multiplicaÇÃo de nÚmeros racionais · lê-se: o produto de um ... 12 2 a multiplicação é...

23
Números Racionais Exemplo: A Susana comprou ¾ de uma tarte. À hora do almoço colocou no forno ½ da porção de tarte para aquecer. Que fração do total da tarte colocou a Susana no forno? MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS https://ranildolopes.wordpress.co m- Prof. Ranildo Lopes - FACET 1

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mero

s R

acio

nais

Exemplo:

A Susana comprou ¾ de uma tarte. À hora do almoço colocou no forno

½ da porção de tarte para aquecer.

Que fração do total da tarte colocou a Susana no forno?

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

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1

8

3

mero

s R

acio

nais

Observa o esquema seguinte:

de

Então, a fracção

Resolução:

Tens de calcular

é o produto entre as fracções

de = = =2

1

4

3

2

1

4

3

42

31

8

3

2

1

4

3

4

3

4

3

2

1de =

8

3

Resposta: A Susana colocou 3/8 do total da tarte no forno.

4

3

2

1e

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

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2

Repara:

1

2de

3

4

é o mesmo que:

1

2

3

4

X

X

tem o mesmo significado.

Regra:

Para multiplicar números racionais multiplicam-se os numeradores e multiplicam-se os denominadores.

Então:

O produto de dois números racionais representados por fracções é outro número racional representado por uma fracção, que tem por numerador o produto dos numeradores e por denominador o produto dos denominadores.

1

2

3

4 =

1 3

2 4

=3

8

ou de

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

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3

No caso de multiplicares um número inteiro por um racional representado por uma fracção, multiplicas esse número pelo numerador, e dás o mesmo denominador.

Exemplo

31

4

=3 1

4

=3

4

Recorda que: 3 pode-se representar pela fracção3

1

Logo:

3 1

1 4

=3

4

3

1

1

4

=

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4

Qualquer multiplicação é uma operação em que o resultado é o produto.

=2

15

1

3

2

5

Factores Produto

Lê-se:

O produto de um terço por dois quintos é igual a dois quinze avos

=6

72

3

7

Lê-se:

O dobro de três sétimos é seis sétimos ou

o produto dois por três sétimos é igual a seis sétimos.

Leitura de produtos de fracções

MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

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5

O Tiago tem uma colecção de 24 livros de banda

desenhada. Metade dos livros é de aventuras. Um

terço dos livros de aventuras é a preto e branco.

Que fracção dos livros é a preto e branco?

Aventuras

Aventuras

1

3

1

2=

1

6

Então, é a preto e branco.1

6

A Rita, irmã do Tiago tem também uma colecção

de 24 livros de BD. Destes, a terça parte é de

aventuras e metade dos livros de aventuras é a

preto e branco.

Que fracção dos livros é a preto e branco?

1

2

1

3=

1

6

Então, é a preto e branco.1

6

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS

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6

Se compararmos os cálculos do Tiago e da Rita com os produtos obtidos verificamos que:

1

3

1

2 =

1

2

1

3 =

1

6

Podemos concluir que:

1- PROPRIEDADE COMUTATIVA

A multiplicação de números racionais é comutativa: podes trocar a ordem dos

factores sem que o produto se altere.

Verificámos a “primeira” propriedade da multiplicação de números racionais.

Ambos têm a mesma quantidade de

livros de BD a preto e branco.

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7

Observa os esquemas 1 e 2 que se seguem:

1

2

No esquema 1 “temos”:

No esquema 2 “temos”:

Se compararmos os

cálculos verificamos que:

Logo podes concluir que:

A multiplicação de números racionais é associativa: podes associar os factores de

modo diferente sem que o produto se altere.

Verificámos uma “nova” propriedade da multiplicação de números racionais.

2- PROPRIEDADE ASSCIATIVA

1

2

1

2=

1

3 =

1

3

1

4

1

12

1

2

1

2=

1

3 =

1

3

1

4

1

12

1

2

1

2=

1

3

1

2

1

2=

1

3

1

12

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8

Observa com atenção os seguintes produtos:

12

7

=2

7

13

4

=3

4

Podemos concluir que:

O 1é o elemento neutro da multiplicação de números racionais: sempre que 1 é um dos

factores, o produto é igual ao outro factor.

Acabámos de verificar mais uma das propriedades da multiplicação de números racionais.

3- EXITÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO

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9

Observa com atenção os seguintes produtos:

Podemos concluir que:

O 0 é o elemento absorvente da multiplicação de números racionais: sempre que o

zero é um dos factores, o produto é igual a zero.

Esta propriedade verificada denomina-se de:

4- EXITÊNCIA DE ELEMENTO ABSORVENTE

03

9

= 0 05

8

= 0

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10

A Cristina foi à costureira para esta lhe fizesse um fato novo. A costureira precisou de

3/4m de tecido para a saia e 7/4m para o casaco. O tecido custou 20 euros o metro.

Quanto pagou a Cristina pelo tecido?

- Metros de tecido utilizado m4

10

4

7

4

3

euros20- Preço por metro

euros504

20020

4

10- Total a pagar

Então: 50204

1020

4

7

4

3

Resolução:

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11

Então:

- Preço para o tecido da saia euros154

6020

4

3

euros354

14020

4

7

euros503515

- Preço para o tecido do casaco

- Total a pagar

5035154

140

4

6020

4

720

4

3

Verificamos que: 3

4

7

4 20 =

7

4

3

4 20 20 50

Podemos concluir que:

A multiplicação é distributiva em relação à adição: o produto de um número por uma

soma é igual à soma dos produtos desse número por cada uma das parcelas.

5- PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO EM RELAÇÃO À ADIÇÃO

=

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12

A Cristina pediu também á costureira que lhe fizesse um vestido. Comprou 10/3 de metro

de tecido a 12 euros o metro, mas a costureira gastou apenas 4/3 de metro de tecido.

Quanto custou a parte de tecido que sobrou?

- Tecido que sobrou m3

5

3

5

3

10

euros12- Preço por metro

euros203

6012

3

5- Custo do tecido que sobrou

Então: 203

6012

3

512

3

5

3

10

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13

Então:

- Preço do tecido todo euros403

12012

3

10

euros203

6012

3

5

euros202040

- Preço do tecido que sobrou

- Total a pagar

euros2020403

60

3

12012

3

512

3

10

Verificamos que: 5

3= 12

5

3 12 12 = 20

Podemos concluir que:

A multiplicação é distributiva em relação à subtracção: o produto de um número por

uma diferença é igual à diferença entre os produtos desse número pelo aditivo e

pelo subtractivo.

6- PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA DA MULTIPLICAÇÃO EM RELAÇÃO À SUBTRACÇÃO

3

10

3

10

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14

3

4

2 2

2

1

Observa com atenção:

=2

2

4

6=

4

6

4

4

(2)

=

4

10Simplificando=

3

42

2

1:2

:2

=

4

5

5 5

3

1- =

4

5=

(3)

= Simplificando=-3

1:6

:6

=33

4

3

4

3

4

3

12

3

12

15

12

18

12 2

A multiplicação é distributiva em relação à adição.

A multiplicação é distributiva em relação à subtracção..

Nota:Dois é o factor comum.

Nota: Três quartos é o factor comum.

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15

A propriedade distributiva é muito útil na simplificação dos cálculos.

- Como multiplicar, rapidamente, 3,2 por 15?

3,2 15 =

1

2

3,2 10 + 5 = 3,2 10 + 53,2 =

= 32 + 16 = 48

- Como calcular, rapidamente, o valor exacto de: 5,2 +1

2 4,8

1

2 5,2 + 4,8 = 5,2 4,8+ =

1

2 10 =

10

2=5

1

2

1

2

Põe-se em evidência

o factor comum:1

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16

O INVERSO DE UM NÚMERO

O Francisco e a Joana fazem colecção de cromos de grupos musicais. O Francisco tinha 10 cromos repetidos para trocar. Trocou um décimo dos seus cromos com a Joana.

Por sua vez, a Joana, que tinha 5 para trocar, deu um quinto dos seus cromos ao Francisco.

Quantos cromos novos recebeu a Joana e o Francisco?

Um décimo dos que

o Francisco tinha

Cromos que a

Joana recebeu1101,0 10

10

1

10

101ou

Um quinto dos que

a Joana tinha

Cromos que o

Francisco

recebeu

55

1

5

51

Tanto a Joana como o Francisco receberam um cromo.

Dois números racionais representados por fracções cujo produto é 1dizem-se números inversos.

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O INVERSO DE UM NÚMERO

No frigorifico de casa dos irmãos Gabriel e da Daniela havia

cinco quartos de litro de leite. O Gabriel e a Daniela, ao lanche,

beberam quatro quintos do leite que havia no frigorífico.

Que quantidade de leite beberam os dois irmãos?

Quatro quintos de

cinco quartos do

litro

Quantidade de

leite que

beberam

4

5

5

4

20

201

Os dois irmãos beberam 1 litro de leite.

O inverso de um número representado por uma fracção é outra fracção com os mesmos membros, colocados de forma contrária: o numerador é o denominador da primeira, e o denominador da primeira.

Assim:

b

aé o inverso de

a

bO inverso de 1é 1.

O zero não tem inverso., sendo 0a e 0bhttps://ranildolopes.wordpress.co

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18

O INVERSO DE UM NÚMERO

8 x1

8=

8

8= 1 Logo:

8 é o inverso de 1

8

8é o inverso de 1

8

x5

2=

10

10= 1 Logo:

é o inverso de

é o inverso de

2

5 2

5

2

5

5

2

5

2Observa com

atenção!

Estas duas

fracções têm

os termos

trocados.

0,4 x10

4=

4

10= 1 Logo:

é o inverso de

é o inverso de

x10

4 4

10

4

10

10

4

10

4

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19

PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

1- O professor de Educação Física da turma da Clara

organizou uma prova de corrida de resistência, por equipas:

quando um dos elementos da equipa estivesse cansado, era

substituído por outro, e assim sucessivamente até ao fim do

percurso.

- A Joana correu 0,2 do percurso;

- A Clara substituiu a Joana, mas correu apenas do que ela tinha corrido;

- O Francisco correu do percurso total.

- O Tiago correu o dobro da distância percorrida pela Joana e pelo Francisco.

1

2

2

20

1.1- Que parte do percurso correu a Clara?

1

2x 0,2 =

1

2x

2

10=

2

20=

1

10

A Clara percorreu uma décima do percurso total.https://ranildolopes.wordpress.co

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20

Na expressão anterior, multiplicaste ambos os

membros por 2 para obteres o produto;

Repara:

Depois dividis-te ambos os membros da fracção

por 2, para a simplificares.

Utilizar estes dois passos no cálculo é o mesmo que “cortar” os números

que se repetem nos dois membros da fracção.

Este “corte” facilita o cálculo de expressões numéricas.

1

2x

2

10=

1 x 2

2 x 20=

1

10

2

10

1 x 2

2 x 20=

1

10=

:2

:2

Atenção!

Só fazemos o “corte” quando estamos a efectuar

uma multiplicação de um valor igual por ambos os

membros de uma fracção. Se for adição já não é

possível.

PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

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21

1.2- Que parte do percurso total percorreram a Joana e a Clara?

0,21

2x 0,2 =

1

2x

2

10=

2

10=

6

20+

2

10+ +

2

20

4

20=+

2

20

3

10=

A Joana e a Clara correram três décimas do percurso total.

Numa expressão numérica, o cálculo do produto tem prioridade em relação

ao cálculo da soma e da diferença (a multiplicação efectua-se em primeiro lugar).

1.3- Que diferença existe entre o percurso feito pelo Francisco e o que correu a Clara?

1

2x 0,2 =

1

2x

2

10=

2

20=-

2

20- -

2

20

4

20

2

20=0

A diferença é zero. O Francisco e a Clara correram partes iguais do percurso total.

Com as resoluções anteriores, verificamos que:

PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

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22

1.4- Que parte do percurso total terá percorrido o Tiago?

22

20x 0,2 =

2

10x

2

20=+ +

O Tiago correu três quintos do percurso total.

24

20x

2

20=+2

6

20x2 =

12

20=

3

5

Numa expressão numérica com parêntesis, efectuam-se em primeiro lugar os

cálculos que estão dentro do parêntesis.

PROBLEMAS. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

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