1

Movimento Uniforme

Fundamentação Teórica

É aquele em que um corpo se desloca com velocidade ______________________ ao longo de uma trajetória qualquer.

• VELOCIDADE MÉDIA: Sendo:

Onde: * ∆S = variação do espaço * ∆t = variação do tempo

• EQUAÇÃO HORÁRIA: Onde:

* v = velocidade * t = tempo GRÁFICO: (V x t ) Onde: V t

• MOVIMENTO RELATIVO: Observem: 1) 2)

2

01. (UFRS) Um passageiro que perdeu um ônibus que saiu da rodoviária há 5 minutos, pega um táxi para

alcançá-lo. O ônibus desenvolve uma velocidade média de 60 km/h e o táxi de 90 km/h. Quantos minutos são necessários para o táxi alcançar o ônibus?

a) 2

b) 5

c) 10

d) 15

e) 17

02. (UNIFOR) Considere o texto contendo lacunas. Na mecânica, o estudo descritivo do movimento recebe o nome de _____________. Nesse estudo, a

mudança de posição de um corpo, em relação a um sistema de referência, dá-se o nome de _________________, enquanto ________________ é a linha que indica as posições sucessivas ocupadas pelo corpo.

Para completar corretamente o texto, as lacunas devem ser preenchidas, respectivamente, por:

a) cinemática – deslocamento – trajetória.

b) dinâmica – velocidade – trajetória.

c) cinemática – velocidade – referencial.

d) dinâmica – deslocamento – referencial.

e) estática – trajetória – deslocamento.

03. (UECE) A função horária: s = 10 – 2t (SI) representa o movimento uniforme de um ponto material. O instante da passagem do móvel pela origem dos espaços é:

a) 5s

b) 6s

c) 7s

d) 8s

04. (UNIFOR) O motorista de um automóvel percorre a distância de 600 km entre duas cidades. Nos primeiros 300

km da viagem ele mantém a velocidade média de 120 km/h, fazendo em seguida, uma parada de 30 minutos. Prossegue a viagem gastando mais 3,0 horas para completá-la. A velocidade escalar média do automóvel, no percurso todo, em km/h, foi

a) 78

b) 85

c) 90

d) 95

e) 100

3

05. (UNIFOR) Um motorista faz percurso de 200 km entre duas cidades, A e B, com velocidade escalar média de 100 km/h. Em seguida, percorre 480 km entre as cidades B e C com velocidade escalar média de 60 km/h. A sua velocidade escalar média, em km/h, no percurso total de A e C foi

a) 52

b) 56

c) 60

d) 65

e) 68

06. (UFPE) Durante o teste de desempenho de um novo modelo de automóvel, o piloto percorreu a primeira

metade da pista com a velocidade média de 60 km/h e a segunda metade com a velocidade de 90 km/h. Qual a velocidade média desenvolvida durante o teste completo, em m/s?

07. (PUC-SP) Duas bolas de dimensões desprezíveis se aproximam uma da outra, executando movimentos

retilíneos e uniformes (veja a figura).

Sabendo-se que as bolas possuem velocidades de 2m/s e 3m/s e que, no instante t=0, a distância entre elas

é de 15m, podemos afirmar que o instante da colisão é:

a) 1 s

b) 2 s

c) 3 s

d) 4 s

e) 5 s

08. (PUC-SP) Dois móveis estão dotados de movimentos uniformes sobre uma trajetória retilínea, de tal forma

que a distância entre eles aumenta de 10 metros por segundo quando se deslocam no mesmo sentido e de 30 metros por segundo quando se deslocam em sentidos opostos. Os valores das velocidades desses móveis são:

a) 20 m/s e 10 m/s

b) 30 m/s e 5 m/s

c) 30 m/s e 20 m/s

d) 20 m/s e 5 m/s

e) 25 m/s e 10 m/s

4

09. (PUC-SP) Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veículo leva para percorrer um trecho de 400 m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 140 km/h. Sendo de 80 km/h a velocidade limite permitida, Qual deve ser a maior velocidade média do carro na Segunda metade do trecho, para evitar ser multado?

a) 20 km/h

b) 48 km/h

c) 56 km/h

d) 60 km/h

e) 80 km/h

10. (Mackenzie-SP) Um móvel se desloca sobre uma reta conforme o diagrama a seguir. O instante em que a

posição do móvel é de +20m é:

a) 6 s

b) 8 s

c) 10 s

d) 12 s

e) 14 s

Movimento Uniformemente Variado

Fundamentação Teórica

É aquele em que o módulo da _________________ varia uniformemente com o tempo. • ACELERAÇÃO MÉDIA: Onde: a = aceleração ∆v = variação da velocidade ∆t = variação do tempo Equação Horária:

5

Equação da Velocidade: Equação de Torricelle: ● GRÁFICOS: (s x t) s v t t ● GRÁFICOS (v x t) v v t t

01. (Olimpíada Paulista de Física) Um avião a jato, partindo do repouso, é submetido uma aceleração constante

de 4,0 m/s². Qual o intervalo de tempo de aplicação dessa aceleração para que o jato atinja a velocidade de decolagem de 160 m/s? Qual é a distância percorrida até a decolagem?

a) 80 s e 400 m

b) 20 s e 1600 m

c) 20 s e 3200 m

d) 40 s e 1600 m

e) 40 s e 3200 m

02. (UNIFOR) Ao descer por um plano inclinado de ângulo θ com a horizontal, suposto sem atrito, um corpo

passa por um ponto A com velocidade de 4,0 m/s e, depois de 2,0 s, passa por outro ponto B com velocidade média de 6,0 m/s. Pode-se concluir que a distância AB vale, em metros:

a) 6,0

b) 8,0

c) 10

d) 12

e) 16

6

03. (UNIFOR) Uma moto parte do repouso e acelera uniformemente a razão de 3 m/s², numa estrada retilínea, até atingir velocidade de 24 m/s, que é mantida constante nos 8,0 s seguintes. A velocidade média desenvolvida pela moto na etapa descrita foi, em m/s, igual a:

a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

04. (UECE) Um automóvel, avançando à velocidade de 36 km/h (ou 10 m/s), sofre uma colisão frontal contra um

muro de concreto. Observa-se que o carro pára completamente após amassar 0,50 m de sua parte frontal. A desaceleração do carro, suposta constante durante a colisão, em m/s², é:

a) 50

b) 75

c) 100

d) 125

05. (ITA-SP) De uma estação parte um trem A com velocidade constante de

80 km/h. Depois de certo tempo, parte dessa mesma estação um outro trem B, com velocidade constante de 100 km/h. Depois de um tempo de percurso, o maquinista de B verifica que o seu trem se encontra a 3 km de A, a partir desse instante ele aciona os freios indefinidamente, comunicando ao trem uma aceleração de -50 km/h². O trem A continua no seu movimento anterior. Nessas condições:

a) não houve encontro dos trens.

b) depois de duas horas o trem B pára e a distância que o separa de A é de 64 km.

c) houve encontro dos trens depois de 12 min.

d) houve encontro dos trens depois de 36 min.

e) não houve encontro dos trens, continuam caminhando e a distância que os separa agora é de 2 km.

06. (UFRS) Um automóvel que anda com velocidade de 72 km/h é freado de tal forma que 6,0 s após o início da

freada, sua velocidade escalar é de 8,0 m/s. O tempo gasto pelo móvel até parar e a distância percorrida até então valem, respectivamente:

a) 10 s e 100 m

b) 10 s e 200 m

c) 20 s e 100 m

d) 20 s e 200 m

e) 5 s e 150 m

07. (Mackenzie-SP) Um trem de 100m de comprimento, com velocidade de 30m/s£, começa a frear com

aceleração constante de módulo 2m/s, no instante em que inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está saindo do túnel. O comprimento do túnel é:

a) 25 m

b) 50 m

7

c) 75 m

d) 100m

e) 125 m

08. (UECE) Um caminhão tanque desloca-se numa estrada reta com velocidade constante de 72,0km/h. Devido a um vazamento, o caminhão perde água à razão de uma gota por segundo. O motorista, vendo um obstáculo, freia o caminhão uniformemente, até parar. As manchas de água deixadas na estrada estão representadas na figura a seguir.

O valor do módulo da desaceleração durante a frenagem do caminhão (em m/s2) é:

a) 4,0

b) 2,2

c) 4,4

d) 2,8

e) 3,4

09. (VUNESP) O gráfico adiante mostra como varia a velocidade de um móvel, em função do tempo, durante

parte de seu movimento.

O movimento representado pelo gráfico pode ser o de uma

a) esfera que desce por um plano inclinado e continua rolando por um plano horizontal.

b) criança deslizando num escorregador de um parque infantil.

c) fruta que cai de uma árvore.

d) composição de metrô, que se aproxima de uma estação e pára.

e) bala no interior de um cano de arma, logo após o disparo.

8

10. (FEI-SP) Um móvel tem movimento com velocidade descrita pelo gráfico a seguir. Após 10s qual será sua distância do ponto de partida?

a) 500m

b) 20m

c) 75m

d) 25m

e) 100m

11. (UFMG) Este diagrama representa a velocidade de uma partícula que se desloca sobre uma reta em função

do tempo.

O deslocamento da partícula, no intervalo de 0 a 10,0 s, foi

a) 20m.

b) 10m.

c) 0m.

d) -10m.

e) -20m.

12. (UFRJ) O movimento de um móvel está representado, a seguir, pelo gráfico das posições (s) em função do

tempo (t).

9

A função horária da posição desse móvel é dada pela expressão:

a) S = -10 + 2t - 5t2

b) S = -5 + 3,5t - 0,5t2

c) S = -10 + 7t – t2

d) S = -5 + t - 3t2

e) S = 5 - 2,5t2

Lançamento Vertical no Vácuo

Fundamentação Teórica

• É um caso particular do M.U.V. onde sua aceleração é a aceleração da _______________ . • Equações:

01. (UNIFOR) Uma pedra é atirada verticalmente para cima com velocidade de 50 m/s. Adotando g = 10 m/s² e

desprezando a resistência do ar, pode-se prever que a altura máxima atingida e o tempo de subida serão, em unidades do SI, respectivamente:

a) 125 e 5,0

b) 75 e 7,5

c) 50 e 5,0

d) 25 e 2,5

e) 5,0 e 2,5

02. (UECE) Em um circo, um malabarista lança bolas, verticalmente para cima, até uma altura h. No caso de jogá-

las para que elas fiquem o dobro do tempo no ar, a nova altura será:

a) 2h

b) 4h

c) 6h

d) 8h

e) 32h

10

03. Do alto de uma ponte, a 20 m de altura sobre um rio, deixa-se cair uma laranja, a partir do repouso. A laranja cai dentro de uma canoa que desce o rio com velocidade constante de 3,0 m/s. No instante em que a laranja inicia a queda, a canoa deve estar a uma distância máxima da vertical da queda, em metros, igual a

Dado: g = 10 m/s²

a) 1,5

b) 3,0

c) 4,5

d) 6,0

e) 9,0

04. (UNIRIO) Um corpo é lançado verticalmente para cima, em um local onde o efeito do atrito com o ar é

desprezível. Se a velocidade de lançamento foi de 30 m/s qual a altura máxima atingida pelo corpo?

a) 25 m

b) 35 m

c) 42 m

d) 45 m

e) 50 m

05. (UERJ) Um corpo é abandonado do alto de uma plataforma, com 20m, de altura. Com que velocidade o corpo

atinge o solo? Despreze o ar e considere que a aceleração local da gravidade seja de 10m/s2.

a) 10 m/s

b) 20 m/s

c) 30 m/s

d) 33 m/s

e) 35 m/s

06. (UECE) Esta questão apresenta duas afirmações, podendo a segunda ser uma razão para justificar a primeira.

1ª Afirmação No ponto mais alto da trajetória, a aceleração de uma pedra, lançada verticalmente para cima, é nula. PORQUE 2ª Afirmação No ponto mais alto da trajetória, a velocidade da pedra é nula.

Marque a opção:

a) se as duas afirmações forem VERDADEIRAS e a segunda FOR uma justificativa da primeira.

b) se as duas afirmações forem VERDADEIRAS e a segunda NÃO FOR uma justificativa da primeira.

c) se a primeira for VERDADEIRA e a segunda for FALSA.

d) se a primeira afirmação for FALSA e a segunda afirmação for VERDADEIRA.

11

Lançamento Horizontal no Vácuo

Fundamentação Teórica

Um corpúsculo é lançado horizontalmente, no vácuo, com velocidade inicial Vo, de uma altura H em relação ao solo, no instante ao qual se associa t=0.

O corpúsculo descreverá trajetória que pode ser interpretada como resultante de dois movimentos

independentes, a saber: (i)- um movimento retilíneo e uniforme, de velocidade VX que se desenvolve por inércia, na direção Ox.

∆s = Vx . t (1)

(ii)- um movimento retilíneo uniformemente variado, devido à aceleração da gravidade, na direção Oy.

H = (1/2).g.t2 (2)

OBS: O tempo de queda não depende da particular velocidade horizontal.

12

01. (UFMG) Uma bola rola sobre a superfície de uma mesa até cair de sua extremidade com uma certa

velocidade. Na figura adiante a alternativa que melhor representa a trajetória da bola é:

02. (FEI-SP) Uma esfera de aço de massa 200g desliza sobre uma mesa plana com velocidade igual a 2m/s. A

mesa está a 1,8m do solo. A que distância da mesa a esfera irá tocar o solo?

Obs.: despreze o atrito.

Considere g = 10 m/s2

a) 1,25m

b) 0,5m

c) 0,75m

d) 1,0m

e) 1,2m

03. (MACKENZIE-SP) Um corpo é lançado horizontalmente do alto de uma torre e atinge o solo horizontal com

velocidade de 37,5m/s formando 53° com a horizontal. A altura da torre é de:

Obs.: Despreze as resistências ao movimento.

Dados: g=10m/s2, cos 53°=0,6 e sen 53°=0,8.

a) 20 m

b) 30 m

c) 40 m

d) 45 m

e) 50 m

13

04. (ITA-SP) Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um edifício, tocando o solo decorridos aproximadamente 2s. Sendo de 2,5m a altura de cada andar, o número de andares do edifício é. Dados: g=10m/s2

a) 5

b) 6

c) 8

d) 9

e) indeterminado pois a velocidade horizontal de arremesso da bola não foi fornecida.

05. (ITA-SP) Um caça brasileiro, em vôo horizontal, está bombardeando de uma altura de 2000 m, um destróier

parado. A velocidade do avião é de 320 m/s. De quanto tempo dispõe o destróier para mudar seu curso depois de uma bomba ter sido lançada?

Considere g = 10 m/s².

06. (UFC) Duas bolinhas idênticas, A e B, partem ao mesmo tempo, de uma certa altura H do solo, sendo que A

em queda livre e B com velocidade na direção horizontal. Podemos afirmar que:

a) A bolinha A chega primeiro ao solo.

b) A bolinha B chega primeiro ao solo.

c) A ou B chega primeiro, dependendo da altura do lançamento.

d) A ou B chega primeiro, dependendo da velocidade inicial de B.

e) As duas chegam juntas ao solo.

Lançamento Oblíquo no Vácuo

Fundamentação Teórica

Quando uma bola é chutada em uma partida de futebol, podemos observar que ela realiza um movimento

parabólico. Esse movimento é chamado de lançamento oblíquo. Considere um corpo sendo lançado a partir do solo, formando um ângulo Ө com a horizontal, com velocidade

inicial V0. Desprezando as forças dissipativas, o corpo fica sujeito apenas à ação da gravidade, descrevendo uma trajetória parabólica.

14

Movimento horizontal

Assim como no Lançamento Horizontal, o movimento na direção do eixo x, no lançamento oblíquo, é uniforme, pois a velocidade é constante. Portanto, a função horária do movimento horizontal é:

x = vx.t A distância horizontal percorrida pelo corpo desde o lançamento é chamada alcance máximo. Podemos

determinar o alcance máximo pela equação:

Para determinar a posição do móvel em relação à horizontal temos que determinar a componente da velocidade inicial v0 na direção do eixo x. O módulo da velocidade na direção do eixo x é:

vx = v0 . cosӨ

Movimento Vertical

O movimento vertical está sob a ação da gravidade, isso implica que o movimento é uniformemente variado e a velocidade vy diminui à medida que a altura em relação ao solo aumenta. O componente da velocidade inicial na direção do eixo y é:

v0y = v0 . senӨ

As funções horárias do movimento vertical são: Função horária do espaço

y = v0yt + at2 2

Função horária da velocidade

vy = v0y + at

Equação de Torricelli

vy2 = v0y

2 + 2gy

A altura máxima pode ser calculada usando a equação:

15

01. Um objeto é lançado formando um ângulo de 30º com a horizontal, com uma velocidade inicial de lançamento

V0 = 10 m/s. A partir desses dados, determine o alcance horizontal deste corpo. (Use g = 10 m/s² e sen 60º = 0,8)

a) 8,0 m

b) 16 m

c) 80 m

d) 160 m

e) 200 m

02. Uma menina lança uma boneca formando um ângulo de 30º com o solo (horizontal), sabendo que esta

boneca descreve um movimento oblíquo e foi lançada com uma velocidade de 20 m/s. Determine a altura máxima que esta boneca atinge, aproximadamente. (Use g = 10 m/s² e sen 30º = 0,5)

a) 0,5 m

b) 5,0 m

c) 50 m

d) 500 m

e) 5000 m

03. (PUC-MG) Um corpo é lançado obliquamente sobre a superfície da Terra. Desprezando-se a resistência do

ar, o vetor que melhor representa a resultante das forças que atuam no corpo, durante todo o percurso, é:

04. (VUNESP) Um corpo de massa 1,0 kg é lançado obliquamente, a partir do solo, sem girar. O valor da

componente vertical da velocidade, no instante do lançamento, é 2,0 m/s e o valor da componente horizontal é 3,0m/s. Supondo que o corpo esteja sujeito exclusivamente à ação da gravidade, determine sua energia cinética:

a) no instante do lançamento;

b) no ponto mais alto da trajetória.

16

05. (UNIRIO) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30° com a horizontal, com uma velocidade de 200m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual e 10m/s2 e desprezando a resistência do ar, o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura 480 m acima do ponto de lançamento, em segundos, é:

DADOS:

sen 30° = 0,50

cos 30° = 0,87

a) 2,0

b) 4,0

c) 6,0

d) 8.0

e) 12

06. (PUCCAMP) Um projétil é lançado numa direção que forma um ângulo de 45° com a horizontal. No ponto de

altura máxima, o módulo da velocidade desse projétil é 10 m/s. Considerando-se que a resistência do ar é desprezível, pode-se concluir que o módulo da velocidade de lançamento é, em m/s, igual a

a) 2,5 √2

b) 5 √2

c) 10

d) 10 √2

e) 20

07. (UNIFAP) Se uma pedra é lançada de um plano horizontal de modo ao cair sobre ele com um alcance

máximo x em relação ao ponto de que foi lançado, pode-se dizer que a máxima altura atingida pela pedra será: (obs: alcance máximo 45°)

a) x / 2

b) x / 4

c) x

d) 2x

e) 4x

Movimento Circular Uniforme

Fundamentação Teórica

É aquele em que um ponto material descreve uma trajetória circular com ________________

constante.

- Relação Período e Freqüência: * Período (T): Tempo gasto para o corpo completar uma volta. * Freqüência (f): Quantidade de voltas efetuadas na unidade de tempo.

17

Onde:

Sendo: • Relações do Movimento Circular Uniforme a) b) c) • Acoplamento de Polias

18

01. (UNIFOR) Um disco com 20 cm de diâmetro gira com freqüência de 4,0 Hz. As velocidades angular e escalar

de um ponto da periferia desse disco, em rad/s e m/s, respectivamente, valem.

a) 16π e 1,6π

b) 16π e 0,80π

c) 8,0π e 80π

d) 8,0π e 8,0π

e) 8,0π e 0,80π

02. (UECE) Clara de Assis se encontra sentada num banquinho de roda-gigante (brinquedo de parque infantil) de

5 metros de raio, que dá volta completa em 20 segundos. A velocidade escalar dessa menina é, em m/s:

a) π

b) π / 2

c) π / 4

d) π / 3

03. (UFC) Considere um relógio de pulso em que o ponteiro dos segundos tem um comprimento, rs = 7 mm, e o ponteiro dos minutos tem um comprimento, rm = 5 mm (ambos medidos a partir do eixo central do relógio). Sejam vs, a velocidade da extremidade do ponteiro dos segundos, e vm, a velocidade da extremidade do ponteiro dos minutos. A razão vs / vm é igual a:

a) 35

b) 42

c) 70

d) 84

e) 96

04. Uma fita cassete em funcionamento apresenta, num dado instante, uma das polias com diâmetro de 2,0 cm,

girando com uma freqüência de 0,5 Hz. Sabendo que a outra polia naquele instante está com 5,0 cm de diâmetro a sua freqüência é:

a) 0,1 Hz

b) 0,2 Hz

c) 0,3 Hz

d) 0,4 Hz

e) 0,5 Hz

05. (UNITAL) Uma esfera oca feita de papel tem diâmetro igual a 0,50m e gira com determinada freqüência f,

conforme figura adiante. Um projétil é disparado numa direção que passa pelo equador da esfera, com velocidade v=500m/s. Observa-se que, devido à freqüência de rotação da esfera, a bala sai pelo mesmo orifício feito pelo projétil quando penetra na esfera.

19

A freqüência f da esfera é:

a) 200 Hz.

b) 300 Hz.

c) 400 Hz.

d) 500 Hz.

e) 600 Hz.

06. Um disco executa 240 voltas por minuto. Qual a freqüência deste movimento em Hz?

07. A freqüência de rotação de uma engrenagem é de 40Hz. Qual o valor desta freqüência em r.p.m.?

08. Um disco gira ao redor de seu eixo central, realizando assim, um movimento de rotação. O disco completa

uma volta a cada 4,0s. Qual a freqüência deste movimento de rotação, em r.p.m.?

09. (UECE) A figura mostra um disco que gira em torno do centro O. A velocidade do ponto X é 50cm/s e a do

ponto Y é de 10cm/s.

A distância XY vale 20cm. Pode-se afirmar que o valor da velocidade angular do disco, em radianos por

segundo, é:

a) 2,0

b) 5,0

c) 10,0

d) 20,0

20

10. (UELONDRINA) Um ciclista percorre uma pista circular de raio igual a 20m, fazendo um quarto de volta a cada 5,0s. Para esse movimento, a freqüência em Hz, e a velocidade angular em rad/s são, respectivamente

a) 0,05 e π/5

b) 0,05 e π/10

c) 0,25 e π/5

d) 4,0 e π/5

e) 4,0 e π/10

11. (UFC) Um exaustor está girando com velocidade angular constante ω = 5π / 2 radiandos/segundo. Determine

a freqüência, em rotações por minuto.

21

Dinâmica sem atrito – Leis de Newton

Fundamentação Teórica

Introdução

Damos o nome de Dinâmica à parte da Física que estuda os movimentos levando em conta as suas causas.

A dinâmica é basicamente fundamentada em três leis elaboradas por Isaac Newton que são conhecidas como leis de Newton.

Uma vez conhecendo o movimento de um corpo, seremos capazes de caracterizar as forças que atuam sobre ele. Reciprocamente, uma vez que as forças sejam conhecidas, poderemos caracterizar o movimento do corpo.

Força é um agente físico importantíssimo no dia-a-dia e é capaz de provocar deformações, mudanças de direção e mudanças no módulo da velocidade de um corpo.

Começaremos nosso estudo com a Dinâmica sem atrito, ou seja, não analisaremos ainda, um conjunto de forças a que damos o nome de forças de atrito. Força Resultante

Força é uma grandeza vetorial, ou seja, aquela que para ser completamente necessita de: Módulo: é o valor numérico da grandeza seguido de sua respectiva unidade; Direção: é o ângulo que o vetor forma com um eixo tomado como referência; Sentido: é a orientação do vetor.

A chamada força resultante é aquela que, se substituísse todas as outras que agem sobre o corpo, produza

nele o mesmo efeito que todas as forças aplicadas.

Leis de Newton

1ª lei (Inércia) Um ponto material, livre ação de forças (Fres = 0), ou está em movimento retilíneo uniforme (MRU) ou está

em repouso. O MRU é chamado de situação de equilíbrio dinâmico e o repouso, situação de equilíbrio estático. Dessa forma, o princípio da inércia estabelece que, enquanto Fres = 0, uma partícula em repouso tende a

permanecer em repouso e uma partícula em movimento tende a permanecer em MRU. Observe alguns exemplos:

Ônibus em repouso Ônibus “arrancando”

Ônibus em movimento Ônibus freando

2ª lei (ou princípio fundamental da dinâmica)

Newton estabeleceu uma lei básica para análise geral das causas dos movimentos, relacionando as forças

aplicadas a um ponto material de massa m constante e às acelerações que provocam. A 2ª lei de Newton estabelece que a aceleração adquirida por uma partícula é diretamente proporcional à

resultante de todas as forças que atuam e tem a mesma direção e o mesmo sentido desta resultante. Matematicamente:

FR = m . a

22

É interessante observarmos da equação acima que, se aplicarmos em corpos de massas diferentes a mesma força resultante, o corpo de maior massa irá adquirir aceleração de menor módulo, isto é, o corpo de maior massa resiste mais a variações em sua velocidade. Por isso, a massa é a medida da inércia de um corpo. Unidades 1 N = 105 dyn

Sistema Internacional (SI)

−

− −

2

Massa kg(quilograma)

Aceleração m / s (metroporsegundo quadrado)Força N(newton)

CGS

−

− −

2

Massa g(grama)

Aceleração cm / s (centímetro porsegundo quadrado)Força dyn(dina)

Observação

1N = 105 dyn (relação entre newton e dina)

3ª lei ( (ou Princípio da ação e reação)

Em seus estudos de Dinâmica, Newton percebeu que as forças sempre aparecem como resultado da interação de dois corpos. Para cada ação de um corpo sobre outro existirá sempre uma reação igual e contrária deste outro sobre o primeiro. Dessa forma, quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A com uma força de mesmo módulo, mesma direção e de sentido contrário. Observe alguns exemplos.

Observação

Ação e reação são aplicadas em corpos diferentes. Consequentemente, a ação e a reação não podem se

equilibrar mutuamente porque, para isto, seria necessário que elas fossem aplicadas em um mesmo corpo, o que nunca acontece.

Peso, Normal, Tração e Força Elástica

Fundamentação Teórica

Introdução

Nesta parte do nosso curso, estudaremos algumas forças muito importantes como a força peso, a tração e a força normal.

Finalmente, estudaremos a força elástica, presente, por exemplo, nas molas, quando são comprimidas ou distendidas. A sua intensidade será determinada por uma lei desenvolvida pelo cientista Robert Hooke e, em sua homenagem, é denominada lei de Hooke. Algumas forças importantes

23

Peso (P)

Na superfície da Terra, o peso (P) de um objeto é a força com que a Terra o atrai. Quando um corpo está

em movimento sob a ação exclusiva de seu peso, ele adquire uma aceleração denominada aceleração da gravidade (g). Sendo m a massa do corpo, aplicando-se a 2ª Lei de Newton, teremos:

P = m . g

Observação

A Terra atrai o corpo com o peso P e o corpo atrai a Terra com a força P− . Essas forças têm a mesma intensidade, mas sentidos opostos. Dessa forma, a reação do peso de um corpo está aplicada no centro da Terra;

Assim, você é atraído pela Terra e também atrai a Terra pelo princípio da ação e reação. No entanto, como sua massa é muito menor que a da Terra, é considerável seu deslocamento e desprezível o da Terra.

Força de reação normal (N)

Quando um corpo encontra-se apoiado sobre uma superfície, exerce sobre ela uma força de pressão. A

superfície, então, exerce sobre o corpo uma força em sentido contrário e a esta força damos o nome de força de reação normal (ou simplesmente normal). Observe, nas figuras a seguir, alguns exemplos de situações possíveis:

Observação

A normal é sempre perpendicular à superfície de contato; A normal é sempre dirigida “para fora” da superfície.

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Tração (T)

É a força que um fio aplica em um corpo preso a ele. A essa força corresponde uma reação, aplicada no fio.

Observação

Um fio é dito ideal quando é flexível, inextensível e de massa desprezível; A força de tração atua sempre no sentido de puxar o corpo ao qual está ligado, pois um fio não tem rigidez

suficiente para, com ele, empurramos um corpo.

Força Elástica (Lei de Hooke) Considere uma mola sendo deformada longitudinalmente por uma força F . Para equilibrar essa força, a mola

exerce uma força chamada elástica el(F ) de sentido oposto à deformação.

x = variação do comprimento (deformação)

el| F | | F |= A deformação de um corpo é chamada elástica quando, retirada a força deformadora, o corpo reassume o

formato inicial, sem deformação residual. A lei de Hooke nos diz que, em regime de deformação elástica, a intensidade da força deformadora é proporcional à deformação x produzida:

F = k . x

onde k = constante elástica, que é uma constante característica de cada tipo de mola; suas unidades são: No SI No CGS Outras N/m Dyn/cm N/cm, kgf/m, etc

Observação Considera-se que determinada mola é uma mola ideal quando ela tem massa desprezível e obedece

sempre à lei de Hooke, isto é, sempre apresenta deformações em regime elástico.

25

01. (PUCMG) Um automóvel, com uma massa de 1200 kg, tem uma velocidade de 72km/h quando os freios são

acionados, provocando uma desaceleração constante e fazendo com que o carro pare em 10s. A força aplicada ao carro pelos freios vale, em newtons vale:

a) 3600

b) 2400

c) 1800

d) 900

02. (PUCSP) Garfield, o personagem da história a seguir, é reconhecidamente um gato malcriado, guloso e obeso.

Suponha que o bichano esteja na Terra e que a balança utilizada por ele esteja em repouso, apoiada no solo horizontal.

Considere que, na situação de repouso sobre a balança, Garfield exerça sobre ela uma força de compressão de intensidade 150N. A respeito do descrito, são feitas as seguintes afirmações: I. O peso de Garfield, na terra, tem intensidade de 150N. II. A balança exerce sobre Garfield uma força de intensidade 150N. III. O peso de Garfield e a força que a balança aplica sobre ele constituem um par ação-reação.

É (são) verdadeira (s): a) somente I. b) somente lI. c) somente III. d) somente I e II. e) todas as afirmações.

03. (CEFET MG) Analise as afirmativas sobre as leis de Newton.

I. A força resultante necessária para acelerar, uniformemente, um corpo de massa 4,0 kg, de 10m/s para 20m/s, em uma trajetória retilínea, em 5,0 s, tem módulo igual a 8,0 N.

II. Quando uma pessoa empurra uma mesa, e ela não se move, podemos concluir que a força de ação é anulada pela de reação.

III. Durante uma viagem espacial, podem-se desligar os foguetes da nave que ela continua a se mover. Esse fato pode ser explicado pela primeira lei de Newton.

Sobre essas afirmativas, é correto afirmar que:

a) todas são verdadeiras.

b) todas são falsas.

c) apenas I e II são verdadeiras.

d) apenas I e III são verdadeiras.

26

04. (UEL) Os blocos A e B têm massas mA= 5,0kg e mB = 2,0kg e estão apoiados num plano horizontal perfeitamente liso. Aplica-se ao corpo A a força horizontal F, de módulo 21 N.

FA B

A força de contato entre os blocos A e B tem módulo, em newtons:

a) 21

b) 11,5

d) 9,0

d) 7,0

e) 6,0

05. (UFRS) Dois blocos A e B, com massas mA = 5kg e mB = 10kg, são colocados sobre uma superfície plana

horizontal (o atrito entre os blocos e a superfície é nulo) e ligados por um fio inextensível e com massa desprezível (conforme a figura a seguir). O bloco B é puxado para a direita por uma força horizontal F com módulo igual a 30N.

A Bfio F = 30N

Nessa situação, o módulo da aceleração horizontal do sistema e o módulo da força tensora no fio valem, respectivamente:

a) 2 m/s2 e 30 N

b) 2 m/s2 e 20N

c) 3m/s2 e 5 N

d) 3 m/s2 e 10 N

e) 2 m/s2 e 10 N

06. (PUCSP) A mola da figura tem constante elástica 20N/m e encontra-se deformada de 20cm sob a ação do

corpo A cujo peso é 5N. Nessa situação, a balança, graduada em newtons, marca:

a) 1N

b) 2N

c) 3N

d) 4N

e) 5N

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PARA O ALUNO 01. (UNESP) Assinale a alternativa que apresenta o enunciado da Lei da Inércia, também conhecida como

Primeira Lei de Newton.

a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos. b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente

proporcional ao quadrado da distância entre eles. c) Quando um corpo exerce uma força sobre outro, este reage sobre o primeiro com uma força de mesma

intensidade e direção, mas de sentido contrário. d) A aceleração que um corpo adquire é diretamente proporcional à resultante das forças que nele atuam e

tem mesma direção e sentido dessa resultante. e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos

que sobre ele estejam agindo forças com resultante não nula. 02. (PUCMG) Sobre uma partícula P agem quatro forças, representadas na figura abaixo. O módulo da força

resultante sobre a partícula é de:

P8N

3N

12N

6N

Partícula

a) 5N b) 24N c) 6N d) 10N

03. (PUCPR) A aceleração adquirida por um automóvel é de 1,5m/s2 e a força resultante que age sobre ele é

3000N. Com base nessas informações, analise as proposições. I. A massa do automóvel é iguala a 2000kg. II. A massa do automóvel é igual a 4500N. III. Se o automóvel partir do repouso, após 4 segundos sua velocidade será igual a 6m/s. IV. Se o automóvel partir do repouso, após 2 segundos terá percorrido um espaço iguala a 1,5 metros. V. Se quisermos reduzir a aceleração à metade, basta dividirmos por dois a intensidade da força aplicada. Estão corretas: a) apenas I e II. b) Apenas I e III. c) I, III e V. d) I, II, IV. e) II, III e V.

04. (UNESP) Em 1992/3, comemoram-se os 350 anos do nascimento de Isaac Newton, autor de marcantes

contribuições à ciência moderna. Uma delas foi a Lei da Gravitação Universal. Há quem diga que, para isso, Newton se inspirou na queda de uma maçã. Suponha que F1 seja intensidade de força exercida pela maçã sobre a Terra. Então, sendo F2 a intensidade de força exercida pela Terra sobre a maçã, podemos dizer que: a) F1 será muito maior que F2. b) F1 será um pouco maior que F2. c) F1 será igual a F2. d) F1 será um pouco menor que F2. e) F1 será muito menor que F2.

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05. (UDESC) Dois blocos, A e B, de massas mA = 2,0kg e mB = 3,0kg, estão sobre uma superfície perfeitamente lisa, conforme a figura a seguir. O atrito entre os blocos e a superfície é desprezível. Sobre o corpo A é aplicada uma força F , horizontal e constante, de intensidade igual a 15,0N.

F AB

Assinale a alternativa correta: a) a aceleração do bloco B é igual à aceleração do bloco A, porque as forças resultantes sobre os blocos A e

B são de mesma intensidade. b) a aceleração do conjunto é igual a 5,0m/s2. c) a força exercida pelo bloco B sobre o bloco A tem intensidade igual a 9,0N. d) a força exercida pelo bloco A sobre o bloco B tem intensidade igual a 15,0N. e) a força exercida pelo bloco A sobre o bloco B e a força exercida pelo bloco B sobre o bloco A têm

intensidades diferentes. 06. (UFSM)

F

O bloco da figura está em repouso sobre um plano horizontal e perfeitamente liso. A partir do instante t = 0s, passa a atuar sobre o bloco uma força constante de módulo igual a 15N, e esse bloco atinge a velocidade de 20m/s no instante t = 4s. A massa do bloco é, em kg: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

07. (UNESP) Dois blocos A e B, de massas 2,0kg e 6,0kg, respectivamente, e ligados por um fio, estão em

repouso sobre um plano horizontal. Quando puxado para a direita pela força F mostrada na figura, o conjunto adquire aceleração de 2,0m/s2.

Nestas condições, pode-se afirmar que o módulo da resultante das forças que atuam em A e o módulo da resultante das forças que atuam em B valem, em newtons, respectivamente: a) 4 e 16 b) 16 e 16 c) 8 e 12 d) 4 e 12 e) 1 e 3

08. (UNESP) Dois blocos, A e B, de massas m e 2m, respectivamente, ligados por um fio inextensível e de massa

desprezível, estão inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. Quando o conjunto é puxado para a direita pela força horizontal F aplicada em B, como mostra a figura, o fio fica sujeito à tração T1. Quando puxado para a esquerda por uma força de mesma intensidade que a anterior, mas agindo em sentido contrário, o fio fica sujeito à tração T2.

29

Nessas condições, pode-se afirmar que T2 é igual a: a) 2T1 b) 12T c) T1 d) 1T / 2 e) T1 / 2

09. (UNIRIO) Uma força F vetorial de módulo igual a 16N, paralela ao plano, está sendo aplicada em um sistema

constituído por dois blocos, A e B, ligados por um fio inextensível de massa desprezível, como representado na figura a seguir. A massa do bloco A é igual a 3kg, a massa do bloco B é igual a 5kg, e não há atrito entre os blocos e a superfície. Calculando-se a tensão no fio, obteremos:

a) 2N b) 6N c) 8N d) 10N e) 16N

10. (PUC-RIO) Um pára-quedista salta de um avião e cai em queda livre até sua velocidade de queda se tornar

constante. Podemos afirmar que a força total atuando sobre o pára-quedista após sua velocidade se tornar constante é:

a) vertical e para baixo. b) vertical e para cima. c) nula. d) horizontal e para a direita. e) horizontal e para a esquerda.

Plano Inclinado

Fundamentação Teórica

Introdução

Nesta parte do nosso curso, estudaremos uma ferramenta muito importante nas análises vetoriais dos nossos sistemas físicos: a decomposição de vetores. Em seguida, faremos uso dessa ferramenta num sistema muito comum e importante que é o plano inclinado.

O plano inclinado ajuda bastante quando queremos reduzir esforços em subidas, por exemplo. Para isso, usamos as rampas, que nada mais são do que planos inclinados.

30

Decomposição de Forças

Em muitos problemas de Mecânica, pode ser conveniente a decomposição de uma dada força em suas componentes ortogonais. Essa decomposição do vetor força em suas componentes ortogonais será feita em função de grandezas trigonométricas.

Seja a força F mostrada abaixo, a qual desejamos decompor nas direções ortogonais x e y de tal maneira que yxF F F= + , ou seja, a força F seja a resultante das forças componentes x yF e F .

Considerando o ângulo θ do triângulo retângulo obtido na figura, temos:

x x

y y

cos F /F F F.cos

sen F /F F F.sen

θ = ⇒ = θ

θ = ⇒ = θ

Plano Inclinado Um corpo, ao ser colocado sobre um plano inclinado, fica sujeito à ação de, pelo menos, duas forças: seu

próprio peso (P) e a força de reação normal (N) .

Em muitas situações, é interessante decompor a força peso aplicada sobre o corpo em duas componentes perpendiculares entre si, uma paralela x(P ) e outra perpendicular ao plano inclinado y(P ) .

Considerando o ângulo a do triângulo retângulo sombreado obtido na figura, temos:

x x

y y

sen P /P P P.sen

sen P /P P P.cos

α = ⇒ = θ

θ = ⇒ = θ

31

01. (UFF) Um bloco é lançado para cima sobre um plano inclinado em relação à direção horizontal, conforme

ilustra a figura. A resultante (R) das forças que atuam no bloco, durante seu movimento de subida, fica mais bem representada na opção:

02. (MACKENZIE) A figura a seguir mostra um corpo de massa 50kg sobre um plano inclinado sem atrito, que

forma um ângulo θ com a horizontal. A intensidade da força F que fará o corpo subir o plano com aceleração constante de 2 m/s2 é:

Dados: g = 10m/s2 sen θ = 0,6

a) 50 N b) 100 N c) 200 N d) 300 N e) 400 N

03. (UFC) Um bloco de massa mA = 3 kg, apoiado sobre um plano polido, inclinado de 30°, está ligado, por uma corda que passa por uma pequena polia sem atrito, a um segundo bloco de massa mB = 2 kg, pendente verticalmente, conforme a figura abaixo.

Supondo g = 10 m/s2, o módulo da aceleração de cada corpo e o módulo da tensão na corda valem, respectivamente: a) 2 m/s2 e 16 N d) 1 m/s2 e 18 N b) 3m/s2 e 20N e) 5 m/s2 e 24 N c) 4 m/s2 e 22 N

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PARA O ALUNO 01. (UEL) Um corpo de massa 4,0 kg é lançado sobre um plano inclinado liso que forma 30° com o plano

horizontal. No instante t0 = 0, a velocidade do corpo é 5,0 m/s e, no instante t1, o corpo atinge a altura máxima. O valor de t1, em segundos, é igual a: Dados: g = 10m/s2

sen 30° = cos 60° = 0,500 sen 60° = cos 30° = 0,866

a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0

02. (FATEC) Um fio, que tem suas extremidades presas aos corpos A e B, passa por uma roldana sem atrito e de

massa desprezível. O corpo A, de massa 1,0 kg, está apoiado num plano inclinado de 37° com a horizontal, suposto sem atrito. Adote g = 10m/s2, sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80.

Para o corpo B descer com aceleração de 2,0 m/s2, o seu peso deve ser, em newtons:

a) 2,0 b) 6,0 c) 8,0 d) 10 e) 20 03. (UERJ) O carregador deseja levar um bloco de 400 N de peso até a carroceria do caminhão, a uma altura de

1,5m, utilizando-se de um plano inclinado de 3,0m de comprimento, conforme a figura:

Desprezando o atrito, a força mínima com que o carregador deve puxar o bloco, enquanto este sobe a rampa, será, em N, de: a) 100 b) 150 c) 200 d) 400

33

Forças de Atrito

Fundamentação Teórica

Introdução

Nas aulas anteriores, discutimos as leis de Newton, da Dinâmica, aplicadas a corpos em situações ideais - as superfícies em contato eram isentas de atrito e desprezamos a resistência do ar.

Agora, chegou o momento de aprofundarmos o nosso estudo das leis de Newton com a análise dessas forças tão importantes e tão comuns na natureza, que são as forças de atrito.

O atrito é denominado dinâmico (ou cinético) quando há movimento relativo entre os corpos em contato. Quando não há movimento, o atrito é denominado estático. Força de Atrito Imagine uma caixa apoiada sobre uma superfície horizontal áspera, sendo empurrada por um homem, conforme mostra a figura abaixo.

Admita que a caixa esteja inicialmente em repouso. À medida que o homem aumenta o módulo da força horizontal (F ) exercida sobre a caixa, enquanto esta não se move, deve aumentar também o módulo da força que se opõe ao movimento ( )atF , a fim de que a caixa permaneça em equilíbrio.

Enquanto a caixa não se move, o atrito é chamado estático e a sua intensidade é igual à força que solicita o movimento.

Quando a caixa atinge a situação de iminência de movimento, a força de atrito, que ainda tem a mesma intensidade da força que solicita o movimento, é dada pela expressão:

Fat(estático máxima) = µe . N

Ainda a respeito da situação descrita, se o homem aumentar um pouco mais a força aplicada à caixa, esta vai

entrar em movimento, e o atrito no bloco será dito dinâmico (ou cinético), sendo dado pela expressão:

Fat(dinâmico) = µd . N

Podemos, então, representar a variação do módulo da força de atrito at(F ) , em função da intensidade da força

que solicita o movimento (F ), pelo gráfico mostrado abaixo. Observe que, estando o corpo em movimento, o módulo da força de atrito dinâmico será sempre o mesmo.

Nas expressões anteriores, m é denominado coeficiente de atrito e depende apenas da natureza das superfícies em contato e N é a intensidade da força de reação normal.

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01. (CEFET-CE) Uma caixa de massa 40 kg, que estava inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal,

é empurrada em linha reta por uma força horizontal constante de módulo 160N ao longo de 9 m. Sabendo-se que o coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é igual a 0,20, o valor da velocidade final da caixa, em m/s, é: (Adote g = 10 m/s2)

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

02. (PUC-SP) Um caixote de madeira de 4,0 kg é empurrado por uma força constante F e sobe com velocidade

constante de 6,0 m/s um plano inclinado de um ângulo α, conforme representado na figura.

sen α = 0,6 cos α= 0,8

A direção da força F é paralela ao plano inclinado e o coeficiente de atrito cinético entre as superfícies em contato é igual a 0,5. Com base nisso, analise as seguintes afirmações: I. O módulo de F é igual a 24 N. II. F é a força resultante do movimento na direção paralela ao plano inclinado. III. As forças contrárias ao movimento de subida do caixote totalizam 40 N. IV. O módulo da força de atrito que atua no caixote é igual a 16 N. Dessas afirmações, é correto apenas o que se lê em: a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV.

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03. (PUC-SP) Um bloco de borracha de massa 5,0 kg está em repouso sobre uma superfície plana e horizontal. O gráfico representa como varia a força de atrito sobre o bloco quando sobre ele atua uma força F de intensidade variável paralela à superfície.

O coeficiente de atrito estático entre a borracha e a superfície, e a aceleração adquirida pelo bloco quando a intensidade da força F atinge 30N são, respectivamente, iguais a: a) 0,3; 4,0 m/s2 b) 0,2; 6,0 m/s2 c) 0,3; 6,0 m/s2 d) 0,5; 4,0 m/s2 e) 0,2; 3,0 m/s2

04. (UFRJ) Um professor de Educação Física pediu a um dos seus alunos que deslocasse um aparelho de massa

m, com velocidade constante, sobre uma superfície horizontal, representado na figura a seguir.

O aluno arrastou o aparelho usando uma força F. Sendo µ o coeficiente de atrito entre as superfícies de contato do aparelho e o chão, é correto afirmar que o módulo da força de atrito é: a) µ . (m . g + F . sen α). b) µ . (F – m . g). c) F . sen α. d) F . cos α. e) F . µ.

05. (UFBA) A figura a seguir representa um carrinho que se movimenta sobre um plano horizontal, no sentido indicado, com aceleração constante de módulo a, carregando uma caixa.

A caixa se mantém em repouso, em relação ao carrinho, devido à força de atrito estático de módulo igual a 20% do seu peso. A aceleração da gravidade local tem módulo igual a g. Determine a razão g/a.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

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PARA O ALUNO 01. (UFC) O bloco mostrado na figura está em repouso sob a ação da força horizontal F1, de módulo igual a 10N,

e da força de atrito entre o bloco e a superfície. Se uma outra força horizontal F2, de módulo igual a 2N e sentido contrário, for aplicada ao bloco, a força resultante sobre o mesmo será:

a) nula b) 2 N c) 8 N d) 10 N e) 12 N

02. (FATEC) Um corpo atirado horizontalmente, com velocidade de 10m/s, sobre uma superfície horizontal,

desliza 20m até parar. Adotando g = 10m/s2, o coeficiente de atrito cinético entre o corpo e a superfície é:

a) 0,13 b) 0,25 c) 0,40 d) 0,50 e) 0,75

03. (FUVESTGV) O sistema indicado na figura a seguir, onde as polias são ideais, permanece em repouso graças

a força de atrito entre o corpo de 10kg e a superfície de apoio. Podemos afirmar que o valor da força de atrito é:

a) 20N b) 10N c) 100N d) 60N e) 40N

04. (PUCCAMP) Um corpo de massa 4,0kg está sobre uma superfície horizontal com a qual tem coeficiente de

atrito dinâmico 0,25. Aplica-se nele uma força F constante, que forma com a horizontal um ângulo de 53°, conforme a figura. Se o módulo de F é 20N e a aceleração local da gravidade é 10m/s2, pode-se concluir que a aceleração do movimento do corpo é, em m/s2: Dados: sen 53º = 0,80 cos 53º = 0,60

a) 2,0 b) 1,5 c) 0,75 d) 0,50 e) 0,25

37

05. (PUCSP) Uma criança de 30kg começa a descer um escorregador inclinado de 30° em relação ao solo horizontal. O coeficiente de atrito dinâmico entre o escorregador e a roupa da criança é 3 / 3 e a aceleração local da gravidade é 10m/s2. Após o início da descida, como é o movimento da criança enquanto escorrega? Dados:

cos 30° = 32

sen 30° = 1/2

a) não há movimento nessas condições. b) desce em movimento acelerado. c) desce em movimento uniforme e retilíneo. d) desce em movimento retardado até o final. e) desce em movimento retardado e pára antes do final do escorregador.

06. (UEL) No sistema representado a seguir, o corpo A, de massa 3,0kg, está em movimento uniforme. A massa

do corpo B é de 10kg. Adote g = 10m/s2.

O coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo B e o plano sobre o qual se apóia vale: a) 0,15 b) 0,30 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,70

07. (UFES) O bloco da figura a seguir está em movimento em uma superfície horizontal, em virtude da aplicação

de uma força F paralela à superfície. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é igual a 0,2. A aceleração do objeto é: Dado: g = 10,0m/s2

a) 20,0 m/s2 b) 28,0 m/s2 c) 30,0 m/s2 d) 32,0 m/s2 e) 36,0 m/s2

38

08. (UFMG) Um bloco é lançado no ponto A, sobre uma superfície horizontal com atrito, e desloca-se para C. O diagrama que melhor representa as forças que atuam sobre o bloco, quando esse bloco está passando pelo ponto B, é:

Forças em Trajetórias Curvilíneas Em movimentos curvilíneos, costuma-se decompor a força resultante em duas componentes, uma na direção

tangente à trajetória e outra na direção normal (ou radial): a força tangencial (Ft), que está relacionada com a variação do módulo de v ; a força centrípeta cp(F ) , que está relacionada com a variação da direção de v .

Força tangencial( tF )

Como dissemos anteriormente, a força tangencial produz uma aceleração na direção da velocidade, podendo

estar no seu mesmo sentido (movimento acelerado) ou em sentido contrário (movimento retardado). A força tangencial é responsável pela variação do módulo de v .

Pelo princípio fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton), temos as seguintes características para a força tangencial:

Módulo: Ft = m.at Direção: perpendicular à velocidade vetorial em cada ponto (radial). Sentido: o mesmo de v se o movimento for acelerado, ou oposto ao de v se for retardado.

Força centrípeta ( cpF ) Como dissemos anteriormente, nos movimentos curvilíneos, a força centrípeta produz uma aceleração na

direção normal à trajetória. A força centrípeta é responsável pela variação da direção de v .

39

Pelo princípio fundamental da Dinâmica (2ª lei de Newton), temos as seguintes características para a força tangencial:

Módulo: 2

2cp cp

m . vF m . a m . RR

= = = ϖ , onde ϖ é a velocidade angular e R é o raio da trajetória.

Direção: radial. Sentido: orientado para o centro de curvatura da trajetória.

Alguns exemplos de situações muito exploradas nos vestibulares

Movimento curvilíneo uniforme

No movimento curvilíneo uniforme, o módulo de não muda. Conseqüentemente, do exposto nos itens

anteriores, podemos concluir que: Ft = 0 FR = FCP = m . acp

Bloco preso a um fio em MCU num plano horizontal Neste caso, a força que atua na direção radial é a tração T. Portanto, teremos:

2

cpm . vT F

R= =

FN = P

Estrada em lombada e estrada com depressão Normalmente, em trajetórias retilíneas horizontais, a força normal FN e a força peso P se cancelam, como

aconteceu no caso anterior. Porém, isso não acontece quando essas trajetórias são curvilíneas, como, por exemplo, no caso de uma estrada em lombada ou então com depressão. Para esses casos, teremos:

Lombada

2A

N(A) cp(A)m . v

P F FR

− = =

Depressão

2B

N(B) cp(B)m . v

F P FR

− = =

40

Globo da morte No caso do globo da morte, a posição mais preocupante para o motoqueiro é, sem dúvida, a posição mais

alta, pois lá a força normal FN tende a valores relativamente baixos, havendo a neces-sidade de uma velocidade razoável para manter o conjunto (moto + motoqueiro) em contato com o globo. Assim sendo, teremos:

Posição mais alta 2

N cpm . vF P F

R+ = =

Quando FN = 0, teremos a menor velocidade para fazer o "looping":

2 2

N cp minm . v m . vF P F m . v R.g

R R+ = = ⇒ ⇒ =

Estrada com curva em pista horizontal

Ao fazer uma curva em pista horizontal, as forças que atuam num veículo são a normal FN, o peso P e a força

de atrito fat de escorregamento lateral. A força normal FN e o peso P se cancelam, e a força de atrito fat garante a aceleração centrípeta para o veículo fazer a curva:

2

at cpm . vF F

R= =

FN = P

Pista sobrelevada

Se o coeficiente de atrito entre o pneu e a estrada for pequeno, a velocidade máxima diminui e a segurança do

veículo é afetada. Resolve-se essa dificuldade construindo-se estradas sobrelevadas. Nelas, a força normal FN deixa de ser vertical e passa a se adicionar vetorialmente com a força peso P, dando a resultante centrípeta Fcp. Assim, teremos:

41

Pêndulo cônico

Considere uma massa m presa a um fio inextensível, de peso desprezível, e que gira num plano horizontal

com uma velocidade angular w constituindo um pêndulo cônico. Para esse caso, temos:

01. (PUC-SP) Um automóvel percorre uma curva circular e horizontal de raio 50 m a 54 km/h. Adote g = 10

m/s2.0 mínimo coeficiente de atrito estático entre o asfalto e os pneus que permite a esse automóvel fazer a curva sem derrapar é

a) 0,25 b) 0,27 c) 0,45 d) 0,50 e) 0,54

02. (UFMG) Daniel está brincando com um carrinho, que corre por uma pista composta de dois trechos retilíneos

−P e R− e dois trechos em forma de semicírculos −Q e S−, como representado nesta figura:

O carrinho passa pelos trechos P e Q mantendo o módulo de sua velocidade constante. Em seguida, ele passa pelos trechos R e S aumentando sua velocidade. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a resultante das forças sobre o carrinho:

42

a) é nula no trecho Q e não é nula no trecho R. b) é nula no trecho P e não é nula no trecho Q. c) é nula nos trechos P e Q. d) não é nula em nenhum dos trechos marcados.

03. (UFRRJ) Um motoqueiro deseja realizar uma manobra radical num "globo da morte" (gaiola esférica) de 4,9m de raio. Para que o motoqueiro efetue um "looping" (uma curva completa no plano vertical) sem cair, o módulo da velocidade mínima no ponto mais alto da curva deve ser de: Dado: Considere g = 10m/s2.

a) 0,49m/s. b) 3,5m/s. c) 7m/s. d) 49m/s. e) 70m/s.

04. (UEL) Em uma estrada, um automóvel de 800 kg com velocidade constante de 72km/h se aproxima de um

fundo de vale, conforme esquema a seguir. Dado: g = m/s2

Sabendo que o raio de curvatura nesse fundo de vale é 20m, a força de reação da estrada sobre o carro é, em newtons, aproximadamente, a) 2,4 . 105 b) 2,4 . 104 c) 1,6 . 104 d) 8,0 . 103 e) 1,6 . 103

PARA O ALUNO 01. (UEL) Um carro consegue fazer uma curva plana e horizontal, de raio 100m, com velocidade constante de

20m/s. Sendo g = 10m/s2, o mínimo coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista deve ser: a) 0,20 b) 0,25 c) 0,30 d) 0,35 e) 0,40

02. (PUC-RIO) Suponha que dois objetos idênticos façam um movimento circular uniforme, de mesmo raio, mas

que um objeto dê sua volta duas vezes mais rapidamente do que o outro. A força centrípeta necessária para manter o objeto mais rápido nesta trajetória é: a) a mesma que a força centrípeta necessária para manter o objeto mais lento. b) um quarto da força centrípeta necessária para manter o objeto mais lento. c) a metade da força centrípeta necessária para manter o objeto mais lento. d) o dobro da força centrípeta necessária para manter o objeto mais lento. e) quatro vezes maior do que a força centrípeta necessária para manter o objeto mais lento.

43

03. (PUC-RIO) O trem rápido francês, conhecido como TGV (Traiu à Grande Vitesse), viaja de Paris para o Sul

com uma velocidade média de cruzeiro v = 216km/h. A aceleração experimentada pelos passageiros, por razões de conforto e segurança, está limitada a 0,059. Qual é, então, o menor raio que uma curva pode ter nesta ferrovia? (g = 10m/s2) a) 7,2 km b) 93 km c) 72 km d) 9,3 km e) não existe raio mínimo

04. (PUCSP) Um avião de brinquedo é posto para girar num plano horizontal preso a um fio de comprimento 4,0m. Sabe-se que o fio suporta uma força de tração horizontal máxima de valor 20N. Sabendo-se que a massa do avião é 0,8kg, a máxima velocidade que pode ter o avião, sem que ocorra o rompimento do fio, é:

a) 10 m/s b) 8 m/s c) 5 m/s d) 12 m/s e) 16 m/s

05. (UFAL) Um fio, de comprimento L, prende um corpo, de peso P e dimensões desprezíveis, ao teto. Deslocado

lateralmente, o corpo recebe um impulso horizontal e passa a descrever um movimento circular uniforme num plano horizontal, de acordo com a figura a seguir.

A força resultante centrípeta sobre o corpo tem intensidade a) T d) T cos θ b) P e) T sen θ c) T − P

06. (UFC) Uma partícula descreve trajetória circular, de raio r = 1,0m, com velocidade variável. A figura a seguir

mostra a partícula em um dado instante de tempo em que sua aceleração tem módulo, a = 32m/s2, e aponta na direção e sentido indicados. Nesse instante, o módulo da velocidade da partícula é:

a) 2,0 m/s b) 4,0 m/s c) 6,0 m/s d) 8,0 m/s e) 10,0 m/s

44

07. (MACKENZIE) Na figura, o fio ideal prende uma partícula de massa m a uma haste vertical presa a um disco horizontal que gira com velocidade angular w constante. A distância do eixo de rotação do disco ao centro da partícula é igual a 0,1 3m . A velocidade angular do disco é: Dado: g = 10m/s2 a) 3 rad/s b) 5 rad/s c) 5 2 rad/s d) 8 3 rad/s e) 10 rad/s

45

Trabalho

Fundamentação Teórica

Introdução

Como sabemos, a energia não é criada nem destruída; é apenas transformada ou transferida. O processo de transferência ou de transformação da energia está, em geral, associado à troca de forças entre

os corpos e ao deslocamento do ponto de aplicação destas forças. Uma coisa é evidente: a associação entre o vai-e-vém da energia e o deslocamento provocado por forças em geral realmente ocorre. Assim sendo, para melhor entender estes processos de transferência e/ou transformação de energia, vamos introduzir uma grandeza que leve em conta a força e o deslocamento de seu ponto de aplicação. É a grandeza denominada trabalho de uma força.

Uma coisa é certa: a noção de energia está relacionada com movimento. Um sistema possui energia se está em movimento ou se é possível − por processos simples ou

complexos − obter movimento a partir da situação em que ele se encontra.

Trabalho de uma força constante

Considere um corpo que, sujeito a um sistema de forças, descreve a trajetória indicada pela linha tracejada da figura a seguir, partindo do ponto A e chegando ao ponto B.

Sejam: a força constanteF , uma das forças que agem sobre o corpo; d , o deslocamento vetorial do corpo entre os pontos A e B; e θ, o ângulo entre F e d .

Por definição, o trabalho (τ) da força constante no deslocamento é a grandeza escalar calculada por:

τ = F . d . cos θ

Unidades

No Sistema Internacional de Unidades (SI ou MKS), temos:

1 N . 1 m = 1 J ⇒ 1 joule = 1 newton . 1 metro

No CGS, temos: 1 dyn . 1 cm = 1 erg ⇒1 erg = 1 dina . 1 centímetro

Como 1 N = 105 dyn e 1 m = 102 cm, podemos estabelecer a relação entre joule e erg:

1J=N.1m=105dyn.102cm=107erg⇒1joule = 107ergs

Casos Particulares

Força F aplicada na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento d .

46

Neste caso, o ângulo entre os vetores F e d é igual a 0º. Como cos 0° = 1, temos: τ = F.d.cos 0 ⇒ τ = F.d.cos 0° ⇒ τ = Fd

Força F aplicada na mesma direção, mas no sentido contrário ao do deslocamento

Neste caso, o ângulo entre os vetores F e d é igual a 180°. Como cos 180° = −1, temos: τ = F.d.cos θ τ = F.d.cos 0° ⇒ τ = Rd.(−1) ⇒ ⇒ τ = − F.d Força F perpendicular ao deslocamento

Neste caso, o ângulo entre os vetores F e d é igual a 90°. Como cos 90° = 0, temos:

τ = F.d.cos θ ⇒ τ = F.d.cos 90° ⇒ τ = F.d.0 ⇒ τ = 0

Observações

O trabalho é positivo (τ > 0) quando a força favorece o movimento, caso em que é chamado trabalho motor, ou seja, a força transfere energia ao sistema no qual está aplicada.

O trabalho é negativo (τ < 0) quando a força dificulta o movimento, caso em que é chamado trabalho resistente, ou seja, a força retira energia do sistema no qual está aplicada.

A força centrípeta nunca realiza trabalho, pois ela é sempre perpendicular ao deslocamento:

Trabalho de uma Força Variável

Dado um diagrama do valor algébrico da força atuante em uma partícula em função de sua posição, a "área" compreendida entre o gráfico e o eixo das posições expressa o trabalho da força. No entanto, a força considerada deve ser paralela ao deslocamento da partícula.

47

Observação

O sinal algébrico de cada "área" será dado por: A > 0: gráfico acima do eixo horizontal (corresponde a um trabalho positivo).

A < 0: gráfico abaixo do eixo horizontal (corresponde a um trabalho negativo).

Dois casos importantes: O Trabalho da Força Peso e o Trabalho da Força Elástica

Trabalho da força peso

Considere um corpo de massa m que se desloca entre dois pontos, entre os quais há um desnível h, num local em que a aceleração da gravidade vale g. O trabalho realizado pela força peso neste deslocamento é dado por: Na descida: τ = F.d.cosθ ⇒ τ = P.h.cos 0° = P.h.1 = ⇒ τ = m.g.h

Na subida: τ = F.d.cosθ ⇒ τ = P.h.cos 180° = P.h.(−1) τ=−m.g.h

Generalizando:

τP = ± m.g.h

Propriedades

O trabalho da força peso, como acabamos de ver, será: Positivo ou motor (τP = m.g.h) − quando o corpo descer. Negativo ou resistente (ΤP = − m.g.h) − quando o corpo subir. Nulo (τP = 0) - em deslocamento horizontal.

IP O trabalho da força peso não depende da forma da trajetória. Só depende do próprio peso (P) e do desnível entre posição inicial e final (h). Observe o exemplo abaixo:

48

Nos três caminhos (I, II e III), o trabalho da força peso é o mesmo (τp = P.h).

Trabalho da força elástica

Da Lei de Hooke, sabemos que a força elástica é dada por Fel = k.x. Dessa forma, como podemos observar na equação, a força elástica é variável.

Então, para calcular o trabalho da força elástica, precisaremos do gráfico força versus deslocamento. Nesse gráfico, o valor absoluto do trabalho da força elástica é numericamente igual à área destacada na figura (área de um triângulo):

2

Fel Fel Felk.x.x k.x| | A | |

2 2τ = ⇒ τ = ⇒ ⇒ τ = ±

Propriedades

O trabalho da força peso, como acabamos de ver, será: Positivo ou motor (τFel = k.x2/2) − quando a mola voltar à sua posição de equilíbrio.

Negativo ou resistente (τFel = −k.x2/2) − quando a mola for alongada ou comprimida. Nulo (τFel = = 0) − quando a mola descrever uma trajetória fechada (ou seja, o ponto de saída e chegada

coincidirem). O trabalho da força peso não depende da forma da trajetória. Observe o exemplo abaixo. Nele, o trabalho

da força elástica ao longo da trajetória AO (A → O) é igual ao trabalho ao longo da trajetória AA’O (A→A’→O).

49

Conclusão

O trabalho realizado pelas forças peso e elástica são independentes da forma da trajetória. Às forças que gozam dessa propriedade damos o nome de forças conservativas. As forças conservativas associa-se o conceito de energia potencial. Dessa forma, como veremos mais adiante, teremos uma energia potencial gravitacional associada à força peso e uma energia potencial elástica associada à força elástica.

A força de atrito não é conservativa. Quando a força de atrito realiza trabalho, este depende da forma da trajetória. A força de atrito é chamada força dissipativa. A resistência do ar é outro exemplo de força dissipativa.

01. (FUVEST) Um objeto de 20kg desloca-se numa trajetória plana retilínea de acordo com a equação: S = 10 + 3t

+ t2, onde s é medido em metros e t em segundos. a) Qual a expressão da velocidade do objeto no instante t? b) Calcule o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre o corpo durante um deslocamento de

20m. 02. Sob a ação de uma força constante, um corpo de massa m = 4,0kg adquire, a partir do repouso, a velocidade

de 10m/s.

a) Qual é trabalho realizado por essa força? b) Se o corpo se deslocou 25m, qual o valor da força aplicada?

03. (UFPE) Um projétil de massa 0,1kg é lançado do solo, segundo um ângulo de 30° com a horizontal e com

velocidade de módulo 40m/s. Despreze a resistência do ar. Qual o módulo, em Joules, do trabalho realizado pela força peso durante o movimento ascendente deste projétil? Dado: g = 10m/s2

a) 20 J b) 30 J c) 40 J d) 50 J e) 60 J

50

04. (UELONDRINA)

O trabalho realizado por F, no deslocamento de x = 0 até x = 4,0m, em joules, vale: a) zero. b) 10 c) 20 d) 30 e) 40

05. Um corpo de massa 0,20kg, preso por um fio, gira em movimento circular e uniforme, de raio 50cm, sobre uma

superfície horizontal lisa. O trabalho realizado pela força de tração do fio, durante uma volta completa, é: a) 0 b) 6,3 J c) 10 J d) 1,0 J e) 3,1 J

PARA O ALUNO

01. (FAAP) Um trator utilizado para lavrar a terra arrasta um arado com uma força de 10.000N. Que trabalho se realiza neste caso num percurso de 200m?

a) 20 . 106 joules b) 200 . 106 joules c) 50 joules d) 500 joules e) 2 . 106 joules

02. (UDESC) Um atleta de 70kg, numa determinada competição, salta sobre um obstáculo de 1,20 metros de

altura. Para esse caso, determine, a) o peso do atleta; b) o trabalho físico realizado pelo mesmo durante o salto. (g = 10 m/s2)

03. (FUVEST) Uma formiga caminha com velocidade média de 0,20cm/s.

Determine:

a) a distância que ela percorre em 10 minutos. b) o trabalho que ela realiza sobre uma folha de 0,2g quando ela transporta essa folha de um ponto A para

outro B, situado 8,0m acima de A.

51

04. (PUC-SP) Um corpo de massa 5kg é retirado de um ponto A e levado para um ponto B, distante 40m na horizontal e 30m na vertical traçadas a partir do ponto A. Qual é o módulo do trabalho realizado pela força peso?

a) 2500 J b) 2000 J c) 900 J d) 500 J e) 1500 J

05. (UELONDRINA) Um pêndulo é constituído de uma esfera de massa 2,0 kg, presa a um fio de massa

desprezível e comprimento 2,0m, que pende do teto conforme figura a seguir. O pêndulo oscila formando um ângulo máximo de 60° com a vertical.

Nessas condições, o trabalho realizado pela força de tração, que o fio exerce sobre a esfera, entre a posição mais baixa e mais alta, em joules, vale:

a) 20 b) 10 c) zero d) −10 e) −20

06. (FEI-SP) Um corpo de massa 10kg é puxado por uma mola de constante elástica K=100 N/m.

O comprimento natural é ℓ0= 2m. Qual é o trabalho realizado pela força elástica para deslocar o corpo da posição x = 10m para a posição x = 4m?

a) 6000 J b) 250 J c) 3000 J d) 500 J e) 125 J

52

07. (FEI-SP) Um aluno ensaiou uma mola pelo Método Estático e montou o gráfico a seguir.

Qual é o trabalho da Força Elástica para o deslocamento de 3 a 5m?

a) 20 J b) 30 J c) 50 J d) 80 J e) 150 J

08. (PUCCAMP) Um bloco de massa 5,0 kg é arrastado para cima, ao longo de um plano inclinado, por uma força

F, constante, paralela ao plano e de intensidade 50N, como mostra a figura a seguir.

O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e o plano vale 0,40 e a aceleração da gravidade 10 m/s2. A aceleração do bloco, em m/s2, vale:

a) 0,68 b) 0,80 c) 1,0 d) 2,5 e) 6,0

Potência, Rendimento e Energia

Fundamentação Teórica

Potência

Definição Potência é a grandeza escalar que mede a rapidez com que um determinado trabalho é realizado. Por

exemplo, duas máquinas erguem um mesmo corpo até uma certa altura, em tempos diferentes. A máquina que realizou o mesmo trabalho da outra, mas num tempo menor, tem potência maior.

Matematicamente, a potência P é definida pela razão entre o trabalho τ realizado e o intervalo de tempo ∆t correspondente, ou seja:

Pt

τ=

∆

53

Unidades No Sistema Internacional de Unidades (SI ou MKS), temos:

1J ÷ 1 s = 1 W ⇒ 1 watt = 1 joule ÷ 1 segundo

No CGS, temos: 1 erg ÷ 1 s = 1 erg/s ⇒ 1 erg/s = 1 erg ÷ 1 segundo

Relação entre potência instantânea e velocidade

Algumas vezes, em problemas de Mecânica, é muito importante conhecer a relação entre a potência instantânea e a velocidade.

Considere uma partícula sendo deslocada de A para B ao longo da trajetória indicada, sob a ação da força F (constante). Da definição de trabalho, temos:

T = F.d.cos θ

Determinando a potência média de F nesse deslocamento e lembrando que a velocidade média vm é dada pela razão d/∆t, teremos:

m m mF.d.cosP P F . v . cos

t tτ θ

= = ⇒ = θ∆ ∆

Se a velocidade utilizada for a instantânea, a relação acima nos fornecerá a potência instantânea:

P = F . v . cos θ

Se F e v têm a mesma direção e sentido (θ = 0º), a equação acima se reduz a: P = F . v

Propriedade do gráfico da potência em função do tempo

Dado um diagrama da potência em função do tempo, a "área" compreendida entre o gráfico e o eixo dos tempos expressa o trabalho ou a energia transferida.

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Observação

O sinal algébrico de cada "área" será dado por: A > 0: gráfico acima do eixo horizontal (corresponde a um trabalho positivo). A < 0: gráfico abaixo do eixo horizontal (corresponde a um trabalho negativo).

Rendimento

A eficiência na realização de um certo processo é medida pelo rendimento. Em Física, o rendimento está

ligado ao aproveitamento de energia ou à potência desenvolvida nos mais variados processos. Considere, por exemplo, um motor cuja potência total recebida seja Ptotal e que, em operação normal,

desenvolve um a potência útil Pútil, menor do que Ptotal, Em outras palavras, durante a operação, parte da potência total se dissipa, seja pelos atritos ou por outros motivos. A essa potência dissipada, chamamos Pdissipada.

O rendimento (η) é definido pela razão entre o que se pode obter de útil e o total disponível:

útil

total

PP

η =

Note que o rendimento é adimensional. Energia

Definição

Damos o nome de energia à grandeza escalar inerente aos corpos e que está associada à capacidade que estes possuem de realizar trabalho.

Fazendo uma analogia, diríamos que a energia é como um ator que uma vez se apresenta em num traje, a seguir em outro, e depois em outro ainda diferente; e junto com a mudança de traje, o ator vai mudando também de papel. As formas sob as quais a energia se apresenta e os papéis que desempenha são tão diferentes que a humanidade demorou vários séculos para reconhecer que se tratava de um único ator em vários trajes.

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Unidades Todas as formas de energia possuem as mesmas unidades da grandeza trabalho.

Sistema Internacional de Unidades (SI ou MKS): joule (J). CGS: erg. Outros: quilowatt-hora (kWh), caloria (cal), elétron-volt (eV).

Energia cinética

Considere um corpo de massa m, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal, conforme

mostrado na figura a seguir. A partir de um determinado instante, uma força resultante 4F , horizontal e constante, passa a atuar sobre o corpo. Em um instante posterior t, o corpo tem uma velocidade v e terá sofrido um deslocamento d.

Calculando o trabalho realizado por essa força nesse deslocamento e lembrando que Fr = m.a (2ª lei de Newton), teremos: τ = F.d = m.a.d (1) Usando a equação de Torricelli, teremos:

2 2 22 0v v 2.a.d v 2.a.d a . d v / 2= + ⇒ = ⇒ = (2)

Substituindo a equação (2) em (1), teremos:

2

2r

m.vF .d m.a.d m.(v / 2)2

τ = = = ⇒ τ =

Como trabalho é uma medida da energia transferida por uma força, podemos concluir que a grandeza escalar

(m.v2/2) corresponde à energia do corpo de massa m, no instante em que sua velocidade é v. A essa forma de energia associada ao estado de movimento de um corpo, dá-se o nome de energia cinética (Ec):

Observação

A energia cinética é uma grandeza relativa, pois depende da velocidade, que depende do referencial. Assim, uma única partícula pode ter, ao mesmo tempo, energia cinética nula para um referencial e não-nula para outro.

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Teorema da energia cinética Na demonstração anterior, admitimos que o corpo partiu do repouso e descreveu um movimento

uniformemente variado. Contudo, se a velocidade inicial for diferente de zero, para qualquer que seja o tipo de movimento descrito pelo corpo, o trabalho da força resultante corresponderá à variação da energia cinética experimentada pelo corpo.

Dessa forma, para qualquer tipo de movimento, o trabalho da força resultante é dado por:

τresultante = ∆Ec = Ec(inicial) – Ec(inicial) Energia potencial

Dizemos que um sistema possui energia potencial quando a ele podemos associar uma possibilidade de

movimento. Na Mecânica, há duas modalidades de energia potencial: Energia potencial gravitacional. Energia potencial elástica.

Energia potencial gravitacional

A energia potencial gravitacional é a energia que um corpo tem devido à sua posição em relação a um

plano horizontal tomado como referência. Assim, um corpo de massa m, num local onde a intensidade da aceleração da gravidade é g, situado a uma

altura h do solo, tomado como referencia, possui energia potencial gravitacional dada pela expressão:

EPgrav = m.g.h

Observação Se o nível de referência (N.R.) não vier especificado, adote-o no ponto mais baixo da trajetória, para evitar

que a energia potencial gravitacional seja negativa. Energia potencial elástica

A energia potencial elástica corresponde ao trabalho realizado pela força elástica durante a passagem da mola de uma situação em que ela esteja deformada para uma situação em que ela não esteja deformada.

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Por exemplo, considere um corpo de massa m encostado em uma mola de constante elástica k. Inicialmente, a mola está sofrendo uma deformação x. O plano de apoio é horizontal e os atritos são desprezíveis. Assim que a mola é liberada, o bloco é empurrado por ela. Dessa forma, observe então que o sistema tinha uma energia que pôde vir a se converter em movimento. Essa energia é a energia potencial elástica, dada por:

2

Pelástk.xE

2=

Energia mecânica

A energia mecânica de um corpo ou sistema é, por definição, a soma de sua energia cinética com todas

as eventuais formas de energia potencial que possuir. Portanto, a energia mecânica é dada por:

EMEC = EC + EP Princípio de conservação da energia mecânica

Se um corpo ou sistema se movimenta sob ação de forças conservativas1 e eventualmente de outras que não

realizam trabalho, a energia mecânica se conserva, isto é, permanece constante. Dessa forma, num sistema conservativo, teremos:

EMEC = EC + EP = constante

01. (UELONDRINA) Um corpo deslizando horizontalmente com velocidade v, sobe pela pista inclinada suposta

perfeitamente lisa.

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Sendo g a aceleração da gravidade, a máxima altura h atingida pelo corpo é dada por: a) v2/2g b) v2/g c) v/2g d) v/g e) 2v/g

02. (FATEC) Um objeto de massa 400g desce, a partir do repouso no ponto A, por uma rampa, em forma de um

quadrante de circunferência de raio R=1,0m. Na base B, choca-se com uma mola de constante elástica k=200N/m.

Desprezando a ação de forças dissipativas em todo o movimento e adotado g = 10m/s2, a máxima deformação da mola é de: a) 40cm b) 20cm c) 10cm d) 4,0cm e) 2,0cm

03. (ITA-SP) A figura a seguir ilustra um carrinho de massa m percorrendo um trecho de uma montanha russa.

Desprezando-se todos os atritos que agem sobre ele e supondo que o carrinho seja abandonado em A, o menor valor de h para que o carrinho efetue a trajetória completa é:

a) (3R)/2 b) (5R)/2 c) 2R d) [(5gR) / 2] e) 3R

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04. (UELONDRINA) Um motor, cuja potência nominal é de 6,0.102W, eleva um corpo de peso 6,0.102N até a uma altura de 5,0m, com velocidade constante de 0,5m/s. Nessas condições, o rendimento do motor vale a) 0,90 b) 0,75 c) 0,60 d) 0,50 e) 0,25

PARA O ALUNO 01. (VUNESP) Um bloco de massa m desliza sem atrito sobre a superfície indicada na figura a seguir.

Se g é a aceleração da gravidade, a velocidade mínima v que deve ter para alcançar a altura h é:

a) 2 (gh)

b) (2h)

c) (gh) / 2

d) (gh / 2)

e) 2 (2gh)

02. (UFF) Uma bola de borracha é abandonada a 2,0m acima do solo. Após bater no chão, retorna a uma altura

de 1,5m do solo. A percentagem da energia inicial perdida na colisão da bola com o solo é:

a) 5 % b) 15 % c) 20 % d) 25 % e) 35 %

03. (PUC-SP) Uma pedra rola de uma montanha. Admita que no ponto A, a pedra tenha uma energia mecânica

igual a 400J. Podemos afirmar que a energia mecânica da pedra em B.

a) certamente será igual a 400J. b) certamente será menor que 400J. c) certamente será maior que 400J. d) será maior que 400J se o sistema for conservativo. e) será menor que 400J se o sistema for dissipativo.

60

04. (UERJ) Um corpo de massa 2kg é abandonado no alto de um plano inclinado, a 30m do chão, conforme a figura.

Na ausência de atrito e imediatamente após 2s de movimento, calcule as energias:

a) cinética; b) potencial.

05. (PUC-MG) Uma partícula de massa 1,0kg cai, sob a ação da gravidade, a partir do repouso, de uma altura de

5,0 metros. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10m/s2 e desprezando qualquer atrito, sua energia cinética e sua velocidade, no fim do movimento, serão: a) 10 J e 50 m/s b) 10 J e 10 m/s c) 50 J e 50 m/s d) 50 J e 10 m/s

06. (MACKENZIE) Um pequeno bloco de massa m é abandonado do ponto A e desliza ao longo de um trilho sem

atrito, como mostra a figura a seguir.

Para que a força que o trilho exerce sobre o bloco no ponto D seja igual ao seu peso, supondo ser R o raio do arco de circunferência, de diâmetro BD, a altura h, deve ser igual a: a) 2R. b) 2,5R. c) 3R. d) 3,5R. e) 4R.

07. (MACKENZIE) A figura a seguir representa um motor elétrico M que eleva um bloco de massa 20kg com

velocidade constante de 2m/s. A resistência do ar é desprezível e o fio que sustenta o bloco é ideal. Nessa operação, o motor apresenta um rendimento de 80%.

Considerando o módulo da aceleração da gravidade como sendo g=10m/s2, a potência dissipada por este motor tem valor: a) 500 W b) 400 W c) 300 W d) 200 W e) 100 W

61

Impulso de uma força

Fundamentação Teórica

Considere uma força constante F atuando num ponto material durante um intervalo de tempo ∆t =

t2 – t1 (figura 1). O impulso I dessa força constante nesse intervalo de tempo é a grandeza vetorial dada por:

I F t= ∆

Sendo uma grandeza vetorial, o impulso possui intensidade, direção e sentido.

Intensidade (módulo): I F t= ∆

Direção: a mesma de F (paralelo a F )

Sentido: o mesmo de F (pois ∆t é positivo) No sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de intensidade do impulso é newton x segundo (N . s). A partir do gráfico da intensidade F da força atuante em função do tempo, é possível calcular a intensidade do

impulso. Na figura 2, é mostrado o gráfico em questão para uma força F constante. A intensidade do impulso no intervalo de tempo ∆t considerado é numericamente igual à área do retângulo destacado nesse gráfico.

Essa área é dada por: A = F∆t = → A = I (numericamente)

62

01. Ao dar o saque “viagem ao fundo do mar” num jogo de vôlei, um jogador aplica uma força de intensidade 6,0 . 102N sobre a bola, durante um intervalo de tempo de 1,5 . 10-1s. Calcule a intensidade do impulso da força aplicada pelo jogador.

02. Uma partícula se movimenta sob ação de uma força de direção constante e cujo valor algébrico varia com o

tempo, de acordo com o gráfico. Determine:

a) o módulo do impulso da força nos intervalos de tempo de 0 a 4,0s e de 0 a 6,0s; b) a intensidade da força constante que produz o mesmo impulso da força dada no intervalo de tempo de 0 a

6,0s.

Observação

Valor algébrico negativo da força no gráfico indica que a força apresenta sentido oposto ao inicial

Quantidade de movimento Considere um corpo de massa m com velocidade v num determinado referencial (figura 4). A quantidade de movimento, ou momento linear, desse corpo é a grandeza vetorial dada por:

Sendo uma grandeza vetorial, a quantidade de movimento possui intensidade, direção e sentido.

Intensidade (módulo): Q m v=

Direção: a mesma de v (paralela a v ) Sentido: o mesmo de v (pois m é positivo)

No sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade do módulo da quantidade de movimento é o quilograma x metro por segundo (kg . m/s).

63

01. Um móvel se desloca numa trajetória retilínea, obedecendo à função horária s = 3 + 4t – 4t2. Sendo 4kg a

massa do móvel, determine o módulo da quantidade de movimento desse móvel nos instantes: a) t = 0; b) t = 0,5s; c) t = 4s.

02. A quantidade de movimento de uma partícula de massa 0,20kg tem módulo 1,0kg.m/s. Determine a energia

cinética da partícula. 03. Uma partícula de massa 0,10kg parte do repouso com aceleração constante. Após 10s encontra-se a 50m da

posição de partida. Determine o módulo da quantidade de movimento nesse instante. Teorema do impulso

Considere um corpo de massa m submetido a um conjunto de forças cuja resultante é RF , suposta constante e de mesma direção da velocidade (figura 5ª). Pelo princípio fundamental da Dinâmica:

RF ma=

Sendo vat

∆=

∆, temos:

R

R 2 1

R 2 1

vF m .t

F t m v m . (v v )

F t mv mv

∆=

∆

∆ = ∆ = −

∆ = −

Como R R 2 12 1F t I ,mv Q e mv Q∆ = = = (figura 5b), vem:

R 2 1I Q Q Q= − = ∆

64

Observação

O impulso da força resultante num intervalo de tempo é igual à variação da quantidade de movimento do

corpo no mesmo intervalo de tempo O enunciado anterior é conhecido como teorema do impulso, de validade geral para qualquer tipo de

movimento. O teorema do impulso:

introduz os conceitos de impulso e de quantidade de movimento; estabelece um critério para a medida da quantidade de movimento: sua variação 2 1Q Q Q∆ = − é o impulso

da força resultante.

Em vista do teorema do impulso, podemos concluir que, no Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade

do módulo de impulso (newton x segundo) e a do módulo de quantidade de movimento (quilograma x metro por segundo) são equivalentes, não tendo nomes especiais.

01. Uma força constante atua durante 5,0s sobre uma partícula de massa 2,0kg, na direção e no sentido de seu movimento, fazendo com que sua velocidade escalar varie de 5,0m/s para 9,0m/s. Determine:

a) o módulo da variação da quantidade de movimento da partícula; b) a intensidade do impulso da força atuante; c) a intensidade da força.

02. Uma partícula de massa igual a 2kg possuía uma velocidade inicial A quando passou a ser submetida a uma

força F, na mesma direção original do deslocamento, que produziu um trabalho de 384 J e um impulso de 32 N . s à partícula que atingiu uma velocidade final B. Utilizando o Teorema do Impulso e o Teorema da Energia Cinética, determine a velocidade inicial A e a final B.

Problema: Um corpo inicialmente em repouso de massa 1kg recebe a ação de uma força F constante. Ela provoca um

deslocamento de 5m num intervalo de tempo de 1s. Suponha que não haja atritos ou quaisquer outras forças que interfiram em seu deslocamento horizontal e que, no final da observação, sua velocidade seja de 10m/s.

a) Determine a intensidade desta força de três maneiras diferentes. Utilize a 2a Lei de Newton, depois o

Teorema do Impulso e, finalmente, o Teorema da Energia Cinética. b) Quais seriam as possíveis soluções, entre as apresentadas acima, para este problema, caso não

tivéssemos o deslocamento escalar? c) Quais seriam as possíveis soluções, entre as apresentadas acima, para este problema, caso não

tivéssemos o tempo gasto no percurso?

65

A energia das colisões Quando um cientista faz um estudo, há casos em que ele dispõe de uma só teoria para prosseguir seu

trabalho. Em outros, seus problemas podem ser resolvidos de várias maneiras diferentes e independentes. Como exemplo, podemos citar problemas resolvidos na unidade anterior, em que Leis de Newton, Teorema do Impulso e Teorema da Energia Cinética eram possíveis saídas para estes testes. Mas alguns, um pouco mais complexos, precisam ser analisados sob vários enfoques para se chegar a uma solução. Alguns tipos de colisões se enquadram nesta última situação. Neste caso, as análises das conservações tanto da quantidade de movimento quanto da energia são fundamentais e complementares para nos permitir uma ampla compreensão destes fenômenos.

As conservações num choque mecânico

Em todos os choques mecânicos - colisões -, podemos considerar o sistema como mecanicamente "isolado",

ou seja, o impulso das forças externas é nulo. Assim, ele não recebe impulsos e haverá conservação da quantidade de movimento.

Quando tratamos de energia em termos gerais, podemos afirmar que sua quantidade sempre se conserva. A energia que é perdida por um objeto pode ser ganha por outro, ou ainda pode se transformar em outras modalidades. Desta maneira, analisando todo o universo, chegamos à conclusão de que a energia é constante. Porém quando o assunto é especificamente a energia cinética de um determinado sistema, há casos em que sua quantidade se conserva e em outros, não.

Por meio de alguns problemas, vamos discutir estas possibilidades.

Tipos de colisões O exemplo a seguir mostra duas partículas, A e B, de massas 2kg e 3kg, respectivamente. Suas velocidades,

antes da colisão, aparecem indicadas no esquema.

a) Calcule a quantidade de movimento inicial do sistema: b) Calcule a energia cinética inicial do sistema: Vamos analisar três situações que poderiam ocorrer com as partículas após a colisão:

1ª situação

Após a colisão, a partícula A adquire velocidade igual a 13m/s, enquanto a B adquire velocidade igual a

23m/s.

a) Calcule a quantidade de movimento final do sistema nesta situação: b) Calcule a energia cinética final do sistema nesta situação: c) Construa, num único gráfico, uma representação das velocidades antes e depois do choque:

66

Este tipo de colisão denomina-se de elástica. Observa-se, nestes casos, que a energia cinética se conservou. Isto não ocorre em situações práticas, pois sempre há perdas de energia cinética. Nos choques mecânicos em geral, a energia cinética pode se transformar em energia térmica e/ou sonora, por exemplo.

Quando a energia cinética antes e depois do choque é a mesma, denominamos esta colisão de "elástica" ou "perfeitamente elástica". 2ª situação

Suponha que, após a colisão, a partícula A adquire velocidade igual a 16m/s, enquanto B adquire velocidade

igual a 21m/s.

a) Calcule a quantidade de movimento final do sistema nesta situação: b) Calcule a energia cinética final do sistema nesta situação: c) Construa, num único gráfico, uma representação das velocidades antes e depois do choque:

3ª situação

Suponha que, após a colisão, a partícula A gruda-se à partícula B, e o conjunto passa a se movimentar com velocidade igual a 19m/s.

a) Calcule a quantidade de movimento final do sistema nesta situação: b) Calcule a energia cinética final do sistema nesta situação: c) Construa, num único gráfico, uma representação das velocidades antes e depois do choque:

Fase de uma colisão Quando a bolinha toca a parede, numa primeira etapa ela sofre deformação. Durante esta fase, sua energia

cinética vai se transformando em outras modalidades de energia, como, por exemplo, térmica, sonora, elástica, etc. A velocidade relativa entre os corpos - bola e parede - vai gradativamente diminuindo até se anular. Neste instante toda a energia cinética terá sido transformada em outros tipos. Na fase seguinte, a energia é restituída para a bolinha.

67

Fase de restituição

Na fase de restituição, a parcela de energia que se transformou em energia potencial elástica e que foi armazenada no sistema durante a fase de deformação vai gradativamente se transformando em energia cinética. Esta etapa termina no momento em que cessa o contato entre os corpos.

Esta restituição pode ser total, no caso dos choques elásticos, ou parcial, como nos demais casos. Quando uma parte da energia se transforma em energia sonora e/ou térmica, ou quando a deformação provocada nos corpos é permanente, esta energia não pode mais ser restituída ao sistema na forma cinética. Consequentemente, após o choque, o sistema terá menos energia cinética que antes.

Coeficiente de restituição

Ficaram evidentes as diferenças entre os choques, mas precisamos de uma formulação teórica que nos

permita mais do que diferenciá-los. É indispensável quantificá-los. Para isto vamos usar uma grandeza física chamada coeficiente de restituição. Sua expressão matemática é

dada pela razão entre as velocidades relativas de afastamento e de aproximação. Assim, temos:

af

ap

ve

v=

onde: e = coeficiente de restituição vaf = velocidade relativa de afastamento (após o choque) vap = velocidade relativa de aproximação (antes do choque)

68

Analisando o mesmo problema do início desta unidade sob outros aspectos

a) Calcule a velocidade relativa de aproximação antes do choque:

b) Calcule a velocidade relativa de afastamento após o choque referente à primeira situação estudada:

c) Calcule o coeficiente de restituição para a primeira situação estudada:

Em choques perfeitamente elásticos, o coeficiente de restituição é igual a 1 (100%). A velocidade relativa

de aproximação das partículas tem valor igual ao da velocidade elativa de afastamento. d) Calcule a velocidade relativa de afastamento após o choque referente à segunda situação estudada:

e) Calcule o coeficiente de restituição para a segunda situação estudada:

Como o coeficiente de restituição está compreendido entre 0 e 1 (0 e 100%), a velocidade relativa de

aproximação das partículas tem valor maior que o da velocidade relativa de afastamento e a colisão é denominada parcialmente elástica. Lembre que, neste caso, a energia cinética não se conservou. f) Calcule a velocidade relativa de afastamento após o choque referente à terceira situação estudada:

g) Calcule o coeficiente de restituição para a terceira situação estudada:

Como o coeficiente de restituição é nulo, a velocidade relativa de afastamento também o é, ou seja, não

ocorre afastamento entre as partículas. Esta colisão é denominada inelástica, anelástica ou ainda plástica. Conforme visto, a energia cinética não se conservou.

01. As figuras abaixo ilustram as velocidades em relação à Terra de duas partículas antes e depois de sofrerem colisão unidimensional. Determine em cada caso o coeficiente de restituição e classifique a colisão: a)

b)

c)

69

02. Na figura abaixo, observam-se duas esferas, A e B, de massas respectivamente iguais a 10kg e 8kg, que coli-dem frontalmente. Sabendo-se que após a colisão a esfera A retorna com velocidade de 0,6m/s, determine:

a) a velocidade da esfera B após a colisão; o tipo de colisão; b) a quantidade de movimento antes e depois da colisão; c) a energia cinética do sistema antes e depois da colisão.

03. Um projétil de massa m = 20g é atirado horizontalmente com velocidade de 200m/s contra um bloco de

madeira de massa igual a 10kg, que se encontra em repouso sobre uma superfície horizontal, perfeitamente lisa. Após a colisão, o projétil se aloja no bloco e ambos passam a ter velocidade v em relação à Terra. Determine:

a) a velocidade v do bloco + projétil; b) a classificação da colisão; c) a quantidade de movimento antes e depois da colisão; d) a energia cinética do conjunto antes e depois da colisão; e) "para onde foi" a diferença de energia cinética antes e depois da colisão.

04. As partículas A e B, representadas abaixo, possuem massas iguais a 6kg e 4kg e velocidade de 10m/s e 5m/s, respectivamente.

Determine o módulo das velocidades das partículas, após ocorrer entre elas uma colisão do tipo:

a) perfeitamente inelástica; b) perfeitamente elástica; c) parcialmente elástica com e = 0,5.

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Introdução ao Estudo da Hidrostática

Fundamentação Teórica

Densidade (d) e Massa espécifica (µ)

Densidade (d): é a razão entre a massa de um corpo e o volume total do mesmo. Ou seja, não nos interessa se o corpo é maciço ou oco, a distribuição é feita pelo volume externo.

Massa específica (µ): é a razão entre a massa do corpo ou substância e o volume maciço. Em outras palavras, para esse cálculo temos que desconsiderar a parte oca. Vale a pena salientar que: É comum encontrarmos o termo densidade (d) em lugar de massa específica (m). Usa-se "densidade" para

representar a razão entre a massa e o volume de objetos sólidos (ocos ou maciços), e "massa específica", para líquidos e substâncias.

Uma unidade muito usual para a massa específica é o g/cm3, mas no SI a unidade é o kg/m3. A relação entre elas é a seguinte:

3

3 33 6 3

g 10 kg1 10 kg/mcm 10 m

−

−= =

Assim, para transformar uma massa específica de g/cm3 (sistema CGS) para kg/m3 (SI), devemos multiplicá-

la por 103.

Nota importante Densidade da água : 1g/cm3 = 103kg/m3

Observação

O que é densidade relativa? Densidade relativa é uma grandeza adimensional que expressa a razão entre duas densidades. Conceito de Pressão

Conceito que relaciona a força aplicada sobre uma superfície com a área dessa superfície. Assim, a pressão

de uma força sobre uma superfície é a razão entre a componente normal da força e a área da superfície na qual ela atua: P = F/A

No SI, a unidade de pressão é N/m2, também conhecida como pascal (Pa). Pressão Atmosférica

A atmosfera é composta de vários gases, que exercem pressão sobre a superfície da Terra. Muitas vezes

não notamos a sua existência, mas basta abrirmos uma lata de azeite, fazendo apenas um pequeno furo, para vermos sua "fúria". Observemos que ao fazermos outro furo, o azeite escorre com mais facilidade.

Ao nível do mar, tem-se: Patm ≅ 1. 105N/m2 = 1 . 105 Pa

Pressão da coluna de líquido (ou Efetiva

É o nome dado à pressão exercida pelo peso de uma coluna de líquido, em equilíbrio. Considere, para essa demonstração, um cilindro cem um líquido até a altura h e um ponto B marcado no fundo do recipiente que possui área da base A. O líquido exerce uma pressão no ponto B, dada por:

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Pp , como P mg, temos :Amg mp , como d m dV, temos :A V

dVgp , como V Ah (volume do cilindro), temos :A

dAhgp p dhgA

= =

= = ∴ =

= =

= ∴ =

IMPORTANTE!

A pressão hidrostática ou efetiva depende da densidade do fluido (d), da altura do fluido acima do ponto considerado (h) e do lugar da experiência (g), independendo do formato e do tamanho do recipiente. Ela também é conhecida como pressão da coluna de líquido(PCL).

Pressão Absoluta (ou Total)

No fundo do recipiente, a pressão total leva em conta a pressão atmosférica: PT = P0 + Pef ou, utilizando o resultado da demonstração feita anteriormente: PT = P0 + dgh

Assim, o gráfico da pressão x profundidade é uma reta que não passa pela origem.

Teorema de Stevin

72

As pressões em A e B são: PA = Po + dghA PB = Po + dghB

Então, a diferença de pressão (∆P) entre A e B é: PA − PB, = dg (hA −hB) ou ∆p = dg∆h

Conclusão

Dois pontos na mesma horizontal dentro de um fluido em equilíbrio estão submetidos à mesma pressão. Para a pressão atmosférica, ao nível do mar, atribui-se o valor de referência 1 atm. Caso a superfície do fluido não seja livre, isto é, não esteja em contato com o ar, então a pressão num ponto

do fluido será devida, exclusivamente, ao fluido (pressão efetiva).

Tubo em "'U"' ou Vasos Comunicantes

Uma das mais corriqueiras aplicações do Teorema de Stevin é o tubo em forma de U. Nele podemos observar que:

As pressões nos pontos 1 e 2 são iguais.

P1 = P2 Onde: P1 = P0 + dA . g . hA (I) P2 = P0 + dB . g . hB (II) Igualando (I) e (II), temos: P0 +dA . g . hA = P0 + dB . g . hB dA . g . hA = dB . g . hB dA . hA = dBhB

Essa dedução pode ser expandida para qualquer número de líquidos. É importante observar que a

comparação sempre começa na mais baixa divisão de líquidos.

73

Experiência de Torricelli

Evangelista Torricelli, discípulo de Galileu, fez um experimento que determinou, de forma experimental, o valor da pressão atmosférica. Resumo do experimento: Torricelli tomou um tubo de ensaio com um metro de comprimento, cheio de mercúrio, e vedando a extremidade livre, emborcou-o dentro de um recipiente também cheio de mercúrio. Durante o procedimento, tomou a precaução de não deixar escapar mercúrio a partir da extremidade livre, enquanto o tubo de ensaio era mantido na vertical. A partir de certo instante, liberou a extremidade do tubo de ensaio e verificou que o fluido desceu até que uma coluna de 76cm de mercúrio se mantivesse equilibrada.

Dessa forma, de forma experimental, Torricelli, fazendo uso dos conceitos descritos por Stevin, afirmou que a

pressão atmosférica consegue equilibrar uma coluna de mercúrio de 76cm, ao nível do mar. Daí por diante, passamos a afirmar que a pressão atmosférica P0 = 1 atm= 76 cmHg .

Observe que se aplicarmos a fórmula para o cálculo da pressão de uma coluna líquida para a situação descrita e, nesse caso, considerando dHg,= 13,6x 103kg;/m3, g = 9,81m/s2 e h = 0,76m, obteremos:

P = 13,6 x 103 x 9,81 x 0,76 ≅ 1,01 x 105 N/m2. Arredondando, podemos ver a origem do valor utilizado em concursos para a pressão atmosférica ao nível do mar:

P0 = 1 x 105 N/m2. Interessante não é? É dessa forma que se determina o valor usado para a pressão atmosférica ao nível do mar.

01. Sobre uma superfície horizontal está apoiado um cubo de massa 80kg. A pressão sobre a região em que o

cubo se apóia é de 1,2.105 Pa, incluindo a pressão atmosférica. Nessas condições, a aresta do cubo, em metros, vale: Dados: Pressão atmosférica = 1,0. 105 Pa Aceleração da gravidade = 10 m/s2

a) 1,0 b) 0,80 c) 0,50 d) 0,20 e) 0,10

02. (UFG) A instalação de uma torneira num edifício segue o esquema ilustrado na figura a seguir:

Considerando que a caixa d'água está cheia e destampada, a pressão no ponto P, em N/m2, onde será instalada a torneira, é:

a) 2,00. 104 b) 1,01 . 105 c) 1,21 . 105 d) 1,31 . 105 e) 1,41 . 105

74

03. (CEFET-MG) O desenho a seguir representa um manômetro de mercúrio de tubo aberto, ligado a um recipiente contendo gás. O mercúrio fica 30cm mais alto no ramo da direita do que no da esquerda. Quando a pressão atmosférica é 76 cmHg, a pressão absoluta do gás, em cmHg, é:

a) 30. b) 46. c) 76. d) 106.

04. (MACKENZIE) Num tubo em U, de extremidades abertas, encontram-se em equilíbrio três líquidos não

miscíveis, conforme a figura a seguir. Os líquidos A e B têm densidades respectivamente iguais a 0,809/cm3 e 1,09/cm3. A densidade, do líquido C é:

a) 0,2g/cm3 b) 1,9g/cm3 c) 2,7g/cm3 d) 3,6g/cm3 e) 5,4g/cm3

PARA O ALUNO !!!

01. (PUC-CAMP) O recipiente representado pela figura contém um líquido homogêneo, incompressível e em

equilíbrio, com densidade de 0,759/cm3. A diferença de pressão hidrostática entre um ponto no fundo do recipiente (M) e outro na superfície (N) vale 3,0.105N/m2. Adotando g = 10m/s2, a profundidade do líquido (h), em cm, vale:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 35 e) 40

02. (ITA) Uma bolha de ar de volume 20,0mm3, aderente à parede de um tanque de água a 70cm de

profundidade, solta-se e começa a subir. Supondo que a tensão superficial da bolha é desprezível e que a pressão atmosférica', é de 1 x105Pa, logo que alcança a superfície seu volume é aproximadamente: a) 19,2 mm3. b) 20,1 mm3. c) 20,4 mm3. d) 21,4 mm3. e) 34,1 mm3.

75

03. (UFMG) José aperta uma tachinha entre os dedos, como mostrado nesta ,figura:

A cabeça da tachinha está apoiada no polegar e a ponta, no indicador. Sejam Fi o módulo da força e pi a pressão que a tachinha faz sobre o dedo indicador de José. Sobre o polegar, essas grandezas são, respectivamente, FP e pP. Considerando-se essas informações, é correto afirmar que:

a) Fi > FP e pi = pp. b) Fi = FP e pi = pp. c) F > FP e pi > pP. d) Fi = FP e pi > pP.

04. Para se medir a pressão de um gás, P, usa-se um manômetro, que consiste de um tubo em forma de U

contendo Hg (d = 13,6x103kg/m3). Com base na figura, e sendo a pressão atmosférica P3=1,0x105N/m2, marque a opção que contém o valor de P, em N/m2. Considere a aceleração da gravidade local g = 10m/s2.

a) 1, 122 x 105 b) 1, 136 x 105 c) 1,114 x 105 d) 1, 147 x 105

Fundamentação Teórica

Teorema de Pascal

Quando um ponto de um líquido em equilíbrio sofre uma variação de pressão, todos os outros pontos do líquido também sofrem a mesma variação.

Vejam, acima, que dois recipientes ligados pela base são preenchidos por um líquido em equilíbrio. Sobre a

superfície livre do líquido são colocados êmbolos de áreas S1 e S2. Ao aplicar uma força F1 ao êmbolo de área menor, o êmbolo maior ficará sujeito a uma força F2, em razão da transmissão do acréscimo de pressão ∆p. Segundo o teorema de Pascal:

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F1 / S1 = F2 / S2

Da relação acima podemos deduzir outras duas relações importantes para nosso estudo: Como a área do êmbolo é circular, onde temos S podemos escrever πR2 ou πD2/4, onde R é o raio da secção

e D é o diâmetro da mesma, e dessa forma:

F1 / R12 = F2 / R2

2 ou ainda: F1 / D1

2 = F2 / D22

E como V= S x h, podemos escrever S= V/ h e substituindo no teorema de Pascal; obtemos:

F1h1 = F2 h2 IMPORTANTE

O teorema de Pascal é largamente utilizado na construção de dispositivos multiplicadores de força - macaco hidráulico, prensa hidráulica, direção hidráulica, etc. Ele não é um multiplicador de pressão!

01. O princípio de Pascal afirma que:

a) A pressão no interior de um líquido independe da profundidade; b) As moléculas de um líquido se atraem fortemente; c) Todos os líquidos possuem mesma pressão hidrostática; d) A pressão de um ponto, no fundo de um frasco cheio de líquido, depende da área do fundo do frasco; e) A pressão aplicada a um líquido em equilíbrio se transmite integralmente a todos os pontos do líquido e

das paredes do frasco que o contém. 02. (UFPE) Uma estudante de massa de 50kg elevou, com seu peso, um caminhão de 3500kg usando um

elevador hidráulico. A figura mostra o elevador que é constituído de dois cilindros verticais conectados pela base. O cilindro A tem um pistão de área SA e o cilindro B, um pistão de área SB. O espaço entre os pistões foi preenchido com óleo mineral.

a) 70 b) 7 c) 50 d) 5 e) 1750

77

03. (UFPE-adaptada) Uma força vertical de intensidade F, atuando sobre o êmbolo menor de uma prensa hidráulica mantém elevado um peso P = 400N, como mostra a figura. Sabendo que a área do êmbolo maior é 8 vezes a área menor, determine o valor de F, em newtons. a) 30N b) 40N c) 50N d) 60N e) 70N

PARA O ALUNO!!! 01. (MACKENZIE) Dispõe-se de uma prensa hidráulica conforme o esquema a seguir, na qual os êmbolos A e B,

de pesos desprezíveis, têm diâmetros respectivamente iguais a 40cm e 10cm. Se desejarmos equilibrar um corpo de 80kg que repousa sobre o êmbolo A, deveremos aplicar em B a força perpendicular F, de intensidade:

Dado: g = 10m/s2 a) 5,0N b) 10N c) 20N d) 25N e) 50N

02. (UEL) Na prensa hidráulica representada a seguir, os diâmetros dos êmbolos são d1 e d2, tais que d1 = 2d2.

A relação F1/F2 entre as intensidades das forças exercidas nos dois êmbolos, quando situados no mesmo nível, vale: a) 4 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 1/4

03. (UFES) A tubulação da figura a seguir contém líquido incompressível que está retido pelo êmbolo 1 (de área

igual a 10,0cm2) e pelo êmbolo 2 (de área igual a 40,0cm2). Se a força F1 tem módulo igual a 2,00N, a força F2, que mantém o sistema em equilíbrio, tem módulo igual a:

a) 0,5N b) 2,0N c) 8,0N d) 500,0N e) 800,0N

78

Fundamentação Teórica

Teorema de Arquimedes Considere um corpo totalmente mergulhado em um fluido. Como a pressão aumenta com a profundidade, então as forças, devido à pressão, também aumentam.

As pressões nos pontos 1 e 2, são: P1 = P0 + d . g . h1 P2 = P0 + d . g . h2 Seja A a área da seção transversal do corpo. As forças, devido à pressão que o fluido exerce no corpo, nos

pontos 1 e 2, são:

F1 = P1 . A → F1 = (P0 + d . g . h1) . A F2 = P2 . A → F2 = (P0 + d . g . h2) . A

A resultante das forças de pressão que o fluido, suposto em repouso, exerce sobre o corpo é denominada de

Empuxo E. O módulo do empuxo será, então: E = F2 – F1 → E = P2 . A − P1 . A E = (P2 − P1) . A → E = (P0 + d . g . h2 – P0 –d . g . h1) . A E = d . g . (h2-h1) . A → E = d . g . h . A Porém A . h = Vs onde, Vs: volume da parte submersa do corpo, que corresponde ao volume de fluido deslocado. Todo corpo mergulhado, total ou parcialmente, em um fluido, fica submetido a uma força (resultante das

forças de pressão exercida pelo fluido), denominada de Empuxo. O módulo do Empuxo é igual ao peso do fluido deslocado.

E = d .Vs . g, no qual: E = peso do fluido deslocado. dL: densidade do líquido Vs: volume submerso ou imerso g: módulo da gravidade

Convém lembrar que o empuxo nem sempre é vertical e para cima. Um corpo colocado no fundo de um

recipiente, de tal forma que não haja fluido passando por baixo da base do corpo, a resultante das forras de pressão (empuxo) será vertical e para baixo.

79

Observe que lateralmente as forças se anulam, mas verticalmente a resultante das forças de pressão é para baixo.

01. Um tronco de árvore de 0,8m3 de volume flutua na água com metade do seu volume submerso. Qual é o

empuxo de água sobre o tronco?

Dados: g=10m/s2 densidade da água = 1000 kg/m3 a) 80 N b) 400 N c) 800 N d) 4.000 N e) 8.000 N

02. (UFC) Um cilindro de altura H é feito de um material cuja densidade é igual a 5. Coloca-se esse cilindro no

interior de um recipiente contendo dois líquidos imiscíveis, com densidades iguais a 6 e 2. Ficando o cilindro completamente submerso, sem tocar o fundo do recipiente e mantendo-se na vertical, a fração da altura do cilindro que estará submersa no líquido de maior densidade será: a) H/3. b) 3H/4. c) 3H/5. d) 2H/3. e) 4H/5.

03. (CEFET-MG) Em um experimento, os alunos observaram que uma certa bola de massa de modelar afundava

na água. Em seguida, I. Ana pôs sal na água e verificou que a bola flutuou; II. Ronaldo obteve o mesmo resultado modelando a bola sob a forma de um barquinho.

O efeito observado no caso 1 explica-se pelo(a)___________ na densidade do líquido e, no caso II pelo(a)

__________ na densidade média do corpo.

A alternativa que completa, corretamente, as lacunas acima é:

a) aumento, aumento. b) redução, aumento. c) aumento, redução. d) redução, redução.

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04. Um corpo flutua em água (massa específica=1g/cm3) com 3/4 de seu volume imerso. A densidade desse corpo é:

a) 1,30 g/cm3 b) 0,75 g/cm3 c) 0,60 g/cm3 d) 0,50 g/cm3 e) 0,25 g/cm3

PARA O ALUNO!!!

01. (PUC-MG) A figura desta questão mostra um corpo esférico preso a um dinamômetro e totalmente imerso em

um líquido. Leia atentamente as afirmativas a seguir: I. Quanto maior a densidade do líquido, menor será a leitura do dinamômetro. II. A leitura do dinamômetro depende do volume do corpo imerso. III. Se o dinamômetro mostrar uma leitura igual a zero, significa que a densidade do ;líquido é igual à

densidade do corpo.

Assinale: a) se todas as afirmativas estiverem corretas. b) se todas as afirmativas estiverem incorretas. c) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas. e) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas.

02. (CEFET-Ce) Um mergulhador, partindo do ponto S, segue a linha SP no interior de um líquido homogêneo e

em equilíbrio. A força E (EMPUXO) que o líquido exerce sobre ele varia, em função da profundidade h, de acordo com o diagrama:

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04. (UFMG) Puxar uma âncora de navio é relativamente fácil enquanto ela está dentro da água, mas isso se torna

mais difícil quando ela sai da água.

Em relação a esse fato, a afirmativa correta é

a) A força necessária para içar a âncora dentro da água é igual à diferença entre seu peso e o empuxo que atua sobre ela.

b) o empuxo da água sobre a âncora anula o seu peso. c) o empuxo da água sobre a âncora é maior do que seu peso. d) o material da âncora torna-se menos denso ao ser colocado dentro das águas. e) o peso da âncora é menor quando ela se encontra dentro da água. 04. (UFF) Uma lata de um litro, contendo 200g de óleo, fica em equilíbrio quando imersa em água.

Sendo a massa específica da água 1000 kg/m3 e a aceleração da gravidade 10 m/s2, o peso da lata vazia é: a) 12 N. b) 10 N. c) 8,0 N. d) 2,0 N. e) 4,0 N.