módulo revisão - física i

8/18/2019 Módulo Revisão - Física I

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Revisão

FÍSICA

EM 22 VOLUMES

c a d e r n o1

Livro do Professor


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F Í S I C A

Gloria Martini

Revisãoem 22 volumes

Caderno 1

Livro do Professor


3/153

Apresentação

Caro professor,

Há duas concepções comuns quando se trata da revisão para as provas de

seleção dos concursos vestibulares nacionais: uma, de que é possível, em um

conjunto de aulas, dar conta de revisar todos os conteúdos que compõem a grade

curricular do Ensino Médio, atribuindo a eles o mesmo peso e importância;

outra, compartilhada pelos autores deste material, defende que uma revisão

para vestibular deve priorizar objetivamente os conteúdos mais solicitados

nesses exames nos últimos anos. O Revisão em 22 volumes foi elaborado por

uma equipe de professores-autores que trabalha com uma eficiente revisão

pré-vestibular para garantir a seus alunos a continuidade dos estudos em instituições

universitárias de excelência acadêmica.

Revisar um conteúdo não é o mesmo que ensiná-lo pela primeira vez. O estudante

do 3o ano do Ensino Médio já realizou um percurso de aprendizagem baseado na

aquisição de determinadas competências e habilidades próprias do período de

desenvolvimento cognitivo de um adolescente, capaz de realizar abstrações mais

elaboradas. Nesse sentido, ele já participou de aulas em que coletou e analisou

dados a partir de experimentos em Física, Química e Biologia; estudou documentos

e mapas de vários tipos em História e Geografia; analisou um conjunto diversificado

de textos literários para investigação do estilo de determinados autores em Literatura;

e já mergulhou nas diferentes estruturas linguísticas que caracterizam os estudos de

Gramática. Dessa forma, já desenvolveu habilidades como comparar, relacionar, inferir,

justificar, selecionar, explicar, associar, entre outras.


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No Revisão em 22 volumes – que contempla as disciplinas de Biologia, Física,

Geografia, Gramática, História, Literatura, Matemática e Química – revisar para o

vestibular significa selecionar os principais conteúdos que servem de base para as

provas elaboradas pelas principais bancas do país e propor uma série de questões que

trabalhem esses mesmos conteúdos, oferecendo um panorama amplo do que o aluno

irá encontrar nos exames.

Além das respostas e resoluções no próprio material, você dispõe de um Plano de

Aulas para cada caderno, com comentários sobre algumas questões selecionadas.

Bom trabalho!


5/153

Conheça o livro

Tarja

indicativa

Localiza

cada tópico

Teoria ilustrada

Quatro páginas

com a síntese teórica

ilustrada do tema

Questões

essenciais

Aquelas que o

professor priorizará

para o estudo

em classe

Habilidade

Indicação da(s)

habilidade(s)

trabalhada(s) na

questão

Questões de vestibulares

Extraídas dos principais

exames vestibulares do país

ou especialmente elaboradas

para o tema

Questões do Enem

Questões extraídas do

Enem ou especialmenteelaboradas segundo os

critérios do exame

Espaço para a resolução

Para registrar a resolução

das questões de Exatas

ou a resposta das

questões dissertativas


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Caderno 1

Movimento retilíneo uniforme (MRU) 2

Movimento retilíneouniformemente variado (MRUV) 14

Cinemática vetorial 26

Leis de Newton e algumas forças especiais 38

Aplicações das Leis de Newtone gravitação universal 50

Estática e hidrostática 62

Trabalho e energia mecânica 74

Princípio da conservação da quantidadede movimento 86

Calor, temperatura e dilatação 98

Calor e mudança de fase 110

Gases e termodinâmica 122

Óptica geométrica e reflexão da luz 134

Caderno 2

Refração da luz 146

Lentes esféricas, instrumentos ópticose visão humana 158

Ondas 170

Acústica e MHS 182

Carga elétrica 194

Potencial elétrico 206

Corrente e resistência elétrica 216

Capacitores, geradores e receptores 228

Magnetismo: campo magnético 240

Magnetismo: força magnética 252

Indução eletromagnética 264

Física moderna 274

Sumário


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EIXOS COGNITIVOS

Competência de área I. Dominar linguagens II. Compreender fenômenos

1. Compreender as Ciências da Naturezae as tecnologias a elas associadas comoconstruções humanas, percebendo seuspapéis nos processos de produção e nodesenvolvimento econômico e social dahumanidade.

H1 – Reconhecer característicasou propriedades de fenômenosondulatórios ou oscilatórios,relacionando-os a seus usos emdiferentes contextos.

2. Identificar a presença e aplicar astecnologias associadas às ciências naturaisem diferentes contextos.

H5 – Dimensionar circuitos oudispositivos elétricos de usocotidiano.

3. Associar intervenções que resultam emdegradação ou conservação ambientala processos produtivos e sociais e ainstrumentos ou ações científico--tecnológicos.

H8 – Identificar etapas em processosde obtenção, transformação, utilizaçãoou reciclagem de recursos naturais,energéticos ou matérias-primas,considerando processos biológicos,químicos ou físicos neles envolvidos.

H9 – Compreender a importânciados ciclos biogeoquímicos ou dofluxo de energia para a vida, ou daação de agentes ou fenômenos quepodem causar alterações nessesprocessos.

4. Compreender interações entre organismose ambiente, em particular aquelasrelacionadas à saúde humana, relacionandoconhecimentos científicos, aspectosculturais e características individuais.

H13 – Reconhecer mecanismosde transmissão da vida, prevendoou explicando a manifestação decaracterísticas dos seres vivos.

H14 – Identificar padrões emfenômenos e processos vitais dosorganismos, como manutenção doequilíbrio interno, defesa, relaçõescom o ambiente, sexualidade, entre

outros.5. Entender métodos e procedimentos

próprios das ciências naturais e aplicá-losem diferentes contextos.

H17 – Relacionar informaçõesapresentadas em diferentes formas delinguagem e representação usadas nasciências físicas, químicas ou biológicas,como texto discursivo, gráficos, tabelas,relações matemáticas ou linguagemsimbólica.

6. Apropriar-se de conhecimentos da físicapara, em situações-problema, interpretar,avaliar ou planejar intervenções científico--tecnológicas.

H20 – Caracterizar causas ou efeitos dosmovimentos de partículas, substâncias,objetos ou corpos celestes.

H21 – Utilizar leis físicas e (ou)químicas para interpretar processosnaturais ou tecnológicos inseridosno contexto da termodinâmica e(ou) do eletromagnetismo.

7. Apropriar-se de conhecimentos da químicapara, em situações-problema, interpretar,avaliar ou planejar intervenções científico--tecnológicas.

H24 – Utilizar códigos e nomenclaturada química para caracterizar materiais,substâncias ou transformações químicas.

H25 – Caracterizar materiais ousubstâncias, identificando etapas,rendimentos ou implicaçõesbiológicas, sociais, econômicas ouambientais de sua obtenção ouprodução.

8. Apropriar-se de conhecimentos da biologiapara, em situações-problema, interpretar,avaliar ou planejar intervenções científico--tecnológicas.

H28 – Associar característicasadaptativas dos organismoscom seu modo de vida ou comseus limites de distribuição emdiferentes ambientes, em especialem ambientes brasileiros.

Matriz de referência de Ciências da Natureza e suas Tecnologias


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EIXOS COGNITIVOS

III. Enfrentar situações-problema IV. Construir argumentação V. Elaborar propostas

H2 – Associar a solução de problemasde comunicação, transporte, saúdeou outros, com o correspondentedesenvolvimento científico etecnológico.

H3 – Confrontar interpretaçõescientíficas com interpretações baseadasno senso comum, ao longo do tempo ouem diferentes culturas.

H4 – Avaliar propostas de intervençãono ambiente, considerando a qualidadeda vida humana ou medidas deconservação, recuperação ou utilizaçãosustentável da biodiversidade.

H6 – Relacionar informações paracompreender manuais de instalaçãoou utilização de aparelhos, ou sistemastecnológicos de uso comum.

H7 – Selecionar testes de controle,parâmetros ou critérios para acomparação de materiais e produtos,tendo em vista a defesa do consumidor,a saúde do trabalhador ou a qualidade

de vida.

H10 – Analisar perturbações ambientais,identificando fontes, transporte e (ou)destino dos poluentes ou prevendoefeitos em sistemas naturais, produtivosou sociais.

H11 – Reconhecer benefícios, limitaçõese aspectos éticos da biotecnologia,considerando estruturas e processosbiológicos envolvidos em produtosbiotecnológicos.

H12 – Avaliar impactos em ambientesnaturais decorrentes de atividadessociais ou econômicas, considerandointeresses contraditórios.

H15 – Interpretar modelos eexperimentos para explicar fenômenosou processos biológicos em qualquernível de organização dos sistemasbiológicos.

H16 – Compreender o papel daevolução na produção de padrões,processos biológicos ou na organizaçãotaxonômica dos seres vivos.

H18 – Relacionar propriedades físicas,químicas ou biológicas de produtos,sistemas ou procedimentos tecnológicosàs finalidades a que se destinam.

H19 – Avaliar métodos, processos ouprocedimentos das ciências naturaisque contribuam para diagnosticar ousolucionar problemas de ordem social,econômica ou ambiental.

H22 – Compreender fenômenosdecorrentes da interação entre a radiaçãoe a matéria em suas manifestações emprocessos naturais ou tecnológicos, ouem suas implicações biológicas, sociais,econômicas ou ambientais.

H23 – Avaliar possibilidades de geração,uso ou transformação de energia emambientes específicos, considerandoimplicações éticas, ambientais, sociaise (ou) econômicas.

H26 – Avaliar implicações sociais,ambientais e (ou) econômicas naprodução ou no consumo de recursosenergéticos ou minerais, identificandotransformações químicas ou de energiaenvolvidas nesses processos.

H27 – Avaliar propostas de intervençãono meio ambiente aplicandoconhecimentos químicos, observandoriscos ou benefícios.

H29 – Interpretar experimentos outécnicas que utilizam seres vivos,analisando implicações para o ambiente,a saúde, a produção de alimentos,matérias-primas ou produtos industriais.

H30 – Avaliar propostas de alcanceindividual ou coletivo, identificandoaquelas que visam à preservação e àimplementação da saúde individual,coletiva ou do ambiente.


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R e p r o d u ç ã o p r o i b i d a

. A r t . 1 8 4 d o C ó d i g o P e n a l e L e i 9 . 6

1 0 d e 1 9 d e f e v e r e i r o d e 1 9 9 8 .

3

M o v i m e n t o r e t i l í n e o u n i

f o r m e ( M R U )

v 1

v 2

t 1

t 2

s

Caso o móvel se desloque contra a orientação da traje-tória, a posição final será menor do que a inicial; sendoassim, tanto seu deslocamento ∆s como sua velocidadeserão negativos.

É possível classificar os movimentos quanto ao sentidodo deslocamento do móvel da seguinte maneira:

Movimento do móvel a favor da

orientação da trajetória:v 0

movimento progressivo

Movimento do móvel contra a

orientação da trajetória:

v 0

movimento retrógrado

Aceleração escalar média: quando varia o valor da ve-

locidade de um corpo em movimento, diz-se que ele temaceleração escalar, que pode ser calculada pela razão en-tre a variação de sua velocidade instantânea (aquela ob-tida em um ∆t muito pequeno) e o intervalo de tempogasto no percurso.

am 5Sv

___

St 5

v 2 v 0

______

t 2 t 0

A unidade da aceleração escalar média no SI é o m/s2.

A unidade no SI para a velocidade média é o m/s, aindaque a unidade km/h seja bastante utilizada.

No cálculo da velocidade escalar média deve-se le-var em conta o tempo total do movimento. Suponha-se,por exemplo, que, em uma viagem ao Rio de Janeiro(∆s 420 km), um ônibus saia da rodoviária de São Pauloàs 10h, faça uma parada de 0,5 hora para que os passa-geiros tomem lanche e chegue ao seu destino às 17h.O cálculo da velocidade média do ônibus levará em con-

ta o tempo total do trajeto, ou seja, o tempo gasto na pa-rada será incluído; sendo assim, tem-se:

v m ∆s∆t

⇒ v m 420

7 ⇒ v m 60 km/h

Classificação dos movimentos quanto ao sentido dodeslocamento do móvel: se o móvel se desloca a favor daorientação da trajetória, seus espaços crescem com o pas-sar do tempo e, portanto, o espaço final será certamentemaior do que o inicial. Desse modo, seu deslocamento ∆s será positivo, assim como sua velocidade.

30km/h30km/h

30km/h

0 km 2 km

4 km6 km

v 0

v

v (km/h)

+

-30km/h

-30km/h

-30km/h

0 km

2 km4 km 6 km

v 0

v

v (km/h)

+

Movimento progressivo

v > 0

Movimento retrógrado

v <

0

Figura 6 • O sinal da velocidade não dá informações sobre a rapidez domóvel, servindo apenas para indicar o sentido do movimento.

Figura 7 • Pela variação da velocidade escalar do objeto entre osinstantes t 1 e t 2, define-se a aceleração média do movimento.

A figura a seguir indica como variam os deslocamen-tos da pessoa em movimento: eles vão ficando ca-da vez maiores, ainda que o intervalo de tempo sejao mesmo. É possível concluir que existe uma varia-ção de velocidade, ou seja, a pessoa está acelerando.Supondo-se que no instante inicial ela tenha veloci-dade de 2 m/s e que depois de 20 segundos sua velo-cidade tenha passado para 7 m/s, a aceleração do seumovimento será calculada por:

a 7 2

20 ⇒ a 0,25 m/s2, que representa um aumento

de 0,25 m/s a cada segundo do movimento.

Figura 8

t t t

Você se lembra?

Conversão entre m/s e km/h:

1 m/s km

11.000

h1

3.600

1

1.000

3.6001

km/h 3,6 km/h


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4

II. Corpos extensos e pontosmateriais

Dependendo das características do movimento, podem--se ou não desprezar as dimensões do corpo que se mo-ve. Se elas são desconsideradas no estudo do movimento,esse objeto é denominado ponto material ou partícula.Existem circunstâncias nas quais as dimensões do corpo,

quando comparadas ao deslocamento efetuado por ele,são relevantes em certa trajetória. Nesses casos, o móvelé um corpo extenso.

IV. Gráficos s t e v t do MRU

Gráficos de funções crescentes representam movimentos progressivos (v > 0) e gráficos de funçõesdecrescentes representam movimentos retrógrados (v 0

Movimento

progressivo

0 t 1 t 2

s2

s1

s

t

v


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5


f o r m e ( M R U )

Como a velocidade do objeto é constante, o gráfico da velocidade em função do tempo é umareta paralela ao eixo do tempo.

v

0 t

Movimento progressivo s

v

0 t

Movimento retrógrado s

Figura 12 • O gráfico v t característico do MRU é uma reta paralela ao eixo do tempo, indicando velocidade constante. O sinal da velocidadeindica movimento progressivo (v > 0) em A e movimento retrógrado (v 0

Ss < 0

A N ∆s

V. Deslocamento a partir dográfico v t

O gráfico da velocidade em função do tempo permitedeterminar o deslocamento escalar do objeto, uma vezque a área A compreendida entre a reta e o eixo das abs-cissas no intervalo considerado é o produto v ∆t , que éigual ao deslocamento ∆s entre os instantes t 1 e t 2.

Figura 13 • A área sob a reta do gráfico v t fornece o deslocamentodo objeto entre os instantes t 1 e t 2.

VI. Encontro de dois móveis

Em diversas ocasiões, dois móveis podem se encontrarna trajetória, seja quando estão se movendo em sentidoscontrários (figura 14), seja quando o mais rápido alcan-ça o mais lento (figura 15). Em ambas as circunstâncias,

o instante de encontro é aquele para o qual se conside-ra sA sB.

Suponha-se, por exemplo, que os carrinhos A e B da fi-gura a seguir se movam um de encontro ao outro com ve-locidades constantes respectivamente iguais a 100 km/h e60 km/h, e que no início da contagem dos tempos eles seencontrem a 40 km de distância um do outro.

Figura 16Podem-se calcular o instante e a posição de encontro

igualando as funções horárias dos dois móveis. Assim:

Móvel A (movimento progressivo)

s0 0, v A 100 km/hs s0 v t ⇒ sA 0 100 t

Móvel B (movimento retrógrado)

s0 400 km, v B 60 km/hs s0 v t ⇒ sB 400 60 t

No instante de encontro: sA sB ⇒ 0 100 t 400 60 t ⇒ t 2,5 h

Logo, a posição de encontro será s 0 100 2,5 ⇒ ⇒ s 250 km.

Figura 14 • O encontro entre os móveis em sentidos contrários se dáquando sA sB.

80 km/hBA

50 km/h

Figura 15 • O carrinho A alcança o B no instante em que as posições deambos forem as mesmas.

80 km/h

t 0

B A

100 km/h

40 km

B

A

Velocidade positiva (v > 0) Velocidade negativa (v


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6

ESTUDANDO Movimento retilíneo uniforme (MRU)

Para o VESTIBULAR

1 (Fuvest-SP) Uma moto de corrida percorre uma pistaque tem o formato aproximado de um quadrado com5 km de lado. O primeiro lado é percorrido a uma ve-locidade média de 100 km/h, o segundo e o terceiro, a120 km/h, e o quarto, a 150 km/h. Qual a velocidademédia da moto nesse percurso?

a) 110 km/h d) 140 km/h

b) 120 km/h e) 150 km/h

c) 130 km/h

A velocidade média não equivale à média das

velocidades.

Sabe-se que, por definição, v m 5 Ss

___

St .

Assim, Ss 5 20 km.

St 5 5

____

100 1 2 3

5

____

120 1

5

____

150 ] St 5

1 __

6 h

Logo, v m 5 20

___

1 __ 6

] v m 5 120 km/h.

5 (UFRGS-RS) A tabela registra dados do deslocamento s

em função do tempo t , referentes ao movimento retilíneouniforme de um móvel. Qual a velocidade desse móvel?

t (s) s (m)

0 0

2 6

5 15

9 27

a) 1 __ 9

m/s d) 9 m/s

b) 1 __ 3

m/s e) 27 m/s

c) 3 m/s

Dado que o movimento é uniforme, podem-se escolher

quaisquer dois pares ordenados (t , s) da tabela para obter

a velocidade do móvel. Escolhendo (t 0, s0)5 (0, 0) e (t , s)5

5 (9, 27), tem-se: v 5 S

s

___

St 5 272

0

______

92 0 } v 5 3 m/s.

v m4

= 150 km/h

v m2

= 120 km/h

v m3

= 120 km/h v m1

= 100 km/h

(UEL-PR) Analise a tabela a seguir e responda às questões 3 e 4.

Nome da provaEspaço

percorrido (m)

Tempo de

prova

Atletismo (corrida) 100 9,69 sNado livre 50 21,30 s

Atletismo (corrida) 1.500 4 min 01,63 s

Nado livre 1.500 14 min 41,54 s

Volta de classificação

(Fórmula 1)5.200 1 min 29,619 s

3 De acordo com os dados da tabela e os conhecimentossobre unidades e escalas de tempo, assinale a alternati-va correta.

a) A diferença de tempo entre as provas de 1.500 m donado livre e de 1.500 m do atletismo é de dez minu-tos, quarenta segundos e novecentos e dez milési-

mos de segundo.b) O tempo da prova de 50 m do nado livre é de vinte e

um segundos e trinta décimos de segundo.

c) O tempo da prova de 1.500 m do nado livre é de qua-torze minutos, quarenta e um segundos e quinhen-tos e quarenta centésimos de segundo.

d) A diferença de tempo entre as provas de 100 m doatletismo e a de 50 metros do nado livre é de onzesegundos e sessenta e um centésimos de segundo.

e) A volta de classificação da Fórmula 1 é de um minu-to, vinte e nove segundos e seiscentos e dezenovecentésimos de segundo.

∆t 21,30 9,69 11,61 s

4 Conforme os dados da tabela, assinale a alternativa queapresenta a velocidade média aproximada, em km/h,para a modalidade nado livre 1.500 m.

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

v m ∙ ∆s∆t

∙ 1.500

14 60 41,54 ∙ 1.500

881,54 3,6∙

∙5.400

881,54 ∙ 6,13 km/h ≃ 6 km/h

2 (Unimontes-MG) Dois aviões do grupo de acrobaciasEsquadrilha da Fumaça são capazes de realizar manobrasdiversas e deixam para trás um rastro de fumaça. Nessascondições, para que os aviões descrevam duas semirretasparalelas verticais (perpendiculares ao solo, consideradoplano), de tal sorte que o desenho fique do mesmo ta-manho, os pilotos controlam os aviões para que tenhamvelocidades constantes e de mesmo módulo.

Considerando o mesmo sentido para o movimento dosaviões durante essa acrobacia, pode-se afirmar correta-mente que:

a) os aviões não se movimentam em relação ao solo.b) os aviões estão parados, um em relação ao outro.

c) um observador parado em relação ao solo está acele-rado em relação aos aviões.

d) um avião está acelerado em relação ao outro.

Considerando como referencial para o movimento o

avião A, que está com a mesma velocidade do avião

B, pode-se concluir que um está parado em relação ao

outro.


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7


f o r m e ( M R U )

6 (UEL-PR) Um ciclista descreve uma volta completa emuma pista que se compõe de duas retas de comprimen-to L e duas semicircunferências de raio R conforme re-presentado na figura a seguir.

L

L

RR

A volta dá-se de forma que a velocidade escalar média

nos trechos retos é v .e nos trechos curvos é23

v ..

O ciclista completa a volta com uma velocidade escalar

média em todo o percurso igual a45

v ..

Com base nessas informações, é correto afirmar que oraio dos semicírculos é dado pela expressão:

a) L πR. c) L πR

3. e) L

3πR2

.

b) L πR

2. d) L

πR

4.

7 (UEA-AM) Embora as unidades das grandezas físicas per-tençam ao chamado “Sistema Internacional de Unidades”,ainda são usadas, por conveniência ou tradição, algu-mas que não integram o sistema; é o caso da velocidadedos navios, medida em “nós” (1 m/s 7 2 nós) e de algu-

mas distâncias, medidas em “milhas” (1 milha 7 1,6 km).Um navio, deslocando-se a 10 nós, cobrirá a distância de5 milhas no seguinte tempo:

a) Entre 26 e 27 minutos

b) 32 minutos

c) Um pouco mais de 40 minutos

d) 2 horas

e) Em pouco menos de 3 horas

10 nós7 5 m/s; 5 milhas7 8.000 metros. Usando o

conceito de velocidade média:

v m 5 Ss

___

St ] 55 8.000

_____

St ] St 7 1.600 s7 26,6 min

8 (Uece) O odômetro de um carro marcou 38.692,4 km noinício de uma prova de corrida de automóveis em umapista oval de 3,0 km de comprimento por volta. O carroterminou a prova em 2h38min55s, e no final da provao odômetro marcou 38.986,4 km. A velocidade escalarmédia do carro nessa prova foi:

a) zero. c) 30,8 m/s.

b) 110,0 km/h. d) 399,6 m/s.

v m ∙ ∆s∆t

∙ (38.986,4 38.692,4) 1.000

2 3.600 38 60 55 ∙

∙ 294.0009.535 ∙ 30,8 m/s

10 (Unimontes-MG) Um motorista apressado passa em altavelocidade por uma base da Polícia Rodoviária, com ve-locidade constante de módulo v . Dez segundos depois,uma viatura parte em perseguição desse motorista e oalcança nos próximos 30 segundos. A velocidade escalarmédia da viatura, em todo o percurso, será de:

a) v . b)4v 3

. c)2v 3

. d)5v 3

.

Sabe-se que:

Do enunciado pode-se concluir que ambos os

movimentos terão mesma direção e sentido, pois se

trata de uma perseguição. Além disso, sendo a

velocidade do motorista constante, pode-se afirmar

que a velocidade média do seu movimento é igual à

velocidade constante do movimento. Assim, o policial

terá alcançado o motorista quando:

∆spol ∆smot ⇒ v pol ∆t pol v mot ∆t mot ⇒ v pol 30

v mot 40 ⇒ v pol v mot43

v m ∙ ∆s∆t

⇒ ∆s v m ∆t.

9 (UFF-RJ) Segundo os autores de um artigo publicadorecentemente na revista The Physics Teacher *, o que fazdo corredor Usain Bolt um atleta especial é o tamanhode sua passada.

Para efeito de comparação, Usain Bolt precisa apenasde 41 passadas para completar os 100 m de uma cor-rida, enquanto outros atletas de elite necessitam de 45passadas para completar esse percurso em 10 s.

* SHINABARGAR, A.; HELLVICH, M.; BAKER, B.The Physics Teacher, n. 48, v. 385, set. 2010.

Marque a alternativa que apresenta o tempo de UsainBolt, para os 100 metros rasos, se ele mantivesse o ta-manho médio de sua passada, mas desse passadas coma frequência média de um outro atleta, como os referi-dos anteriormente.

a) 9,1 s b) 9,6 s c) 9,8 s d) 10 s e) 11 s

A frequência das passadas dos outros atletas é dada por:

O tamanho médio da passada de Usain Bolt é:

Assim, a velocidade média que Usain desenvolveria,

em m/s, se mantivesse a mesma frequência que os

outros atletas, em m/s, seria de:

Assim, sendo a velocidade suposta constante, tem-se:

5 (2πr 2L) ⇒ 12πr 8L∙ 10πr 10L⇒

⇒ 2L 2πr⇒ L πr

v . ∙ ∆s1 ∆s2

∆t

1

∆

t 2

⇒45

v . ∙ 2πr 2L2π

r

2L ⇒

45

v . ∙

∙2πr 2L3πr 2L

⇒45

v . ∙ 2πr 2L3πr 2L

v . ⇒ 4 (3πr 2L)∙

v . v .

v .

23

f ∙ 4510 ∙ 4,5 passadas/s

∆passada ∙ 10041 m

v m ∙ 10041 4,5

45041

m/s

∆t Usain ∙ ∆s

v m

∙ 100 41

450

∙ 4.100

450

∙ 9,1 s


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8

12 (Uece) Um corpo move-se no plano XY , sendo as coor-denadas de sua posição dadas pelas funções x (t )5 3t e y (t ) 5 t 3 2 12t , em centímetros, com t em segundos. Omódulo do deslocamento entre os instantes t 5 0 e t 5 4segundos, em centímetros, é:

a) 4. c) 38.

b) 20. d) 48.

Instante inicial t 5 0:

x (0) 5 3 3 0 ] x (0)5 0

y (0)5 03 2 12 3 0 ] y (0)5 0

Logo, o corpo está inicialmente na origem do plano XY .

Instante final t 5 4 s:

x (4)5 3 3 4 ] x (4) 5 12 cm

y (4)5 43 2 12 3 4 ] y (4)5 16 cm

O deslocamento ocorreu entre os pontos (0, 0) e (12, 16).

Usando a relação de Pitágoras:

(Ss)2 5 122 1 162 5 400 ] Ss 5 20 cm

11 (UFTM-MG) Sobre uma mesma trajetória, associada aopiso de uma rodovia, dois automóveis movimentam--se segundo as funções horárias s1 5 220 2 20 3 t es2 5 10 1 10 3 t , com valores escritos em termos doSistema Internacional. Nessas condições, os dois veículos:

a) se encontrarão no instante 1 s.

b) se encontrarão no instante 3 s.

c) se encontrarão no instante 5 s.

d) se encontrarão no instante 10 s.e) não se encontrarão.

Instante e posição de encontro dos automóveis:

s1 5 s2 ] 2202 20t 5 101 10t ]

] 30t 5 230 ] t 5 1 s

Como t , 0, os automóveis não se encontrarão mais.

14 (Unimontes-MG) Um motorista ultrapassa um comboiode 10 caminhões que se move com velocidade média de90 km/h. Após a ultrapassagem, o motorista decide queirá fazer um lanche num local a 150 km de distância, ondeficará parado por 12 minutos. Ele não pretende ultrapas-sar o comboio novamente até chegar ao seu destino final.O valor mínimo da velocidade média que o motorista de-veria desenvolver para retomar a viagem, após o lanche,à frente do comboio seria de aproximadamente:

a) 102,3 km/h. c) 116,0 km/h.

b) 100,8 km/h. d) 108,0 km/h.

Cálculo do deslocamento do comboio, enquanto o

motorista está parado:

v m 5 Ss

___

St ] 905 ] Ss 5 18 km

Assim, o comboio tem de estar, no mínimo, 18 km atrás

do local de parada do motorista para que este não seja

ultrapassado antes de terminar seu lanche. Isso equivale

à posição132 km, contada a partir da ultrapassagem.

v comboio 5 Sscomboio

_______

St comboio ] 905

1502 18

________

St comboio ] St comboio 7 1,46 h

St comboio 5 St motorista ] v motorista 5 150

____

1,46 ] v motorista 7

7 102,3 km/h

15 (PUC-RS) Um veículo passa pela cidade A, localizada noquilômetro 100, às 10h, e segue rumo à cidade C (locali-zada no quilômetro 500), passando pela cidade B (loca-lizada no quilômetro 300).

Nessas circunstâncias, é correto afirmar que o veículopassa pela cidade B às:

a) 2,5h. d) 12,5h.

b) 3,0h. e) 13,0h.

c) 11,5h.

O gráfico nos mostra que, nas posições relacionadas às

cidades A e B, os respectivos instantes são 0,5h e 3h.

Portanto, o instante inicial foi escolhido às 9,5h, e a

cidade B será alcançada às 12,5h.

0 1 2 3 4 5 6

600

400

200 P o s i ç ã o ( k m )

Tempo (h)

0

13 (Unicentro-PR) Considere um motoqueiro que percorreuma pista circular, de raio igual a 36,0 m, com velocida-de de módulo constante de 20,0 m/s.

Admitindo-se que π é igual a 3, o tempo que o moto-queiro gasta para fazer as três primeiras voltas, em s, éigual a:

a) 10,8. d) 32,4.

b) 22,5. e) 45,0.

c) 30,0.

∆t mot ∙ ∆smotv mot

∙ 3 2π 3620 ∙ 648 20 ∙ 32,4 s

∆s1260


16/153




9


f o r m e ( M R U )

17 (UFPE) Num edifício alto com vários pavimentos, um ele-vador sobe com velocidade constante de 0,4 m/s. Sabe--se que cada pavimento possui 2,5 metros de altura. Noinstante t 5 0, o piso do elevador em movimento se en-contra a 2,2 m do solo. Portanto, em tal altura, o piso doelevador passa pelo andar térreo do prédio. No instantet 5 20 s, o piso do elevador passará pelo:

a) terceiro andar.

b) quarto andar.

c) quinto andar.

d) sexto andar.

e) sétimo andar.

Cálculo da posição final do elevador, em movimento

uniforme:

s 5 s0 1 v 3 t 5 2,21 0,4 3 20 ] s 5 10,2 m

Nesse instante, o elevador passará pelo quarto andar

do prédio, que compreende alturas entre 10,0 metros

e 12,5 metros em relação ao solo.

Em relação à situação mostrada nesse gráfico, assinale aalternativa cuja afirmação esteja incorreta.

a) Há inversão no sentido do movimento do móvel en-tre 0 e 40 s.

b) A distância percorrida pelo móvel foi de 130 m.

c) A velocidade do móvel entre 20 e 40 s foi maior quea velocidade do móvel entre 0 e 10 s.

d) A velocidade do corpo foi nula entre 10 e 20 s.

a) Correta. Até 10 s, o movimento é progressivo; a

partir de 20 s, é retrógrado.

b) Correta, pois d 5 (802 30) + (802 0)} d 5 130 m

c) Incorreta. Entre 0 e 10 s, a velocidade do móvel foi de:

v 5 Ss

___

St 5 ] v 5 5 m/s. Entre 20 e 40 s, a

velocidade foi: v 5 Ss

___

St 5

02 80

______

20 ] v 5 24 m/s

d) Correta. Entre 10 e 20 s, o corpo permaneceu na

posição 80 m.

8023010

16 (Mackenzie-SP) Um móvel se desloca segundo o diagra-ma da figura.

A função horária do movimento é:

a) s 5 202 2t . d) s 5 201 2t .

b) s 5 20 2 t 2. e) s 5 22t .

c) s 5 2t 2.

O gráfico s t é uma reta, o que caracteriza um

movimento uniforme cuja função horária é do tipo

s 5 s0 1 vt .

Isso descarta as alternativas b e c. Do gráfico, tem-se:

Ss 5 s 2 s0 5 02 20 } Ss 5 220

v 5 Ss

___

St 5 220

____

10 } v 5 22

St 5 t 2 t 0 5 10 2 0 } St 5 10

Logo, a função horária do movimento é s 5 20 2 2t .

20

0 10

s

t

18 (UEMG) O gráfico abaixo mostra como a posição de umcorpo varia com o tempo.

d (m)

80

30

0 10 20 40 t (s)

19 (UFC-CE) Um automóvel move-se numa estrada com velo-cidade v (km/h) conforme o gráfico v t da figura abaixo.Determine sua velocidade média, em km/h, após 5 h.

Do gráfico, pode-se escrever: Ss 5 Área.

Portanto, o deslocamento total do automóvel é:

Sstotal 5 Ss1 1 Ss2 1 Ss3 5 301 1801 120} Sstotal 5330 km

Aplicando agora a definição de velocidade média,

obtém-se: v m 5 S

stotal

_____

St 5 330

____

5 } v m 5 66 km/h.

90

60

30

0 1 2 3 4 5

v (km/h)

t (h)


17/153




10

Com base nele, o encontro dos móveis M e N se dá noinstante:

a) 10 s. d) 8 s.

b) 5 s. e) 30 s.

c) 20 s.

20 (Uespi) Dois móveis, M e N, deslocam-se numa mesmareta. Suas posições, em função do tempo, estão registra-das no gráfico.

Do gráfico, conclui-se que os móveis M e N estão em

movimento uniforme cuja função horária é do tipo

s 5 s0 1 vt .

Móvel M

Do gráfico:

Ss 5 s 2 s0 5 02(220) } Ss 5 20 m

St 5 t 2 t 0 5 52 0 } St 5 5 s

Portanto:

v 5 Ss

___

St 5

20

___

5 } v 5 4 m/s

Logo: sM 5 2201 4t

Móvel N

Do gráfico:

Ss 5 s 2 s0 5 30 2 40] Ss 5 210 m

St 5 t 2 t 0 5 52 0] St 5 5 s

Portanto:

v 5 Ss

___

St 5 2

10

___

5 ] v 5 22 m/s

Logo: sN 5 402 2t

No encontro dos móveis, tem-se:

sM 5 sN ] 2201 4t 5 402 2t ] 6t 5 60 } t 5 10 s

40

30

– 20

0 5

s (m)M

N

t (s)

21 (Ufla-MG) O gráfico abaixo foi elaborado considerandoo movimento de um veículo ao longo de uma rodovia.Nos primeiros 15 minutos, o veículo desenvolveu velo-cidade constante de 80 km/h; nos 15 minutos seguintes,60 km/h; e na meia hora final, velocidade constante de100 km/h.

Pode-se afirmar que a velocidade média do veículo du-

rante essa 1 hora de movimento foi de:a) 80 km/h.

b) 85 km/h.

c) 70 km/h.

d) 90 km/h.

Cálculo do deslocamento total do veículo no intervalo

de tempo considerado:

v 1 5 Ss1

___

St 1 ] 805

Ss1

___

15

___

60 ] Ss1 5 20 km

v 2 5 Ss2

___

St 2 ] 605 Ss2

___

15

___

60 ] Ss2 5 15 km

v 3 5 Ss3

___

St 3 ] 1005

Ss3

___

30

___

60 ] Ss3 5 50 km

O deslocamento total, nesses 60 min, foi de:

Sstotal 5 20 1 151 505 85

Portanto, a velocidade média do veículo foi de 85 km/h.

v (km/h)

15 30 45 60

100

80

60

t (min)


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11


f o r m e ( M R U )

23 (UEPG-PR) Sobre o deslocamento de um móvel que ocor-re de acordo com o representado no gráfico abaixo, anali-se as assertivas a seguir e assinale a alternativa correta.

22 (UEL-PR) O gráfico abaixo representa o movimento deuma partícula.

Analise as afirmativas seguintes e assinale a alternativacorreta.

I. A velocidade escalar média entre t 5 4 s e t 5 6 s éde21 m/s.

II. O módulo do deslocamento entre t 5 4 s e t 5 10 sé de 1 m.

III. A distância total percorrida desde t 5 0 até t 5 10 svale 8 m.

a) Somente I é correta.

b) Somente I e II são corretas.

c) Somente I e III são corretas.

d) Somente II e III são corretas.

e) I, II e III são corretas.

I – correta

Do enunciado: St 5 62 4 } St 5 2 s

Do gráfico: Ss 5 32 5 } Ss 5 22 m

Por definição, tem-se: v m 5 Ss

___

St 5

22

___

2 5 21 m/s

II – correta

No intervalo de tempo dado, tem-se:

Ss 5 62 5 } Ss 5 1 m

III – correta

Analisando o gráfico passo a passo:

De 0 a 3 s, d 5 3 m;

De 3 s a 4 s, a partícula permaneceu em repouso;

De 4 s a 6 s, d 5 2 m;

De 6 s a 8 s, a partícula permaneceu em repouso;

De 8 s a 10 s, d 5 3 m;

Portanto, a distância total percorrida é:

d 5 3 m 1 2 m 1 3 m5 8 m

s (m)

t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

5

4

3

2

1

0

100

200

d (m)

t (min)5 10 15 20 25

I. No local máximo do gráfico, o móvel ficou paradodurante 10 minutos.

II. As velocidades de deslocamento tanto para ir comopara retornar são constantes.

III. A área total do gráfico representa o deslocamentototal percorrido pelo móvel.

IV. A velocidade de deslocamento da ida é maior que ado retorno.

a) Apenas estão corretas as assertivas I, II e III.

b) Apenas estão corretas as assertivas II e IV.

c) Apenas estão corretas as assertivas II, III e IV.

d) Apenas estão corretas as assertivas I e II.

e) Apenas estão corretas as assertivas I, II e IV.

I – Verdadeiro, pois no ponto mais alto do gráfico o

móvel não sai da posição d 200 m por 10 min (reta

paralela ao eixo dos tempos).

II – Verdadeiro, pois as funções que descrevem o

movimento do móvel, na ida (de 0 a 5 min.) e na volta

(de 15 a 25 min.) são lineares, o que caracteriza

movimentos de velocidade constante.

III – Falso. A área correspondente ao deslocamento do

móvel é obtida em um gráfico v t .

IV – Verdadeiro, pois a declividade da reta que

representa o movimento de ida – entre 0 e 5 min – é

bem maior do que a declividade que representa o

movimento de volta – entre 15 e 25 min.


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12

1 Dois cientistas observam um objeto em movimentoe não concordam sobre sua equação horária. Após al-guma discussão, eles resolvem escrever cada um sua

própria versão da equação. Depois de algumas me-dições e cálculos, o cientista A escreveu a equação:sA 100 20 t . Já o outro, o cientista B, defendeu aequação: sB 114 20 (t 7). Leia as afirmações.

I. As equações são coerentes entre si, desde que osreferenciais adotados pelos cientistas tenham sidodiferentes.

II. As equações são coerentes entre si, desde que umdos cientistas tenha usado um cronômetro e o ou-tro, um relógio.

III. Definitivamente, não se pode descrever um estadode movimento de duas ou mais formas diferentes.

Está(ão) correta(s):

a) I e III. d) nenhuma.

b) I e II. e) apenas uma delas.

c) II e III.

I – Verdadeira: a posição inicial depende do referencial

adotado.

II – Verdadeira: quando se usa um cronômetro, o tempo

inicial é zero, e a variação do tempo fica sendo o próprio

tempo final.

III – Falsa: o movimento depende do referencial

adotado; mudando o referencial, altera-se a forma

de descrevê-lo.

2 Os balões, quando inflados com ar quente, se tornam me-nos densos que o ar e podem subir naturalmente, sempropulsão auxiliar. São guiados pelo vento e oferecemuma vista privilegiada ao viajante. Mas um voo de ba-lão bem-sucedido exige bastante planejamento: o localde subida, o vento, os locais de descida e as formas deresgate do balão e dos tripulantes devem ser estudados.O trabalho da equipe de apoio é fundamental para a se-gurança de todos: ela segue o balão por terra, monta edesmonta os equipamentos e resgata os balonistas nofim do voo. Suponha que um balão esteja descendo emlinha vertical numa razão constante de 100 metros a cadaperíodo de 20 segundos. Um veículo de resgate segue emdireção ao ponto de pouso do balão em uma pista hori-zontal, percorrendo, de maneira uniforme, 120 metros acada período de 10 segundos. O carro leva 1 minuto paraalcançar o balão exatamente no momento em que estetoca o solo no ponto P . Podemos afirmar que:

a) a altura (H ) do balão, no momento em que o veículoparte para resgatá-lo, é de 100 m.

b) a distância (D1) do veículo em relação ao ponto deencontro (P ) é de 1.200 m.

c) a distância (D2) entre o veículo e o balão no início doresgate é de 780 m.

d) a velocidade de descida do balão é de 120 m/s.

e) a velocidade do veículo de resgate é de 120 m/s.

ESTUDANDO Movimento retilíneo uniforme (MRU)

Para o ENEM

a) Se o resgate demora 1 minuto para alcançar o ponto

de encontro, e ambos chegam juntos, é porque o balão

também leva 1 minuto para cair, na razão de 100 m a

cada período de 20 segundos. Portanto, em 1 minuto

ele desce 300 m.

b) O resgate anda 120 m a cada 10 s. Em 1 minuto, ele

se desloca 720 m.

c) Como o resgate se move na horizontal e o balão na

vertical, a distância entre eles é a hipotenusa de um

triângulo formado pelos respectivos deslocamentos

em 1 minuto. Usando o teorema de Pitágoras:

D22 D12 H 2 ⇒ D22 720

2 3002 518.400 90.000

608.400 ⇒ D2 780 m

d) O balão desce 100 m a cada período de 20 s, ou seja,

sua velocidade é 5 m/s.

e) O resgate avança 120 m a cada período de 10 s,

ou seja, sua velocidade é 12 m/s.

3 Em 2010 aconteceu a 86a edição da corrida de rua mais fa-mosa do Brasil: a Corrida de São Silvestre, tradicionalmenterealizada no dia 31 de dezembro. Nela competem corre-dores do mundo todo, buscando percorrer seus 15 km nomenor tempo possível. Seu nome é uma homenagem aopapa Silvestre I, canonizado pela Igreja católica em umdia 31 de dezembro. O percurso da prova é heterogêneo,com descidas, subidas e trechos planos como o da avenida

Paulista, onde ficam o ponto de partida e o de chegada.O vencedor da 86a edição foi o brasileiro Marilson Gomes

P

H

D 1

D 2

H20

H17

H20

H17

H20


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13


f o r m e ( M R U )

dos Santos, com o tempo de 44min07s. Outro corredor, dopelotão intermediário, realizou a primeira parte da corrida,6 km de declive, em 10 minutos; fez a segunda parte, 5 kmplanos, em 15 minutos; e a última parte, 4 km de aclive, em35 minutos. Assim, das afirmações:

I. A velocidade média aproximada de Marilson foi de20 km/h.

II. Na primeira parte da corrida, Marilson esteve mais

lento que o corredor do pelotão intermediário. III. Se o corredor do pelotão intermediário mantivesse

o mesmo ritmo da primeira parte da corrida, comcerteza ganharia a prova.

a) as três estão corretas.

b) III e II estão corretas.

c) III e I estão corretas.

d) II e I estão corretas.

e) apenas uma delas está correta.

I – Verdadeira: a velocidade é obtida dividindo-se o

espaço percorrido pelo tempo gasto; 44min07s

44,1 min.

O tempo em horas: 60 min 1 h

44,1 min t , portanto t h

v 20,4 km/h

II – Falsa: a velocidade de Marilson na primeira parte do

percurso não foi mencionada; portanto, não há como saber.

III – Verdadeira: a velocidade do corredor intermediário

será, na primeira parte: distância de 6 km e duração de

10 min.

v 36 km/h

4 Um rapaz sai para fazer compras em uma padaria quefica na mesma rua em que mora. Entre sua casa e a pa-daria há uma banca de frutas. Ele passa pela banca echega à padaria em 20 segundos, mas sente falta de suacarteira. O rapaz procura a carteira nos bolsos durante10 segundos, até perceber que a perdeu pelo caminho.O trajeto percorrido pelo rapaz é retilíneo, e a banca de

frutas fica a 60 m da sua casa e a 40 m da padaria. Elevolta correndo pelo mesmo trajeto e, passados 10 se-gundos, encontra a carteira caída diante da barraca defrutas. Sua movimentação é descrita no gráfico posição(s) pelo tempo (t ) a seguir.

Com base no gráfico, pode-se afirmar que:

a) o movimento é, em sequência, retardado, uniforme eprogressivo.

b) a distância percorrida nos 40 segundos de movimen-to foi de 60 m.

c) o deslocamento nos 40 segundos de movimento foide 180 m.

d) a velocidade média nos 40 segundos foi de 1,5 m/s.e) a velocidade média no trecho 2 foi 40 m/s negativa.

a) A sequência correta é: retrógrado, repouso e progressivo.

b) O espaço percorrido total foi: da casa para a padaria,

100 m; parado na padaria, 0 m; da padaria para a banca,

40 m; total: 140 m.

c) O deslocamento considera apenas as posições final

e inicial: 0 ( 40) 40 m.

d)

e) No trecho 2, a velocidade é zero (repouso).

5 Uma reportagem mostrou as últimas novidades sobrecarrinhos de bebê: carrinhos que desarmam com umtoque em um botão, que controlam a velocidade, quepossuem intercomunicador, com alarme que avisa se obebê chora, carrinho que vira cadeirinha. Uma babá gos-tou do carrinho que possui um dispositivo que, além demedir a distância percorrida, fornece a velocidade médiae o número de calorias consumidas por quem empurra ocarrinho; assim, ela mantém a forma enquanto trabalha.

Para conseguir uma boa queima calórica, a babá empur-ra o carrinho de bebê dando 20 passos a cada período de

10 segundos e consegue percorrer um quarteirão de90 metros em 2 minutos. As passadas são constantes paranão perturbar o bebê.

Analise as afirmações.

I. Cada passo da babá tem 0,75 m.

II. A velocidade da babá é 75 cm/s.

III. Para percorrer o quarteirão, a babá usou 120 passos.

Está(ão) correta(s):

a) I e III. d) nenhuma.

b) I e II. e) apenas uma delas.

c) II e III.

I – Falsa: 20 passos a cada período de 10 segundos;

1 quarteirão 90 m em 2 min 120 s; para cruzar o

quarteirão foram12010

20 passos 240 passos 90 m⇒

⇒ 1 passo 90

240 0,375 m

II – Verdadeira: v 20 passos

10 segundos ⇒ v 20 ⋅

0,375 m10s

⇒

⇒ v 0,75 m/s 75 cm/s

III – Falsa: 1 quarteirão 90 m, 1 passo 0,375 m,

n passos 90 m; pela regra de 3: n 90

0,375

240 passos

Casa

Frutas

Padaria Trecho 2

Trecho 3

403020

Trecho 1

s (m)

t (s)

v m ∙ ∆s∆t

∙ 6040

∙ 1,5

44,160

15 km44,160

61060

H20

H17

H20


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14

(–80 km/h) (–120 km/h)

t 1

t 2

+

(+80 km/h) (+120 km/h)

t 1

t 2

+

A favor da trajetória

Contra a trajetória

Acelerado progressivo

Acelerado retrógrado

A

Retardado progressivoA

B

Retardado retrógradoB

(–120 km/h) (–80 km/h)

t 1

t 2+

(+120 km/h) (+80 km/h)

t 1

t 2 +

O que você deve saber sobre

MOVIMENTO RETILÍNEO

UNIFORMEMENTE VARIADO MRUVNo movimento retilíneo uniforme (MRU), a velocidade não varia e a aceleração é nula. A partir de

agora, vamos revisar movimentos cuja velocidade varia de maneira uniforme, o que significa que

a aceleração do movimento é constante.

I. Características do MRUV

O movimento retilíneo uniformemente variado carac-teriza-se pelo fato de a variação na velocidade do objetoser sempre a mesma, no mesmo intervalo de tempo; ouseja, a aceleração do objeto é constante.

am 5 a ] a 5v 2 v 0

______

t 2 t 0

Na figura 1, como a velocidade aumenta, a bola percor-re distâncias cada vez maiores em intervalos de tempoiguais.

Figura 1 • A distância entre duas posições sucessivas aumenta com opassar do tempo.

Valores de aceleração positivos não significam necessa-riamente movimento acelerado. Para que um movimentoseja considerado acelerado, o valor absoluto da veloci-dade deve aumentar com o passar do tempo. Com basenessa definição, podem ocorrer duas situações, depen-dendo da orientação da trajetória:

1. O objeto se move no sentido positivo da trajetória, ovalor absoluto de sua velocidade aumenta, a acelera-

ção do objeto é positiva (a > 0) e sua velocidade tam-bém é positiva (v > 0). Tal movimento é chamadoacelerado progressivo.

2. O objeto se desloca no sentido contrário ao adota-do como positivo e o valor da aceleração é negativo(a 0 ou v


22/153




15

M o v i m e n t o r e t i l í n e o u n

i f o r m e m e n t e v a r i a d o ( M R U V

)

II. Função horária da velocidadee seus gráficos no MRUV

Partindo da expressão da aceleração média, obtém-se afunção horária da velocidade no MRUV:

v (t ) 5 v 0 1 a 3 t

Essa equação se aplica a qualquer tipo de movimentoretilíneo uniformemente variado, seja ele retrógrado ouprogressivo, acelerado ou retardado.

Como se trata de uma função do 1o grau em t , o gráficoé uma reta inclinada em relação ao eixo das abscissas.

Mesmo valor de aceleração e doistipos de movimento

Observe, na figura 4, a representação do movimento deum automóvel.

Nessa situação, o automóvel desenvolve movimento

retrógrado e retardado, com o módulo de sua veloci-dade diminuindo 2 m/s a cada segundo. Se continuar adecrescer dessa maneira, aos 4 s a velocidade será nula.Daí em diante, o móvel inverterá o sentido de seu mo-vimento, deslocando-se no mesmo sentido da orienta-ção da trajetória.

Supondo que o móvel inverta o sentido de seu movi-mento mantendo o módulo de sua aceleração, passaráa desenvolver em marcha à ré, a partir de t 4 s, movi-mento progressivo e acelerado (figura 5).

Figura 5 • Decorridos 4 s, o móvel inverterá o sentido de seumovimento e passará a se deslocar no sentido da orientação da

trajetória, acelerando. Assim, após 4 s, ele desenvolverá movimentoprogressivo e acelerado.

Figura 4 • Diminuindo o módulo de sua velocidade em 2 m/s a cadasegundo, aos 4 s a velocidade será nula.

v 0 m/s

t 4 s

v 8 m/s

t 0 s

De maneira geral, tem-se:

0 t

v

v 0

Movimentoretardado progressivo

Movimentoacelerado retrógrado

a 0

v 0

Figura 6 • Gráficos de funções horárias de velocidade no MRUV.

III. Função horária da posição eseus gráficos no MRUV

Cotidianamente é usada a expressão “acelerar” quandose quer aumentar a rapidez com que algo será realizado.Assim, por exemplo, “aceleramos” o banho para não che-gar atrasados a um compromisso: significa que devemosser mais rápidos, devemos aumentar a rapidez do banho

em relação à rapidez anterior. E “aceleramos” a fala quan-do, nervosos, queremos transmitir mais rapidamente ecom veemência algo que está nos incomodando.

Na física, o conceito de aceleração está diretamente re-lacionado ao deslocamento. Quanto mais acelerado esti-ver o móvel, maiores tendem a ser seus deslocamentos acada sucessivo intervalo de tempo.

Figura 7 • As imagens demonstram que, quanto maior a aceleração deum móvel, maior será a distância percorrida por ele a cada sucessivointervalo de tempo.

No tópico anterior, foi mostrado que a área do gráficov t é numericamente igual ao deslocamento do objeto;logo, usando as informações do gráfico, é possível encon-trar a função horária da posição para esse movimento:

0 t

A

v 0

v

t St

v

Figura 8 • A área sob a reta do gráfico v t é numericamente igual aodeslocamento ∆s do objeto no intervalo ∆t .

M I K E B

R O W N / D R E A M S T I M E . C O M

P I E R I V B / D R E A M S T I M E . C O M

A B

v 0 m/s

t 4 s

v 2 m/s

t 5 s


23/153




16

A função horária da posição no MRUV é uma função do2o grau em t , cujo gráfico característico é uma parábola. Oestudo dessas funções mostra que a concavidade da pa-rábola indica o sinal da aceleração do movimento.

A N ∆s, logo: ∆s N v 0 t a t 2

2 ⇒

⇒

s(t ) s0 v 0 t a t 2

2

IV. Equação de Torricelli

Em certas situações do MRUV, podem-se determinar al-guns parâmetros do movimento, como velocidades ini-ciais ou finais, distância percorrida ou aceleração, sem anecessidade de empregar medidas de tempo. Para isso,deve-se eliminar o tempo na função horária da posiçãono MRUV:

a 0

a 0

s

t 0

Figura 9 • A concavidade da parábola depende do sinal da aceleração.

O formato da parábola vai depender das condiçõesdo movimento, isto é, de o corpo mover-se a favor oucontra o sentido da orientação da trajetória, de ele es-tar aumentando ou diminuindo o valor absoluto de suavelocidade inicial etc. Os esquemas seguintes, acompa-nhados dos gráficos correspondentes, representam al-gumas dessas situações.

Figura 10 • Os gráficos da imagem A representam um móvel emmovimento acelerado, que se move a favor da orientação da trajetória ecuja posição inicial não é a origem dos espaços. O conjunto B representaum movimento retardado com o corpo movendo-se a favor da orientaçãoda trajetória (note que sua velocidade decresce, embora no intervalo detempo apresentado tenha sinal positivo) e que partiu de uma posiçãos0 0. Já nos gráficos C percebe-se que, após atingir v 0, o móvel passaa se mover contra a orientação da trajetória, aumentando o valor absoluto

de sua velocidade, ou seja, adquirindo movimento acelerado. O vértice daparábola assinala o instante em que houve mudança de sentido.

Figura 11

O movimento de queda livre é uniformemente variado

(MRUV), com aceleração igual ao valor da aceleração dagravidade terrestre: g 9,8 m/s2.

s (m) s (m)s (m)

t (s) t (s) t (s)

v 0

C

a (m/s2) a (m/s2) a (m/s2)

t (s) t (s) t (s)

a 0

a 0 a 0

B

v (m/s)

t (s) t (s) t (s)

v 0

t 0 t 0

t 0

v 0v 0

v 0

v 0

v 0

v (m/s) v (m/s)

A

v (t ) 5 v 0 1 a 3 t ] t 5v 2 v 0

______

a

]

s(t ) 5 s0 1 v 3 t 1a 3 t 2

_____

2

v 2 5 v 20 1 23 a 3 Ss

(Equação de Torricelli)

V. Queda livre e lançamentovertical para cima

Queda dos corpos

Objetos soltos no ar são atraídos em direção à Terra, cain-

do em sua superfície caso nada os impeça. A Terra gera umcampo gravitacional capaz de atrair todos os corpos paraseu centro. No entanto, percebe-se que, dependendo dealguns fatores como o formato e a área do objeto, o tem-po de queda pode variar. Isso ocorre porque o ar ofereceresistência à passagem do corpo, aumentando o tempode descida até o solo. Conta a história que, no século XVI,Galileu Galilei observou que corpos de mesmo formato,soltos do alto da torre de Pisa, na Itália, caíam ao mesmotempo, ainda que possuíssem massas diferentes. Concluiu,então, que não era a massa o fator que determinava o tem-po de queda, percebendo que, se fosse no vácuo, todos oscorpos soltos de uma mesma altura chegariam juntos aosolo. De fato, experimentos realizados em tubos de vácuo

comprovam que Galileu tinha razão.Dessa forma, desprezando-se a resistência do ar, corpos

soltos próximo à superfície da Terra caem em movimen-to acelerado, denominado queda livre.


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17



)

Lançamento vertical para cima

Ao lançar uma bola verticalmente para o alto, tem-se a cer-teza de que ela retornará. Isso ocorre porque, ao ser lançadacom certa velocidade, a bola fica sujeita à mesma aceleraçãoda gravidade do movimento de queda, ainda que seu movi-mento seja de subida. Dessa maneira, se a resistência do arpuder ser desprezada, a bola vai perdendo velocidade na ra-zão de 9,8 m/s a cada segundo de seu movimento para o alto,

executando, portanto, um MRUV retardado. O tempo que elalevará para atingir a altura máxima será o mesmo que gastarápara voltar ao ponto de partida e, sendo assim, sua velocida-de final terá o mesmo módulo de sua velocidade inicial.

Figura 12 • Lançamento vertical para cima sem resistência do ar: MRUVretardado até a altura máxima e MRUV acelerado daí em diante.

• Na altura máxima: v 0.• a g, mesmo com o corpo parado na altura máxima.• Tempo de subida = Tempo de descida.

Orientação da trajetória

Na resolução de muitos problemas, é preciso escolher umaorientação para os movimentos de queda livre e de lança-mento vertical para cima, de modo que os sinais da veloci-

dade e da aceleração garantam que o movimento de descidaseja acelerado e o movimento de subida, retardado.

v > 0

g 0

A c e l e r a d o

0 0

0 0

Imagine que, do alto de um edifício de 45 m de altu-ra, um objeto seja abandonado e comece a cair (figura14). Desprezando a resistência do ar, o movimento podeser considerado uma queda livre, de velocidade inicial nu-la, cuja aceleração tem módulo a g. Supondo o valorg 10 m/s2, pode-se determinar o tempo de queda e a ve-locidade de chegada ao solo. Para isso, o primeiro passo éadotar uma orientação para a trajetória, de tal maneira queseja garantida a condição de acelerado para o movimen-to de queda. Torna-se necessário, então, escolher o sinal daaceleração. Se o sinal selecionado é g 0, necessariamentedeve-se ter v 0, ou seja, o móvel deve se mover no senti-do positivo da orientação da trajetória. Para que isso ocorra,como o objeto cai de uma altura de 45 m, é preciso assumirque o alto do edifício representa s0 0 e o solo, s 45 m.

Sendo assim, o tempo de queda poderá ser calculadopor meio da expressão:

s s0 v 0 t a t 2

2

Substituindo os valores, tem-se:

45 0 0 t 10t 2

2 t ⇒ t 3 s.

Pode-se calcular a velocidade de chegada pela expressão:

v v 0 a t ⇒ v 0 10 3 ⇒ v 30 m/s.

Note que, se a orientação fosse invertida, ou seja, se fos-se considerada a posição inicial do móvel como s0 45 me sua posição final s 0, o resultado seria o mesmo, des-

de que fosse considerado o fato de que o móvel, nessecaso, ao cair, desloca-se contra a orientação da trajetó-ria, adquirindo, portanto, v 0. Sendo assim, para queo movimento seja reconhecido como acelerado, deve-seimpor o sinal negativo à aceleração da gravidade, ou se-

ja, g 10 m/s2.

Tem-se, então: 0 45 0 t 10t 2

2 ⇒ t 3 s.

A velocidade final é calculada por meio da equação:v v 0 a t ⇒ v 0 10 3 ⇒ v 30 m/s.

O sinal negativo indica que o objeto se move em sen-tido contrário à orientação positiva da trajetória, comoesperado. Observe, no entanto, que em ambas as esco-lhas para a resolução do problema a medida da rapidez

do móvel na chegada é a mesma, uma vez que o valor domódulo da velocidade se mantém.

Figura 13 • Representação dos movimentos de queda livre (A) elançamento vertical para cima (B) segundo os sinais da velocidade e daaceleração da gravidade.

45 m

Solo

v > 0

g> 0

0

45 m

0

45 m

v


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18

ESTUDANDO Movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV)

Para o VESTIBULAR

2 (Vunesp) No jogo do Brasil contra a Noruega, o tira-tei-ma mostrou que o atacante brasileiro Roberto Carloschutou a bola diretamente contra o goleiro do timeadversário. A bola atingiu o goleiro com velocidade de108 km/h e este conseguiu imobilizá-la em 0,1 s, comum movimento de recuo dos braços. O módulo da ace-leração média da bola durante a ação do goleiro foi,em m/s2, igual a:

a) 3.000. d) 108.

b) 1.080. e) 30.

c) 300.

A velocidade inicial da bola, em m/s, é dada por:

v 0 5 108

____

3,6 } v 0 5 30 m/s

A velocidade final da bola é v 5 0. Portanto:

Sv 5 v 2 v 0 5 0 2 30 ] Sv 5 230 m/s

Do enunciado, St 5 0,1 s. Aplicando a definição de

aceleração média, tem-se:

a 5 Sv

___

St 5

230

____

0,1 ] a 5 2300 m/s2

3 (PUC-SP) O diagrama da velocidade de um móvel édado pelo esquema abaixo.

O movimento é acelerado no(s) trecho(s):

a) FG. c) CE . e) AB eDE .

b) CB. d) BC e EF .

Analisando o gráfico, os trechos em que o módulo da

velocidade do corpo aumenta no tempo são: AB e DE .

v

A

D

B C

G

E F

t Júlia Tomás

Júlia Tomás

Júlia Tomás

TomásJúlia

1 (UFMG) Júlia está andando de bicicleta, com velocidadeconstante, quando deixa cair uma moeda. Tomás estáparado na rua e vê a moeda cair. Considere desprezívela resistência do ar. Assinale a alternativa em que as traje-tórias da moeda estão mais bem representadas, quandoobservadas por Júlia e Tomás.

a) c)

b) d)

Júlia verá uma trajetória na direção de seu movimento,

com a moeda sofrendo aceleração. Isso descarta as

alternativas a e b. Em uma única direção, ela verá uma

trajetória retilínea. Tomás verá uma trajetória resultante

da combinação de movimentos na horizontal (com

velocidade constante) e na vertical (com aceleração

constante). Isso descarta a alternativa d.

5 (UCS-RS) Um móvel descreve um movimento retilíneo,

com velocidade variando com o tempo, conforme o grá-fico. Pode-se afirmar então que:

t (s)

10

0 2

20

v (m/s)

4 (PUC-RS) Dizer que um movimento se realiza com umaaceleração escalar constante de 5 m/s2 significa que:

a) em cada segundo o móvel se desloca 5 m.

b) em cada segundo a velocidade do móvel aumenta5 m/s.

c) em cada segundo a aceleração do móvel aumenta5 m/s.

d) em cada 5 segundos a velocidade aumenta 1 m/s.

e) a velocidade é constante e igual a 5 m/s.

A aceleração escalar, por definição, é uma grandeza

física que mede a taxa de variação da velocidade

escalar instantânea no tempo. Dessa forma, dizer

que a aceleração a que um corpo está submetido é

constante e igual a 5 m/s2 equivale a dizer que sua

velocidade aumenta 5 m/s a cada segundo.


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19



)

a) a aceleração do móvel é nula.

b) a velocidade do móvel é constante.

c) a aceleração do móvel é constante e vale 5 m/s2.

d) o móvel percorre 60 m em 2 s.

e) a velocidade média do móvel de 0 a 2 s vale 5 m/s.

Se a velocidade varia no tempo, conclui-se

necessariamente que o móvel está submetido a uma

aceleração. Isso descarta as alternativas a e b.

Do gráfico, tem-se: Sv 5 v 2 v 0 5 20 2 10 } Sv 5 10 m/s

e St 5 t 2 t 0 5 2 2 0 } St 5 2 s

Aplicando a definição de aceleração, tem-se:

a 5 Sv

___

St 5

10

___

2 } a 5 5 m/s2

7 (UEL-PR) No circuito automobilístico de Spa Francor-champs, na Bélgica, um carro de Fórmula 1 sai da curvaRaidillion e, depois de uma longa reta, chega à curva LesCombes.

RaidillionLes Combes

Tempo (s)

V e l o c i d a d e ( m / s )

15105040

50

60

70

80

90

100

20 25

A telemetria da velocidade versus tempo do carro foi re-gistrada e é apresentada no gráfico a seguir.

Qual das alternativas a seguir contém o gráfico que me-lhor representa a aceleração do carro de F-1 em funçãodesse mesmo intervalo de tempo?

c)Tempo (s)

A c e l e r a ç ã o ( m / s 2 )

151050

10

010

20

30

40

20 25

Tempo (s)

A c e l e r a ç ã o ( m / s 2 )

15105050

40

30

20

10

0

10

20 25

Tempo (s)

A c e l e r a ç ã o ( m / s 2 )

15105050

40

30

20

10

0

10

20 25

Tempo (s)

A c e l e r a ç ã o ( m / s 2 )

15105050

40

30

20

10

0

10

20 25Tempo (s)

A c e l e r a ç ã o ( m / s 2 )

151050

10

0

10

20

30

40

20 256 (UFRJ) Um trem de brinquedo, com velocidade inicial de

2 cm/s, é acelerado durante 16 s. O comportamento da aceleração nesse intervalo de

tempo é mostrado no gráfico a seguir.

10 16 t (s)

a (cm/s2)

60

3

4

Calcule, em cm/s, a velocidade do corpo imediatamente

após esses 16 s. A ∆v

∆v ∆v 1 ∆v 2 ∆v 3

∆v 1 6 4 24 cm/s

∆v 2 4 (–3) –12 cm/s

∆v 3 6 4 24 cm/s

∆v 24 + (–12) + 24 36 cm/s

∆v v v 0 ⇒ 36 v 2 ⇒ v 38 cm/s

De 0 a 5 s, o movimento é MRUV acelerado,

com maior valor de aceleração entre 2,5 e 5 s,

como se pode perceber pelo gráfico.

A declividade da reta que representa a velocidade

em função do tempo entre esses instantes é

maior quando comparada com a que representa

o intervalo entre 0 e 2,5 s. Entre os instantes

5 e 22,5 s não há variação de velocidade e, portanto,

a aceleração entre esses instantes será nula.

Já após os 22,5 s, a aceleração se torna negativa,

enquanto o carro diminui sua velocidade muito mais

rapidamente do que aumentou. Portanto, o gráfico

que melhor representa esse movimento descrito é o

da letra d.

Circuito automobilístico de Spa Francorchamps

a) d)

b) e)


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20

a) v navio 5 2 3 Ssavião

________

St navio 5

2 3 800 3 24

__________

50 3 24 ] v navio 5 32 km/h

b) Hipóteses: aR 5 10 m/s2 e v 0 5 0. Substituindo na

equação horária, tem-se:

Ss 5 v 0 3 t 1 aR 3 t

2

_____

2 ] 800.000 5

10t 2

____

2 ] t 5 400 s.

O foguete leva apenas 6min40s para percorrer a

distância indicada.

12 (Unicamp-SP) Os avanços tecnológicos nos meios detransporte reduziram de forma significativa o tempo deviagem ao redor do mundo. Em 2008 foram comemora-dos os 100 anos da chegada em Santos do navio KasatoMaru, que, partindo de Tóquio, trouxe ao Brasil os pri-meiros imigrantes japoneses. A viagem durou cerca de50 dias. Atualmente, uma viagem de avião entre SãoPaulo e Tóquio dura em média 24 h. A velocidade esca-

lar média de um avião comercial no trecho São Paulo--Tóquio é de 800 km/h.

a) o comprimento da trajetória realizada pelo KasatoMaru é igual a aproximadamente duas vezes o com-primento da trajetória do avião no trecho São Paulo--Tóquio. Calcule a velocidade escalar média do navioem sua viagem ao Brasil.

b) a conquista espacial possibilitou uma viagem do ho-mem à Lua realizada em poucos dias e proporcionou amáxima velocidade de deslocamento que um ser hu-mano já experimentou. Considere um foguete subin-do com aceleração resultante constante de móduloaR 5 10 m/s

2 e calcule o tempo que o foguete leva parapercorrer uma distância de 800 km, a partir do repouso.

8 (UFSC) Uma partícula, efetuando um movimento re-tilíneo, desloca-se segundo a equação s 5 22 2 4t 1 1 2t 2, em que s é medido em metros e t , em segundos.Determine o módulo da velocidade média, em m/s, des-sa partícula, entre os instantes t 5 0 e t 5 4 s.

Substituindo t 0 5 0 na função horária do movimento,

obtém-se: s0 5 22 2 4 3 0 1 2 3 02

Analogamente, para t 5 4 s, obtém-se:

s 5 22 2 4 3 4 1 2 3 42

Portanto, o deslocamento escalar é de:

Ss 5 s 2 s0 5 14 2 (22) ] Ss 5 16 m

e ocorreu em um intervalo de tempo dado por:

St 5 t 2 t 0 5 4 2 0 ] St 5 4 s

Pela definição de velocidade média, tem-se:

v m 5 Ss

___

St 5

16

___

4 ] v m 5 4 m/s

9 Qual é o módulo da aceleração do motoqueiro durantea frenagem?

a) a 5 1,5 m/s2 d) a 5 3 m/s2

b) a 5 108

____

20 km/h2 e) a 5 1 m/s2

c) a 5 2 m/s2

Pelo gráfico, verifica-se que a frenagem ocorre entre

os instantes t 5 70 s e t 5 100 s.

Sabendo que 108 km/h 5 30 m/s, tem-se:

Sv 5 0 2 30 ] Sv 5 230 m/s

Aplicando a definição de aceleração:

a 5 Sv

___

St 5

230

________

100 2 70 5

230

____

30 } a 5 21 m/s2

Em módulo: OaO 5 1 m/s2

10 Qual é o deslocamento do motoqueiro entre t 5 0 et 5 100 s?

a) Ss 5 2.250 m d) Ss 5 750 m

b) Ss 5 1.500 m e) Ss 5 2.500 m

c) Ss 5 2.000 m

Como os valores de velocidade são positivos em toda

a trajetória, tem-se Ss 5 área sob o gráfico, que

corresponde à área de um trapézio. Assim:

Ss 5 (100 1 50) 3 30

_____________

2 } Ss 5 2.250 m

11 (UEA-AM) Uma barata corre em linha reta para fugir deuma provável chinelada. Se a barata parte do repousoe se desloca com aceleração constante de 0,1 m/s2, otempo, em segundos, que ela leva para atravessar umcorredor de 3,2 m de comprimento é:

a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10.

Da equação horária do movimento (MRUV), tem-se:

⇒ t 8 s

s s0 v 0 t a t 2

2 ⇒ 0,05t 2 3,2 ⇒ t 2 64 ⇒

(FEI-SP) O enunciado a seguir refere-se às questões 9 e 10.

O movimento de um motoqueiro encontra-se registrado nográfico abaixo.

t (s)20 70

108

v (km/h)

100


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21



)

Se a sua posição no instante t 5 5a é igual a 20 m, ovalor de a é igual a:

a) 12 s. b) 14 s. c) 16 s. d) 18 s. e) 20 s.

O deslocamento é numericamente associado à área entre

o gráfico e o eixo horizontal. A área do trecho inicial

contará negativamente, e a do trecho final, positivamente.

Ss 5 2 A1 1 A2 5 2 2 3 2a

_____

2 1

1E(5a 2 2a) 1 (5a 2 3a)R 3 1

________________________

2 ]

] Ss 5 22a 15a

___

2 ] 20 2 12 5

a __

2 ] a 5 16 s

13 (Ufal) Uma partícula, na posição 12 m no instante t 5 0,tem a sua velocidade, em função do tempo, dada pelográfico a seguir.

14 (PUC-Minas) Estudando-se o movimento de um objeto demassa 2 kg, obteve-se o gráfico velocidade # tempo a se-guir. A velocidade está em m/s e o tempo, em segundos.

Como o movimento é sempre progressivo (v . 0), a

distância percorrida coincidirá com o deslocamento se

a trajetória for retilínea. Além disso, o des

módulo revisão - física i

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