Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

- Mestrado

CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM DOIS ELOS DE UM

ROBÔ MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE TRÊS GRAUS

DE LIBERDADE CARTESIANO

por

Oldineia Batista de Souza

Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade Federal da Paraíba

para obtenção do grau de Mestre.

João Pessoa - Paraíba Agosto/2010

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

MESTRADO

OLDINEIA BATISTA DE SOUZA

CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM DOIS ELOS DE UM

ROBÔ MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE TRÊS GRAUS

DE LIBERDADE CARTESIANO

Dissertação apresentada ao programa de

Pós-Graduação em Engenharia

Mecânica da Universidade Federal da

Paraíba, em cumprimento às exigências

para obtenção do Grau de Mestre.

Orientador: Prof. Dr. José Antonio Riul

João Pessoa – Paraíba Agosto/2010

S729c Souza, Oldineia Batista de..

Controle adaptativo aplicado em dois elos de um robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade cartesiano / Oldineia Batista de Souza.- João Pessoa, 2010.

63f.

Orientador: José Antonio Riul

Dissertação (Mestrado) – UFPB/CT

1. Manipuladores robóticos. 2. Robótica. 3. Identificação. 4. Controle adaptativo. 5. Engenharia Mecânica.

UFPB/BC CDU: 621.865.8(043)

Dedico este trabalho aos meus pais José

Batista de Souza e Maria José de Souza,

responsáveis pelo alicerce no qual

estruturei a minha vida produtiva, às

minhas irmãs Ingrid, Andréa e Ethiane,

pelo companheirismo e amizade.

AGRADECIMENTOS

A Deus, simplesmente por ser o Tudo.

Ao professor José Antônio Riul pelo incansável apoio e preciosos ensinamentos.

Ao professor Paulo Henrique de Miranda Montenegro, pelas inestimáveis

colaborações no decorrer deste trabalho.

A professora Marizete, pelo incentivo e colaboração em vários estágios da minha

vida acadêmica.

Aos professores de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Rural de

Pernambuco, na qual fiz minha graduação.

A todos os professores, que lecionam no curso de Pós-Graduação de Eng.

Mecânica, que colaboraram para que eu pudesse alcançar esta etapa tão importante da

minha vida profissional.

Aos amigos que consegui conquistar entre os colegas da Pós-graduação, pela

companhia e espírito de solidariedade demonstrada no decorrer deste trabalho.

A Josinaldo Calixto “Russo” pelo companheirismo e incentivo de sempre.

Ao CNPq pelo apoio financeiro.

CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM DOIS ELOS DE UM

ROBO MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE TRÊS GRAUS

DE LIBERDADE CARTESIANO

RESUMO

O objetivo do presente trabalho é modelar e controlar em tempo real dois elos de um robô

manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL) cartesiano. O robô manipulador é

constituído basicamente por três válvulas eletropneumáticas proporcionais e por três cilindros

pneumáticos, e seus parâmetros são identificados em tempo real pelo algoritmo dos Mínimos

Quadrados Recursivos (MQR). De posse do modelo do sistema, controladores adaptativos de

Dahlin-Variância Mínima (DMV) são projetados e implementados visando o controle de posição

do órgão efetuador do robô manipulador. Finalizando, são apresentados resultados experimentais,

como avaliação do desempenho obtido pelo robô manipulador.

Palavras chaves: Robótica, Identificação, Controle adaptativo.

ADAPTIVE CONTROL APPLIED TO TWO LINKS OF A

CARTESIAN ELETROPNEUMATIC MANIPULATOR ROBOT WITH

THREE DEGREES OF FREEDOM

ABSTRACT

The objective of this work is to model and to control in real-time two links of a cartesian

electropneumatic manipulator robot with three degrees of freedom (3DOF). The manipulative robot

basically consists of three proportional eletropneumatic valves and three pneumatic cylinders, and

their parameters are identified in real-time by the Recursive Least Squares (RLS) method. In the

possession of the system’s model, adaptive of Dahlin Minimum Variance (DMV) are planned and

implemented aiming the position control of the manipulative robot’s effecter organ. Finally,

experimental results are presented, as a way to assess the manipulative robot’s performance.

Keywords: Robotics, Identification, Self-tuning controller

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 ..................................................................................................................... 01

1.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 01

1.2 CARACTERÍSTICAS DO ROBÔ MANIPULADOR ............................................ 01

1.3 HISTÓRICO ............................................................................................................ 02

1.4 JUSTIFICATIVA E PROPOSTA DO MESTRADO ............................................. 04

1.5 METODOLOGIA .................................................................................................... 05

1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...................................................................... 05

CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................... 07

2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 07

2.2 DESCRIÇÃO DO RÔBO MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE

TRÊS GRAUS DE LIBERDADE ........................................................................... 07

2.2.1 Bancada de Testes e compressor........................................................................... 08

2.2.2 Principais componentes que compõem o Robô Manipulador............................... 10

2.2.3 Sistema de aquisição de dados .............................................................................. 13

2.3 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 14

CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................... 15

3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 15

3.2 IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR ................................................. 16

3.3 ESCOLHA DA ESTRUTURA DO MODELO.......................................................20

3.4 ESTRUTURA DO MODELO ................................................................................. 30

3.5 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 31

CAPÍTULO 4 ...................................................................................................................... 32

4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 32

4.2 HISTÓRICO ............................................................................................................ 32

44.2.1 Controle Auto-Ajustável com base na estratégia de Variância Mínima ............. 34

4.2.2 Controle de Dahlin ................................................................................................ 37

4.2.3 Controlador DMV ................................................................................................. 38

4.3PROCEDIMENTOS PARA O PROJETO DO CONTROLADOR DMV

COM ALTERAÇÃO ................................................................................................ 40

4.4 RESULTADOS........................................................................................................ 45

4.5 CONCLUSÃO ......................................................................................................... 53

CAPÍTULO 5 ...................................................................................................................... 54

5.1 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 54

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................................................................ 56

APÊNDICE A...................................................................................................................... 58

A.1 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ......................................................................... 58

A.2 LISTAGEM DOS PROGRAMAS EM MATLAB .................................................. 60

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1- Diagrama de bloco do controlador STR explícito e de planta...........................04

Figura 2. 1- Robô manipulador eletropneumático de 3 GDL..............................................08

Figura 2.2- Bancada de Testes.............................................................................................09

Figura 2.3- Compressor........................................................................................................10

Figura 3.1-Modelos para o elo X do robô manipulador.......................................................24

Figura 3.2-Modelos para o elo Z do robô manipulador.......................................................24

Figura 3.3. Excitação no elo X do Robô Manipulador........................................................26

Figura 3.4. Excitação no elo Z do Robô Manipulador.........................................................27

Figura 3.5. Saída estimada com o MQR e real, do elo X do robô manipulador..................27

Figura 3.6. Saída estimada com o MQR e real, do elo Z do robô manipulador..................28

Figura 3.7. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo X do

robô manipulador................................................................................................................28

Figura 3.8. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo Z do

robô manipulador...............................................................................................................29

Figura 3.9. Parâmetros estimados do elo X do robô manipulador.....................................29

Figura 3.10. Parâmetros estimados do elo Z do robô manipulador....................................30

Figura 4.1- Estrutura do controlador DMV e planta..........................................................39

Figura 4.2- Estrutura do controlador DMV com alteração e planta...................................40

Figura 4.3- Sinal de referência do elo X do robô manipulador..........................................46

Figura 4.4- Sinal de referência do elo Z do robô manipulador...........................................46

Figura 4.5 – Referência e resposta do elo X do robô manipulador, sob ação do

controlador DMV com alteração........................................................................................47

Figura 4.6 – Referência e resposta do elo Z do robô manipulador, sob ação do

controlador DMV com alteração........................................................................................47

Figura 4.7– Erro de posição do elo X do robô manipulador..............................................49

Figura 4.8 – Erro de posição do elo Z do robô manipulador..............................................50

Figura 4.9 – Variável de controle do elo X do robô manipulador......................................51

Figura 4.10 – Variável de controle do elo Z do robô manipulador....................................51

Figura 4.11 – Parâmetros estimados xa e xb , do elo X do robô manipulador....................52

Figura 4.12 – Parâmetros estimados za e zb , do elo Z do robô manipulador.....................52

Figura A.1- Procedimento geral para identificação de processos........................................59

LISTA DE TABELAS

Tabela. 2.1. Dados técnicos do compressor.........................................................................10

Tabela. 2.2. Dados técnicos dos cilindros pneumáticos.......................................................11

Tabela. 2.3. Dados técnicos das válvulas proporcionais eletropneumáticas........................12

Tabela. 2.4. Dados técnicos das réguas potenciométricas...................................................12

Tabela 3.1-Parâmetros de inicialização do programa computacional Identmqr..................19

Tabela 3.2- Parâmetros do modelo do sistema referentes aos elos X e Z do

robô manipulador.................................................................................................................23

Tabela 3.3. Índice de desempenho do elo X.....................................................................25

Tabela 3.4. Índice de desempenho do elo Z.....................................................................25

Tabela. 4.1. Parâmetros de inicialização do programa

computacional controledmvcompleto1................................................................................45

Tabela. 4.2. Especificações de desempenho impostas ao sistema......................................45

Tabela. 4.3. Desempenho do elo X do robô manipulador, relativo às especificações

de desempenho estabelecidas.............................................................................................48

Tabela. 4.4. Desempenho do elo Z do robô manipulador, relativo às especificações

de desempenho estabelecidas.............................................................................................48

LISTA DE SIMBOLO E ABREVIATURAS

- erro de previsão

( 1)K t - ganho do estimador

'( 1)K t - ganho do estimador com fator de esquecimento

( )P t - matriz de covariância

'( )P t -matriz de covariância com fator de esquecimento

ˆMQ - vetor de parâmetros estimados pelo MQ

ˆ( 1)t - vetor de parâmetros estimados pelo MQR

A (Z-1

), B(Z-1

) e C(Z-1

)- polinômios característicos do sistema

AIC- critério de informação de Akaike

-fator de esquecimento

p-

parâmetro dos projetos dos controladores “ajuste de Dahlin”

Q - parâmetro dos projetos dos controladores

R²- coeficiente de correlação múltipla

SEQ- somatório do erro quadrático

aT -tempo de amostragem

u(t) - variável de controle

y (t) - saída do sistema

e(t)- representa um ruído branco filtrado

pn -representa o número de parâmetros

an -representa o número de pólos

bn -representa o número de zeros

k -representa o atraso de transporte

ARMAX – Modelo Auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas.

ARX- Modelo auto-regressivo com entradas externas

DMV- Dahlin- Variância Mínima

GMV- Variância Mínima Generalizada

GPC- controlador Preditivo generalizado

MDMV - Dahlin- Variância Mínima Modificado

MIMO-Sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas.

MQR- Mínimos Quadrados Recursivos

MV- Variância Mínima

PID- Controlador proporcional integral derivativo

SISO-sistema com única entrada e única saída

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo modelar e controlar em tempo real dois elos de um

robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL) cartesiano. Este

capítulo apresenta na seção 1.2 características dos robôs manipuladores, na seção 1.3 um

breve histórico sobre controle de sistemas com ênfase em controladores adaptativos. A

seção 1.4 apresenta a justificativa e proposta do mestrado, bem como os objetivos e

contribuições, a seção 1.5 discorre sobre a metodologia adotada e por fim a seção 1.6 a

organização do trabalho.

1.2 CARACTERÍSTICAS DO ROBÔ MANIPULADOR

Os robôs industriais são manipuladores formados por cadeias de corpos (elos), em

cuja extremidade é fixada uma ferramenta ou garra (órgãos efetuadores), através do qual é

possível o robô executar determinadas tarefas. Por exemplo, uma determinada carga pode

ser transportada seguindo uma determinada trajetória para uma posição, ambas pré-

estabelecidas. Os elos que formam a cadeia são interligados por meio de juntas que, de

acordo com o movimento relativo entre os elos, podem ser de translação ou de rotação. O

movimento da ferramenta é o resultado do movimento das juntas, realizado pelos atuadores

e monitorado por sensores. Os atuadores podem ser hidráulicos e pneumáticos; hidráulicos;

pneumáticos, eletromagnéticos. O atuador pneumático é muito utilizado em robôs

industriais que operam com movimentação de cargas entre posições bem definidas,

limitadas por batentes mecânicos, o que caracteriza o movimento ponto-a-ponto, não muito

recomendado quanto a controle de posicionamento entre as posições-limites (ROMANO,

2002).

2

Com relação à estrutura mecânica os robôs são classificados como sendo de

coordenadas cartesianas pórtico, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, Scara,

articulado ou antropomórfico e paralelo. O robô de coordenadas cartesianas /pórtico possui

três juntas prismáticas, cujos eixos do movimento são coincidentes com um sistema de

referência cartesiano (ROMANO, 2002).

O controle de posição do órgão efetuador de um robô pode ser realizado por

técnicas convencionais e não convencionais. Projetos de controladores convencionais e não

convencionais, podem utilizar modelos do sistema do tipo caixa branca, caixa preta ou

caixa cinza. Os modelos de robôs do tipo caixa branca normalmente são não lineares,

enquanto que os do tipo caixa preta normalmente são lineares e podem ser determinados de

duas formas: “off line” ou “on line”. Os modelos “caixa preta” são utilizados em projetos

de controladores adaptativos explícitos, e usam os parâmetros estimados do sistema em

tempo real. Os controladores adaptativos operam em tempo real e assim resolvem

problemas de variação de parâmetros e não linearidades de sistemas.

1.3 HISTÓRICO

ASTROM (1996a) cita que uma das primeiras referências sobre controle adaptativo se

deu na década de 50. Na época a maior aplicação foi na indústria Aeronáutica, e sua maior

motivação foi a utilização de estruturas adaptativas de controle no desenvolvimento de

pilotos automáticos, já que o controle convencional com ganho fixo se comportava bem

para um determinado tipo de condições, quando estas se alteravam, o sistema apresentava

resultados indesejáveis. Porém, a falta de computadores adequados, de uma fundamentação

teórica e um grave acidente ocorrido em um teste de vôo, fez com que o controle

adaptativo não obtivesse muito sucesso (ASTROM, 1989).

Na década de 60, houve um grande esforço e desenvolvimento da comunidade

científica na teoria de controle, em particular, controle adaptativo. Surgiram novas teorias

como a de espaço de estados e a estabilidade, ainda que, sobre pressupostos muito

restritivos, e com os primeiros computadores digitais, fez reascender o interesse pelo

controle adaptativo (ASTROM, 1989).

3

Nas décadas de 70 e 80, se consolidou bastante os resultados, impulsionados pelo

advento dos microcomputadores. O fato importante desta época foi pelo pioneirismo de

ASTROM e WITTENMARCK na aplicação do processo de dinâmica desconhecida.

Na década de 90 ocorreu um bom desenvolvimento de controle adaptativo para

sistemas não-lineares, bem como a abordagem sobre robustez desses controladores.

À medida que os controladores vêm sendo aprimorados novos recursos são

incorporados para permitir maior flexibilidade e atender as classes mais amplas.

SEBORG (1986) apresenta uma classificação para as diversas técnicas de controle

adaptativo, dividindo-se em quatro categorias: (I) controladores projetados através de

Funções-Custo Quadráticas; (II) métodos de projeto na Teoria da Estabilidade; (III)

Técnicas e Alocação de Pólos e (IV) outras abordagens.

Na classe I, estão inclusas as estratégias de: Variância Mínima (MV), Variância

Mínima Generalizada (GMV), Dahlin- Variância Mínima (DMV) e o controlador (GPC).

A estratégia de Variância Mínima (MV) será utilizada neste trabalho no Capítulo 4 em

conjunto com outro controlador para a obtenção da lei de controle.

Adaptar significa mudar um comportamento para se ajustar às novas circunstâncias.

Um sistema adaptativo é qualquer sistema que tem sido projetado com um ponto de vista

adaptativo. Assim, um controlador adaptativo é definido como um controlador que pode

modificar seu comportamento em resposta às mudanças na dinâmica do processo e na

característica do distúrbio (ASTROM e WITTENMARK, 1995).

ASTROM e WITTENMARK (1995), ISERMANN et.al (1992) definem controlador

adaptativo como sendo um controlador com parâmetro ajustáveis e um mecanismo de

ajuste. O controlador auto-ajustável (STR) automatiza as tarefas de modelagem

matemática, projeto e implementação da lei de controle.

Para combinar a ação da identificação com o procedimento de projeto de controle, a

técnica de controle (STR) contempla dois métodos: algoritmos auto-ajustáveis diretos ou

explícitos e algoritmos auto-ajustáveis indiretos ou implícitos. O explícito combina um

estimador recursivo para obter os parâmetros do modelo do sistema, a partir dos dados de

entrada e saída. A Figura (1.1) mostra o digrama de blocos do controlador STR explícito e

de planta.

4

Figura 1.1- Diagrama de bloco do controlador STR explícito e de planta.

1.4 JUSTIFICATIVA E PROPOSTA DO MESTRADO

Atualmente existem muitas pesquisas com controladores baseados na estratégia de

Variância Mínima, porém há uma necessidade de realização de maiores investigações que

envolvam servoatuadores em acompanhamento de trajetórias, sobretudo os pneumáticos.

Outro fator importante que motivou a realização desta pesquisa é que poucos trabalhos

práticos têm apresentado propostas para controle digital em tempo real, principalmente em

robôs manipuladores eletropneumáticos.

A estratégia de Variância Mínima apresenta algumas desvantagens, como

impossibilidade de tratar de sistemas de fase não-mínima, a impossibilidade de penalizar

ações excessivas de controle, a não garantia de erro médio nulo em regime permanente e a

falta de parâmetros de projetos do controlador. Porém, é bem flexível para combinações

com outras estruturas, como exemplo pode-se citar a estratégia de controle proposta

inicialmente por KHALIL (1992) que tinha como objetivo combinar as estratégias de

Dahlin e Variância Mínima.

Este trabalho tem como proposta de estudo a estratégia de Dahlin- Variância Mínima

(DMV), com possíveis alterações, para o controle de posicionamento em tempo real de

5

dois elos de um robô manipulador eletropneumático de (3GDL). Alguns trabalhos mais

recentes envolvendo controle adaptativo serão evidenciados no decorrer desta dissertação.

O trabalho de pesquisa será conduzido teórica e experimentalmente, envolvendo uma

revisão bibliográfica; estudados algoritmos aplicados a identificação, bem como dos

controladores adaptativos existentes; projeto e implementação do DMV com alteração e

por fim, avaliação do comportamento de dois elos do robô sob a ação do controlador. A

seção 4.2 do capítulo 4 apresenta um breve histórico sobre o controlador DMV.

1.5 METODOLOGIA

Para o desenvolvimento da dissertação, serão seguidas as etapas:

Etapa 1- Definição da estrutura do modelo para o manipulador, uma vez definida e

validada a estrutura de modelo, os elos do manipulador serão identificados recursivamente

por meio do estimador (MQR).

Etapa 2- Projeto do controlador DMV com alteração, para isso se faz necessário a lei de

controle, levando em consideração os parâmetros identificados a cada instante de

amostragem.

Etapa 3- Realização dos testes experimentais sob a ação dos controladores projetados.

1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Esta dissertação consta de quatro capítulos e um apêndice.

O capítulo 1 apresenta as características do robô manipulador eletropneumático; um

breve histórico sobre controle, em particular o controle adaptativo; a justificativa e

proposta da dissertação, incluindo os objetivos e contribuições; e por fim a metodologia a

ser aplicada para conduzir e alcançar os objetivos esperados.

O capítulo 2 apresenta uma breve descrição do sistema experimental em estudo, o

“Robô Manipulador Eletropneumático de Três Graus de Liberdade cartesiano”.

O capítulo 3 trata do modelamento de dois elos do robô manipulador eletropneumático

de três graus de liberdade (3 GDL) cartesiano. É definida a estrutura do modelo,

identificação e validação do modelo matemático do manipulador em estudo.

6

O capítulo 4 aborda a estratégia de controle de Dahlin-Variância Mínima (DMV)

aplicado para o projeto de controle de posição dos elos X e Z do Robô Manipulador

Eletropneumático de Três Graus de Liberdade (3 GDL) cartesiano.

No capítulo 5 as conclusões finais desse trabalho são apresentadas.

O apêndice A aborda as principais etapas evolvidas na identificação de sistemas

dinâmicos, bem como a listagem de programação para identificação e controle do robô

manipulador.

7

CAPÍTULO 2

DESCRIÇÃO DO SISTEMA EXPERIMENTAL

2.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta uma breve descrição do sistema experimental em estudo, o

“Robô Manipulador Eletropneumático de Três Graus de Liberdade”. A seção 2.2 apresenta

o rôbo manipulador. Na seção 2.2.1 apresenta-se a bancada de testes utilizada para

realização dos ensaios, com os seus principais componenetes, e a comunicação do sistema

computacional com o robô manipulador em estudo, além do compressor utilizado para o

acionamento das válvulas proporcionais eletropneumáticas instaladas no rôbo. Na seção

2.2.2 comenta-se sobre os componentes que compõem o rôbo, suas características e

especificações técnicas e em seguida na seção 2.2.3 é apresentado o sistema de aquisição

de dados responsável pela conversão, aquisição de sinais e comunicação do robô

manipulador com o sistema computacional no qual é inserido o programa computacional

de identificação e o de controle do sistema. A seção 2.3 apresenta uma breve conclusão

sobre o capítulo. O robô manipulador proposto em estudo, encontra-se localizado no

Laboratório de Dinâmica do Departamento de Engenharia Mecânica do Centro de

Tecnologia da Universidade Federal da Paraíba (UFPB).

2.2 DESCRIÇÃO DO RÔBO MANIPULADOR ELETROPNEUMÁTICO DE

TRÊS GRAUS DE LIBERDADE

O robô manipulador eletropneumático de três graus de liberdade (3GDL), conforme

mostrado na Fig. (2.1) é composto por três elos paralelos aos eixos: X, Y e Z do sistema de

referência. Esse robô é cartesiano e possui três juntas prismáticas, resultando num

movimento composto de três translações, cujos eixos de movimento são conincidentes com

um sistema de referência cartesiano; desta forma os modelos dos elos são desacoplados.

8

Neste trabalho, os elos que se deslocam nas direções X e Z, serão denominados de elos X e

Z, terão suas posições controladas enquanto que o elo na direção Y permanecerá numa

posição fixa.

O robô manipulador funciona da seguinte forma: o compressor fornece ar comprimido

para as válvulas eletropneumáticas proporcionais (5) de tensão de 24 VDC e sinais

analógicos em tensão de 0 a 5 VDC, que acionam os cilindros pneumáticos (1) de dupla

ação e haste simples, dando o movimento ao órgão efetuador. Uma placa de entrada e saída

de dados é usada para exitar as válvulas eletropneumáticas proporcionais e captar os sinais

medidos pelas réguas potenciométricas (2).

1-cilindros pneumáticos; 2-réguas potenciométricas; 3-guias lineares; 4-patinas; 5-

válvulas proporcionais eletropneumáticas; 6-dutos de condução dos fluxos de ar.

Figura 2. 1- Robô manipulador eletropneumático de 3 GDL

2.2.1 Bancada de Testes e compressor

A Figura (2.2) apresenta uma visão geral da bancada de testes. A bancada de testes é

composta por: um robô manipulador eletropneumático, uma fonte variável de corrente

contínua, um sistema de aquisição de dados e um computador (PC). No computador a

9

identificação do modelo e implementação da lei de controle do robô manipulador é

realizada através de programas computacionais desenvolvidos nas plataformas LabVIEW e

Matlab. A Figura. (2.3) apresenta o compressor de ar da marca SHUZ, modelo MSL 10

ML/175 e a Tab. (2.1) as suas especificações. O compressor fornece o ar comprimido que

aciona as válvulas proporcionais eletropneumáticas (5) através dos dutos de condução dos

fluxos de ar (6).

Figura 2.2- Bancada de Testes

10

Figura 2.3-Compressor de ar

Tabela. 2.1. Dados técnicos do compressor de ar

Modelo/Fabricante

MSL 10 ML-175 /

SCHUZ

Peso Bruto

Peso líquido

90 kg

81 kg

Deslocamento teórico 10 pés3/min- 283 l/min

Pressão de operação

máxima 8,3 MPa (83 bar)

Potência 2 hp-1,5 kw

Volume do reservatório 178 l

RPM 3430

2.2.2 Principais componentes que compõem o Robô Manipulador

A Figura (2.1) apresenta uma visão geral do sistema, composto pelos seguintes

componentes:

11

Três cilindros pneumáticos de dupla ação corforme as especificações da Tab. (2.2).

Os elos X e Z, ambos com 400 mm de curso, e o elo Y, com 200 mm de curso.

Cilindro pneumático: são cilindros de dupla ação, com ação do ar comprimido nos

dois sentidos de movimento; avanço e retorno. São comandados por válvulas

proporcionais eletropneumáticas de 4 ou 5 vias.

Tabela. 2.2. Dados técnicos dos cilindros pneumáticos

Modelo/Fabricante

CWEA 03273310X0400/WERK-

SCHOTT

CWEA 03273310X0200/WERK-

SCHOTT

Tipo

Diâmetro

Curso efetivo

Tirantado

32 mm

400 mm e 200 mm, respectivamente

Material da haste

Pressão

Tipo de vedação/êmbolo

SAE 1045

até 1,0 MPa (10 bar)

Bruna –N/sem êmbolo magnético

Tipo de montagem Montagem básica

Êmbolo/ Camisa Ambos de alumínio

Fluido Ar comprimido filtrado

Temperatura ambiente

Força Teórica a 6 bar, retorno

Força Teórica a 6 bar, avanço

-10°C a +80°C (Bruna-N)

414,70 N

482,55 N

Três válvulas eletropneumáticas proporcionais conforme as especificações da Tab.

(2.3). A válvula proporcional de vazão é utilizada para aplicações nas quais faz-se

necessário o controle da velocidade do atuador e de sua direção mediante um sinal

de entrada elétrico analógico em tensão de 0 a 10 VDC ou em corrente de 4 a 20

mA.

12

Tabela. 2.3. Dados técnicos das válvulas proporcionais eletropneumáticas

Modelo/Fabricante MPYE-5-1/8-HF-010-B/FESTO

Diâmetro

Tipo de acionamento

Pressão absoluta de trabalho

6 mm

elétrico

0 a 1,0 MPa (10bar)

Vazão nominal padrão 700 l/min

Temperatura do meio 5°C a 40°C

Temperatura ambiente 0°C a 50°C

Meio operacional Ar comprimido filtrado, não lubrificado,

grau de filtração 5µm

Sentido do fluxo

Função de válvula

Não reversível

5/3 fechado

Três réguas potenciométricas corforme as especificações da Tab. (2.4). Os sistemas

de medição de curso são empregados em combinação com atuadores para o

posicionamento ou para o amortecimento eletrônico nas posições finais de curso.

Acoplado longitudinalmente no cilindro a régua potenciométrica ou sensor de

posição, como também pode ser chamado, garante a leitura efetiva do

posicionamento do atuador sendo parte essencial no conceito de controle em malha

fechada para posicionadores pneumáticos

.

Tabela. 2.4. Dados técnicos das réguas potenciométricas

Modelo/Fabricante MLO-POT-500-TFL/ FESTO

Curso

Princípio de medição: régua

potenciométrica

500 mm

analógico

Sinal de saída analógico

Resolução do trajeto 0,01 mm

Conexão elétrica De 4 pinos Forma A, conector da

forma DIN 43650, design quadrangular

13

Como os resultados obtidos pelas réguas potenciométricas são em tensão (V), criou-se

uma função linear da seguinte forma, dada uma excitação , obtêm-se um valor do

deslocamento do cursor do cilindro pneumático em Volts através da régua potenciométrica,

em seguida mede-se com uma escala métrica o quanto o cursor se deslocou sobre o

cilindro peneumático. Este procedimento é para diversas excitações. Com esses dados em

Volts e em milímetros fez-se um ajuste de curvas, obtendo-se:

mm vX 88,690 X 1,829 (2.1)

mm vZ 98,794 Z 5,378 (2.2)

Onde:

vX e vZ - tensões medidas nos cursos móveis dos transdutores potenciométricos.

X e Z - deslocamentos medidos nos cursos móveis dos transdutores/hastes dos cilindros em

milímetros.

Fonte variável de corrente contínua, modelo MPL-3303 do fabricante Minipa,

possui duas saídas variavéis e uma saída especial de 5 V fixa. É um equipamento

utilizado para alimentar a válvula proporcional a uma tensão de 24 V, além das

tensões auxiliares de alimentação dos transdutores de posição potenciométrica.

2.2.3 Sistema de aquisição de dados

O processo de aquisição e controle do manipulador é realizado através de uma placa NI

USB 6009 fabricada pela National Instruments. A resolução é de 14 bits, taxa de

amostragem 48 KS/s, faixa de tensão de entrada ±1 VDC a ±20 VDC, faixa de tensão de

saída de 0 a 5 VDC, quatro canais de entradas diferenciais analógicos ou 8 simples e 2

canais de saída.

A placa faz a comunicação entre a planta e os algoritmos de identificação e controle

através conversores digitais e analógicos. Para efeito de estudo, desprezando o elo Y, na

bancada de testes foram usados quatro sinais analógicos: dois sinais de entrada e dois

sinais de saída.

Um computador PC utilizando os programas computacionais LabView e Matlab para

identificar os parâmetros do rôbo e implementar as ações de controle do manipulador em

tempo real, através da placa de entrada e saída de dados.

14

2.3 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi apresentado o robô manipulador eletropneumático de três graus de

liberdade (3GDL) cartesiano. Neste trabalho, os elos nas direções X e Z , terão suas

posições controladas enquanto que o elo na direção Y permanecerá numa posição fixa. Foi

descrito o princípio de funcionamento do robô, dando-se ênfase aos elementos que o

compõem, além de descrever suas especificações técnicas.

Nas Equações (2.1) e (2.2) foram apresentadas as funções lineares que convertem os

deslocamentos obtidos pelas réguas potenciométricas em Volts (V), para unidade métrica

em milímetros (mm).

15

CAPÍTULO 3

MODELAGEM MATEMÁTICA DO SISTEMA

3.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo trata do modelamento de dois elos do robô manipulador eletropneumático

de três graus de liberdade (3 GDL) cartesiano. Os dois elos a serem analisados são

paralelos aos eixos X e Z do sistema de referência mostrado na Fig. (2.1). A modelagem

matemática de um sistema pode ser obtida através de leis físicas, conhecida como

identificação caixa branca ou modelagem caixa branca; por técnicas de identificação

paramétricas, conhecida como identificação caixa preta ou modelagem caixa preta e que

dependem de dados reais do sistema, ou por identificação caixa cinza (AGUIRRE, 2007),

como uma técnica que busca combinar as vantagens das duas identificações supracitadas.

A modelagem caixa branca resulta em modelos não lineares (SPONG E

VIDYASAGAR, 1989), enquanto que a modelagem caixa preta gera modelos lineares

(AGUIRRE, 2007, ASTROM & WITTENMARK, 1995, ISERMANN, 1992), que podem

ser usados para projeto e implementação de controladores adaptativos. Os modelos são

obtidos em tempo real, e representam de forma satisfatória a dinâmica não linear do

sistema, visto que esta é avaliada para cada instante de tempo, em função do tempo de

amostragem utilizado. As modelagens caixa branca, quando utilizadas em projetos de

controladores, exige um conhecimento amplo dos parâmetros físico dos sistemas, uma

quantidade elevada de cálculos, o que torna necessário o uso de máquinas de grande porte,

tendo em vista o esforço computacional requerido (KOIVO E GUO, 1983). Na utilização

da modelagem caixa preta, geralmente empolgada, a estrutura é definida a priori e a

escolha de modelos de primeira ou segunda ordem representa bem os sistemas reais, e

requerem baixo esforço computacional. A identificação caixa cinza, utiliza-se de

informações auxiliares que facilita a escolha da estrutura e estimação de parâmetros, além

de relacionar características do modelo com a dinâmica do sistema (AGUIRRE, 2007).

16

Neste trabalho a técnica de identificação paramétrica é utilizada na obtenção dos

parâmetros do sistema. Modelagem matemática paramétrica de sistemas é largamente

utilizada em projetos de controladores adaptativos explícitos, dado que a atualização dos

parâmetros a cada período de amostragem visa à adequação das características do sistema e

as variações na sua dinâmica. O sistema será identificado pelo algoritmo dos Mínimos

Quadrados Recursivos (MQR) (AGUIRRE, 2007). Para avaliação da qualidade dos

modelos matemáticos obtidos através do algoritmo supracitado usam-se os índices de

desempenho, a saber: coeficiente de correlação múltipla (R²), somatório do erro quadrático

(SEQ) e o critério de informação de Akaike (AIC).

3.2 IDENTIFICAÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR

A identificação de sistemas é uma área do conhecimento que estuda técnicas

alternativas de modelagem matemática. Uma das características de uma dessas técnicas é

que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário e, conseqüentemente,

tais métodos são referidos como modelagem (ou identificação) caixa preta ou modelagem

empírica. (AGUIRRE, 2007). A identificação tipo caixa preta é utilizada no modelamento

do robô manipulador sob análise. Neste modelamento, o algoritmo dos mínimos quadrados

recursivos (MQR) é utilizado em tempo real para a identificação dos parâmetros do

sistema. O robô manipulador é cartesiano, então os movimentos dos seus elos são

desacoplados, logo a identificação é realizada de forma independente para cada elo; e

assim o MQR apresentado a seguir de forma genérica, é utilizado para identificação de

cada um dos dois elos.

Para um sistema físico de uma entrada, uma saída (SISO) e uma perturbação, existem

algumas reapresentações matemáticas especialmente adequadas à identificação de sistemas

usando-se algoritmos conhecidos para estimação de parâmetros.

Neste trabalho, os modelos para ambos os elos que compõem o manipulador robótico

em estudo será do tipo ARX (Modelo auto-regressivo com entradas externas). (AGUIRRE,

2007; COELHO E COELHO, 2004; WITTENMARK, 1995 e LJUNG, 1999) e é da forma:

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )kA Z y t Z B Z u t e t (3.1)

17

Onde:

1 1

1( ) 1 ...na

naA Z a Z a Z (3.2)

1 10 1( ) ...nb

nbB Z b b Z b Z (3.3)

A representação da Eq. (3.1) na forma de equações a diferenças é dada por:

1 2 0 1( ) ( 1) ( 2)... ( ) ( ) ( 1) ... ( ) ( )na nby t a y t a y t a y t na b u t k bu t k b u t k nb e t

(3.4)

A Eq. (3.4) pode ser apresentada por:

( ) ( ) ( ) ( )Ty t t t e t (3.5)

Onde:

( ) ( 1) ( 2) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )T t y t y t y t na u t k u t k u t k nb (3.6)

1 2 0 1( ) ... ...na nbt a a a b b b (3.7)

( )T t - vetor de medidas

( )t - vetor de parâmetros

( )u t - entrada do sistema

( )y t - saída do sistema

( )e t - ruído branco filtrado

ia - pólos do sistema, 1 i na

jb -zeros do sistema, 1 j nb

na - número de pólos do sistema

nb - número e zeros do sistema

k - atraso de transporte

Para um número N de medidas, tem-se que:

Y E (3.8)

Y - vetor de saída

- matriz de observação

A estimativa de vetor de parâmetros é dada pelo procedimento dos mínimos quadrados

(MQ), onde a melhor previsão da saída do sistema é calculada por:

18

ˆŶ (3.9)

O MQ é obtido pela minimização da função custo dado pela Eq. (3.10)

2minJ

(3.10)

Onde:

ˆY Y (3.11)

- erro de previsão

O estimador dos mínimos quadrados (MQ), também conhecido por estimador linear é

dada pela Eq. (3.12)

1ˆ T TMQ Y

(3.12)

Onde:

ˆMQ - vetor de parâmetros estimados pelo MQ

A precisão das estimativas está associada com o tamanho dos elementos da matriz de

covariância, que por definição é dada por:

1TP

(3.13)

O MQ é adaptado resultando no algoritmo MQR. No MQR, as estimativas

calculadas no instante de tempo t, são atualizadas para obtenção dos parâmetros ˆ( 1)t .

ˆ ˆ( 1) ( ) ( 1) ( 1)t t K t t (3.14)

Onde:

( ) ( 1)( 1)

1 ( 1) ( ) ( 1)TP t t

K tt P t t

(3.15)

ˆ( 1) ( 1) ( 1) ( )Tt y t t t (3.16)

( ) ( 1) ( 1) ( )( 1) ( )

1 ( 1) ( ) ( 1)

T

T

P t t t P tP t P t

t P t t

(3.17)

( 1)K t - ganho do estimador MQR

19

( )P t - matriz de covariância do estimador MQR

( 1)t - erro de previsão do estimador MQR

ˆ( 1)t - vetor de parâmetros estimados pelo MQR

Para aumentar a sensibilidade do estimador MQR na presença de variações de

parâmetros do sistema, implementa-se o fator de esquecimento ( ) evitando que os

elementos da matriz de covariância tendam para zero, mantendo o estimador em alerta para

rastrear dinâmicas variantes. Para 1 , tem-se a mesma ponderação para as medidas e

para 0,9 1 as medidas atuais terão ponderação maior.

O algoritmo de estimação dos mínimos quadrados recursivos (MQR) com fator de

esquecimento apresenta a seguinte forma (Ljung, 1999):

ˆ ˆ( 1) ( ) '( 1) ( 1)t t K t t (3.18)

Onde:

'( ) ( 1)'( 1)

( 1) '( ) ( 1)TP t t

K tt P t t

(3.19)

1 '( ) ( 1) ( 1) '( )'( 1) '( )

( 1) '( ) ( 1)

T

T

P t t t P tP t P t

t P t t

(3.20)

'( 1)K t - ganho do estimador MQR com fator de esquecimento

'( )P t -matriz de covariância do estimador MQR com fator de esquecimento

O programa computacional utilizado neste processo foi o Identmqr, escrito em

linguagem Matlab e implementado na plataforma LabVIEW, (veja Apêndice A).

A Tabela. (3.1) mostra os parâmetros de inicialização do programa Identmqr.

Tabela 3.1-Parâmetros de inicialização do programa computacional Identmqr.

Parâmetros Valores Iniciais

Vetor (0)

Matriz (0)P

0,0

510 * I

20

Fator de Esquecimento 0,97

A qualidade do modelo estimado pode ser verificada utilizando várias técnicas, dentre

elas, tem-se o somatório do erro quadrático (SEQ), dado pela Eq. (3.21) e o coeficiente de

correlação múltipla (R²), dado pela Eq. (3.22) (COELHO e COELHO, 2004).

2

1

ˆ( ) ( )N

j

SEQ y j y j

(3.21)

2

12

2

1

ˆ( ) ( )

1

( ) ( )

N

j

N

j

y j y j

R

y j y j

(3.22)

Quando o valor de R² é igual a um, indica uma exata adequação do modelo para os

dados medidos do processo e para R² entre 0,9 e 1,0; o modelo pode ser considerado

suficiente para muitas aplicações práticas para controle.

Valor mais baixo do SEQ para o conjunto de dados de teste indica o melhor modelo.

Os modelos matemáticos para os elos que compõem o manipulador robótico em estudo

são obtidos através da identificação paramétrica em tempo real, utilizando o MQR. Os

dados coletados são as excitações enviadas do computador para as duas válvulas

eletropneumáticas proporcionais; ux(t), uz(t) e as respostas obtidas que são as posições das

duas hastes dos cilindros pneumáticos; x(t) e z(t).

3.3 ESCOLHA DA ESTRUTURA DO MODELO

Algumas ferramentas podem auxiliar na decisão da escolha da estrutura do modelo: o

sinal de excitação, a determinação da taxa de amostragem e a ordem do sistema,

21

necessárias à identificação. As principais etapas envolvidas na identificação estão

ilustradas no Apêndice A.

Os sinais usados para excitar o sistema com mais de uma entrada, não devem estar

correlacionadas entre si. Pois se os sinais de entrada estiverem correlacionados entre si, o

algoritmo de identificação não saberá a que entrada atribuir um determinado efeito

observado numa determinada saída. Características dinâmicas e estáticas do sistema que

não forem excitadas não apareceram nos dados. O que não estiver nos dados não pode ser

identificado (AGUIRRE, 2007).

Uma regra prática que normalmente funciona bem é, tendo-se definido o tempo de

amostragem, manter constante cada valor escolhido aleatoriamente por um tempo, em

torno de 3 a 5 intervalos de amostragem (AGUIRRE, 2007).

Após a realização de alguns ensaios e levando em consideração os parágrafos

anteriores, foram obtidos os sinais de excitação para os elos X e Z do robô manipulador

conforme mostrado na Fig. (3.3) e Fig. (3.4).

Para se determinar o tempo de amostragem existem vários critérios e um deles é o de

Isermann citado por MALIK et al. (1991), que sugere que o tempo de amostragem aT

possa ser escolhido segundo um critério que é baseado no tempo de estabelecimento da

resposta à entrada degrau aplicada ao sistema. O valor de aT pode ser escolhido entre os

intervalos mostrados na Eq. (3.23).

95% 95%

15 5a

t tT (3.23)

Onde:

aT : tempo ou período de amostragem;

95%t : tempo necessário para que a resposta do sistema à entrada degrau atinja 95% do

seu valor final.

Este critério garante que pelo menos cinco amostras do sinal de saída ao longo de sua

trajetória de subida podem ser captadas pelo sistema de aquisição de dados.

O procedimento para a definição do tempo de amostragem foi dado da seguinte forma:

o sistema foi posicionado na origem (posição inicial do movimento), depois os elos X e Z

22

foram excitados de um pulso e mediu-se o tempo com um cronômetro, que cada elo gastou

para atingir 95% da resposta final. O tempo de amostragem ( aT ) é dado pelo tempo total

( t ) dividido pelo número de amostras ( ) conforme (3.24).

at T (3.24)

O Tempo de amostragem determinado de acordo com a Eq. (3.23) que abrange os dois

elos, nas direções X e Z, foi de 200 ms.

A escolha da ordem do sistema é uma importante tarefa na estimação dos parâmetros,

se um modelo de ordem é empregado incorretamente, pode causar aumento no tempo de

processamento do algoritmo. No trabalho foi utilizado o critério de Akaike (Akaike

Information Criterion-AIC), dado pela Eq. (3.25), para a escolha da ordem dos modelos.

ln[ ] 2NAIC N J p (3.25)

Onde: N é o número de medidas da experimentação e p é o número de parâmetros do

modelo estimado. NJ é determinado por:

2

1

1ˆ( ) ( )

N

N

j

J y j y jN

(3.26)

Inicialmente é escolhido um modelo de baixa ordem e posteriormente aumenta-se a

ordem do modelo estimado e o AIC é avaliado para cada incremento da ordem do modelo.

Assim, a estrutura adequada do modelo estimado é a que proporciona a menor taxa de

variação do critério de informação.

A Tabela. (3.2) apresenta os valores numéricos de AIC para os elos X e Z, onde pn

representa o número de parâmetros por elo de cada uma das estruturas selecionadas, an

representa o número de pólos, bn representa o número de zeros e k representa o atraso de

transporte.

23

Tabela 3.2- Parâmetros do modelo do sistema referentes aos elos X e Z do robô

manipulador.

Modelo an bn k AIC (eloX) AIC(eloZ) pn

01 1 0 1 -524,64 -700,0 2

02 1 1 1 -535,48 -716,9 3

03 1 1 2 -547,21 -803,4 4

04 2 1 1 -647,15 -786,8 4

05 2 1 2 -650,07 -687,4 4

06 2 2 2 -770,91 -800,2 5

07 3 1 1 -647,73 -800,8 5

08 3 1 2 -655,34 -719,1 5

09 3 2 1 -752,81 -835,4 6

Tomando a Tab.(3.2) como base, tem-se:

M1 é composto pelo os modelos de primeira ordem, ou seja, modelos (01), (02), (03).

M2 é composto pelo os modelos de segunda ordem, ou seja, modelos (04), (05), (06).

M3 é composto pelo os modelos de terceira ordem, ou seja, modelos (07), (08), (09).

Verifica-se na Tab.(3.2) para os conjuntos M1, M2 e M3, separadamente, que com o

aumento do número de parâmetros do modelo o valor de AIC diminuiu como era de se

esperar. Quando o número de parâmetros for igual nos conjuntos M1, M2, M3, considera-

se o menor valor de AIC, tanto para o elo X, quanto para o elo Z.

As Figuras (3.1) e (3.2), representam o critério de informação Akaike para os conjuntos

M1, M2 e M3.

24

Figura 3.1-Modelos para o elo X do robô manipulador

Figura 3.2-Modelos para o elo Z do robô manipulador

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

0,1

1M 2M 3M

Ordema1

Ordema2

Ordema3

Cri

téri

o d

e In

form

ação

de

Akai

ke

(AIC

)

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

0,1

1M 2M 3M

Ordema1

Ordema2

Ordema3

Cri

téri

o d

e In

form

ação

de

Akai

ke

(AIC

)

25

As menores taxas de variação do critério de informação que podem ser avaliados para

manter a ordem do sistema da planta estimada tão simples quanto possível (princípio da

parcimônia) (COELHO E COELHO, 2004), foi para o sistema de segunda ordem.

As Tabelas (3.3) e (3.4) apresentam os valores numéricos para os conjuntos M1, M2,

M3 do somatório do erro quadrático (SEQ) dado pela Eq.(3.21) e o coeficiente de

correlação múltipla (R²) dado pela Eq. (3.22).

Tabela 3.3. Índice de desempenho do elo X

Modelo an bn k SEQ R

2

01 1 0 1 0,778 0,9953

02 1 1 1 0,443 0,9965

03 1 1 2 0,562 0,9964

04 2 1 1 0,219 0,9986

05 2 1 2 0,119 0,9987

06 2 2 2 0,092 0,9993

07 3 1 1 0,203 0,9986

08 3 1 2 0,176 0,9988

09 3 2 1 0,074 0,9995

Tabela 3.4. Índice de desempenho do elo Z

Modelo an bn k SEQ R

2

01 1 0 1 0,153 0,9989

02 1 1 1 0,131 0,9984

03 1 1 2 0,050 0,9996

04 2 1 1 0,054 0,9996

05 2 1 2 0,139 0,9990

06 2 2 2 0,070 0,9994

07 3 1 1 0,051 0,9996

08 3 1 2 0,095 0,9930

09 3 2 1 0,034 0,9997

26

Conforme os resultados da Tab. (3.3) e da Tab. (3.4) verifica-se que os modelos com

três pólos, dois zeros e um atraso de transporte, têm os melhores índices de desempenho,

porém, todos os modelos apresentaram um coeficiente de correlação múltipla entre o

intervalo de 0,99 a 1, o que credencia quaisquer das configurações acima como aptas para

serem utilizadas para o projeto de controle (COELHO E COELHO, 2004). Para realização

do experimento foi utilizado um modelo com dois pólos, um zero e um atraso de

transporte, baseado no que foi definido anteriormente pelo critério de AIC e pelos

resultados da Tab. (3.3) e Tab. (3.4) que o credenciam para utilização no projeto de

controle.

Na realização dos experimentos utilizou-se: tempo de amostragem Ts = 200 ms; como

excitação para o elo X, a seqüência mostrada na Fig. (3.3) e para o elo Z, a seqüência

mostrada na Fig. (3.4); valores iniciais nulos para os parâmetros ia e jb dos dois elos; na

estimação com o MQR fator de esquecimento = 0,97. O sistema funciona da seguinte

forma: duas válvulas eletropneumáticas excitam os dois elos do robô, X e Z e suas

posições são medidas. De posse desses dados; ux(t), uz(t), x(t), z(t), os estimadores MQR

estimam os parâmetros dos elos X e do elo Z utilizando o modelo ARX, com dois pólos,

um atraso e um zero.

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tempo (s)

Excitação n

o E

lo X

(V

)

27

Figura 3.3. Excitação no elo X do Robô Manipulador.

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Tempo (s)

Excitação n

o E

lo Z

(V

)

Figura 3.4. Excitação no elo Z do Robô Manipulador.

A Figura (3.5) mostra a saída real e estimada com o algoritmo MQR do elo X; e a Fig.

(3.6) mostra a saída real e estimada com o mesmo algoritmo, do elo Z.

0 5 10 15 20 25-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Tempo (s)

Posiç

ão R

eal e E

stim

ada d

o E

lo X

(m

m)

saída estimada

saída real

Figura 3.5. Saída estimada com o MQR e real, do elo X do robô manipulador.

28

0 5 10 15 20 25-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Tempo (s)

Posiç

ão R

eal e E

stim

ada d

o E

lo Z

(m

m)

saída estimada

saída real

Figura 3.6. Saída estimada com o MQR e real, do elo Z do robô manipulador.

O erro de previsão, do modelo de segunda ordem escolhido, é apresentado nas Fig.

(3.7) e Fig. (3.8).

0 5 10 15 20 25-80

-60

-40

-20

0

20

40

Tempo(s)

Err

o d

e E

stim

ação d

o E

lo X

(m

m)

Figura 3.7. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo X do robô

manipulador.

29

0 5 10 15 20 25-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Tempo(s)

Err

o d

e E

stim

ação d

o E

lo Z

(m

m)

Figura 3.8. Erro de previsão para o modelo de segunda ordem do elo Z do robô

manipulador.

As Figuras (3.9) e (3.10), mostram a evolução dos parâmetros ia e jb estimados em

tempo real através do programa Identmqr, referentes ao elo X e Z, considerando os

modelos escolhidos.

0 10 20 30-2

-1.5

-1

-0.5

0

Tempo (s)

Parâ

metr

o a

1x

0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

Tempo (s)

Parâ

metr

o a

2x

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tempo (s)

Parâ

metr

o b

1x

0 10 20 30-0.05

0

0.05

0.1

0.15

Tempo (s)

Parâ

metr

o b

2x

Figura 3.9. Parâmetros estimados do elo X do robô manipulador.

30

0 10 20 30-1.5

-1

-0.5

0

Tempo (s)

Parâ

metr

o a

1z

0 10 20 30-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Tempo (s)

Parâ

metr

o a

2z

0 10 20 300

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo (s)

Parâ

metr

o b

1z

0 10 20 30-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Tempo (s)

Parâ

metr

o b

2z

Figura 3.10. Parâmetros estimados do elo Z do robô manipulador.

3.4 ESTRUTURA DO MODELO

Definindo a priori a estrutura do modelo do robô manipulador, conforme determinação

realizada anteriormente, e os índices x e z para as variáveis u, y e , considerando que

cada elo, tem dois pólos, um zero e um atraso de tempo, tem-se da Eq.(3.4):

1 2 1 2( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( )x x x x x x xy t a x t a x t b u t b u t e t (3.27)

1 2 1 2( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( )z z z z z z zy t a z t a z t b u t b u t e t (3.28)

Com a solução da Eq. (3.18), obtêm-se os parâmetros ˆ ( )x t e ˆ ( )z t do robô

manipulador, conforme as Eq. (3.29) e Eq. (3.30).

1 2 1 2ˆ ( )x x x x xt a a b b (3.29)

1 2 1 2ˆ ( )z z z z zt a a b b (3.30)

31

As respostas estimadas ˆ ( )xy t e ˆ ( )zy t são obtidas pela Eq. (3.31) e Eq. (3.32).

ˆˆ ( ) ( ) ( )Tx x xy t t t (3.31)

ˆˆ ( ) ( ) ( )Tz z zy t t t (3.32)

3.5 CONCLUSÃO

Este capítulo apresentou a identificação de dois elos de um robô manipulador de 3

(GDL) cartesiano, acionado por sistemas eletropneumáticos.

Neste modelamento, o algoritmo MQR é utilizado em tempo real para a identificação

dos parâmetros do sistema. O robô manipulador é cartesiano, então os movimentos dos

seus elos são desacoplados, logo a identificação é realizada de forma independente para

cada elo. O MQR foi implementado por meio do programa Identmqr e o processo

estimativo em tempo real se deu utilizando os dados da Tab.(3.2).

O bom desempenho do MQR na estimação dos parâmetros em tempo real foi

constatado a partir das Fig. (3.5) e Fig. (3.6) referentes aos elos X e Z, respectivamente.

Para avaliação da qualidade do modelo matemático obtido através do algoritmo foi

verificado que o coeficiente de correlação múltilpla ficou muito próximo da unidade e que

o somatório do erro quadrático (SEQ) teve valor bem pequeno.

Tomando por base os resultados obtidos, pode-se afirmar que os modelos determinados

conforme as Eq.(3.29) e Eq.(3.30) podem ser utilizados para projetos de controladores

adaptativos

32

CAPÍTULO 4

PROJETO DO CONTROLADOR DMV PARA OS ELOS X E Z DO

ROBÔ MANIPULADOR DE TRÊS GRAUS DE LIBERDADE (3 GDL)

CARTESIANO

4.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo aborda a estratégia de projeto do controlador de Dahlin-Variância

Mínima (DMV) utilizado no controle de posição, dos elos X e Z, do Robô Manipulador

Eletropneumático de Três Graus de Liberdade cartesiano (3 GDL). A seção 4.2 apresenta

alguns trabalhos sobre a estratégia de controle DMV. As seções 4.2.1, 4.2.2 e 4.2.3

apresentam a estratégia de variância mínima, o controle de Dahlin e o controlador DMV,

respectivamente. A seção 4.3 apresenta os procedimentos de projeto do controlador DMV

para obtenção da lei de controle do manipulador robótico em estudo, assim como as

especificações impostas para o projeto do controlador. A seção 4.4 apresenta os resultados

experimentais e a seção 4.5 a conclusão.

4.2 HISTÓRICO

DAHLIN (1968) propôs uma estratégia de controle para solucionar sistemas MIMO,

denominada Método de Síntese Direta (DMV), a mesma têm como objetivo, fazer com que

a dinâmica do sistema em malha fechada comporte-se como um sistema de primeira ordem

com atraso de transporte. A desvantagem desta estratégia dá-se a seu fraco desempenho em

relação à fase não-mínima, porém tem bom desempenho frente a atrasos de transporte,

simplicidade analítica e controle do tempo de convergência para referência através de um

único parâmetro de projeto.

A estratégia de controle do DMV, proposta inicialmente por KHALIL (1992), tinha

como objetivo combinar as estratégias de Dahlin e variância mínima, resultando em um

33

controlador robusto, flexível e com desempenho competitivo. Esta combinação garantia

erro nulo em regime permanente entre a saída do processo e a referência, mas possuía

dificuldade em controlar sistemas de fase não-mínima. Este problema foi solucionado por

AL-CHALABI E KHALIL (1994), propondo uma alteração na lei de controle para

contornar a limitação.

VAZ E COELHO (1996 a e b) propõem uma modificação ao controlador DMV para

garantir erro médio nulo em regime permanente entre a saída original do processo e a

referência, quando se atribui uma constante Q ao parâmetro do controlador de AL-

CHALABI E KHALIL (1994). Esta nova estrutura é conhecida como controlador de

Dahlin-Variância Mínima Modificado (MDMV).

VAZ (1999) propôs uma análise das técnicas de controle para garantir erro médio em

regime permanente para os controladores de Variância Mínima Generalizada (GMV) e de

Dahlin-Variância Mínima (DMV). Os resultados obtidos confirmam que ambos os

controladores apresentam tempo de estabilizações similares, porém o GMV apresentou um

índice de desempenho melhor do que o DMV. Como foram poucos os casos estudados não

se estabeleceu uma regra entre as duas abordagens. Dentre o DMV com Q incremental, o

DMV Modificado (VAZ E COELHO, 1996 a e b) e o DMV de Favier e Hassini (FAVIER

e HASSANI, 1982). O DMV com Q incremental apresentou melhor variância do sinal de

controle (variância da diferença entre o sinal de controle e sua média), porém pior

variância das saídas (variância da diferença entre a saída do processo e a referência). Por

outro lado, os resultados obtidos para o DMV não permitiram indicar uma estratégia com

melhor desempenho geral.

ALMEIDA et al. (1999) propuseram em seu artigo o uso do controlador preditivo de

variância mínima de Dahlin combinado a um controlador PID nebuloso com ganho

escalonado. A intenção era explorar a combinação de um conjunto de regras nebulosas que

leva a saída do sistema, com uma rápida convergência para a referência, com a capacidade

preditiva e de robustez do controlador preditivo de Dahlin. Os resultados obtidos

confirmam que com a abordagem combinada, foi possível explorar melhor as

características de cada método.

34

4.2.1 Controle Auto-Ajustável com base na estratégia de Variância Mínima

Esse tipo de controle tem como objetivo minimizar a variância na saída de um sistema

que é submetido a uma perturbação estocástica.

Considerando o sistema descrito pelo modelo ARMAX (Modelo Auto-regressivo com

média móvel e entradas exógenas) e com função de transferência discreta linear, conforme

Eq. (4.1) (AGUIRRE, 2007; COELHO E COELHO, 2004; WITTENMARK, 1995 e

LJUNG, 1999).

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kA Z y t Z B Z u t C Z e t (4.1)

Onde: ( )u t é a variável de controle, ( )y t é a saída do sistema e representa um ruído

branco filtrado incidente sobre o sistema. A, B e C na Eq. (4.2) são polinômios

característicos do sistema.

1 1

1( ) 1na

naA Z a Z a Z

1 1

0 1 0( ) , 0nb

nbB Z b b Z b Z b (4.2)

1 1

1( ) 1nc

ncC Z c Z c Z

A formulação da Lei de controle pode ser expressa em termos de otimização por uma

função-custo dada por:

2[ ( )]J E y t k (4.3)

Após algumas operações matemáticas e considerando o sistema da Eq. (4.1) no instante

t+k, tem-se:

1 1

1 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

B Z C Zy t k u t e t k

A Z A Z

(4.4)

35

Que pode ser re-expressa em função da perturbação como:

1 1

1

1 1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

C Z G Ze t k F Z e t k e t

A Z A Z

(4.5)

Note que a perturbação foi convenientemente dividida em duas seqüencias:

1( ) ( )F Z e t k e1

1

( )( )

( )

G Ze t

A Z

, que representam respectivamente os valores futuros não

disponíveis neste instante e a outra composta por informações até e incluindo o instante t.

Conseqüentemente C

A da Eq. (4.5) pode ser expressa como:

kC GF ZA A

(4.6)

A Equação (4.6) é definida como identidade polinomial. (VAZ, 1999), onde:

1 ( 1)

1 11 ...k

kF f Z F Z

1

0 1 ...ng

ngG g g Z g Z (4.7)

max ( 1, )g a cn n n k

de tal forma que F representa os primeiros k termos da expressão de C

A.

Manipulando adequadamente (4.1), (4.4) e (4.6) tem-se:

( ) [ ( ) ( )] ( ) ( 1)[ ( ) ( )]y t k BFu t Gy t Fe t k C y t k Fe t k (4.8)

Se o controle aplicado é escolhido de forma que

( ) ( ) 0BFu t Gy t (4.9)

36

Então o último termo da Eq. (4.8) desaparece. (ÂSTROM AND WITTENMARK,

1973), dando:

( ) [ ( ) ( )] ( )y t BFu t k Gy t k Fe t (4.10)

E, a Eq.(4.9) é a lei de controle que minimiza a função custo J. (ÂSTROM AND

WITTERMARK, 1973). Logo, da Eq.(4.9), tem-se:

( ) ( )G

u t y tBF

(4.11)

Observa-se que o controlador resultante na Eq.(4.11) incorpora o cancelamento de

zeros do sistema em malha aberta, ou seja, o polinômio B deve possuir todos os zeros

dentro do círculo unitário (sistema de fase-mínima). Caso contrário, qualquer variação

paramétrica conduz em um comportamento instável do sistema em malha fechada, como

no caso de sistema de fase não-mínima, mesmo que a estratégia descrita anteriormente o

conduza para um desempenho de variância mínima. O que torna a estratégia de variância

mínima numa técnica não robusta. Outras suposições para o desenvolvimento do

controlador que devem ser respeitadas é o conhecimento do atraso do transporte e a ordem

do sistema que deve ser conhecida ou pelo menos limitada.

Dado um sinal de referência ( )ry t , a função de transferência de malha fechada do

sistema de controle é dada por:

( ) [ ( ) ( )] ( )k rB G C

y t Z y t y t e tA BF A

(4.12)

Usando a Eq. (4.6) na Eq. (4.12) e realizando algumas operações matemáticas, tem-se:

( ) ( ) ( )k rBF

y t Z y t Fe tC

(4.13)

37

4.2.2 Controle de Dahlin

O projeto do controlador de DAHLIN (1968) baseia-se no cancelamento da dinâmica

do sistema, de modo que em malha fechada o mesmo se comporte como um sistema de

primeira ordem com o atraso de transporte.

A saída do sistema utilizando o controlador proposto por Dahlin, que visa reduzir o erro

de estado estacionário por um ajuste, é dada por:

ry(t)=py(t-1)+(1-p)y (t-k'-1) (4.14)

Onde: k' é um inteiro truncado d

sT

, d é o atraso de transporte, sT é o período de

amostragem, Tsp e ,

1

, é o parâmetro de ajuste de Dahlin e é a constante de

tempo do sistema. Quando tende a um valor muito alto, p se aproxima de zero e o

controle é mais rápido, e para valores de pequenos, p tende para a unidade e o controle é

mais lento. Por este fato, defini-se o parâmetro p como o ajuste de Dahlin, por possuir

valores numa faixa limitada. Assim, o parâmetro p pode ser ajustado para obter a

velocidade da resposta desejada.

O critério de Dahlin para a dinâmica do sistema em malha fechada pode ser expresso

pela função de transferência em malha fechada dada pela Eq. (4.15):

1

r

Y (1 )

Y 1

kp Z

pZ

(4.15)

A Eq. (4.15) pode ser equivalentemente convertida em uma estrutura em malha aberta

(ZAFIRIOU E MORARI, 1985). O algoritmo de controle equivalente em malha aberta,

0D , é então usado para obter a resposta desejada em malha fechada.

38

A equação de síntese para o controlador de Dahlin considerando o algoritmo de

controle equivalente em malha aberta é dado por:

0

0

1

r

YD

G Y (4.16)

Usando a Eq. (4.15) na Eq.(4.16), tem-se:

0 1

0

1 (1 )

1

kp ZD

G pZ

(4.17)

Na Equação. (4.17), 0G é a função de transferência do sistema, dada na Eq. (4.13),

desprezando o termo relacionado à perturbação, conforme Eq. (4.18):

0

k BFG ZC

(4.18)

4.2.3 Controlador DMV

O controlador DMV combina o controlador de Dahlin com o controlador de variância

Mínima, cuja lei de controle é dada por:

( ) ( )rCX G

u y t y tBF CX

(4.19)

Substituindo a Eq.(4.18) na Eq.(4.17), tem-se:

0

CXD

BF

(4.20)

E,

1

(1 )

(1 )

pX

pZ

(4.21)

39

A Figura (4.1) mostra a estrutura do controlador DMV e planta, através do diagrama de

blocos.

Figura 4.1- Estrutura do controlador DMV e planta

A desvantagem dessa estrutura é a impossibilidade de controlar sistemas de fase não-

mínima. AL-CHALABI e KHALIL (1994) contornaram esta limitação com uma alteração,

que consistia em adicionar uma parcela CQ no denominador do bloco direto do

controlador. Dessa forma a Eq. (4.20), transforma-se em:

0 ff

CXD

BF CQ

(4.22)

E a nova lei de controle alterada para tratar de sistemas de fase não mínima é dada por:

( ) ( )rCX G

u y t y tBF CQ CX

(4.23)

40

A função de transferência suplementar; Eq. (4.24) foi introduzida na estrutura de

controle, como mostra o digrama de blocos da Fig. (4.2).

/ks

CQ FG Z

A

(4.24)

Figura 4.2- Estrutura do controlador DMV com alteração e planta.

4.3 PROCEDIMENTOS PARA O PROJETO DO CONTROLADOR DMV COM

ALTERAÇÃO

Para obtenção das leis de controle dos elos X e Z do robô manipulador a ser

implementada no programa computacional Labview e Matlab foi definida inicialmente a

estrutura da planta obtida no Capítulo 3: modelo ARX com dois pólos, um zero e um

atraso de transporte, conforme Eq. (4.25).

A estrutura definida para a planta.

41

1 11

0 1

1 1 2

1 2

( )( )

( ) (1 )

k Z b b ZY B ZZU A Z a Z a Z

(4.25)

Da Eq. (4.25) tem-se:

1 2

1 2

1 2

1 21

b Z b ZY

U a Z a Z

(4.26)

Considerando a estrutura do modelo definida para cada elo do robô manipulador, tem-

se:

1( ) 1C Z (4.27)

0cn

1 1 2

1 2( ) 1A Z a Z a Z

(4.28)

1 1

0 1( )B Z b b Z

(4.29)

max( 1, 1) max(2 1,0 1) 1g a cn n n

1 1 1 0fn k

1( ) 1 oF Z f

(4.30)

1 1

0 1( )G Z g g Z

(4.31)

Substituindo as Equações (4.27), (4.28), (4.30) e (4.31) em (4.6), tem-se que:

1 2 1 1

1 2 0 0 11 (1 )(1 ) ( )a Z a Z f Z g g Z

(4.32)

Resolvendo a Eq. (4.32) e com algumas operações matemáticas conforme Eq.(4.33) e

Eq. (4.34), chega-se ao conjunto de parâmetros dados pela Eq. (4.35) e Eq.(4.36).

1 2 1 2 1 2

1 2 0 1 0 2 0 0 11 1 a Z a Z f a f Z a f Z g Z g Z

(4.33)

42

1 2

0 1 1 0 0 2 2 0 11 (1 ) ( ) ( )f a a f g Z a a f g Z

(4.34)

0 0f

0 1g a

(4.35)

1 2g a (4.36)

Substituindo (4.35) e (4.36) em (4.30) e (4.31), tem-se:

1( ) 1F Z (4.37)

1 1

1( ) oG Z g g Z

(4.38)

Substituindo as Equações (4.21), (4.27), (4.29), (4.37), (4.38) em (4.19), obtém-se a lei

de controle DMV conforme Eq.(4.39).

110 1

1

0 11

1

1( ) ( ) ( )

1( )

1

r

p

g g ZpZu t y t y t

pb b Z

pZ

(4.39)

Da Eq. (4.39), obtém-se:

1 1

0 1

1 1

0 1

( ) ( )(1 ) ( )1( )

(1 )( ) 1

ry t g g Z pZ y tpu tpZ b b Z p

1 1

0 1

1 1

0 1

(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )1( )

(1 )( ) 1

rp y t g g Z pZ y tpu tpZ b b Z p

1 1 1 1

0 1 0 1( ) (1 )( ) (1 ) ( ) ( )(1 ) ( )ru t pZ b b Z p y t g g Z pZ y t

1 1 2 1 1 2

0 1 0 1 0 0 1 1( )( ) (1 ) ( ) ( ) ( )ru t b b Z pb Z pb Z p y t g g pZ g Z g pZ y t

0 1 0 1 0 0 1

1

( ) ( ) ( 1) ( 2) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1)

( 2)

ru t b b pb u t pb u t p y t g y t g p g y t

g py t

1 0 1 0 0 1

0

1

1( ) [ ( ) ( 1) ( 2) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1)

( 2)]

ru t b pb u t pb u t p y t g y t g p g y tb

g py t

(4.40)

43

Considerando agora o polinômio Q de projeto dado abaixo:

1

0 1Q q q Z

(4.41)

Para a escolha do parâmetro Q foi levado em consideração um estudo proposto por

VAZ (1999). O mesmo relata que o controlador de AL-CHALABI E KHALIL (1994)

apresenta deficiências com relação à garantia de erro nulo em regime permanente entre a

saída do processo original e a referência, quando se atribui uma constante ao parâmetro Q .

Para o projeto do controlador em estudo, foi verificada esta deficiência, por este motivo foi

adotado um polinômio Q de primeira ordem. Para a sintonia dos parâmetros Q de projeto,

os parâmetros p foram pré-fixados e variou todas as possibilidades possíveis para Q .

E, substituindo as Equações (4.21), (4.27), (4.29), (4.37), (4.38), (4.41) em (4.23),

obtém-se a lei de controle do controlador DMV com alteração, conforme Eq. (4.42).

110 1

1 1

0 1 0 11

1

1( ) ( ) ( )

1( ) ( )

1

r

p

g g ZpZu t y t y t

pb b Z q q Z

pZ

(4.42)

Da Eq. (4.42), obtém-se:

1 1

0 1

1 1 1

0 1 0 1

(1 ) ( ) ( )(1 ) ( )1( )

(1 )( ) 1

rp y t g g Z pZ y tpu tpZ b b Z q q Z p

1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1( )(1 )( ) (1 ) ( ) ( )(1 ) ( )ru t pZ b b Z q q Z p y t g g Z pZ y t

1 1 2

0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( )

( ) ( 1) ( 2)

ru t b q b q Z p b q Z p b q Z p y t g y t

g p g y t g py t

0 0 1 1 0 0 1 1 0

0 1 1

( )( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) (1 ) ( ) ( )