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MODELAGEM E CONTROLE ADAPTATIVO ROBUSTO DE UM SISTEMA DENANOPOSICIONAMENTO

ALEXANDRE S. SOARES∗, IGOR F. ALBUQUERQUE∗, JOSÉPAULO V. S. DA CUNHA†, L IU HSU∗

∗Programa de Engenharia ElétricaCOPPE/UFRJ, Cx.P. 68504 — 21945-970

Rio de Janeiro, RJ, Brasil

†Departamento de Eletrônica e Telecomunicações — Faculdade de EngenhariaUniversidade do Estado do Rio de Janeiro — Rua São Francisco Xavier, 524, sala 5001E — 20559-900

Emails: [email protected], [email protected], [email protected],

[email protected]

Abstract— The development of a position controller for piezoelectric actuators capable of performing movements in thenanometer range with high resolution and wide bandwidth is described. Applications in various areas such as medicine, optics,precision mechanics, microelectronics and atomic force microscopy are foreseen. Precise control of these actuators is hampered byresonant modes, hysteresis, the creep phenomenon and delays caused by the piezoelectric actuator’s motion command and positionmeasurement electronic circuits. To overcome these difficulties a robust adaptive control strategy was developed. This controllerwas able to perform precise tracking of relatively high frequency reference trajectories, as verified by experiments. To enable theimplementation and tuning of the controller by realistic simulation, dynamic modeling and identification of the nanopositioningsystem was performed. The dynamic model includes various linear and nonlinear phenomena, in accordance with experiments.

Keywords— Nanopositioning, Adaptive control, Dynamic modeling, Hysteresis, Parametric projection.

Resumo— Descreve-se o desenvolvimento de um controlador de posição para atuadores piezoelétricos capaz de realizar movi-mentos em escala nanométrica com alta resolução e ampla banda passante. Tem-se em vista, sua aplicação em diversas áreas, taiscomo medicina, óptica, mecânica de precisão, microeletrônica e microscopia de força atômica. O controle preciso desses atuadoresé dificultado por modos ressonantes, histerese, o fenômeno decreepe atrasos causados pelos circuitos eletrônicos de comando demovimento e de medição de posição o atuador piezoelétrico. Para superar essas dificuldades foi desenvolvida uma estratégia decontrole adaptativo robusto. Esse controlador foi capaz de realizar o rastreamento preciso de trajetórias de referência com frequên-cias relativamente altas, o que foi verificado por experimentos. Para possibilitar a implementação e a sintonia do controlador pormeio de simulação realista, foi realizada a modelagem e a identificação da dinâmica do sistema de nanoposicionamento. O modelodinâmico utilizado inclui diversos fenômenos lineares e não-lineares, em conformidade com experimentos.

Palavras-chave— Nanoposicionamento, Controle adaptativo, Modelagem dinâmica, Histerese, Projeção paramétrica.

1 Introdução

Para alcançar a precisão e a acurácia exigidas na ope-ração de equipamentos com atuação em dimensão atô-mica são utilizados nanoposicionadores normalmenteacionados por atuadores piezoelétricos, por exemplonum microscópio de força atômica (atomic force mi-crocope— AFM). Esses sistemas são mecanicamenteprojetados para atingir um controle ultrapreciso demovimento e são empregados principalmente em mi-croscopia e nanofabricação. Os principais objetivosdo controle de posição do nanoatuador são a altabanda passante, resposta rápida, alta resolução e es-tabilidade, a fim de garantir a exatidão e a repetibi-lidade de operação em escala nanométrica (Devasiaet al., 2007).

O nanoposicionamento possui uma vasta gama deaplicações, dentre as quais destacam-se: tecnologia desemicondutores, biotecnologia, microscopia, automa-ção, instrumentação, aeronáutica, processamento deimagens, astronomia, óptica adaptativa, metrologia,sistemas a laser, usinagem de precisão, torneamentode diamantes, óptica integrada, fotônica, telecomuni-cações e nanorobótica (Devasia et al., 2007).

A motivação para a implementação estratégias decontrole adaptativo advém das incertezas dos mode-los dinâmicos dos nanoposicionadores, que podem ser

não-lineares e variantes no tempo (Moheimani andEleftheriou, 2013). Altas velocidades de rastreamentosão pré-requisito para o posicionamento de uma sondano planoXY para a geração de imagens com o AFM.Nesse equipamento, o substrato da amostra é mape-ado por uma sonda que se movimenta no eixoZ, cujocontrole não é tratado neste artigo. AFMs disponíveiscomercialmente geram um quadro de imagem por se-gundo, contudo o objetivo estudado no estado da arteem nanoposicionamento é a obtenção de taxas de ge-ração de quadros compatíveis com as de vídeo (mini-mamente 24 quadros por segundo). Essa aplicação émotivada principalmente pelo estudo de amostras bio-lógicas cujos processos dinâmicos ocorrem com cons-tantes de tempo de milisegundos. Por essa razão, nesteartigo são previstos os seguimentos de trajetórias comfrequência de até 200 Hz. Cabe ressaltar que paracompatibilizar as varreduras de AFMs para a aplica-ção em geração de vídeo serão também necessáriasinovações mecânicas em seu projeto. Os sinais de re-ferência utilizados são senoidais e se encontram in-seridos no contexto de controle dos eixos de um na-noposicionador lateral do AFM. A forma senoidal foiescolhida por ser suave e possuir derivadas suaves, oque facilita o rastreamento. Tal proposta é adotada emdois tipos de escaneamento de amostras, o ciclóide e

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

2778

o Lissajous. Na primeira modalidade de rastreamento,um dos eixos do nanoposicionador lateral (Y) rastreiauma trajetória senoidal de referência e o outro eixo (X)segue uma senóide cuja amplitude cresce linearmentecom o tempo. Já na segunda, ambos os eixos do nano-posicionador lateral rastreiam trajetórias senoidais dereferência (Tuma et al., 2013).

Este artigo trata da implementação de um contro-lador adaptativo robusto, comparando o seu desem-penho com o PI (proporcional e integral) para ope-rações rápidas e precisas. As métricas utilizadas nacomparação entre as estratégias citadas possuem comobase os erros de rastreamento experimentais obtidos,sem o acoplamento de carga ao piezoelétrico. A pro-posta deste trabalho é avaliar as melhorias advindas doemprego de um algoritmo de controle avançado (e.g.,controle adaptativo, controle robusto), na presença dedinâmicas não lineares como a histerese e o creep, quecontribuem para a degradação do desempenho do sis-tema. Para isto, outro objetivo é realizar a modelagemda dinâmica de um sistema de nanoposicionamento,tendo-se em vista o projeto e a simulação do sistemade controle.

2 Configuração Experimental

O sistema experimental utilizado neste trabalho con-siste de um atuador piezoelétrico daPhysik Instru-menteP-753.1CD, um amplificador de potência domesmo fabricante E-665.CR, uma placa de aquisiçãode dados daQuanserQ8 e um microcomputador comprocessador Intel Core 2 Quad, com 3 GB de memó-ria RAM, espaço físico em disco rígido de 300 GB esistema operacional Windows XP. As conexões destesistema são apresentadas na Figura 1.

Microcomputador

Sinal de

ReferênciaControlador

Sistema de Aquisição

de Dados

D / A

A / D

Sistema de

Acionamento do

Nanoposicionador

Filtro Notch

Amplificador

de potência

(x 10)

Nanoatuador

Piezoelétrico

Atuador

Sensor

Capacitivo

Condicionador

de Sinal

r

y

u

Sinal de

Saída

Figura 1: Diagrama de blocos da configuração experi-mental,no qualr é o sinal de referência,u é o sinal decontrole ey é o sinal de saída medido pelo sensor deposição.

Nominalmente, cada 1 V aplicado na entrada doamplificador de potência que aciona o nanoatuador pi-ezoelétrico resulta num deslocamento de 1µm.

3 Modelo Dinâmico

O modelo dinâmico adotado baseia-se em estrutu-rar separadamente os principais fenômenos lineares e

não-lineares envolvidos, estimando os parâmetros re-ferentes a cada parte de maneira independente. Este érepresentado no diagrama de blocos na Figura 2, con-forme apresentado em (176–1987 – IEEE Standard onPiezoelectricity, 1987).

Histerese

Dinâmica

Linear

CreepDistúrbios

Externos

+ ++

Tensão

de Saída:

Proporcional

à Posição

Sinal de

Controle

1/k0

Figura 2: Diagrama de blocos da dinâmica do sistemadenanoposicionamento.

Pode-se observar que a histerese é incluída nomodelo como um distúrbio de entrada dependente dosinal de controle aplicado. A dinâmica linear é iden-tificada por meio de um método de estimação. Já ofenômeno decreep, que será explicado na seção 3.4, éincluído como um distúrbio na saída do sistema.

Os resultados experimentais e de simulação sãocomparados por meio do seguinte indicador de acertodo modelo em relação ao sistema experimental:

Melhor ajuste% =

(1−

‖y− y‖‖y− y‖

)×100%, (1)

em quey é a sequência de saída medida, ˆy é a sequên-cia de saída do modelo simulado e ¯y é a média dosvalores dey. Um indicador de melhor ajuste igual a100% corresponde a um ajuste perfeito, ao passo queo valor de 0% indica que o ajuste desse modelo nãoé melhor que a hipótese de manter a saída constante(y ≡ y) (The Math Works Inc., 2010,System Identifi-cation Toolbox).

3.1 Identificação pela resposta ao degrau

A dinâmica da parte linear do modelo é estimadapela sua resposta ao degrau (Ljung, 1987, p. 142)(Albuquerque et al., 2010). O trem de pulsos re-tangulares empregado na estimação, por ter muitosharmônicos, é capaz de excitar todos os modos na-turais do sistema. Ao se observar a resposta do sis-tema a um degrau (detalhe na Fig. 3), é possível notarque aproxima-se satisfatoriamente da resposta de umsistema de primeira ordem, pois não apresenta sobre-passo e oscilações. O problema de vibração do nanoa-tuador piezoelétrico pode ser resolvido pela utilizaçãode um filtronotch(rejeita faixa) ajustado na faixa dafrequência de ressonância do sistema. O ponto de in-flexão durante o transiente não é considerado, a fim dese manter a simplicidade do processo de modelagem.Em conjunção ao que foi exposto, ainda observa-se


2779

que durante 0,2 ms após a aplicação do degrau, o sis-temanão responde à entrada, fenômeno caracterizadocomo um atraso.

O modelo obtido para a dinâmica linear do sis-tema de nanoposicionamento é representado pela fun-ção de transferência:

Y(s)

U(s)= P(s) =e−0,000238s 1420

s+3815, (2)

naqualY(s) é a transformada de Laplace do sinal detensão que é obtido do sensor de posição,U(s) é atransformada de Laplace do sinal de tensão que é apli-cado na entrada do amplificador de potência que aci-ona o atuador piezoelétrico es é a variável complexade Laplace.

A função de transferênciaP(s)pode ser realizadapela equação de estado:

y(t) = apy(t)+bpu(t − τ) , t ≥ t0 , (3)

associada à função de estado inicial da entrada:

u(t) = Ψu(t) , t0− τ ≤ t ≤ t0 , (4)

na qual a funçãoΨu é contínua no intervalo[t0− τ, t0],em quet0 é o tempo a partir do qual o sistema é sub-metido à excitação.

A Figura 3 apresenta a resposta ao degrau do mo-delo completo identificado em comparação à obtidaexperimentalmente.

Figura 3: Resposta ao degrau no domínio do tempo.

3.2 Resposta frequencial

De posse do modelo identificado para a parte linear dadinâmica do nanoposicionador, a resposta em frequên-cia experimental estimada, excitando-se o nanoposi-cionador com um sinal de controlechirp de acordocom (Ogata, 2003), é comparada com a resposta emfrequência da parte linear identificada (vide Fig. 4).No presente trabalho, o sinalchirp é aplicado de ma-neira segmentada, considerando a faixa de frequênciatotal a ser analisada subdividida em diversas janelas(intervalos).

Sabendo que a frequência de amostragem utili-zada no experimento é 20 kHz para todas as janelas,a partir do módulo e do ângulo de fase fornecidospela transformada discreta deFourier, seria possívelreconstruir a resposta em frequência até quase 10 kHz.

Entretanto, para frequências maiores que alguns qui-lohertz, os resultados experimentais se tornam maisruidosos devido à piora da relação sinal-ruído.

3.3 Histerese

Os critérios considerados na escolha de um modelomatemático para representar a histerese do piezoatu-ador são a simplicidade, a facilidade de implementa-ção e a representatividade, pois na literatura é atestadoque o nanoposicionador sofre significativa influênciadessa não-linearidade (Zhong and Yao, 2008; Esbrooket al., 2010; Zhou et al., 2012). O modelo deBouc-Wenfoi escolhido para representar o bloco de histerese(Ismail et al., 2009).

O modelo de histerese deBouc-Wenfaz uso deuma representação da histerese por meio de uma equa-ção diferencial não-linear. Esse modelo teve sua pro-posição feita por R. Bouc em 1971 e foi generalizadopor Y. K. Wen e outros pesquisadores em 1976 (Ismailet al., 2009, p. 161). O modelo generalizado de his-terese deBouc-Wenque aproxima a histereseΦBW(u)segundo (Ismail et al., 2009, p. 163) é:

ΦBW(u,z,t) = αku(t)+(1−α)Dkz(t), (5)

comz(t) obedecendo à seguinte equação diferencial:

z= D−1(Au−β |u||z|n−1z− γu|z|n), (6)

em queD ek são parâmetros que ponderam a influên-cia da histerese sobre o sinalu(t), A é o parâmetro decontrole da amplitude da histerese,β ,γ,n são parâme-tros de controle da forma de curva da histerese (n> 1),α é a constante elástica da força de amortecimento ez(t) é a variável de histerese do modelo deBouc-Wen.

Por meio da comparação dos sinais de saída de si-mulações com aqueles medidos em experimentos nosquais sinais senoidais foram aplicados no atuador, osparâmetros do modelo de histerese foram ajustados eseus valores são apresentados na Tabela 1.

Tabela 1: Parâmetros do modelo da histerese.Parâmetro Valor

k 4,2151D 1A −0,0815α 0,3036β 31,1777γ 19,5540n 2

O objetivo da identificação dos parâmetros foiminimizar o erro de modelagem, ou seja, a dife-rença entre o sinal de saída experimental e o simuladocom os valores atribuídos aos parâmetros (The MathWorks Inc., 2010,Parameter Estimation). Para efe-tuar a análise é considerado o indicador de erro mé-dio quadrático (Root-mean-square error— RMSE)


2780

(Aguirre, 2007, p. 491), calculado a partir da equação:

RMSE=

(√∑(y[n]− y[n])2√

∑(y[n]− y)2

), (7)

emquey é a sequência de saída atual, medida experi-mentalmente, ˆy é a sequência predita pela simulação ey é o valor médio dey.

A Tabela 2 apresenta os indicadores RMSE doserros do modelo de histerese estimado. Cabe mencio-nar que um indicativo de uma boa predição é a obten-ção de RMSE< 1.

Tabela 2: Erro médio quadrático do sinal de saída domodelo da histerese deBouc-Wengeneralizado com-parado com o resultado experimental.

Sinal de controle senoidal RMSE0,1 V de amplitude e 10 Hz de frequência0,21810,3 V de amplitude e 10 Hz de frequência0,08680,5 V de amplitude e 10 Hz de frequência0,04671,0 V de amplitude e 10 Hz de frequência0,01951,5 V de amplitude e 10 Hz de frequência0,01322,0 V de amplitude e 10 Hz de frequência0,0362

3.4 Creep

O creepou rastejamento piezoelétrico é um efeito de-corrente da tensão aplicada que gera uma polarizaçãoresidual no nanoatuador. Se a tensão de operação doatuador piezoelétrico aumenta, a polarização restantecontinua a aumentar. Tal fenômeno se manifesta comoum creepou rastejamento lento após a ocorrência damudança de tensão (Devasia et al., 2007, p. 810).

A partir da modelagem do efeito docreepcomouma associação de molas e amortecedores (Devasiaet al., 2007), a representação matemática natural seapresenta de maneira compacta pela função de trans-ferência:

Gc(s) =1k0

+nc

∑i=1

1cis+ki

, (8)

emquenc = 3, k0 = 1,2607 modela o comportamentoelástico do atuador em baixas frequências,k1 = k2 =k3 = 132,91 são as constantes de mola, ec1 = c2 =c3 = 23,232 s são as constantes de amortecimento. Foiutilizado um modelo de terceira ordem (nc = 3), sufi-ciente para representar o efeito docreepou rasteja-mento com razoável acurácia, conforme já citado em(Devasia et al., 2007). Ocreepé o transitório maislento observado na Fig. 3.

3.5 Validação do modelo dinâmico completo

No tocante à análise frequencial do modelo completo,a Figura 4 apresenta o resultado experimental em con-traposição ao obtido por simulação que inclui: a di-nâmica linear, a histerese e ocreep. Observa-se umaboa aproximação dos resultados, embora seja perce-bida uma discrepância mais acentuada para frequên-cias superiores a 1 kHz.

101

102

103

−40

−30

−20

−10

0

Frequência em Hz

Mód

ulo

em d

B

Resposta Frequencial

101

102

103

−400

−300

−200

−100

0

Frequência em Hz

Fas

e em

gra

us

ExperimentalModelo Completo

Figura 4: Respostas frequenciais: experimental e domodelodinâmico completo.

A Figura 3 apresenta a resposta ao degrau ex-perimental comparada à do modelo. Percebe-se naFigura 3 que durante 0,238 ms o nanoatuador nãoresponde ao degrau aplicado, tal característica é amanifestação do atraso. A consistência do modelocompleto é comprovada, não somente no domínio dafrequência, Figura 4, como também no domínio dotempo, com erro máximo em regime da ordem de0,98% em relação ao valor da resposta ao degrau con-siderada. Durante o transitório de subida na respostaao degrau, o erro máximo é de 8,72%.

4 Controlador Proporcional e Integral

As motivações para o uso do controlador com açõesproporcional e integral são a sua simplicidade de im-plementação e adequação ao controle de sistemas deprimeira ordem. Contudo é relevante mencionar quepara o rastreamento tratado, de sinais senoidais, o con-trolador por meio da técnicabacksteppingse apresentacomo opção mais adequada (Zhou et al., 2012). Aação proporcional reduz o erro de rastreamento, aopasso que a ação integral elimina o erro de regimepermanente para sinais de referência constantes, alémde reduzir o efeito dodrift. Por estas razões, o fa-bricantePhysik Instrumenteo incluiu no sistema deacionamento do nanoposicionador E-665.CR, dentreoutros.

A dinâmica linear identificada para o sistema,dada pela função de transferência (2), é utilizada parao projeto do controlador.

4.1 Lei de controle

A lei de controle PI é representada pela sua função detransferência

u(s) =Ks+ap

se(s), (9)

na qual o sinal de erro ée(s) = yd(s)− y(s) e yd é areferência.

Para ajustar os parâmetros do controladorutilizou-se o princípio do modelo interno, o zerodo controlador é posicionado de maneira a ocupar amesma frequência do polo da função de transferênciado nanoposicionador (2). Assim, o único parâmetro


2781

do compensador a ser sintonizado é o ganho propor-cional. Esse valor é aproximado, num primeiro mo-mento, para fazer com que o sistema composto pelaparte linear do modelo e pelo controlador tenha umamargem de fase de 60, seguido por um ajuste finoque fornece um ganhoK = 2,5.

4.2 Resultados Experimentais

A Figura 5 apresenta o sinal de controle, o sinal deerro e a saída medida em comparação com o sinal dereferência. Nota-se que quão maior é a frequência dareferência senoidal, maior é o erro de rastreamento docontrolador PI.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8

11.2

Sinais de saída e de referência [10 Hz]

Ten

são

em v

olts

Sinal de SaídaSinal de Referência

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05

00.05

0.1

Erro de rastreamento [10 Hz]

Ten

são

em v

olts

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

11.5

22.5

Sinal de Controle [10 Hz]

Ten

são

em v

olts

Tempo em segundos

0 0.05 0.1 0.15 0.20.20.40.60.8

11.2


0 0.05 0.1 0.15 0.2

00.05

0.1


0 0.05 0.1 0.15 0.20.5

11.5

22.5


Tempo em segundos

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.20.40.60.8

11.2


Ten

são

em v

olts


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

−0.050

0.050.1


Ten

são

em v

olts

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.5

11.5

22.5


Ten

são

em v

olts

Tempo em segundos

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.20.40.60.8

11.2


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

−0.10

0.1


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.51

1.52

2.5


Tempo em segundos

Figura 5: Resultados experimentais para referênciassenoidaiscom 1 V de amplitude e 10, 50, 100 e 200 Hzde frequência.

5 Controlador Adaptativo Robusto

A estratégia de controle utilizada nesta seção consisteda adaptação de uma lei de controle proporcional comfeedforwarda qual é adicionado um termo robusto de-pendente da adaptação. A fim de compensar o efeitode perturbações constantes, a adaptação paramétricaadotada possui um termo integral devido a um pa-râmetro constante incluído no vetor regressor. Já otermo de realimentação robusta, cujo efeito é atenuara incerteza, atua principalmente durante o transiente,permitindo que o ganho proporcional ao erro seja ele-vado até certo ponto, conforme será discutido a frente,sem causar oscilações na ação de controle (Zhong andYao, 2008).

No tocante à comparação com a referência uti-lizada para este projeto de controle (Zhong and Yao,2008), os modelos utilizados para representar a dinâ-mica do sistema de nanoposicionamento são distintos.

Por essa razão, foi eliminado do presente projeto otermo de transferência direta proposto por (Zhong andYao, 2008) para aproximar a dinâmica mais rápida en-contrada, pois o mesmo não foi identificado no nano-posicionador aqui utilizado. Sem esse termo de trans-ferência direta, a lei de controle pode ser sintetizadade maneira direta sem a necessidade de utilizar umaentrada virtual, conforme considerado em (Zhong andYao, 2008). Não obstante à essa diferença, no projetoapresentado, apenas três parâmetros são adaptados emvez de quatro como na referência anteriormente citada.Tais fatos decorrem das diferenças entre os modelosdinâmicos dos nanoposicionadores considerados nosprojetos de controle.

Em termos gerais, esta estratégia de controle usaa adaptação paramétrica com projeção apresentada em(Hsu and Costa, 1991; Hsu and Costa, 1994) e ostermos robusto e de realimentação proporcional in-corporados ao controle por (Zhong and Yao, 2008).É importante destacar que a modificação da estraté-gia de controle presente em (Zhong and Yao, 2008)baseou-se nos trabalhos (Hsu and Costa, 1991; Hsuand Costa, 1994), que são anteriores e utilizam amesma ideia de (Zhong and Yao, 2008), exceto pelotermo robusto e pela realimentação proporcional.

5.1 Lei de controle

Uma lei de controle que resultaria na convergência daposição do nanoposicionador para a trajetória desejadaé:

u = −K1e+apb−1p y+b−1

p yd −d, (10)

em queK1 é o ganho proporcional,ap é a frequênciado polo ebp é o ganho da parte linear da dinâmica donanoposicionador,d representa os distúrbios a seremcancelados,yd é a trajetória de referência e o erro derastreamento é dado pore= y−yd.

O modelo dinâmico do nanoposicionador é rees-crito como:

x(t) = −apx(t)+bp (kuu(t)+dg(t)) ,

y(t) = cpx(t), (11)

em quex(t) é a variável de estado que representa a ten-são medida que é proporcional ao deslocamento (ado-tandocp = 1 tem-sey(t) = x(t)), ku é a inclinação dacurva de histerese,u é o sinal de controle,dg(t) re-presenta a discrepância entre a função linearkuu(t) eo efeito real da histerese que é limitado pela máximamedida da diferença entre as excursões de subida edescida no experimento cuja amplitude é utilizada nafaixa de operação (1 V pico a pico).

A partir da equação (10) e do modelo do sistemasem atraso adotando para a histerese um modelo linearcom um termo de discrepânciadg(t) da equação (11),é possível definir o vetor regressorω. O valor inicialdos parâmetros a serem adaptados é escolhido a par-tir dos valores encontrados em (3). Dessa maneira, ovetor regressor (ω) e os valores iniciais para a estima-ção dos parâmetros (θ T

0 ), calculados com parâmetros


2782

nominais do sistema, são dados por:

ωT =[−y −yd 1

],

θ T0 =

[ap

cpkubp

1cpkubp

1/ku

]. (12)

Em adição a esse desenvolvimento, um termo ro-busto (vs) dependente do método de adaptação ado-tado também é considerado. A lei de controle propostaé definida por:

u = −K1e+ap(cpkubp)−1y+(cpkubp)

−1yd +vs,

que pode ser reorganizada como:

u = −θ Tω −K1e+vs, (13)

em quevs é a parcela de controle robusto eθ é o ve-tor de parâmetros estimados. Os efeitos de parâmetrosdesconhecidos e distúrbios limitados de variação lentasão compensados pela estratégia de controle adapta-tivo robusto. Utiliza-se a projeção descontínua base-ada no método de estimação de parâmetros em temporeal, como ferramenta para a realização da adaptação(Yao, 1997). A dinâmica do sistema é expressa por:

y(t) = −apy(t)+bpcp (kuu(t)+dg(t)) , (14)

adotando-se as definições apresentadas na equação

(11). Define-se∆ := dg(t)ku

, queé a discrepância va-riante entre a aproximação linear da histerese e o sinalde histeresegt(u) escalado por1ku

.Assume-seque as incertezas paramétricas pos-

suem limites conhecidos tais que as desigualdades

θ ∈ Ωθ∆= θ : θmin < θ < θmax, (15)

∆ ∈ Ω∆∆= ∆ : ‖∆‖ ≤ δ∆,

são satisfeitas paraθmin, θmax e δ∆ conhecidos.Considerando a estimativa deθ , ou sejaθ , então o

erro de estimação éθ := θ −θ . O parâmetro estimadoθ é atualizado segundo a lei de adaptação paramétrica:

˙θ = Pro jθ (Γτe) , (16)

na qualΓ é a matriz positiva definida simétrica da taxade adaptação (assumida como diagonal neste projeto)e τe é a função de adaptação. O operador de projeçãoé definido da maneira descrita a seguir:

Pro jθi(•i) =

0 , se

θi = θi max e •i > 0ou

θi = θi min e •i < 0•i , nos demais casos

.

(17)

Conforme apresentado em (Yao, 1997), tal proje-ção possui as seguintes propriedades:

(P1) θ ∈ Ωθ =

θ : θmin < θ < θmax

,

(P2) θ T(Γ−1Pro jθ (Γ•)−•) ≤ 0 , ∀• . (18)

A arquitetura do controlador adaptativo robusto édesenvolvida como segue, com base no na dinâmicado erro de rastreamento dada por:

e= cpkubpωTθ −cpkubpu+cpkubp∆ . (19)

Reescrevendo a lei de controle em função do vetorregressor e dos parâmetros estimados, a dinâmica doerro obtida é:

e= cpkubpωTθ +cpkubp(−ωT θ −K1e+vs)

+cpkubp∆. (20)

Reorganizando a expressão anterior em termos doerro de estimação, tem-se:

e=−cpkubpωT θ −cpkubpK1e+cpkubpvs+cpkubp∆ .(21)

Diante da lei de controle expressa em (13), duascondições devem ser obedecidas:

(C1) e[−ωT θ +vs] ≤ ε ,

(C2) evs ≤ 0, (22)

na qualε é igual ao parâmetro positivo que representao nível de atenuação das incertezas do modelo. Nacondição(C2) está presente o fato de que o parâme-tro vs deve ser sintetizado para dominar as incertezasdo modelo, sejam essas de origem paramétrica ou dasnão-linearidades. Esse parâmetro garante que o nívelde atenuaçãoε seja atingido. A condição(C2) é im-posta a fim de assegurar quevs é um termo dissipativoe não interfere na convergência do processo de adap-tação paramétrica.

Diversas formas específicas devs satisfazem ascondições impostas. Dentre essas, uma das formasmais simples do ponto de vista da implementaçãocomputacional é dada por:

vs = −1

4εh2e, (23)

em queh deve satisfazer:

h≥ ‖θmax−θmin‖‖ω‖+δ , (24)

que é satisfeita pelo parâmetro de projetohc ≥ 1 e

h =√

hc (‖θmax−θmin‖‖ω‖+δ ) . (25)

Tendo em vista que a funçãoδ (x, t) é o limite su-

perior da função∆ =dg(t)

ku, quepor sua vez depende da

discrepância variante no tempo da relação linear ado-tada como modelo de histerese, basta se conhecer ovalor máximo dedg e o valor deku para que seja de-terminado umδ (x, t) constante que possa ser aplicadona equação (24),δ ≥ dgmax/ku.

O controlador desenvolvido fornece o seguintedesempenho:

A. Comumente, a magnitude do erro de rastrea-mento é limitada superiormente por:

|e|2 ≤ exp(−2cpkubpK1 t)2cpkubpK1|e(0)|2+

+ε

2cpkubpK1[1−exp(−2cpkubpK1 t)] . (26)


2783

A taxa de convergência exponencial é(2cpkubpK1)e o tamanho do erro de rastreamento final(|e(∞)| ≤√

(ε/2cpkubpK1)) pode ser livremente ajustado pelosparâmetros do controladorε ebpK1.

B. Se após um tempo finito, somente existir incer-tezas paramétricas (ex.,∆ = 0,∀t ≥ t0), então em adi-ção aos resultados da propriedadeA, o erro de rastrea-mento é alcançado (ex.,e→ 0 ao passo quet → +∞),conforme demonstrado em (Soares, 2014).

Teorema 1 Se a função de adaptação em (16) é esco-lhida como:

τe = ω e, (27)

então a lei de adaptação de parâmetros garante aspropriedadesA eB.

Mais detalhes sobre as provas de convergência eestabilidade são apresentados em (Soares, 2014).

A sintonia dos ganhos de adaptação e dos demaisparâmetros do controlador adaptativo robusto é reali-zada por meio de aproximações sucessivas. Inicial-mente, a sintonia é realizada por simulações com o sis-tema identificado e, posteriormente, reajustada de ma-neira fina por meio dos experimentos. Os parâmetrosque são utilizados pelo controlador adaptativo robustosão apresentados na Tabela 3. A Tabela 4 apresentaresumidamente as equações da estratégia de controledesenvolvida nesta seção.

Tabela 3: Parâmetros do controlador adaptativo.Parâmetros Valores

Γ diag0,5×103; 0,01; 1×103

K1 6,5hc 8θ0 [ 2 3×10−3 0,3 ]T

θmin [ 0 −5×10−5 −1 ]T

θmax [ 5 5×10−2 1 ]T

ε 8×108

δ 2ku 0,37

dgmax(t) 0,32

Tabela 4: Descrição do controlador adaptativo.u = −θ Tω −K1e+vs

ω = [ −y −yd 1 ]˙θ = Pro jθ (Γτe)

τe = ω e

e= y−yd

vs = − 14ε h2e

h =√

hc (‖θmax−θmin‖‖ω‖+δ )

5.2 Resultados Experimentais

Resultadosexperimentais são apresentados nas Figu-ras 6 e 7. Nestes experimentos, a frequência do sinal

de referência é inicialmente 200 Hz com a comutaçãoposterior da frequência do sinal de referência. O usoda frequência inicial mais alta tem o intuito de acelerara adaptação paramétrica inicial.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8

11.2


Ten

são

em v

olts


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2−0.1

00.1


Ten

são

em v

olts

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

2

3Sinal de Controle [10 Hz]

Ten

são

em v

olts

Tempo em segundos

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250.20.40.60.8

11.2


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−0.2−0.1

00.1


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

1

2


Tempo em segundos

0 0.05 0.1 0.150.20.40.60.8

11.2


Ten

são

em v

olts


0 0.05 0.1 0.15−0.2−0.1

00.1


Ten

são

em v

olts

0 0.05 0.1 0.15

1

2


Ten

são

em v

olts

Tempo em segundos

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.20.40.60.8

11.2


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.1

0

0.1


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.5

11.5

22.5


Tempo em segundos

Figura 6: Resultados experimentais para referênciassenoidaiscom comutação da frequência, com 1 V deamplitude e 10, 50, 100 e 200 Hz de frequência.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

2.1Parâmetros do BMRAC para a referência de 10 Hz

θ 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

3x 10

−3

θ 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.1

00.10.20.3

θ 3

Tempo em segundos

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.252

2.2

Parâmetros do BMRAC para a referência de 50 Hz

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

2

3x 10

−3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.10.20.3

Tempo em segundos

0 0.05 0.1 0.151.95

22.05

2.12.15


θ 1

0 0.05 0.1 0.15

2

3x 10

−3

θ 2

0 0.05 0.1 0.150

0.10.20.3

θ 3

Tempo em segundos

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

2

2.1

2.2


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

0.91

1.11.21.3

x 10−3

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.1

00.10.2

Tempo em segundos

Figura 7: Resultados experimentais dos parâmetrosadaptadospara referências senoidais com comutaçãoda frequência, com 1 V de amplitude e 10, 50, 100 e200 Hz de frequência.


2784

6 Avaliação dos Erros de Rastreamento

A fim de avaliar o desempenho de forma mais consis-tente e quantitativa, três métricas do erro percentual(e%(t) = e(t)/VPP(yd)) são consideradas:

L[2] =

√

(1/Tf )∫ Tf

0|e%(t)|2dt; (28)

eM = maxt

|e%(t)|; (29)

eF = maxTf −2T≤t≤Tf

|e%(t)|, (30)

em queTf é o tempo final do experimento,e(t) é o errode rastreamento,t é o tempo corrente do experimentoem segundos eT é o período do sinal de referênciasenoidal. Os resultados obtidos para cada controla-dor com a métricaL[2], denominada indicador de erromédio, a métricaeM, denominada indicador de erromáximo e a métricaeF denominada indicador de errofinal, são apresentados na Tabela 5. Percebe-se que oerro final do controlador adaptativo é bem menor queo do controlador PI, exceto para a frequência menor(10 Hz), na qual o PI tem o melhor desempenho.

Tabela 5: Indicadores do erro de rastreamento.Controlador PI

f (Hz) 10 50 100 200L[2] 0,65% 2,97% 6,00% 12,66%eM 14,74% 14,31% 14,47% 19,57%eF 1,09% 4,39% 8,73% 19,28%

Controlador Adaptativo

f (Hz) 10 50 100 200L[2] 0,72% 1,07% 0,94% 1,93%eM 4,53% 4,05% 3,20% 12,77%eF 1,50% 1,59% 1,85% 0,89%

7 Conclusões

Nestetrabalho foi descrita a modelagem das parteslinear e não-linear (creepe histerese) de um sistemapiezoatuado, tendo-se em vista o desenvolvimento decontroladores de posição.

Também foram implementadas e avaliadas duasestratégias de controle para o posicionamento precisoe rápido desse atuador: PI e adaptativo robusto. A leide controle adaptativo obtém o melhor desempenhoem alta frequência (50 Hz a 200 Hz), embora a lei decontrole PI, mais simples, resultou num bom desem-penho em baixa frequência (10Hz).

Agradecimentos

Este trabalho foi parcialmente financiado pela Faperj,CNPq e CAPES.

Referências

176–1987 – IEEE Standard on Piezoelectricity(1987).

Aguirre, L. A. (2007). Introdução à Identificação de Siste-mas - Técnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas aSistemas Reais, Editora UFMG.

Albuquerque, I. F., Soares, A. S., Cunha, J. P. V. S. and Hsu,L. (2010). Controle adaptativo robusto de nanoposi-cionadores piezoelétricos com dinâmica de fase não-mínima,Anais do XVIII Congresso Brasileiro de Auto-mática, Bonito – MS, pp. 3500–3507.

Devasia, S., Eleftheriou, E. and Moheimani, S. O. R. (2007).A survey of control issues in nanopositioning,IEEEControl Systems Technology15(5): 802–823.

Esbrook, A., Guibord, M., Tan, X. and Khalil, H. K. (2010).Control of systems with hysteresis via servocompensa-tion and its application to nanopositioning,Proc. Ame-rican Control Conf., Vol. 2, pp. 6531–6536.

Hsu, L. and Costa, R. R. (1991). Unmodeled dynamics inadaptive control systems revisited,Systems & ControlLetters16(5): 341–348.

Hsu, L. and Costa, R. R. (1994). B-mrac: Global exponentialstabilitywith a new model reference adaptive control-ler based on binary control theory,Control-Theory andAdvanced Technology10(4): 649–668.

Ismail, M., Ikhouane, F. and Rodellar, J. (2009). The hyste-resis bouc-wen model, a survey,Arch Comput MethodsEng16: 161–188.

Ljung, L. (1987).System Identification: theory for the user,Prentice-Hall.

Moheimani, S. O. R. and Eleftheriou, E. (2013). Dynamicsand control of micro-and nanosnano systems,IEEEControl Systems Magazine33(6): 42–45.

Ogata, K. (2003).Engenharia de Controle Moderno, 4 edn,Person Education do Brasil.

Soares, A. S. (2014).Modelagem e controle de alto desem-penho de um nanoposicionador, Master’s thesis, Pro-grama de Engenharia Elétrica, COPPE-UFRJ.

The Math Works Inc. (2010).MATLAB for Windows User’sGuide.

Tuma, T., A., S., Lygeros, J. and Pantazi, A. (2013). The fourpillars of nanopositioning for scanning probe micros-copy,IEEE Control Systems Magazine33(6): 68–85.

Yao, B. (1997). High performance adaptive robust controlof nonlinear systems: a general framework and newschemes,Proc. 36th IEEE Conf. Decision and Control,Vol. 3, pp. 2489–2494.

Zhong, J. and Yao, B. (2008). Adaptive robust precision mo-tion control of a piezoelectric positioning stage,IEEETrans. Control Systems Technology16: 1039–1046.

Zhou, J., Wen, C. and Li, T. (2012). Adaptive output feed-back control of uncertain nonlinear systems with hys-teresis nonlinearity,IEEE Trans. Automatic Control57(10): 2627 – 2633.


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