III Workshop de Algebra da UFG-CAC

Minicurso 2

O cubo magico e a Teoria dos Grupos

Prof. Dr. Agnaldo Jose FerrariFC-UNESP-Bauru

Topicos

Topicos

I Historias e curiosidades

I Conhecendo o Cubo de Rubik

I Metodos de resolucao

I Permutacoes e grupos

I Teoria de Grupos: Paridade no cubo

I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas

Topicos

I Historias e curiosidades

I Conhecendo o Cubo de Rubik

I Metodos de resolucao

I Permutacoes e grupos

I Teoria de Grupos: Paridade no cubo

I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas

Topicos

I Historias e curiosidades

I Conhecendo o Cubo de Rubik

I Metodos de resolucao

I Permutacoes e grupos

I Teoria de Grupos: Paridade no cubo

I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas

Topicos

I Historias e curiosidades

I Conhecendo o Cubo de Rubik

I Metodos de resolucao

I Permutacoes e grupos

I Teoria de Grupos: Paridade no cubo

I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas

Topicos

I Historias e curiosidades

I Conhecendo o Cubo de Rubik

I Metodos de resolucao

I Permutacoes e grupos

I Teoria de Grupos: Paridade no cubo

I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas

Topicos

I Historias e curiosidades

I Conhecendo o Cubo de Rubik

I Metodos de resolucao

I Permutacoes e grupos

I Teoria de Grupos: Paridade no cubo

I Teoria de Grupos: Um passo no metodo de camadas

Historias e curiosidades

Cubo de Rubik

Criado em 1974 por Ernst Rubik.Em 1980 inicia-se a producao industrial e a distribuicao mundial doCubo e 100 milhoes de cubos sao vendidos em 2 anos.Em 1980 inicia-se a producao industrial

Cubo de Rubik

I Criado em 1974 pelo hungaro Ernst Rubik.

I Em 1980 inicia-se a producao industrial e a distribuicaomundial do Cubo e 100 milhoes de cubos sao vendidos em 2anos.

Cubo de Rubik

I Criado em 1974 pelo hungaro Ernst Rubik.

I Em 1980 inicia-se a producao industrial e a distribuicaomundial do Cubo e 100 milhoes de cubos sao vendidos em 2anos.

Cubo de Rubik

I O numero de configuracoes possıveis para o cubo e43.252.003.274.489.856.000.

I Para a maioria das configuracoes sao necessarios de 15 a 19movimentos para a resolucao.

Cubo de Rubik

I O numero de configuracoes possıveis para o cubo e43.252.003.274.489.856.000.

I Para a maioria das configuracoes sao necessarios de 15 a 19movimentos para a resolucao.

Cubo de Rubik

I Para ±300 milhoes de configuracoes sao necessarios 20movimentos para a resolucao.

I Foi provado que qualquer configuracao do cubo pode serresolvida com no maximo 20 movimentos.

Cubo de Rubik

I Para ±300 milhoes de configuracoes sao necessarios 20movimentos para a resolucao.

I Foi provado que qualquer configuracao do cubo pode serresolvida com no maximo 20 movimentos.

Cubo de Rubik

I A prova foi dada por Morley Davidson, John Dethridge,Herbert Kociemba e Tomas Rokicki.

I A ideia foi separar as configuracoes em grupos e resolverseparadamente.

Cubo de Rubik

I A prova foi dada por Morley Davidson, John Dethridge,Herbert Kociemba e Tomas Rokicki.

I A ideia foi separar as configuracoes em grupos e resolverseparadamente.

Cubo de Rubik

I O recorde de resolucao do cubo por tempo e do holandesMats Valk, com o tempo de 5, 55 segundos.

I Existem campeonatos em diversas outras modalidades:Resolucao com os olhos vendados, resolucao com os pes, etc.

Cubo de Rubik

I O recorde de resolucao do cubo por tempo e do holandesMats Valk, com o tempo de 5, 55 segundos.

I Existem campeonatos em diversas outras modalidades:Resolucao com os olhos vendados, resolucao com os pes, etc.

Outras versoes do cubo

Outras versoes do cubo

Outras versoes do cubo

Outras versoes do cubo

Outras versoes do cubo

Outras versoes do cubo

Outras versoes do cubo

Conhecendo o Cubo de Rubik

I O cubo possui 6 faces de cores distintas.

I Cada face possui 9 cubinhos, entao o cubo possui 27 cubinhos(1 virtual).

I Cada cubinho possui 6 facetas, mas somente sao visıveis asque apontam para fora do cubo.

I O cubo possui 6 faces de cores distintas.

I Cada face possui 9 cubinhos, entao o cubo possui 27 cubinhos(1 virtual).

I Cada cubinho possui 6 facetas, mas somente sao visıveis asque apontam para fora do cubo.

I O cubo possui 6 faces de cores distintas.

I Cada face possui 9 cubinhos, entao o cubo possui 27 cubinhos(1 virtual).

I Cada cubinho possui 6 facetas, mas somente sao visıveis asque apontam para fora do cubo.

Conhecendo o Cubo de Rubik

FACES

F (Front)

Conhecendo o Cubo de Rubik

FACES

F (Front)

Conhecendo o Cubo de Rubik

FACES

B (Back)

Conhecendo o Cubo de Rubik

FACES

U (Upper)

Conhecendo o Cubo de Rubik

FACES

D (Down)

Conhecendo o Cubo de Rubik

FACES

L (Left)

Conhecendo o Cubo de Rubik

FACES

R (Right)

Conhecendo o Cubo de Rubik

CUBINHOS

cubinhos centrais

Conhecendo o Cubo de Rubik

CUBINHOS

cubinhos centrais

Conhecendo o Cubo de Rubik

CUBINHOS

cubinhos de aresta

Conhecendo o Cubo de Rubik

CUBINHOS

cubinhos de canto

Movimentos do cubo

I Cada face pode ser girada um quarto de volta tanto nosentido horario quanto no anti-horario.

I Convencionaremos indicar os respectivos movimentos de umquarto de volta no sentido horario por F, B, U, D, L e R.

I E os respectivos movimentos de um quarto de volta nosentido anti-horario por F−1, B−1, U−1, D−1, L−1 e R−1.

Movimentos do cubo

I Cada face pode ser girada um quarto de volta tanto nosentido horario quanto no anti-horario.

I Convencionaremos indicar os respectivos movimentos de umquarto de volta no sentido horario por F, B, U, D, L e R.

I E os respectivos movimentos de um quarto de volta nosentido anti-horario por F−1, B−1, U−1, D−1, L−1 e R−1.

Movimentos do cubo

I Cada face pode ser girada um quarto de volta tanto nosentido horario quanto no anti-horario.

I Convencionaremos indicar os respectivos movimentos de umquarto de volta no sentido horario por F, B, U, D, L e R.

I E os respectivos movimentos de um quarto de volta nosentido anti-horario por F−1, B−1, U−1, D−1, L−1 e R−1.

Movimentos do cubo

Exemplo 1

Movimentos do cubo

Exemplo 2

Movimentos do cubo

Exemplo 3

Sequencias de movimento

I Normalmente faremos varias sequencias de movimento.

I Por exemplo, S = LUB−1 significa que movemos a face daesquerda uma volta no sentido horario, depois movemos aface superior uma volta no sentido horario e finalmentemovemos a face inferior uma volta no sentido anti-horario.

I A esta sequencia atribuimos a letra S.

Sequencias de movimento

I Normalmente faremos varias sequencias de movimento.

I Por exemplo, S = LUB−1 significa que movemos a face daesquerda uma volta no sentido horario, depois movemos aface superior uma volta no sentido horario e finalmentemovemos a face inferior uma volta no sentido anti-horario.

I A esta sequencia atribuimos a letra S.

Sequencias de movimento

I Normalmente faremos varias sequencias de movimento.

I Por exemplo, S = LUB−1 significa que movemos a face daesquerda uma volta no sentido horario, depois movemos aface superior uma volta no sentido horario e finalmentemovemos a face inferior uma volta no sentido anti-horario.

I A esta sequencia atribuimos a letra S.

Sequencias de movimento

I O numero de quartos de volta (q) da sequencia e o seucomprimento, no exemplo acima o comprimento de S e 3q.

I Uma sequencia longa finita S consistindo de dois ou maismovimentos e chamada macro.

Sequencias de movimento

I O numero de quartos de volta (q) da sequencia e o seucomprimento, no exemplo acima o comprimento de S e 3q.

I Uma sequencia longa finita S consistindo de dois ou maismovimentos e chamada macro.

Sequencias de movimento

I O movimento fazer nada e deixar o cubo inalterado.Indicamos esse movimento por I, e o chamamos identidade.

I Claramente, FF−1 = I, pois fazer F seguido de F−1 e omesmo que nao fazer nada com o cubo. Temos tambem queF−1F = I, logo (F−1)−1 = F .

Sequencias de movimento

I O movimento fazer nada e deixar o cubo inalterado.Indicamos esse movimento por I, e o chamamos identidade.

I Claramente, FF−1 = I, pois fazer F seguido de F−1 e omesmo que nao fazer nada com o cubo. Temos tambem queF−1F = I, logo (F−1)−1 = F .

Sequencias de movimento

I O movimento fazer nada e deixar o cubo inalterado.Indicamos esse movimento por I, e o chamamos identidade.

I Claramente, FF−1 = I, pois fazer F seguido de F−1 e omesmo que nao fazer nada com o cubo. Temos tambem queF−1F = I, logo (F−1)−1 = F .

Comutatividade

Comutatividade

Lei da aritmetica: “A ordem dos fatores nao altera o produto”

I No cubo alguns movimentos sao comutativos, por exemplo,os movimentos que envolvem faces opostas: FB = BF ,RL = LR e UD = DU .

I Mas existem movimentos nao-comutativos, por exemplo, osmovimentos que envolvem faces adjacentes: UR 6= RU ,FL 6= LF , etc.

Comutatividade

Lei da aritmetica: “A ordem dos fatores nao altera o produto”

I No cubo alguns movimentos sao comutativos, por exemplo,os movimentos que envolvem faces opostas: FB = BF ,RL = LR e UD = DU .

I Mas existem movimentos nao-comutativos, por exemplo, osmovimentos que envolvem faces adjacentes: UR 6= RU ,FL 6= LF , etc.

Comutatividade

Lei da aritmetica: “A ordem dos fatores nao altera o produto”

I No cubo alguns movimentos sao comutativos, por exemplo,os movimentos que envolvem faces opostas: FB = BF ,RL = LR e UD = DU .

I Mas existem movimentos nao-comutativos, por exemplo, osmovimentos que envolvem faces adjacentes: UR 6= RU ,FL 6= LF , etc.

Embaralhar e resolver o cubo

Embaralhar e resolver o cubo

Embaralhar o Cubo: Aplicar uma macro aleatoria de movimentosS a um cubo resolvido.

Embaralhar e resolver o cubo

Resolver o Cubo: Encontrar alguma macro T tal que ST = I.Encontrar alguma macro Encontrar alguma macro

Metodos de resolucao

I Metodo de camadas

I Metodo de Fridrich

I Metodo de camadas

I Metodo de Fridrich

Metodo de camadas

Metodo de camadas

Metodo de camadas

Metodo de camadas

Metodo de camadas

Metodo de Fridrich

Metodo de Fridrich

O metodo completo se divide em 4 passos

1. Cruz branca - solucao intuitiva

2. F2L - Finish Two Layers / 41 casos

3. OLL - Orientation Last Layer / 57 casos

4. PLL - Permutation Last Layer / 21 casos

Permutacoes e grupos

Permutacoes

Definicao

Uma permutacao e um rearranjo de um conjunto de objetos.

Permutacoes

Definicao

Uma permutacao e um rearranjo de um conjunto de objetos.

Permutacoes

I Uma permutacao pode ser descrita pelo seguinte esquema

(1 2 3 · · · n2 3 1 · · · n

)

I Maneira mais simples para descrever uma permutacao: ciclos

I Um ciclo pode ser pensado como uma serie de transicoes deestado que acaba por retornar ao estado inicial.

S1 → S2 → · · · → Sn → S1

Permutacoes

I Uma permutacao pode ser descrita pelo seguinte esquema

(1 2 3 · · · n2 3 1 · · · n

)I Maneira mais simples para descrever uma permutacao: ciclos

I Um ciclo pode ser pensado como uma serie de transicoes deestado que acaba por retornar ao estado inicial.

S1 → S2 → · · · → Sn → S1

Permutacoes

I Uma permutacao pode ser descrita pelo seguinte esquema

(1 2 3 · · · n2 3 1 · · · n

)I Maneira mais simples para descrever uma permutacao: ciclos

I Um ciclo pode ser pensado como uma serie de transicoes deestado que acaba por retornar ao estado inicial.

S1 → S2 → · · · → Sn → S1

Permutacoes

I Exemplo

σ =

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)

I Representando em ciclos

σ : 1→ 3→ 5→ 1

2→ 4→ 2

I Simplificandoσ = (135)(24)

Notacao de ciclos de σ

Permutacoes

I Exemplo

σ =

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)I Representando em ciclos

σ : 1→ 3→ 5→ 1

2→ 4→ 2

I Simplificandoσ = (135)(24)

Notacao de ciclos de σ

Permutacoes

I Exemplo

σ =

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)I Representando em ciclos

σ : 1→ 3→ 5→ 1

2→ 4→ 2

I Simplificandoσ = (135)(24)

Notacao de ciclos de σ

Permutacoes

I Exemplo

σ =

(1 2 3 4 55 4 3 1 2

)

I Representando em ciclos

σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1

I Simplificandoσ = (1524)

I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.

Permutacoes

I Exemplo

σ =

(1 2 3 4 55 4 3 1 2

)I Representando em ciclos

σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1

I Simplificandoσ = (1524)

I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.

Permutacoes

I Exemplo

σ =

(1 2 3 4 55 4 3 1 2

)I Representando em ciclos

σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1

I Simplificandoσ = (1524)

I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.

Permutacoes

I Exemplo

σ =

(1 2 3 4 55 4 3 1 2

)I Representando em ciclos

σ : 1→ 5→ 2→ 4→ 1

I Simplificandoσ = (1524)

I Na notacao canonica de ciclos o menor objeto entreparenteses deve iniciar o ciclo.

Permutacoes das facetas do cubo

Os movimentos R,L, F,B,U,D permutam o conjunto das facetas.

Permutacoes das facetas do cubo

Os movimentos R,L, F,B,U,D permutam o conjunto das facetas.

Permutacoes das facetas do cubo

Os movimentos R,L, F,B,U,D permutam o conjunto das facetas.

Decomposicao em ciclos

I Fato: Toda permutacao se decompoe como “produto” deciclos disjuntos.

I Repeticao de ciclos:I(1 2 3)(1 2 3)2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)(1 2 3)3 = (1 2 3)(1 2 3)(1 2 3) = I

I Em geral a ordem do n-ciclo (i1 i2 · · · in) e igual a n.

Decomposicao em ciclos

I Fato: Toda permutacao se decompoe como “produto” deciclos disjuntos.

I Repeticao de ciclos:I(1 2 3)(1 2 3)2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)(1 2 3)3 = (1 2 3)(1 2 3)(1 2 3) = I

I Em geral a ordem do n-ciclo (i1 i2 · · · in) e igual a n.

Decomposicao em ciclos

I Fato: Toda permutacao se decompoe como “produto” deciclos disjuntos.

I Repeticao de ciclos:I(1 2 3)(1 2 3)2 = (1 2 3)(1 2 3) = (1 3 2)(1 2 3)3 = (1 2 3)(1 2 3)(1 2 3) = I

I Em geral a ordem do n-ciclo (i1 i2 · · · in) e igual a n.

Ordem de uma permutacao qualquer

Se uma permutacao σ consiste de m1-ciclos, m2-ciclos, · · · ,mk-ciclos, entao sua ordem e o MMC(m1,m2, · · · ,mk).

Ordem de uma permutacao qualquer

Se uma permutacao σ consiste de m1-ciclos, m2-ciclos, · · · ,mk-ciclos, entao sua ordem e o MMC(m1,m2, · · · ,mk).

Ordem de uma permutacao qualquer

Se uma permutacao σ consiste de m1-ciclos, m2-ciclos, · · · ,mk-ciclos, entao sua ordem e o MMC(m1,m2, · · · ,mk).

Ordem de uma permutacao qualquer

I Se σ = (a b)(c d e) entao ◦(σ) =MMC(2, 3) = 6, isto e,σ6 = I.

I Mas, σ3 = (a b), isto e, aplicando a permutacao σ tres vezesfaz com que o 3-ciclo (c d e) volte a sua posicao inicial,enquanto o 2-ciclo (a b) e permutado um numero ımpar devezes, permanecendo como esta.

Ordem de uma permutacao qualquer

I Se σ = (a b)(c d e) entao ◦(σ) =MMC(2, 3) = 6, isto e,σ6 = I.

I Mas, σ3 = (a b), isto e, aplicando a permutacao σ tres vezesfaz com que o 3-ciclo (c d e) volte a sua posicao inicial,enquanto o 2-ciclo (a b) e permutado um numero ımpar devezes, permanecendo como esta.

Grupos

Grupos

Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:

I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)

I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)

I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)

I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)

Grupos

Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:

I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)

I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)

I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)

I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)

Grupos

Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:

I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)

I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)

I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)

I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)

Grupos

Um grupo e um conjunto G com uma operacao binaria ∗,satisfazendo as seguintes propriedades:

I Dados g, h ∈ G, temos que g ∗ h ∈ G. (fechamento)

I Dados f, g, h ∈ G, temos que (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).(associativa)

I Dado g ∈ G, existe e ∈ G tal que g ∗ e = e ∗ g = g.(existencia do elemento identidade)

I Dado g ∈ G, existe g−1 ∈ G tal que g ∗ g−1 = g−1 ∗ g = e.(existencia do elemento inverso)

Grupos

I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).

I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1

I O elemento identidade e e unico.

I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.

Grupos

I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).

I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1

I O elemento identidade e e unico.

I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.

Grupos

I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).

I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1

I O elemento identidade e e unico.

I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.

Grupos

I Para simplificar, denotaremos gh (ao inves de g ∗ h).

I Definimos tambemg2 = ggg3 = gggg0 = eg−n = (gn)−1

I O elemento identidade e e unico.

I Dado g ∈ G, o inverso g−1 e unico.

Grupos

Exemplos de grupos

I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).

I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).

I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.

I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗

p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗

p,�) e um grupo.

I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma

e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.

Grupos

Exemplos de grupos

I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).

I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).

I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.

I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗

p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗

p,�) e um grupo.

I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma

e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.

Grupos

Exemplos de grupos

I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).

I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).

I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.

I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗

p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗

p,�) e um grupo.

I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma

e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.

Grupos

Exemplos de grupos

I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).

I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).

I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.

I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗

p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗

p,�) e um grupo.

I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma

e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.

Grupos

Exemplos de grupos

I (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+).

I (N,+) nao e grupo (dado a ∈ N , a > 0, a nao possui inversoem N).

I Zn = {0, 1, 2, · · · , n− 1}∀a, b ∈ Zn, a⊕ b e o resto da divisao de a+ b por n.(Zn,⊕) e um grupo.

I Z∗p = {1, 2, · · · , p− 1}, p: primo∀a, b ∈ Z∗

p, a� b e o resto da divisao de ab por n.(Z∗

p,�) e um grupo.

I Zn e Z∗p sao grupos cıclicos: seus elementos sao da forma

e, a, a2, · · · , para algum a 6= e.

Grupos de Permutacoes

I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.

I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)

I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.

I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.

Grupos de Permutacoes

I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.

I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)

I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.

I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.

Grupos de Permutacoes

I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.

I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)

I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.

I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.

Grupos de Permutacoes

I Alguns conjuntos de permutacoes tambem formam grupos.

I Sejam a e b permutacoes, entao a ∗ b significa aplicar apermutacao a e em seguida aplicar a permutacao b.(Simplificando: ab)

I O conjunto de todas as permutacoes das facetas do cuboforma um grupo R, chamado Grupo de Rubik.

I O grupo R consiste dos movimentos L,R, F,B,U,D e detodas as macros S, assumindo que duas macros que produzemo mesmo resultado sao vistas como iguais.

Grupos de Permutacoes

Exemplo

Grupos de Permutacoes

I O numero total de elementos do grupo R e exatamente onumero de todas as possıveis configuracoes do cubo.

I Nao significa que R deva conter todas as permutacoes dasfacetas, mas apenas aquelas que podem ser atingidas pormeio dos movimentos acima.

(Exemplo: A faceta de um cubinho de centro nao podepermutar com a faceta de um cubinho de canto/aresta)

I Se uma permutacao nao esta em R entao a configuracaocorrespondente e impossıvel no cubo.

Grupos de Permutacoes

I O numero total de elementos do grupo R e exatamente onumero de todas as possıveis configuracoes do cubo.

I Nao significa que R deva conter todas as permutacoes dasfacetas, mas apenas aquelas que podem ser atingidas pormeio dos movimentos acima.

(Exemplo: A faceta de um cubinho de centro nao podepermutar com a faceta de um cubinho de canto/aresta)

I Se uma permutacao nao esta em R entao a configuracaocorrespondente e impossıvel no cubo.

Grupos de Permutacoes

I O numero total de elementos do grupo R e exatamente onumero de todas as possıveis configuracoes do cubo.

I Nao significa que R deva conter todas as permutacoes dasfacetas, mas apenas aquelas que podem ser atingidas pormeio dos movimentos acima.

(Exemplo: A faceta de um cubinho de centro nao podepermutar com a faceta de um cubinho de canto/aresta)

I Se uma permutacao nao esta em R entao a configuracaocorrespondente e impossıvel no cubo.

O grupo simetrico Sn

I Grupo simetrico Sn: grupo de todas as permutacoes doconjunto {1, 2, · · · , n}. (Total: n! permutacoes)

I Todo n-ciclo, n > 1 se escreve como produto de 2-ciclos.

Se n e par, o numero de 2-ciclos e impar.Se n e impar, o numero de 2-ciclos e par.

(12) = (12)(12)(13) = (123)(12)(13)(14) = (1234)(12)(13)(14)(15) = (12345)

(12)(13)(14)(15) · · · (1n) = (12345 · · ·n)

O grupo simetrico Sn

I Grupo simetrico Sn: grupo de todas as permutacoes doconjunto {1, 2, · · · , n}. (Total: n! permutacoes)

I Todo n-ciclo, n > 1 se escreve como produto de 2-ciclos.

Se n e par, o numero de 2-ciclos e impar.Se n e impar, o numero de 2-ciclos e par.

(12) = (12)(12)(13) = (123)(12)(13)(14) = (1234)(12)(13)(14)(15) = (12345)

(12)(13)(14)(15) · · · (1n) = (12345 · · ·n)

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

O grupo simetrico Sn

Exemplo

Permutacao par/impar

I Permutacao par: Que se escreve com produto par de2-ciclos.

Permutacao ımpar: Que se escreve com produto ımpar de2-ciclos.

I Metade dos elementos de Sn e par e a outra metade e ımpar.

I A metade par, chamada An, forma um grupo chamado degrupo alternante.

Permutacao par/impar

I Permutacao par: Que se escreve com produto par de2-ciclos.

Permutacao ımpar: Que se escreve com produto ımpar de2-ciclos.

I Metade dos elementos de Sn e par e a outra metade e ımpar.

I A metade par, chamada An, forma um grupo chamado degrupo alternante.

Permutacao par/impar

I Permutacao par: Que se escreve com produto par de2-ciclos.

Permutacao ımpar: Que se escreve com produto ımpar de2-ciclos.

I Metade dos elementos de Sn e par e a outra metade e ımpar.

I A metade par, chamada An, forma um grupo chamado degrupo alternante.

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

I Vimos que somente podemos trocar cubinhos que tenham omesmo “genero”.

central ←→ centralaresta ←→ arestacanto ←→ canto

I Qual a relacao de paridade entre cada tipo de cubinho?

I Vimos que somente podemos trocar cubinhos que tenham omesmo “genero”.

central ←→ centralaresta ←→ arestacanto ←→ canto

I Qual a relacao de paridade entre cada tipo de cubinho?

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

E possivel trocar 2 pares de cubinhos (de mesmo genero) deixandoos demais como estao.

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

Nao existe nenhuma combinacao de movimentos que consigatrocar apenas um par de cubinhos.

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

Teoria de Grupos: Paridade no cubo

Teoria de Grupos: Um passo no metodo decamadas

Subgrupo

I Sejam (G, ∗) um grupo e H ⊆ G. Dizemos que H esubgrupo de G se H com a operacao ∗ for um grupo.

I Sejam g1, g2, · · · , gk ∈ G. O subgrupo gerado porg1, g2, · · · , gk e o menor subgrupo de G contendog1, g2, · · · , gk.

H =< g1, g2, · · · , gk >

Subgrupo

I Sejam (G, ∗) um grupo e H ⊆ G. Dizemos que H esubgrupo de G se H com a operacao ∗ for um grupo.

I Sejam g1, g2, · · · , gk ∈ G. O subgrupo gerado porg1, g2, · · · , gk e o menor subgrupo de G contendog1, g2, · · · , gk.

H =< g1, g2, · · · , gk >

Comutador

I Dados g, h ∈ G, o elemento

[g, h] = ghg−1h−1

e chamado de comutador. O conjunto

[G,G] = {[g, h]; g, h ∈ G}

e um subgrupo de G chamado de grupo dos comutadoresde G.

Homomorfismo de grupos

I Sejam (G, ∗) e (H,#) grupos. A funcao

ϕ : G→ H

e um homomorfismo de grupos se para todo g, h ∈ G,tivermos(i) ϕ(eG) = eH .(ii) ϕ(g ∗ h) = ϕ(g)#ϕ(h).

I Se ϕ e bijetora, entao ϕ e um isomorfismo, e dizemos que G eisomorfo a H.

G ∼= H

Homomorfismo de grupos

I Sejam (G, ∗) e (H,#) grupos. A funcao

ϕ : G→ H

e um homomorfismo de grupos se para todo g, h ∈ G,tivermos(i) ϕ(eG) = eH .(ii) ϕ(g ∗ h) = ϕ(g)#ϕ(h).

I Se ϕ e bijetora, entao ϕ e um isomorfismo, e dizemos que G eisomorfo a H.

G ∼= H

I Vimos que

S4: Grupo de todas as permutacoes do conjunto {1, 2, 3, 4}.(Total: 24 permutacoes)

I Em S4, temos que

A4 =< (1 2 3), (1 2 4) >

Em geral, se n ≥ 3, An e gerado por 3-ciclos.

I Vimos que

S4: Grupo de todas as permutacoes do conjunto {1, 2, 3, 4}.(Total: 24 permutacoes)

I Em S4, temos que

A4 =< (1 2 3), (1 2 4) >

Em geral, se n ≥ 3, An e gerado por 3-ciclos.

Tomando,S = L−1URU−1LUR−1U−1

T = F−1UBU−1FUB−1U−1,

e definindoρ : A4 →< S, T >⊂ R

tal que ρ(1 2 3) = S e ρ(1 2 4) = T , temos que

A4∼=< S, T >

Permutacao dos cantos numa camadaS e T sao permutacoes pares. A4

∼=< S, T >. S = (1 2 3) eT = (1 2 4). Permutacoes dos cantos em uma camada tem queser uma permutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem quecorresponder a um elemento de A4.

Permutacao dos cantos numa camada

I S e T sao permutacoes pares.

I A4∼=< S, T >.

I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).

I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.

Permutacao dos cantos numa camada

I S e T sao permutacoes pares.

I A4∼=< S, T >.

I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).

I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.

Permutacao dos cantos numa camada

I S e T sao permutacoes pares.

I A4∼=< S, T >.

I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).

I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.

Permutacao dos cantos numa camada

I S e T sao permutacoes pares.

I A4∼=< S, T >.

I S = (1 2 3) e T = (1 2 4).

I Permutacoes dos cantos em uma camada tem que ser umapermutacao par de {1, 2, 3, 4}, isto e, tem que corresponder aum elemento de A4.

Permutacao dos cantos numa camada

σ = (1 2)(3 4). (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.

Permutacao dos cantos numa camada

I σ = (1 2)(3 4).

I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.

I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.

I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois

[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.

Permutacao dos cantos numa camada

I σ = (1 2)(3 4).

I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.

I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.

I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois

[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.

Permutacao dos cantos numa camada

I σ = (1 2)(3 4).

I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.

I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.

I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois

[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.

Permutacao dos cantos numa camada

I σ = (1 2)(3 4).

I (1 2)(3 4) = (1 2 3)(1 2 4)2(1 2 3) = ST 2S.

I Como (1 2)(3 4) tem ordem 2, entao (ST 2S)2 = I.

I Para resolver o cubo abaixo, basta aplicar a macro ST 2S, quee um comutador, pois

[S, T ] = STS−1T−1 = STS2T 2 = ST 2S.

Permutacao dos cantos numa camada

Referencias

Waldeck Schutzer, “Aprendendo Algebra com o cubo magico”,V Semana da Matematica da UFU, 2005

Tom Davis, “Group Theory via Rubik’s Cube”, draft,http://www.geometer.org/rubik.

Nathan Jacobson, “Basic Abstract Algebra”, 2nd Ed., W. H.Freeman and Co., 1996.

Edward C. Turner Karen F. Gold, “Rubik’s Groups”, TheAmerican Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 9, 1985.

Obrigado!