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Movimento Circular Uniforme

1 de 16 Prof. Allan Borçari

1. (Unifesp 2017) Um avião, logo após a aterrissagem, está em movimento retilíneo sobre a pista horizontal, com sua hélice

girando com uma frequência constante de 4 Hz.

Considere que em um determinado intervalo de tempo a velocidade escalar desse avião em relação ao solo é constante e igual a

2 m s, que cada pá da hélice tem 1m de comprimento e que 3.π Calcule:

a) a distância, em metros, percorrida pelo avião enquanto sua hélice dá 12 voltas completas.

b) o módulo da velocidade vetorial instantânea, em m s, de um ponto da extremidade de uma das pás da hélice do avião, em

relação ao solo, em determinado instante desse intervalo. 2. (Ufu 2017) Ainda que tenhamos a sensação de que estamos estáticos sobre a Terra, na verdade, se tomarmos como referência

um observador parado em relação às estrelas fixas e externo ao nosso planeta, ele terá mais clareza de que estamos em

movimento, por exemplo, rotacionando junto com a Terra em torno de seu eixo imaginário. Se consideramos duas pessoas (A e

B), uma deles localizada em Ottawa (A), Canadá, (latitude 45 Norte) e a outra em Caracas (B), Venezuela, (latitude 10

Norte), qual a relação entre a velocidade angular média ( )ω e velocidade escalar média (v) dessas duas pessoas, quando

analisadas sob a perspectiva do referido observador? a) A Bω ω e A Bv v

b) A Bω ω e A Bv v

c) A Bω ω e A Bv v

d) A Bω ω e A Bv v

3. (Uece 2016) Em uma obra de construção civil, uma carga de tijolos é elevada com uso de uma corda que passa com

velocidade constante de 13,5 m s e sem deslizar por duas polias de raios 27 cm e 54 cm. A razão entre a velocidade angular

da polia grande e da polia menor é a) 3. b) 2. c) 2 3.

d) 1 2.

4. (Ufpa 2016) Durante os festejos do Círio de Nazaré, em Belém, uma das atrações é o parque de brinquedos situado ao lado

da Basílica, no qual um dos brinquedos mais cobiçados é a Roda Gigante, que gira com velocidade angular ,ω constante.



Considerando-se que a velocidade escalar de um ponto qualquer da periferia da Roda é V 1m s e que o raio é de 15 m,

pode-se afirmar que a frequência de rotação f, em hertz, e a velocidade angular ,ω em rad s, são respectivamente iguais a:

a) 1

30π e

2

15

b) 1

15π e

2

15

c) 1

30π e

1

15

d) 1

15π e

1

15

e) 1

30π e

1

30π

5. (Eear 2016) Duas polias estão acopladas por uma correia que não desliza. Sabendo-se que o raio da polia menor é de 20 cm

e sua frequência de rotação 1f é de 3.600 rpm, qual é a frequência de rotação 2f da polia maior, em rpm, cujo raio vale

50 cm?

a) 9.000 b) 7.200 c) 1.440 d) 720

6. (Enem 2016) A invenção e o acoplamento entre engrenagens revolucionaram a ciência na época e propiciaram a invenção de

várias tecnologias, como os relógios. Ao construir um pequeno cronômetro, um relojoeiro usa o sistema de engrenagens

mostrado. De acordo com a figura, um motor é ligado ao eixo e movimenta as engrenagens fazendo o ponteiro girar. A

frequência do motor é de 18 rpm, e o número de dentes das engrenagens está apresentado no quadro.

Engrenagem Dentes

A 24

B 72

C 36

D 108



A frequência de giro do ponteiro, em rpm, é

a) 1. b) 2. c) 4. d) 81. e) 162.

7. (Unicamp 2015) Considere um computador que armazena informações em um disco rígido que gira a uma frequência de

120 Hz. Cada unidade de informação ocupa um comprimento físico de 0,2 mμ na direção do movimento de rotação do disco.

Quantas informações magnéticas passam, por segundo, pela cabeça de leitura, se ela estiver posicionada a 3 cm do centro de

seu eixo, como mostra o esquema simplificado apresentado abaixo?

(Considere 3.)π

a) 61,62 10 .

b) 61,8 10 .

c) 864,8 10 .

d) 81,08 10 .

8. (G1 - cps 2015) Em um antigo projetor de cinema, o filme a ser projetado deixa o carretel F, seguindo um caminho que o

leva ao carretel R, onde será rebobinado. Os carretéis são idênticos e se diferenciam apenas pelas funções que realizam.

Pouco depois do início da projeção, os carretéis apresentam-se como mostrado na figura, na qual observamos o sentido de

rotação que o aparelho imprime ao carretel R.



Nesse momento, considerando as quantidades de filme que os carretéis contêm e o tempo necessário para que o carretel R dê

uma volta completa, é correto concluir que o carretel F gira em sentido a) anti-horário e dá mais voltas que o carretel R. b) anti-horário e dá menos voltas que o carretel R. c) horário e dá mais voltas que o carretel R. d) horário e dá menos voltas que o carretel R. e) horário e dá o mesmo número de voltas que o carretel R. 9. (Ufrgs 2013) A figura apresenta esquematicamente o sistema de transmissão de uma bicicleta convencional.

Na bicicleta, a coroa A conecta-se à catraca B através da correia P. Por sua vez, B é ligada à roda traseira R, girando com ela

quando o ciclista está pedalando.

Nesta situação, supondo que a bicicleta se move sem deslizar, as magnitudes das velocidades angulares, A B R, e ,ω ω ω são

tais que a) A B R.ω ω ω

b) A B R.ω ω ω

c) A B R.ω ω ω

d) A B R.ω ω ω

e) A B R.ω ω ω

10. (Fuvest 2017) De férias em Macapá, cidade brasileira situada na linha do equador e a 51 de longitude oeste, Maria faz um

selfie em frente ao monumento do marco zero do equador. Ela envia a foto a seu namorado, que trabalha em um navio ancorado

próximo à costa da Groenlândia, a 60 de latitude norte e no mesmo meridiano em que ela está. Considerando apenas os

efeitos da rotação da Terra em torno de seu eixo, determine, para essa situação,

a) a velocidade escalar Mv de Maria;

b) o módulo Ma da aceleração de Maria;

c) a velocidade escalar nv do namorado de Maria;



d) a medida do ângulo α entre as direções das acelerações de Maria e de seu namorado.

Note e adote:

Maria e seu namorado estão parados em relação à superfície da Terra.

As velocidades e acelerações devem ser determinadas em relação ao centro da Terra.

Considere a Terra uma esfera com raio 66 10 m.

Duração do dia 80.000 s

3π

Ignore os efeitos da translação da Terra em torno do Sol.

sen30 cos60 0,5

sen60 cos30 0,9

11. (Unesp 2017) As pás de um gerador eólico de pequeno porte realizam 300 rotações por minuto. A transformação da

energia cinética das pás em energia elétrica pelo gerador tem rendimento de 60%, o que resulta na obtenção de 1.500 W de

potência elétrica.

Considerando 3,π calcule o módulo da velocidade angular, em rad s, e da velocidade escalar, em m s, de um ponto P

situado na extremidade de uma das pás, a 1,2 m do centro de rotação. Determine a quantidade de energia cinética, em joules,

transferida do vento para as pás do gerador em um minuto. Apresente os cálculos. 12. (Uece 2017) Considere o movimento de rotação de dois objetos presos à superfície da Terra, sendo um deles no equador e o

outro em uma latitude norte, acima do equador. Considerando somente a rotação da Terra, para que a velocidade tangencial do

objeto que está a norte seja a metade da velocidade do que está no equador, sua latitude deve ser a) 60 . b) 45 . c) 30 . d) 0,5 .

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Considere o módulo da aceleração da gravidade como 2

g 10,0 m s e a constante da gravitação universal como

11 3 1 2G 6,7 10 m kg s e utilize 3.π

13. (Upe-ssa 1 2017) Como um velocista, Bolt passa muito pouco tempo correndo. Em todas as finais olímpicas das quais

participou, nos últimos três jogos (Pequim, Londres e Rio), ele correu um total de “apenas” 114 segundos, ou seja, nem dois

minutos.



Pequim 2008 Londres 2012 Rio 2016

100 m 9,69 9,63 9,81

200 m 19,3 19,32 19,78

4 100 m 8,98 8,7 9 *

*O tempo individual de Bolt ainda não foi publicado. Medimos o tempo dele pela TV.

Fonte: http://www.bbc.com/portuguese/brasil-37144726, acessado em 20 de agosto de 2016.

Esteiras ergométricas são dispositivos que auxiliam no treino e na execução de atividades físicas, como caminhada e corrida.

Uma esteira é formada por uma lona, que envolve dois cilindros idênticos, C1 e C2, de 2 cm de raio, conforme indicado na

figura a seguir. No eixo do cilindro frontal, está montada uma polia P1 de 4 cm de raio que, através de uma correia, está

acoplada ao eixo de um motor elétrico. O motor gira a correia em uma polia P2, que possui 1cm de raio. Supondo que Usain

Bolt desenvolvesse a velocidade média da prova 4 100 m dos Jogos Olímpicos Rio 2016, utilizando a esteira ergométrica

descrita anteriormente, qual seria a velocidade aproximada de rotação da polia P1 em r.p.m.?

a) 40.000 b) 20.000 c) 10.000 d) 5.000 e) 1.000

14. (Unesp 2016) Um pequeno motor a pilha é utilizado para movimentar um carrinho de brinquedo. Um sistema de

engrenagens transforma a velocidade de rotação desse motor na velocidade de rotação adequada às rodas do carrinho. Esse

sistema é formado por quatro engrenagens, A, B, C e D, sendo que A está presa ao eixo do motor, B e C estão presas a um

segundo eixo e D a um terceiro eixo, no qual também estão presas duas das quatro rodas do carrinho.



Nessas condições, quando o motor girar com frequência Mf , as duas rodas do carrinho girarão com frequência Rf . Sabendo que

as engrenagens A e C possuem 8 dentes, que as engrenagens B e D possuem 24 dentes, que não há escorregamento entre

elas e que Mf 13,5 Hz, é correto afirmar que Rf , em Hz, é igual a

a) 1,5.

b) 3,0.

c) 2,0.

d) 1,0.

e) 2,5.

15. (Unesp 2015) A figura representa, de forma simplificada, parte de um sistema de engrenagens que tem a função de fazer

girar duas hélices, 1H e 2H . Um eixo ligado a um motor gira com velocidade angular constante e nele estão presas duas

engrenagens, A e B. Esse eixo pode se movimentar horizontalmente assumindo a posição 1 ou 2. Na posição 1, a

engrenagem B acopla-se à engrenagem C e, na posição 2, a engrenagem A acopla-se à engrenagem D. Com as engrenagens

B e C acopladas, a hélice 1H gira com velocidade angular constante 1ω e, com as engrenagens A e D acopladas, a hélice

2H gira com velocidade angular constante 2.ω

Considere Ar , Br , Cr , e Dr , os raios das engrenagens A, B, C e D, respectivamente. Sabendo que B Ar 2 r e que C Dr r ,

é correto afirmar que a relação 1

2

ω

ω é igual a

a) 1,0.

b) 0,2.

c) 0,5.

d) 2,0.

e) 2,2.

16. (Ime 2016)



Uma corda de comprimento L e densidade linear constante gira em um plano em torno da extremidade fixa no ponto A a uma

velocidade angular constante igual a . Um pulso ondulatório é gerado a partir de uma das extremidades. A velocidade v do

pulso, no referencial da corda, a uma distância r da extremidade fixa é dada por

a) L r

2

b) L(L r)

2

c) 2 2(L r )2L

d) 2 2L r

2

e) L L r

L r2

17. (Ufpr 2012) Um ciclista movimenta-se com sua bicicleta em linha reta a uma velocidade constante de 18 km/h. O pneu,

devidamente montado na roda, possui diâmetro igual a 70 cm. No centro da roda traseira, presa ao eixo, há uma roda dentada de

diâmetro 7,0 cm. Junto ao pedal e preso ao seu eixo há outra roda dentada de diâmetro 20 cm. As duas rodas dentadas estão

unidas por uma corrente, conforme mostra a figura. Não há deslizamento entre a corrente e as rodas dentadas. Supondo que o

ciclista imprima aos pedais um movimento circular uniforme, assinale a alternativa correta para o= número de voltas por minuto

que ele impõe aos pedais durante esse movimento. Nesta questão, considere 3 .

a) 0,25 rpm. b) 2,50 rpm. c) 5,00 rpm. d) 25,0 rpm. e) 50,0 rpm. 18. (Udesc 2010) O velódromo, nome dado à pista onde são realizadas as provas de ciclismo, tem forma oval e possui uma

circunferência entre 250,0 m e 330,0 m, com duas curvas inclinadas a 41o. Na prova de velocidade o percurso de três voltas tem

1.000,0 m, mas somente os 60 π últimos metros são cronometrados. Determine a frequência de rotação das rodas de uma

bicicleta, necessária para que um ciclista percorra uma distância inicial de 24 πmetros em 30 segundos, considerando o

movimento uniforme. (O raio da bicicleta é igual a 30,0 cm.) Assinale a alternativa correta em relação à frequência. a) 80 rpm b) 0,8 π rpm c) 40 rpm d) 24 π rpm e) 40 π rpm



Gabarito: Resposta da questão 1:

Dados: hel av helf 4 Hz; v 2 m s; 1m; 3.π

a) O tempo gasto pela hélice para realizar 12 voltas completas corresponde a:

hel

1t 12T 12

fΔ

sendo hel

1T

f o período de cada ciclo da hélice.

Substituindo na equação os valores de parâmetros conhecidos, tem-se que:

hel

12 12t 3 s

f 4Δ

A distância percorrida pelo avião no intervalo de tempo t 3 s,Δ é:

avS v t 2 3 6 mΔ Δ

b) A velocidade vetorial instantânea da extremidade de uma das hélices será uma composição da velocidade da extremidade da

hélice relativa ao avião, tv , e a velocidade do avião em relação ao solo, avv :

lembrando que o símbolo na segunda figura representa um vetor perpendicular ao plano do papel, "saindo" do mesmo.

Da composição vetorial, conclui-se que

2 2 2 2 2t av t avv v v v v v

A velocidade do avião avv possui módulo conhecido e igual a 2 m s.

A velocidade tv , ou melhor, o seu módulo, é obtido da seguinte forma:

t hel hel helv 2 f 2 3 4 1 24 m sω π

Substituindo-se os parâmetros conhecidos na equação do módulo da velocidade total, obtém-se:

2 2 2v 24 2 24 24 m s

Resposta da questão 2:

[C]



A velocidade angular média ( )ω depende basicamente da frequência da rotação (f ) ou do período (T) sendo dada por:

22 f

T

πω π

Para ambos os observadores (A e B), tanto suas frequências como seus períodos de rotação são os mesmos, pois quando a

Terra dá uma volta completa, qualquer ponto do planeta também dá uma rotação completa, então suas velocidades angulares

médias ( )ω devem ser exatamente iguais.

A BA B

A B

f f

T Tω ω

Já a velocidade escalar média (v) dessas duas pessoas, depende do raio (R) de curvatura da Terra. Pontos mais próximos dos

polos têm raios menores que pontos próximos ao Equador, portanto temos que:

A BR R

Como a velocidade escalar média (v) é diretamente proporcional ao raio e dada por: 2 R

v 2 Rf ,T

ππ temos que A Bv v .


[D]

A velocidade linear é a mesma para as duas polias.

G M GG M G G M M

M G M

R 27 1v v R R .

R 54 2

ω ωω ω

ω ω


[C]

V 1 1V 2 Rf f f Hz.

2 R 2 15 30

1 12 f 2 rad/s.

30 15

ππ π π

ω π π ωπ


[C]

1 1 1

2 2 2

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 12 2 2

2

2 R f

2 R f

2 R f 2 R f

R f R f

R f 20 3.600f f f 1.440 rpm

R 50

ω π

ω π

ω ω

π π


[B]

No acoplamento coaxial as frequências são iguais. No acoplamento tangencial as frequências (f) são inversamente

proporcionais aos números (N) de dentes;

Assim:



A motor

B B A A B B

C B

D D C C D D

f f 18 rpm.

f N f N f 72 18 24 f 6 rpm.

f f 6 rpm.

f N f N f 108 6 36 f 2 rpm.

A frequência do ponteiro é igual à da engrenagem D, ou seja:

f 2 rpm.


[D]

- Espaço ocupado por cada informação: 7L 0,2 m 2 10 m.μ

- Comprimento de uma volta:

2 2C 2 r 2 3 3 10 18 10 m.π

- Número de informações armazenadas em cada volta:

25

7

C 18 10n 9 10 .

L 2 10

- Como são 120 voltas por segundo, o número de informações armazenadas a cada segundo é:

5 8N n f 9 10 120 N 1,08 10 .


[D]

A análise da situação permite concluir que o carretel F gira no mesmo sentido que o carretel R, ou seja, horário. Como se trata

de uma acoplamento tangencial, ambos têm mesma velocidade linear, igual à velocidade linear da fita.

F RF R F F R R F F R R

R F

f rv v 2 f r 2 f r f r f r .

f rπ π

Essa expressão final mostra que a frequência de rotação é inversamente proporcional ao raio. Como o carretel F tem maior raio

ele gira com menor frequência, ou seja dá menos voltas que o carretel R. Resposta da questão 9:

[A]

Como a catraca B gira juntamente com a roda R, ou seja, ambas completam uma volta no mesmo intervalo de tempo, elas

possuem a mesma velocidade angular: B Rω ω .

Como a coroa A conecta-se à catraca B através de uma correia, os pontos de suas periferias possuem a mesma velocidade

escalar, ou seja: A BV V .

Lembrando que V .rω : A B A A B BV V .r .rω ω .

Como: A B A Br r ω ω .


A figura ilustra a situação, mostrando Maria (M) e seu namorado (N) em duas posições diferentes, sobre o mesmo meridiano



a) O raio da trajetória de Maria é igual ao raio da Terra: 6MR R 6 10 m.

Como o movimento de Maria é circular uniforme:

6M M

M M

S 2 R 2 3 6 10v v 450m s.

t T 80.000

Δ π

Δ

b) No movimento circular uniforme, a aceleração é centrípeta. 2 2

2MM M6 6

M

v 450 202.500a a 0,034m s .

R 6 10 6 10

c) O movimento do namorado de Maria também é circular uniforme, de raio nR .

nn

n nn M M

Rcos60 R Rcos60

R

S 2 R 2 Rcos60 2 R 1v cos60 v cos60 450 v 225m s.

t T T T 2

Δ π π π

Δ

d) Como mostra a figura, as acelerações de Maria e de seu namorado, M na e a , são paralelas entre si, logo:

0 .α


Dados: Uf 300rpm 5Hz; 3; R 1,2m; P 1.500W; 60% 0,6.π η

Velocidade (escalar) angular:

2 f 2 3 5 30rad s.ω π ω

Velocidade (escalar) linear:

v R 30 1,2 v 36m s.ω

Energia cinética transmitida:



cin T5U

cin cinU UT

T

E P tP 1.500

E t 60 E 1,5 10 J.P P P 0,6

P

Δ

Δη η

η


[A]

A figura ilustra a situação, considerando a Terra esférica.

Todos os pontos da Terra têm a mesma velocidade angular. Assim, para V 2v, tem-se:

v V v 2 v R r .

r R r R 2

Mas:

r R 2 1cos cos 60 .

R R 2θ θ θ


[D]

A velocidade de rotação, mais comumente conhecida como frequência f está relacionada com a velocidade linear das correias

com a seguinte equação:

v 2 Rfπ

onde:

v velocidade linear das correias em m s;

R raio da polia em m;

f frequência em Hz.

Para transformar a frequência em rotações por minutos, basta multiplicar o resultado em hertz por 60.

Para efetuar o cálculo, devemos obter a velocidade linear na lona que envolve os cilindros idênticos, C1 e C2, sabendo que o

corredor Bolt faz 100 m em 9 s :

100 mv v 11,11m s

9 s

Para o acoplamento das polias C2 e P1 temos que as frequências em cada uma delas são iguais entre si, portanto:

v 11,11m sv 2 Rf f f f 92,6 Hz

2 R 2 3 0,02 mπ

π



Passando para r.p.m:

f 92,6 Hz 60 f 5.555,5 rpm

Correspondendo então, de forma aproximada, à alternativa [D]. Resposta da questão 14:

[A]

Os raios das engrenagens (R) e os números de dentes (n) são diretamente proporcionais. Assim:

CA A

B D B

RR n 8 1.

R R n 24 3

- A e B estão acopladas tangencialmente:

A B A A B B A A B B

MAA M M A B B B M M B

B

v v 2 f R 2 f R f R f R .

fR 1Mas : f f f R f R f f f f .

R 3 3

π π

- B e C estão acopladas coaxialmente:

MC B

ff f .

3

- C e D estão acopladas tangencialmente:

C D C C D D C C D D

M MCD R C C R D R C R R

D

R R

v v 2 f R 2 f R f R f R .

f fR 1Mas : f f f R f R f f f f

R 3 3 9

13,5F f 1,5 Hz.

9

π π


[D]

Na posição 1:

B A

B BB A A A B A A

B A

C B C C A A

C 1 1 C A A

r 2 r .

v v v 2 r .

r 2 r

v v r 2 r .

r 2 r . (I)

ω ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

Na posição 2:

D A D D A A

2 D 2 C A A

C D

v v r r .

. r r . (II)

r r .

ω ω

ω ω ω ω

Dividindo membro a membro (I) por (II):

1 C A A 1

2 C A A 2

r 2 r 2.

r r

ω ω ω

ω ω ω


[D]



A tração no ponto B deverá ser igual à força centrífuga que puxa o trecho BC para fora. Portanto:

B cf

2B BC BC

2B

2 2 2

B

T F

T m

r LT (L r)

2

L rT

2

ω

μ ω

ω

μ

Pela Lei de Taylor:

2 2 2

2 2

Tv

L rv

2

L rv

2

μ

ω

ω


[E]

A figura abaixo mostra os diversos componentes do mecanismo e suas dimensões.

Denominemos Ω a velocidade angular da coroa e ω a velocidade angular da catraca e consequentemente da roda, já que elas

rodam solidárias.

Como a coroa e a catraca são interligadas por uma correia podemos dizer que as velocidades lineares de suas periferias são

iguais.



coroa catracar

V V R rR

ωΩ ω Ω (01)

Por outro lado a velocidade da bicicleta pode ser calculada por: D 2V

V2 D

ω ω (02)

Substituindo 02 em 01, vem:

2Vr

RDΩ (03)

V =18km/h = 5,0m/s

D= 70cm = 0,7m

2R = 20cm R = 0,1m

2r = 7cm r = 0,035m

Substituindo os valores em 03, temos:

5rot

2.5.0,035 525,0rd / s 5,0rd / s 60 50RPM10,1 0,7 6

min60

πΩ Ω


[A]

S 24 8V R .0,3 rd / s

t 30 3

8 4voltas 4rd volta

3 3 3

41s volta 4

X 60. 80 voltas33

60s X

80RPM

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