1 Universidade Federal de Mato Grosso - UFMT Instituto de Cincias Exatas e Naturais ICEN Departamento de Matemtica Cincias Econmicas Mtodos Quantitativos em Economia I Rodrigo Rodrigues Garcia ApostiladesenvolvidaparaoprimeiroperododeCinciasEconmicas baseadonolivroClculo:Funesdeumaevriasvariveis,dePedroA. Moretin, Samuel Hazzan e Wilton de O. Bussab. Contedos da apostila 1. Limites 1.1. Limites de funes 1.2. Formas indeterminadas 1.3. Limites infinitos 1.4. Limites nos extremos do domnio 1.5. Continuidade de uma funo 1.6. Limite exponencial fundamental 2. Derivadas 2.1. Introduo 2.2. Conceito de derivada 2.3. Interpretao geomtrica da derivada 2.4. Derivada das principais funes elementares 2.5. Propriedades operatrias 2.6. Funo Composta Regra da Cadeia 2.7. Funes Marginais 2.8. Diferencial de uma funo 2.9. Elasticidades 3. Funes de duas variveis3.1. Introduo 3.2. Grfico de funes de duas variveis 3.3. Limite e continuidade 3.4. Derivadas Parciais 3.5. Interpretao geomtrica das derivadas parciais 3.6. Funo composta Regra da Cadeia 2 1. Limites 1.1. Limites de funes Oconceitodelimitedefunestemutilidadenadeterminaodo comportamentodefunesnasvizinhanasdeumpontoforadodomnio,no comportamentodefunesquandoaumentamuito(tendeparainfinito)ou diminui muito (tende para menos infinito). Definio: dada uma funo f(x) e um ponto b do domnio, dizemos que o limite dafunoLquandoxtendeabpeladireita(

)se,medidaquexse aproxima de b pela direita (isto , por valores superiores a b), os valores de f(x) se aproximam de L. Escrevemos:

() Analogamente, dizemos queolimite da funo M quandox tende a b pela esquerda (

) se , medida que x se aproxima de b pela esquerda (isto , por valores inferiores a b), os valores de f(x) se aproximam de M. Escrevemos:

() As figuras a seguir ilustram a ideia intuitiva: CasoL=M,ouseja,oslimiteslateraissoiguais,dizemosqueexisteolimitede f(x) quando x tende a b e escrevemos

(). Exemplos: 1)Considereafunodadapor(){

.Calcularoslimites laterais quando x tende a 3 pela direita e pela esquerda. Limite pela esquerdaLimite pela direita () 2,94,9 2,994,99 2,9994,999 ......

()

() Comooslimiteslateraisexistem,massodiferentes,dizemosquenoexisteo limite global de f(x) quando x tende a 3. 2)Considereafuno(){

.Calcularoslimiteslaterais quando x tende a 3.

()

() Como os limites laterais so iguais, podemos escrever:

() Observe neste exemplo que no clculo do limite def(x), quando x tende a 3, no importa o valor da imagem para x=3, mas importa o queocorrecomasimagensquandoxestprximode3,masmantendo-se diferente de 3. () 3,16,2 3,016,02 3,0016,002 ...... 3 3) Seja ()

. Determinar os limites laterais quando x tende a 3. Limite pela esquerdaLimite pela direita () 2,98,41 2,998,9401 2,9998,9940 ......

()

() Como os limites laterais so iguais, podemos escrever

(). 1.2. Formas Indeterminadas Considere a funo ()

e vejamos qual o limite quando x tende a2,separandoonumeradoreodenominadordafrao.Tantopeladireita quantopelaesquerda,

( )e

(

).Teramos assimumafraoimpossveldesercalculada.

/quechamadadeforma indeterminada. Observe que a expresso f(x) pode ser simplificada ao fatorarmos o denominador, ou seja: ()

( )( )( )

Assim,asfunes()

e()

tmcomportamentoidntico (excetopara,poisaprimeiranodefinida).Comonoimportaoque acontece quando , (pois quando x tende a 2 diferente de 2), temos:

(

)

(

)

Relembrando fatoraes algbricas: (

)( )( ) ( )

( )

(

)(

),emque

e

sorazesdaequao

. (

)( )(

) (

)( )(

) Exemplos: a)

()

( ) b)

()()()

( ) c)

()

( ) Exerccios 1. Para cada funo f(x) abaixo e para cada a, obtenha (quando existir):

(),

() e

(). a)()

, e) (){

,b) ()

, f) ();c) (){

, g) () ( ),d) (){

,() 3,19,61 3,019,0601 3,0019,0060 ...... 4 2. Calcule os limites: a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

i)

e)

j)

Respostas 1) a) 8,8,8 ; b)

; c) 7,7,7 ; d) 0,0,0 ; e) 7,4, no existe ; f) 5,5,5 ; g) 0,0,0 2) a) 6 ; b) 14 ; c)

; d) -2 ; e) 1 ; f) -1 g) 0 ; h)

; i)1 ; j) 27 1.3. Limites Infinitos Considereafuno()

,definidaparatodososreaisdiferentesde3. Calculemos os limites laterais de f(x) quando x tende a 3: Limite pela esquerdaLimite pela direita () 3,150 3,01500 3,0015000 3,000150000

De um modo geral, o limite de uma funo infinito quando os valores de f(x) vo ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; da mesma forma,dizemosqueolimitedeuma funomenosinfinitoquandoosvalores de f(x) vo ficando cada vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado. 1.4. Limites nos Extremos do Domnio Ex1:Considereafuno()

etomemosumasequnciaquedivirjapara infinito, por exemplo (10, 100, 1000, 10000, ...). Intuitivamente,percebemosqueasimagensf(x)convergem para0.Assim,dizemosqueolimitedef(x)quandoxtende para o infinito 0 e escrevemos:

()

Analogamente,paradeterminarmosolimitedef(x)quandoxtendeparamenos infinito, tomemos uma sequncia que divirja para menos infinito, por exemplo (-10, -100, -1000, -10000, ...). Intuitivamente,percebemosqueasimagensf(x)tambm convergempara0.Dizemosentoqueolimitedef(x)0 quando x tende a menos infinito, e escrevemos:

()

() 2,9-50 2,99-500 2,999-5000 2,9999-50000 () 100,1 1000,01 10000,001 100000,0001 () -10-0,1 -100-0,01 -1000-0,001 -10000-0,0001 5 Ex2:Considereafuno()

easmesmassucessesdivergentespara mais e menos infinito dadas no exemplo anterior: () 101.000 1001.000.000 10001.000.000.000 ......

Observaes: Os limites nos extremos (x tendendo a mais ou menos infinito) podem ser um nmeroreal,ouaindapodemsermaisoumenosinfinito,conformeos exemplos anteriores; Olimitenosextremosdeumafunopolinomialigualaolimitedeseu termodemaiorexpoente,poiscolocando-seessetermoemevidncia,todos os outros termos tendem a 0. Ex:

(

)

(

)

Comoconsequnciadaobservaoanterior,quandotivermosolimitenos extremosdeumquocientededoispolinmios,eleserigualaolimitedo quociente dos termos do maior expoente do numerador e denominador.Ex:

.

/=

.

/

Exerccios Calcule os seguintes limites: a)

h)

b)

i)

(

) c)

j)

(

) d)

k)

.

/ e)

l)

.

/ f)

m)

.

/ g)

n)

.

/ Respostas: a) 0 ; b) 0 ; c) ; d) ; e) ; f) - ; g) ; h) 0 ; i) ; j) ; k) ; l) - ; m) 2 ; n) 26/15 1.5. Continuidade de uma funo A ideia de funo contnua decorre da anlise de seu grfico. Quando o grfico de umafunonoapresentainterrupes,dizemosqueelacontnua.Sehouver algumpontoemqueocorreainterrupo,dizemosqueesseumpontode descontinuidade. Considere os grficos a seguir: () -10-1.000 -100-1.000.000 -100-1.000.000.000 ...... 6 Temos as seguintes consideraes a fazer: Para a funo

(), cujo o grfico uma parbola, para qualquer valor real de b, temos:

()

()

() Ou seja, o limite existe para x tendendo a b, e , alm disso, ele igual ao valor da funo em b. Para a funo

(), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, veremos que:

()

()Ouseja,olimiteexisteparaxtendendoa0,maselenoigualaovalorda funo para x=0, pois 0 est fora do domnio. Para a funo

(), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, veremos que:

()e

()Ou seja, no existe o limite da funo para x=0. Para a funo

(), se calcularmos o limite para x igual a 2, teremos:

()

()Ouseja,olimiteexisteparaxtendendoa2,masafunonoestdefinida para x=2. Para a funo

(), se calcularmos o limite para x tendendo a zero, teremos:

()e

()Ou seja, no existe o limite da funo para x tendendo a 0. Pelaanlisedosgrficosvemosque,comexceode

(),todasasoutras funes apresentam interrupes em algum ponto. No caso da funo

(), oquecaracterizaausnciadeinterrupesofatodeolimiteexistirem qualquer ponto b do domnio e, alm disso, desse limite ser igual a imagem de b. Assim, uma funo f(x) contnua num ponto b do domnio, se

()

()() 7 1.6. Limite exponencial fundamental Considere afuno ().

/

que comparece emcurvas de crescimento emgeral.medidaquexcresce,tendendoainfinito,afrao

tendeazero, porm, tal frao somada a 1 e o resultado x no tem um valor evidente. O matemtico suo Leonard Euler (1707-1783) foi um dos primeiros a perceber aimportnciadessafuno.Eledemonstrouqueolimitedessafunoparax tendendoaoinfinitoeraumnmeroirracionalcompreendidoentre2e3, simbolizadopor (nmerodeEuler).Usandoumacalculadora possvel ter uma ideia da convergncia da funo ().

/

. Pode-se provar ainda que o limite dessa funo tambm d o nmero e quando x tende a menos infinito. Uma forma equivalente de se escrever o nmero e por limite:

( )

Ex: Juros capitalizados continuamente. Consideremos um capital de R$ 1.000,00 aplicado a juros compostos taxa de 12% ao ano pelo prazo e 2 anos: Se os juros forem capitalizados anualmente, o montante ser: ( )

Seosjurosforemcapitalizadossemestralmenteaumataxasemestral proporcionala12%aoano,ataxasemestralserde

ao semestre, e o montante ser: ( )

Seosjurosforemcapitalizadosmensalmenteaumataxamensal proporcional a 12% ao ano, a taxa mensal ser de

ao ms, e o montante ser: ( )

Seosjurosforemcapitalizadosdiariamenteaumataxadiria proporcional a 12% ao ano, a taxa diria ser de

ao dia, e o montante ser: (

)

Poderamospensaremcapitalizaoporhora,porminuto,por segundoeassim pordiante.Cadavezquediminuioprazodecapitalizao,onmerode capitalizaes (k) em um ano aumenta de modo que a taxa proporcional a 12% ao ano nesse perodo de capitalizao igual a

e o prazo de aplicao de 2 anos expressodeacordocomoprazodecapitalizaovale2k.Consequentementeo montante dado por: 8 (

)

Dizemosqueocapitalcapitalizadocontinuamente,quandoomontanteMdado por:

(

)

Para calcularmos o limite, podemos chamar

de

e consequentemente x ser igual

. Quando k tende a infinito, x tambm tende de modo que o limite acima pode ser expresso por:

(

)()[

(

)

]()

()

Deummodogeral,seumcapitalCcapitalizadocontinuamenteaumataxa proporcional a uma taxa i anual, pelo prazo de n anos, o montante dado por:

Exerccios 1. A funo (){ contnua no ponto ? 2. A funo (){

contnua para ? 3. Verifique se a funo ()

contnua para . 4. Calcule os seguintes limites: a)

.

/

b)

.

/

c)

.

/

Respostas: 1. sim ; 2. no ; 3. no ; 4. a)

; b)

; c)

2. Derivadas 2.1. Introduo OconceitodederivadafoiintroduzidoemmeadosdossculosXVIIe XVIIIemestudosdeproblemasdeFsicaligadosaoestudodosmovimentos, destacando neste estudo, o ingls Isaac Newton (1642-1727) e o alemo Gottfried Leibniz(1646-1716).AsideiasintroduzidasnaFsicaforamaospoucossendo incorporadas em outras reas, como Economia, Administrao,... Consideremosumafuno()esejam

e

doispontosdeseu domnio; sejam (

) e (

) as correspondentes imagens. Chamamosdetaxamdiadevariaodef,paraxvariandode

at

,ao quociente: (

) (

)

Tal taxa mede o ritmo de variao da imagem em relao variao de x. 9 Usando o smbolopara indicar uma variao, podemos indicar a taxa mdia de variao de f pela relao:

(

) (

)

Ex1:Sejaafuno()

,opontoinicialdeabscissa

eavariao (isto , x varia de 1 a 3). A taxa mdia de variao de f para esses valores :

() ()

Isto significa que, se x variar 2 unidades (a partir de

), a variao de f ser 4 vezes maior, pois , enquanto . Ex2:Consideremosnovamenteafuno()

ecalculemosataxamdia devariaoapartirdeumpontogenricodeabscissa

eumacrscimo tambm genrico .

()()

()

()

Assim, se quisermos a taxa mdia de variao a partir doponto x=5 e com uma variao , o resultado ser 2 . 5 + 3 = 13. Ex3:Suponhamosqueumobjetosejaabandonadoa2000mdealturaequea funo()

indiqueaalturadoobjetoemrelaoaosolo,t segundos aps ele ser abandonado. Temos: () e (). Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m, pois

. Jnos5segundosseguintes,quandotvariade5a10,oobjetocaiu750m, pois

() () . Isso mostra que, para uma mesma variao de t (5 segundos), a variao de altura diferente. A taxa mdia de variao da funo representa a velocidade mdia do objeto em cada intervalo de tempo considerado. No 1 intervalo, a velocidade mdia

. No 2 intervalo, a velocidade mdia

. Sequisssemossaberavelocidadedesseobjetoemcadainstante(velocidade instantnea),teramosqueconsideraramplitudesdevariaodetempocadavez menores. Assim, para o intervalo ,- , teremos:

( ) ()

, ( )

- ,

-

10

()

. Calculemos a velocidade mdia para valores decada vez menores: Intervalo

, -5-150 , -3-130 , -1-110 , -0,5-105 , -0,1-101 , -0,01-100,1 Percebaqueavelocidademdiaestseaproximandode100m/s.Avelocidade instantnea,assimolimiteparaoqualtendeavelocidademdiaquandoo intervalo de tempo tende a 0. Isto , a velocidade instantnea no ponto t=5 :

( ) Esse limite da taxa mdia de variao quandotende a 0 chamado de derivada da funo f(t) no ponto t=5. 2.2. Conceito de derivada 2.2.1. Derivada de uma funo num ponto Seja f(x) uma funo e

um ponto de seu domnio. Chamamos de derivada de f no ponto

, se existir e for finito, o limite dado por:

(

) ()

Indica-seaderivadadef(x)noponto

por(

)ou

(

)ouaindapor

(

) Ex1: Qual a derivada de ()

no ponto

?

()

( ) ()

()

( )

()

()

()

( ) Issosignificaqueumpequenoacrscimodadoax,apartirde

, acarretarumcorrespondenteacrscimoqueaproximadamente6vezes maior que o acrscimo . Ex2: Qual a derivada de ()

no ponto

?

()

( ) ()

()

( )

()

()

()

()

( ) Issosignificaqueumpequenoacrscimodadoax,apartirde

, acarretarumcorrespondenteacrscimoqueaproximadamente4vezes maior que o acrscimo , em valor absoluto. 11 2.2.2. Funo Derivada Ex: Qual a funo derivada de ()

?

()

(

) ()

()

( )

()

()

()

()

()

( ) Assim, se quisermos a derivadano ponto

, basta calcularmos () que igual a 10. Exerccios Para cada funo f(x), determine a derivada (

) no ponto

indicado: a) (),

b) () ,

c) ()

,

d) ()

,

e) ()

,

Resp: a) 2 ; b) -3 ; c) 1 ; d) -1/4 e) 9 2.3. Interpretao geomtrica da derivada Consideremosafunofeospontos(

(

))e(

(

)). A reta que passa por PQ secante ao grfico e seu coeficiente angular

. medida quese aproxima de zero, a reta secante vai mudando seu coeficiente angular. Consideremos a reta que passa por P cujo coeficiente angular dado por:

(

) Essa reta chamada de reta tangente ao grfico de f no ponto P (desde que f seja derivvel em

) Ex:Obtenhaaretatangenteaogrficodafuno()

nopontoPde abscissa 2. Temos que, para , (). Logo, o ponto p tem coordenadas P(2,4). Tambm,

()eportanto,

().Assim,aretatangentettem coeficiente angular igual a 4. Logo, sua equao : ( ), ou seja, 12 2.4. Derivada das principais funes elementares 2.4.1. Derivada da funo constante Se () (funo constante), ento

(), para todo x. Demonstrao

()

( ) ()

Ex: a)

()

() b)

()

() 2.4.2. Derivada da funo potncia Se ()

, ento

()

. Ex: a) ()

()

b) ()

()

c) ()

()

d) ()

2.4.3. Derivada da funo logartmica Se (), ento

()

, para . 2.5. Propriedades Operatrias Aspropriedadesoperatriaspermitemacharasderivadasdesomas,diferenas, produtos e quocientes de funes elementares. P1) Se () (), ento () () Ex: ()

()

P2) Se ()() (), ento ()() () Ex: ()

() P3) Se ()() (), ento ()() () Ex: ()

()

P4) Se ()() (), ento ()()

()

() () Ex: ()

()

P5) Se () ()() ento () ()

()()()(())

Ex: ()

()

Exerccios Obtenha a derivada de cada funo a seguir: a) ()g) ()b) ()

h) ()

c) ()

i)()

d) ()

j) ()e) ()

k) () f) ()

l) () 13 m) ()

n) ()

o) ()

p) ()

q) ()

Respostas: a) 0 ; b)

; c)

; d); e)

; f)

; g) 2 ; h) ; i)

; j)

; k)

; l) ; m)

; n)

()

; o)

; p)

; q)

2.6. Funo Composta Regra da Cadeia Considereafuno()(

)

.Poderamosacharaderivadadef(x), desenvolvendo a expresso cubo de uma diferena. No entanto, poderamos fazer

eafunoficariasobaforma

.Assim,paracalcularmosuma imagem dessa funo, procedemos em duas etapas: para um dado valor de x, uma 1 funo calcula a imagem

. paraovalordeu,assimencontrado,uma2funocalculaaimagem

. Dizemosqueafunof(x)umacomposiodessasduasfunes.() (()) Para o clculo da derivada, usamos o seguinte raciocnio:

Sobcondiesgerais,quandotendeazero,omesmoocorrecom,de forma que:

()

() () isto ,

()() () A frmula acima conhecida como regra da cadeia. Assim, no exemplo dado, teremos: ()(

)

()

() (

)

()

() (

)

Ex1: Qual a derivada de () ( )? Fazendo, teremos(). Assim:

()

Ex2: ()

()(

)

Assim: ().

/

()

()

()

14 Derivada da funo exponencial Se ()

, ento

()

(), para todo x real (come ). Ex: a)()

;

()

b) ()

aplicando a regra da cadeia, temos:

()(

)

()

( )

()

( ) Exerccios Obtenha a derivada das seguintes funes: a) ()( )

m) ()

b) ()( )

n) ()

c) ()(

)

o) ()d) ().

/

p) ()

e) ()

(

)

q) ()(

)

f) () (

)r) () g) () (

) h) ()

i) ()

j) ()

k) ()

l) ()

Respostas: a)

()( )

; b)

()( )

;c)

()(

)

( ) ;d)

().

/

.

/;e)

()(

)

( ) f)

()

; g)

()

h)

()

; i)

()

j)

()( )

k)

()

l)

()

()

m)

()

;n)

()

(

)

o)

()( )

p)

()

( )

q)

()

(

)

( ) r)

()

( )

2.7. Funes Marginais EmEconomiaeAdministrao,dadaumafunof(x),costuma-seutilizaro conceitodefunomarginalparaavaliaroefeitocausadoemf(x)poruma pequenavariaodex.Chama-sefunomarginaldef(x)funoderivadade f(x). Assim, a funo custo marginal a derivada da funo custo, a funo receita marginal a derivada da funo receita e, assim por diante. 15 2.7.1. Custo Marginal Seja C(x) a funo custo de produo de x unidades de um produto. Chamamos de custo marginal derivada de C(x). Indicamos o custo marginal por

(). Ex: Considere a funo custo ()

. O custo marginal dado por

()

()

Se quisermos o custo marginal para , teremos:

()

ouseja,

()representaaproximadamenteC(11)-C(10),ouseja,o custodeproduoda11unidade,poisocustomarginalpodeserinterpretado por:

()

() Frequentemente essepequeno suposto igual a 1. Assim:

()( ) ()

()() () 2.7.2. Receita Marginal Seja R(x) a funo receita de vendas de x unidades de um produto. Chamamos de receitamarginaladerivada deR(x)emrelaoax.Indicamosareceita marginal por

(). Assim:

()() Ex: Dada a funo receita ()

. A receita marginal :

() Se quisermos a receita marginal no ponto , teremos:

()Do mesmo modo que o anterior, esse resultado pode ser interpretado da seguinte forma, sendo

()

tem-se que

()

() Supondo , vem:

()( ) () Portanto,areceitamarginalaproximadamenteigualvariaodareceita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x unidades. Noexemplodado,

()representaaproximadamente() (), ou seja, o aumento da receita decorrente da venda da 51 unidade. 2.7.3. Produtividade Marginal ConsideremosumafunodeproduoPquedependadaquantidadexdeum fatorvarivel.Chama-seprodutividademarginaldofatorderivadadePem relao a x. Ex: Considere a funo de produo ()

, em que P a quantidade (emtoneladas)produzidapormsdeumproduto,ex,otrabalhomensal envolvido (medido em homens-hora). A produtividade marginal do trabalho

()

Se x=10.000, ento

() ()

Assim, se o nmero de homens-hora passar de 10.000 para 10.001, o aumento na produo mensal ser, aproximadamente, 0,25 tonelada. 16 Exerccios 1.Dadaafunocusto() ,obtenhaocustomarginale interprete o resultado. 2. Dada a funo custo ()

, obtenha: a) o custo marginal

; b)

() e a interpretao do resultado; c)

() e a interpretao do resultado. 3.Repitaoexerccioanteriorparaaseguintefunodecusto:()

4. Dada a funo receita ()

, obtenha: a) a receita marginal

; b)

() e a interpretao do resultado; c)

() e a interpretao do resultado. 5. Se a funo de demanda for, obtenha a receita marginal. 6. Repita o exerccio anterior com a seguinte funo de demanda:

. 7. Dada a funo de produo

, em que x o nmero de homens-horaempregadospormseP,onmerodelitrosproduzidosdeumproduto mensalmente, pede-se: a)aprodutividademarginaldotrabalhoparax=6400eainterpretaodo resultado. b)aprodutividademarginaldotrabalhoparax=8100eainterpretaodo resultado. 8. A produo anual de algodo (em toneladas) de um agricultor em funo da quantidadexdefertilizanteempregada(emtoneladas),segundoarelao

. a) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x=50; b) Determine a produtividade marginal do fertilizante para x=75. Respostas: 1. $50,00 ; 2. a)

; b) $17,50 ; c) $60,00 ; 3. a) 0,2x+5 ; b) $6,00 ; c) $7,00 4. a) -8x+500 ; b) $420,00 ; c) $340,005. 20-4x 6.

()

7. a) 25/8 ; b) 25/9 8. a) 100 ; b) 50 2.8. Diferencial de uma funo Consideremos uma funo f derivvel em

. A variao sofrida por f, quando se passa do ponto

ao ponto

, : (

) (

) Consideremos ainda a reta PR, tangente ao grfico de f no ponto (

(

)) e cujo coeficiente angular (

). No tringulo PRS da figura a seguir, temos: 17

e como (

):

(

)

ou

(

) Aovalor(quedependede)denominadosdiferencialdefnopontode abscissa

e o indicamos por . Assim,

(

) Observe quedepende dee quanto menor for , mais prximoestar de . Assim, podemos dizer que para pequenos valores de . Dessaforma,adiferencialdeumafunopodeserusadaparacalcular aproximadamente variaes de f, para pequenos valores de Ex: Considere a funo ()

e os pontos de abscissa 1 e 1,01. A variao de f entre os pontos dados () () ()

A diferencial de f no ponto de abscissa 1, para:

()Como

(),

()etemos ().Assim, Exerccios 1. O custo de fabricao de x unidades de um produto ()

. Atualmenteonveldeproduode25unidades.Calcule,aproximadamente, usandodiferencialdefuno,quantovariaocustoseforemproduzidas25,5 unidades. Resp: $52,50. 2.Afunoreceitadeumaempresa()

,emquexo nmerodeunidadesproduzidas.Atualmenteonveldeproduode40 unidades,eaempresapretendereduziraproduoem0,6unidade.Usando diferencial de funo, d aproximadamente a variao correspondente da receita. Resp: -$24 3. Uma empresa produz mensalmente uma quantidade de um produto dada pela funodeproduo()

,emquexaquantidadedetrabalho envolvida (medida em homens-hora). Atualmente so utilizados 900 homens-hora porms.Calcule,aproximadamente,usandodiferencialdefuno,qualo acrscimo na quantidade produzida quando se passa a utilizar 950 homens-hora. Resp: 1666,67 4.Ocustodefabricaodexunidadesdeumproduto()

.Calcule,usandoodiferencialdefuno,qualocusto aproximado da 21 unidade. Resp: $400 18 2.9. Elasticidades A funo de demanda relaciona o preo unitrio p com a quantidade demandada x.Umindicadordasensibilidadedevariaodademandaemrelaoaopreo poderiaseraderivadadexemrelaoap.Todavia,essaderivadadependedas unidades de medida utilizadas. Ex: Se a queda de R$1,00 por kg de abbora fizesse o consumidor aumentar em 1 kgpormsoconsumodesseproduto,arelaoconsumo/preoseria1seo consumofossemedidoemquilogramase1000seoconsumofossemedidoem gramas.Emrazodisso,costuma-sedefinirumindicadordesensibilidadeque independa das unidades de medida utilizadas. Tal indicador chamado elasticidade. Definio:Suponhaqueaumpreo

aquantidadedemandadaseja

. Suponhamos,ainda,queopreosofraumavariaoapartirde

e,como consequncia, a quantidade demandada sofra uma variao , a partir de

. Consideremos: A variao porcentual no preo:

. A variao porcentual na quantidade:

. Chamamos de elasticidade da demanda no ponto (

) o nmero |

|

|

| O limite dentro do mdulo

(derivada da quantidade em relao ao preo). O mdulointroduzidonadefinioparaqueaelasticidaderesultenumnmero positivo, uma vez quem em geral,

. Assim,

|

| em que a derivada

calculada no ponto (

). Obs: a elasticidade uma caracterstica do ponto da curva de demanda e no da curva em si. Ex1: Se a equao de demanda for dada por, teremos:

Portanto:

Assim, se

, ento

e

Isso significa que, parapequeno, |

|. Admitindo

(como usual), teremos:

(poisetm sinais contrrios) 19 Em outras palavras, se o preo for 40 e sofrer um aumento porcentual de 1%, a queda porcentual na demanda ser de aproximadamente 4%. Demodoanlogo,seadmitssemosumaumentoporcentualnopreode2%(a partir de 40), a queda porcentual na demanda seria de aproximadamente 8%. Se , a demanda dita elstica no ponto considerado. Se , a demanda dita inelstica. Sea demanda tem elasticidade unitria no ponto considerado. Para funo oferta, define-se elasticidade de oferta em relao ao preo de modo anlogo:

em que

calculada no ponto

e

da equao de oferta. Nesse caso, o mdulo foi omitido, pois

. Ex2.: Se a equao de oferta for

, ento

Se quisermos a elasticidade para

, ento

, e

, no ponto em que

. Assim,

Dessemodo,paraumacrscimoporcentualde1%nopreo(apartirde6),o acrscimoporcentualnaquantidadeofertada(apartirde100)serde aproximadamente 0,72%. Exerccios 1.Seaequaodedemandafordadapor

,obtenhaaelasticidadeda demanda parae interprete o resultado. Resp: 1 2. Resolva o exerccio anterior para . Resp:

3. Obtenha a elasticidade da oferta para , sabendo que a equao da oferta dada por

. Interprete o resultado. Resp:

4. Resolva o exerccio anterior para . Resp:

5.Considereafunodedemandadadapor .Obtenhaa elasticidade da demanda parae interprete o resultado. Resp: 2 6. Considere a funo de demanda (em que ). Para que valores de x a demanda : a) elstica; Resp:

b) inelstica Resp:

7.Aelasticidadedademandaemrelaoaopreodeumproduto0,6.Quala diminuio porcentual na quantidade demandada quando o preo: a) sobe 1%;0,6%b) sobe 2%;1,2%c) sobe 5%. 3% 20 8. A elasticidade da demanda em relao ao preo de um bem 2,4 no ponto em queaquantidadeiguala2000unidades.Qualserumvaloraproximadoda demanda se o preo sofrer uma reduo de 1%? Resp: 2048 3. Funes de duas variveis 3.1. Introduo Emmuitassituaes,quernoplanoterico,quernaprtica,hnecessidadede considerardiversasvariveis.importantetentardescreverquantitativamentea formapelaqualelasserelacionam.Umadasformasdeexpressartal relacionamento descrevendo como uma delas se expressa em funo das outras; tal conceito chamado de funo de vrias variveis. Neste captulo estudaremos funes de duas variveis. Def:Seja Dum subconjuntodo

. Chama-se funode Demtoda relao queassociaacadaparordenado( )pertencenteaDumniconmeroreal indicadopor( ).Oconjunto Dchamadodomniodafunoe( ) chamado imagem de ( ) ou valor de f em ( ). Ex1:Seja

e( )

.Talfunoassocia,acadaparde nmeros reais, a soma de seus quadrados. ()

( )

()

Ex2: Sejam q: quantidade semanal demandada de manteiga num supermercado (em kg) x: o preo por kg de manteiga y: o preo por kg de margarina Suponhamos que . Temos assim uma funo de duas variveis em que( ) e o domnio da funo*( )

+poisno possvel termos preos e quantidades negativas. Assim, por exemplo, () isto,seopreoporkgdemanteigafor$10,00eodamargarinafor$8,00,a quantidade semanal demandada de manteiga ser de 88 kg. Exerccios 1. Considere a funo dada por ( )

. Calcule: a) () Resp: 3d)() () Resp: 4 b) () Resp: -1e) () () Resp:

c) ()()Resp:

f) ( ) () Resp:

() 2.Considereafuno( ) .Paraquevaloresdexeytem-se ( )? Resp:3.Umalojavendeapenasdoisprodutos,oprimeiroa$500,00aunidadeeo segundoa$600,00aunidade.Sejamxeyasquantidadesvendidasdosdois produtos.a) Qual a expresso da receita de vendas? Resp:21 b) Qual o valor da receita se forem vendidas 10 unidades do primeiro produto e 15 do segundo? Resp: 14.000 c)Representegraficamenteospontos( )paraosquaisareceita$ 300.000,00. 4. Em Economia, chama-se utilidade de um consumidor ao grau de satisfao que omesmoadquireaoconsumirumoumaisbensouservios.Suponhamosque um consumidor tenha a seguinte funo utilidade: (

)

em que:

a quantidade consumida do bem I e

, a quantidade consumida do bem II. Suponha que, no incio, ele consuma 4 unidades de I e 6 unidades de II. a) Se o consumidor diminuir o consumo do produto I para 3 unidades, qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nvel de satisfao? Resp: 8 b)SeoconsumidoraumentaroconsumodoprodutoIpara12unidades,qual deve ser o consumo de II para manter o mesmo nvel de satisfao? Resp: 2 5. Uma firma opera segundo a funo de produo de Cobb-Douglas:( )

, em que: P a quantidade produzida por dia (em unidades) K o nmero de mquinas empregadas L o nmero de homens-hora empregados. a) Qual a quantidade produzida por dia se forem empregadas 16 mquinas e 256 homens-hora? Resp: 64 b) Qual a produo se?Resp: 0 6.Seja( )

umafunodeproduo.Calculemsabendo-se que,quandosousadasasquantidadesx=32ey=256dosinsumos,so produzidas 100 unidades do produto. Resp:

7.Umaempresaproduzumprodutoemduasfbricas,IeII.As funescusto em cada fbrica so:

()em (I)

()em (II), em que x e y so as quantidades produzidas em cada fbrica. Obtenha a funo lucro ( ), sabendo-se que o preo de venda do produto $12,00. Resp: 3.2. Grficos de funes de duas variveis Vimos, no estudo de funes de uma varivel, que seu grfico era o conjunto *( )

() + Consequentemente, a representao grfica era feita no plano cartesiano: 22 Demodoanlogo,definimosgrficodeumafuno( )deduasvariveis como o conjunto *()

( )( )+ Portanto, o grfico de ( ) ser representado no espao tridimensional, de tal forma que a cada par ( ) do domnio corresponda uma cota ( ): De modo geral, a obteno do grfico de uma funo de duas variveis s um problema simples em algumas situaes particulares. Em virtude disso, costuma-se utilizar uma forma alternativa de representao chamada mtodo das curvas de nvel. (Fazendo ( ) , onde c uma constante, chamada de cota) Ex1: Seja a funo ( )

. As curvas de nvel,eso:

(circunferncia de centro () e raio 1)

(circunferncia de centro () e raio )

(circunferncia de centro () e raio 2) Ex2:Considereafunodeproduo

,emquerepresentao trabalho envolvido e , o capital. As curvas de nveleso:

23 Cadacurvadenvelforneceospares(K,L)paraosquaisaproduo constante,sendoaprimeiracomproduoiguala1easegundaiguala2.Em Economia,essascurvasdenvelsodenominadascurvasdeisoprodutoou isoquantas de produo. Exerccios 1. Considere a funo utilidade de um consumidor ( ) , em que x a quantidadeconsumidadeumprodutoA,eyaquantidadeconsumidadeum produtoB.Esboceascurvasdenvelparaeeexpliqueseu significado econmico. Tais curvas recebem o nome de curvas de indiferena. 2. Seja

uma funo de produo. Represente os pares ( ) para os quais . 3.Sejaa receita de vendas de dois produtos de quantidades x e y. Esboceogrficodospontos( )paraosquaisareceitavale$120,00(Em Economia, tal curva recebe o nome de iso-receita). 3.3. Limite e Continuidade Asnoesdelimiteecontinuidadeparafunesdeduasvariveisso anlogas s que foram vistas para funo de uma varivel. Intuitivamente falando, o limite de ( ) quando ( ) tende ao ponto (

)onmeroL (seexistir)doqualseaproxima( )quando( )se aproximade(

),porqualquercaminho,semnoentantoficariguala (

). Indicamos essa ideia da seguinte forma:

()(

)( ) CasoLsejaiguala(

),dizemosquefcontnuaem(

);caso contrrio, f dita descontnua em (

). Ex1:Seja( ) .Olimitede( )quando( )seaproximado ponto () o nmero 5 e escrevemos:

()()( ) Como (), f contnua em (). 24 Ex2: Seja a funo ( ){ ( )()( )() O limite de ( ) quando ( ) se aproxima de () 5, isto :

()()( ) Como (), descontnua em () Obs1: So contnuas em todos os pontos de seu domnio as funes: a) polinomiais nas variveis x e y: Ex: ( )

( )

b) racionais nas variveis x e y: Ex:( )

( )

Obs2:Se( )e( )socontnuasem(

),entoserotambm contnuas em (

) as funes: a) ( ) ( )d) ( ) ( ) b) ( ) ( )e) ()()((

)) c)( )()f) () () Exerccios 1.Dadaafuno( ) ,obtenha

()()( )everifiqueseelacontnuanoponto().Resp:18, contnua. 2.Dadaafuno( ){( )()( )()verifiqueseela contnua em (). Resp: No contnua. 3.Dadaafuno( ){

( )()( )(),verifiqueseela contnua em (). Resp: No contnua. 4. Dada a funo ( ){

( )()( )() verifique se ela contnua em (). Resp: No contnua. 3.4. Derivadas Parciais 3.4.1. Introduo Consideremosumafuno( )deduasvariveis.umproblema importantesabermosqualoritmodevariaode( )correspondentea pequenas variaes de x e y.Umaprimeiraabordagemquepodemosfazerdesseproblemaconsiste emmanterfixaumadasvariveisecalcularoritmodevariaode( )em relao outra varivel. A ideia que norteia esse estudo chama-se derivada parcial. 25 Definio:Considereumponto(

);semantivermosyconstantenovalor de

evariarmosxnovalorde

paraovalorde

,afuno( ) depender apenas da varivel x. Seja (

) (

) A razo

(

) (

)

chamamos de taxa mdia de variao de f em relao a x. Observemos que: a)

depende do ponto de partida (

); b)

depende da variao . Aolimite(seexistireforumnmeroreal)de

,quandotendeazero, denominadosderivadaparcialdefnoponto(

)emrelaoax.Indicamostal derivada parcial por um dos smbolos:

(

)

(

) Assim:

(

)

(

)

Osmbolo

(l-sedelf,delx)foiintroduzidoporLagrange(JosephLouis Lagrange, 1736 1813). Analogamente, se mantivermos x constante no valor de

e variarmos y no valor de

para o valor

, f depender apenas da varivel y. Seja (

) (

) A razo

(

) (

)

chamamos de taxa mdia de variao de f em relao a y. Aolimite(seexistireforumnmeroreal)de

,quandotendeazero, denominadosderivadaparcialdefnoponto(

)emrelaoay.Indicamostal derivada parcial por um dos smbolos:

(

)

(

) Assim:

(

)

(

)

26 Ex: Seja ( ) . Calcular

() e

(). Temos:

()

() ()

( )

Analogamente,

()

( ) ()

( )

3.4.2. Funo Derivada Parcial Se calcularmos

e

num ponto genrico ( ) , obteremos duas funes de x e y; a funo

( ) chamada funo parcial de f em relao a x (ou simplesmente derivada parcial de f em relao a x).A funo

( ) chamada funo parcial de f em relao a y (ou simplesmente derivada parcial de f em relao a y). As derivadas parciais tambm podem ser indicadas por

Paraoclculode

e

,podemosaplicarasregrasdederivaoestudadasem funes de uma varivel, desde que: a) no clculo de

consideremos y como constante; b) no clculo de

consideremos x como constante. Ex1: Se ( )

. Ento:

Sequisermoscalcular

()e

(),bastasubstituirmosx por3eypor 4 nas derivadas, isto :

()

() Ex2: Suponhamos que ( )

. As derivadas parciais so:

As derivadas parciais no ponto () , por exemplo, so obtidas substituindo x e y por 1: 27

()

()Ex3:Seja( ) (

).Paraoclculodasderivadasparciais, utilizaremos a regra da cadeia. Fazendo

, teremos ( ) e, portanto:

( )

Ex4:Suponhamosqueaquantidadedebatatademandadaporsemana(emkg) numsupermercadosejafunodoseupreounitriox(porkg)edopreo unitrioy(porkg)dearroz,deacordocomarelao( )

. Calculemos

() e

().

()

()Podemosinterpretaroresultadodaseguinteforma:

()representa aproximadamente

()parapequenosvaloresde.Assim,seadmitirmos , teremos , ou seja, a um aumento unitrio do preo do kg da batata (de 3 para 4) corresponde a uma diminuio de aproximadamente 12 kg na demanda da batata (mantido o preo do kg do arroz em 4).

()representaaproximadamente

()parapequenosvaloresde .Assim,seadmitirmos,teremos,ouseja,aumaumento unitrionopreodokgdoarroz(de4para5)correspondeaumaumentona demanda de batata em aproximadamente 15 kg (mantido o preo do kg da batata em 3). Exerccios 1. Usando as tcnicas de derivao, calcule

e

para as seguintes funes: a) ( ) k) ( )

b) ( )

l) ( )

c) ( )

m) ( )

d) ( )

n) ( )

e) ( )

o) ( )

f) ( )

p) ( )

g) ( )

q) ( ) ( ) h) ( )

r) ( )

i) ( )

s) ( )

(

)

j) ( )

t) ( ) 28 2. Considere a funo ( )

. a) Calcule

(). Resp: 900b)Calcule() ()ecomparecomoresultadoobtidoem(a). Resp: 945. c) Calcule

(). Resp: 300 d)Calcule() ()ecomparecomoresultadoobtidoem(c). Resp: 300 3. Considere a funo de produo ( )

. Mostre que

( ) 4. Considere a seguinte funo de produo ( )

, em que P a quantidade colhida de um produto (em toneladas), x o nmero de homens-hora empregados (em milhares) e y o nmero de hectares plantados. Calcule: a) a produtividade marginal do trabalho

. Resp: .

/

b) a produtividade marginal da terra

. Resp: .

/

c)

() e

(). Interprete o resultado. Resp: 2 e 1/2. 5.Seja( )

umafunodeproduo,KeL,asquantidades dosinsumoscapitaletrabalho.Calcule

()e

(),explicandoseu significado. Resp: 10 e 2,5. 6.Seja

aequaodedemandasemanaldemanteiga num supermercado (em kg), x o preo por kg da manteiga e y o preo por kg da margarina. a) Calcule as demandas marginais parciais

e

. Resp:

e

b) See , o que aumenta mais a demanda da manteiga: o aumento emumaunidadedepreodokgdamargarina(mantidoodamanteiga)oua diminuioemumaunidadedepreodokgdamanteiga(mantidooda margarina)? Use os resultados do item (a). Resp: a diminuio de uma unidade no preo da manteiga (mantido o da margarina). 7. Sejaa equao de um produto I, x seu preo unitrio e y o preo unitrio de um produto II. a)Calculeasdemandasmarginaisparciais

e

,explicandoseusignificado. Resp:

e

b)OqueaumentamaisademandadeI:diminuiremumaunidadeseupreo unitrio(mantendoopreodeII)ouaumentaremumaunidadeopreodeII (mantendoodoprodutoI)?Resp:diminuiremumaunidadeopreodeI (mantendo o preo de II). 29 Respostas do exerccio 1: a)

; b)

; c)

;d)

; e)

; f)

g)

;h)

;i)

; j)

;k)

; l)

;m)

; n)

(

)

;o)

()

()

; p)

q)

; r)

s)

(

)

(

)

;t)

3.5. Interpretao geomtrica das derivadas parciais Noclculode

(

),oquefizemosfoimanteryfixonovalorde

e calcular a derivada de f que, no caso, s dependia de x. Ora, isso nada mais do que achar a derivada da funo (de x) no ponto

, cujo grfico a interseco do grfico de f com o plano da equao

. Portanto,conformevimosemfunesdeumavarivel,

(

)representao coeficienteangularda retatangenteaogrficodessacurvanopontodeabscissa

. Analogamente,

(

)representaocoeficienteangulardaretatangente curvaqueaintersecodogrficodefcomoplanodeequao

,no ponto de abscissa

. Eixo horizontal no plano y=yo A curva (

) no plano

Reta tangente Eixo vertical no plano y=yo Eixo vertical no plano

Reta tangente A curvaz = f (x, y0) no plano x=xo Eixo horizontal no plano x=xo 30 3.6. Funo composta Regra da CadeiaConsideremos uma funo de produo ( )

em que x e ysoasquantidadesdedoisinsumos,capitaletrabalho,eP,aquantidade produzida de um produto. Suponhamosqueocapitalxcresacomotempot,deacordocoma relao , e o trabalho cresa de acordo com a relao . Sequisermosexpressaraproduoemfunodotempo,temosque substituirenarelao( )

.Procedendo dessa forma, teremos: () ()

()

funo de t, dada por (), chamamos de funo composta de P com x e y.A derivada da funo composta dada por () em relao a t :

()

Isto , a taxa de crescimento do produto em relao ao tempo 0,72. Deummodogeral,aderivadadafunocompostapodeserobtidapor substituioederivaodafunodeumavarivel,comovimosnoexemplo. Entretanto,existeumafrmulaalternativadeclculodaderivadadafuno composta, conhecida como regra da cadeia.

Ex1:Sejam( ),()e() .Afuno composta de f com x e y dada por: () ()( ) a) Clculo direto de

:

b) Clculo de

pela regra da cadeia

,

,

,

A curvaz = f (x, y0) no plano y=yo Esta reta tangente tem coeficiente angularf (x0, y0) A curvaz = f (x, y0) no plano

Esta reta tangente tem coeficiente angularf (x0, y0) 31

Ex2:Sejam( )

,()

e()

.Afuno composta de f com x e y dada por: ()

a) Clculo direto de

:

b) Clculo de

pela regra da cadeia

,

,

,

portanto,

(

)

(

)

Exerccios 1. Obtenha

diretamente e pela regra da cadeia, sendo F a funo composta de f, com x e y nos seguintes casos: a) ( )()()

b) ( )(

) ()()c) ( )

()

()

d) ( )

()

()

2. Seja

uma funo de produo, em que x indica o capital e y, o trabalho.Suponhaqueocapitalcresacomotempo tdeacordocomarelao ,eotrabalhocresacomotempodeacordocom

. Obtenha: a) A produo em funo do tempo. b) A taxa de crescimento da produo em relao ao tempo. Respostas: 1. a) ; b)

; c) (

)

; d)

2. a)

, b)