métodos de pesquisa operacional - luciana assis · algoritmo simplex. ... 1 + 30x 2 e...

Métodos de Pesquisa Operacional

Programação Linear é a parte da Pesquisa

Operacional que trata da modelagem e

resolução de problemas formulados com

funções lineares.

Programação Linear } Métodos de Resolução ◦ Método Gráfico.

◦  Algoritmo SIMPLEX.

Método Gráfico para Programação Linear Conceitos Básicos

}  Considere o seguinte problema de Programação Linear max z = 100x1+30x2

sujeito a 10x1 + 4x2 ≤ 40

x1 + x2 ≤ 7 10x2 ≥ 30 x1, x2 ≥ 0


}  Graficamente o que a função objetivo representa? Z = 100x1+30x2

}  E as seguintes equações? }  Z = 100x1+30x2 = 200 }  Z = 100x1+30x2 = 250 }  Z = 100x1+30x2 = 300 }  Z = 100x1+30x2 = 350 }  Z = 100x1+30x2 = 400


}  Graficamente o que a função objetivo representa? }  Para modelos com 2 variáveis ela representa uma reta. }  A equações da transparência anterior representam

}  Retas Paralelas !


}  Vetor Gradiente A informação das derivadas parciais de uma

função, f, pode ser unificada na forma de um vetor, denominado gradiente de f e denotado por ∇. O vetor gradiente é calculado pela seguinte fórmula.

∇f(x, y) = ∂fdx(x, y), ∂f

dy(x, y)

#

$%

&

'(

Vetor Gradiente: ◦ O vetor gradiente indica a direção e o sentido

de maior crescimento da função a partir do ponto em que ele foi calculado.

◦ Exemplos: Calcular o vetor gradiente da

seguinte função objetivo f(x) = 100x1 + 30x2 e representá-lo graficamente.


Cálculo do Vetor Gradiente:

∇f(x, y) = ∂fdx(x, y), ∂f

dy(x, y)

#

$%

&

'(

f(x1, x2) =100x1+30x2

∇f(0,0) = ∂fdx1

(x1, x2), ∂fdx2

(x1, x2)#

$%

&

'(

∇f(x1, x2 ) = 100,30( )



}  Vetor Gradiente

}  O Vetor Gradiente é perpendicular a função objetivo e para funções lineares é traçado a partir da origem.

∇f(x1, x2 ) = 100,30( )


} Graficamente o que as restrições representam?

10x1 + 4x2 ≤ 40 x1 + x2 ≤ 7 10x2 ≥ 30 x1, x2 ≥ 0


}  Graficamente o que as restrições representam? }  Exemplo : 10x1 + 4x2 ≤ 40


}  Procedimento para traçar as restrições de desigualdade.

}  Para o exemplo anterior traçar a reta ◦  10x1 + 4x2 = 40

◦  Indicar no espaço onde a restrição

10x1 + 4x2 ≤ 40 é atendida.


}  10x1 + 4x2 ≤ 40


}  x1 + x2 ≤ 7


}  10x2 ≥ 30


}  x2 ≥ 0


x1 ≥ 0


}  A intersecção de todas as restrições indica quais valores de x as atendem ao mesmo tempo.


}  Qual a influência de R4 no espaço de soluções? }  Por que isto acontece? }  R4 é redundante em relação a R3, ou seja, os

valores que atendem R3 atendem R4.

} Método Gráfico ◦ Método utilizado para ser resolver problemas

de Programação Linear com duas ou três variáveis. Não há limite para o número de restrições.

Método Gráfico para Programação Linear

} Método Gráfico ◦ Consiste em obter-se a região viável do

problema e determinar-se em qual ou quais pontos desta região encontra-se a solução ótima do problema.


} Método Gráfico ◦ Considerando o que foi visto em sala de aula

como você acha que poderíamos encontrar a solução ótima?

◦ Utilizando o vetor gradiente


}  Método Gráfico ◦  O vetor gradiente indica a direção de crescimento de

uma função. No nosso caso a direção de crescimento da função objetivo.

◦  A função objetivo é perpendicular ao vetor gradiente. ◦  O procedimento consiste em encontrar o vetor gradiente

e ir traçando retas perpendiculares a ele, na direção desejada. O ponto ótimo é aquele onde a reta de maior valor possível corta a região viável.


}  Método Gráfico ◦  No caso de problema de minimização o que deve ser

feito ? ◦  Deve-se seguir o sentido oposto ao indicado pelo

gradiente.


}  Resolver o seguinte problema de PL pelo método gráfico.

max z = 100x1+30x2

sujeito a 10x1 + 4x2 ≤ 40

x1 + x2 ≤ 7 10x2 ≥ 30 x1, x2 ≥ 0


}  Definir o espaço de soluções viáveis


}  Traçar o vetor gradiente


}  Traçar as retas correspondentes à função objetivo. Estas retas são perpendiculares ao vetor gradiente.


}  O ponto ótimo é aquele onde a reta de maior valor possível corta a região viável.


Solução Ótima

}  Qual é a solução ótima ? }  Qual o valor da função objetivo no ótimo?


}  A solução ótima é calculada resolvendo-se o sistema formado pelas restrições que contêm o ponto de ótimo.

10x1 + 4x2 = 40 10x2 = 30 ∴x2 = 3 x1 = 2,8 Z = 100*2,8 + 30 * 9 = 370


} Espaço de Soluções Viáveis ◦ Limitado ◦  Ilimitado ◦ Vazio


} Espaço de Soluções Viáveis Limitado


} Espaço de Soluções Viáveis Ilimitado min z = 3x1+2x2

sujeito a 4x1 + x2 ≥ 8

-2x1 + x2 ≤ 4 x2 ≥ 1 x1, x2 ≥ 0


} Espaço de Soluções Viáveis Ilimitado


} Espaço de Soluções Viáveis Vazio min z = 3x1+2x2

sujeito a 3x1 + 6x2 ≥ 4

0.5x1 + x2 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0


} Espaço de Soluções Viáveis Vazio


} Espaço de Soluções Viáveis Vazio


∅

}  Resolver o seguinte problema de PL pelo método gráfico.

min z = 3x1+2x2

sujeito a 4x1 + x2 ≥ 8

-2x1 + x2 ≤ 4 x2 ≥ 1 x1, x2 ≥ 0


}  Classificação de um problema de PL pelo número de soluções

◦  Uma solução ótima ◦  Infinitas soluções ótimas ◦  Solução ótima ilimitada ◦  Nenhuma solução


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