movimento em uma dimensão
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Movimento em uma dimensão. Curso de Física I. Movimento em 1-D. Entender o movimento é uma das metas das leis físicas. A Mecânica estuda o movimento e as suas causas. A sua descrição e feita pela Cinemática . As s uas causas são descritas pela Dinâmica . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Movimento em uma dimensão
Curso de Física I
Movimento em 1-D
• Entender o movimento é uma das metas das leis físicas.
• A Mecânica estuda o movimento e as suas causas.
• A sua descrição e feita pela Cinemática.
• As suas causas são descritas pela Dinâmica.
• Iniciamos com o movimento em 1-D.
O Paradoxo de ZenãoZenão de Eléia, o sofista (490/485 a.C – 430 a.C. )propôs o movimento comoimpossibilidade lógica.Aquiles (A) em A, a tartaruga (T) está em B. Quando A chega em B a T está em C, reduzindo adistância sem jamais alcançá-la
Para Zenão o tempo seria infinito. Isto é um erro!
O tempo t é a somat = T+T/2+T/4+T/8 +..out = T+T( 1/2+1/4+1/8+..)que é t = 2T
O deslocamentoO deslocamento de um móvel em uma dimensão é a diferença entre as posições final, x2 ,e inicial , x1, entre os instantes t2 e t1, respectivamente. Exemplo: corrida de 100 metros.
x = x2 - x1
t = t2 – t1
deslocamento
intervalo de tempo
Velocidade média
Velocidade média tx
ttxx
vm
12
12
de 0s até 5.01s: vm = 40m / 5.01s = 8.0 m/s
de 5.01s até 10.5s: vm = 60m / 5.49s = 10.9 m/s
Em todo o intervalo,de 0s até 10.5s: vm = 100m / 10.5s = 9.5 m/s
Apesar de útil em alguns casos, como esportes,a velocidade média é um conceito impreciso.
Velocidade instantânea
)(tx
t
)(tx
t
0t tt 0
Velocidade média entre ttet 00
tan)(
ttx
vm
smvm /6,0
Velocidade instantânea
)(tx
t
)(tx
t
0t tt 0
tan)(
ttx
vm
Velocidade média entre ttet 00
smvm /7,0
Velocidade instantânea
)(tx
t
)(tx
t
0t tt 0
tan)(
ttx
vm
Velocidade média entre ttet 00
smvm /1,1
Velocidade instantânea
)(tx
t
)(tx
t
0t tt 0
tan)(
ttx
vm
Velocidade média entre ttet 00
smvm /2,1
Velocidade instantânea
)(tx
t0t tt 0
tan)(
ttx
vm
Velocidade média entre ttet 00
smvm /5,1
Velocidade instantânea
)(tx
t
tan)()(
lim)(0
dt
tdxttx
tvt
0t
Velocidade instantânea em t0
smtv /5,1)( 0
Velocidade instantânea
dtdx
tx
tvt
0lim
Geometricamente
Conceito Derivada
Exemplo:Na corrida, de 100 m,a velocidade em t = 2s é
sm0.8s2.11
m90)s2t(v
Tangente
Velocidade instantâneaA velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo
t
txttx
dt
tdxt
)()(lim
)(0
t t
)( ttx
)(tx
Algumas derivadas importantes
0
)(tfdttdgbdttdfa /)(/)( )()( tgbtfa
dttdf /)(
.consta nt 1nnt
tsin t cos
tcos t sinte tetln 1t
Velocidade instantâneaUm caso particular; a posição é uma função linear do tempo
bt
txttxtvbtatx
)()(
)()(
t tt
)(tx
t tt
)(tv
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
)( 00 ttvxx
Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de velocidade constante. Então,
Note que v( t - t0 ) é a área sob a curva da velocidade v em função do tempo.Este é um resultado geral como veremos a seguir. Para demonstrá-lo usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
ttvx )(
tt
xtxttx )()(
)(tx
)(tx
dx
dttvdxxt )(0
O cálculo de x(t) a partir de v(t)Este resultado pode ser visto graficamente
)(tx
t0tit
ix
ttv
xtxtx
ttvx
ii
ii
ii
)(
)()(
)(
0
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
)()( 0txtx
x
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
t)(tv
)(tv
t
t
Se aplicada ao gráfico da velocidade em função do tempo, a relação anterior descreve a área sob a curva
N
ttt 0
tvvvxx N 210
tvxxN
ii
10
tdtvxxt
t
0
0
No limite N e t0
0t
0t
it
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
t
t
tdtvxtxedt
tdxtv
0
)()()(
)( 0
A velocidade é obtida derivando-se a posição; geometricamente, calcula-se o coeficiente angular da reta tangente à função posição no ponto considerado.A posição é obtida pela anti-derivação , ou integração, da velocidade; geometricamente, calcula-se a área sob a curva da função velocidade.
Algumas integrais importantes
)(tf)()( tGbtFa )()( tgbtfa
)(tF
.consta nt 1/1 nt n
tsin /cos ttcos /sin t
te /te||ln t1t
at
Aceleração média
t
v
tt
vvam
12
12Aceleração média
de 0s até 4s: am = 10m/s / 4s = 2.5 m/s2
A corredora acelera uniformemente até 10 m/s em t = 4s. Mantem a velocidade nos próximos 4.7s e reduz a velocidade para 8m/s.
de 4s até 8s: am = 0m/s / 4s = 0 m/s2
de 8s até 12.7s: am = -2m/s / 4.7s = -0.42 m/s2
Aceleração instantânea
)(tv
t
)(tv
t
0t tt 0
tan)(
t
tvam
Aceleração média entre ttet 00
t
tan)()(
lim)(0
dt
tdv
t
tvta
t
0t
Aceleração instantânea em t0
Aceleração instantânea
)(tv
Aceleração instantâneaA aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação tempo
t
tvttv
dt
tdvt
)()(lim
)(0
t t
)( ttv
)(tv
Aceleração instantânea
dt
dv
t
va
t
0
lim
2sm2.2s7.2
sm9.5)s2t(a
GráficosConceito
Derivada
Exemplo:Na corrida de 100 m,a aceleração em t = 2s é
2
2
dt
xd
dt
dx
dt
d
dt
dva
Note que
Segundaderivada
Aceleração constante
0
0
tt
tvtvaa m
atvv 0
200 vv
t
xxvm
Se a aceleração é constante
Se t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a velocidade fica
Note que neste movimento a velocidade média é dada por
2
2
00
attvxx temosComo tvxx m 0
Jogo de Boliche
a2
vvxx
22
00
m10
sm2.02
sm2sm0m0x
2
22
Jogador joga bola com v0 = 2m/se aceleração a = -0.2m/s2.Qual a distância percorrida pela bola até parar?
usando
temos
s10
sm2.0
sm2sm0t
2
22
e
Resumo, aceleração constante
As equações de movimento para o caso de aceleração constante são:
tvvxx
xxavv
attvxx
atvv
00
020
2
200
0
2
1
2
2
1
Aceleração da Gravidade
Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda doscorpos. Refutou Aristóteles.Usando experimentos mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade e independente de sua massa.x ~ t2 , v ~ t ; consequênciasde uma aceleração constante!
Aceleração da Gravidade
Mas... devemos notar quehá, em geral, outras forçasatuando no corpo considerado,o que pode frustrar umaexperiência se não formos suficientemente cuidadosos.
a resistência do ar!!
Corpos em queda livre
Bola jogadapara cima
Para cimadiminuindo v
Bola para
Para baixo
v aumenta
Resumo, aceleração constante
As equações de movimento para o caso de aceleração da gravidade -g são (ao longo do eixo y):
tvvyy
yygvv
gttvyy
gtvv
00
020
2
200
0
2
1
2
2
1
Exemplo
gtvegty 2/2
Um corpo cai livremente; calcule a sua posição e velocidade em t = 1.0, 2.0 e 3.0 s.
Em t = 1.0
y = - 4.9 m e v = -9.8m/s
Continuando temos
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
)( 00 ttavv
Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente o caso de aceleração constante. Então,
Note que a( t - t0 ) é a área sob a curva da aceleração a em função do tempo.Este também é um resultado geral como veremos a seguir. Para demonstrá-lo usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever
onde a(t) é a aceleração instantânea em t.
ttav )(
tt
vtvttv )()(
)(tv
)(tv
dv
dttadvvt )(0
O cálculo de v(t) a partir de a(t)Este resultado pode ser visto graficamente
)(ta
t0tit
iv
tta
vtvtv
ttav
ii
ii
ii
)(
)()(
)(
0
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
)()( 0tvtv
v
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
t)(ta
)(ta
t
t
Se aplicada ao gráfico da aceleração em função do tempo, a relação anterior descreve a área sob a curva
N
ttt 0
taaavv N 210
tavvN
ii
10
tdtavvt
t
0
0No limite N e t0
0t
0t
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
t
t
tdtavtvedt
tdvta
0
)()()(
)( 0
A aceleração é obtida derivando-se a velocidade; geometricamente, calcula-se o coeficiente angular da reta tangente à função velocidade no ponto considerado.A velocidade é obtida pela anti-derivação , ou integração, da aceleração; geometricamente, calcula-se a área sob a curva da função aceleração.