UnifebEngenharia Ambiental

Modelagem de Sistemas Ambientais

Prof. Marcelo Henrique

Definições• A modelagem ambiental é o processo pelo qual utilizamos métodos

matemáticos para tentar representar um ou mais fenômenosambientais.

• Estes métodos podem ser baseados nas leis físicas que governam aevolução espacial e temporal do fenômeno, ou em técnicasmatemáticas/estatísticas que utilizam o conhecimento de dadosextraídos a partir de medições de um determinado fenômeno,agregados através de uma série temporal, para poder predizer o seufuturo.

• Pode-se utilizar modelos matemáticos tanto para se realizarsimulações ou previsões. Nas simulações já se conhece o valor davariável que se quer prever, diferentemente das previsões.

Definições• Alguns fenômenos físicos não possuem soluções analíticas para todas

as suas equações primitivas. Nestes casos são utilizados métodosnuméricos, tais como diferenças, volumes e elementos finitos, parasimplificar a sua solução e poder transcrever as equações preditoraspara um código computacional.

• Dentre os modelos que extraem o conhecimento dos dados, asprincipais categorias são:

• Modelos baseados em Redes Neurais;

• Modelos puramente Estatísticos;

• Modelos Estocásticos;

• Modelos baseados em Mineração de Dados.

Definições• Alguns processos podem ser modelados através de modelagem física.

• Neste tipo de modelagem são feitos experimentos reduzidos dasistema ambiental a ser modelado.

• São feitos ajustes de escala matemáticos, por leis de similaridade

• Exemplos: túnel de vento, tanque oceânico, modelo reduzido deusinas hidrelétricas.

Histórico – Modelagem Atmosférica Pierre Simon Laplace (1812) – “...conhecendo-se as massas, a posição e a

velocidades de todas as partículas em um intervalo de tempo singular, é possível se calcular com precisão os os seus eventos passados e futuros...”;

Vilhelm Bjerknes (1904) - Desenvolveu os princípios matemáticos básicospara resolver as equações governantes de fluxo da Atmosfera e do Oceano;

Lewis Fry Richardson (1922) - Utilizando as equações básicas de movimento na atmosfera desenvolveu o primeiro sistema de previsão do tempo, utilizando uma máquina de calcular;

Carl Gustav Rossby (1930) – Utilizou o caráter ondulatório da circulaçãogeral da atmosfera para criar uma simplificação das equações do modelode circulação da atmosfera;

Histórico - Modelagem Atmosférica Jule Charney (1950) – Liderou um grupo de pesquisadores a realizar

prognósticos de tempo no ENIAC/Universidade de Princeton, utilizandoas equações de Rossby;

Norman Phillips (1956) – Adicionou uma “forçante” nos termos da equações de Rossby, observando variações nos padrões da circulaçãogeral da atmosfera – Início dos modelos de circulação geral da atmosfera;

Modelos Oceânicos de larga escala só tiveram início na década de 60;

Criação do Geophysical Fluid Dynamics Laboratory (GFDL) sob a direção de Joseph Smagorinsky.

Início da modelagem numérica do tempo no Brasil através do CPTEC/INPE

Principais centros de pesquisa – NASA/DAO, GFDL/NOAA, IRI, NCAR

Sistema ClimáticoHidrosfera - A hidrosfera é constituída por toda a água, em estado líquido, noglobo. Inclui os oceanos, lagos, rios e águas subterrâneas. Cobre aproximadamentedois terços da superfície do globo e, assim, a maior parte da radiação que chega àsuperfície da Terra é absorvida por eles. Os oceanos são grandes reservatórios deenergia.

Criosfera - A criosfera compreende as grandes massas de gelo e neve na superfíciedo globo. Inclui os extensos campos de gelo na Gronelândia e Antártida, e outrosglaciares continentais, campos de neve, gelo do mar e solo gelado. A criosferarepresenta o maior reservatório de água doce na Terra, mas sua importância para osistema climático global é o elevado albedo (reflexão da radiação solar) da neve eda sua baixa condutividade térmica.

Litosfera - A litosfera inclui os continentes, que cobrem cerca de 27% da superfícieterrestre e cuja topografia influencia o clima. Por exemplo, o clima nas regiõesmontanhosas pode ser completamente diferente de um clima de uma região deplanície.

Biosfera - A biosfera é constituída por todos os seres vivos que existem no mar eterra.

Sistema Climático

Sistema Climático

Sistema Climático

Sistema Climático

Histórico - Modelagem Hidrológica Em 1932, Sherman desenvolveu o Hidrograma Unitário.

Em 1933, Horton desenvolveu a teoria da infiltração, cujo modelo, a não serpara microbacias do semiárido com solos rasos e desprovidos de vegetação,não funciona bem para a quantificação do escoamento direto emmicrobacias de clima úmido.

Em 1939, MacCarthy desenvolveu um modelo de escoamento em rios,baseando-se no modelo Muskingun e Puls para o escoamento emreservatório.

Somente na década de 50, em função da disponibilidade do computador e doaprimoramento de técnicas numéricas e estatísticas, houve umdesenvolvimento acelerado de modelos semi-conceituais ou conceituais detransformação precipitação-vazão como os modelos SSARR

Histórico - Modelagem Hidrológica Os modelos conceituais representam os principais processos do ciclo

hidrológico, utilizando funções empíricas e a equação da continuidade paracada uma das partes. Vários modelos foram propostos a seguir, sediferenciando no maior ou menor detalhamento de partes do ciclohidrológico ou nas propostas de novas equações empíricas.

As décadas de 60 e 70 foram marcadas pela introdução de vários outrosmodelos que contribuíram com características singulares, dentre outros sedestacando o Stanford IV que introduziu a distribuição espacial daavaliação da infiltração

No final da década de 70, surgiram os modelos que utilizavam a modelagemhidrológica somente dos parâmetros dos processos mais importantes. Pormeio dessa simplificação foi possível obter resultados equivalentes aos dosmodelos que representam quase todos os processos, devido à pequenasensibilidade dos demais parâmetros. Seguindo essa linha surgiram modeloscom menor número de funções e parâmetros e mais eficientes para aengenharia , como o IPH II e o SMAP

Balanço de água no solo

Histórico – Outras Modelagens Com a evolução das técnicas matemáticas e estatísticas, em paralelo com o

avanço computacional, foram desenvolvidos, para quaisquer ramos daciência, modelos baseados em Inteligência Artificial (Redes Neurais) emodelagem autorregressiva.

A primeira versão de um neurônio artificial foi proposta por McCulloch(neurofisiologista) e Pitts (matemático), que em 1943, apresentaram umestudo sugerindo a construção de uma máquina baseada no que se conhecia,até então, do funcionamento do cérebro humano.

Somente em 1958, Rosemblatt desenvolveu a primeira aplicação prática destetipo de estudo, com a criação de uma Rede Neural do tipo Perceptron, capazde reconhecer padrões após um período de aprendizado;

Entre 1958 e 1982 os estudos sobre RN foram muito desestimulados, devido asuspeita de que uma RN somente poderia reconhecer padrões lineares. Em1982 o estudo de Hopfield mostrou a capacidade de uma RN aprenderpadrões não-lineares.

Histórico – Outras Modelagens

Multi-Layer Perceptron.

Histórico – Outras Modelagens Desde 1960 os modelos estocásticos do tipo autorregressivos vem sendo

utilizados para a previsão do comportamento de séries temporais.

a maioria dos métodos de previsão de séries temporais se baseia na suposiçãode que observações passadas contém todas as informações sobre o padrão decomportamento da série temporal e esse padrão é recorrente no tempo. Opropósito dos métodos de previsão consiste em distinguir o padrão de qualquerruído que possa estar contido nas observações e então usar esse padrão paraprever os valores futuros da série temporal. Assim, pela identificação dessecomponente, a previsão para períodos de tempo subsequentes ao observadopode ser desenvolvida.

Histórico – Outras Modelagens

Histórico – Outras Modelagens

> Modelo AR(p)

Obtém-se, então a função de auto-covariância e de autocorrelação:

at=φ(B )( xt− x )

xt− x =φ1 ( xt− 1− x )+φ2 ( xt− 2− x )+. ..+φp ( xt− p− x )+at

φ (B )= (1− φ1B− φ2B2− . ..− φp B

p)

γ k=φ1γ k− 1+φ2 γk− 2− .. .− φp γ k− p , para k > 0

ρk =φ1 ρk− 1+φ2 ρk− 2− . ..− φ p ρk− p

Assumindo os valores de k = 1, 2,..., p, tem-se asequações de Yule-Walker:

ρ1=φ1+φ2 ρ1− . ..− φ p ρp− 1

ρ2=φ1 ρ1+φ2− . ..− φ p ρp− 2

ρp=φ1 ρp− 1+φ2 ρp− 2− .. .− φp

Tipos de modelos• Dependendo da natureza do fenômeno, da qualidade dos dados

observados e/ou da antecedência que se deseja prever o seucomportamento futuro, deve-se dividir a modelagem em dois ramos:

• Determinístico: quando se define um único valor para uma oumais variáveis;

• Estocástico: quando se define uma série de valores e suasprobabilidades de ocorrência (cenários).

• Atualmente também são obtidos cenários de previsões determinísticasatravés da técnica de previsão por conjuntos, ou Ensemble.

Denominações clássicas• Modelos Caixa Branca: modelagem que busca identificar e analisar as

estocagens, fluxos e outro processos, a fim de obter conhecimentodetalhado e claro de como a organização interna do sistema funcionana transformação dos “dados de entrada” em “dados de saída”;

• Modelos Caixa Cinza: envolve conhecimento parcial dofuncionamento do sistema, quando o interesse se centraliza em umnúmero limitado de subsistemas, não se considerando todas as suasoperações internas;

• Modelos Caixa Preta: o sistema em seu todo é tratado como unidade,sem qualquer consideração a propósito de sua organização efuncionamento interno. A atenção dirige-se somente para os dados deentrada e saída.

Outras técnicas• Um outro tipo de modelagem que vem sendo bastante utilizada são os

modelos de classificação e de reconhecimento de padrões (dataminning e text mining). Normalmente são modelos do tipo caixapreta, baseados em regras de associação ou inteligência artificial.

• Os modelos de otimização tem como objetivo a exploração dos dadosfuturos incertos e informações incompletas, de forma a melhorar aqualidade final do desempenho global, isto é, a qualidade de decisõesatravés do horizonte de tempo, ou aumentar a robustez do modelo.

• Os modelos de otimização são empregados em problemas que nãopossuem formulação analítica baseada em leis físicas, com muitosgraus de liberdade e inúmeras restrições.

Modelos de Otimização

• Atividades HumanasCompanhias aéreas programam operações com aeronaves e

tripulações para minimizar custo

Investidores visam encontrar portfólios que maximizem o retorno financeiro, considerando um nível aceitável de risco

NaturezaSistemas físicos tendem a um estado de mínima energiaMoléculas em um sistema físico isolado reagem entre si até que a

energia potencial de seus elétrons seja minimizada

Importante instrumento metodológico para tomada de decisões e análise de sistemas físicos

Modelos de Otimização

• Identificação de objetivoMedida de desempenho: lucro, custos, energia potencial, ou

qualquer combinação de quantidades que possa ser representada numericamente

Objetivo é modelado por um conjunto de variáveis ou incógnitas

Identificação de restriçõesCom frequência as variáveis apresentam restrições em seus

valores – e.g., potência de uma unidade geradora de eletricidade não pode ser negativa

Variáveis + Objetivo + Restrições

Modelagem

Variáveis + Objetivo + Restrições

Modelagem

Modelos de Otimização

• Modelagem: pode ser o ponto mais importante (Simplicidade x precisão) e (complexidade x dificuldade de solução)

Resolução: não existe um algoritmo universalCada algoritmo é projetado para uma classe de problemasEscolha determina eficiência e quando uma solução será encontrada

Identificar/caracterizar uma soluçãoExpressões matemáticas elegantes: condições de otimalidadeSe essas condições não são atendidas, pode-se obter informações

importantes para melhorar a estimativa de uma nova solução candidata

Técnicas de análise de sensibilidadeDetalham a sensibilidade da solução com respeito a mudanças no

modelo