modelo sir h1n1

8/16/2019 Modelo Sir h1n1

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL

COORDENAÇ ÃO DO CURSO DE MATEMÁTICA

UNIDADE DE DOURADOS

Um modelo de EDO aplicado à Influenza

A(H1N1).

Autora:

Ana Cláudia Tsujiguchi

Orientadora:

Dra. Maristela Missio

Dourados - MS

2010


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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SULCURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

UNIDADE DE DOURADOS

Um modelo de EDO aplicado à Influenza A(H1N1).

Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) apresen-

tado à Universidade Estadual de Mato Grosso

do Sul - UEMS, como requisito parcial para a

obtenção do t́ıtulo de Professora em Matemática.


Dourados, MS

2010


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Um modelo de EDO aplicado à Influenza A(H1N1).


Banca Examinadora:

Profa. Msc. Adriana Betania de Paula Molgora

Prof. Dr. Cosme Eustaquio Rubio Mercedes

Profa. Dra. Maristela Missio

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Agradecimentos

Primeiramente agradeço a Deus, o que seria de mim sem a fé que tenho nele.

À professora Maristela pela pacîencia e compreensão na orientação, pelo seu apoio no

amadurecimento dos meus conhecimentos e conceitos que me levaram a execução e con-

clusão deste TCC.

À minha mãe, pois foi quem não mediu esforços para que eu chegasse até esta etapa da

minha vida e pelo apoio constante em meus estudos.

Aos meus colegas pelo conv́ıvio, amizade e incentivo.

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Resumo

A Epidemiologia Matemática consiste em estabelecer, a partir de observações do

fenômeno epidêmico, hipóteses matemáticas para quantificar os conhecimentos biológicos

a respeito da dinâmica de transmissões de infecções e também para estudar a evolução de

doenças epidêmicas. A modelagem matemática se baseia no processo de extração de ca-

racteŕısticas pertinentes de um objeto ou sistema, com ajuda de hipóteses e aproximações

simplificadoras, e representadas em termos matemáticos. Os principais fenômenos rela-

cionados com as ciências podem ser modelados por equações diferenciais. A proposta

deste trabalho consiste em desenvolver um estudo acerca do uso da teoria de equações

diferenciais ordinárias e modelos matemáticos aplicados à epidemiologia, com vistas a

desenvolver um modelo matemático que descreva a dinâmica de dispersão da Influenza

A(H1N1) em uma população.

Palavras-chave: Equações Diferenciais Ordinárias, Modelos Epidemiológicos, Mo-

delo SIRS, Influenza A(H1N1).

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Sumário

Introdução 1

1 Equações Diferenciais Ordinárias 3

1.1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sistemas de equações diferenciais ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Modelos matemáticos e equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Modelos matemáticos em epidemiologia 12

2.1 Referencial teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Algumas considerações sobre epidemiologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Modelo compartimental tipo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Análise do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Aplicação: Um modelo SIRS para o estudo da dispersão da Influenza

A(H1N1) em uma população 23

3.1 Referencial teórico da Influenza A(H1N1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 O modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Implementação computaci onal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Conclusão do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Considerações Finais 29

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Introdução

As equações diferenciais constituem um dos mais notáveis sucessos do intelecto hu-

mano, tanto como um corpo de teorias matemáticas quanto como ferramenta de análise

indispensáveis no exerćıcio da atividade profissional e cient́ıfica em diversas áreas, como na

F́ısica, Qúımica, Biologia, Engenharias, Economia, entre outras. Uma razão básica da im-

portância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples correspondem

a modelos matemáticos úteis em problemas práticos, [18].

A modelagem matemática de epidemias é de grande importância para os estudos

epidemiológicos por possibilitar um melhor entendimento do desenvolvimento da epidemia

e a busca por medidas eficientes em sua prevenção ou erradicação, [2].Desde muito tempo, a preocupação de alguns médicos com a saúde levou-os a uma

acurada investigação a respeito de fatores relacionados à transmissão de doenças que as-

solavam muitas cidades. Das suas observações e conclusões resultaram a moderna epide-

miologia - que consiste em determinar e isolar o agente etiol ógico, a forma de transmissão,

a patogenicidade e o ńıvel de prevalência na população. As observações epidemiológicas

e a coleta de dados, junto com o acúmulo de conhecimentos bio-médicos, permitiram

determinar os fatores relacionados com a transmissão de agentes patogênicos, [17].Neste contexto, as aplicações de análises estat́ısticas - muitas delas desenvolvidas

para explorar e explicar os dados epidemiológicos - foram essenciais pois permitiram dis-

criminar e ordenar fatores envolvidos na transmissão das infecções, [17].

Assim, a determinação de agentes microbianos causadores das infecções e as claras

evidências da forma de transmissão pelos modelos epidemiológicos e estat́ısticos cria-

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ram condições para elaboração de modelos matemáticos com a finalidade de entender a

dinâmica da sua transmissão, [17].

Vários modelos matemáticos, descritos por equações diferenciais ordinárias, têm

sido propostos com o objetivo de capturar as particularidades e caracteŕısticas de com-

portamento dos vetores de propagação de doenças na área de epidemiologia. Um modelo

bastante utilizado para representar a dinâmica de epidemias é o modelo compartimental

tipo SIR (Suscet́ıvel- Infectado- Recuperado).

Neste trabalho desenvolvemos um estudo introdutório das equações diferenciais or-

dinárias e modelos matemáticos aplicados à epidemiologia, com vistas a desenvolver um

modelo que simula a dinâmica de variação temporal da Influenza A(H1N1) em uma

população hipotética. O modelo considerado é do tipo SIRS (Suscet́ıvel- Infectado-

Recuperado- Suscet́ıvel), sendo este uma alternativa do modelo SIR. O modelo tipo SIRS

foi utilizado, pois os indiv́ıduos recuperados da Influenza A(H1N1) perdem a imunidade

após certo peŕıodo de tempo, voltando a ser suscet́ıvel.

Este TCC está organizado da seguinte forma:

No Caṕıtulo 1 apresentamos os conceitos fundamentais das equações diferenciais

ordinárias, necessários ao bom entendimento deste trabalho.

No Caṕıtulo 2 descrevemos o referencial teórico a respeito dos modelos matemáticos

aplicados à epidemiologia, fazemos algumas considerações sobre epidemiologia e apresen-

tamos o modelo compartimental tipo SIR.

Com o objetivo de consolidar a interdisciplinaridade entre as equações diferenci-

ais e a epidemiologia matemática, desenvolvemos no Caṕıtulo 3, um modelo matemático

que descreve a dinâmica de dispersão da Influenza A(H1N1) em uma população. Apre-

sentamos, também, alguns aspectos históricos e biológicos da Influenza A(H1N1), cujo

conhecimento se faz necessário à compreensão do desenvolvimento do modelo.

E finalmente, nas Considerações Finais fazemos algumas comentários conclusivos a

respeito do trabalho.

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Caṕıtulo 1

Equações Diferenciais Ordinárias

Equação diferencial, talvez seja o ramo da matemática que maior proximidade e

interações tem experimentado com outras ciências, desde a sua origem. O desenvolvi-

mento desta teoria constitui-se um dos melhores exemplos da intera ção bem-sucedida

entre a matemática e a ciência em geral, o que tem se confirmado progressivamente com

a matemática contemporânea e a f́ısica, qúımica, economia e engenharia, [3].

Uma equação diferencial traduz em linguagem algébrica uma propriedade relativa auma curva ou uma superfı́cie, ou exprime em linguagem matemática adequada as leis que

descrevem certos fenômenos f́ısicos, [4]. Neste capı́tulo estudaremos conceitos fundamen-

tais sobre equações diferenciais, mais especificamente, as equações diferenciais ordinárias

(EDO).

1.1 Conceitos fundamentais

Definição 1.1 (Equação diferencial) Equaç˜ ao diferencial é uma equaç˜ ao que contém

derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais vari´ aveis dependentes em relaç˜ ao a uma ou

mais vari´ aveis independentes.

Existem dois tipos de equações diferenciais, a saber

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1. Equações diferenciais ordinárias (EDO): são equações da forma

F (x, y(x), y, y(x),...,yn(x)) = 0, (1.1)

envolvendo uma função incógnita y=y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais, onde

x é a variável independente, y é a variável dependente e o śımbolo y (k ) denota a

derivada de ordem k da função y=y(x), [18].

2. Equações diferenciais parciais (EDP): são equações que envolvem derivadas de

duas ou mais variáveis independentes.

Exemplo 1.1 A equaç˜ ao diferencial dy

dx

= x + y é uma EDO.

Exemplo 1.2 A equaç˜ ao diferencial ∂ 2u

∂x2 +

∂ 2u

∂y2 = 0 é uma EDP.

Uma equação diferencial pode ser de 1a, 2a, ... ou de n-ésima ordem, dependendo

da derivada de maior ordem presente na equação. Chamamos de grau o valor do expoente

para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio

na função incógnita e em suas derivadas, como por exemplo:

Ay

(3)

+ By

(2)

+ Cy

(1)

+ Dy

(0)

= 0.

Exemplo 1.3 A equaç˜ ao diferencial ordin´ aria y + 3y + 6y = sen(x) possui ordem 2 e

grau 1.

Definição 1.2 (Equações diferenciais ordinárias de 1a ordem) As EDOs de 1a or-

dem s˜ ao equaç˜ oes que podem ser escritas como F (x,y,y

) = 0.

Neste estudo vamos considerar equações diferenciais de 1a ordem da forma

dy

dx = f (x, y) ou y

= f (x, y). (1.2)

Definição 1.3 (Equação diferencial linear) Um Equaç˜ ao é dita linear de ordem n se

tem a forma

a0(x)y(n) + a1(x)y

(n−1) + a2(x)y(n−2) + ... + an(x)y = b(x). (1.3)

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onde as funç˜ oes b = b(x) e ak = ak(x) (k = 0, 1, 2,...,n) s˜ ao funç˜ oes conhecidas, sendo

a0 = a0(x) n˜ ao identicamente nula e todas estas funç˜ oes devem depender somente da

vari´ avel x. A funç˜ ao (inc´ ognita) desconhecida é y = y(x). As equaç˜ oes diferenciais que

n˜ ao podem ser escritas da forma (1.3) s˜ ao denominadas n˜ ao-lineares.

Para resolver uma equação diferencial dois caminhos podem ser seguidos, o que leva à

solução exata do problema (método anaĺıtico) ou o que encontra uma solução aproximada

(método numérico). Do ponto de vista analı́tico, resolver uma EDO do tipo y

= f (x, y)

é encontrar uma função y = F (x) que satisfaça a equação dada.

Definição 1.4 (Solução da equação diferencial) Uma soluç˜ ao de uma equaç˜ ao dife-

rencial na funç˜ ao inc´ ognita y e na vari´ avel independente x, em certo intervalo (a, b), é

uma funç ̃ao y = F (x) que satisfaz (verifica identicamente) a equaç˜ ao para todo x no

intervalo considerado.

A solução de uma equação diferencial é dita geral quando contém tantas constantes

arbitrárias quantas forem as unidades da ordem da equação. Uma solução é dita par-

ticular quando é obtida da solução geral, mediante atribuição adequada de valores às

constantes arbitrárias.

Exemplo 1.4 A funç˜ ao y(x) = C e−x é a soluç˜ ao geral da equaç˜ ao diferencial y +y = 0,

j´ a a funç˜ ao y(x) = e−x é uma soluç˜ ao particular da mesma equaç˜ ao, quando atribuı́mos

o valor C = 1 na soluç˜ ao geral.

Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial representa uma famı́lia

de curvas (curvas integrais). Essa solução as vezes é chamada de primitiva (ou integral)

da equação diferencial dada.

Exemplo 1.5 A soluç˜ ao geral da equaç˜ ao diferencial y

= 2x + 3 é obtida por

y =

(2x + 3)dx = x2 + 3x + C.

Na verdade, temos uma famı́lia de soluções, ou seja, para cada C ∈ R tem-se uma solução

particular. Na Figura 1.1 são mostradas algumas dessas soluções (C=0, C=2 e C=4).

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Figura 1.1: Representação de soluções particulares, para alguns valores de C.

O processo para obter a solução de uma equação diferencial (solução particular)

sujeita a determinadas condições prescritas, condições estas que são impostas à solução

desconhecida y = g(x) e suas derivadas, é denominado problema de valor inicial.

Definição 1.5 (Problema de valor inicial (PVI)) O Problema

dy

dx = f (x, y)

y(x0) = y0

(1.4)

é chamado problema de valor inicial (PVI). Uma soluç˜ ao do PVI (1.4) em um intervalo

I, é uma funç˜ ao y(x) que est´ a definida nesse intervalo, tal que sua derivada também est´ a

definida nesse intervalo e satisfaz (1.4).

Se a função f (x, y) for cont́ınua em um conjunto aberto D ⊂ R2 e ∂f

∂x(x, y) também

for cont́ınua em D, então para todo o ponto fixado (x0, y0) ∈ D o problema (1.4) tem

solução única conforme o Teorema de Existência e Unicidade apresentado a seguir, [2].

Teorema 1 (Teorema de Existência e Unicidade) Seja R uma regi˜ ao retangular no

plano xy definida por a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contém o ponto (x0, y0). Se f(x,y) e ∂f

∂x(x, y) s˜ ao cont́ınuas em R, existe algum intervalo I 0 : x0 − h < x < x0, contido em

a ≤ x ≤ b e uma ´ unica funç˜ ao y(x), definida em I 0, que é uma soluç˜ ao do problema de

valor inicial.

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Se f (x, y) = F (x) então a equação diferencial do (1.4) pode ser resolvida, con-

siderando o processo inverso da diferenciação ou integração indefinida:

df (y)

dx = F (x) ⇔ dy(x) = F (x) dx ⇔ f (x) =

y(x) dx.

Lembremos ainda que, se duas funções f (x) e g(x) têm a mesma derivada em um intervalo,

então f (x) = g(x) + C neste intervalo, onde C é uma constante arbitrária. Assim, se

x ∈ I ⊂ R

f

(x) = g

(x) ⇔ f (x) = g(x) + C, x ∈ I.

Portanto uma equação diferencial pode admitir infinitas soluções (uma para cada

valor da constante C). Quando estabelecemos uma condição inicial y(x0) = y0 estamosinteressados em conhecer uma solução particular que satisfaz essa condição dada, [2].

1.2 Sistemas de equações diferenciais ordinárias

Nessa Seção apresentamos alguns conceitos e definições importantes sobre sistemas

de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Não é o propósito deste trabalhoapresentar um estudo pormenorizado dos referidos sistemas, ou seja, não estamos preo-

cupados com demonstrações e formas de resolução, o que pode ser encontrado, de uma

forma bem didática, em [4, 11, 3].

Sistemas de equações representam variáveis independentes, que ocorrem separada-

mente, mas que são acoplados entre si. Na natureza e no quotidiano sempre nos deparamos

com situações que envolvem este tipo de sistema, como alguns problemas relacionados a

redes elétricas, a mecânica, a epidemiologia, etc. Nestes casos, podemos expressar estes

problemas como sistemas de equações lineares de primeira ordem, escritas da seguinte

forma.

x1(t) = λ1x1(t)

x2(t) = λ2x2(t).

(1.5)

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em que λ1 e λ2 ∈ R. Temos aqui um sistema de equações que envolvem derivadas das

funções que são incógnitas. Neste caso as duas equações são desacopladas, isto é, podem

ser resolvidas independentemente. A resolução do sistema é:

x1(t) = c1eλ1t e x2(t) = c2e

λ2t .

ou escrito na forma matricial

x1(t)

x2(t)

=

c1eλ1t

c2eλ2t

.

Exemplo 1.6 O sistema (1.6)é acoplado, mas podemos resolver a segunda equaç˜ ao in-

dependentemente da primeira.

x1(t) = λ1x1(t) + x2t

x2(t) = λ2x2(t).

(1.6)

A segunda equação tem solução x2(t) = c2eλ2t. Substituindo x2(t) na primeira equação

obtemos a equação

x1(t) = λx1(t) + c2eλt

que tem solução

x1(t) = c1eλt + c2e

λt.

Assim a solução do sistema acima é

x1(t)

x2(t)

=

c1eλt + c2te

λt

c2eλt

.

Os sistemas anteriores foram resolvidos porque pelo menos uma das equações pode

ser resolvida independentemente das outras. Considere o sistema de equações diferenciais

lineares

x1(t) = a11(t)x1(t)+ ... +a1n(t)xn(t) +f 1(t). .. .. .

xn(t) = an1(t)x1(t)+ ... +ann(t)xn(t) +f 2(t).

(1.7)

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Que pode ser escrito na forma de uma equação diferencial matricial

x1(t)

.

.

.xn(t)

=

a11(t) ... a1n(t)

. .

. .

. .an1(t) ... ann(t)

x1(t)

.

.

.xn(t)

+

f 1(t)

.

.

.f n(t)

ou X (t) = A(t)X (t) + F (t), em que

A(t) =

a11(t) ... a1n(t). .. .. .

an1(t) ... ann(t)

, X (t) =

x1(t)...

xn(t)

e F (t) =

f 1(t)...

f n(t)

.

Observe que o sistema (1.5), pode ser escrito na forma matricial como:

y1(t)

y2(t)

=

λ1 0

0 λ2

y1(t)

y2(t)

.

Para sistemas lineares é válido o teorema sobre existência e unicidade.

1.3 Modelos matemáticos e equações diferenciais

Um modelo matemático é uma descrição de um fenômeno do mundo real, frequente-

mente apresentado por meio de funções ou equações. Usamos modelos em problemas

como o tamanho de uma população, a demanda por um produto ou a concentração de

uma substância em uma reação quı́mica. O ob jetivo na utilização do modelo é de com-

preender determinado fenômeno e fazer predições sobre um comportamento futuro, a

partir das condições dadas, [14] .

Muitos problemas práticos, podem ser modelados pela matemática, de acordo com

as quatro etapas a seguir.

1. Construção de um modelo para descrever algum fenômeno seja: f́ısico, biológico,

quı́mico, etc;

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2. Estabelecimento de um procedimento matemático adequado ao modelo;

3. Realização de cálculos numéricos aproximados com o uso do modelo matemático

pré-estabelecido;

4. Comparação das quantidades numéricas obtidas através do modelo matemático com

aquelas que se esperava obter a partir da formulação do modelo criado para resolver

o problema.

Após estas etapas, costuma-se analisar os resultados e na verificação da adequação

dos mesmos, aceita-se o modelo e na inadequação dos resultados reformula-se o modelo,

geralmente introduzindo maiores controles sobre as variáveis importantes.

Os principais fenômenos relacionados com as ciências podem ser modelados por

equações diferenciais. Esses modelos permitem investigar problemas em mecânica dos

flúıdos, circuitos elétricos, reações qúımicas, transferência de calor, crescimento popula-

cional, geometria e muitos outros.

Segundo [2], modelos matemáticos, em termos de equações diferenciais são adequa-

dos quando as situações modeladas envolvem variáveis cont́ınuas evoluindo em relação a

outras variáveis cont́ınuas. As relações entre as variáveis dependentes e independentes são

obtidas através de hipóteses formuladas a respeito das taxas de variações instantâneas.

Quando temos apenas uma variável independente, o modelo matemático é dado em termos

de equações diferenciais ordinárias (EDO).

Para um modelo, baseado em equações diferenciais ordinárias, representar bem um

fenômeno f́ısico ou biológico é necessário considerar:

1. Existência de solução: indica que o fato representado pelo modelo possui solução

e que tal solução ocorre dentro das condições estudadas.

2. Unicidade de solução: significa que sob as mesmas condições, o comportamento

do modelo sempre se repetirá.

3. Estabilidade da solução: significa que pequenas modificações realizadas no sis-

tema não alteram sensivelmente o fenômeno. Um sistema com estas três condições,

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recebe o nome de Problema bem posto no sentido de Hadamard.

4. Computação de dados: significa que deve haver um modo para calcular os valores

da solução com a margem de precisão necessária. As técnicas da matemática com-putacional permitem, quase sempre, encontrar um método para calcular os dados,

desde que se trate de um problema bem posto no sentido de Hadamard.

Nem sempre podemos obter informações ou projeções da realidade modelada, por

meio da solução expĺıcita (solução exata) desta equação, quando o modelo matemático

é uma equação diferencial. Ainda, segundo [2], somente um grupo reduzido de equações

diferenciais admite solução na forma de uma função analı́tica explı́cita. Neste grupo estão

incluı́dos os modelos mais simples e que dão apenas um esboço das situações ou fenômenos

analisados. Quando a solução exata não pode ser obtida por métodos algébricos são

utilizados métodos numéricos para obter soluções aproximadas.

Dentre os métodos mais utilizados estão os métodos de Runge-Kutta, esses formam

uma famı́lia importante de métodos iterativos impĺıcitos e expĺıcitos para a resolução

numérica (aproximação) de soluções de equações diferenciais ordinárias. Estas técnicas

foram desenvolvidas por volta de 1900 pelos matemáticos C. Runge e M.W. Kutta.

O método de Runge-Kutta de 4a ordem é o mais usado, por ser uma combinação de

simplicidade, alta precisão e economia, sendo provavelmente, um dos processos numéricos

mais populares [18, 4].

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Caṕıtulo 2

Modelos matemáticos em

epidemiologia

2.1 Referencial teórico

Uma das metas básicas da ciência atual é criar, a partir dos fenômenos reais, mo-

delos que possam descrever e predizer o comportamento de tais fenômenos. Um número

considerável de trabalhos envolvendo modelagem matemática vem sendo proposto para

descrever as complexas interações entre os seres vivos, baseados nos modelos usados para

investigação do crescimento e decĺınio de populações de Verhulst (1838), Lotka-Volterra

(1926) e Malthus (1798) considerados os pioneiros nesta área de aplicação, [10].

A modelagem matemática consiste no processo de extração de caracteŕısticas perti-nentes de um objeto ou sistema, com ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras,

e representadas em termos matemáticos. Segundo [2], a modelagem matemática é um

processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É a

arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos, cujas soluções de-

vem ser interpretadas na linguagem do mundo real. E ainda, uma forma de abstração e

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generalização com a finalidade de prever tendências.

Isso remete ao conceito de modelo matemático como uma representação ou inter-

pretação simplificada da realidade. É um conjunto de śımbolos e relações matemáticas

que representam de alguma forma o objeto estudado, desenvolvidos pela elaboração cuida-

dosa de ideias formadas a partir da intuição e conhecimentos já adquiridos do fenômeno.

Desta forma, os modelos podem ser modificados, aprimorados ou substitúıdos por outros

para se obter uma compreensão cada vez mais adequada daquilo que está ocorrendo na

natureza, [10].

Assim, mediante imitações ou analogias, simula-se o fenômeno em questão, ou seja,

converte-se um fenômeno real em outro simulado, simples e manipuĺavel, representado

mediante ferramentas matemáticas. De acordo com sua natureza matemática, os modelos

podem ser classificados em:

1. Lineares ou não lineares: conforme suas equações básicas, sejam elas lineares ou

não;

2. Estáticos ou dinâmicos: os primeiros não envolvem evolução temporal do sistema,

enquanto que nos segundos, ocorrem variações de estágio do fenômeno;

3. Estocásticos ou determińısticos: de acordo com o uso ou não de fatores aleatórios

nas equações. Os modelos estocásticos são aqueles que descrevem a dinâmica de

um sistema em termos probabiĺısticos. Os modelos determińısticos são baseados na

suposição de que, se existem informações suficientes em um determinado instante

ou num estágio de algum processo, então o futuro do sistema pode ser previsto

precisamente, [2];

4. Discretos ou cont́ınuos: envolvendo equações de diferenças ou equações diferencias

(ordinárias ou parciais).

A modelagem matemática de situações ou fenômenos, por meio de suas variações, tem

como caracterı́stica essencial a evolução do sistema. Neste caso, o termo taxa de variação

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aparece de forma impĺıcita em palavras, tais como: taxa de crescimento, taxa de cresci-

mento relativo, taxa de mortalidade, velocidade, aceleração, taxa de reação, entre outras.

Quantidades que influenciam em algum processo dinâmico são denominadas variáveis,

parâmetros ou também constantes. Não existe uma diferença precisa entre estes termos,

a distinção é apenas convencional: variáveis representam “grandezas” que se modificam

durante o processo; parâmetros são medidas auxiliares que podem ou não mudar durante

o processo; constantes são quantidades que não variam e têm seus valores fixados a priori ,

[10].

No decurso dos últimos 60 anos, a definição de epidemiologia tem vindo a alargar-

se desde a sua preocupação com as doenças infecto-contagiosas e outras doenças trans-

misśıveis (o estudo das epidemias) até abarcar, presentemente, todos os fenômenos rela-

cionados com a saúde das populações. Epidemiologia pode ser definida como o estudo da

ocorrência, disseminação e controle das doenças e tem por base a coleta de informações

estatı́sticas detalhadas, podendo compreender desde o puramente descritivo até o analı́tico

experimental, [10].

A Epidemiologia Matemática consiste em estabelecer, a partir de observações do

fenômeno epidêmico, hipóteses matemáticas para quantificar os conhecimentos biológicos

a respeito da dinâmica de transmissões de infecções e também para estudar a evolução de

doenças epidêmicas, [16].

Na luta contra as doenças infecciosas, busca-se otimizar esforços para seu controle

e erradicação, com a possibilidade de resultados em curto prazo. Para isso, elas são con-

sideradas em dois grupos: as de transmissão direta, que não dependem de intermediários

para a transmissão, por exemplo: a epidemia do sarampo, da caxumba e da rubéola; e as

de transmissão indireta, cuja disseminação depende de um vetor transmissor, como por

exemplo: dengue, malária e mal de Chagas.

A transmissão direta ocorre através do meio f́ısico, quando se dá um contato apro-

priado entre um indiv́ıduo infectado (aquele que apresenta concentração razoável do agente

patógeno em seu organismo) com um indiv́ıduo suscet́ıvel (aquele que não está infectado,

mas pode ser infectado). A transmissão indireta ocorre pela disseminação do agente

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patógeno por meio de vetores como o homem, pássaros, insetos, animais, véıculos, entre

outros, os quais mantêm contato direto com os indivı́duos suscet́ıveis.

A maioria dos modelos matemáticos para populações acometidas de uma deter-

minada infecção tem como ponto inicial a hipótese de que a população total pode ser

dividida em subpopulações, apresentando significados epidemiológicos em conformidade

com a dinâmica biológica da doença.

Estudos matemáticos mais elaborados com base nesta lei, foram desenvolvidos no

peŕıodo entre 1927 e 1939, por Kermack e McKendrick [7], em que estabelece a teoria

do valor limiar. Segundo esta teoria, a introdução de poucos indiv́ıduos infectados em

uma comunidade totalmente suscet́ıvel não resultaŕa em uma epidemia a menos que o

número de indiv́ıduos suscet́ıveis esteja acima de um determinado valor crı́tico. Esses

modelos assumem que os indiv́ıduos infecciosos estão distribúıdos homogeneamente em

toda a população e têm o mesmo poder de transmitir a doença. A teoria do valor limiar

e o princı́pio da ação das massas, juntas, formam a pedra fundamental da epidemiologia

matemática moderna.

Estes modelos distinguem os indiv́ıduos de uma população de acordo com seu estado

em relação à doença, chamados modelos determińısticos compartimentais.

Tais modelos são formulados por equações diferenciais e baseiam-se na Lei de Aç˜ ao

de Massas , originada do estudo da cinética qúımica. Esta lei postula que a taxa de

formação dos compostos é proporcional às concentrações dos reagentes. A aceitação da

lei da ação das massas é baseada no fato de que cada part́ıcula dos reagentes movimenta-

se independentemente das demais, o que significa que a mistura é homogênea e portanto

todas as part́ıculas têm a mesma chance de encontro que as demais. A tradução dessa

lei para os modelos matemáticos é feita considerando o “encontro” entre variáveis, como

sendo o produto delas, [1].

A transposição desta lei para a epidemiologia deu-se, inicialmente, com os modelos

de Kermack e McKendrick, [7]. Estes modelos têm como base a hipótese que os indivı́duos

infecciosos estão distribúıdos homogeneamente em toda a população e têm o mesmo poder

de transmitir a doença. Entre eles, destaca-se o modelo clássico do tipo SIR para epi-

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demias que, embora simples, exerce grande influência no desenvolvimento e evolução dos

modelos atuais para doenças infecciosas de transmissão direta, sendo desta forma citado

como ferramenta básica em termos de saúde pública. É útil para uma análise preliminar

da dinâmica de várias epidemias e se constitui em um argumento básico, a partir do qual

é posśıvel construir-se modelos mais includentes por meio da cŕıtica lúcida de algumas

questões especı́ficas.

Outros modelos epidemiológicos do tipo SIRS , SI S ou SI podem ser constrúıdos,

os quais diferem entre si, seja pela escala de tempo de interesse com dinâmica vital (morte

ou nascimento) ou não, seja pelo tipo de mortalidade considerada, incluindo mortalidade

induzida pela doença ou não, ou ainda pelo tipo de comportamento dinâmico apresentado

pela população, na ausência da doença.

2.2 Algumas considerações sobre epidemiologia

A maioria das doenças são causadas por v́ırus ou bactérias - organismos muito pe-

quenos que se multiplicam rapidamente dentro do corpo humano. Ignorando-se a dinâmica

dentro do corpo humano, os indiv́ıduos podem ser classificados, como segue:

1. Indivı́duos com imunidade materna : até por volta de 6− 12 meses depois do nasci-

mento, crianças recém-nascidas podem ser protegidas pela imunidade materna. Para

propósitos de modelagem este fato é muitas vezes ignorado.

2. Suscet́ıveis : indiv́ıduos nesta classe podem adquirir a doença se estiverem expostos

a ela. O número de indivı́duos suscet́ıveis em um certo instante t será indicado por

S(t).

3. Expostos ou infectados : compreende as pessoas que têm a doença, mas que não

são ainda infecciosos. Eles estão incubando a doença, como o número de v́ırus e

bactérias crescendo rapidamente, mas não a transmitem ainda. Denota-se por E(t),

o número de indivı́duos expostos em um certo instante t.

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4. Infecciosos ou infectivos : indiv́ıduos que podem transmitir a doença para algum

suscet́ıvel que entre em contato com ele. Representaremos por I(t) a população de

indiv́ıduos infectivos em um certo instante t .

5. Removidos : estas pessoas têm recuperação (imunidade ou morreram) a partir da

doença. Muitas vezes, eles permanecem imunes por um longo tempo depois da

infecção (às vezes, pelo resto da vida). O número de indiv́ıduos removidos em um

certo instante t será representado por R(t).

Nem todas as doenças incluem todas estas classes, e alguns modelos podem incluir

mais classes. Podem ser inclúıdas, por exemplo, classes de vacinação, classes de imunidade

parcial de indiv́ıduos que têm recuperação, e podem passar depois para uma classe par-

cialmente suscet́ıvel. Também pode-se considerar que a população apresente estrutura

etária (classes ou faixas etárias), estrutura sexual, entre outras.

Geralmente, para representar os modelos compartimentais, são utilizados fluxogra-

mas, os quais apresentam setas do tipo entrando e saindo dos compartimentos que des-

crevem: passagem de um compartimento para outro, sáıda de um compartimento para

o ambiente, ou ainda entrada num compartimento vindo de fora do sistema. As setas

representam, portanto, qualquer modificação na ocupação do compartimento (número

médio de indivı́duos deslocados por unidade de tempo).

Quanto aos tempos caracteŕısticos de uma doença, geralmente os modelos fazem

menção a três diferentes perı́odos no processo de infecção:

1. Perı́odo latente : peŕıodo durante o qual o hospedeiro está infectado mas não trans-

mite a doença.

2. Perı́odo infeccioso: perı́odo durante o qual um indiv́ıduo pode passar a doença para

um suscetı́vel.

3. Perı́odo de recuperaç˜ ao: peŕıodo durante o qual o indiv́ıduo não é mais infeccioso,

mas também não é suscetı́vel. Hospedeiros recuperados são quase invariavelmente

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imunes a infecções posteriores no caso de parasitas virais, e esta imunidade, para

muitas das infecções virais, aparenta durar a vida toda. Baseados em [13].

Para os modelos epidemiológicos clássicos, um parâmetro essencial é o valor de

reprodutividade basal ( R0), que dá o número médio de novas infecções causadas por um

indiv́ıduo infectado, introduzido em uma população inteiramente suscetı́vel, durante todo

o tempo de infecciosidade. Dessa forma, esse parâmetro indica sob quais condições a

doença se propaga na população. Se o indiv́ıduo infectado consegue provocar mais que

um caso de infecção, isto é, se R0 > 1, então a doença se propaga. Por outro lado, quando

R0 < 1, a doença se extingue [1].

2.3 Modelo compartimental tipo SIR

Os modelos matemáticos formulados por Kermack e McKendrick foram os primeiros

modelos da área de epidemiologia a considerar a subdivisão da população em hospedeiros,

os quais exercem grandes influências no desenvolvimento e evolução dos modelos atuais

para doenças infecciosas de transmissão direta. Estes modelos consideram que numapopulação fechada, uma epidemia com microparasitas (v́ırus ou bactérias) ocorre através

do contato direto entre indiv́ıduos infectados e sadios.

Vamos considerar o problema básico de descrever a propagação de uma epidemia

numa população, com relação ao tempo. A população de hospedeiros é subdividida em

classes distintas (compartimentos) de acordo com a sanidade ou infecciosidade de seus

elementos:

• Suscetı́veis (S = S (t)): número de indivı́duos sadios e aptos a contráırem a doença

por contato com infecciosos, no instante t;

• Infecciosos (I = I (t)): número de indiv́ıduos anteriormente suscet́ıveis que con-

traı́ram a doença de outros infecciosos e passam imediatamente a serem transmis-

sores dela por contato, no instante t;

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• Recuperados (R = R(t)): número de indiv́ıduos que, de infecciosos, passam a não

mais participar da dinâmica epidêmica, no instante t.

Ao modelar a propagação de uma epidemia numa população, em função do tempo,a população é tomada como constante, isto é, N = S (t) + I (t) + R(t) não varia com o

tempo. Assume-se que não existem emigração, imigração nem peŕıodo latente no grupo

considerado. Este fato é caracteŕıstico de doenças cujo peŕıodo de incubação do parasita

é relativamente pequeno.

Para cada tipo de doença podemos modelar sua velocidade de propagação através

das interações entre as variáveis S, I e R. O processo epidemiológico do modelo SIR

é esquematizado pelo sistema compartimental ilustrado na Figura 2.1, onde S é a pro-

porção de indiv́ıduos suscet́ıveis, I é a proporção de indivı́duos infectados, β é a taxa de

transmissão e µ é a taxa de recuperação, considerando as seguintes hipóteses:

1. Cada compartimento é composto por indiv́ıduos homogêneos.

2. Cada indiv́ıduo infeccioso tem a mesma probabilidade de se encontrar com um

suscetı́vel.

3. Não ocorre nascimento no grupo e a morte somente é causada pela doença, ou seja,

é um modelo sem dinâmica vital.

S RIβ µ

Figura 2.1: Modelo compartimental do tipo SIR sem dinâmica vital.

Nesse caso, um indiv́ıduo sadio entra em contato com um infectado e, atrav́es de

algum mecanismo de transmissão, pode passar a ser um membro da subpopulação de

infectados, dependendo da taxa de transmissão β . Já os indiv́ıduos infectados podem

ser removidos para a subpopulação dos recuperados por reabilitação da doença ou por

isolamento a uma taxa µ. Dessa maneira, um indiv́ıduo da população em estudo está

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sujeito a uma transferência de suscet́ıvel (S ) para infectado (I ), e desse para recuperado

(R).

A formulação matemática do modelo SIR, em se tratando de uma população suposta-

mente homogênea, no sentido de que não descreve o aspecto de um indiv́ıduo segundo

a sua localização espacial, idade ou segundo qualquer outra medida cont́ınua, é um pro-

blema de valor inicial, que pode ser representado, entre outras ferramentas matemáticas,

pelo sistema (2.1) não-linear de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO).

dS

dt = −βS I

dI

dt

= βSI − µI

dR

dt = µI

(2.1)

com t ≥ 0, satisfazendo as condições iniciais: S (0) = S 0, I (0) = I 0, R(0) = 0.

Nesta representação, os suscet́ıveis decrescem a uma taxa proporcional ao número

de encontros com os infecciosos (βSI, β > 0); os infectados aumentam na mesma taxa e

perdem os que são curados (isolados ou mortos); a variação dos recuperados é proporcional

à quantidade de infectados (µI ), onde µ > 0 é um parâmetro constante e, µ−1 é o tempo

médio durante o qual um indiv́ıduo fica infeccioso e R0 = β S 0

µ é o número médio de

novas infecções causadas por um infectado durante todo o tempo de infecciosidade R0 é

denominado taxa de reprodutividade básica da doença.

A evolução dos contingentes populacionais ao longo do tempo de um modelo tipo

SIR, representado por um sistema de EDO pode ser ilustrada pela Figura 2.2.

2.3.1 Análise do Modelo

Questões importantes podem ser formuladas durante um processo epidêmico: dado

β, µ, S 0 e I 0, a infecção se espalhará ou não? Como a doença se desenvolve com o tempo?

Quando começará a declinar? Para responder a primeira dessas questões faremos uma

breve análise qualitativa do modelo, para responder as demais questões veja [1, 6, 11].

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0 10 20 30 40 50 60

2

4

6

8

10

12

tempo

p o p u l a ç ã o

suscetível

infectado

recuperado

Figura 2.2: Evolução dos contingentes populacionais descrita por um modelo compartimental do tipo

SIR, representado por um sistema de EDO, considerando S 0 = 10, I 0 = 1, R0 = 0, β = 0, 05 e µ = 0, 1.

Representamos por P (t) a população total S (t) + I (t) + R(t) e adicionamos as

equações de (2.1), temos que dP

dt = 0. Portanto, P (t) é constante, que com a condição

inicial P (0) = S 0 + I 0 = N , leva a

S (t) + I (t) + R(t) = N (2.2)

para qualquer instante de tempo t. Assim, todas as populações S, I e R são limitadas su-

periormente por N . Naturalmente, somos interessados somente em soluções não negativas

para S, I e R.

Podemos então, focar nossos estudos nas duas primeiras equações de (2.1), uma vez

que, após conhecer S (t) e I (t), podemos calcular,

R(t) = N − S (t) − I (t). (2.3)

Ao considerarmos as trajetórias no plano de fase−SI (ver [13]) do sistema (2.1)

podemos obter alguns resultados anaĺıticos:

Tomamos I = 0 e S = 0 e usamos a regra da cadeia nas duas primeiras equações de

(2.1), temosdI

dS =

βS − µ

−βS = −1 +

µ

β

1

S (2.4)

com S (0) = S 0 > 0 e I (0) = I 0 > 0.

21


28/38

Integramos (2.4), obtemos como solução as suas trajetórias no plano de fase−SI ,

dadas por

I = −S + µ

β ln S + c, (2.5)

onde c é uma constante de integração.

Usando as condições iniciais, obtemos

I (t) = µ

β ln S (t) − S (t) + N −

µ

β ln S 0, (2.6)

Interpretamos I (t) como o número de infectados no instante t, que terá significado

biológico se S (t) < S 0 e I 0 > 0.

Analisando a segunda equação do sistema (2.1), temosdI

dt

t=0

> 0 ⇔ I 0 ( βS 0 − µ ) > 0 ⇔ S 0 > µ

β (2.7)

Logo, o número de infectados será crescente se a população de suscetı́veis S 0 > µ

β , o

que fornece R0 = β S 0

µ > 1. E o número de infectados será decrescente quando S 0 <

µ

β ,

ou seja, R0 = βS 0

µ 1 e decresce se R0 < 1. Existe,assim, um tamanho mı́nimo da população para que a epidemia possa ocorrer. Como o

número máximo de suscet́ıveis é o tamanho total da população N , conclúımos que, para

ocorrer uma epidemia devemos ter N > µ

β e, o valor

µ

β denominado limiar epidêmico, é o

tamanho mı́nimo da população, necessário para ocorrer a epidemia.

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29/38

Caṕıtulo 3

Aplicação: Um modelo SIRS para o

estudo da dispersão da InfluenzaA(H1N1) em uma população

Neste Capı́tulo, com o propósito de consolidar o estudo das teorias estudadas (equa-

ções diferenciais ordinárias e modelos epidemiológicos), utilizamos um modelo compar-timental tipo SIRS para estudar a evolução temporal da Influenza A(H1N1) em uma

população.

3.1 Referencial teórico da Influenza A(H1N1)

O novo vı́rus A (H1N1), que teve origem comum: súına, aviária e humana, deter-minou a primeira pandemia de gripe do século XXI . A pandemia de gripe causada pelo

v́ırus da influenza A, subtipo H 1N 1, culminou em Março de 2009, com a notificação dos

primeiros casos no México (São Lúıs do Potosi e Oaxaca), que já observavam um número

elevado de casos, aumento das internações por pneumonia grave, casos internados em

faixas etárias atı́picas, óbitos de pacientes jovens e sem comorbidades prévias, [5].

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Os primeiros casos de gripe H1N1, no Brasil, foram importados de páıses que já

registravam transmissão sustentada da patologia.

O v́ırus da influenza representa o espécime mais estudado de v́ırus associado ao

homem que é infectado por três tipos de v́ırus da gripe relacionados entre si, pertencentes

à famı́lia Orthomyxoviridae , e denominados A, B e C. O v́ırus do tipo B infecta humanos

(gripe sazonal) e causa pequenas epidemias, enquanto o vı́rus C não é epidêmico. O vı́rus

do tipo A é o principal responsável pelas grandes epidemias, infectando humanos e outros

animais (aves, mamı́feros). Tipicamente, as propriedades antigênicas dos v́ırus tipo A

variam a cada ano, o que acarreta uma incapacidade do organismo hospedeiro em manter

uma resistência duradoura, [5].

A influenza A(H1N1) ou gripe A é uma infecção viral aguda do sistema respiratório,

de distribuição global e elevada transmissibilidade, ela surgiu devido a alterações de formas

virais já presentes na espécie humana, com modificações de sua estrutura antigênica, sem

grande novidade em termos evolutivos, [12].

A doença inicia-se, clinicamente, com a instalação abrupta de febre alta, em geral

acima de 38oC , aferida ou mencionada, seguida de mialgia, dor de garganta, prostração,

dor de cabeça e tosse seca. A febre é o sintoma mais importante, com duração em torno de

três dias. Com a progressão da doença, os sintomas respiratórios tornam-se mais evidentes

e mantêm-se em geral por três a quatro dias, após o desaparecimento da febre, [9].

Segundo [8], a gripe A é transmitida de forma direta inter-humana (ou seja, de

pessoa-a-pessoa), através das secreções das vias respiratórias de uma pessoa contaminada

ao falar, espirrar ou tossir.

O v́ırus acomete pessoas de todas as faixas etárias. No entanto, a Influenza pode

causar sintomas graves em idosos, pessoas portadoras de doenças crônicas (como diabetes,

câncer, doenças crônicas do coração, dos pulmões e dos rins), pessoas imunodeprimidas,

gestantes no 2◦ e 3◦ trimestre de gravidez e recém-nascidos. Essas pessoas são consideradas

grupo de maior risco, [8].

O controle do v́ırus H1N1 pela disponibilidade de vacina espećıfica ofereceu van-

tagens (reduzindo morbimortalidade) e favorece a manutenção da infraestrutura, sem

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superlotações, dos serviços de saúde, para atendimento à população. A vacina contra o

v́ırus influenza pandêmica é muito segura e, em função disso, as contraindicações à sua

administração são bastante restritas (antecedentes de reação anafilática severa aos com-

ponentes da vacina e doenças agudas graves). Desde Março de 2010, o Brasil, através do

Programa Nacional de Imunizações, oferece a vacina contra a gripe (cepa pandêmica) de

forma gratuita na rede pública, [5].

O peŕıodo de transmissibilidade da doença é diferente entre adultos e crianças. Nos

adultos, o perı́odo é de sete dias após o aparecimento dos sintomas, enquanto em crianças

este peŕıodo vai de dois dias antes até catorze dias após o ińıcio dos sintomas, [8].

Considerando que a modelagem matemática de epidemias é de grande importância

para os estudos epidemiológicos por possibilitar um melhor entendimento do desenvolvi-

mento da epidemia e a busca por medidas eficientes em sua prevenção ou erradicação,

realizamos o estudo da dinâmica de dispersão da doença.

3.2 O modelo

Com base no modelo SIR (Suscet́ıvel - Infectado - Resistente), proposto por Kermacke McKendrick, em 1927, que descreve a propagação de doenças infecciosas de transmissão

direta via contato pessoa-a-pessoa [6, 11, 2], propomos um estudo da dinâmica de evolução

temporal da Influenza A(H1N1) em uma população de humanos.

Para o desenvolvimento desse estudo consideramos as seguintes hipóteses:

1. O processo de infecção da Influenza A(H1N1) é regido pela lei de ação das massas,

ou seja, a taxa de variação da população suscet́ıvel é proporcional ao número de

encontros entre as populações suscet́ıveis e infectadas;

2. Filhos de indiv́ıduos suscet́ıveis, infectados e resistentes à doença nascem todos

suscetı́veis;

3. Indiv́ıduos infectados podem morrer devido a doença e a razão de variação da popu-

lação de resistentes é proporcional à população infectada menos a parcela dos que

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perderem a resistência temporária.

Modelos compartimentais do tipo SIRS (suscet́ıvel-infectado-recuperado-suscet́ıvel)

são alternativas aos modelos SIR quando indiv́ıduos recuperados perdem a imunidadeapós certo perı́odo de tempo, voltando a ser suscet́ıveis. A hipótese básica deste modelo

é que um indivı́duo pode passar sucessivamente por estágios de suscetibilidade, infecção

e recuperação, e que a imunidade não é permanente, de modo que o indiv́ıduo imune

torna-se suscet́ıvel novamente, podendo vir a se reinfectar.

Assim, propomos um modelo do tipo SIRS, em que a população de resistentes à

doença pode perder a resistência temporária e passar a ser suscet́ıvel novamente. O

processo epidemiológico do modelo SIRS é esquematizado pelo sistema compartimentalilustrado na Figura 3.1.

Figura 3.1: Modelo compartimental do tipo SIRS com dinâmica vital.

Com base em [6, 11, 15], descrevemos o modelo utilizando o sistema (3.1), em que

todas as classes S (t), I (t) e R(t) da população, variam em relação ao tempo.

dS

dt = −βS I + δR + λ(S + I + R)

dI

dt = βSI − (γ + µ)I

dRdt

= γI − δR.

(3.1)

Onde, λ e µ são as taxas de natalidade e mortalidade, respectivamente; β é a taxa

de contato; γ é a taxa de recuperação dos infectados e δ é a taxa com o qual os resistentes

perdem a imunidade temporária.

26


33/38

3.3 Implementação computacional

Nesta Seção, apresentamos simulações numéricas que possibilitam observar a dinâ-mica de varição temporal da Influenza A(H1N1) em uma população hipotética. O estudo

da dinâmica de uma doença transmisśıvel consiste essencialmente em esclarecer como a

quantidade de indiv́ıduos pertencentes a cada um dos compartimentos varia à medida que

o tempo passa.

Para obter as soluções numéricas do sistema (3.1), utilizamos o método numérico de

Runge-Kutta de quarta ordem cujo algoritmo foi constrúıdo no ambiente Matlab - versão

7.0.

As condições iniciais e os parâmetros utilizados no sistema (3.1) foram baseados no

modelo de [15]. Assim, consideramos as condições iniciais S 0 = 10, I 0 = 1 e R(0) = 0,

e os parâmetros β = 0, 233, δ = 0.098, λ = 0.003, µ = 0.0001 e γ = 0.677. Os gráficos

obtidos da simulação numérica estão representados na Figura 3.2.

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (semanas)

P o p u l a ç a o

Suscetível

Infectado

Recuperado

Figura 3.2: Gráficos indicando a variação das populações de Suscetı́veis, Infectados e recuperados (eixo

vertical) em relação ao tempo dado em semanas (eixo horizontal).

Nesta simulação, podemos observar que a classe dos suscet́ıveis decresce atingindo

um pico mı́nimo entre a terceira e quarta semanas após o ińıcio da epidemia. Concomi-

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34/38

tantemente a classe dos infectados cresce até atingir o valor máximo em torno da segunda

semana. Tendo em vista o baixo número de suscet́ıveis e o ińıcio da recuperação, a curva

dos infectados apresenta um decĺınio acompanhado de um crescimento considerável dos

recuperados.

Diferentemente do modelo tipo SIR, em que os suscetı́veis tendem a zero cessando a

epidemia com o passar do tempo, este modelo tipo SIRS apresenta o retorno dos suscetı́veis

impedindo extinção da epidemia, desde que a taxa de reprodutividade basal R0 > 1. Isso

porque o modelo considera que uma parcela dos indiv́ıduos recuperados da doença pode

perder a imunidade voltando a ser suscet́ıvel. Além disso, consideramos a dinâmica vital,

ou seja, admitimos nascimentos de novos indivı́duos suscet́ıveis.

A partir de aproximadamente dez semanas o quadro se estabiliza, mantém-se a

epidemia com um pequeno número de indivı́duos infectados.

3.4 Conclusão do modelo

Certamente o modelo proposto e as diversas hipóteses simplificadoras admitidas

nesse trabalho não retrataram fielmente a verdadeira dinâmica da influenza A(H1N1).

Melhores aproximações da realidade necessitam, sem dúvida, de um modelo mais elabo-

rado, assim como, um melhor ajuste dos parâmetros e das condições iniciais de suscet́ıveis

e infectados.

No entanto, mesmo sem realizar a validação do modelo por dados reais, observamos

que os resultados da simulação numérica estão coerentes com os apresentados em [15],

assim como dos esperados para um modelo epidemiológico e compartimental tipo SIRS.

Portanto, afirmamos que para o propósito desse trabalho de TCC, o modelo é satisfatório,

representando bem a dinâmica de dispersão da epidemia da influenza A(H1N1).

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Considerações Finais

Os modelos matemáticos, escritos em termos de equações diferenciais ordinárias,

quando aplicados à epidemiologia, nos proporcionam conhecimentos e informações sobre

como a doença se propaga numa população, visando, essencialmente, determinar ações

para prevenir e/ou conter tal propagação. Para se entender a propagação de doenças,

são utilizados modelos matemáticos constrúıdos a partir de premissas que precisam ser

validadas através de informações empı́ricas e de dados.

Os modelos matemáticos epidemiológicos, bem como o modelo aqui apresentado,

não pretendem de forma alguma ser exaustivos na cobertura de todos os tipos de doen ças

infecciosas. Também não pretendem espelhar com realismo todos os fatores relevantespara a dinâmica de qualquer doença. São apenas uma forma posśıvel de enquadrar os

vários tipos de doenças, uma espécie de primeira escolha a partir da qual poderemos

realizar elaborações adicionais, tendentes a tornar o modelo mais próximo da realidade.

Desta forma, a partir dos resultados obtidos, entendemos que o modelo aqui proposto

pode contribuir, mesmo que de forma modesta, com dados sobre o comportamento da

doença - a influenza A(H1N1).

Nesse contexto, a modelagem matemática, pela sua abrangência, possibilita a apren-dizagem dos conteúdos matemáticos conectados a diversas áreas, como a epidemiologia,

onde eles são aprendidos e entendidos como um instrumento, uma ferramenta posta a

operar para a compreensão e posśıvel modificação da realidade, tornando assim, conheci-

mentos contextualizados e significativos.

A união destas áreas do saber contribui para a formação do educador matemático,

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por permitir a transcendência da ideia de uma cîencia isolada para uma ideia mais

abrangente, relacionando questões mais amplas e refletindo sobre diversas situações co-

tidianas.

Ao concluir este trabalho, ficamos a vontade em afirmar que a modelagem pressupõe

multidisciplinaridade e, nesse sentido, vai ao encontro das novas tendências pedagógicas

que apontam para a remoção de fronteiras entre as diversas áreas do saber. Portanto, é

na esteira das contribuições da modelagem matemática que este trabalho se insere.

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Referências Bibliográficas

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aplicações. São Paulo, 1988.

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modelo sir h1n1

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