métodos quantitativos aula 1 e 2_conceitos iniciais

MTODOS QUANTITATIVOSAutores: Prof. Ms. Osmar Pastore e

Prof. Ms. Francisco Merlo

SUMRIO

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS ............................................................................................. 9Objetivo .................................................................................................................. 9Representaes numricas .................................................................................. 10Conjuntos Numricos ........................................................................................... 11

1. Conjunto dos Nmeros Naturais ................................................................. 112. Conjunto dos Nmeros Inteiros .................................................................. 113. Conjunto dos Nmeros Racionais .............................................................. 124. Conjunto dos Nmeros Irracionais ............................................................. 125. Conjunto dos Nmeros Reais ...................................................................... 12

Notao Posicional ............................................................................................... 13Fraes ................................................................................................................. 14Fraes Equivalentes............................................................................................ 15MMC - Mnimo Mltiplo Comum .......................................................................... 15Operaes com Fraes ....................................................................................... 16

Adio e Subtrao de Fraes ....................................................................... 16Multiplicao de Fraes ................................................................................. 18Diviso de Fraes .......................................................................................... 18Comparao de Fraes .................................................................................. 18

Porcentagem ........................................................................................................ 19Regra de Trs ....................................................................................................... 19Regra de Trs Composta ...................................................................................... 21Porcentagem, de novo! ....................................................................................... 22Equaes e Inequaes ........................................................................................ 23Inequaes ........................................................................................................... 25Dzimas Peridicas ............................................................................................... 26Exerccios de Fixao ........................................................................................... 28

Respostas dos Exerccios de Fixao ............................................................... 29Bibliografia ........................................................................................................... 30

AULA 2 - FUNES MATEMTICAS E EQUAES ................................................................ 31Objetivo ................................................................................................................ 31Conceito e Caractersticas das Funes ............................................................... 31Equaes Matemticas ......................................................................................... 36Inequaes ........................................................................................................... 39Funes de Primeiro Grau: Forma Geral .............................................................. 40Funes de Segundo Grau: Forma Geral; Mnimos e Mximos ........................... 44

Razes (ou Zeros) da Funo do 2 Grau ............................................................. 45Esboando o Grfico da Funo do 2 Grau ........................................................ 47Esboando o Grfico da Funo do 2 Grau ......................................................... 48Regra de Soma e do Produto .............................................................................. 48Inequaes do 2 Grau ........................................................................................ 49Exerccios de Fixao ........................................................................................... 51

Respostas dos Exerccios de Fixao ............................................................... 52Bibliografia ........................................................................................................... 52

AULA 3 - FUNES EXPONENCIAIS E LOGARTMICAS. PROGRESSES MATEMTICAS ......... 53Objetivos desta Unidade ...................................................................................... 53Funes Exponenciais .......................................................................................... 53Comportamento das Funes Exponenciais ......................................................... 54Propriedades das Funes Exponenciais .............................................................. 55Equaes Exponenciais ........................................................................................ 56Funes Logartmicas ........................................................................................... 57Grfico de uma Funo Logartmica .................................................................... 57Propriedade da Funo Logartmica .................................................................... 58Mudana de Base ................................................................................................. 59Progresses Aritmticas ....................................................................................... 61Termo Geral de uma PA ....................................................................................... 62Soma dos n Primeiros Termos de uma PA ...................................................... 63Progresses Geomtricas ..................................................................................... 63

Propriedade dos Termos de uma PG .............................................................. 65Termo Geral de uma PG .................................................................................. 65Soma dos n primeiros termos de uma PG.................................................. 65Aplicaes de Progresses .............................................................................. 66

Exerccios de Fixao ........................................................................................... 69Respostas dos Exerccios ................................................................................. 70

Bibliografia ........................................................................................................... 70

AULA 4 - INTRODUO ANLISE COMBINATRIA .......................................................... 71Introduo ............................................................................................................ 71Fatorial ................................................................................................................. 71Princpio fundamental da contagem - PFC .......................................................... 72Permutaes Simples ........................................................................................... 73Anagramas ........................................................................................................... 73

Permutaes com elementos repetidos ......................................................... 74Arranjos Simples ............................................................................................. 74

Arranjos com repetio ........................................................................................ 75Combinaes Simples .......................................................................................... 75Propriedade das Combinaes Simples ............................................................... 77Combinaes com repetio ................................................................................ 77Arranjo ou Combinao ........................................................................................ 78Exerccios Resolvidos ........................................................................................... 79Exerccios de Fixao ........................................................................................... 81Respostas dos Exerccios ...................................................................................... 82Bibliografia ........................................................................................................... 82

AULA 5 - INTRODUO A ESTATSTICA .............................................................................. 83Conceitos Iniciais .................................................................................................. 83

A ESTATSTICA .................................................................................................. 83POPULAO E AMOSTRA .................................................................................. 84VARIVEIS ........................................................................................................ 84Resumindo: ..................................................................................................... 85

SRIES E GRFICOS ESTATSTICOS .......................................................................... 85DISTRIBUIES DE FREQUNCIAS .......................................................................... 87

DISTRIBUIES DE FREQUNCIAS ...................................................................... 88Clculo das frequncias .................................................................................. 88

Representao Grfica da Distribuio de Frequncias ....................................... 89Exemplo de Aplicao ..................................................................................... 89

Bibliografia ........................................................................................................... 94

AULA 6 - MEDIDAS DE POSIO E DE DISPERSO ............................................................. 95Mdia, Mediana e Moda ...................................................................................... 95

Mdia: ............................................................................................................. 95Mediana .......................................................................................................... 98

Moda .................................................................................................................. 103Amplitude Total, Varincia e Desvio Padro ..................................................... 104

Amplitude Total (AT) ..................................................................................... 104Varincia e Desvio Padro ............................................................................ 106

Coeficiente de Variao (CV) ............................................................................. 108Exerccios de Fixao ......................................................................................... 109

Respostas ...................................................................................................... 110Bibliografia ......................................................................................................... 113

AULA 7 - PROBABILIDADES E DISTRIBUIO DE PROBABILIDADES ................................. 115Probabilidade ..................................................................................................... 115

Introduo ..................................................................................................... 115Definies...................................................................................................... 116Espao Amostral (S): ..................................................................................... 116

Definio de Probabilidade: ............................................................................... 117Axiomas de Probabilidade ............................................................................ 118Teoremas de Probabilidade .......................................................................... 118Probabilidade de eventos independentes .................................................... 119Probabilidade condicional ............................................................................. 119

Distribuio discreta de Probabilidades ............................................................. 121Introduo ..................................................................................................... 121Variveis Aleatrias....................................................................................... 121Distribuio de probabilidades ..................................................................... 121Distribuio Binomial .................................................................................... 122Esperana e Varincia ................................................................................... 124

Distribuio Contnua de Probabilidades ........................................................... 125Introduo ..................................................................................................... 125Distribuio Normal....................................................................................... 125Definio e conceito de probabilidade ......................................................... 125Caractersticas da Distribuio Normal.......................................................... 125Clculo das probabilidades ........................................................................... 126Uso da tabela ................................................................................................ 126

Exerccios de Fixao ......................................................................................... 131Respostas ...................................................................................................... 133

Bibliografia ......................................................................................................... 137

AULA 8 - ANLISE DE CORRELAO E REGRESSO .......................................................... 139Introduo .......................................................................................................... 139Correlao .......................................................................................................... 140

Definio de correlao linear ...................................................................... 140Tipos de correlao linear ............................................................................. 140Coeficiente de correlao linear ................................................................... 140Variao de r ................................................................................................. 141Valor de r como medida da correlao ........................................................ 142

Regresso ........................................................................................................... 142Exemplo de Aplicao ................................................................................... 142Tutorial Passo a Passo para determinao da Equao de Regresso Linear utilizando o Microsoft Excel .......................................................................... 143

Exerccios De Fixao ......................................................................................... 145Respostas ...................................................................................................... 147

Bibliografia ......................................................................................................... 147

Prof. Ms. Osmar Pastore e Prof. Ms. Francisco Merlo

OBJETIVO

E sta unidade tem o objetivo de fornecer uma viso geral dos conceitos bsicos fundamentais para o entendimento dos demais tpicos de contedo, assim como fornecer uma pequena introduo sobre as equaes e inequaes algbricas que sero tratadas com mais detalhe na segunda unidade; e apresentar uma viso geral da teoria de conjuntos, como subsdio para um melhor entendimento da maneira correta de se entender e tratar sobre classificaes mltiplas de elementos, segundo critrios no mutuamente exclusivos.

AULA 1Conceitos Iniciais

MTODOS QUANTITATIVOS

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REPRESENTAES NUMRICASNos primrdios da histria do homem, a necessidade da contagem inexistia, pois os homens retiravam seu sustento diretamente da natureza, sem acumularem qualquer tipo de posse que no conseguissem carregar consigo. A contagem comeou com a sofisticao das atividades humanas, quando o homem progressivamente abandonou as atividades nmades para fixar-se terra. Com o comeo da produo, tornou-se criador de animais domsticos, por exemplo. Desta poca, remontam tambm as primeiras formas de calendrio, dada a necessidade de registro das fases do ano, correspondentes s pocas mais propcias ao plantio.

Com relao contagem de animais, o pastor, pela manh, soltava os seus carneiros e analisava, ao final da tarde, se algum tinha se extraviado ou acrescentado ao rebanho. Assim, eles tinham a correspondncia um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.

Cada animal correspondia a uma pedra que era posta em um saco de couro, quando ia para o pasto. Quando os animais voltavam, era feita a operao inversa, isto , para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, porque faltava algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, isto seria notado porque as pedras acabariam dentro do saco antes do final do recolhimento dos animais. Este um dos primeiros processos analgicos de que se tem notcia: era feita uma analogia entre as pedras e os animais, quando o tratamento de um equivalia ao tratamento do outro.

Curiosamente, a palavra clculo derivada da palavra latina calculus, que significa pedrinha ( s lembrar-se de clculos renais). Mas, outras analogias eram tambm usadas: ns em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos etc.

A partir da, a necessidade de se avaliar quantitativamente o espao habitado, levou o homem a desenvolver inmeros sistemas de contagem e representao numrica, o que nos trouxe aos dias de hoje, atravs de iniciativas de diversos povos: os egpcios, os babilnicos, os chineses, os hindus e os rabes.

do norte da ndia, nos meados do sculo V, que vem s primeiras referncias histricas ao nosso sistema numrico atual, onde surgiram os primeiros smbolos que evoluram para se transformarem nos algarismos arbicos, erroneamente assim designados, embora os rabes tenham tido forte influncia na disseminao destes smbolos e do sistema numrico a eles associado.

Note que, inicialmente, o ZERO era uma ideia numrica de difcil concepo e por esta razo, representada como um espao vazio por muitos povos (sem um smbolo a ela associado), o que comprovado pela inexistncia de uma representao para ele em outros sistemas numricos anteriores, com o sistema romano. A ideia de uma representao para o ZERO e de seu significado mais recente, associada por muitos ao trabalho de Fibonacci (1175 a 1240): um matemtico com vrios trabalhos importantes que chegam aos nossos dias e que teria estudado matemtica em suas viagens pelo Isl.

Mas... chega de histria e comecemos a considerar as representaes numricas que so utilizadas hoje.

AULA 1 - CONCEITOS INICIAIS

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1O conceito de conjunto ser tratado mais adiante, ainda nesta unidade.2O conceito de subconjunto ser tratado mais adiante, nesta unidade.

CONJUNTOS NUMRICOS1

Os conjuntos numricos foram surgindo conforme a necessidade de representar quantidades progressivamente mais complexas ou sofisticadas. Pela prpria sequncia de apresentao dos conjuntos numricos se percebe isto:

1. CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS o grupamento de todos os nmeros inteiros positivos, o que inclui a quantidade ZERO. Este conjunto representado pela letra maiscula N.

Em muitos casos, se destaca o conjunto dos nmeros naturais no nulos (que exclui o zero). Neste caso, se coloca um asterisco ao lado da letra N para representar tal conjunto:

N*={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

2. CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS o grupamento de todos os nmeros que pertencem ao conjunto N (dos naturais), mais ampliado com as suas respectivas representaes negativa. Este conjunto representado pela letra Z.

Z={-3,-2,-1,0,1,2,3}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos2 de destaque:

Os inteiros no negativos: todos os nmeros inteiros que no so negativos (inclui o ZERO). Este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais e pode ser representado alternativamente por Z+.

Os inteiros no positivos: todos os nmeros inteiros que no so positivos (inclui o ZERO). Pode ser representado alternativamente por Z-.

Os inteiros no negativos e no nulos: equivalente ao conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se por Z*+.

Os inteiros no positivos e no nulos: equivalente ao conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.


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3. CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS um conjunto que engloba todo e qualquer nmero que pode ser expresso por uma diviso de nmeros inteiros. A palavra racional, neste caso, est associada a um de seus significados menos usual: frao.

Este conjunto representado pela letra Q.

Estes nmeros englobam nmeros decimais finitos e os infinitos peridicos (que repetem uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente). Estes ltimos so tambm conhecidos como dzimas peridicas.

Naturalmente, este conjunto engloba os nmeros inteiros por que todos eles podem ser representados por uma frao do tipo:

A letra I, neste caso, pode ser substituda por qualquer nmero inteiro.

4. CONJUNTO DOS NMEROS IRRACIONAIS Analogamente, este conjunto formado pelos nmeros que no podem ser representados por uma diviso de nmeros inteiros. No se deve tomar a palavra irracional como sendo algo insensato ou ilgico, mas sim como algo incapaz de ser expresso exatamente como a razo entre dois nmeros inteiros.

Este conjunto representado pela letra I.

Excelentes exemplos de nmeros irracionais so o nmero PI (resultado da diviso do permetro de uma circunferncia pelo seu dimetro), que vale 3,14159265; e todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135).

5. CONJUNTO DOS NMEROS REAIS o conjunto formado por todos os conjuntos citados anteriormente, ou mais simplesmente, pela unio do conjunto dos racionais com conjunto dos irracionais. Este conjunto representado pela letra R.

Esquematicamente se poderia assim associar os conjuntos numricos.

Figura 1 - Correspondncia dos Conjuntos Numricos

Note que a cada nvel superior se acrescenta mais elementos aos conjuntos.


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NOTAO POSICIONALO sistema de numerao posicional datado do sculo V, surgido junto com os trabalhos que deram origem aos algarismos que utilizamos hoje. No entanto, este princpio j era, de certa forma, utilizado nos sistemas numricos egpcios e chineses.

A notao (ou valor) posicional empregada quando atribumos a cada algarismo um determinado valor, de acordo com a posio relativa que ele ocupa na representao do numeral.

Isto significa que, mudando a posio de um algarismo, estaremos alterando o valor por ele representado.

A ideia simples: embora se utilize os mesmos algarismos, os nmeros 34 e 43 tm significado diferente porque seus algarismos mudaram de posio.

Na prtica, a primeira posio da direita representa a quantidade de unidades envolvida e a segunda a quantidade de dezenas.

310+41=34

410+31=43

O ZERO surge aqui como importante elemento para representar a ausncia de valores em uma determinada posio:

3 centenas+ZERO dezenas+7 unidades=307

Note que as posies representam potncias sucessivas de 10 (100=1, 101=10, 102=100 e assim por diante). Da se dizer que nosso sistema de numerao usa a base dez, com correspondncia direta e natural, com os dedos das mos de um indivduo normal.

Os sumrios e os babilnios usavam a base sessenta. Este sistema chega at nossos dias atravs da diviso do crculo em 360 graus, por exemplo.

Os romanos preferiam a base doze. Tambm este sistema chega at hoje com a tradio de se comprar dzias de frutas nas feiras livres.

O sistema de numerao que utilizamos acaba por retratar o velho mais importante baco chins. Em cada posio que um nmero se encontra, seu valor diferente.

Figura 2 - baco Chins


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E esta a razo porque precisamos posicionar adequadamente os algarismos dos nmeros quando fazemos operaes de soma ou subtrao: para associar corretamente unidades com unidades, dezenas com dezenas e assim sucessivamente.

FRAESSo nmeros que exprimem uma ou mais partes iguais em que foi dividida uma coisa inteira.

O exemplo clssico a pizza: se dividirmos uma pizza em quatro partes iguais, cada parte representar uma frao da pizza.

Na prtica, a frao representa a diviso de algo em partes iguais. Ento, um quarto significa que temos a unidade dividida em quatro partes iguais.

O nmero na parte de cima do trao de frao chamado de numerador e o nmero na parte de baixo chamado de denominador.

Note que no h possibilidade de diviso em zero partes. A razo disto relativamente simples de se explicar.

Primeiro se supe que exista um nmero igual a uma diviso por ZERO.

Por exemplo:

Neste caso, N seria este suposto nmero. Agora, por uma regra simples de tratamento de igualdades, que veremos mais adiante, se pode passar o denominador do lado direito, que divide o valor 10, para o lado esquerdo, multiplicando. Ficaria assim:


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Mas isto impossvel, porque qualquer nmero multiplicado por ZERO d como resultado ZERO. Ento, nossa suposio inicial estava errada. No existe um nmero que seja o resultado de uma diviso por ZERO.

Ns vimos fraes com o numerador igual 1, mas o que significaria uma frao com numerador diferente de 1? Significaria que temos mais que uma parte daquelas em que originalmente foi dividida a coisa.

Exemplo:

2/4 significa que temos dois pedaos de uma unidade (a coisa) que foi originalmente dividida em quatro pedaos iguais.

FRAES EQUIVALENTESD-se o nome de fraes equivalentes s fraes que representam a mesma parte de um todo, como o prprio nome j indica.

As fraes equivalentes so produzidas multiplicando-se tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo nmero inteiro.

Por exemplo:

Para se entender a equivalncia de fraes, recorre-se novamente nossa pizza. Dividir uma pizza em duas partes iguais e comer uma equivalente a dividir a mesma pizza em quatro partes iguais e comer duas destas partes. Ou se dividir a pizza em oito partes iguais e comer quatro destas partes.

As fraes equivalentes tambm podem ser produzidas dividindo-se tanto o numerador quanto o denominador por um mesmo nmero inteiro. Seria o caso de se considerar a expresso anterior de trs para frente:

Neste ltimo caso se diz que estamos simplificando as fraes.

MMC - MNIMO MLTIPLO COMUMO prprio nome, que designa o termo, explica seu significado. Trata-se do menor mltiplo de dois ou mais nmeros que se pode encontrar. Vamos a um exemplo:


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Qual o MMC de 6 e 8? Ou seja, qual o menor mltiplo de 6 e 8 simultaneamente?

Neste caso, ser 24!

Vejam que 24:4=6, assim como 242:3=8. Portanto, o MMC 24. Vejamos outros exemplos.

Tabela 1 - Exemplos de MMC

OPERAES COM FRAES

ADIO E SUBTRAO DE FRAESPara tratarmos a adio e a subtrao de fraes, dividimos as consideraes em dois casos:

Quando os denominadores de todas as fraes envolvidas forem iguais. Neste caso, basta executar as operaes com os numeradores e o resultado final se escrever sobre o denominador comum:

3

4+ 5

7- 7

4= 3+ 5 7

4= 1

4

Mas, quando os denominadores so diferentes, precisa usar um artifcio que faa com que possamos igualar os denominadores e tratar o resultado desta transformao pelo mesmo mtodo do primeiro caso.

O que fazemos ento substituir cada uma das fraes originais por fraes equivalentes (que representam a mesma quantidade), com um denominador igual a um mesmo mltiplo comum a todos os denominadores originais: em geral, se usa o mnimo mltiplo comum (MMC) dos denominadores originais. Vamos a um exemplo:

Neste caso, o MMC entre 6 e 4 foi mostrado nos exemplos dados anteriormente. igual a 12. Ento vamos substituir cada frao por uma frao equivalente com denominador igual a 12:


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Com esta substituio se transforma o problema original em outro, que pode ser tratado pelo primeiro mtodo, j que temos denominadores iguais agora:

No importa quantas fraes estejam envolvidas e se temos adies ou subtraes, o mtodo sempre o mesmo.

O mnimo mltiplo comum entre dois nmeros representado pelo menor valor comum pertencente aos mltiplos dos nmeros. Observe o MMC entre os nmeros 20 e 30:

Mltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120...

Mltiplos de 30: 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180...

O MMC entre 20 e 30 equivalente a 60, por ser o menor valor numrico que ocorre ao mesmo tempo na lista de mltiplos dos dois nmeros.

Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30, ou de qualquer outro conjunto de valores, atravs da fatorao, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os fatores no comuns.

Observe:

Pela definio, escolhe-se os fatores 2 e 5 (que so comuns aos dois nmeros), com o maior expoente observado; e o fator 3 (que no comum aos nmeros).

E j que falamos em MMC, vamos conceituar tambm o mximo divisor comum.

O mximo divisor comum (MDC) entre dois nmeros representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos nmeros. Observe o MDC entre os nmeros 20 e 30:

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

O maior divisor comum dos nmeros 20 e 30 10.

Podemos tambm determinar o MDC entre dois nmeros atravs da fatorao, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse mtodo.


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Pela definio, escolhe-se os fatores 2 e 5 (que so comuns aos dois nmeros), com o menor expoente observado.

MULTIPLICAO DE FRAESMultiplicar exige um processo bem mais simples: basta multiplicar o numerador com o numerador e denominador com o denominador, gerando uma nova frao com os resultados destas multiplicaes. Quando julgado oportuno, se pode simplificar o resultado. Vamos ao exemplo:

DIVISO DE FRAESNa diviso de fraes, podemos tratar a operao como se fosse a multiplicao da primeira frao pelo inverso da segunda. Novamente, podemos simplificar o resultado final.

COMPARAO DE FRAESO processo de comparao de fraes, para determinar qual a maior, tambm se divide em dois casos a serem considerados de forma semelhante ao que se fez no caso de adio ou subtrao de fraes.

Se os denominadores das fraes comparadas forem iguais, basta comparar os numeradores:

Como os numeradores, neste caso, funcionam como a contagem das partes que temos, fica fcil perceber que duas partes so menos (menores) que trs partes, j que estas partes so iguais entre si.

No caso de denominadores diferentes, se substitui igualmente as fraes originais por fraes equivalentes de mesmo denominador e se procede comparao da mesma forma que no primeiro caso.


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PORCENTAGEMA porcentagem de uso frequente em uma grande quantidade de situaes, mais comumente envolvendo operaes financeiras, sendo usada para calcular juros, expressar ndices (por exemplo, de inflao), descontos ou aumentos de preo, multas etc. Na Estatstica utilizada para apresentar dados comparativos de maneira geral.

A melhor forma de se entender a porcentagem dizer que ela representa uma frao com denominador 100, isto , a porcentagem uma razo (frao) centesimal.

Os nmeros percentuais possuem representaes na forma de frao centesimal e, quando escritos, para simplificar a apresentao do denominador sempre igual a 110, utilizam-se do smbolo de porcentagem (%). Tambm podem ser escritos na forma de nmero decimal. Observe os nmeros a seguir:

A passagem do primeiro para o segundo nmero se deu gerando uma frao equivalente a sete vinte e cinco avos com denominador igual a 100 (neste caso, bastaria se multiplicar o numerador e o denominador por 4).

Mas, como o denominador 100, pode-se substituir este denominador pelo smbolo de porcentagem. Finalmente, a ltima representao (dita decimal) produzida fazendo a diviso do numerador pelo denominador, em qualquer um dos casos: 7 dividido por 25 ou 28 dividido por 100.

Com a porcentagem, se introduz um novo significado para as fraes: o de proporo.

Uma frao (e a porcentagem no deixa de ser uma frao tambm) pode ser lida como a relao entre duas medidas. Por exemplo, quando um jogador costuma acertar 4 cobranas de pnaltis em 10 tentativas, isto pode ser expresso da seguinte forma:

Estabelecido o conceito de porcentagem, podemos proceder s consideraes de como se podem resolver problemas envolvendo porcentagens. Mas isto um caso particular daquilo que tratado no prximo item.

REGRA DE TRSA regra de trs deriva da considerao de um conceito de que j tratamos: as fraes equivalentes.

3Caso haja dvida com relao ao tratamento dos nmeros, para determinar o valor de x, basta consultar a unidade que se trata da resoluo de equaes de 1 grau.


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Existe uma propriedade bsica que envolve as fraes equivalentes: a multiplicao cruzada de numeradores com denominadores produzir sempre um mesmo resultado. Vamos ao exemplo:

Esta propriedade se verifica sempre quando temos fraes equivalentes.

Agora, d-se o nome de regra de trs a um processo de resoluo de problemas de quatro valores, dos quais trs so conhecidos, onde se pede que seja determinado quarto valor.

A resoluo desse tipo de problema muito simples, porque basta montar uma estrutura semelhante comparao de fraes equivalentes. E para entender isto, vamos supor que no sabemos o valor 12, na comparao anterior, mas que sabemos que se tratava de uma comparao de fraes equivalentes. Neste caso, teramos:

Note-se que, neste caso, podemos dizer que as fraes comparadas so equivalentes, ou que existe a mesma proporcionalidade entre os termos esquerda e direita da comparao original. Isto para estabelecermos uma ligao com aquilo que foi comentado no final do item anterior, sobre o outro significado que pode ser atribudo s fraes.

Mas, para resolvermos problemas de regra de trs, resta antes estabelecer como a proporo deve ser montada: se direta ou inversamente.

Exemplo 1

Um atleta percorre 20 km em 2 horas, mantendo o mesmo ritmo. Em quanto tempo ele percorrer 30 km?

Neste caso, devemos perceber (e isto se faz caso a caso) que quanto maior distncia, maior ser o tempo necessrio para percorr-la.

Assim se tem uma proporcionalidade direta entre a distncia e o tempo: quando uma cresce, o outro tambm.

O problema seria montado da seguinte forma:

Exemplo 2

Quatro trabalhadores constroem uma casa em oito dias. Em quanto tempo dois trabalhadores constroem uma casa?


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Neste caso, devemos perceber um comportamento diferente entre as medidas (grandezas) envolvidas. Quanto maior a quantidade de trabalhadores, menos tempo levaria para fazer o servio. O contrrio tambm seria verdade: quanto menor a quantidade de trabalhadores, mais tempo levaria para fazer o servio.

Assim se tem uma proporcionalidade inversa entre a quantidade de trabalhadores e o tempo para a execuo da obra: quando uma cresce, o outro decresce.

O problema seria montado invertendo as relaes, como se segue:

A resoluo de problemas de regra de trs envolve, ento, a considerao se temos uma relao direta ou inversa entre as grandezas. Nos casos em que temos apenas duas grandezas envolvidas, classificamos estes problemas como sendo Regra de Trs Simples.

REGRA DE TRS COMPOSTAA regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Para resolver este problema, sugere-se um procedimento padro simples:

Monte uma tabela com nmero de colunas igual quantidade de grandezas envolvidas; e trs linhas a preencher.

Na primeira coluna, escreva os valores correspondentes grandeza que se quer determinar. Nas demais colunas, lance os valores das outras grandezas, no importando a ordem. Nas duas primeiras linhas, devem transcrever os dados do problema para cada situao apresentada:

aquela que serve de base e a nova situao, onde se deseja calcular uma grandeza ainda no determinada.

Na terceira linha, a partir da segunda coluna, anote o tipo de relao entre a grandeza considerada e a grandeza anotada na primeira coluna, isto , aquela que desejamos determinar.

Por fim, transcreva os nmeros da tabela para um modelo de comparao de fraes, onde - do lado da esquerda - se tem a transcrio direta dos nmeros anotados na primeira coluna e, do lado da direita, a transcrio de uma srie de fraes correspondentes a cada uma das demais colunas, invertendo-se os valores da tabela, sempre que a relao definida na terceira linha for inversa.

Para entender o processo, vamos a um exemplo:

Exemplo 3

Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160 m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125 m3?


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Para isso, montamos a tabela de seguinte maneira:

Tabela 2 - Exemplo de Regra de Trs Composta

Note que o preenchimento da terceira linha nada tem a ver com a variao dos valores na coluna em questo. A comparao genrica com a grandeza da primeira coluna:

Quando temos mais horas para trabalhar, precisamos de menos caminhes: inversa. Quando temos mais areia a transportar, precisamos de mais caminhes: direta.

Por fim, montemos a comparao final:

Sero necessrios 25 caminhes.

PORCENTAGEM, DE NOVO!Os problemas de porcentagem so problemas de regra de trs. Mas lembre-se que, quando se d uma porcentagem, dois valores j esto determinados na comparao das fraes equivalentes envolvidas, porque a porcentagem uma frao, onde o denominador sempre zero.

Existem trs tipos de problemas bsicos envolvendo porcentagens:

Pode-se desejar saber a que nmero corresponde uma porcentagem de um valor bsico. Pode-se desejar saber a que valor bsico corresponde um nmero, dada a porcentagem. Pode-se desejar saber a que porcentagem corresponde a relao entre um nmero e um valor de

base.

O valor de base corresponde ao termo geral de comparao, que ser equivalente ao denominador 100, na porcentagem.

Vamos aos exemplos.


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Exemplo 4

Uma mercadoria vendida em, no mximo, trs prestaes mensais e iguais, totalizando o valor de R$ 900,00. Caso seja adquirida vista, a loja oferece um desconto de 12% sobre o valor a prazo. Qual o preo da mercadoria na compra vista?

Neste caso, temos a seguinte relao:

Note que o valor bsico o preo original da mercadoria, com o que comparamos o desconto praticado.

O valor calculado o desconto. Logo o valor a ser pago :

Exemplo 5

O FGTS (Fundo de Garantia por Tempo de Servio) um direito do trabalhador com carteira assinada, no qual o empregador obrigado por lei a depositar em uma conta na Caixa Econmica Federal o valor de 8% do salrio bruto do funcionrio. Esse dinheiro dever ser sacado pelo funcionrio na ocorrncia de demisso sem justa causa. Determine se o depsito efetuado pelo empregador, em um determinado ms, foi de R$ 96,00 e calcule o salrio bruto correspondente.


Note que R$ 96,00 correspondem aos 8% depositados e que o valor base (com que o depsito mantm uma relao de 8%) o que desejamos saber.

Exemplo 6

Em uma sala de aula com 52 alunos, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de alunos que utilizam bicicleta.


Este problema pede a proporcionalidade entre os usurios de bicicleta e a quantidade total de alunos. Pede-se, ento, a porcentagem correspondente a esta relao.


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EQUAES E INEQUAESA aritmtica foi, durante muito tempo, a forma usual que se tinha para resolver problemas numricos. A aritmtica a parte da matemtica que estuda as operaes bsicas com os nmeros: adio, subtrao, multiplicao e diviso. Em certos casos, se podem incluir outras operaes, como a exponenciao, vista neste caso como a multiplicao, repetidas vezes, por um mesmo fator.

Entretanto, em certas situaes, esse processo no conseguia resolver determinados problemas. Isto exigiu que comeasse a trabalhar com elementos algbricos, constituindo, assim, as equaes, que so expresses escritas em linguagem matemtica (lgebra), representando uma determinada situao-problema.

Mas no basta conseguir esquematizar um problema com expresses algbricas: preciso saber tratar (resolver) essas expresses. Para tanto, realizaram-se estudos acerca dos mtodos de obteno da soluo das equaes e isto feito atravs de manipulaes aritmticas envolvendo letras (incgnitas).

As letras utilizadas nas expresses algbricas possuem a propriedade de representar qualquer nmero cujo valor ainda no foi determinado, ou que pode ser usado na expresso, para calcularmos outro valor, a ele correspondente. Neste ltimo caso, temos aquilo que chamamos de coeficiente.

Portanto, ao encontrarmos expresses que nos auxiliam a determinar a soluo de um nmero para equaes - que possuem apenas letras -, quer dizer que determinamos um mtodo de obter a soluo para qualquer tipo daquela equao.

Por exemplo, considere o clculo de 30% de um nmero N:

A equao resultante determina como, a partir do valor de um nmero N se pode calcular 30% deste valor. Veja que x a incgnita, ou seja, o valor que queremos determinar e, neste caso, N um coeficiente dessa equao que representa qualquer nmero que seja fornecido.

Resolver uma equao consiste em realizar uma sequncia de operaes que nos conduzem a equaes equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar as razes da equao, isto , o(s) valor(es) que deve(m) ser atribudo(s) s letras envolvidas, para que a equao seja coerente, matematicamente falando.

Por exemplo:

A manipulao desta equao nos deve levar a concluso de que o valor de x, que a torna coerente matematicamente falando, 3.

Para gerarmos equaes equivalentes, podemos proceder de duas maneiras bsicas:

Adicionando ou subtraindo de ambos os lados (membros) duma equao a mesma quantidade. Multiplicando ou dividindo ambos os lados (membros) de uma equao por uma quantidade

diferente de zero.


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Resolver uma equao , finalmente, proceder a uma srie de operaes que gerem sucessivas equaes equivalentes, para, ao final, ter a letra que representa a incgnita cujo valor se quer determinar, isolada em um dos lados da equao e, do outro, um valor numrico que d soluo ao nosso problema.

Resolver equaes envolve treino e ateno, mas o processo simples.

Vamos a um exemplo:

Para comearmos a manipulao, podemos multiplicar ambos os lados por 6, o que far com que os denominadores sumam. Na prtica, se multiplica pelo MMC dos denominadores existentes.

A seguir, retira-se o equivalente a um dos termos onde x aparece dos dois lados da equao. Isto far com que apenas um lado passe a ter termos com a incgnita x.

O prximo passo deixar apenas o termo com o x do lado da esquerda, somando-se 1 aos dois lados.

Por fim, dividem-se os dois lados por 4, o que faz com que a incgnita fique sozinha do lado da direita.

INEQUAESInequaes so sentenas matemticas abertas, isto , sem um valor definido, expressas por uma desigualdade entre duas expresses algbricas.

Na prtica, uma inequao equivalente a uma equao onde se substitui o sinal da igualdade por sinais de desigualdade, a saber:

Maior: > Menor: < Maior ou igual: >= Menor ou igual:


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Maior vira menor. Menor vira maior. Maior ou igual vira menor ou igual. Menor ou igual vira maior ou igual. A relao diferente a nica que no se altera.

Isto se deve ao fato de que a relao entre nmeros com sinais invertidos tambm se inverte:

2 < 5 mas -2 > -5

Vamos a um exemplo:

2x + 3 > 11

2x + 3 > 11 - 3 2x > 8

x > 42x 82 2

>

A soluo da inequao foi encontrada utilizando-se a mesma tcnica usada para as equaes, como afirmamos originalmente.

Vejamos outro exemplo:

20 - 2X > 30

20 - 2X > 30 - 20 -2x > 10

x < 5-2x 10-2 -2

>

Neste caso, ao final, dividimos ambos os lados por um nmero negativo (-2) e, por esta razo, a relao se inverteu.

DZIMAS PERIDICASH fraes que no possuem representaes decimais exatas.

Por exemplo:

= 0,33333 ...13

Quando h repetio peridica e infinita de um ou mais algarismos, ao final de um nmero, d-se o nome a este tipo de nmero de numerais decimais peridicos ou dzimas peridicas. As dzimas peridicas so indicadas pela colocao de trs pontos direita do nmero, como no exemplo acima.

Numa dzima peridica, o algarismo (ou algarismos) que se repete infinitamente, constitui o que se chama de perodo dessa dzima.


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E possvel determinar a frao (nmero racional) que deu origem a uma dzima peridica. Denominamos esta frao de geratriz da dzima peridica.

Existem diversos procedimentos para que se determine a geratriz da dzima peridica. Eis uma sequncia que permite isto.

Acha-se o mltiplo de 10 que alinha a dzima peridica com o nmero original. Na prtica ser um mltiplo que tenha tantos zeros quantos so os algarismos que constituem o perodo da dzima.

O numerador ser igual ao nmero original multiplicado por aquela potencia, subtrado pelo seu valor original.

O denominador ser igual potncia encontrada subtrada de 1. Finalmente, se no numerador houver um nmero com casas decimais, multiplicam-se o numerador

e o denominador por 10 at que as casas decimais desapaream do numerador.

Vamos a um exemplo.

Considere a dzima 23,45343434...

O perodo da dzima 34: esta a sequncia de algarismos que se repetem indefinidamente.

Ento, o mltiplo de 10 que usaremos 100: 2 zeros correspondendo aos dois algarismos de 34.

A geratriz ficaria assim:

Mas, como no numerador restam casas decimais, deve-se multiplicar numerador e denominador por 10 at as casas decimais desaparecerem.

Esta a geratriz da dzima. Para conferir o resultado, basta calcular o resultado da diviso de 232.189 por 9.900.


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EXERCCIOS DE FIXAO1) Efetue as seguintes operaes com fraes:

2) Resolva os seguintes problemas de regra de trs:

a) 10 funcionrios escavam um tnel de 100 metros de extenso em 30 horas. Quantos funcionrios sero necessrios para escavar um tnel de 200 metros em 20 horas?

b) Em uma liquidao, 3 vendedores vendem 50 pares de sapato em 6 horas de trabalho. Assumindo que houvesse clientes esperando, quantos pares seriam vendidos se fossem 6 vendedores trabalhando por 12 horas?

c) Em um salo de beleza, 2 funcionrios atendem 10 clientes em 3 horas. Quantos funcionrios conseguiriam atender 80 clientes em 12 horas?

d) Em 5 dias, 10 motoboys entregam 3000 livros. Se houvesse a necessidade de entregar 9000 livros em 10 dias, quantos motoboys deveriam ser contratados?

e) Estima-se que, em uma agncia dos Correios, um grupo de 6 funcionrios, igualmente eficientes, atenda 100 clientes em 45 minutos. Nessa situao, se outros 4 funcionrios, com a mesma eficincia dos primeiros, forem adicionados ao grupo, ento essas 100 pessoas sero atendidas em quanto tempo?

3) Resolva os seguintes problemas de porcentagem:

a) 23% de 250.

b) 0,12% de 60.

c) Qual a porcentagem correspondente a R$ 30 em R$ 220?

d) Se um desconto de 15% sobre uma compra resultou na economia de R$ 200, qual o valor original da compra?


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4) Numa loja, um determinado produto vendido com descontos de 15% ou de 20% sobre o preo de tabela, dependendo da condio de pagamento. Sabe-se que a diferena entre o preo obtido aps o desconto de 15% e o preo obtido aps o desconto de 20% de R$ 120,00. Nesse caso, qual o preo de tabela?

5) Resolva as equaes e inequaes:

a) 18x 43 = 65

b) 23x 16 = 14 17x

c) 7x 2 = -4x + 5

d) 2x + 1 = x + 14

RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DE FIXAO1) Fraes:

2) Regra de trs:

a) 30 funcionrios.

b) 200 pares.

c) 4 funcionrios.

d) 5 motoboys deveriam ser contratados, porque a necessidade total seria de 15 motoboys.

e) 27 minutos.


30

3) Porcentagem:

a) 57,5.

b) 0,072. Note que a porcentagem pode ser um nmero no inteiro. Procede-se da mesma forma, neste caso, usando-se o nmero fornecido dividido por 100.

c) 13,64%.

d) R$ 1.333,33

e) R$ 2.400,00. Note que R$ 120,00 correspondem a 5% do preo, j que a diferena entre 20% e 15%.

4) Equaes e inequaes:

a) 6

b) ou 0,75

c) 7/11

d) x

métodos quantitativos aula 1 e 2_conceitos iniciais

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