Métodos Quantitativos IIMEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

O que você deve aprender?o Como encontrar a média, a mediana e a moda de uma população

ou de uma amostra;

o Como encontrar a média ponderada de um conjunto de dados e amédia de uma distribuição de frequência

o Como descrever a forma da distribuição simétrica, uniforme ouassimétrica e como comparar a média a mediana de cada umdesses aspectos.

o As medidas de tendência central são utilizadas paracaracterizar um conjunto de valores, representando-oadequadamente.

o A denominação “medida de tendência central” se deve aofato de que, por ser uma medida que caracteriza umconjunto, tenderá a estar no meio dos valores.

Conceitoo Uma medida de tendência central é um valor que representa uma

entrada típica ou central do conjunto de dados.

o Média

o Mediana

o Moda

Médiao É a soma das entradas de dados dividida pelo número de

entradas.

𝜇 = 𝑥

𝑁 𝑥 = 𝑥

𝑛

Média Populacional Média Amostral

Exemplo 1Os preços para uma amostra de voos de ida e volta partindo defortaleza para São Paulo são listados a seguir. Qual é a média dospreços dos voos?

872 432 397 427 388 782 397

𝑥 = 872 + 432 + 397 + 427 + 388 + 782 + 397 = 3.695

𝑥 = 𝑥

𝑛=3.695

7≈ 𝟓𝟐𝟕, 𝟗

Exemplo 2o As notas dos alunos da disciplina de Métodos Quantitativos II

estão apresentadas abaixo:

8,0 8,0 10,0 10,0 8,0 8,0 10,0 8,0

8,0 10,0 10,0 8,0 10,0 8,0 10,0 10,0

8,0 9,0 9,0 9,0 8,0 8,0 9,0 10,0

9,0 8,0 8,0 10,0 8,0 10,0 10,0 9,0

9,0 8,0 9,0 8,0 10,0 10,0 8,0 8,0

𝜇 = 𝑥

𝑁=356

40= 𝟖, 𝟗

Medianao A mediana de um conjunto de dados é um valor que está no meio

dos dados quando o conjunto de dados é ordenado.

o A mediana mede o centro de um conjunto de dados ordenadosdividindo-se em duas partes iguais.

o Se o conjunto de dados tem um número ímpar de entradas, amediana é a entrada de dados do meio. Se o conjunto de dadostem um número par de entradas, a mediana é a média das duasentradas do meio.

Exemplo 3o Encontra e Mediana dos dados abaixo:

388 397 397 427 432 782 872

o Como os dados já estão ordenados e o número de entradas é ímpar, a Mediana será o termo central: 427.

Exemplo 4

26 4528 4633 4634 4834 5142 5242 5445 56

• Número entradas é par;• Organizar os dados;• Média aritmética dos dois números centrais.

(45 + 45)

2= 45.

Modao A moda de um conjunto é uma entrada do conjunto que ocorre

com a maior frequência. Se nenhuma entrada é repetida, não hámoda. Se há duas entradas de mesma frequência e chama-sebimodal.

387 397 397 432 782 872

A moda é o número 397.

ModaCursos Frequência f

Administração 430

Contabilidade 344

Turismo 289

Publicidade 371

Qual a classe modal?

Vantagens e Desvantagenso Embora a Média, Mediana e Moda descrevam, cada uma,

determinada entrada típica de dados, há vantagens edesvantagens no uso de cada uma delas.

o Valores Outliero Entrada de dados que está muito afastada das outras entradas de dados.

Exemplo 5

20 20 20 20

20 20 21 21

21 21 22 22

22 23 23 23

23 24 24 65

Encontra a Média, a Mediana e a Moda da amostra das idades dos alunos da turma. Qual medida central melhor descreve uma entrada típica desse conjunto de dados? Há valores discrepantes?

𝑥 = 𝑥

𝑛=475

20≈ 23,8

Mediana= 21+22

2= 21,5

A moda é igual a 20 anos.

Média Ponderadao É a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos

variados.

o 𝑥 = (𝑥.𝑤)

𝑤

o Onde w é o peso de cada entrada.

Exemplo 6o Você está frequentando uma aula na qual sua nota é determinada com base

em 5 fontes: 50% média do exame, 15% do exame bimestral, 20% do examefinal, 10% dos trabalhos em sala 5% das atividades em casa.

o As notas foram, respectivamente: 86 96 82 98 100. Qual a médiaponderada das notas?

Fonte Nota x Peso w xwMédia do exame 86 0,5 43,00Exame bimestral 96 0,15 14,40Exame final 82 0,2 16,40Trabalhos 98 0,1 9,80Casa 100 0,05 5,00

1 88,6

𝑥 = (𝑥. 𝑤)

𝑤

𝑥 =88,6

1

Medidas de Tendência Central em Dados Agrupadoso A média em uma distribuição de frequência para uma amostra é

aproximada por:

𝑥 = 𝑥. 𝑓

𝑛o Onde x é o ponto médio e f a frequência de uma classe;

o E n é igual a 𝑓.

Exemplo 7 (Média)

PM f (x.f)

12,50 6 75,0

24,50 10 245,0

36,50 13 474,5

48,50 8 388,0

60,50 5 302,5

72,50 6 435,0

84,50 2 169,0

50 2.089

𝑥 = 𝑥. 𝑓

𝑓

𝑥 =2.089

50≈ 41,8

Exemplo 8 (Média)

x f (x.f)2 5 105 9 454 13 52

11 7 774 5 207 6 428 2 16

50 262

𝑥 = 𝑥. 𝑓

𝑓

𝑥 =262

50≈ 5,24

Exemplo 8 (Média) (Média)o Calcular a média do conjunto de dados abaixo:

Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10Nº de Alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1

𝑥 = 𝑥. 𝑓

𝑓=296

50= 5,921x2=2

3x3=94x6=24..=296

𝑥 = 𝑥. 𝑓

𝑓

Exemplo 9 (Média)

Nº de Acidentes

Nº de Motoristas

0 201 102 163 94 65 56 37 1

a) Qual a média de motoristas que já sofreram acidente?b) Qual a classe modal?c) O número de motoristas que não sofreram acidentes?d) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes?e) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes?f) A percentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes?

Exemplo 10 (Mediana)

Nº de irmãos e/ ou irmãs

fi Fac

5 6 64 7 133 9 222 5 271 4 31

31

Calcule a Mediana

EM𝑒 =(𝑛 + 1)

2=32

2= 16

Se n for ímpar

𝐸𝑀𝑒 =𝑛

2

Se n for par

Identificar a classe talque Eme≤ Fac

𝑀𝑒 = 3

Exemplo 11 (Mediana)

xi fi Fac

12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 1 8

8

Calcule a Mediana

𝐸𝑀𝑒 =𝑛

2= 4

Identificar a classe talque Eme≤ Fac

Como EMe = FacEntão,

𝑀𝑒 =(15 + 16)

2= 15,5

Exemplo 12 (Mediana)

xi fi Fac

12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 3 8

10

Calcule a Mediana

𝐸𝑀𝑒 =𝑛

2= 5

Identificar a classe talque Eme≤ Fac

𝑀𝑒 =(16+16)

2=16

Exemplo 13 (Mediana)o Estatura de 40 candidatos a cargos de garis da EMLURB

Estatura (cm) fi Fac150 - 153 4 4154 - 157 9 13158 - 161 11 24162 - 165 8 32166 - 169 5 37170 - 173 3 40

40

𝐸𝑀𝑒 =𝑛

2= 20

Identificar a classe talque Eme≤ Fac

𝑀𝑒 = 𝑙𝑖 + 𝐴𝑘𝐸𝑀𝑒 − 𝐹𝑎𝑐′

𝑓𝑀𝑒

Exemplo 13 (Mediana)o Estatura de 40 candidatos a cargos de garis da EMLURB

Estatura (cm) fi Fac150 - 153 4 4154 - 157 9 13158 - 161 11 24162 - 165 8 32166 - 169 5 37170 - 173 3 40

40

𝐸𝑀𝑒 =𝑛

2= 20

𝑀𝑒 = 𝑙𝑖 + ℎ𝐸𝑀𝑒 − 𝐹𝑎𝑐′

𝑓𝑀𝑒

𝑙𝑖 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑀𝑒𝑑h= 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝐸𝑀𝑒 = 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜𝐹𝑎𝑐′ = 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑓𝑀𝑒 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎

Exemplo 14 (Moda)

xi fi3 25 79 13

12 8

30

Qual a moda?

xi fi3 27 13

13 1316 8

36

7 e 13, bimodal

Exemplo 15 (Moda)

Salários (R$) fi500 - 699 18700 - 899 31

900 - 1099 151100 - 1299 31300 - 1499 11500 - 1699 11700 - 1899 1

70

𝑀𝑜 =700 + 899

2= 799,5Moda bruta

Moda de King

Moda de Czuber

𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + ℎ𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡

𝑓𝑎𝑛𝑡 + 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡

𝑀𝑜 = 700 + 20015

18 + 15= 790,9

𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + ℎ𝑓𝑚á𝑥 − 𝑓𝑚í𝑛

2𝑓𝑚𝑎𝑥 − (𝑓𝑎𝑛𝑡 + 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡)

𝑀𝑜 = 700 + 20031 − 18

(2𝑥31) − (18 + 15)= 789,7

Passos para a escolha da melhor medidao Verifique se a distribuição é de variável qualitativa. Se sim, a

melhor medida é a moda.

o Se não for variável qualitativa, verifique se ela é de alta ou médiadispersão. Se for de alta dispersão, a melhora medida será amediana ou a moda. Se não for, isto é, de baixa de dispersão, amelhor medida será a média.

Formas de distribuiçãoo Simétrica: quando a linha vertical pode ser desenhada ado meio do gráfico

da distribuição e as metades resultantes são aproximadamente espelhadas.

Formas de distribuiçãoo Uniforme (simétrica): quando todas as entradas, ou classes, na distribuição

tem frequências iguais ou aproximadamente iguais.

Formas de distribuiçãoo Assimétrica: quando a cauda do gráfico se alonga mais em um dos lados,

podendo ser assimétrica à esquerda (negativamente assimétrica) se a caudase estende à esquerda, e assimétrica à direita (positivamente assimétrica) sea cauda se estende à direita.

Formas de distribuiçãoo Se a distribuição for simétrica e unimodal, a média, a mediana e a

moda são iguais!

o Se for assimétrica à esquerda, a média é menos que a mediana e amediana é igualmente menor que a moda.

o Se for assimétrica à direita, a média é maior que a mediana eigualmente maior que a moda.

o A média sempre irá na direção em que a distribuição forassimétrica. Por exemplo, quando a distribuição é assimétrica aesquerda, a média está à esquerda da mediana.