modelos homogêneo e de deriva - abcm -...

figures/minerva

Equações de conservação Modelo homogêneo Modelo de fluxo de deriva (drift flux model) Exemplo de aplicação HM

Modelos homogêneo e de deriva

Jorge Luis Baliño

Departamento de Engenharia Mecânica, Escola Politécnica

Escola Brasileira de Escoamentos Multifásicos (EBEM)Março 27-28, São Paulo

Jorge Luis Baliño EPUSP

Modelos homogêneo e de deriva 1 / 54

figures/minerva


Outline

1 Equações de conservação

2 Modelo homogêneo

3 Modelo de fluxo de deriva (drift flux model)

4 Exemplo de aplicação HM



figures/minerva


Aproximação 1-D



figures/minerva


Conservação da massa

Equações de conservação unidimensionais para as duas fasesescoando em conjunto, com área de passagem variando suavementena posição:

∂

∂t[αρ2 + (1− α) ρ1] +

1A∂

∂s{[αρ2 u2 + (1− α) ρ1 u1]A} = 0 (1)

onde A é a área de passagem, s é a coordenada ao longo da posiçãoaxial, t é o tempo, u1 e u2 são respectivamente as velocidades da fasecontínua e da fase dispersa, α é a fração de vazio da fase dispersa e ρ1e ρ2 são respectivamente as massas específicas da fase contínua e dafase dispersa.



figures/minerva


Conservação do momento linear

Desprezando tensões normais (importantes em ondas de choque):

∂

∂t[αρ2 u2 + (1− α) ρ1 u1] +

1A∂

∂s

{[αρ2 u2

2 + (1− α) ρ1 u21]

A}

= −∂P∂s− τw

Pw

A+ [αρ2 + (1− α) ρ1] gs (2)

onde gs e a componente da gravidade na direção axial, P é a pressão,Pw é o perímetro da parede e τw é a tensão de cisalhamento média naparede.



figures/minerva


Conservação da energia

Equação de conservação da energia (desprezando potência de tensõesnormais, condução de calor axial e fontes de potência térmica):

∂

∂t

[αρ2

(u2 +

12

u22

)+ (1− α) ρ1

(u1 +

12

u21

)]+

1A∂

∂s

{[αρ2

(h2 +

12

u22

)u2 + (1− α) ρ1

(h1 +

12

u21

)u1

]A}

= −qwPh

A+ [αρ2 u2 + (1− α) ρ1 u1] gs (3)

onde h1 e h2 são respectivamente as entalpias específicas da fasecontínua e da fase dispersa, Ph é o perímetro aquecido da parede, qw éo fluxo de calor na parede (positivo quando sai do volume de controledo fluido) e u1 e u2 são respectivamente es energias internasespecíficas da fase contínua e da fase dispersa.



figures/minerva


Introdução

O modelo homogêneo (homogeneous model, HM) é o mais simplespara tratar escoamentos multifásicos. Neste modelo é desprezado oescorregamento entre as fases, isto é, as duas fases se encontram bemmisturadas e com a mesma velocidade (u2 = u1 = u). Os resultadosobtidos com esse modelo têm aplicação prática em escoamentos onde:

Uma das fases se encontra finamente dispersa na outra. Gotículas,névoa, partículas em suspensão e até técnicas de visualização deescoamentos baseadas em traçadores, como PIV (Particle ImageVelocimetry) ou bolhas de hidrogênio são exemplos dessa situação.

As fases se encontram a altas velocidades e com efeitos desprezíveis deestratificação. Como regra prática, o modelo homogêneo forneceresultados aceitáveis para escoamentos co-corrente a altas pressões efluxos mássicos, tais que G > 2000 kg/m2/s e

ρ1

ρ2< 10, onde ρ1 é a

massa específica da fase mais pesada.



figures/minerva


Relações básicas

As equações de conservação (1) a (3) se reduzem a:

∂ρ

∂t+

1A∂

∂s(ρ u A) = 0 (4)

∂

∂t(ρ u) +

1A∂

∂s

(ρ u2 A

)= ρ

(∂u∂t

+ u∂u∂s

)= −∂P

∂s− τw

Pw

A+ ρ gs (5)

∂

∂t

[ρ

(u +

12

u2)]

+1A∂

∂s

[ρ u(

h +12

u2)

A]

= −qwPh

A+ ρ u gs (6)



figures/minerva


Relações básicas

As variáveis da mistura estão definidas como:

ρ = αρ2 + (1− α) ρ1 (7)

u =αρ2 u2 + (1− α) ρ1 u1

ρ(8)

h =αρ2 h2 + (1− α) ρ1 h1

ρ(9)

As equações são coincidentes com as de um pseudo-fluidomonofásico com propriedades médias dependentes das propriedadesdas fases e da concentração; consequentemente, podem ser aplicadastécnicas conhecidas de escoamentos monofásicos. Notar que aconcentração das fases não aparece em forma explícita nas equaçõesde conservação, sendo importante na determinação das propriedadesda mistura e nas leis de fechamento.Considerando escorregamento S = 1 na relação

S =u2

u1=

x1− x

1− αα

ρ1

ρ2(10)

resulta que a fração de vazio e o título mássico x, para massasespecíficas conhecidas, não são independentes:

α =1

1 +1− x

xρ2

ρ1

(11)

As variáveis de mistura das equações (7) a (9) podem ser re-escritascomo:

1ρ=

xρ2

+1− xρ1

(12)

u = x u2 + (1− x) u1 (13)

h = x h2 + (1− x) h1 (14)

Como o volume específico v = 1ρ e como as velocidades são iguais, o

título mássico e o título termodinâmico coincidem e as variáveismédias resultam as ponderadas com a conhecida "regra da alavanca"em termodinâmica de mudança de fase.



figures/minerva


Relações básicas

Considerando escorregamento S = 1 na relação

S =u2

u1=

x1− x

1− αα

ρ1

ρ2(15)

resulta que a fração de vazio e o título mássico x, para massasespecíficas conhecidas, não são independentes:

α =1

1 +1− x

xρ2

ρ1

(16)



figures/minerva


Relações básicas

As variáveis de mistura das equações (7) a (9) podem ser re-escritascomo:

1ρ=

xρ2

+1− xρ1

(17)

u = x u2 + (1− x) u1 (18)

h = x h2 + (1− x) h1 (19)

Como o volume específico v = 1ρ e como as velocidades são iguais, o

título mássico e o título termodinâmico coincidem e as variáveismédias resultam as ponderadas com a conhecida "regra da alavanca"em termodinâmica de mudança de fase.



figures/minerva


Cálculo do gradiente de pressão

Para escoamento permanente, as equações (4) a (6) resultam:

ρ u A = W = const (20)

onde W é a vazão mássica total.

ρ ududs

=W2

Adds

(1ρA

)= −dP

ds− τw

Pw

A+ ρ gs (21)

Wdds

(h +

12

W2

ρ2 A2

)= −qw Ph + W gs (22)

Da Eq. (21) o gradiente de perda de pressão pode ser escrito como:

−dPds

=W2

Adds

(1ρA

)+ τw

Pw

A− ρ gs

=

(−dP

ds

)A+

(−dP

ds

)F+

(−dP

ds

)G

(23)



figures/minerva


Cálculo do gradiente de pressão

As contribuições ao gradiente de perda de pressão por aceleração,atrito e gravitacional estão definidos como:(

−dPds

)A=

W2

Adds

(1ρA

)(24)

(−dP

ds

)F= τw

Pw

A(25)

(−dP

ds

)G= −ρ gs (26)



figures/minerva


Multiplicador de duas fases

Para correlacionar quedas de pressão por atrito são definidos osmultiplicadores de duas fases, que relacionam os gradientes depressão por atrito e os gradientes de pressão para escoamentosmonofásicos de referência, por exemplo:

φ2f 0 =

(−dP

ds

)F(

−dPds

)f 0

(27)

onde(−dP

ds

)f 0 é o gradiente de pressão correspondente à fase líquida

escoando com o fluxo mássico da mistura.



figures/minerva


Multiplicador de duas fases

Supondo um duto de seção circular de diâmetro D, resulta:(−dP

ds

)f 0=

12

ff G2

ρf D(28)

ff = f(

Ref ,ε

D

)(29)

Ref =G Dµf

(30)

sendo f o fator de atrito de Darcy. O modelo homogêneo prediz:(φ2

f 0)

hm=

fff

ρf

ρ(31)

onde a viscosidade da mistura utilizada para calcular o fator de atritoda mistura é calculada com correlações convenientes. A definição domultiplicador de duas fases da Eq. (27) é geral e válida paradiferentes modelos de escoamento multifásico.



figures/minerva


Escoamentos barotrópicos. Velocidade do som

Por analogia com escoamento monofásico, é definido um escoamentobarotrópico como aquele onde ρ = ρ (P). Em escoamentosmonofásicos, essa condição pode ser atingida em escoamentosisentrópicos, isotérmicos ou em evoluções politrópicas gerais.Na aproximação do modelo homogêneo é necessário reintroduzir ainformação perdida no processo de homogeneização, relacionada comos processos de transferência de massa, momento e energia entre asfases.A evolução barotrópica tem associada uma velocidade sônica(velocidade de propagação de uma perturbação de pressão deamplitude diferencial, compatível com a evolução termodinâmica)que resulta:

c =

(dPdρ

) 12

(32)



figures/minerva



Supondo que a mistura evolui isentropicamente, sem transferência demassa entre as fases e em equilíbrio mecânico (igual pressão), as fasespodem evoluir isentropicamente (modelo adiabático) ou com a trocade calor que mantenha igual temperatura (modelo de equilíbriotermodinâmico). Notar que para fases evoluindo isentropicamente nãoexiste equilíbrio térmico entre elas. Como

s = x s2 + (1− x) s1 (33)

a condição de fases evoluindo isentropicamente satisfaz a condição deentropia da mistura constante. Para as fases evoluindoisentropicamente, resulta:

1c2 =

(dρdP

)s= ρ2

(x

ρ22 c2

2+

1− xρ2

1 c21

)(34)



figures/minerva



1c2

1=

(∂ρ1

∂P

)s1

(35)

1c2

2=

(∂ρ2

∂P

)s2

(36)

onde c1 e c2 é a velocidade do som respectivamente na fase contínua ena fase dispersa. Eliminando o título em função da fração de vazio daEq. (16), resulta:

1c2 =

(dρdP

)s= [αρ2 + (1− α) ρ1]

(α

ρ2 c22+

1− αρ1 c2

1

)(37)



figures/minerva



A Eq. (37) possui um mínimo em função da fração de vazio,mantendo o resto das variáveis constantes. Supondo(1− α) ρ1 � αρ2 e α

ρ2 c22� 1−α

ρ1 c21

(situação típica onde a fase 1 élíquido e a fase 2 é gás), resulta:

c2 ∼=ρ2

ρ1

c22

α (1− α)(38)

A Eq. (38) possui um mínimo para α = 12 , resultando:

cmin ∼= 2(ρ2

ρ1

) 12

c2 (39)

Para água (fase 1) e ar (fase 2) em CNTP (1 atm, 0 oC, resultamc2 = 330 m/s, ρ1 = 1000 kg/m3, ρ2 = 1, 290 kg/m3, resultandocmin ∼= 23, 7 m/s. A velocidade do som pode resultar menor que ascorrespondentes às fases individuais.



figures/minerva



Velocidade do som para escoamento em bolhas água-ar, supondo umaevolução adiabática e isotérmica das fases individuais.



figures/minerva


Fluxo mássico crítico

O termo de gradiente de pressão por aceleração, Eq. (24) carregainformação da evolução termodinâmica da mistura; expandindo ele,podem ser mostrados os efeitos de variação de área,compressibilidade e transferência de massa:(

−dPds

)A=

W2

Adds

(1ρA

)= G2 d

ds

(1ρ

)− G2

ρAdAds

(40)

Para uma evolução barotrópica:

dds

(1ρ

)=

1ρ2

dρdP

(−dP

ds

)=

1ρ2 c2

(−dP

ds

)(41)

onde c é a velocidade de propagação sônica compatível com aevolução da mistura.



figures/minerva



Substituindo a Eq. (41) na Eq. (40) e a equação resultante na Eq.(23), resulta:

−dPds

=

−G2

ρAdAds

+

(−dP

ds

)F+

(−dP

ds

)G

1− G2

ρ2 c2

(42)

A Eq. (42) é usualmente integrada na posição para calcular adistribuição de pressão em diferentes problemas de aplicação comoescoamentos em bocais, elevação de gás (gas lift), etc. A quantidade

G2

ρ2 c2 =u2

c2 = Ma2 pode ser interpretada como o número de Mach

compatível com a evolução.



figures/minerva



Em consequência, a condição de fluxo másico crítico Gc resulta paraMa = 1:

Gc = ρ c (43)

Para as evoluções onde as duas duas fases coexistem em saturação, aspropriedades das fases individuais são função unicamente da pressão;assim resulta:

ddP

(1ρ

)= − 1

ρ2dρdP

=dvdP

= xdv2

dP+ (1− x)

dv1

dP+ (v2 − v1)

dxdP

(44)



figures/minerva


Modelo de equilíbrio termodinâmico, modelo frozen

Para calcular a variação do título com a pressão, podem ser feitas asseguintes considerações:

Para evoluções rápidas as fases se encontram afastadas doequilíbrio termodinâmico e podem ser desprezadas astransferências de calor e massa entre as fases; essasaproximações constituem o modelo frozen.

Para evoluções lentas, existe transferência de massa e de calor;no caso limite, os processos de transferência podem serconsiderados suficientemente rápidos, de maneira que a misturaevolui em estados de equilíbrio (igual pressão e temperatura);essa aproximação constitui o modelo de equilíbriotermodinâmico (HEM, homogeneous equilibrium model).



figures/minerva



Para determinar a variação do título com a pressão no modelo deequilíbrio termodinâmico é utilizada a equação de conservação daenergia. Por exemplo, para escoamento adiabático e desprezando ostermos de energia cinética e potencial, a Eq. (22) se reduz ah ∼= const. Diferenciando a Eq. (19) com a condição de entalpiaespecífica da mistura constante:

xdh2

dP+ (1− x)

dh1

dP+(

h2 − h1

) ( dxdP

)∼= 0

⇒(

dxdP

)∼= −

xdh2

dP+ (1− x)

dh1

dPh2 − h1

(45)



figures/minerva



Substituindo a Eq. (45) na Eq. (44) resulta finalmente:

1ρ2 c2 =

1G2

c=

v2 − v1

h2 − h1

[x

dh2

dP+ (1− x)

dh1

dP

]−x

dv2

dP−(1− x)

dv1

dP(46)



figures/minerva


Introdução

O modelo de fluxo de deriva (drift flux model, DFM), desenvolvidopor Zuber&Findlay (1965) e Wallis (1969), é um modelo de fasesseparadas focado particularmente no movimento relativo entre asfases. É particularmente útil quando a velocidade relativa pode serdeterminada por poucos parâmetros do escoamento (por exemploescoamento em bolhas ou intermitente, onde o movimento resulta deum balanço entre forças de arrasto e gravitacionais). O fluxo de derivaj21 foi definido como a velocidade superficial da fase 2 relativa a umasuperfície se deslocando com a velocidade superficial total j:

j21 = −j12 = α (1− α) u21 (47)

onde u21 = u2 − u1 é a velocidade da fase 2 relativa à fase 1.



figures/minerva


Introdução

Em função das velocidades superficiais das fases individuais, o fluxode deriva resulta:

j21 = −j12 = (1− α) j2 − α j1 (48)

O DFM pode ser enxergado como uma correção às variáveiscalculadas com o modelo homogêneo (HM), função das propriedadesfísicas e do fluxo de deriva.

j1 = (1− α) j− j21 (49)

j2 = α j + j21 (50)

α =j2j

(1− j21

j2

)= αHM

(1− j21

j2

)(51)

ρ = ρ1j1j+ ρ2

j2j+ (ρ1 − ρ2)

j21

j= ρHM + (ρ1 − ρ2)

j21

j(52)



figures/minerva


Relações básicas

O DFM foi desenvolvido originariamente visando escoamentosdominados pela gravidade. Supondo um escoamento vertical comvariáveis independentes da posição, existirá um equilíbrio entre asforças de pressão, gravitacional e de interação entre as fases. Obalanço de momento na direção de escoamento para cada fase resulta:

− (1− α) dPds− ρ1 (1− α) g + F12 = 0 (53)

−α dPds− ρ2 α g− F12 = 0 (54)

onde F12 é a força de interação entre as fases por unidade de volume.Eliminando o gradiente de pressão, resulta:

F12 = −α (1− α) g (ρ1 − ρ2) = −j21

u21g (ρ1 − ρ2) (55)



figures/minerva


Relações básicas

Supondo que F12 depende das propriedades dos fluidos, geometria, αe u21, resulta que j21 = j21 (u21, α, propriedades). Para escoamentoem bolhas, resultados experimentais mostram que:

u21 = u∞ (1− α)n−1 (56)

onde u∞ é a velocidade terminal de uma bolha isolada e n ∼ 2− 3,resultando a seguinte relação constitutiva do fluxo de deriva:

j21 = u∞ α (1− α)n (57)

A relação constitutiva fornece resultados corretos para os valoreslimite α = 0 e α = 1.



figures/minerva


Regiões de operação. Flooding

Supondo conhecidas as velocidades superficiais, a fração de vazio deoperação deve satisfazer simultaneamente as Eq. (48) e (57). A Eq.(48) resulta uma reta com ordenadas j21 (α = 0) = j2 ej21 (α = 1) = −j1.Observando as linhas de operação para escoamento cocorrenteascendente (linha 1) ou descendente existe sempre uma solução para afração de vazio. Para escoamentos contracorrente onde o gás escoa demaneira ascendente (linhas 2, 3 e 4) podem existir duas soluções ounenhuma, dependendo dos valores das velocidades superficiais. Paraescoamentos contracorrente com o gás escoando de maneiradescendente não existe solução, de maneira que essa configuração éimpossível segundo o modelo (isto se verifica experimentalmente).O limite de operação do escoamento contracorrente é conhecido como"alagamento" (flooding), que acontece quando a linha de operaçãoresulta tangente à relação constitutiva (linha 3). Se o valor absoluto davelocidade superficial de qualquer fase for aumentada além dosvalores correspondentes a essa condição, não existirá solução deestado permanente, podendo acontecer uma mudança do padrão deescoamento ou uma rejeição da fase em excesso nos extremos docanal. Parámetros da lei constitutiva (u∞ e n) podem ser ajustadosconhecendo um conjunto de linhas constitutivas correspondentes àcondição de flooding.Pode ser demonstrado que os valores de velocidades superficiaiscorrespondentes à condição de flooding podem ser expressadas emforma paramétrica en função da fração de vazio como:

j2 f

u∞= α2 n (1− α)n−1 (58)

j1 f

u∞= − (1− nα) (1− α)n (59)

Outra maneira de representar os diferentes modos de operação éreescrever a Eq. (48) como:

j2 =α

1− αj1 +

11− α

j21 (60)

Como j21 é uma função de α, em um plano (j1 - j2) as linhas deoperação são retas de inclinação

α

1− αque cortam os eixos j1 e j2

respectivamente em − j21

αe

j21

1− α. As diferentes regiões de operação

são mostradas na Fig. 3.

Figura: Regiões de operação em um plano de velocidades superficiais, paraρ1 > ρ2.

Na Fig. 36 é mostrada a relação de deriva para partículas sólidasdispersas em água. Existe uma descontinuidade para valores0, 58 < αmax < 0, 62 devido ao efeito de compactação de partículas.Para diferentes situações, os dados experimentais podem sercorrelacionados de maneira aceitável com n = 3.

Figura: Fluxo de deriva em função da fração de vazio para partículas sólidasdispersas em água.



figures/minerva



Supondo conhecidas as velocidades superficiais, a fração devazio de operação deve satisfazer simultaneamente as Eq. (48) e(57). A Eq. (48) resulta uma reta com ordenadasj21 (α = 0) = j2 e j21 (α = 1) = −j1.Observando as linhas de operação para escoamento cocorrenteascendente (linha 1) ou descendente existe sempre uma soluçãopara a fração de vazio.Para escoamentos contracorrente onde o gás escoa de maneiraascendente (linhas 2, 3 e 4) podem existir duas soluções ounenhuma, dependendo dos valores das velocidades superficiais.Para escoamentos contracorrente com o gás escoando de maneiradescendente não existe solução, de maneira que essaconfiguração é impossível segundo o modelo (isto se verificaexperimentalmente).



figures/minerva



O limite de operação do escoamento contracorrente é conhecidocomo "alagamento" (flooding), que acontece quando a linha deoperação resulta tangente à relação constitutiva (linha 3).

Se o valor absoluto da velocidade superficial de qualquer fase foraumentada além dos valores correspondentes a essa condição,não existirá solução de estado permanente, podendo aconteceruma mudança do padrão de escoamento ou uma rejeição da faseem excesso nos extremos do canal.

Parámetros da lei constitutiva (u∞ e n) podem ser ajustadosconhecendo um conjunto de linhas constitutivas correspondentesà condição de flooding.



figures/minerva



Pode ser demonstrado que os valores de velocidades superficiaiscorrespondentes à condição de flooding podem ser expressadas emforma paramétrica en função da fração de vazio como:

j2 f

u∞= α2 n (1− α)n−1 (61)

j1 f

u∞= − (1− nα) (1− α)n (62)

Outra maneira de representar os diferentes modos de operação éreescrever a Eq. (48) como:

j2 =α

1− αj1 +

11− α

j21 (63)

Como j21 é uma função de α, em um plano (j1 - j2) as linhas deoperação são retas de inclinação α

1−α que cortam os eixos j1 e j2respectivamente em − j21

α e j211−α .



figures/minerva



Figura: Regiões de operação em um plano de velocidades superficiais, paraρ1 > ρ2.



figures/minerva





figures/minerva



Para partículas sólidas dispersas em água ou gás existe umadescontinuidade para valores 0, 58 < αmax < 0, 62 devido ao efeitode compactação de partículas. Para diferentes situações, os dadosexperimentais podem ser correlacionados de maneira aceitável comn = 3.



figures/minerva


Correção por perfil das variáveis na área de passagem

Nas relações anteriores, as variáveis foram consideradas como médiasna área de passagem. As equações de balanço estão expressadas emfunção das variáveis locais e não são lineares, de maneira que não sãosatisfeitas pelas variáveis medias. É definido o valor médio na área depassagem de uma variável ϕ como:

〈ϕ〉 = 1A

∫Aϕ dA (64)

Para variáveis correlacionadas, resulta 〈ϕψ〉 6= 〈ϕ〉〈ψ〉.Zuber&Findlay assumiram que a Eq. (63) é válida localmente, masfatores de forma deviam ser considerados quando expressada emtermos de variáveis médias. Fazendo uma media da Eq. (63), resulta:

〈j2〉 = 〈α j〉+ 〈j21〉 (65)



figures/minerva



Definindo os seguintes parâmetros:

C0 =〈α j〉〈α〉〈j〉

(66)

u2 =〈j2〉〈α〉

(67)

〈j21〉 = U0 〈α〉 (68)

onde C0 é o parâmetro de distribuição, u2 é uma velocidadecaracterística da fase dispersa (notar que u2 6= 〈u2〉) e U0 é avelocidade de deriva, resulta:

〈j2〉 = 〈α〉 (C0 〈j〉+ U0) (69)



figures/minerva



Notar que na Eq. (69) todas as variáveis podem ser medidas, 〈α〉através de diferentes métodos (fechamento de válvulas, atenuação

gama, etc.) enquanto 〈j1〉 =Q1

A, 〈j2〉 =

Q2

Ae 〈j〉 = Q1 + Q2

A. A Eq.

(69) pode ser considerada como uma definição de lei constitutiva doDFM, sendo a base de diferentes correlações para C0 e U0 naliteratura.



figures/minerva


Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift)



figures/minerva



Utilizando o modelo homogêneo e desprezando os efeitos decompressibilidade nas fases líquida e gasosa a equação deconservação do momento linear na coluna de área constante resulta:

−dPds

=12

fG2

ρD+ ρ g (70)

Considerando propriedades constantes e sem transferência de massa(x constante), resulta ρ e f constantes. Integrando a Eq. (70) entre umponto s e a saída do riser H e levando em conta a variação da pressãoatmosférica com a altura, obtemos uma distribuição linear:

P (s)− [Pa − ρg g (H − h)] =(

12

fG2

ρD+ ρ g

)(H − s) (71)



figures/minerva



A diferença de pressão entre a injeção e a pressão atmosférica resulta:

P1 − Pa =

(12

fG2

ρD+ ρ g

)H − ρg g (H − h) (72)

Supondo que o líquido evolui entre a superfície do grande tanque compressão atmosférica Pa e a injeção no riser (1), podemos aplicarBernoulli considerando um coeficiente de perda ke na evolução entre asuperfície e a injeção, resulta:

Pa + ρf g h = P1 +12(1 + ke) ρf u2

f 1 (73)

Como uf 1 = u = Gρ , resulta finalmente:

P1 − Pa = ρf g h− 12(1 + ke)

ρf

ρ2G2 (74)



figures/minerva



Eliminando P1 − Pa entre as Eq. (72) e (74) resulta:

ρ g H[ρf

ρ

hH

+ρg

ρ

(1− h

H

)− 1]=

12

G2

ρ

[ρf

ρ(1 + ke) + f

HD

](75)

G = ρ

2 g H

[ρf

ρ

hH

+ρg

ρ

(1− h

H

)− 1]

ρf

ρ(1 + ke) + f

HD

12

(76)

A Eq. (76) deve ser resolvida de forma iterativa, já que

f = f(

G Dµ , e

D

), onde e é a rugosidade do duto e µ =

(xµg

+ 1−xµf

)−1

é a viscosidade da mistura.



figures/minerva



Para baixas vazões, podemos determinar o título mássico da mistura ea razão de fluxos mássicos. Para baixas vazões, a Eq. (75) resulta:

ρf

ρ

hH

+ρg

ρ

(1− h

H

)− 1 ' 0 (77)

Como ρfρ = 1 + x

(ρfρg− 1)

e ρgρ =

ρgρf

+ x(

1− ρgρf

)resultará um

título mínimo xmin para o qual as vazões das fases tendem a zero:

xmin =

(1− h

H

)(1−

ρg

ρf

)hH

(ρf

ρg− 1)+

(1− h

H

)(1−

ρg

ρf

) (78)



figures/minerva



Da relação GfGg

= 1x − 1 resulta, para baixas vazões:

Gf

Gg'

hH

(ρf

ρg− 1)

(1− h

H

)(1−

ρg

ρf

) (79)

A continuação são mostrados resultados para os seguintes valoresnuméricos: ρf = 1000 kg/m3, ρg = 1, 2 kg/m3,µf = 1× 10−3 kg/m/s, µg = 1, 8× 10−5 kg/m/s, D = 2, 54 cm,H = 0, 60 m, h = 0, 30 m, e = 1, 5× 10−6 m, ke = 0, 8,g = 9, 8 m/s2. O fator de atrito de Darcy é calculado com umacorrelação padrão para dutos.



figures/minerva





figures/minerva


Referências

Wallis, G. B., One-dimensional Two-phase Flow, McGraw-Hill, 1969.Brennen, C. E., Fundamentals of Multiphase Flow, Cambridge, 2005.



modelos homogêneo e de deriva - abcm -...

Documents