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FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 12

3. VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE

3. VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS COM3. VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADEUM GRAU DE LIBERDADE

Conforme já apresentado, a equação fundamental é:

)(tfukucum =++ &&&

em que m, c, k e f(t) podem ser quantidades generalizadas.

Trata-se duma equação diferencial linear de 2ª ordem, de coeficientes constantes (2 constantes de integração).

( ) ( ) ( ) ( ).00, uutftu &econhecendoCalcularOBJECTIVO:

A resposta total é a soma de duas parcelas:

)(tu p - movimento forçado – relacionado directamente com a carga f(t)

)(tuc - movimento natural – relacionado apenas com as característicasdo sistema

Em termos matemáticos:

Solução GERAL = Solução Particular up(t) + Solução Complementar uc(t)


3.1 VIBRAÇÕES LIVRES SEM AMORTECIMENTO

0=+ ukum &&

Existem procedimentos gerais para a solução deste tipo de equações. Porém, neste caso simples podemos resolvê-la directamente.

Uma solução do tipo

Substituindo na equação diferencial e atendendo a que

Como a equação deve ser satisfeita para qualquer instante t, obtém-se

twAu cos= ou

satisfaz a equação diferencial.

A e B são constantes que dependem do início do movimento e

w é uma característica física da estrutura

twAwu cos2−=&&

0cos)( 2 =+− wtkmwA

→=mkw2

mkw =

Frequência Natural (circular ou angular) do Sistema (rad/s)

twBu sen=A equação também satisfaz a equação diferencial.

A solução geral vem então

twBtwAu sencos +=

twBu sen=


Determinação das constantes iniciais:

00 )0(;)0(0 uuuut && ==⇒= quandoSe

00 0sen0cos uABAu =→+=

wuBBwAwu 0

0 0cos0sen&

& =→+−=

wtBwwtAwu cossen +−=&

e sendo

resulta


(Eq. 3.1)wtsenwuwtutu 0

0 cos)(&

+=

Note-se que esta função é PERIÓDICA!

π=−+→+= 2)()()( wtTtwTtutu

wT π= 2 Período da

função (segundos)

π==

21 wT

fFrequência Natural

em Ciclos / Segundo

ou Hertz (Hz)


Exemplo: Seja o seguinte pórtico com uma viga de rigidez “infinita”.

Pretende-se calcular w, f e T.

0.276s

0.1 0.2 0.3 0.4 t(seg)

u(mm)

010 00 ==→= ummut &e instante noSe

ttu 8.22cos001.0)( =

GPaEmA

213.03.0 2

=×=Dados:

sTHzf

sradw

mNlEIk

kgm

276.063.314.328.22

/8.2210000

2106.2

/106.24

123.010211212

100000.58.9

20000

6

63

49

3

=⇒=×

=

=××=

×=×××

==

≅×=

Resolução:

4.0

12EI

5.0

20 kN/m

L312EI

3L


Observando a figura

Representação Vectorial ou em Diagrama de Argand

wtsenwuwtutu 0

0 cos)(&

+=

Projecção no eixo R dos vectores e wu0&0u

ou

( )α−= wtCtu cos)(

Projecção no eixo R do vector C, que partiu com atraso de fase de α

α=

α=

sen

cos

0

0

Cwu

Cu

&

( )20

20 wuuC &+=

0u

wu0&α

pode-se escrever

0

0tgu

wu&=αcom

( )wtwtCtu sensencoscos)( α+α=

( )α−= wtCtu cos)(ou

I

R

0uC

α

wt

u0/w

/w0u sen wt

cos wtu0

C cos (wt-α)

A equação (3.1) pode ser transformada de modo conveniente.

Definindo 202

0

+=

wuuC&

+= wtsen

Cwuwt

CuCtu 00 cos)(

&vem

Ângulo de FASEu

t

T=2π/ω

T=2π/ω

u0

u0

Amplitude


3.2 VIBRAÇÕES LIVRES COM AMORTECIMENTO

0=++ ukucum &&&

A função tseCu = satisfaz a equação diferencial.

Substituindo02 =++ ststst eCkesCcesCm

02 =++ kscsm

mk

mc

mc

ss

−

±−=

2

2

1

22

tsts eCeCu 2121 +=

A solução virá

apresentando diferentes formas conforme as raízes s1 e s2.

3.2.1 Sistema Criticamente Amortecido

Caso em que o radicando é nulo

→=−

0

2

2

mk

mccr mkccr 2=

ou, atendendo a que ⇒=mkw wmccr 2=

amortecimento crítico

e então

mcss cr

221 −==


Como as soluções são iguais, a solução geral do tipo Cest fornece só uma constante, e portanto só uma solução independente.

( )tmccreCu 211

−=

Outra solução independente pode ser procurada com o seguinte aspecto

( )tmccretCu 222

−=

sm

ccr =−2

Designando

stst estCeCu 222 +=&

ststst estCesCesCu 22222 ++=&&

02 2222

22 =++++ ststststst etCkestCceCcestCmesCm

tmccretCCu )2/(21 )( −+=

e substituindo

0)()2( 2

0

22

0

=++++==

stst etCkscsmeCcsm4342143421

obtém-se uma expressão verdadeira que confirma a validade desta segunda solução independente.

Assim, a solução geral será:

u(t)

t

0u

u0

Não entra em movimento oscilatório !!


3.2.2 Sistema com Amortecimento Superior ao Crítico

3.2.3 Sistema com Amortecimento Inferior ao Crítico

As duas soluções s1 e s2 são reais e a solução geral é

tsts eCeCu 2121 +=

O gráfico é idêntico ao do caso criticamente amortecido só que tende para zero menos rapidamente.

crcc >

Coeficiente de amortecimento: 12

≤==ξwm

ccc

cr

Foi visto que

mk

mc

mc

ss

−

±−=

2

2

1

22

e então12222

2

1 −ξ±ξ−=−ξ±ξ−=

wwwwwss

43421

aw

wiwss 2

2

1 11 ξ−±ξ−=

⇒<ξsendo

A solução geral é então

tiwwttiwwt aa eCeCu −ξ−+ξ− += 21


Introduzindo as condições iniciais, tem-se

Fazendo intervir as equações de Eulerxixeix sencos +=

xixe ix sencos −=−

pode-se transformar a expressão anterior

( )( ) ( )( )

( ) ( )

−++=

−++=

+=

ξ−

ξ−

−ξ−

twB

iCiCtwA

CCe

twitwCtwitwCe

eCeCetu

aawt

aaaawt

tiwtiwwt aa

sencos

sencossencos

)(

2121

21

21

4342143421

para obter

( )twBtwAetu aawt sencos)( += ξ−

ξ++= ξ− tww

wuutwuetu aa

awt sencos)( 00

0&

0uA =

( ) ( )twBwtwAwetwBtwAewtu aaaawt

aawt cossensencos)( +−++ξ−= ξ−ξ−&

aa w

wuuBBwuwu ξ+=⇒+ξ−= 0000

&&

e finalmente

onde wa é a frequência angular do movimento com amortecimento.


Tal como para o caso sem amortecimento, pode-se definir α tal que

2

0020

ξ++=aw

wuuuC&

e obter

com

awuwuu

0

00tg ξ+=α&

Nos casos correntes o amortecimento varia entre 2% e 20%.

Se ξ = 0.2:

( )α−= ξ− tweCtu awt cos)(

Que graficamente adquire o aspecto

wwwww aa ≅⇒=ξ−= 98.01 2

O diagrama de Argand é idêntico ao apresentado para os sistemas com amortecimento. Neste caso a grandeza do vector vai diminuindo com o tempo .( )wtCe ξ−

Cα

0uaw

wuu ξ+ 00&

u(t)

C e−ξwt

t

u0

Ta

aa w

T π= 2

Movimento oscilatório não periódico


3.3 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE AMORTECIMENTO

Experimentalmente podemos determinar o coeficiente de amortecimento induzindo uma vibração no sistema e registando a diminuição da sua amplitude com o tempo.

Considerem-se dois picos sucessivos

( )α−= ξ−11 cos1 tweCu a

wt

aaa w

tttwtw π=−⇒π+α−=α− 22 1212u2 é tal que

( )α−= ξ−22 cos2 tweCu a

wt

aww

euu πξ

=⇒2

2

1

Tomando o logaritmo natural obtém-se2

2

1

122ln

ξ−ξπ=ξπ==δ

aww

uu

Para pequenos amortecimentos vem ξπ≅=δ 2ln2

1

uu

o que permite determinar o coeficiente de amortecimento conhecidos u1 e u2 afastados de Ta.

Para aumentar a precisão na sua determinação podemos usar nperíodos, obtendo-se

ξπ≅=δ nuu 2ln

2

1

Outro processo consiste em observar o número de ciclos que são necessários para reduzir 50% a amplitude do movimento é consultar a seguinte relação gráfica

6

5

4

3

2

1

0 0 0.05 0.10 0.15 0.20

nº d

e ci

clos

par

a re

duzi

ra

ampl

itude

de

50%

ξ, coef. de amortec.

ln 2 = 2nπξ


A solicitação (forças ou deslocamentos) podem ser representadas por seno ou cosseno.

4.1 SISTEMA NÃO AMORTECIDO

Seja a solicitação ( ) twptp sen0=

0p

w

- amplitude

- frequência da solicitação

A equação de equilíbrio dinâmico é

twpukum sen0=+&&

e a solução complementar já se viu que é

Dado que no 1º membro só aparecem derivadas pares, a solução particular poderá ser do tipo

( ) wtBwtAtuc sencos +=

( ) twUtu p sen=

sendo( ) twwUtu p cos=&

( ) twwUtup sen2−=&&

Substituindo vem

twptwkUtwwUm sensensen 02 =+−

2

20

20

1

1

wwk

pwmk

pU−

=−

=

donde

4. RESPOSTA DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICA

4. RESPOSTA DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE 4. RESPOSTA DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE LIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICALIBERDADE A UMA CARGA HARMÓNICA


wwr =Designando por e razão de frequências

o deslocamento estático00 U

kp

=

vem20 1

1r

UU−

=

A solução geral é então

( ) twr

UwtBwtAtu sen1

1sencos 20 −++=

Admitindo que para t = 0 ( ) ( ) 0000 == uu &e

obtém-se

( )

2020

20

110

cos1

cossen

0

rrUB

rwUwB

twr

wUwtwBwtwAtu

A

−−=⇒

−+=

−++−=

=

&

donde

( ) ( )wtrtwr

Utu sensen1 2

0 −−

=

Trata-se da sobreposição de duas funções harmónicas com frequências diferentes, pelo que o movimento resultante NÃO É HARMÓNICO !!

Temos assim

211r−

twsen

wtsenr

Factor de AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA (estacionário)

Resposta em estado ESTACIONÁRIO

Resposta TRANSITÓRIA


Exemplo: Considere-se o mesmo pórtico já estudado, sujeito agora a uma

força harmónica horizontal. Pretende-se calcular a resposta dinâmica.

01520

sen)(2106.2

8.2221

00

0

0

6

====

=××=

==

uurad/swkNp

twptpN/mk

rad/swGPaE

&

Dados e resultados anteriores:

5.0

4.0

m=2000 kg/m

0.3x0.3

p(t)

mU 0038.02106.2

2000060 =××

=

6580.wwr ==

( ) ( )tttu 8.22sen658.015sen658.01

0038.02 −

−=

76411

12 .

rD =

−=

Acção

Resposta

u

t(s)0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

6

4

2

(mm)

estacionária

resposta totaltransitória

p(t)

t(s)

20 kN

10 kN

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

p = 20000 sen 15t

t8.22sen658.0764.18.3 ×××−

t15sen764.18.3 ××


Factores de Amplificação Dinâmica

3

4

2

1

00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

r = w/w

Estacionária, DTotal, Dt

D,D t

- da resposta estacionária 211r

D−

=

- da resposta total ( )0

maxU

tuDt = Factor de AMPLIFICAÇÃO

DINÂMICA TOTAL

Quando r = 1 ( ) ∞→tu

Verifica-se portanto que quando ocorre a RESSONÂNCIA é impossível determinar u pela expressão anterior. Então a solução será do tipo

( ) wwtwtCtu p == comcos

( )( ) twwtCtwwCtwwCtu

twwtCtwCtu

p

p

cossensen

sencos2−−−=

−=

&&

&

{ wmpCwtptwtCktwwtmCtwwmC

wm 2sencoscossen2 0

02

2

−=⇒=+−−

twcostwm

pu p 2

0−=

( ) twtwm

pwtBwtAtu cos2

sencos 0−+=

Substituindo vem

donde

e a nova solução total resulta em


Sendo para t = 0 ( ) ( ) 0000 == uu &e

obtém-se

donde a expressão final

( )

200

00

220

sen2

cos2

cos

0

wmpB

wmpwB

wttmw

wpwtmwpwtwBtu

A

=⇒−=

+−=

=

&

( ) ( ) ( )wtwtwtsenk

pwtwtwtmwptu cos

2sencos

20

20 −=+−=

ww =:Obscuja evolução no tempo, tem o seguinte aspecto

u(t)

t

Amplitude crescente

4.2 SISTEMA COM AMORTECIMENTO

A equação é agora

twpukucum sen0=++ &&&

sendo a solução complementar

( ) ( )twBtwAetu aatw

c sencos += ξ−

A solução particular assume a forma seguinte

( ) twCtwCtu p cossen 21 +=

Onde são introduzidas estas duas parcelas porque em geral a resposta do sistema amortecido não está em fase com a carga harmónica.


Re-arranjando a equação, vem

2

0

2

sen

ww

twmpu

mku

mcu

ξ↓↓

=++ &&&

Mas como

( ) twwCtwwCtu p sencos 21 −=&

( ) twwCtwwCtu p cossen 22

21 −−=&&

obtém-se, após substituição e separação dos múltiplos de sen e cos

( )( ) twmptwwCwwCwC sensen2 02

122

1 =+ξ−−

( )( ) 0cos2 221

22 =+ξ+− twwCwwCwC

Dividindo por w2 resulta

kpCrCrC 0

122

1 2 =+ξ−−

( ) 021 122 =ξ+− CrCr

donde

( ) ( )222

20

121

1rr

rkpC

ξ+−−=

( ) ( )2220

221

2rr

rkpC

ξξ+−

−=


( ) ( )

( ) ( )( )[ ]

444444444 3444444444 21

4444 84444 76

iaEstacionár Parcela

aTransitóri Parcela

twrtwrrrk

ptwBtwAetu aa

wt

cos2sen121

1sencos

2222

0 ξ−−ξ+−

+

++= ξ−


Tal como anteriormente, pode-se definir α tal que

( ) ( )222 21 rrC ξ+−=e

com

( )α−= twUtu sen)(

Cα

21 r−

rξ2

212

rrtg

−ξ=α

Cr 21cos −=α

Crξ=α 2sen

Considerando apenas a parte estacionária, virá

( ) ( )44444 344444 21

α−

α−α=

tw

twtwCk

ptu

sen

cossensencos10

donde

em queCk

pU 10=

( )22

01 1 r

CkpR −=

rCkpR ξ= 22

02

( ) ( )D

rrCUU

kpU

oo

=ξ+−

===222 21

11A razão representa

o COEFICIENTE DE AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA da parcela estacionária.

wt α

I

RR2

1R

0pkC =U


I

R

-P0

P0

U

α

kU

cwU

mw U2

R

I

Fe

U

Fc

Fi

U

P0

U

αwt

Equilíbrio de forças da resposta em REGIME ESTACIONÁRIO

DpDkpkUkFe 0

0 ===

DprDpwmwcD

kpwcUcFc 002

0 2 ξ==== &

DprDkpwmUmFi 0

202 === &&

Velocidade

Este sistema de forças está em equilíbrio em REGIME ESTACIONÁRIO.

A dedução da equação do movimento podia então ser feita, também, a partir desta consideração de equilíbrio.

O amortecimento introduz um atraso na resposta estacionária, traduzido pelo ângulo de fase α:

( )α−= twUtu p sen)(

( )α−−= twwUtu p cos)(&

( )α−−= twwUtu p sen)( 2&&

Pelo equilíbrio de forças pode-se então determinar a fase α e a amplitude U.


Do triângulo rectângulo da figura obtém-se

( ) ( ) 20

222 pUwcUwmKU =+−

222 12tg

rr

wmkwc

UwmUkUwc

−ξ=

−=

−=α

( ) ( ) 2

2

2

2

22

20

222

202

1

1

+

−

=+−

=⇒

wmwc

wwk

pwcwmk

pU

{ ( ) ( )444 3444 21

D

rr

U

kpU

222

0

21

1

0

ξ+−↓

=∴

Relação entre o FACTOR de AMPLIFICAÇÃO DINÂMICA e a RAZÃO de FREQUÊNCIAS:

4

3

2

1

00 1 2 3

r

D

ξ=1.0

ξ=0.7ξ=0.5

ξ=0.2

ξ=0


Conclusões mais importantes (para a resposta estacionária):

a) O movimento é HARMÓNICO e têm a mesma frequência da excitação

b) A amplitude é função de: amplitude e frequência da excitação; frequência e amortecimento do sistema;

O coeficiente de amplificação dinâmica tanto pode ser consideravelmente superior à unidade como inferior.

c) A RESPOSTA e a EXCITAÇÃO NÃO ESTÃO EM FASE, ou seja não atingem os valores máximos simultaneamente. A resposta atinge o máximo segundos depois de a excitação o ter atingido.

d) Em ressonância (r = 1), a amplitude é limitada pelas forças de amortecimento sendo

Em RESSONÂNCIA a resposta está atrasada de 90º.

wα

ξ== 2

11rD

4.3 RESPOSTA EM RESSONÂNCIA

O pico da resposta em regime estacionário ocorre para valores de r próximos da unidade, sendo que o valor máximo exacto se obtém derivando aexpressão de D em ordem a r.

No entanto, para pequenos valores de ξ, os diversos valores de r no pico da resposta praticamente coincidem em torno da unidade.

Assim, no caso de ressonância ( r=1 ) a expressão da resposta escreve-se:

( ) ( )ξ

−+= ξ−

2cossencos 0 tw

kptwBtwAetu aa

tw

e, admitindo que para t = 0 , ( ) ( ) 0000 == uu &e

obtém-se

200

121;

21

ξ−=

ξ=

kpB

kpA

( )

−

ξ−ξ+

ξ= ξ− twtwtwe

kptu aa

tw cossen1

cos21

20

( )wp ;0

( )ξ;w

2tg1 π=α⇒+∞=α⇒=r


Para ξ = 0 a solução é indeterminada, podendo a indeterminação ser levantada usando a regra de l’Hôpital.

Nos casos correntes :amplitude a para pouco contribuie twwwa senξ=

( ) ( ) tweU

tu tw cos121

0

−ξ

≅ ξ−

Assim, a tradução gráfica da equação do movimento em ressonância com amortecimento é:

( )2

cossen2

sen1

1sen1

cos22

0

twtwtwetwtwtwewt

Utu

twtw

−=ξ−

+

ξ−ξ+−

=

ξ−ξ−

u/U

t

1/2ξ

0

-1/2ξ


Resolvendo a equação aproximada ( ) 1cos1 =−ξ− twe tw em ordem a wt,obtém-se o número de ciclos necessário para que a resposta amortecida em ressonância atinja o seu pico, traduzido pelo seguinte aspecto gráfico:

1/2ξ

1/4ξ

ξ=0.2 ξ=0.1ξ=0.05

ξ=0.02

2 4 6 8 10 12nº de ciclos

0 4π 8π 12π 16π 20π 24π 28π

u/U0

4.4 CÁLCULO DO AMORTECIMENTO EM SISTEMAS DE 1 G.L.

i) Decréscimo da amplitude nas vibrações livres

πδ≅ξn

n

2 nm

mn u

u

+

=δ lnem que

ii) Amplificação em ressonância

Considere-se a estrutura solicitada por

Calcula-se a máxima amplitude para um conjunto de frequências crescentes.

( ) twptp sen0=2U0

0

U0

1 2 r

3U0

U


Sabe-se que

e quando r=1

( ) ( )2220 21

1

rrUU

ξ+−=

Inconveniente deste procedimento: necessidade de determinar U0.

Os aparelhos que permitem aplicar a carga dinâmica, não têm, dum modo geral, a possibilidade de aplicar p0 de forma estática.

1

0

0

1

221

=

= ≅ξ⇒ξ

≅r

r

UU

UU

mede-se no gráfico

iii) A partir das características da curva que relaciona a máxima amplitudecom a razão de frequências

A diferença entre duas frequências que correspondem à mesma amplitude está relacionada com o amortecimento.

121

== rUU

Seja o caso particular em que3U0

0 r1 1 2r 2

r=1U2

U

2U0

U0

r

( ) ( ) ξ=

ξ+−=

221

210

222

0 U

rr

UU

( ) ( )2222 218 rr ξ+−=ξ

ou seja

donde

Fazendo 2rR = vem ξ±=⇒ξ±≈ξ+ξ±ξ−=≈

212112211

22 rR321

desprezável

Usando a expansão binomial ou em série de Mc-Laurin e desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se então

( )

( )ξ≅−⇒

+ξ+=

+ξ−=2

2211

2211

12

2

1

rrr

r

L

L

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