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Carlos Alexandre Mello – [email protected] 1

Modelagem no Domínio da Frequência

Carlos Alexandre Mello

2Carlos Alexandre Mello – [email protected]

Transformada de Laplace

� O que são Transformadas?

� Quais as mais comuns:� Laplace

� Fourier

� Cosseno

� Wavelet

� .....



� A transf. de Laplace representa entrada, saída e sistema como entidades separadas

� A relação entre elas é algébrica

� Transformada de Laplace:

� onde s = σ + jω é uma variável complexa

� F(s) é dita a transformada de Laplace de f(t)



� O limite inferior da integral anterior significa que mesmo que f(t) seja descontínua em t = 0, podemos começar a integração apesar da descontinuidade, contanto que a integral convirja

� Podemos assim encontrar a transf. de Laplace da função impulso

� Transformada Inversa de Laplace

onde:



� Em geral, o cálculo da transformada inversa é bastante custoso, pois envolve o cálculo de integrais complexas

� Mas o conjunto de funções importantes para a área de controle é pequeno, permitindo o uso de tabelas que fazem o mapeamento dessas funções e de suas transformadas

� Vamos ver, a seguir, o cálculo de algumas transformadas mais comuns:



� Algumas transformadas conhecidas



� Propriedades



� Exemplo 1:



� Exemplo 2: Transformada Inversa

� Pelo teorema do deslocamento em frequência e pela transformada de Laplace de f(t) = t.u(t):

� Se: F(s) = 1/s2 → f(t) = t.u(t)

� e: F(s + a) = 1/(s + a)2 → f(t) = e-att.u(t)

� Então: F1(s) = 1/(s + 3)2 → f(t) = e-3tt.u(t)



� Transformada Inversa: Expansão em Frações Parciais� Por exemplo, calcule a transformada inversa de:

� Nesse caso, podemos re-escrever a expressão como:

� que, por linearidade, leva à transf. inversa:



� Assim, a Expansão em Frações Parciais é uma ferramenta matemática bastante útil no cálculo da transf. de Laplace

� Objetivo matemático: Simplificar uma função, expandindo-a em funções de menor grau

� Objetivo para controle: Facilitar o cálculo da transf. de Laplace

� Métodos:� Clearing Fractions

� Heaviside Cover-Up (ou Resíduos)



� Expansão em Frações Parciais (Clearing Fractions)� Exemplo:

Fonte: aula de Sinais e Sistemas do prof. Aluízio Ribeiro.



� Expansão em Frações Parciais (Heaviside Cover-Up ou Resíduos)� Exemplo:




� Expansão em Frações Parciais (Uso dos dois métodos)� Exemplo:




� Expansão em Frações Parciais� Caso 1: Raízes do denominador são reais e distintas

� Caso 2: Raízes do denominador são reais e repetidas

� Caso 3: Raízes do denominador são complexas



� Uso de Transf. de Laplace:� Resolução de Equações Diferenciais: Resolva a

seguinte equação diferencial para y(t) com todas as condições iniciais nulas

� A transformada de Laplace para y(t) é:

� que leva a:



� Uso de Transf. de Laplace:� Resolução de Equações Diferenciais (cont):

� Por expansão em frações parciais:

ou



� Expansão em Frações Parciais – MatLab� Exemplo:

-4s + 8

s2 + 6s + 8

r1

s - p1

= + + ... + + ksr2

s - p2

rn

s - pn



� Expansão em Frações Parciais – MatLab� Exemplo (cont): Volta ao polinômio original

s2 + 6s + 8

-4s + 8


Função de Transferência

� A função de transferência retrata a relação entre a saída e a entrada de um sistema

� Tal relação pode ser expressa em função da transf. de Laplace

� Geralmente, as funções de entrada e saída se relacionam através de uma equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:

onde y(t) é a saída e x(t) é a entrada do sistema



� Dada a equação diferencial linear e invariante no tempo de n-ésima ordem:

� Calculando a transf. de Laplace:

� Se as condições iniciais forem nulas:

� Ou seja:

G(s) é a Função de Transferência



� Função de Transferência como diagrama de bloco:

� E podemos encontrar a saída de um sistema dada a entrada e sua função de transferência:� Y(s) = G(s).X(s)

X(s) Y(s)



� A função de transferência de um sistema é um modelo matemático no sentido que constitui um método operacional de expressar a equação diferencial que relaciona a entrada à saída do sistema

� A função de transferência é uma propriedade intrínseca do sistema, independentemente da magnitude e da natureza do sinal de entrada

� A função de transferência relaciona a entrada à saída, mas não fornece qualquer informação quanto à estrutura física do sistema� diferentes sistemas podem ter a mesma função de

transferência



� Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída pode ser estudada para várias formas de entrada a fim de entender a natureza do sistema

� Se a função de transferência for desconhecida, ela pode ser inferida experimentalmente introduzindo-se sinais de entrada conhecidos e analisando o sinal de saída� Uma vez estabelecida, a função de transferência

fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema



� Quando a entrada é a função impulso, temos:� Y(s) = G(s).X(s)

� X(s) = 1 ⇒ Y(s) = G(s)

� cuja transformada inversa daria g(t)

� Essa é a chamada resposta impulsional do sistema e também sua função de transferência

� Portanto, é possível obter informação completa sobre as características de um sistema excitando-o com um impulso unitário e medindo a sua resposta

� Na prática, seria um pulso de duração bastante curta



� Diagrama de blocos� Representação gráfica das funções desempenhadas por

cada um dos componentes de um sistema e do fluxo de sinais entre eles

� Todas as variáveis são ligadas umas às outras através de blocos funcionais

� O bloco traz a representação matemática da operação aplicada sobre a entrada que leva à saída

� O diagrama de bloco de um sistema não é único



� Diagrama de blocos� Elementos:

G(s)X+ -

X(s) E(s) Y(s)

Ponto de Soma

Ponto de Ramificação

Sistema de malha fechada



� Diagrama de blocos� Outros tipos:

G(s)X+ -

X(s) E(s) Y(s)

H(s)

B(s)

Y(s) = E(s)G(s) = [X(s) – B(s)]G(s) = [X(s) – Y(s)H(s)]G(s)

Y(s) + Y(s)H(s)G(s) = X(s)G(s)

Y(s)/X(s) = G(s)/[1 + H(s)G(s)] (Função de Transferência do sistema)



� Diagrama de blocos� Outros tipos:

G1(s)X+ -

X(s) Y(s)

H(s)

G2(s)X++

PerturbaçãoD(s)

B(s)

Se D(s) = 0:

Y(s)/X(s) = G1(s)G2(s)/[1 + G1(s)G2(s)H(s)] (Função de Transferência do sistema)



� Exemplo 1: Ache a função de transferência do sistema representado por:� dy(t)/dt +2y(t) = x(t)

� Solução: Tomando a transf. de Laplace:

� sY(s) + 2Y(s) = X(s)

� (s + 2)Y(s) = X(s)

� G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)



� Exemplo 2: Dada a função de transferência anterior, ache a resposta do sistema para um degrau unitário; considere nulas as condições iniciais:� x(t) = u(t)

� G(s) = Y(s)/X(s) = 1/(s + 2)

� X(t) = u(t) ⇒ X(s) = 1/s

� Logo: Y(s) = G(s).X(s)

� Y(s) = 1/[s.(s + 2)]

� Y(s) = 0,5/s – 0,5/(s + 2)� Expansão em Frações Parciais

� y(t) = 0,5 – 0,5e-2t



� Exemplo 2 (cont.):� Solução total pelo MatLab



� Exercício 1: Ache a função de transferência da equação diferencial:

� Solução: Tomando a transf. de Laplace:� Y(s)(s3 + 3s2 + 7s + 5) = X(s)(s2 + 4s + 3)

� Logo:� G(s) = Y(s)/X(s) = (s2 + 4s + 3)/(s3 + 3s2 + 7s + 5)



� Exercício 2: Ache a equação diferencial correspondente à seguinte função de transferência:� G(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)

� Solução:� G(s) = Y(s)/X(s) = (2s + 1)/(s2 + 6s + 2)

� Logo:� Y(s)(s2 + 6s + 2) = X(s)(2s + 1)

� s2Y(s) + 6sY(s) + 2Y(s) = 2sX(s) + X(s)

� ⇒ d2y/dt2 + 6dy/dt + 2y = 2dx/dt + x



� Exercício 3: Ache a resposta a uma rampa para um sistema cuja função de transferência é:� G(s) = s/[(s + 4)(s + 8)]

� Solução:

Logo:


Função de Transferência de Circuitos Elétricos

� Modelagem matemática de circuitos elétricos� Resistores, capacitores e indutores

� Componentes são combinados em circuitos e encontramos a função de transferência



� Rede RLC� Problema: Encontrar a função de transferência que

relaciona a voltagem do capacitor (Vc(s)) com a voltagem de entrada (V(s))



� Rede RLC� Somando as voltagens no laço e considerando nulas as

condições iniciais, temos a seguinte equação diferencial para essa rede:

Considerando:

Temos:



� Rede RLC

A voltagem de um capacitor é dada por:

Temos assim:

Ou seja:

Calculando a Transformada de Laplace:



� Rede RLC

Ou:



� Para simplificar, vamos considerar a transf. de Laplace das equações de voltagem da tabela anterior (assumindo nulas as condições iniciais):� Capacitor:

� Resistor:

� Indutor:

� Definimos, assim, a seguinte função de transferência:

Impedância



� Rede RLC:

� Podemos entender Z(s) como a soma das impedâncias e V(s) como a soma das voltagens. Assim:

� [Soma das Impedâncias].I(s) = [Soma das Voltagens]

Circuito

transformado



� Rede RLC:� Resolvendo o problema anterior usando impedâncias:

� Temos:

� Logo:

� Como:

� Assim:



� Rede RLC:� Ou:

Como encontrado anteriormente....



� Análise de Malha� Substitua elementos passivos por funções de

impedância

� Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace

� Assuma uma corrente transformada e uma direção de corrente em cada malha

� Aplique a lei de Kirchhoff para cada malha

� Resolva as equações simultâneas para a saída

� Forme a função de transferência



� Análise de Malha� Exemplo:

Malha 1 Malha 2

G(s) = I2(s)/V(s) = ?



� Análise de Malha� Exemplo (cont.): Passo 1: Impedâncias

Malha 1 Malha 2

Malha 1:

Malha 2:



� Análise de Malha� Exemplo (cont.): Temos:

� De (2):

� Substituindo em (1):



� Análise de Malha� Exemplo (cont.): Ou:



� Análise de Malha� Exemplo (cont.): Observe que as equações paras as

malhas 1 e 2 seguiram um mesmo padrão usado anteriormente. Ou seja:

Malha 1: I1(s) - I2(s) = Soma das

Impedâncias

da Malha 1

Soma das

Impedâncias

comuns

Soma das

Voltagens da

Malha 1

Malha 2: − I1(s) + I2(s) = Soma das

Impedâncias

comuns

Soma das

Impedâncias

da Malha 2

Soma das

Voltagens da

Malha 2



� Análise de Nós:� Exemplo: Encontrar a função de transferência Vc(s)/V(s)

para o circuito abaixo, usando análise de nós:

� Nesse caso, usamos a soma das correntes nos nós ao invés da soma das voltagens nas malhas



� Análise de Nós:� Exemplo (cont.): Da figura anterior, as somas das

correntes nos nós VL(s) e VC(s) são, respectivamente:

� Expressando as resistências em termos de condutância� G1 = 1/R1 e G2 = 1/R2



� Análise de Nós:� Exemplo (cont.): Assim:



� Análise de Nós:� Substitua elementos passivos por funções de admitância

� Y(s) = 1/Z(s) = I(s)/V(s) (admitância = inverso da impedância)

� Substitua fontes e variáveis de tempo por suas transf. de Laplace

� Substitua as fontes de voltagem transformadas por fontes de corrente transformadas

� Aplique a lei de Kirchhoff para cada nó

� Resolva as equações simultâneas para a saída

� Forme a função de transferência



� Análise de Nós: Exemplo (cont.):� Como antes, também temos um padrão:

Nó 1: VL(s) - VC(s) =

Soma das

Admitâncias

conectadas

no Nó 1

Soma das

Admitâncias

comuns aos

Nós

Soma das

Correntes

aplicadas no

Nó 1

Nó 2: − VL(s) + VC(s) =

Soma das

Admitâncias

comuns aos

Nós

Soma das

Admitâncias

conectadas

ao Nó 2

Soma das

Correntes

aplicadas no

Nó 2



� Exemplo:

Malha 1 Malha 2

Malha 3



� Exemplo (cont.):

Malha 1:

Malha 2:

Malha 3:

Soma das

Impedâncias

na Malha 1

I1(s) - I2(s) - I3(s) =

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 2

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 3

Soma das

voltagens

aplicadas à

Malha 1

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 2

- I1(s) + I2(s) - I3(s) = Soma das

Impedâncias

na Malha 2

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 2 e 3

Soma das

voltagens

aplicadas à

Malha 2

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 1 e 3

- I1(s) - I2(s) + I3(s) =

Soma das

Impedâncias

comuns às

Malhas 2 e 3

Soma das

Impedâncias

na Malha 3

Soma das

voltagens

aplicadas à

Malha 3



� Exemplo (cont.):� Malha 1: (2s + 2)I1(s) – (2s + 1)I2(s) – I3(s) = V(s)

� Malha 2: -(2s + 1)I1(s) + (9s + 1)I2(s) – 4sI3(s) = 0

� Malha 3: -I1(s) – 4sI2(s) + (4s + 1 + 1/s)I3(s) = 0

� As 3 equações devem ser resolvidas simultaneamente para encontrarmos as funções de transferência desejadas (como I3(s)/V(s), por exemplo)



� Exemplo (cont.):(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V (1)

-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0 (2)

-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0 (3)

De (3):

I1 = -4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 (4)

Substituindo (4) em (2):

(2s + 1)[4sI2 - (4s + 1 + 1/s)I3] + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0

I2 = -I3(8s2 + 10s + 3 + 1/s)/(8s2 + 13s + 1) (5)

Substituindo (5) em (4), achamos I1 em função apenas de I3. Assim, temos em (1), I1 e I2 em função de I3 e podemos isolar I3 e calcular a função de transferência I3/V.



� Exemplo (cont.): No MatLab(2s + 2)I1 – (2s + 1)I2 – I3 = V

-(2s + 1)I1 + (9s + 1)I2 – 4sI3 = 0

-I1 – 4sI2 + (4s + 1 + 1/s)I3 = 0

MatLab Symbolic Toolbox


� Amplificador Operacional

� Os amplificadores operacionais são amplificadores de

acoplamento direto, de alto ganho, que usam

realimentação para controle de suas características




Amplificador

operacional

Amplificador

operacional

inversor

Amplificador

operacional

como função

de transferência




� Características:

� Entrada diferencial: v2(t) – v1(t)

� Alta impedância de entrada: Zi → ∞ (ideal)

� Baixa impedância de saída: Zo → 0 (ideal)

� Alta constante de ganho de amplificação: A → ∞ (ideal)

� A saída é dada por: vo(t) = A(v2(t) – v1(t))



� Amplificador Operacional Inversor� Se v2(t) está aterrado, o amplificador é chamado de

inversor porque passamos a ter: vo(t) = -Av1(t)

� Na configuração da figura c anterior, a função de transferência do amplificador operacional inversor é:



� Exemplo: Ache a função de transferência Vo(s)/Vi(s) para o circuito abaixo:



� Exemplo (cont.):� Como a admitância de componentes paralelos se

somam, Z1(s) é o inverso da soma das admitâncias ou:

� Para Z2(s) as impedâncias se somam:

� Assim:

Compensador PID



� Amplificador Operacional Não Inversor



� Amplificador Operacional Não Inversor: Exemplo:� Ache Vo(s)/Vi(s)



Exercícios Sugeridos (Nise)

� Cap. 2, Problemas:

� 1, 2, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20a

� No MatLab:

� 5, 6, 14, 20b


A Seguir....

� Modelagem no Domínio do Tempo

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