modelação computacional em engenharia · pdf file2.7 problemas de difusão...

UniversidadeNova deLisboaFaculdadedeCiênciaseTecnologia

DepartamentodeEngenhariaCivil

ModelaçãoComputacionalemEngenhariaCivil

AULAS PRÁTICAS

C. Cismasiu M. A. G. Silva

Copyright c�

2002DEC/FCT

Conteúdo

List of tables iii

List of figures v

1 ModelaçãoFísica 11.1 Grandezasfísicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 AnáliseDimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Classificaçãodasequações. . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Conversãoentresistemasdeunidades . . . . . . . . . . . 31.2.3 Formadasrelações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Modelosfísicosesemelhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 ModelaçãoMatemática 192.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 ImportânciadaComputaçãonosModelosMatemáticos. . 202.2 Estáticadecaboscomcargasparalelasdistribuídas . . . . . . . . 21

2.2.1 Caboparabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Catenária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Dinâmicadoscabos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1 Hipótesessimplificativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Equaçãodasondasuni-dimensionais. . . . . . . . . . . . 342.3.3 Métododeseparaçãodevariáveis.SériesdeFourier . . . 35

2.4 Vibraçõeslongitudinaisembarras . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.1 Hipótesessimplificativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2 Equaçãodasondasuni-dimensionais. . . . . . . . . . . . 45

2.5 Vibraçõestransversaisemvigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.1 Hipótesessimplificativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.2 Equaçãodasondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 A transmissãodecalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6.1 Regimeestacionáriobidimensional . . . . . . . . . . . . 58

2.7 Problemasdedifusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.8 FormasQuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.8.1 DiagonalizaçãodeFormasQuadráticas . . . . . . . . . . 662.8.2 ClassificaçãodeFormasQuadráticas. . . . . . . . . . . . 67

i

ii Conteúdo

3 MétodosNuméricospara EquaçõesDiferenciaisParciais 713.1 Equaçõeselípticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.1.1 ProblemasDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.1.2 ProblemasNeumannemistos . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Equaçõesparabólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2.1 O métododeCrank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Equaçõeshiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Bibliografia 93

Lista deTabelas

2.1 Solução�� emváriosmomentos� . . . . . . . . . . . . . . . 422.2 Deslocamento,velocidadeeaceleraçãoemváriosmomentos� . . 442.3 Primeirostrêsmodosdevibraçãolongitudinaldabarraencastrada 472.4 Primeirostrês modosde vibraçãotransversal da barra simples-

menteapoiada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5 Soluçõesdaequaçãotranscendental�� "! . . . 552.6 Primeirostrêsmodosdevibraçãotransversaldavigaemconsola . 562.7 Soluçãodo problemaDirichlet paravários #��$�% . . . . . . . . . . 62

3.1 Osvaloresdatemperaturanospontosdabarraobtidoscomo mé-todoCrank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2 Erro relativo [%] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3 Osvaloresdatemperaturanospontosdabarraobtidoscomo mé-

tododirecto, &'�(!*),+�- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4 Comparaçãoentreo métododeCrank-Nicolson,o métododirecto

easoluçãoanalítica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

iii

iv ListadeTabelas

Lista deFiguras

1.1 Barracilíndricarectasujeitaa forçasdetracção . . . . . . . . . . 121.2 Barragemdegravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Vigademadeira,dequesepretendedeterminaraflechano ponto � 16

2.1 Cabosujeitoascargasparalelasdistribuídas . . . . . . . . . . . . 212.2 Caboparabólico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Apoiosaomesmonível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Apoiosdesnivelados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Catenária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Deslocamentodo cabono momento� . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Modosnormaisdevibração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Segundomodonormalemváriosmomentos� . . . . . . . . . . . 382.9 Função#��% easuaextensãoperiódicaímpar, #/.0�$�% . . . . . . . 402.10 Interpretaçãodafunção #/.0�$�21 34�� . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 Deslocamentodabarranomomento� . . . . . . . . . . . . . . . 432.12 Vigasujeitaàacçãodinâmica:propriedadesecoordenadas. . . . 512.13 Forçasresultantesnumtroçodiferencialdaviga . . . . . . . . . . 522.14 As componentesdaequaçãotranscendental. . . . . . . . . . . . 562.15 Rectângulo5 eascondiçõesdefronteira . . . . . . . . . . . . . 58

3.1 Pontosnaaproximaçãodasderivadasparciais . . . . . . . . . . . 733.2 Regiãono plano �76 cobertaporumamalhaequidistante8 . . . . . 743.3 Placarectangularhomogénea:condiçõesde fronteira e a malha

paraasdiferençasfinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4 Região 5 : condiçõesdefronteiraemalha . . . . . . . . . . . . . 773.5 Malhaepontosnodaiscorrespondenteaequação(3.28) . . . . . . 793.6 OsseispontosutilizadosnasfórmulasdeCrank-Nicolson. . . . . 813.7 Malhautilizadano métododeCrank-Nicolson. . . . . . . . . . . 823.8 Distribuiçãodatemperaturanabarra . . . . . . . . . . . . . . . . 853.9 Malhaepontosnodaisparao problemadedifusão. . . . . . . . . 863.10 Penetraçãodecloretono betão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.11 Penetraçãodecloretono betãoapós2 anos. . . . . . . . . . . . . 893.12 Pontosdamalhautilizadosnasaproximações(3.38)e (3.39) . . . 903.13 Malhautilizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

v

vi ListadeFiguras

Capítulo 1

ModelaçãoFísica

1.1 Grandezasfísicas

As diversasgrandezasfísicaspodem-seexprimir emtermosdegrandezasconside-radascomofundamentais.Dá-seo qualificativo depuramentemecânicasàsgran-dezasquesepodemexprimir em funçãode apenastrêsgrandezasfundamentais:massa(M), comprimento(L) e tempo(T) ou força (F), comprimento(L) e tempo(T).

Algumasgrandezas,queintervêmnosfenómenoscomportandotrocasdequan-tidadesdecalor, osfenómenosditostérmicos,necessitamdeumaquartagrandezafundamental.Factoanálogoocorrecomcertasgrandezasaconsiderarnosfenóme-noseléctricos.

A dimensãodeumagrandeza,emrelaçãoaqualquerdasgrandezasfundamen-tais,éo expoentecomqueagrandezafundamentalconsideradaaparecenaexpres-sãodimensionaldagrandezaemquestão.Porexemplo,aexpressãodimensionaldavelocidadeé LT 9;: , onde � é a dimensãodavelocidadeemrelaçãoa comprimentoe 1<� éa dimensãoemrelaçãoaotempo.

1.2 AnáliseDimensional

A análisedimensionalbaseia-senosdoisaxiomasseguintes:= sósepodeestabelecerum estadode igualdadeentreduasgrandezasquete-nhamasmesmasdimensões;= arazãoentreduasgrandezaséindependentedaunidadeemquesãomedidas,desdequeseempregueamesmaunidadeparaambas.

A análisedimensionaléutilizadapara:

- classificarasequaçõesquetraduzemosfenómenosfísicose verificar-lhesageneralidade;

1

2 Capítulo1. ModelaçãoFísica

- passardeumsistemadeunidadesparaoutro;

- prever a forma dasrelaçõesentreasgrandezasque intervêmem um dadofenómenofísico;

- estabelecercondiçõesdesemelhançaparaa concepção,operaçãoe interpre-taçãodemodelosfísicos.

1.2.1 Classificaçãodasequações

Do pontodevistadimensional,asequaçõesqueregemosfenómenosfísicospodemclassificar-seem:

Equaçõesnão homogéneas: em queos diferentestermosnãoapresentamtodosasmesmasdimensões.Estasequaçõessó sãoválidasem um deter-minadosistemadeunidadese nãotraduzemumalei físicageral. Decorremgeralmentedeexperiênciasconduzidasempiricamente.

Exemplosdeequaçõesnãohomogéneas:asfórmulasparacálculodeescoa-mentoemtubosdesecçãotransversalcircularparatubosde:

- fibrocimento >?�"@�A�),+�B�C2DE FHGJI�DE KHF- ferro galvanizado >L�"@�@�)NM�M�C2DE OPKHQJI�DE KPR

onde > é a velocidademédiado escoamentoatravés da secçãotransversaldo tubos,emmetrospor segundo, C é o diâmetrodasecçãotransversalemmetrose I éa declividade.

Equaçõeshomogéneas: emquetodosostermostêmasmesmasdimensõese oscoeficientesporventuraexistentessãoadimensionais.Taisequaçõessãoválidasem qualquersistemacoerentedeunidades.Notequea homogenei-dadeconstituiumacondiçãonecessária,masnãosuficiente,paraa validadedeequações.

Exemplode equaçõeshomogéneas:a fórmula quefornecea distânciaper-corridapor umcorpoemquedalivre,novácuo,semvelocidadeinicial:S � �+UT � Q (1.1)

Equaçõeshomogéneasrestritas: emquefiguramcoeficientescomdimen-sões.Sósãoválidasemum determinadosistemadeunidades,no qualosre-feridoscoeficientesassumesosvaloresparticularesquefiguramnafórmula.Assim,por exemplo,seescrevemosaexpressão(1.1)soba formaS ��AV)WM�� Q (1.2)

1.2. AnáliseDimensional 3

tal equaçãosóseráválidapara S expressoemmetros,e � emsegundos.Seaescrevemossobforma S �X�0@�)Y�Z�[Q (1.3)

sópoderemosutilizá-lano sistemainglês,com S empése � emsegundos.

1.2.2 Conversãoentresistemasde unidades

Ocorre,muitasvezes,em cálculosde Engenharia,a necessidadede converter ovalor de uma certagrandezade um dadosistemade unidadesparaoutro. Doiscasospodemapresentar-se:

Os dois sistemasde unidadestêm as mesmasgrandezasfundamentais:Nestecaso,bastaescrever a expressãodimensionalda grandezanos doissistemase substituircadaum dossímbolosfiguradosemtal expressão,pelovalordarazãoentreasunidadesrespectivas.

Exemplo: Converter uma força expressaem dines(a unidadede força dosistemaCGS)paranewtons(a unidadede força do sistemaMKS). Os doissistemassãode tipo LMT. Escrevemosentãoa expressãodimensionaldeforça, F=MLT 9 Q . Em seguida,substituímosF, M, L e T pelosvaloresdasrespectivasunidadesnossistemasMKS eCGS.

Utilizando,por exemplo,o programaUnits [12] (disponível emplataformasUNIX/Linux), temos:

1 newton = kg m / s^2 = 1 kg m / s^21 dyne = gram cm / s^2 = 1e-05 kg m / s^2

Resultará:

1 newton = 100000 dyne

Isto é, um newton é equivalentea �0! K dines.Porconseguinte,dividindo por�0! K o valorconhecidodagrandezaemdines,teremoso valorcorrespondenteemnewtons.

Os dois sistemasde unidades têm grandezasfundamentais diferentes:Nestecaso,temosdeexprimir asgrandezasfundamentaisdeumdossistemasemfunçãodasgrandezasfundamentaisdo outro.

Exemplo: Dadoum valordecoeficientedeviscosidadedinâmicono sistemainglês,pretende-seexprimi-lo emunidadesdesistemaCGS,sabendoqueaexpressãodimensionaldo coeficienteé\ � M L 9;: T 9;: (1.4)


numsistemado tipo L, M, T, e \ � FL 9 Q T (1.5)

numsistemado tipo F, L, T.

O sistemainglêsédo tipo F, L, T, comasunidadesfundamentaisrespectivasdelibra, péesegundo.O sistemaCGSédotipo L, M, T, sendoo centímetro,o gramaeo segundoasunidadesfundamentais.

Podeserutilizadaqualquerdasexpressões(1.4) ou (1.5). Assim,a unidadedo coeficientedeviscosidadedinâmicaresulta,

Utilizandoadefinição(1.4)Sistemainglês: slug / ft s = 47.880259 kg / m s

SistemaCGS: gram / cm s = 0.1 kg / m s

Utilizandoadefinição(1.5)Sistemainglês: lbf s / ft^2 = 47.880259 kg / m s

SistemaCGS: dyne s / cm^2 = 0.1 kg / m s

Resultaquea unidadedeviscosidadedinâmicado sistemainglêsequivaleaA^]_B�)WB�!`+�-�M unidadesdeviscosidadedinâmicadosistemaCGS.

1.2.3 Forma dasrelações

Osdois instrumentosdequea análisedimensionaldispõeparaprever a formadasrelaçõesentreas grandezasque intervêmnum fenómenofísico qualquer, sãooteoremadeBridgmaneo teoremadeBuckingham.

Teoremade Bridgman

Toda grandezasecundáriapodeser expressapor um produtode potênciasdasgrandezasprimárias.

Suponhamosqueumagrandezasecundáriaa sejaumafunçãodasgrandezasprimáriasb : , b Q , . . . , bdc . O teoremadeBridgmandiz quesepoderáescrever,aL��efbJg*h: bJg`iQ )j)j);bJg�kcsendoe umaconstanteadimensionale e : , e Q , . . . , elc , expoentespositivosou negativos,inteirosou fracionários.

Exemplo1: Sepretendedeterminara forma da relaçãoentrea distânciaS ,percorridana vertical por um corpoem quedalivre, no vácuo,a partir dorepouso,eaaceleraçãodagravidadeT , eaduraçãodaqueda,� .Utilizandoo teoremadeBridgman,podemosescrever,S �(e T g*h^�mg`i


Trata-sededeterminarosvaloresdosexpoentese : e e Q pelaanálisedimen-sional. Sendoe adimensional,seuvalor sópoderáserdeterminadoexperi-mentalmente.

Escrevemosasexpressõesdimensionaisde S , T e � . Temos:

[ S ] � L[ T ] � LT 9 Q[ � ] � T

Substituímosasgrandezas,na expressãofornecidapela teoremade Bridg-man,pelasrespectivasexpressõesdimensionais,e resulta:

L � (LT 9 Q ) g*h T gìou

L � L g h T 9 Q g hon g iIgualando,paraos dois membrosdestaequação,os expoentesdasmesmasgrandezasfundamentais,resulta:e : �p� e Q �q+Assim,o teoremadeBridgmanconduziu-nosà conclusãodequea distânciavertical percorridapor um corpoem quedalivre, no vácuo,a partir do re-pouso,éproporcionalàaceleraçãodagravidadeeaoquadradodaduraçãodaqueda: S �(e T �[QO valordocoeficienteadimensionale sópoderáserdeterminadoexperimen-talmente.

Exemplo2: Pretende-sedeterminara forma da relaçãoentrea distânciaS ,percorridana vertical por um corpoem quedalivre, no vácuo,a partir dorepouso,eaaceleraçãodagravidadeT , a duraçãodaqueda� , eo pesor .

Utilizandoo teoremadeBridgman,teríamos,S �"e T g*h � gì r g�sEscrevemosasexpressõesdimensionaisde S , T , � e r . Temos:

[ S ] � L[ T ] � LT 9 Q[ � ] � T[ r ] � MLT 9 Q

Substituímosasgrandezas,na expressãofornecidapela teoremade Bridg-man,pelasrespectivasexpressõesdimensionais,e resulta:

L � (LT 9 Q ) g*h T gì (MLT 9 Q ) g�s


ouL � L g*h n g�s M g�s T 9 Q g*h n g`i 9 Q g�s

Igualando,paraos dois membrosdestaequação,os expoentesdasmesmasgrandezasfundamentais,resulta:e : �X� e Q �"+ eutl�(!Conclui-seque eut , o expoentedo peso,é igual a ! ou, em outraspalavras,queadistânciaprocuradaé independentedopesodocorpo,sendodadaporS ��e T �[QExemplo3: Se se supusesseque a distânciapercorridapor um corpo emquedalivre, no vácuoe a partir do repouso,só dependesseda duraçãodaqueda,escrever-se-ia: S �(ev�mg*he,dimensionalmente,

L � T g hresultando �U�(! e e : �(!A primeiradasduasequaçõesé um absurdo,e mostraqueo raciocíniodepartidaé errado,e a segundaequaçãoestáem contradiçãocom o que seadmitiuinicialmente.

Notas:

– Sósepodeaplicar o teoremadeBridgmana grandezasentre asquaishá alguma razão teórica ou experimentalque permita admitir queexistaumarelação.

– O teoremasópermitedeterminarinteiramenteosvaloresdosexpoentesincógnitasquandoo número de tais incógnitasé igual ao número deequaçõesindependentesdecondiçãoa quepodemosrecorrer.

Reduçãodo número de variáveis

Seumfenómenofísico qualquerseregepor umarelaçãoentrew grandezas,#��oa : �7a Q �Z)�)j)��a�c`x�"!��podemserlocalizadosconjuntosdevariáveisqueconstituemagrupamentosnaturaise, trabalhandocomeles,reduziradimensionalidadedo problema.

Buckinghamsugeriuqueseformassegruposde parâmetrosadimensionaisa partir de umasériede parâmetrosdefinidoresdo fenómeno.Tais grupos


seriamformadospormultiplicação,factoquepoderáexplicarautilizaçãodotermosimbólico y paraosrepresentar. Um termo y forma-secomosesegue,yz��a g h: a g iQ )j)�)7a g kcmultiplicandotodososparâmetrosdasériedescritivadepoisdeoselevarmosàspotênciase : , e Q , . . . , elc . Buckinghamargumentouqueumaadequadaselecçãodosexpoenteslevaria a um termo y adimensional.Paraescolherelc , adopta-sea regradahomogeneidadedimensional.Estaregraestabelecequeasequaçõesanaliticamentededuzidasqueregemosfenómenos,terãodeserválidasparatodosossistemasdeunidades.

Assim,por exemplo,paraum corpoemqueda,a relaçãoS � �+ T �[Qé dimensionalmentehomogénea.A distânciapercorridanum segundo,novácuo,próximodasuperfíciedaTerraéS � �+ T �[Qu� �+�{z| +*),+ { ��Qu�X�j@�)}� ft

paraumobservador“inglês”, eS � �+7T � Q � �+ { M�)NB { � Q ��AV)NM m

paraum observador“métrico”. Obtêm-sedistânciasidênticasseseefectuaranecessáriamudançadeunidades.

Esteexemplotemoutrapropriedadesurpreendente:T � QS �"+Um corpocaindolivrementenumvácuopróximodasuperfíciedaTerracaidetal formaqueo valor T � Q � S semantémconstantee igual a + .Aplicandoa regradehomogeneidadedimensionala esteproblemadaquedadeumcorpo, #�� T � S ��"!Deduzimoso(s)grupo(s)adimensional(is)apartir dey�� T g*h S g`i � g�s (1.6)

As expressõesdimensionaisde T , S e � contêmadimensãofundamentalcom-primento,L, e tempo,T. A dimensãofundamentalcomprimentoencontra-se


presenteno conjuntodeparâmetros:surgeem y e em � comoL D , e em S e TcomoL : . Assim,aequação(1.6)podeexprimir-sedaseguinteforma,

L Dl� L : g*h L : g`i L Dobtendo-sea equaçãoexponencial:!<�"e : �~e QO mesmoraciocinoparaa dimensãofundamentaltempo,conduzà seguinteformaparaaequação(1.6),

T Dl� T 9 Q g*h L D L : g�se aequaçãoexponencial: !��X1�+�e : ��eutComonãofiguramoutrasdimensõesfundamentaisno conjuntode parâme-tros,asequaçõesexponenciaissão:� e : � e Q � !1�+_e : � eut�� !Temosduasequaçõese três incógnitas. Uma poderáserescolhidaarbitra-riamenteem funçãodasnossasconveniências.Uma vez queestamosinte-ressadosnumaexpressãoparaS , forcemosS aparecernogrupoadimensionalelevadaà primeirapotência.Fazendoe Q �� , resultae : ��1�� e eutU��1�+ ,e o grupoadimensionalédefinidopor:y�� T g*h S g`i � g�s � T 9;: S : � 9 Qu� ST � QPortanto,dadoum conjuntodeparâmetrosquedescreve um fenómeno,paraidentificarosgruposadimensionais:

– identificámoso númerode dimensõesfundamentaispresentesnesseconjunto;

– escrevemosasequaçõesexponenciaisemnúmeroigual aodasdimen-sões;

– fixámosarbitrariamentetodosos expoentesquematematicamentepo-deríamosfixar edeterminamososexpoentesremanescentes.

Estabelecimentodeum conjunto completode variáveisadimensionais

Considere-sedenovo asériedeparâmetros��a�c�� e a funçãoprocurada#��oa : �7a Q �Z)�)j)��a�c`x�"!��Seja � o númerodedimensõesfundamentaisnasériedeparâmetrose seja�o� : �%� Q �Z)�)j)��l aexpressãosimbólicadoconjuntodedimensõespresentes.Seja �� o expoenteda dimensão�� na variável a�� . Podemosformar agoraumamatrizdedimensões(matrizdimensional):

1.2. AnáliseDimensional 9a : a Q . . . a�c� : � :H: � : Q . . . � : c� Q � Q : � QHQ . . . � Q c. . . . . . . . . . . . .�� : �� Q . . . ��c

Oselementosdestamatrizfundamentalrepresentamoscoeficientesdasequa-çõesexponenciais:�� :H: e : � � : Q e Q � )j)j)�� : cxelc � !� Q : e : � � QHQ e Q � )j)j)�� Q cxelc � !

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .�� : e : � �� Q e Q � )j)j)�� c�elc � !Há � equaçõesexponenciaise w expoentes.A característica& destamatrizéaordemdomaiordeterminatediferentedezerosusceptível deserconstruídoa partir dela. O númerodegruposadimensionaissusceptíveisdeseremen-contradosnasériecompletaé �ow21�&� , emque w éo númerodeparâmetrose& é aordemdamatrizdimensional.Nota-seque &�� .

Escreve-seentãoamatrizdesoluçõese : e Q . . . elc 9^� elc 9^� n : . . . elcy : � ! . . . !y Q ! � . . . !. . . . . . . . . . . . .y;c 9^� ! ! . . . �

Ao grupo de termos y à esquerdachama-sesériecompletade parâmetrosadimensionaisparao femómenodescritopor a : , a Q , . . . , a�c . O quadroficarácompletoquandosedeterminaremos valoresdosexpoenteselc 9^� n : à elc ,correspondentea escolhaparticularde e : à elc 9^� .TeoremadeBuckingham

Agora,queemprincípiodeterminámosostermosy , segueo teoremadeBuc-kingham:

Seumfenómenofísicoqualquerseregepor umarelaçãoentre w grandezas,#��a : ��a Q ��)j)j)��7a`c��"!��o fenómenopoderáser exprimido por umarelaçãoentre w�1�& grandezasadimensionaise independentesentresi,T �$y : �Vy Q �Z)j)�)��;y;c 9^� x�(!��onde& éa característicadamatrizdasdimensões.


Estemétodopermitereduzirdrasticamenteo custoexperimental.Sesãone-cessários pontosparadefinir satisfatoriamenteumacurva e w parâmetrosparadescrever o fenómeno,o númerodeexperiênciasnecessáriasparades-crever o fenómeno,é ¡¢�~ c 9;: na abordagemdirecta,e ¡¤£;� c 9^��9;: nocasodautilizaçãodeparâmetrosadimensionais.A razão¡¤£¡ � c 9^��9;: c 9;: � � �Exemplo1: Determinara relaçãoexistenteentrea energia cinética, ¥�¦ , deumapartículasujeitaaummovimentodetranslação,asuamassa,� , easuavelocidade,> . #��¥§¦4�;�z�7>�x�"!Utilizandoum sistemadeunidadesfundamentaisdetipo M, L, T, asexpres-sõesdimensionaisde ¥�¦ , � e > são:

[ ¥�¦ ] � FL � MLT 9 Q L � ML Q T 9 Q[ � ] � M[ > ] � LT 9;:

e amatrizdedimensõesé ¥�¦ � >M � � !L + ! �T 1�+ ! 1��

A característicadamatrizé a ordemdo maiordeterminantenãonulo quesepodeconstruira partir dela. Comoa matriz é quadrada,o maior determi-nanteé ¨¨¨¨¨¨¨ � � !+ ! �1�+ ! 1�� ¨¨¨¨¨¨¨ �"!e, por isso,a característicaé menordo quetrês.O determinantedeordem2no cantosuperiordireitodamatrizdasdimensõesé¨¨¨¨¨ � !! � ¨¨¨¨¨ �p�ª©�"!e,por isso,acaracterísticadamatrizdasdimensõesédois.

Com o númerodasgrandezasdo conjuntode parâmetros��¥§¦d�7�z�;>� é trêse a característicada matrizdasdimensõesé dois, resulta w�� | e &'�q+ . Onúmerodegruposadimensionaisnasériecompletaé w«1 &'� | 1~+'�X� . Amatrizdesoluçõesé:

1.2. AnáliseDimensional 11e : e Q euty : �Temosum expoentequepodeserescolhidoarbitrariamente.Escrevemosasequaçõesexponenciaisa partir damatrizdimensional,�� e : ��e Q �"!+�e : ��eutl�"!1�+�e : ��1Ueut¬�"!eescolhendoe : �X� temose Q �p1<� e eutu��1�+ .A matrizdesoluçõesfica completa,e : e Q euty : � 1�� 1�+easériecompletaé y : �"¥§¦m�V�$�«> Q .A “poupança”de trabalhoexperimentalqueconseguimosé ilustradana se-guinteTabela.

Abordagemdirecta Utilizaçãodeparâmetrosadimensionais#��o¥�¦4�;�z�7>*x�(! T2 ¥§¦�«> Q�® �(!¥�¦��(¯u�$�z�7>� ¥§¦�«> Q �°y :¡¢�± t 9;: �± ;Q ¡ £ � t 9 Q 9;: � ;D¬��0

12

3

4

5 0

1

2

3

4

5

0

20

40

60

01

2

3

4

5

PSfragreplacements

²�³�� ´

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PSfragreplacements

µ h² ³�¶ � ´ i¡¤£¡ � � Q (se ·�X��- , o trabalhoexperimentalreduz-se+�+�- vezes)


Exemplo2: Considereumabarracilíndricarectasolicitadaporforçasdetrac-ção.Determinara relaçãoexistenteentreo alongamento,¸ , o comprimento,¹, a forçadetracção,r , aáreadasecçãotransversal,º eo módulodeelasti-

cidadedo material,¥ . #��o¸0�7r§�;º<�7¥ª� ¹ ��"!» » » »» » » »¼ ¼ ¼¼ ¼ ¼½ ¾ ¿ À

Á

ÁFigura1.1: Barracilíndricarectasujeitaa forçasdetracção

Podemosdefinir asdimensõesdosparâmetrosdo fenómenoemfunçãodasdimensõesfundamentais,porexemplo,numasistemado tipo F, L, T.

[ ¸ ] � L[ r ] � F[ º ] � L Q[ ¥ ] � FL 9 Q[¹] � L

Estainformaçãoé representadapelaseguintematrizdimensional:¸ r º ¥ ¹F ! � ! � !L � ! + 1�+ �

O determinantedireitodamatrizdimensionalédiferentedezero,¨¨¨¨¨ � !1�+ � ¨¨¨¨¨ �X�Â©�(!e,porconsequência,acaracterísticadamatrizédois.Destemodo,a teoremadeBuckingham, y��"w«1 &Ã�q-�1±+<� |


indicaquetrêsvariáveissemdimensõespermitemdescrevero fenómeno.

Os elementosda matriz dimensionalsãoos coeficientesdasequaçõesex-ponenciais. A partir da primeira e segundalinhas da matriz dimensional,resulta: � e Q ��e R �(!e : �Ä+_eutÅ1~+_e R �~e K �"!Paraestabelecera matrizde soluções,começamospor construirà esquerdaa matrizdeidentidade,queé compostapor umadiagonalprincipalcomele-mentosiguaisàunidadee todososoutroselementosnulos.e : e Q eut e R e Ky : � ! !y Q ! � !y7t ! ! �Asseguramosdestemodoque,em y : , apareça , masnão r nem º , que,emy Q , apareçar , masnão ¸ nem º , eque,em y7t , apareçaº , masnão ¸ nem r .

Paracompletara fila deelementosdamatrizdesoluçõespara y : , resolvem-seasequaçõesexponenciaispara e : �X� , e Q �(eutl�"! , obtendo-see R �"!e e K ��1<� .Para completar os restanteselementos da fila correspondentea y Q ,resolvem-seasequaçõesexponenciaispara e Q �X� , e : �(eutl�"! , obtendo-se e R �p1�� e e K �X1�+ .Os restanteselementosda fila correspondentea y7t obtêm-se,resolvem-seasequaçõesexponenciaispara eutu�p� , e : �(e Q �(! , obtendo-see R �(! ee K ��1�+ .A matrizdesoluçõescompletaée : e Q eut e R e Ky : � ! ! ! 1��y Q ! � ! 1�� 1�+y7t ! ! � ! 1�+Ostermosadimensionaisresultam:y : ��¸�� ¹ y Q �(r��¥ ¹ Q y7t¬��º�� ¹ Qeo fenómenopodeserrepresentadopelafunçãoT ��y : �;y Q �;y7tJ��(!


Exemplo3: Considereabarragemdegravidaderepresentada.

Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ ÆÇ Ç Ç Ç Ç Ç Ç Ç

È ½É

À ÊFigura1.2: Barragemdegravidade

Determinea relaçãoexistenteentreo deslocamentohorizontaldo topo, ¸ ,asdimensõese o módulode elasticidadeda barragem,b , � e ¥ , e o pesoespecíficodaágua,Ë . #��¸0�7b0��¥ª�7�¬�;ËÌ��!Num sistemaFLT, asdimensõesdosparâmetrosdefinem-seem funçãodasdimensõesfundamentais:

[ ¸ ] � L[ b ] � L[ ¥ ] � FL 9 Q[ � ] � L[ Ë ] � FL 9 t

e amatrizdasdimensõesresulta¸ b ¥ � ËF ! ! � ! �L � � 1�+ � 1 |

A característicadamatrizé dois,e aplicandoa teoremadeBuckinhhamre-sulta, y��"w«1 &Ã�q-�1±+<� |

1.3. Modelosfísicosesemelhança 15

Comooselementosdamatrizdimensionalsãooscoeficientesdasequaçõesexpenenciais,escreve-se� eut��e K �"!e : ��e Q 1~+�eutÍ�~e R 1 | e K ��!A matrizdesoluçõescompletaée : e Q eut e R e Ky : � ! ! 1�� !y Q ! � ! 1�� !y7t ! ! � 1�� 1��resultandoosseguintestermosadimensionais:y : � ¸� y Q � b� y7t¬� ¥�xËO fenómenopodeserrepresentadopelafunçãoT ��y : �;y Q �;y7tJ��(!

1.3 Modelosfísicose semelhança

Considere-seumavigademadeira( ¥p��)W! |Â{ �0! R N/mm2),comsecçãorectade15por30cm,simplementeapoiada,colocadasobreumvãode365cmesuportandoumacargade21kN a152cm doapoiodaesquerda.A figura1.3representaavigacomosrespectivosparâmetrosassinalados.

A relaçãofuncionalentreosparâmetrosé#��o6��;a;��b0�7�7�V��r¬�7¥ª� ¹ ��(!emque 6 é aflechasobacarganaposição� .

As dimensõesdosparâmetrossão,numsistemado tipo F, L, T:

[ 6 ] � L [ � ] � L[ a ] � L [ r ] � F[ b ] � L [ ¥ ] � FL 9 Q[ � ] � L [

¹] � L

eamatrizdedimensõesresulta6 a b � � r ¥ ¹F ! ! ! ! ! � � !L � � � � � ! 1�+ �

16 Capítulo1. ModelaçãoFísicaÁÎÏ ¾Ð ÈÒÑ

Figura1.3: Vigademadeira,dequesepretendedeterminara flechano ponto �O determinanteda direita é diferentede zeroe, por conseguinte,a caracterís-

tica damatrizdimensionalé doise o númerodevariáveisadimensionaismasériecompletaé y��"w«1 &'�(BÃ1±+��"@

As equaçõesexponenciaissão� e F ��e O �(!e : ��e Q ��eutÍ��e R �~e K 1±+_e O �~e G �"!resultandoa seguintematrizdesoluções:e : e Q eut e R e K e F e O e Gy : � ! ! ! ! ! ! 1��y Q ! � ! ! ! ! ! 1��y7t ! ! � ! ! ! ! 1��y R ! ! ! � ! ! ! 1��y K ! ! ! ! � ! ! 1��y F ! ! ! ! ! � 1<� 1�+

A sériecompletaéy : ��6�� ¹ y Q �(a�� ¹ y7tu�(bÓ� ¹ y R �(�� ¹ y K ��%� ¹ y F ��rU�_¥ ¹ Qea relaçãofuncionalentreosparâmetrospoderáexprimir-sedaseguinteforma:T·Ô 6 ¹ � a ¹ � b ¹ � � ¹ � � ¹ � r¥ ¹ Q�Õ �(!

Estarelaçãocaracterizao problemaparaqualquerdimensões,módulodeelas-ticidadeou carga aplicada. Se, considerandouma viga com outrosparâmetros,todosos termosadimensionaisy são idênticos,dizemosque as duasvigas sãosemelhantese quecadaumaé um modelodaoutra. Taismodelospodemsergeo-metricamentesemelhantes,isto é, teremdimensõesproporcionais.

A análisedasequaçõessugere-nosque a existênciade um valor único paraqualquertermo y nãoimplica a existênciade um valor único paraos parâmetros

1.3. Modelosfísicosesemelhança 17

queconstituemo termo y , factoquenosindicaapossibilidadedeconstruirmosummodelofísico davigademadeira,detamanhoe atédematerialdiferentes(deaço,por exemplo).

Considerandoa viga demadeiracomoo protótipo,a sériede termosy paraomodeloéaseguinte: 6��u� ¹ � , a��l� ¹ � , bd�¬� ¹ � , �`�l� ¹ � , �;�u� ¹ � e r��u�_¥§� ¹ Q� .

Se os termos y do modeloe do protótipo forem idênticos,o modeladortemliberdadeparadecidir:

- aescalalinearemqueo modeloéconstruído;

- o materialdequedeveráserconstruído.

As medidasdomodelolinearsãoobtidasa partir deumaexpressãodegénero:

dimensãodemodelo � factordeescala{ dimensãodo protótipo

No casodaflecha6 ,y : � 6 ¹ � 6_�¹ � Ö 6_� � ¹ � ¹ 6?� S 6em que S é o factor de escala. Para as outrasdimensõeslineares,segue-sequea��~� S a , bd�� S b , ��~� S � e �;�~� S � . O sexto termo y resultay F � r¥ ¹ Q � r��¥¬� ¹ Q� Ö r��~� ¥¬� ¹ Q�¥ ¹ Q r×� S Q ¥¬�ur¥

Paraummodelodeaço( ¥p�(+*)N!`] { �0! K N/mm2)àescala� / �0! ,¹ ��"!*)}� {z| @`-'� | @�)W- cma��"!�)Y� { ��-�+'�p�0-*),+ cmbd��"!*)}� { ��-'�p��),- cm�`�±�(!�)Y� {�| !�� | cmr��~� !*)}� Q { +*)N!`] { �0! K { +��)N! |?{ �0! R �°AV)W+�+ kN

O pontodo modeloondesedevemedira flechaé o ponto �;��!�)}�� e a flechadoprotótipo(viga real)é 6?�°6_�l��!�)Y��p�0!�6�� .

Nota:

Quandoseformulamcondiçõesdesemelhançaa partir daaplicaçãodo teo-remadeBuckinghamaomodeloeaoprotótipo,aoigualarmosostermosadi-mensionaispara osdoissistemase deduzirmosvaloresdeescalas,a análisedimensionalnadanosdiz,por si mesma,se, aoprocederassim,continuamosounãodentro doslimitesdevalidadeda lei queregeo fenômeno.


Porconseguinte,aodeduzirmosvaloresdeescalasa partir dasigualidadesdostermosadimensionais,precisamosestaralertaparanãosairdoslimitesdevalidadedalei.

Porexemplo,nocasodavigademadeirasimplesmenteapoiadaedoseumodeloem aço,devemosverificar seo comportamentodosmateriaisé elásticonosdoiscasos.

Da Resistênciados Materiais, [17], sabe-sequea tensãonormalmáximanasolicitaçãodeflexãocircularéØ

máx �ÚÙ máxÛ � @�r�a��m�¬1±a�� ¹ bJ� Qe,paraavigademadeiraresultaØ

máx � @ { +*�j!�!�! { ��-�+_! { �m�§1Ü��-�+_!`� | @`-_!`��-�! {z| !�! Q �"B*) | N/mm2

Como Ømáx �"B�) | N/mm2 Ý Ø;Þ4ßmadeira�p� | N/mm2

resultaqueavigademadeiraestásolicitadaemregimeelástico.A relaçãoentrea tensãonormal máximano modeloe no protótipo, resulta

aplicandoapropriedadedesemelhança:Ømáxß �Ø

máx� r��r a��a �[��1fa`�u� ¹ �l�[��1±a�� ¹ bbd� Ô �� Õ Q � S Q ¥§�¥ S �S �S Q � ¥§�¥

Porconseguinte,a tensãonormalmáximano modelodeaçoseráØmáxß � � ¥§�¥ Ø máx � +*)N!`] { �0! K��)N! |L{ �0! R { B�) | �X�0@�@*)WB N/mm2

Como Ømáxß � �p�0@�@�)WB N/mm2 Ý Ø ÞJßaço �(+�+�! N/mm2

resultaquetambémo modelodeaçoestásolicitadaemregimeelásticoe a análisedoprotótipopodesersubstituidaporaanálisedo modelo.

Poderáserutilizadoo modeloemaçoparaqualquervalor dacarga?Vamosvero queaconteceseacargaaplicadanavigademadeiracrescede21 para31kN.

Utilizando as mesmasfórmulas,a tensãonormal na viga de madeiravai ser��+*)W+ N/mm2,o quesignificaqueavigademadeiraestásolicitadaaindaemregimeelástico.

Contudo,a tensãonormalmáximano modelodeaçopasaa ser +_A^-�),+ N/mm2,ultrapassandoa limite elástica.

Significaque,enquantoo protótipopor hipótesetemum comportamentoelás-tico, o modelopassaaterumcomportamentoelasto-plásticoeportantonãoécom-pativel como protótipo.

Capítulo 2

ModelaçãoMatemática

2.1 Intr odução

A simulaçãodeumasituaçãooudeumfenómenofísicoatravésdehipótesestradu-zidaspor expressõesmatemáticasqueconduzema funçõesquepermitemprever ocomportamentorelevantedeum sistema,sobo pontodevista técnicodeinteresseparao avalistadessasituaçãoou fenómeno,constituio quesedesignapor modelomatemático.

Semprequea exploraçãodaspotencialidadesdo modeloexigema introduçãodetécnicasnuméricasoucomputacionais,diz-se,emboracomrigor discutível,queo modelo(matemático)énuméricooucomputacional.

A procuradedefiniçãomaisrigorosademodelomatemáticonãopareceindis-pensável, podendosatisfazera seguinte:ummodelomatemáticoéumaconstruçãoabstracta,simplificada,relacionadacomumapartedarealidade,criadaparaanali-sarumproblema,traduzidanalinguagemprópriadaMatemática[4].

Ao falar em simplificaçõesestáa reconhecer-se quehá variáveis quenãosefazemintervir no modelo,soba hipótesede sepoderemdesprezarasrespectivascontribuiçõesparao fenómenoquesepretendeentender. Algumasdestasvariáveispoderãoserindispensáveisaoestudodo mesmosistemafísico seo objectodo es-tudo for diversodaquelequeseestáa considerar:e.g. sefor desejadoconheceradeformaçãodeumavigasoba acçãodo própriopeso,o respectivo modelonãoin-clui arepresentaçãodoamortecimentooudasaceleraçõesinduzidasporumaacçãosísmicasobrea mesmaviga.

Há,ainda,nosmodelosparâmetrosourelaçõesquesãodados,e.g.asforçasex-ternasou a relaçãotensão-deformação(emcertosproblemas)e queseconsideramvariáveisexógenas.

As quantidadesque se pretendeque o modelo permita prever e quantificarchamam-sevariáveisendógenas.

As definiçõesdasvariáveisconstituemashipótesesdomodelo.Ao modelarumsistematemqueseterumaatitudedeobservaçãoampladofenómenoedosistema,evitandodesprezarou ignoraro queé significativo ou concluir apressadamenteapartir deumaobservaçãoparcial.

19

20 Capítulo2. ModelaçãoMatemática

Osmodelostêmqueserensaiados,i.e. temquesecompararasprevisõesquepossibilitamcomosresultadosconhecidosparacasosconcretos.

A eventualdivergênciaderesultadosobrigaa rever ashipótesesfeitase asva-riáveisescolhidaseaprocederaalteraçõesatéqueo modelopareçafiável ecertifi-cado.Nemsempreestaverificaçãoépossível, sejapeloscustos,pelasdificuldadeslogísticasou pelocarácterextremoda realidadesimulada(war games),masdevesersempretentada.

Em EngenhariaCivil a modelaçãopratica-see.g. emanálisedeestruturas,namecânicade fluidos, nos isolamentosacústicose térmicos,na formaçãode filasde esperanosterminaisde transportese no estudode propriedadesde difusãodehumidadeemmateriaisdeconstrução.

No casodossistemasmecânicos,desdea publicaçãodosPrincípiosdaMecâ-nicapor I. Newtonem1687queseconsideraqueossistemasmecânicos,emgeral,sepodemestudarcomomecanismossujeitosa leis de movimentoqueé possívelestudar.

Há, assim,um conjuntoreduzidodeexpressõesdaFísicaqueregeo compor-tamentomecânicodo sistema.A procurade traduzirpor expressõesmatemáticasa complexidadedo movimentoe dadeformaçãodo corpoconduzaosrespectivosmodelosmatemáticos.

O rigor aparentedasexpressõesdeduzidasdosmodelosmatemáticosnãoper-mite,noentanto,concluirquesãoexactassobo pontodevistadofenómenonaturalconcretizado.A fasedecriaçãodemodeloécríticaparaaqualidadedosresultadosobtidose estestêmqueserexaminadospor comparaçãocomaproximaçõesmuitosimples,bemcomo,inicialmente,por benchmarkingadequado.

O conhecimentodaslimitaçõese doslimites doserrosimplícitosno modeloéimperativo semprequehá riscosparaa vida humanaou parao bemestare segu-rançadaspessoaseobrigaàanálisedetalhadadasmetodologiasusadas.

2.1.1 Importância da ComputaçãonosModelosMatemáticos

A modelaçãomatemáticano seurápidodesenvolvimentoinicial assentouemsec-toresdo conhecimentomatemáticoque,noscasosem quea admissibilidadedassimplificaçõespermitiu,asseguravama existênciadesoluçõese a suaestabilidadee,emmuitoscasos,conduziamasoluçõesanalíticas.

O refinamentoda modelação,o aparecimentode novosmateriais,a possibili-dadee o interessede trabalharcomníveisde tensãoe deformaçãocadavezmaisaltos,o próprio progressocientíficoconduziram,porém,a casosemquea nãoli-nearidadedasformulações,por exemplo,ou o muito grandenúmerodeincógnitastornaraminviável quersoluçõesanalíticas,quera obtençãode resultadosa partirdealgumassoluçõesanalíticas,elasprópriascomplexas.

O aparecimentodemeiosdecomputaçãodecapacidadevertiginosamentecres-centeveio, nasúltimasdécadas,tornarpossível a soluçãonuméricadeproblemasdessanaturezaetornou-seindissociáveldaexploraçãodamaioriadosmodelosma-temáticosgeradosemEngenharia.

2.2. Estáticadecaboscomcargasparalelasdistribuídas 21

Oscomputadoressurgemdeváriosmodosnasoluçãodeproblemasfísicos[9],desdea aplicaçãoprogramadade métodosnuméricos,à exploraçãode basesdedados,à implementaçãoheurísticadesistemaspericiaise aoprópriocálculosim-bólico.

Nestadisciplinaprocurar-se-àmotivar osalunos(i) Construindomodelosma-temáticosparaproblemascorrentesde engenhariacivil; (ii) Explorandoa via dassoluçõesanalíticas;(iii) Recorrendoa algoritmosnuméricose tambémaocálculosimbólicoparaobtere interpretarresultadose fazerestudosdesensibilidadepara-métrica.

2.2 Estáticadecaboscomcargasparalelasdistrib uí-das

Oscabossãoelementosderesistênciautilizadosemmuitasaplicaçõesdeengenha-ria, tal comopontessuspensase atirantadas,teleféricos,cabosdefixaçãodetorresaltas,estruturasemtendas,etc.

De acordocom o carregamentoa queestãosujeitos,os cabosdividem-seemduascategorias: cabosquesuportamcargasconcentradase cabosquesuportamcargasdistribuídas.O estudoqueseguerefere-seasegundacategoria,poiséo tipodecarregamentomaisencontradonaprática.

Considere-sequeo caboé flexível (a suaresistênciaà flexãoé pequenae podeserdesprezada)e é inextensível (o comprimentoentredoispontosdo caboé cons-tante). ¿ àá â á â ã

ã�ä Áå

ÏÐFigura2.1: Cabosujeitoascargasparalelasdistribuídas

Considerandoo casomais geral de cargasparalelasdistribuídas,Figura 2.1,escrevam-seasequaçõesdeequilíbriodotroçodocabocompreendidoentreopontomaisbaixodo cabo, e , e um dadoponto C . As forçasqueactuamsãoa forçadetracçãoæ D em e , queé horizontal,a forçadetracçãoæ no ponto C , tangenteaocabonesseponto,e a resultanteç dacargadistribuída.è é�ê �"!�ë ìí�� 7î<�°ì D (2.1)

22 Capítulo2. ModelaçãoMatemáticaè é�ï ��!�ë ìí�ðòñ§î��(r (2.2)ì��pó ì QD ��r Q e ôdõ�ñ§î�� rì D (2.3)

Verifica-sequeacomponentehorizontaldaforçadetracçãoæ éigualemtodosospontosdocaboequeacomponenteverticalde æ éigualàresultanteç dacargaaplicadaentreo pontomaisbaixo e o ponto C . A intensidadede æ é portantomínimanopontomaisbaixodocabo.

2.2.1 Caboparabólico

Considere-seo cabo º�ö soba acçãode umacarga uniformementedistribuídanadirecçãohorizontal,assimcomosemostranaFigura2.2.Carregamentosdestetipopodemserconsideradosquandoo pesodoscabosé pequenoquandocomparadocoma carga(por exemploumapontesuspensaemqueo pesodo tabuleiroé muitomaiordoqueo pesodoscabos).

¿ à á â ãã�ä

åáÐ

Ï÷

Á�ø ÷�ÏÐÏ�ùJú Ï`ùJúâ'û Ï�üoÐ�ý

Figura2.2: Caboparabólico

Designa-sepor a cargapor unidadedecomprimentohorizontal.Escolhendoo pontomaisbaixo do cabo, e , paraorigemdo sistemade eixoscoordenados,aresultantedacargaaplicadaentreo pontomaisbaixodocaboe eumdadoponto Cdecoordenadas� e 6 tema intensidader�� V� eé aplicadaametadedadistânciahorizontalentre e e C . De (2.3) resultaqueì°�pó ì QD �þ Q � Q e ôdõ�ñ§î�� V�ì D (2.4)

Escrevendoo equilíbriodosmomentosemrelaçãoaoponto C ,è Ù ÿ �(!�ë 6?� V� Q+�ì D (2.5)

Portanto,a curva formadapor cabosuniformementecarregadosna direcçãohorizontalé umaparábola.


Quando os suportes ºe ö do cabo estão nomesmonível, a distância� entre apoiosé desig-nadapor vão,e a distân-cia vertical 8 dosapoiosao ponto mais baixo docabo,por flecha.

Ð¿á

àÏ

Ê �Figura2.3: Apoiosaomesmonível

Seo vão,aflechaeacargahorizontalsãodados,a intensidademínimadaforçadetracçãoresulta: ì D � ;� QB�8 (2.6)

Quando os apoios têmcotasdiferentes,a posi-ção mais baixa do cabonão é conhecida e ascoordenadasdos apoiosdevemsatisfazera equa-ção(2.5),eainda:��í1f�� "� (2.7)6��í1 6�� "� (2.8)

àÊÐ

Ïá¿ Ñ

Ï��Ï�� Ð��Ð

Figura2.4: Apoiosdesnivelados

O comprimentodo troçodo cabo,por exemploentreo pontomaisbaixo e e opontoB, podeserobtidopelafórmula:S �� ê��D �� Ô�� 6� � Õ Q � � � �

ê��D � � � Q � Qì QD � � (2.9)

Problema 2.1 Umcaboleveestáligadoa umapoioem º , passapor umaroldanaem ö , e suportaumacarga � . Sabendoquea flecha do caboé de !*),- m e queamassapor unidadedecomprimentodocaboé 0.75kg/m,determine:(a) a intensi-dadedacarga � ; (b) a inclinaçãodocaboem ö ; (c) o comprimentototal docabo.Tendoemcontaquea flecha épequenaemrelaçãoaovão,considerequeo caboéparabólico.Desprezetambémo pesodo troçodo caboentre ö e C .


Ê ø�� m � ø �� m�¿ à

â= (a) Carga . Supondoquea cargaé uniformementedistribuídasegundoa

horizontal: 2�(!�)W]�- { M�)NB��U�q]*) | @ N/m

A resultantedasforçasdistribuídasno troço e<ö é:rq�~ V��(]*) | @ { +�!��X�jA^]*)W+ N

As equaçõesdeequilíbrioparao troço e<ö são:è é�ê ��!�ë ì!�� 7î��ì Dè é�ï �"!Äë ì!�'�ðòñ�î��"rè Ù ��"!�ë r � A 1vì D 8·��!á à ã �

ã äå

Á�

Ê ù � Ê ù �Resulta: ì D � r<�A^8 � �jA^]�),+ { A`!A { !�)W- �q+_M�A�A Nì!�z� ó ì QD ��r Q �#" +_M�A�A Q ��A^]*)W+ Q �(+�M�A�B N

Dadoquea forçadetracçãoé igualemambososladosdaroldana,a intensi-dadedacarga ��°ì!�z�"+�M�A`B N.= (b) Inclinação do caboem $ô4õ�ñ�î�� rì D � �jA^]*)W++�M�A�A �"!�)N!`- Ö î��"+*)WB�@�%= (c) Comprimento do cabo Comoo caboé simétrico,o comprimentototaldo caboéduasvezeso comprimentodo troço ö e .S � g � � ê��D � � � Q � Qì QD � �«� � QHDD � � � ]�) | @��+_M�A�A ® Q � �¤�"+�!�)N!�!�B | mS �&��q+ { S � g �°A`!�)N!��0@�@ m


Problema 2.2 O cabo º�ö suportaumacargauniformementedistribuídasegundoa direcçãohorizontal,comoserepresentanafigura. (A) Sabendoqueem ö o caboforma coma horizontalum ângulo î'�°� | - % , determine:(a) a força máximadetracçãono cabo;(b) a distânciavertical a de º ao pontomaisbaixodo cabo.(B)Sabendoqueo pontomaisbaixo do caboestálocalizadoà distância a°� !�)W@�!m abaixodo ponto º , determine:(a) a força máximade tracçãono cabo; (b) oângulo î'� queo caboformaem ö coma horizontal.

à¿ å å �Ñ ø)( � * mÎ Ê ø+( ú'� m

÷ ø,� � kg/m

= A. Tomandoem contaquea força de tracçãono caboe dirigida segundoatangenteà curva no pontoconsiderado,-��/.0��ô4õ_ñUî'� . A resultantedascargasaplicadastem a intensidader×�± T � e é aplicadano pontomédioda distância� . Considerandoo equilíbrio do cabointeiro, e escrevendoosomatóriodemomentosemponto º , resulta:r��Å��+§�1.0�Z�<12-�� (!.0�� T � Q+��Äô4õ_ñ§î'�í1±��.3�� A^- { M*)WB�� { �0+ Q+V�[��+�ô4õ�ñ | - % 1��)WB� ��A`B��A N-��"A`B��jA { ôdõ�ñ | - % � |�| ]�!�)NB N

ÑÊ ùJú Ê ùJú

à¿ Á4 �5 �4 5 á å �

– (a) Forçamáxima de tracçãono caboì6�� ó . Q� �7- Q� �#" A`B��jA Q � |�| ]�!�)NB Q �(-_B`]�@�)NB N

– (b) Distânciavertical 8 A resultantedascargasaplicadasnotroço ö�edo cabotema intensidader9� g �~ T b e é aplicadano pontomédiodadistânciaö�e . Escrevendoasequaçõesdeequilíbrio,resulta:


è é�ê �"!~ë ì D �/.0�è é�ï �"!~ë -��"r:� gè Ù ��"!�ë ì D �`¦��r9� g bÓ��+4 �5 �

ã�ä ø�4 �á àÑ<; È ùÓú È ùÓúÁ � ;

b¬� -�� T � |�| ]�!�)NBA^- { M�)NB�� q]*)N@ | -�] m

�`¦�� T b Q+�.0� � A^- { M�)NB�� { ]*)N@ | -�] Q+ { A`B��A �q+*)N@`] |�| m

aL�"�`¦�1 �L�(+�)W@`] |�| 1��)NB<�"!�)WB�] |�| m= B. Dadasasdistâncias� , � e a , esabendoqueo caboéparabólico,podemosescrever:

�� 6��«�>= � Q�+�ì D6��?= � Q �+�ì D��í1f�� Ö�� ® Q � 6��6��í1v��

onde= �~ T éa cargauniformementedistribuídamedidaemN.

Tomandoemcontaque ��zÝ�! e ��A@Ü! , resulta:�� X1�� 6�6�� e �� Å� � 6�6�� +� � � !�)W@+*)NA �"B m e �� X1�B � !�)N@+*) A �X1UA m

ì D � = � Q �+�6�� A`- { M�)WB*� { B Q+ { +*)NA �(-�B�B�@ N

Escrevendoasequaçõesdeequilíbriono troço ö�e :.0��ì D �q-�B�B�@ N-��(r9� g �~ T ��z��A^- { M�)NB�� { B�� | - | ��)N@ N


– (a) Forçamáxima de tracçãoì6�� ó . Q� �7- Q� � " -_B�B�@ Q � | - | ��)N@ Q �(@�B�@�AV)W+�! N

– (b) Ângulo î'�ôdõ�ñ§î'�z� -��.0� � | - | ��)W@-_B�B�@ ��!�)W@ Ö î'�z� | !�)WM�@ %2.2.2 Catenária

Considere-seo cabo º�ö soba acçãodeumacargauniformementedistribuídaaolongodoseucomprimento,assimcomosemostranaFigura2.5.Oscabossuspen-sossobaacçãodo pesopróprioestãonestascondições.¿ à ã

ã�äâ�û Ï�ü�Ð�ýá ÏÐ

BC á âC D C D Ï D ÐÁ�ø ÷�C

åFigura2.5: Catenária

Designa-sepor acargaporunidadedecomprimentomedidaaolongodocabo.A intensidader dacargaaplicadaa um troçodo cabo e�C comcomprimentoS érq�~ S .

Escrevendoasequaçõesdeequilíbrioparao troço e�C , resulta:ì�� ó ì QD �þ Q S Q (2.10)

Parasimplificar oscálculossubsequentes,introduz-sea constante3Â��ì D �Ó . As-sim, tem-se: ì D �± 73 r�� S ì��± E" 3 Q � S Q (2.11)

Paraobtera equaçãodacurva formadapelocabo,observe-seque:� �«� � S �� 7î'� ì Dì � S � ;3 � S " 3 Q � S Q � � Só � � S Q ��3 Q (2.12)

Escolhendoa origem F do sistemade eixoscoordenadosa uma distância 3 ,directamenteabaixode e e integrandoentre e2�o!��43� e C��$��d6� , obtém-se:�¤� �3GD � Só � � S Q ��3 Q �"3/õ�H��ðòñ�� S 3 (2.13)


ou S ��3'��ðòñV� � 3 (2.14)

Estaequaçãorelacionao comprimentoS do troço e<C do cabocom a distânciahorizontal� .

A relaçãoentreascoordenadas� e 6 podeserobtidaagoraescrevendo,

� 6?��ô4õ�ñ�î � �«� rì D � �¤� S3 � �¤��ðòñ�� 3 � � (2.15)

e integrandoentre eª��!*�43� e Cz��d6V :6 1±3u� � êD ��ðòñV� � 3 � �¤�(3JI �� 3LK ê D �(3 �� 3 1�� ® (2.16)

ou 6?�(3�� 3 (2.17)

Estaé a equaçãode umacatenáriade eixo vertical. A ordenada3 do pontomaisbaixodocabo,chama-separâmetrodacatenária.

Elevando ao quadradoambosos membrosdas equações(2.14) e (2.17) esomando-os,obtém-seaseguinterelaçãoentre6 e S :6�Q�1 S Ql�"3JQ (2.18)

Utilizandoesteresultado,asrelações(2.11)podemserescritas:ì D � 73 r��± S ì°�± ;6 (2.19)

A última relaçãoindicaquea força de tracçãoemqualquerpontodo caboé pro-porcionalàdistânciaverticaldo pontoà linhahorizontalquerepresentao eixo � .

Nota-sequecertosproblemasdecatenáriasenvolvemequaçõestranscendentes.No entanto,quandoaflechadocaboépequenaemrelaçãoaovão,acargapodeserconsideradauniformementedistribuídana direcçãohorizontal,e a catenáriapodesersubstituídapor umaparábola.

Problema 2.3 Umcabouniformecom -_! N/mdepesoestásuspensoemdoispon-tos, º e ö , comosemostranafigura. Determine:(a)osvaloresmáximosemínimosda intensidadeda forçadetracçãono cabo;(b) o comprimentodocabo.

à¿ ( �M m N m

2.2. Estáticadecaboscomcargasparalelasdistribuídas 29= Equaçãodo cabo

A equaçãodo caboédadapelaequação:6?�(3�� 3à¿ Ð Ð��O á ÏÏ �As coordenadasdo ponto ö são��(]�- m 6�� | !§��3 m

Substituindoestascoordenadasna equaçãodo cabo, obtém-sea seguinteequaçãotranscendente: | !��3§��3�� ]�-3O valor de 3 é determinadoutilizandoo métododeNewton-Raphson1. Con-sideramosa funçãonão-linear#��3�x� | !��3 1 3Ã�� ]�-3easuaprimeiraderivada# £ �o3��p�§1 �� ]�-3 � ]�-3 �ðòñ�� ]�-3A aproximaçãoinicial dasoluçãoé escolhida3 D � M�! . O processoiterativoparaadeterminaçãodasoluçãoé:3 : � 3 D 1 #��3 D # £ ��3 D �"M�!�� | )}�0!�!�B |!*)NA`!�M�B`] �(M`]�),-�@�-_A3 Q � 3 : 1 #��3 : # £ ��3 : �"M`]*)W-�@`-�A�� !�)W+�]_A`@*��+!�) | A`!`-_@`- �(M�B�) | ]*�0]3Jt � 3 Q 1 #��3 Q # £ ��3 Q �"M�B�) | ]*�0]¬� !�)N!�!`+�-_@�M`-_A!�) |�| A`+�-�] ��M�B�) | ]�M�A3 R � 3Ót�1 #��3JtJ# £ ��3JtJ �"M�B�) | ]�M_A�� AV)N!�!�@�!_A { �0!�9 F!�) |�| AV�0M�B �(M�B�) | ]�M_Aeo valordoparâmetrodacatenáriaresulta3§�"M�B�) | ]�M�A .

1Nestemétodo,a soluçãode uma equaçãonão-linear, P û Ï�ý ø , é obtida por iteraçõessu-cessivas, começandocom uma aproximaçãoinicial da solução. A fórmula iterativa é dadaporÏQMRTS ø ÏQVU P û Ï�Q�ý�ù P�W û ÏQ�ý . O métodoé pormenorizado,porexemplo,em[2].

30 Capítulo2. ModelaçãoMatemática= (a) Valoresmáximo emínimo da forçade tracçãoì máx �°ì6��~ ;6��í�~ �� | !��3�x�q-�! { � | !��M�B�) | ]�M_A^��(@�A��0B�)NM`- Nì mín �°ì D �~ 73¬�(-�! { M�B�) | ]�M�A��A`M��0B�)NM`] N= (b) Comprimento do cabo

Metadedo comprimentodoarcoéobtidoutilizandoa relaçãoentre6 e S :6�Q� 1 S Q g � ��3ÓQ Ö S g ��#" �0+�B�) | ]�M�A Q 1±M�B�) | ]�M�A Q �"B�+*)NA`]�B�B`] m

O comprimentototal docaboé,então:S �X��q+ S g ��"+ { B�+*)NA`]�B�B`]Ã�X�j@�AV)NM`-�]�]_A m

Problema 2.4 O cabo º�ö temmassapor unidadede comprimentode A^- kg/m.Sabendoqueo pontomaisbaixo do caboestálocalizadoà distância a � !�)N@ mabaixodo apoio º , determine: (a) a localizaçãodo pontomaisbaixo e ; (b) aforçadetracçãomáximano cabo.

Ñ ø)( � * mÎ Oà¿ Ê øY( ú�� m

á ÐÏUZÏ Ï �B

= Dadasas distâncias� , � e a , e sabendoque a curva de equilíbrio é umacatenária,podemosescrever:�� í1 �� (�6��¤��3�� 36��í�(3�� 3 Ö

�� z�(��±��6��3 �"�� 36��3 �"�� z�±��3�� õ�H�� 6��3 �(õ�H�� 3 ® �[Z ��3õ�H�� 6��3 �(õ�H�� ±��3 ® �[Z �z�±��3


Tomandoemcontaque ��zÝÜ! e ��±��+@Ü! , resulta:1§��í�(3Ìõ�H�� 6�3 �(3ÌõH�� 3x��a3 �"3Ìõ�H�� a 3 ®��±�� "3Ìõ�H�� 6��3 �(3Ìõ�H�� 3��aÃ�~�3 �"3/õ�H�� Ô � � a��3 Õ�f�"3Ìõ�H�� Ô � � a��~�3 Õ ��3/õ�H�� a 3 ®O valor do parâmetroda catenáriaé determinadoutilizando o métododeNewton-Raphson,com2#��3�x�(3A\ õ�H�� Ô �Å� a��3 Õ �~õ�H�� a 3 ®6] 1 �# £ �o3�x�X1 � aa��Ä+�3 1 � aÃ��a��~��Ä+_3 �Ãõ�H�� l� a 3 ® �Ãõ�H�� Ô �l� aÃ�~�3 ÕSubstituindoosvaloresnuméricos,a funçãoeasuaderivadasão#��3�x�X1��+§��3^I õ�H�� !�)N@3 ® ��õ�H�� l� +*) A3 ® K# £ �o3�x�X1 � !�)N@!*)W@��Ä+_3 1 � +*) A+*) AU�Ä+�3 �Ãõ�H�� !�)W@3 ® �Ãõ�H�� +*) A3 ®ecomeçandocomumaaproximaçãoinicial 3 D �X�0! , resulta:w 3Jc #��34c� #�£$�o3Jc� 3Jc n : ��3JcÃ1~#��34c`��#�£ ��34c`0 10.0000 1��),]�-�@ | @ 0.526373 13.33671 13.3367 1U!�)}�0+�B`]�!`- 0.454486 13.61992 13.6199 1�!�)N!�!�!�@�B | ��0- 0.449652 13.62143 13.6214 1UB�)N@`-�@�!�@`_`�0! 9 F 0.449627 13.6214

O parâmetrodacatenáriaé,portanto,3¬�X� | )N@`+*��A m.= (a)Localizaçãodo ponto a1��í�"3/õ�H�� a 3 ® �p� | )N@`+*�jAÅõ�H�� !�)W@� | )N@`+*��A ®�� 1UA�)W!`+_B`+�B m ��z��+�1 AV)W!�+�B`+�B'�q]�)WM`]��]�+ m= (b) Forçade tracçãomáximaì máx �~ V6��°A^- { M�)NB�� { �m��)NB§��!*)W@�� | )W@�+*�jA^x�"]�!`]�+*)N@`- N

2Seaexpressãoanalíticadaderivadaédifícil deserencontrada,podeserutilizadaaaproximação

daderivadaP W û Ï�ý!b P û Ïdc3euýXU P û Ï�ýe , onde e é umintervalopequeno,por exemplo f� ( .


Oscabossuspensossoba acçãodo pesoprópriosãouniformementecarregadosaolongodo comprimentoenãonadirecçãohorizontal,eportantonãoformamumparábola.O erro introduzidoaosupor-sea formaparabólicaé pequenoquandoaflechaé suficientementepequenaemrelaçãoaovão. Paraexemplificar, osresulta-dosobtidosemProblema2.2 e Problema2.4sãoapresentadosjuntos.Na Tabela,aparecetambémo comprimentoS ea representaçãográficadacurvadeequilíbrio.

Caboparabólico Catenária� m 12 12� m 1.8 1.8a m 0.6 0.6� g 1f�� m 4 4.028�� 1 � g m 8 7.972ì D N 5886 6013.17ì máx N 6864.20 7072.65

Equação 6?�"!�)W! | ]�-��7Q 6��X� | )N@`+*�jA�� | )N@`+*��A ®S m 12.5161 12.5219

Gráfico -4 -2 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PSfragreplacements êï

-4 -2 2 4 6 8

13.6

13.8

14.2

14.4

14.6

14.8

15

PSfragreplacements

êï

O comprimentodascurvasdeequilíbriofoi calculadoapartir dadefinição,S � � G �Ghg � S � � ê �ê g �� Ôi� 6� � Õ Q � �Osintegraisforamcalculadosutilizandoo programaMathematica[19]. O mesmofoi utilizadopararepresentargraficamenteascurvasde equilíbrio. Assim,paraocaboparabólico,

In[1]:= Integrate[Sqrt[ 1+(0 .0 75 x)^2],{x,-4,8}]Out[1]= 12.5161In[2]:= Plot[0.0375 x^2,{x,-4,8}]Out[2]= -Graphics-

enquantoparaacatenária,

In[3]:= Integrate[Sqrt[ 1+(S in h[ x/1 3. 6214]^ 2)] ,{ x, -4 .0 28, 7. 972} ]Out[3]= 12.5219In[4]:= Plot[13.6214 Cosh[x/13.6214] ,{ x, -4 .02 8, 7. 972} ]Out[4]= -Graphics-

2.3. Dinâmicadoscabos 33

Paraumavariável qualquer> , o erro relativo introduzidoao supor-sea formadeequilíbrioparabólicaemvezdecatenária,édefinidocomoj ´ � ¨¨¨¨¨ > catenária1 > parábola> catenária

¨¨¨¨¨ { �j!�! %

Assimsendo,oserrosrelativosintroduzidosno valor do comprimentoe datensãomínimaemáximasão: j G �(!�)N!�A`@ | �0B�B %j�kml �q+*)Y��jA�B�@ %j�k

máx�q+*)NM�A^]�+�] %

2.3 Dinâmica doscabos

Oscabos,vistoscomoelementosde resistênciaemaplicaçõesdeengenharia,sãosujeitosa váriassolicitaçõesdinâmicas,taiscomocargasmóveis,acçãodo vento,sismos,etc. Tais solicitaçõesinduzemem cabospequenasvibraçõesqueconsti-tuemo assuntodoestudoquesegue.

Considere-seum cabotraccionadode comprimento� , entredois apoiosfixos.Emcertomomento,� D , o caboéretiradodaposiçãodeequilíbrioedepoislibertado.O problemaé determinarasvibraçõesdo cabo,isto é, determinaro deslocamento�Í�� decadaponto � paracadamomento�d@Ä� D .

Ï«ÏVc�e Ï Ê n Á �ã S ãpoq r

Figura2.6: Deslocamentodo cabonomomento�2.3.1 Hipótesessimplificativas

Naderivaçãodasequaçõesdiferenciais,assuma-seque:

- A massado cabopor unidadedecomprimentoé constante,ou seja,o caboéhomogéneo;

- O cabotemumcomportamentoperfeitamenteelásticoeéflexível, ouseja,asuaresistênciaàflexãoépequenaepodeserdesprezada;


- A forçadetensãono caboé grandequandocomparadacomo seupesopró-prio eassimo pesopodeserdesprezado;

- O cabotem pequenosmovimentostransversaisnum plano vertical, isto é,cadapartículado cabotem um movimento vertical e o deslocamentoe atangenteemcadapontosãopequenosemvalorabsoluto.

Considerandoválidasesteshipótesessimplificativas,asolução�Í�$�� daequa-çãodiferencialquevai serobtidadescreverárazoavelmenteaspequenasvibraçõesdocabofísico real,homogéneo,commassapequenae forçadetensãogrande.

2.3.2 Equaçãodasondasuni-dimensionais

Paraobteraequaçãodiferencialdeequilíbrio,considere-seasforçasqueactuamnotroçodo cabo r^� , vejaFigura2.6. Comoo cabonãoofereceresistênciaà flexão,a tensãoé tangenteaocaboemtodosospontos.Seja ì : e ì Q a tensãonospontosterminaisdo troço, r e � .

Comonãohá movimentohorizontal,asequaçõesde equilíbrio do troço r^�são: s é�ê �(!~ë ì : �� tþ��ì Q �� Lu��ì°�"3mv�w S �J) (2.20)

s é�w ��1x�×ëqì Q �ðòñyuí1 ì : ��ðòñztþ�|{~}��,� Q �� Q (2.21)

A equação(2.21)é dividida em seguidapor ì , e tomandoem contao resul-tado(2.20),resulta:ì Q ��ðòñyuì Q �� u 1 ì : �ð}ñztì : �� t ��ô4õ�ñzu 1fô4õ�ñ�tþ� {V}��ì � Q �� Q (2.22)

Mas,emcadamomento� , as ô4õ�ñ�t e ôdõ�ñzu sãoastangentesno caboem r e �eportanto: ô4õ�ñzt�� Ô � �� Õ ê ô4õ�ñyu�� Ô � �� Õ ê nX� ê (2.23)

Dividindoa equação(2.22)por }L� eutilizandoasigualdades(2.23),segue,�}�� \ Ô � �� Õ ê nX� ê 1 Ô � �� Õ ê ] � {ì � Q �� Q (2.24)

Se }�� tendeparazero,de(2.24)resultaa equaçãodasondasuni-dimensional,� Q �� Q ��3ÓQ�� Q �� Q com 3ÓQl� ì { (2.25)


2.3.3 Método de separaçãodevariáveis.SériesdeFourier

Paradeterminaro movimentodocabo,devemosacharasoluçãodaequação(2.25),�:�� , quesatisfazascondiçõesimpostaspeloproblemafísico. Comoo cabotemdoisapoiosfixos, temosduascondiçõesdefronteira, para�� e ��/� :�:��&��/� e �:�h�y�� (2.26)

A formademovimentodocabovai dependerdodeslocamentoedavelocidadeinicial (no ��|� ). Considerandoo deslocamentoinicial � ��E� eavelocidadeinicial�!��E� , temosduascondiçõesiniciais:�:��p�� E� e � �� ~�� X� � �!��E� (2.27)

Determinaro movimentodo cabosignifica,portanto,determinara soluçãodaequação(2.25)quesatisfazascondições(2.26)e(2.27).Estasoluçãovai serobtidadeseguintemodo:

- Aplicandoo métodode separaçãode variáveis, vão resultarduasequaçõesdiferenciaisordinárias;

- Vai serdeterminadaasoluçãoquesatisfazascondiçõesdefronteiraparacadaumadestasequações;

- UtilizandoassériesdeFourier, assoluçõesvãosercompostasdemodoaob-ter a soluçãodaequaçãodasondas(2.25)quesatisfaztambémascondiçõesiniciais.

Duasequaçõesdiferenciaisordinárias

No métodode separaçãode variáveis, a soluçãoda equaçãodasondas(2.25) éprocuradadeforma �9��/¡��E�X¢�� (2.28)

queé um produtodeduasfunções,o cadaumadependentedeumasóvariável, �e � , respectivamente.Diferenciandoa equação(2.28)e utilizandocomonotaçãooponto,paraa derivadaemrelaçãoao � , e a linha, paraa derivadaemrelaçãoao � ,obtém-se, �L£ �� £ �/¡¥¤¢ e ��£ �� £ �/¡§¦ ¦¨¢ (2.29)

Inserindoosresultados(2.29)naequação(2.25),resulta,¡¥¤¢[�/© £ ¡J¦ ¦ª¢ou,dividindopor © £ ¡«¢ ,


¤¢© £ ¢ � ¡ ¦ ¦¡Como a expressãoda esquerdasó dependede � e a expressãoda direita só

dependede � , paraquea igualdadeexistaparaqualquer� e � , resultaqueasduasexpressõesdevemserconstantes.Portanto,¤¢© £ ¢ � ¡ ¦ ¦¡ �|¬e, logodaí,asduasequaçõesdiferenciaisordinárias,¡§¦ ¦®¯¬y¡¥�/� (2.30)¤¢/2© £ ¬d¢#�|� (2.31)

comaconstante¬ , arbitrária.

Satisfaçãodascondiçõesde fr onteira

As soluções¡ daequação(2.30)e ¢ daequação(2.31)serãodeterminadasdetalmodoque ��/¡^¢ satisfazascondiçõesdefronteira(2.26),ouseja,�:�h�T��/¡��h�p�X¢�� e �:��z��¡��X¢��

As soluções¡¥°[� e ¢#°[� nãosãodeinteresse,poisresulta��°[� , eportantoo caboestariaemrepouso.± Soluçãoda equação(2.30)

As condiçõesdefronteirapara ¡��E� são:¡��h�p��|� e ¡��h��|� (2.32)

Procurandoumasoluçãodeforma ¡²�[³µ´�¶ , a equaçãocaracterísticaobtém-sedeforma, · £ ¯¬3�/�comassoluções

·!¸ �²§¹ ¬ e· £ �¥¹ ¬ . Sea constantearbitráriaé positiva,¬3�|º £ , asoluçãogeneralde(2.30)é¡¥��»Y³<¼ ¶d½1¾ ³¿À¼ ¶

e, tomandoemcontaascondições(2.32),resulta¡¥°[� .A únicaalternativa é de escolhera constante¬ negativa, ¬Á�Â�Ã £ . Nestecaso,asoluçãogeneralpodeserescritacomo¡¥�|»#Ä<Å�Æ�Ã&� ½1¾ Æ�ÇÉÈ�ÃX�


e tomandoemconta(2.32),¡��p��»|�/� e ¡��h�� ¾ Æ�ÇÉÈ�Ã��2�/�Deve serescolhido¾ Ê�Ë� , paranãoobterde novo ¡Ì°Í� , o quesignificaque Æ�ÇÉÈ�Ã��2�/� , ouÃ��2��ÎEÏ Ð Ã�� ÎEÏ� Î inteiro

Escolhendo¾ �ÒÑ , é obtidaumainfinidadede soluções,¡ÔÓL��E� , todaselassatisfazendoascondições(2.32)¡ÔÓX��E��|Æ�ÇÉÈ ÎEÏ� � ÎÕ�ÖÑ��×T�iØµØµØ (2.33)± Soluçãoda equação(2.31)

A constante¬ é restritaaos valores ¬0�Ö�Ã £ �²Ù��ÎEÏÔÚ�� £ e, portanto,aequação(2.31)tomaa forma,¤¢ ½ · £Ó ¢#�� · Ó«� ©MÎEÏ�cujasoluçãogeralé ¢JÓX�� ¾ Ó�Ä<Å�Æ · Óf� ½Û¾ÙÜÓ Æ�ÇÉÈ · Óf� (2.34)

As funções�LÓ&��/¡�ÓL��E��¢§ÓL�� , definidaspor�LÓ&��Ý� ¾ Ó�ÄmÅ�Æ · Óf� ½Û¾ ÜÓ Æ�ÇÞÈ · Óf��&Æ�ÇÞÈ ÎEÏ� � ÎÕ�ÖÑ��×T�iØµØ<Ø (2.35)

são soluçõesda equaçãodas ondas(2.25) e satisfazemas condiçõesde fron-teira(2.26).

Cada ��Ó representa um movimento harmónico com a frequência· Ó�Ú�×fÏß�/©MÎiÚ�×�� ciclos por unidadede tempo. Estesmovimentossão conhe-cidospormodosprópriosdevibração. O primeiromodopróprio,obtidopor Îß�²Ñchama-seo modofundamental.

Comoem(2.35),Æ�ÇÞÈ Î�Ï6�� /� para �� Î � ×��Î �iØµØµØm� Îà7ÑÎ �y�o modopróprio Î tem Î+¥Ñ nodos,ou seja,pontosna cordaquenãosemovem(alémdosdoisapoiosfixos,vejaFigura2.7).

Figura2.8 mostrao segundomodonormalem váriosmomentos� . Em cadainstante,o cabotem a forma de umasinusóide.Quandoa parteda esquerdadocabodesce,apartedadireitasobe,eaocontrário.Paraosoutrosmodos,asituaçãoésimilar.


L0 L0 0 L L0ÎÕ�²Ñ ÎÕ�[× Îß�|á ÎÕ��âL0 L0 L0 L0ÎÕ�/ã ÎÕ�/ä Îß�/å ÎÕ�|æFigura2.7: Modosnormaisdevibração

L0

Figura2.8: Segundomodonormalemváriosmomentos�Soluçãodo problema

Uma solução �LÓX�� definidapor (2.35), não vai satisfazeras condiçõesinici-ais (2.27). Comoa equação(2.25) é linear e homogénea,se �LÓ é umasolução,tambéma somadeváriassoluções�LÓ ésoluçãoda(2.25).

Paraobtera soluçãoquesatisfaz ascondiçõesiniciais (2.27), considere-seasérieinfinita,�:�� çèÓ � ¸ �LÓ&�� çèÓ � ¸ � ¾ Ó�Ä<Å�Æ · Ó� ½1¾ ÜÓ Æ�ÇÉÈ · Ó��&Æ�ÇÉÈ Î�Ï� � (2.36)

onde· Ó«�|©MÎEÏÔÚ� .

2.3. Dinâmicadoscabos 39± Satisfazero deslocamentoinicial

Introduzindoa expressão(2.36)naexpressão(2.27)paraascondiçõesinici-ais,obtém-se,parao deslocamentoinicial,�:�� çèÓ � ¸ ¾ Ó�Æ�ÇÞÈ Î�Ï6�� E� (2.37)

Oscoeficientes¾ Ó resulta,aplicandoa teoriadassériesdeFourier[10],¾ ÓJ� ×�êé0ë� � ��E�&Æ�ÇÞÈ Î�Ï6�� ì � Îß�#Ñ��×T�iØµØ<Ø (2.38)± Satisfazera velocidadeinicial

Demodosimilar, diferenciando(2.36)emrelaçãoaotempo,obtém-se,� �� X� � çèÓ � ¸ ¾ ÜÓ · Ó�Æ�ÇÞÈ ÎEÏ!�� í�!��E�resultando ¾ ÜÓ · Ó«� ×�êé ë� �6��E�&Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�� ì � ÎÕ�ÖÑ��×®�iØµØµØou, ¾ ÜÓ � ×©MÎEÏßé3ë� �!��E�&Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�� ì � ÎÕ�²Ñ��×T�iØµØµØ (2.39)± Solução

A soluçãodoproblemadefinidopelaequação(2.25)epelascondições(2.26)e (2.27),é dadapor (2.36)comcoeficientes(2.38)e (2.39),coma restriçãoquea série(2.36)deve serconvergente,assimcomoassériesobtidasdife-renciandoduasvezes(2.36)emrelaçãoao � e � .Considerando,parasimplicidade,o casoemquea velocidadeinicial �!��E� ézero,oscoeficientes¾ ÜÓ sãozero,easolução(2.36)tomaa forma:�:�� çèÓ � ¸ ¾ Ó�Ä<Å�Æ · Óf�yÆ�ÇÉÈ ÎEÏ6�� · Ó^� ©MÎEÏ� (2.40)

Utilizandoasfórmulastrigonométricas3, podeescrever-se:Ä<Å�Æ ©MÎEÏ!�� Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�� Ñ×3î Æ�ÇÞÈ)ï Î�Ï� �� ½ ©��ñð ½ Æ�ÇÞÈßï Î�Ï� ��2©��ñðXò3 óhôöõ�÷�ø3ó�ôöõ�ùiúàûLóhôöõ ÷�ø3ùû üþý ó ÷~ÿÙùû


e aequação(2.40)podeserescritacomo,�:�� Ñ× çèÓ � ¸ ¾ Ó�Æ�ÇÞÈ ï Î�Ï� �� ½ ©�� ð ½ Ñ× çèÓ � ¸ ¾ Ó�Æ�ÇÞÈ ï ÎEÏ� ��¯©�� ðEstasduassériespodemserobtidassubstituindo� por � ½ ©�� e ��,©�� nasériedeFourierdefinidapor (2.37),eportanto,podemosescrever�:�� Ñ×�� Ü �� ½ ©M�� ½ � Ü ��¯©�� (2.41)

onde � Ü é a extensãoperiódicaímpardafunção � , cujaperíodoé ×� , assimcomoestárepresentadonaFigura2.9.��

� � �Figura2.9: Função� ��E� e asuaextensãoperiódicaímpar, � Ü ��E�

Observandoqueo gráficodafunção � Ü ��,Û©M�� é obtidofazendoumatrans-laçãoparaa direita com ©M� unidadesdo gráfico da função � Ü ��E� , veja Fi-gura2.10,resultaque � Ü ��Õí©M�� , para ©�� , representaumaondaquesepropagaparaadireita,enquanto� Ü �� ½ ©�� representaumaondaquesepro-pagaparaaesquerda.A solução�:�� éasobreposiçãodestasduasondas.

��

�� ÿ ��

Figura2.10: Interpretaçãodafunção � Ü ��¯©��A constante© tem dimensõesde velocidadee representaa velocidadedepropagaçãodaonda.


Problema 2.5 Determinea soluçãodaequaçãodasondas(2.25),correspondentea umdeslocamentoinicial,� ��E�� ×�¬� � para ��Á�� ××�¬� �� ê�E� para

� × �Á��í�ea velocidadeinicial nula.

Como �!��E�~°Ý� , oscoeficientes¾ ÜÓ sãozero e a soluçãopodeserescrita,vejaequação(2.40),como �:�� çèÓ � ¸ ¾ Ó�Ä<Å�Æ ©MÎEÏ6�� Æ�ÇÞÈ Î�Ï6��ondeoscoeficientes¾ Ó sãodadospor:¾ Ó«� ×� é0ë� � ��E�&Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�� ì �

Introduzindoo deslocamentoinicial nadefiniçãodoscoeficientes¾ Ó , resulta:¾ Ó«� ×� ��é3ë! £� ×�¬À�� Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�� ì � ½ é3ëë! £ ×�¬� ��AA�E�yÆ�ÇÞÈ Î�Ï6�� ì �#"¾ Ó^� âp¬� £ ��é ë! £� �+Æ�ÇÞÈ ÎEÏ!�� ì � ½ é ëë! £ �� ê�E�dÆ�ÇÉÈ ÎEÏ6�� ì �#"Utilizandoo programaMathematica[19], resulta,

In[1]:= 4*k/L^2*(Integrate[x*Sin[n*Pi* x/L], {x,0 ,L/2} ]+Integrate[(L-x)*Sin[n*Pi*x/L ],{x, L/2, L}])

n Pi n Pi 332 k Cos[----] Sin[----]

4 4Out[1]= ----------------------------

2 2n Pi

ou seja, ¾ Ó«� á�×�¬Î £ Ï £ Ä<Å�Æ��Î�ÏÔÚâÀ�dÆ�ÇÉÈ�$��ÎEÏÔÚâp�ea consequentesolução�:�� :�:�� çèÓ � ¸ áp×�¬Î £ Ï £ ÄmÅ�Æ��Î�ÏÔÚâÀ�dÆ�ÇÞÈ#$f��ÎEÏÔÚfâÀ�dÄ<Å�Æ ©MÎEÏ6�� Æ�ÇÉÈ Î�Ï6��A sérierepresentandoa solução,é definidadentro deMathematicacomouma

funçãode � , � e denúmerosdetermosemsérie, % � ,


u[x_, t_, Nt_] := Sum[Bn*Cos[c n Pi t/L]*Sin[n Pi x/L],{n,1,Nt}]

A representaçãográficada solução�:�� , obtidapara váriosnúmerosdeter-mosnasériedeFourier, emváriosmomentos� , éapresentadana Tabela2.1.� % ¸ �²Ñ % ¸ �[ã % ¸ �²Ñ'� % ¸ �²Ñ'��

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

��Úâp©0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

��Ú�×�©0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

á��Úâp©0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

��Ú�©0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

Tabela2.1: Solução�9�� emváriosmomentos�Problema 2.6 Determineasoluçãodaequaçãodasondas(2.25),paraocabocomdois apoiosfixossituadosa umadistância �Ý�ËÏ um de outro, e cuja constante© £ �'&yÚ)( � Ñ , seo deslocamentoinicial � ��E� e a velocidadeinicial �6��E� sãodefinidospor: � ��E��&ØÉÑ�Æ�ÇÞÈd� �!��E��# �&Øö×�Æ�ÇÉÈd�

Segundoa definição,oscoeficientes¾ Ó sãodefinidospor¾ Ó«� ×Ï é+*� �TØÉÑ�Æ�ÇÉÈV�+Æ�ÇÞÈyÎE� ì �à�� &ØÉÑ Îß�#Ñ�&Øª×Ï Æ�ÇÉÈzÎEÏÑzêÎ £ �� Îß�|×T��á&�iØµØµØ

eoscoeficientes¾ ÜÓ , por¾ ÜÓ � ×Î�Ï é *� �&Øö×�Æ�ÇÞÈd�+Æ�ÇÞÈyÎ�� ì �� TØª× ÎÕ�²Ñ �TØ âÎ�Ï Æ�ÇÞÈyÎ�ÏÑz2Î £ �/� ÎÕ�/×®��á&�iØµØµØ

2.4. Vibraçõeslongitudinaisembarras 43

O deslocamento�:�� , resulta,conformeà definição(2.36),�:�� h�&Ø�Ñ�Ä<Å�ÆT�9¯�&Øö×�Æ�ÇÉÈd��yÆ�ÇÞÈd�Diferenciandoemrelaçãoao tempo,obtêm-seas expressõesda velocidadee

da aceleração: ,�:��Ý�þ �&ØÉÑ�Æ�ÇÞÈd�:¯�&Øª×�ÄmÅ�Æ&��yÆ�ÇÞÈd�¤�Ô�� TØÉÑ�Ä<Å�ÆX� ½ �&Øª×�Æ�ÇÞÈd��dÆ�ÇÉÈd�Asrepresentaçõesgráficasdo deslocamento�:�� , da velocidade

,�Ô�� edaaceleração ¤�:�� , emváriosmomentos� , sãoapresentadasna Tabela2.2.

2.4 Vibraçõeslongitudinais embarras

Os elementosde resistênciapodemsofrerpequenasvibraçõesdevido assolicita-çõesdinâmicaslongitudinais.Assim,porexemplo,quandoummartelocaideumacertaaltura sobreuma espiafazendoque estapenetrao solo, o choqueentreomarteloe a espiainduzvibraçõesao longodaespia.Estetipo devibraçõesserãoestudadasemquesegue.

Considere-seumabarrade comprimento� e secçãotransversalconstante.Àum certomomento,� � , aplica-seumasolicitaçãolongitudinalsobrea barra,quedepoisé libertada.O problemaé determinaro deslocamento�:�� decadaponto� dabarra,paracadamomento� .

- �� ø�. �0/ � - ��0/ � � . � �

Figura2.11:Deslocamentodabarranomomento�2.4.1 Hipótesessimplificativas

Naderivaçãodasseguintesequaçõesdiferenciais,assuma-seque:

- A massadabarrapor unidadedecomprimentoé constante,ou sejaa barraéhomogénea;

44 Capítulo2. ModelaçãoMatemática� �9�� ,�:�� ¤�Ô��0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØÉÑ<Ï0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØª×fÏ0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØöáÏ0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØ â�Ï0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØªãfÏ0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØöäÏ0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØªåfÏ0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØöæÏ0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

�TØ21Ï0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Ï0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Tabela2.2: Deslocamento,velocidadeeaceleraçãoemváriosmomentos�


- Os deslocamentossãopequenosde tal modoquea lei de Hooke podeseraplicada,ouseja,abarratemumcomportamentoperfeitamenteelástico;

- As forçasdecompressãooutracçãodesenvolvidassãograndesquandocom-paradascomo pesoprópriodabarra,peloqueo pesopodeserdesprezado;

- As secçõestransversaisdabarraficamplanasduranteo movimento;

- Os deslocamentosdosapoiosou os deslocamentosiniciais da barrasãoto-dosao longo da barrae constantesem cadasecçãotransversal,causandoomovimentodassecçõesnadirecçãolongitudinal.

As equaçõesdiferenciaisquedescrevemaspequenasoscilaçõesdabarraserãodeduzidasemseguida.

2.4.2 Equaçãodasondasuni-dimensionais

Considere-seum troço de barrade comprimento3 � , veja Figura2.11. No mo-mento � , o deslocamentolongitudinaldasecção� é �9�� . No mesmomomento,o deslocamentoda secção� ½ 3 � é �:�� ½ 3 �� . Isto significaque,o troço dabarradecomprimento3 � temumadeformação�:�� ½ 3 ��2�:�� . Porhipó-teseestadeformaçãorespeitaa lei do Hooke e considerandoque 3 � tendeparazero,a forçaprovocadapor estadeformaçãonumasecção� édadaporÃÔ��54«» 6ÉÇ879 ¶�: � �:�� ½ 3 ��92�:��3 � �54«»+�L¦��

Escrevendoasequaçõesdeequilíbriodo troçodabarra,resulta; ¤�:�� ½ 3 �EÚ�×T��¯ÃÔ�� ½ 3 ��)ÃÔ��(p» 3 � ¤�9�� ½ 3 �EÚ�×T��¯ÃÔ�� ½ 3 ��9)ÃÔ��edividindopor (p» 3 � e tomandoemcontaque 3 � tendeparazero,��£ �� £ �|© £ �L£ �� £ com © £ � 4 ( (2.42)

Note-sequeaequaçãodasondasquegovernaaspequenasoscilaçõeslongitudi-naisnabarraésimilaràequaçãodasondasemcabos,(2.25),comaúnicadiferençana definiçãoda constante© . Resultadaí queparadeterminara soluçãode (2.42)devemserutilizadososmesmosmétodosqueforamutilizadosno casodaequaçãodasondasemcabos.


Problema 2.7 Determinee representeosprimeiros trêsmodosdevibraçãoparaa barra representadasujeitaà deformaçõesaxiaislivres.

� �0/ -< />== constantes

A equaçãodiferencialdo movimentoé�L£ �� £ �/© £ �L£ �� £ com © £ � 4 (Utilizandoa solução �:��5?§��E�A@,��

eseparandoasvariáveisresulta ¤@© £ @ � ? ¦ ¦? �#`¬ £edaí,asduasequaçõesdiferenciaisordinárias,?~¦ ¦ ½ ¬ £ ?Á�|�¤@ ½CB £ @²�/�com B £ ��© £ ¬ £ ea constante¬ arbitrária.

Osmodosdevibraçãosãodadospelasoluçãoindependentedetempo,?§��E��ED ¸ ÄmÅ�ÆE¬®� ½ D £ Æ�ÇÞÈ ¬®�Estasoluçãodevesatisfazerascondiçõesdefronteira, portanto:�:�h�&��9�/� Ð ?§��p��|�% ��z��|� Ð 4^»F?~¦��h��|�implicando D ¸ �|� , e, excluindoa soluçãotrivial D £ �/� ,ÄmÅ�Æ�¬&�¯�� Ð ¬�Ó«� �h×Î� Ñ��ñÏ×��

Osmodosdevibraçãosãodadospor?~Ó«�GD £ Æ�ÇÞÈ � � ×Î� Ñ��ñÏ6�×� " ÎÕ�²Ñ��×T��ØµØµØondeD £ éa amplitudearbitrária. Ascorrespondentesfrequênciascircular sãoB Ó«��©<¬�Ó^� �h×Î� Ñ��ñÏ× H 4(À� £ Îà�ÖÑ��×T�iØµØµØ

Os primeiros três modosde vibração e as correspondentesfrequênciassãoapresentadasna Tabela2.3.


? ¸ �|Æ�ÇÉÈ Ï6�×��0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1 B ¸ � Ï × H 4(À� £? £ �|Æ�ÇÉÈ áÏ6�×�� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1 B £ � áÏ×FH 4(À� £? $ �|Æ�ÇÉÈ ãfÏ6�×�� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1 B $ � ãfÏ×FH 4(À� £Tabela2.3: Primeirostrêsmodosdevibraçãolongitudinaldabarraencastrada

Problema 2.8 Determinea expressão�9�� daspequenasvibraçõeslongitudi-nais da barra de comprimento� , quetemum apoio fixo em �/� � e é livre naoutra extremidade, seosdeslocamentosiniciais sãodadospela �9��p�� E� eavelocidadeinicial ézero.

A função�:�� querepresentaasvibraçõeslongitudinaisdabarra éa soluçãodo problemadefinidopelaequaçãodiferencial,�L£ �� £ �|© £ �L£ �� £ com © £ � 4 (easseguintescondiçõesdefronteira,�9��&��/��L¦��h�y��|� (porquea forçana extremidadelivreézero)

econdiçõesiniciais �9��p�� E�,�9��p��/�


Utilizandoo métododeseparaçãodevariáveis,vejao parágrafo2.3.3,procu-ramosumasoluçãoquepodeserescritadeforma �:��|¡��E��¢�� . Utilizandoa soluçãogeral para ¡ , ¡��E��»²Ä<Å�Æ�ÃX� ½Û¾ Æ�ÇÞÈ�ÃX�e tomando em conta as condições de fronteira, �:�h�T��|¡��h�p�þ¢��/� e� ¦ ��z��|¡ ¦ �h��¢��|� , resulta¡§¦��E��#�ÃL»²Æ�ÇÉÈ�ÃX� ½ Ã ¾ Ä<Å�ÆpÃX�¡��h�p��í»/�|� e ¡ ¦ ��¯Ã ¾ ÄmÅ�Æ�Ã��2�|� Ð ÃXÓ^� � ×Î�ÁÑ'� Ï×��ouseja,escolhendo¾ �ÖÑ ,¡ÔÓX��E��|Æ�ÇÞÈ�ÃXÓf� ÃXÓ^� � ×Î�ÁÑ'� Ï×��

A soluçãogeral para a função ¢§Ó resulta¢JÓX�� ¾ Ó0Ä<Å�Æ · Ó� ½1¾ ÜÓ Æ�ÇÞÈ · Ó� · Ó^� �h×Î�ÁÑ��þ©MÏ×��eentão,a funções�LÓ&��/¡�ÓL��E��¢§ÓL�� sãodefinidaspor�LÓL��Ý� ¾ Ó3Ä<Å�Æ�ÃXÓ�©�� ½Û¾ ÜÓ Æ�ÇÉÈ�Ã&Ó�©��dÆ�ÇÞÈ�Ã&Ó� ÃXÓ«� � ×Î� Ñ'� Ï×��

Asconstantes¾ Ó e ¾ ÜÓ sãodeterminadasforçandoa solução�:�� çèÓ � ¸ ��Ó&�� çèÓ � ¸ � ¾ Ó3Ä<Å�Æ�Ã&Ó�©�� ½Û¾ ÜÓ Æ�ÇÉÈ�ÃXÓ�©��dÆ�ÇÉÈ�ÃXÓ�a satisfazerascondiçõesiniciais.�:�� p�� çèÓ � ¸ �LÓX��p�� çèÓ � ¸ ¾ Ó3Æ�ÇÉÈ�ÃXÓ�� E�¾ Ó^� ×�Aé3ë� � ��E�&Æ�ÇÉÈ�ÃXÓf� ì �,�Ô�� çèÓ � ¸,�LÓX��p�� çèÓ � ¸ Ã&Ó�© ¾ ÜÓ Æ�ÇÉÈ�ÃXÓ��|�¾ÙÜÓ ��

A soluçãodo problemaé,portanto,�:�� çèÓ � ¸ ¾ Ó0Æ�ÇÞÈ�ÃXÓ��+Ä<Å�Æ�ÃXÓ�©��onde ¾ Ó^� ×� é ë� � ��E�&Æ�ÇÞÈ�ÃXÓ�� ì � e ÃXÓ^� � ×Î� Ñ��ñÏ×��


Problema 2.9 A barra uniformede comprimento� temumaextremidadefixa ea extremidadelivre é alongadauniformementeaté a um comprimento� � e emseguidalibertadano momento�d�Ý� . Determineasresultantesvibraçõeslongitu-dinais. �

�JI �Deacordocomo resultadoobtidonoProblema2.8, a soluçãogeral parabarras

comumaextremidadefixa ea outra livreédadapor�:�� çèÓ � ¸ � ¾ Ó0Ä<Å�Æ�ÃXÓ�©�� ½7¾ ÜÓ Æ�ÇÞÈ�Ã&Ó�©��dÆ�ÇÞÈ�ÃXÓf� ÃXÓ«� � ×Î�ÁÑ'� Ï×��com © £ �K4ÙÚ)( e ondeas constantes¾ Ó e ¾ ÜÓ são determinadasdas condiçõesiniciais do problema: �:�� p�� ¯�� (2.43)L � �� JM ��X� �/� (2.44)

Da condiçãoinicial (2.44),resulta,� ��X� � çèÓ � ¸ � ×Î� Ñ'� Ï�©×�� ¾ ÜÓ Æ�ÇÉÈ � ×Î�ÁÑ��ñÏ6�×�� Ð ¾ ÜÓ �|�Da condiçãoinicial (2.43),resulta�:��p�� çèÓ � ¸ ¾ Ó3Æ�ÇÞÈ �h×Î� Ñ��ñÏ6�×�� ¯��

eaplicandoassériesdeFourier [10], oscoeficientes¾ Ó sãodadospor¾ Ó^� ×X�� 2�� £ é0ë� �+Æ�ÇÉÈ � ×Î� Ñ'� Ï6�×�� ì �� þ^Ñ�� ÓON ¸ æL�h� � ¯��Ï £ �h×Î�ÁÑ��Portanto,a vibraçãolongitudinaldabarra édadapor�:�� æL�h� � 2��Ï £ çèÓ � ¸ �þ^Ñ�� ÓON

¸ Ñ×Î� Ñ Æ�ÇÉÈ � ×Î� Ñ��ñÏ6�×� ÄmÅ�Æ � ×fÎ� Ñ�� Ï�©��×��


Problema 2.10 Determinea vibraçãolongitudinal forçadada barra uniformedecomprimento� actuadapor umaforça sinusoidal ¡ � Æ�ÇÞÈ B � na extremidadelivre,assimcomosemostra na Figura.

Considera apenasa soluçãoestacionária.

A equaçãodiferencialquegovernaaspequenasosci-laçõeslongitudinaisna barra é�L£ �� £ �|© £ �L£ �� £onde � é o deslocamentodumasecçãotransversaldabarra e © £ �E4 Ú)( .Seja�:��QPÛ��E�&Æ�ÇÞÈ B � a soluçãogeral dasvibra-çõesforçadasestacionárias.Substituindoestasolu-çãonaequaçãodomovimento,resulta:ì £ Pì � £ ½ R B ©TS £ P �|� U I ó�ôöõWV �

�

A soluçãoP podeserescritacomoPÛ��E��í» ¸ Ä<Å�Æ R B �©�S ½ » £ Æ�ÇÉÈ R B �©�Sresultando, �:�� ï » ¸ ÄmÅ�Æ R B �©�S ½ » £ Æ�ÇÉÈ R B �©XS ðÔÆ�ÇÉÈ B �

Ascondiçõesdefronteira para esteproblemasão�9��&�� Ð » ¸ �|�e 4^» � �� ZY ë�[ ��\ �/¡ � Æ�ÇÞÈ B � Ð 4«» B » £© Ä<Å�Æ R B �©]S Æ�ÇÞÈ B ��/¡ � Æ�ÇÉÈ B �» £ � ¡ � ©4^» B Æ_^mÄ R B �©CS

Resultaque, asvibraçõeslongitudinaisforçadasda barra, no regimeestacio-nário, sãodadaspor�:�� ¡ � ©4«» B ÆA^<Ä R B �©]S Æ�ÇÞÈ R B �©�S Æ�ÇÞÈ B �

2.5. Vibraçõestransversaisemvigas 51

2.5 Vibraçõestransversaisem vigas

As solicitaçõesdinâmicasem vigas,tal comoa circulaçãodosveículosnaspon-tes,induzemvibraçõestransversais.As equaçõesdiferenciaisquegovernamestesmovimentospodemserdeduzidas,numcasosimplificado,considerandoumavigadesecçãotransversalconstantee apenaso efeitodo momentoflector. Outrosefei-tos,tal comoamortecimento,elasticidadedosapoios,forçasaxiais,etc.,podemserincorporadostambémnaformulação.

O estudoquesegueresuma-seno casoelementar, em quesó é consideradooefeitodomomentoflector.

2.5.1 Hipótesessimplificativas

A derivaçãodasequaçõesdiferenciaisde movimentoé feita considerandoa vigarecta,não-uniforme,apresentadaemFigura2.12.

� ` �a ��0/ � �b ��c/ �

<ed ��/f=��Figura2.12:Vigasujeitaàacçãodinâmica:propriedadesecoordenadas

As propriedadesda viga, consideradassignificativas,sãoa rigidez na flexão,4hgE��E� e a massapor unidadedecomprimento,(��E� , ambaspodervariarao longodo vão � daviga. Assuma-sequea cargatransversalÃ�� podevariararbitraria-mentecomaposiçãoeo tempoequearespostadaviga,o deslocamentotransversaliE�� , é tambémumafunçãodestesvariáveis. As condiçõesdefronteiradavigasãoarbitrárias,embora,parailustrar, a viga estárepresentadacomosimplesmenteapoiada.

2.5.2 Equaçãodasondas

A equaçãodo movimentodaviga deriva considerandoo equilíbriodasforçasqueactuamno segmentodiferencialdaviga decomprimentoj � , representadoemFi-gura2.13.

Escrevendoo equilíbriodinâmiconadirecçãovertical,(��E� j � � £ iE�� £ �lk�� ½ ÃÔ�� j �� k�� ½ � k,�� j �#"resulta: � k�� ¯ÃÔ��](��E� ��£ iE�� £ (2.45)


m m m m mm m m m mn n n nn n n n` ��

o ��c/ � p ��c/ � øFq p ��c/ � q � ` �p ��c/ � a ��0/ � ` �

o ��0/ � ø q o ��0/ � q � ` �Figura2.13:Forçasresultantesnumtroçodiferencialdaviga

Considerandoque só há movimentostransversais,e portantodesprezandoarotaçãodasecçãotransversal,doequilíbriodemomentos,r �� ½ k,�� j �� r �� ½ � r �� j � " �|�resulta: � r �� Ek�� (2.46)

Juntandoasrelações(2.45)e (2.46),sepodeescrever,� £ r �� £ ½ (��E� � £ iE�� £ �ÛÃÔ��e tomandoemcontaa relaçãobásicaentreo momentoflectoreacurvatura,r �G4sg �L£ i� � £eequaçãodiferencialdeequilíbriodinâmicoresulta�L£� � £ � 4sgE��E� �L£ i!�� £ " ½ (��E� ��£ iE�� £ �2ÃÔ�� (2.47)

A soluçãodestaequaçãodeve satisfazerascondiçõesde fronteirapara �/� � e�� .Sea barraéhomogéneae uniforme, 4sg e ( sãoconstantes,e seasforçasexte-

rioressãonulas,obtêm-seaequaçãodiferencialdasvibraçõestransversaislivres:� £ iE�� £ ½ut £ ��v iE�� v �|� t £ � 4hg(


Problema 2.11 Determineos modosnormaisde vibraçãotransversal para umaviga simplesmenteapoiada,homogénea,de comprimento� e secçãotransversalconstante.

A equaçãodiferencialquegovernaasvibraçõestransversaisda viga homogé-neadesecçãotransversalconstante, é�L£ iE�� £ ½wt £ � v iE�� v �/�com t �yx 4hg&Úz( . Assuma-seumasoluçãode tipo iE��J�{PÛ��E�0& �� e substi-tuindoestasoluçãonaequaçãodiferencialobtêm-se:P ¤& ½ut £ P}|�~�&��ondeP |�~ � j v P�Ú j � v . EstaequaçãopodeserescritaP |�~P �² ¤&t £ & �/¬ vcom ¬ uma constantearbitrária, de onderesultaas duasequaçõesdiferenciaisordinárias: P |�~ ¯¬ v PÒ�/� (2.48)

e ¤& ½]B £ &í�|� B £ � t £ ¬ v (2.49)

A soluçãodaequação(2.49)é:& ��»+ÄmÅ�Æ B � ½Û¾ Æ�ÇÞÈ B �A soluçãodaequação(2.48)procura-sedetipo PÛ��E��/³ ´�¶ , resultando· v Û¬ v �� Ð · �l�^¬E�� î ¬

edaí4 PÛ��E��ED ¸ Ä<Å�Æ�¬®� ½ D £ Æ�ÇÞÈ ¬®� ½ D $ ÄmÅ�Æ_� ¬®� ½ D v Æ�ÇÉÈ�� ¬®�Nocasodeumavigasimplesmenteapoiada,o deslocamentoeo momentoflec-tor sãozero nasextremidadesda viga, o quesignificaqueasquatro condiçõesdefronteira são:P�� ¶ �X� �/�&� P�� ¶ � ë �|�&� j £ Pj � £ �� ¶ �X� �/� j £ Pj � £ �� ¶ � ë �/�4Foramutilizadasasseguintesfórmulastrigonométricas:ó�ôöõ � ú�� î ��ÿ �� î �û î / üþý ó � úw� î �Ôø �� î �û / óhô õ�� úC� ��ÿ �� û / ü ý ó>� � úw� �Ôø �� û �


Utilizandoestascondiçõesdefronteira,asconstantesD�� podemsercalculadas:P�� ¶ �X� �5D ¸ ½ D $ �/� j £ Pj � £ �� ¶ �X� �²�D ¸ ½ D $ �/�deonde D ¸ �ED $ �/� , eP�� ¶ � ë �5D £ Æ�ÇÞÈ�¬&� ½ D v Æ�ÇÉÈ�� ¬&�2�/�j £ Pj � £ �� ¶ � ë �Ö ¬ £ D £ Æ�ÇÉÈ ¬T� ½ ¬ £ D v Æ�ÇÞÈ��¬T�2�/�deonde D v �/� e Æ�ÇÉÈ ¬T�2�|� , ou seja,¬&�2�|Î�Ï Ð B �|Î £ Ï £ H 4sg(À� v ÎÕ�²Ñ��×®�iØµØµØ

Os primeiros três modosde vibração e as correspondentesfrequênciassãoapresentadasna Tabela2.4.

P ¸ ��Æ�ÇÞÈ Ï6��0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1 B ¸ ��Ï £ H 4sg(À� vP £ ��Æ�ÇÞÈ ×fÏ6�� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1 B £ �|â�Ï £ H 4sg(À� vP $ ��Æ�ÇÞÈ áÏ6�� 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1 B $ �E1Ï £ H 4sg(À� vTabela2.4: Primeirostrêsmodosde vibraçãotransversalda barrasimplesmenteapoiada


Problema 2.12 Determineos modosnormaisde vibraçãotransversal para umavigaemconsola,homogénea,decomprimento� esecçãotransversalconstante.

Os modosnormaisde vibraçãoda barra vão ser obtidosforçandoa soluçãoindependentedo tempo,PÛ��E��ED ¸ Ä<Å�Æ�¬®� ½ D £ Æ�ÇÞÈ ¬®� ½ D $ ÄmÅ�Æ_� ¬®� ½ D v Æ�ÇÉÈ�� ¬®�asatisfazerascondiçõesdefronteira(vejaProblema2.11), quedestavezsãodeslo-camentoe rotaçãonulasno encastramentoe momentoflectore esforço transversonulosnaextremidadelivre: PÛ�h�p��|� P)¦��h�p��/�r ��~��54hg�P)¦ ¦��~��|� k,��~��54sg�P)¦ ¦ ¦��h��/�

AsconstantesD�� sãoportantoobtidasdo seguintesistemadeequaçõeslinea-res: �� Ñ � Ñ �� ¬ � ¬`¬ £ ÄmÅ�Æ�¬&� ¬ £ Æ�ÇÞÈ�¬&� ¬ £ ÄmÅ�Æ_� ¬&� ¬ £ Æ�ÇÞÈ��¬&�¬ $ Æ�ÇÉÈ�¬&� ¬ $ Ä<Å�ÆE¬&� ¬ $ Æ�ÇÞÈ��¬&� ¬ $ ÄmÅ�Æ_� ¬&� �Z�� D

¸D £D $D v� ��

Dasprimeirasduasequaçõesresulta D $ � �D ¸ e D v � �D £ . Substituindoestesresultadosesimplificando,resulta:� ��ÄmÅ�Æ�¬&� ½ Ä<Å�ÆA� ¬&�� Æ�ÇÞÈ ¬&� ½ Æ�ÇÞÈ�� ¬&��Æ�ÇÞÈ�� ¬&� 2Æ�ÇÉÈ�¬&�� Ä<Å�Æ�¬&� ½ ÄmÅ�Æ_� ¬&�� "h� D ¸D £ � � � �� Para o sistemaadmitir umasoluçãonãotrivial, o determinantedeveserzero, re-sultando: ÄmÅ�Æ�¬&�2�² ÑÄmÅ�Æ_� ¬&�

Utilizandoo métododeNewton-Raphson,implementadoemMathematica[19],obtêm-seassoluçõesapresentadasnaTabela2.5.Î �h¬&�� Ó � ×Î�7Ñ�� ÏÔÚ�×

1 Ñ�Ø æpå�ãTÑ Ñ�Øöã�å��æ2 âXØ ä1�âXÑ âXØöåTÑ�×â3 åTØ æpãâpæ åTØ æpãâp�4 Ñ'�&Ø�11pã�ã Ñ'�&Ø�11pã�ä5 ÑµâXØ�Ñ'ápå�× ÑµâXØ�Ñ'ápå�×

Tabela2.5: SoluçõesdaequaçãotranscendentalÄmÅ�Æ�¬&� ½ Ñ�Ú�Ä<Å�ÆA��¬&�¯�|�


2 4 6 8

−1

−0.5

0.5

1

� �� f � � � >¡� � � £¢

ÿ ¤üþý óf� � �

ü ý ó � �

Figura2.14:As componentesdaequaçãotranscendental

P ¸ 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1.5

-1

-0.5 B ¸ � � Ñ�Ø æpå�ãTÑ�� £ H 4sg(À� vP £ 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2 B £ � ��âXØ ä1�âXÑ�� £ H 4sg(À� vP $ 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1 B $ � �håTØ æpãâpæp� £ H 4sg(À� vTabela2.6: Primeirostrêsmodosdevibraçãotransversaldavigaemconsola

2.6. A transmissãodecalor 57

Assimcomoresultada Tabela2.5eda Figura 2.14,assoluçõesdestaequaçãotranscendentalaproxima-sedo valor�h¬&�� Ós¥ Ï × �h×Î�ÁÑ��para Î§¦ â . AsfrequênciasdevibraçãoresultamB Ó«�Ý� ¬T�~� £Ó H 4sg(À� vea constanteD £ podeserexprimidaemfunçãode D ¸ ,D £ �Ö ÄmÅ�Æ�¬&� ½ Ä<Å�ÆA� ¬&�Æ�ÇÞÈ ¬&� ½©¨Oª ÎW«�¬&� D ¸assimque, osmodosnormaisdevibraçãosãoexprimidosporP0ÓX��E��ED ¸ � ÄmÅ�Æ�¬®��êÄ<Å�ÆA�`¬À�� ÄmÅ�Æ�¬&� ½ Ä<Å�ÆA� ¬T�Æ�ÇÉÈ�¬&� ½ Æ�ÇÞÈ#��¬&� ��Æ�ÇÞÈ�¬À�,êÆ�ÇÞÈ�� ¬®�E�¬"onde D ¸ éumaconstantearbitrária.

2.6 A transmissãode calor

O comportamentohigrotérmicodoselementosdaenvolventeexterior deedifíciosé um problemaimportanteem engenhariacivil. O estudodestesfenómenose aaplicaçãodosresultadosnafasedeprojectotraduzem-senummelhoramentosigni-ficativo do confortohigrotérmicodosedifícios.

A temperatura�:��®E�®¯&�� numcorpohomogéneoédadapelaequaçãodecalor� �� /© £ °0£ �Ô� © £ �'±² ( � (2.50)

onde © £ é a difusibilidadetérmica, ± é a conductibilidadetérmica, ² é o calorespecíficoe ( amassavolumétrica.

O Laplaciandatemperatura,° £ � , é definidoemrelaçãoa um sistemaCartesi-anodecoordenadas� , , ¯ , ° £ �� L£ �� £ ½ �L£ �� £ ½ ��£ �� ¯ £

Sea distribuiçãodo calor no volumedo corpoé estacionária(o sejaindepen-dentedo tempo, � ), então � �EÚ � �� e a equaçãode calor reduz-seà equaçãodeLaplace ° £ ��|� (2.51)

Um problemadecalornoregimeestacionário,consisteemconsideraraequaçãodeLaplacedefinidanumaregião ³ doespaçoeumacondiçãodefronteiranacurvaD quedelimitaaregião ³ . Um talproblemaéconhecidocomoproblemadevaloresna fronteira.

Osproblemasdevaloresnafronteirapodemser:

58 Capítulo2. ModelaçãoMatemática± problemaDirichlet: � éprescritonafronteira D ;± problemaNeumann:a derivadanormal �LÓÁ� � �EÚ � Î é prescritana fron-teira D ;± problemamisto: � é prescritonumtroçodafronteira D eo �LÓ é prescritonorestodo D .

2.6.1 Regimeestacionáriobidimensional

A equaçãodecalorbidimensionalemregimeestacionárioé°0£ �� £ �� £ ½ �L£ �� £ �� (2.52)

Considera-seoproblemaDirichlet paraaequação(2.52),definidanorectângulo³ e considerandoquea temperatura�:��®X� igualaa funçãodada, � ��E� , no ladosuperioreézeronosoutrostrêsladosdo rectângulo.

÷0 - ú �´

µ- ú � �

- ú ��ù�- ú �

Figura2.15:Rectângulo³ eascondiçõesdefronteira

Paraa resoluçãodesteproblemautiliza-seo métododeseparaçãodevariáveis.Substituindo �:��_X��|¡��E�X¢��£X�naequação(2.52)e dividindopor ¡^¢ obtém-se:Ñ¡·¶ ì £ ¡ì � £ �Ö Ñ¢¸¶ ì £ ¢ì £ �Ö ¬ (2.53)

onde ¬ éumaconstante.Aplicandoascondiçõesdefronteirapara��/� e �� t , resulta:ì £ ¡ì � £ ½ ¬&¡[�/�&� ¡��p��/�&� ¡�� t ��|�¡¥�ED ¸ Ä<Å�Æe¹ ¹ ¬®�»º ½ D £ Æ�ÇÉÈ�¹ ¹ ¬®�»º

2.6. A transmissãodecalor 59¡��h�p�� Ð D ¸ �|�¡�� t ��|� Ð D £ Æ�ÇÉÈ ¹ ¹ ¬ t º �|�obtendo-se¬3�Ý��Î�ÏÔÚ t � £ eascorrespondentessoluções¡��E��/¡ÔÓX��E��|Æ�ÇÞÈ Î�Ït � ÎÕ�²Ñ��×T�iØ<ØµØ (2.54)

A equaçãoparao ¢ torna-seì £ ¢ì £ R Î�Ït S £ ¢#�|�cujasoluçãogeralé ¢��>&��|¢§ÓL�£X��í» Ó�³ Ó *½¼ !¿¾ ½1¾ Ó�³¿ Ó *½¼ !¿¾

A condiçãodefronteirapara0�� implica¢JÓX�h��/� Ð ¾ Ó«�²�» Ó¢JÓX�>&��|»�Ó ¹ ³ Ó *�¼ !¿¾ ¯³¿ Ó *½¼ !¿¾ º �[×f» Ó�Æ�ÇÞÈ�� Î�ÏÀtNotando×» Ó«�í» ÜÓ e juntandoo resultado(2.54),resulta�LÓL��®X��¡ÔÓX��E�X¢§ÓL�£X��í» ÜÓ Æ�ÇÞÈ Î�Ï6�t Æ�ÇÞÈ�� Î�ÏÀt (2.55)

Paraobterumasoluçãoquesatisfaztambéma condiçãodefronteira�:��ÂÁ�� E� (2.56)

consideramosasérieinfinita �:��®&�� çèÓ � ¸ �LÓ&��®&�obtendo-se �:��®Ám�� E�� çèÓ � ¸ » ÜÓ Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�t Æ�ÇÉÈ�� ÎEÏTÁtou �:��®Ám�� çèÓ � ¸ L » ÜÓ Æ�ÇÞÈ�� ÎEÏÀÁt M Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�to quemostraquea expressãoentreparêntesisdeve sero coeficienteFourier Á Ó dafunção � ��E� , ouseja:Á Ó«�|» ÜÓ Æ�ÇÞÈ�� ÎEÏÀÁt � ×t é+¾� � ��E�&Æ�ÇÉÈ ÎEÏ6�t ì �

A soluçãofinal é portanto


�:��®X�9� çèÓ � ¸ » ÜÓ Æ�ÇÞÈ Î�Ï6�t Æ�ÇÞÈ#� Î�ÏÀt (2.57)

com » ÜÓ � ×t Æ�ÇÉÈ��ÎEÏTÁ�Ú t � é ¾� � ��E�&Æ�ÇÞÈ Î�Ï6�t ì � (2.58)

Utilizandoo programaMathematica[19], a soluçãodesteproblemafoi calcu-ladaparaváriasfunções� ��E� . Osresultadosobtidosutilizando Ñµ� termosnasérie,bemcomo códigodeentradaparaMathematica, sãoapresentadosnaTabela2.7.

2.6. A transmissãodecalor 61

CódigodeentradaemMathematica:a = 2.b = 1.f[x_] := Sin[Pi*x/a]Int[n_] := Integrate[f[x]* Si n[n *P i* x/ a] ,{x ,0 ,a }]A[n_] := 2/(a*Sinh[n*Pi* b/ a] )*I nt [n ]Sx[n_,x_] := Sin[n*Pi*x/a]Sy[n_,y_] := Sinh[n*Pi*y/a]u[x_,y_,nmax_] := Sum[A[n]*Sx[n,x ]* Sy[n ,y] ,{ n, 1, nmax} ]Plot3D[u[x,y,10 ], {x, 0, a} ,{ y, 0,b }, Pl ot Point s -> 50]ContourPlot[u[x ,y ,10 ], {x ,0 ,a },{ y, 0, b} ,P lot Poin ts -> 50]� ��E� Plot3D ContourPlot

Ñ0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

00.250.5

0.751

0

0.5

1

1.5

2 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

¨Oª Î Ï!�t0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.25

0.5

0.75

1

0

0.5

1

1.5

2 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Continuanapáginaseguinte. . .


. . . continuaçãodapáginaanterior� ��E� Plot3D ContourPlot

¨Oª Î ×fÏ6�t0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

2 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

�0

0.5

1

1.5

2 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.5

1

1.5

2

0

0.5

1

1.5

2 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tabela2.7: Soluçãodo problemaDirichlet paravários � ��E�

2.7. Problemasdedifusão 63

2.7 Problemasdedifusão

O transportefísicodesubstânciasmiscíveisemáguaécaracterizadoporadvecção,difusão, dispersãoeadsorpção. Emcasosconcretos,osprocessosinteragemenãoé fácil distingui-los,masa descriçãoem separadoé maissimplese, por isso,serefereabaixo.

A advecçãocorrespondeao transporteda substânciaassociadoao movimentodo fluido emqueestádissolvida.A velocidadei do fluido no meioporosoé dadapelalei deDarcy, i0�²ÄÃ ° ÃemqueÃ éapressãoe Ã apermeabilidadedomeioporoso.Esteprocessoprevaleceparavelocidadesdefluxo relativamentealtas, �[Ñ'� ¿cÅ m/s.

A difusãocorrespondeao transporteconseguidopor movimentosmolecularesaleatórios,o chamadomovimentoBrowniano,denaturezacomparável àdacondu-çãodo calor. Estaanalogiafoi reconhecidapor Fick [7] que,em1855,a utilizouparaderivarasequaçõesfundamentaisdadifusãoapartirdasleisestabelecidasporFourier[8], em1822,parao calor.

A primeiralei deFick sóéaplicável a regimesdeconcentraçãotemporalmenteestacionáriaeafirmaqueo fluxo ¡ dasubstânciaquesedifundeé proporcionalaogradientedaconcentração© , sendoÆ o coeficientededifusão:¡#�# Æ � ©� �

A segundalei de Fick aplica-sea regimesnãoestacionáriose é estabelecidausandoaprimeiralei eo princípiodaconservaçãodamassaqueconduzema:� ©� � �EÇ ° £ ©O coeficientede difusividade Ç podeserdependenteda concentração.Na difu-são,o fluido nãosedeslocae a migraçãodeve-seà transferênciadepartículasdasregiõesdemaiselevadaconcentraçãoparaasdeconcentraçãomaisbaixa.O fenó-menoprevaleceemfluxosdebaixavelocidade,È Ñ'� ¿cÅ m/s.

A dispersãoé devida a fenómenostransientesassociadosà velocidadevariáveldediferentespartículasdofluido emmovimento.

A adsorpçãoéumprocessodeinteracçãoentreo solutoea fasesólida,emqueumapartedasubstânciadissolvidaé retiradadofluido transportador.

Problema 2.13 Difusão comcondiçõesde contorno não-homogéneasSejadadaa equaçãodiferencialpara o domínioespacial,� ©� � �5Ç �L£ ©� ¯ £


comasseguintescondiçõesdecontorno©� ×«6��/©�h�T��ED �e iniciais ©�f¯&� �p��/�

O primeiro passoaconselhávelé transformaro problemademodoa ter condi-çõesdecontornohomogéneas.Sendoesseo caso,fazendoa substituição�:�f¯&��©��>¯&��D �resulta � �� 5Ç ��£ �� ¯ £�9�h×«6��:��&��|��:�f¯T��p��²�D �Segue-se, agora, o procedimentohabitual de sobreporo integral particular àsoluçãodo problemahomeogéneo. Para a soluçãohomogéneapodefazer-se ahabitualseparaçãodevariáveis ��5É�&a qual conduza ,& & � ÇÊÉ ¦ ¦É �Ö�Ë £ (i.e. constantenegativa)

A soluçãode ÇÊÉ�¦ ¦ ½ Ë £ Éí�/�fornecevaloresemodoscaracterísticos,atravésdascondiçõesnocontorno:Æ�ÇÞÈ L ×«ÌË¹ Ç M �|� Ð ×«ÌË¹ Ç �|ÎEÏ Ð Ë�Ó«� ÎEÏ ¹ Ç×«

A condiçãono tempo,,& ½ Ë £ &í��

transforma-seem,& ½ Î £ Ï £ Çâ�« £ &��comsoluçõesexponenciaisdecrescentes.Assoluçõeshomogéneaspodem,então,

escrever-se, �LÓ^�|³ Î £ Ï £ Çâ�« £ Æ�ÇÉÈ R Î�Ï×« ¯ S

2.8. FormasQuadráticas 65

É precisocombinarestassoluçõesde modoa satisfazera condiçãoinicial�:�>¯&��p��Ö�D � , para obter �:�f¯&�� . Fazendo«�/� e impondoa condiçãoinicial,�D � � çè ¸ ¾ Ó�Æ�ÇÉÈ R Î�Ï×« ¯ Sisto é, encontra-se, naturalmente, a necessidadede desenvolver a função �D �numasériedeFourier sesenospara segeraremoscoeficientes¾ Ó . Obtém-se¾ Ó^� ×;,Ï �þ^Ñ��Í�D �ea concentraçãodofluidoemdifusão,por volumedevaziosdo sólido,é:©��>¯&��5D �

�� Ñ ½ ×Ï è �þ^Ñ��ÍV³ Î £ Ï £ Ç��â�« £ Æ�ÇÞÈ R Î�Ï×« ¯ S �Z��2.8 FormasQuadráticas

As formasquadráticassãofunçõespolinomiaishomogéneasdesegundograu,for-masestasquesurgemcomfrequênciaassinalável na formulaçãodeproblemasdeengenharia.De modo geral, podemassociar-se a Î variáveis � ¸ , � £ , . . . , �LÓ eescrever-se: Î �� ¸ �X� £ �iØµØµØm�X�LÓÀ�� Óè� � ¸ ÓèÏ � ¸ ©Â� Ï �Ì� � Ïemque © � Ï sãooscoeficientesdefinidoresdeumamatriz Ð Ó�ÑÓ . Usandoa notaçãomatricial,a formaquadráticaescreve-se:Î �fÒÔÓ!��5ÒÕÓ Ð Òemque Ò Ó éo vectortranspostode Ò e Ð éumamatrizsimétrica.Mostra-sequeamatriz Ð éúnica,i.e. nãohá Ö Ê� Ð tal qie

Î �fÒ Ó ��EÒ Ó Ö Ò .A obtençãodamatriz Ð apartirde × éfeitaobservandoqueépossívelescrevert � Ï � Ñ× �h©Â� Ï ½ © Ï ��

garantindot � Ï � t Ï � eobservandoque t �Ø�!��© �Ø� geraoselementosdiagonais.Nota-sequeanotaçãonãoimplica asoma.

Problema 2.14 Determineos coeficientesda matriz simétrica Ð , para que aformaquadrática Î �fÒ Ó ��í� £ ½ ×z £ ½ ¯ £ ê�» ½ â0¯


possaserescrita Î �>ÒÙÓ!��5ÒÙÓ Ð ÒOscoeficientesda matrizsimétrica Ð resulta:t ¸ñ¸ �Ý� Ñ ½ Ñ��Ú�×J�ÖÑ t ¸ £ �Ý� «Ñ ½ �p��Ú�×J�² �&Øöã t ¸ $ �Ý�h� ½ ��Ú�×J�/�t £ ¸ �Ý��§ Ñ��Ú�×J�# �&Øöã t £ñ£ �Ý�h× ½ ×��Ú�×^�/× t £ $ �Ý��â ½ ��Ú�×J�[×t $ ¸ �Ý�� ½ �p��Ú�×J�/� t $ £ �Ý�� ½ âÀ��Ú�×^�/× t $�$ �Ý�þÑ ½ Ñ'��Ú�×J�ÖÑ

Ð � �� Ñ �&Øöã � �&Øöã × ×� × Ñ �Z��Ò Ó Ð Ò2�ÛÚ � ¯wÜ �� Ñ �&Øöã � �&Øöã × ×� × Ñ � �� ¯ � �� ÐÒÕÓ Ð ÒA�� £ ½ ×) £ ½ ¯ £ ê�» ½ â�#¯

2.8.1 Diagonalizaçãode FormasQuadráticas

A diagonalizaçãode matrizespermitemaior simplicidadematemáticana análisedecomportamentodesistemase, por vezes,maioresclarecimentofísico, comoseveráaolongodo curso.

A diagonalizaçãode formasquadráticasgozadesseduplo interessee permitesubstituira relaçãoÒ Ó Ð Ò com Ð simétrica,por Ò Ó�Ý Ò com Ý diagonal.

Recorda-sedaÁlgebraLinearqueumamatrizsimétricaÐ deelementosreaissepodediagonalizaratravésdeumatransformaçãoortogonaldefinidapor Þ , comasseguintespropriedades: Þ Ó Þ �Eße Þ Ó ÐàÞ � Ýemque ß é a matrizdaidentidadee a matriz Ý temcomoelementosdiagonaisosvalorespróprios

· � damatriz Ð .Fazendoamudançadevariáveisde Ò paraá , definidaporÒ2� Þâá

esubstituindoÒ em

Î �fÒ Ó , obtém-se:Î �>Ò Ó ��5Ò Ó Ð ÒA� � Þâá � Ó Ð � ÞXá �� á Ó � Þ Ó ÐlÞ � á � á Ó Ý á


i.e., Î �>ÒÔÓ!�� ·6¸ £¸ ½ · £ ££ ½ ØµØµØ ½ · Ó� £ÓResumindo,adiagonalizaçãodeumaformaquadráticatemasseguintesetapas:

– Obtém-seamatrizsimétricaÐ , tal que

Î �EÒ Ó Ð Ò ;– Determine-seosvalorespróprios

· � damatriz Ð . Nota-seque,comoamatrizésimétrica,osvaloresprópriossãoreais;

– Constrói-seamatrizortogonalÞ ;

– Define-seamudançadevariáveis Òê� Þâá ;– Calcula-sea formaquadrática

Î � á Ó Ý á , comamatriz Ý diagonal.

2.8.2 ClassificaçãodeFormas Quadráticas

A classificaçãode formasquadráticastem impotrânciaem engenhariaporqueépossível associarcomportamentosfísicosdecertossistemasaotipo deformaqua-dráticaqueselhesassocia.

Considere-se ã#äfåÔæ�çéèGåÙæ�êGåcomåwë�ìîí

A formaquadráticadiz-se:

a) Positivadefinidaseã�ä>åéçðï©ñ#ò ó�åEôèEñ

;

b) Positivasemi-definidase

ã#äfåéçöõQñ#ò ó�ålôèEñ;

c) Indefinidasetomarvaloresquerpositivos,quernegativospara

åuë�ì í.

À classificaçãocitadaassocia-seumteoremaquepermite,emcasogeral,deter-minarsea formaquadráticaépositivadefinidaou semi-definida.

Teorema: dadaa forma quadrática

ã�ä>å æ çîè÷å æ êGå, com

ê í�ø)ísimétrica,

e valorespróprios ùWú ò ùÌû òOü½üOü½ò ù í , é condiçãonecessáriae suficientepara queaformasejapositivadefinidaquetodososvaloresprópriossejampositivos(ousemi-definidasetodososvaloresprópriosforemnãonegativos).

A aplicaçãodesseteoremaemproblemasdeestabilidadedeequilíbrioemsis-têmasmecânicosfaze-seutilizandoo critério energético[15] queafirmaqueumaconfiguraçãodeequilíbrioé estável sea formaquadráticaquedefinea energia po-tencialtotal dosistemafor positivadefinida.


Problema 2.15 Determinea cargacrítica deinstabilidadepara a estrutura repre-sentada.

ý ýý ýþ þþ þ ÿ ÿÿ ÿ� �� A B C D

k k

L L L

P P

Considerandoqueas barrassãorígidas, adopte-seo modelocomdois grausdeliberdaderepresentado.

P P��

A energia potencialtotal dosistema écompostapelaenergia dedeformaçãoelásticadasmolas � , eo potencialdascargasaplicadas �� . è ��

Da geometriado problema,�� è � ä �� û! ��"� ú ç # � è%$'&�( �� ä ��)� û! ��)� ú çresulta,para ângulospequenos, �+* è � û! � ú

A energia dedeformaçãoelásticadasmolasédadapor,� è-,.0/ ä21 ûú � 1 ûû ç è3,.4/ � û ä �� û � ú5� �� û � û çenquantoo potencialdascargasaplicadasé, �� è 76 �98 ä , (;: �� ú ç � ä , (<: �� û ç � ä , (<: �=� ç?>e tomandoemcontaa relaçãoentre

� ú , � û e � , �� * è "6 �@8BA (;: �� úC (<: �=� û! (<: � ä � û! � ú çD>A energia potencialtotal dosistemaresulta * è ,. / � û ä �� û � ú5� �� û � û ç E6 �@8BA (;: �=� úC (;: �� û! (<: � ä � ûF � ú çD>


A energia potencialpodeserexprimidanaseguinteformaquadratica, è ,.0G æ ê Gemque G æ èIH � ú � ûKJ . Fazendoa multiplicação, è ,. ä2L ú�ú � ûú � L ú>û � ú � ûM� L û_ú � ú � ûM� L û�û � ûû çTomandoem conta a simetria da matriz

ê, o seuscoeficientesresulta,para a

posiçãonão-deformadada estrutura (� ú è � û èEñ ), diferenciando:L ú�ú èON û N � ûú PPPPP � ú è � û è5ñ è / � û . 6 �L û�û è N û N � ûû PPPPP � ú è � û è5ñ è / � û . 6 �L ú>û èQL û_ú è N û N � ú N � ú PPPPP � ú è � û èGñ è 6 �

A matrizda formaquadratica resulta:ê èSR / � û . 6 � 6 �6 � / � û . 6 �%TOsvaloresprópriosdestamatrizsãodadosporù�ú è � ä / � A 6 ç ù»û è � ä / � U6 çConformeao teoremaenunciado,a forma quadratica é positiva definidase

todososvaloresprópriosfossespositivos.Para isto, temque6 ï / �!V'ALogo, a violaçãodo equilíbrio estávelocorre para 6 ï / �!V'A , carga crítica deinstabilidade.

Capítulo 3

MétodosNuméricospara EquaçõesDiferenciaisParciais

Osmétodosnuméricosdesenvolvidosparaobterasoluçãodasequaçõesdiferenci-aissãodegrandeimportânciaparaengenheiros,poisinúmerosproblemaspráticasconduzema equaçõesdiferenciaisquenãotem soluçãoanalítica,ou, em casote-nham,a expressãodasoluçãoé tãocomplexa quenãopodeserutilizadado pontode vista prático. Nestassituações,é preferível obtera soluçãosobforma de umatabeladevalorespor intermédiodummétodonumérico.

O estudoqueseguerefere-seaosmétodosnuméricosparaequaçõesdiferenciaisparciaiseemparticularparaaequaçãodeLaplace,equaçãodocaloreaequaçãodeondasquerepresentammodelosdeequaçõeselípticas,parabólicasehiperbólicas.

Uma equaçãodiferencial parcial chama-sequaselinear se pode ser escritacomoumacombinaçãolineardederivadasdeordemsuperior. Assim,umaequaçãoquaselinear de segundaordemem duasvariáveis independentes,W e X , podeserescrita: L N û�YN W û � .'Z N ûYN W N X ��[ N ûYN X û èQ\^] W ò X ò Y ò N YN W ò N YN XC_ (3.1)

onde Y éa funçãoincógnita.A equaçãoéchamada` elíptica,seL [a Z û ï ñ (exemplo:equaçãodeLaplace);` parabólica,se

L [a Z û è5ñ (exemplo:equaçãodo calor, X éo tempob );` hiperbólica,se

L [a Z û�c ñ (exemplo:equaçãodasondas,X éo tempob ).Oscoeficientes

L,Z

e [ podemserfunçõesde W e X , portantoaequação3.1podeserdiferenteemváriasregiõesdoplano W�X .

Estaclassificaçãoé importante,poiso comportamentodassoluçõesé diferenteparacadatipo de equação,assimcomo as condiçõesde fronteira e iniciais quedevemserconsideradas.

71

72 Capítulo3. MétodosNuméricosparaEquaçõesDiferenciaisParciais

3.1 Equaçõeselípticas

As equaçõeselípticasconduzemasproblemasdevaloresnafronteirado domíniod, conhecidaspor

– problemadeDirichlet, se Y édadonafronteira e do domíniod

;

– problemadeNeumann,se Y í (derivadanormaldo Y ) é dadana fronteira edo domínio

d;

– problemamisto,se Y é dadonumapartedafronteirae Y í napartequerestadafronteira e .

As maisimportantesequaçõeselípticasqueaparecememaplicaçõesdeenge-nhariasãoaequaçãodeLaplace° û Y èfN ûYN W û � N ûYN X û èGñ (3.2)

eaequaçãodePoisson ° û Y è N ûYN W û � N ûYN X û èhgÙä W ò X ç (3.3)

Paraobterasoluçãopor intermédiodummétodonumérico,asderivadasparci-aissãosubstituídaspelasdiferençasdivididascorrespondentes.Assim,utilizandoo desenvolvimentoemsériedeTaylor,Y ä Wi�kj ò X ç è Y ä W ò X ç ��j N Y ä W ò X çN W � j û. N ûlY ä W ò X çN W û � jnmo N m Y ä W ò X çN W m � ü½üOü (3.4)Y ä Wp Uj ò X ç è Y ä W ò X ç qj N Y ä W ò X çN W � j û. N û�Y ä W ò X çN W û jrmo N m Y ä W ò X çN W m � üOüOü (3.5)

Subtraindo(3.5)do (3.4)edesprezandoostermosem j m , jns , . . . , obtêm-seN Y ä W ò X çN W t ,. j 8 Y ä Wi�kj ò X ç Y ä Wu qj ò X ç?> (3.6)

Demesmomodo,considerandoumaperturbaçãosegundoX , obtêm-seN Y ä W ò X çN X t ,. / 8 Y ä W ò X4� / ç Y ä W ò Xv / ç?> (3.7)

As segundasderivadasobtêm-sesomando(3.5)e(3.4)edesprezandoostermosem jnw , jnx , . . . , Y ä Wy��j ò X ç � Y ä Wu qj ò X ç t . Y ä W ò X ç �kj û N ûY ä W ò X çN W û (3.8)

3.1. Equaçõeselípticas 73

ou N û�Y ä W ò X çN W û t ,j û 8 Y ä Wy��j ò X ç . Y ä W ò X ç � Y ä Wu Uj ò X çD> (3.9)

Demesmomodo,asegundaderivadaem X resultaN û Y ä W ò X çN X û t ,/ û 8 Y ä W ò X4� / ç . Y ä W ò X ç � Y ä W ò Xv / çD> (3.10)

Aplicandoamesmatécnica,resultatambémN ûY ä W ò X çN W N X t ,z j / 8 Y ä Wi�kj ò X{� / ç Y ä Wu Uj ò X{� / ç Y ä Wi�kj ò Xv / ç � Y ä Wu qj ò X| / çD> (3.11)

}�~��}�~��a�y��}�~��u��

}�~��2��}�~)�y��2�� Figura3.1: Pontosnaaproximaçãodasderivadasparciais

Substituindoos resultados(3.9) e (3.10)na equaçãode Poisson(3.3) e esco-lhendo / è j , obtêm-seY ä Wi�kj ò X ç � Y ä W ò X4�kj ç � Y ä Wp qj ò X ç� Y ä W ò X| �j ç z Y ä W ò X çÙè j û gÙä W ò X ç (3.12)

onde j é a dimensãodamalha.A equação(3.12)relacionaY no ponto

ä W ò X ç de Ycalculadonosquatropontosvizinhos.

Utilizandoumarepresentaçãoesquemáticaparaoscoeficientesdoscincopon-tos,aequaçãodiferencial(3.3)podeserescrita,�� ,, z ,, � �� Y è j û gÙä W ò X ç (3.13)

3.1.1 ProblemasDirichlet

Paraobtera soluçãonuméricadum problemaDirichlet definidonumaregiãod

,escolha-sej e define-seem

dumamalhaconstituídapor rectashorizontaise ver-

ticaisequidistantes,nadistânciaj umadeoutra.As intersecçõesdestasrectassãoospontosda malha.


� � � ~� �� ?� � �� 2��

�

Figura3.2: Regiãonoplano W�X cobertapor umamalhaequidistantejAproxima-sedepoisa equaçãodiferencialquegovernao problemapor suare-

presentaçãoemdiferençasfinitas,o querelacionaosvaloresincógnitosdafunçãoY nospontosda malhaemd

e com os valoresdadosna fronteira. Obtêm-seas-simumsistemalineardeequaçõesalgébricas,cujasoluçãosãoosvaloresde Y nospostosdamalhaem

d. Comoemcadaponto, Y sóé relacionadoaosvaloresdos

pontosvizinhos,obtêm-seumamatrizesparsa, o seja,umamatrizcompoucosele-mentosnãonulos.Tomandoemcontao elevadoo índicedeesparsidadedosistemaresolutivo é convenientearmazenar, processare resolverestessistemasrecorrendoàstécnicasdisponíveisparaamanipulaçãodesistemasesparsos[11, 18].

Admita-seaseguintenotaçãosimplificadaparaospontosdamalhaeosrespec-tivosvaloresdasolução,vejatambémaFigura3.2,65 ¢¡ è ä�£ j ò�¤ j ç Y ¢¡ è Y ä�£ j ò�¤ j ç (3.14)

Comestanotação,aequaçãodePoissonpassaa teraseguinteforma:Y �¥�ú?¦ ¡C� Y �¦ ¡�¥�ú§� Y �¨Ìú?¦ ¡M� Y �¦ ¡¨Ìú© z Y ¢¡ è j û g ¢¡ (3.15)

Problema 3.1 Osquatro ladosdaplacarectangularhomogéneade, .

cmdelado,sãomantidosna temperatura constantede

ñ«ªC e

, ñ�ñ«ªC, assimcomosemostra na

Figura 3.3. Utilizando umamalhadez

cm, determinea temperatura emregimeestacionárionospontosda malha.

A equaçãodecalornoregimeestacionárioreduz-seaequaçãodeLaplace.Uti-lizandoanotaçãosimplificada,escreve-separacadapontointeriorumaequaçãodetipo (3.15),tomandoemcontaque

g ¢¡ èEñ .


0

12

0 12

¬7 �

¬"+® �l�¬"+® �l�¯ ~

�¬"°® �;�¬7+® �l�

Figura3.3: Placarectangularhomogénea:condiçõesdefronteiraeamalhaparaasdiferençasfinitas

Obtêm-seo seguintesistemadeequaçõesalgébricaslineares:�� Y û_ú±� Y ú>û²� Y�³ ú´� Y ú ³ z Y ú�ú èGñY û�û²� Y ú m � Y�³ ûM� Y ú�ú² z Y ú>û èGñY m ú±� Y û�û²� Y ú�ú´� Y û ³ z Y û_ú èGñY m û²� Y û m � Y ú>ûM� Y û_ú² z Y û�û èGñ (3.16)

Substituindoos valoresna fronteira, resultaum sistemade quatroequaçõeslinearescomquatroincógnitas,osvaloresde Y nospontosinterioresdamalha:�� Y û_ú´� Y ú>û! z Y ú�ú è . ññY û�ûM� Y ú�úM z Y ú>û è , ññY û�ûM� Y ú�úM z Y û_ú è . ññY ú>ûM� Y û_úM z Y û�û è , ññ (3.17)

A soluçãodestesistemaé:Y ú�ú è Y û_ú è%µ·¶cü¹¸ Y ú>û è Y û�û è o·. ü¹¸ (3.18)

Um exemploquemostracomopodeserresolvidoesteproblemautilizandooprogramaMathematica[19] é apresentadoemquesegue. A regiãoé dividida emº¼»+½Uº@»

pontosinternose ascondiçõesde fronteirapara£ è ñ

,£�è º@» � ,

,¤ è º@» � ,e¤�èEñ

são ¾ie , , ¾ie . , ¾ie A e ¾ie , respectivamente.


Nd = 2

A = Array[a,{Nd*Nd,Nd*Nd}]For[i=1, i<=Nd*Nd, i++,

For[j=1, j<=Nd*Nd, j++, A[[i,j]]=0]]

B = Array[b,Nd*Nd]For[i=1, i<=Nd*Nd, i++, B[[i]]=0]

BC1[i_]:=100BC2[j_]:=100BC3[i_]:=0BC4[j_]:=100

For[i=1, i<=Nd, i++,For[j=1, j<=Nd, j++,

row = i+(j-1)*Nd;If[i+1<=Nd,A[[row,i+1+(j-1) *Nd]] =1,

B[[row]]=B[[row]]-BC2[j]];If[j+1<=Nd,A[[row,i+j*Nd]]= 1,

B[[row]]=B[[row]]-BC3[i]];If[i-1>=1,A[[row,i-1+(j-1)* Nd]]= 1,

B[[row]]=B[[row]]-BC4[j]];If[j-1>=1,A[[row,i+(j-2)*Nd ]]=1,

B[[row]]=B[[row]]-BC1[i]];A[[row,row]]=-4

]]

X = Inverse[A] . B

u[i_,j_]:= X[[i+(j-1)*Nd]]

Solution = Array[s,{Nd+2,Nd+2}]

For[i=1, i<=Nd, i++, For[j=1, j<=Nd, j++,Solution[[i+1,j+1]]=u[i,j]]]

For[i=1, i<=Nd+2, i++, Solution[[i,1]]=BC1[i]]For[i=1, i<=Nd+2, i++, Solution[[i,Nd+2]]=BC3[i]]For[j=1, j<=Nd+2, j++, Solution[[1,j]]=BC4[j]]For[j=1, j<=Nd+2, j++, Solution[[Nd+2,j]]=BC2[j]]

ListPlot3D[Solution]


3.1.2 ProblemasNeumannemistos

No casode problemasNeumanne mistossomosconfrontadoscomumasituaçãonova,poisexistempontosnafronteiraondeéprescritaaderivadanormaldafunçãoY ,N Y V Nr¿ , masa função Y nãoé conhecidanestespontos.O modocomosetrata

estespontoséexplicadoatravésdo exemploquesegue.

Problema 3.2 Resolveo problemamistode valoresna fronteira apresentadonaFigura 3.4,definidopara a equaçãodoPoisson° û Y è , . W�X

Vamosutilizar a malhaapresentadana Figura3.4, com j è ñ#üÀ¸ . Os valoresfronteiraresultamaplicandoascondiçõesdefronteira. ¬ ��Á¬ ��Á¬ ��ÃÂ Ä =3 ¬ ��DÂ Ä =6¬'Å � =0

¬ Å � =0 ¬ Á?� =0.375

¬ Á�� =3

¬ � Å =0¬ � Å =0

¬ �� ¬ �Æ�¯� ®;Ç È�

®lÇ �~

� ¬ Ä ÊÉ ~

¬" �¬7 �

¬" � � Á

Figura3.4: Regiãod

: condiçõesdefronteiraemalha

Paraobterosvaloresdafunção Y nospontosinterioresdaregiãoaplicamosdenovo aequação(3.15),resultando:Y û_ú´� Y ú>ûC� Y=³ ú±� Y ú ³ z Y ú�ú è j û g ú�úY m ú´� Y û�ûC� Y ú�ú±� Y û ³ z Y û_ú è j û g û_úou, tomandoemcontaosvaloresnafronteiraeosvaloresdafunção

g, z Y ú�ú±� Y û_ú´� Y ú>û èGñ#üÀ¶«¸ (3.19)Y ú�ú² z Y ú>ûM� Y û�û è , ü , . ¸ (3.20)

A dificuldadeé queestasequaçõesenvolvemasincógnitasY ú>û e Y û�û , represen-tandoosvaloresdafunção Y nospontosdafronteiraondesãodadososvaloresdaderivadanormal Y í , e nãodafunçãoY .


Paraultrapassaressadificuldade,imagina-sea regiãod

extendidaparacima,demodoa incluir primeirafila de pontosexternos(correspondentesao X è , üÀ¸

),e assuma-sequea equaçãodiferencialé válidatambémnaregiãoextensa.Assim,podemosescrevermaisduasequações,correspondentesaospontos6 ú>û e 6Ôû�û :Y û�ûM� Y ú m � Y�³ ûM� Y ú�ú² z Y ú>û è j û g ú>ûY m ûM� Y û m � Y ú>ûM� Y û_ú² z Y û�û è j û g û�ûou Y û�û²� Y ú m � Y ú�úM z Y ú>û è , üÀ¸ (3.21)Y û m � Y ú>û²� Y û_úM z Y û�û èGñ (3.22)

Observa-seque,nasequações(3.21)e (3.22),aparecemmaisduasincógnitas,osvaloresdafunçãoY nospontosexternos6éú m e 6 û m . Paraeliminarestasincógnitasadicionais,utiliza-sea condiçãodefronteirano ladosuperior, escrevendo:A è N Y ú>ûN X t Y ú m Y ú�ú. j è Y ú m Y ú�ú ou Y ú m è Y ú�ú´� Ao è N Y û�ûN X t Y û m Y û_ú. j è Y û m Y û_ú ou Y û m è Y û_ú´� o

Substituindoestesresultadosem(3.21)e (3.22)esimplificando,resultam. Y ú�ú² z Y ú>ûM� Y û�û è , ü¹¸ (3.23)Y ú>ûC� . Y û_ú² z Y û�û è o (3.24)

Juntandoasequações(3.19),(3.20),(3.23)e(3.24)resultaumsistemadequatroequaçõeslinearescomquatroincógnitas,queescreve-seemformamatricial,ËÌÌÌÍ z , , ñ, z ñ ,. ñ z ,ñ . , z

ÎBÏÏÏÐ �� Y ú�úY û_úY ú>ûY û�û �� è

�� ñ#üÀ¶«¸�ñ, ü , . ¸ , üÀ¸�ññ o ü�ñññ �

��A soluçãodo sistemaéY ú>û è5ñ#üÑµ o«o (exacto

,) Y û�û è , üÑµ , . (exacto

.)Y ú�ú è5ñ#ü�ñ·¶«¶ (exacto

ñ#ü , . ¸) Y û_ú èEñ#ü ,�Ò�, (exacto

ñ#ü . ¸)

onde,entreparêntesis,eapresentadaasoluçãoexacta.

3.2. Equaçõesparabólicas 79

3.2 Equaçõesparabólicas

O métodonuméricoquefoi utilizandoparaasequaçõeselípticas,queconstaemsubstituiraequaçãodiferencialcomdiferençasfinitas,vai serutilizadotambémnocasodasequaçõesparabólicas.Contudo,estemétodo,quandoaplicadoaequaçõesparabólicasou hiperbólicas,nãogarantaa convergênciada soluçãopara jÔÓ ñ .Nessecaso,precisamosdecondiçõessuplementaresparapodergarantira conver-gênciaeaestabilidade1 dasolução.

A soluçãonuméricaqueseguevai serexplicadaconsiderandoo protótipodasequaçõesparabólicas,aequaçãodocaloruni-dimensionalN YN b è [ û N û YN W û [ è [lÕ ¿±Ö b ü

A equaçãoé consideradapara

ñy× W × �e b õQñ . As condiçõesiniciais (tem-

peraturainicial) é dada,Y ä W òÂñ�ç è%gÙä W ç , assimcomoascondiçõesdefronteiraemW èyñ e W è �paratodos b õ ñ , por exemplo Y ä>ñ#ò b çÙè5ñ e Y ä � ò b ç è5ñ . Pode-

mosassumirumanormalizaçãodo problema,de tal modoque [ e�

passama serunitárioseentão,aequaçãodocaloreascondiçõesassociadassãoN YN b è N ûYN W û (3.25)Y ä W òÂñ�ç èQgÙä W ç (3.26)Y ä>ñ#ò b ç è Y ä , ò b ç èEñ (3.27)

.

.

.

00 1

�� ~

Ø¬7 � ¬" �

¬7ÊÙ }�~'�Ú °®Ú ¼Û � ��

Figura3.5: Malhaepontosnodaiscorrespondenteaequação(3.28)

Umaaproximaçãoemdiferençasfinitasdaequação(3.25)é,/ ä Y �¦ ¡�¥�ú© Y �¦ ¡ çéè ,j û ä Y �¥�ú?¦ ¡! . Y �¦ ¡M� Y �¨Ìú?¦ ¡ ç (3.28)

1Pequenasperturbaçõesouerrosnosdadosiniciaisficampequenasaolongodo tempo.


A malhaeascorrespondentespontosnodaissãoapresentadosnaFigura3.5.Adimensãodamalhaé j emdirecçãoW e / emdirecçãob .

A fórmula(3.28)envolveosquatropontosapresentadosnaFigura3.5.O mem-bro esquerdoda fórmula, representeumadiferençafinita para frente, porquenãohá informaçãosobrea funçãopara b negativo. De (3.28) calcula-seY �¦ ¡�¥�ú , cor-respondenteao tempo

ä�¤ � , ç / , funçãoaostrêsvaloresde Y correspondentesaotempo

¤ / : Y �¦ ¡�¥�ú è ä , .ÝÜ ç Y �¦ ¡²� Ü ä Y �¥�ú?¦ ¡M� Y �¨Ìú?¦ ¡ ç Ü è /j û (3.29)

Aplicaçãodafórmula(3.29)é fácil edirecto,mas,podeserdemonstradoqueacondiçãoparaconvergênciaé Ü è /j û × ,. (3.30)

Comoutraspalavras,istosignificaquenãopodemosavançardemasiadorápidoemdirecçãoao b .3.2.1 O métodode Crank-Nicolson

A condição(3.30)é um impedimentonautilizaçãodestemétodoemprática.Paraatingir umaprecisãosuficiente,deve-seescolherum j pequeno,o quefaz / muitopequeno.Por exemplo,se j è ñ#ü , , então / ×·ñ0ü2ññ«¸ . Um refinamentoda malhapara j V . quadruplicao númerodepassosde temponecessáriosparachegara umdadomomentob .

Um métodoquenãoimpõequalquerrestriçãosobreoÜ è / V j û é o métodode

Crank-Nicolson,queutiliza o valordafunçãoY emseispontos.A ideiaésubstituira diferençadividida do lado direito da equação(3.28)por a somadasdiferençasdivididascalculadasparadoismomentosdetempo.A equação(3.28)transforma-seentãoem ,/ ä Y �¦ ¡�¥�ú´ Y �¦ ¡ ç÷è ,. j û ä Y �¥�ú?¦ ¡F . Y �¦ ¡C� Y �¨Ìú?¦ ¡ ç� ,. j û ä Y �¥�ú?¦ ¡�¥�ú© . Y �¦ ¡�¥�úÞ� Y �¨Ìú?¦ ¡�¥�ú ç (3.31)

Multiplicandopor. / eutilizandoa notação

Ü è / V j û , obtêm-seä . � .ÝÜ ç Y �¦ ¡�¥�ú´ Ü ä Y ß¥�ú?¦ ¡�¥�ú=� Y �¨Ìú?¦ ¡�¥�ú ç è ä . .ÝÜ ç Y ¢¡©� Ü ä Y �¥�ú?¦ ¡©� Y �¨Ìú?¦ ¡ ç (3.32)

Comoseaplicaa equação(3.32)? Em geral,os trêsvaloresde lado esquerdosãoincógnitas,enquantoostrêsvaloresdeladodireitosãoconhecidas.Aplicandoaformula,paracadamomentodetempo

¤obtêm-seumsistemadeequaçõeslineares


TempoÚTempoÚ � ®��

Figura3.6: OsseispontosutilizadosnasfórmulasdeCrank-Nicolson

de onderesultamas incógnitasfunçãoas condiçõesde fronteira e as condiçõesiniciais.

Apesardo factoqueÜ è / V j û já nãoé restrito, um valor pequenodo

Üvai

produzirresultadosmelhores.Habitualmente,escolha-seum / demodoa reduziro esforçocomputacional,massemfazer

Üdemasiadogrande.Um valor do

Üque

é normalmenterecomendável, éÜ è ,

. Comestevalor, a equação(3.32) tomaaformasimplificadaz Y �¦ ¡�¥�ú© Y ß¥�ú?¦ ¡�¥�ú© Y �¨Ìú?¦ ¡�¥�ú è Y ß¥�ú?¦ ¡C� Y �¨Ìú?¦ ¡ (3.33)

Problema 3.3 Considereumabarra deaçoisoladadecomprimento,

comasca-racterísticasde tal modoqueo [ û è ,

na equaçãodo calor. Asextremidadesdabarra sãomantidasna temperatura constantede

ñ ªC e a temperatura inicial ao

longodabarra édadapor gÙä W çéè ��à WAplicandoo métododeCrank-Nicolson,com j è ñ#ü . e

Ü è ,, calculaa tempera-

tura Y ä W ò b ç da barra no intervalode tempo

ñ9× b ×Ûñ#ü . . Compare os resultadoscoma soluçãoexacta. Apliquedepoisa equação(3.28)comum

Üquesatisfaza

condição(3.30),por exemploÜ èÛñ0ü . ¸

, e comumvalor quenãosatisfaza condi-ção(3.30),por exemplo

Ü è ,eÜ è . üÀ¸

.

Soluçãoutilizando o métododeCrank-NicolsonA equaçãodo calor, para

ñ@× W × ,, [ û è ,

e aplicandoo métododeCrank-Nicolson,com j èGñ#ü . e

Ü è ,, éz Y �¦ ¡�¥�ú© Y ß¥�ú?¦ ¡�¥�ú© Y �¨Ìú?¦ ¡�¥�ú è Y ß¥�ú?¦ ¡C� Y �¨Ìú?¦ ¡

Como j è·ñ#ü . eÜ è ,

, resulta / è j û è·ñ#ü�ñ z e paracobrir todoo intervalode tempodevemosfazer5 passos.A malhautilizadana resoluçãodo problemaéapresentadanaFigura3.7. Osvaloresiniciais dafunção Y resultamdascondiçõesiniciais. Assim,Y ú ³ è �� ñ#ü . à èEñ#üÀ¸'µ·¶'¶'µ·¸ Y û ³ è �� ñ#ü z à è5ñ#ü Ò ¸ , ñ·¸«¶


á � á � á âÈá +® á âÛ á Êã0 0.6 1.00.2 0.4 0.8

0.200.160.120.080.04

0

Ú âÈÚ äãÚ �Ú âÛÚ +®Ú � ~Ø

Figura3.7: Malhautilizadano métododeCrank-Nicolson

Y m ³ è �� ñ#ü o à èGñ#ü Ò ¸ , ñ·¸'¶ Y w ³ è �� ñ#üÀµ à è5ñ#ü¹¸Ýµ·¶«¶'µ·¸Paracadamomento

¤, háquatropontosinternosdamalha,o quesignificaque

paracadapassodetempoé precisoresolver um sistemalineardequatroequaçõescomquatroincógnitas.Dascondiçõesdefronteira,resultaY�³ ¡ è Y s ¡ è ñ . Comoa distribuição inicial da temperatura,assimcomo as condiçõesde fronteira sãosimétricasemrelaçãoao W èGñ#üÀ¸ , vamosobter Y m ú è Y û_ú e Y w ú è Y ú�ú paraprimeiropassodetempoesimilarparaospassosseguintes.Tomandoemcontaestasimetria,podemostrabalharparacadapassodetempocomsistemasdeapenasduasequaçõeseduasincógnitas.

Parao passodetempo

¤, tomandoemcontaa simetriae ascondiçõesdefron-

teira,resultaå z Y ú?¦ ¡�¥�ú© Y û�¦ ¡�¥�ú è Y û�¡ Y ú?¦ ¡�¥�ú´� A Y û�¦ ¡�¥�ú è Y ú�¡M� Y û�¡ # å Y ú?¦ ¡�¥�ú èÛä Y ú�¡M� z Y û�¡ ç V ,«,Y û�¦ ¡�¥�ú èÛä z Y ú�¡M� ¸ Y û�¡ ç V ,«,A soluçãodestesistemafoi obtidacomo programaMathematica, utilizandoas

seguintesinstruções:

u1 = Array[uu1,6]u2 = Array[uu2,6]

u1[[1]] = Sin[0.2*Pi]u2[[1]] = Sin[0.4*Pi]

For[i=1, i<=5, i++,u1[[i+1]]=(u1[[i]]+4*u2[[i]])/ 11;u2[[i+1]]=(4*u1[[i]]+5*u2[[i]] )/11]

Osresultados,osvaloresdatemperaturanospontosdabarraemváriosmomen-tos,sãoapresentadosnaTabela3.1.

3.2. Equaçõesparabólicas 83b W èEñ W èEñ#ü . W è5ñ0ü z W èGñ#ü o W èEñ#üÑµ W è ,0.00 0 0.587785 0.951057 0.951057 0.587785 00.04 0 0.399274 0.646039 0.646039 0.399274 00.08 0 0.271221 0.438844 0.438844 0.271221 00.12 0 0.184236 0.298100 0.298100 0.184236 00.16 0 0.125149 0.202495 0.202495 0.125149 00.20 0 0.085012 0.137552 0.137552 0.085012 0

Tabela3.1: Osvaloresda temperaturanospontosdabarraobtidoscomo métodoCrank-Nicolson

Comparaçãocoma soluçãoanalíticaA soluçãoexactadesteproblemapodeserobtidautilizandoo métododesepa-

raçãodevariáveis.ConsiderandoaequaçãodiferencialN YN b è N ûYN W ûeprocurandoumasoluçãodeformaY ä W ò b ç è%\ ä W çnæ ä b çquesatisfazascondiçõesdefronteiraY ä>ñ#ò b ç è Y ä , ò b ç èEñeascondiçõesiniciais Y ä W òÂñ�ç è �� ä à W çresulta Y ä W ò b ç è �� ä à W ç�çlèêé ä à û b ç

O errorelativo entreasoluçãoobtidapordiferençasfinitaseasoluçãoanalíticaeapresentadonaTabela3.2. b W è5ñ#ü . W è5ñ#ü z

0.00 0.00 0.000.04 0.81 0.810.08 1.63 1.630.12 2.45 2.450.16 3.28 3.280.20 4.12 4.12

Tabela3.2: Erro relativo [%]


Soluçãopor métododir ecto(3.29),comÜ è5ñ#ü . ¸

Para j è ñ#ü . eÜ è / V j û è ñ#ü . ¸ , resulta / è ñ#ü�ñ , . Isto significaque,parao

mesmointervalo detempo,devemosfazerquatrovezesmaispassosdequeforamfeitos utilizandoo métodode Crank-Nicolson.Para

Ü è'ñ0ü . ¸, a fórmula (3.29)

transforma-seem Y �¦ ¡�¥�ú èEñ#ü . ¸�ä Y �¨Ìú?¦ ¡M� . Y ¢¡C� Y ß¥�ú?¦ ¡ çParao passodetempo

¤, tomandoemcontaa simetriae ascondiçõesdefron-

teira,resulta å Y ú?¦ ¡�¥�ú èGñ#ü . ¸�ä . Y ú�¡ z Y û�¡ çY û�¦ ¡�¥�ú èGñ#ü . ¸�ä Y ú�¡C� A Y û�¡ ç V ,«,A soluçãodestesistemafoi obtidacomo programaMathematica, utilizandoas

seguintesinstruções:

u1 = Array[uu1,21]u2 = Array[uu2,21]

u1[[1]] = Sin[0.2*Pi]u2[[1]] = Sin[0.4*Pi]

For[i=1, i<=20, i++,u1[[i+1]]=0.25*(2*u1[[i]]+u2[[ i]]);u2[[i+1]]=0.25*(u1[[i]]+3*u2[[ i]])]b W è5ñ0ü . W è5ñ#ü z0.01 0.531657 0.8602390.02 0.480888 0.7780930.03 0.434967 0.7037920.04 0.393432 0.6365860.05 0.355862 0.5757970.06 0.321880 0.5208130.07 0.291144 0.4710800.08 0.263342 0.4260960.09 0.238195 0.3854080.10 0.215449 0.348604

b W è5ñ0ü . W è5ñ#ü z0.11 0.194876 0.3153160.12 0.176267 0.2852060.13 0.159435 0.2579710.14 0.144210 0.2333370.15 0.130439 0.2110550.16 0.117983 0.1909010.17 0.106717 0.1726720.18 0.096527 0.1561830.19 0.087309 0.1412690.20 0.078972 0.127779

Tabela3.3: Osvaloresdatemperaturanospontosdabarraobtidoscomo métododirecto,

Ü èEñ#ü . ¸Uma comparaçãodassoluçõesobtidaspor métodode Crank-Nicolson(CN)

e por métododirecto (D), assimcomoa soluçãoanalítica(A), é apresentadanaTabela3.4. Observa-seque,apesardo númeromaiordepassosqueforamefectua-dosno métododirecto,a precisãodosresultadosé a mesmaaométododeCrank-Nicolson.


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

~

¬ }�~�� Ø � Ø �Ø � Ç � ãØ � Ç �lë

Figura3.8: Distribuiçãodatemperaturanabarra

W è5ñ#ü . W èEñ0ü zb CN D A CN D A0.04 0.399274 0.393432 0.396065 0.646039 0.636586 0.6408460.08 0.271221 0.263342 0.266878 0.438844 0.426096 0.4318180.12 0.184236 0.176267 0.179829 0.298100 0.285206 0.2909700.16 0.125149 0.117983 0.121174 0.202495 0.190901 0.1960630.20 0.085012 0.078972 0.081650 0.137552 0.127779 0.132112

Tabela3.4: Comparaçãoentreo métododeCrank-Nicolson,o métododirectoe asoluçãoanalítica


Problema 3.4 A segundalei deFick aplica-seà difusãodecloretosno betão.Nocasouni-dimensional,a equaçãodedifusãoéN [N b èQìíN û [N W û

Considereumalaje semi-infinitadebetãosituadanazonahúmidademarésoude embatede ondascuja coeficientede difusividade

ìé constante. Assumaque

a condiçãode contornoé permanentee impõeumaconcentraçãode cloreto, nasuperfície, dadapor [ ³ .

Determinea concentraçãode cloreto à distância W do contactocoma águasalgada,no instanteb contadoapóso início docontactodasuperfíciecoma água.

(Valoresnuméricos:[ ³ è ,�Ò kg/mm , ì¸èQ¸0ü . ¶ ½ , ñ ¨Ìú>û mû /s)

Soluçãoemdiferençasfinitas

.

.

.

00

�� ~"îIï

Øð5äðDÅÚ °®Ú ¼Û � ��

Figura3.9: Malhaepontosnodaisparao problemadedifusão

O problemaédefinidopelaequaçãodiferencialN [N b èQìíN û [N W ûacondiçãodefronteira [ äfñ#ò b çéè [ ³eacondiçãoinicial [ ä W òÂñ�çéè å [ ³ W èGññ W ôèGñ


A equaçãodedifusãoescritaemdiferençasfinitasconduzà[� �¦ ¡�¥�ú èÛä , .ÝÜ ç [ �¦ ¡M� Ü ä [ �¥�ú?¦ ¡C�q[� �¨Ìú?¦ ¡ ç Ü è ì /j ûem que j e / sãoas dimensõesda malhaem direcção W e b . A condiçãoparaconvergênciaé Ü è ì /j û × ,.

Seráanalisadaumaprofundidadede 30 cm com umamalhade 3 cm, o queimplica 11pontosnodais.O passodetemposerá1 mês,o queimplicaÜ è ì /j û è ¸0ü . ¶ ½ , ñ ¨Ìú>û ½9A o ñ�ñ ½ . z ½9A ññ#ü�ñ A û *è ,o«oou seja,acondiçãodeconvergênciaésatisfeita.

A análiseseráextensapor10anos,oqueimplica121pontosnodaisemdirecçãoaotempo.UtilizandoMathematica, o problemapodeserresolvidocoma seguintesequênciadeinstruções.

Nx = 11Nt = 12*10+1c0 = 19DD = 5.27 /10^12 (*: difussion coeficient *)k = 3600*24*30 (*: time step *)h = 0.03 (*: space step *)r = DD*k/h^2c = Array[cc,{Nx,Nt}]

For[i=1, i<=Nx, i++,For[j=1, j<=Nt, j++,

c[[i,j]] = 0 ]]

For[j=1, j<=Nt, j++, c[[1,j]] = c0]

For[j=1, j<Nt, j++,For[i=2, i<Nx, i++,

c[[i,j+1]] = (1-2*r)*c[[i,j]] +r*(c[[i+1,j]]+c[[i-1,j]])]]

L = Array[ll,Nt]For[j=1, j<=Nt, j++,

L[[j]] = Table[c[[i,j]],{i,1,Nx}]]

Frames = Table[ListPlot[L[[i]],


PlotJoined ->True,AxesOrigin ->{1,0}],{i,1,Nt}]

<< Graphics‘Animation‘ShowAnimation[Frames]

A penetraçãode cloreto no betãoao longo do tempo é apresentadana Fi-gura 3.10, ondeno eixo horizontal temosos pontosnodais,

£. A distância W é

dadapor

ä�£ , ç©ñ j .

2 4 6 8 10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

2 4 6 8 10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

0 anos 1 ano

2 4 6 8 10

2.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

2 anos

Figura3.10:Penetraçãodecloretono betão

Comparaçãocoma soluçãoanalítica

A soluçãoanalíticadesteproblemaé[ ä W ò b çéè [ ³ R , erf

] W.�ò ì b _ Temquea funçãoerro[1] é definidapor

erf

ä�ó�çéè .à¼ô�õ³Eö ¨�÷�ørù bUma comparaçãoentrea soluçãoanalíticae a soluçãonumérica,para b igual

a doisanos,é apresentadanaFigura3.11. O erroobtidonasoluçãonumérica(a)é explicável pela malhagrosseiraadoptada,j èKñ#ü2ñ A m. Uma soluçãomelho-radapodeserobtidarefinandoa malha,assimcomosemostrano caso(b) emquej èEñ0ü2ñ , m.


1

3

3

9

5

15

7

21

9 cm

27 cm

2.5

2.5

5

c %

5

c %

7.5

7.5

10

10

12.5

12.5

15

15

17.5

17.5

soluçãoanalítica

soluçãonumérica

(b)

soluçãoanalítica

soluçãonumérica

(a)

Figura3.11:Penetraçãodecloretono betãoapós2 anos


3.3 Equaçõeshiperbólicas

Considere-seo protótipodasequaçõeshiperbólicas,aequaçãodasondas,N ûlYN b û è [ û N ûYN W û [ û èûú ü(3.34)

Para simplicidade,e semperdera generalidade,o métodonuméricovai serapresentadoparao casodaspequenasvibraçõestransversaisdumcabodecompri-mentounitário,comasextremidadesfixase [ è ,

. O problemaé definidoentãopor N ûYN b û è N ûYN W û ñý× W × , ò b õQñ (3.35)

Y ä W ò®ñ�ç èhgÙä W ç�ò N Y ä W ò®ñ�çN b èÿþ�ä W ç (condiçõesiniciais) (3.36)Y äfñ0ò b ç è Y ä , ò b çÙèEñ (condiçõesdefronteira) (3.37)

Substituindoasderivadaspor diferençasfinitas,resultade(3.35),/ û ä Y �¦ ¡�¥�ú© . Y ¢¡M� Y �¦ ¡¨Ìú ç è ,j û ä Y ß¥�ú?¦ ¡F . Y ¢¡M� Y �¨Ìú?¦ ¡ ç (3.38)

ondej éadimensãodamalhaem W e / éadimensãodamalhaem b . A equaçãoemdiferençasfinitas (3.38),relacionaoscincopontosapresentadosnaFigura3.12,oquesugereumamalharectangular, similar a malhautilizadano casodasequaçõesparabólicas.Escolhendo

Ü�� è / û V j û è , , resulta:Y �¦ ¡�¥�ú è Y �¨Ìú?¦ ¡M� Y �¥�ú?¦ ¡! Y �¦ ¡�¨Ìú (3.39)

Ú � ®ÚÚ � ®��

(a)Fórmula(3.38) (b) Fórmula(3.39)

Figura3.12:Pontosdamalhautilizadosnasaproximações(3.38)e (3.39)

Podeser mostradoque, parañ c Ü�� × ,

o métodoé estável. Contudo,aequação(3.39)contemtrêspassosdetempo,

¤ , , ¤ e¤ � , , enquantoasfórmulas

3.3. Equaçõeshiperbólicas 91

no casodasequaçõesparabólicassócontemdoispassosdetempo.Todavia, destaveztemosduascondiçõesiniciais emvezdeumasó.

Parapodercomeçar, utilizamosacondiçãoinicial emvelocidades,paraobter,. / ä Y �¦ ú² Y �¦�¨Ìú ç è þ ou Y �¦�¨Ìú è Y �¦ ú² . / þ (3.40)

onde,

þ è þ�ä�£ j ç .A equação(3.39)escritaparab èEñ , ou seja,

¤ èEñ, éY �¦ ú è Y �¨Ìú?¦ ³ � Y �¥�ú?¦ ³ Y �¦�¨Ìú

Depoisdesubstituiro valordo Y �¦�¨Ìú dadopor (3.40),resultaY 8ú è ,. ä Y �¨Ìú?¦ ³ � Y ß¥�ú?¦ ³ ç � / þ (3.41)

ou queexprima Y 8ú funçãoaosdadosiniciais.

Problema 3.5 Aplica o métodonuméricoapresentadocom j è / è ñ#ü . no pro-blemadefinidopelasequações(3.35)-(3.37),ondegÙä W çeè ��à W þWä W ç è5ñ

á � á � á âÈá +® á ¼Û á Ôã0 0.6 1.00.2 0.4 0.8

1.00.80.60.40.2

0

Ú âÈÚ äãÚ �Ú âÛÚ +®Ú � ~Ø

Figura3.13:Malhautilizada

A malhautilizadanaresoluçãodo problemaé apresentadanaFigura3.13. Osvaloresiniciais dafunçãoY resultamdascondiçõesiniciais. Assim,Y ú ³ è �� ñ#ü . à èEñ#üÀ¸'µ·¶'¶'µ·¸ Y û ³ è �� ñ#ü z à è5ñ#ü Ò ¸ , ñ·¸«¶Y m ³ è �� ñ#ü o à èEñ#ü Ò ¸ , ñ·¸«¶ Y w ³ è �� ñ#üÑµ à è5ñ#üÀ¸'µ·¶'¶'µ·¸


De (3.41)e tomandoemcontaque

þWä W çéè5ñ , obtêm-seY 8ú è ,. ä Y �¨Ìú?¦ ³ � Y �¥�ú?¦ ³ çecalcula-se Y ú�ú è ,. ä Y�³?³ � Y û ³ ç èEñ#ü Ò ¸ , ñ·¸'¶ V . è5ñ0ü z ¶'¸«¸ . µ·¸Y û_ú è ,. ä Y ú ³ � Y m ³ çéè , üÀ¸ A µ«µ z . V . èEñ0ü¹¶ o Ò z . ,

Tomandoemcontaasimetria,Y m ú è Y û_ú e Y w ú è Y ú�ú .De (3.39),com

¤�è ,eutilizandoascondiçõesdefronteira,obtêm-seY ú>û è Y�³ ú´� Y û_ú² Y ú ³ è5ñ � ñ#ü¹¶ o Ò z . , ñ0ü¹¸'µ«¶«¶'µ·¸ èGñ#ü , µ , o A oY û�û è Y ú�ú´� Y m úC Y û ³ èEñ#ü z ¶«¸«¸ . µ·¸ � ñ#ü¹¶ o Ò z . , ñ#ü Ò ¸ , ñ·¸«¶ èGñ#ü . Ò A µ Ò . ¸

e tomandoemcontaasimetria,Y m û è Y û�û e Y w û è Y ú>û .Osvaloresobtidosparaosseguintespassosde temposãoapresentadosnaTa-

bela3.5. b W è5ñ#ü�ñ W èGñ#ü . W è5ñ#ü z W èEñ0ü o W èEñ#üÑµ W è , ü�ñ0.0 0 0.588 0.951 0.951 0.588 00.2 0 0.476 0.769 0.769 0.476 00.4 0 0.182 0.294 0.294 0.182 00.6 0 -0.182 -0.294 -0.294 -0.182 00.8 0 -0.476 -0.769 -0.769 -0.476 01.0 0 -0.588 -0.951 -0.951 -0.588 0

Tabela3.5: Y ä W ò b ç

Bibliografia

[1] ABRAMOWITZ, M., AND STEGUN, I . A. Handbookof MathematicalFunc-tions With Formulas,Graphs,and MathematicalTables, 10th ed. AppliedMathematicsSeries* 55.NationalBureauof Standards,December1972.

[2] ATKINSON, K. E. Anintroductionto numericalanalysis. JohnWiley & Sons,1989.(CotaQA297.ATK).

[3] BEER, F. P., AND JOHNSTON JR., E. R. MecânicaVectorialpara Engenhei-ros.Estática, 6 ed. McGraw-Hill, 1996.

[4] BENDER, E. AnIntroductionto MathematicalModeling. DoverPublications,1978.

[5] CLOUGH, R. W., AND PENZIEN, J. Dynamicsof structures, seconded.McGraw-Hill, Inc., 1993.

[6] DA SILVA , M. A. G. Modelaçãofísicadacontaminaçãodesolosporpoluen-tesmiscíveisemágua.Geotecnia, 82 (Mar. 1998),35–50.

[7] FICK , A. Überdiffusion. AnnalenderPhysikBd.94 (1855),59.

[8] FOURIER, J. ThéorieAnalytiquedela Chaleur. 1822.

[9] GOULD, H., AND TOBOCHNIK , J. An introductionto computersimulationmethods:applicationsto physicalsystems, 2nded. Addison-Wesley, 1996.

[10] KREYSZIG, E. Advancedengineeringmathematics, 8th ed. JohnWiley &Sons,Inc., 1999.(CotaQA401.KRE).

[11] KUNDERT, K. S., AND SANGIOVANNI-V INCENTELLI , A. SparseUser’sGuide. A SparseLinear EquationSolver. Version1.3.a. Departmentof Elec-tricalEngineeringandComputerSciences,Universityof California,Berkeley,Berkeley, Calif. 94720,1 April 1988.

[12] MARIANO, A. Units. FreeSoftwareFoundation,Inc., 9 January1997. Ver-sion1.9.

93

94 Bibliografia

[13] M ISCHIKE, C. R. Construçãode modelosmatemáticosem engenha-ria: uma introduçãoà engenharia. Livros Técnicose Cientificos, 1984.(CotaTA342.MIS).

[14] MOTTA , F. V. Cursodeteoriadasemelhança. EdiçõesURGS,??

[15] REIS, A., AND CAMOTIM , D. EstabilidadeEstrutural. McGraww-Hill,2001.

[16] SETO, W. W. Theoryand problemsof mechanical vibrations. Schaum’soutlineseries.McGraw-Hill Book Company, 1964.

[17] SILVA , V, D. Mecânicae ResistênciadosMateriais, 2 ed. ZUARI - EdiçãodeLivrosTécnicos,Lda.,Coimbra,1999.

[18] THEORETICAL STUDIES DEPARTAMENT OF AEA TECHNOLOGY,HARWELL. Harwell Subroutine Library, Specifications(Release11), Vol.1-2, seconded. Oxfordshire,UK, June1993.

[19] WOLFRAM RESEARCH, INC. Mathematica4.0, 1988-1999.

modelação computacional em engenharia · pdf file2.7 problemas de difusão...

Documents