Método das Forças - Teoria das Estruturas – Prof. Esp. Talles Mello

MÉTODO DAS FORÇAS (FLEXIBILIDADE OU COMPATIBILIDADE)

A metodologia utilizada pelo Método das Forças para analisar uma

estrutura hiperestática é:

• Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as condições de

equilíbrio, mas não satisfazem as condições de compatibilidade da estrutura

original, para a superposição restabelecer as condições de compatibilidade.

Cada solução básica (chamada de caso básico) não satisfaz

isoladamente todas as condições de compatibilidade da estrutura original, as

quais ficam reestabelecidas quando se superpõem todos os casos básicos.

A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral,

uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela

eliminação de vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal

(SP). As forças ou os momentos associados aos vínculos liberados são as

incógnitas do problema e são denominados hiperestáticos

1 - GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDA DE ( gh) 1a) Hiperestaticidade Externa – ge

Sejam as estruturas abaixo, a primeira possui 4 (quatro) reações de apoio

a determinar e, para tal, dispomos das 3 (três) equações universais da Estática

no plano ( ∑Fx=0 , ∑Fy=0 , ∑Mz=0 ). A segunda possui 5 (cinco) reações de

apoio a determinar e 4 (quatro) equações para tanto, isto é, as três equações

fundamentais da Estática no plano (∑Fx=0 , ∑Fy=0 ,∑Mz=0 ) e de mais uma

(momento fletor nulo em B). Observa-se, desta forma, deficiência de uma

equação para resolver o problema de cálculo das reações vinculares nos dois

casos analisados.

Esta deficiência é chamada de Grau de Hiperestaticidade Externo da

Estrutura. Assim, pode-se definir Grau de Hiperestaticidade Externo da

Estrutura como sendo o número de equações suplementares necessárias para

o cálculo das reações de apoio da estrutura.

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1b) Hiperestaticidade Interna – gi

Vejamos o exemplo abaixo:

Para calcularmos as solicitações internas, temos que romper a estrutura

em uma seção “ S ", porém observa-se que qualquer seção que cortarmos a

estrutura ficaremos com 6 (seis) incógnitas e possuímos somente 3(três)

equações (∑Fx=0 , ∑Fy=0 , ∑Mz=0 ) para tal.

Assim pode-se definir Grau de Hiperestaticidade Interno da Estrutura

como sendo o número de equações suplementares que necessitamos conhecer

para traçar os diagramas de esforços internos

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1c) Hiperestaticidade total – gh

Sabemos que para resolver uma estrutura necessitamos conhecer as

reações vinculares e as solicitações internas. Desta forma, define-se Grau de

Hiperestaticidade Total da Estrutura como sendo a soma de seus graus

hiperestáticos externo e interno.

gh=ge+gi 2 – CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS QUANTO À ESTATICID ADE

Quanto à estaticidade as estruturas são classificadas em:

HIPOSTÁTICAS se gh < 0

ISOSTÁTICAS se gh = 0

HIPERESTÁTICAS se gh > 0

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EXEMPLOS:

Classifique quanto à estaticidade e determine o grau de hiperestaticidade total.

1.

R: g h= 0 (isostática)

2.

R: gh = 0 (hipostática) ineficácia vincular

3.

R: gh = -2 (hipostática)

4.

R: gh = 3 (hiperestática)

5.

R: gh = 2 (hiperestática)

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6.

R : gh = 3 (hiperestática)

7.

R: gh = 0 (isostática)

3 – O MÉTODO DAS FORÇAS 3a) A idéia do processo

Seja a estrutura abaixo, uma vez hiperestática:

Nenhuma alteração do ponto de vista estático ocorrerá se encararmos a

estrutura na forma abaixo:

Conhecido o gh, liberamos o número de graus de liberdade necessários

para converter a estrutura em uma estrutura isostática. Esta estrutura chamamos

de forma principal ou sistema fundamental. Para preservar a compatibilidade

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estática introduzimos o esforço (no caso X1) existente no vínculo rompido, que

continua sendo incógnita do problema. Observe-se que na passagem da

estrutura para a forma principal, liberamos uma deformação, que não existe.

Assim devemos impor a estrutura na forma principal, a condição de serem

nulos os deslocamentos na direção da incógnita X1, isto é:

A equação acima é conhecida como EQUAÇÂO DE COMPATIBILIDADE

DE DESLOCAMENTOS.

Chamaremos de Estado 0 o diagrama de momentos fletores da estrutura

submetida somente ao carregamento externo e de Estado 1 o diagrama de

momentos fletores da estrutura submetida somente a uma força ou momento

unitário aplicado na direção da incógnita 1. Assim, para calcular δ10 basta

integrar os momentos do estado 0 com o do estado 1 e para calcular δ11 basta

integrar os momentos do estado 1 com ele mesmo. Isto é:

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Levando os valores de δ10 e δ11 na equação de compatibilidade de

deslocamentos tem-se:

As demais reações e esforços internos podem ser obtidos por

superposição de efeitos, ou diretamente na forma principal.

Utilizando o princípio da superposição de efeitos temos:

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3b) O Método das Forças propriamente

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Seja a estrutura abaixo, 3 (três) vezes hiperestática que desejamos

resolver:

3b2) Forma Principal

3b3) Aplicando o Princípio da Superposição de Efeit os

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3b4) Equações de Compatibilidade

O giro em A deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira

espécie (engaste)

O giro em B deve ser nulo, pois temos um vínculo perfeito de terceira

espécie (engaste)

O deslocamento horizontal em B deve ser nulo, pois temos um vínculo

perfeito de terceira espécie (engaste)

Assim possuímos um sistema de 3 (três) equações e com 3(três)

incógnitas, que pode ser resolvido por qualquer processo.

Os deslocamentos são os deslocamentos em uma estrutura

isostática onde:

Observe-se que � ij �corresponde ao deslocamento (linear/angular) no

grau de liberdade i devido à uma força/momento unitário aplicado no grau de

liberdade j.

Reescrevendo o sistema de equações de forma matricial teremos:

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3b6) Cálculo das solicitações finais que podem ser obtidas pelo Princípio da Superposição de Efeitos.

4) Fórmulas

Matriz de Flexibilidade

Vetor de incógnitas

Vetor de Termos Independentes

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