método das forças

Capítulo 4

Método das forças

Esta é uma versão de trabalho desse capítulo, por isso não deixa de consultaros apontamentos das aulas teóricas!

4.1 Introdução ao Método das Forças

Um modelo estrutural para poder representar o comportamento da estrutura realtem que satisfazer as seguintes condições matemáticas: condições de equilíbrio (es-táticas), condições de compatibilidade (cinemáticas) e ascondições de comporta-mento dos materiais (leis constitutivas).

O Método das Forças é um método básico de análise para problemas hiperstáticosque utiliza incógnitas principais forças e momentos que podem ser reacções ouesforços internos.

O Método das Forçasconsta em determinar dentro de um conjunto de soluçõesequilibradas (mas não compatíveis), qual é a solução que satisfaz também as con-dições de compatibilidade.

Na formalização do Método das Forças as condições básicas doproblema devemser atendidas pelo seguinte ordem:

1. condições de equilíbrio - estáticas;2. condições de comportamento dos materiais - lei constitutiva;3. condições de compatibilidade - cinemáticas.

Na prática, para análise de uma estrutura hiperstática somam-se uma série de so-luções básicas - que satisfazem o equilíbrio mas não satisfazem as condições decompatibilidade da estrutura original - para re-estabelecer as condições de compa-tibilidade da estrutura original.

As soluções básicas são obtidas numaestrutura auxiliar isostáticaobtida a partirda estrutura original introduzindo libertações e chama-sesistema base. As forçase/ou momentos correspondentes as ligações eliminadas são incógnitas do problemahiperstático.

46

CAPÍTULO 4. MÉTODO DAS FORÇAS 47

4.2 Grau de indeterminação estática das estruturasreticuladas

4.2.1 Introdução

Ao analisar o comportamento de uma estrutura sujeita a uma determinada solici-tação, as incógnitas de natureza estática são as reacções - que se desenvolvem nosaparelhos de apoios - e os esforços que se instalam nos elementos resistentes.

As ligações externas e internas servem para suprimir os graus de liberdade do sis-tema, determinando a suaestatia.

O nosso interesse é saber se a determinação das reacções externas e inter-nas/esforços pode ser feita através das equações de equilíbrio?

O conceito da isoestatia é tradicionalmente ilustrada e analisada recorrendo àses-truturas arborescentes: peça contínua, com uma ligação ao meio exterior por en-castramento e caracterizada pela existência de um caminho único que liga umasecção com um outro qualquer (nenhuma barra se fecha sobre si).

Uma estrutura arborescente éinteriormente ( i.e existe um único caminho de es-coamento dos esforços que se transmitem ao meio de fundação )e exteriormente( i.e o encastramento é capaz de mobilizar o número e tipo de reacções necessáriose suficientes para equilibrar qualquer solicitação ) e por consequência é tambémglobalmente isostática.

A estatianão depende das forças aplicadas apenas de ligações externas e internase a sua correcta distribuição, apesar de existirem situações em que um sistemahipostático pode estar em equilíbrio para um caso de carregamento particular.

A hiperstatia de uma estrutura resulta de um excesso de ligações entre os elemen-tos que a compõem ou destes ao meio de fundação. Dependendo, se o excesso semanifesta ao nível das ligações dos elementos ao meio da fundação a estrutura diz-seexteriormente hiperstática - deixa de existir um único caminho entre a cargaaplicada e o meio da fundação e as equações estáticas deixam de ser suficientespara calculas todas as reacções de apoio.Se o excesso se manifesta entre os próprios elementos a estrutura diz-seinterior-mente hiperstática. A fechar uma malha passa a existir mais de que um caminho


ligando uma secção da estrutura com qualquer outra contida na malha e não sepodem quantificar os esforços recorrendo apenas as equaçõesde Estática.Existem várias formas de determinar o grau dehiperestaticidade ougrau de inde-terminação estática, algumas dessas serão analisadas a seguir.

4.2.2 Estaticidade global

Método das estruturas arborescentes

A avaliação da estaticidadeglobal pode ser feita, utilizando o método dasestruturas arborescentes. O grau de indeterminação estática de uma estrutura ar-borescente é igual a zero, pois é globalmente isostática.

O método das estruturas arborescentesconsiste em transformar a estrutura ori-ginal numa ou mais estruturas arborescentes através decortes de ligaçõesou in-trodução de ligações.

Cortar ligações significa fixar em zero o valor do esforço ou reacção na ligaçãosuprimida.

Introduzir ligações significa fixar em zero o deslocamento (rotação) correspon-dente, o que corresponde a considerar um esforço (ou reacção) adicional na ligaçãointroduzida.

O grau de indeterminação estática globalé dado pela soma algébrica do númerode cortes (+) e do número de ligações introduzidas (−).Para efeitos práticos os cortes serão feitos de modo que cadacorte anule três esfor-ços, passa por um ponto pertencente a barra (encastramento)e cada ligação introduzum esforço. Nesse caso aestatia globalpode ser calculada utilizando a seguinteformula:

αg = 3×Ncortes −Nligacoes (4.1)

Análise da estaticidade com base nos graus de liberdade não suprimidos

Para determinar a estatia de uma estrutura (um sistema de corpos rígidos) é ne-cessário calcular o número degraus de liberdade não suprimidosm, definido


como a diferença entre o número de graus de liberdade do sistema e o número dasreacções internas e externas é dado pela formula:

m = 3(6)×N − (Nre + Nri) (4.2)

em queN representa o número dos corpos rígidos eNre eNri, número das reacçõesexternasre e internasri, calculam-se tendo em conta a equivalência dos apoios como número de reacções correspondentes.

O númerom permite obter informação relativamente a relação que existe entre onúmero total dos graus de liberdade e o número das reacções, mas não forneceinformação sobre o posicionamento dessas ligações. A análise da estatia requer averificação da condição da estabilidade geométrica da estrutura.

• Se om = 0 e as ligações externas e internas garantem a fixação do sistema,então o sistema é isostático e as reacções externas e internapodem ser deter-minados através das equações de equilíbrio.

• Sem < 0, as ligações, se bem colocadas, são em excesso e a estrutura éhiperstática.

• Sem > 0 existem graus de liberdade não suprimidos e a estrutura é hipostá-tica.

Análise da estaticidade através da estrutura fundamental

Designa-se porestrutura fundamental uma estrutura contínua sem libertações in-ternas em que todas as ligações ao meio de fundação se realizam por encastramentoperfeito.

Malha "fechada"

ficticia

O número das reacções de apoio possíveis,r, paraNf nós de fundação e a estatiaexterna são dados por:

r = 3(6)Nf ; αe = 3(6)× 2− 3(6) = +3(6)

Uma malha fechada, formada das barras da estrutura é três vezes hiperstática, assimcomo a malha fechada “fictícia” formada das barras que ligam aestrutura ao meiode fundação.Uma estrutura com libertações externas e/ou internas pode ser reduzida à estruturafundamental correspondente bloqueando todas as libertações existentes (internas e


externas). Para efeitos práticos de cálculo da estatia global da estrutura fundamentalcom um único nó de fundação vai conter um númeroC de malhas fechadas.

αg = 3(6)× C −NLi −NLe (4.3)

ondeNLe e NLi representam o número das libertações externas e internas, respec-tivamente.

C1C2

C3

1

1 1

1

2

Para o exemplo consideradoC = 3, as libertações externasNLe = 3 e as libertaçõesinternasNLi = 3, sendo a estatia global:

αg = 3× 3− (3 + 3) = 3

A estruturas analisada é três vezes hiperstática.

ObservaçãoA maneira mais simples de evitar má interpretação gráfica de umaestrutura é trabalhar sobre o modelo discretizado, introduzindo nós para delimitaras barras o que obriga localizar as libertações de uma maneira inequívoca.

Incluir figura

4.2.3 Estaticidade externa, interna e global

A estatiade uma estrutura pode ser avaliada com base em análise de número dasligações em excesso, insuficiente ou estritamente necessário para manter o equilí-brio, em base daestatia externa(αe) e interna (αi).

Estatia exterior

1. Método directo - com base no número de incógnitas estáticas externas.

A estatia exteriorcalcula-se considerando a estrutura como um único corporígido e analisando a relação entre as ligações com o exterior e número das


equações de equilíbrio independentes, da seguinte forma:

αe = Nre − 3(6) (4.4)

em queNre representa o número de reacções simples equivalentes aos apoios.

2. Com base na estrutura fundamental e libertações externas. Caso exis-tem libertações externas na estrutura, isto é os apoios não são encastramentosperfeitos, obriga a ser nula a reacção de apoio correspondente o que corres-ponde a uma equação estática suplementar.

αe = 3(6)(Nf − 1)−NLe (4.5)

Estatia interior

A estatia interior mede a possibilidade dos deslocamentos (de corpo rígido) rela-tivos entre vários componentes da estrutura e é igual com o número das ligaçõesinternas necessárias para impedir o deslocamento relativoente as partes constitu-entes. Para o seu cálculo existem vários métodos.

1. Com base no número de incógnitas estáticas internas. Para o seu cálculoconsidera-se a estrutura com sendo um sistema deN corpos rígidos, dosquais um é fixo (ligado completamente pelas reacções externas) e que(N − 1) corpos estão livres correspondendo a cada um três (respectivamenteseis) graus de liberdade.

αi = Nrri − 3(6)× (N − 1) (4.6)

em queNri representa o número de reacções simples equivalentes ao tipo deligação interna existente entre os corpos.

2. Com base no número de libertações internas. Para o seu cálculo contam-se:

– o número daslibertações internas: NLi de acordo com o tipo da li-gação existente entre as várias componentes da estrutura e que permiteescrever equações de equilíbrio suplementares.

– o número dasmalhas fechadasdepois de desligar a estrutura do meioda fundação:NMF . Uma malha fechada é internamente três vezes hi-perstática no plano e seis vezes em3D.

O grau de estatia interna calcula-se de acordo com a seguinteformula:

αi = 3(6)×NMF −NLi (4.7)

De acordo com o resultado obtido, uma estrutura pode encontrar-se numa das se-guintes situações:


• Se oαi = 0 e se as ligações internas garantem a estabilidade geometrica-mente da estrutura, então é internamente isostática.

• Seαi > 0, as ligações, se bem colocadas, são em excesso e a estrutura éinternamente hiperstática.

• Seαi < 0 existem graus de liberdade não suprimidos e a estrutura é interna-mente hipostática.

Estatia global

A estatia globalobtêm-se somando o grau da estatia externa (4.4) ou (4.5) e internacalculada através de uma das equações (4.6) ou (4.7):

αg = αe + αi (4.8)

ou obtida directamente por uma das relações:

• αg = Nre + Nri − 3(6)×N

• αg = Nre + 3(6)×NMF −NLi − 3(6)

• αg = 3(6)× (Nf + NMF − 1)−NLe −NLi

De acordo com o resultado obtido, uma estrutura pode encontrar-se numa das se-guintes situações:

• Se oαg = 0 e as ligações garantem que o sistema de corpos rígidos é geo-metricamente estável, então o sistema diz-seglobalmente isostático.

• Seαg > 0, as ligações, se bem colocadas, são em excesso e a estrutura églobalmente hiperstática.

• Seαg < 0 existem graus de liberdade não suprimidos e a estrutura é global-mente hipostática.

Considerações relativamente a estatia

Como foi já mencionado as ligações externas e internas servem para suprimir osgraus de liberdade do sistema, determinando a suaestatia.

Com tudo é importante ter em atenção que os métodos pelo qual se calcula a estatianão conseguem captar informações sobre a correcta distribuição dos apoios exter-nos e as ligações internas. Pelo que é necessário garantir que as equações de equi-líbrio estáticas são independentes isto é as ligações externas conseguem mobilizartodas as reacções capazes de equilibrar qualquer solicitação externa. É importantetambém garantir a estabilidade da estrutura e a sua indeformabilidade geométricaou seja a correcta distribuição das libertações internas presentes na estrutura.


No caso 2D existem duas situações em que os resultados obtidos para a estatiaglobal em estruturas sem libertações produzem resultados falsos. Se as reacçõestodas forem paralelas entre elas ou convergentes todas num ponto qualquer.

Outro tipo de situações em que as formulas usadas para determinar a estatia nãoconseguem produzir resultados correctos é a impossibilidade da representação grá-fica do comportamento de um determinado tipo de elemento estrutural. Caso típicodas estruturas atirantadas.

Incluir exemplo

Para introduzir no modelo gráfico da estrutura discretizadaa informação que notiranteABC só existe esforço axial colocam-se articulações adicionais.

Incluir Figura - estrutura atirantada

O que caracteriza um tirante não é só de estar sujeite a esforço axial mas tambémo facto que esse esforço ser o mesmo em toda peça! Isto implicaa existência de termais uma equação de equilíbrio adicional.


4.2.4 Exemplos de estudo da estatia

Problema 4.9 Calcule a estatia de cada um dos sistemas. (Considere cada barracomo um corpo rígido.)

e)

ENC

ENCENC

f)

a) b)

ENC

ENC

c)

d)

A resolução está apresentada na Tabela, na base dos DCLs paracada caso.

NRREXT NRRINT NC αe αi αg Estatia

a) 3 2× 3AF 3 0 0 0 isostáticab) 3 2× 6AF 5 0 0 0 isostáticac) 3 3× 2ENC 2 0 3 3 hiperstática∗ - intd) 4 2× 13AF 10 1 -1 0 isostática∗∗

f) 6 2× 6AF + 3× 4ENC 9 3 0 3 hiperstática∗ - ext∗ Estrutura hiperstática do 3o grau

Observações

• Casoc): Para calcularαi é preciso eliminar as malhas fechadas, efectuandoum corte horizontal ou vertical na estrutura em que se obtêm duas partes(dois corpos rígidos) ligados entre si por dois encastramentos.

• Casod) ∗∗: Os cálculos mostram que o sistema é isostático, mas as ligaçõesinternas são mal colocadas pelo que a estrutura é hipostática do 1o grau,


apesar de ser hiperstática exteriormente. Na figurae) mostra-se a estruturageometricamente indeformável.

• Casof): Para calcularαi efectuam-se dois cortes para abrir as malhas fe-chadas.

Problema 4.10 Determine a estatia das seguintes estruturas planas.

Resolução: A estatia é estudada através de dois métodos:

• método das estruturas arborescentes:αg = 3×NC −Nl

• análise da estatia externa, interna e global:αe = Nre − 3 ;αi = 3×NMF −NLi

f)

a)

c)

b) d)

e)

Nc =4Est = 3x4−9 = 3

Nl = 9

Nc =3Est = 3x3−9 = 0

Nl = 9

Nc =4Est = 3x4−11 = 1

Nl = 11

Nc =5Est = 3x5−11 = 4

Nl = 11

Nc =2Est = 3x2−6 = 0

Nl = 6

Nc =4Est = 3x4−6 = 6

Nl = 6

a) Nre = 3× 1 + 2 = 5 ; NLi = 2 ; NMF = 0

αe = 5− 3 = 2 ; αi = 3× 0− 2 = −2 ⇒ αg = αe + αi = 2− 2 = 0

b) Nre = 2× 1 + 1 = 3 ; NLi = 8 ; NMF = 3

αe = 3− 3 = 0 ; αi = 3× 3− 8 = 1 ⇒ αg = αe + αi = 0 + 1 = 1

c) Nre = 2× 1 + 1 = 3 ; NLi = 6 ; NMF = 2

αe = 3− 3 = 0 ; αi = 3× 2− 6 = 0 ⇒ αg = αe + αi = 0 + 0 = 0

d) Nre = 2× 1 + 2 = 6 ; NLi = 6 ; NMF = 2

αe = 6− 3 = 3 ; αi = 3× 2− 6 = 0 ⇒ αg = αe + αi = 3 + 0 = 3


e) Nre = 2× 1 + 1 = 3 ; NLi = 8 ; NMF = 4

αe = 3− 3 = 0 ; αi = 3× 4− 8 = 4 ⇒ αg = αe + αi = 0 + 4 = 4

f) Nre = 3 + 2 = 5 ; NLi = 5 ; NMF = 3

αe = 5− 3 = 2 ; αi = 3× 3− 5 = 4 ⇒ αg = αe + αi = 2 + 4 = 6

Problema 4.11 Determine a estatia da estrutura:

e)

Nc =4Est = 6x4−0 = 24

Nl = 0

Nre = 6× 4 = 24 ; NLi = 0 ; NMF = 1αe = 24− 6 = 18 ; αi = 6× 1− 0 = 6 ⇒ αg = αe + αi = 18 + 6 = 24Do estuda da estatia resulta que a estrutura é 24 vezes hiperstática.

4.3 Metodologia de análise pelo Método das Forças

4.3.1 Descrição do Método das Forças

Para apresentar a metodologia de análise de uma estrutura hiperstática pelo métododas forças será utilizado um exemplo simples.

Grau de hiperestatia e sistema base Para analisar a estrutura determina-se ograu de hiperestatia ou de indeterminação estática(α = αg) o que representara onúmero de incógnitas excedentes ao número de equações de equilíbrio.

b)

θC 6= 0A

qSistema base (SB)

X2C

q

B

a)

X1C

∆Bv 6= 0l l

θC = 0B

EI

A∆B

v = 0

Figura 4.1: Estrutura utilizada para descrição do método das Forças e escolha doSistema Base para (α = 3× 2− 4 = 2)


A solução do problema hiperstático pelo Método das Forças é feita pela sobre-posição de soluções básicas isostáticas. Para isso cria-seuma estrutura isostáticaauxiliar, chamadaSistema Base (SB), que é obtida da estrutura original hipers-tática pela introdução de libertações. Cada libertação retira uma força externa ouinterna.A escolha do SB é arbitrária, qualquer estrutura isostáticaé válida desde que sejaestável estaticamente. Pela introdução das libertações não se deve transformar aestrutura num mecanismo total ou parcial!

Nota Em situações especificas o número de libertações pode ser menor do queo grau de hiperstatia da estrutura desde que a estrutura hiperstática resultante ésimples e a análise fácil de fazer.

As forças correspondentes as ligações cortadas (reacções externas e/ouesforços)chamam-se incógnitas hiperstáticas(Xi) onde(i = 1, α) e são as incóg-nitas da solução pelo Método de Forças.

Reposição das condições de compatibilidadeAs libertações introduzem incom-patibilidade em deslocamentos. Para corrigir esses “erros” procuram-se os valoresdas incógnitas hiperstáticas que re-estabelecem as condições de compatibilidadeda estrutura original violadas na obtenção do SB. A determinação das incógnitas(Xi) é feita através da sobreposição das soluções básicas obtidas no SB. O númerodestas soluções é igual à(α + 1).

∆20∆10

δ11 δ21

δ22δ12

X1 = 1

X2 = 1

A

A

A

C

C

C

q

∆10 = − 5ql4

24EI; ∆20 = − ql3

3EI

δ11 = l3

6EI; δ21 = l2

4EI

δ12 = l2

4EI; δ22 = 2l

3EIc)

b)

a)

Figura 4.2: Incompatibilidades no Sistema Base

Calculam-se os deslocamentos no SB provocados pela solicitação externa (forçasexternas aplicadas, variação da temperatura, assentamento de apoios, etc...) se-gundo a direcção das incógnitas hiperstáticas, Figura 4.2.a.O ∆i0 representa o deslocamento no SB segundo a direcção da incógnita hiperstá-ticaXi devido a solicitação externa.

Os deslocamentosδij nos mesmos pontos e segundo as mesmas direcções do SBsão obtidos devido a acção isolada das incógnitas hiperstáticas, Figura 4.2.b,c.


O termoδij representa o deslocamento no SB segundo a direcção da incógnitahiperstáticaXi devido a solicitaçãoXj = 1.

Nota Para cálculo de deslocamentos nesse Capítulo será utilizado o Princípio doTrabalho Virtual Complementar ou ainda Princípio das Forças Virtuais.

A partir dos resultados obtidos, utilizando a sobreposiçãodos efeitos, escrevem-seas condições de compatibilidade para eliminar os “erros” introduzidos na SB.

∆BV = 0 : ∆10 + δ11X1 + δ12X2 = 0

θC = 0 : ∆20 + δ21X1 + δ22X2 = 0

Estas condições são em número(α) e a solução do sistema obtida representa ovalor da incógnita hiperstática(X1 e X2) para qual se verifica a anulação das in-compatibilidades.

Em geral a condição de compatibilidade é:

∆i0 +

α∑

j=1

δijXj = ∆i , i = 1, α (4.9)

Desta forma atingiu-se a solução correta para a estrutura original, pois alem desatisfazer as condições de equilíbrio (sempre satisfeita no SB) também satisfaz ascondições de compatibilidade.

Determinação dos esforços internos Depois de obter os valores correctas das in-cógnitas hiperstáticas é necessário obter os diagramas de esforços e deslocamentosna estrutura.

Os diagramas de esforços podem ser obtidos por um dois seguintes métodos:

1. Aplicando à SB o carregamento externo em simultâneo com asincógnitas hi-perstáticas.

2. Utilizando a sobreposição dos efeitos uma vez que já estãodisponíveis os esfor-ços no SB da acção isolada da solicitação externa e das incógnitas hiperstáticas.

(Esf)f = (Esf)0 +

α∑

i=1

Xi (Esf)i

onde o(Esf)f representa o esforço final na estrutura original,(Esf)0 o esforço noSB devido a solicitação externa,(Esf)i o esforço no SB originado pela solicitaçãoisolada da incógnitaXi = 1.

4.3.2 Matriz de flexibilidade

A equação de compatibilidade (4.9) pode ser escrita sob forma matricial:

FX = ∆−∆0 (4.10)


em que:

• F[δij ] – é a matriz de flexibilidade eδij representa o coeficiente de flexibili-dade, isto é translação ou rotação no SB segundo a direcção daincógnitaXi

devido a carregamentoXj = 1.

• X[Xj] – é o vector das incógnitas hiperstáticas;

• ∆[∆i] – vector dos deslocamentos impostos.∆i representa o deslocamentoimposto segundo a direcção da incógnita hiperstáticaXi;

• ∆0[∆i0] – vector das descontinuidades.∆i0 representa o deslocamento se-gundo a direcção da incógnita hiperstáticaXi devido a solicitação externa;

Para o exemplo considerado temos:

F =

[

δ11 δ12

δ21 δ22

]

=

l3

6EIl2

4EI

l2

4EI2l

3EI

X =

[

X1

X2

]

; ∆ =

[

∆1

∆2

]

= 0 ; ∆0 =

[

∆10

∆20

]

= −ql3

24EI

[

5l8

]

A matriz de flexibilidade(F ) depende das propriedades da estrutura e do SB esco-lhido.

Nota 1: A matriz da flexibilidade é uma matriz simétrica (pode ser demonstradopelo teorema de Maxwell):

δij = δji e δii > 0

Nota 2: Os coeficientes de flexibilidade que correspondem a um dado caso básicotem o mesmo índicej (cada coluna da matriz representa os deslocamentos obtidospara o mesmo carregamento unitário).

O vector das descontinuidadesdepende da solicitação externa e da propriedade daestrutura. Para um outro carregamento mantendo o mesmo SB é necessário recal-cular apenas o vector das descontinuidades.

A solução da equação (4.10) é:

X = F−1 (∆−∆0)

Para o caso analisado temos:

F−1 =

12EI

7l3

[

8 −3l−3l 2l2

]

⇒ X =ql

14

[

16l

]

Os esforços podem ser obtidos resolvendo a estrutura isostática com o carrega-mento representado ou aplicando a sobreposição dos efeitos.


X1 =8ql

7; X2 =

ql2

14 ��

1/14ql2

AB

C

q

8/7qll l

4.3.3 Sistematização de aplicação do método das forças

1. Identificação do grau de hiperestaticidade ou de indeterminação estática(α)da estrutura, igual ao número de incógnitas excedentes ao número de equa-ções de equilíbrio.

2. Constituição do Sistema Base (SB): obtenção de um sistemaestrutural isos-tático, através da eliminação de ligações internas e/ou externas e introduçãodas incógnitas hiperstáticas correspondentes as ligaçõeseliminadas.

3. Cálculo do sistema base para acções consideradas. Obtenção dos diagramasM0, N0, V0 eT0 (Condições de equilíbrio satisfeitas).

4. Cálculo do sistema base para acções unitárias em correspondência com asincógnitas hiperstáticas. Obtenção do diagramas para cadacarga unitária:mi,ni, vi e ti. (Obtenção deα sistemas equilibrados).

5. Cálculo dos deslocamentos no sistema base para acções consideradas se-gunda a direcção das incógnitas hiperstáticas, utilizandoo PFV e os sistemasequilibradas obtidas na alínea anterior. (Relações de elasticidade satisfeitas).

∆i0 =∑

nb

∫ l

0

(

N0ni

EA+

V0vi

GA⋆+

M0mi

EI+

T0ti

GIt

)

dx−∑

k

rki ∆

k0

+

+∑

j

∫ l

0

(

αt0ni + α∆t

hmi

)

dx +∑

l

niN0

k+

∑

n

miM0

kθ

(∆i0) é o deslocamento segundo a direcção da incógnita hiperstáticai quandono SB actua a solicitação externa.

6. Cálculo dos deslocamentos no sistema base para cada uma das cargas uni-tárias segundo a direcção das incógnita hiperstáticas, utilizando o PFV e ossistemas equilibradas obtidas. (Relações de elasticidadesatisfeitas).

δij =∑

nb

∫ l

0

(

ninj

EA+

vivj

GA⋆+

mimj

EI+

titj

GIt

)

dx +∑

l

ninj

k+

∑

n

mimj

kθ

onde(l) e (n) representa o número das molas de translação e de rotaçãopresentes na estrutura e(δij) é o deslocamento na direcção da incógnita hi-perstáticai quando o SB é solicitada por uma carga unitária emj.


7. Imposição dos valores dos deslocamentos pretendidos na direcção das incóg-nitas hiperstáticas, utilizando o princípio da sobreposição dos efeitos. (Impo-sição das condições de compatibilidade).

∆i0 + δi1X1 + δi2X2 + · · ·+ δiαXα = ∆i

8. Resolução do sistema de equações:

δ11X1 + δ12X2 + · · ·+ δ1αXα = ∆1 −∆10

δ21X1 + δ22X2 + · · ·+ δ2αXα = ∆2 −∆20

· · · · ··δα1X1 + δα2X2 + · · ·+ δααXα = ∆α −∆α0

9. Determinação das restantes quantidades que interessam(S(x)): deslocamen-tos dos outros pontos, reacções, esforços/diagramas etc. apartir do SB ou porsobreposição dos efeitos.

S(x) = S0(x) + s1(x) X1 + s2(x) X2 + · · ·+ sα(x) Xα

4.3.4 Exemplos de aplicação do método das Forças

O sistema base pode ser obtida introduzindo na estrutura hiperstática libertaçõesexternas (eliminar apoios) ou libertações internas (introduzir libertações de esfor-ços).

Sistema base obtido por eliminação de apoios

Problema 4.12 Determine os diagramas de esforços na estrutura:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

q

ll l

EI

X1 X2

SB

p(2l)2/2pl2/2

X2 = 1

l

2l l

M0

X1 = 1

m2

m1

Estatia:αg = α = 5− 3 + 0 = 2

Incompatibilidades:

∆10 =

∫

M0 m1

EIdx

∆20 =

∫

M0 m2

EIdx

δ11 =

∫

m1 m1

EIdx

δ22 =

∫

m2 m2

EIdx

δ12 = δ21 =

∫

m1 m2

EIdx


Calculo dos deslocamentos (incompatibilidades):

��

��

��

��

l

p(2l)2/2pl2/8

pl2/2pl2/8

EI∆10 =2

3

p l2

8l ×

1

2l −

1

2l × 2 p l2 ×

2

3l +

+2

3

p l2

8l ×

1

2l −

1

2l ×

3

2p l2 ×

2

3l −

−p l2

2l ×

l

2= −

4

3p l4

��

��

��

��

pl2/8

2pl2

p(2l)2/8

2l

EI∆20 =2

3

p l2

8l ×

1

22 l −

1

2l × 2 p l2 ×

2

32 l +

+2

3

p (2 l)2

8(2 l)×

1

2(2 l)−

−1

2(2 l) 2 p l2 ×

2

3(2 l) = −

13

4p l4

δ11 =

∫

m1 m1

EIdx =

1

2l × l ×

2

3l +

1

2l × l ×

2

3l =

2

3

l3

EI

δ22 =

∫

m2 m2

EIdx =

1

2l × (2 l)×

2

3(2 l) +

1

2(2 l)× (2 l)×

2

3(2 l) =

4 l3

EI

��

��

��

l

2l

l

2l

l

δ12 =

∫

m1 m2

EIdx

=1

2l × l ×

2

32 l +

1

2l × l × (

l

3+

2

3(2 l)1

δ12 =3

2

l3

EI

Imposição das condições de compatibilidade:

{

δ11X1 + δ12X2 + ∆10 = 0δ21X1 + δ22X2 + ∆20 = 0

⇔

2

3

l3

EIX1 + 3

2

l3

EIX2 −

4

3EIp l4 = 0

3

2

l3

EIX1 + 4 l3

EIX2 −

13

4EIp l4 = 0


2

3X1 + 3

2X2 = 4

3p l

3

2X1 + 4X2 = 13

4p l

⇔

X1 = 11

10p l

X2 = 2

5p l

Esforços finais são obtidos por sobreposição dos efeitos:

��

��

��

��

��

��

��

��

��

4 (pl2)/5

Mf = M0 + m1X1 + m2X2

X1 m1

X2 m2

pl2/10

(−1/8 + 1/5)pl2 = 3(pl2)/40

(−9/8 + 11/20 + 3/5)pl2 = (pl2)/40

M0

ll l

EI

q

11 (pl2)/10

p(2l)2/2(pl2)/2

9(pl2)/8

2(pl2)/5

Sistema base obtido por introdução de rótulas internas

Problema 4.13 Escolhendo outro sistema base.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��M0

q

ll l

EI

m2

m1

X1X2

SB

X2 = 1

X1 = 1

q

pl2/8

EI∆10 = 2×

(

2

3

p l2

8l ×

1

2

)

=p L3

12

∆20 = ∆10

EIδ11 = 2×

(

1

2l × 1×

2

3× 1

)

=2

3l

δ22 = δ11

EIδ12 = EIδ21 =1

2l × 1×

1

3=

l

6


2

3

lEI

X1 + l6EI

X2 + p l2

12EI= 0

l6EI

X1 + 2

3

lEI

X2 + p l2

12EI= 0

⇔{

X1 = X2 = −p l2

10

Esforços finais são obtidos por sobreposição dos efeitos:

��

��

��

��

��

��

��

��

q

ll l

EI

pl2/8

M0

X1 m1

pl2/10

X2 m2

pl2/10

pl2/10M = M0 + m1X1 + m2X2

(−1/20− 1/20 + 1/8)pl2 = pl2/40(−1/20 + 1/8)pl2 = 3/40pl2

4.3.5 Análise de estruturas sujeitas à variação da temperaturae à pré-esforço

Variação da temperatura

A variação da temperatura no exemplo apresentado, Figura 4.3, é constante aolongo do eixo da barra e linear na altura da secção.

O sistema base é obtido libertando o apoio emB. O deslocamento provocado pelavariação da temperatura (parcela∆ t) é∆B = ∆10:

∆10 =

∫

mα∆ t

hdx

o que deve ser corrigido pelo deslocamento provocado pela incógnita hiperstáticaX, que produz o deslocamentoδB1 = δ11:

EIδ11 =

∫

mmdx

A condição da compatibilidade é:

∆10 + δ11 = 0 ; → X = −∆B

δB1


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Α ΒC

Α C

δB1

SBtiX1

αt0

α∆t/h

m

n

∆Bv = 0

tet0 = ti+te

2

ti ∆ t/2

∆ t = ti − te

te

ti

te

∆C∆ t + t0∆B

X1 = 1

te

∆ t

t0

X1

ti

Figura 4.3: Variação de temperatura constante ao longo do eixo da barra e linear naaltura da secção

Pré-esforço

O sistema base é obtida libertando o momento no apoioB.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

ΑΒ

CΑ

ΑΒ

SBX1

X1

∆B

δB

MB = X1

cabo depre-esforço

∆B + δB X1 = 0

X = −∆B

δB

O deslocamento provocado pelo cabo de pré-esforço no sistema base é a rotaçãoemB que está corrigido pela rotação provocada pela incógnita hiperestáticaX1.


4.3.6 Análise de estruturas com assentamento de apoio ouapoios elásticos

Estrutura sujeite à solicitação simultânea de uma carga distribuída e um desloca-mento∆ imposto:

• assentamento de apoio (deslocamento imposto - valor definido)

• apoio elástico (mola de translação - deslocamento com valorem função doesforço e a rigidez da mola. Exemplo|∆| = |R|

kpara uma fundação elástica

de rigidezk.

∆l

h

q q

∆

X1

X2

X3

SB

A B

O sistema base é obtida libertando o apoio emB (X1, X2 eX3).Os deslocamentos provocados pela acção isolada das solicitações obtêm-se combase em soluções básicas(Xi = 1).


��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

m1 v1 n1

m2 v2

v3 n3

M0 V0 N0

m3

δ12δ32

δ22

n2

δ31

δ21

δ11

∆10∆30

∆20

qpl2/2

pl

pl

1

11

h

1

δ13

δ23

δ33

X1 = 1

X2 = 1

X1 = 1

l1

As equações de compatibilidade escrevem-se:

∆10 + δ11X1 + δ12 X2 + δ13 X3 = 0∆20 + δ21X1 + δ22 X2 + δ23 X3 = −∆⋆

∆30 + δ31X1 + δ32 X2 + δ33 X3 = 0

onde∆⋆ = ∆ no caso do assentamento de apoio ou∆⋆ = X2

kquando existe uma

mola.

Exemplo de aplicação

Problema 4.14 Cálculo dos esforços numa barra bi-encastrada quando se dá umdeslocamento unitário numa direcção sendo os outros nulos.


��

��

��

n2

m1

m3

6

412

3

l

5

M0 = 0 V0 = 0 N0 = 0

∆1

X3 = 1l

X2 = 11

∆1

SB

X1 = 1l

1

v1

v2 = 0

n1 = 0

v3 = 0n3 = 0

m2 = 0

X3

X1

X2

δ11 =1

EI

1

2l2 ×

2

3l +

1

GA⋆l × 1× 1 =

l3

3 EI+

l

GA⋆

δ21 = 0

δ31 =1

EI

1

2l2 × 1 =

l2

2 EI

δ12 = 0 ;

δ22 =1

EAl × 1× 1 =

l

EA;

δ32 = 0 ;

δ13 =1

EI

1

2l2 × 1 =

l2

2 EIδ23 = 0

δ33 =1

EIl × 1× 1 =

l

EI

• ∆1 = 1 ↑

(

l3

3 EI+ l

GA⋆

)

X1 + 0 + l2

2 EIX3 = 1

0 + lEA

X2 + 0 = 0

l2

2 EIX1 + 0 + l

EIX3 = 0

X1 =1

l3

12 EI+ l

GA⋆

; X2 = 0 ; X3 = −1

l2

6 EI+ 2

GA⋆

Cálculo dos esforços nas direcções4, 5 e6:

X4 = −X1 ; X5 = 0 ; X6 = X3 + X1 l =1

l2

6 EI+ 2

GA⋆


Desprezando a contribuição do esforço transverso para a deformação, te-mos:

1

12 EIl3

6 EIl2

6 EIl2

12 EIl3

• ∆2 = 1→

(

l3

3 EI+ l

GA⋆

)

X1 + 0 + l2

2 EIX3 = 0

0 + lEA

X2 + 0 = 1

l2

2 EIX1 + 0 + l

EIX3 = 0

X1 = X3 = 0 ; X2 =EA

l


X5 = −X2 ; X4 = X6 = 0

1

EAl

EAl

• ∆3 = 1

(

l3

3 EI+ l

GA⋆

)

X1 + 0 + l2

2 EIX3 = 0

0 + lEA

X2 + 0 = 0

l2

2 EIX1 + 0 + l

EIX3 = 1

X1 = −1

l2

6 EI+ 2

GA⋆

; X2 = 0 ; X3 =1

lEI

+ GA⋆l3

12EI2

+1

3

GA⋆l+ 4 l

EI

Desprezando a contribuição do esforço transverso para a deformação, te-mos:

X1 = −6 EI

l2; X2 = 0 ; X3 =

4 EI

l


X4 = −X1 ; X5 = 0 ; X6 = X3 + X1 l =4 EI

l−

6 EI

l2l = −

2 EI

l


1

2 EIl2

6 EIl2

4 EIl2

6 EIl2

Observação: Designa-se por(kij) a força que se desenvolve na direcção(i)quando se dá um deslocamento unitário na direcção(j). Conhecendo os deslo-camentos na extremidade da barraδ1, δ2 e δ3 as forças que os provocam (F1, F2 eF3 ) calculam-se:

k11 δ1 + k12 δ2 + k13 δ3 = F1

k21 δ1 + k22 δ2 + k23 δ3 = F2

k31 δ1 + k32 δ2 + k33 δ3 = F3

Inversamente, conhecendo as forçasF1, F2 e F3 resultam os deslocamentosδ1, δ2

e δ3 - método dos deslocamentos.

4.3.7 Análise de estruturas mistas

Por estrutura mista entende-se uma estrutura composta por elementos solicitadosapenas a esforço normal enquanto outros elementos são solicitados apenas a flexãoe ainda contem elementos que podem ser solicitados a flexão e aesforço normal.

Exemplo:

��

��

��60◦ 45◦

1.8m

3m

A B

CD

AB : EA→∞ , EI

BC , BD : EA =20

3EI

NBD =?

α = 3× 2− 3− 2 = 1

Escolhendo o esforço axial na barraBD como incógnita hiperstática a equação decompatibilidade vai impor nulo o deslocamento relativo entre as secções a esquerdae a direita do corte:

∆DB + δDBX1 = 0 ; ∆10 + δ11X1 = 0

��

��

��

��

��

��

60◦C

AB

C 60◦

nBAAB

nBCX1 = 1

A B

C D

X1SB

60◦

4 kN/m4 kN/m


ParaX1 = 1 temos:{

→: 1× sin 45◦ − nBA + nBC cos 60◦ = 0↑: −1× cos 45◦ + nBC sin 60◦ = 0

⇒

{

nBC = 0.816nBA = 1.115

Sistema base sob acção da carga distribuída:

MeB : 6× 1− VA × 3 = 0↑: VC = 4 kN

M bB : 4× 1.8

sin 60◦cos 60◦ −HC

1.8sin 60◦

sin 60◦ = 0→: HA = 2.309 kN

⇒

VA = 2 kN ↑VC = 4 kN ↑HC = 2.309 kN →HA = 2.309 kN ←

NBC = 4× sin 60◦ + 2.309 cos 60◦ = 4.61 kN(C)

��

��

��

��

��

��

��

��

��

M0 N0

2.31

4.62n

0.81

1

1.15

∆10 =∑

∫(

M0m

EI+

N0n

EA

)

dx =∑ N0n

EAli

∆10 =4.62× 0.816× 3

20 EI×

1.8

sin 60◦=

1.175

EI

δ11 =∑

∫(

mm

EI+

nn

EA

)

dx =∑ N0n

EAli

δ11 =0.8162 × 3

20 EI× 2.08 +

12 × 3

20 EI×

1.8

sin 45◦=

0.589

EI

X1 = −∆10

δ11

= −1.99 kN (C)

4.3.8 Análise de estruturas articuladas hiperstáticas - (por inse-rir)

4.3.9 Cálculo dos deslocamentos em estruturas hiperstáticas -(por inserir)

Bibliografia

[1] A. Ghali and A. M. Neville.Structural Analysis. A unified classical and matrixapproach. E & FN Spon, 4th edition edition, 1997.

[2] J. A. Teixeira de Freitas. Análise de estruturas i. IST, 1986.

[3] Raimundo Delgado. Teoria de estruturas. Acetatos de apoio às aulas teóricas.FEUP - Disponíveis na página da disciplina, 2003.

[4] R. C. Hibbeler.Structural Analysis. Prentice Hall, 5th edition edition, 2001.

[5] Luiz Fernando Martha. Métodos básicos da análise de estruturas. PUC-Rio.

72

método das forças

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