1)

= −(2(m + n − 1))!√π

limε→0

limσ→0

1

ε

1

σ2(m+n−1)e−

σ2

ε2

= fmn limε,σ→0

1

ε σ2(m+n−1),

comfmn = fnm (N, pois, e uma matriz simetrica).

Para a inversa de C, temos

C−1 = A−1 ⊗ N−1

. De modo que

C−1(2m′−2)(2n′−1) = −N−1

m′n′ (A.8)

C−1(2m′−1)(2n′−2) = N−1

m′n′ (A.9)

A inversa de N e dada por

N−1mn = f−1

mn limε,σ→0

ε σ2(m+n−1),

pois

NmpN−1pn = fmnf−1

pn limσ→0

σ2(n−m)

= δmn limσ→0

σ2(n−m)

= δmn.

Para calcularmos os comutadores de Dirac (2.23), ainda precisamos calcular(X(σ), φ(m))

73

e (P (σ), φ(m)).

(X(σ), φ(m)) =

0, m par∫

dσ′δ(σ′)∂(m)σ′ δ(σ − σ′), m impar

(P (σ′), φ(m)) =

−∫

dσ′′δ(σ′′)∂(m+1)σ′′ δ(σ′′ − σ′), m par

0, m impar

Usando algebra semelhante a aplicada no c´alculo da matriz C, temos

(X(σ), φ(m)) = (−1)m∂(m)σ δ(σ) = m!

δ(σ)

σm

= m!δ(σ) limσ→0

1

σm, m impar

(P (σ′), φ(n)) = −(n + 1)!δ(σ′) limσ→0

1

σn+1, n par

Finalmente, podemos escrever os comutadores de Dirac:

(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) − (X(σ), φ(m))C−1mn(φ(n), P (σ′)).

Este ultimo termo e

(X(σ), φ(m))C−1mn(φ(n), P (σ′)) = (X(σ), φ(2m′−1))C−1

(2m′−1)(2n′−2)(φ(2n′−2), P (σ′))

= (X(σ), φ(2m′−1))N−1m′n′(φ

(2n′−2), P (σ′))

=((2m′ − 1)!δ(σ) lim

σ→0

1

σ2m′−1

)(f−1


εσ2(m′+n′−1))

((2n′ − 1)!δ(σ′) lim

σ→0

1

σ2n′−1

)

= −κεδ(σ)δ(σ′),

onde subentende-seε no limite ε → 0, e onde

κ := −∑

m′,n′>0

(2m′ − 1)!(2n′ − 1)!f−1m′n′

74

e uma constante a ser determinada.

Assim, ficamos com

(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′). (A.10)

Para determinarκ, usemos a propriedade do comutador de Dirac de que(φ(0), f)∗ = 0 para

toda funcaof(X, P ):

(φ(0), f)∗ =

∫dσ δ(σ)(∂σX(σ), f)∗

=

∫dσ δ(σ)∂σ(X(σ), P (σ′))∗

∂f

∂P(σ′)

=

∫dσ δ(σ)∂σ

(δ(σ − σ′) + κεδ(σ)δ(σ′)

) ∂f

∂P(σ′)

=

∫dσ δ(σ)

(δ(σ − σ′)

σ − σ′ − κεδ(σ′)δ(σ)

σ

) ∂f

∂P(σ′)

=(δ(σ′)

σ′ − κ√π

δ(σ′) limσ→0

1

σ

) ∂f

∂P(σ′) (A.11)

= 0

onde na quarta linha usamos (A.6) e, na quinta, (A.7). Integremos (A.11) emσ′:

(limσ′→0

1

σ′ −κ√π

limσ→0

1

σ

) ∂f

∂P(0) = 0

Como f e arbitraria, resultaκ =√

π. Encontramos, portanto, o comutador entre X e P para

uma corda com condicoes de contorno de Neumann:

(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) +√

πεδ(σ)δ(σ′). (A.12)

O trabalho aqui foi todo feito sobre a pontaσ = σ′ = 0. O processo e inteiramente

analogo sobre a outra ponta. Podemos, tambem, aplicar o mesmo procedimento numa corda

com condicoes de contorno de Dirichlet. Segue o resultado completo para uma corda com

75

condicoes de contorno de Neumann e para uma corda com condicoes de contorno de Dirichlet:

(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) +√

πε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)

)= δN (σ − σ′). (A.13)

(X(σ), P (σ′))∗ = δ(σ − σ′) −√

πε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)

)= δD(σ − σ′). (A.14)

onde identificamos

δ(σ − σ′) +√

π limε→0

ε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)

)(A.15)

δ(σ − σ′) −√

π limε→0

ε(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)

)(A.16)

como as expressoes anal´ıticas, respectivamente, para as funcoesδN e δD definidas pelas series

(2.5) e (2.6). De fato, usando (A.6) e (A.7), mostra-se que, paraσ = 0, π, (A.15) possui derivada

nula e (A.16) se anula. Senão, vejamos:

∂σ

[δ(σ − σ′) +

√π lim

ε→0ε

(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)

)]|σ=0

=[−δ(σ − σ′)

σ − σ′ −√

π limε→0

εδ(σ′)δ(σ)

σ

]|σ=0

=δ(σ′)

σ′ − δ(σ′) limε→0

ε limρ→0

1

ρlimσ→0

1

σ

= δ(σ′)[limσ′→0

1

σ′ − limε→0

ε limρ→0

1

ρlimσ→0

1

σ

]= 0

[δ(σ − σ′) −

√π lim

ε→0ε

(δ(σ)δ(σ′) + δ(σ − π)δ(σ′ − π)

)]|σ=0

= δ(σ′)[1 − lim

ε→0ε lim

ρ→0

1

ρ

]= 0

Note-se que nesses cálculos deram-se alguns passos não plenamente justificados no trata-

mento de expressoes envolvendo limites. Por exemplo, supos-se quelimε→0

limρ→0

ε

ρ= 1. Isso nao se

sustenta, pois o valor real da expressao depende de como (com que rapidez)ε eρ vao a zero. Na

melhor hipotese, tal expressao e definida a menos de uma constante. Para efeito de praticidade,

usamos esse tratamento pouco rigoroso nesta subsecao e na proxima, mas deve-se ter em mente

que nao se deve surpreender se o resultado final discrepar do esperado por um fator numerico.

Apendice B

Calculo da massa

A acao e

S =1

2

∫d2σ

√−hhαβgµν∂αXµ∂βXν (B.1)

Como nao ha termo cin´etico parahαβ na acao, sua equacao de movimento implica o cance-

lamento do tensor energia-momentoTαβ ∝ δSδhαβ = 0

δS

δhαβ=

1

2

∫d2σδ(

√−hhαβ)∂αX · ∂βX

=1

2

∫d2σ(

1

2

hαβ

√−h

δh +√−h δhαβ)∂αX · ∂βX

=√−hδhαβ(∂αX · ∂βX − 1

2hαβh

γδ∂γX · ∂δX) (B.2)

donde obtemos

Tαβ ∝ ∂αX · ∂βX − 1

2hαβhγδ∂γX · ∂δX = 0 (B.3)

A escolha do calibre por meio da fixacao da metrica emhαβ = diag{1,−1} produz, com

(B.3),

(X) · (X) + (X ′) · (X ′) = 0 (B.4)

X · X ′ = 0 (B.5)

76

77

que se podem escrever como

gµν(Xµ ± X ′µ)(Xν ± X ′ν) = 0 (B.6)

SeparandoXµ(τ, σ) emXµL(u) eXµ

R(v), comu ≡ τ + σ ev ≡ τ − σ, temos

∂τXµ + ∂σXµ = 2X ′µ

L (u) (B.7)

∂τXµ − ∂σXµ = 2X ′µ

R (v) (B.8)

Como (B.7) e funcao apenas deu e (B.8) apenas dev, podemos definir

gµν(Xµ + X ′µ)(Xν + X ′ν) ≡ 2

π

∑

n∈Z

LLne−in(τ+σ) (B.9)

gµν(Xµ − X ′µ)(Xν − X ′ν) ≡ 2

π

∑

n∈Z

LRn e−in(τ−σ) (B.10)

Os coeficientes de FourierLLn eLR

n sao osoperadores de Virasoro, e (B.6) implica que cada

um deles deve ser nulo. Isso e imposto como um v´ınculo,

Lm = Lm = 0 ∀m ∈ Z. (B.11)

No caso deL0 e L0, deve-se adicionar uma constante de ordenamento [20]:

(L0 − 1)|φ〉 = (L0 − 1)||φ〉 = 0 (B.12)

⇒ (L0 + L0 − 2)|φ〉 = 0 (B.13)

para todo estado fisico|φ〉.

Note que (B.6) prov´em diretamente da escolha do calibre, independendo de condicoes de

contorno e de campos de fundo. Destarte, (B.13) vale indistintamente para cordas fechadas ou

abertas, com ou sem campo de fundo.

Calcularemos os operadores de Virasoro em termos dos modos de expans˜ao para cada caso,

e, por meio deles, obeteremos as respectivas expressoes para a massa.

78

B.1 Cordas fechadas emR1,25

Neste caso, usamos as expans˜oes (3.11) e (3.12):

(Xµ + X ′µ)2 = 4(X ′µL )2

= 2α′(lµ0 +∑

n 6=0

lµne−in(τ+σ))2

= 2α′(∑

n∈Z

lµne−in(τ+σ))2

= 2α′∑

n∈Z

(∑

p∈Z

lµn−plµp

)e−in(τ+σ) (B.14)

(Xµ − X ′µ)2 = 4(X ′µR )2

= 2α′∑

n∈Z

(∑

p∈Z

rµn−pr

µp

)e−in(τ−σ) (B.15)

donde

LLn =

1

2

∑

p∈Z

lµn−plµp (B.16)

LRn =

1

2

∑

p∈Z

rµn−pr

µp (B.17)

de modo que os operadoresLL0 eLR

0 sao

LL0 =

1

2l0 · l0 +

∑

p>0

l−p · lp (B.18)

LR0 =

1

2r0 · r0 +

∑

p>0

r−p · rp (B.19)

A massa ao quadrado e dada por

M2 = −pµpµ = − 2

α′

25∑

µ=0

lµ0 lµ0 = − 2

α′

25∑

µ=0

rµ0 rµ

0 = − 1

α′

25∑

µ=0

(lµ0 lµ0 + rµ0 rµ

0 ) (B.20)

79

Aplicamos, agora, o v´ınculo (B.13) sobre (B.18) e (B.19), que se traduz por

1

2(l0 · l0 + r0 · r0)

︸︷︷︸+

∑

n>0

(l−n · ln + r−n · rn) − 2 = 0 (B.21)

−α′

2M2

Portanto,

M2 =2

α′ (NL + NR − 2) (B.22)

onde

NL ≡∑

n>0

l−n · ln NR ≡∑

n>0

r−n · rn

sao os operadores numero [13, 20, 4, 31].

B.2 Cordas fechadas emS1 ⊗ R1,24

Neste mundo compactificado, a massa e calculada do ponto de vista de quem vive nosX i –

as dimensoes restantes:

M2 = −pipi = − 2

α′

24∑

i=0

ri0r

i0 = − 2

α′

24∑

i=0

li0li0 = − 1

α′

24∑

i=0

(li0li0 + ri

0ri0). (B.23)

Ja os operadores de VirasoroLL0 , LR

0 recebem contribuicoes de todas as dimensoes:

(Xµ ± X ′µ)2 = (X25 ± X ′25)2 + (X i ± X ′i)2 ≡∑

n∈Z

LL,Rn e−in(τ±σ)

⇓

LL0 =

1

2(l250 l250 + li0l

i0) +

∑

n>0

l−n · ln

LR0 =

1

2(r25

0 r250 + ri

0ri0) +

∑

n>0

r−n · rn

Aqui, pois, o vınculo (B.13) se traduz por

80

1

2(l250 l250 + r25

0 r250 ) +

1

2(li0l

i0 + ri

0ri0) + N + N − 2 = 0

Usando (3.14) e (B.23), temos

M2 = p2 + w2 +2

α′ (NL + NR − 2)

=( n

R

)2

+(mR

α′

)2

+2

α′ (NL + NR − 2) (B.24)

Observacao: Este resultado tambem vale para o caso de ligarmos um campo B numa acao

de cordas fechadas, porque aqui, em vez de condicoes de contorno, a expans˜ao e determinada

pelas condicoes de periodicidade,X i(τ, σ + 2π) − X i(τ, σ) = 2πmiRi, que nao sao afetadas

pela presenca do campo.

B.3 Cordas abertas livres emS1 ⊗ R1,24

Fazendo uso da expans˜ao

X(τ, σ) =1

π(x + p τ +

i

nα−

n cos nσ) (B.25)

para a direcao compactificada e de

X i(τ, σ) =1

π(xi + piτ +

i

nαi−

n cos nσ) (B.26)

para as outras coordenadas, obtemos

(Xµ ± X ′µ)2 =2

π

∑

n∈Z

( 1

2π

∑

p∈Z

αn−p · αp

)e−in(τ±σ)

comα0 ≡ p eαi0 ≡ pi.

81

Portanto, os operadores de Virasoro sao

LLn = LR

n ≡ Ln =1

2π

∑

p∈Z

αn−p · αp

e o vınculo (B.13) e1

π(p2 + pipi + 2

∑

p>0

α−p · αp) − 2 = 0, (B.27)

donde

M2 = −pipi = p2 +1

α′ (N − 1), (B.28)

comN ≡ 1π

∑

p>0

α−p · αp.

Repare que paraX, relacionado comX via (3.56), a massa e a mesma, pois

( ˙X ± X ′)2 = (X ± X ′)2.

B.4 D2-brana num toro T 2 com campo B

Aqui,

(Xµ + X ′µ)2 = (X1 + X ′1)2 + (X2 + X ′2)2 + (X i + X ′i)2 ≡ 2

π

∑

n∈Z

LLne−in(τ+σ)

(Xµ − X ′µ)2 = (X1 − X ′1)2 + (X2 − X ′2)2 + (X i − X ′i)2 ≡ 2

π

∑

n∈Z

LRn e−in(τ−σ)

Retomemos as expansoes

X1(τ, σ) =1


i

n

∑

n>0

α−n cos nσ − B

n

∑

n>0

β+n sin nσ) (B.29)

X2(τ, σ) =1

π(x2 + wτ + Bpσ +

i

n

∑

n>0

β−n cos nσ +

B

n

∑

n>0

α+n sin nσ) (B.30)

X i(τ, σ) =1

π(xi + piτ +

i

n

∑

n>0

αi−n cos nσ), i = 0, 3, 4, ..., 25 (B.31)

82

Daı, vem

X1 + X ′1 =1

π

(p − Bw + (α−

n − Bβ+n )

∑

n>0

cos nσ − i(α−n − Bβ−

n

) ∑

n>0

sin nσ)

=1

π

(p − Bw +

∑

n>0

(αn − Bβn)e−in(τ+σ) +∑

n>0

(αn − Bβn)ein(τ+σ))

=1

π

∑

n∈Z

l1ne−in(τ+σ), com

l1n ≡ αn − Bβn, n 6= 0

l10 ≡ p − Bw

X1 − X ′1 =1

π

(p + Bw + (α−

n + Bβ+n )

∑

n>0

cos nσ + i(α−n + Bβ−

n

)∑

n>0

sin nσ)

=1

π

(p + Bw +

∑

n>0

(αn + Bβn)e−in(τ−σ) +∑

n>0

(αn + Bβn)ein(τ−σ))

=1

π

∑

n∈Z

r1ne−in(τ−σ), com

r1n ≡ αn + Bβn, n 6= 0

r10 ≡ p + Bw

Analogamente,

X2 + X ′2 =1

π

∑

n∈Z

l2ne−in(τ+σ), com

l2n ≡ βn + Bαn, n 6= 0

l20 ≡ w + Bp

X2 − X ′2 =1

π

∑

n∈Z

r2ne−in(τ+σ), com

r2n ≡ βn − Bαn, n 6= 0

l20 ≡ w − Bp

X i ± X ′i =1

π

∑

n∈Z

rine−in(τ−σ), com

rin = lin ≡ αi

n, n 6= 0

ri0 = li0 ≡ pi

83

De modo que

LL0 = LR

0 =1

2π[(p ∓ Bw)2 + (w ± Bp)2 + pipi

+2∑

n>0

((α−n ∓ Bβ−n)(αn ∓ Bβn) + (β−n ± Bα−n)(βn ± Bαn) + αi

−nαin

)]

=1

2π[M(p2 + w2) + pipi + 2

∑

n>0

M(α−nαn + β−nβn) + αi−nαi

n]

e do vınculo (B.13) obtemos

M2 = M(p2 + w2) +1

α′ (NB − 1), (B.32)

ondeNB ≡ 1π

∑

p>0

M(α−n · αn + β−n · βn) + αi−nαi

n.

B.5 Sistemas duais

E facil ver que o espectro de massa do sistema dual proposto na secao 3.2.3 e igual a (B.32).

O unico objeto diferente – e que, portanto, poderia alterar o espectro – eX2B. Acontece que sua

contribuicao para a massa e sob a forma do quadrado da soma/diferenca de suas derivadas. Ora,

( ˙X2B ± X ′2

B)2 = (X2 ± X ′2)2.

Dada essa invariˆancia nos fatores que aparecem no c´alculo da massaM2, temos que a propria

massa e invariante.

Ja o caso do sistema da secao 3.2.4 e menos trivial. Para comecar, o v´ınculo (B.6) e modifi-

cado, tornando-se

gµν(Xµ±X ′µ)(Xν±X ′ν) = M(X1±X ′1)2+(X2

S±X ′2S)2−2B(X1±X ′1)(X2

S±X ′2S)+(X i±X ′i)2 = 0

84

comi = 3, 4, ..., 25.

Lembrando a relacao (3.72), pode-se escrever a expressao acima em termos das coordenadas

“primais”:

M(X1 ± X ′1)2 +(B(X1 ± X ′1) − (X2

B ± X ′2B)

)2 − 2B(X1 ± X ′1)(B(X1 ± X ′1) − (X2

B ± X ′2B)

)

+(X i ± X ′i)2 =

M(X1 ± X ′1)2 +(B(X1 ± X ′1) ∓ (X2 ± X ′2)

)2 − 2B(X1 ± X ′1)(B(X1 ± X ′1) ∓ (X2 ± X ′2)

)

+(X i ± X ′i)2 =

(X1 ± X ′1)2 + (X2 ± X ′2)2 + (X i ± X ′i)2 = 0

Novamente, os fatores se igualam. Assim, conclui-se que tambem aqui o espectro e invari-

ante.

Note-se que essa invariancia no espcetro constatada para os sistemas duais vale tanto para

as cordas abertas quanto para as fechadas, porque n˜ao entramos no merito das expans˜oes.

Apendice C

Conexoes entre simetrias da teoria e

simetrias do toro

Nosso interesse aqui e estabelecer uma correspondˆencia entre as simetrias da teoria (world-

sheet) e as simetrias do toro (target space).

Comecemos pelas cordas abertas num 2-toro livre (sembackground):

Este toro pode ser parametrizado no plano complexo por [31, 12]

τ ≡ iR1

R2

(C.1)

O espectro para essa teoria e

M2 =(( n1

R1

)2

+( n2

R2

)2)+ ... (C.2)

Uma simetria obvia deste espectro eR1 → R2, R2 → R1. Ou seja, uma teoria com raios

85

86

de compactificacao paraX1 e X2 trocados e dual a essa. Outra dualidade existe quando se

invertem os raiosR1 eR2 (secao 3.2.5). Para ambas estas teorias duais, o parâmetro do toro e

τ = iR1

R2

= iR2

R1= −1

τ(C.3)

Acontece que toros definidos porτ e− 1τ

estao na mesma classe de equivalência sob mapea-

mentos conformes, i.e., existe uma sequencia finita de transformacoes conformes que levam o

toro τ no toro− 1τ.

Tal correspondência entre simetrias tambem se verifica para o caso com background. Para

ver isso, escrevamos o parametro complexo do toro em termos dos camposGµν, Bµ,ν (veja

Apendice C para a descricao com os raios na metrica):

τ ≡ −G12

G22+ i

√G

G22(C.4)

A parte real se anula para um toro retangular (ou, equivalentemente, paraG12 = 0). Repare

que esta expressao se reduz a (C.1) para o toro retangular.

Devido a presenca do campoB, outro parametro e necessário para se descrever completa-

mente o toro:

ρ ≡ B12 + i√

G (C.5)

As seguintes transformacoes formam um conjunto minimal de geradores do grupo de sime-

tria deste toro [12]:

S : ρ → ρ, τ → −1

τ(C.6)

T : ρ → ρ, τ → τ + 1 (C.7)

D2 : ρ → τ, τ → ρ (C.8)

W : ρ → −ρ, τ → τ (C.9)

87

S corresponde a troca de raios;D2 e a transformacao dual definida na secao 3.2.4 (para ver

isso, basta substituir os campos transformados de (3.67) em (C.4) e (C.5));W corresponde a

transformacao de paridade da worldsheet,σ → −σ, que, cf. secao 2.1.1, trocaB → −B.

O que estamos vendo aqui e que simetrias da teoria (simetrias da worldsheet) tˆem paralelo

nas simetrias do toro (target space).

Apendice D

Descricao da worldsheet comXi

adimensionais

Na acao

S =1

2

∫d2σ hαβgµν∂αXµ∂βXν, (D.1)

as coordenadasX i, i = 1, 2 possuem unidade de comprimento. Alternativamente, podemos

trabalhar com coordenadas angulares:

X i ≡ Riφi (D.2)

e transferir os raios para a metrica, ficando

S =1

2

∫d2σ hαβ

(α′Gij∂αφi∂βφj + gµν∂αXµ∂βXν

), (D.3)

com

Gij =

R21

α′ 0

0R2

2

α′

(D.4)

O fator 1α′ foi introduzido para manter a metrica adimensional.

Calculemos a area do toro formado pela compactificacao das coordenadasX1 eX2:

88

89

Figura D.1: Toro reto.

A = (2πR1)(2πR2) =1

α′

√R2

1

α′R2

2

α′ =1

α′

√G (D.5)

Para coordenadas nao-ortogonais, temos

Figura D.2: Toro geral.

A = |−→u 1 ×−→u 2| = (2πR1)(2πR2) sin θ =1

α′

√R2

1

α′R2

2

α′ −R2

1

α′R2

2

α′ cos2 θ =1

α′

√G (D.6)

comG12 = R1R2

α′ cos θ.

Para o toro reto, a estrutura complexa geral,

τ ≡ −G12

G22+ i

√G

G22

torna-se imaginaria pura,

τ = i

√G

G22= i

√G11

G22= i

R1

R2.

Conclusoes

Sobre o carater fısico da nao-comutatividade

Este trabalho se propos a investigar o comportamento da nao-comutatividade observada

num dado sistema sob uma simetria da teoria de cordas – a dualidade T. Desenvolveu-se em

minucias e de várias maneiras o calculo das relacoes de comutacao entre os camposXµ e P µ.

Viu-se que, ao se passar de uma D2-brana que embala um 2-toro com campo de fundo para

o seu equivalente dual – qual seja, uma D1-brana rosqueando um 2-toro sem campo –, a não-

comutatividade desaparece.

Tambem se observou um fenômeno curioso e inesperado sobre a não-comutatividade na

D2-brana: o valor do comutador entreX1 eX2 depende da orientacao da corda.

Dadas a equivalência fısica entre um sistema comutativo e um não-comutativo, e o ele-

mento de arbitrariedade introduzido pela dependência com a orientacao das cordas, e razoável

supor que o caráter de comutacao dos campos relacionados as dimensoes compactas não tem

relevancia fısica, pelo menos não para as coordenadas transversais, do espaco nao-compacto.

Em outras palavras, comutadores como(X1(τ, σ), X2(τ, σ′)) nao constituem em si um ob-

servavel para o mundo efetivo, onde sao calculados o espectro e outras grandezas fısicas ob-

servaveis.

Em vez disso, esse sistema de relacoes de comutacao passa a ser encarado como parte de

umadescricaoda teoria, havendo outras descricoes possıveis. De fato, as relacoes de comutacao

90

91

obtidas para a D2-brana com o campoB nao sao invariantes sob uma transformacao de calibre

Λ [21, 25], e [21] constrói um mapeamento entre teorias de calibre não-comutativas e uma

teoria de calibre comutativa modificada (onde há comutatividade, mas o produto dos campos e

redefinido).

Sobre a dualidade T

Outro aspecto do trabalho e que ele usa mais de uma receita para T-dualizar um sistema.

Uma delas leva em conta a transformacao do campoBµν e da metricaGµν. Para a outra, eles sao

meramente o palco em que atuam os camposXµ. Apesar de a primeira parecer ser mais rigorosa

e completa, ambas produzem, para efeito de interesse, os mesmos resultados. Na verdade,

pode-se conceber uma conexão entre elas, e encará-las como descricoes diferentes da mesma

coisa: vemos que a coordenada dualX2S nao passa de uma rotacao deX2

B. Parece então que

se pode concluir que a dualizacao dos camposGµν , Bµν corresponde a uma rotacao no eixo de

coordenadas dotoro dual. Podemos, com isso, conjeturar que todas as eventuais prescricoes que

levem o toro nao-comutativo ao toro dual sao equivalentes, produzindo os mesmos resultados

fisicamente significativos.

E nao sao so os comutadores que diferem entre as multiplas descricoes equivalentes de uma

classe de teorias: o mesmo ocorre com a estrutura de branas. Vimos que dualizar pode levar

um sistema Dp-brana +backgrounda uma D(p±1)-brana ou a um sistema Dp-brana + D(p-2)-

branas (que, inclusive, pode ser identificado com um sistema Dp-brana +background). A teoria

inteira, com sua hamiltoniana, seu espectro, seu tensor energia-momento etc, e não a estrutura

de brana, e que e invariante sob a dualidade T.

Sobre a correspondencia entre simetrias

Outra questao interessante e a conexão entre a dualidade T e as simetrias do toro. Viu-se

92

no Apendice C que dualizar a D2-brana no 2-toro de acordo com a prescricao da secao 3.2.4

corresponde a trocar os parametrosτ e ρ do toro. A dualidade T e uma simetriada teoria de

cordase a trocaτ ↔ ρ e uma simetriado toro. A esta altura, aprecia-se a possibilidade de a

todasimetria daworldsheetcorresponder uma simetria dotarget space. Isso daria a teoria de

cordas um sabor geometrico.

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