a equação de onda em uma dimensão (continuação

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  • 5910170 Fsica II Ondas, Fluidos e Termodinmica USP Prof. Antnio Roque Aula 18

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    A Equao de Onda em Uma Dimenso (continuao)

    Consequncias do Princpio de Superposio

    O princpio de superposio nos diz que quando houver mais de uma

    onda se propagando em uma corda, a onda resultante dada pela

    combinao linear dessas ondas individuais. Vamos considerar, a

    seguir, diferentes casos de duas ondas harmnicas propagando-se

    em uma corda e aplicar o princpio de superposio a elas para ver

    que tipo de onda resultante ocorre. A anlise matemtica de cada

    caso poder nos levar a resultados inesperados, que ento devero

    ser interpretados fisicamente. Esses resultados novos constituem as

    previses do princpio de superposio e a partir da verificao

    experimental da sua existncia ou no que se comprova se o

    princpio de superposio vlido ou no.

    Vamos considerar trs casos aqui, sempre envolvendo duas ondas

    harmnicas: (1) as ondas se propagam na mesma direo, mas tm

    amplitudes e fases diferentes; (2) as ondas so idnticas, mas se

    propagam em direes opostas; e (3) as ondas se propagam na

    mesma direo e tm a mesma amplitude e fase, mas tm

    frequncias ligeiramente diferentes.

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    1o caso: Duas ondas harmnicas iguais, mas de amplitudes e fases

    diferentes, propagando-se na mesma direo.

    Vamos chamar as duas ondas de 1 e 2 e vamos supor que elas tm o

    mesmo comprimento de onda e a mesma frequncia angular . As

    amplitudes das duas ondas sero indicadas por A1 e A2 e a diferena

    de fase entre elas ser chamada de . Sem perda de generalidade,

    podemos supor que a onda 1 tem fase zero e a onda 2 tem fase .

    Portanto, as duas ondas podem ser descritas pelas funes,

    ( )tkxAtxy = cos),( 11 (1)

    e

    ( ) += tkxAtxy cos),( 22 . (2)

    Quando as duas ondas coexistem na mesma regio da corda, a onda

    resultante dada pelo princpio de superposio,

    ( ) ( ) ++=+= tkxAtkxAtxytxytxy coscos),(),(),( 2121 . (3)

    J vimos como simplificar uma expresso como esta na aula 6, que

    tratou de superposio de oscilaes (d uma olhada nas notas da

    aula 6 para relembrar). Por causa disso, algumas passagens a seguir

    sero feitas mais rapidamente (para maiores detalhes, consulte as

    notas da aula 6).

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    Podemos usar a representao de y1 e y2 em termos de nmeros

    complexos e escrever,

    ( ) ( ) + == tkxitkxi eAtxzeAtxz 2211 ),( e ),( , (4)

    de maneira que

    ( ) ( ) ( )( ) itkxitkxitkxi eAAeeAeAzz 212121 +=+=+ + . (5) Esta expresso pode ser escrita como

    ( ) ( ) + ==+ tkxiitkxi AeAeezz 21 , (6)

    onde A e so dados por

    cos2 2122

    21

    2 AAAAA ++= (7)

    e

    sensen 2A

    A= . (8)

    A soluo fsica real dada pela parte real de (6),

    ( ) ( ) +=+=+ tkxAzzyy cosRe 2121 . (9)

    Logo, a superposio de duas ondas harmnicas de mesma

    frequncia e mesmo comprimento de onda, mas com amplitudes e

    fases diferentes, que se propagam no mesmo sentido tambm uma

    onda harmnica com a mesma frequncia e o mesmo comprimento

    de onda propagando-se no mesmo sentido.

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    Lembrando da equao (37) da aula 17, que diz que a intensidade de

    uma onda harmnica proporcional ao quadrado da sua amplitude, e

    usando a equao (7), que relaciona o quadrado da amplitude da

    onda resultante da superposio com as amplitudes das ondas

    individuais, podemos escrever,

    cos2 2121 IIIII ++= . (10)

    Este resultado importante e constitui uma previso do princpio de

    superposio que comprovada experimentalmente para ondas:

    embora a onda resultante da superposio de duas ondas harmnicas

    seja, ela mesma, uma onda harmnica dada pela soma das duas

    ondas, a intensidade da onda resultante diferente da soma das

    intensidades das duas ondas.

    Este fenmeno tpico de ondas e chamado de interferncia.

    Note que, segundo a equao (10), a intensidade da onda resultante

    depende do cosseno da diferena de fase entre as duas ondas.

    Portanto, a intensidade ser mxima (interferncia construtiva)

    quando cos = 1, isto , quando,

    ( )K,2,1,0 2 == mm . (11) Note que podemos escrever o valor mximo de I como,

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    ( )221max III += . (12) Por outro lado, a intensidade ser mnima (interferncia destrutiva)

    quando cos = 1, ou seja, quando,

    ( ) ( )K,2,1,0 12 =+= mm , (13) e o valor da intensidade mnima ,

    ( )221min III = . (14)

    Um caso particular interessante ocorre quando as amplitudes das

    duas ondas y1 e y2 so iguais. Neste caso, I1 = I2 e as intensidades

    mxima e mnima da onda resultante so, respectivamente,

    0 e 4 min1max == III . (15)

    No caso de interferncia destrutiva de duas ondas idnticas e de

    mesma amplitude, a intensidade da onda resultante nula.

    2o caso: Duas ondas harmnicas iguais, com mesma amplitude,

    mesmo comprimento de onda, mesma frequncia e mesma fase,

    propagando-se em direes opostas.

    Como as duas ondas tm a mesma fase, para simplificar vamos

    supor que a fase zero. As duas ondas so ento escritas como

    ( ) ( )tkxAytkxAy +== cos e cos 21 . (16)

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    Note que a onda 1 viaja para a direita e a onda 2 viaja para a

    esquerda.

    A superposio das duas ondas nos d,

    ( ) ( )[ ]tkxtkxAyyy ++=+= coscos21 . (17) Usando as frmulas para o cosseno da soma e da subtrao a

    expresso acima pode ser reescrita como (mostre como exerccio),

    ( ) ( )tkxAy coscos2= . (18) O que a equao matemtica acima nos diz que a onda resultante

    da superposio das duas ondas iguais que se propagam em sentidos

    contrrios no se propaga. Note que ela no tem o termo (kx t)

    caracterstico da funo de onda de uma onda propagante.

    A onda resultante neste caso dita estacionria. Ondas estacionrias

    tambm so previses do princpio de superposio cuja existncia

    comprovada experimentalmente.

    Em uma onda estacionria unidimensional, cada ponto x executa um

    movimento harmnico simples com frequncia angular e

    amplitude que depende da posio ao longo da corda, A = A(x).

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    No caso da onda estacionria obtida acima, dada pela superposio

    de duas ondas harmnicas idnticas propagando-se em sentido

    contrrio, a sua frequncia angular igual das duas ondas que a

    originam e a sua amplitude A(x) = 2Acos(kx).

    As amplitudes das oscilaes dos diferentes pontos da corda

    dependem do ponto. A figura abaixo mostra o perfil cossenoidal do

    envelope que delimita as oscilaes dos pontos da corda.

    Observe que h pontos x que no oscilam, permanecendo sempre em

    repouso. Esses pontos so chamados de nodos e esto indicados na

    figura por setas. Por outro lado, h ponto na metade de dois nodos

    para os quais a amplitude de oscilao a mxima possvel. Esses

    pontos so chamados de ventres.

    As posies x para as quais a amplitude mxima so dadas por

    cos(kx) = 1, ou seja,

    .inteiro) ( , ,3 ,2 , ,0 nnkx K=

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    Como k = 2/, essas posies so:

    .inteiro) ( 2

    ,2 ,2

    3 , ,

    2 ,0 : ventresdos Posies n

    nx

    K=

    (19)

    J as posies da corda que nunca oscilam (nodos) so dadas por,

    mpar) ( 2

    ,,2

    5,

    2

    3,

    2n

    nkx

    L= ,

    o que implica que:

    mpar) ( 4

    ,,4

    5,

    4

    3,

    4 :nodos dos Posies n

    nx

    L= . (20)

    Uma onda estacionria no se propaga, portanto a velocidade v de

    uma onda estacionria zero. Olhando para a equao (39) da aula

    17, que d a energia mdia transportada por uma onda, vemos que

    ela proporcional a v. Isto implica que a energia mdia transportada

    por uma onda estacionria nula.

    Podemos entender isso notando que as duas ondas harmnicas que

    se combinam para formar a onda estacionria tm fluxos de energia

    iguais, mas de sentidos contrrios. Esses fluxos se anulam com a

    soma das ondas, resultando em um fluxo mdio de energia nulo.

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    3o caso: Duas ondas harmnicas com mesma amplitude, mesma

    fase, mas comprimentos de onda e frequncias ligeiramente

    diferentes propagando-se na mesma direo.

    Este caso tambm muito similar ao que j foi visto na aula 6

    quando tratamos de batimentos. Portanto, algumas passagens aqui

    sero feitas mais rapidamente (para maiores detalhes, consulte as

    notas de aula da aula 6).

    Como as duas onda