Modelagem Geométrica Parametrizada da Cadeira Folha1

Modelagem GeométricaParametrizada da Cadeira FolhaResumo

O principal objetivo desse artigo é a definição de um modelo matemático para a Cadeira Folha, que éformada por finas chapas planas de madeira que são costuradas entre si e auto-tensionadas. Para aobtenção do modelo matemático são utilizadas técnicas de modelagem geométrica e computação gráfi-ca. Vários parâmetros foram definidos para a Cadeira Folha, por exemplo: a largura, a altura, a inclinação,etc. A metodologia adotada consiste em obter modelos planares com medidas precisas para superfíciestridimensionais complexas. Aplicações dessa metodologia no Design são, também, discutidas.

Abstract

The main objective of this paper is the definition of a mathematical model for the Sheet Chair, which isformed by two self-tensioned plane sheet of wood. Geometric modeling techniques has been used tocreate the chair three-dimensional mathematical model. Several parameters has been defined for thischair, as for example: seat high, seat length, seat disposition, base width, etc. The methodology adoptedin this work consists in the construction of a precise planar models for tridimensional surfaces. Applicationsof this methodology to Design are also discussed.

1. Introdução

Este trabalho é sobre um resultado concreto da interdisciplinaridade do design com amatemática. O seu principal objetivo é a definição de um modelo matemático ecomputacional da Cadeira Folha. A Cadeira Folha, projetada por J. L. M. Ripper, recebeu o“PRÊMIO NACIONAL MADEIRAS DA AMAZÔNIA, MÓVEIS E DESIGN”, LPF/IBAMA -(Laboratório de Produtos Florestais/IBAMA) em 1999 e trata-se de uma cadeira que éconstruída a partir de finas chapas planas de madeira costuradas entre si e auto-tensionadas(figura 1). As chapas costuradas formam a princípio duas esteiras: uma relativa à base e,outra, ao assento da cadeira. As esteiras, ao se curvarem, definem superfícies cônicasfacetadas que se estabilizam por meio de cabos tensionados. Finalmente, a cadeira éformada pela fixação base-assento também através de cabos tensores. Na época da criaçãoda cadeira não havia sido definido o modelo matemático e a principal dificuldade encontradafoi a obtenção das medidas de cada uma das arestas que formam a base e consequentementea forma da esteira relativa a base.

Técnicas de modelagem geométrica (Hoffmann, 1989),(Mäntylä, 1988) são utilizadas a fimde criar um modelo matemático tridimensional para essa cadeira. Para esse modelo sãodefinidos parâmetros tanto para a base quanto para o assento, tais como: altura, largura,inclinação, etc. Através desse modelo matemático calcula-se a interseção da superfície dabase com a superfície do assento. Após esse cálculo, as superfícies discretizadas sãoplanificadas de uma forma precisa que permitirá a montagem da cadeira. Uma das vantagensde se estabelecer um modelo paramétrico é que através dele viabiliza-se a construção deobjetos com uma forma básica pré-definida mas adequados às necessidades do usuário(Shah, 1995). Por exemplo, variando-se a inclinação pode-se visualizar no computador acriação de uma cadeira mais ativa ou passiva.

Esse artigo é organizado em cinco seções. A segunda seção apresenta alguns conceitosbásicos de topologia combinatória. A terceira seção fornece o modelo matemático dabase e do assento. Finalmente, na quarta seção são sugeridos trabalhos futuros e sãofeitas algumas conclusões.

2. Conceitos básicos

Nessa seção serão apresentados alguns conceitos básicos de topologia combinatória.Hoffmann, em seu livro (Hoffmann, 1989), apresenta uma boa introdução para essa área.

Uma superfície combinatória com ou sem bordo é uma coleção de vértices, arestase faces poligonais que satisfaz as seguintes propriedades:

P1) Cada aresta é compartilhada por uma ou duas faces.

P2) A estrela aberta de um vértice é homeomorfa a uma bola aberta de dimensão 2.

Onde: a estrela de um vértice é a união de faces e arestas que contém esse vértice. O laço deum vértice v é o conjunto de arestas que estão na estrela de v que não possuem v como vértice.

J. L. M. RipperPontifícia Universidade Católicado Rio de JaneiroDepartamento de Artes e Design

H. Lopeshelio@mat.puc-rio.brPontifícia Universidade Católicado Rio de JaneiroDepartamento de MatemáticaLaboratório MatMídia

C. A. Ferreiracris@mat.puc-rio.brPontifícia Universidade Católicado Rio de JaneiroDepartamento de MatemáticaLaboratório MatMídia

Modelagem Geométrica Parametrizada da Cadeira Folha2

A estrela aberta de um vértice v é a diferença entre a estrela e o laço de um vertice v. Umconjunto U é dito ser homeomorfo a outro conjunto V se existe uma função contínua inversívelque transforma U em V. Uma bola aberta de dimensão 2 centrada na origem e de raio 1 é oconjunto de pontos do plano que distam da origem menos que um.

A aresta de uma superfície que é incidente a uma só face é chamada de aresta de bordo. Osvértices de uma aresta de bordo são chamados de vértices de bordo. O bordo de umasuperfície é a união de seus vértices e arestas de bordo. Os vértices e arestas que não sãodo bordo são chamados de vértices e arestas do interior.

Todos CADs possuem como núcleo principal uma representação para os objetos queserão modelados. Essa representação, são específicas para a finalidade de cada um dessessistemas. O maioria dos CADs profissionais estão interessados na modelagem de sólidos.A representação mais conhecida é a Boundary Representation (B-Rep), na qual um sólido édescrito por uma superfície sem bordo limitada e fechada no R3.

Lopes, em (Lopes, 1996), desenvolveu uma estrutura de dados topológica, chamada Handle-Edge, para representar superfícies com bordo. Nesse trabalho, foram definidos operadorestopológicos para a construção e desconstrução de superfícies. A ferramenta matemáticausada nesse trabalho é a teoria de Morse. A principal característica desse trabalho é quecom esse operadores e a estrutura de dados é possível construir qualquer superfíciecriando individualmente suas faces e “costurando-as” através da identificação de pares dearestas de bordo. Com a identificação, as duas arestas de bordo são transformadas emarestas do interior. Da mesma forma, as superfícies podem ser desconstruídas “abrindo”arestas do interior e transformando cada uma em duas arestas de bordo.

Com a estrutura Handle-Edge e seus operadores, Lopes também desenvolveu um algoritmo(Lopes, 1996) que determina como “cortar” uma superfície ao longo de curvas a fim deplanificá-la. Uma simplificação desse algoritmo será utilizada nesse trabalho.

3. A modelagem parametrizada da Cadeira Folha

Nessa seção será apresentada a metodologia utilizada na modelagem da Cadeira Folha.

A Cadeira Folha é formada pela base e pelo assento. O primeiro passo para a sua modelagemfoi a escolha da formas geométricas adequadas. Para a base da cadeira utilizamos em suamodelagem um cone reto e para o assento um cone comum. Uma vez definidas as formas,o segundo passo foi a escolha dos parâmetros dessas formas a fim de que fosse possívelgerar modelos variados de cadeiras com a simples escolha interativa desses parâmetros.

Os parâmetros do cone reto para a base da Cadeira Folha são:

a)O raio do círculo da base do cone.

b)O ângulo oposto ao ângulo reto.

c)O número de faces na discretização.

Os parâmetros do cone relativo ao assento da Cadeira Folha são:

a)O raio do círculo que gera o cone.

b)O ângulo de abertura do cone que define o assento.

c)O número de face na discretização.

Existem também os parâmetros que relacionam a base ao assento, que são:

figura 1 - Visualização da Cadeira Folha.

Modelagem Geométrica Parametrizada da Cadeira Folha3

a)A inclinação do assento em relação a base.

b)O posicionamento (deslocamento) do assento em relação à base.

A figura a seguir (figura 2) ilustra a especificação desses parâmetros.

Essa variação de modelos através da escolha dos parâmetros permite a criação de cadeiraspersonalizadas que se adquam às características e necessidades do usuário.

O terceiro passo foi o cálculo da interseção do cone reto (representando a base) com ooutro cone (representando o assento). Para isso ambas as superfícies foram discretizadase para cada de suas faces foi calculada a interseção.

Com a curva de interseção em ambas as superfícies foi possível recortar o cone reto paraobter precisamente a parte que é a base da Cadeira Folha. E com a curva inscrita noassento fica mais fácil conectar a base ao assento.

A obtenção das medidas precisas das arestas do pedaço do cone reto que serve como abase da cadeira foi a principal dificuldade de seu projetista porque era feita de maneiraartesanal. Consequentemente, havia muita imprecisão no encaixe do assento com a base.

O quarto passo foi a planificação das superfícies (figura 3). Para a base foi escolhida a arestado vértice referente ao ângulo reto do cone como a guia para a planificação. O algoritmo“deita” no plano cada uma de suas faces seqüencialmente. Essa seqüência é definida pelaadjacência entre as faces. Já o cone relativo ao assento, por definição, já foi construídoatravés de sua forma planificada, isto é, o seu modelo 3D já foi representado à partir desua forma planar.

Finalmente, esses modelos planaras são impressos para servir como molde ou podem serenviados diretamente para máquinas de corte de chapas. Havendo mais um problema a serconsiderado: a espessura da chapa. Esse problema pode não muito fácil de ser resolvidoem formas muito complexas. Porém no caso da Cadeira Folha, a espessura da chapa émuito fina e um bom resultado foi obtido adicionando a espessura ao raio da base.

4. Conclusões

A metodologia utilizada nesse trabalho possui como principal característica a obtençãode modelos planares de superfícies tridimensionais. Essa metodologia abre um novocaminho para a produção de objetos com formas complexas que para serem construídasnecessitam de medidas numéricas precisas. Na produção automatizada, a máquina decortes recebe do computador os dados precisos dos modelos planares. Na produçãoartesanal a construção da peça é feita à partir de moldes impressos dos modelos planaresem escala real.

Pretendemos continuar trabalhando na criação de um sistema CAD que incorpore aplanificação de superfícies como uma ferramenta prática para o DESIGN. Sob o ponto devista matemático, existe o problema de qual a melhor maneira de planificar a superfície afim de economizar o material da chapa em que será feito o corte.

Referências

1.C. M. Hoffmann (1989), Geometric andSolid Modeling, Morgan Kaufmann.

2.M. Mäntylä (1988), Introduction to SolidModeling, Computer Science Press.

3.J. J. Shah, M. Mäntylä (1995), Parametricand Feature-Based CAD/CAM: Concepts,Techniques and Applications, Wiley-Interscience.

4.H. Lopes (1996), “Algoritmos paraconstrução e desconstrução devariedades de dimensão 2 e 3” , Tese deDoutorado, Departamento deMatemática, PUC-Rio.

figura 2 - Parâmetros de construção da Cadeira Folha.figura 3 - a) Modelo planar do assento com a curva deinterseção e b) Modelo planar da base da Cadeira folha.