12 ASSOCIAO EDUCACIONAL DOM BOSCO FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE CURSO DE ENGENHARIA ELTRICA COM NFASE EM ELETRNICA

ALEXANDRE DA SILVA MIGUEL BRUNO CARVALHO DOS SANTOS ENOQUE DE JESUS SILVA

ESTUDO, CONSTRUO E MODELAGEM DE UM PNDULO INVERTIDO PARA O LABORATRIO DE CONTROLE DA FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE

RESENDE/RJ 2011

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ALEXANDRE DA SILVA MIGUEL BRUNO CARVALHO DOS SANTOS ENOQUE DE JESUS SILVA

ESTUDO, CONSTRUO E MODELAGEM DE UM PNDULO INVERTIDO PARA O LABORATRIO DE CONTROLE DA FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Associao Educacional Dom Bosco como requisito parcial para a obteno dos graus de Engenheiros Eletricistas com nfase em Eletrnica.

Orientador: Prof. MSc. Andr Tomaz de Carvalho

RESENDE/RJ 2011

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ALEXANDRE DA SILVA MIGUEL BRUNO CARVALHO DOS SANTOS ENOQUE DE JESUS SILVA

ESTUDO, CONSTRUO E MODELAGEM DE UM PNDULO INVERTIDO PARA O LABORATRIO DE CONTROLE DA FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE

Trabalho de Concluso de Curso apresentado Associao Educacional Dom Bosco como requisito parcial para a obteno dos graus de Engenheiros Eletricistas com nfase em Eletrnica.

BANCA EXAMINADORA

______________________________________________ Prof. M.Sc Leandro Coimbra da Fonseca

______________________________________________ Prof. M.Sc Andr Tomaz de Carvalho

______________________________________________ Prof. M.Sc Vinicius Maciel Pinto

APROVADO COM A NOTA:______

Resende, ____ de _____________ de 2011

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DEDICATRIA

Aos nossos familiares que sempre compreenderam nossa ausncia e nos deram todo o apoio necessrio dedicamos este trabalho.

16

AGRADECIMENTOS

Aos nossos mestres e amigos que nos transmitiram seus conhecimentos e experincias profissionais com dedicao e carinho propiciando o desenvolvimento deste trabalho, expressamos os nossos maiores agradecimentos.

17 EPGRAFE

"Pacincia e perseverana tm o efeito mgico de fazer as dificuldades desaparecer e os obstculos sumirem." John Quincy Adams

18 RESUMO O controle automatizado est presente em nosso dia-a-dia, principalmente nas fbricas onde podemos encontrar diversas malhas cada qual com os mais diversos algoritmos de controle. Com o objetivo de solidificar e aplicar o conhecimento e as tcnicas de controle adquiridas ao longo do curso, foi desenvolvido um sistema de controle para uma planta de caractersticas no lineares, ou seja, oferece um alto grau de complexidade para o controle. O pndulo invertido um timo exemplo de um sistema no linear sendo por isto nosso objeto de estudo. Devido a suas caractersticas de instabilidade a planta do pndulo invertido um modelo ideal para avaliar o desempenho de diferentes tcnicas de controle. Este trabalho apresenta a construo e modelagem de uma planta de um pndulo invertido. O controle do pndulo invertido um dos exemplos mais importantes na teoria de controle e freqentemente citado em diversas literaturas de controle. Consiste em uma haste solidria a um eixo livre de um carro deslizante em trilhos, sendo o carro sobre trilhos o elemento responsvel por equilibrar o pndulo na posio vertical por meio do deslocamento da base do pndulo. Esta estrutura o que podemos chamar de um sistema no linear cuja complexidade torna o controle por vezes impraticvel e a implementao de um controlador para este sistema requer uma srie de consideraes e simplificaes. Pode-se associar a esse modelo ao controle de posio de um foguete na fase de lanamento, onde o objetivo do problema de controle de posio manter o foguete na posio vertical.

Palavras-chave: Pndulo invertido, controle automatizado, sistema no linear.

19 ABSTRACT The automatized control is present in ours day-by-day, mainly in the plants where we can will find diverse meshes each one with the most diverse algorithms of control. With the aim to make solid and to apply the knowledge and the acquired techniques of control along the course, was developed a system of control for a plant of not linear characteristics, that is, it offers one high degree of complexity for the control. The inverted pendulum is an optimum example of a not linear system being for this our object of study. Due to its characteristics of instability the plant of the inverted pendulum is an ideal model to evaluate the performance of different techniques of control. This work presents the construction and modeling of a plant of an inverted pendulum.

The control of the inverted pendulum is one of the examples most important in the control theory and frequently is cited in diverse literatures of control. It consists of a solidary rod to a free axle of a slippery car in tracks, being the car on tracks the element responsible to balance the pendulum in the vertical position by means of the displacement from the base of the pendulum. This structure is what we can call a not linear system whose complexity returns the impracticable control sometimes and the implementation of a controller for this system requires a series of considerations and simplifications. It can be associated with this model to the control of position of a rocket in the launching phase, where the aim of the problem of position control is keeps the rocket in the vertical position.

Key words: Inverted pendulum, automatized control, not linear system.

20 LISTA DE ILUSTRAES Figura 2.1: Pndulo simples ...........................................................................................14 Figura 2.2: Equilbrio corda bamba e equilbrio de pratos .............................................14 Figura 2.3: Planta de pndulo invertido ..........................................................................15 Figura 2.4: Eixo de rotao de um corpo qualquer .........................................................16 Figura 2.5: Momento de Inrcia de um Paraleleppedo ..................................................17 Figura 2.6: Funcionamento das transmisses por roda de frico e engrenagens ..........17 Figura 2.7: Esquema de funcionamento das transmisses por correias e correntes .......19 Figura 2.8: Pinagem do PIC 16F628A ...........................................................................21 Figura 2.9: Esquema do circuito para a comunicao RS232 ........................................22 Figura 2.10: Vista superior da placa NI USB-6009 ........................................................23 Figura 2.11: Vista em corte do potencimetro ...............................................................24 Figura 2.12: Diagrama de blocos de um potencimetro .................................................24 Figura 2.13: Funcionamento do encoder incremental ....................................................25 Figura 2.14: Equivalente eltrico de um motor DC ........................................................26 Figura 3.1: Pndulo livre ................................................................................................28 Figura 3.2: Programa em Labview para medir o atrito do potencimetro .....................31 Figura 3.3: Forma de onda do movimento oscilatrio caracterstico do pndulo...........31 Figura 3.4: Mdia do valor final deslocando o sinal para eixo zero ...............................32 Figura 3.5: Resposta natural retificada e com filtro de 5Hz ...........................................32 Figura 3.6: Curva amortecida e fator de amortecimento ................................................33 Figura 3.7: Diagrama do modelo matemtico usando o Simulink .................................34 Figura 3.8: Curva de resposta atravs do Simulink ........................................................34 Figura 4.1: Planta do pndulo invertido .........................................................................35 Figura 4.2: Dispositivo de acoplamento do pndulo ......................................................36 Figura 4.3: Projeto da estrutura do carro ........................................................................36 Figura 4.4: Estrutura do carro .........................................................................................37 Figura 4.5: Projeto conjunto de transmisso de movimento ..........................................37 Figura 4.6: Conjunto de transmisso de movimento extremidade 1 ..............................38 Figura 4.7: Conjunto de transmisso de movimento extremidade 2 ..............................38 Figura 4.8: Projeto fixao do potencimetro ................................................................39 Figura 4.9: Fixao do potencimetro ............................................................................39 Figura 4.10: Montagem do encoder ................................................................................40 Figura 4.11: Montagem do limite fim de curso 1 ...........................................................41 Figura 4.12: Montagem do limite fim de curso 2 ...........................................................41 Figura 4.13: Diagrama eletrnica do drive de potncia ..................................................42 Figura 4.14: Circuito montado do drive de potncia ......................................................42 Figura 4.15: Circuito eletrnico completo ......................................................................44 Figura 4.16: Gravador de PIC .........................................................................................44 Figura 6.1: Pulsos aplicados ao motor ............................................................................51 Figura 6.2: Aquisio do sinal do encoder .....................................................................52 Figura 6.3: Sinal do encoder varivel .............................................................................52 Figura 6.4: STFT aplicada ao sinal do encoder ..............................................................53 Figura 6.5: Extrao da curva de velocidade do carro ...................................................53 Figura 6.6: Curva de velocidade do motor......................................................................54 Figura 6.7:Curva de resposta do sistema ........................................................................54 Figura 6.8:Funo de transferncia estimada pelo Labview ..........................................55 Figura 6.9: Root Locus da planta com plos no semi plano direito................................55 Figura 6.10: Root Locus da planta com controle.............................................................56 Figura 6.11: Resposta ao degrau sem o controle.............................................................57 Figura 6.12: Resposta ao degrau com o controle.............................................................57

21 LISTA DE TABELAS Tabela 5.1: Medies de tenso e velocidade para determinao de Ke ........................49

22 SUMRIO 1 INTRODUO ........................................................................................................12 2 REVISO BIBLIOGRFICA .................................................................................14 2.1 PNDULO .............................................................................................................14 2.2 MOMENTO DE INRCIA ...................................................................................15 2.3 MECANISMOS DE TRANSMISSO DE MOVIMENTO .................................17 2.3.1 Parmetros de um Sistema de transmisso de Movimento .................................19 2.3.2 Polia Correia .......................................................................................................19 2.4 SISTEMA DE PROCESSAMENTO ....................................................................19 2.4.1 Microcontroladores .............................................................................................19 2.4.1.1 Microcontrolador PIC ......................................................................................20 24.1.1.1 PIC 16F628 ....................................................................................................20 2.4.2 Comunicao RS-232 .........................................................................................21 2.4.3 Placa NI-USB-6009 ............................................................................................22 2.5 TRANSDUTORES ................................................................................................23 2.5.1 Potencimetro .....................................................................................................23 2.5.1.1 Modelo Matemtico do Potencimetro ...........................................................24 2.5.2 Encoder Relativo ou Incremental .......................................................................25 2.6 MOTOR DC ..........................................................................................................26 2.7 CRITRIOS DE ESTABILIDADE ......................................................................27 3 MODELAGEM DO PNDULO INVERTIDO .......................................................28 3.1 MODELAGEM TERICA ...................................................................................28 3.2 ESTIMAO DOS PARMETROS ...................................................................30 3.3 VALIDAES DOS PARMETROS OBTIDOS ..............................................34 4 CONCEPO DO PROJETO .................................................................................35 4.1 ESTRUTURA MECNICA .................................................................................35 4.1.1 Fixao da Haste .................................................................................................35 4.1.2 O carro ................................................................................................................36 4.1.3 Dimenses do Redutor do Motor ........................................................................37 4.1.4 Fixao dos Sensores ..........................................................................................38 4.1.4.1 Potencimetro ..................................................................................................38 4.1.4.2 Encoder ............................................................................................................39 4.1.4.3 Limites Fim de curso .......................................................................................40 4.2 DRIVER DE POTNCIA .....................................................................................41 4.2.1 Programao do PIC 16F298 ..............................................................................44 5 MODELAGEM DO CONJUNTO CARRO MOTOR .............................................45 5.1 EQUAES DO MOTOR ....................................................................................45 5.2 RELAES DE FORA E VELOCIDADE NO CONJUNTO ...........................45 5.3 DEDUO DA EQUAO ELETROMECNICA ...........................................46 6 DETERMINAO DOS PARMETROS.............................................................49 6.1 PARMETROS DO CARRO................................................................................49 6.2 ESTIMAO DA FUNO DE TRANFERNCIA ..........................................51 6.3 ROOT LOCUS DA PLANTA ...............................................................................55 6.4 SIMULAO DO CONTROLE ..........................................................................56 7 CONSIDERAES FINAIS ...................................................................................58 7.1 CONCLUSO .......................................................................................................58 7.2 IMPLEMENTAES FUTURAS ........................................................................58 8 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .....................................................................59 9 ANEXO 1 PROGRAMA DO PIC ..........................................................................61 9.1 ANEXO 2 CDIGO FONTE PARA PLOTAR ROOT LOCUS.......................67

23 1 INTRODUO O pndulo invertido um sistema mecnico muito til no estudo de controle de posio de sistemas instveis como o controle de posio de veculos espaciais na fase de lanamento (OGATA 2003). Este trabalho tem como objetivo a construo da planta fsica do pndulo invertido, a modelagem terica do sistema, a obteno dos parmetros da planta e a modelagem real do sistema. Visando estruturar o laboratrio de controle da Faculdade de Engenharia de Resende, proporcionando mais recurso para a disciplina de controle de servomecanismos. Durante a construo da planta fsica e na modelagem do pndulo invertido foi percebido a interao das reas de eletrnica, mecnica, clculo e outras que se interagem de forma harmoniosa para que seja possvel a aplicao do controle automatizado na engenharia. Com a planta montada foi possvel identificao dos parmetros do pndulo para realizao de simulaes no Matlab. Os parmetros do pndulo invertido foram basicamente obtidos atravs da utilizao do PIC 16F628A e uma placa da National NI USB-6009, ambos com interface com o Labview, software utilizado para a programao dos ensaios no pndulo invertido. O controle do pndulo invertido anlogo a brincadeira de equilibrar o cabo da vassoura com as pontas dos dedos, o cabo tende a cair para o lado e para manter o cabo na posio vertical, ento, desloca-se a mo de uma lado para outro, no nosso caso o sistema carro-motor que vai manter o pndulo em equilbrio. A estabilidade do pndulo invertido se d por meio de seu posicionamento em paralelo com eixo vertical, contudo devido a no linearidade do modelo matemtico uma vez posicionado na vertical ele no ir manter-se em equilbrio tendendo a cair. Para evitar sua queda buscou-se atravs do controlador manipular um atuador, no nosso caso um motor CC, para que haja um deslocamento horizontal do ponto em que est fixado o pndulo, este deslocamento tende a manter o ngulo de inclinao prximo zero mantendo assim o pndulo na posio vertical. No captulo 2 sero abordados alguns conceitos tericos para que se possa entender melhor todo o contedo da monografia, sero apresentados conceitos de pndulo, momento de inrcia e mecanismos de transmisso de movimento, para um melhor entendimento da parte mecnica do projeto. Tambm sero descritos os conceitos, caractersticas e funcionamento dos microcontroladores, inclusive um detalhamento do PIC 16F628A utilizado no projeto, da comunicao RS232 utilizada entre o PIC e o PC, da placa da National NI USB-6009 utilizada como aquisio de dados, do potencimetro e do encoder incremental, para um melhor

24 entendimento da parte eletrnica do projeto e tambm sero abordados conceitos sobre controle de sistemas instveis. O captulo trs apresenta uma modelagem do pndulo invertido onde possvel ter uma ideia da complexidade dos sistemas no lineares. De posse dessa modelagem chegada a hora da estimao dos parmetros do modelo atravs de ensaios realizados em laboratrio com o pndulo invertido para a determinao da funo de transferncia do sistema e simulao no Matlab. O captulo quatro trata de forma detalhada como foi realizada a concepo da planta. Na parte mecnica, ser mostrada toda a metodologia e as tcnicas empregadas para a construo da planta do pndulo invertido. Ainda nessa ideia de concepo segue com a descrio da parte eletrnica da planta, onde so mencionados com detalhes os componentes e ferramentas utilizadas. O captulo cinco apresenta uma modelagem terica do conjunto carro-motor e os ensaios realizados para a determinao dos parmetros necessrios para se obter a funo de transferncia do conjunto carro-motor. Por fim, segue a concluso do trabalho e tambm ideias para projetos futuros que podem usar este trabalho como base e alm de servir como mais uma ferramenta para anlise de sistemas de controle.

25 2 REVISO BIBLIOGRFICA 2.1 PNDULO Existem dois tipos de pndulo, Um pndulo simples um corpo ideal que consiste de uma partcula suspensa por um fio inextensvel e de massa desprezvel. Quando afastado de sua posio de equilbrio e solto, o pndulo oscilar em um plano vertical sob ao da gravidade; o movimento peridico e oscilatrio. (http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2001/pndulo/PnduloSimples_HTM L.htm)

Figura 2.1: Pndulo simples Fonte:

O outro tipo de pndulo chamado de pndulo invertido e para entendimento pode ser feita uma analogia com um equilibrista de pratos ou de corda bamba, onde cada um busca controlar a posio do centro de gravidade mantendo-se em cima da corda ou no deixando cair os pratos.

Figura2.2: Equilbrio corda bamba e equilbrio de pratos Fonte:

Para o estudo de algoritmos de controle existem algumas opes de plantas para implementao do pndulo invertido e em geral a mais utilizada a que tem como elemento

26 atuador um carro que se desloca no eixo X e tem fixo uma haste com eixo livre, conforme mostrado na figura 2.3.

Figura 2.3:Planta de pndulo invertido Fonte:

O pndulo invertido um sistema mecnico muito til no estudo de controle de posio de sistemas instveis como o controle de posio de veculos espaciais na fase de lanamento. Ogata(2003apud) Como pode ser observado o pndulo invertido um sistema naturalmente instvel cujo controle s pode ser exercido em uma pequena regio, somente consegue-se estabelecer o controle do pndulo se a variao de sua posio vertical for muito pequena, isto quer dizer que se houver uma perturbao muito grande no seria possvel mant-lo na posio vertical. Matematicamente o objetivo manter o ngulo da haste bem prximo a zero, este controle feito atravs dos movimentos do carro que buscam equilibrar a haste.

2.2 MOMENTO DE INRCIA BEER; JOHNSTON (2010) define o momento de inrcia como a resistncia que um corpo oferece ao movimento e consideram para exemplo um corpo com uma pequena massa m presa a uma haste de massa desprezvel que pode girar livremente em torno de um eixo AA conforme figura 2.4.

27

Figura 2.4: Eixo de rotao de um corpo qualquer Fonte: BEER; JOHNSTON; Mecnica Vetorial para Engenheiros (P.655)

Se for aplicado um binrio ao sistema, a haste e a massa, consideradas inicialmente em repouso, comearam a girar em torno de AA. Deseja-se indicar o tempo necessrio para o sistema alcanar uma velocidade de rotao proporcional a massa m e ao quadrado da distncia r. O produto r2m fornece, portanto, uma mdia da inrcia do sistema, isto , da resistncia que o sistema oferece quando tentamos coloc-lo em movimento. Por esta razo, o produto r2m denominado momento de inrcia da massa m em relao ao eixo AA Ento o momento de inrcia dado pela integral a seguir: dm (2.1)

Para algumas geometrias bsicas os momentos de inrcia j so tabelados para fins de praticidade. No caso da haste do pndulo podemos consider-la como sendo um paraleleppedo cujo momento de inrcia dado conforme equao 2.2. Paraleleppedo de massa M e de lados a, b e c relativo a um eixo perpendicular a uma de suas faces, conforme figura 2.5.

Figura 2.5: Momento de Inrcia de um Paraleleppedo Fonte:

28 Dividimos o paraleleppedo em placas retangulares de lados a e b e de espessura dx. O momento de inrcia de cada uma das placas relativo seu eixo de simetria dada pela equao 2.2. (2.2)

2.3 MECANISMOS DE TRANSMISSO DE MOVIMENTO Engrenagens que interrelacionadas entre si ou atravs de correia de modo coerente para produzir ou transmitir foras e movimentos, dotada de dentes, transmite sem deslizamento os movimentos e foras diretamente outra engrenagem atravs dos seus dentes com a finalidade de gerar trabalho. Exemplo:

Figura 2.6: Esquema de funcionamento das transmisses por roda de frico e engrenagens. Fonte: Apostila de transmisso de movimentos do Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo.

Eficincia na transmisso do movimento:Potncia( sada) Potncia(entrada)

(2.4)

*Valores tpicos 75% a 95% Potncia mecnica de um motor = Torque x velocidade = Tx Relao de engrenagens e seus ngulos de deslocamentoNN

(in) (out )N1 , sendo N1 e N 2 o nmero de dentes N2 R1 R2 N (com o sistema parado)

(2.5) (2.6) (2.7)

T1 F1.R1 T1 , como F1 F 2 , logo T2 T 2 F 2.R 2

29PoutTout .0

xPin.Ti .i

(2.8) (2.9)

Sendo ndice 0 = ndice 1 e ndicei=ndice 21

2

V1 R1 V2 R2N1 .Ti N2 N2 . i N11

1 2

R2 ( com o sistema em movimento ) R1

(2.10)

T00

(2.11)

N1 N2 .Ti. . N2 N1

T1

.T 2.N (sistema para

0)

(2.12) (2.13)

J1

N

.J 2 Sendo J o momento de inrcia

A velocidade das engrenagens no influenciada pelas perdas, s o torque influenciado pelas perdas. Isso porque as velocidades1

e

2

esto amarradas entre si pela relao entre os

raios R1 e R2 das engrenagens e devido prpria ligao entre elas.

30 2.3.1 Parmetros de um sistema de transmisso de movimento Relao de transmisso Efetiva = N Eficincia= - Pode ou no depender do sentido da transmisso do movimento. No caso independe do sentido (tanto faz girar uma engrenagem ou a outra, ou

das engrenagens,

seja, usar uma ou outra como entrada e sada). Folga - Em ngulo (mecnica rotao) e em distncia linear (mecnica translao). Afeta a preciso. Rigidez - De toro e de translao. Capacidade de acionamento reverso - Pode ou no apresentar.

2.3.2 Polia - correia

Figura 2.7: Esquema de funcionamento das transmisses por correias e correntes. Fonte: Apostila de transmisso de movimentos do Centro Federal de Educao Tecnolgica do Esprito Santo.1 2

1 N

(2.14) (2.15)

T1 T2

.N

A desvantagem da polia para engrenagem que na polia a correia pode deslizar, j a corrente fica acoplada aos dentes da engrenagem.

2.4 SISTEMAS DE PROCESSAMENTO 2.4.1 Microcontroladores Os microcontroladores so chips inteligentes programveis. composto de um processador, pinos de entradas/sadas e memria. Com a programao podemos controlar suas sadas, baseada nas entradas como referncia ou uma programao interna. As principais diferenas entre os diversos tipos de microcontroladores esto na quantidade de memria interna, velocidade de processamento, pinos de entrada/sada e as instrues de programao.

31

2.4.1.1 Microcontrolador PIC O PIC (Controlador de Interface programvel) um circuito integrado, que em um nico dispositivo integra todos os circuitos necessrios para realizao de um sistema digital programvel, podendo apenas ser visto externamente como um circuito integrado TTL ou CMOS, mas internamente tem a capacidade de interpretar as instrues de programas atravs de uma unidade de processamento central ou Central Process Unit (CPU), armazenar as instrues de programa em uma memria programvel somente para leitura ou Programmable Read Only Memory (PROM), armazenar as variveis do programa em uma Memria de Acesso Aleatrio ou Random Access Memory (RAM), alm de linhas de entrada e sada (I/O) para aquisitar dados e controlar dispositivos externos, uma serie de perifricos internos,etc. O PIC pode ser encontrado em modelos pequenos que so os PIC12xx de 8 pinos, at chegar a modelos maiores que so os PIC18Cxx de 40 pinos e podem variar a capacidade de processamento de dados de 8, 16 ou 32bits, possuem ncleos de processamento de 12, 14 ou 16 bits, velocidade de at 48MHz e alimentao de 2 6v. Existem processadores com arquitetura CISQ, ou seja, trabalha com um conjunto de instrues complexas e em grande quantidade como por exemplo PCs e os processadores com arquitetura RISQ que trabalha com um conjunto reduzido de instrues as quais so mais simples.

2.4.1.1.1 PIC 16F628A O PIC 16F628A possui 18 pinos, sendo que o pino VSS destinado para o GND (ponto de massa) e o V DD destinado a alimentao do circuito, como esses pontos so simtricos em relao a terra, no podem ser invertidas as suas polaridades. A maioria dos pinos possuem mltiplas funes, as quais so definidas pela programao, com por exemplo se no usar o clock externo existem disponveis 16 entradas ou 15 sadas digitais, se utilizar o clock externo existem disponveis 14 entradas ou 13 sadas digitais. O pino RA5 o nico que s pode ser utilizado como entrada. A tenso de alimentao de 5V, podendo esse valor variar de 2V 6V. A freqncia de clock opera em at 20Mhz , possui 128bytes de memria no voltil (EEPROM) para gravar dados permanentemente, uma memria de 2048bytes no voltil (PROM) para armazenar o programa, uma memria de 224bytes voltil (RAM) para armazenar os estados das variveis utilizadas durante a execuo do programa, somente 35 instrues no seu microcdigo, instrues de 14 bits com 200ns de tempo de execuo, dados de 8 bits por

32 endereo de memria, 15 registradores especiais e outras caractersticas especiais. Pinagem do pic mostrado na figura 2.8.

Figura 2.8: Pinagem do PIC 16F628A. Fonte: Introduo ao PIC Andr Tomaz.

2.4.2 Comunicao RS232 Responsvel por fazer a interface entre a porta serial (ligado a um PC) e o PIC, convertendo os nveis de tenso utilizados pelo PC nos nveis de tenso utilizados pelo PIC. Esse tipo de comunicao tambm chamado de full-duplex, por ter uma linha de transmisso (TX) e outra de recepo (RX). Os pinos 10 (entrada) e 12 (sada) fazem a comunicao com o PIC. Para que esse processo seja possvel faz-se necessrio a montagem do circuito da figura 2.9 para transformar o nvel de tenso TTL para o padro RS232 ou vise e versa, para TTL de 5Vcc corresponde no padro RS232 tenso de -3 at a15V e para TTL de 0Vcc corresponde no padro RS232 tenso de 3 at 15V.

33

Figura 2.9: Esquema do circuito para a comunicao RS232. Fonte: ScienceProg.

2.4.3 Placa NI USB-6009 uma placa de aquisio da National Instruments, que tem a capacidade de aquisitar, controlar e monitorar via USB-PC, utilizada principalmente com o software Labview. Possui 8 entradas analgicas com a resoluo de 14 bits e taxa mxima de amostragem de 48 KS/s, 2 sadas analgicas com a resoluo de 12 bits e taxa mxima de amostragem de 150 S/s, 12 entradas ou sadas digitais, contador de 32 bits, faixa de entrada -5V a 5V,etc

34

Figura 2.10: Vista superior da placa NI USB-6009. Fonte: Prpria.

2.5 TRANSDUTORES 2.5.1 Potencimetro Um potencimetro um transdutor eletromecnico que converte energia mecnica em energia eltrica. A entrada do dispositivo do tipo deslocamento linear ou rotacional, quando uma tenso aplicada atravs dos terminais fixos do potencimetro, a tenso de sada mensurada atravs do terminal varivel e do terra e esta proporcional ao deslocamento da entrada, para um potencimetro de resposta linear. (KUO 1995) Potencimetros rotacionais so comercialmente encontrados dos tipos uma volta ou multi-voltas, com movimentos rotacionais limitados ou no. Os potencimetros so geralmente formados por um fio resistivo ou um material plstico de resistncia condutiva. Para preciso do controle o potencimetro de plstico condutivo prefervel devido a sua infinita resoluo, suavidade de sada e baixo rudo esttico. (KUO 1995)

35

Figura 2.11: Vista em corte do potencimetro Fonte: KUO, Benjamim C. Automatic Control System (p. 161)

2.5.1.1 Modelo matemtico do potencimetro Quando o terminal varivel fixado como referncia; a tenso de sada e(t) ser proporcional a posio do eixo (t), no caso de um potencimetro de movimento rotacional. Ento: e(t) = K (t) do terminal varivel 2N radianos. A constante proporcional K dada por: (2.16)

Onde K a constante proporcional. Para N voltas no potencimetro, o deslocamento total

(2.17) Onde E a magnitude da tenso de referencia aplicada aos terminais fixos. Ento o diagrama de blocos fica:

(t).

K

e(t)

Figura 2.12: Diagrama de blocos de um potencimetro Fonte: Prpria.

36 2.5.2 Encoder relativo ou incremental um sensor de velocidade de alta preciso que est acoplado ao eixo do motor, desta forma pode se obter informao de posio. A figura 2.13 ilustra o encoder e suas formas de onda na sada e funciona da seguinte forma: O encoder incremental possui um disco perfurado que medida que o motor gira, um feixe de luz infravermelha, gerado por um emissor que se encontra em um dos lados do disco incide ou no no sensor fotoeltrico atravs do orifcio, a sada do sensor fotoeltrico ser ento um trem de pulso de determinada frequncia, a partir da qual meo a velocidade do motor ou sentido de rotao. Para saber o sentido de rotao do motor usam-se as duas fontes de luz e dois sensores A e B, e vice-versa. Se o motor estiver girando no sentido horrio o sinal A est defasado em 90 em relao ao sinal B, e vice-versa. O sinal Z serve de referncia, ou seja, a cada volta gera um pulso, fornecendo a velocidade do motor. A resoluo do encoder incremental dada por pulsos/revoluo, isto , o encoder gera certa quantidade de pulsos por uma revoluo dele prprio, no caso de um encoder rotativo a revoluo 360.

Figura 2.13: Funcionamento do encoder incremental. Fonte: Automation Engineering.

37

2.6 MOTOR CC H muito tempo os motores CC so extensivamente utilizados no controle de sistemas, para fim de anlises necessrios estabelecer um modelo matemtico para motores CC para aplicaes de controle. Usaremos o circuito equivalente mostrado na figura 2.14 para representar um motor CC. (KUO)

Figura 2.14: Equivalente eltrico de um motor DC. Fonte: http://www.fatecmm.edu.br/sistema/file/doc/9MOTORESCC.pdf.

O controle de velocidade do motor feito atravs da variao do fluxo magntico na armadura, este controle exercido com a variao da tenso, Ua aplicada ao circuito. Para uma anlise linear podemos assumir que o torque desenvolvido pelo motor proporcional ao fluxo de entreferro e corrente de armadura. (KUO) Ento: (2.18)

Se o fluxo for constante podemos dizer : (2.19) Onde Ki constante de torque dada em N.m/A A partir do circuito equivalente da figura 2.14 podemos estabelecer as equaes que regem o comportamento do motor. (2.20) (2.21)

(2.22)

38 (2.23) Onde Tl representa o torque de carga oferecido pelo atrito. Atravs das equaes 2.20 e 2.23 podemos considerar que ea(t) uma causa, ou seja provoca um efeito. E tambm pela equao 2.20 podemos dizer que um efeito imediato da tenso aplicada ea(t),ento na equao 2.21 a corrente causa o torque . A equao 2.22 define a fora contra eletromotriz, e finalmente, na equao 2.23 o torque causa a velocidade angular e o deslocamento As variveis de estado podem ser definidas como , e . Por substituio direta e eliminao das variveis de no estado da equao 2.20 atravs da equao 2.23, as equaes de estado de um motor CC podem ser escrito como um vetor matriz da seguinte forma: (KUO)

(2.24)

Neste caso

tratado como uma segunda entrada na equao de estados3 PROJETO

2.7 CRITRIOS DE ESTABILIDADE Sistema BIBO Estvel - Um sistema relaxado BIBO estvel (Bounded-Input BoundedOutput) (Entrada-Limitada Sada-Limitada) se para qualquer entrada limitada a sada tambm for limitada. Teorema: Um sistema SISO (Entrada nica Sada nica) com funo de transferncia racional prpria G(s) BIBO estvel se e somente se todos os polos de G(s) tm parte real negativa ou, equivalentemente, esto no semi-plano esquerdo do plano complexo.

39 3 MODELAGEM DO PNDULO INVERTIDO 3.1 MODELAGEM TERICA A figura 3.1 mostra os vetores V= fora referente ao eixo vertical, H= fora referente ao eixo horizontal e mg= fora peso do pndulo e tambm as variveis pndulo at o centro de gravidade, at o eixo de referncia vertical y, de referncia vertical y e =comprimento da haste do

= deslocamento referente ao ponto onde est fixada a haste =deslocamento referente ao centro de gravidade at o eixo

=deslocamento referente ao centro de gravidade at o eixo de

referncia horizontal x. A partir dos vetores e das variveis demonstradas foi feita a modelagem do pndulo.

Figura 3.1: Pndulo Livre Fonte: Propria

Primeiramente so mostradas as equaes de movimento do pndulo nos eixos horizontal e vertical. A segunda derivada do movimento equivale acelerao do eixo horizontal e vertical respectivamente conforme as equaes 3.1 e 3.2. Equaes de movimento do pndulo no eixo horizontal: ;

(3.1) Equaes de movimento do pndulo no eixo vertical:

(3.2) Fazendo a somatria das foras no eixo horizontal temos a equao 3.3, definida como H.

40

(3.3) Fazendo a somatria das foras no eixo vertical temos a equao 3.4, definida como V.

(3.4) Fazendo a somatria dos momentos de inrcia temos a equao 3.5, que define a relao entre o momento de inrcia do pndulo com as foras H e V.

(3.5) Substituindo os valores de V e H encontrados anteriormente tem-se a equao 3.6.

(3.6) Simplificando tem-se a equao 3.7.

(3.7) Aplicando a relao trigonomtrica equao 3.8. ; ; Como a haste uniforme, possui momento de inrcia igual logo e . Assim tem-se a equao 3.9. ; Dividindo todos os termos por ; , tem-se a equao 3.10. (3.10) (3.9) e assumindo que (3.8) , e simplificando, tem-se a

Aplicando a transformada de Laplace tem-se a funo de transferncia do pndulo invertido conforme equao 3.11.

41 (3.11)

3.2 ESTIMAO DOS PARMETROS Comparando a funo de transferncia da modelagem terica com a funo genrica de controle de segunda ordem da equao 3.12, possvel obter os parmetros de controle conforme a equao 3.13. (3.12) (3.13) Extraindo as razes do denominador da equao 3.12 so encontrados os polos, cujos valores so dados pela a equao 3.14.

s

n

j

2 n

12 d n

(3.14)

Depois de feito a decomposio do denominador e sabendo que funo de transferncia ficar conforme a equao 3.15.

1 , logo a

(3.15) Rearranjando o denominado e aplicando um degrau unitrio na entrada apresentar uma resposta no domnio da frequncia segundo a equao 3.16. (3.16) Aplicando a transformada de Laplace Inversa tem-se a uma resposta subamortecida no domnio do tempo conforme a equao 3.17. .cos (3.17) , a sada

Atravs da deduo terica referente resposta no domnio tempo feito anteriormente, conclumos que o fator de amortecimento igual .

Para a obteno do fator de amortecimento foram realizados ensaios posicionando-se a haste do pndulo na posio 90 e soltando-a para que a haste pudesse realizar livremente o movimento oscilatrio caracterstico do pndulo. O potencimetro, responsvel por indicar a posio da haste, foi ligado placa de dados NI USB 6009 e foi feito um programa em Labview para aquisitar os dados conforme figura 3.2.

42

Figura 3.2: Programa em Labview para medir o atrito do potencimetro. Fonte: Prpria.

O sinal obtido mostrado na figura 3.3 e representa a resposta natural do pndulo quando o mesmo solto a partir de 90 que considerado uma condio inicial.

Figura 3.3: Forma de onda do movimento oscilatrio caracterstico do pndulo. Fonte: Prpria

Como pode ser observado na figura 3.3 o sinal no simtrico em relao ao nvel zero de tenso para facilitar no processamento foi feito a mdia do valor final do sinal para que o mesmo ficasse em torno de zero conforme mostrado na figura 3.4

43

Figura 3.4: Mdia do valor final deslocando o sinal para eixo zero. Fonte: Prpria

Foi ento retificado o sinal e aplicado um filtro passa baixa de 5Hz para eliminar possveis rudos ficando conforme a figura 3.5.

Figura 3.5: Resposta natural retificada e com filtro de 5Hz. Fonte: Prpria

Aplicou-se ento um dector de picos a partir do qual foi obtido o grfico da figura 3.6 e foi tambm possvel obter o valor da frequncia natural e o fator de amortecimento.

44

Figura 3.6: Curva amortecida e fator de amortecimento. Fonte: Prpria

Sendo assim o valor do fator de amortecimento dado segundo a equao 3.18 e sabendo que a frequncia natural do pndulo igual 1,07 Hz de acordo com a equao 3.19 foi encontrado o valor de .

(3.18) (3.19) O comprimento laboratrio, sendo e a massa 0,06 Kg e do pndulo foram obtidos atravs de medio feito no . Com os valores dos parmetros encontrados e a constante conforme as equaes 3.20 e 3.21. (3.20) (3.21) Em fim com todos os parmetros obtidos a funo de transferncia do pndulo pde ser complementada conforme a equao 3.22. (3.22) 3.3 VALIDAES DOS PARMETROS OBTIDOS Aps a obteno dos parmetros da planta foi elaborado um diagrama no Simulink que representa o modelo matemtico do pndulo conforme mostrado na figura 3.7.

anteriormente foi possvel obter o atrito N/rad/s

45

Figura 3.7: Diagrama do modelo matemtico usando o Simulink. Fonte: Prpria

O resultado obtido com esta simulao mostrado na figura 3.8, comparando com a figura 3.4, que o sinal obtido atravs de ensaio prtico, possvel o observar que as mesmas so similares. O que valida os estudo e deduo dos parmetros do pndulo.

Figura 3.8: Curva de resposta atravs do Simulink. Fonte: Prpria

4 CONCEPO DO PROJETO 4.1 ESTRUTURA MECNICA Para que pudssemos modelar o sistema foi primeiramente necessrio o projeto e construo de uma estrutura mecnica que proporcionasse a uma haste as caractersticas de instabilidade de um pndulo invertido.

46 Este trabalho visa efetuar a obteno dos parmetros do pndulo apenas no plano X-Y ento a estrutura mecnica proporciona apenas o movimento de translao linear no eixo X. Pensando nisto foi elaborada uma estrutura em alumnio com 75mmX1000mm de comprimento e sobre a qual foi acoplado um motor com reduo, alm de uma correia sincronizada tambm com comprimento til de 1000mm, passo de 2,032mm e largura de 6mm esta tem por objetivo transferir o movimento de rotao da sada do conjunto motor redutor para o carro do pndulo. A figura 4.1 mostra a planta j montada e com o carro acoplado.

Figura 4.1: Planta do pndulo invertido. Fonte: Prpria.

4.1.1 Fixao da Haste A haste foi acoplada ao carro atravs de um eixo livre, utilizando um rolamento, neste mesmo eixo foi acoplado tambm um potencimetro multivoltas que serve como sensor de posicionamento do pndulo. A figura 4.2 mostra o eixo livre onde feito o acoplamento da haste do pndulo. Na estrutura mostrada somente o rolamento e o a base de potencimetro so as partes que ficam fixadas a o carro o restante do eixo gira livremente limitando-se as 10 voltas do potencimetro.

Eixo Rolamento 608Potencimetro Multivoltas

Figura 4.2: Dispositivo de acoplamento do pndulo. Fonte: Prpria.

47 4.1.2 Carro O carro considerado nesta planta parte do elemento atuador, pois atravs dele, de seus movimentos harmnicos no eixo X, que ser possvel manter a haste na posio vertical. Trata-se de um conjunto simples composto por um perfil de aproximadamente 80mm e com 4 rolamentos 608 em suas extremidades este perfil em alumnio possui um furo no centro com dimetro de 220mm que a medida do rolamento mostrado na figura 4.2 e local onde o conjunto do eixo da haste deve encaixar. O carro em sua totalidade possui 0,232Kg.

Figura 4.3: Projeto da estrutura do carro. Fonte: Prpria

Figura 4.4: Estrutura do carro. Fonte: Prpria.

48 4.1.3 Dimenses do Redutor do motor A engrenagem do eixo motor possui um dimetro de 9,8mm e est acoplado por meio de uma correia sincronizada a outra engrenagem de 25,3mm de dimetro, essa engrenagem acoplada atravs de um eixo a uma engrenagem menor com dimetro de 15,7mm sobre a qual, esta ultima, o elemento que transmite movimento para correia. Conforme mostrado na figura 4.5.

Correia de trao do carro Coroa livre Transmisso por correia

Figura 4.5: Projeto conjunto de transmisso de movimento. Fonte: Prpria.

Figura 4.6: Transmisso de movimento extremidade 1. Fonte: Prpria

49

Figura 4.7: Transmisso de movimento extremidade 2. Fonte: Prpria

4.1.4 Fixao dos Sensores 4.1.4.1 Potencimetro Nesta planta so montados 3 sensores para proporcionarem realimentao ao controlador, o principal deles o potencimetro que est montado com a base solidria ao carro de trao e com o eixo acoplado ao eixo livre do pndulo conforme mostrado na figura 4.8 e 4.9.

Base do Potencimetro

Figura 4.8: Projeto fixao do potencimetro. Fonte: Prpria.

50

Figura 4.9: Fixao do potencimetro. Fonte: Prpria.

4.1.4.2 Encoder O encoder utilizado do tipo incremental montado na base da armadura do motor, ele proporciona ao controle trs sinais analgicos que permitem ao controle estabelecer maior preciso no posicionamento do motor. Dos trs sinais, um tido como referncia, um pulso por revoluo do motor, j os outros dois so defasados de 180 e definem o sentido de rotao do motor. Para o caso do pndulo apenas o sinal de um pulso por revoluo ser o suficiente para o processamento da lgica de controle. O local de montagem do Encoder mostrado na figura 4.10.

Encoder

Conjunto de transmisso

Figura 4.10: Montagem do encoder. Fonte: Prpria.

51

4.1.4.3 Limites fim de curso Na planta foram ainda instalados dois limites fim de curso tipo micro switch que enviaro sinal para o placa de aquisio de dados estes limites sero teis em alguns ensaios para definir por exemplo a velocidade que o carro leva para atravessar todo o percurso da planta, alm de informar ao controle o final do curso do carro. As figuras 4.11 e 4.12 mostram os sensores instalados na planta.

Figura 4.11: Limite fim de curso 1. Fonte: Prpria.

Figura 4.12: Limite fim de curso 2 Fonte: Prpria

4.2 DRIVER DE POTNCIA

52 O drive de potncia constitudo por quatro componentes eletrnicos, um regulador de tenso LM7805, um conversor de nvel MAX232, um microcontrolador PIC 16F628 e uma ponte H dupla L298HN, alm de alguns componentes passivos conforme o diagrama da figura 4.13 e a foto da figura 4.14

Figura 4.13: Diagrama eletrnica do drive de potncia. Fonte: Prpria.

Figura 4.14: Circuito montado do drive de potncia. Fonte: Prpria.

O drive de potncia alimentado por uma fonte ATX com + 12VDC, essa tenso vai diretamente aos pinos de alimentao da ponte H L298N, pino 4 (+12VDC) e pino 8 (GND). A mesma fonte conectada ao LM7805 que regula a tenso para + 5VDC, que a partir dos pinos 14

53 e 5 do conversor de nvel MAX232 respectivamente com +5VDC e GND. O microcontrolador PIC 16F628 atravs da fonte regulada de +5VDC tambm alimentado, quando energizado o pino 16 com +5VDC e o pino 15 com GND. Ao receber o sinal das variveis de entrada a placa de aquisio de dados NI USB 6009 por meio do software Labview, instalado no PC executa a lgica de programao. O drive de potncia recebe o sinal do PC com nvel de tenso serial atravs de um conector DB15, que converte em nvel de tenso TTL a partir do pino 13(RS1 in) e do pino 12(R1 out) do conversor de nvel MAX232. O sinal convertido ser transferido para o microcontrolador PIC 16F628 que coleta o mesmo atravs do pino 7(RX) , ao receber o sinal o microcontrolador executa a lgica de programao e envia um trem de pulso de onda quadrada de 0 +5VDC com uma frequncia de 1KHz para a ponte H L298H a partir dos pinos 1 e 2, sendo o primeiro defasado 180 do segundo. A ponte H LN298H possui uma entrada que precisa ser energizada para que a mesma seja habilitada, para que essa situao acontea o microcontrolador PIC16F628 em seu pino 03 envia uma tenso de +5VDC para que a mesma seja habilitada. A ponte H LN298H chaveada ao receber os trens de pulsos e ao ser habilitada, os trens de pulso so coletados atravs do pino 5(Input 1) e pino 7(Input 2) e a habilitao feita pelo pino 6(Enable).Desta forma o motor cc que est conectado nas sadas pino 2(Output 1) e pino 3(Output 2) recebe a mdia da tenso dos pulsos comea a girar . A velocidade controlada pelo microcontrolador PIC16F298 atravs do mtodo de PWM (modulao por largura de pulso) modificando o ciclo de trabalho da onda quadrada atravs de programao, ou seja, aumentando ou diminuindo o tempo que a onda ficar em T-ON(Nvel alto). Assim a mdia da tenso que alimenta o motor cc modifica de tal forma a diminuir ou aumentar a velocidade do motor cc, para ambos os sentidos, de acordo com as necessidades do controle. A figura 4.15 mostra o circuito eletrnico completo j montado na planta.

54

Figura 4.15: Circuito eletrnico completo. Fonte: Prpria.

4.2.1 Programao do PIC 16F298 A utilizao do PIC se deu devido a necessidade de uma taxa de transmisso maior do que a apresentada pela placa NI USB-6009. Para isso foi necessrio fazer um programa em linguagem C no software CCS C Compiler, para realizar a interface com o PC (software LAbview), PIC e ponte H, conforme programa no Anexo 2. Para realizao da gravao do programa no PIC, foi utilizado a placa da PICburner USB conforme figura 4.16.

Figura 4.16: Gravador de PIC. Fonte: World PIC.

5 MODELAGEM DO CONJUTO CARRO MOTOR 5.1 EQUAES DO MOTOR

55 A equao 5.1 apresenta as relaes de tenso em um motor CC onde a tenso U aplicada ao motor dada pela soma das quedas de tenso no circuito equivalente, sendo eb a tenso induzida na armadura iaR a queda na resistncia e Lu eb ia R L di a queda de tenso na bobina da armadura. dt

di (5.1) dt J equao 5.2 representa a equao mecnica do motor CC onde o torque, Tm, produzido

pelo motor deve ser o somatrio dos torques inerentes ao momento de inrcia do eixo, que funo da taxa de acelerao angular, do atrito oferecido pelo eixo alm do torque que imposto pela carga, chamada aqui de Tr.Tm Jm d 1 Tr (5.2) dt dt A equao mecnica se relaciona com a eltrica atravs da equao 5.3 onde o torque1

d

2

Bm

mecnico produzido funo da corrente do motor.Tm K m .ia

(5.3)

5.2 RELAES DE FORAS E VELOCIDADE NO CONJUNTO A equao 5.4 apresenta uma relao de foras no conjunto mecnico onde a fora resultante o somatrio das foras oferecidas pela massa do carro e pelo atrito do conjunto alm da reao do pndulo quando o carro movimentado.F M dx 2 dt Bc dx dt H

(5.4)

Como a planta possui um sistema de transmisso por correia necessrio que seja obtida uma relao de velocidades e de torque pois precisamos referenciar todas as foras a o eixo do motor. As equaes 5.5 a 5.8 apresentam as relaes de torque do sistema de correias.T3 F .r3

Torque na engrenagem 3

(5.5)

T3 T2 Torque na engrenagem 2 (5.6) Relacionando as equaes 5.6 e 5.7 possvel obter o torque aplicado ao eixo do motor na

equao 5.8T2 .r1 r1 .r3 .F (5.8) r2 r2 Para simplificao e melhor entendimento das relaes de velocidade chamaremos a partir d 1 de agora a taxa de variao do ngulo do eixo do motor , de 1 da mesma forma faremos dt com as velocidades 2 e 3 do conjunto de transmisso conforme mostrado abaixo. d 3 d 1 d 2 1 2 3 dt dt dt T1

56 As equaes 5.9 at 5.12 estabelecem a relao de velocidade angular do eixo do motor e a velocidade linear do conjunto. Em 5.9 apresentada a relao de velocidade angular entre as engrenagens 1 e 21 2

r2 r13 2

(5.9) ento:

Como1 3

r2 (5.10) r1 Contudo precisamos de uma expresso que relacione a velocidade angular do motor com a

velocidade linear do carro. A velocidade angular do carro dada por:

dx3

dt r3dx

(5.11)

Onde

dt a velocidade linear do carro, ento substituindo 5.11 em 5.10 temos uma

expresso que relaciona a velocidade linear do carro com a velocidade angular no eixo do motor, dada na equao 5.12.1

dx r2 dt r1 .r3

(5.12)

5.3 DEDUO DA EQUAO ELETROMECNICA Os passos a seguir tem por objetivo estabelecer uma relao entre a equao eltrica e a equao mecnica a fim de obter uma expresso que represente o modelo global do conjunto. Ento podemos comear com a equao 5.13 que um rearranjo da equao 5.1.u eb ia R L di dt

(5.13)

A equao 5.3 a chave para estabelecer uma relao entre a mecnica e a eltrica, podemos ento dizer que:Tm Km ia

(5.14)

Podemos ainda substituir na equao 5.14 equao 5.2 de forma a obter uma relao completa que dada em 5.15.ia d 1 1 Jm Km dt2

Bm

d 1 dt

Tr

(5.15)

Substituindo 5.15 em 5.13 temos:

57u eb d 1 R Jm Km dt2

Bm

d 1 dt

Tr

L

di dt

(5.16)

Porem o que queremos uma relao com a velocidade linear do carro ento substitumos em 5.16 a equao 5.12, o que nos leva a 5.17.

u eb

r dx 2 R Jm 2 Km r1 .r3 dt

Bm

r2 dx Tr r1 .r3 dt

L

di dt

(5.17)

O torque que o produto de 5.8 e 5.4 agora acrescentado a equao 5.17 que se torna em 5.18u eb R r2 dx 2 Jm K m r1 .r3 dt Bm dx dt r1 .r3 dx 2 M r2 dt Bc dx dt H L di dt

(5.18)

Sabemos que:eb1

.K e

d 1 .K e dt

r2 dx .K e . r1 .r 3 dt

(5.19)

Ento substituindo 5.19 em 5.18, colocando eb no lado direito da equao e fazendo em evidencia os termos de derivada temos a equao 5.20u r2 dx 2 R Jm dt K m r1 .r3 M r1 .r3 r2 dx r2 .K e dt r1 .r3 r R . 2 .Bm K m r1 .r3 r1 .r3 .Bc r2 R r1 .r3 . .H K m r2 L di (5.20) dt

A parcela H representa a reao da haste ao movimento, nesta modelagem ela ser desconsiderada. Ento: H

0

Para facilitar no equacionamento chamaremos a relao de velocidade de Kg.r1 r3 r2 Kg

(5.21)

Substituindo 5.21 em 5.20 temos:u dx 2 R J m dt K m K g M .K g dx K e dt K g R Bm . Km Kg .K g .Bc L di dt

(5.22)

Fazendo a transformada de Laplace de 5.22 teremos ento 5.23:U ( s) Xs 2 R Jm Km Kg M .K g Xs Ke Kg R Bm . Km Kg .K g .Bc Ls Tm Km

(5.23)

Rearranjando a equao 5.23 chegamos a funo de transferncia do conjunto.X (s) U (s) 1 s2 R Jm Km Kg M .K g K s e Kg R Bm . Km Kg .K g .Bc L Jm s3 Km Kg K g. M s2 Bm Kg K g .Bc

(5.24)

58 Melhorando o arranjo de 5.23 chegamos a e 5.24 que uma funo de transferncia melhor definida.X ( s) U (s) 1 s3 L Jm Km K g K g .M s2 R.J m Km K g R.M .K g Km Bm Kg K m Bc s Ke Kg R Bm . Km K g .K g .Bc

(5.25)

59

6 DETERMINAO DOS PARMETROS 6.1 PARMETROS DO CARRO

Primeiramente foi verificado a medida de cada raio do conjunto de engrenagens, onde foram obtidos os seguintes valores:

r1

0,0049 m ;

r2

0,01265 m ;

r3

0,00785 m

Substituindo os valores na equao 5.21 obtemos o valor da relao de transmisso dado em 6.1r1 r3 r2 Kg 0,0079

(6.1)

Outro parmetro tambm determinado foi a massa do carro feita atravs de pesagem.M 0,232Kg

(6.2)

Em seguida foi realizado o ensaio a vazio do motor, a partir do qual foi possvel encontrar a constante Km que relaciona corrente eltrica e torque mecnico. Foi ento acoplado um motor ao motor de planta de forma que ele funcionasse como gerador, variou-se a velocidade do motor primrio e no motor da planta foi medida a tenso gerada nos terminais da armadura e a velocidade do mesmo atravs do encoder, gerando a tabela 6.1. A constante de torque, Km, e a constante de velocidade, Ke, so aproximadamente iguais, de forma que foi determinado a constante Ke, atravs da equao 6.2. onde eb a tenso gerada nos terminais da armaduraKm Ke eb 0,02089

(6.3)

60 Esta relao pode ser verificada atravs dos valores obtidos na tabela 6.1.Tabela 6.1: Medies de tenso e velocidade para determinao de Ke Fonte: Prpria. Tenso Velocidade gerada (rad/s) 0,53 23,297 0,98 45,580 1,58 75,338 2,09 99,575 2,65 127,061 3,19 152,320 3,75 178,755 4,30 204,665 4,89 233,144 5,42 258,567 5,79 282,389 6,36 305,006 6,86 328,104 7,40 353,980 8,06 384,296 8,50 406,675 9,08 434,867 9,67 460,310 10,22 485,184 10,78 512,880 11,26 539,319 11,81 568,498 12,48 598,453 13,00 619,048

A corrente do motor foi determinada atravs da queda de tenso no resistor do drive de potncia de 5,6. Dada em 6.3ia 3 5,6 0,535 A

(6.3)

Aps determinada a constante Km em 6.2 e a corrente em 6.3 foi possvel determinar o torque do motor que pode ser obtido atravs da substituio dos valores na equao 5.14 o que nos leva a 6.4 que o valor do torque do motorTm 0,0022 x0,535 0,0012 N .m

(6.4)

61 6.2 ESTIMAO DA FUNO DE TRANSFERNCIA A sada do sistema dada pelo deslocamento do carro no trilho e esta varivel medida atravs do encoder, ou seja, atravs de uma frequncia varivel no tempo. Foi ento utilizado um aplicativo do Labview chamado STFT, Short Term Fourier Transform, que permite fazer uma anlise conjunta no tempo e na frequncia. O primeiro passo foi aplicar pulsos positivos e negativos no motor de 100ms e fazer a aquisio dos dados do encoder. Os pulsos so mostrados na figura 6.1 e aquisio de dados do enconder na figura 6.2.

Figura 6.1: Pulsos aplicados ao motor Fonte: Prpria

62Figura 6.2: Aquisio do sinal do encoder Fonte: Prpria

Pulso positivo e negativo aplicado ao motor implica inverso de movimento, contudo a freqncia do encoder permanece em mdulo, e neste ponto que houve a necessidade de se utilizar a anlise de STFT que foi feita da seguinte forma: Aplicou-se a STFT no sinal do encoder mostrado na figura 6.2

Figura 6.3: Sinal do encoder varivel Fonte: Prpria

Aplicando-se a STFT temos o sinal mostrado na figura 6.4 que a resposta de frequncia em funo do tempo.

Figura 6.4: STFT aplicada ao sinal do encoder Fonte: Prpria

63 A velocidade do carro proporcional a frequncia do enconder, ento extraindo-se a curva de velocidade temos a figura 6.5

Figura 6.5: Extrao da curva de velocidade do carro. Fonte: Prpria

Trabalhando essa curva: alternando picos positivos e negativos, e multiplicando por 2PI/200, relao do encoder, temos a velocidade em rad/s mostrada na figura 6.6.:

Figura 6.6: Curva de velocidade do motor. Fonte: Prpria

Com a curva de velocidade obtida foi possvel atravs do Labview verificar a resposta do sistema e estimar a funo de transferncia, a resposta do sistema mostrada na figura 6.7.

64

Figura 6.7:Curva de resposta do sistema. Fonte: Prpria

De posse resposta do sistema foi ento estimada uma funo de transferncia que mostrada na figura 6.8

Figura 6.8: Funo de transferncia estimada pelo Labview. Fonte: Prpria

6.3 ROOT LOCUS DA PLANTA Fazendo a multiplicao da funo do pndulo dada em 3.22 e da funo do carro dada na figura 6.8 chegamos a funo de transferncia da planta que dada em 6.5 (6.5)

65 Com o auxilio do Matlab traamos o Root Locus da planta mostrado na figura 6.9 com os plos no semi plano direito caracterizando um sistema instvel. O cdigo fonte do programa utilizado encontra-se no anexo 2.

Root Locus 6

4

System: planta Gain: 0 Pole: 0.324 + 6.72i Damping: -0.0483 Overshoot (%): 116 Frequency (rad/sec): 6.72

2

Imaginary Axis

0

-2

-4

-6

-8 -0.5 0 0.5 1 Real Axis 1.5 2 2.5

Figura 6.9: Root Locus da planta com plos no semi plano direito. Fonte: Prpria

66 6.4 SIMULAO DO CONTROLE Como pode ser observado na figura 6.9 os plos do semi plano direito esto no semi plano positivo ento a estratgia usada foi a de calcular uma funo de controle que posicione o zero em cima do plo instvel da planta de modo a cancel-lo. A funo de controle mostrada na equao 6.6 (6.6) A figura 6.10 mostra o root lcus do sistema com os plos do semi plano direito cancelado pela ao do controle.Root Locus 6

4

2

Imaginary Axis

0

-2

-4

-6

-1

-0.5

0

0.5

1 Real Axis

1.5

2

2.5

3

3.5

Figura 6.10: Root Locus da planta com controle. Fonte: Prpria

A figura 6.11 possvel verificar que a resposta ao degrau para o sistema sem o controle diverge com o passar do tempo, j com o controle aplicado, conforme mostrado na figura 6.12 a resposta se lineariza com o passar do tempo.

67

4.5 4 3.5 3 2.5Amplitude

x 10

8

Step Response

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Time (sec)

Figura 6.11: Resposta ao degrau sem o controle . Fonte: Prpria

Step Response 0

-1000

-2000Amplitude

-3000

-4000

-5000

-6000

0

0.1

0.2

0.3

0.4 Time (sec)

0.5

0.6

0.7

0.8

Figura 6.12: Resposta ao degrau com o controle Fonte: Prpria

68 7 CONSIDERAES FINAIS 7.1 CONCLUSO No desenvolvimento do projeto surgiram vrios obstculos relacionados obteno dos parmetros mecnicos e minimizao dos efeitos do atrito e vibrao, tais elementos introduzem rudos nos sinais de controle dificultando o processamento. Para amenizar tais efeitos formam elaborados filtros e buffers para que os sinais lidos fossem o mais prximo do estado real das variveis. Foi tambm observado a grande versatilidade do software LabView que se mostrou uma ferramenta muito robusta na aquisio e processamento de sinais, sendo de grande aplicabilidade principalmente no desenvolvimento de sistemas supervisrios. A planta do pndulo invertido ideal para anlise e comparao de desempenho de diferentes tcnicas de controle sendo assim este projeto se tornar mais uma ferramenta para o laboratrio de servomecanismos, pois possui poucos elementos possibilitando uma fcil compreenso do circuito e aplicao das tcnicas de controle desejadas.

7.2 IMPLEMENTAES FUTURAS Neste projeto foi realizada a modelagem do sistema do pndulo invertido e simulaes do sistema. As sugestes para projetos futuros a implementao de controladores clssicos e modernos aplicados na planta, construir uma placa de aquisio de dados para que possa dar mais robustez para planta e melhorar a taxa de transmisso e posteriormente a implementao em um veculo de transporte autnomo, que utiliza o princpio do pndulo invertido.

69 8 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS [1] KUO, Benjamim C. - Automtic Control Systems Seventh Edition John Wiley & Sons, Inc. 1995. [2] BEER, Ferdinand P.; JR, E. Russell Johnston. Mecnica Vetorial para Engenheiros. So Paulo: Makron Books, 2010. [3] ASTROM, K.J. and K. Furuta, Swinging up a Pendulum by Energy Control, Automatica, Vol. 36, 2000. [4] EKER, J, and K.J. Astrom, A Nonlinear Observer for the Inverted Pendulum, 8th IEEE Conference on Control Application, 1996. [5] SPIEGEL M.; Manual de Frmulas, Mtodos e Tabelas de Matemtica; Makron Books; So Paulo; 1992. [6] DORF R. C., Bishop R.H.; Sistemas de Controle Moderno; 8. Edio; LTC Livros Tcnicos e Cientficos, Editora Ltda., Rio de Janeiro, 2000. [7] LATHI, B. P.; Sinais e Sistemas Lineares, 2 Edio, Bookman, 2008. [8] OGATA, Katsuhiko, Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall, 1982. [9] Automationengineering Disponvel em: Acessado em 15 set. 2011. [10] UFRJ - Controle automtico Disponvel em: Acessado em 15 set. 2011. [11] USP - Pndulo simples Disponvel em: Acessado em 15 set. 2011. [12] UNICAMP - Pndulo invertido Disponvel em: Acessado em: 16 set. 2011. [13] Portal de Eletrnica Disponvel em: Acessado em 17 set. 2011. [14] National Instruments - Manual USB-6009 Disponvel em : Acessado em 15 nov. 2011. [15] Control of an Invertede pendulum Disponvel em: Acessado em: 17 set. 2011. [16] Simulao do pndulo Disponvel pend_sim.html> Acessado em : 17 set. 2011. em: IdCmdo=0; k=0; while( buffer[k]!= 0 ) { if(buffer[k]=='')&(IdChar BUFF_SIZE-2) { ptr_in = 0; buffer[ptr_in]=0; printf("\n\rErro: Comando muito grande.\n\r"); } else { //fim da rotina reconhece e separa cmdos

75 Buffer[ptr_in]=ch; ptr_in = ptr_in + 1; } } } void ProcessaCmdo() { for(i=0; i