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MÉTODOS QUANTITATIVOS COM EXCEL 52 EXERCÍCIOSEste livro, o terceiro da coleção Cadernos de Excel, tem como intuito promover as folhas de cálculo como instrumento fundamental de apoio à aprendizagem das disciplinas de Investiga-ção Operacional e Métodos Quantitativos que compõem os cursos de algumas licenciaturas e mestrado.

É composto por duas partes – “Otimização” e “Simulação” –, ao longo das quais o leitor en-contrará 52 exercícios resolvidos, que ajudam a pôr em prática e a sistematizar os conteúdos abordados.

Destinado a estudantes e docentes do ensino superior e de outros níveis de ensino, este livro, a par dos restantes títulos da coleção, é um instrumento precioso também para os profissionais das áreas de Economia, Gestão, Engenharia e outras, sobretudo para quem estuda ou desenha sistemas de suporte à tomada de decisão.

Cobre o Excel 2016 e 365 e é útil para as versões anteriores.

CONTEÚDOS

Otimização: Programação linear • Resolução gráfica de programas lineares • Algoritmo Simplex • Solver e seus relatórios • Problemas de transportes • Problemas de afetação

Simulação: Aleatoriedade • Processos de amostragem • Amostragem dita de Monte Carlo • Gera-ção de procura • Simulação discreta • Análise de resultados de simulações • Problemas do vende-dor de jornais, de gestão de projetos e de filas de espera

Cadernos de Excel

Cadernos de Excel

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Figuras a cores e outros materiais disponíveis em www.fca.pt, até o livro se esgotar ou ser publicada nova edição atualizada ou com alterações. w

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.ptISBN 978-972-722-878-2

978-972-722-878-2.indd 1 17-04-2017 22:39:25

EDIÇÃO FCA – Editora de Informática, Lda. Av. Praia da Vitória, 14 A – 1000-247 Lisboa Tel: +351 213 511 448 [email protected] www.fca.pt DISTRIBUIÇÃO Lidel – Edições Técnicas, Lda. Rua D. Estefânia, 183, R/C Dto. – 1049-057 Lisboa Tel: +351 213 511 448 [email protected] www.lidel.pt LIVRARIA Av. Praia da Vitória, 14 A – 1000-247 Lisboa Tel: +351 213 511 448 * Fax: +351 213 522 684 [email protected] Copyright © 2016, FCA – Editora de Informática, Lda. ISBN edição impressa: 978-972-722-878-2 1ª edição eBook: setembro 2016 1ª edição impressa: maio 2017

Impressão e acabamento: Tipografia Lousanense, Lda. – Lousã Depósito Legal n.º 425257/17 Paginação de miolo e capa: FCA – Editora de Informática, Lda. Imagem de capa: José Manuel Ferrão – Look-Ahead

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ÍNDICE

A Autora .......................................................................................................................... IX

Prólogo ............................................................................................................................. XI

1. Otimização ...................................................................................................................... 1

? Exercício 1.1: Solver para média aritmética ................................................................. 1

? Exercício 1.2: Sistema de equações para lotes de peúgas ............................................. 2

? Exercício 1.3: Solver para lotes de peúgas ................................................................... 4

? Exercício 1.4: Resolução gráfica para lotes de peúgas ................................................. 6

? Exercício 1.5: Representação da função objetivo ......................................................... 8

? Exercício 1.6: Função objetivo com animação ........................................................... 10

? Exercício 1.7: Simplex para lotes de peúgas ............................................................... 12

? Exercício 1.8: Quadros inicial e ótimo do Simplex ..................................................... 14

? Exercício 1.9: Batatas ou milho .................................................................................. 16

? Exercício 1.10: Produção de confeções ...................................................................... 18

? Exercício 1.11: Detetores de incêndio ........................................................................ 21

? Exercício 1.12: Produção de quatro artigos ................................................................ 24

? Exercício 1.13: Produção de novos modelos .............................................................. 26

? Exercício 1.14: Contratação de pessoal ...................................................................... 28

? Exercício 1.15: Produção de ração ............................................................................. 31

? Exercício 1.16: Seleção de investimentos ................................................................... 33

? Exercício 1.17: Duração de projeto ............................................................................ 35

? Exercício 1.18: Distribuição de produtos ................................................................... 38

? Exercício 1.19: Transporte de produtos ...................................................................... 40

? Exercício 1.20: Plano de carregamento ...................................................................... 42

? Exercício 1.21: Atribuição de tarefas ......................................................................... 46

? Exercício 1.22: Preços sombra.................................................................................... 48

Métodos Quantitativos com Excel – 52 Exercícios

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? Exercício 1.23: Relatórios do Solver .......................................................................... 50

? Exercício 1.24: Simplex para problema de mínimo .................................................... 54

? Exercício 1.25: Método das duas fases ....................................................................... 56

2. Simulação ..................................................................................................................... 61

? Exercício 2.1: Lançamento de um dado ...................................................................... 61

? Exercício 2.2: Gráfico das pontuações médias do dado ............................................. 62

? Exercício 2.3: Extração de bolas de um saco .............................................................. 63

? Exercício 2.4: Jogo de dados ...................................................................................... 65

? Exercício 2.5: Amostragem dita de “Monte Carlo” .................................................... 68

? Exercício 2.6: Procura para 10 dias ............................................................................ 70

? Exercício 2.7: Processo de amostragem ..................................................................... 72

? Exercício 2.8: Procura por cliente e caixa .................................................................. 74

? Exercício 2.9: Juro médio anual ................................................................................. 77

? Exercício 2.10: Venda de jornais ................................................................................ 78

? Exercício 2.11: Medidas dos resultados das simulações ............................................ 80

? Exercício 2.12: Venda de calendários ......................................................................... 81

? Exercício 2.13: Modelo para venda de cadeiras ......................................................... 83

? Exercício 2.14: Venda de cadeiras .............................................................................. 84

? Exercício 2.15: Amostragem de distribuição exponencial ......................................... 87

? Exercício 2.16: À boleia ............................................................................................. 89

? Exercício 2.17: À boleia – lugar na fila ...................................................................... 91

? Exercício 2.18: Ainda à boleia – mais simulações ..................................................... 92

? Exercício 2.19: Amostragem para procura durante o prazo de entrega ...................... 93

? Exercício 2.20: Procura durante o prazo de entrega ................................................... 95

? Exercício 2.21: Probabilidade da procura semanal ..................................................... 98

? Exercício 2.22: Duração de projeto ............................................................................ 99

? Exercício 2.23: Chegada, espera e atendimento ....................................................... 103

? Exercício 2.24: Gráfico de chegada, espera e atendimento ...................................... 105

? Exercício 2.25: Atendimento ao público (I) ............................................................. 106

Índice

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? Exercício 2.26: Atendimento ao público (II) ............................................................ 110

? Exercício 2.27: Percentagem de ocupação do servidor ............................................ 114

Anexo. Edição e Execução da Função Durac .............................................................. 117

Bibliografia ..................................................................................................................... 119

Índice Remissivo ............................................................................................................ 121

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A AUTORA

Adelaide Carvalho Doctor of Philosophy in Management Science (Lancaster University, Reino Unido), Doutora em Economia e Gestão (Universidade do Porto, Portugal), Master of Science in Management Science (University of Kent at Canterbury, Reino Unido), Master of Science in Computing Science (University of London, Reino Unido), Eq. Mestre em Ciência dos Computadores (Universidade do Porto, Portugal), Licenciada em Economia (Universidade do Porto, Portugal). Docente, desde 1983, em diversos estabelecimentos de ensino superior.

Organizou e ministrou, de 1991 até ao presente, vários cursos de aplicação da Informática à Economia e à Gestão em Portugal, Grécia, Finlândia, Moçambique, Macau e Timor- -Leste.

Autora de vários livros de Informática aplicada à Economia e à Gestão editados pela FCA.

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PRÓLOGO

Este livro visa promover a utilização das folhas de cálculo no ensino e aprendizagem de métodos quantitativos que compõem os conteúdos programáticos de diversas disciplinas de cursos de licenciatura e de mestrado em Economia, Gestão e Engenharia.

Os exercícios que selecionámos apresentam o Excel 2016 como ferramenta imprescindí-vel à resolução de problemas de métodos quantitativos, já que efetuam cálculos morosos e complexos e libertam tempo que poderá ser dedicado à modelação ou à experimentação de novas soluções através da construção de cenários alternativos. As resoluções dos exer-cícios foram aprimoradas, de modo a privilegiarem a facilidade de compreensão da solu-ção face à complexidade dos cálculos, incluindo na maioria dos exercícios, a explicitação da formulação dos problemas.

Métodos Quantitativos com Excel – 52 Exercícios é constituído por dois capítulos: “1. Otimi-zação” e “2. Simulação”. O primeiro capítulo resolve 25 exercícios e o segundo 27 exer-cícios de Economia, Gestão e disciplinas auxiliares (vide Figura 1).

1. Otimização (25 exercícios)

2. Simulação(27 exercícios)

Métodos Quantitativos com Excel52 Exercícios

Figura 1. Estrutura de Métodos Quantitativos com Excel – 52 Exercícios

Os 25 exercícios do primeiro capítulo ilustram a modelação de problemas de programa-ção linear e a sua resolução recorre a funcionalidades e suplementos do Excel, nomeada-mente o gerador de gráficos, a análise de hipóteses e o Solver (vide Figura 2).

Figura 2. Tipos dos exercícios resolvidos, métodos de resolução e suplemento Solver do Excel


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Os 27 exercícios do segundo capítulo ilustram a simulação discreta, modelando imitações simplificadas de operações de gestão, executando-as muitas vezes e analisando os resul-tados dessas execuções para intuir a ação da gestão em ambiente de incerteza (vide Figura 3). A Estatística é, por conseguinte, matéria subjacente à resolução dos exercícios.

Figura 3. Problemas de Simulação e funcionalidades essenciais à sua resolução

A vocação académica orientada para a gestão desta publicação reforça o seu uso no uni-verso profissional, tratando questões que fazem parte do quotidiano da Economia e Ges-tão.

Crê-se, e a experiência da autora como professora confirma-o, que este livro poderá cons-tituir um instrumento precioso para a motivação dos formandos e aceleração do processo de aprendizagem.

Adelaide Carvalho

Nota: Figuras a cores e outros materiais disponíveis para download gratuito na página do livro em www.fca.pt.

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1. OTIMIZAÇÃO

Este capítulo versa a programação linear, apresentando o suplemento Solver e implemen-tando vários modelos matemáticos de resolução de programas lineares.

Os 25 exercícios que apresentamos modelam e resolvem problemas de maximização e minimização de funções objetivo sujeitas a conjuntos de restrições lineares. Estes exercí-cios cobrem áreas diversas, nomeadamente: definição de quantidades a produzir, seleção de investimentos, transportes, planeamento cronológico de projetos e afetação de recur-sos. A resolução destes exercícios recorre essencialmente ao Solver, mas também imple-menta soluções gráficas, sistemas de inequações e algoritmos − Simplex e suas variantes para problemas de minimização −, e gera e interpreta relatórios de análise de sensibilida-de.

Antes de iniciar a resolução dos exercícios deste capítulo:

I – Defina, recorrendo ao sistema operativo Windows, a vírgula como separador decimal e o ponto e vírgula como separador de argumentos das funções.

II – Ative os suplementos Analysis ToolPak e Solver.

? Exercício 1.1: Solver para média aritmética Determine, usando o Solver, a classificação média dos seguintes alunos:

Ana Rui Teresa Eva Miguel João 12 13 15 14 10 11

Formulação do problema

1. Minimização da soma dos desvios das classificações relativamente à classifica-ção média Min DQ = ∑ ( − é )

Classificação do aluno i: Ci Média aritmética: Média Somatório dos quadrados dos desvios: DQ


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Resolução do problema

1. Digite os nomes e as classificações dos 6 alunos em A3:F4

2. Escolha B7 para representar a média aritmética

3. Calcule o somatório dos desvios das classificações relativamente à média 3.1. digitando =A4-$B$7 em A5 3.2. copiando A5 para B5:F5 3.3. digitando =SOMA(A5:F5) em G5

4. Minimize o somatório dos desvios relativamente à média 4.1. escolhendo Dados – Análise – Solver 4.2. selecionando

4.2.1. G5 em Definir Objetivo 4.2.2. 0 em Valor de 4.2.3. B7 em Alterando as Células de Variável 4.2.4. GRG Não Linear em Selec. Método Resolução

Resultado esperado

A B C D E F G H 3 Alunos Ana Rui Teresa Eva Miguel João

4 Classificação 12 13 15 14 10 11 Somatório dos desvios

5 Desvios -0,5 0,5 2,5 1,5 -2,5 -1,5 0 6

7 Classificação média 12,5

? Exercício 1.2: Sistema de equações para lotes de peúgas Um vendedor dispõe de 84 pares de peúgas de lã e 24 pares de peúgas de algodão, que pretende vender em lotes A e B:

a) Lote A, composto por 4 pares de peúgas de lã e 2 pares de peúgas de algodão; b) Lote B, composto por 8 pares de peúgas de lã e 2 pares de peúgas de algodão.

Os preços de venda dos lotes A e B são, respetivamente, 6 e 8 unidades monetárias. O vendedor quer saber o número de lotes A e B que deve vender para maximizar as receitas.

Otimização

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1. Variáveis de decisão, função objetivo e restrições do programa linear

Número de lotes A que o vendedor deve fazer: A Número de lotes B que o vendedor deve fazer: B Max Z = 6A + 8B

Suj. a

4A+8B≤84 (Peúgas de lã) 2A+2B≤24 (Peúgas de algodão) A, B≥0 (Não negatividade)

2. Representação matricial do sistema de inequações das restrições lineares: 4 82 2 x AB ≤ 8424 AB ≤ 4 82 2 x 8424


1. Digite em A3:F11

A B C D E F 3 N.º de lotes A N.º de lotes B 4 6 8

5 Restrições Termos independentes

6 Coeficientes das variáveis

4 8 84 7 2 2 24 8 9 Solução A=

10 B= 11 Receitas

2. Escolha 2.1. F9 para representar o número de lotes A 2.2. F10 para representar o número de lotes B

3. Resolva o sistema de equações 3.1. selecionando F9:F10 3.2. digitando =MATRIZ.MULT(MATRIZ.INVERSA(C6:D7);F6:F7) 3.3. premindo

SHIFT + CTRL + ENTER


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4. Calcule a função objetivo da solução 4.1. digitando =C4*F9+D4*F10 em F11

Resultado esperado

A B C D E F 3 N.º de lotes A N.º de lotes B 4 6 8

5 Restrições Termos independentes

6 Coeficientes das variáveis

4 8 84 7 2 2 24 8 9 Solução A= 9

10 B= 3 11 Receitas 90

? Exercício 1.3: Solver para lotes de peúgas Determine a solução do programa linear do Exercício 1.2, recorrendo ao Solver do Excel.


1. Escolha 1.1. C9 para representar o número de lotes A 1.2. D9 para representar o número de lotes B

2. Digite os coeficientes das variáveis da função objetivo, os coeficientes das variáveis das inequações lineares e os coeficientes dos termos independentes das inequações lineares em A3:F9

A B C D E F 3 N.º de lotes A N.º de lotes B 4 6 8 5 Restrições Afetado Disponível 6

Coeficientes 4 8 84

7 2 2 24 8 Receitas 9 Solução 0 0 0

3. Digite a função objetivo em F9 3.1. =SOMARPRODUTO(C4:D4;C9:D9)

Otimização

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4. Calcule os pares de peúgas afetados à formação dos lotes A e B 4.1. digitando =SOMARPRODUTO(C6:D6;$C$9:$D$9) em E6 4.2. copiando E6 para E7

5. Resolva o programa linear 5.1. escolhendo Dados – Análise – Solver 5.2. premindo Resolver

Resultado esperado

A B C D E F

3 N.º de lotes A N.º de lotes B

4 6 8 5 Restrições Afetado Disponível 6

Coeficientes 4 8 84

7 2 2 24 8 Receitas 9 Solução 3 9 90


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? Exercício 1.4: Resolução gráfica para lotes de peúgas Determine graficamente a solução do programa linear do Exercício 1.2.


1. O conjunto-solução do sistema de inequações lineares: 4A + 8B ≤ 842A + 2B ≤ 24A, B ≥ 0 ⇔ B ≤B ≤A, B ≥ 0

2. As retas 4A+8B=84, 2A+2B=24 e os eixos ortogonais do 1.º quadrante delimi-tam a área poligonal de valores admissíveis


1. Digite em A3:F7

A B C D E F 3 N.º de lotes A N.º de lotes B 4 6 8 5 Restrições Disponível 6

Coeficientes 4 8 84

7 2 2 24

2. Calcule alguns pontos das retas B=(84-4*A)/8, B=(24-2*A)/2 2.1. atribuindo valores à variável independente A

2.1.1. preencha A11:A22 com a série 0, 2, 4, ..., 20 e 21 2.2. calculando os respetivos valores da variável dependente das 1.ª e 2.ª retas

2.2.1. digite 2.2.1.1. A em A10 2.2.1.2. ="B=("&F6&-C6&"*A)/"&D6 em B10 2.2.1.3. ="B=("&F7&-C7&"*A)/"&D7 em C10 2.2.1.4. =($F$6-$C$6*A11)/$D$6 em B11 2.2.1.5. =($F$7-$C$7*A11)/$D$7 em C11

2.2.2. copie 2.2.2.1. B11 para B12:B22 2.2.2.2. C11 para C12:C17

3. Construa o gráfico das 2 retas 3.1. selecionando

3.1.1. A10:C22

Otimização

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3.1.2. Inserir – Gráficos – Inserir Gráfico de Dispersão (X,Y) ou de Bolhas – Dispersão com Linhas Retas

3.2. definindo as escalas dos eixos ortogonais 3.2.1. selecione

3.2.1.1. o eixo das abcissas 3.2.1.2. Ferramentas de Gráfico – Formatar – Seleção Atual –

Formatar Seleção – Opções de Eixo 3.2.2. digite

3.2.2.1. 0 em Mínimo 3.2.2.2. 22 em Máximo 3.2.2.3. 1 em Unidades − Principal

3.2.3. selecione 3.2.3.1. o eixo das ordenadas 3.2.3.2. Ferramentas de Gráfico – Formatar – Seleção Atual –

Formatar Seleção – Opções de Eixo 3.2.4. digite

3.2.4.1. 0 em Mínimo 3.2.4.2. 13 em Máximo 3.2.4.3. 1 em Unidades − Principal

3.3. definindo os títulos e a legenda apropriados

4. Altere outros formatos do gráfico 4.1. selecionando

4.1.1. os respetivos elementos (títulos, legendas, barras, eixos, fundo do gráfico, etc.)

4.1.2. Ferramentas de Gráfico – Formatar 4.1.3. Seleção Atual – Formatar Seleção

Resultado esperado


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O conjunto de soluções é um conjunto poligonal convexo limitado. Toda a função linear Z definida sobre um polígono convexo atinge um máximo (ou mínimo) num dos seus pontos extremos:

A B Z

0 0 0

0 10,5 84

3 9 90 solução ótima

12 0 72

? Exercício 1.5: Representação da função objetivo Acrescente à resolução gráfica do Exercício 1.4 a representação da função objetivo para valores de Z = 60, 80, 90, 120.


1. Representação das retas que correspondem a diversos valores arbitrários de Z:

6A + 8B = 60 6A + 8B = 80 6A + 8B = 90 6A + 8B = 120 Estas retas são paralelas e têm declive m = =


1. Copie A3:F9 e A10:C22 da folha 1.4 para nova folha 1.5

2. Copie o gráfico de 1.4 para a nova folha e altere a origem dos dados 2.1. selecionando

2.1.1. o gráfico 2.1.2. Ferramentas de gráfico – Estrutura − Dados − Selecionar Dados 2.1.3. digitando ='1.5'!$A$10:$C$22 em Intervalo de dados do gráfico

3. Defina valores arbitrários da função objetivo 3.1. digite 60, 80, 90 e 120 em H6:K6

4. Defina as 4 equações correspondentes aos valores da função objetivo 4.1. digitando ="Z="&H6 em D10 4.2. copiando D10 para E10:G10

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2. SIMULAÇÃO Este capítulo versa a simulação discreta, apresentando imitações simplificadas de opera-ções de gestão para que através da experimentação se possa intuir sobre a sua ação tem-poral em ambiente de incerteza.

Os 27 exercícios deste capítulo são introdutórios à simulação, insistindo na: conceção de processos de amostragem; definição de modelos de gestão; execução de muitas replica-ções; e recolha e análise dos resultados das replicações. A Estatística é, por conseguinte, matéria subjacente à resolução dos exercícios. Por outro lado, estes exercícios usam várias funcionalidades do Excel, nomeadamente funções estatísticas, gerador de gráficos e análise de hipóteses.

Antes de iniciar a resolução dos exercícios deste capítulo:

I – Defina, recorrendo ao sistema operativo Windows, a vírgula como separador decimal e o ponto e vírgula como separador de argumentos das funções.

II – Ative o suplemento Analysis ToolPak.

III – Desative o cálculo automático, selecionando Ficheiro − Opções − Fórmulas – Opções de cálculo e ativando Manual. Em cada exercício, prima F9 para produzir um novo conjunto de resultados.

Quando terminar, não se esqueça de reativar o cálculo automático.

? Exercício 2.1: Lançamento de um dado Se lançarmos um dado com 6 faces, muitas vezes, e somarmos os pontos que vamos obtendo, esperamos que a pontuação média seja de 3,5 pontos. Simule 100 lançamentos e calcule a pontuação média obtida.

Formulação do problema 1. Lançamento do dado, gerando um número aleatório entre 1 e 6

2. Registo da pontuação obtida

3. Cálculo da pontuação média acumulada em cada lançamento


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Resolução do problema 1. Numere os lançamentos de 1 a 100

1.1. digitando 1, 2, …, 100 em A4:A103

2. Gere a pontuação obtida em 100 lançamentos 2.1. digitando =ALEATÓRIOENTRE(1;6) em B4 2.2. copiando B4 para B5:B103

3. Calcule a pontuação média acumulada 3.1. digitando =MÉDIA($B$4:B4) em C4 3.2. copiando C4 para C5:C103

Resultado esperado Por exemplo:

A B C

3 Lançamento Pontuação Pontuação média acumulada

4 1 4 4 5 2 3 3,5 6 3 2 3 7 4 1 2,5 8 5 1 2,2

… … … 103 100 5 3,53

? Exercício 2.2: Gráfico das pontuações médias do dado Represente graficamente a pontuação média acumulada dos lançamentos que simulou no Exercício 2.1.

Resolução do problema 1. Trace um gráfico de linhas que represente as pontuações médias acumuladas ao

longo dos 100 lançamentos. 1.1. selecionando

1.1.1. C3:C103 1.1.2. Inserir – Gráficos – Gráfico de Linhas – Linhas Suaves 1.1.3. Ferramentas de Gráfico – Estrutura – Dados – Selecionar Dados 1.1.4. Premir Editar em Rótulos do Eixo (Categoria) Horizontal 1.1.5. A4:A103 em Intervalo do rótulo do eixo

1.2. alterando os títulos do gráfico e dos eixos

Simulação

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Resultado esperado Por exemplo:

À medida que efetuamos mais lançamentos, aproximamo-nos da pontuação média espe-rada, que é de 3,5. Até 65-70 lançamentos, estamos perante um regime transitório com grandes oscilações da pontuação média acumulada. A partir daí, entramos num regime estável com a pontuação média acumulada a aproximar-se de 3,5.

? Exercício 2.3: Extração de bolas de um saco Num saco existem 8 bolas vermelhas, 5 bolas azuis, 4 bolas verdes e 3 bolas amarelas. Estime a probabilidade de extrairmos aleatoriamente uma bola vermelha, simulando 10000 extrações.

Resolução do problema 1. Digite as cores das bolas e as respetivas frequências absolutas em A4:B8

2. Calcule as frequências absolutas acumuladas 2.1. digitando

2.1.1. =SOMA(B5:B8) em B9 2.1.2. =SOMA($B$5:B5) em C5

2.2. copiando C5 para C6:C8

3. Numere as bolas vermelhas de 0 a 7, as azuis de 8 a 12, as verdes de 13 a 16 e as amarelas de 17 a 19

3.1. digitando


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3.1.1. 0 em D5 3.1.2. =C5/$B$9*20-1em E5 3.1.3. =E5+1 em D6

3.2. copiando 3.2.1. D6 para D7:D8 3.2.2. E5 para E6:E8

4. Forme uma tabela que faça corresponder o limite inferior das faixas de números a cada cor

4.1. digitando 4.1.1. =D5 em F5 4.1.2. =A5 em G5

4.2. copiando F5:G5 para F6:G8

5. Simule 10000 extrações 5.1. digitando

5.1.1. 1, 2, 3, …,10000 em A11:A10010 5.1.2. =ALEATÓRIOENTRE(0;19) em B11 5.1.3. =PROCV(B11;$F$5:$G$8;2) em C11

5.2. copiando B11:C11 para B12:C10010

6. Estime a probabilidade de sair bola vermelha 6.1. digitando

6.1.1. =A5 em E12 6.1.2. =CONTAR.SE($C$11:$C$10010;E12)/CONTAR.VAL(C11:$

C$10010) em F12 6.1.3. =B5/$B$9 em G12

Resultado esperado A B C D E F G

3 Faixa de números Tabela

4 Cor Frequência absoluta

Frequência absoluta acumulada

Limite inferior Superior Limite

inferior Cor

5 Vermelha 8 8 0 7 0 Vermelha 6 Azul 5 13 8 12 8 Azul 7 Verde 4 17 13 16 13 Verde 8 Amarela 3 20 17 19 17 Amarela

Simulação

© FCA 65

Por exemplo:

A B C 11 1 3 Vermelha 12 2 8 Azul 13 3 5 Verde …

10010 10000 6 Vermelha

E F G 11 Cor Probabilidade estimada Probabilidade calculada 12 Vermelha 0,398 0,4

? Exercício 2.4: Jogo de dados Lançamos dois dados. Se no primeiro lançamento, o total dos pontos dos dois dados for 2 ou 12, perdemos; se for 7 ou 11 ganhamos; se o total for outro número, continuamos a jogar. Nos lançamentos seguintes, se obtivermos o total do lançamento anterior, ganha-mos, mas se obtivermos o total de 7 perdemos; e continuamos a jogar nos restantes casos.

Conhecendo a função de probabilidade acumulada para o total dos pontos de dois dados, faça 300 simulações de jogos com 6 lançamentos cada para calcular a probabilidade de ganharmos, perdermos ou de continuarmos o jogo em 6 ou menos lançamentos.

Função de probabilidade para o total dos pontos dos dois dados (x):

x P(X=x) P(X<=x) 2 1/36 1/36 3 2/36 3/36 4 3/36 6/36 5 4/36 10/36 6 5/36 15/36 7 6/36 21/36 8 5/36 26/36 9 4/36 30/36

10 3/36 33/36 11 2/36 35/36 12 1/36 36/36


66 © FCA

Formulação do problema Codificação dos resultados possíveis

Resultado Código Ganhar G Perder P Continuar a jogar C

Simulação de um jogo:

1. Primeiro lançamento 1.1. Gerar o primeiro número aleatório 1.2. Procurar os pontos correspondentes ao número aleatório na tabela de

probabilidades acumuladas 1.3. Verificar se ganhou, se perdeu ou se o jogo deve continuar

2. Cinco lançamentos seguintes 2.1. Se o jogo ainda não tiver terminado, gerar outro número aleatório 2.2. Procurar os pontos correspondentes ao número aleatório na tabela de

probabilidades acumuladas 2.3. Verificar se ganhou, se perdeu ou se o jogo deve continuar

3. Simulação dos 300 jogos

4. Cálculo da probabilidade de ganhar, perder ou ainda continuar o jogo ao fim de 6 lançamentos

Resolução do problema 1. Construa uma tabela de probabilidades acumuladas e os respetivos somatórios

dos pontos em D3:E15

D E

3 P(X<=x) Somatório dos pontos

4 0 2 5 1/36 3 6 3/36 4 7 6/36 5 8 10/36 6 9 15/36 7

10 21/36 8 11 26/36 9 12 30/36 10 13 33/36 11

(continua)

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