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Mtodos Q

uantitativos Estatsticos

Mtodos Quantitativos Estatsticos

9 7 8 8 5 7 6 3 8 8 0 9 8

Fundao Biblioteca NacionalISBN 978-85-7638-809-8

1. edio

Mtodos Quantitativos EstatsticosDenise Maria Martins

2008 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

M386 Martins, Denise Maria

Mtodos Quantitativos Estatsticos. Denise Maria Martins Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2008.

140 p.

ISBN: 978-85-7638-809-8

1. Estatstica 2. Mtodos Lgica 3. Anlise numrica 4. Deciso estatstica

CDD 519

IESDE Brasil S.A Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1482. CEP: 80730-200 Batel Curitiba PR 0800 708 88 88 www.iesde.com.br

Todos os direitos reservados.

Denise Maria MartinsMestre em Administrao Estratgica pela Universidade Cidade de So Paulo (UNICID). Especialista em Engenharia da Qualidade pela Universidade Catlica de Minas Gerais (PUC Minas). Graduada em Estatstica pelo Centro Universitrio Capital (Unicapital). Atua como gestora de processos.

sum

rio

sum

rio

sum

rio Estatstica com aplicaes e anlise exploratria 1111 | Estatstica: definio e aplicaes13 | Conceitos e regras20 | Anlise exploratria de dados: O problema

Medidas de tendncia central e posio

35

35 | Definio

47 | Quartis, Decis e Percentis

Medidas de variabilidade 55

55 | Definio

60 | O problema

Introduo probabilidade e distribuio discretas de probabilidade

75

Distribuio de probabilidade contnua

111

111 | Definio

130 | Apndice n2 Tabela 1: reas sob a curva normal

Gabarito 133

Referncias 139

Introduo Mtodos Q

uantitativos Estatsticos

A raiz da inovao est na teoria e nos mtodos, no na prtica.

Peter Senge

O crescente uso da Estatstica vem ao encontro das necessidades de realizar anlises e avalia-es objetivas, baseadas em fatos e dados com fundamentaes em conhecimentos cientficos. No dia-a-dia o entendimento de situaes, como por exemplo: taxa de desemprego, taxa de juros, custo de vida, comparao de preos de produ-tos de consumo, dentro de um contexto socio-econmico, podem sinalizar sobre oportunida-des de crescimento pessoal e/ou profissional.Nas organizaes modernas, o uso de ferramen-tas estatsticas que traduzem de forma clara e objetiva informaes essenciais sobre seus processos de trabalho e principalmente sobre a conjuntura econmica e social, tambm tm lhes proporcionado condies de crescimento e/ou sobrevivncia em mercados competitivos.Esse contexto permite entender a crescente valorizao de profissionais que utilizam e do-minam a aplicao de ferramentas estatsticas, transformaes das informaes em dados e os dados em decises com riscos medidos e co-nhecidos, deixando de lado decises subjetivas baseadas em sentimentos e suposies. O objetivo do livro o de permitir que esses pro-fissionais possam utilizar as ferramentas estats-ticas em suas atividades profissionais agregan-do valor para qualquer organizao.

O assunto da estatstica pode ser apresentado em di-versos nveis de dificuldades matemticas e orientado para aplicaes em vrios campos de pesquisa. A con-seqncia apresentao de textos sobre estatstica mdia, estatstica para administrao, estatstica edu-cacional, estatstica psicolgica e at mesmo estatstica para historiadores. Embora os problemas que surgem nessas diversas reas por vezes exijam tcnicas estats-ticas especiais, nenhum dos mtodos bsicos apresen-tados neste livro est restrito a qualquer campo parti-cular de aplicao.Os objetivos gerais da Estatstica aplicados a Adminis-trao so os seguintes:Desenvolver a confiana dos alunos ao lidar com dados numricos;Expor o leitor a uma ampla variedade de tcnicas esta-tsticas introdutrias para uso na interpretao e anli-se de dados empresariais.No livro temos a descrio das principais ferramen-tas e mtodos, apresentando a estatstica e anlise exploratria, onde so indicados conceitos bsicos e ferramentas para anlise grfica A aplicao da esta-tstica envolve medidas de tendncia Central e de po-sio, evidenciando mtodos e ferramentas para indi-car valores que representam a maioria dos dados de forma resumida. O desenvolvimento e entendimento de medidas de variabilidade, que permitem ao leitor acrescentar a sua interpretao e anlise de ferramen-tas para medir as disperses de amostras analisadas. Temos a Introduo a Probabilidade e Distribuies de Probabilidade Discretas, demonstrando mtodos para tratamento de dados discretos e indicando clculos de probabilidade. E como encerramento, apresentado a distribuio de probabilidade contnua, representada pela distribuio Normal, como meio para realizao de previses em determinados contextos onde temos varivel contnua como dados.


DefinioAs medidas de tendncia central tm como finalidade principal a de in-

formar sobre onde se localiza o centro da distribuio.

um dado importante para o estabelecimento de um esquema de traba-lho, para a efetivao de uma compra, para a avaliao de um projeto ou de um produto qualquer, etc. Por exemplo, suponha-se uma varivel que seja o nmero de lmpadas vendidas por dia em uma casa comercial. Esse nmero uma varivel X que assume valores possivelmente diferentes ao longo do tempo, mas que se distribuiro em torno de um valor central, o qual fixa e caracteriza as vendas em um determinado nmero de unidades por dia. Na verdade, esse centro seria o valor que representaria o nmero de unidades vendidas, caso ele fosse uma constante ao longo do tempo, ou seja: vender seis lmpadas hoje e dez amanh seria equivalente a vender oito em cada um dos dois.

Determinar o valor exato do centro de uma distribuio muitas vezes impraticvel, ou mesmo impossvel, seja pela evoluo natural da populao em funo do tempo, seja por deficincia dos aparelhos, dos mtodos, dos observadores. Por isso, em muitos casos, poder-se- contar apenas com uma estimativa do total, obtida por meio de uma amostra.

H diferentes maneiras de definir o centro e, assim, h diferentes defi-nies de medidas de tendncia central. As medidas de tendncia central, freqentemente utilizadas so: mdia aritmtica, mediana, moda e ponto mdio. Qual dessas medidas a melhor? Infelizmente, no h uma respos-ta nica, porque no h critrios objetivos para determinar a medida mais representativa para todos os conjuntos de dados. As diversas medidas de tendncia central tm diferentes vantagens e desvantagens. Uma vantagem importante da mdia aritmtica que se levam em conta todos os valores, mas uma grande desvantagem que s vezes, pode ser seriamente afetada por alguns valores extremos.

36


Tabela1 Comparao entre mdia, mediana e moda

Medida Definio Existncia Vantagens Desvantagens

Mdia X = ix

1n =n

Existe sempre

Reflete cada valor.Possui propriedades matemticas atraentes.

influenciada por valores extremos.

Mediana Valor do meio Existe sempreMenos sensvel a valores extremos do que a mdia.

Difcil de determinar para grande quantidade de da-dos.

Moda Valor de maior freqncia

Pode no existir;Pode haver mais de uma moda

Valor tpico: maior quantidade de valores concentrados neste ponto.

No se presta a anlise matemtica.Pode no ser moda para certos conjuntos de da-dos.

Ponto Mdio

alto + baixo2

Existe sempre _________x_________Muito sensvel a valores externosRaramente usada.

Comentrios gerais Para um conjunto de dados aproximadamente simtrico com uma

moda, a mdia, a mediana, a moda e o ponto mdio tendem a coinci-dir.

Para um conjunto de dados obviamente assimtricos, convm levar em conta a mdia e a mediana.

A mdia relativamente confivel: ou seja, quando as amostras so extradas da mesma populao, as mdias tendem a ser mais constan-tes do que outras medidas (constantes no sentido de que as mdias amostrais extradas da mesma populao no variam tanto quanto as outras medidas).

Conceitos e regras

Mdia aritmtica da amostra (X):

A mdia fornece uma medida central de um conjunto de valores. Se os dados so de uma amostra a mdia denotada por x (L-se: x barra).

37


Talvez a medida de tendncia central mais importante seja a mdia de uma varivel. A mdia fornece uma medida da posio central. Se os dados so de uma amostra, a mdia denotada por x; se os dados so de uma populao, a mdia denotada pela letra grega . Nas frmulas estatsti-cas, costume denotar o valor da primeira observao por x1, o valor da segunda observao por x2 e assim por diante. Em geral, o valor da i-sima observao denotado por xi. Para uma amostra com n observaes.

Frmula 1 Mdia aritmtica da amostra (x)

Xn

i x1n =

Notao:

: denota somatrio de um conjunto de valores;

x: a varivel usada para representar valores individuais dos dados;

n: representa o nmero de valores em uma amostra.

Figura 1 A mdia como ponto de equilbrio

Mdia

Mdia aritmtica da populao ():

Tambm fornece uma medida central de um conjunto de valores, mas se os dados so de uma populao, a mdia denotada pela letra grega (L-se: mi).

Frmula 2 Mdia aritmtica da populao ()

Ni x1N

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Notao:


x: a varivel usada para representar valores individuais dos dados;

N: representa o nmero de valores de uma populao.

Mdia ponderada (X):

s vezes associam-se os nmeros a certos fatores de ponderao ou pesos, que dependem do significado ou importncia atribuda aos nmeros. Nesse caso tem a denominao de mdia ponderada.

Frmula 3 Mdia ponderada (x)

X i w1n xi i. i 1n wi

Notao:


Xi: a varivel usada para representar valores individuais dos dados;

Wi: o peso da observao de ordem i.

Mediana (X):

Em um conjunto de valores o valor do meio desse conjunto, quando os valores esto dispostos em ordem crescente ou decrescente (l-se x til).

A mediana outra medida de centralizao de uma varivel. A media-na o valor que fica no meio da seqncia quando os dados so arranja-dos na ordem ascendente (classificao do menor para o maior). Com um nmero mpar de observaes, a mediana o valor do meio. Um nmero par de observaes no tem um valor nico no meio. Neste, caso, segue-se a conveno de definir a mediana como sendo a mdia dos valores das duas observaes do meio.

Processo para determinar a mediana:

ordenar os valores de forma crescente ou decrescente;

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se o nmero de valores impar, a mediana o nmero localizado exa-tamente no meio da lista;

se o nmero de valores par, a mediana a mdia dos dois valores do meio.

Moda (M)

Em um conjunto de dados o dos que ocorre com maior freqncia.

Podem surgir situaes em que a maior freqncia ocorra em dois ou mais valores diferentes. Nesses casos existe mais de uma Moda. Se os dados tm exatamente duas modas, diz-se que so bimodais. Se os dados tm mais de duas Modas, diz-se que so multimodais. Nos casos multimodais, a Moda quase nunca considerada, porque listar trs ou mais Modas no seria par-ticularmente til para descrever a posio dos dados. A Moda uma impor-tante medida de posio para os dados qualitativos, em que se observa a caracterstica que apresentou maior freqncia na anlise de um conjunto de dados.

Quando nenhum valor repetido, o conjunto no tem moda.

Ponto Mdio (Pm)

o valor que est a meio caminho entre o maior e o menor valor.

Embora o Ponto Mdio no seja muito usado, importante enfatizar que existem maneiras diferentes de definir o centro de um conjunto de dados.

Frmula 4 Ponto mdio (Pm)

x maior + x menor2

Pm

Processo para determinar o ponto mdio:

identificar o maior valor de todos os valores;

identificar o menor valor de todos os valores;

somar os dois valores;

dividir por dois.

40


Mdia geomtrica (G)

De um conjunto de n nmeros x1, x2 , x3 , ..., xn a raiz de ordem n do pro-duto desses nmeros:

Frmula 5 Mdia geomtrica

Gn

x1 x2 x3 . . . xn

A mdia geomtrica usada em administrao e economia para achar taxas mdias de variao, de crescimento, ou razes mdias. Dados n valores (todos positivos), a mdia geomtrica de 2, 4, 10 multiplicando-se os trs va-lores o que d 80, e tomando-se a raiz cbica do resultado, cbica porque h trs valores.

Exemplo:

Admita-se que, nos ltimos quatro anos, o produto interno bruto (PIB) de um determinado pas cresceu 2,5%, 1,7%, 2,2% e 3,5%. Denota-se por PIB0 o valor do PIB no ano relativo a este perodo, o seu valor do ltimo ano ser dado por:

PIB4= (R1. R2. R3. R4) . PIB0

Onde as razes de crescimento, Rn, so:

R1 = 1 + 0,025

R2 = 1 + 0,017

R3 = 1 + 0,022

R4 = 1 + 0,035

Se o crescimento fosse constante nos quatro anos e, globalmente fosse idntico ao verificado, a razo R entre valores sucessivos do PIB deveria sa-tisfazer a seguinte condio:

R4 = R1. R2. R3. R4

41


Frmula 6 Mdia geomtrica

R =4

R1 R2 R3 R4 =4

1,025 . 1,017 . 1,022 . 1,035 = 1,0247

Gn

x1 x2 x3 . . . xn

O valor de R a mdia geomtrica das razes de crescimento R1. R2.R3.R4 a partir de R= 1,0247 obtm-se a taxa mdia anual de crescimento do PIB, que de 2,47%.

Assimetria

Uma distribuio de dados assimtrica quando no simtrica, esten-dendo-se mais para um lado do que para o outro (uma distribuio de dados simtrica quando a metade esquerda do seu histograma aproximada-mente a imagem-espelho da metade direita).

Figura 2 Assimetria

Mdia ModaMediana

Assimtrica para a esquerda (negativamente assimtrica).

A mdia e a mediana esto esquerda da moda.

Moda - Mdia - Mediana

Simtrica (assimetria zero).

A mdia, a mediana e a moda coincidem.

MdiaModaMediana

Assimtrica para a direita (positivamente assimtrica).

A mdia e a mediana esto direita da moda.

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Na prtica, muitas distribuies de dados so simtricas. As distribuies assimtricas para a direita so mais comuns do que as assimtricas para a es-querda, porque em geral mais fcil obter valores excepcionalmente gran-des do que valores excepcionalmente pequenos. Com as rendas anuais, por exemplo, impossvel termos valores abaixo do limite inferior zero, mas h algumas pessoas que ganham milhes de reais em um ano. Assim, as rendas anuais tendem a ser assimtricas para a direita.

O problema

Contexto A

H uma grande variedade de bebidas alcolicas espalhadas pelo mundo, fazendo do lcool a substncia psicoativa mais popular do planeta. O Brasil detm o primeiro lugar do mundo no consumo de destilados de cachaa e o quinto maior produtor de cerveja. O lcool a droga preferida dos bra-sileiros (68,7% do total). Motoristas alcoolizados so responsveis por 65% dos acidentes fatais em So Paulo. A maioria das fatalidades relacionadas ao consumo de lcool ocorre entre 18 e 25 anos. Com esta preocupao foi coletada a idade de 15 motoristas envolvidos em acidentes fatais.

Tabela 1 Idades de motoristas envolvidos em acidentes fatais

Idades

16 18 19

17 18 20

45 20 22

22 15 18

21 19 19

Explorando o problema

De posse de uma grande lista de nmeros, pouco proveito se pode tirar dela, a menos que possamos reduzi-la a uma ou algumas medidas numri-cas que resumem todo o conjunto. Tais medidas so de mais fcil manejo e compreenso do que os dados originais. Uma caracterstica importante dos dados o valor central ou mais tpico do conjunto. O objetivo deste proble-ma apresentar os mtodos mais teis para resumir dados.

43


Equacionando o problema

As medidas de posio referem-se a valores de uma varivel que so t-picos ou representativos de um conjunto de dados, isto , eles so um valor em torno do qual uma grande proporo de outros valores est centralizada. Existem alguns mtodos de se obter a medida de posio. Utilizando os valo-res do problema (Contexto A) sero explicadas as diferentes abordagens.

Calculando a mdia aritmtica da amostra (X)

Para calcular-se a mdia aritmtica da amostra das idades dos motoristas, conforme o contexto A, tem-se a seguinte condio:

X i x1n

n=

Passo 1:

Somam-se todas as idades.

16 + 17 + 45 + 22 + 21 + 18 + 18 + 20 + 15 + 19 + 19 + 20 + 22 +18 + 19 = 309

Passo 2:

O total das idades divide-se pelo total de motoristas (15).

X 30915

X = 38,625 = 39

Passo 3:

Concluir e interpretar o resultado (mdia).

A mdia aritmtica pode ser calculada para qualquer conjunto de dados e, assim, sempre existe. Leva-se em conta todos os elementos de um conjun-to de dados, mas pode ser influenciada por um valor extremo.

44


Calculando a mdia ponderada

O clculo da mdia ponderada deve levar em conta a quantidade em que cada idade dos motoristas aparece:

X i w1n xi i. i 1n wi

Passo 1:

Multiplica-se a idade pela sua respectiva freqncia.

15 x 1 vez = 15

16 x 1 vez = 16

17 x 1 vez = 17

18 x 3 vezes = 54

19 x 3 vezes = 57

20 x 2 vezes = 40

21 x 1 vez = 21

22 x 2 vezes = 44

45 x 1 vez = 45

Passo 2:

Somam-se os resultados.

15 + 16 + 17 + 54 + 57 + 40 + 21 + 44 + 45 = 309

Passo 3:

O total divide-se pelo total de idades (15).

X 30915

X = 38,625 = 39

45


Passo 4:

Concluir e interpretar o resultado (mdia ponderada).

Calculando a mediana (X)

A mediana o valor que divide um conjunto de dados em duas partes iguais. Ento, para calcular-se a Mediana das idades dos motoristas, tem-se a seguinte condio:

Passo 1:

Ordenar os valores de forma crescente ou decrescente.

15 16 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 22 22 45

Passo 2:

O total de valores impar (15 motoristas). Pega-se o elemento que separa o grupo ao meio (oitavo elemento).

15 16 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 22 22 45

X = 19

Passo 3:

Concluir e interpretar o resultado (Mediana).

Mediana (X) o valor central, quando os valores encontram-se ordena-dos. O valor do elemento do meio se n mpar, ou a mdia dos dois valores do meio se n par.

Calculando a moda (M)

A Moda no genericamente considerada a medida mais eficiente de tendncia central, porque existem muitas situaes em que mltiplos valo-res ou nenhum valor distinto ocorrem.

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Passo 1:

Ordenar os valores de forma crescente ou decrescente.

15 16 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 22 22 45

Passo 2:

Selecionar o valor que ocorre com maior freqncia.

15 16 17 18 18 18 19 19 19 20 20 21 22 22 45

M = 18 e 19

Passo 3:

Concluir e interpretar os resultados (Moda).

O conjunto de valores bimodal, possui dois valores que ocorrem com a mesma freqncia mxima.

Calculando o ponto mdio (Pm)

Para calcular-se o Ponto Mdio das idades dos motoristas, conforme o contexto A, tem-se a seguinte condio:

x maior + x menor2

Pm

Passo 1:

Identificar a maior idade e a menor idade.

Idades

16 18 19

17 18 20

45 20 22

22 15 18

21 19 19

47


Passo 2:

Somam-se os dois valores.

45 + 15 = 60

Passo 3:

Dividir a soma por dois.

602

Pm 30

Passo 4:

Concluir e interpretar o resultado (Ponto Mdio).

Extremamente simples, o Ponto Mdio (Pm), porm, dever ser usado com cuidado como medida de tendncia central. uma medida de localizao de centro quando as distribuies forem simtricas.

Quartis, Decis e PercentisAssim como a mediana divide os dados em duas partes iguais, os trs quar-

tis, denotados por Q1, Q2 e Q3, dividem as observa es ordenadas (dispostas em ordem crescente) em quatro par tes iguais. A grosso modo, Q1 separa os 25% inferiores dos 75% superiores dos valores ordenados; Q2 a mediana; e Q2 separa os 75% inferiores dos 25% superiores dos dados. Mais precisamen-te, ao menos 25% dos dados sero no mximo iguais a Q1, e ao menos 75% dos dados sero no mnimo iguais a Q1. Ao menos 75% dos dados sero no mximo iguais a Q3, enquanto ao me nos 25% sero, no mnimo, iguais a Q3. Analogamente, h nove decis, denotados por D1, D2, D3,..., D9, que dividem os dados em dez grupos com cerca de 10% deles em cada grupo. H, finalmente, 99 percentis, que dividem os dados em 100 grupos com cerca de 1% em cada grupo. (Os quartis, decis e percentis so exemplos de fractis, que dividem os dados em partes aproximadamente iguais). Um estudante que se submeteu ao vestibular para ingresso em uma faculdade informado de que est no 92. percentil. Isso no significa, entretanto, que ele tenha obtido 92% no exame; indica, apenas, que qualquer que tenha sido a nota obtida, ela foi superior a 92% (e inferior a 8%) das notas de toda a turma. O 92. percentil , pois, uma excelente classificao em relao aos outros que fizeram o exame.

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Figura 2 Posio dos quartis

25% 25% 25% 25%

Q1primeiro quartil

25% percentil

Q2segundo

quartil50% percentil

Q3terceiro quartil75% percentil

Para calcular os quartis:

dispomos as observaes em ordem crescente e localizamos a Mediana (X) na lista ordenada de observaes;

o primeiro quartil Q1 a mediana das observaes que esto esquer-da da mediana global na lista ordenada de observaes;

o terceiro quartil Q3 a mediana das observaes que esto direita da mediana global na lista ordenada de observaes.

Frmula 6 Percentil

Clculo do ndice (i) = p

100. n

Onde p o percentil de interesse e o n o nmero de observaes.

Se no for um nmero inteiro, arredonda-se para cima. O prximo inteiro maior que i denota a posio do p-simo percentil.

Se i um inteiro, o p-simo percentil a mdia dos valores de dados nas posies i e i+1.

Exemplo de aplicao

Freqentemente desejvel dividir os dados em quatro partes, cada parte contendo aproximadamente um quarto, ou 25% das observaes.

Os dados representam o salrio inicial e esto arranjados em ordem as-cendente. Q2, o segundo quartil (mediana), j foi identificado como 2405.

2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825

49


Clculo do quartil

Os clculos dos quartis Q1 e Q3 exigem o uso da regra para encontrar o 25 e o 75. percentis. Estes clculos so:

Para Q1

Frmula 7 Percentil


100. n

i = p

100n = 25

10012 = 3

Como i um inteiro, indica que o primeiro quartil, ou 25% percentil, a mdia do terceiro e do quarto valor dos dados; assim, Q1= (2350+2380)/2 = 2365.

Para Q3

Frmula 8 Percentil


100. n

i = p

100n = 75

10012 = 9

Como i um inteiro, indica que o terceiro quartil, ou 75% percentil, a mdia do nono e do dcimo valores de dados: assim, Q3= (2450+2550)/2 = 2500. Os quartis dividem os dados dos salrios iniciais em quatro partes, com cada parte contendo 25% das observaes.

2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825

q1 = 2365 q2 = 2405 q3 = 2500

Assim, calculam-se os quartis do mesmo modo que os percentis. No entanto, outras convenes podem ser usadas para calcular os quartis. Os valores reais atri-budos aos quartis podem variar levemente, dependendo da conveno usada. Contudo, o objetivo de todos os procedimentos para o clculo dos quartis divi-dir os dados em quatro partes iguais.

50


Ampliando seus conhecimentos

Fundada em 1997, a Small Fry Design uma empresa de brinquedos e de acessrios que pro jeta e importa produtos para crianas. A linha de produtos da empresa inclui ursinhos, mbi les, brinquedos musicais, chocalhos e cober-tores de segurana, caracterizando-se por projetos de brinquedos delicados e de alta qualidade, com nfase na cor, textura e som. Os produtos so projeta-dos nos Estados Unidos e fabricados na China.

A Small Fry Design utiliza representantes independentes para vender os pro-dutos para as crianas, fornecendo para varejistas, lojas de roupas e acessrios infantis, lojas de presen tes, lojas de departamento de grande porte e principais empresas de catlogo. Atualmente, os produtos da Small Fry Design so distribu-dos em mais de mil canais de varejo por todo o ter ritrio dos Estados Unidos.

O gerenciamento do fluxo de caixa uma das mais crticas atividades na operao do dia-a-dia dessa jovem empresa. Assegurar a suficiente entrada de caixa para satisfazer tanto as obrigaes de dbito correntes como as vin-douras pode significar a diferena entre o sucesso e o fracasso no negcio. Um fator crtico no gerenciamento do fluxo de caixa a anlise e o controle das contas a receber. Avaliando-se o perodo mdio e o valor em dlares das fa-turas pendentes, os gerentes podem prever a disponibilidade de caixa e mo-nitorar as mudanas na posio das contas a receber. A empresa estabeleceu os seguintes objetivos: o tempo mdio de atraso no pagamento das faturas no deve exceder a 45 dias e o valor das faturas com mais de 60 dias no deve exceder a 5% do de todas as contas a receber.

Em um recente sumrio da posio das contas a rece ber, as seguintes esta-tsticas descritivas foram fornecidas pa ra o perodo das faturas pendentes:

Mdia: 40 dias Mediana: 35 dias Moda: 31 dias

A interpretao dessas estatsticas mostra que o perod o mdio de uma fatura de 40 dias. A mediana mostra que metade das faturas tem ficado pen-dente 35 dias ou mais. A moda de 31 dias o perodo mais freqente de fatura, indicando que a extenso de tempo mais comum que uma fatura tem ficado pendente 31 dias. O sumrio estatstico tambm mostrou que somente 3% do valor monetrio de todas as contas a receber ficaram acima de 60 dias. Baseada na informao estatstica, a administrao ficou satisfeita de que as contas a re ceber e a entrada de caixa estejam sob controle.

51


Atividades de aplicao1. Valores de vendas dirias de pizzas do tipo calabresa durante um per-

odo de nove dias:

15 7 7 11 9 13 14 12 2

Relacione as colunas de acordo com as respostas.

(a) Mdia ( ) 7

(b) Mediana ( ) 11

(c) Moda ( ) 8,5

(d) Ponto Mdio ( ) 10

2. Escolha a alternativa correta quanto aos resultados obtidos do conjun-to abaixo:

22 19 22 19 18 20 21 22

a) mdia aritmtica igual a 17,6

mediana igual a 20

moda igual a 22

ponto mdio igual a 3

b) mdia aritmtica igual a 17,6

mediana igual a 20,5

moda igual a 19


c) mdia aritmtica igual a 20,4

mediana igual a 20,5

moda igual a 22

ponto mdio igual a 20,0

52


d) mdia aritmtica igual a 16,6

mediana igual a 20

moda igual a 19 e 22


3. Para os 20 valores de cargas axiais de latas de alumnio, relacionados abaixo, determine (a) a mdia aritmtica, (b) a mediana, (c) a moda e (d) ponto mdio.

225 200 201 223 209 230 209 217 234 209

217 218 220 217 200 219 201 225 200 236

4. Escolha a alternativa correta quanto aos resultados obtidos do conjun-to abaixo:

35 25 28 32 31 31 29 30

a) A distribuio dos dados assimtrica para a esquerda.

b) A distribuio dos dados simtrica.

c) A distribuio dos dados assimtrica para a direita.

5. Para as 30 idades de motoristas envolvidos em acidentes fatais, orde-nadas da mais nova at a mais velha. Determine o percentil correspon-dente a 21.

17 17 17 18 18 18 18 19 19 19

19 19 21 22 22 22 23 23 24 25

27 27 28 29 31 31 32 35 39 40

capapimiolo

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