1. 1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICAProf. Anderson Coser GaudioDepartamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santohttp://www.cce.ufes.br/andersonanderson@npd.ufes.br ltima atualizao: 25/07/2005 09:16 H RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC,RIO DE JANEIRO, 1996. FSICA 1 Captulo 4 - Movimento Bi eTridimensional Problemas01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87
2. 2. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES Problemas Resolvidos02. A posio de uma partcula que se move em um plano xy dada por r = (2t3 5t)i + (6 7t4)j, com r em metros e t em segundos. Calcule (a) r, (b) v e (c) a quando t = 2 s.(Pg. 64) Soluo. (a) Em t = 2,00 s a posio (r) da partcula vale: r = [2 (2)3 5 (2)]i + [6 7 (2) 4 ]j r = (16 10)i + (6 112) j r = (6i 106 j) m (b) A velocidade instantnea v derivada primeira de r em relao ao tempo: dr d v== [(2t 3 5t )i + (6 7t 4 ) j] dt dt v = (6t 2 5)i 28t 3 j Substituindo-se o valor de t = 2 s: v = [6 (2) 2 5]i [28 (2)3 ]j v = (21i 224 j) m/s (c) A acelerao instantnea a derivada primeira de v em relao ao tempo: dv d a= = [(6t 2 5)i 28t 3 j] dt dt a = 12ti 84t 2 j Substituindo-se o valor de t = 2 s: a = 12 (2)i 84 (2) 2 j a = (24i 336 j) m/s 2[Incio] 44. Um canho posicionado para atirar projteis com velocidade inicial v0 diretamente acima de uma elevao de ngulo , como mostrado na Fig. 33. Que ngulo o canho deve fazer com a horizontal de forma a ter o alcance mximo possvel acima da elevao?(Pg. 67) Soluo.________________________________________________________________________________________________________ 2a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
3. 3. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFESAnlise do movimento no eixo horizontal (x), onde o ngulo de inclinao do canho em relao horizontal: x = x0 + vx t R cos = 0 + v0 cos tR cos t= (1)v0 cos Anlise do movimento no eixo vertical (y):1 y = y0 + v y 0t + at 22 1 R sin = 0 + v0 sin t gt 2(2) 2 Substituindo-se (1) em (2):R cos 1 R 2 cos 2 R sin = v0 sin gv0 cos 2 v0 2 cos 2 cos 1 R cos 2 sin = sin g cos 2 v0 2 cos 2 gR cos 2 sin = tan cos 2v0 2 cos 2 2v0 2 cos 2 R = ( tan cos sin ) (3)g cos 2 Como R() uma funo cujo ponto de mximo deve ser localizado, devemos identificar o valor de tal que dR/d = 0. dR 2v0 2 cos( 2 ) sec 2 ==0 (4) d g Resolvendo-se (4) para encontramos duas possveis solues: 1 (2 ) = 4 1 (2 + ) 4 Como 0 < < /2 (ver figura), a resposta mais coerente : 1 = (2 + ) 4 claro que resta demonstrar que d2R/d2 < 0, equao (3), pois como se trata de um ponto de mximo, a concavidade da curva nesse ponto deve ser voltada para baixo.[Incio] 49. Um canho antitanque est localizado na borda de um plat a 60,0 m acima de uma plancie, conforme a Fig. 37. A equipe do canho avista um tanque inimigo parado na plancie distncia de 2,20 km do canho. No mesmo instante a equipe do tanque avista o canho e comea a se mover em linha reta para longe deste, com acelerao de 0,900 m/s2. Se o canho antitanque ________________________________________________________________________________________________________ 3a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
4. 4. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFESdispara um obus com velocidade de disparo de 240 m/s e com elevao de 10,0o acima da horizontal, quanto tempo a equipe do canho teria de esperar antes de atirar, se quiser acertar o tanque?(Pg. 68) Soluo. A estratgia que vamos adotar consiste em calcular o tempo que o obus leva para atingir o solo da plancie (tb) e o tempo que o tanque leva para chegar ao local onde o obus cai (tt), que fica a uma distncia horizontal R do canho. O tempo de espera ser: t = tb tt (1) Em primeiro lugar vamos analisar o movimento do obus. Em x o movimento se d com velocidade constante:x = x0 + vx t R = 0 + v0 cos tbR tb = (2)v0 cos Movimento do obus em y:1 y y0 = v y 0t + a y t 22 1 0 h = v0 sen t gtb2(3) 2 Substituindo-se (2) em (3):2R1 R h = v0 sen g v0 cos 2 v0 cos g R 2 tan R h = 0 2v0 cos 2 2 Daqui para adiante no h vantagem em continuar a solucionar o problema literalmente. As razes desta equao do 2o grau so: R1 = 2.306, 775 m R2 = 296,5345m Como R corresponde a uma coordenada positiva no eixo x, temos: R = 2.306, 775 m (4) Substituindo-se (4) em (2): tb = 9, 7598 s (5) Agora vamos analisar o movimento do tanque, que se d com acelerao constante:1x x0 = vx 0t + ax t 22 ________________________________________________________________________________________________________ 4a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
5. 5. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES 1 R d 0 = 0 + at tt222 ( R d0 ) tt == 15, 4038 s (6) at Substituindo-se (5) e (6) em (1): t = 5, 6440 s t 5, 64 s [Incio] 60. Uma criana gira uma pedra em um crculo horizontal a 1,9 m acima do cho, por meio de uma corda de 1,4 m de comprimento. A corda arrebenta e a pedra sai horizontalmente, caindo no cho a 11 m de distncia. Qual era a acelerao centrpeta enquanto estava em movimento circular? (Pg. 68) Soluo. Considere o seguinte esquema:ryvxh d A acelerao centrpeta procurada dada por: v2 ac = (1)r Anlise do movimento no eixo horizontal (x):x = x0 + vx t d = 0 + vt d t= (2) v Anlise do movimento no eixo vertical (y):1 y = y0 + v y 0t + at 221 0 = h + 0 gt 22 1 h = gt 2 (3) 2 Substituindo-se (2) em (3):________________________________________________________________________________________________________ 5a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
6. 6. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES21 d h=g2 v22 gd v2 = (4) 2h Substituindo-se (4) em (1):2gd ac =2rh2(9,81 m/s 2 )(11 m) ac = = 223,1221... m/s 2 2(1, 4 m)(1,9 m) ac 2, 2 103 m/s 2[Incio] 70. A neve est caindo verticalmente velocidade escalar constante de 7,8 m/s. (a) A que ngulo com a vertical e (b)com qual velocidade os flocos de neve parecem estar caindo para o motorista de um carro que viaja numa estrada reta velocidade escalar de 55 km/h? (Pg. 69) Soluo. Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vC a velocidade do carro em relao ao solo, vN a velocidade da neve em relao ao solo e vNC a velocidade da neve em relao ao carro: vNCyvNxvC (a) O ngulo que a neve faz com a vertical vale: v tan = C vN vC = tan 1 = 27, 0463 vN 27 (b) A velocidade escalar da neve dada por: vNC = vC + vN = 61, 753422km/h vNC 62 km/h Obs. Apenas como curiosidade, vamos mostrar o vetor vNC. Os vetores vN e vC so definidos como:v C = vC i v N = vN j De acordo com o esquema, temos:v N = v C + v NC________________________________________________________________________________________________________ 6a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
7. 7. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFESv NC = v N v C Logo: v NC = vC i vN j [Incio] 71. Um trem viaja para o Sul a 28 m/s (relativamente ao cho), sob uma chuva que est sendo soprada para o sul pelo vento. A trajetria de cada gota de chuva faz um ngulo de 64o com a vertical, medida por um observador parado em relao Terra. Um observador no trem, entretanto, observa traos perfeitamente verticais das gotas na janela do trem. Determine a velocidade das gotas em relao Terra.(Pg. 69) Soluo. Considere o seguinte esquema vetorial de velocidades, onde vT a velocidade do trem em relao Terra, vG a velocidade das gotas de chuva em relao Terra e vGT a velocidade das gotas de chuva em relao aotrem: vGT y vG x vT Os vetores vT e vGT so definidos como:vT = vT i(1) v GT = vG cos j (2) De acordo com o esquema, temos:v G = vT + v GT (3) Substituindo-se (1) e (2) em (3): v G = vT i vG cos j (4) O esquema mostra que vG definido por:v G = vG sen i vG cos j(5) Comparando-se (4 e (5), conclui-se que: vG sen = vTvT vG = (6) sen Substituindo-se (6) em (4):v v G = vT i T jtan O mdulo de vG dado por: 2 v vNC = vT + T = 31,15282m/s tan vNC 31 m/s ________________________________________________________________________________________________________ 7a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
8. 8. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES[Incio] 81. Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. A velocidade escalar com que consegue remar (relativamente gua) de 3,0 km/h. O rio desce velocidade de 2,0 km/h. A velocidade com que o homem caminha em terra de 5,0 km/h. (a) Ache o trajeto (combinando andar e remar) que ele deve tomar para chegar ao ponto diretamente oposto ao seu ponto de partida no menor tempo. (b) Quanto tempo ele gasta?(Pg. 70) Soluo. (a) O trajeto procurado definido pelo ngulo que o remador deve adotar para direcionar o barco durante a travessia, de forma que a soma dos tempos gastos remando (t1) e andando (t2) deve ser o menor possvel. Logo, a soluo deste item consiste em construir uma funo matemtica t1 + t2 = f() e, em seguida, achar o valor de onde t1 + t2 tem seu valor mnimo, ou seja, d(t1 + t2)/d = 0. Considere o seguinte esquema para a situao: v C t2 ,d2B vA yt1 ,d1 lvHA vHAx A velocidade do homem em relao gua (vHA) deve fazer um ngulo em relao margem. A velocidade da gua (vA) far com que o barco percorra a trajetria retilnea AB, que faz um ngulo em relao margem. O trajeto AB mede d1 e ser percorrido num tempo t1. Ao chegar ao ponto B, o homem ir caminhando at C num tempo t2 atravs de uma distncia d2. Seja o esquema vetorial de velocidades: vA vHAvH De acordo com o esquema acima:v H = v A + v HA(1) Mas: v A = va i (2) v HA = vHA cos i + vHA sen j (3) Logo, substituindo-se (2) e (3) em (1):v H = (va + vHA cos )i + vHA sen j Movimento do ponto A ao ponto B:r = r0 + vt rB = rA + v H t1 ________________________________________________________________________________________________________ 8a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
9. 9. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFESConsiderando-se um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto A, temos:rB = d 2 i + l j Logo: d 2 i + l j = 0 + [(v A + vHA cos )i + vHA sen j]t1 (4) A equao (4) somente verdadeira se e somente se:d 2 = (v A + vHA cos )t1 e l = vHA sen t1(5) Logo, de acordo com (10): lt1 = vHA sen Mas, de acordo com o esquema principal acima: ld2 = (6) tan Tambm podemos dizer que:v H = v Hx i + v Hy j Onde: v Hy v HA sen tan ==(7) v Hx (v A + v HA cos ) Substituindo-se (7) em (6):l (v A + v HA cos ) d2 =(8)v HA sen Movimento de B at C:x = x0 + v x t 0 = d 2 vt 2d2 t2 =(9) v Substituindo-se (8) em (9):l (v A + v HA cos ) t2 = vv HA sen Agora podemos construir a funo t1 + t2 = f():ll (v + v HA cos )t1 + t 2 =+ A v HA sen vv HA sen l (v + v A + v HA cos ) t1 + t 2 =(10)vv HA sen O mnimo da funo (10) agora pode ser encontrado.d (t1 + t2 ) l [(vHA ) sen 2 (v + v A + vHA cos ) cos ] = =0(11)d vvHAsen 2 ________________________________________________________________________________________________________9a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
10. 10. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFESA equao (11) somente verdadeira se: v HA sen 2 (v + v A + v HA cos ) cos = 0 Logo: v HA (sen 2 + cos 2 ) = (v + v A ) cosv HA cos = v + vA v HA = cos 1 v + vA (3,0 km) = cos 1 = 115,3769 o [(5,0 km) + (2,0 km)] 115 o (b) Da equao (10): (0,500 km)[(5, 0 km/h) + (2, 0 km/h) + (3, 0 km/h) cos115,3769o ) t1 + t2 =(5, 0 km/h)(3, 0 km/h)sen115,3769 o t1 + t 2 = 0,2108 h t1 + t 2 0,21 h[Incio] 82. Um navio de guerra navega para leste a 24 km/h. Um submarino a 4,0 km de distncia atira um torpedo que tem a velocidade escalar de 50 km/h. Se a posio do navio, visto do submarino, est 20o a nordeste (a) em qual direo o torpedo deve ser lanado para acertar o navio, e (b) que tempo decorrer at o torpedo alcanar o navio?(Pg. 70) Soluo. (a) Considere o seguinte esquema da situao: vNy vTNvT x Pelo esquema acima, temos: v T = v N + v TN vTN = vT v N onde vTN o vetor velocidade do torpedo em relao ao navio. Os vetores vN e vT so assim definidos: v N = vN i (1)________________________________________________________________________________________________________ 10a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
11. 11. Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES vT = vT sin i + vT cos j (2) onde o ngulo procurado no item (b) do enunciado.vTN = vT sin i + vT cos j vN i = ( vT sin vN ) i + vT cos j(3) Mas:vTN = vTN sin i + vTN cos j(4) Como os vetores (3) e (4) so iguais, suas componentes tambm so iguais. vT sin vN = vTN sin (5)vT cos = vTN cos (6) Dividindo-se (5) por (6):vT sin vN= tan (7) vT cos Resolvendo-se (7) : vN vT tan + vT 4 + vT 4 tan 2 vN 2 vT 2 = sec1vT 2 vN 2 So duas as solues possveis: 173,89...o =46,8112...o Pelo esquema inicial, conclui-se que a resposta mais coerente a segunda opo: 47o (b) Equao de movimento do navio e do torpedo:rN = rN 0 + v N trT = rT 0 + vT t Como no instante t da coliso entre o torpedo e o navio ambos estaro na mesma posio, temos: rN = rTrN 0 + v N t = rT 0 + vT t Mas:rT 0 = 0 Logo:rN 0 + v N t = vT t(8) Porm:rN 0 = d sin i + d cos j (9) Substituindo-se (1), (2) e (9) em (8): d sin i + d cos j + vN ti = vT sin ti + vT cos tj(d sin + vN t )i + d cos j = vT sin ti + vT cos tj (10) Como os vetores descritos em ambos os membros de (10) so iguais, suas componentes tambm so iguais. Igualando-se as componentes y desses vetores:d cos = vT cos t ________________________________________________________________________________________________________11a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional
12. 12. Problemas Resolvidos de FsicaProf. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES d cos t=vT cos (4, 0 km) cos(20o ) t= = 0,109838... h(50 km/h) cos(46,8112...o ) t 0,11 h[Incio] ________________________________________________________________________________________________________ 12a Resnick, Halliday, Krane - Fsica 1 - 4 Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 Movimento Bi e Tridimensional