c alculo vetorial - segunda prova nome do...

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alculo Vetorial - Segunda Prova Professor: Roberto Carlos Antunes Thom´ e e-mail: [email protected] homepage: www.rcthome.pro.br Nome do Aluno(a) : [5,0 pontos] (1) Seja S a superf´ ıcie do parabol´oide z = 12 - 3x 2 - 3y 2 que est´a no primeiro octante. (a) Calcule a integral de superf´ ıcie Z S Z - F dS , onde - F (x, y, z )=(x,y, z 3 ). (b) Calcule a ´ area da superf´ ıcie S . [2,5 pontos] (2) Calcule a integral de linha Z c - F dr, onde - F (x, y, z )=(-z, y 3 , -x 2 )e c ´ e a curva, orientada positivamente, de intersec¸c˜ ao do plano 4x +2y + z =2 com o cilindro x 2 + y 2 =4. [2,5 pontos] (3) Considere o s´ olido E = {(x, y, z ) IR 3 | x 2 + y 2 + z 2 1,x 0,y 0,z 0}. Se S ´ e a superf´ ıcie de E, isto ´ e, S = ∂E com orienta¸ c˜ao positiva, ent˜ ao calcule a integral de superf´ ıcie Z S Z - F ds, onde - F (x, y, z ) = (3x + y + z,x +4y +3z, 2x - 2y - z ). F´ormulas ´ Uteis * Integral de Superf´ ıcie : Z S Z - F ds = Z D Z - F (r(u, v)) · ∂r ∂u × ∂r ∂v du dv = Z D Z -P ∂z ∂x - Q ∂z ∂y + R dA *Teorema de Stokes : I c F dr = Z S Z rot( - F )ds *Teorema da Divergˆ encia : Z S Z - F ds = ZZ E Z div( - F )dV

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Calculo Vetorial - Segunda Prova

Professor: Roberto Carlos Antunes Thomee-mail: [email protected]

homepage: www.rcthome.pro.br

Nome do Aluno(a):

[5,0 pontos] (1) Seja S a superfıcie do paraboloide z = 12 − 3x2 − 3y2 que esta no primeirooctante.

(a) Calcule a integral de superfıcie

∫S

∫ −→F dS, onde

−→F (x, y, z) = (x , y , z

3).

(b) Calcule a area da superfıcie S.

[2,5 pontos] (2) Calcule a integral de linha

∫c

−→F dr, onde

−→F (x, y, z) = (−z , y3 , −x2) e c

e a curva, orientada positivamente, de interseccao do plano 4x + 2y + z = 2 com o cilindrox2 + y2 = 4 .

[2,5 pontos] (3) Considere o solido E = {(x, y, z) ∈ IR3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.Se S e a superfıcie de E, isto e, S = ∂E com orientacao positiva, entao calcule a integral de

superfıcie

∫S

∫ −→F ds, onde

−→F (x, y, z) = (3x + y + z , x + 4y + 3z , 2x− 2y − z).

Formulas Uteis

∗ Integral de Superf ıcie :

∫S

∫ −→F ds =

∫D

∫ −→F (r(u, v)) ·

(∂r

∂u× ∂r

∂v

)du dv

=

∫D

∫ [−P

(∂z

∂x

)−Q

(∂z

∂y

)+ R

]dA

∗Teorema de Stokes :

∮c

→F dr =

∫S

∫rot(−→F )ds

∗Teorema da Divergencia :

∫S

∫ −→F ds =

∫ ∫E

∫div(−→F )dV

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