método de gauss não serve como alternativa de juros simples - luiz donizete teles

Método de Gauss não serve como alternativa de juros simpleshttp://jus.com.br/revista/texto/22021Publicado em 06/2012

Luiz Donizete Teles (http://jus.com.br/revista/auto r/luiz-donizete-teles)

Existe uma forma simples de verificar se o modelo escolhido traz a

cobrança de juros compostos: estudo dos fluxos de caixa de uma série de

pagamentos.

A comprovação de que ocorre a capitalização composta dos juros na Tabela Price ainda

tem gerado muita polemica. Há alguns anos escrevi alguns artigos nos quais tive como objetivo

mostrar que no Sistema Francês de Amortização - que no Brasil ficou conhecido como Tabela

Price - de fato ocorre a capitalização composta dos juros.

Vários trabalhos foram criados no sentido de indicar qual o método que poderia trazer a

eficiência econômica e técnica da TP, sem, contudo, promover a capitalização composta dos

juros.

Tenho visto, cada vez mais, colegas defendendo que um modelo matemático

desenvolvido por Carl Friedrich Gauss alcança tal objetivo. Devo discordar: o método de Gauss é

perfeito para outras aplicações matemáticas/estatísticas, mas não serve como alternativa à Tabela

Price.

Em meus artigos, demonstro que existe uma forma simples de verificar se o modelo

escolhido traz ou não em seu bojo a cobrança de juros compostos: estudo dos Fluxos de Caixa de

uma Série de Pagamentos

Assim, para facilitar o entendimento, proponho daqui para frente seguirmos estudando

alguns exemplos e, a partir deles, evoluirmos em nossa compreensão. Primeiro faremos algumas

simulações com juros compostos; depois partiremos para juros simples para, ao final, falarmos do

Método de Gauss.

Jus Navigandi

http://jus.com.br

Página 1 de 21Método de Gauss não serve como alternativa de juros simples - Revista Jus Navigan...

04/03/2013http://jus.com.br/revista/texto/22021/metodo-de-gauss-nao-serve-como-alternativa-de...

Valor Futuro = Valor Presente × (1 + i) n

Juros compostos: operações com uma única parcela .. .

Exemplo 1 :

Empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em uma única prestação ao final de 6

meses, com juros compostos de 3% ao mês, capitalizados mensalmente.

Aplicando a fórmula...

Valor Futuro = 120.000,00 × (1,03) 6 = 143.286,28

Assim, o devedor deverá pagar como única prestação ao final de 6 meses o valor de R$

143.286,28 Agora, e se tivéssemos a situação contrária, ou seja, se quiséssemos saber o valor

emprestado tendo as demais variáveis? Vejamos a seguir.

Exemplo 2 :

Empréstimo que será pago em uma única parcela de R$ 143.286,28 ao final de 6 meses,

com juros compostos de 3% ao mês. Qual o valor emprestado?



Ajustando a fórmula temos a seguinte situação:

Valor Presente = Valor Futuro ÷ (1 + i) n

Valor Presente = 143.286,28 ÷ (1,03) 6 = 120.000,00

Aplicando a fórmula no sentido contrário (apuração do Valor Presente a partir do Valor

Futuro) se obteve o valor original da operação, confirmando, inclusive que ocorreu a capitalização

composta dos juros.

Juros compostos: operações com varias parcelas ...

Exemplo 3 :

Compra de um imóvel no valor de R$ 120.000,00 a ser pago em 6 prestações com de R$

20.000,00 cada uma que serão acrescidas de juros compostos de 3% ao mês. Qual será o valor

das prestações em seus respectivos vencimentos?

Numa Série de Pagamentos cada prestação pode ser analisada como se fosse uma

operação independente. Neste como se tivéssemos vários empréstimos de mesmo valor sendo

concedidos a uma mesma pessoa no mesmo dia, com prazos de vencimento diferenciados. Basta

aplicarmos a taxa de 3% ao mês sobre cada uma das prestações de acordo com seus respectivos

vencimentos e alcançaremos os valores devidos.



Ajustando a fórmula ao nosso exemplo, temos:

Valor Futuro m = Valor Presente m × (1 + i) m

onde “m” representa o numero do termo

Vejamos agora a situação contrária: vamos apurar o Valor Presente da operação a partir

das prestações e, ao mesmo tempo, confirmar se na operação ocorreu a capitalização composta

dos juros

Exemplo 4 :

Compra de um imóvel cujo valor será pago em 6 prestações com valores crescentes

conforme fluxo abaixo com juros compostos de 3% ao mês . Qual o valor financiado?



Neste caso o Valor Presente de cada prestação representa a parte do capital financiada

por ela, e o somatório representa o total financiado. Para adequar a fórmula ao nosso exemplo

precisamos fazer os seguintes ajustes.

Valor Presente m = Valor Futuro m ÷ (1 + i) m

ou

VPm= VFm ÷ (1 + i) m

Aplicando o raciocínio ao exemplo proposto, temos a seguinte situação



Exemplo 5 :

Compra de um imóvel cujo valor será pago em 6 prestações de valores decrescentes

conforme fluxo abaixo, com juros compostos de 3% ao mês. Qual o valor financiado?

Aplicando o raciocínio temos...



Exemplo 6:

A compra de um determinado imóvel foi realizada mediante o pagamento de uma entrada

mais 6 prestações mensais de R$ 22.151,70. Sabendo-se que foram cobrados juros compostos

de 3% ao mês pergunta-se, qual a parcela financiada?



Até agora vimos aplicações com juros compostos. Vamos desenvolver o mesmo raciocínio

em exemplos com juros simples

Valor Futuro = Valor Presente × (1 + i × n)

Juros simples: operações com única parcela ...

Exemplo 7

Empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em uma única prestação ao final de 6

meses, com juros simples de 3% ao mês. Qual o valor total a ser pago?



.VF = 120.000,00 x (1 x 0,03 x 6) = 141.600,00

Total a ser pago = R$ 141.600,00

Exemplo 8 :

Empréstimo que será pago em uma única parcela de R$ 141.600,00 ao final de 6 meses,

com juros compostos de 3% ao mês . Qual o valor emprestado?

Ajustando a fórmula temos...

Valor Presente = Valor Futuro ÷ (1+ i × n)

VP = 141.600,00 ÷ (1+ 0,03 × 6)

Valor financiado = R$ 120.000,00

Juros simples: operações com várias parcelas ...

Exemplo 9 :

Compra de um imóvel no valor de R$ 120.000,00 a ser pago em 6 prestações de R$

20.000,00 que serão acrescidas cada uma de juros simples de 3% ao mês. Qual será o valor das

prestações em seus respectivos vencimentos e o valor total a ser pago?

Valor Futuro m = Valor Presente m × (1 + i × m)



Exemplo 10 :

Compra de um imóvel cujo valor será pago em 6 parcelas conforme série abaixo com

juros simples de 3% ao mês. Qual o valor financiado?

Ajustando e aplicando a fórmula dos juros simples no exemplo, alcançamos o seguinte

resultado.

Valor Presente m = Valor Futuro m ÷ (1+ i × m)

Página 10 de 21Método de Gauss não serve como alternativa de juros simples - Revista Jus Navi...


Exemplo 11

A compra de um determinado imóvel foi realizada mediante o pagamento de 6 prestações

mensais de R$ 22.052,41 . Sabendo-se que foram cobrados juros simples de 3% ao mês pergunta

-se, qual a parcela financiada?



A partir daqui passaremos a analisar o Método de Ga uss.

Todos os exemplos de séries de pagamentos sugeridos tomaram como referencia o valor

financiado de R$ 120.000,00 com parcelamento em 6 prestações e juros de 3% ao mês. Por eles

foi possível verificar as variações que surgem à medida que se muda formas de capitalização dos

juros. Os exemplos 3 e 4 representam um financiamento realizado pelo SAC – Sistema de

Amortização Constante com prestações crescentes. Os exemplos 5 e 6 representam

parcelamentos feitos pelo SAC com prestações decrescentes e Tabela Price.

Vamos aplicar a fórmula do Método de Gauss no modelo proposto e examinar seus

efeitos.



Aplicando a fórmula de Gauss...

Exemplo 12

A compra de um determinado imóvel de R$ 120.000,00 será realizada mediante o

pagamento de 6 prestações mensais e iguais com juros de 3% ao mês, calculadas pelo Método

de Gauss. Qual o valor das prestações?

Testando a fórmula de Gauss pelo Método de Fluxos d e Caixa ...

Exemplo 13

A compra de um determinado imóvel será realizada mediante o pagamento de 6

prestações mensais e iguais de R$ 21.953,49, Sabendo-se que foram cobrados juros simples de

3% ao mês pergunta-se, qual o valor financiado?



Examinando a série de pagamentos gerada pela aplicação do Método de Gauss

observamos que o pagamento de 6 prestações mensais e iguais de R$ 21.953,49, a juros simples

de 3% ao mês, não é suficiente para a liquidação do empréstimo. (O valor original é de R$

120.000,00 e o valor apurado para a série de pagamentos foi de R$ 119.461,69). A prestação

ideal teria que ser um pouco maior.

As prestações calculadas pelo Método de Gauss são sempre inferiores às necessárias

para liquidar um empréstimo que evolui a juros simples

Então onde está o equivoco, já que o modelo matemático de Gauss também se baseia na

Progressão Linear.



Para todo o tipo de operação de empréstimo existem dois agentes: quem tem os recursos

e avalia as vantagens de conceder o empréstimo nas condições propostas, e quem demanda dos

recursos e também avalia as condições.

Tendo em mente um determinado retorno financeiro o detentor dos recursos só decide a

favor do parcelamento se alcançar o mesmo retorno financeiro que obteria pelo recebimento em

uma única parcela.

Vejamos as operações descritas nos exemplos 1 e 6: o primeiro representa o pagamento

de R$ 120.000,00 em única prestação após 6 meses; o segundo se refere ao pagamento do

mesmo valor em 6 prestações mensais. Ambos com juros compostos de 3% ao mês.

Neste caso o detentor avaliará se o retorno em prestações será economicamente

equivalente ao pagamento em uma prestação. E as contas que faz para decidir podem ser assim

descritas.

Para fazer este cálculo sobre cada uma das prestações deverão ser creditados juros

desde o momento em ela foi paga até o final do período contratado. Considerando que os

pagamentos começam 30 dias após a operação (final de cada período), sobre a primeira

prestação serão creditados juros equivalente a 5 períodos; sobre a segunda serão creditados

juros equivalentes a 4 períodos, e assim por diante.

Fazendo o cálculo como se o empréstimo fosse pago em uma única prestação havíamos

alcançado o seguinte resultado:

Valor Futuro = 120.000,00 × (1,03) 6 = 143.286,28



Neste caso então o detentor dos recursos pode decidir a favor da concessão.

Vamos aplicar este mesmo raciocínio para o Método de Gauss. Fazendo o cálculo com

juros simples e pagamento em uma única prestação, alcançamos o seguinte resultado (exemplo

7)

VF = 120.000,00 (1 x 0,03 x 6) = 141.600,00

O Método de Gauss se baseia na Soma de Termos de uma Progressão Aritmética.

Partindo de um determinado valor (neste caso, R$ 141.600,00) ele permite calcular o valor do

termo (prestação) cuja soma de uma determinada progressão aritmética aplicada sobre ele,

resulte no valor esperado.

Calculando o retorno com base nas prestações calculadas pelo Método de Gauss, temos:

O cálculo do retorno do investimento é feito com base no valor cheio das parcelas. No

Método de Gauss o termo que se apura com base da progressão aritmética será a prestação

cheia. O problema está no fato de que em cada prestação existe uma parcela de juros que, pelo

fato do cálculo da progressão aritmética ser feito sobre o valor cheio, estará sofrendo a incidência

novos juros (juros sobre juros). Por isso, a prestação calculada pelo Método de Gauss é menor do

que se o cálculo do retorno pudesse ser feito sem que os juros contidos em cada prestação

sofressem a incidência de novos juros.



Assim, a prestação ideal para amortizar um empréstimo, a juros simples, será aquela que

elimine os efeitos da capitalização composta tanto para quem busca os recursos financeiros

(cálculo das prestações), quanto para quem está disposto a conceder o empréstimo (cálculo do

retorno).

O problema proposto no exemplo 13 teve como objetivo verificar se a prestação calculada

pelo Método de Gauss realmente servia para liquidar o empréstimo no tempo contratado.

Aplicando as técnicas de Fluxos de Caixas verificamos que a prestação era menor no que a

necessária. Pelas condições propostas, ela serviria para liquidar um empréstimo de R$

119.461,69 (e não do valor original, R$ 120.000,00).

Vamos desenvolver um modelo de cálculo que elimine os efeitos da capitalização

composta no cálculo do retorno do investimento para uma série proposta pelo Método de Gauss.

Para facilitar a compreensão, dividiremos os cálculos em duas etapas, conforme seguem.

- 1ª etapa – Apurando os valores das parcelas do ca pital e dos juros embutidos em

cada prestação

Para tanto, basta subtrairmos o VP apurado de cada prestação do valor cheio de cada

prestação.

- 2ª etapa – Inibindo a apropriação de juros sobre os juros embutidos nas parcelas

Para tanto precisamos calcular os juros somente sobre a parcela de capital de cada

prestação e, por fim, somar os juros embutidos nas prestações.



Fazendo o cálculo de maneira que os juros embutidos na prestação não sofressem novos

juros (juros sobre juros) chegamos à conclusão final que, na verdade, o retorno do investimento

por prestações calculadas pelo Método de Gauss é menor do que o retorno que se obteria com a

amortização em uma única parcela.

Para que haja a plena aplicação dos conceitos de juros simples é necessário que não

ocorra, nem no cálculo das prestações nem no cálculo do retorno do investimento, a apropriação

de juros sobre juros. E, neste caso, devido aos preceitos sobre os quais ele foi montado, o Método

de Gauss não serve como alternativa de juros simples.

Existe uma forma de calcular uma prestação que atenda a esta condição. No exemplo 11

temos esta situação. Para mostrar isto de forma mais clara vamos aplicar o raciocínio

desenvolvido acima

No problema proposto temos a seguinte situação: financiamento de R$ 120.000,00 a juros

simples de 3% ao mês, a ser pago em 6 prestações de R$ 22.052,41.

- Primeiro vamos apurar o valor do retorno do inves timento se o empréstimo fosse

pago em uma única parcela ao final de 6 meses

Valor Futuro = Valor Presente x (1 + i x n)

VF = 120.000,00 x (1 x 0,03 x 6) = 141.600,00



- Segundo, vamos apurar o VP de cada prestação (par cela de capital da prestação) e

VP total (total emprestado), pelo Método de Fluxo d e Caixa (para confirmar se a prestação irá

amortizar/liquidar a operação no tempo certo)

Pelo cálculo acima foi possível comprovar que R$ 22.052,41 é o valor adequado para

amortizar o empréstimo de R$ 120.000,00, nas condições sugeridas (juros simples de 3% ao mês

em 6 prestações).

- Terceiro, vamos calcular o retorno do investiment o com base nas prestações, sem

apropriar juros sobre os juros já embutidos nas pre stações.

Para tanto, basta calcular os juros referentes à progressão aritmética somente sobre a

parcela de capital de cada prestação e, ao final, somar os juros que já estavam embutidos em

cada uma delas. Assim não estaremos apropriando juros sobre juros.



Verificamos que R$ 22.052,41 é o valor adequado para liquidar a operação, sem que haja

a incidência de juros sobre juros tanto quando se calcula a prestação quanto se apura o retorno.

Conclusão

O Método de Gauss é um modelo de cálculo perfeito nas aplicações para as quais ele foi

criado, mas não serve como alternativa de juros simples em operações financeiras.

Se levarmos em consideração que nas operações de empréstimo não pode haver a

capitalização composta de juros, devemos supor que isto não pode ocorrer a favor de quem está

fornecendo os recursos e nem a favor de quem os está recebendo.

O Método de Gauss toma como referência o retorno do investimento que um determinado

valor poderá propiciar. Ocorre que, no caso de operações de empréstimos, as prestações são

compostas de capital e juros, juros estes que, em razão dos cálculos que são feitos para apurar o

retorno do investimento, sofrem a incidência de novos juros. Isto causa uma distorção a favor do

devedor, na medida em que, justamente por causa da capitalização composta que ocorre no

cálculo do retorno, para se alcançar o retorno esperado, a prestação calculada pelo Método de

Gauss é menor.

Existe um modelo matemático através do qual podemos calcular uma prestação de igual

valor pela qual seja possível amortizar um empréstimo a juros simples, tema que tratarei em outro

artigo (A capitalização de juros nos sistemas de amortização adotados no Brasil).



Coloco-me à disposição de todos para esclarecimentos e discussões a respeito deste

tema.

Autor

Informações sobre o texto

Como citar este texto (NBR 6023:2002 ABNT):

TELES, Luiz Donizete. Método de Gauss não serve como alternativa de juros simples. Jus Navigandi , Teresina, ano 17 (/revista/edicoes/2012), n. 3274 (/revista/edicoes/2012/6/18), 18

(/revista/edicoes/2012/6/18) jun. (/revista/edicoes/2012/6) 2012 (/revista/edicoes/2012) . Disponível em: <http://jus.com.br/revista/texto/22021>. Acesso em: 4 mar. 2013.

Luiz Donizete Teles (http://jus.com.br/revista/auto r/luiz-donizete-teles)

Economista e perito judicial

www.ldtpericias.com (http://www.ldtpericias.com)



método de gauss não serve como alternativa de juros simples - luiz donizete teles

Documents