mestrado em matem´atica aplicadamestrado em matematica aplicada´ exame de c´alculo avan¸cado...

Mestrado emMatematica

Aplicada

EXAMES DE QUALIFICACAO

1989 – 2002

M Universidade Federal do Rio de Janeiro

INSTITUTO DE MATEMATICA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA

EXAMES DE

CALCULO AVANCADO

MESTRADO EM MATEMATICA APLICADA

Exame de Calculo Avancado

Setembro de 1989

1a Questao:

Qual o volume da maior caixa retangular com lados paralelos aos planos coordenadosque pode ser inscrita no elipsoide x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1?

2a Questao:

Considere as seguintes normas definidas em E = C1([0, 1];R

):

‖f‖1 = sup|f(x)| | x ∈ [0, 1]

‖f‖2 = sup|f(x)| | x ∈ [0, 1]

+ sup

|f ′(x)| | x ∈ [0, 1]

Exiba uma sequencia fn ∈ E convergente na norma ‖f‖1 e divergente na norma ‖f‖2.Justifique suas afirmativas.

3a Questao:

Demonstre a formula da mudanca de variaveis de integracao no caso particular em quea mudanca e da forma (x, y) 7→ (x, g(x, y)), onde

(∂g/∂y

)(x, y) 6= 0, para todo numero

real y.

4a Questao: (O objetivo desta questao e provar a lei de Gauss da eletrostatica)

O potencial do campo eletrico de uma carga puntiforme situada na origem e dado porf(x, y, z) = 1/(x2 + y2 + z2)1/2.

a) Mostre que o fluxo deste campo por uma superfıcie fechada que nao contem aorigem e zero.

b) Calcule o fluxo atraves de uma esfera de raio R e centro na origem.

c) Calcule o fluxo atraves de uma superfıcie fechada qualquer que contenha a origem.

5a Questao:

Seja f :R2 −→ R uma funcao de classe C1. Mostre que as componentes conexas doconjunto

(x, y) ∈ R2 | f(x, y) = 0 mas

∂f

∂x(x, y) 6= 0

sao difeomorfas a reta.

Exames de Calculo Avancado — 1



Marco de 1990

1a Questao:

Seja f :RN −→ R de classe C2 e tal que f(tx) = t2f(x) ∀t ∈ R, ∀x ∈ RN . Mostre que

f(x) =12D2f(0) · x2 ∀x ∈ RN .

2a Questao:

Seja p ∈]1,∞[ e seja B =x ∈ RN |∑N

i=1 |xi|p = 1

a) Seja y = (y1, . . . , yN ) ∈ RN . Calcule maxx∈B |y1x1 + . . .+ yNxN |.b) Demonstre a desigualdade de Holder:

|N∑

i=1

xiyi| ≤(

N∑

i=1

|xi|p)1/p( N∑

i=1

|yi|q)1/q

∀x ∈ RN ∀y ∈ RN ,

onde q e tal que 1/p+ 1/p = 1.

3a Questao:

Seja f :R2 −→ R dada por f(x, y) = xy+ 12e−(x2+y2) e seja C =

(x, y) ∈ R2 | f(x, y) =

1

.

a) Mostre que C e uma curva (isto e, que numa vizinhanca de cada um de seuspontos C e grafico de uma funcao).

b) Mostre que C nao e conexa.

4a Questao:

Considere F :R3 −→ R3 um campo de vetores C∞. Seja Φ:R4 −→ R3 o fluxo associadoa F , isto e: se v:R −→ R3 e dada por v(t) = Φ(t, x, y, z), (x, y, z) fixo, entao v(0) =(x, y, z) e d

dtv(t) = F (v(t)). Considere sabido que Φ e de classe C∞.

Seja B0 =

(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1

e seja, para cada t em R,

B(t) =

Φ(t, x, y, z) | (x, y, z) ∈ B0

.

Seja v:R −→ R dado por v(t) =∫B(t)

dx (isto e, v(t) = volume de B(t)). Calcule v′(0)em termos apenas de B0 e de F .

Sugestao: nao se esqueca de que Φ(0, x, y, z) = (x, y, z).


5a Questao:

Seja u:R2 −→ R de classe C2 e seja (a, b) ∈ R2. Considere m: [0,∞[−→ R dada porm(r) = valor medio de u sobre Cr, onde

Cr =

(x, y) ∈ R2 | (x− a)2 + (y − b)2 = r2.

a) Calcule m′(r).

b) Seja ∆u = ∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 . Mostre que se ∆u e sempre nao negativo entao m enao decrescente e que se ∆u e sempre nao positivo entao m e nao crescente. Emparticular, demonstre a propriedade da media: se u e harmonica (∆u = 0), entaom(r) ≡ u(a, b).



Setembro de 1990

1a Questao:

Seja IN =∫

IRNe−π‖x‖

2dx, x ∈ IRN .

a) Prove que I2 = 1.

b) Mostre que I2 = I21 .

c) Use (b) para mostrar que IN = 1 ∀N ∈ N.

2a Questao:

Sejam γ: (a, b) −→ R3, C1, com γ′(t) 6= 0 ∀t ∈ (a, b), p0 ∈ R3 tal que p0 /∈ γ(t) ∀t ∈ (a, b)e 〈 , 〉 o produto interno usual de R3. Defina g(t) = ‖γ(t)− p0‖2 onde ‖x‖2 = 〈x, x〉.Mostre que g e C1, calcule sua derivada e mostre que g′(t0) = 0 se e somente se p0−γ(t0)e perpendicular ao vetor tangente a γ em t0, γ′(t0).

3a Questao:

Seja T ∈ L(Rm,Rm). Dizemos que A e uma raiz cubica de T se A3 = T .

a) Mostre que existem uma vizinhanca U da identidade e uma funcao

ϕ:U −→ L(Rm,Rm)

de classe C∞ tal que ϕ(I) = I e ϕ(T ) e uma raiz cubica de T ∈ U .

b) Mostre que para m = 2 a identidade admite mais de uma raiz cubica.


4a Questao:

a) Deduza do Teorema da Divergencia (Gauss) a 2a identidade de Green:∫

Ω

∆uv −∆vu =∫

∂Ω

∂u

∂ηv − ∂v

∂ηu.

b) Conclua que se u e harmonica entao∫∂Ω

∂u∂η = 0.

c) Seja Br =x ∈ R3 | ‖x‖ ≤ r e Ωε = Br \Bε, r > ε > 0.

Considere v = 1‖x‖ e faca ε→ 0 para obter o teorema da media:

u harmonica ⇒ u(0) =1

4πr2

∫

∂Br

u.



Fevereiro de 1991

1a Questao:

Seja ϕ:Rm −→ Rm uma contracao (i.e., existe 0 < λ < 1 tal que ‖ϕ(x) − ϕ(y)‖ ≤λ‖x − y‖). Prove que a aplicacao f :Rm −→ Rm dada por f(x) = x + ϕ(x) e umhomeomorfismo de Rm sobre si mesmo.

2a Questao:

Seja Ω um aberto em R3 e seja u: Ω −→ R de classe C2. Seja P ∈ Ω e suponha que abola de centro P e raio R esteja contida em Ω. Para r ∈ [0, R] defina o Valor Mediode u sobre a esfera Sr de centro P e raio r por

m(r) =1

4πr2

∫

Sr

u dS.

a) Mostre que

m′(r) =1

4πr2

∫

Br

∆u dV,

onde Br e a bola de centro P e raio r e ∆u = ∂2u∂x2 + ∂2u

∂y2 + ∂2u∂z2 e o Laplaciano de

u.

b) Prove que se ∆u = 0, entao m(r) = u(P ). Conclua que se P e ponto de maximoou mınimo local de u e ∆u = 0, entao u e constante em qualquer bola de centroP e contida em Ω.


3a Questao:

Seja U ⊂ R3 aberto, f :U −→ R2, C∞ com Df(z):R3 −→ R2 sobrejetiva, ∀z ∈ U . Proveque para todo compacto K ⊂ U , |f |K | (f restrito K) atinge seu maximo na fronteira deK.

4a Questao:

a) Seja f :U −→ Rm de calsse C1 no aberto U ⊂ Rm. Para algum a ∈ U , sejaf ′(a):Rm −→ Rm um isomorfismo. Mostre que

limr→0

vol(f(B(a; r)

))

volB(a; r)= |detf ′(a)|.

b) Se f ′(a) nao e isomorfismo, prove que

limr→0

vol(f(B(a; r)

))

volB(a; r)= 0.



Setembro de 1991

1a Questao:

Seja f :U ⊆ Rm −→ R uma funcao de classe C2. O ponto crıtico x0 ∈ U diz-se nao

degenerado quando a forma bilinear f ′′(x0) e nao singular, isto e, f ′′(x0)(u, v) = 0 ∀v ⇒u = 0.

Considere o caso m = 2, U ⊆ R2 e seja z0 ∈ U um ponto crıtico de f . Denote:

a =∂2f

∂x2(z0), b =

∂2f

∂x∂y(z0) e c =

∂2f

∂y2(z0)

a) Exprima em termos de a, b e c a condicao para que z0 seja nao degenerado.

b) Sendo z0 nao degenerado, obtenha condicoes adicionais para que z0 seja ummaximo, um mınimo ou um ponto sela.


2a Questao:

Seja B a bola unitaria de RN e F :B −→ B uma aplicacao de classe C1. Denote porDf(x) a matriz Jacobiana de f no ponto x ∈ B. Suponha que existe λ > 0 tal que paratodo x ∈ B, ‖Df(x) · v‖ ≤ λ‖v‖ ∀v ∈ RN . Prove que f satistaz:

‖f(x)− f(y)‖ ≤ λ‖x− y‖ ∀x, y ∈ B.

3a Questao:

Seja ρ(x, y, t) a densidade, em um ponto (x, y) no tempo t, de um lıquido que fluihorizontalmente atraves de um cilindro cuja base e o disco D =

(x, y) | x2 + y2 ≤ 1

e sua altura e considerada desprezıvel.Denotemos por V (x, y, t) =

(v1(x, y, t), v2(x, y, t)

)a velocidade do fluıdo em (x, y) ∈ D,

no tempo t.Suponha ρ e V funcoes de classe C1. A partir da equacao

∂ρ

∂t+ div(ρV ) = 0, (∗)

valida para (x, y, t) ∈ D × [0,∞), prove que:∫ ∫

D

ρ(x, y, t) dxdy e constante,

sabendo-se que V (x, y, t) = (x2, 0) e ρ(x, y, t) = 1 para (x, y, t) ∈ ∂D × [0,∞).

(Sugestao: Integre (*) no domınio D.)

4a Questao:

Considere f :R4 −→ R dada por f(λ, a, b, c) = λ3 + aλ2 + bλ + c. Mostre que existeδ > 0 e que existem funcoes reais λi(a, b, c), i = 1, 2, 3, de classe C∞ no domınio

Bδ =

(a, b, c) ∈ R3 | ‖(a, b, c)− (0,−1, 0)‖ < δ,

tais que ∀(a, b, c) ∈ Bδ, f(λi(a, b, c), a, b, x

)= 0, i = 1, 2, 3 e λ1(a, b, c) < λ2(a, b, c) <

λ3(a, b, c).



Marco de 1993

1a Questao:

Considere Rm2o espaco das matrizes reais m×m. Mostre que existe uma vizinhanca V

da matriz identidade e uma aplicacao g:V −→ Rm2de classe C∞, tal que [g(Y )]2 = Y

para todo Y ∈ V .


2a Questao:

Seja f : [0, 2] −→ R contınua positiva e tal que∫ 1

0f(x) dx =

∫ 2

1f(x) dx = 1.

a) Prove que para cada x ∈ [0, 1] existe um unico y = g(x) ∈ [1, 2] tal que∫ yxf(t) dt = 1.

b) Prove que g e de classe C1.

c) Construa uma sequencia fn nas hipoteses acima tal que a sequencia gn associadasatisfaca: limn→∞ gn(x) = 1 para todo 0 < x < 1.

d) A convergencia acima pode ser uniforme? Justifique.

3a Questao:

Seja U ⊂ R2 aberto, D2 =

(x, y) | x2 + y2 ≤ 1 ⊂ U . Seja ϕ:U −→ R2 funcao de

classe C∞ dada por ϕ(z) =(f(z), g(z)

), z = (x, y) ∈ U e tal que |ϕ(z)|2 = 1 ∀z ∈ U .

a) Mostre que fxgy − fygx = 0 ∀z ∈ U .

b) Calcule∫S1f dg − g df , onde S1 = ∂D2 =

(x, y) | x2 + y2 = 1

.

c) Conclua que nao existe ϕ nas condicoes acima com ϕ|S1 = identidade.

4a Questao:

Seja f :Rm −→ Rm talque f(0) = 0. Suponha que a sequencia fn definida por

fn(x) = nf(x

n) para

12≤ |x| ≤ 1

converge uniformemente para uma transformacao linear L:Rm −→ Rm na bola 12 ≤

|x| ≤ 1.

Prove que f e diferenciavel em 0.



Marco de 1994

1a Questao:

Prove que todas as normas de Rn sao equivalentes.

2a Questao:

Defina o que e uma forma diferenciavel em Rn. Defina a derivada exterior d. Mostreque d(dω) = 0 para toda forma diferenciavel ω.


3a Questao:

Seja f :Rn −→ R de classe C2 e tal que: f(tx) = t2f(x) ∀t ∈ R, ∀x ∈ Rn.Mostre que: f(x) = 1

2D2f(0) · x2 ∀x ∈ Rn.

4a Questao:

Seja (fn) a sequencia de funcoes de [−1, 1] definida por:

f0(t) = 0

fn+1(t) = fn(t) +12(t2 − f2

n(t))

Mostre que (fn) converge uniformemente. Sugestao: 0 ≤ fn(t) ≤ fn+1(t) ≤ |t|.

5a Questao:

Enuncie e prove o Teorema da Aplicacao Inversa. Assuma o:

Teorema (da Perturbacao da Identidade). Seja φ:U −→ Rm uma con-tracao definida no aberto U ⊂ Rm. A aplicacao f :U −→ Rm dada porf(x) = x+φ(x) e um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto f(U) ⊂ Rm.Alem disso, se U = Rm, tem-se f(U) = Rm.

6a Questao:

Seja D o disco unitario de R2: D =

(x1, x2) | x21 + x2

2 ≤ 1

. Suponha que u:D −→ R2,

u =(u1u2

)e duas vezes continuamente diferenciavel em D.

a) Usando o Teorema de Stokes (ou o Teorema de Green), mostre que:

∫ ∫

Ddet(Du(x)) dx =

12

∮

∂D

(u1∂u2

∂θ− u2

∂u1

∂θ

)ds

onde Du =( ∂u1∂x1

∂u1∂x2

∂u2∂x1

∂u2∂x2

)e a derivada de u e ds e o comprimento de arco.

b) Se u(x) = Mx = M(x1x2

)na circunferencia |x| = 1 (onde M e uma matriz 2× 2

constante), use o item (a) para mostrar que:

∫ ∫

Ddet(Du(x)) dx = π detM.




Setembro de 1994

1a Questao:

Considere F :Rn → R definida por F (x) = (x1x2 · · ·xn)2 e S = x ∈ Rn | x21+· · ·+x2

n =1. Mostre que ∃y ∈ S tal que F (y) = maxF (x) | x ∈ S e calcule-o. Utilizeeste resultado para deduzir a seguinte desigualdade, valida para numeros rais positivosa1, a2, . . . , an:

(a1a2 · · · an)1/n ≤ a1 + a2 + · · ·+ ann

.

2a Questao:

Seja ϕ ∈ L(Rm;Rn). Mostre que ϕ e injetiva ⇐⇒ ∃k > 0 tal que ‖ϕ(x)‖ ≥ k‖x‖,∀x ∈ Rm.

3a Questao:

Seja u ∈ C1(0, L) tal que u(0) = u(L) = 0. Mostre que |u(x)| ≤ 12

∫ L

0

|u′(s)| ds.

4a Questao:

Seja U ⊆ R3 aberto e f :U → R4 funcao de classe C1. Suponha x0 ∈ U tal queDf(x0) seja injetiva. Prove que existe uma vizinhanca V de f(x0) e um difeomorfismoφ:V → φ(V ) ⊆ R4 tal que (φ f)(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3, 0).

5a Questao:

Considere Ω ⊂ RN domınio de classe C2 e u: Ω→ R, u ∈ C(Ω) ∩ C1(Ω), satisfazendo

−∆u+ u ≥ 0 em Ω

u ≥ 0 sobre ∂Ω(∗)

Mostre que u(x) ≥ 0 ∀x ∈ Ω.




Marco de 1995

1a Questao:

Considere o problema de valor inicial

(1)

x′ =g(t, x) com x(t0) = x0

y′ =f(t, x)y com y(t0) = y0

onde:a) g:R2 −→ R e uma funcao contınua, limitada e lipschitziana na segunda variavel,

isto e, |g(t, x1)− g(t, x2)| ≤ k‖x1 − x2‖, k > 0,b) f :R2 −→ R e contınua e limitada.

Mostre que o sistema (1) possui uma unica solucao em R.

2a Questao:

Seja f : IRN −→ R, f de classe C2 e x0 um ponto crıtico nao degenerado, isto e,

det(

∂2f

∂xi∂xj(x0)

)6= 0.

Mostre que existe uma vizinhanca V (x0) que nao contem outro ponto crıtico de f .

3a Questao:

Considere f : IRN −→ IRN , f de classe C1 tal que f(x/2) = f(x)/2, ∀x ∈ IRN . Mostreque f e linear.

4a Questao:

Seja S um subconjunto convexo de IRN e d = infx∈S ‖x‖2. Se xn ∈ S e ‖xn‖2 → d

quando n→∞, mostre que xn e uma sequencia de Cauchy.(Sugestao: Regra do paralelogramo: ‖x+ y‖22 + ‖x− y‖22 = 2‖x‖22 + 2‖y‖22.)

5a Questao:

a) Deduza do Teorema da Divergencia a 2a Identidade de Green:

∫

Ω

∆u v −∆v u =∫

∂Ω

∂u

∂νv − ∂v

∂νu.

b) Conclua que se u e harmonica, entao∫∂Ω

∂u∂ν = 0.

c) Seja Br = x ∈ R3 | ‖x‖ ≤ r e Ωε = Br \Bε, 0 < ε < r.Considere v = 1

‖x‖ e faca ε→ 0 em b) para obter o teorema da media:

∆u = 0⇒ u(0) =1

4πr2

∫

∂Br

u dS.




Setembro de 1995

1a Questao:

Seja E ⊂ R2 aberto, convexo e f :E → R.(i) Mostre que se ∂f

∂x (x, y) ≡ 0 entao f nao depende de x.(ii) Mostre que (i) nao se aplica se E e um conjunto da forma abaixo.

2a Questao:

Seja I = x ∈ R ; 0 < x < 1 e V = (x, y) ∈ R2 ; x = 0 ou y = 0. Mostre que I naoe difeomorfo a V .

3a Questao:

SejaM o espaco das matrizes quadradas de ordem n, munido da topologia do Rn2. Seja

D o conjunto das matrizes de determinante unitario.(i) Mostre que D e fechado.

(ii) Mostre que M/D nao e conexo.

4a Questao:

Sejam Ω ⊂ IRN aberto de fronteira Γ regular, f : Ω→ R uma funcao. Suponha u: Ω→ Rsatisfazendo

−a∆u = f em Ω

u = 0 em Γ

onde a > 0 e um parametro a determinar a partir do conhecimento de g = ∂u∂ν |Γ, a

derivada normal de u em Γ.(i) Use o teorema da divergencia para obter a identidade

∫

Ω

∆uv −∆vu =∫

Γ

∂u

∂νv − ∂v

∂νu,

para u, v ∈ C2(Ω).(ii) Suponha g 6= 0 e que exista v ∈ C2(Ω) satisfazendo

−∆v =0 em Ω

v =g em Γ


Mostre que g determina a > 0 univocamente.



Marco de 1996

1a Questao:

Considere o conjunto A = (x, y) ∈ R2 ; y = sen 1/x , x > 0.(a) Caracterize A \ A.

(b) Mostre que A e conexo.

(c) Mostre que A nao e localmente conexo.

(d) Investigue se A e ou nao conexo por caminhos, justificando seu raciocınio.

2a Questao:

Seja U = C1[0, 1].

(a) Investigue a convergencia da sequencia fn(x) = xn, n ≥ 1 com respeito as normas

‖f‖1 = supx∈[0,1]

|f(x)| e ‖f‖2 = supx∈[0,1]

|f(x)|+ supx∈[0,1]

| dfdx

(x)|

(b) Investigue a convergencia da sequencia

fn(x) =

0 se x ∈ [0, 1/2− 1/n] ∪ [1/2 + 1/n, 1]nx− n−2

2 se x ∈ [1/2− 1/n, 1/2]−nx+ n+2

2 se x ∈ [1/2, 1/2 + 1/n]

para n ≥ 2, com respeito as normas

‖f‖1 = supx∈[0,1]

|f(x)| e ‖f‖2 =(∫ 1

0

f(x)2 dx

)1/2

3a Questao:

Seja U um espaco vetorial com uma norma induzida pelo produto interno, isto e:

‖u‖ =√〈u ; u〉, ∀u ∈ U

Seja G:U → R. Diz-se que G tem derivada em u na direcao v se existe G′:U → U , talque

〈G′(u) ; v〉 = limδ→0

G(u+ δv)−G(u)δ


Considere um conjunto V ⊂ U e um funcional F :K → R que atinge seu mınimo em K,isto e, ∃u ∈ K tal que F (u) ≤ F (v), ∀v ∈ K.

(a) Mostre que a seguinte caracterizacao e valida:

〈F ′(u) ; v − u〉 ≥ 0, ∀v ∈ K.

(b) Discuta o caso em que K = U .

(c) Para cada u ∈ U , considere F :K → R dado por

F (v) =12‖u− v‖2.

Quando K e fechado, este funcional atinge seu mınimo em K no ponto Pu que e aprojecao de u sobre o convexo K.

Demonstre a afirmacao acima para o caso particualr em que U tem dimensao finitae K e um hipercubo fechado de U .

(d) De volta ao caso geral, mostre que e valida a caracterizacao:

〈Pu ; v − Pu〉 ≥ 〈u ; v − Pu〉 ∀v ∈ K.

(e) Discuta o caso K = U .

4a Questao:

Seja −→A um campo vetorial definido numa regiao simplesmente conexa de R3. Mostreque −→A e potencial se e somente se −→A e irrotacional.

5a Questao:

Considere o campo vetorial −→F :R3 \ (0, 0, 0) → R3 definido por

−→F (x, y, z) =

(1

x2 + y2 + z2

)3/2

(x, y, z)

e a superfıcie

S = (x, y, z) ∈ R3 ;x2

4+y2

9+z2

16= 1, z > 0

orientada por sua normal exterior. Calcule o fluxo de −→F ao “longo” de S, isto e:

∫

S

−→F · d~s




Setembro de 1996

1a Questao:

Sejam p > 1 e q > 1 tais que 1/p+ 1/q = 1.

(a) Determine o mınimo de f :R2 → R definida por f(x, y) = xp/p + yq/q quandoxy = 1;

(b) Mostre que se a e b sao nao-negativos entao ab ≤ ap/p+ bq/q;

(c) Se ai, bi, i = 1, . . . , n sao numeros reais nao-negativos, demonstre a desigualdadede Holder:

n∑

i=1

aibi ≤(

n∑

i=1

api

)1/p( n∑

i=1

bqi

)1/q

2a Questao:

Seja ψ:R3 → R de classe C2 tal que ∆ψ + h = 0, onde h: Ω ⊂ R3 → R e de classe C2 ese anula em R3 \ Ω. Suponha satisfeitas as seguintes condicoes:

lim|~r |→∞

|ψ(~r )| = 0 e lim|~r |→∞

|∇ψ(~r )||~r | = 0

onde |~r | = (x2 + y2 + z2)1/2. Use a segunda identidade de Green para mostrar que

ψ(~r0) =1

4π

∫

R3

h(~r )|~r − ~r0| dV

3a Questao:

Seja V um espaco vetorial com norma induzida pelo produto interno, isto e, ‖u‖ =√〈u, u〉, ∀u ∈ V e J :V → R uma funcao G-diferenciavel em u ∈ V , isto e, existe

J ′:V → V tal que

〈J ′(u), v〉 = limδ→0

J(u+ δv)− J(u)δ

∈ R, ∀v ∈ V.

Mostre que as duas afirmacoes abaixo sao equivalentes:

(a) J e convexa em V ;

(b) J(v) ≥ J(u) + 〈J ′(u), v − u〉, ∀u, v ∈ V .


4a Questao:

Seja Ω ⊂ R3 um aberto e T > 0 um numero real.

(a) Considere as seguintes funcoes de classe C1:

ρ: Ω× [0, T ] −→ R(~r, t) 7→ ρ(~r, t) (densidade de carga eletrica)

~ : Ω× [0, T ] −→ R(~r, t) 7→ ~ (~r, t) (densidade de corrente eletrica)

onde ~r = (x, y, z) ∈ R3. Se B ⊂ Ω e compacto arbitrariamente fixado, defina

Q: [0, T ]→ R por Q(t) =

∫Bρ(~r, t) dV (carga eletrica em B)

i: [0, T ]→ R por i(t) =∫B~ (~r, t) · d~S (corrente eletrica atraves de ∂B)

Estabeleca o princıpio da conservacao da carga eletrica:

∂ρ

∂t+ div~ = 0.

(b) Suponha que~E, ~B: Ω× [0, T ]→ R3

sejam campos vetoriais de classe C2 satisfazendo

div ~B = 0 rot ~E = −∂~B

∂t

Mostre que existem Φ: Ω× [0, T ]→ R e ~A: Ω× [0, T ]→ R3 tais que

~E = −∇Φ− ∂ ~A

∂t.



Marco de 1997

1a Questao:

Seja f uma funcao de R2 em R tal que:

(a) Para todo y0 ∈ R, f(x, y0) e contınua.

(b) Para todo x0 ∈ R, f(x0, y) e contınua.

(c) f leva compactos em compactos.

Mostre que f e contınua.


2a Questao:

Mostre que nas coordenadas esfericas X(r, φ, θ) = (r cosφ sen θ, r senφ sen θ, r cos θ) olaplaciano de U se escreve:

∆U =1

r2 sen θ

(∂

∂r

(r2 sen θ

∂U

∂r

)+

∂

∂θ

(sen θ

∂U

∂θ

)+

∂

∂φ

(1

sen θ∂U

∂φ

))

Dica: Usando o Segundo Teorema de Green, calcule a integral de ∆U na regiao

r1 < r < r2, φ1 < φ < φ2, θ1 < θ < θ2.

3a Questao:

Seja f :Rm → Rm tal que f(0) = 0. Suponha que a sequencia fn definida por

fn(x) = nf(x

n), para

12≤ |x| ≤ 1

converge uniformemente para uma transformacao linear L:Rm → Rm na regiao 12 ≤

|x| ≤ 1.

Prove que f e derivavel em 0.

4a Questao:

Mostre que a aplicacao

exp:L(Rm) → L(Rm)A 7→ expA = I +A+ 1

2A2 + 1

3!A3 + · · ·

transforma difeomorficamente uma vizinhanca de 0 em uma vizinhanca da aplicacaoidentidade I ∈ L(Rm). Use este fato para definir o log de uma matriz na vizinhanca deI.

5a Questao:

Se M = Rm \ V , onde V e uma uniao finita de subespacos de qualquer dimensao,definimos Zk como o conjunto das k-formas ω tais que dω = 0. Definimos como Bk oconjunto das k-formas ω tais que ω = dη para alguma (k − 1)-forma η.

O k-esimo grupo de cohomologia e definido como o quociente

Hk =Zk

Bk

Mostre que se existe um difeomorfismo (i.e., uma bijecao diferenciavel com inversa di-ferenciavel) entre regioes M e N , entao Hk(M) e isomorfo a Hk(N).




Setembro de 1997

1a Questao:

(a) Uma funcao f :Rn → R e dita convexa se para todo x, y ∈ Rn e t ∈ [0, 1] vale

f(x+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y) (1)

Seja f diferenciavel em Rn. Prove que f e convexa se e somente

f(x) ≥ f(x0) + df(x0) · (x− x0), (2)

para todo x, x0 ∈ Rn. (Sugestao: (⇒) Use (1) e a definicao de funcao diferenciavelem x0. (⇐) Considere dois pontos x1, x2 ∈ Rn, x1 6= x2, e aplique (2) duas vezes,uma para cada um desses pontos, tomando x0 em ambos os casos como sendo umponto do segmento de reta que liga x1 a x0.)

(b) Um conjunto K e convexo se dados x, y ∈ K, entao tx+ (1− t)y ∈ K, para todot ∈ [0, 1]. Mostre que se f e diferenciavel e convexa em um aberto convexo A ex0 ∈ A e ponto crıtico entao f tem um mınimo absoluto em x0. (Sugestao: use(a)).

(c) Para f e A como no item anterior, prove que o conjunto K = x ∈ A; df(x) = 0e convexo.

2a Questao:

Sejam f, g:R4 → R dadas por f(~u) = y2 + w2 − 2xz e g(~u) = y3 + w3 + x3 − z3,~u = (x, y, z, w), e considere F = (f, g):R4 → R2.

(a) Mostre que ha duas funcoes escalares ϕ = ϕ(y, w) e ψ = ψ(y, w) definidas em umavizinhanca V de (−1, 1) com ϕ(−1, 1) = 1 e ψ(−1, 1) = 1 tais que

F(ϕ(y, w), y, ψ(y, w), w

)= (0, 0), ∀(y, w) ∈ V

(b) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de ϕ e ψ em (−1, 1).

3a Questao:

Seja Sn(a) o seguinte conjunto em Rn, onde a > 0:

Sn(a) = (x1, x2, . . . , xn); |x1|+ |x2|+ · · ·+ |xn| ≤ a.

Seja Vn(a) o volume de Sn(a).

(a) Prove que Vn(a) = anVn(1).

(b) Para n ≥ 2, mostre que Vn(1) = 2Vn−1(1)/n.

(c) Deduza que Vn(a) = 2nan/n!.


4a Questao:

Seja fn uma sequencia de funcoes contınuas em RN , N ∈ N, convergindo uniforme-mente para uma funcao f em um aberto limitado A ⊂ RN . Seja un uma sequenciade funcoes de classe C2 satisfazendo

∆un(x) = fn(x), ∀x ∈ A.

e seja u uma funcao de classe C2 em A satisfazendo

∆u(x) = f(x), ∀x ∈ A.

Mostre que, para todo a ∈ A,

limn→∞

limt→0

1|B(a, t)|

∫

∂B(a,t)

∂un∂ν

dS = limt→0

limn→∞

1|B(a, t)|

∫

∂B(a,t)

∂un∂ν

dS,

onde B(a, t) = x ∈ RN ; |x − a| < t e ∂u/∂ν = ∇u · ν, sendo ν a normal unitariaexterior a ∂B(a, t).

5a Questao:

Seja f(~u) = x1x2 . . . xn e M = ~u ∈ Rn;x1 + · · · + xn = 1, xi > 0 para i = 1, . . . , n,onde ~u = (x1, . . . , xn)

(a) Mostre que f(~u) ≤ n−n para todo ~u ∈M .

(b) Usando (a), prove que a media geometrica de n numeros positivos e sempre menorou igual a media aritmetica dos mesmos.



Marco de 1998

1a Questao:

Seja B = x = (x1, x2) ∈ R2 ; x21 + x2

2 ≤ 1 a bola unitaria em R2 e f :R2 → R tal que

f(x) =

1 se x ∈ B,0 se x 6∈ B.

Demonstre que f e Riemann integravel em R2.

2a Questao:

Determine os maximos e mınimos da funcao f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 quando restritaao conjunto x2 + y2 + z2 = 1.


3a Questao:

Seja f :R2 → R uma funcao de classe C1. Mostre que f nao e injetora.

4a Questao:

Seja V um aberto limitado de Rn de fronteira S regular, ν o vetor unitario exterior aS, f e g duas funcoes de classe C2(Rn,R).

(a) Mostre a primeira identidade de Green:

∫

S

(f∇g)ν ds =∫

V

(f∆g +∇f∇g) dV,

onde (f∇g)ν denota a projecao de f∇g sobre ν.

(b) Mostre a segunda identidade de Green:

∫

S

(f∂f

∂ν− g ∂g

∂ν) ds =

∫

V

(f∆g − g∆f) dV



Setembro de 1998

1a Questao:

Considere a forma quadratica f(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2, com a, b e c nao nulos.

(a) Mostre que o sistema de equacoes

ax + by = λx

bx + cy = λy

x2 + y2 = 1

em (x, y, λ) possui pelo menos duas solucoes.

(b) Considere (x1, y1, λ1) e (x2, y2, λ2), solucoes de (∗). Mostre que se λ1 6= λ2, entaoos vetores ~v1 = (x1, y1) e ~v2 = (x2, y2) sao ortogonais.

(c) Mostre que se λ1 6= λ2, entao em relacao a base de R2 formada pelos vetores ~v1 e~v2 obtidos no item (b), a forma quadratica f = f(x, y) pode ser expressa na forma

f(x, y) = λ1ξ2 + λ2η

2, para (x, y) = ξ~v1 + η~v2.


2a Questao:

Seja f :R → R de classe C1 com |f ′(x)| ≤ θ < 1, ∀x ∈ R. Mostre que f possui ume somente um ponto fixo em R. (Sugestao: considere a sequencia xn = f(xn−1), n ∈N, x0 arbitrario.)

3a Questao:

Seja Ω = (x, y) ∈ R2 ; 0 < y < R, onde R > 0, e considere o conjunto de funcoes

D = u ∈ C1(Ω); u(x, 0) = 0, ∀x ∈ R.

Seja, ainda, p > 1.

(a) Demonstre, utilizando a desigualdade de Holder, que existe uma constante positivac1 tal que para qualquer funcao u ∈ D,

|u(x, y)| ≤ c1(∫ R

0

|uy(x, η)|p dη)1/p

, ∀(x, y) ∈ Ω.

(b) Mostre que existe uma constante c2 tal que para qualquer u ∈ D,∫

Ω

|u(x, y)|p dxdy ≤ c2∫

Ω

|uy(x, y)|p dxdy.

4a Questao:

Seja n ∈ N e seja ‖ · ‖ a norma Euclidiana em Rn.

(a) Mostre que∫∞−∞ ex

2dx =

√π.

(b) Mostre que∫Rn e

−‖x‖2 dx = πn/2.

(c) Mostre que (4πt)−n/2∫Rn e

−‖x‖2/4tdx = 1, ∀t > 0.

(d) Seja K(t, x) = (4πt)−n/2e−‖x‖2/4t. Mostre que Kt = ∆K para todo t > 0 e todo

x ∈ Rn.

5a Questao:

(a) Enuncie o Teorema da Divergencia.

(b) Mostre que ∇ · (u∇v) = u∆v +∇u · ∇v.

(c) Mostre que ∫

Ω

[u∆v − v∆u] dx =∫

∂Ω

[u∂v

∂ν− v ∂

∂ν

]dσ.

(d) Seja umm uma sequencia de funcoes harmonicas em um aberto Ω de Rn, n ∈ N.Suponha que ∇um −→ ∇u uniformemente em todo subconjunto compacto de Ω,onde u e de classe C2 em Ω. Mostre que u e harmonica.




Marco de 1999

1a Questao:

Seja g:Rn → Rn continuamente diferenciavel tal que |Dg(x)| ≤ λ para todo x ∈ Rn,onde 0 < λ < 1. Mostre que f(x) = x+ g(x) e um homeomorfismo de Rn em Rn.

2a Questao:

Considere um aberto Ω ⊂ Rn com fronteira regular ∂Ω.

(a) Use o teorema da divergencia para obter a identidade

∫

Ω

v∆u− u∆v =∫

∂Ω

v∂u

∂ν− u∂v

∂ν

,

para u, v ∈ C2(Ω), onde ∂/∂ν indica a derivada normal em ∂Ω.

(b) Sejam f : Ω→ R e u: Ω→ R tais que

−a∆u = f, em Ω,

u = 0, em ∂Ω,

onde a > 0 e um parametro a ser determinado em funcao do conhecimento daderivada normal g = ∂u/∂ν|∂Ω em ∂Ω.

Suponha que g 6= 0 e que exista v ∈ C2(Ω) tal que

−∆v = 0, em Ω,

v = g, em ∂Ω.

Mostre que g determina a univocamente.

3a Questao:

Seja f :R2 → R dada porf(x, y) = x2y2 + e−(x2+y2)

e considereC = (x, y) ∈ R2 ; f(x, y) = 1.

(a) Mostre que C e uma curva (isto e, que em uma vizinhanca de cada um de seuspontos, C e o grafico de uma funcao).

(b) Mostre que C nao e conexa.


4a Questao:

Seja Ω ⊂ R3 um aberto limitado e seja f : Ω → R2 contınua e de classe C1 em Ω.Suponha que Df(x):R3 → R2 seja sobrejetiva para todo x ∈ Ω. Mostre que todo pontode maximo de |f | pertence a fronteira de Ω.



Setembro de 1999

1a Questao:

Considere f :RN → R e r > 0 .

a) Suponha que N = 2. Mostre que exists x ∈ RN com |x| = r tal que f(x) = f(−x).

b) Mostre que se N > 2 existem infinitos valores de x com |x| = r que satisfazemf(x) = f(−x).

2a Questao:

Considere g:RN → R, g ∈ C1(RN ) satisfazendo a seguinte propriedade:

∇g(x) · x > 0, ∀x, tal que |x| = 1.

Mostre que existe x0 ∈ B1(0) tal que ∇g(x0) = 0.

3a Questao:

Seja u(x, t) ∈ C2(R2) tal que o campo de vetores F (x, t) = (−ux(x, t), ut(x, t)) satisfacaa divF (x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ R2. Considere os pontos B = (x − t, 0) e C = (x + t, 0).Mostre que o valor da funcao u em um ponto (x, t) depende unicamente dos valores deu e ut no intervalo [x− t, x+ t].

4a Questao:

A intensidade do campo eletrostatico ~E provocado por uma carga pontual q situada naorigem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais x, y, z e dado por

~E =q

r3~r,

onde ~r e o vetor posicao do ponto em que esta sendo registrado o valor do campo.

a) Determine o fluxo do vetor ~E atraves de qualquer superfıcie fechada S, que naocontenha a carga no interior do volume por ela limitado.

b) Determine o fluxo no caso em que a superfıcie S contenha a carga no interior dovolume por ela limitado.


5a Questao:

Considere uma funcao lipschitz contınua f :R2 → R e seja y:R→ R de classe C1(R) talque y e solucao de

y′(t) = f(t, y(t))

y(0) = y0

(∗)

a) Mostre que y e solucao da equacao integral

y(t) = y0 +∫ t

0

f(t, y(s))ds.

Reciprocamente, seja y de classe C1 solucao de y(t) = y0 +∫ t

0f(t, y(s))ds.

b) Mostre que y e solucao dey′(t) = f(t, y(t))

y(0) = y0

c) Mostre que se f ∈ C1(R2) existe uma unica solucao y de (*) definida em [0, t0] parat0 suficientemente pequeno.



Marco de 2000

1a Questao:

Calcule os valores maximo e mınimo de f(x, y) = x3 + y3 sobre a elipse 2x2 + 3y2 = 1.

2a Questao:

Considere f :R2 \ (0, 0) → R2 o campo definido por

f(x) =x

‖x‖22,

onde ‖x‖2 =√x2

1 + x22 e a norma euclidiana de R2. Considere as curvas

S1 =

(x1, x2) ∈ R2 ; x21 + x2

2 = 1,

S2 =

(x1, x2) ∈ R2 ; (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 = 1/4.

Para i = 1, 2, calcule∫Sif · dγ, o fluxo de f sobre Si.


3a Questao:

Seja ‖x‖2 =√x2

1 + x22 + · · ·+ x2

n a norma euclidiana de Rn e B1 =x ∈ Rn ; ‖x‖2 ≤ 1

a bola unitaria.

a) Para que valores de α ∈ R e finita a integral

∫

B1

‖x‖α2 dx?

b) Seja ‖x‖p =(|x1|p + |x2|p + · · · + |xn|p

)1/p, p ≥ 1, a norma p de Rn. Para quevalores de α ∈ R e finita a integral

∫

B1

‖x‖αp dx?

Justifique suas respostas.

4a Questao:

a) Enuncie o Teorema da Funcao Inversa;

b) Assumindo a validade do Teorema da Funcao Implıcita, demonstre o Teorema daFuncao Inversa.

Sugestao: Dada f :Rn → Rn, considere g:Rn × Rn → Rn definida por g(x, y) =y − f(x).

5a Questao:

Seja f : [0, 2]→ R funcao positiva e contınua tal que

∫ 1

0

f(t) dt =∫ 2

1

f(t) dt = 1.

a) Use o Teorema do Valor Intermediario para mostrar que para todo x ∈ [0, 1] existeum unico y = ϕ(x) ∈ [1, 2] tal que

∫ y

x

f(t) dt = 1.

b) Use o Teorema da Funcao Implıcita para mostrar que a funcao y = ϕ(x) definidaem (a) e de classe C1.

c) Sabendo que f(1/2) = 2, f(3/2) = 3 e ϕ(1/2) = 3/2, calcule ϕ′(1/2).




Setembro de 2000

1a Questao:

Seja I = [a, b] um intervalo fechado e limitado em R e f : [a, b] −→ [a, b] contınua,continuamente derivavel em (a, b), com f(a) = a, f(b) = b. Mostre que existem doispontos a < x1 < x2 < b tais que

1f ′(x1)

+1

f ′(x2)= 2.

Considere ai, i = 1, 2, 3, 4, 5, numeros reais distintos e p(x) =5∏

i=1

(x − ai). Considere

ainda o problemap(x) = γ, (Pγ)

que depende de um parametro real γ. Defina

Γ = γ ∈ R, (Pγ)tem 5 solucoes distintas.Evidentemente, 0 ∈ Γ.

i) Mostre que (Pγ) so tem uma solucao se |γ| e suficientemente grande e que, por-tanto, Γ e limitado.

ii) Use o Teorema da Funcao Implıcita para mostrar que Γ e aberto.

3a Questao:

Seja f : R −→ R uma isometria, isto e, |f(x)− f(y)| = |x− y| para todo x, y ∈ R.i) Suponha que f seja de classe C1. Mostre que f(x) e da forma x+ a ou −x+ a.

ii) Demonstre (i) sem nenhuma hipotese sobtre a derivabilidade de f . (Sugestao: naotente mostrar que f e diferenciavel.)

4a Questao:

Seja A uma matriz n × n simetrica e f : Rn −→ Rn tal que f(x) = (Ax, x), onde (., .)denota o produto escalar usual de Rn. Seja ainda S = x ∈ Rn, (x, x) = 1 a esferaunitaria centrada na origem.

i) Mostre que f e derivavel em todos os pontos e que f ′(x) = 2Ax.ii) Mostre que existe u1 ∈ S tal que f(u1) = min

u∈Sf(u). Mostre que u1 e autovetor de

A, associado a λ1 = f(u1).iii) Seja S2 = u ∈ S, (u, u1) = 0. Mostre que existe u2 ∈ S2 tal que f(u2) =

minu∈S2

f(u). Mostre que u2 e autovetor de A, associado a λ2 = f(u2).

iv) Iterando o argumento descrito acima, demonstre o Teorema Espectral no caso real,isto e, que uma matriz simetrica possui uma base ortonormal de autovetores.




Fevereiro de 2001

1a Questao:

Determine e classifique os pontos crıticos da funcao f :R2 → R definida por

f(x, y) = x4 + y4 + x2 + αy2 − 6x, α ∈ R.

2a Questao:

Seja f :Rn → R, n ≥ 1, uma funcao de classe C1 e Ω ⊂ Rn subconjunto aberto, limitadoe convexo tais que

0 ∈ Ω e ∇f(x) · η(x) < 0, ∀x ∈ ∂Ω,

onde η(x) denota o vetor unitario normal exterior a Ω em x ∈ ∂Ω.1) Mostre que existe x0 ∈ Ω tal que ∇f(x0) = 0.2) Mostre qua 1) e falso se Ω e nao limitado.

3a Questao:

Seja f : [0, 1]→ R funcao contınua e R ⊂ R2 o triangulo com verticies em (0, 0), (1, 0) e(0, 1). Mostre que ∫∫

R

f(x+ y) dxdy =∫ 1

0

ξf(ξ) dξ.

4a Questao:

Seja ϕ:R3 → R funcao de classe C2 tal que ∇ϕ(x) · x = 1 para todo x ∈ R3 tal que|x| = 2. Calcule ∫

|x|≤2∆ϕ(x) dx.

5a Questao:

Seja P3 o espaco vetorial dos polinomios de grau menor ou igual a 3, isto e:

P3 =p ; p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, a, b, c, d ∈ R.

1) Para p ∈ P3, seja ‖p‖ = |a|+ |b|+ |c|+ |d|. Mostre que ‖p‖ define uma norma emP3.

2) Seja S = p ∈ P3 ; a = 1 e p possui tres raızes reais e distintas. Mostre quep(x) = x3 e ponto de acumulacao de S mas nao pertence a S.

3) Seja Ω = (b, c, d) ∈ R3 ; p(x) = x3 + bx2 + cx + d ∈ S. Mostre que Ω e abertoem R3 e que a aplicacao Λ: Ω→ R3 definida por (b, c, d) ∈ Ω 7→ (λ1, λ2, λ3), ondeλi e raız de p e diferenciavel. (Sug.: use o Teorema da Funcao Inversa)




Dezembro de 2001

1a Questao:

Seja U ⊂ Rn aberto e [a, b] ⊂ R. Seja f :U × [a, b] → Rn de classe Ck. Mostre que afuncao g:U → Rn definida por g(x) =

∫ baf(x, t) dt e de classe Ck.

2a Questao:

Sejam f, g:Rn → R funcoes de classe C1. Suponha que o conjunto S = x ∈ R ; g(x) =0 e nao vazio e considere o problema de minimizacao com restricao

minx∈S

f(x). (M)

Seja xm um ponto de mınimo local de (M) e suponha que g′(xm) 6= 0. Use o Teoremada Funcao Implıcita para mostrar que existe (um multiplicador de Lagrange) λ ∈ R talque f ′(xm) = λg′(xm).

3a Questao:

Seja n ∈ N, x ∈ Rn e p:Rn → R dada por

p(x) =1

(2π)n/2e−‖x−x‖2

2 , (1)

onde ‖ · ‖ e a norma euclidiana usual. Definimos uma funcao de probabilidade (ditanormaL) em Rn dizendo que a probabilidade associada a uma regiao (suave) Ω ⊂ Rn edada por

∫Ωp(x) dx.

(i) Considere o caso n = 2, x = 0 e use coordenadas polares para mostrar que∫Rn p(x) dx = 1 (a probabilidade total e igual a 1). Obtenha o mesmo resultado

para x qualquer.

(ii) Use (i) para mostrar que∫Rn p(x) dx = 1 vale para n = 1.

(iii) O valor esperado E associado a uma funcao de probabilidade p e definido porE =

∫Rn xp(x) dx. Mostre que se n = 1 e p e dada por (1), entao E = x.

(iv) Mostre que (ii) e (iii) vale para n ∈ N qualquer.

4a Questao:

Seja U ⊂ Rn um aberto de fronteira regualar S. Dados f :U → R e g:S → R funcoescontınuas, considere o problema de Neumann que consiste em determinar u:U → R declasse C2 em U tal que

−∆u = f em U,

∂u

∂η= g em S,

(N)


onde η e o vetor normal unitario definido sobre S e exterior a U .

Use o Teorema de Gauss para mostrar que nem sempre (N) tem solucao.



Dezembro de 2002

1a Questao:

Mostre que

a) maxx+ y + z |x4 + y4 + z4 = 1

= 3 · 3−1/4.

b) maxxyz |x4 + y4 + z4 = 1

= 3−3/4.

c) max

(x+ y + z)xyz |x4 + y4 + z4 = 1

= 1.

d) x4+y4+z4

x+y+z ≥ xyz.

2a Questao:

O objetivo desta questao e demonstrar a formula de Green em um retangulo. SejamR = [a, b]× [c, d] e P,Q : R→ R contınuas tais que ∂P

∂y e ∂Q∂x existem e sao integraveis.

Mostre que ∮

∂R

(P,Q) · d~l =∫

R

[∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y)

]dxdy.

3a Questao:

Seja A ⊂ Rn nao vazio. Definimos, para todo x ∈ Rn,

ρ(x) = infa∈A‖x− a‖.

Mostre que

a) ρ(x) = 0 se, e somente se, x ∈ A.

b) Se A e fechado entao existe a ∈ A tal que ρ(x) = ‖x− a‖.c) ρ(x)− ρ(y) ≤ ‖x− y‖.d) Conclua que ρ e Lipschitz contınua com constante de Lipschitz igual a 1.

Sugestao: para mostrar (c) observe que para todo ε > 0 existe a ∈ A tal que ρ(y) + ε ≥‖y − a‖.


4a Questao:

Seja A uma matriz n × n e f ∈ C1(R) tal que f(0) = 0 e f ′(0) = 1. Para todo λ ∈ Rdefinimos

Sλ = x = (x1, ..., xn) ∈ Rn |Ax− (f(λx1), ..., f(λxn)) = 0 .

Mostre que se λ0 nao e autolavor de A, entao existem ε, δ > 0 tais que

|λ− λ0| < ε =⇒ Sλ ∩B0(δ) = 0

(onde B0(δ) e a bola de centro 0 ∈ Rn e raio δ).

Sugestao: considere a funcao F : R× Rn → Rn dada por

F (λ, x) = Ax− (f(λx1), ..., f(λxn)).


EXAMES DE

ALGEBRA LINEAR


Exame de Algebra Linear

Setembro de 1989

1a Questao:

Se A e uma matriz complexa 5 × 5 com polinomio caracterıstico (X − 2)3(X + 7)2 epolinomio minimal (X − 2)2(X + 7), qual a forma de Jordan de A?

2a Questao:

Seja V um espaco vetorial e T :V −→ V uma transformacao linear tal que T T = T .Mostre que V = Im(V )⊕Ker(T ). Use isto para mostrar que duas matrizes idempotentesde mesmo posto sao similares.

3a Questao:

Seja A uma matriz n× n e λ um autovalor de A. Se f(X) e um polinomio, mostre quef(λ) e um autovalor de f(A).

4a Questao:

Se A e uma matriz real simetrica, mostre que existe um inteiro m tal que mI + A epositiva definida. Ache o menor m que satisfaca esta propriedade no caso em que A ea matriz

−10 5 2

5 0 32 3 6

5a Questao:

Mostre que toda matriz ortogonal 3× 3 e similar a uma matriz da forma(±1 00 B

)

onde B e uma matriz ortogonal 2× 2.



Marco de 1990

1a Questao:

Seja A a matriz complexa

2 0 0a 2 0b c −1

Mostre que A e similar a uma matriz diagonal se, e somente se, a = 0.

Exames de Algebra Linear — 1

2a Questao:

Seja V um espaco vetorial complexo de dimensao finita, com produto interno. Seja Tum operador auto-adjunto em V . Mostre que:

a) ‖α+ iTα‖ = ‖α− iTα‖, para todo α ∈ V .

b) α+ iTα = β + iTβ se, e somente se, α = β.

c) I + iT e I − iT sao invertıveis.

d) O operador U :V −→ V definido por U = (I − iT )(I + iT )−1 e um operadorunitario.

3a Questao:

a) Sejam N1 e N2 duas matrizes complexas 3 × 3, nilpotentes. Mostre que N1 esimilar a N2 se, e somente se, N1 e N2 tem o mesmo polinomio minimal.

b) Sejam A e B matrizes complexas n×n que tem o mesmo polinomio caracterıstico

f(x) = (x− c1)d1 . . . (x− ck)dk

e o mesmo polinomio minimal. Suponha que di ≤ 3, para todo i = 1, . . . , k.Mostre que A e B sao similares.

4a Questao:

Seja E um espaco real de dimensao finita. Seja T um operador linear em E. Suponhaque T tem um autovalor complexo λ = α+ iβ com β 6= 0. Mostre que existem u, v ∈ E,linearmente independentes tais que:

a) O espaco gerado por u e v e invariante por T .

b) A matriz de T restrita a este subespaco (na base u, v) e

[α β−β α

]

Sugestao: Estenda T ao complexificado de E e procure w tal que Tw =λw. Se E e um espaco vetorial real, seu complexificado e E =

x + iy |

x, y ∈ E

e um espaco vetorial complexo. Dado T :E −→ E linear, Tadmite uma unica extensao linear T : E −→ E, dada por T (x + iy) =T (x) + iT (y).

5a Questao:

Seja V um espaco de dimensao finita com produto interno e T um operador linearinvertıvel em V . Mostre que existe um operador unitario U em V e um operadorpositivo N em V tal que T = UN .

Sugestao: Mostre que existe um operador invertıvel positivo R tal que R2 = T T .




Setembro de 1990

1a Questao:

Seja A uma matriz complexa n× n satisfazendo a equacao Ar = I, r ∈ N, r 6= 0.

a) Mostre que A e diagonalizavel.

b) Mostre que | trA| ≤ n.

2a Questao:

Seja A uma matriz real n× n satisfazendo At = A2 − 2A+ 2I.

a) Mostre que A e At sao simultaneamente diagonalizaveis.

b) Calcule os possıveis autovalores reais de A.

3a Questao:

Seja J uma matriz real 4×4 tal que J2 = −I. Seja A uma matriz real 4×4 satisfazendoAtJA = J .

a) Mostre que J e nao singular.

b) Mostre que se λ e auto-valor de A, entao λ−1 tambem e.

4a Questao:

Seja A uma matriz n× n, simetrica e positiva definida.

a) Mostre que existe uma unica matriz B n× n, simetrica positiva definida tal queB2 = A.

b) Mostre que existem B 6= C simetricas tais que B2 = C2.



Setembro de 1991

1a Questao:

Seja T :Cn −→ Cn transformacao linear e suponha que seu polinomio mınimo tenhasomente raızes simples. Mostre que T e diagonalizavel.


2a Questao:

Seja L(Rn) o espaco das trasformacoes lineares de Rn −→ Rn. Mostre que se P ∈ L(Rn)e simetrica positiva definida entao a aplicacao

ϕ : L(Rn) −→ L(Rn)X 7→ PX +XP

e um isomorfismo linear.

3a Questao:

Seja T :Rn −→ Rn linear tal que T 2 = T − I.

a) Mostre que n e par.

b) Se n = 2k, mostre que existe base β do Rn tal que

[T ]β =[

0 −IkIk Ik

],

onde Ik e a matriz identidade k × k.

4a Questao:

Seja T :V −→ V um operador linear, onde V e um espaco vetorial complexo comproduto interno. Mostre que T e normal se, e somente se, T = T1 + iT2, onde T1 e T2

sao operadores auto-adjuntos que comutam.

5a Questao:

a) Descrever suscintamente como se consegue uma base de Jordan para um operadornilpotente L:U −→ U .

b) Seja T :R10 −→ R10 um operador linear cujo polinomio mınimo e pm = (x− 2)4

e tal que dim Ker(T −2I) = 3. Descreva as possibilidades para dim Ker(T −2I)2

e dim Ker(T − 2I)?


Exame de Algebra LInear

Setembro de 1992

1a Questao:

Seja T :Rm −→ Rm um operador linear de posto 1. Demonstre que T e diagonalizavelou nilpotente.


2a Questao:

Seja T :R4 −→ R4 um operador linear cujos polinomios mınimo e caracterıstico sao,respectivamente, (x2 + 1)(x − 2) e (x2 + 1)(x − 2)2. Determine as possıveis formascanonicas reais de T , a menos da ordem dos blocos.

3a Questao:

Seja T :R3 −→ R3 ortogonal. Mostre que T ou e uma rotacao em torno de um eixo oue a composicao de uma rotacao em torno de um eixo com a reflexao com respeito aoplano que passa pela origem e e perpendicular ao eixo.

4a Questao:

Sejam T :Rm −→ Rm um operador linear e λ um auto-valor de T . Seja Ni =v ∈ Rm |

(T − λI)iv = 0

. Demonstre que:

a) Ni ⊆ Ni+1.

b) Se Ni+1 = Ni entao Ni+j = Ni para todo j ≥ 0.

c) Existe i satisfazendo a propriedade do item b).

5a Questao:

Seja A uma matriz auto-adjunta n× n. Uma matriz B n× n e dita uma raiz quadrada

de A se B2 = A.

a) Mostre que se todos os auto-valores de A sao positivos, entao A admite uma raizquadrada que e auto-adjunta.

b) Calcule uma raiz quadrade de(

1 22 1

). Ela e auto-adjunta?



Setembro de 1993

1a Questao:

Seja A matriz real n × n e suponha que λ ∈ C e autovalor de A com parte imaginarianao nula. Mostre que existe um subespaco de dimensao 2 em Rn invariante por A.

2a Questao:

Seja A,B:Rn −→ Rm lineares. Mostre que Ker(A) = Ker(B) se e so se existe C:Rm −→Rm linear inversıvel com A = CB.


3a Questao:

Seja B:Rn −→ Rn linear e simetrica. Sejam

Λ =λ ∈ C | λ e autovalor de B

ρ(B) = maxλ∈Λ|λ|

(ρ(B) e dito o raio espectral de B).

Dado u0 ∈ Rn, defina a sequencia (un)n∈N por un+1 = Bun.

a) Mostre que limn→∞

un = 0 para qualquer u0 se e so se ρ(B) < 1.

b) Refaca o problema sem a hipotese “B simetrica”.

4a Questao:

Seja A uma matriz real n× n. Mostre que vale a “decomposicao QR”, isto e: existemQ ortogonal e R triangular superior tais que A = QR.

5a Questao:

Seja A:R3 −→ R3 linear e tal que A−1 = A2 +A. Mostre que existe B:R3 −→ R3 lineartal que B2 = A.



Marco 1994

1a Questao:

Construa uma matriz A, 3 × 3, que tem apenas 2 autovetores independentes, sabendoque A fixa os vetores (0,1,3) e (3,0,1). Calcule A20.

2a Questao:

Uma transformacao unitaria A pode satisfazer a equacao 2A−A3 = 0? Explique.

3a Questao:

Seja:

A =

αn0 αn−1

. . .α2 0

α1

Sob que condicoes A e diagonalizavel ? (Nota : Os αi sao complexos).


4a Questao:

Seja A uma matriz normal, tal que A3 = A2. Prove que entao A e idempotente. O queacontece se nao supomos que A e normal ?

5a Questao:

Seja p um polinomio de grau n. Considere A: p(t) 7→ p(t + 1). Qual e o polinomiomınimo de A? Encontre a base de Jordan.

6a Questao:

Seja A tridiagonal simetrica :

A =

a1 b1b1 a2 b2

b2 a3 . . .. . . . . . . . .

an−1 bn−1

bn−1 an

onde todos os bi sao diferentes de 0.

Mostre que todos os auto-espacos tem dimensao 1.



Setembro de 1994

1a Questao:

Ache a forma de Jordan da matriz

3 −4 0 24 −5 −2 40 0 3 −20 0 2 −1

2a Questao:

Sejam A e B matrizes de ordem (m,n) e (k,m) respectivamente.

a) Prove que posto(BA) ≤ minposto(B), posto(A).b) Se m = k e B e inversıvel, prove que posto(BA) = posto(A)


3a Questao:

Seja A uma transformacao linear de posto 1.

a) Mostre que existe um unico escalar α tal que A2 = αA.

b) Mostre que se α 6= 1 entao I −A e inversıvel.

4a Questao:

Seja A matriz 2× 2 e considere

λ2 = max(Av; v) | ‖v‖ = 1, λ1 = min(Av; v

) | ‖v‖ = 1,

onde(

;)

e ‖ · ‖ denotam respectivamente o produto escalar e a norma usuais de R2.

a) Prove que se A e simetrica, entao λ1 e λ2 sao os autovalores de A.

b) De exemplo de matriz A para a qual os λi acima nao sao autovalores.

5a Questao:

Seja A = (aij) matriz n× n e λ1, . . . λl seus autovalores. Defina

Li = |ai1|+ · · ·+ |ain|, Cj = |a1j |+ · · ·+ |anj |,

L = max1≤i≤n

Li e C = max1≤j≤n

Cj .

Prove que max1≤k≤l

|λk| ≤ minL,C.



Marco de 1995

1a Questao:

Seja A uma matriz real, com polinomio caracterıstico:

pc = (x− 1)3(x− 2)4(x− 3)5 . . . (x− n)n+2

e com polinomio mınimo:

pm = (x− 1)(x− 2)2(x− 3)3 . . . (x− n)n

1) Quantas possibilidades existem para a Forma Normal de Jordan de A?

2) Para que valores de n a matriz A pode ser simetrica? Ortogonal?

3) Qual o maior numero possıvel de auto-vetores a direita (modulo R∗) de A?


2a Questao:

Seja T : IRN −→ IRN linear, tal que:

T 2 = T − I

1) Mostre que N e par.

2) Se N = 2k, mostre que existe uma base β de IRN tal que:

[T ]β =(

0 −IkIk Ik

)

onde Ik e a identidade de Rk.

3a Questao:

Seja ‖A‖∞ = max ‖Ax‖∞‖x‖∞ . Mostre que:

‖A‖∞ = maxi

∑

j

|aij |

4a Questao:

Enuncie e prove o Teorema Espectral para matrizes Hermitianas.

5a Questao:

Seja B = (bij), 1 ≤ i, j ≤ 20 uma matriz 20× 20 real, tal que:

bii = 0 se 1 ≤ i ≤ 20bij ∈ −1; 1 se 1 ≤ i, j ≤ 20, i 6= j

Mostre que B e nao-singular.



Setembro de 1995

1a Questao:

Sejam A,B:Rn → Rm transformacoes lineares com Im(A) = Im(B). Mostre que existeC:Rn → Rn linear e invertıvel tal que A = BC.


2a Questao:

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita e v1, . . . , vn, w1, . . . , wm duas basesde V . Mostre que n = m.

3a Questao:

Seja A:R3 → R3 transformacao linear tal que A3 − 2A2 + 2A = I. Mostre que A eortogonal.

4a Questao:

Seja B:RN → RN transformacao linear e

‖x‖ =( N∑

i=1

x2i

)1/2

a norma euclidiana definida para x = (x1, . . . , xN ) ∈ RN . Defina

‖B‖∗ = supx∈RNx6=0

‖Bx‖‖x‖

(pode-se mostrar que ‖ · ‖∗ define uma norma).

(i) Mostre que se B e simetrica, entao‖B‖∗ = max|λi| ; λi autovalor de B

(ii) Mostre que a igualdade em (i) nao se verifica, em geral, se B nao e simetrica.



Marco de 1996

1a Questao:

Sejam A,B:Rn −→ Rk lineares. Mostre que Ker(A) = Ker(B) se e so se existeC:Rk −→ Rk linear e inversıvel tal que A = CB.

2a Questao:

Considere a matriz

A =

0 0 10 1 01 0 0

Quantas matrizes (reais) ortogonais P existem tais que:(a) P−1AP e diagonal?

(b) P−1AP =

0 1 01 0 00 0 1

?


3a Questao:

Mostre que a matriz

0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

e similar a uma matriz do tipo

1 0 0 00 ω 0 00 0 ω2 00 0 0 ω3

Generalize para dimensoes maiores.

4a Questao:

Seja r(A) = maximo dos modulos dos autovalores da matriz A. Mostre que r(A) = ‖A‖se e somente se

‖Ak‖ = ‖A‖k, ∀k = 0, 1, 2, . . .

5a Questao:

Diz-se que uma transformacao linear A e uma isometria parcial se

‖Av‖ = ‖v‖ ∀v ∈W, onde W = (KerA)⊥.

(i) Encontre uma isometria parcial que tem um autovalor λ = 1/2.

(ii) Mostre que se λ e autovalor de uma isometria parcial entao |λ| ≤ 1.

(ii) Mostre que A e isometria parcial se e somente se A∗A e uma projecao ortogonal.



Setembro de 1996

1a Questao:

Sejam A e B matrizes diagonalizaveis complexas n× n tais que AB = BA. Mostre queexiste uma base de Cn que diagonaliza simultaneamente A e B.


2a Questao:

Mostre que toda matriz complexa n× n A se escreve da forma:

A = QRQh,

onde Q e unitaria e R e triangular superior. Essa fatoracao e chamada de forma normalde Schurr.

Deduza o teorema espectral para matrizes hermitianas.

Existe alguma decomposicao analoga para matrizes reias (com R real)?

3a Questao:

Seja B = (bij) uma matriz 20 × 20 real tal que bii = 0, 1 ≤ i ≤ 20 e bij ∈ −1, 1 sei 6= j. Mostre que B e nao-singular.

4a Questao:

Ache a forma de Jordan de −1 9 −1 9−9 6 −9 61 −9 −1 99 −6 −9 6



Marco de 1997

1a Questao:

Enuncie e demonstre o Teorema Espectral para transformacoes lineares em espacosvetoriais de dimensao 2.

2a Questao:

Seja N um numero natural e Ij = [(j − 1)/N, j/N) ; j = 1, 2, . . . , N.Seja E = f : [0, 1)→ R ; f |Ij e linear e W = f : [0, 1)→ R ; f |Ij e constante .

i) Determine uma base de E.

ii) Determine uma base de W .

iii) Determine uma base para o espaco quociente E/W .


3a Questao:

Seja A uma matriz n× n de coeficientes ai,j dados por

ai,j =

1 se i = j2 se i = j − 10 senao

Determine a forma canonica de Jordan de A.

4a Questao:

Seja Z o conjunto dos inteiros e Zn = (a1, a2, . . . , an ; ai ∈ Z, i = 1, . . . , n. Se u = (ai)e v = (bi), definimos a soma u+ v tal que (u+ v)i = ai + bi, ∀i = 1, . . . , n. Alem disso,se λ ∈ Z, definimos o produto por escalar λu ∈ Zn tal que (λu)i = λai, ∀i = 1, . . . , n.

Seja β = u1, u2, . . . , uk ⊂ Zn. Dizemos que β e um conjunto linearmente independente(l.i.) se ∀λ1, λ2, . . . , λk ∈ Z,

k∑

i=1

λiui = 0 ⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0.

Dizemos que β ⊂W ⊂ Zn gera W se

∀w ∈W,∃λ1, λ2, . . . , λk ∈ Z tais que w =k∑

i=1

λiui

β ⊂W e dito uma base de W se β e um conjunto l.i. que gera W .

(a) Determine uma base para Zn.

(b) Mostre que duas bases de Zn tem a mesma cardinalidade n

(Sugestao: Mostre que, se β e uma base de Zn entao β e base do espaco vetorialQn).

(c) Determine um conjunto de n elementos l.i. de Zn que nao gera Zn.

(d) Determine condicoes necessarias e suficientes para que um conjunto de elementsl.i. seja uma base de Zn.



Setembro de 1997

1a Questao:

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita e A uma transformacao linear em V .Mostre que se todo subespaco M de V e invariante por A, entao A e um multiploescalar do operador identidade.


2a Questao:

Seja A uma transformacao linear em um espaco vetorial V de dimensao finita. Suponhaque o posto de A2 seja igual ao posto de A. Prove que ImA ∩KerA = 0.

3a Questao:

Seja A:Cn → Cn, n ∈ N, uma transformacao linear e suponha que seu polinomio mınimotenha somente raızes simples. Mostre que A e diagonalizavel.

4a Questao:

Considere a matriz

A =

3/4 1/4 a1/4 3/4 bc d 1/2

(a) Sabendo que a matriz A representa uma rotacao em torno de um eixo, encontreos valores de a, b, c e d.

(b) Determine o angulo e o eixo de rotacao.

(c) E possıvel encontrar valores para as constantes a, b, c, e d de forma que a matrizA represente uma reflexao? Justifique sua resposta.

5a Questao:

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno.

(a) Seja T :V → V linear. Mostre que T e um operador normal se e somente se existemoperadores lineares A,B:V → V auto-adjuntos que comutam entre si e tais queT = A+ iB.

(b) Sejam A e B operadores auto-adjuntos que comutam entre si. Mostre que todoauto-espaco de A e invariante por B (e vice-versa).

(c) Assumindo o Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos, demonstre, us-ando (a) e (b) o Teorema Espectral para operadores normais em V .



Marco de 1998

1a Questao:

Sejam v1 e v2 dois vetores de R3. Determine condicoes necessarias e suficientes paraque exista uma transformacao linear ortogonal T de R3 tal que Tv1 = v2.


2a Questao:

Seja v ∈ Rn. Mostre como construir uma transformacao linear simetrica T 6= I de Rn

tal que Tv = v.

3a Questao:

Seja V um espaco vetorial e T ∈ L(V ). Suponha V = W1⊕W2, onde Wi e T -invariante,i = 1, 2. Seja Ti = T |Wi

, i = 1, 2. Mostre que:

(a) o polinomio caracterıstico de T e o produto dos polinomios caracterısticos de T1 eT2.

(b) o polinomio mınimo de T e o mınimo multiplo comum entre os polinomios mınimosde T1 e T2.

4a Questao:

Uma bandeira em um espaco vetorial V de dimensao n e uma colecao de subespacosV1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn, com dimVj = j. Se T e uma transformacao linear de V , umabandeira e dita T -invariante se cada subespaco Vj e T -invariante. Mostre que se T eum operador diagonalizavel entao existe uma bandeira T -invariante em V . Mostre quea recıproca nao e verdadeira.



Setembro de 1998

1a Questao:

Seja A ∈ R7×7 tal que

(i) dimN(A) = 1, onde N(A) e o nucleo de A;

(ii) A2 − 2A+ 2I e singular;

(iii) o polinomio p(z) = (z − 2)2 divide o polinomio mınimo de A;

(iv) o polinomio q(z) = (z − 3) divide o polinomio caracterıstico de A.

Quais sao as possıveis formas canonicas reais de Jordan de A?

2a Questao:

Seja

A =

1 1 1−1 −1 −21 1 2

Ache a forma canonica de Jordan de A e calcule A99.


3a Questao:

Sejam A1, . . . , Am matrizes hermitianas em Cn, n ∈ N. Suponha que

m∑

k=1

A2k = 0.

Mostre que A1 = · · · = Am = 0.

4a Questao:

Seja V um espaco vetorial complexo de dimensao finita com produto interno. Mostreque A:V → V e um operador normal se e somente se ‖Ax‖ = ‖A∗x‖, ∀x ∈ V , onde‖ · ‖ e a norma associada ao produto interno de V .

5a Questao:

Seja A um operador linear em um espaco vetorial complexo de dimensao finita comproduto interno. Defina N2 = A∗A. Mostre que existe um operador unitario U tal queA = UN.



Setembro de 1999

1a Questao:

Se a > 0, que tipo de conica representa a equacao x2 + 8xy + 17y2 = a?

2a Questao:

De um exemplo de uma matriz ortogonal real A, 5× 5, que tenha apenas um autovalorreal de multiplicidade algebrica igual a 1.

3a Questao:

a) Considere B uma matriz complexa n× n. Mostre que B = 0 se e somente o tracode BB∗ e igual a zero.

b) Mostre que A e hermitiana se e somente se AA∗ = A2.

Sugestao: Considere B = A−A∗ e use o item (a).


4a Questao:

Considere a matriz A 10× 10 dada por

A =

1 2 · · · 1011 12 · · · 20...

... · · · ...91 92 · · · 100

a) Mostre que o posto de A e igual a 2 e de uma base para a imagem de A.

b) Mostre que a nulidade de A e 8 e de uma base para o nucleo de A.

5a Questao:

Considere a matriz tridiagonal A n× n dada por

A =

2 −1 0 0 · · · 0−1 2 −1 0 · · · 00 −1 2 −1 · · · 0...

......

... · · · ...0 0 · · · −1 2 −10 0 0 · · · −1 2

a) Seja ~uk ∈ Rn tal que

uik = senikπ

n+ 1.

Mostre que ~uk e autovetor de A ∀k ∈ N.

b) Mostre que ~u1, ~u2, . . . , ~un forma uma base ortogonal de autovetores de A.



Marco de 2000

1a Questao:

a) Seja B matriz n× n simetrica e u ∈ Rn tal que B2u = 0. Mostre que Ker(B2) =Ker(B), onde Ker(B) denota o nucleo de B.

b) De exemplo de uma matriz B nao simetrica tal que Ker(B2) 6= Ker(B).

2a Questao:

Mostre que uma transformacao linear ortogonal de R2 e uma reflexao ou uma rotacao.


3a Questao:

Determine todas as transformacoes lineares ortogonais T :R2 → R2 tais que T (1, 2) =(2, 1).

Sugestao: Use a Questao 2.

4a Questao:

Considere a sequencia de numeros inteiros an gerada pela lei de recorrencia:

an+2 = 6an + an+1, n ≥ 1,

a1 = 1, a2 = 2.

Determine a100.

Sugestao: Existe uma matriz B 2× 2 tal que ~xn+1 = B~xn, onde ~xn = (an, an+1).



Setembro de 2000

1a Questao:

Considere a matriz A =(a bc d

). De condicoes sobre os coeficientes a, b, c, d ∈ R para

que:

1) A seja inversıvel;

2) A tenha posto igual a 1;

3) A seja simetrica e positiva definida;

4) A seja uma projecao ortogonal;

5) A preserve area (isto e, se P e um paralelogramo de R2 de area a e f(x) = Ax,entao f(P ) tem area a.)

2a Questao:

Sejam L:R25 → R5 eM :R125 → R25 transformacoes lineares tais que LM e sobrejetiva.Determine todos os possıveis valores para a dimensao do nucleo de M .

3a Questao:

Mostre que se A e uma matriz n × n tal que a soma dos elementos de cada linha e 1,entao λ = 1 e autovalor de A.


4a Questao:

Demonstre se a afirmativa e verdadeira, ou de um contra-exemplo caso seja falsa:

1) Nao existe uma matriz n× n unitaria A tal que 2A−A3 = 0.

2) A unica matriz 3 × 3 real A que satisfaz a equacao 2A − A3 = I e a matrizidentidade.

5a Questao:

Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e T :V → V uma transformacao linear.Sejam α, β ∈ R tais que T 2 +αT +βI = 0. Prove que T tem um autovalor se e somentese α2 ≥ 4β.



Fevereiro de 2001

1a Questao:

Considere a matriz

A =16

5 −2 ab 2 d1 c 5

Sabendo que A representa uma projecao ortogonal sobre um plano de R3, determine:

(a) os valores dos coeficientes a, b, c e d;

(b) a equacao do plano sobre o qual e feita a projecao.

(c) E possıvel encontrar valores para a, b, c e d ∈ R de forma que a matriz A representeuma rotacao? E uma reflexao?

2a Questao:

Sejam V um espaco vetorial de dimensao finita e T :V → V uma transormacao linear.Prove que:

(a) T e normal se e somente se ‖Tv‖ = ‖T ∗v‖, ∀v ∈ V ;

(b) T e normal ⇒ KerT = KerT ∗;

(c) Suponha dimV = 2. Se T e normal e nao e auto-adjunta, entao a matriz de Tcom respeito a qualquer base ortonormal de V tem a forma

(a −bb a

), b 6= 0.


3a Questao:

(a) Mostre que todas as matrizes (com n > 1) do tipo

1 2 3 · · · nn+ 1 n+ 2 n+ 3 · · · 2n2n+ 1 2n+ 2 2n+ 3 · · · 3n

......

.... . .

...(n− 1)n+ 1 (n− 1)n+ 2 · · · · · · n2

possuem posto igual a 2.(b) Encontre uma base para a imagem da matriz

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16

4a Questao:

Demonstre se a afirmativa e verdadeira, ou de um contra-exemplo se for falsa.(a) Se o polinomio mınimo de uma transformacao linear T em um espaco vetorial de

dimensao n tem grau n, entao A e diagonalizavel.(b) Se A e nilpotente, entao λ = 0 e o unico autovalor de A.(c) Se A e uma matriz 3× 3 e possui 3 autovetores linearmente independentes, entao

A e inversıvel.

5a Questao:

Sejam T e S duas transformacoes lineares em um espaco vetorial complexo V de di-mensao finita tais que TS = ST .

(a) Prove que se λ e um autovalor de T , entao W = v ∈ V ; Tv = λv e um subespacoinvariante por S.

(b) Prove que T e S possuem ao menos um autovetor em comum.



Dezembro de 2001

1a Questao:

Qual o grau do polinomio mınimo da matriz B abaixo? E da matriz (n× n) C abaixo?

B =

2 0 0 11 2 0 00 1 2 00 0 1 2

C =

2 0 · · · 0 11 2 · · · 0 0

. . . . . .. . . . . . 0

0 0 · · · 1 2


2a Questao:

(a) Caracterize a classe das matrizes Q reais n× n com a seguinte propriedade: paratoda matriz n× n real A, ‖QA‖F = ‖A‖F .

(b) Mostre que ‖AB‖F ≤ ‖A‖F ‖B‖F , para todas A e B.(c) Mostre que ‖A‖1 = ‖AT ‖∞.

3a Questao:

Seja A : Rn → Rn uma transformacao linear. Sk denota sempre a esfera de raio 1 emRk+1. Descreva geometricamente, distinguindo os casos que forem necessarios:

(a) A(Sm−1);(b) A−1(Sm−1).

4a Questao:

Seja a : (Rn)k → Rn uma forma k-linear alternada nao-nula em Rn. A norma de a podeser definida assim:

‖a‖2 = sup‖u1‖2=···=‖uk‖2=1

|a(u1, . . . , uk)|.

Mostre que se a norma de a e atingida para um certo valor de u1, . . . , uk acima, entaoa matriz U de colunas u1, . . . , uk e ortogonal.

5a Questao:

Seja An o subespaco de L(n) gerado pelas matrizes de permutacao. Mostre que

dimAn = n2 − 2n+ 2.

Sugestao: mostre primeiro que An = (An ∩ Simn) ⊕ (An ∩ Antin), onde Simn e Antinsao, respectivamente, os espacos das matrizes simetricas e anti-simetricas.



Dezembro 2002

1a Questao:

a) S e uma raiz cubica de T se S3 = T . Um operador auto-adjunto T tem sempreuma raiz cubica? Prove ou de um contra-exemplo.

b) Uma involucao e uma transformacao linear U tal que U2 = I. Mostre que aequacao U = 2T − I estabelece uma correspondencia biunıvoca entre o conjuntodas projecoes T no conjunto das involucoes U .

c) Uma projecao e uma transformacao linear T tal que T 2 = T . Mostre que se T euma projecao entao seu traco e igual a dimensao de Im(T ).

d) Sejam A,B : Rn → Rn transformacoes lineares com Ker(A) = Ker(B). Mostreque existe C : Rn → Rn linear e invertıvel tal que A = CB.


2a Questao:

Seja A : Rn → Rn uma transformacao linear simetrica tal que limk→∞

‖Ak‖ = 0. Prove

que todo autovalor λ de A satisfaz |λ| < 1.

3a Questao:

Seja A uma matriz n × n real. Suponha que existam matrizes ortogonais U e V taisque A = UCV T , onde

C =

c1 0 · · · 0

0 c2. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 cn

.

Mostre que as colunas de U sao autovetores de AAT e que c21, . . . , c2n sao os autovalores

associados. Mostre tambem que as colunas de V sao autovetores de ATA.

4a Questao:

Considere a matriz

A =

3/4 1/4 a1/4 3/4 bc d 1/2

.

a) Sabendo que a matriz A representa uma rotacao em torno de um eixo, encontreos valores de a, b, c e d.

b) Determine o angulo e o eixo de rotacao.

c) E possıvel encontrar valores para as constantes a, b, c e d de forma que a matriz Arepresente uma reflexao? Justifique sua resposta.


EXAMES DE

VARIAVEIS COMPLEXAS


Exame de Variaveis Complexas

Setembro de 1989

1a Questao:

Suponha que a funcao f(z) e holomorfa para |z| > R, e que f(z) e limitada quando|z| → ∞. Demonstre que f(z) pode ser expandida como uma serie da forma

∞∑n=0

anz−n,

que e convergente quando |z| > R.

2a Questao:

Calcule ∫ ∞0

ta−1

1 + tdt,

onde 0 < a < 1.

3a Questao:

Mostre que se f(z) e uma funcao contınua em γ, onde γ: [a, b] −→ C e C1 por partes,entao a funcao

f(ξ) =1

2πi

∫

γ

f(z)z − ξ dz

esta bem definida e e analıtica em E = C \ γ([a, b]). Sua derivada f ′ e dada por

f ′(ξ) =1

2πi

∫

γ

f(z)(z − ξ)2

dz

para todo ξ ∈ E. Observe que γ nao precisa ser fechada. O que acontece quando γ efechada?

4a Questao:

Demonstre que se f :U −→ C e analıtica e injetiva, entao f ′(z) 6= 0, para todo z ∈ U .

5a Questao:

Seja f :U −→ C uma funcao analıtica que nao se anula no domınio aberto e simplesmenteconexo U . Mostre que existe um ramo de log(f) definido em U .

Exames de Variaveis Complexas — 1



Marco de 1990

1a Questao:

Sejam f funcao inteira nao constante, a > 0 e S =z ∈ C; |f(z)| ≤ a. Demonstre que

∂S =z ∈ C; |z| = a

.

2a Questao:

Sejam f e g duas funcoes holomorfas definidas em um subconjunto D aberto e conexodo plano C que nao possuem zeros em D. Existe uma sequencia (an)n≤1 de pontos deD tais que

limn→∞

an = a, a ∈ D e an 6= a ∀n.e tambem vale para todo n:

f ′(an)f(an)

=g′(an)g(an)

.

Prove que existe uma constante complexa c tal que f(z) = cg(z) ∀z ∈ C.

3a Questao:

Calcule ∫ +∞

0

11 + x4

dx.

4a Questao:

a) Sejam U ⊂ C aberto conexo e f :U −→ C uma funcao holomorfa nao constantetal que ∀z ∈ U , f(z) 6= 0. Prove que existe uma funcao holomorfa g:U −→ C talque eg(z) = f(z), ∀z ∈ U , se, e somente se, para todo caminho fechado e contınuoγ: I −→ U vale ∫

γ

f ′(z)f(z)

dz = 0.

b) Seja f :C −→ C uma funcao holomorfa que possui um numero finito de zeros.Prove que existem uma funcao holomorfa g:C −→ C e um polinomio p(z) taisque f(z) = p(z)eg(z), ∀z ∈ C.

5a Questao:

a) Mostre que f(z) = z − iz + i e uma equivalencia conforme entre o semi-plano superior

abertoz ∈ C | Im z > 0

e o disco unitario

z ∈ C | |z| < 1

.

b) Calcule G equivalencia conforme que leva o disco unitario aberto no semi-planoz ∈ C | <z > 0

. Esta equivalencia e unica? Justifique sua resposta.




Setembro de 1990

1a Questao:

Seja f uma funcao inteira tal que |f(z)| > 1/3 se |z| > M . Prove que f e um polinomio.

2a Questao:

Calcule ∫ +∞

0

cos ax(1 + x2)2

dx, a > 0.

3a Questao:

Seja f holomorfa em 0 ∈ C tal que f(0) = f ′(0) = . . . = f (k−1)(0) = 0, f (k)(0) 6= 0.Mostre que existe g holomorfa em 0 ∈ C tal que g(0) = 0, g′(0) 6= 0 e f(z) =

(g(z)

)kpara z numa vizinhanca de 0 ∈ C.

4a Questao:

Usando o Teorema de Rouche mostre que se

pm(z) = 1 + z +z2

2+ . . .+

zm

m!e

am = min|z|; pm(z) = 0

,

entao limm→∞

am =∞.



Fevereiro de 1991

1a Questao:

Considere a funcao f :D −→ C definida por

f(z) =∫ ∞

0

ezt

t+ 1dt,

onde D =z ∈ C | <z < 0

. Prove que f esta bem definida e e analıtica.

Sugestao: Use Morera.


2a Questao:

Mostre que ∫ 2π

0

dθ

(5− 3 sen θ)2=

5π32.

Sugestao: Escreva sen θ como funcao de z = eiθ.

3a Questao:

Mostre que uma aplicacao inteira f injetiva e um polinomio de grau 1.

Sugestao: Estude a singularidade de F (z) = f(1/z).

4a Questao:

Seja f :U −→ R uma funcao harmonica. Prove que f nao tem maximos locais a menosque f seja constante.



Setembro de 1991

1a Questao:

Calcule, pelo metodo dos resıduos, a seguinte integral impropria:

∫ +∞

−∞

x2 − x+ 2x4 + 10x2 + 9

dx.

2a Questao:

Seja f uma funcao inteira nao constante. Mostre que a funcao g definida por g(z) = f(1z )

tem uma singularidade nao removıvel em z = 0.

3a Questao:

Considere a equacao diferencial complexa

zy′ = z2y2 +my,

onde m ∈ Z+. Prove que toda solucao nao trivial y = f(z) holomorfa no disco unitarioD =

z ∈ C | |z| ≤ 1

e da forma f(z) = zmf(z), onde g e holomorfa e diferente de

zero em D.

Sugestao: Conte o numero de zeros de f num pequeno disco centrado na origem.


4a Questao:

Resolva um dos dois problemas abaixo.

4.1 Seja f holomorfa num disco D e f 6= 0 em ∂D. Sejam a1, . . . , al os zeros de f emD contados com suas respectivas multiplicidades. Prove que

12πi

∫

∂D

znf ′(z)f(z)

dz =l∑

j=1

anj , ∀n ∈ N.

4.2 Sejam a e b numeros complexos distintos e considere a funcao R(z) = (z−a)/(z−b).(1) Mostre que a imagem por R de C− [a, b] (complementar do intervalo fechado

[a, b] ⊂ C) esta contida no complementar Ω do eixo real nao positivo (i.e.Ω = C− (R− ∪ 0).

(2) Conclua que existe um ramo de logR(z) bem definido em Ω.

(3) Mostre que para qualquer curva fechada γ, que nao intersepta o segmento [a, b],tem-se: ∫

γ

dz

z − a =∫

γ

dz

z − b .

Sugestao: Tome a derivada de logR(z).



Setembro de 1992

1a Questao:

Prove que a equacao z5 + 15z + 1 = 0 tem exatamente 4 solucoes no anelz | 3/2 <

|z| < 2

.

2a Questao:

Mostre que ∫ ∞0

sen2 x

x2dx =

π

2.

3a Questao:

Seja f(z) uma funcao inteira. Suponhamos que exista um numero inteiro n > 0 e doisnumeros reais positvos R e M tais que |f(z)| ≥ M |z|n, para qualquer z fora de umcırculo de raio R. Mostre que f(z) e um polinomio de grau maior ou igual a n.


4a Questao:

Encontre o desenvolvimento em series de potencias (Laurent) de

1(z − a)(z − b)

no anel 0 < |a| < |z| < |b|.

5a Questao:

Seja f :R −→ R uma funcao analıtica tal que para cada x0 ∈ R, a serie de Taylor def de centro x0 converge no intervalo |x − x0| < ex0 . Mostre que f se estende a umafuncao inteira em C.



Setembro de 1993

1a Questao:

Seja Ω = (0, 1) × (0, 1) e u: Ω → R harmonica. Mostre que existe f : Ω → C analıticacom <f = u. Mostre que f e unica a menos de uma adicao por um imaginario puro.

2a Questao:

Mostre que existe um aberto Ω ⊂ R2 e u harmonica em Ω para os quais nao vale aconclusao da questao anterior.

3a Questao:

Seja f uma funcao inteira satisfazendo |f(z)| ≤ k|z|m, onde k > 0 e m ∈ N. Suponhaque existe z0 ∈ C, z0 6= 0 com f(z0) = kzm0 . Mostre que f(z) = kzm ∀z ∈ C.

4a Questao:

Mostre que z0 e singularidade essencial de f se e somente se z0 e singularidade essencialde 1/f .

5a Questao:

Calcule ∫ ∞0

cosx1 + x2

dx.




Marco 1994

1a Questao:

Prove o Teorema Fundamental da Algebra.

2a Questao:

Ache um aberto conexo U de C tal que, se H for o conjunto das funcoes analıticas emU , entao a aplicacao

∂∂z

: H → Hf 7→ f ′

nao e sobre.

3a Questao:

Seja f analıtica e limitada em D =z ∈ C | Im z > 0

, contınua em D e limitada em

∂D =z | Im z = 0

Prove que :|f(z)| ≤ sup

ξ∈∂D|f(ξ)|

Sugestao: Fixe z0, Im z0 > 1, R > |z0|, e n natural e considere a funcao z 7→ fn(z − i)z ,

onde |z| < R, Im z > 1.

4a Questao:

Sejam Ωn, Ω regioes tais que para todo z ∈ Ω, ∃n0 : ∀n ≥ n0, z ∈ Ωn. Prove o :

Teorema de Weierstrass:

Assuma que fn(z) e analıtica na regiao Ωn , e que fn(z) → f(z) em Ω,

uniformemente em compactos.

Entao f ′ e analıtica em Ω, e f ′n(z)→ f ′(z) uniformemente em compactos

de Ω.

5a Questao:

Calcule ∫ ∞0

xc−1

(x+ 1)(x+ 2)dx

onde 1 < c < 2

Sugestao : Integre em torno de um disco suficientemente grande em torno da origem,menos uma vizinhanca do semi-eixo dos reais positivos.




Setembro de 1994

1a Questao:

1) Mostre que a serie∞∑n=1

zn

n2converge uniformemente em D = z ∈ C | |z| ≤ 1.

2) A serie obtida derivando-se termo-a-termo a serie acima converge uniformementeem D = z ∈ C | |z| < 1? Justifique.

2a Questao:

1) Exiba uma aplicacao bijetiva e analıtica definida no disco unitario aberto z ∈C | |z| < 1 com valores no semiplano z ∈ C | Im z > 0.

2) Existe uma aplicacao analıtica e bijetiva do plano complexo C no disco unitario?Justifique.

3a Questao:

Calcule∫ ∞−∞

senxx

dx.

4a Questao:

Assisinale se verdadeira ou falsa justificando sua resposta:

1) Se fnn∈N e uma sequencia de funcoes holomorfas definidas no disco unitarioD = z ∈ C | |z| < 1 que converge uniformemente para f nas partes compactasde D, entao f e holomorfa em D.

2) Existe f holomorfa e nao-constante em um domınio U tal que

F (U) ⊂ z ∈ C | Im z = 0.

5a Questao:

Seja U ⊂ C um domınio e suponha que u:U → R satisfaz a seguinte propriedade:

u(z0) =1

2π

∫ 2π

0

u(z0 + reiθ) dθ

para todo r > 0 tal que Br(z0) ⊂ U .

Mostre que se existe z0 ∈ U tal que u(z0) ≥ u(z) ∀z ∈ U , entao u e constante.




Marco de 1995

1a Questao:

Seja f analıtica num domınio D. Prove que f e constante em D se u = <f ou v = Im f

ou |f | ou Arg f e constante em D.Prove tambem que f e constante em D se

h(u, v) = a0u2 + a1uv + a2v

2 + a3u+ a4v

e constante em D, onde ai ∈ C.

2a Questao:

Prove que se f e uma funcao inteira e |f(z)| ≥ 1, ∀z ∈ C, entao f e constante.

3a Questao:

Prove que as funcoes que sao regulares em C e tem um polo no ∞ sao os polinomios degrau n ≥ 1.

4a Questao:

Calcule ∫ ∞0

x2

x6 + 1dx

5a Questao:




Setembro de 1995

1a Questao:

Calcule ∫ +∞

−∞

11 + x4

dx

2a Questao:

Seja D ⊂ C um domınio e fnn≥0 uma sequencia de funcoes analıticas tal que fn(z) −→f(z) uniformemente nos compactos de D.

(i) Mostre que f e analıtica.(ii) Mostre que f ′(z) = limn→+∞ f ′n(z), ∀z ∈ D.


3a Questao:

Uma funcao f :C → C e dita coerciva se |f(z)| −→ +∞ quando |z| −→ +∞. Seja f

inteira e coerciva. Mostre que f e sobrejetiva.

(Sugestao: Mostre que 0 ∈ Im f).

4a Questao:

Seja D ∈ C um domınio e f analıtica em D. Mostre que f satisfaz o princıpio da media,isto e, se Br(z0) ∈ D, entao

f(z0) =1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reiθ) dθ



Marco de 1996

1a Questao:

Integre ∫ +∞

0

senxx

dx

2a Questao:

Ache uma transformacao conforme levando o disco unitario na regiao y < x2.

3a Questao:

Seja g uma funcao analıtica com a singularidade essencial em x. Seja U uma vizinhancade x. Mostre que todo y ∈ C e ponto de acamulacao de g(U).

4a Questao:

Sejam ω1, ω2 ∈ C∗ tais que ω1/ω2 /∈ R. Seja f uma funcao meromorfa com perıodos ω1

e ω2:f(z) = f(z + ω1) = f(z + ω2), ∀z ∈ C.

Mostre que a soma dos resıduos de f e zero. Conclua que toda funcao meromorfanao constante com perıodos ω1 e ω2 tem tantos polos quanto zeros (contando commultiplicidade).


5a Questao:

Seja f(z) analıtica na regiao anular Ω = 1 < |z| < 2. Assuma que f(z) 6= 0 para todoz ∈ Ω. Mostre que existe um inteiro n e uma funcao analıtica g em Ω tal que, para todoz ∈ Ω, f(z) = zneg(z).



Setembro de 1996

1a Questao:


2a Questao:

Calcule∫ +∞

−∞

11 + x4

dx.

3a Questao:

Seja fn(z) =∑nk=1

zk

k , z ∈ U , onde U e o disco aberto unitario. Prove que (fn) convergeuniformemente sobre os compactos de U , mas nao converge uniformemente sobre U .

4a Questao:

Seja D um disco aberto e A o conjunto das funcoes f :D → C tais que f |D e holomorfae f |∂D e contınua. Prove que A e completo sob a metrica

du(f, g): = sup |f − h|, f, g ∈ A.

5a Questao:

Seja E o espacovetorial das funcoes f :C → C holomorfas e S o espaco vetorial dassequencias (cn)n≥0 em C tais que |cn|1/n −→ 0.

Prove que existe um isomorfismo (linear e bijetor) T : E → S.




Setembro de 1997

1a Questao:

Sejam f e g analıticas em um aberto conexo Ω de C contendo o disco unitario centradona origem. Suponha que

f ′(an) = f(an)g′(an), ∀n ∈ N,

onde an = exp(iπn/4)/n. Prove que existe uma constante complexa c tal que

f(z) = ceg(z), ∀z ∈ Ω.

2a Questao:

Seja Ω um aberto conexo limitado de C e sejam f e g funcoes analıticas em Ω e contınuasem Ω. Suponha que f e g nao se anulam em Ω e sao tais que |f(z)| = |g(z)| para todoz ∈ ∂Ω. Mostre que existe uma constante complexa λ com |λ| = 1 tal que f(z) = λg(z)em Ω.

3a Questao:

(a) Seja f(z) uma funcao analıtica em 0 < |z| < 1 tal que

c1|z|k ≤ |f(z)| ≤ c2

|z|m , ∀z, 0 < |z| < ε,

onde 0 < ε ≤ 1, 0 < c1 < c2 e k ≤ m, k,m ∈ N. Mostre que a origem e um polode ordem n ∈ N de f onde k ≤ n ≤ m.

(b) Seja f(z) uma funcao analıtica em 0 < |z − z0| < 1, onde |z0| < 1, tal que

0 < lim infz→z0

∣∣∣∣f(z)g(z)

∣∣∣∣ ≤ lim supz→z0

∣∣∣∣f(z)g(z)

∣∣∣∣ <∞, onde g(z) =z2 + z(1− z0)− z0

(z − z0)4(z − 1).

Mostre que z0 e um polo de f e ache a ordem desse polo.

4a Questao:

Seja fnn uma sequencia de funcoes analıticas em um aberto Ω de C tal que a serie∑∞n=1 fn(z) converge uniformemente em Ω para uma funcao f(z). Mostre que f(z) e

analıtica em Ω e quedf

dz=∞∑n=1

dfndz

em Ω.


5a Questao:

Calcule ∫ ∞−∞

eiax

x2 + 1dx,

onde a > 0.



Setembro de 1998

1a Questao:

Seja f : C → C uma transformacao conforme que leva circunferencias em circun-ferencias, preservando o raio. Mostre que f e da forma f(z) = f(0) + eiθz, para algumθ ∈ [0, 2π).

2a Questao:

Sejam m ∈ N e M,R > 0.

(a) Se f(z) e uma funcao inteira tal que |f(z)| ≤M |z|m para todo z tal que |z| ≥ R,mostre que f e um polinomio.

(b) Se f(z) uma funcao meromorfa em C tal que |f(z)| ≤M |z|m para todo z que naoseja um polo de f e tal que |z| ≥ R, mostre que f e uma funcao racional.

3a Questao:

Seja Ω um aberto simplesmente conexo de C e seja (fn)n uma sequencia de funcoesanalıticas tais que f ′n converge para uma funcao g em Ω, uniformemente nas partescompactas de Ω. Suponha, ainda, que para um certo z0 ∈ C, exista w0 ∈ C tal quefn(z0)→ w0, quando n→∞. Mostre que (fn)n converge para uma funcao analıtica fem Ω, uniformemente nas partes compactas de Ω.

4a Questao:

Seja u:D → R contınua, onde D = z ∈ C ; |z| ≤ 1 . Mostre que se u e subharmonica,i.e.,

u(z) ≤ 12π

∫ 2π

0

u(z + reiθ) dθ, ∀z, |z| < 1, ∀r, 0 < r < 1− |z|,

entao u satisfaz o princıpio do maximo.


5a Questao:

Calcule ∫

|z|=1

(z2 + 2z) cossec2(z) dz.



Marco de 1999

1a Questao:

Sejam m um inteiro, M e R reais positivos e f(z) uma funcao inteira tal que |f(z)| ≤M |z|m para todo z ∈ C tal que |z| ≥ R.

(a) Mostre que f(z) e um polinomino.

(b) Mostre que se |f(z0)| = M |z0|m para algum z0 ∈ C com |z0| > R, entao f(z) eum monomio.

2a Questao:

Seja Ω um aberto simplesmente conexo de C e seja (fn)n uma sequencia de funcoesanalıticas tais que f ′n converge para uma funcao g em Ω, uniformemente nas partescompactas de Ω. Suponha, ainda, que para um certo z0 ∈ C, exista w0 ∈ C tal quefn(z0)→ w0, quando n→∞. Mostre que (fn)n converge para uma funcao analıtica fem Ω, uniformemente nas partes compactas de Ω.

3a Questao:

Seja u:D → R contınua, onde D = z ∈ C ; |z| ≤ 1 . Mostre que se e u subharmonica,i.e.,

u(z) ≤ 12π

∫ 2π

0

u(z + reiθ) dθ, ∀z, |z| < 1, ∀r, 0 < r < 1− |z|,

entao u satisfaz o princıpio do maximo.

4a Questao:

Calcule ∫

|z|=1

(z2 + 2z) cossec2(z) dz.




Setembro de 1999

1a Questao:

Seja z = 2 + 2i. Determine a parte real e a parte imaginaria das raızes sextuplas de z.

2a Questao:

Analise as singularidades de f no plano complexo estendido, onde

f(z) =sen z

z(z − 5)2 sen(iz + 3)exp

(1

z − 1

).

3a Questao:

Mostre que ∫ ∞0

x1/2

1 + x2dx =

π√2.

4a Questao:

Considere f uma funcao analıtica em um domınio U e tal que z0 ∈ U e o unico zero dafuncao f . Suponha que z0 e zero de ordem 1 e que Br(z0) ⊂ U .

Mostre que

z0 =1

2πi

∫

|z−z0|=r

zf ′(z)f(z)

dx.



Marco de 2000

1a Questao:

Enuncie e demonstre o Teorema Fundamental da Algebra.

2a Questao:

Seja f = u + iv uma funcao inteira tal que u(z) ≤ 0, ∀z ∈ C. Mostre que f e umafuncao constante.


3a Questao:

Seja D ⊂ C um domınio e fnn≥0 uma sequencia de funcoes analıticas tal que fn → f

uniformemente nos compactos de D.

a) Mostre que f e analıtica.

b) Mostre que f ′(z) = limn→∞ f ′n(z), ∀z ∈ D.

4a Questao:

Classifique as singularidades de f no plano complexo estendido, onde:

f(z) =e1/z

1− z .

Calcule ∫

σ

f(z) dz,

onde

σ(t) =

2eit se 0 ≤ t < 2π,−12 + eit se 2π ≤ t ≤ 4π.



Setembro de 2000

1a Questao:

Calcule a seguinte integral:∫ ∞−∞

1(x2 + 1) (x2 + 4)

dx.

2a Questao:

Determine as singularidades no plano complexo estendido de

f(z) =sen z sen(1/z)

cos z3 − 1.

Diga se elas sao removıveis, polos (indicando, neste caso, a ordem), ou essenciais.

3a Questao:

Seja f uma funcao nao-constante, holomorfa no disco fechado |z − z0| < r, tal que aparte real <f (z0) = 0. Mostre que <f assume valores positivos e negativos no conjunto|z − z0| = r.


4a Questao:

Mostre que a serie∞∑n=0

nke−nz

define uma funcao holomorfa no semiplano <z > 0.

5a Questao:

Sejam U ⊂ C um aberto conexo e f :U → C uma funcao holomorfa nao constante talque para todo z ∈ U, f (z) 6= 0.

(a) Suponha que para todo caminho fechado e contınuo γ ⊂ U vale

∫

γ

f ′ (z)f (z)

dz = 0.

Prove que existe uma funcao holomorfa g tal que eg(z) = f (z) ∀z ∈ U ;

(b) Prove a recıproca de (a);

(c) Seja f =M∏

i=1

(z − zi)mi , onde zi 6= zj se i 6= j e m′is sao inteiros nao-nulos. Mostre

que existe um ramo de log f definido em U se, e somente se,

M∑

i=1

min (γ, zi) = 0,

onde

n (γ, zi) =1

2πi

∫

γ

dz

z − zi ,

qualquer que seja o caminho fechado e contınuo γ em U ;

Sugestao: Use (a) e (b)

(d) Esboce um domınio U ⊂ C no qual existe uma funcao holomorfa g tal que eg(z) =z + 1z − 1

.



Fevereiro de 2001

1a Questao:

Determine o maximo do valor absoluto da funcao z 7→ z7/(z5 + 3) no disco |z| ≤ 1.


2a Questao:

Prove, pelo metodo dos resıduos, que∫ 2π

0

(sen θ)6 dθ =5π8.

3a Questao:

Sejam f e g funcoes holomorfas na regiao Ω ⊂ C que tem o mesmo valor absoluto emtodos os pontos de Ω. Mostre que existe c ∈ C, com |c| = 1, tal que g(z) = cf(z)∀z ∈ Ω.

4a Questao:

Considere a funcao meromorfa α(z) = π cotg πz.(a) Determine os polos de α e suas respectivas multiplicidades.(b) Calcule o resıduo de α em cada um dos seus polos.(c) Dado o inteiro positivo n, considere o quadrado Qn de vertices ±(n+ 1/2)± (n+

1/2)i. Mostre que

12πi

∫

∂Qn

1z2α(z) dz = 2

n∑

k=1

1k2

+ Res(α(z)z2

, 0),

onde ∂Qn e o bordo do quadrado orientado no sentido anti-horario.(d) Mostre que

Res(α(z)z2

, 0)

= −π2

3.

(Sugestao: Use series)

Comentario: Pode-se mostrar que a integral acima tende a zero, quando n→∞, dondese conclui que

∑∞k=1 1/k2 = π2/6. Este metodo se aplica ao calculo de outras series

numericas.



Dezembro de 2001

1a Questao:

Em cada item abaixo, indique se o resultado e falso ou verdadeiro e justifique.(a) Se f e uma funcao meromorfa tal que a sua integral ao longo de qualquer curva

fechada que nao passa por por nenhum polo de f se anula, entao f so tem singu-laridades removıveis.

(b) Se Ω e um domınio obtido excluindo-se de C uma semireta partindo da origem,entao e possıvel definir em Ω um ramo de z1/3.


2a Questao:

Seja (fn)n uma sequencia de funcoes contınuas de C em C convergindo uniformementeem subconjuntos compactos para uma funcao f . Suponha que para toda curva simplesparametrizada γ: [0, 1]→ C, vale

limn→∞

∣∣∣∣∫

γ

fn(ζ) dζ∣∣∣∣ ≤ |γ(1)− γ(0)|.

Mostre que f e constante.

3a Questao:

Sejam f e g duas funcoes analıticas em um domınio complexo Ω. suponha que |f(z)g(z)|assuma um maximo em Ω. Mostre que ou f e g se anulam em Ω ou pelo menos umadessas funcoes e identicamente nula.

4a Questao:

Seja f uma funcao analıtica definida em um domınio complexo Ω e possuindo exata-mente dois zeros, um de ordem 2 e outro de ordem 5. Seja γ uma curva fechada simplesem Ω que nao passa por nenhum dos dois zeros de f . Determine os possıveis valorespara o ındice

Ind(f(γ), 0) =1

2πi

∫

f(γ)

dz

z,

onde g(γ) denota a curva obtida como imagem de γ por f .

5a Questao:

Seja f uma funcao meromorfa em C com exatamente um polo de ordem 1 na origem.Suponha que

Resz=0 z3f(z)3 = −8,

∫

|z|=2

f(z)(z2 + 3z + 2)z2 − 1

dz = 20πi.

Determine os possıveis valores de f(1). Justifique a sua resposta.



Dezembro de 2002

1a Questao:

a) Em quais dos seguintes domıniosD e possıvel definir um ramo de log(z)? Justifiquesua resposta.


(i) D = z ; 1 < |z| < e \ ti ; 1 < t < e;(ii) D = z = x+ iy ; x+ y < 0;

(iii) D = z = x+ iy ; 0 < |x|+ |y| < 1.b) Considere o lugar geometrico dos pontos z do plano complexo satisfazendo uma

equacao do tipo Azz + Bz + Bz + C = 0, onde A e C sao numeros reais e|B|2 − AC > 0. Mostre que este lugar e um cırculo quando A 6= 0 e uma reta nocaso contrario.

2a Questao:

Mostre que ∫ ∞0

dx

(x2 + 1)2=π

4.

3a Questao:

Seja f uma funcao inteira com a propriedade que |f(z)| ≤ c|z|λ + d para todo z, ondeλ, c e d sao constantes positivas. Prove que f e um polinomio em z cujo grau nao excedeλ.

4a Questao:

Considere uma funcao inteira f :C → C satisfazendo |f(z)| → ∞ quando |z| → ∞.Prove que f(C) = C.

5a Questao:

Suponha que D e um aberto, conexo e limitado do plano complexo e que f :D → C euma funcao contınua, nao-constante e analıtica em D, que satisfaz |f(z)| = 1 para todoz ∈ ∂D. Prove que f(z0) = 0 para algum z0 ∈ D.


mestrado em matem´atica aplicadamestrado em matematica aplicada´ exame de c´alculo avan¸cado...

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