OSG.: 14924/09 ENSINO PR-UNIVERSITRIO TC FSICA TURNO DATAALUNO(A) TURMANSRIEPROFESSOR(A)MARCOS HAROLDO, MOACIR WEYNE E TEIXEIRA JR. ITA/IME SEDE___/___/___ MOVIMENTOSPERIDICOS/MOVIMENTOHARMNICOSIMPLES/SUPERPOSIODE MOVIMENTOSHARMNICOSSIMPLESDEMESMADIREOEDEDIREESPERPENDICULARES/ BATIMENTOS / FIGURAS DE LISSAJOUS / PNDULO SIMPLES 1.Movimentos peridicos Soencontradoscombastantefreqncia,tantososdeorigemnaturalcomoosqueohomemproduzcomfinalidades diversas. OestudodosM.P.spodeserbastantecomplexo,assim,paraonossopropsito,analisaremosapenasochamado movimento harmnico simples, cujo equacionamento e compreenso mais fcil. 2.Movimento harmnico simples Caractersticas: Movimento retilneo (apenas um grau de liberdade) Movimento oscilatrio em relao a um ponto chamado origem 0. Existnciadeumaforarestauradora,quetendeafazerapartculavoltarposiodeequilbrio.Estaforaproporcionala distncia da partcula a origem: F = Kx. 3.Equaes do M.H.S Usamos o artifcio matemtico do estudo de um M.C.U para encontrar as equaes do M.H.S. Analisandoafigura,vemosqueaprojeodopontoP,sobrearetaOX

descreveum M.H.S. A equao para este movimento ( ) ( )Ox Acos wt I = +Se a anlise for feita em relao ao eixo 0Y temos a relao:( ) ( )Ox Asen wt II = + Tantoaequao(I)comoa(II)podemserusadas,geralmente,aescolhadaequaoficaporcontadafacilidadena resoluo do problema. Para achar as equaes da velocidade e da acelerao basta descrevermos a equao horrio, assim: ( )( )( )( )( )( )o oo o2 2 2 2o ox A cos wt x Asen wtV wAsen wt ou V wAcos wt w Acos wt w x w Asen wt w x = + = + = + = + = + = = + = onde: ( )oow = pulsao = fase inicialou constante de faseA amplitudewtfase do movimento = + = TC FSICA 2 OSG.: 14924/09 4.Velocidade e acelerao Temos que:( ) ( )mx o oV cos wt ou sen wt 1 + + = Assim: mxV wA = +Analogamente: 2mx w A = 5.Perodo no M.H.S. Sabemos que:( ) F Kx I = para uma partcula em M.H.S. e que 2 w x = Assim:( )2F m F mw x II = = De (I) e (II) temos: 2 2k 2 mmw x Kx K mw w ; T T 2m w k = + = = = Est frmula vale para qualquer corpo em M.H.S. 6.Sistema Massa Mola Em um sistema conservativo RE cte = , temos

x2o1 Fdx Kx2= =TC FSICA 3 OSG.: 14924/09 e gm c p p2 2m o2 2m o 2 o o2 2 2m o2 2 2m oE E E E1 1E mV k(x x) mgx2 21 1E mV k(x x 2xx ) Kx x2 21 1 1E mV k x kx2 2 21 1 1E mV kx k x cte2 2 2= = += + + = + + + = + += + + Se formos calcular Em, podemos considerar a 2 2m1 1E mV kx2 2= +(igual a do sistema massa mola horizontal). 07.MOLAS a)b) 1 2e1 2K KKK K=+ K2 = K1 + K2 c)d) Ke = K1 + K2Mreduzida = 1 21 2m mm m + Obs.: 1k 08.PNDULO SIMPLES OpndulosimplesnodescreveumM.H.S.,comojvimos,paraexistnciadeumM.H.S.necessrioqueapartcula descreva um movimento retilneo, o que no o caso do pndulo simples. Porm, para ngulos () de abertura pequena, podemos considerar o pndulo simples como descrevendo um M.H.S. pequeno sen tg x FR Fora restauradora Assim R R R Rx mgF mg sen F mg F mg F x = = = Onde Rmgk e F kx (M.H.S.) = = TC FSICA 4 OSG.: 14924/09 Podemos, dessa relao, calcular ainda o perodo do pndulo simples. m mgT 2 ; K T 2K g= = = 09.SUPERPOSIO DE M.H.S. PERPENDICULARES DE MESMA FREQNCIA. FIGURAS DE LISSAJOUS. a)x = A cos(wt) y = A cos wt2 | |+ |\ Concluses 2 2 2figura circunfernciax y A + = b)x = A cos(wt) y = A cos(wt + ) Pode ocorrer qualquer uma das trajetrias abaixo. c)x = A cos(wt) y = A cos(wt) Caso visto no item anterior que cria como figura uma reta bissetriz do 1 e do 3 quadrante. d)x = A cos wt y = B cos wt; A B Concluses By xABfigura reta de coeficiente angular.A= Observao: Nos dois ltimos casos (c e d) o movimento resultante um M.H.S. 2 2r B A cos wt = +mesma fase e mesma freqncia O movimento resultante, sendo retilneo, torna possvel a existncia do M.H.S. TC FSICA 5 OSG.: 14924/09 e)x = A cos(wt) y = B cos wt2 | |+ |\ Concluses 2 22 2x y1A Bfigura elipse + = f)x = A cos(wt) y = B cos(wt + ) Concluses 2 222 2x y 2xycos senA B ABequao de uma elipse rotacionada. + = Regra prtica de Edson Parente para obter o sentido e a inclinao da elipse rotacionada. I.SENTIDO:sen indica o sentido do movimento II.INCLINAO: cos indica a inclinao da figura. Exemplos: cos 00sen 02 > < < > cos 0sen 02 < < < > 3 cos 02sen 02 > < < < 3 cos 0sen 02 < < < < sen 0 horriosen 0 antihorrio > < cos 0 1 e 3 quadrantes (inclinando direita)cos 0 2 e 4 quadrantes (inclinando esquerda) > < TC FSICA 6 OSG.: 14924/09 10.SUPERPOSIO DE M.H.S. PERPENDICULARES E FREQNCIAS DIFERENTES DescrevemtrajetriasquesotambmchamadasdefigurasdeLissajous,porm,essastrajetriassoextremamente complexas vistas com o auxlio de ociloscpios. 11.PRINCPIO DA SUPERPOSIO DE MOVIMENTOS HARMNICOS SIMPLES um fato experimental que, para muitos tipos de ondas, duas ou mais ondas podem cruzar-se na mesma regio do espao independentementeumadaoutra.Ofatodeasondasseremindependentesumadeoutrasignificaqueodeslocamentode qualquerpartcula,emdadoinstante,simplesmenteasomadosdeslocamentosqueseriamproduzidosseasondasagissem isoladamente. Este processo de adio vetorial de deslocamento de uma partcula denomina-se superposio. Observao: Nocasodeondasemmeiosdeformveis,oprincpiodasuperposiovlidodesdequeadeformaoeaforarestaurada sejam proporcionais entre si (FR = C x), considerando cada onda em M.H.S. 12.FUNO DE ONDA Seja uma onda peridica (senoidal), cuja fonte realiza um M.H.S. de amplitude A, originando pulsos que se propagam com velocidade V. Num dado tempo t uma massa m realiza um M.H.S. conforme sua funo de onda. y = A cos(o + wt) TC FSICA 7 OSG.: 14924/09 No tempo xt 'V= , temos: o o o2 x 2 2 xy Acos[ w(t t ')] Acos Acos t tt V t VT( | |(= + = + = + | ((\ onde 2wT= (pulsao)e 2 2KVT = = (vetor Poynting vetor que indica o sentido de propagao do pulso). Ento: oy Acos[ wt kx] = + (funo de onda) Observao: Quandox=0,y=Acos[o+wt]afunodeondaqueafonterealizaoM.H.S.Entov=Awsen[o+wt]a velocidade com que a fonte oscila. 13.SUPERPOSIO DE MOVIMENTOS HARMNICOS SIMPLES DE MESMA DIREO a)Ondas Estacionras Fenmeno ondulatrio (onda) resultante da superposio de duas ondas (senoidais) iguais (mesma freqncia, velocidade e amplitude) que se propagam no mesmo meio, na mesma direo e em sentidos contrrios. Consideremos duas ondas que viajem numa corda elstica. tTt4+Tt2+ 3Tt4+ Nos pontos B e D ocorre interferncia construtiva (formao de VENTRES) e nos pontos A, C e E interferncia destrutiva (formao de ns). comumserepresentaumaondaestacionriaatravsdeumafiguraquecorrespondereuniodediversasfotografias obtidaseminstantessucessivos.Aporodaondaestacionria,compreendidaentredoisnsconsecutivos,denominada FUSO. A distncia entre dois ventres (ou ns) consecutivos igual metade do comprimento de onda e a distncia entre um n e um ventre consecutivo igual quarta parte do comprimento de onda. TC FSICA 8 OSG.: 14924/09 Das funes de ondas; temos: 1 2y Acos(wt kx) e y Acos(wt kx) = + = A equao da onda resultante R 1 2y y y A[cos(wt kx) cos(wt kx)] = + = + + R RAMPLITUDEy 2Acos(kx) cos(wt) onde A 2Acos(kx) = =

Isto,aamplitudedaondaresultantevariaconformeaposio(x),ouseja,ARfunodex(INTERFERNCIADA POSIO). Observaes: 1.Est claro que no h transmisso de energia ao longo da corda para a direita ou para a esquerda, pois a energia no pode ultrapassarospontosnodais,emqueacordaestpermanentementeemrepouso(verfigura).Portanto,aenergia permaneceu estacionria na corda, embora alterando-se entre energia cintica de vibrao e energia potencial elstica. 2.Asondas(mecnicaoueletromagntica)componentesquesemovememsentidosopostosaolongodacordaainda produziro ondas estacionrias mesmo se tiverem amplitudes diferentes. b)Batimentos o fenmeno ondulatrio resultante da interferncia de ondas demesma amplitude e freqncias ligeiramente diferentes, quando duas ou mais ondas se propagam numa mesma direo e num mesmo sentido. Das funes de ondas, temos: 1 1 1 2 2 2y Acos w t Acos(2 f t) y Acos w t Acos(2 f t) = = = = A equao da onda resultante R 1 2 1 2y y y A[cos(2 f t) cos(2 f t) = + = + 1 2 1 2RAmplitudef f f fy 2Acos 2 t cos 2 t onde2 2 (+ ( | | | |= || ((\ \

1 2Rf fA 2Acos 2 t (AMPLITUDE DA ONDA RESULTANTE)2 ( | |= | (\ 1 2Rf ff (FREQNCIA DA ONDA RESULTANTE)2+= Veja que a amplitude resultante funo de tempo t (INTERFERNCIA DO TEMPO). Um batimento, isto , um mximo na amplitude (AR = 2A) , ocorrer sempre que 1 2f fcos 2 t2 ( | | | (\ for igual a 1 ou a 1. Comocadaumdestesvaloresocorreurnavezemcadaciclo,entoonmerodebatimentosporsegundo(freqnciade batimentos) ser o dobro da freqncia de amplitude fAmp., isto , |f1 f2|. TC FSICA 9 OSG.: 14924/09 FREQNCIA DA AMPLITUDE: 1 2Ampf ff2=FREQNCIA DE BATIMENTO: (nmero de batimentos por segundo): Bat 1 2F | f f | = Embora possam acontecer com quaisquer tipos de ondas peridicas, os batimentos so particularmente perceptveis com as ondassonoras,sendoutilizados,porexemplo,naafinaodeinstrumentosparte-sedeumasituaoemqueocorrem batimentosentreasduasfontes,e,alterando-seafreqnciadeumadelas,percebe-seumadiminuiogradativados batimentos, at chegar-se situao de unissono (freqncias iguais). Observaes: 1.Por simplicidade, admitimos que as duas ondas tem a mesma amplitude, mas isto no necessrio. 2.O movimento resultante dos batimentos no M.H.S. ser peridico se as freqncias forem comensurveis.No entanto, nas ondas estacionrias, cada ponto (exceto os ns) realizam M.H.S. conforme sua amplitude. 14.SUPERPOSIO DE MOVIMENTOS HARMNICOS SIMPLES DE DIREES PERPENDICULARES A trajetria do movimento resultante da superposio de dois M.H.S. de direes perpendiculares denomina-se FIGURAS DE LISSAJOUS. (Visto anteriormente). QUESTES DESAFIO 1.Nosextremosdeumabarra,depesodesprezveledecomprimentod,sofixasduaspequenasesferasdemassasm.A barrasuspensa,porumaarticulao,detalmodo,quepodegirarsematrito,juntodeseueixovertical,quepassapelo meiodamesma.Emumamesmaretaqueabarra,sofixasduasesferasgrandescommassasM.Adistnciaentreos centros das esferas grande e pequena L. Determine o perodo de pequenas oscilaes descritas pelo pndulo giratrio. Movimento Harmnico Simples 2.Um corpo oscila com movimento harmnico simples de amplitude A. Que distncia o corpo cobre em um perodo? Qual o deslocamento do corpo em um perodo? 3.QualomdulodaaceleraodeumosciladordeamplitudeAefreqnciafquandoasuavelocidadeforummximo?Emque instante o deslocamento mximo? 4.Certo ou errado. a)No movimento harmnico simples, o perodo proporcional ao quadrado da amplitude. b)No movimento harmnico simples, a freqncia no depende da amplitude. c)Se a acelerao de uma partcula for proporcional ao deslocamento etiver direo opostado deslocamento, o movimento que efetua harmnico simples. 5.A posio de uma partcula dada por x = (7cm) cos 6t, com t em segundos. Qual : a)a freqncia? b)o perodo? c)a amplitude do movimento da partcula? d)oprimeiroinstante,depoisdet=0,emqueapartculaestnaposiodeequilbrio?Emquedireoapartculase desloca neste instante? 6.Responda. a)Qual a velocidade mxima da partcula mencionada no problema 4? b)Qual a sua acelerao mxima? L d LTC FSICA 10 OSG.: 14924/09 7.Umapartculademassampartedorepousoemx=+25cmeoscilaemtornodaposiodeequilbrioemx=0,como perodo de 1,5s. Determinar as equaes: a)da posio x em funo do tempo t. b)da velocidade v em funo de t. c)da acelerao a em funo de t. 8.Resolver o problema 6 com a partcula inicialmente em x = 25cm e com velocidade v0 = +50cm/s. 9.Operododomovimentodeumapartculaoscilantede8s.Noinstantet=0apartculaestemrepousoem x = A = 10cm. a)Fazer o grfico de x em funo do tempo t. b)Achar a distncia coberta no primeiro segundo depois de t = 0, no segundo, no terceiro e no quarto segundo depois de t = 0. 10.A posio de uma partcula dada por x = 2,5cos t, com x em metros e t em segundos. a)Calcular a velocidade mxima e a acelerao mxima da partcula. b)Achar a velocidade e a acelerao da partcula quando x = 1,5m. Movimento Harmnico Simples e Movimento Circular 11.Uma partcula descreve um crculo com o raio de 40cm e velocidade constante de 80cm/s. Calcule: a)a freqncia do movimento. b)o perodo do movimento. c)Daraequaodacomponentexdaposiodapartculaemfunodotempot,admitindoque, no instante t = 0, x seja positivo. 12.Seaamplitudedomovimentodeumosciladorharmnicosimplesfortriplicada,porquefatorficamultiplicadaasua energia? Gabarito EXERCCIOS COMPLEMENTARES 1.T = 22dL20M 2.4A, 0 3.0, A(2t)2 4. a)Errado b)Certo c)Certo 5. 6. a)1,3m/s b)25m/s 7. a)x(t) = (0,25m) cos(4/3)t b)v(t) = dx/dt = (/3m/s) sen (4/3)t c)a(t) = dv/dt = (42/9m/s2) cos (4/3)t 8. a)x(t) = (0,277m) cos(4t/3 0,445) b)v(t) = dx/dt = (1,16m/s) sen(4t/3 0,445) c)a(t) = dv/dt = (4,86m/s2) cos(4t/3 0,445) TC FSICA 11 OSG.: 14924/09 9. a)x(t) = 10 cos(t/4) b)2,9cm, 7,1cm, 7,1cm, 2,9cm 10. a)2,5 b)2,52 11. a)f = 0,32Hz, = 2 rad/s b)3,1s c)x(t) = (40cm) cos(2t) 12.9 FM 05/03/09 RevMH