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X X X I J O R N A D A S S U D - A M E R I C A N A S D E I N G E N I E R Í A E S T R U C T U R A L

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17 a 21 de Mayo de 2004 Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo. Mendoza. Argentina. Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería Estructural

MODELAGEM NUMÉRICA DA PROTENSÃO SEM ADERÊNCIA

Telmo Egmar Camilo Deifeld1

Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti2 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações Av. Prof. Almeida Prado, trav. 2, número 83

05508-900, São Paulo, SP-Brasil

[email protected]; [email protected]

RESUMO Neste trabalho discutem-se alguns aspectos relativos à modelagem numérica da protensão sem aderência,

por meio do método dos elementos finitos. Inicialmente faz-se uma revisão crítica dos modelos encontrados

na literatura, apontando deficiências e melhorias necessárias.

Neste sentido, apresenta-se uma proposta para modelagem que consiste na utilização de um conveniente

arranjo de elementos finitos de viga, de cabo escorregando em presença de atrito e de um novo elemento

capaz de simular a protensão e a ancoragem do cabo, cuja formulação é apresentada.

Na simulação numérica faz-se uso do código PEFSYS, no qual as formulações dos elemento de cabo e de

protensão e ancoragem foram implementadas. Apresentam-se alguns exemplos com o intuito de validar as

implementações.

Finalmente emprega-se a proposta na modelagem de uma viga protendida sem aderência, cujos resultados

são apresentados e discutidos.

1 Doutorando 2 Orientador


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1 Introdução

A simulação numérica da ação dos cabos de protensão não aderentes em uma estrutura tem despertado o

interesse de vários pesquisadores3. No entanto as dificuldades encontradas para representar

adequadamente os efeitos envolvidos, muitas vezes, inviabilizam os esforços despendidos.

A maioria dos programas generalistas de análise estrutural por meio do método dos elementos finitos não

dispõem de um elemento que represente satisfatoriamente, sem custos computacionais muito grandes, os

efeitos de um cabo de protensão sem aderência em uma estrutura.

Simular o cabo como uma seqüência de elementos de treliça é a alternativa mais usual. No entanto, este

procedimento apresenta resultados aceitáveis apenas na simulação da protensão com aderência perfeita.,

depois da estrutura estar protendida, considerando-se aderência perfeita. Mesmo neste caso, o processo de

aplicação da força de protensão, que é uma etapa crítica, não pode ser simulado, e as perdas de protensão

causadas pelo atrito entre o cabo e a bainha e as perdas que ocorrem por ocasião da ancoragem do cabo,

devem ser calculadas analiticamente. Além disso, no caso da protensão sem aderência, não é possível,

usando elementos clássicos de treliça, verificar a variação de tensão ao longo do cabo, causada pela ação

de carregamento externos adicionais, ou mesmo pela variação de temperatura.

Outra possibilidade é fazer esta análise considerando o problema de contato. No entanto, com a

possibilidade de escorregamento entre o cabo e a superfície da bainha, em qualquer trecho do mesmo, o

grande número de elementos necessários para uma boa discretização da área de contato pode tornar o

processamento muito despendioso. Persistiria, ainda, a necessidade de ancoragem do cabo depois de

protendido. Somente com uma boa simulação da ancoragem pode-se obter as variações de tensões longo

do cabo de protensão causadas pelo carregamento.

Estas dificuldades foram o desafio que nos motivou a desenvolver uma dissertação de mestrado [8], cujo

resumo é apresentado neste trabalho.

1.1 Uma breve revisão do estado da arte

A maior parte das formulações para a modelagem numérica dos efeitos da protensão nas estruturas de

concreto protendido, apresentadas na literatura4, foi desenvolvida como extensão dos modelos existentes

para a análise de estruturas convencionais de concreto armado.

Desenvolver modelos numéricos que expressem o comportamento não-linear de estruturas de concreto

armado tem sido o objetivo de muitos pesquisadores5. Muitos destes modelos acoplam a formulação em

deslocamentos do método de elementos finitos a um conjunto de modelos constitutivos que contemplam

apenas alguns dos principais aspectos do comportamento não-linear dos materiais6. Os efeitos não-lineares

geométricos, causados por grandes deslocamentos, são considerados por estes modelos pela introdução

das condições de equilíbrio na geometria da estrutura na configuração deformada e também pela

consideração dos termos quadráticos das equações de compatibilidade dos deslocamentos.

3 Pode-se citar, dentre outros, Du [1], Alkhairi [2], Chakrabarti [3], Gongchen[4], Harajli [5,6,7] 4 dentre elas, cita-se [6, 9, 10] 5 dentre eles, Wood [11], Majorana [12] e Khalil [13] 6 por exemplo: a relação tensão-deformação; a iniciação e a propagação de fissuras no concreto; a aderência entre a armadura e o

concreto e fenômenos que dependem do tempo – fluência e retração do concreto e relaxação do aço.


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Roca et al. [10] desenvolveram um trabalho onde se inclui o efeito da protensão considerando a análise

não-linear geométrica e física, instantânea e ao longo do tempo, em vigas, lajes e cascas de concreto

armado. A força de protensão é substituída por forças nodais equivalentes, aplicadas nos correspondentes

nós dos elementos de concreto, considerando a lei de atrito de Coulomb. Para o cálculo das deformações

dos cabos não aderentes, é negligenciado o atrito entre o cabo e a bainha, resultando numa deformação

uniforme ao longo do cabo. Conseqüentemente a tensão atuante no cabo é tida como constante.

Esta formulação é baseada em um tratamento discretizado do cabo de protensão, onde a geometria e os

efeitos mecânicos são introduzidos no método dos elementos finitos considerando a compatibilidade de

deformações. A consistência decorrente da compatibilidade das deformações torna possível o uso da

formulação proposta para incluir o tratamento numérico de cabos em muitos modelos existentes,

previamente desenvolvidos para estudo do concreto armado.

Nikolic et al. [14] apresentaram um modelo numérico para a análise não-linear de estruturas de concreto

pós-tensionadas, parcial ou totalmente protendidas. Este modelo considera as perdas caudadas por atrito,

pela ancoragem, pela deformação do concreto e pelo encurtamento linear ou não-linear do concreto. Os

cabos de protensão e a armadura passiva são modelados por elementos finitos isoparamétricos de três nós.

A influência da protensão no concreto é modelada pela distribuição de cargas normais e tangenciais ao

longo do cabo.

2 Uma proposta de modelagem numérica da protensão sem aderência

É recomendável que os modelos numéricos para simulação da protensão sem aderência contemplem a

análise do contato entre materiais, de forma a considerar a possibilidade de deslocamentos relativos entre

as superfícies de diferentes elementos, que estejam em contato durante algum tempo abrangido pela

análise.

A proposta aqui apresentada consiste em usar elementos finitos de viga, elementos finitos de cabo

escorregando em presença de atrito, além de um dispositivo de protensão e ancoragem, para simular

numericamente os efeitos envolvidos na protensão sem aderência, como esquematizado na Figura 1. Esta

figura mostra um esquema de modelagem de uma viga protendida com dois vãos.

Figura 1 - Esquema de discretização de uma viga protendida simplesmente apoiada com

dois vãos (extraída de [8])

Os elementos de viga [17], além de modelar viga, quando dotados de grande rigidez, fazem a interação

entre a viga e os elementos de cabo e definem o traçado do cabo. O dispositivo de protensão e ancoragem


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[8] traciona o cabo, comprimindo a estrutura, durante a etapa de protensão, ancorando-o posteriormente.

Os elementos de cabo [14,15] aplicam à estrutura as forças advindas da protenção.

Desta forma, além de representar adequadamente a etapa de protensão, torna-se possível a interação entre

o cabo o restante da estrutura em todas as etapas da simulação, pois o cabo age conjuntamente com a

estrutura, e não há a necessidade de representá-lo por um conjunto de forças previamente determinado.

Com a possibilidade de escorregamento considera-se, efetivamente, a não compatibilidade das

deformações, seção à seção, entre o cabo e o restante da estrutura, o que proporciona uma determinação

confiável das tensões, variáveis ao longo do cabo

Os elementos de cabo escorregando e o dispositivo para aplicação da protensão e acoragem foram

implementados no código PEFSYS7 [16].

2.1 Dispositivo de protensão e a ancoragem

O processo usual para simular a protensão e o ancoramento de um cabo consiste apenas da aplicação de

uma força de tração em pelo menos uma de suas extremidades, sendo que na estrutura é aplicada a

correspondente força de reação. As forças tem direção tangente ao cabo e módulo igual à protensão

desejada.

Este processo é eficiente apenas ao simular a protensão, pois expressa numericamente, e de uma forma

satisfatória, as forças aplicadas pelo macaco hidráulico à estrutura e ao cabo. No entanto, é uma forma

muito inadequada para representar o efeito da ancoragem do cabo após a sua protensão, pois a simples

aplicação de forças não assegura a indeslocabilidade relativa entre a extremidade do cabo e o

correspondente ponto de ancoragem.

Propõe-se um dispositivo com o objetivo de simular numericamente a protensão e a ancoragem do cabo.

Este dispositivo não garante a ancoragem perfeita, mas assegura que os deslocamentos são

suficientemente pequenos de forma a não interferir consideravelmente na variação de tensões no cabo.

Numa “primeira fase” – aplicação da protensão –, o dispositivo deforma-se ao longo de seu eixo sem

restrições, considerando o giro do ponto da estrutura ao qual está ancorado e na “segunda fase” –

ancoramento do cabo – torna-se rígido o suficiente para garantir deformações desprezíveis.

A capacidade de desempenhar estas duas funções é alcançada pela variação do módulo de elasticidade

longitudinal. Atribui-se ao módulo um valor muito pequeno enquanto o dispositivo representar a ação de um

macaco hidráulico, de forma a tornar desprezível a resistência do elemento à deformação longitudinal.

Analogamente, atribui-se ao módulo um valor suficientemente grande quando o elemento simular a

ancoragem, tal que a deformação longitudinal do elemento possa ser negligenciada sem comprometer a

solução do problema.

A formulação deste elemento está baseada na teoria geral de barras sem a consideração do empenamento

apresentada por Pimenta [17], cuja hipótese cinemática supõe que as seções transversais ortogonais ao

eixo da barra permanecem planas e indeformáveis durante o movimento. Serão consideradas apenas

deformações longitudinais e/ou rotações de corpo rígido.

A matriz de rigidez do elemento de barra apresentado por Pimenta é dada por

7 O PEFSYS é um programa computacional de elementos finitos para análises não-lineares, estáticas e dinâmicas, de estruturas.


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( ) ( )

( ) ( )

LGC

l T

l T

l TT

d

d

d

KKK

LNN

∆NG∆N

∆NDBB∆NK

++=

+

+

=

∫

∫

∫

0

0

0

ζ

ζ

ζ

(1)

onde ( )ζNN ˆ= é a matriz de interpolação, ∆ e B são operadores diferenciais matriciais. Os tensores G

e L caracterizam os efeitos geométricos dos esforços internos e externos, respectivamente, atuantes no

elemento. As parcelas CK , GK e LK são, respectivamente, as contribuições constitutiva, geométrica e

de carregamento da matriz de rigidez tangente.

Uma representação satisfatória do processo de protensão pode ser obtida simplesmente adaptando-se a

matriz de relações constitutivas D . Define-se, para o dispositivo que apresentamos,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

2

22

1

2

2

0.0000000000000

kkSimkk

kk

k

D (2)

onde:

1k - coeficiente de rigidez axial arbitrariamente pequeno quando o elemento estiver aplicando a força de

protensão e arbitrariamente grande quando sua função for a de ancoragem;

2k - coeficiente de rigidez arbitrariamente grande incidindo sobre a flexão, a distorção e a torção do

elemento, bem como de seus efeitos cruzados.

Calculam-se os esforços internos do elemento de barra através dos deslocamentos dos seus nós. Para o

caso do dispositivo estes esforços são calculados da mesma maneira, com exceção da força axial quando

este elemento estiver atuando na condição aqui definida como ‘primeira fase’. Para esta situação, arbitra-se

uma força de tração sobre o elemento, cujo módulo é o da força de protensão a ser aplicada pelo elemento

à estrutura.

Como primeira inspeção do comportamento do dispositivo de protensão e ancoragem, apresenta-se um

exemplo que visa verificar sua resposta em situações extremas. O exemplo consiste de uma estrutura

composta por uma viga, um elemento de barra extremamente rígido, um elemento de cabo ideal8 e um

dispositivo. A configuração inicial está ilustrada na Figura 2. A viga tem seção transversal 2 30,020,0 m× ,

módulo de elasticidade longitudinal 2810.86,1 mNE = , módulo de elasticidade transversal

8 Elemento de cabo com três nós, cujo nó intermediário escorrega sem atrito. Ver item 2.2.


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2810.75,7 mNG = e comprimento ml 10= . O cabo tem seção transversal de área 2410.0,1 mA −= e

módulo 21110.10,2 mNE = . O elemento rígido tem comprimento ml 5= . O dispositivo aplicada uma

força de protensão kNFp 700= .

Figura 2 – Configuração inicial do exemplo para teste

do dispositivo de protensão e ancoragem (extraída de [8])

Figura 3 – Configurações inicial e deformadas do exemplo teste do dispositivo de protensão e ancoragem9(extraída de [8])

A Figura 3 mostra as configurações inicial e deformadas da estrutura. A primeira configuração deformada

corresponde à aplicação da metade da força de protensão. A segunda corresponde à protensão total.

Verifica-se o comportamento esperado para o dispositivo de protensão e ancoragem, mesmo em grandes

deslocamentos e grandes rotações.

A protensão aplicada, aliada às propriedades dos materiais, proporciona grandes deformações à viga, cuja

deformada é uma curva com concavidade voltada para cima. O dispositivo, por sua vez, permanece

perpendicular ao eixo do elemento rígido e sofre um alongamento linear ao longo de seu eixo, atendendo

satisfatoriamente ao desempenho esperado.

2.2 Elemento não-ideal de cabo escorregando (com atrito)

A formulação do elemento discreto de cabo não-ideal escorregando foi proposta por Pauletti [15], a partir do

elemento de cabo ideal (sem atrito) apresentado por Aufaure [18]. A formulação é baseada no elemento de

treliça geometricamente exato e considera o escorregamento do cabo, em presença ou não do atrito. Uma

apresentação mais detalhada da formulação, com comentários sobre a implementação computacional e

exemplos que testam o comportamento do elemento em diversas situações, foi feita por Deifeld [8]. Pauletti

[19] apresenta uma nova abordagem para a mesma formulação, fazendo a distinção entre as parcelas

constitutiva e geométrica da matriz de rigidez.

9 A escala horizontal desta figura é aproximadamente igual à escala vertical, podendo, portanto, ocorrer pequenas distorções.


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1N2N 1P

2P

idP3 3P

nidP3

2α

2αβ

α

β

2

3

1

β

nó escorregando com atritonó de extremidade

Figura 4 – (a) Correia escorregando por um leito cilíndrico com atrito estático 0µ ≠ ;

(b) discretização do problema. (extraída de [19])

A implementação computacional deste elemento exige alguns cuidados especiais, devidos ao fato de que

se necessita não apenas de um critério de escorregamento do cabo, mas também que seja conhecido o

sentido de escorregamento, quando este ocorre. Como pode ser visto em [8], o cálculo da matriz de rigidez

tangente do elemento depende destas informações.

As variações possíveis na condição de escorregamento são: (i) um elemento de cabo, que antes não

escorregava, passa a escorregar numa determinada direção; (ii) um elemento de cabo, que anteriormente

escorregava numa determinada direção, deixa de escorregar; e (iii) inversão do sentido de escorregamento

de um elemento.

No que diz respeito ao processo numérico de resolução do problema, é preciso considerar, ainda, o fato de

que, uma vez definidos a condição e o sentido de escorregamento do elemento, deve-se mantê-los

constantes durante todas as iterações necessárias para a convergência do método de Newton. Portanto, a

condição e o sentido do escorregamento dos elementos de cabo devem ser obtidos durante a primeira

iteração de cada acréscimo de carga. A solução pode convergir ainda para situações de equilíbrio

incompatíveis com o problema físico, por exemplo, quando se inverte o sentido de escorregamento de

todos os elementos de cabo. Outra discussão a ser feita diz respeito à condição inicial de escorregamento

do cabo. Duas hipóteses podem ser consideradas: (i) todos os elementos de cabo escorregam em um certo

sentido; (ii) não há, inicialmente, escorregamento entre cabo e bainha.

Para inspecionar o comportamento do elemento de cabo escorregando com atrito, considere-se a estrutura

composta por apenas um elemento de cabo escorregando, esquematizada na Figura 5, estudada para

diferentes coeficientes de atrito, a saber, 0,0=µ e 25,0=µ . A área da seção transversal do cabo é de

1,0.10-4 m2 e o módulo de elasticidade longitudinal do material é de 0,7 GPa. A intensidade da força é de

510 . 0,1 N. A configuração inicial do elemento está ilustrada na Figura 5(a), onde o trecho 1 está dobrado

sobre o trecho 2, ou seja, 0=θ . Aplica-se uma força girante que faz o trecho 1 do cabo girar no sentido

anti-horário, variando θ de zero a π2 , como indicado na Figura 5(b). Convém ressaltar aqui as limitações

deste exemplo. A primeira que destacamos é a desconsideração da rigidez do cabo à flexão na formulação

do elemento, o que permite assumir qualquer valor do raio da polia (nó 3). No entanto, para casos em que o

raio da polia for muito pequeno, ocorrem deformações plásticas ao longo do trecho curvo do cabo. A


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segunda limitação é referente à lei de Coulomb, que não pode ser aplicada à casos com raios de curvatura

muito pequenos e não é muito representativa para valores de de β próximos a zero e a π2 .

A Figura 6 ilustra o comportamento do elemento de cabo com a variação do ângulo β (Figura 4). Nela estão

mostradas as trajetórias do nó 1, obtidas com as duas simulações. Comparando-se as Figuras 5 e 6,

observa-se a influência do coeficiente de atrito e do ângulo β na magnitude dos deslocamentos. Verifica-

se que, quando 0→β (elemento retificado), os casos com e sem atrito se confundem. Por outro lado,

quando πβ → a influência do atrito é máxima, proporcionando deslocamentos menores.

Observa-se na Figura 7 a influência do coeficiente de atrito e do ângulo β nas reações de apoio do nó 3

(polia). A reação na direção do eixo X (Rx3) é sempre (nos casos com e sem atrito) igual a componente

XF da força aplicada no nó 1. No entanto, a reação na direção do eixo Z (Rz3) apresenta valores

diferentes para os casos com e sem atrito. A diferença aumenta à medida que o ângulo β se afasta de π

(tanto para mais quanto para menos).

Figura 5 - Elemento de cabo sujeito a uma força

girante, com giro de 360o. (extraída de [8]) Figura 6 - Trajetória do nó 1 do elemento da Figura 5 para os caso

de atrito com 0,0=µ e 25,0=µ (extraída de [8]).

A Figura 8 mostra a relação entre os módulos da força de atrito e da força aplicada ao nó 1, que cresce

exponencialmente à medida que β se afasta de π , atingindo o valor máximo de 54,41% quando 0=β ,

ou πβ 2= . Em outras palavras, a força que surge devido ao efeito do atrito alcança 45,59% da força

aplicada.


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Figura 7 - Reações de apoio no nó 3 em função do

ângulo β (extraída de [8]). Figura 8 - Relação entre os módulos da força de atrito e

da força girante (extraída de [8]).

Considera-se agora o exemplo apresentado originalmente em Pauletti [20] e inspecionado também por

Deifeld [8] e Pauletti [19], no qual se modela o comportamento de um único elemento de cabo, com

escorregamento não-ideal, conforme o esquema mostrado na Figura 9. Os nós de extremidade do elemento

são fixos. O nó intermediário –ou “nó de polia”– está inicialmente localizado no ponto médio do cabo. Os

trechos, de comprimento 2m , formam entre si um ângulo inicial 090=rγ . O cabo tem 92 10EA N= ⋅ .

São considerados dois coeficientes de atrito, a saber 0µ = e 0,25µ = . Inicialmente traciona-se o cabo

por meio de uma força vertical 51 10ZF N= ⋅ , agindo sobre o nó de polia, na direção da bissetriz do ângulo

interno rγ . Em seguida aplica-se uma força horizontal (normal à bissetriz de rγ ), de intensidade crescente,

50 1 10XF N≤ ≤ ⋅ .

Figura 9 – Configuração inicial.

A Figura 10 (a) mostra, para ambos coeficientes de atrito, as configurações de equilíbrio e as trajetórias do

nó central. As configurações de equilíbrio correspondem aos valores extremos de YF e as trajetórias do nó

central consideram a variação de YF ao longo do intervalo indicado. Desprezando-se a deformação elástica

do cabo, o nó intermediário descreve, ao crescer YF , um arco de uma elipse, cujos focos são as duas

extremidades fixas do cabo. Observa-se que os deslocamentos são menores para o caso com atrito.


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(a) (b)

Figura 10 – (a) configurações deformadas do elemento de cabo do primeiro exemplo, para 0µ = e 0,15µ = ; (b)

relações entre YF e o deslocamento horizontal do nó de polia, para diversos valores de µ (extraída de [19].

A Figura 10 (b), por sua vez, mostra o valor do deslocamento lateral do nó de polia ao crescer de YF , para

os dois coeficientes de atrito. Para o caso com atrito, a partir de um certo valor da força lateral, esgota-se a

capacidade do cabo de equilibrar YF por meio do atrito, de modo que o cabo deve re-arranjar-se em uma

nova configuração de equilíbrio.

Desprezando-se a deformação do cabo, é fácil determinar analiticamente o valor da força lateral no limiar do

escorregamento. A relação entre YF e XF é dada pela equação (3).

( )( ) YX FeeTANF

11

2 +−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= µβ

µββπ (3)

A validade da implementação computacional do elemento é corroborada pela coincidência dos valores

obtidos através da equação (3) com valores resultantes da análise numérica (Tabela 1).

Tabela 1 – Valores de XF no limiar do escorregamento, para diferentes coeficiente de atrito. µ 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 ( )kNXF 0 7,850 15,676 23,454 31,160 38,773 46,271

2.3 Modelagem a uma viga protendida

Os elementos apresentados acima são combinados para a modelagem do comportamento de uma viga

protendida com cabos não aderentes. A geometria e os carregamentos estão definidos na Figura 11. O

cabo de protensão tem área da seção transversal 2410.0,5 mA −= , módulo de elasticidade longitudinal

GPaE 210= e traçado simétrico em relação ao plano transversal que divide a igualmente viga. A viga tem

seção transversal de 2 50,030,0 mx , módulo de elasticidade GPaE 0,3= e módulo de elasticidade

transversal GPaE 25,1= . A intensidade da força de protensão pF é de kN 10.3,1 3 . As força externa F e

carga uniformemente distribuída q têm intensidades de kN 100 e mkN 5,1 , respectivamente.

Consideram-se dois diferentes valores para o coeficiente de atrito: 0,0=µ e 25,0=µ .


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Figura 11 - geometria e carregamentos da viga protendida

Quatro casos de carregamentos (ver Figura 11) foram aplicadas à viga: (i) protensão no cabo; (ii) primeiro

carregamento: protensão no cabo, combinada com carga uniformemente distribuída e todas as cargas

concentradas; (iii) segundo carregamento: protensão no cabo, combinada com carga uniformemente

distribuída e cargas concentradas aplicadas apenas no segundo vão; e (iv) terceiro carregamento:

protensão no cabo, combinada com carga uniformemente distribuída e cargas concentradas aplicadas

apenas no primeiro vão.

Foram analisadas três malhas de elementos finitos, conforme o arranjo esquematizado na Figura 1. O grau

de refinamento da malha foi considerado aceitável quando os incrementos dos deslocamentos tornaram-se

insignificantes, para refinamentos maiores. Apresentam-se aqui os resultados obtidos com a malha mais

refinada, na qual foram usados 34 elementos de viga, 33 elementos de cabo, 31 elementos rígidos, um

dispositivo de protensão e 99 nós. A extremidade direita do cabo foi ancorada na viga, enquanto que a outra

foi conectada ao dispositivo de protensão. O elemento conectado ao dispositivo de protensão tem

coeficiente de atrito 0=µ .

As Figura 12 e Figura 13 representam os deslocamentos verticais do eixo da viga obtidos sem e com atrito,

respectivamente. Algumas conclusões podem ser obtidas, para cda um dos carregamentos, analisando-se

estas figuras:

Protensão: A deformada da viga, em ambos os trechos, tem concavidade voltada para baixo. Observa-se,

também, que a simetria dos deslocamentos que ocorre no caso sem atrito não é verificada quando o atrito é

considerado. Os deslocamentos da Figura 13 são menores no segundo trecho, pois o atrito causa perdas

na força de protensão ao longo do cabo.


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Figura 12 - Deslocamentos verticais do eixo da viga, sem a consideração do atrito

Figura 13 - Deslocamentos verticais do eixo da viga, considerando-se o atrito

Primeiro carregamento: A deformada da viga tem concavidade voltada para cima. No caso em que o atrito é

considerado, os deslocamentos no segundo trecho são maiores, pois neste trecho a protensão foi menor.

Segundo carregamento: A deformada da viga tem concavidade voltada para baixo no primeiro trecho e para

cima no segundo. A diferença entre os deslocamentos no primeiro trecho ao considerar-se ou não o atrito

são insignificantes. No entando, observa-se que os deslocamentos são maiores no segundo trecho quando

o atrito for considerado.

Terceiro carregamento: A deformada da viga tem concavidade voltada para cima no primeiro trecho e para

baixo no segundo. Assim com no caso do segundo carregamento, a diferença entre os deslocamentos no

primeiro trecho ao considerar-se ou não o atrito é despresível, mas observa-se ligeiramente menores no

segundo trecho quando o atrito for considerado.

Segundo e terceiro carregamentos: Na Figura 12, onde o atrito não é considerado, os deslocamentos que

ocorrem no primeiro trecho da viga quando o segundo carregamento é aplicado são simétricos aos

deslocamentos que ocorrem no segundo trecho quando aplica-se o terceiro carregamento. Analogamente,

os deslocamentos que ocorrem no primeiro trecho quando o segundo terceiro é aplicado são simétricos aos

deslocamentos do segundo trecho quando a viga for submetida ao terceiro carregamento. Este

comportamento não é observado na Figura 13, onde o atrito é considerado.

A análise conjunta dos carregamentos nos indica que, em termos de deformações, os segundo e terceiro

carregamentos causam maiores deflexões na viga, sendo, portanto, os mais críticos.


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Sobre a força de protensão, sabe-se que ela é constante ao longo do cabo quando o efeito do atrito for

desconsiderado e que sua distribuição não é uniforme na presença do atrito. Compara-se, primeiramente,

para o caso sem atrito, os valores da força de protensão em cada caso de carregamento. Tomando-se

como referência a tração do cabo no caso em que somente a protensão for aplicada, observa-se que os

aumentos são de 14,15% para o primeiro e de 7,41% para os segundo e terceiro carregamentos.

Figura 14 - Variação da força de protensão no cabo sem atrito

considerando-se os diferentes casos de carregamento

As Figuras 15 a 18 mostram, para o caso com atrito, os valores da força de protensão ao longo do cabo, em

cada caso de carregamento.

A Figura 15 mostra os valores da tração no cabo quando apenas a protensão for aplicada. A perda

acumulada de protensão ao longo do cabo, em função do atrito, atingiu 12,58%. Este valor foi obtido a partir

da simulação numérica.

Pode-se determinar, numericamente, os acréscimos da força nas ancoragens ativa e passiva, a partir da

aplicação da protensão, para cada um dos carregamentos. Na ancoragem ativa os acrécimos foram de

18,70% para o primeiro, de 7,96% paro o segundo e de 7,82% para o terceiro carregamentos. Na

ancoragem passiva, o aumento da força de protensão foi de 13,03% para o primeiro, 9,13% para o segundo

e 11,02% para o terceiro carregamentos.

Ao comparar-se as Figuras 17 e 18 com a Figura 15, observa-se a influência do carregamento vertical na

distribuição das tensões para o segundo e terceiro casos de carregamento. Para os dois casos, a maior

variação da tensão no cabo ocorre no trecho mais carregado da viga.

Figura 15 - Força de protensão ao longo do cabo quando a força de protensão é aplicada


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Figura 16 - Força de protensão ao longo do cabo quando o carregamento 1 é aplicado



3 Considerações finais

Foi apresentada neste trabalho uma proposta para a modelagem numérica da protensão sem aderência,

com ênfase em vigas protendidas. A proposta baseia-se na combinação de diferentes tipos de elementos

finitos para a modelagem do concreto, dos cabos de protensão e dos dispositivos de protensão e

ancoragem. Alguns destes elementos, disponíveis no programa PEFSYS, não são usualmente encontrados

em programas generalistas de análise estrutural por meio do método dos elementos finitos. É o caso dos

elementos de cabo escorregando em presença de atrito e do dispositivo de aplicação da força de protensão

e ancoragem.

Para os casos elaborados com o intuito de explorar as características desses elementos, os resultados

obtidos confirmaram os comportamentos esperados, mesmo em situações de grande não-linearidade

geométrica.


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Os resultados obtidos com o dispositivo de protensão indicam o comportamento satisfatório deste elemento.

No entanto, sua formulação pode ser melhorada, incorporando-se o efeito da acomodação das cunhas de

ancoragem, a qual provoca a perda de protensão ao longo do comprimento do cabo, efeito que pode ser

muito significativo no comportamento de algumas estruturas.

Os resultados obtidos na simulação numérica da viga protendida hiperestática de dois vãos mostraram-se

satisfatórios. Percebeu-se a exigência de um esforço computacional maior para a solução de casos com

atrito. Este esforço adicional corresponde a um número maior de iterações do método de Newton

necessárias à convergência da solução do problema.

A utilização dos elementos de cabo escorregando permite a determinação das tensões atuantes ao longo

do cabo, vantagem considerável em termos de projeto, uma vez que a determinação analítica dessas

tensões oferece uma série de complicações, decorrentes da não-compatibilidade de deformações, seção a

seção, entre o cabo e a estrutura. No entanto, a formulação do elemento de cabo com atrito não leva em

conta os efeitos relativos às curvaturas acidentais que porventura ocorram no traçado do cabo de

protensão. Os resultados obtidos com o uso deste elemento podem ser melhorados se estes efeitos forem

considerados, possivelmente por meio do aperfeiçoamento da lei de atrito adotada.

Outros aspectos não abordados neste trabalhos devem ainda ser considerados para que a simulação

numérica represente de forma realista o comportamento de uma estrutura protendida sem aderência.

Dentre estes aspectos destacamos: (i) formulações de material que incorporem os efeitos de fluência,

retração (concreto) e relaxação (aço), para que as perdas progressivas de protensão possam ser

incorporadas; e (ii) inclusão dos efeitos da plasticidade e da fissuração dos materiais empregados, para que

a estrutura possa ser analisada no estado limite último.

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