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Análise dos métodos de integração direta 1MÉTODOS COMPUTACIONAIS NA DINÂMICADEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA MECÂNICA

Objetivos:

• Discutir em detalhe o problema da seleção de um passo de tempo apropriado t para integração direta.

• Analisar os conceitos fundamentais de estabilidade e exatidão dos esquemas de integração.

ANÁLISE DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA



IntroduçãoA seleção de um passo de tempo apropriado nos métodos de integração é vital para garantir estabilidade e exatidão.

A despeito da mudança de base no método de sobreposição modal, a solução é também obtida por integração numérica.

)()()()( 2 tttt T RXΩXX

Assumindo amortecimento proporcional, é matriz diagonal, =diag(2ii), e i é a ração de amortecimento no i-ésimo modo.

A eq. (a.1) envolve n equações desacopladas, a ser resolvida com a integral de Duhamel ou com um dos esquemas de integração numérica.

(a.1)

Como os períodos de vibração são conhecidos Ti=2/i (i=1,..,n), da para escolher na integração numérica de (1) um passo apropriado que garanta exatidão.

Se as n equações são integradas com o mesmo passo do tempo t, a análise de sobreposição modal é equivalente à análise de integração direta onde o mesmo esquema de integração e passo é usado.

Para estudar a exatidão da integração direta, presta-se atenção na integração das eqs. (a.1) e não mais na eq. original, com um passo de tempo comum.

As variáveis na estabilidade e exatidão no método de integração direta são agora t, i e i (i=1,..,n).

Como as n equações são similares, estuda-se só a integração de uma fila (sistema 1GDL com período de vibração livre T, ração amortecimento e carga r) :

rxxx 22



Aproximação de integração direta e operadores de carga

Para o método de integração considerado, existe a relação recursiva:

)(ˆˆ rLXAX tttt

carga de vetor operador :

integração da oaproximaçã matriz operador :

integração de mét. o segundo,,0

)( tempo no carga :

veloc. tos,deslocamen de vetor :ˆ,ˆ

L

A

XX

tt

trt

ttt

Obtém-se a solução em qualquer tempo t+nt de forma recursiva,

rr

rrtnttnt

ttntntntnt

12

21

...ˆˆ

LLA

LALAXAX

relação a ser usada para estabilidade e exatidão dos métodos de integração.

Método de diferença central

xxt

x

xxxt

x

rxxx

ttttt

tttttt

tttt

2

1

21

2

2

2

Resolvendo desde a primeira para t+tx

rt

tx

t

tx

t

tx tttttt

11

1

1

2 222

Escrevendo na forma recursiva:

01 ;

011

1

1

2 222

t

t

t

t

t

t

rx

x

x

x t

tt

t

t

tt

LA

LA

O método é bastante usado para =0.

Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t; e escreve-se a eq. de equilíbrio no tempo t.



Aproximação de integração direta e operadores de carga (cont.)

Método de Houbolt

xxxxt

x

xxxxt

x

rxxx

ttttttttt

ttttttttt

tttttttt

2

22

2

2918116

1

4521

2

Resolvendo desde a primeira para t+tx, da para escrever de forma recursiva:

ttt

ttt

r

x

x

x

x

x

xtt

tt

tt

t

tt

t

tt

;13

112

0

0 ;

010

0013

23

46

5

1

22

2222222

2

LA

LA

Aproxima-se a acel. e vel. no tempo t+t com fórmulas de dois passos para atrás; e escreve-se a eq. de equilíbrio para t+ t.




Método de Wilson

A aceleração varia linearmente no intervalo de tempo de t a t+ t, onde ≥1, usado para obter estabilidade e exatidão ótima.

Seja o incremento no tempo desde o tempo t, onde t≤ ≤ t, logo para o intervalo t a t+ t tem-se:

t

xxxxxx

txxxxx

txxxx

ttttttt

tttttt

ttttt

62

1

23

2

2

A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+ t, com uma carga extrapolada:

rxxx tttttttt 22

Fazendo = t nas equações (b.1) e colocada em (b.3), uma equação é obtida para a aceleração no tempo t+t, que lsubstituida em (b.2), a seguinte relação é estabelecida:

(b.1)

No tempo t+t tem-se

6

2

22t

xxtxxx

txxxx

ttttttt

tttttt

(b.2)

(b.3)

ttt

t

t

tt

tt

tt

r

x

x

x

x

x

xtt

t

t

t

tt

tt

tt

;6

6

2

61

361

6186

1

2

1

2

1

21

262

11

12

11

31

132

22

2

2

22

22

2

2

2

L

A

LA




Método de Newmark

A equação de equilíbrio é considerada no tempo t+t:

rxxx tttttttt 22

A velocidade e deslocamento resultam de:

2

2

1

1

txxtxxx

txxxx

ttttttt

tttttt

onde e são parâmetros a serem escolhidos para obter estabilidade e exatidão ótima, sendo que para estabilidade incondicional =1/2 e =1/4.

(b.4)

(b.5)

Substituindo (b.5) em (b.4) obtém-se a aceleração no tempo t+t, que logo é colocada em (b.5) para obter a velocidade e descolamento no tempo t+t, resultando:

ttt

t

t

tt

tt

tt

r

x

x

x

x

x

xtt

t

t

t

tt

tt

tt

;21

121122

1

2

1

12112

2

11

12

112

2

1

12

22

2

2

22

2

2

L

A

LA



Análise de estabilidade (cont.)

Sendo Tn o menor período estima-se que t ≤Tn/10.

A idealização de elementos finitos deve ser escolhida de forma que as p menores freqüências e modos sejam preditas exatamente, onde p é determinado pela distribuição e freqüência da carga.

Então t ≤Tp/10.

Percebe-se que na integração direta a resposta nos modos elevados é automaticamente integrada com esse t.

Como não se pode integrar exatamente a resposta nos modos para o qual t ≥T/2. Qué resposta é predita na integração numérica quando t/T é grande? (questão de estabilidade da integração numérica)

Estabilidade de um método de integração significa que as C.I. físicas para as equações com elevado t/T não pode ser amplificado artificialmente.

Estabilidade significa que as C.I. no tempo t causada por erros nos deslocamentos, velocidades e acelerações, devidos a erros de arredondamento no computador, não crescem na integração.

A estabilidade é assegurada se o passo do tempo é pequeno o suficiente para integrar exatamente a resposta nos componentes de altas freqüências.

A estabilidade de um método de integração é determinada examinando o comportamento da solução numérica para condições iniciais arbitrárias.



Quando nenhuma carga é satisfeita, r=0, a solução para C.I. prescritas é:

XAX ˆˆ tntnt

Um método de integração é estável incondicionalmente se a solução para toda C.I. não cresce sem limite para qualquer t, em particular quando t/T é grande.

O método é condicionalmente estável se o dito é mantido previsto que t/T seja menor ou igual a um certo valor, denominado o limite da estabilidade.

Usando a decomposição espectral de A:1 PPJA nn

P: matriz de autovetores de AJ: forma canônica de Jordan de A, com

autovalores i de A na sua diagonal

J não é necessariamente uma matriz diagonal mas pode exibir elementos unitários na linha superdiagonal (correspondente a autovalores múltiplos)

Seja (A) o raio espectral A definido por:

ii

,...2,1

max

A

onde o sinal do valor absoluto precisa a avaliação de i no plano complexo.

O critério de estabilidade menciona que:1. Se os autovalores são distintos, (A) ≤12. Se A contem autovalores múltiplos, o

módulo desses autovalores será ≤1.

Se (A)<1, Jn→0 e An→0, e a diminuição em An é mais rápido se (A) é pequeno.




O raio espectral e portanto a estabilidade do método depende da relação do tempo t/T, da relação de amortecimento e dos parâmetros de integração.

Para t/T e dados, é possível que nos métodos de Wilson e Newmark se varie os parâmetros e , para obter estabilidade e exatidão ótimas.

Exemplo

Análise de estabilidade do método de diferença central para =0,0.

O problema de autovalor a ser resolvido é:

uu

uAu

01

12 22 t

Os autovalores são as raízes do polinômio característico p():

4

12

2

2

1222222

2,1

22

tt

tp

Para estabilidade precisa-se que |1,2|≤1, ou seja (A) ≤1, e esta da a condição t/T≤1/.

Então, o método de diferença central é estável previsto que t≤ tcr, sendo que tcr=Tn/ .

Observa-se que o limite de estabilidade para o mesmo passo de tempo é também aplicável quando >0.




A estabilidade dos métodos de integração é efetuada com os operadores de aproximação, onde o método de diferença central é condicionalmente estável.

Para avaliar um valor ótimo de para o método de Wilson, calcula-se a variação do raio espectral do operador de aproximação como função de , (estabilidade incondicional para ≥1,37).

No método de Newmark os parâmetros e podem ser modificados para obter estabilidade e exatidão ótima, estabilidade incondicional para ≥0,5 e ≥0,25(+0,5)2.

O analista deve escolher certo método, influenciado pelas características de exatidão do método para certo t.


Raio espectral de operadores de aproximação, caso =0 Raio espectral (A) função de no método Wilson



Como a integração direta das equações,

)()()()( tttt RUKUCUM

Análise de exatidão

é equivalente a integrar simultaneamente as n equações desacopladas da forma,

rxxx 22

da para estudar a exatidão da integração nestas como função de t/T, e r.

A solução destas equações é,

rr

rrtnttnt

ttntntntnt

12

21

...ˆˆ

LLA

LALAXAX

usada para avaliar os erros da integração.

Considera-se para uma análise de exatidão simples a solução do problema de valor inicial com solução exata x=cost:

2000

2

;00 ;01: C.I.

0

x,x,x

xx

No método de Houbolt as C.I. de deslocamento exato para tx e 2tx através da solução x=cost são empregadas.

O custo de usar um certo método de integração depende do número de passos.

Nos métodos explícitos o passo fica definido pelo tcr.. Nos métodos implícitos o passo deve gerar uma solução exata.

Os erros nas integrações são avaliados em termos do alongamento do período PE e do decremento da amplitude AD.



Análise de exatidão (cont.)

Os desenhos mostram os percentuais de PE e AD como função de t/T obtidas ao comparar a solução numérica com a exata.

As integrações numéricas usando qualquer método são exatas quando t/T≤0,01. Para valores superiores o método de Wilson introduz menor PE e AD que o método de Houbolt, e Newmark introduz só PE.

As equações onde t/T é pequeno são integradas exatamente, mas quando t/T é grande a resposta é obtida sem precisão.

Nos métodos explícitos o passo deve ser escolhido de forma que t≤ tcr, mas só quando a carga ou as CI excitam as altas freqüências deve ser usado t≤ tcr..

Nos métodos implícitos o t pode ser muito maior mas pequeno o suficiente de forma que a resposta nos modos que contribuam significativamente à resposta seja calculada exatamente.

Alongamento do período e diminuição da amplitude percentual

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