ARITMÉTICA BÁSICA V

"'"-J Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando

l_,. o algarismo das unidades for O, 2, 4, 6 ou 8. Um número que é divisível por 2 é denominado par, caso contrário, ímpar. -f"" Divisibilidade por 3:

\.....I Um número é divisível por 3, quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando o

\......- número formado pelos dois últimos alga-rismos da direita for 00 ou divisível por 4.

v Divisibilidade por 5: • Um número é divisível por 5 quando \....... o algarismo das unidades for zero ou 5.

~ Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando for

'--'" divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

Divisibilidade por 1 O: ~ Um número é divisível por 1 O quan-

do o algarismo das unidades for zero.

Conhecer os critérios de divisibilidade ....__.. facilita a resolução de cálculos envol­

vendo divisões.

....._... Números Primos Um número natural é denominado

de "número primo" quando apresenta · apenas dois divisores naturais: ele mes­mo e a unidade. Existem infinitos núme­ros primos. A seguir indicamos os núme­ros primos menores que 100:

2 13

3 17 5 19 7 23

11 29

31

37 41 43 47

53

59 61

67 71

73 79 83 89 97 ...

Números Primos entre Si Dois números naturais são denomi­

nados de "números primos entre si" quando apresentam como único divisor comum a unidade (número 1).

Exemplo: 15 e 16

d(15) = {1 ; 3; 5; 15} d(16) = {1 ; 2; 4; 8; 16}

d(15) n d(16) = {1}

Portanto, 15 e 16 são primos entre si.

Máximo Divisor Comum O máximo divisor comum (mdc) en­

tre dois números naturais é obtido a par­tir da intersecção dos divisores naturais, escolhendo-se o maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores pri­mos que são comuns tomando-se sem­pre o de menor expoente.

Exemplo: 120 e 36

120=23. 3. 5 36 = 22. 32

mdc {120, 36} = 22. 3 = 12

Mfnimo Múltiplo Comum O mínimo múltiplo comum (mmc)

entre dois números naturais é obtido a partir da intersecção dos múltiplos natu­rais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O mmc pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, con­siderados uma única vez e de maior ex­poente.

Exemplo: 120 e 36

120 = ~.3.5 36 = 22. J2

mmc {120, 36} = 23 . J2. 5 = 360

Observação 1 :

O I'T'In; pode ser calculado pela de­l;orrposição sirrultânea em fatores primos.

Exemplo: 120 e 36

120; 36 2 60; 18 2 30; 9 2 15; 9 3 5· '

3 3 5· '

5

1' ' m.m.c. {120, 36} = 23.32. 5 = 360

Observação 2: O mdc pode ser calculado pela de­

composição simultânea em fatores pri­mos, tornando-se apenas os fatores que dividem os números simultaneamente.

Exemplo: 120 e 36

120; 36 2 (*) 60•

' 18 2 (*)

30; 9 2 15; 9 3 (*) 5; 3 3 5; 5 1•

' m.d.c. {120, 36} = 22. 3 = 12

Observação 3: Existe urna relação entre o mrnc e o

mdc de dois números naturais a e b, ou seja,

mmc {a; b} . indc {a; b} = a . b

Sistsrnas de Eqt.r;IÇ6es do 111 GtarJ

Processo da Substituição Este processo consiste em isolar

urna incógnita numa equação e substi­tuíla na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 12 grau numa variável.

Exemplo: f - 2x + Y = 1 1 2x + 3y = 2

·-2x+y=1 ~ y=1 +2x • 2x+3y=2

2x + 3 . (1 + 2x) = 2 8X=-1

X= ~~ ~ y = 1+2. ( -~ ) Y=4

Processo da Adição Este processo consiste em deixar os

coeficientes de urna mesma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em urna equação com urna úni­ca incógnita.

.... )

./ ..... ......

I

Exemplo: { - 2x + Y = 1 ..../ 2x+3y=2

- 2x + y = 1 J + 2x + 3y = 2 """'-

4y = 3 ../

Y=i ~ 2x + 3.i = 2 )

Produtos Notáveis Quadrado de uma Soma

O quadrado da sorna de dois termos é o quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro pelo segundo ter­mo, mais o quadrado do segundo termo.

(a+ b)2= a2+ 2ab + b2 Quadrado de uma Diferença

O quadrado da diferença de dois ter­mos é o quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro pelo se­gundo termo, mais o quadrado do segun­do termo.

(a - b)2.;: a2- 2ab + f)2

..__,

r-'-"'

Produto da Soma pela Diferença E ~rtence ...... O produto da soma pela diferença

de dois termos é igual ao quadrado do ~ não pertence ~ primeiro termo, menos o quadrado do c está contido

segundo termo.

""' (a + b) . (a - b) = a2- !>2 <:t não está contido

Outros ~ contém -(a- b)3 = aL 3a~ + 3ab2- b3

p não contém ......_.,

(a+ b)3= a3+ 3a~ + 3ab2 + b3 I tal que ou tais que

..._. =::) implica ou então

Expressões Algébricas <::::} se, e somente se '-.....-'

Fator Comum 3 existe

~ A fatoração de expressões algébri-

~ não existe cas é efetuada colocando-se o fator co-

~ mum em evidência. V' para todo ou qualquer

a . X + b . X = X • (a + b) 0 conjunto vazio ~

a . X - b . X = X • (a - b) IN naturais ....., IN* naturais excluindo o zero

Exemplo: z inteiros - x3-x2+x= z+ inteiros não negativos

,. ...... ./ x. (x2 - x + 1) z... inteiros não positivos

- Agrupamento Q racionais

Algumas expressões algébricas po- irracionais -.._.;

dem ser fatoradas por agrupamento de IR reais '-.....-

dois ou mais termos. a . x+b . x+a.y+b.y= IR+ reais não negativos

....__,. = x . (a + b) + y . (a + b) = = (a + b) . (x + y)

IR_ reais não positivos

J Au8 A união com 8

1

.._.... Exemplo: An B A intersecção com 8

'-' Diferença de A com 8 I x3+x2+x+ 1 = A-8

'- = x2 . (x + 1) + (x + 1 ) = 8-A Diferença de 8 com A = (x + 1) . (x2 + 1) a<b amenorqueb v

Teoria dos Conjuntos a ::;; b a menor ou igual a b

\._.., a>b . a maior que b Símbolos Importantes , __

Os símbolos a seguir são muito utili- a~b a maior ou igual a b zados no estudo não só da Teoria dos 8Ab aeb .. Conjuntos, como também em outros tó--... picos da Matemática . avb aoub

.......__.. """ .

J

I I

Conjunto Vazio É o oonjunto que não possui elemen­

tos. O conjunto vazio é representado por 0 ={ }

Subconjuntos Quando todos os elementos de um

conjunto A qualquer pertencem a outro oonjunto B, diz-se então que A é sub­oonjunto de B, ou seja,

AcB

Observação: A c A e 0 c A

União de Conjuntos Dados dois oonjuntos A e B, define­

se oomo união de A com B ao conjunto A v B fonnado por todos os elementos que pertencem a A ou B.

A v B={x/x e Aoux e B}

co Observação:

A v A=A A v0 =A

Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, define-se

como intersecção de A oom B ao conjunto A n B fonnado por todos os elementos que pertencem a A e a B, simultaneamente.

A n B={x/x e Aex e B}

• A n B=A

OCJ Observação:

A n A = A An0=0

Diferença de Conjuntos Dados os conjuntos A e B, define­

se oomo diferença entre A e B ao con­junto A - B formado por todos os ele­mentos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.

A - B={x/x e A ex ~ B} Observação:

A- Bi'B - A

Exemplo: A={2; 3; 4} B = {1 ; 4; 2; 7}

• A v B = {2; 3; 4; 1; 7} • A n B ={2; 4} • A - B = {3} • B - A ={1; 7}

Conjunto das partes de um Conjunto O conjunto das partes de um con­

junto qualquer é fonnado por todos os seus subconjuntos.

Se um oonjunto A possuir n ele­mentos, o total de subconjuntos que ele admite é igual a 2n

,

-

-

J

l

Exemplo:

A= {1; 2; 3} => n = 3 Subconjuntos de A: 23 = 8 0 ; {1 }; {2}; {3}; {1 ;2}; {1 ;3}; {2;3}; A

Produto Cartesiano Dados os conjuntos A e 8, chama-se

produto cartesiano A com 8 ao conjunto representado por A x 8, formado por to­dos os pares ordenados (x; y), onde x é elemento de A e y é elemento de 8.

A x B = {(x;y) I x E A e y E B}

Representação Gráfica A todo par ordenado (a; b) existe

associado um ponto no plano e, reci­procamente, a todo ponto do plano existe associado um par ordenado.

y

____ ____ • (a, b)

b

a X

Exemplo: A = {2; 3} 8 ={O; 1; 2}

AxB = {(2;0); (2;1); (2;2); (3;0); (3;1); (3;2)} A 8 C D E F

2 -- -- ----.r:-- - ·0 I I

I I

•B ' E 1 -- - ---~ - - ~

I I

:A I F 2 3

Observação: Geralmente, A x B * B x A

Conjuntos Numéricos Números-Naturais

Os números naturais surgiram de uma necessidade do ser humano em fis­calizar os seus bens. Os símbolos que representam os números naturais são chamados de algarismos.

N = {O; 1; 2; 3; 4; 5; ... } Números Inteiros

Os números inteiros são todos os nú­meros naturais e tani:lém os seus opostos.

Z = { ... ; 3; -2; -1; O; 1; 2; 3; ... }

Observação:

Todo número natural é inteiro. Nc Z

Números Racionais Os números racionais são aqueles

que podem ser obtidos como o quocien­te de dois números inteiros.

Q = {xlx = *' onde p, q E Z e q * O}

Observação:

Todo número natural é racional. Todo número inteiro é racional.

N c QeZ c Q

Números Irracionais Os números irracionais são aqueles

que não podem ser obtidos como o quo­ciente de dois números inteiros. Exemplo: São números irracionais:

1t = 3, 1415926 .. .

-./2 = 1,4142135 .. .

-./3 = 1 '7320508 .. . e = 2,7182818 .. .

Números Reais O conjunto dos números reais é defi­

nido como a união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais.

IR=Q v l

• VISUALIZAÇÃO

~6

)

I I

Observação: Todo número real JXx:le ser repre­

sentado por um ponto sobre uma reta e, reciprocamente, qualquer ponto sobre uma reta JXx:le ser associado a um número real.

o +

Intervalo Aberto É um subconjunto dos números

reais que estão compreendidos entre dois reais quaisquer.

(a;b) = ]a; b[ = {x E IR I a < x < b}

a b

Intervalo Fechado É um Slixmjurto cts IÚ11ala> reais que

estão ~ entre cbs reais Q.Jais­CJ.!Elr, p:x::1e1rt> ac>st.JTir oo cbs exlrerros.

[a; b] = { x E IR I a ~ x ~ b}

a b

Exemplo:

(2;4)={XE IR/2 <X< 4}

[2 ; 4) = {x E IR I 2 ~X ~ 4}

Módulo de um Número O módulo, ou valor absoluto, de um

número real qualquer é a distância deste número à origem (zero). O módulo de um número real x pode ser definido tam­bém por:

lxl = { x , se x ~ O - x , sex < O

Exemplo:

1- 101 = - (- 10} = 10

I+ 71 =+ 7=7

Observação:

filE = lxt

Inequações Modulares

lxl ~ a

-a sx ~ a

-a a

lxl ~ a

x ~ - a ou x ~ a

- a a

Exemplo: lXI = 3 ~ X= 3 OU X =-3

lxl < 3 (:::} -3 < x < 3 lXI > 3 (:::} X < - 3 OU X > 3

Potenciação Dado um número real "a" qualquer,

sendo "n" um número natural, define-se por a potência n ao produto de a por a n vezes, ou seja,

an = a.a.a. ( ... ) • a

n vezes

Casos Particulares

aO= 1

a-1 =.! (a _. O) a a1 =a

Propriedades da Potenciação

am . a"= am+n

Observação:

Exemplo:

am - = am-n a"

n n (am) _. am

232 =29 =512 2

(23) = 26 = 64

'-·

~·

-~

/

,_

-...,_J

'-

'-

J

1 "--"'

'-..-/

I ...._,.

'--'

v

'--..._..

'---~

Potências de 1 O

10n= 10000( ... )000

n zeros

1~= 0,000( ... )001

n casas decimais

Radiciação Defin&Se romo raiz de íncic:e n, de um

número real a, ao número real x tal que

~=x (:) x" = a

Observação: Em todo radical, cujo índice é número

par, a raiz considerada é sempre positiva.

Propriedades da Radiciação n m {ãfif = an

n

{f !l/ffi n.m "'I Ta= -{8

Observação: Em caso de índice par, os radican­

dos devem ser positivos.

Racionalização Racionalizar uma fração consiste em

eliminar, através de operações algébri­cas, o radical ou os radicais do denomi­nador.

Existem três casos

N N ..fã N • ..Ja N . ..Ja -{8 ra . ..fã = ..[àE = - a-

n n n N N .Jan-x N • ._fãn-Y N. ,fãf1-Y

n .,fãX = ",fãX n .JarHê = n ,fãil a

N N (-/ã -,fb) N (Va -..fb ) {ã + ,fb= (-lã+ ,fb) · (-lã - ,fb) a- b

-----

Equações do 211 Grau Urna ~uação na incógnita x é dita do

2º grau, quando pode ser escrita na forma

a . x2 + b • x + c = O (a "' O) As raízes (soluções) desta equação

são obtidas a partir da fórmula.

-b ± .,Jt)2 -4ac x:o 2a

ou -b ±...fi

X = 2ã

Observações:

• As equações incompletas que são da forma

a.x2+b . x=O

podem ser resolvidas por fatoração.

• As equações incompletas que são da forma

a . x2+c=O

podem ser resolvidas isolando-se o x.

Discriminante Conforme o valor do discriminante

t. = IJ2 - 4 ac, têm-se as seguintes pos­sibilidades quanto à natureza das raízes da equação ax2 + bx + c =O:

t. > O => Existem duas raízes reais e que são distintas.

ô = O => Existem duas raízes reais e que são iguais (dupla).

ô < O => Existem duas raízes que são imaginárias.

Propriedades das Raízes Soma das Raízes

b S=x1 +x2 ::-ã

Produto das Raízes c

P=X1.X2=ã Equação a partir das Raízes

x2-Sx + P = 0 Teorema da Decomposição

ax2 + bx + t = a . (x- x1) • (X- x2)

Equações Biquadradas Uma equação é denominada de

equação biquadrada na variável x, quan­do pode ser escrita na forma

a .x4+b.x2+c =O

A resolução de uma equação biquadrada é através da troca de variáveis, ou seja,

x2 = y ~ a. y2 + b. y + c = O

Números Proporcionais

Razão A razão entre dois números é o quo­

ciente do primeiro pelo segundo. Desta forma, a razão entre os números a e b, nesta ordem, é o quociente

a antecedente b conseqüente (b "'0)

("a:· está para ''b").

Proporção Denomina-se proporção a igualdade

entre duas ou mais razões. a c b = d

(a e d são extremos; b e c são meios)

Propriedades da Proporção

!. = E. ~ a . d = b . c b d a c a + c b = d = b + d a c a-c b = d = b-d

Porcentagem

Razão Centesimal As razões, cujos conseqüentes são

iguais a 100, são chamadas de razões centesimais.

Exemplo:

7 . 81 . 15 100' 100 ' 100

Porcentagem Porcentagem ou percentagem é uma

razão centesimal que é representada pelo símbolo% que significa por cento.

Exemplos:

7' 100 = 0,07 = ?<'lo

81 100 = 0,81 = 81%

15 100 = 0,15 = 15%

Observações: A partir de urna certa quantidade ge­

nérica x, observe as seguintes afirma­ções verdadeiras:

0,15.x = 1~0 .x ~15%dex 8

O,OB.x = 1oQ· x ~ 8% de x

37 0,37.x =

100. x => 37% de x

1,15.x = (1 + 0,15).x ~ x mais 15% de x

1 ,OB.x = (1 + O,OB).x ~ x mais 8% de x

1 ,37.x = (1 + 0,37).x ~ x mais 37% de x

Médias

Média Aritmética Denonina-se média aritmética dos nú­

meros x1, x2, ... ,x, ao número mA tal que

n Exemplo:

Calcule a média aritmética entre os números 1; 3; 7; 8; 9; 10

1 + 3 + 7 + 8 + 9+10 mA= 6

mA= 6,333 ...

Média Geométrica Denomina-se média geométrica ou

média proporcional dos números positi­vos x1.x2, ... , x, ao número I'T1G tal que

· mG = \ /x1 . x2. ( ... ) .x., Exemplo:

Calcule a média geométrica entre os números 1; 2; 4; 8; 16

5 ,..-;;.:-;-;:;-:;-:;;-mG = ..J1.2.4.8.16 I'T1G = 4

--

J

1

I

Média Harmônica Denomina-se média harmônica entre

os números x1, x2····· Xn ao número mH tal que

Exemplo: Calcule a média hannônica entre os

números 2; 5; 9

mH = 3,69

Média Ponderada Denomina-se média ponderada en­

tre os números x1, x2, ... , Xn com pesos iguais a P1. P2····· Pn. respectivamente, ao número mp, tal que

Sistema Métrico Decimal

Unidades de Comprimento As unidades de comprimento são ba­

seadas no metro, unidade principal, seus múltiplos e submúltiplos.

Os múltiplos formam-se da unidade prindpal, precedida dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil).

Os submúltiplos formam-se da uni­dade principal, precedida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo) e mili (milésimo).

'-' Assim

---------------------1~m

--------- 100 m

10 m

0,1 m

Observações: \

• Dado um número qualquer represen-tando um certo comprimento, em uma das unidades, para transfonná-lo em uma unidade imediatamente superior, basta deslocar a vírgula uma casa pa­ra a esquerda Para transfonná-lo na uni­dade imeáatamente inferior, basta deslo­cara vírgula uma casa para a cireita.

• Uma maneira mais simples é: cada "degrau" para dma, desloca-se para a esquerda uma casa dedmal e, cada "degrau" que se desce, desloca-se pa­ra a direita uma casa decimal.

Unidades de Área As unidades de área são quadrados

cujos lados são tomados corno unidade de comprimento.

A unidade principal de área é o me­tro quadrado, ou seja, a área de um quadrado cujo lado mede um metro de comprimento.

1m2= (1m) . (1m)

---------- +(1000m)2

-------------+ (100 m)2

----- --- (10m)2

Observações:

• Dado um número qualquer represen­tando uma área, em uma das unida­des, para transfonná-lo em uma unida­de imediatamente superior, basta des­locar a "vírgula" duas casas para a es­querda. Para transfonná-lo na unidade imediatamente inferior, basta deslocar a vírgula duas casas para a direita.

• Uma maneira mais simples é: a cada "degrau" para cima, deslocam-se para a esquerda duas casas decimais e, a cada "degrau" para baixo, deslocam­se para a direita duas casas decimais.

Unidades de Volumes As unidades de volumes são cubos

cujas arestas são tomadas como unida­de de comprimento.

A unidade principal de volume é o metro cúbico, ou seja, o volume de um cubo cuja aresta mede um metro de comprimento.

TUJJ: 1m :

1 _}----- --., 1'm .~--1m --.!'

1m3 = (1m). (1m). (1m)

---------- (1000m)3

- ------- (100m)3 (1 0 m)3

Observações:

• Dado um número qualquer represen­tando um volume em uma das unida­des, para transformá-lo em uma unida­de imediatamente superior, basta des­locar a "vírgula" três casas para a es­querda. Para transformá-lo na unidade imediatamente inferior, basta deslocar a vírgula três casas para a direita.

• Uma maneira mais simples é: a cada "degrau" para cima, deslocam-se para a esquerda três casas decimais e, a cada "degrau" para baixo, deslocam­se para a direita três casas decimais.

Unidades de Capacidade As unida~s de capacidade são

baseadas no litro, unidade principal. Os múltiplos formam-se de unidade

principal, precedida dos prefixos gregos deca (dez), hecto (cem) e quilo (mil).

Os submúltiplos formam-se da uni­dade principal, precedida dos prefixos gregos deci (décimo), centi (centésimo), e mili (milésimo).

------------1ooo t

------~----- 100 t 10 t

Observações:

• Para transformação de unidades, o pro­cedimento é análogo ao de mudança de unidades de medidas de compri­mento.

I 1 dm

1 .__1 dm---<

Unidades Agrárias São unidades de medidas de áreas

utilizadas para avaliar superfícies de ter­ras cultivadas, campos, matas, etc.

A unidade é o "are". O múltiplo do are é o hectare (100 vezes o are) e o submúltiplo é o centiare (0,01 vezes o are).

are: 1a =100m2

hectare: 1 ha =100 a= 10 000 m2

centlare: 1 ca = 0,01 a = 1 m2

/._.

J

'-...--'

-.........

...........

J

'...../

..._/

'--"'

'-..__..;

'--

'--

'--'

"'--

Observação: Os lavradores brasileiros medem suas terras em unidade diferente: o alqueire

(paulista):

alqueire: 1 alqueire = 24200 m2

Importante: 1 alqueire = 2,42 hectares

Potências

20= 1 ~=64 31 = 3 37 = 2187 21 =2 27 = 128 32 = 9 22=4 2B = 256 33=27 38=6561

23=8 29= 512 3'4=81 39= 19683

24= 16 210: 1024 35=243

25=32 30= 1 36= 729 310= 59049

Raiz Quadrada

{f= 1 ..J676 = 26 .J2601 = 51 .J5n6 = 76

-14 = 2 ../729 = 27 .J2704 =52 .J5929 = n -..[9 = 3 ..f7ã4 = 28 .J2809 = 53 .J6084 = 78 {f6 =4 ,1841 = 29 'Q2916 = 54"}_ .J6241 = 79 ..[25 = 5 mo= 3o .J3025 =55 .J6400 = 80 .,[36 = 6 V961 = 31 -.'3136 = 56 -.'6561 = 81

-149 = 7 .J1024 = 32 .J3249 = 57 -.'6724 = 82

-J64 = 8 .J1089 =33 .J3364 =58 -.'6889 = 83 {ãf = 9 .J1156 =34 .J3481 = 59 .J7056 = 84

..[100 = 10 .J1225 = 35 .J3600 = 60 .J7225 = 85

.J12f = 11 -.'1296 = 36 .J3721 = 61 .J7396 = 86 '1'144 = 12 -.'1369 = 37 -.'3844 = 62 .J7569 = 87

@"=~ -.'1444 = 38 .J3969 = 63 .Jn44 = 88

'@[.f= 14 .J1521 = 39 .J4096 = 64 -.'7921 = 89

-./225 = 15 .J1600 = 40 .J4225 = 65 .J8100 = go

-J256 = 16 .J1681 = 41 .J4356 = 66 .J8281 = 91

../289 = 17 .J1764 = 42 .J4489 = 67 .J8464 = 92

../324 = 1~ .J1849 = 43 .J4624 = 68 .J8649 = 93

...J36f = 19 .J1936 = 44 .J4761 = 69 -.'8836 = 94

.,f4õif = 20 .J2025 = 45 .J4900 = 70 .J9025 = 95

.,1441 =21 .J2116 = 46 .J5041 = 11 .J9216 = 96

.J4ã4 = 22 .J2209 = 47 .J5184 = 72 .J9409 = 97

&9= 23 .J2304 = 48 -.'5329 = 73 -.'9604 = 98

..[576 = 24 .J2401 = 49 -.'5476 = 74 .J9801 = 99

-1625 = 25 .J2500 =50 .J5625 = 75 -.' 10000 = 100

ESTUDO DAS FUNÇÕES I( Função Imagem e Cont~omfnio

Dados dois conjuntos A e B, chama- Sendo a função f: A -+ B, o conjunto se função f: A -+ B a toda relação na B é chamado de contradomínio da fun-qual, para todo elemento de A, existe ção f, e o conjunto formado pelos ele-um único correspondente em B. mentos de B, que estão relacionados

através de f com elementos do conjunto A, é chamado conjunto-imagem.

f: A-+ B f x -+ y =f(x)

C?fC0 Obs~rvação:

E necessário que todo elemento x E A esteja relacionado com algum elemento y E B, e esta relação deve ser única.

Exemplos de Funções:

I. A

A B 11.

A B

A B

I.

A B

11.

Exemplo:

f:A-+ B Domínio· O(f) = A = {- 1· - 2· 1· 2· 3} Imagem:. lm(f) = {O; - 1; :.._ 2; '3; '4} ' Contradomínio: CO (f)= B

Função Constante Uma função f: IR -+IR é denomina­

da de função constante quando definida por uma sentença do tipo

Y=f(x) = K

onde k é um número real.

Exemplo:

Seja f: IR -+ IR tal que f(x) = 3 IR IR

Qáficode lml fU1ção Coosta1le O gráfico de uma função constante,

y = f(x) = K, será uma reta paralela ao eixo das abscissas, ou seja,

y

f(x) =k k

k { X

I

'--"

J

I I

Função do 1g Grau ,__, Função do 1 2 grau, ou função afim, é

-

aquela que associa a todo número real x, um outro número real y, tal que

y = f(x) = ax + b onde a, b e IR (a ;e O)

Exemplo: f(x) = 2x - 5

Gráfico de uma Função do 12 Grau O gráfico de uma função do 12 grau

é uma reta não paralela ao eixo das abscissas.

Graficamente, existem duas situaçõ­es a considerar:

• 12 Caso Função Crescente: a > O

y

f(x)=aX+ b

X

• 22 Caso: Função Decrescente: a < O

y

f(x) = ax +b

Exemplo:

f(x) = 2x- 7 (crescente)

f(x) =~4x + 1 (decrescente)

Sinal de uma Função do 12 Grau

X

O sinal de uma função do 1 2 Grau é qeterminado pela variação da imagem. E o sinal do y.

f(x) = ax + b a~ o

f(x) = O - para x = ><o f(x) > O - para x > ><o f(x) < O - para x < ><o

f(x) = ax + b a<O

y

f(x) = O - para x = ><o f(x) > O - para x < ><o f(x) < O - para x > ><o

Observação:

X

Através do estudo do sinal de uma função resolvem-se inequações do 12

grau (assunto posterior).

Função do 22 Qal Uma função f: IR-+ IR é denomina­

da de função do 22 grau ou função qua­drática, quando associa a todo número real x, um outro número real y, tal que

y = f(x) = ax2 + bx + c

onde a, b e c e IR (a ;e O).

Exemplo:

f(x) = 7x2- 4x -1

Gráfico de uma Função do 22 Grau , O gráf~co de uma função do 2º grau e uma parábola no plano cartesiano.

Graficamente, existem duas situações a considerar:

• 1 º Caso: a > O Concavidade voltada para cima.

y

X

Exemplo:

f(x) = 2x2 + 7x - 6

(concavidade voltada p/cima)

• 22 caso: a < O Concavidade voltada para baixo.

y

Exemplo:

f(x) = ex2 + 7x - 5

(concavidade voltada plbaixo)

Zeros da Função Quadrática São os valores da variável x para os

quais a função se anula, ou seja,

f(x) = ax~ bx + c = O

Graficamente são os pontos de in­tersecção da parábola com o eixo das abscissas.

a>O

LI.<O

a<O

LI.<O

Observação: _ A inter~o da parábola de equa­

çao y = ax2 + bx + c com o eixo das or­denadas é o ponto de coordenadas {O, c).

c

Vértice da Parábo a É o ponto extremo de uma função

do 2º grau da forma y = f(x) = ax2 + bx + c. . Se a , cx_:>ncavidade é voltada para

c1ma, o vert1ce representa um ponto de mínimo da função.

v

.J

I I

--

Se a concavidade é voltada para baixo, o vértice representa um ponto de máximo da função.

Coordenadas do Vértice As coordenadas do vértice da parábola

obtidas através da função do 2-2 grau y = ax2 + bx +c é (xv; Yv), onde

b 6. Xv =- 2a e Yv =- 4a

Exemplo:

y = f(x) = - 2x2 + 6x - 1

• X =-_Ê_ v 2a 6 6 3

Xv= - 2(- 2) = 4 = 2

A b2 - 4ac • Yx = - 4a = - 4a

- - 62 - 4 . ( -2) . ( -1) - 7 Yv - 4(- 2) -2

• V= (~ · I. ) 2 ' 2

Observação: O Yv pode ser calculado a partir do

valor do xy. ou seja:

Yv = f(xv)·

Sinal de uma Função do 2º Grau O sinal de uma função do 2-2 grau é de­

terminado pela variação da imagem: é o si­naldoy.

f(x) = ax2 + bx + a>O [ill]

f(x) = O - para nenhum x f(x) > O - para todo x E IR f(x) < O - para nenhum x

f(x) = ax2 + bx + c a>O \ 6.=0 ----

f(x) = O - para x = Xo f(x) > O - para x < Xo ou x > Xo f(x) < O - para nenhum x

f(x) = ax2 + bx + c a>O 6.>0

f(x) =O - para x = x1 ou x =X2 f(x) >O - para x < x1 ou x > x2 f(x) <O - para x1 < x < x2

f(x) : ax2 + bx + c a<O JA ~s

f(x) = O - para nenhum x f(x) > O - para nenhum x f(x) <O - para todo x E IR

f(x) = ax2 + bx + c 8<0 t> =O

Xo

f(x) = O - para x = Xo f(x) > O para nenhum x f(x) < O - para x < Xo ou x > Xo

f(x) = ax2 + bx + c 8<0 ~>0

f(x) = O - para x = x1 ou x = x2 f(x) >O - para x1 < x < x2 f(x) <O - para x < x1 ou x > x2

Resolução de Inequações do 12 Grau A partir do sinal de uma função do 1º

grau na variável x, estuda-se a resolução de inequações do 12 grau da forma

ax+b>O

ax+b ~ O

ax+b<O

ax+b ::;; O

Resolução de Inequações do 2!1 Grau A partir do sinal de uma função do 2º

grau na variável x, estuda-se a resolução de inequações do 2º grau da forma

ax2+bX+C>0

ax2+bX+C ~ 0

ax2+bX+C<0

ax2+bX+C ::;; 0

Inequações Produto As inequações do tipo produto, na

variável x, são aquelas do tipo

f(x) . g(x) ~ O

ou

f(x) . g(x) ::;; O

ou

f(x) . g(x) > O

ou

f(x) . g(x) < O

onde f(x) e g(x) são funçX)es de 1 º e/ou 2º graus.

A resolução de tais inequações é através da regra de sinais, pois o resul- __./ tado é um produto.

Lembrete:

Exemplo:

(+). (+) = (+)

(+). (-) = (-) (-) . (+) = (-) (-) . (-) = (+)

(2x- 4) . (x2 -16) <O

2x-4 - --- ---2 .-'!·++++ + .· -...../

x2-16-++-+--~~+ ~ Produto- --- + + -- +++

'lll!llillti!IIIM '---' -4 2 4

Portanto

X<-40U2<X<4

Inequação Quociente As inequações do tipo quociente na '-'

variável x são aquelas do tipo

f(x) ~ 0 g(x)

ou

f(x) ::;; 0 g (x)

ou

f(x) > 0 g(x)

ou

f(x) < 0 g (x )

onde f(x) e g(x) são funções de 1 º e/ou 2º graus.

A resolução de tais inequações é através da regra de sinais, pois o resul­tado é um quociente.

\ .. ../

j

1 l

/ '-

Observação:

g(x) * O

Exemplo:

(x2 - 4x + 3) > 0 (x2 +7x - 10)

x2-4x+3

x2+ 7x-10

Quociente -----, + + ++

'"'"""

\

5 ___ -

2 3 5

.__... Portanto, 1 ~ x < 2ou3 ~ x<5

Problemas de Domínio de Funções Obter o domínio de uma função f dada por uma sentença y = f(x) significa determi­

nar qs valores da variável x para os quais existem valores de y em correspondência. E importante lembrar-se da aritmética que:

--la existe para a:::-: O (real) a b existe para b * O

~ existe para b > O

-vf existe para~ :::-: O

Composição de Funções

--la -.Jb existe para a :::-: O e b > O

A composição entre duas funções é uma operação que tem por objetivo substituir as atuações sucessivas destas funções por uma única função.

Função Composta Sendo as funções f: A- B e g: B -C, denomina-se função composta gof: A -C

a função definida por

Exemplo:

Cálculo de (gof) (3)

(gof) (3) = g(f(3))' (gof) (3) = g (2.3 + 1) (gof) (3) = 9J7) (gof) (3) = 7 (gof) (3) = 49

(gof) (x) = g (f(x))

f(x) =2x + 1

g(x) =x2

g (f(x)) = f(x)2

g (f(x)) = (2X+ 1 ~ g (f(3)) = (2.3 + 1 ~ g (f(3)) = 49

Funções Pares Uma função f será denominada de

função par quando para todo x do seu domínio:

f(- x) = f(x)

Exemplo:

f(x) = x4- 3x2

f(- x) = (- x)4 - 3 (- x)2 = x4- 3x2 = f(x)

Observação 1 :

A função f(x) = cos x é uma função par, pois cos (- x) = cos x.

Observação 2:

Toda função polinominal que apre­senta somente expoentes pares é uma função par.

Observação 3:

O gráfico de qualquer função par é simétrico em relação ao eixo dos y.

y

X

Funções Ímpares Uma função f será denominada fun­

ção ímpar quando para todo x do seu domínio:

f(- x) =- f(x).

Exemplo:

t(x) = x3 + Sx

f(- x) = (- x)3 + 5(-x)=-x' -Sx =-(x' + Sx)=-f(x)

Observação 1.:

A função f(x) = sen x é uma função ímpar, po1s sen (- x) =- sen x.

Observação 2:

' . Toda função polinominal que apresenta somente expoentes ímpares é uma função ímpar.

Observação 3:

O gráfico de qualquer função ímpar é si­rnétrioo em relação à origem do sistema car­tesiano. y

X

Tlpologia das Funções Existem algumas funções que, devido

às suas características, podem ser dassifi­cadas em funções: injetora, sobrejetora e bijetora.

Função Injetora Uma função f: A - 8 é denominada

de função injetora se, e somente se, ~lamentos distintos em seu do~~Jínio co~iatas.Ao seu contradomínio.

A B

X1 ;o!o X2 ~

Observação: O reconhecimento, a partir do gráfico,

de uma função injetora é feito traçando­se retas paralelas ao eixo x: se essas re­tas interceptam o gráfico de f, no máxi­mo em um ponto, a função é injetora.

y

X

./

)

'

Função Sobrejetora ..__r~ ~~rvO ·....c, r Observação: Uma função f: A -+ 8 é denomi~~ O recbnhecimento, a partir do gráfi-

de função sobrejetora se, e somente se, co, de uma função bijetora é feito tra-o conjunto-imagem da função for çando-se retas paralelas ao eixo x no igual ao contradomínio_ contradomínio: se estas retás intercep-

A 8 tam o gráfico de f, em um e um só

lm(f) = 8

Observação: O reconhecimento, a partir do gráfi­

co, de uma função sobrejetora é feito traçando-se retas paralelas ao eixo x: se essas retas interceptam o gráfico de f, em pelo menos um ponto (no seu contradomínio), a função é sobrejeto­ra .

y

f : A -+ 8

Função Bijetora Uma fuQÇão f: A -+ 8 é denominada

de função bijetora se, e somente se, for injetora e sobrejetora.

ponto, a função é bijetora.

y --------- - f: A ... B

B

A X

Função Inversa Toda função bijetora f: A -+ 8 admi­

te uma função r-1: 8 -+A denominada de inversa de f.

A B

Observação: r , Uma função admite inversa, se e so­

mente se, for bijetora.

Regra Prática: Para se obter a inversa de uma fun­

ção, devemos proceder da seguinte for­ma:

troca-se x por y e y por x; isola-se o y em função do x;

Exemplo: A B

f : A -+ 8 r-1 : 8 -+ A

f(2) = 5 - r-1 (5) = 2 t(3) = 7 - r1 (7) = s f(4) = 9 - r-1 (9) =4

ESTUDO DOS lOGARITMO~ Equações Exponenciais

Uma equação é classificada de equação exponencial quando apresenta uma incógnita no expoente. Resolver uma equação exponencial consiste em determinar o valor da incógnita, que aparece como expoente, que verifica a correspondente sentença dada.

Resolução de Equações Exponenciais A resolução de uma equação expo­

nencial é efetuada através das proprie­dades de potenciação objetivando sem­pre chegar-se numa igualdade do tipo

aX =aY

que por COI'Jl)alaÇão tem como cons& qüência

Exemplo 1:

Exemplo2:

x=y.

2x= .Y128

2X:..J2T

7 7 2X:2 2 => X=2

s2X-6.SX+5=0

• 5x = y => 1-s • y + 5 = o

y=1

ou

y=5

• 5X = 1 => 5X = 5° => X = 0

ou

• 5X = 5 => 5X = 51 => X = 1

Logaritmos Palavra Logaritmo

A palavra "Logaritmo" tem o seguin­te significado:

Expoente a que se deve elevar um número constante para se obter outro número.

Palavra Logaritmação A palavra "Logaritmaçãd' tem o se­

guinte significado: Operação inversa da potenciação,

pela qual, dadas a potência e a base, se determina o expoente.

Exemplo:

~=32

5 é o logaritmo de 32 na base 2

Definição de Logaritmo Dados dois números reais positivos

a e N, com a * 1 , denomina-se logaritmo de N na base a o expoente x ao qual deve-se elevar a base a para obter-se o número N.

~ log~x <=> aX = N

(a > O, a* 1, N > O)

Exemplos

• log~2 = 5 <=> 25 = 32

• log10100 = 2 <=> 102 = 100 1

1 2 • logg3 = 2 <=> 9 = 3

Observação 1 :

la:base

log8 N = x - N : logaritmando x : logaritmo

Observação 2: Por convenção, quando não se escreve

a base do logaritmo Sl.bentende-se base 1 O.

log X = log10X

Esta convenção é feita pelo fato de ser a base mais utilizada.

Observação: Existe na aplicação de Matemática

Financeira, da Física e da Biologia, o lo­garitmo natural ou também conhecido logaritmo neperiano, que nada mais é que logaritmo de base e, ou seja,

enx=IOQeX,

onde e= 2,718 ...

I ,___,

L

L

L

'---" Conseqüências da Definição

J

'---

~

......._.

'-"'

__)

...._)

J

A partir da definição de logaritmos provam-se as seguintes conseqüências:

Exemplos:

1oga1 =O

logaa = 1

logaa"= n

alog: =X

• log3 1 =0 ~ 3°=1

• log77 = 1 ~ 71 = 7

• logs53 =3 ~ 53= 53

• 2 109~ = 10

Importante Urna conseqüência importante da

definição é:

a = ~ n IOQa a = Ioga ~

Logaritmo do Produto O logaritmo do produto de dois ou

mais números é a sorna dos logaritmos destes números.

log8 (A.8) = log8 A + Ioga 8

(a > O, a* 1, 8 > O, A> O)

Verificação:

• logaA=m ~ am=A

• 1oga8=n ~ am=8

Ioga (A . 8} = Ioga (am . a") Ioga t . 8) = Ioga am+n Ioga A . 8 = m + n Ioga A . 8~ = Ioga A+ Ioga 8

Logarit~do Quociente O logaritmo do quociente de dois nú­

meros é a diferença entre os logaritmos destes números.

A Ioga (0 ) =Ioga A - Ioga 8

(a > O, a* 1, A > O, 8 >O)

Verificação:

• Ioga A = m ~ am = A

• Ioga 8 = n ~ a" = 8 A am

Ioga (-B) =Ioga (a")

Ioga(~) =Ioga am-n A

Ioga (8 ) = m- n A Ioga (8 ) =Ioga A-Ioga 8

Logaritmo da Potência O logaritmo da potência de um nú­

mero é o produto do expoente desta po­tência pelo logaritmo do número dado.

log8 A"=n . log8 A

(a > O, a* 1, A > O)

Obser\tação:

logaA" * (logaA)"

Verificação:

•logaA=m ~ am=A

Ioga A"= Ioga (al"ll)" Ioga A" = Ioga am.n logaA"=m.n logaA"=n.m Ioga A" = n.loga A

Cologaritmo O cologaritmo de um número dado,

numa certa base, é o oposto do corres­pondente logaritmo do mesmo número e na mesma base, ou seja,

Exemplo:

colog8 N = -log8 N (N>O; a>O; a * 1)

colog3 71 = - log3 71

Importante:

Utilizando a definição de cologarit­mos e as propriedades de logaritmos, temos: colog. N = - log.N =- 1.1og.N = log.N"""1 = logo (~ ) ou seja, o cologaritmo de um número é o logaritmo do inverso deste número.

Mudança de Base É possível, utilizando a definição e

as propriedades de logaritmos, efetuar­mos mudança de base quando necessá­rio. Para tanto, verifica-se a seguinte re­lação:

log8 N 1ogb N = log ab

(N>O,a>O,b>O,a * 1, b * 1)

Exemplo:

Importante:

Urna conseqüência de mudança de base

1 Ioga N = log Na

Logaritmos Decimais

O sistema de logaritmos mais utiliza­dos é o de base 1 O. Este sistema é cha­mado de logaritmo decimal.

O logaritmo decimal de qualquer nú­mero real positivo pode ser decomposto numa sorna de um número inteiro com um número real m e [0, 1 ), ou seja,

log10 N =C + m

onde c = parte inteira (característica) m =parte decimal (mantissa)

Ptoprledades da caacta ística A característica do logaritmo decimal

de um número real e positivo N admite as seguintes propriedades:

• N>1

' A característica da logN, aumentada de l.llla unidade (1), fornece o número de algarismos da parte inteira de N.

Exemplo:

- log1oX=21,345 característica = 21

{ nº de. algarismos de x = 22 mantissa = 0,345

• 0<N<1

A característica do logN é igual ao oposto do número de zeros que precede o primeiro algarismo signi­ficativo de N.

Exemplo:

- log0,00213 característica = - 3

- log0,00041 característica = - 4

Propriedade da Mantlssa A mantissa do logaritmo decimal de

um número N, log N, não se altera se multiplicarmos o número N por urna po­tência de 1 O com expoente inteiro.

log (10X. N) = log10X + logN = x + log N

Exemplo: log 2 = 0,3010 log20 = 1 ,3016 log200 = 2,301 o log2000 = 3,301 o

Logaritmo Preparado Quando aparecem logaritmos nega­

tivos, para que a leitura, tanto da carac­terística quanto da mantissa, possa ser efetuada sem qualquer cálculo, é conve­niente o uso da forma preparada, onde somente a característica é negativa.

Exemplo: log X = - 2,317 log X = - 2 - 0,317 log X =-2- 1 + 1 - 0,317 log X =-3 + 0,683 logx = 3,683

Esta última forma é chamada de for­ma mista ou preparada.

Equações Logarítmicas As equações logarítmicas são de

grande importância para fixação da defi­nição e das propriedades sobre logarit­mos.

As equações logarítmicas podem ser reduzidas em três casos:

fi caso: Um logaritmo de um lado da igual­

dade e um número no outro:

Exemplo:

log8 x=a

log2 (x- 4) = 4 x - 4=:?4 x-4=16

X=~

Observações:

• Neste caso deve-se aplicar a definição de logaritmo, para eliminá-lo.

• Se ocorrer mais de um termo envol­vendo logaritmo, deve-se primeiro, através das propriedades, reduzi-los a um só.

~caso:

Um logaritmo de um lado da igual­dade e um outro logaritmo na mesma base, do outro lado.

Ioga x = Ioga y

~

X=Y

Exemplo:

' log2 (x- 4) = log216 x-4=16

X=~

Observações:

• Neste caso, a resolução é feita elimi­nando-se os "log" membro a membro e, então, comparando-se os antiloga­ritmos.

• Caso apareçam vários logaritmos, deve-se primeiro, através das proprie­dades, reduzi-los a dois logaritmos, um em cada membro ..

Importante

Toda solução deve verificar as restri­ções quanto à existência dos logaritmos.

39Caso Logaritmos em bases diferentes de­

vem ser reduzidos a uma única base.

log8 N 1ogb N = log ab

Função Exponencial

Sendo a E IR,ondea>Oea;t 1, define-se corno função exponencial de base a toda sentença f: IR -+ IR, que a cada x E IR faz corresponder um aX E IR, ou seja,

y=f(x) = aX Observações:

(1) O domlnio de uma função expo­nencial é IR.

(2) O conjunto-imagem de uma função exponencial é 1 ~ •

Gráfico de uma Função Exponencial O gráfico de f(x) = aX é uma curva

situada acima do eixo das abscissas, pois as imagens desta função são estri­tamente positivas. A curva de uma fun­ção exponencial pode ser:

• Crescente: a > O

y

y=a'

X

• Decrescente: O < a < 1

y

y=a'

X

Exemplos:

(1) f(x) = 2x

função crescente, pois a base é supe­rior a 1 (um).

1 X (2) f(x) = (3)

função decrescente, pois a base está entre O (zero) e 1 (um).

Inequações Exponenciais As inequações exponenciais são

aquelas em que a variável (incógnita) aparece sob a forma de um expoente. Existem duas situações:

(2) o < a< 1: ax1 < ax2 cz rP .... x1 > x2

t 1nve e t

A explicação do correspondente pro­cedimento está no crescimento ou não de uma função exponencial.

-~-----~-

a>1:

a'> ---------

a''

o< a< 1:

Função Logarftmlca Sendoa E IR,ondea>Oea #1,

define-se, como função logarítmica de base a, toda sentença f: I~*-+ IR, que a cada x E IR faz corresponder um l09a x E IR, ou seja,

y = f(x) = Ioga x

Observações:

(1 ) O domínio de uma função loga-rítmica é 1~*. ·

(2) O conjunto-imagem de uma função logarítmica é IR.

Gráfico de uma Função Logarítmica O gráfico de f(x) = logaX é um~ curya

situada no 1 2 e 42 quadrantes, po1s exis­te somente para valores reais positivos dex.

A curva de uma função logarítmica pode ser:

'---'.

____ ,

'--"

'--'

"---/

"--"

\..._...

\..../

'--'

'-./

"---/

"---/

J

l '--"

'--' I .....__

"--'

'--'

'--'

'-./

'-.../

-~

• Crescente: a > O

Y= IOQa X

• Decrescente: O < a < 1

y =logax

Exemplos:

(1) f(x) = log2 x função crescente, pois a base é superior a 1 (um).

(2) f(x) = log1/3 X função decrescente, pois a base esta entre O (zero) e 1 (um).

Inequações Logarítmicas

As inequações logarítmicas são re­solvidas de maneira análoga a inequa­ções exponenciais. Existem duas situa­ções:

A explicação de tal procedimento está no c~scimento ou não de uma fun­ção logarítmica.

a>1:

0<8<1:

X1 < X2 ~ Ioga X1 > Joga X2

PROGRESSÃO ARITMÉTICA V Deflniçlo

Uma seqüência (a1, a21 a3! .. an, ... ) é uma progressão aritmética (PA) se, e somente se, cada termo, a partir do se­gundo, for igual à soma do termo .ante­rior com uma constante r denominada razão da PA.

Exemplo:

(5, 8, 11, ... ) ----r=3

111 Genericamente:

+r +r +r... + r (á;,'l~';a4 . ... , a~n .. .. )

Exemplos:

a) (3, 5, 7, 9, ... ) ~ r= 2 >O

(crescente)

b)(21, 18, 15, 12, ... )--H=-3< 0

(decrescente)

c) (8, 8, 8, 8, ... ) ~ r= O

(constante)

CALCULO DA RAZÃO r

l n e IN lr=an- an- 11 e

n ~ 2

ou simplesmente:

I r = T. qualquer - T. anterior I

Nos exemplos anteriores, temos:

a) r = 5 -- 3 = 7 - 5 = ... = 2 b) r = 18 - 21 = 15 - 18 = ... = --3 c) r = 8 - 8 = ... = O

' Fórmula do termo Geral

an = a1+(n - 1).r

Esta igualdade é conhecida como fórmula do termo geral de uma PA. Ela fornece um termo qualquer (Sn) da PA em função da posição (n) de~ termo, do primeiro termo (a1) e da razao (r) da PA considerada. Exemplos: a) FJ

a8 = a1 + 7.r

tal b)

A fórmula do termo geral generalizada fica:

8n = ak + (n - k) • r

onde élt< é um termo intermediário da PA. Exemplos:

a) A a1o = a4 + 6.r

ta-+

Notações Especiais

PA com 3 termos:

(x- r, x, x + r) razão ~ r PA com 4 termos:

(x - 3t, x - t, x + t, x + 3t) razão ~ 2t PA com 5 termos:

(x - 2r, x-r, x, x +r, x +2r) razão ~ r

""---·

·...___ Exemplos: CD A soma de 3 termos em PA é 21, o produto do menor termo pelo termo do meio é 28. Determine a PA. Solução: Sendo (x-r, x, x +r) PA crescente, temos:

'-../ {X - r + X + X + r = 21 (X-r).X=28 v

Do sistema vem x = 7 e r ::;: 3. Portanto, a PA é (4, 7, 10).

@ Numa PA, a soma dos 4 termos é 24 e o produto do menor pelo maior é 27. Determine a PA. Solução: Sendo (x - 3t, X- t, X+ t, X+ 3t) a PA, vem:

{

X - 3t + X - t + X + t + X + 3t = 24 '-" (X - 3t) (X + 3t) = 27

Resolvendo o sistema, resulta x ::;: 6 e t ::;: 1 ou t ::;: - 1. Logo, temos 2 soluções: • (3, 5, 7, 9} ou (9, 7, 5, 3)

Propriedades I . .....__,

c> P1: TERMO MÉDIO

J

1 I

Dados três termos oonsecutivos em PA, o termo do meio é média aritmética dos outros dois.

se ( ... ,a, b, c, ... ) é PA, então:

Exemplo:

b _ a + c - 2

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)

4 = 2;6; 6=4;8; 8 = 6+210;

O P.2: SOMA DOS TERMOS EQUIDISTANTES DOS EXTREMOS

Em toda PA finita a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)

t t LJ t t 1 +13=3+11 =5+ 9

c> Pa: Nt.rna PA com rúnero Írt1)ar de terrms, o terrro médo é média aritmética

dos e~ e, !X)rtanto, é tarrbém média~ de qJakJJer ~ de ter­mos eqüidistantes dos extremos. Exemplo:

(1,3, 5, 7,9,11 , 13) ~ n::;:7

l T m (termo médio)

T -7 - 1+13 _ 3+11 _ 5 + 9 m- -~- 2 - 2

Observação: Dada a PA (a1 •... , ap , .. , aq , ... , éln),

para descobrirmos se os termos ap e élq são eqüidistantes dos extremos, basta: verificar se:

p +q=n+1

Interpolação Aritmética lnterpolar ou inserir K meios aritméti­

cos entre os números a e b significa construir uma PA com (k + 2) termos, onde a é o primeiro termo e b é o último.

(a,_ , ... ,_ ,b) ~ PA

Kmeios ::: ~ I -+ r =? n = k +2

Geralmente resolve-se esse proble­ma calculando-se a razão através da fórmula do termo geral. Exemplo: lnterpolar três meios aritrnélico:; entre 2 e 14.

a1 =2 a0 = 14 n=5 r=?

a0 = a1 + (n -1). r 14 = 2 +(5-1). r

I r= 31 Logo: (2, 5, 8, 11 , 14)

Soma dos Termos

A soma Sn dos n primeiros termos de uma PA é dada por:

Exemplo:

~ _ ( a1 + a, ) n ~ - 2

obter a soma dos termos da PA.

(- 6, -3, o, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) ~ n = 10 ~ . a1 a10

(a1 + a10). 10 5 10 = = (- 6 + 21 ) . 5 = 75

PROGRESSÃO GEOMÉTRIC~ V Definição

Uma seqüência (a1•. ~ <la •.. , a.,. ... ) é uma progressão geomenica (PG) se, e ser mente se, cada termo, a partir do ~undo, for igual ao produto do termo antenor por uma constante q denominada razão PG Exemplo:

(3, 6, 12, 24, ... ) -t q = 2 ~ ~ ~ ~ a1, a2, ~ ~ •...

Genericamente:

xqxqxq  (C,'à~~ .... ' á, _,.).n, ... )

Exemplos: a) (1, 2, 4, 8, 16, ... ) -t q = 2

1 b) (81' 27, 9, 3, 1' ... ) -t q = 3

c) (4, 4, 4, 4, 4 , ... ) -t q = 1

Cálculo da Razão q As progressões geométricas que

abordaremos em nossos estudos são aquelas de termos não nulos e de razão diferente de zero. Assim, a partir da defi­nição decorre de imediato que:

a q = - "- , V n e Nen ~ 2

Bn - 1

ou simplesmente:

q = tenno quar3nõ; tenno a

Exemplo: (4, 12, 36, ... )

12 36 q = 4 = 3 ou q = 12 = 3

Classificação Basicamente podemos classificar as

progressões geométricas em:

c> CRESCENTES: Gada tenno é maior que o anterior.

Exemplo: (1' 4, 16, 64, ... ) -t q = 4

c> DECRESCENTES: Cada termo é menor que o anterior.

Exemplo: 1

(32, 16, 8, 4, ... ) -t q = 2

c> CONSTANTES: Cada termo é igual ao anterior.

Exemplo: (5, 5, 5, 5, ... ) -t q = 1

c> OSCILANTES: Gada termo tem sinal contrário ao do termo anterior.

Exemplo: (3, - 6, 12,-24, ... ) -t q = - 2

Fórmula do Termo Geral

8n = a1. qn -1

Esta fórmula é conhecida como fór­mula do termo geral de uma PG. Ela fornece um termo qualquer (Sn) da PG em função da posição (n) desse termo, do primeiro termo (a1) e da razão (q) da PG considerada. Exemplos:

a)

b) ~9 a10 = a1 . q

ta-J A fórmula do termo geral generaliza­

da fica: Sn =Si( . qn- k

onde 8k é um termo intermediário da PG.

Exemplos: a) ~4

a7 = a3 . q

!a-J

b)

-

Notações Especiais Para resolvermos problemas de PG

com 3 4 ou 5 termos desconhecidos, é conveniente utilizarmos as seguintes no­tações:

PG com 3 termos:

X ( - , x, xq ) razão ~ q

q

PG com 4 termos:

x x 3 razão ~ ~ (ti't'xt , xt )

ou

(x, xq, xq2, xq1 razão ~ q

PG com 5 termos:

x x 2) razão ~ q ( q2 , q , x, xq , xq

Exemplo: _ • Determine a razao da PG de tres

termos, em que a soma dos termos é 14 e o produto 64.

Solução:

Sendo (~ , x , xq) os termos da PG, temos:

l~+x+xq = 14 (I)

~ . x . xq = 64 (11) q

(11) ~ x3 = 64 ~ X = 4 (1 11)

(111) ~ (I) ~ ~ + 4 + 4q = 12

Donde vem:

<q = 2

2q2 - 5q+2 = 0 1 q =2

Resposta: A razão vale 2 ou ~

Propriedades

O P1 : TERMO MÉDIO Dados três termos consecutivos em

PG o termo do meio é média geométri­ca dos outros dois.

Sencb ( ... , a, b, c, ... ) uma PG, terra;:

b2 =a.c

Exemplo: (1, 2, ~. 8, 16) 22 = 1 . 4; 42 = 2 . 8; 82= 4 . 16; ...

O P2: PRODUTO DOS TERMOS EQÜIDISTANTES DOS EXTREMOS Em toda PG finita o produto de dois

termos eqüidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.

Exemplo: (1 , 2, 4, 8, 16, 32, 64)

t t LJ t t 1 . 64 = 2.32 = 4 . 16

Observação: Dada a PG (a1, ... , ap. ···· aq. ... , <in),

para descobrirmos se os termos Bo e ~ são eqüicfistantes dos extremos, basta ven­ficarse:

O P3:

Numa PG com número ímpar de ter­mos o termo médio é média geométrica dos extremos e, portanto, é também mé­dia geométrica de qualquer par de ter­mos eqüidistantes dos extremos.

Exemplo:

(1 , 2, 4,8, 16, 32, 64) ~ n = 7 ~ T m (termo médio)

i = a2 = 1 . 64=2 . 32 = 4.16 m

Interpolação Geométrica

Interpelar ou inserir k meios geomé­tricos entre os números a e b dados, significa construir uma PG com k + ~ termos, onde a é o primeiro termo e b e o último.

{a, _,_, ... , __ ,b) ~ PG

Kmeios :::: I n = K +2

Geralmente resolve-se esse proble­ma calculando-se a razão através da fórmula do termo geral.

Exemplo: Interpelar três meios geométricos

entre 2 e 32.

Solução: Devemos formar uma PG onde: a1 = 2 a, = 32 n = 3 + 2 = 5 Aplicando a fórmula do termo geral

para calcular a razão, vem: an=a1.qn- 1

32 = 2.q4

<f= 16 < q = 2

q= - 2

Então, teremos:

Para q = 2 ~ (2, 4, 8, 16, 32)

Para q =-2 ~ (2, ~ 4, 8, - 16, 32)

Produto dos Termos Sendo a PG (a1, ~ ... , an, ... ) , o procli­

to P n de seus n primeiros tenros é daOO por.

Pn = ± --i(a1 • an)"

A escolha do sinal de Pn deve ser feita de acordo com um dos casos a se-guir:

{

se todos os termos forem positivos

-+ ou

se o número de termos negativos for par.

0 -+ { se o número de termos negativos for

U fmpar.

Uma outra fónnula para o cálculo do produto Pn é expressa por:

n(n - 1) Pn = (a1)" . q- 2-

0bservação: Essa fórmula fornece o produto já

como sinal. Exemplo:

Calcular o produto dos sete primei-ros termos da PG (2,- 4, 8, ... )

Solução: Temos: a1 = 2 • a7 = a1 . q6

q = - 2 a7 = 2 . (- 2)6 n = 7 a7 = 27

• Observe que os termos de ordem par são negativos. Portanto, temos três ter­mos negativos entre os sete termos que estamos tomando da PG. Logo, o produto desses sete termos é negativo.

• Pn = ± 'l/ca1 ., a,)"

P1=-..Jca1 .a7/

p7 = - 228

ou, pela outra fórmula: n n (n -1 )

•Pn=(a1) .q 2

7 (7-1) p7 = (2)7 . - 2-2-

p7 = 27 . (- 2)21

Soma dos termos de uma PG Finita A sara Sn cbs n ptneiros tenros 00. PG. (a1, a2 , ... , ao-h a,, ... ) é dada por:

a1 ( q"- 1 ) Sn = 1 com q ;e 1 q -

ou, então por: an . q- a1

Sn = q _ 1 com q ;e 1

Observação: para q = 1 , temos:

Sn=n . a1

Exemplos: a) Obter a soma dos 1 O primeiros termos

da PG ( 3, 6, 12, ... ). Temos:

s10 = 3069 b) Obter a soma dos termos

(2, 4, ... • 512). Temos:

a1 = 2

q = 2

an = 512

s = 512 .2 -2 " 2-1

Sn = 1022

da PG

r '·

Soma dos termos de uma PG Infinita

Consideremos a PG inifinita (a1, a2, ... an . ... ) com -1 < q < 1 . Nes­sas condições a soma converge para um valor que indicaremos por S~ e que será calculado através da seguinte fór­mula:

a, s~ = 1 - q

Exemplo: Calcule a sGma dos termos da PG

1 1 1 ( 1 • 2 . 4 . 8 . .. . ).

Temos:

a1 = 1 1 q=-2

1 8~ =--1

1-2

S~ =2

TRIGONOMETRIA Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Triângulo retângulo é qualquer triân­gulo que possui um ângulo reto (900). Assim, o triângulo ABC, a seguir, é re­tângulo em A.

.'~ A ·a

Sendo a a medida de um ângulo agu­do de um triângulo retângulo, definimos as seguintes razões trigonométricas.

Q Chama-se seno de a ao quociente en­tre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida a e a medida da hipotenusa

sen _ Cateto oposto a a. a. - Hipotenusa

Q Chama-se co-seno de a. ao quo­ciente entre a medida do cateto ad-jacente ao ângulo de medida a e a medida da hipotenusa.

Cateto Adjacente a a. cos a = Hipotenusa

Q Chama-se tangente de a ao quo­ciente entre a medida do cateto oposto ao ângulo de medida a. e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

tg a = Cateto Oposto a a. Cateto Adjacente a a.

Exemplos: a)

A 8

Temos:

senB=E_ a e sen C=ã

COSB=ã e cos C=~ b

tg B=c e c

tg C= 0

b) Calcule sen a + cos a - tg a consi­derando a figura a seguir:

c

A 1 B

• Aplicando Pitágoras, temos:

BC 2 = AB 2 + AC 2

AC = -{3

AC -{3 • sen a. = -=- ~ sen a. = 2

BC

AB 1 • cos a. =-=- ~ cos C/.= 2

BC

AC ..f3 • tg a. = --= =} tg a. = T =} tg a. = ..f3

AB

• Portanto: sena+COSa - tga =

Observação:

l sen a = cos~ a+~ = goo~

sen ~ = cosa Ângulos

Complementares

Ângulos Notáveis

~ o 30° 45°

1 -{2 sen - -

2 2

~ -{2 c os - -

2 2

tg ~

1 -3

Relações Trigonométricas num Triângulo Qualquer

Lei dos Senos

60°

~ -2

1 2

~

G "Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A constante de pro­porcionalidade é igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo."

a b c ------,.. = --,.- =------,.. = 2R sen A sen 8 sen C

Exemplo:

Num triângulo ABC, Â = 3)0,

e = 105° e BC = 2cm. Calcular AC e o

- ~-

raio R da circunferência circunscrita ao

t~Uo @, • Sabemos que  + ~ +e = 180°,

então:

30° + ~ + 105° = 180°

~ =45°

• Pela lei dos senos, temos:

CD

l ' ~=~=2R sen  sen ~

t t ®

2 AC CD ~--=-­

sen 30° sen 45°

.. AC

2 ®~---=2R

sen 30°

= 2 '1'2 1

:. R=2cmJ

Lei dos Co-Senos

G "Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o duplo pro­duto desses lados pelo co-seno do ân­gulo formado por eles."

1\ c a

2= b

2+C

2- 2bccos A Q

2 2 2 1\ b =a +c -2accos ~ b a

c2 = a2 + b2

- 2ab cos C A c B

J

~ _..-........

~

'---'

'-'

...._,

-.........-

...._,

_..

'-'

..........

.._

'-"

'\.....;

\.._....

\...../

\....i

"'"-./

...._

I '-' J

1 '"--'

'\.....;

I '-"

'-.../

>.....,;

~

'-"

.........

'<

Exemplo: Num triângulo ABC, b = 4 an,

c = -./3 em e  = 3QO. Calcular o valor de a.

A

b

B a c

• Pela Lei dos Co-Senos, temos: 1\

a2 = 1)2 + c2- 2bc cosA

a2 = 42 + (-{3)2- 2. 4. -J3 . cos 3QO

-./3 a2 = 16 + 3-2. 4 -J3 . 2

a2 = 19-12

a= '-'7 cm l

Medidas de Arcos e Arcos Trigonométricos

Arco e Ângulo Central

ARCO é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência, quando consideramos dois de seus pon-tos.

A cada arco corresponde um ângulo central, cujo vértice é o centro da circun-ferência.

B

ângulo central AÓB

Medida de Arcos As unié:lades de medida de um arco

são: o grau, o radiano e o grado. Observação:

Um arco e o ângulo central a ele as­sociado têm medidas iguais .

Arco de um Grau

o É o arco unitârio que corresponde a

3~0 da circunferência .

Representação: 1 ° A circunferência: 3600

Submúltiplos do grau

. ut 1' 10

1• =60' m.n o: = 60 ~

ndo 1" 1' 1' = 60" segu : = 60 ~

Arco de um Radiano

O É o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.

Representação: 1 rad A circunferência: 6,28 ... rad = 2n rad

B'

m (AB) = 1 rad

Observação:

e~ comprimento do arco AB

m (AB) =a rad

R~ raio

t a = - rad

R

Exemplo: Determine a medida do arco AB em

radianos.

B

Temos: { e = 15 em R = 3cm

queremos a, logo:

Arco de um Grado

. ' c> E o arco unitário que corresponde a

460 da circunferência.

Representação: 1 gr A circunferência: 400 gr

" o m (AB) = 1gr

Transformação de Unidades Já vimos que a medida de uma cir­

cunferência qualquer é dada por 3000, ou 2 1t rad, ou 400 gr.

Assim, temos as seguintes corres­pondências:

ARCO GRAU RADIANO GRADO

~ 90° ~ rad 2

100 gr

í\ 180° 1t rad 200gr

(? 270° 31t

300 gr - rad 2

o 360° 27t rad 400 gr

A transformação de unidades é feita através de regra de três utilizando as igualdades:

180° = 1t rad = 200 gr.

-

-...

J

I I

No entanto, na maioria das vezes utilizaremos a seguinte regra prática:

mult iplique por 1 :o o

~ troque n por 180°

Observação:

1 rad = 57°

Exemplo:

CD Transformar 120° em radianos:

• Por regra de três: 1800 ---n rad 1200 --x

Donde: 120° .7t 2n

X=--- ~ X = -3

rad 180°

• Por regra prática:

120° = 120°. _ n_ = 27t rad 180° 3

Observação: Note que a regra prática é uma sim­

plificação da regra de três.

®Transformar 29n rad em graus.

• Por regra de três: n rad -- 1800

~n rad -- x

Donde:

.?; . 180° X = ~ X = 40°

7t

• Por regra prática 2n _ 2 . 180° _ 400 9 - 9 -

Circunferência Trigonométrica Consideremos urna circunferência de

raio unitário (R = 1 ), associada a um sis­tema de eixos cartesianos ortogonais, pa­ra a qual valem as seguintes convenções:

I. A origem do sistema coincide com o centro da circunferência.

11. O ponto A de coordenadas (1, O) é a origem de todos os arcos a serem medidos na circunferência.

111. O sentido positivo de percurso é o anti-horário e o negativo é o horário.

IV. Os pontos A (1, 0), B (0, 1), C (-1, O) e D (0, - 1) dividem a circunferência em quatro partes denominadas qua­drantes que são contados a partir de A no sentido anti-horário.

r 8(0,1)

19~ 2?0 A(1 , O)

(- 1, O) C-t----t==::::;::::;;::=::;:=t~-­R = 1 origem dos

3?0 4? o J J arcos

-:/H 0 (0, - 1)

Tal circunferência é chamada de cir­cunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. Os arcos contidos nes­sa circunferência são denominados ar­cos trigonométricos. Observação:

O ponto A está associado ao arco de 00 (O rad). Os pontos B, C e D estão associados, respectivamente, às extre-

midades dos arcos de 900 ( 2 rad) ,

1800 ( n rad) e 2700 ( 32n rad) .

Expressão Geral de todos os Arcos Côngruos a um Arco a

Dado um arco a no ciclo trigonomé­trico, tal que:

0° ~a <36Q'> ou Orad <::;a <2n rad

A expressão geral de todos os arcos que são côngruos a a é dada por :

I EG = a +360°. K I (em graus)

ou

EG = a+ 2 K n I (em radianos)

J

1 I

Observação:

a é a menor determinação do arco

dadoeKE Z

Cálculo da menor determinação de um Arco

Regra Prática

G ARCO DADO EM GRAUS Divide-se por 36QO, o quociente in­

dica o número de voltas; e o resto, a menor determinação a do arco dado.

Exemplo: Obter a menor determinação e dar

a expressão geral de todos os arcos côngruos do arco de 12100. Resolução:

1210° 1360° • 130° 3

L L... número de voltas menor determinação (a)

• EG = a + 360° K (K E Z) Logo: EG = 1300 + 36QO K

G ARCO DADO EM RADIANOS (FRAÇÃO) Decompõe-se em duas outras fra­

ções de mesmo denominador, tal que o numerador da primeira seja o maior nú­mero contido no numerador da fração dada que, dividido pelo denominador, dê para quociente um número par. A segunda fração é a menor determina-ção a do arco dado.

Exemplo: Obter a menor determinação e dar a

expressão geral de todos os arcos côn-

gruos do arco de ~7t rad.

Resolução:

281t 287t 47t • -s=--s- +3 rad

L L menor determinação (a)

8a rad =4 . 2 arad -+4voltas

• EG = a + 2Kn (K E Z)

47t Logo: EG = 3 + 2Kn

Funções Trigonométricas

' Seno e Co-Seno de um Arco __........ Considerando um arco AM de medi­

da x, definimos:

• co-seno de x (cos x) corno sendo a absc~ do ponto M extremidade do arcoAM.

• seno de x (sen x) como sendo a or­denada do ponto M extremidade do arcoÁM.

"-: {o (O, o ) R= 1

C (-1 , O)

y

, A(j, O) X

D(0, - 1)

Observando a figura, temos:

sen 0° =O

cos 90° =o sen go• = 1

cos 180° = - 1

cos 270° =o

cos 360° = 1 sen 360° = o

Observação:

Para todo arco x, tem-se:

- 1 ~ cosx ~ 1 e - 1 ~ senx ~ 1

J

I l

! -

"'-""

'-"

..........

.._

-.........-

'-'

'-../

v

'--"'

'-'

\......'

.........-

'-...,.;

Variação do Sinal De acordo com as definições ante­

riores, temos:

I. Seno

sen

8

+ +

c A

D

11. Co-seno

8

+

c A

c os +

D

Função Seno --.;~ Chama-se função seno a toda fun-

ção f: IR ~ IR definida por

y = f(x) = sen x

Gráfico (senóide) \

y

7t l

2 : go:

O I

- 1 ------ -' - --- ---' - ----27t rad

(período)

Função Ca.Seno

.. ,

Chama-se função co-seno a toda função f: IR~ IR definida por

y = f(x) = cos x

Gráfico (Co-Senóide)

' ' '

y

o

-----r------r- - ----r- - -- - - , I I ' I I \

<±> : <±>1 \ I I

X

21t: X I I

' I ' I - 1 ____ __ _! _ __ __ _ ______ _ _ _ _ _J

2n rad (período)

.. ,

J

1 I

Propriedades

Função y = sen x Y=COSX

Quadrantes 12 I 22 I 32 I 42 12 I 22 I 32 I 42 ---+----+----I---- ---+---~----~---

Sinais + I + I - I - + I - I - I + ---+----+----I---- ---+---~----~- --Flutuação c I D I D I

Domínio D=IR

Imagem lm = {y E IR / -1 ~ y ~ 1}

Período 21t rad

ímpar Paridade sen (- x) = - sen x

Observação: O período de funções da forma y = a + b sen (mx + n) ou y = a + b cos (mx + n)

comb*Oe m*Oédadopor:

21t P =~m~ rad lm =[a-b, a+ b]

(b deve ser tomado em módulo)

Tangente de um Arco Consideremos no ciclo trigonométri­

<;o._um ponto M, extremidade de um arco AM de medida x. Tracemos uma reta t , paralela ao eixo do y peiQ___Qonto A. Pro­longuemos o segmento OM até encon­trar a reta t no ponto T. Nessas condi­ções definimos tangente de x (tg x) co­mo sem;!Q a medida algébrica do seg­mentoAT

y t tgx=AT

T

A partir da definição pode-se mos­trar a validade dos seguintes resultados:

X

tg X o o o

c D I D I c I c D = IR

lm = {y E IR / - 1 ~ y ~ 1}

21t rad

par cos (- x) = cos x

Variação do Sinal da Tangente

y

Função Tangente Chama-se função tangente a toda

função

1t f: {x E IR I x * 2 + K 1t} ~ IR defini-

da por

y=f(x)=tgx

Gráfico (tangentóide)

y

21t

e e

•' ...

~.......,'

'-"

'-"

'-./

..........

\.....I

'-"'

..._,

..._,

'-"

'-'

Propriedades

. n DOfvW«)~ D={XE IR/x#2 + K.n},KE Z

IMAGEM ~ lm = IR

FLUTUAÇÃO~ essermmente aeoo:nte

FUNÇÃO PERIÓDICA~ período = n rad

FUNÇÃO ÍMPAR ~ tg (- x) ;;: - tg x

Observação:

O período de funções da forma

y =a + b tg (mx + n)

com b* O em * O é dado por:

1t P =Tmf

Relações Trigonométricas Fundamentais

~a:cos2 a;;: 1 \ (VaE IR). ~---

sen a 1t tg ll = -- ( V a * 2 + K1t , K E Z ). cosa

cotga = cosa sen a

( V a* K 1t, K E Z ).

1 1t '-" ' seca=-- (V a * 2 + K 1t , K E Z ).

cosa

'-"' cosec a : - 1- ( V a ;to K1t , KE Z ). sen a

A partir das relações fundamentais, \.....i podemos deduzir outras duas, que são

conhecidas como relações derivadas.

'-' J 1t \ sec2 a = 1 + t~:~ a (V a*2 + k1t+, K E Z).

\.../

") cosec2 a = 1 + cotg2 a (V a * K1t, K E Z) '-'

'­Exemplo:

Sabendo que x E 32 Q e que

sen x = - ;, calcule as demais razões

trigonométricas do arco x.

l 13 COS X = ± "-~f ~ :}

I COSX=-2

ex E 3º a Ç:) cos x < O)J

sen x • tgx = cos x

1 • cotg x = !QX

{3 tg x= 3

cotg x = -1- :} cotgx = {3

-./3 3

1 • secx = cos x

1 213 sec x = 13

:} sec x = - -3

-

-2

1 • cosec x = sen x

1 cosec x = - 1 :} cosecx =- 2

-2

Redução ao 19 Quadrante

Para reduzir um arco "a" qualquer pertencente ao 2º, 3º ou 42 quadrantes, a um correspondente arco no primeiro quadrante, com o mesmo valor da razão trigonométrica (em módulo), procede-se: (1) Localize o quadrante em que está o

arco a ser reduzido. (2) Verifique o sinal da razão trigono­

métrica no referido quadrante. (3) Faça a redução do arco conforme

segue:

J

1

I

.ij.-210

22 => Quanto falta para 180°

311 => Quanto passa de 180°

42 => Quanto falta para 360°

Exemplos: 1

a) cos 120° =- cos 60° =- 2 T 2!1Q

b) tg 225°= tg 45° = 1 T 32 Q

{3 c) sen ~ = - sen 6QO = - 2

4ºQ

Simplificação de expressões da fonna F(Kn±X}

Sendo F uma razão trigonométri­ca, e k um número inteiro, pode-se simplificar [F (k 1t ± x)] para ± F(x), supondo, sem perda de generalidade, o arco x pertencente ao 12 quadrante, e procedendo de acordo com a redu­ção ao 12 quadrante, mantendo a ra­zão trigonométrica.

Exemplos:

a) sen ( 1t + x ) = - sen x --. 311Q

b) cos ( Jt-x) =-cosx -r 21lQ

Simplificação df expressões da tonna

F (~ ± x) Sendo F uma razão trigonométrica,

e k um número inteiro ímpar, pode-se

simplificar F (~ ± x I para ± 'I (x), su­

pondo, sem Jerda de @eneralidade, o ar­co x pertencente ao 1 quadrante, e pro­cedendo de acordo com a redução ao 12

quadrante, trocando F por 'I , onde

F

sen cos

tg-- - cotg

sec --- cosec

Exemplos:

lt a) sen ( 2 - x ) = cos x

-,-12 Q

lt b) cos ( 2 : x ) =- sen x

22Q

3lt c) tg ( 2 t x ) = - cotg x

42Q

Adição de Arcos

sen (a+ b) = sen a. cos b + sen b . cos a cos (a+ b) =cosa . cos b - sen a. sen b

_ tga + tgb tg (a + b) - 1 - tg a . tg b

Subtração de Arcos

sen (a - b) = sen a • cos b - sen b . cos a c) tg {21t + X ) = tg X -.--

12Q l cos (a - b) = cos a . cos b + sen a • sen b

tg (a- b) = . tg a - tg b 1 + tga . tgb

j

I !

-

-

v . :\ I

Exemplos:

CD Calcule o valor de sen 75°.

• sen 75° = sen (30° + 45°) =

= sen 300 . cos 45° + sen 45° . cos 30° =

4

@ Obtenha o valor de cos 15° .

• cos 15° = cos (45° - 300) =

= cos 45° . cos 300 + sen 45° . sen 300 =

-YB+--12 = - 4-

® Sabendo que tg a =i e tg b = ~· cal­

cule tg (a+ b}.

tga + tgb • tg (a+ b) 1 - tg a . tg b

2 4 3+3

1- _g_ i 3 " 3

2

9

= 18

Duplicação de Arcos

( sen2a=2sena.cosa

t s 2a = cos2a - sen2a '\

tg2a= 2tg a 1 - tg2 a

Observação: A partir da relação fundamental e do

co-seno do arco duplo, obtém-se:

cos2a=1 - 2sen2 a

Exemplo: , 3

• Sendo sen a = 4 , a e 1º Q, calcule

sen 2a, cos 2a e tg 2a

• sen2 a+cos2a= 1

cos2a = 1-(iJ

cosa=~

• sen2a=2.sena.cosa=

3..[7 =-a

• cos2a=cos2a -sen2 a =

sen a etga=cosa

3 4

tg a = ..[7 . .

4

317 tga = -

7-

2 tg a etg2a =

1 -tg2 a

2 3 ..[7

. 7

= - 3 ..[7

J

I I

Observação: sen 2a

• tg 2a = CoS2a =

3..ff a-=-,= - -g

= - 3 ..[7

Bisseção de Arcos

\ ! -+ .... /1-cosa

sen2 -- \f 2 I

\cos! - ± - /1 + cos a

2 - -\[ 2

I a -v1-cosa \

ti - ± . 2 - 1 + COS8

Fórmulas de Fatoração

(P + q) (p-q) sen p + senq = 2 . aen - 2- . C08 - 2-

CXJS p - CXJ6 q ; - 2 . sen (Y)· een (~)

\ Equações Trigonométricas

Resolução de Equações Trigonométricas

Resolver uma equação trigonométrica consiste em determinar todos os arcos que verificam a igualdade apresentada.

Uma equação trigonométrica, quan­do apresenta solução, o faz de infinitas maneiras, ou seja, existem infinitos ar­cos côngruos cujas razões trigonométri­cas são iguais. Portanto, é necessário representar todos estes arcos através de generalizações.

Generalizaç~s

(1) O rad::; a< 27t rad

x=2k1t + a

x=2k7t ± a

(2) CASOS PARTICULARES

lt

;,ri\ ~ w ·· 3Jt 2

Observação:

X= k7t

K E Z = {0, ± 1, ± 2, ± 3, ... }

-·

r

J

1 I

Simetria

• EM GRAUS

cl'iO • EM RADIANOS

Procedimento Prático

Para resolverem-se equações trigo­nométricas de uma maneira mais sim­ples, adota-se o seguinte procedimento prático:

3º)

42)

52)

Reduzir as equações, através de relações trigonométricas, a equa­ções fundamentais (sen x = a; cos x = a; tg x = a).

Localizar os quadrantes onde há solução, pelo sinal de "a", mar­cando os pontos numa circunfe­rência trigonométrica.

Encontrar o valor correspondente no 1 2 quadrante, mesmo que nele não admita solução.

Transferir o arco correspondente aos quadrantes onde existe solu­ção, através de simetria (procedi­mento inverso do estudo na redu­ção ao 12 quadrante).

Generalizar a solução, conforme o caso.

Observação: A grande marona das equações

apresentam como solução arcos notá­veis, cujas razões trigonométricas são conhecidas.

Exemplos:

CD Resolj er as equações: 1 a) sen x == 2

O seno é positivo no 1º e~ quadran­tes. Oprimeiroarcoquepárano 1ºponto

no sentido positivo, cujo seno vale;. é

~e seu correspondente no~ quadrante

é 561t ( simatria : 1t - ~ = 561t)

~ttr GENERALIZANDO:

1t 5rc • X = 21<1t + 6 OU X = 2K7t + lf

--12 b) cos (2x) = 2

O co-seno é positivo no 1 º e 4º qua­drantes. No caso do co-seno só precisa-

mos do 1 2 quadrante, no caso ~ .

Os arcos que param no 4º quadrante são registrados quando da generaliza­ção.

GENERALIZANDO:

1t 1t <X= K1t+g

•~ = 2K7t ± ~ 1t X= Kn - 8 c) tg (x + 30°) = --./3

A tangente é positiva no 1 º e 3º qua­drantes. O primeiro arco que pára no 1º ponto no sentido positivo, cuja tangente vale ..f3, é 6QO e seu correspondente no ~quadrante é 2400 (simetria: 1800 + 6QO = 2400).

GENERALIZANDO:

• x+3QO= 18001<+600 ~

X = 1800!< + 3()01

Funções arrolares Inversas função Alto Seno

Função Arco Seno A função inversa da função seno é

definida como y =are sen (x), se e so­mente se, sen y = x, onde

Y E [ - ~· 2 J e- 1 :5 X :51.

1t

2

y:arcsenx ~ seny=x

Exemplo:

y = are sen ( - ~) <=> sen y = - ~

Logo, y = - 3QO

Função Arco Co-Seno

A função in\ ersa da função co-seno é definida como y =are cos (x), se e so­mente se, cos y = x, onde Y E (0, 1t) e -1 :5 X ,S: 1 .

y=arccos x ~ cos y=x

Exemplo:

y=arccos(- ~) <=> cosy=-~.

Logo, y = 180• - 45°= 135°

Função Arco Tangente

A função inversa da função tangente é definida como y = are tg (x), se e so-

mente se, tg y = x, onde

e x é um número real. 1t

2

y=arctgx ~ tgy=x

Exemplo: y = are tg (-1) <=> tg y = - 1

Logo, y = - 45°

J

1 I

MATRIZES E DETERMINANTES v Definição Numa h,atriz A = (8.ij)nxn quad~ad~

Uma matriz de ordem m x n é qual- de or~em n o~ element~ ~i com 1 = J ._ quer conjunto de m . n elementos dis- constituem a d1~gon.a1 pnnc1pal. Os ele-

postos em m linhas e n colunas. ~ntos aij com ~ 7- J = n + 1 formam a REPRESENTAÇÃO d1agonal secundá na.

~ = Ai::;~:;:~{i;·g :~ ~ A·~

._. ..........

\._J

...........

'-'

'-.........,

~

..........

Cada elemento de uma matriz é lo­calizado por dois índices:1áij:'O primeiro indica a linha e o segundo, a coluna.

A matriz A pode ser representada abreviadamente através de uma senten­ça matemática que indica uma lei de for­mação para seus elementos.

A= (8.ij)mxn

Ex.: A = (~j)2x3

lei de formação

~j=i.j

a22 ~- [: : :] Classificação das Matrizes

Em função dos valores de m e n, classifica-se a matriz A = (8.ij)mxn em:

Matriz retangular, se m * n

[01 22 41 ] Ex.: A2 x3=

Matriz linha, se m = 1

Ex.: A1 x3 = [ 1 o - 3]

Matriz coluna, se n = 1

Ex.: A3x 1 = [ ~ ] Matriz quadrada, se m = n

l' 2 -3] Ex.: A3x3 = 4 - 5 6 2 o 4

é uma matriz quadrada ~ ordem 3 .

Diagonal Diagonal secundária principal

Tipos de Matrizes

Matriz Nula ou Matriz Zero É a matriz onde todos os elementos

são nulos.

Ex.:

Matriz Oposta

Matriz oposta de uma matriz A = (aij)rnxn é a matriz B = (bij)rnxn tal quebij= - aij

[

- 3 Ex.: A=

1 2] [ 3 -2] O ; B=-A = - 1 O

Matriz Identidade ou Matriz Unida­de

É a matriz A = (aij)nxn tal que

{1, sei=j

~· -J- O, se i *Í

Ex.:

o o] 1 o o' 1

)

l I

Matriz Transposta (A1)

É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada.

Se 8 = (biJrwn é transposta de A (éijj)mxll entao bji = aij·

Ex.: A= [-! ~]; 8=At= [: -~ :]

Matriz Diagonal É uma matriz quadrada onde ar = O,

para i *" j, isto é, os elementos qu~ não estão na diagonal principal são nulos.

o o~ 2 o o - 2

Ex.: A = [8 Matriz Simétrica

É uma matriz quadrada A tal que At = A, isto é, aij = aii para i *" j

Ex. [-i -f!] Matriz Anti-simétrica

É uma matriz (J..Ialiada A tal que At =-A, isto é, aij = - élji para i e j quaisquer.

Ex.: A= r ? ~5

-1 5] o - 3 3 o

'

Operações Com Matrizes

Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (éliUmxn e 8 =

(bjj)mxn de mesma ordem, sao iguais se, e somente se, aij = bij·

[ 109 1 m]

Ex.: 20 (- 3)2 =

Propriedades • Se A = 8, então At = 8t

• (At)t = A

Adição de Matrizes A soma de duas matrizes

A = (élij)mxn e 8 = (bij)n;u<J1 de mesma or-dem é uma matriz C= (élijJmxn tal que '-Cij=ar+br.

A ~ubt~ação de matrizes é dada pela sentença:

A-8 = A+ (- 8)

Ex &.mA~ ~ : l e B { -: - ~ ~ r

-[-2 3 2] A - 8=

1 -2 2

Propriedades da Adição de Matrizes

Comutativa

(A + 8) + C = A + (8 + C) Associativa

A+O =O +A=A Elemento neutro

A+ (-A) = (-A) +A= O Elemento oposto .J

(A + 8)t = At + 9t Transposta da soma

Produto de um Número Real por uma Matriz

Se a é . um número real, o produto desse número por uma matriz A = (éijj)mxn é uma matriz 8 = (bij)mxn tal que bij = a aii

Ex.: Sendo A = [ 1 3

] - 1 2

3A= [ 3 9] - 3 6

/

v

Propriedades do Produto de um Número por uma Matriz

Se A e B são matrizes de mesma or­dem e a e ~ são números reais, valem as seguintes propriedades: • 1A=A

• a . (A + B) = a A + a B

• a . (~ . A) = (a . ~) . A

• (a+~) . A= a . A+~ . A

• (a . A)t =a . At

Produto de Matrizes Dadas duas matrizes A = (~j) e

B = (bij) m o produto da matnz rl)f pela matriz ~ nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de li­nhas da matriz B.

Então:

(A X B)mxn

I

A matriz produto (A x B)mxn terá o número de linhas de A e número de co­lunas de B.

Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspon­dente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.

IL1C1 L1~ ] [ 0.1 + 1.0 0.3 + 1.2] AxB= ~1 lM = 2.1 +1.0 2.3+1.2

L3C1 L3C2 3.1 + 4.0 3.3 + 4.2

AxB= [~ 1~]

Propriedades do Produto de Matrizes Sendo\A, B e C matrizes, e a um nú­

mero real e supondo as operações abai­xo possíveis, temos que:

• A . (B . C) = (A . B) . C Associativa • A . (B + C) = A.B + A. C Distributiva à

direita • (A+ B).C =A. C+ B.C Distributiva à

esquerda • Amxn. In= A I é a identidade ~ - Amxn=A

• la Al.BfAf(a B)= a . (A.B) • (A.B) = B . A

Observações Importantes:

1 íl) A multiplicação de matrizes não é co­mutativa, isto é , existem matrizes A e 8 tais que A8 ~ 8A.

2íl) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento do produto, isto é, podemos ter A.8 = O mesmo com A~ O e 8~0.

3ª) Não vale também a lei da simpli­ficação, isto é, podemos ter AB=AC, mesmo com A~Oe 8~C.

Matriz Inversa Uma matriz quadrada A de ordem n

diz-se inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que indi­camos por A- 1, denominada inversa de A, tal que:

A.A- 1=A- 1. A=In

Ex.: AmatrizA-1 { 3

-s] éainversade -1 2

h[~ : ] po;sA.A- 1 "A- '.A"I>

Condição de Existência da Matriz Inversa Uma matriz quadrada A é inversível

se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero. Portanto: det A= O ~ ~ A- 1 (A é singular) det A ~ O ~ 3 A- 1 (A é não singular)

Elemento da Inversa

_1 co-fator de aii de A bij de A = det A

Obtenção da Matriz Inversa

a) Calcule det A b) Determine a matriz dos co-fatores

de A: A' c) Q.etermine a matriz adjunta:

A = (A')1 _

d) Aplique a fórmula: A-1 = -d 1

. A · et A

Ex.: Obter a inversa da matriz

a) Det A = 6 - 5 = 1 det A ;é O

1 3 -1] b)At = ~5 2

c)A= [ 3 -5] - 1 2

d)A- 1=.!. ~ 3 -5] = [ 3 -5] 1 [-1 2 -1 2

Propriedades da Matriz Inversa

• A- 1 é única

• (A- 1)- 1 =A

• (A.Bf1 = s- 1 . A-1

• (Atf 1 = (A- 1)t

- 1 1 • det (A ) = det A

Equação Matricial Sendo X, A e B matrizes quadradas

de mesma ordem, demonstra-se que, se A e B admitem inversas, então

X . A = B ~ X=B . A- 1

A . X=B ~ X = A-1 . 8

Detenninante A toda matriz quadrada A = (ajj)nxn

de elementos reais de ordem n esta as­sociado um único número real chamado determinante da matriz A.

Representação O determi~ante da matriz A pode ser

representado por:

detA= !:!. =

Regras Práticas

a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n

an1 an2 ... ann

Para o cálculo de determinantes de --?rdem _n (n ~ 3), procede-se da seguinte

rorma:

Determinante de ordem 1 ª Para a matriz A = [a11l o determi­

nante é o próprio elemento a11· det A= a11

Ex.: A= [3] => det A= 3

Determinante de ordem 2ª

Para a matriz A = [ a11

a12l o

a21 a22j

determinante é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal prin­cipal e o produto dos elementos da dia­gonal secundária.

detA =~ 1- a12 · a21 J .-1 _+_a_11_a_22_,J

det A= a11 a22 - a12 a21

Ex.: Sendo A= [ 31 54]

detA = M v~ G e

det A = 3 . 4 - 1~ 5 = 7

Determinante de ordem 3ª Para a matriz de 3ª ordem

J

1 I

"-' .

I

'-"'

v

v

Para calcular o detenninante de uma matriz de ordem 3, existe o seguin­te dispositivo prático conhecido como REGRA DE SARAUS:

Repetem-se, à direita da matriz, as duas primeiras colunas. Acompanhando as flechas em diagonal, multiplicam-se os elementos entre si, associando-lhes o sinal indicado.

J a11 a1~1Ea11 a12 det A a21 à22.:,. a23 ..... a21~22

a31-"'á32 a33 /a31 a32 // ........... ,

886 8@0 Somam-se algebricamente os pro­

dutos obtidos, calculando-se, assim, o valor do detenninante.

Ex.: Sendo A =[~ ~ J] 1 4 2

3......_2/1~/2 detA = 2/1"><0 2.....,_ 1

1 4 2 1, 4, /// ...... "

- 1+0- 8 + 6 + 0 +8

detA = - 1 +0 - 8+6+0+8 = 5

Propriedades dos Determinantes

Determinante igual a Zero O determinante de uma matriz qua­

drada é igual a zero, se a matriz possui:

a) urna fila nula

Ex.: 12 :o: I= o; 3 LOJ

2 5 6 r------~

10 o o '= o L __ __ _ _ ...J

3 8

b} duas filas paralelas iguais

r- - --- - -, r -, r1

' 2 -1 3• L-- - ---....J

:1 : 2 :1: I I I I

:2: 7 :2 : =0

L3_l o L~

c) dua!\filas paralelas proporcionais

~2- -=- 1--~ ~1~ 2 ~i L_ _ _ _ ___ ...J I I I I

I I I I

Ex. : O 1 4 =O; :2 : 7 ~ : =O r -- - - -- .., ~~ --:~--~ L3_j o L~

d) uma fila que é combinação linear (C.L.) das outras filas paralelas

t 2 7 1 2 3.1 + 2.2

Ex. : 3 9 = 1 3 3.1+ 2.3 = 0

6 12 o 6 3.0 + 2.6

Observe que c3 = 3 c1 + 2 ~. isto é, c 3 é C.L. de C1 e ~

Determinante Não se Altera O detenninante de uma matriz qua­

drada não se altera se:

Ex.:

a) trocarmos ordenadamente linhas por colunas.

2 o -1 o -1 3 1

o o 4 2 3 o = 20

o 1 4

det A= det At

b) somarmos a uma fila uma combi­nação linear de outras filas para­lelas (TEOREMA DE JACOBI).

7 o 2 1 o 2

Ex.: 11 3 1

11 -1 4

2 3 1 = 3

1 -1 4

c1 + 2C2 +3~ Alterações no Determinante

O detenninante de uma matriz qua­drada de ordem n altera-se:

a) trocando de sinal, quando duas fi­las paralelas trocam de posição entre si.

3 4

Ex.: - 2 O

2

3

6

-2 o 3 J 3 4

2 6

b) ficando multiplicado por K, quan-do os elementos de uma fila são Exemplo: multiplicados por K.

Ex.:

• r------, •8 4 2 • L _ __ _ __ .J

4 3 1

1 7 - 1

r- - --- -, 14 2 1 1 L __ ____ J

=2 4 3 1

1 7 -1

c) ficando multiplicado por K" quan­do a matriz é multiplicada por K.

2 o 4 o 2

4 6 2 = 23 2 3 1

2 -2 8 1 - 1 4

Portanto: det (K . Anxn) = K" . det A

Teorema de Binet Se A e B são matrizes quadradas de

mesma ordem, então det (A . 8) = det A . det 8

Determinante de Vandermonde ou de potências

É qualquer determinante do tipo:

É determinado pelo produto das di­ferenças entre cada elemento da 2ª fila (base), a partir do segundo, e cada ele­mento anterior.

2 3 6 = (3--2).(6-2).(6--3) = 1.4.3 = 12 ,-4 9 36

Para ordens superiores, o procedi- '-' mento é análogo, ou seja, é igual aos produtos das diferenças entre os ele-mentos da 2ª fila. '-.__/

Definições

M~nor Complementar Chama-se menor complementar Mii

do elemento aiL de uma matriz quadrada ,. de ordem n ~ 2, o determinante da ma- __.. triz que se obtém de A, eliminando-se a linha i e a coluna j.

Ex.: Dada a matriz A= [

2~ - 014 145]

11 = - 4 Eliminando-se a

4 1 ª linha e a 1 ª coluna.

11 = 11 Eliminando-se a

4 1 ª linha e a 2ª coluna.

M13 = 1

3 - 1 ~ = 1 Eliminando-se a 1 O 1 ª linha e a 3ª coluna.

Co-fator ou Complemento Algébrico ou Adjunto

Co-fator ou complemento algébrico Ai do elemento éljj é o número r!')ÇII que se obtém multiplicando-se (- 1 )1+J pelo menor complementar de aii·

Ai= (-1)i+i . Mii

Portanto: Se ~ + j for par: Ai = Mij Se 1 + J for 1mpar: Ai = - Mii Assim, do exemplo anterior, temos:

A11 = (-1)1+1. M11 = (+ 1). (-4) =-4

A12 =(- 1)1+2. M1 2=(- 1). (11) =-11

A13 = (-1)1+3. M13= (+ 1). (1) = 1

-

·.

Teorema de Laplace O determinante de uma matriz qua­

drada de ordem n <:: 2 é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer pelos respectivos co-fatores.

2 4 5

Ex.: Calcule det A = 3 - 1 1

1 o 4

Procedimento

I. Escolhe-se uma fila qualquer do determinante:

®®® det A = 3 - 1

o 4

11. Coloca-se o siníl.l. correspondente à potência (- 1 )1+1, do cálculo do co-fator, em cima dos elementos da fi la selecionada:

+ +

® @® detA= 3 - 1

o 4

111. Multiplica-se cada elemento da fila selecionada, com o sinal do co-fator, pelo seu menor complementar.

det A= a11A11 + a1:t-12 + a1:f\13

~ 1 3 ~ 3 -1 detA=2. -4. +5 o 4 1 1 o

det A = 2 (- 4) - 4 (11) + 5 (1) = - 47

Regra de Chló Para calcular o determinante de uma

matriz de ordem n > 3 é necessário abaixar a ordem. Uma maneira de abai­xar a ordem é usar o Teorema de Lapla­ce. Existe, além disso, uma regra prática dada por Chió que consiste em:

12) Escolh~r um elemento aii = 1 (caso não exlsta, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1 ).

22) Suprimir a linha (i) e a coluna O) do elemento aii = 1 , obtendo-se o menor complementar do referido elemento.

3º) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.

4º) Multiplicar o determinante obtido no 3º item por (- 1 )'+J onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1.

Exemplo:

r -T - - -- - - - - --,

I 1 I 1 3 ~ I 1--.J.~--------'

delA = :1 : (1 r 3 2 I I

:2 : 5 3 3 I I

~c

3- (1)(1) 3 - (1)(3) 2-(1)(1)

det A = (-1)1+1 5- (2)(1) 3- (2)(3) 3- (2)(1)

1- (1)(1) 1- (1)(3) 1- (1)(1)

2 o det A= 3 -3

o -2 o

J

l I

r/ SISTEMAS LINEARES r É todo conjunto de m equações li­

neares e n incógnitas, da forma

a11 x1+a12X2+ ... + a1 nXn=b1

a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n Xn = b2

onde: • x1. x2 •... , Xn são as incógnitas • aü são os coeficientes • b1 são os termos independentes

Se bi = O (Vi) o sistema é homogêneo

Classificação Um sistema linear pode ser:

!Determinado (solução única) Possível

lndeteiTlinado (infinitas soluções)

Impossível - não admite solução

Um sistema homogêneo nunca será impossível, pois admitirá pelo menos a solução trivial (0, O, ... , O).

Regra de Cramer Qualquer sistema em que m = n e

D *O (determinante da matriz dos coefi­cientes das incógnitas) é possível e de­terminado.

A solução é única e dada por:

Ex.: Resolver o sistema

l3x + 4y - z = 8

4x + 5y + 2z = 20

x - 2y+3Z=6

3 4 - 1

D = 4 5 2 =30 *0

- 2 3

Dx 30 2 = 30 :. X = D = 30 = 1

I I

: 6 :- 2 3 L • .J

3 4 ~ 8 ~~ I I

: : Dz 90 Dz = 4 5 :2o : 90:. z= 0 =

30 =3

I I

1 - 2 I 6 I L.J

Solução: S = {(1; 2; 3)}

Sistema Escalonado É todo sistema no qual:

• as incógnitas das equações lineares estão escritas numa mesma ordem;

• em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo;

• o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação.

Exemplo:

lx+y+2z=5

OX + y + Z = 3

ox + oy + z = 1

Escalonamento de um Sistema Para escalonar um sistema seguem­

se passos: • Coloca-se como primeira equação do

sistema uma equação com coeficiente da primeira incógnita igual a 1.

• Elimina-se a primeira incógnita de todas as equações, a partir da ~unda equação.

• De1xa-se de lado a primeira equação e repetem-se os passos anteriores para as demais equações.

, --

-L

, .........

-I ........,

"-" Exemplo: A discussão pode ser feita por escalona-

"--- mento. J

<-y+,= -2~ "-.,..; x - 2y - 2z=-1 +

Exemplo: 2x+y+3z=1 +

v Discutir o sistema em função dos ·- j '=~=:::,~

parâmetros a e b.

{ X+y = b "-"

3y + z = 5 + 2x + ay = 6

...........

,._, l <-Y H =-2 Calculamos o determinante (D) do -y-3z = 1 sistema.

"-"' -8Z =8

........ S={(1,2, - 1)} D = =a - 2

2 a ........... Se durante o escalonamento surgir

uma equação do tipo: • 0 # 0 a-2 # 0 '-" ..

Ox1 + Ox2 + ... + Oxn = b a# 2

......... Se b = O: eliminamos a equação e

continuamos o escalonamento. Sistema possível determinado "-../

'-"

Se b ;e 0: conclui-se de imediato que o sistema é impossível.

• D = O :. a- 2 = O

Classificação do Sistema pelo método do a=2

'-" Escalonamento /

{ X+y = b ---@ '- Seja um sistema escalonado de m

equações e n incógnitas. 2x+2y=6. !-J "-'' m = n -+ sistema possfvel determinado

J

l ....._, { X+y=b

~ m < n -+ sistema possfvel e indeterminado

0=6-2b I

Se durante o escalonamento surgir -- uma equação do tipo: Se b = 3 então o sistema é possível indeterminado

'-" Ox1 + Ox2 + ... + Oxn = b com b "" O, en-tão o sistema é impossível. ...._, Se b "" 3 então o sistema é impossí-

Sistemas Lineares com Parâmetros vel

.........,

....._, São sistemas condicionados a parâ-metros inseridos em seus coeficientes .

~

-~.,•,?•t•isr-. .... ____ ~ ANÁLISE COMBINATÓRIA {/ I

A análise combinatória é a parte da Matemática que estuda e desenvolve métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem.

Para estes problemas, usamos dois princípios:

Principio Aditivo

Se um evento pode ocorrer por m ou por n maneiras distintas e indepen­dentes, então para a ocorrência desse evento existem:

m + n possibilidades

Exemplo:

Estou em Curitiba e desejo viaJar para o Recife. Existem 3 empresas de ônibus e 2 companhias de aviação que fazem este trajeto. Escolhendo um ôni­bus ou um avião, de quantas maneiras posso realizar a viagem?

ônibus ou

---1,.• 3 + 2 = 5 maneiras Observação:

avião

As possibilidades foram somadas porque são independentes e alternati­vas, não sendo possível a escolha das duas simultaneamente. Escolhe-se ou um dos ônibus, ou um dos aviões.

Principio Multiplicativo

Se um evento pode ser dividido em duas etapas, em que para realizar a 1 <~ etapa, existem m maneiras e, para reali­zar a 2ª etapa, n maneiras, então para a ocorrência do evento, ou seja, uma das m maneiras e uma das n maneiras exis­tem:

m x n possibilidades

Exemplo:

Estou em Curitiba e desejo viaJar para o Recife. Existem 3 empresas de ônibus que fazem o trajeto de Curitiba a São Paulo e 2 companhias de aviação de São Paulo ao Recife. Escolhendo um ônibus e um avião, de quantas maneiras posso realizar a viagem?

__ _,,.. 3 x 2 = 6 maneiras

Observação:

As possibilidades são multiplicadas porque são realizadas escolhas sucessi­vas. Primeiro de um ônibus e, depois, de um avião.

O trajeto da viagem depende de cada uma delas.

{

'-.. ....._

,-..., ......

r ' '-r­'-'

J

1 '"-'

I v

Fatorial

Dado um número natural n, n 2': 2, chama-se fatorial de n, e indica-se por n!, ao produto de n fatores consecutivos decrescentes de n a 1 , ou seja:

n! = n . (n - 1) . (n - 2) ... 3.2.1

Observação:

OI = 1 e 1! = 1

Exemplos: 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

6! 6.5.4.3! - =--=120 3! 3!

3! - 2! = 3.2.1 - 2.1 = 6- 2 = 4

4! . 2! = 4.3.2.1 . 2.1 = 24 . 2 = 48

Arranjos Simples Dado um conjunto com n elementos,

chama-se arranjo simples dos n ele­mentos dados, agrupados p a p, a qualquer seqüência de p elementos distintos formada com elementos do conjunto. O número de arranjos simples é dado por:

Observação:

nt AP = - -· ­

n (n- p)!

Como arranjos são seqüências, inte­ressa saber a ordem dos p elementos no agrupamento.

Exemplo: Em uma maratona, 1 O corredores

disputam a prova, sendo premiados os 3 primeiros colocados. Quantos resulta­dos diferentes podem ocorrer?

Resolução: Os resultados da prova são seqüên­

cias de 3 elementos (corredores). Se mudarmos a ordem, temos um resultado diferente. Por isso usamos arranjos sim­ples.

3 10! 10.9.8.7! A,o = ( 10 _

3)! = - 7- 1

- = 720 resultados

Permutações Simp/esJ

Dado um conjunto qualquer com n elementos, chama-se permutação sim­ples dos n elementos dados, a qualquer arranjo simples dos n elementos da­dos, agrupados n a n, ou seja:

Observação:

A permutação simples é um caso particular de arranjos simples onde n = p (todos os elementos disponíveis são es­colhidos para formar a seqüência). As­sim,para um agrupamento com 4 ele­mentos, temos:

Exemplo:

Estando 6 pessoas na fila de um Banco, de quantas maneiras podemos ordená-las?

Resolução:

Cada maneira que temos de formar a fila é uma seqüência com todas as 6 pessoas. Isto quer dizer que permutar as 6 pessoas, significa arranjar as 6 pesso­as em 6 posições.

P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 maneiras

Permutações com Repetição Se, na permutação de n elemen­

tos, existirem alguns elementos que apareçam a vezes, ~ vezes, 'Y vezes, ... , o número de permutações com esses elementos repetidos será:

Exemplo:

p a, p, y, ... n

nl

a ! ~I y! ...

Determine o número de anagramas da palavra "BATATA". Resolução:

Cada anagrama é obtido permutan­do-se 6 letras com 3 repetições da letra A e 2 da letra T, logo:

32 6! 6.5.4.3! P

6 = -

1 -

1 = -;---

2 1 = 60 anagramas

3. 2. 3 ..

)

l I

--------------------------------~~---------------------~ -

Permutações Circulares

O número de permutações circulares é dado por:

nl P = - => P = (n - 1 )! c n c

Observação:

Essa fórmula é usada apenas quan­do dispomos elementos ao redor de um círculo.

Exemplo:

De quantas maneiras podemos dis­por 5 pessoas ao redor de uma mesa cir­cular?

Resolução: Pc =(5-1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 maneiras

Combinações Simples Dado um conjunto de n elementos,

chama-se combinação simples dos n elementos dados agrupados p a p, a qualquer subconjunto de p elementos distintos, formado com elementos do conjunto. O número de combinações simples é dado por:

I AP ~ = _ n_._ = __!!_

n p!(n -p)! p!

Observação:

Como combinações são subconjun­tos, não interessa saber a ordem dos p elementos escolhidos no agrupamento.

Exemplo: Em uma sala de aula existem 1 O alu­

nos e deve ser formada uma comissão de 3 alunos. Quantas comissões diferen­tes podem ter?

Resolução:

As comissões são subconjuntos de 3 elementos (alunos) escolhidos entre os

1 O. Se mudarmos a ordem dos alunos, permanecemos com a mesma comis­são. Por isso usamos combinações sim­ples.

3 10! 10.9.8.7!

I

_/ -

c, o= 3!(1 o- 3)! = 120 comissões 3.2.1.7! r

Números Binomiais

Dados dois números naturais n e p, com n ~ p, chama-se número binomial n

sobre p ao número representado por~) e definido por:

(~)= p!(~~p) ! = c~ O número n é denominado numera­

dor do número binomial e p é o denomi­nador ou classe, sendo também chama­do de taxa da combinação.

Exemplo:

(5) 3 5! 5.4.3! 3 = cs = 31(5 - 3)! = 3!2.1 = 10

Conseqüências:

Sendo n um número natural, valem os seguintes resultados:

Binomiais Complementares

Dois números binomiais são comple­mentares se:

• têm o mesmo numerador;

• a soma das taxas é igual a este nu­merador.

-./

-

, "'

' ..._..

c

,_

.._.

"-.../

\......

.........

v ..._,

'-..-/

'\..I

'"-J

"-""'

'-"

"--'

"-./

..._.,

' J

'-'

-...../

..._..

I '-.J

J

1 ~

'-' l v

~

"-..../

___,,

'-"

'--'

j .... 111 -==-------·•""'""" ... ~ .. Então

c~ e c~

são complementares se p + k = n .

Propriedade Dois números binomiais comple­

mentares são iguais, ou seja

p+k = n ~ C~= c~

ou

k = n-p ~ C~=

Exemplo:

c n-p n

c~ = c: ' pois 5 + 3 = 8

Importante

A partir da propriedade anterior, pode-se afirmar que, se dois números bi­nomiais de mesmo numerador são iguais, então suas taxas são iguais ou são complementares, ou seja

C~= C~~ p=koup+k n

Exemplos:

a) c;= c; X = 3 OU X+ 3 = 7 :. X = 4

(iguais) (complementares)

s = {3; 4}

2X + 1 = X - 3 OU 2x + 1 + X - 3 = 1 0

X= -4 X=4 (não convém)

s = {4}

Triângulo de Pascal 1

Os números binomiais podem ser dispostos numa configuração triangular formando o Triângulo de Pascal.

Na mesma linha temos os números binomiais de mesmo numerador e, na mesma coluna, os de mesmo denomina­dor (taxa).

co 2 C' 2 c2 2

co 3 C' 3 c2 3 c3 3

co 4

C' 4

c2 4

c3 4

c• 4

co 5 c~ c~ c~ c: c5 5

ou com os resultados:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Propriedades do Triângulo de Pascal

• cada uma de suas linhas começa e termina com o número 1;

• em cada linha, os números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais;

Exemplo: linhaS

5 10 10 5 1

t t ~ t t Relação de Stifel

Em uma mesma linha, a soma de dois números binomiais consecutivos é igual ao número binomial da linha se­guinte, abaixo do segundo número so­mado, ou seja

c~ + c~· 1 = c~:: Exemplo:

c: + ~ = C!

Essa relação permite construir com facilidade o Triângulo de Pascal.

3

4

5 5

• • • • • •

Soma dos elementos de uma linha A soma dos elementos de uma mes­

ma linha do Triângulo de Pascal é igual a uma potência na base 2 cujo expoente é o numerador desta linha, ou seja

c~+ c~ + ~ + ... + c~-1 + c~ = 2"

Observe a soma v~rificada com os resultados

1 2·0

1 + 1 -------· 21

1+2+1 22

1+3+3+1 ~ 1+4+6+4+1 IJil 24

1 +5+10 + 10+5+1--.25

Soma dos elementos de uma coluna '-/ A soma dos elementos de uma mes­

ma coluna é igual ao número binomial que está na linha e na coluna seguintes ao último número binomial somado.

Soma dos elementos de uma diagonal

A soma dos elementos de uma dia­gonal é igual ao número binomial da li­nha seguinte abaixo do último elemento somado.

r '

/

\

j

1 I

v

=----M ... ._..._-BINÔMIO DE NEWTON /

Denomina-se binômio de Newton a todo binômio da forma (x + a)", com n E

IN. A fórmula do desenvolvimento é:

(x + a)" = C~ a• X' +C:a' x~' + ... +C~a" x•

Pode ainda ser expressa por um so­matório:

(x + a)" = Í,c~ ap x"·P p=O

Exemplo: 3

(x + a)3 = I,c~ .aP .x3-p P=O

Propriedades

• O desenvolvimento de (x + a)" possui n + 1 termos.

• Em (x + a)", os expoentes de a cres­cem de O a n, e os expoentes de x de­crescem de n a O.

• Em cada termo, o expoente de a é igual à taxa da combinação, e o ex­poente de x é igual à diferença entre o numerador e a taxa da combinação.

Assim, se a combinação for C~, en-

tão O termo será C~ . 8 3 .X n-3

Soma dos coeficientes A soma dos coeficientes do desenvol­

vimento do binômio (x + a)" é obtida subs­tituindo as variáveis x e a pelo valor 1. Exemplo:

(2x + y)5 ~ (2.1 + 1)5 = 35 = 243

• Para o desenvolvimento de (x - a)", basta observar que

(x-a)" = [x + (-a)]". Lembrando que se a;?: O, temos que:

(-a)par =+ a e (- a)fmpar =-a

Então, o desenvolvimento vai apre­sentar sinais alternados, sendo o primei­ro termo sempre positivo.

(x -a)"= C~a0 x" - C~a1 x,..1+ C~a2 x,..2-

- C~a3 xn-3 + ...

Termo geral Qualquer um dos n + 1 termos do

desenvolvimento de (x +a)" pode ser ob­tido pela relação:

Tp+1 =c~ . aP. xr>-p

Exemplo: T ,_ ( ~.t) c.~' xv.- r i> -~'1 f 1 6

No desenvolvimento de (x2 + x) ,

calcule: a) o termo em x6

T = CP. xc12 - 3 P>=s • 12 - 3p = 6 p+1 6

P=2

b) o termo independente de x

O termo independente de x é aquele que apresenta expoente nulo.

Termo geral

T = CP.x(12-3p)a0 •12-3p =0 p-tl 6

p=4

TEORIA DAS PROBABILIDADES I

Todos os princípios e fórmulas usa­dos na Análise Combinatória podem também ser usados aqui.

Para este assunto, a diferença é que, agora, não queremos apenas o nú­mero de maneiras de realizar determina­da tarefa, mas, sim, estamos interessa­dos também em descobrir a chance para que aleatoriamente possamos rea­lizar essas tarefas.

No vestibular, precisamos conhecer alguns conceitos:

Extrações de bolas de uma urna

Diversas situações práticas podem ser comparadas com extrações de bolas de uma urna. Por esse motivo, é comum, em probabilidade, testes que possam ser comparados com essa situação.

As extrações podem ser com ou sem reposição.

Extrações com reposição Nessas extrações, cada bola retira­

da é examinada e devolvida à urna antes da extração da bola seguinte.

Extrações sem reposição Nessas extrações, cada bola retira­

da não é devolvida à urna.

Experimentos determinísticos

Denominam-se experimentos de­terminísticos aqueles experimentos cu­jos resultados podem ser determinados antes mesmo de sua realização.

Exemplo: Ao aquecermos a água à pressão

de 1 atmosfera, podemos prever anteci­padamente ·que ela vai ferver quando chegar à temperatura de 10o•c.

Experimentos aleatórios

Denominam-se experimentos alea­tórios aqueles experimentos que repeti­dos várias vezes, nas mesmas condi­ções, apresentam resultados variados,

não sendo possível se determinar ante­cipadamente seus resultados.

Exemplo:

Ao lançarmos uma moeda usual, sabemos que pode cair cara ou coroa. No entanto, não podemos prever anteci­padamente qual vai ser o resultado.

Observação: A teoria das probabilidades estuda

e desenvolve as possibilidades de ocor­rência de experimentos aleatórios.

Na realização de um experimento aleatório, a fim de observar a ocorrência de um resultado qualquer, dois conjun­tos descrevem a situação:

Espaço Amostra/

É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Será representado pela letra maiús­cula E. Em alguns vestibulares, pode ainda ser representado pela U ou pela letra grega n.

Exemplo 1: Descreva o espaço amostrai do se­

guinte experimento: lançar um dado e observar o número obtido na face supe­rior.

• Espaço Amostrai

E = {1; 2; 3; 5; 6;}

n(E) =6

Exemplo 2: Descreva o espaço amostrai do se­

guinte experimento: lançar uma moeda e observar a face voltada para cima.

• Espaço Amostrai

E = {cara; coroa}

n(E) = 2

\ .... ...-

(

I

( -

(

J

l I

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostrai. Assim, os elementos de um evento são também elementos do espa­ço amostrai. No entanto, o evento é for­mado apenas pelos resultados que nos interessam.

Os eventos geralmente são repre-'-../ sentados pelas letras latinas maiúsculas

A, B,C, ...

-Exemplo:

No lançamento de duas moedas, descreva o espaço amostrai e o evento A formado pelos resultados que apre­sentam pelo menos uma cara .

.....__. • Espaço Amostrai

........... E= {(Ca; Ca); (Ca; Co); (Co; Ca); (Co; Co)}

n(E) = 2.2 = 4

• Evento A (pelo menos uma cara)

..._... A = {(Ca; Ca); (Ca; Co); (Co; Ca)} n(A) = 3

Evento Impossível

"--- É o subconjunto vazio do espaço amostrai.

Exemplo: No lançamento de um dado, o evento

formado pelos resu~ados que são maiores que 6 é um evento vazio, pois não existem no dado resu~ados maiores que 6.

Evento Certo

O espaço amostrai também é um evento. Ele é chamado evento certo.

Exemplo: No lançamento de um dado, o

evento formado pelos resultados que são menores que 1 O é um evento certo, pois todos os resultados do dado são menores que 1 O. Com certeza esse evento vai ocorrer.

Evento Complementar

Se A é um evento de um espaço amostr;&E, o complementar de A indica­se por A , é o evento formado pelos re­sultados de E que não pertencem a A.

A = {xl x E E e x E A}

E

Exemplo:

• E = {1; 2; 3; 4 ; 5; 6}

• A = {1 ; 2; 5}

• A = {3; 4; 6}

Intersecção de Eventos

Sendo A e B eventos de um mesmo espaço amostrai E, a intersecção de A e B indica-se por A n B, é um evento for­mado pelos resultados comuns a A e B.

An B = {x e E I x E A ex E 8}

A B

E

Exemplo:

• A = {1; 4; 5}

• B = {3; 5}

• A n B = {5}

União de Eventos Sendo A e B eventos de um espaço

amostrai E, a união de A e B indica-se por Au B, é um evento formado pelos re­sultados de A ou de B.

A u B={x e E /xe Aou x e B}

A B

E

Exemplo:

• A = {2; 5; 6}

• B = {2; 3; 4}

• A u B = {2; 3; 4; 5; 6}

Eventos mutuamente exclusivos Dois eventos A e B são mutuamen­

te exclusivos quando não apresentam resultados em comum, ou seja

A n B= 0

A B

E

Exemplo:

A ={1; 3} e B = {2; 5; 6}

são mutuamente exclus ivos pois A n B = 0 .

Probabilidade de ocorrer Ut7J evento A probabilidade de ocorrer um

evento A de um espaço amostrai E re­presenta-se por p(A), é o número real dado por:

onde

n(A) p (A) = n(E)

• n(A) é o número de resultados fa­voráveis, quanto à ocorrência de A;

• n(E) é o número de resultados possíveis do experimento.

Exemplo: No lançamento de dois dados

usuais e honestos, calcule a probabilida­de de se obterem dois números cuja soma seja 8.

• Espaço Amostrai

(1 ;1 ); (1;2); (1;3); (1 ;4); (1;5); (1;6)

(2;1); (2;2); (2;3); (2;4); (2;5); (2;6)

E= (3;1); (3;2); (3;3); (3;4); (3;5); (3;6)

(4;1); (4;2); (4;3) (4;4); (4;5); (4;6)

(5;1); (5;2); (5;3); (5;4); (5;5); (5;6)

(6;1); (6;2); (6;3); (6;4); (6;5); (6;6)

n(E) = 6.6 = 36

• Evento A (soma 8) A = {(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5;3); (6, 2)} n(A) =5

• Probabilidade de A n(A) 5

p(A) = n(E) = 36

Propriedades das probabilidades As seguintes propriedades são veri­

ficadas em qualquer experimento aleató­rio:

• p(E) = 1 (evento certo)

• p( 0 ) =O (evento impossível)

• O ~ p(A) ~ 1 (qualquer evento)

• p(A) + P(A) = 1

·'--

--

(

'-'

~

' '--'

........

-......./

-......-'

..._.,

v -......./

'--'

._....

""---"

'-.../

'"-...-

..__,

-....../

J

1 ..__..,

\...._...

I '-"""

...........

v

....../

.._,

~

... ,

A probabilidade de ocorrer o evento A somada com a probabilidade de não ocorrer é igual a 1 (100%) .

Adição de probabilidades

A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das proba­bilidades de A e B, menos a probabilida­de da intersecção de A com B.

A B

p (A u B) = p(A) + p(B) - p(A n B)

Exemplo: No lançamento de um dado, calcule

a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3.

• Espaço Amostrai

E = {1 ; 2; 3; 4; 5; 6}

n(E) = 6

• Evento A : A = {2, 4, 6}

n(A) = 3

• Evento B : B = {3, 6}

n(B) = 2

• Evento A n 8: A n B = {6}

n(An B) =1

• Probabilidade de A n B

p(A u B) = p(A) + p(B) - p(A n B)

3 2 .11 p(Au B) = - + - - -

6 6 6

4 2 p(Au B) =- = -

6 3

Eventos Independentes Muitas vezes o fato de sabermos

que um determinado evento ocorreu al­tera a probabilidade de ocorrência de outro.

Dois eventos são independentes quando a informação da ocorrência de um evento não altera a probabilidade de ocorrência do outro.

Matematicamente a independência entre dois eventos A e B pode ser ex­pressa pela seguinte relação:

p(An B) = p(A). p(B)

Exemplo:

No lançamento de um dado hones­to, considere os seguintes eventos:

A o resultado é ímpar;

B o resultado é menor que 3

Os eventos A e B são independen-tes?

• Espaço Amostrai

E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

n(E) = 6

• Evento A : A = {1; 3; 5}

n(A) = 3

3 p(A)= -

6

J

I I

• Evento B : B = {1; 2}

n(B) =2

2 p(B) = -

6

• Evento A r. 8: A r. B = {1}

n(A rt B) = 1

1 p(A rt B) = -

6

3 2 1 • p(A) . p(B) = 6 . 6 = 6

logo, A e B são independentes pois p(A r. B) = p(A) . p(B)

Exemplo: No lançamento de um dado e uma

moeda, calcule a probabilidade de obter­mos um número ímpar no dado e cara na moeda.

• Espaço Amostrai

(dado)

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Evento A : A = {1, 3, 5}

• Probabilidade de A

3 p(A)=-

6

Observação: • Espaço Amostrai (moeda)

Eventos independentes não são E ={cara, coroa} eventos mutuamente exclusivos.

Multiplicação de probabilidades

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e inde­pendentes, a probabilidade de ocorrên­cia desse acontecimento é dada pelo produto das probabilidades dos eventos componentes.

p = p(A) . p(B) . p(C) ...

onde

• p é a probabilidade resultante;

• p(A), p(B), p(C), ... são as probabili­dades dos eventos sucessivos e inde­pendentes.

• Evento 8 : 8 ={cara}

• probabilidade de B

1 p(8) =-

2

• probabilidade resultante

p = p(A) .p(8)

r ---

'-"

J

I ......-'

"--' I

...........

...__,

'-...-

'-

GEOMETRIA PLANA Teorema de Tales

"Um feixe de retas paralelas determi­na sobre duas transversais quaisquer duas sucessões de segmentos direta­mente proporcionais."

N2 de diagonais D =c~ - n ou 0

n(n - 3) =~

Soma dos ângulos internos Si = 180° (n - 2)

Soma dos ângulos externos Se = 360°

• independa do n2 de lados

+-+-----+--fi-• u Exemplos:

Exemplo: Sendo r, s e t retas paralelas, deter­

minexey.

01 . Qual é o polígono convexo em que o n2 de diagonais é o dobro do nº de lados?

Sol: O =2n~

n(n- 3) 2n=~ ~ 4=n-3

l n = 7l (pentágono)

02. Um polígono convexo tem 1080° +-----J~-~----l,__-+ s como soma dos ângulos internos.

6 X 12 2 =1=-y

6 X 2=1

2x = 6 => I x = si

3 12 T= y

3y = 12 =>I Y= 41

Polígonos Convexos

Calcule o n2 de lados.

Sol: 1080° = 180~ (n-T) n-2=6 ~ n = 8 (octógono)

Triângulos

Propriedades Gerais

Teorema de Tales:

1•) A soma dos ângulos Internos em qualquer triângulo é Igual a 180°.

A

" " " A + B +C=180°

21) Em um triângulo, ao maior lado se opõe o maior ângulo e vice-versa.

31) Em um triângulo, qualquer lado é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença.

,.A lb - cl<a<b+c

L__~ Exemplos:

Determinar o valor de c para que exista o triângulo abaixo:

sol: 14- 81 < c < 4 + 8

·=4 A . l4<c<121

~ Triângulo Retângulo: Relações Métricas

A

b

a~ hipotenusa b e c~ catetos h ... altura relatrva

á hipotenusa

I a2 = b2 + ~~ (Teorema de Pitágoras)

área: j S = b:!c I ou~ comparando I b . c = a . ij

Ainda

~ Exemplo: Determinar os demais ele­

mentos do triângulo abaixo.

c

n = 32

. a sol: a = m + n = 50 m *

b2 =18.50 ~ b q om•

c2 =32.50 ~c=40m*

"'/ ' 150. h= 30. 40 ~ Ih = 24~m· ,,__ .

S=40230~S=600m2*

Triângulo Eqüilátero

Fórmulas

I h = e: I

I r =~ . h I

~ l s=~

i I

Exemplo: Num triângulo eqüilátero, o apótema vale 3 em. Calcule os demais elementos:

Sol: R = 2 . 3 = 6 em * h=R+r=9cm*

h= e: ~ e: 613cm *

S - (613l..f3 = 2713 cm2 * - 4

Quadriláteros

Paralelogramo

Um quadrilátero é classificado de paralelogramo se, e somente se, possuir os lados opostos paralelos:

.I

1 !

Tipos especiais de Paralelogramos: \....... Retângulo, Quadrado e Losango.

Retângulo

~b l s=a.bl , a \

'- Quadrado Fórmulas

ld=H2 1

Trapézio I Um quadrilátero é classificado como

trapézio se, e somente se, possuir dois lados paralelos e dois lados não paralelos.

b2 I R=~ =~ Os fados paralelos são chamados

2 2 '--' bases do trapézio.

I•= ~ I ÁREA; I b, +b, I ls=t2 1 s =----r- .h "---' Losango

Um quadrilátero é classificado de lo­..__. sango se, e somente se, possuir os qua­

tro lados iguais . ......,

- Exemplos:

"-./ 01. Um quadrado está inscrito num cír­culo de raio igual a 2f2 em. Calcule a área deste quadrado. c--'· 2R = 4f2 como d = 2R= ef2 ~- 2 2 e-.12 =4f2.Daíe=4eS=4 =16cm

02. Num losango, o lado vale 5 em e a diagonal maior 8 em. Calcule a área Sol:

Por Pitágoras x = 3 em e d = 6 em

Exempfo:Cafcufar a área do Trapézio abaixo:

PoÍ pitágr as Sem Sol: h = 4

h~ ,j<-- 8 em L=y;J I

3 Então, S = ~ . 4 = 26 cd

Hexágono Regular

Fórmulas

Jr= e 2~ I * É a junção de 6 triângulos eqüiláteros I s _ 6 e 2 • ~ I igua1s - • 4

Um hexágono regular está inscrito num cí rcufo de raio f2 em. Calcule sua área.

Sol: Como e = R ~ e= f2

S = 6 < -../2 t .,f3 = 3~ cm2

.J

l I

--------------------------------------------~~~

Circunferência e Cfrculo Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos num plano eqüidistante de um ponto chamado centro. Círculo: é a região limitada pela circun­ferência.

Comprimento

R IC=21tR I - ----1

Área:

Exemplo:

04. (PUC - PR) - Na figura, as 4 semicircunferências tangenciam-se 2 a 2, formando urna flor. Sendo 4 em o lado do quadrado, qual a área da região hachurada?

I

Sol: Sh = S quadrado-S flor

Área da flor:

1t22 2 . 2 s1 =-;r - - 2- = 1t- 2

S flor = 8 (7t - 2) = 81t - 16

Sh = 42 - (& - 16) = (32 - 8Tt)cm2

GEOMETRIA DE POSIÇÃO V Elementos Geométricos Primitivos

Ponto, reta, plano e espaço.

Postulados

a) por um ponto passam infinitas retas; b) por urna reta passam infinitos planos; c) um ponto da reta divide-a em duas

semi-retas; d) urna reta do plano divide-o em dois

semi-planos; e) um plano do espaço divide-o em dois

semi-espaços.

Determinações

(elementos que individualizam a reta ou plano)

Urna reta é determinada por dois pontos DISTINTOS.

Um plano é determinado por: a) três pontos NÃO COUNEARES; b) urna reta e um ponto FORA dela; c) duas retas concorrentes; d) duas retas paralelas distintas.

Posições Relativas

Duas retas podem ser: COPLANARES: quando é possível ad­mitir um plano contendo as 2 retas. Sen­do coplanares podem ser: a) Paralelas: não têm ponto em comum.

I ·7 b) Concorrentes: quando têm um só

ponto em comum. Interceptam-se num ponto.

Obs.: Quando, além de concorrentes as retas formam ângulos retos, dizem-se PERPENDICULARES.

'-

)

l !

NÃO COPLANARES: quando não exis­te plano que possa conter as duas retas simultaneamente. Neste caso, as retas não têm ponto em comum e são chama­das REVERSAS.

s

"Uma condição necessária e suficien­te para que uma reta seja paralela a um plano é que ela não esteja contida no plano e seja paralela a uma reta deste."

1/1! Se s c a, r ct a, r 11 s => r 11 a

Reta Perpendicular a Plano Uma reta perpendicular a um plano

será ortogonal a todas as retas desse Ângulo entre duas Retas Reversas plano. (Será perpendicular apenas

É o ângulo obtido traçando paralelas àqueles que passam pela sua intersec-às retas dadas por um ponto qualquer ção com o plano) r

;E..:;~~~:··~ & .. -+[I __ · -+~--y+-j -1---,

caracterizada quando duas retas for· Uma condição para que uma reta mam ângulo reto de qualquer forma seja perpendiculár a um plano: (reversas ou concorrentes). "Uma condição necessária e suficien-

A condição perpenclcUares apenas te para que uma reta seja perpendicular a quando além do Angulo reto houver a I~ um plano é que forme ângulo reto com ta secção. (apenas sendo COIICOt'UIIIies) duas retas Concorrentes do plano."

Uma reta e um plano Possibilidades

I j Dois Planos podem ser j_ JY - · a) Paralelos - -

a) Reta contida no plano (Ex\: r c a) / 13 P/ Tem todos os seus pontos no plano. Distintos: não se cortam. Não é considerada como paralela ao Nenhum ponto em comum. plano. EX.: (r n a= r) Coincidentes: têm todos os pontos

b) Reta paralela ao plano (Ex.: t 11 a) em comum/L. I 7/ Quando nunca encontra o plano.

« = ~ (Ex.:tna = 0)

c) Incidente ou concorrente ao plano (Ex.: S n a = P) Fura o plano num ponto.

Uma condição para que uma reta seja paralela a um plano:

b) Incidentes ou Concorrentes: inter­ceptam-se segundo uma reta.

J

1

I

Obs.: Quando a projeção de um plano sobre o outro for uma reta, diz-se que os planos são PERPENDICULARES.

Uma condição para que dois pla-nos sejam paralelos.

"Uma condição necessária e sufi­ciente para que dois planos distintos sejam paralelos é que um deles con­tenha duas retas CONCORRENTES, paralelas ao outro."

I! ~ / L__/~1

se r c a, s c a, r e s são concorren-tes, r I/ ~. s 11 ~ ~ a I/ ~

"Uma condição necessária e sufi­ciente para que dois planos distintos sejam perpendiculares é que um de­les contenha uma reta perpendicular ao outro.n

Ser c a, er.l~ ~ a.l ~ Se uma reta é perpendicular a um

plano, todos os planos que a contêm são perpendiculares a esse plano.

Se uma reta é oblíqua a um plano, existe um único plano que a contém e é perpendicular ao plano considerado.

Exemplos:

01. (UFPR) - Nas afirmações seguintes, r, s e t representam retas no espaço e a representa um plano no espaço. Some as afirmações corretas:

01) Se r é paralela a s e s intercepta t, então r necessariamente inter­cepta t.

02) Se r é paralela a a, então todas as retas que pertencem a a são paralelas a r.

04) Se r é paralela a a, existem infi­nitas retas pertencentes a a que são paralelas a r.

08) Se r e s são paralelas a a, então r é necessariamente paralela as.

16) Se r é perpendicular a s e s é per­\[ pendicular a t, então pode ocorrer

que r seja perpendicular a t. 32) Se r é perpendicular a a, então '-./ todos os planos que contêm r

são perpendiculares a a. 64) Se r é perpendicular a a, então

( toda reta coplanar com r é tam­bém perpendicular a a.

02. (PUC- PR) -Assinale a alternativa correta:

a) Uma condição necessária e sufi­ciente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas de um sejam paralelas ao outro.

b) No espaço, duas retas perpendi­culares a uma terceira são sem­pre paralelas entre si.

c) Se dois planos se interceptam, um terceiro plano que intercepta um dos primeiros deve sempre inter­ceptar o outro.

d) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpen­dicular a este último plano.

e) Se uma reta é paralela a dois pla­nos, então esses planos são para­lelos. Respostas: 01 . 52 (04, 16, 32) 02. alternativa O

----------------------------------------

GEOMETRIA ESPECIAL "--- Poliedros Convexos

'--' Um poliedro convexo é caracteriza-do pela reunião de um número finito de

'---" polígonos planos onde:

1) dois polígonos nunca estão num mesmo plano;

2) cada aresta de polígono sempre está em dois e somente dois po­lígonos.

face (F)

vértice (V)

Relações:

Relação de Euler Em todo poliedro convexo de V vérti­

ces, A arestas e F faces vale a relação

s ti = 360° . (V - 2)

Ainda é válida a relação: I N = 2A I onde N é o número total de

lados das faces separadas.

Exemplo: Um poliedro convexo é com­posto de 4 faces pentagonais e 6 faces hexagonais.

Calcule o n2 de vértices: Sol: F = 10 4LJ +GÜ N = 4 x5 +6x6 =56~ 56=2A~ I A = 281

V +F=A+2~ V+ 10=28+2~V=20f

J Poliedros Regulares

Os poliedros regulares são cinco:

~ ~

@ ' ' ' ;L

'

tetraedro

hexaedro

octaedro

dodecaedro

icosaedro

Hexaedro Regular (cubo)

V=4 A=6 F=4

V=8 A= 12 F=6

V=6 A= 12 F=8

V=20 A =30 F = 12

V= 12 A=30 F = 20

V= volu me da pirâmide

d = a "2 D = a -5 St = 6a2 V=a3

Exemplos:

01. Um tetraedro regular tem aresta igual a --16 em. Calcule o volume e a área.

Sol . St a2 --13 _rn 2 ·· =4 - 4 - =6v3 em

h - a..f6 - rs o rs - 2 v - 1 a2--/3 - 3 - 3 - ~ - 3 - 4 - o h

v -.!_ (-J6)2

-13 2 - _/n3 3 - 3 4 . -'~ "'em

02. Uma secção num cubo determina um triângulo eqüilátero de ár3la S. Sendo o volume do cubo 8 m , cal­culeS.

Sol:

a

a3 = 8 => a = 2 em e= a.J2 (diagonal

a da face)

OCTAEDRO REGULAR

V = 2 • V pirâmide

I OUV;~ I Exemplo: Um octaedro tem área total

igual a 2-13 cm2. Calcule seu volume.

a2-.J3 I Sol: 2-13 = 8-4

- ~ a= 1cm

a3~~ ~ V =-3- = ~

Prisma Reto

Apresenta bases p&igonais iguais e paralelos. /, / ~•

~ , ~= 2Pb . H

H

' ' ' ' ' ' ' ' ' ~ ' ' ' --------- ---

"''----- _ _ _J/

V=Sb . H 2P5 = perímetro

da base

Obs.: Quando for um prisma regular, a base é um polígono regular.

Ex.: Um prisma hexagonal regular tem a altura igual a 6 em e a base inscrita num círculo da área 47t crn2. Calcule o volume e a área lateral. Sol:

em ' H;6

t t t

47t = 1tR2 => R = 2 em Como R =e=> e= 2 em

V = Sb H = 6 e 2{:3 H 4 .

v - 6 2213 6 - 4 .

V= 36 ..f3 cm3

st = 2pb . H = Ei . H st = 6 . 2 . 6 = 72 em2

Paralelepípedo Retângulo ou Ortoedro

a

,....-----"---

(a+b+ c'? = a2+ b2 + c2+2a + 2bc + 2ac

Ex.: Um ortoedro tem a soma das di­mensões igual a 7 em e a diagonal do sólido igual a 6 em. Calcule a área total.

a

Sol: a + b +c = 7

(a + b + c)2 = [)2 + St

72=62 + St ~ St = 13cm2

--- ~

J

l !

Cilindro Circular Reto ou de Revolução

r h

L R

As fórmulas são as mesmas do prisma reto

2p = 27tR Sb = 7tR2

se= 2p. h ~ se= 21tRh

s 1 = se + 2 . sb ~ s1 = 27tRh + 21tR2

2 V=Sb . h ~ V=7tR . h

Cilindro Eqüilátero: Quando H=2R

St= 47tR2 5t =&R2 V= 21tR3

Exemplo: Num cilindro eqüilátero a área total é igual a 67tcm2.

Calcule o volume. A 67t = 27tR . H+ 27tR2 = &R2

~H =2A ~ IR=11

V= nR2 . H= n 12. 2 V =l2n cm31

Pirâmide Regular Apresenta uma base regular e a al­

tura incide no centro da base.

St=PtJ.ap

~ St=St+Sb

1 v=3 St,.h

ap = denominado apótema da pirâmide

Ex.: Uma pirâmide triangular regular tem volume unitário e altura -./3 u.c. Cal-cule a aresta da base.

Sol:

V - .!. Fvs H - 3 4 . 1 _.!. F -./3 ~3

- 3 4 . \f.j

f2=4 I e=2 u. cl

Cone Circular Reto ou de Revolução

As fórmulas sãó as mesmas da pirâ­mide regular.

st = nR . g

g St=Sh 7tR2

Cone Eqüilátero: Quando I g = 2 R I ~=2nR2

St = 37tR2

1 v =sn R3 -./3

Exemplo: (UFPR) - NLrn cme drruar reto o ciârretro de 00se é 1 O em e a geralriz 13cm. Calcule o volume.

132=H2 + s2~ H2 = 144 ~ I H = 121

V =~nR2.H=~ns2.12

I v = 100 n cm31

Esfera

S = 47tR2

4 V= 31tR3

Exemplo: Numa esfera de raio 5 em foi feita uma secção a 3 em do centro.

Calcule a área desta secção.

p/ Pitágoras: r = 4

S = nr2 = 16n cm2

PARTES DA ESFERA Fuso Esférico

Cunha Esférica

Zona Esférica

Calota esférica

~ ~

TRONCOS Tronco de Pirâmide

Tronco de Cone

S=27tRh

S = 27tRh

5t = {7tR + 7tr) .g "---

S1 = 1tR2 + nr2 + {nR + nr) g 1 _,

h V = 3(JtR2 + nr2 + ltRr) '----

v-

\....)

\..J

0

v

v \..)

'-..../

I v \_)

J

1 u

I \..._;-

;0

\.._)

v \_I

~

\...../

\.~'

/

ESTUDO DOS POLINÔMIOS ± I O estudo dos polinômios tem por ob­

jetivo maior o desenvolvimento de ope­rações, mecanismos e propriedades que permitam a resolução de equações poli­nomiais (algébricas).

Em nível de vestibular, deve-se dar ênfase para a divisão de polinômios.

Polinómio Um polinômio, na variável x, é uma

função definida pela relação

P(X)=Srrlfl+~1 ~1 +3n-2X~+- +3jX+ll()

onde: • an, an--1. an--2 , ... , a1 e ao

são números reais denominados de coeficientes

• n, n - 1 , n - 2, ... são números naturais

• x é variável complexa.

Exemplos:

P1(x) = x3 - 2x2 + 7x + 5

P2(x) = 320 + 7x3-2x2

P3(x) = 2x2 + 3x + 1

P4(x) =4X +3

P5(x) = 41

Grau de um Polinômio É o maior expoente do polinômio

dado, e representa-se por gr(P).

Observação: Se P(x) = O, não se define grau do

polinômio.

Exemplos:

P1(x) =x3- 2Yl- + 7x + 5 :} gr(P1) = 3 P2(x) = 32J<4 + 7x3- 2:Yl-:} gr(P2) = 4

P3(x) = 2x2 + 3x + 1 :} gr (P3) = 2

P 4(x) = 4x + 3 :} gr (P 4) = 1 P5(x) = 41 :} gr (Ps) = O

Valor Numérico O valor numérico de um polinômio

P(x) para o número a é igual a P(a), que se obtém substituindo a variável x no polinômio por a.

Exemplo:

·• P(x) = x3-7x

P(2) = 23- 7.2 = - 6

Importante:

Quando o valor numérico do polinô­mio P(x) para x = a é igual a zero, então a é denominado raiz ou zero do corres­pondente polinômio.

P(a) = o Ç:> a é raiz de P(x)

Igualdade de Polinômios

Dois polinômios P1(x)e P:z(x) são iguais ou idênticos quando assumem va­lores numéricos iguais para qualquer va­lor comum atribuído à variável x, ou seja,

P1(x) = P:z(x) Ç:> P1(a) = P:z(a)

paraa E C.

A condição necessária e suficiente para que dois polinômios P1(x) e P2(x) sejam iguais é que os coeficientes dos termos semelhantes sejam iguais entre si.

Ilustração:

n n-1 2 x P1(x) = anx + an-1x + ... + a2x + a1 + ao

P2(x) = bnx" + b'n-1xn-1 + .... b2xl + b1 x + bo

P1 (x) = P2(x)

n sn=bn; &n-1 = bn-1; ... ; 82 = ~; 8 1 = b1; ao=bo

J

Polinômio Identicamente Nulo Um polinômio P(x) é denominado de

identicamente nulo quando possui todos os seus coeficientes nulos.

Ilustração:

P(x) = anx" + an-1xn-1 + ... + a2 x2 + a1x +ao

P(x)=O

8n = Sn-1 = ( .•. ) = 32 = 31 = S0 = 0

Multiplicação de Polinômios A multiplicação de polinômios é efe­

tuada utilizando-se a propriedade distri­butiva da multiplicação em relação à adi­ção ou subtração.

Exemplo:

P1(x) = 2i3-4x + 1

P2(x) = 3x + 4

• P1(x) . P2(x) = (2x3 - 4x + 1). (3x + 4)

P1(x). P2(x)= sx4+ax3-12Jt2-16X+3x+4

P1(x). P2(x)=sx4+sx3-12x2 -13x+4

Divisão de Polinômios Dividir um polinônlo P(x) por um ou­

tro polinômio D(x) consiste em obter dois polinômios Q(x) e R(x) tais que

P(x) I D(x) R(x) Q(x)

onde: (1) P(x) = D(x). Q(x) + R(x) (2) gr(R) < gr(D) ou R(x) = O.

Observação:

P(x) - dividendo D(x) - divisor Q(x) - quociente R(x)- resto

A divisão entre polinômios é efetua­da utilizando-se o método das chaves.

Exemplo:

x4- 7x3+fix2 +5X-3Jt+2x-3 - x4 - 2x3+3x2 -9x+27

-9x3+ 9x2+ Sx + 9x3 + 18x2- 27x

27x2_22x-3 -27x2- 54x + 81

-76 X+ 78 Quociente: Q(x) = x2_ 9x + 27 Resto: R(x) = - 76 x + 78

Dispositivo Prático Quando o divisor for um polinômio

do 12 grau da forma x - a ou x + a, ...... pode-se obter o quociente e o resto da ....__ divisão através do Dispositivo de Briot­Ruffini: este processo opera somente com os coeficientes. Exemplo:

P(x) = 3x3-7x~ + Sx + 1 x-2

2 I ~ -7 5 -1 3 7

Q R

Q(x) = 3x2 -1 x + 3 R(x) = 7

Divisão de um Polinômio por Binômio A divisão de um polinômio P(x) de

grau n ~ 1 por um binômio do 12 grau !XJde ser efetuada através do método das chaves, ou do dispositivo prático de Briot­Ruffini ou ainda pelo método dos coefi­cientes a determinar.

Entretanto, em alguns problemas, é necessário o cálculo apenas do resto, e isto pode ser feito conforme o teorema do resto.

Teorema do resto

..... ..-

O resto da divisão de um polinômio ......... P(x) por um binômio do 1 Q grau do tipo x - a é igual ao valor numérico do poli­nômio P(x) para x = a, ou seja,

R= P(a)

'-;

J

l I

Verificação P(x)l x - a R Q(x)

l P(x) =(x-a). O (x) +R

x =a-+ P(a) = (a - a). O( a) + R P(a) = O. O( a) + R P(a) = R

Exemplo: P(x) = 2>é3- 5x + 7 x - 2 R= P(2) R =2 .23- 5.2+ 7 R= 13 2 I ~ ~ -; 1

73

Teorema de D' ALEMBERT Um polinômio P(x) é civisível pelo bi­

nônio x-a, se e sorrente se, P(a) =o. Verificação

P(x)~ O Q(x)

l P(x) = (x - a) . Q(x)

x = a -+ P(a) = (a- a) . O (a) P(a) = O . Q(a) P(a) = O.

• Generalização: O resto da divisão de um polinômio

P(x) por um binômio do 111 grau, da for­ma ax + b, é igual ao valor numérico de P(x) para a raiz do binômio, ou seja,

Verificação

b R= P(- a )

P(x) I ax+ b R Q(x)

P(x) = (ax + b) . Q(x) +R b b b b

X= - -+ P(- )= [é(- -) +b].Q~ )+R a b a a b a

P( - - ) = (- b + b) . O(- - )+ R a b a

P(-- )=R a

Divisão pelo prodljtO (x-a) (x- b) Se um polinômio P(x)é divisível se­

paradamente pelos binôr'rlos x - a e x - b, com a * b, então P(x) é divisível pelo produto (x - a) . (x - b).

Verificação

•P(x) I x - a R1 Q1(x) P(a) =O (D'Aiembert)

•P(x)~ R2 Q2(x) P(b) =O (D'Aiembert)

•P(x) 1 (x-a) (x - b) R Q(x) P(x) = (x - a) (x - b) . Q(x) + R

P(a) = P(b) =O= R

Logo R = O Observação:

A recíproca do teorema acima é ver­dadeira, ou seja:

Se um polinômio P(x)é divisível pelo produto (x-a) . (x - b), então P(x) é civi­sível separadamente por x - a e por x-b

Verificação

P(x) 1 (x - a) (x-b) O Q(x)

• P(x) = (x-a) . (x - b) . Q (x)

•x = a -+ P(a) =(a-a) (a-b). Q(a) P(a) =O (divisível por x-a)

• x = b-+ P(b) = (b- a) (b- b). Q(b) P(b) = O (divisível por x - b)

NÚMEROS COMPLEXOS (/ I

No conjunto dos números comple­xos, além de todos os números reais já conhecidos, incluímos também as raízes de números negativos.

Portanto, o conjunto dos números complexos é uma ampliação do conjunto dos números reais.

O conjunto dos números complexos foi formado admitindo-se a ex istência da unidade imaginária.

Unidade Imaginária

A unidade imaginária dos números complexos, representada por i, é a raiz quadrada da unidade negativa, ou seja:

i= --1-1 Elevando ao quadrado ambos os

membros da equação, temos:

i2 = - 1

Observação:

Na resolução de uma equação do 22 grau, com discriminante negativo (L\ < O), as raízes complexas imaginárias são obtidas a partir da unidade imaginá­ria. Veja:

~ -6X+ 13 = 0

- b ± ~b2 -4. a c x = (Bháskara)

2a

-(-6) ± ~(-6)2 - 4. 1. 13 X= 2. 1

6 ± .J-16 X= - - 2- -

6 ± ~16i2 X=--2- -

6±4i x= - -

2

x1 = 3 + 2i ou x2 = 3 - 2i

Observando os resultados, podemos afirmar que todos os números comple­xos são compostos de duas partes. Uma delas é real, e a outra é imaginária.

Fonna Algébrica

Todo número complexo Z pode ser representado pela forma algébrica

Z=a+bi

onde a e b são números reais.

Observação:

Na forma algébrica, a é a parte real e b é a parte imaginária do número com­plexo Z, ou seja:

{a: parte real

a + bi b: parte imaginária

Exemplo:

z = 3- 8i

Re (z) = 3 e lm (Z) =- 8

Importante:

Para Z = a + bi, temos:

• a = o e b* o ~z é Imaginário puro

• b = O ~ Z é real

• b *o ~ Z é imaginário

Exemplo:

Z = (x - 1) + (y - 5)i

• x = 1 e y * 5 ~ Zé imaginário puro.

• y = 5 ~ Z é real.

• y * 5 ~ Z é imaginário.

Conjunto dos números Complexos

Como o conjunto IR dos números re­ais é subconjunto do conjunto C dos nú-meros complexos, todo número real '--'"'

.._, também é um número complexo.

c

Observação:

A diferença C - IR resulta no conjun­to dos números imaginários.

Igualdade de números complexos Dois números complexos são iguais

se, e somente se, têm respectivamente as mesmas partes reais e as mesmas partes imaginárias, ou seja:

Z1 = a + bi e ~ = c + di

Z1=~~ a = c e b = d

Exemplo:

Sendo Z um número complexo e i a unidade imaginária, resolva a equação:

Z + iZ =3 + 7i

'-" Resolução:

Z = a+ bi ~(a+ bi) +i . (a+ bi) = 3 + 7i

a + bi + ai + bi2 = 3 + 7i

y + (a + b) . i = 3 + 7i

y YY {a - b = 3 a+b= 7 ~a=Seb = 2 .. z = S+2i

Operações na Fonna Algébrica

Adição e Subtração

A soma (ou diferença) de dois núme­ros complexos é obtida através da soma (ou diferença) das partes reais e das partes imaginárias, ou seja:

Z, = a+ bl e z. = c + di Z, + Z. = (a + bi) + (c + di) = (a+ c) + (b + d). i Z, - Z. = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d). i

Exemplo: Z1 = 3 - si e ~ = 4 + i z1 + z2 = (3- Si) + (4 + i) = 7- 4i z1 - ~ = (3- si) - (4 + i) =- 1 - si

Multiplicação O produto de dois números comple­

xos é obtido através da propriedade dis­tributiva usual para expressões reais.

Exemplo:

z1 = 3 - i e ~ = 7 + 2i

z1 . z2 = (3 - i) . (7 + 2i)

z1 . ~ = 21 + 6i - 7i - 2i2

z1· ~ = 23-i

Conjugado de um complexo O conjugado de um número CQ_mple­

xo Z = a + bi, rep&senta-se por Z, é o número complexo Z = a - bi.

Z =a + bi ~Z = a - bi

Exemplos:

z = 4 - 8i ~ z = 4 + 8i Z=7 ~Z=7 Z=2i ~Z=-2i

Propriedades do conjugado

Para quaisquer números complexos Z1 e ~. valem as propriedades:

z1 + z2 = z;-+ z2

(Z")= (z)"

Divisão A divisão entre dois números com­

plexos é efetuada multiplicando-se e di­vidindo-se o quociente dado pelo com­plexo conjugado do denominador, ou seja:

Exemplo:

~- (3- i) (2- Si) _ 2 + Si- (2+ Si) . (2- Si)-

6 - 1Si - 21 + Si2

22 - (5i)2

Potências de I

1-17i

29

1 17. - - - 1 29 29

As potências do tipo i", com n natu­ral, se repetem periodicamente:

rio = 1

~ i1 =i

li2 = -1

i3 = i.i2 =i.(-1)=- i

r i4 = i2 .i2 = (-1).(-1) = 1

~ i5 = i4 .i = 1.i = i

li6 =i4.i2 = 1.(-1) = - 1 . i7 = i4 . i3 = 1.(-i) =i

E assim sucessivamente.

Desta forma, existemJapenas quatro resultados possíveis para as potências de i. Conhecendo esses resultados, pode-se descobrir o resultado de uma po­tência com expoente muito maior. Veja:

i4003 = (i4)1000. i3 = 11000.(-i) = - i

Conclusão

Para um expoente maior ou igual a quatro, basta dividirmos por 4 e tomar­mos o resto, ou seja:

i" = i' onde r é o resto da divisão n I_A_

Exemplo:

4003 4

3 1000

·4003 . 3 . I = I =-1

Módulo de um complexo O módulo de um número complexo

Z = a + bi, representa-se por IZI, é o nú­mero real não negativo dado por:

IZI = ~a2 +b2

Exemplo:

Z=4 - 3i

IZI = ~42 + (- 3)2

IZI = 5 Observação:

O módulo de um número complexo é a distância até a origem. Assim, números complexos que têm maiores módulos es­tão mais afastados da origem e, analoga­mente, aqueles que têm menores módu­los estão mais próximos da origem.

Norma de um complexo

A norma de um número complexo Z = a + bi, representa-se por N (z), é dada por:

Exemplo:

Z=4-3i

N(z) = 42 + (-3)2

N(z) = 25

.......

J

1 I

Propriedades do módulo

O módulo de um número complexo verifica as seguintes propriedades:

• IZI~O

• IZ1 • Z21 = IZ1 1.1~1

· /z' /= jz, j (Z *o) z2 iz21 2

• IZI2 = Z. Z

• IZI = IZI

• IZI" = IZ"I, n e IN

Observação:

Como todo numero real é também um número complexo, a definição de módulo e suas propriedades são válidas também para números reais.

O plano de Argand-Gauss

Os números complexos podem ser representados por pontos de um plano, onde se estabelece uma origem e uma unidade de medida.

Em homenagem aos seus criadores, este plano é chamado de plano de Ar­gand-Gauss.

A cada número complexo a + bi te­mos associado um único par ordenado (a, b) e, reciprocamente, a cada par or­denado, um único número complexo.

a+ bi H (a, b)

Convenciona-se que a parte real do número complexo será marcada no eixo das abscissas (eixo x) e que a parte ima­ginária será marcada no eixo das orde­nadas (eixo y).

Eixo imaginário

b P(a, b)

Eixo real

Observações: f

• O número zero (O + Oi) será represen­tado na origem (0, O).

• O ponto de coordenadas P (a, b) re­cebe o nome de afixo do número complexo Z.

• A distância da origem ao afixo é o mó­dulo do número complexo, sendo re­presentado pela letra grega p .

Aplicando o teorema de Pitágoras podemos concluir que:

p = IZI = .Ja2 + b2

• O ângulo formado pelo semi-eixo po­sitivo das abscissas com o segmento de reta OP, medido no sentido anti­horário, chama-se argumento do nú­mero complexo. Geralmente ele é representado pela letra grega e e considerado no interva­lo o::;e< 2 1t.

Forma Trigonométrica ou Polar

A partir da interpretação geométrica, pode-se expressar um número comple­xo Z = a + bi de outra forma.

Do triângulo retângulo, usando ra­zões trigonométricas, temos:

b • sene= - => b = p.sene

p

a • cose = - => a = p. cose

p

logo,

Z =a+ bi

z = p . cose+ p . sen e .i

Portanto,

Exemplo:

z = p(cose+ i.sene)

(forma trigonométrica)

-~•,z•É•'ir•z .... ----~= --- - - --- - - -/'

• Cálculo do módulo

p= IZl=~ p= ~12+(-J3)2 ::::}p= 2

• Cálculo do argumento

lm

(1, -J3) afixo

2

• Forma trigonométrica Z = p.(cose+i.sene)

7t 7t Z = 2.(cos3+i.sen3)

Observação:

R e

Para, da forma trigonométrica, retor­nar à forma algébrica, basta calcular os valores das razões trigonométricas e, em seguida, multiplicar pelo módulo.

Veja como faríamos no exemplo an­terior:

7t . 7t Z = 2 .(cos- + l.sen- )

3 3 Z = 2. (cos60° + i.sen60°)

Z=2.(~+i.~) · z=1+-J3i

Operações na forma trigonométrica

Multiplicação Dados os números complexos

Z1 = p1 • (cose, + i. sene1)

z, = p, . (cose,+ i. sene1)

produto. z, . z2 é dado por:

Z, .~ = P, -P2 [cos(e1 +~)+i. sen (e, +~)]

Exemplo: z, = 3 (cos60° + r.sen60°) '--

~ = 2 (cos90° + i.sen90°) Z, ~ = 3.2 [cos(60° + 90} + i.sen(60° + 90}] '-'

Z, ~ = 6(cos 150° +i. sen 150°)

Divisão Dados os números complexos

Z1 = p1 • (cose, + i . sene,)

~=P:I. (co~+ i . se~)

z O quociente f é dado por:

2

Z, P, . z =- . [cos(e, - ~) +1. sen (e, -~) ] 2 p 2

Exemplo:

Z1 = 6. (cos90° + i.sen90°)

z2 = 2. (cos30° + i.sen30°)

z, 6 z =2. [cos (9<f-30/ +i. sen (90° -30} 2

z, . z = 3. (cos60° +i. sen 60°) 2

Observação: O inverso de um número complexo

não nulo na forma trigonométrica é dado por:

r ,= p-1 • [cos(- e) + i .sen (- e)]

Potenciação

Sendo Z = p. (cose + i.sen e) e n e Z, a potência Z" é dada por:

Z" = p". [(cos(n e) + i.sen (n e)]

(1 ª fórmula de Moivre) Exemplo:

Sendo Z = 1 + -J3 i, calcule Z10

Resolução:

Por ser muito trabalhoso desenvol­ver (1 + -J3 i )10

, temos que expressar Z na forma trigonométrica:

Z = 2 . (cos60° + i.sen60°) Utilizando a 1 ª fórmula de Moivre, temos:

Z10 = 210• [cos(10.60°) +i. sen(10.60°)]

Z10 = 1024 . (cos600° + i.sen600°) a menor determinação pcmva de OCif é 240".

.\

Z10 = 1024. (cos 240° +i. sen240°)

z10 - 1024 (-.:!_-i .,[3) - . 2 . 2

z10= - 512-i.512.J3

Radiciação

Qualquer número no conjunto dos números complexos admite n raízes enésimas.

Assim, o número 8 admite três raízes cúbicas:

r 2(real)

if8 = ~ - 1+ .J3 i(imaginária)

l-1- .J3 i(imaginária)

pois 23 = (-1 + .J3 i)3 = (- 1 - .J3 i)3 = 8

Definição

Dado um número complexo

z = p.(cose+ i. sere)

e seja num número natural (n E IN), as n raízes enésimas de Z são dadas por:

zk = ~.[ cos(9

+ ~ }i.se{e+~ )] k =O, 1, 2, ... , n - 1

(21 fórmula de Moivre)

Para cada valor de k obtém-se uma raiz.

Obtenção das n raizes

Determine as raízes cúbicas de 8.

• Z = 8 Z = 8 . (cos O + i . sen O)

• Z.= ~-[ cos(9

+ ~ )+ i.sen(9

+ ~ )]

• Z.= Vã.[ cosC + ~ )+ i.sen(0

+ ~ )]

• z. = 2. [ cos(~ )+i.sen(~)J • k = O ~zo = 2 .(cosO+ i. senO)

Zo = 21 • k = 1 ~Z, = 2{cos~+i.sen~)

z, = -1 +i . .J3 1

... ~ • k= 2 ~~= 2 { co:

4; +i.sen

4; )

~ = -1-i . .,[31 Interpretação Geométrica

Por apresentarem o mesmo módulo, as três raízes cúbicas são eqüidistantes da origem.

lm

Conclusão

• No plano de Argand-Gauss as raízes se­rão vértices de um polígono regular ins­crito numa circunferência com centro na origem, cujo raio tem medida~-

• Os argumentos das raízes estão em progressão aritmética tal que

e 2Jt a1= ne r = --,-

Forma Exponencial Um número complexo Z na forma ex­

ponencial é dado por: Z=p. efJ.

Onde p é o módulo de Z, 9 é o argumento de Z e e é a base do sistema de logaritmos neperianos.

Então, para o vestibular, existem três formas distintas de se expressar um número complexo: algébrica, trigonomé­trica e exponencial.

a+ bi = p.(cose + i.sere) = p.ea

Exemplo:

• Z = .J3 + i ~ Algébrica

• Z = 2. (cos ~ + i . sen ~) ~ Trigono­

métrica ~ I • Z = 2 . es ~ Exponencial

~ ----------------

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Denomina-se equação polinomial ou

equação algébrica de grau n, na variável x, toda equação que pode ser reduzida à forma

anx" + an -1 xn--1 + ... + a2x2 + a1x + a0 =O

onde • an, an-1, ... , a2, a1, ao são números

complexos (coeficientes) • x é variável complexa • n número natural

Observação:

Vamos estudar equações algébricas com coeficientes reais.

Exemplos:

2x5-7x2+6x-1 =0 --/2. x3-10=0 2x - 51 =0

Raiz de uma Equação Dada ura eq..ação algébrica P(x) =O, de

coeficientes reais, o número r é uma raiz da equação se, e somente se, P(r) = O.

Exemplo:

x3-x2+x - 1 =0 x = 1 é raiz pois 13- 12+1-1=0

Conjunto-Solução Conjunto-Solução ou Conjunto-Ver­

dade de uma equação algébrica é o conjunto formado por todas as raízes (e somente por elas) da equação. Resolver uma equação é obter o seu conjunto­verdade.

Equação do 12 Grau Uma equação é classificada como

equação do 12 grau quando puder ser escrita sob a forma

a.x+b=O

onde a e b são reais, com a "' O. Uma equação do 12 grau tem apenas uma raiz que pode ser obtida isolando-se x, ou seja,

ax+b=O

ax=-b b

X=- ­a Equação do 2º Grau

Uma equação é classificada como equação do 2º grau quando puder ser escrita sob a forma

onde a, b e c são reais, com a "' O. Uma equação do 2º grau tem ao máximo '--' duas raízes, que podem ser obtidas pela fórmula

- b ± --lb2 - 4ac X= 2a

- b ± Wl = 2a

Importante:

• Se t. > O, então a equação admite duas raízes reais e qistintas.

• Se t. = O, então a equação admite uma raiz real de multiplicidade dois.

• Se t. < O, então a equação admite duas raízes com~xas da forma r ± si, onde i= "-1-1.

Importante: As equações do 3º grau e do 42

grau, através de transformações extre­mamente trabalhosas, admitem fórmulas resolutivas. Entretanto, os matemáticos Abel e Galois provaram que não existem fórmulas resolutivas para equações de grau superior a 4.

Teorema Fundamental da Álgebra Toda equação algébrica, de grau es­

tritamente positivo, admite, no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Observação:

O teorema garante a existência tle pelo menos urna raiz, no entanto, não diz como obtê-la.

'-'

.............

\.......'

\......-

.._,.

'--"

'-'

'-"

..........

'-./

'-'

\.......'

-

Teorema da Decomposição Toda equação algébrica de grau n

pode ser decomposta em n fatores do 1 2

grau, a partir de suas raízes.

a0 x0 + a0 _1xn-1 + ... + a2x2 + a1x +ao = O

n éln-(X - x1) (x - x2) •.. (x - x0 ) =O

Esta forma fatorada mostra que a equação tem no máximo n raízes.

Conclusão Toda equação algébrica de grau n

tem no mínimo uma raiz e no máximo n raízes.

Multiplicidade de uma Raiz Uma raiz Xr, de uma equação algé-

brica é de multiplicidade m quando, na fatoração em fatores do 12 grau, existem m fatores da forma (x - Xr).

Exemplo:

(x -1) (x-1) (x - 1) (x +2) =0 n (x - 1 )3 . (x + 2) =O

x =1 é uma raiz de multiplicidade três.

Teorema de D'ALEMBERT O teorema de D'Aiembert permite o

rebaixamento do grau de uma equação conhecendo-se uma de suas raízes.

Exemplo:

P(x) =x3 - 3x2 + 3x - 1 é divisí­vel por x-1.

'I -3 3 - 1

-2 o

Teorema das Raízps Racionais

Se x = ~ é uma raiz racional de uma

equação algébrica de c:oefidentes reais e inteiros, então p é divisor do termo inde-pendente de x, e q é divisor do c:oefidente de maior grau (positivos e negativos).

Ilustração

anX" + ao....-pcll-""1 + ... +a1x+ao= O

x=E.- d (élo) q - d (éin)

Observação:

Este teorema permite verificar se a equação algébrica de coeficientes intei-ros admite ou não raiz racional. Basta, através do dispositivo prático de Briot-Ruffini verificar por tentativa.

Exemplo:

20-5x3 - 2x2_4x + 3 =O

• d(3) = { ± 1 ; ± 3} • d(2) = { ± 1; ± 2}

Números para verificação

d (3) - { ± 1• ± .!_. ± 3 . ± ~ } d (2) - ' 2 ' ' 2

Deve-se verificar um por um dos va­lores acima.

Teorema de Raízes Complexas Se um rúnero CCJrll)lexo x = a + bi (a,

b e R) é raiz de uma equação algébrica com c:oefidentes reais, então o seu conju­. gado x = a- bi tarTtlém é raiz dessa equa­ção.

J

I I

Importante:

O Teorema das raízes complexas apresenta duas conseqüências extrema­mente importantes:

(11) O número de raízes imaginárias de uma equação algébrica de coeficien­tes reais é sempre par.

(2!1) Toda equação algébrica de coe­ficientes reais e grau ímpar admite ao menos uma raiz real.

Visualização

~~ i~!~~::S o~R C R: rea1s ~ C: complexos IR - Q: irracionais C - R: imaginários

Relações de Girard

A partir de uma equação algébrica de coeficientes reais podem-se estabe­lecer relações entre os coeficientes e as raízes da equação.

• Equação do 22 Grau

• Equação do 32 Grau

a . x3+b.x2 +c . x+d = O

l x1 + x2 + x3 = - Q

x1 x2 u 1 x3d+ x: x3 =; X1 X2 X3 =-;

• Equação do 4º Grau ~

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = O

Observações:

(1) As relações de Girard são insuficientes para a obtenção das raízes, a menos que sejam dadas informações adicionais.

(2) As relações de Girard são válidas mesmo quando a equação não admite raízes reais.

(3) Quando uma raiz é de multiplicidade m, ela deve ser considerada m vezes nas relações de Girard.

(4) Uma equação algébrica de grau n admite n relações entre suas raízes e seus coeficientes.

Exemplos:

j

l

- 7 7 x1 +x2 = -s=s

- 8 X1. X2 =s

(2) 2x3+ 6x2 +9x-8 =O

6 x1 + x2 +X3 =-2 =-3

9 x1 x2 + x1. XS + X2. X3 = 2

- 8 x1. x2. xs.=-2 =4

~_._ ____________ __

'

.......

/'

...._

...........

---'

-'-""

'-"

'-

'-r

...........

'-"

Teorema de Bolzano O teorema de Bolzano permite verifi-

car se uma determinada equação algé-brica P(x) = O admite raízes reais em um certo intervalo aberto (a; b).

Sejam P(x) = O uma equação polino-miai com coeficientes reais e (a; b) um intervalo real aberto.

• Se P(a) e P(b) têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raí-zes reais da equação no intervalo (a; b).

P(a) . P(b) <O

Interpretação Geométrica

P(a) -· · uma raiz em (a; b)

P(b) .. . .••••.•••••.••• , • .

três rafzes em (a: b)

cinco rafzes em (a; b)

Observação: Se P(a) . P(b) > O, ou seja, P(a) e

P(b) têm sinais iguais, o teorema não ga­rante a existência de raízes reais, poden­do no entanto existirem raízes reais em número par ou em multiplicidade par.

=-I raiz em (a; b)

P(a)

---L P(b) ' ' ' a b

uma raiz dupla

P(b)

P(a)

duas rafzes em (a; b)

quatro rafzes em(a; b)

P(a)

P(b)

Equações Recíprocas Uma equação algébrica de coefi­

cientes reais é denominada de equação recíproca quando: • os coeficientes eqüidistantes dos ex­

tremos são iguais ou • os coeficientes eqüidistantes dos ex­

tremos são opostos. Exemplos

5x4 + 6x3-6x-5 =o t LJ t (opostos)

3x5- 9x4 + 6x3 +6x2- 9x + 3 =O

(iguais) I ! tj ! I

J

I I

GEOMETRIA ANALÍTICA t ./

Coordenadas Cartesianas no Plano

É composto por dois eixos perpendi­culares, de origem comum e de mesma unidade.

y

r. Yp • P(xp• Yp)

o

-----------· I I I I I I I I I .

Nesta figura, temos que:

Ox é o eixo das abscissas;

Oy é o eixo das ordenadas;

X

O é o ponto origem das ordenadas;

xOy é o sistema cartesiano ortogo-nal;

o número real xP é a abscissa do ponto P;

o número real Yp é a ordenada do ponto P;

xP, yP são as coordenadas do ponto P.

o ponto P é representado pelo par de suas coordenadas.

Assim, o ponto origem do sistema é representado por (0, 0).

Estudo dos Sinais

O sistema cartesiano ortogonal divide o plano em quatro quadrantes. Através dos sinais das coordenadas de um ponto, sabemos em que quadrante ele se localiza. Assim:

·Y

112Q 12 Q

xP <O Xp > 0

Yp > O Yp > O

o X

11120 IV2Q

~< 0 lv2 >0 Yp < O Yp < O

Observações Importantes:

Pe o. Ç::) P (~. O)

{bissetriz dos qua -

Pe b Ç::> p X • 13 ( P' ~.) drantes 1mpares

{bissetriz dos qua -

Pe b24 Ç::) p (xP,- xp,) drantes pares

y

45°

X

x- y =O X+y = O

-,

-.

Distância entre dois Pontos

y

Ye

B

I I I

d I Ye- YA I I I I

A --------E1 X,- XA

XA

Pelo Teorema de Pitágoras

d2 = (xe- x,,f + (Ye- y,f

Razão de Secção

y B

Ye

y _________ {;

A

o X

X

X

'-' O ponto divisor C divide o segmento

/ -......

~

AB numa razão r, denominada razão de secção, dada por:

r= AC JEmO,: r

CB I y-yA lEmOY: r =

Xe -yA

Coordenadas do ponto divisor C:

X= XA +r Xa 1+r

Y A+ r Ys Y = 1+r

Propriedades da ; azão de secção: ~

r > o~ C é interior a AB ~

r < O ~ C é exterior a AB

r=O~C=A

~

r = 1 ~C é o ponto médio de AB

j rseC = B

V C, r* - 1

Ponto Médio

No caso particular de C ser o ponto ~

médio de AB, então r = 1 .

XA +Xa x=-- ·

2 '

y =YA+Ye 2

Baricentro de um Triângulo

O baricentro G de um triângulo ABC de coordenadas A (xA, y,J, B (x8 , Ye) e C (Xç, yc) é dado por:

y

c

B

0 X

O baricentro do triângulo é obtido geometricamente pela intersecção de suas medianas.

O baricentro divide cada mediana na razão de 1 para 2.

j

l I

~•t•zÉ•Nr•? ...... --~= Área de um Triângulo

A área S de um triângulo ABC de co­ordenadas A (xA, YA), B (x8 , y8 ) e C (><c, yc) é dada por:

y

A

0 X

XA YA 1 1

S = 2 101, onde O = Xe Ya 1

Xc Yc 1

A área do triângulo ABC é dada por metade do módulo do determinante.

Área de um Polfgono em função das Coordenadas dos Vértices

Área de um polígono poderia ser cal­culada pela soma das áreas dos triângu­los definidos mediante o traçado de con­venientes diagonais.

No entanto, esse processo um tanto trabalhoso pode ser substituído pelo se­guinte dispositivo prático:

G(f)eo e e IW ··· ~{ II

S=~V.X\ ). ~ A área do polígono é dada pela me­

tade do módulo do valor obtido pelo dis­positivo prático.

Condição de alinhamento de três pontos

Dados três pontos A (xA, YA), B (x8 , y8 ) e C (xc, yc), dizemos que os pontos estão alinhados, isto é, perten­cem a uma reta se, e somente se:

XA YA 1

O = Xe Ya 1 =O

Xc Yc 1

Se o determiante não é nulo, os pon­tos A, B, e C são vértices de um triângulo.

Coeficiente angular de uma reta r, não paralela ao eixo y , áo número real dado por

m, = tgcx

y y

a x

X

Caso particular: r paralela ao eixo Ox

y

--l-------+ X

m, =O

Obs.: Retas paralelas ao eixo OY não têm coeficiente angular

Determinação do coeficiente angular reta dada por dois de seus pontos.

y

Ys

A

!}Á,= YA - Ys

------ B - - : __ _8 1'-y-JI

(l : !:J.x = XA - X8 : X I I

Xs /'iy XA

mr = tQ(l = ­l'ix

Equação Geral da Reta Chama-se equação geral da reta a

equação do tipo

A .x+ B.y + C=O

com A, B e C reais e A e B não simulta­neamente nulos. Equação Reduzida da Reta

Chama-se equação reduzida da reta a equação do tipo

y = mx+q

sendo: q o coeficiente linear da reta

Obs.: O coeficiente linear q é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo oy.

-.

J

1 I

' - Equação Segmentária da Reta Seja r uma reta não paralela a ne­

nhum dos eixos coordenados e que não passa pela origem. Sendo P e Q os in-terceptas da ..... ..... reta com os eixos o x e o y temos:

o p X

~ Chama-se equação segmentária a equação do tipo.

Equações Paramétricas da Reta Estas equações dão as coordenadas

(x, y) de um ponto qualquer da reta em função de um parâmetro t:

{

X = f1 (t)

y = f2 (t)

A partir das equações paramétricas obtém-se a equação geral da reta elimi­nando-se o parâmetro t. Ex.: As equações paramétricas de uma reta são x = t + 2, onde t e IR.

Y=2t-1

Determine a equação geral da reta

x =t + 2 entãot = x-2

y=2t-1 =2(x-2)-1 =2x- 4-1 =2x-5

:. 2x-y - 5 =o

Posição Relativa de duas Retas no Plano

r: y = m,x + b, r.A,x+Bty+~=O

tas s: y = m.x + bs s:A>x+a&'+Ce=O

s X r

s concorrentes

~ concorrentes

I perpendiculares

Paralelas distintas

Paralelas coincidentes

m, -F ms

A1 B1 c 1 A2 ="B2 ="C2

Distância de um Ponto a uma Reta Sejam P (><o Yw um ponto e uma reta r

de equação Ax + By + C = O do plano car­tesiano.

y

d /

/ /

/ /

/

P (Xo, Yo) '

X

A distância entre P e r é dada por:

d = IAxo+ByO+C I

..JA2 + 8 2

j

1 I

Distância entre duas Retas Paralelas

Dadas duas retas r: k<+ By+C=Oes=k<+By+C =0

paralelas: y

Tem-se:

o X

s Ex.: A distância entre as refas paralelas de equações:

3x + 4y + 2 = O e 3x + 4y + 12 = O é:

d = 112-2 I = 10 = 2 ~õ

Ângulo entre duas Retas Sejam as retas r e s indicadas nas fi­

guras. O ângulo agudo e entre elas é tal que:

s y

O módulo garante o cálculo do ân­gulo agudo entre as retas.

A medida do ângulo obtuso é o su­plemento do ângulo e . Caso Particular: Uma das Retas é Vertical

y s

tg9= 1 ~r I

Circunferência ~

É o lugar geométrico dos pontos de um plano, eqüidistantes de um ponto fixo C do mesmo plano, denominado centro da circunferência.

A

D

_B_ Em que CA = CB = CD = R, raio da

circunferência.

Equação Reduzida ou Cartesiana da Circunferência

Seja a circunferência de centro C (a, b) e raio R e seja P (x, y) um ponto do plano pertencente à circunferência.

y

b -----@''· y)

a

Pe circunferência dPC = R

..J(x - a)2 +(y - b):r = R

Elevando ao quadrado, temos:

(x - a)2+ (y - b)2 = R2

X

que é denoninacla EQUAÇÃO REDUZIDA '--' da circunferência.

Caso Particular Se o centro C coincidir com a origem

(0, 0), a equação será: ,,

y

X

---------------------------------------------------Y~

I

J

1

-' - Equação Normal ou geral da Circunferência

Desenvolvendo-se os quadrados da equação reduzida, obtemos:

(x-a)2 + (y- b~ = R2

x2 +y2- 2ax-2by + (a2 + b2- R~= O

que é a EQUAÇÃO NORMAL OU GERAL da circunferência.

Reta Tangente à Circunferência

y

b -- - --

X

o • a

'-.../ Para que uma reta t de equação geral Ax. + By +C= O (com A e B não simulta-neamente nulos) seja tangente à circunferência de centro C(a , b) e raio R devemos

'-' ter:

-'-

"-"'

"-"

'-"'

'-'

'-'

'-' ....._

"-"

""-

...

dc,t= R

ESTUDO DOS LIMITES Noção intuitiva de Limites

A teoria dos limites tem por finalida-de maior estudar o comportamento de uma função. (Sua imagem) quando sua variável se aproxima de um número real, podendo a função estar ou não definida para este número.

Existem as seguintes situações:

• lim f(x): pode existir mesmo que f( a) x -+a não exista

• lim (fx): pode existir e ser diferente de x-+a f( a)

• lim f(x) =f( a): neste caso a função é x -+a contínua em x = a.

Exemplo 1:

y =f(x) = x + 2

X y 1 3

1,5 3,5 1,7 3,7 1,8 3,8 1,9 3,9

1,95 3,95 1,96 3,96 1,97 3,97 1,98 3,98 199 399

' '

f(x) - 4 5

4

3

1/2' / 1

· ;j -y 1 o

/

y

v X

1

X y 3 5

2,5 4,5 2,3 4,3 2,2 4,2 2,1 4,1

2,05 4,05 2,04 4,04

' / '

2,03 4,03 2,02 4,02 2 01 4 01

/ v

f-+2 x- 2+ - -2 ;j 4 X

• À medida que x se aproxima do nú­mero 2 pela esquerda, f(x) tende a 4

lim f(x) = lim (x + 2) = 4 x-+2'" x-+2'"

• À medida que x se aproxima do nú­mero 2 pela direita, f(x) tende a 4

lim f(x) = lim (x + 2) = 4 x-+~ x-+~

• Intuitivamente: À medida que x se aproxima do nú-mero 2, f(x) tende a 4.

lim f(x) = lim (x+2) =4 x-+2 x-+2

Exemplo2:

x2 - 4 y=f(x)= - -x - 2

X y X y

3 3 5 1,5 3,5 2,5 4,5 1,7 3,7 2,3 4,3 1,8 3,8 2,2 4,2 1,9 3,9 2,1 4,1

1,95 3,95 2,05 4,05 1,96 3,96 2,04 4,04 1,97 3,97 2,03 4,03 1,98 3,98 2,02 4,02 1,99 3,99 2,01 4,01

y

f(x -4 4 lL

L

v ~

/ L_ X -2 X 2 --/ 2 X

/

• f(2) não é definido ~

• lim f{x) = lim f(x) = 4 x-+2 x-+2+

• lim f(x) =4 x-+2

Exemplo 3: l x2 _ 4 --,se X -# 2 y =f(x) = x - 2

5, se X=2

X y X

1 3 3 1,5 3,5 2,5 1,7 3,7 2,3 1,8 3,8 2,2 1,9 3,9 2,1

1,95 3,95 2,05 1,96 3,96 2,04 1,97 3,97 2,03 1,98 3,98 2,02 1,99 3,99 2,01

5 y

/ f(x) - 4 4 v

1/ v 1/

L -2 x- 2 --/ /

• f(2) = 5

• lim f{x) = lim !.<l-> = 4 x-+2 x-+2

• lim f(x) =4 x-+2

Conclusões Sobre Limites • Condição de Existência

IIm f(x) = IIm f(x) x-+a- x-+ a+

y 5

4,5 4,3 4,2 4,1

4,05 4,04 4,03 4,02 4,01

X

Os limites laterais devem ser iguais para existir o limite. • Função Continua

lim f(x) = f(a) x-+a

.· "\

.....

--

...........

O limite existe e é igual ao valor da ·- função. Neste caso (exemplo 1), f é con­

tínua em x = a. -

-.~

• lim f{x) existe mas, x-a f{ a) não é definida para x = a

• Função Descontínua

lim f{x) * f{ a) x-a

O limite é diferente do valor de f no ponto. Neste caso (exemplo 3), f é des­contínua em x = a.

Cálculo Algébrico de um Limite É possível a obtenção de um limite

de uma função sem a análise gráfica. O cálculo algébrico do limite de uma fun­ção é feito baseado na continuidade ou não da função. • Quando a função é contínua no ponto, o

linite é igual ao valor da função no ponto. • Quando a função não é contínua no ~

to, deve-se obter algebricamente uma fun­ção simlar que seja contínua no ponto.

Exemplo 1:

Dada a função f(x) = x + 2

1/

• f é contínua para todo x e IR

• f(2) = 2 + 2 = 4

• lim f(x) = f(2) = 4 x - 2

Observação:

lim f{x) = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x-2 x-2

(cálculo algébrico do limite)

Exemplo 2: .I

x2 4 Dada a função f(x) = - - - (x * 2) x-2

v kl

2

v

• f não é contínua para x = 2.

• f(2) não existe.

• lim f(x) = 4 (pelo gráfico). x-2

Observação:

lim f(x) = lim x2 - 4 = 22 - 4 = Q {*) x-2 x-2x-2 2-2 o

como x - 2, então x * 2, logo

(*) l"m x2 - 4 1• (x + 2) (x - 2 ) 1 -- = •m = X-2X- 2 X- 2 X - 2

= lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 x-2

{cálculo algébrico do limite)

Importante (*)

Na obtenção algébrica do limite de uma função descontínua, é freqüente o aparecimento de

o o

Porém este não é um resultado de um limite e sim um símbolo de indeter­minação. Através de operações algébri­cas deve-se eliminar esta indetermina­ção. Exemplo3:

x2 + 5x Dada a função f{x) = --x + 5

• Cálculo do lim f(x)

x- - 5

lim (-5)2 + 5 (-5) o

x-+-5X+5 -5+5 =u indeterminação t

= lim X . (X+ 5) x-+-5 (x + 5)

limx =~ x-+-5

Propriedades dos Limites As seguintes propriedades são veri­

ficadas para o cálculo de limites.

P.1) Limite de uma soma é igual à soma dos limites

lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x-+a x-+a x-+a

P.2) Limite de uma diferença é igual à diferença dos limites

lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) -lim g(x) x-+a x-+a x-+a

P.3) Limite de uma constante é igual à própria constante

IIm k= k x-+a

P.4) Limite de um produto é igual ao produto dos limites.

Infinito . É muito freqüente, ~a resolução en­

volvendo limites, o aparecimento do símbolo

(infinito).

Deve, no entanto, ficar bem claro que oo não é um número, e sim uma idéia associada a uma tendência, ou seja; oo é um símbolo utilizado para re­presentar o equivalente a: está tenden­do a um "número" muito grande.

Exemplo 1:

Dada a função f(x) = -1 -

lx - 21

y

I . I~

m / I \ I

1\ I

/ 1: _... / 1: ' 1:2

1:

Intuitivamente

X

...-.

-.._.

-

IIm [f(x) . g(x)] = lim f(x) . IIm g(x) À medida que x se aproxima de 2, a x-+ a x -+ a x -+ a imagem da função tende "a número mui- "­

to grande"

P.5) Limite de um quociente é igual ao quociente dos limites. Algebricamente ,.,

. f(x) lim f(x) hm - = x-+a x-+ag(x) fim g(x)

x-+ a

Observação:

Existem outras propriedades que são conseqüências destas.

lim f(x) = lim -1

- = - 1 - = ~ (*) = oo

X -+ 2 X -+ 2x - 21 12 - 21

* É claro que esta igualdade só tem sentido quando aplicada no desenvolvi­mento algébrico de limites.

---"

--

Exemplo2: 1 Dada a função f(x) = - ­x - 2

y

H

~'i-

2

• Intuitivamente

X

"À medida que x tende a um valor cada vez menor, a imagem da função se aproxima de zero." • Algebricamente

- -- - ---~ - - - -; --- -1 - - ~ limf(x)= tim --= - -=* - =* O

x -2 -oo -2 x-+ - oo x-+ - 00

• Intuitivamente

"À medida que x aumenta cada vez mais, a imagem da função tende a zero."

.._.. • Algebrica~t~ _ _ _ _ - - -

-

- _1_ = _ 1_ =* 1::--o lim f(x) = lim x - 2 oo - 2

x-+ oo x-+ oo

(*) Estas igualdades só têm sentido quando no desenvolvimento algébrico de limites.

Símbolos de Indeterminação Os seguintes símbolos, no estudo

de limites, representam indetenninações que devem ser levantadas na resolução delimites:

Limites Tendendo ,ao Infinito O limite de uma função polinomial,

quando x -+ ± oo , é calculado a partir do termo de maior grau, ou seja, lim (a,xn + an-1xn-1 + ... a1x +ao)= x-+oo

limX1. (~+~+-+~~ ')= x-+ oo \ xn ~ X\

o o o

= lim (anXrl) n-+ oo

Exemplo: lim (4x3+7x2-3x+1)

~~;?. ( 4+\-~+~ ) = = lim 4x3 = O O O x -+ oo =4. oo3 =

y

J v :....-

1

'" ,2 t71 !21 h R

I/ l..t -./.,.,.

X

(a imagem da função tende a um número muito grande quando x aumenta cada vez mais)

Função Racional Chama-se função racional a toda

função da forma

f(x) = P(x) Q(x)

onde P(x) e Q(x) são polinômios.

O limite, tendendo a ± oo, de uma função racional é calculado tomando-se o termo de maior grau no numerador e no denominador, ou seja,

x-+oo

n ( an - 1 a1 ao J x. an+--+ ... +--+n x xn - 1 x

lim ______ ____ _

X-+oo

X • bm+--+ ... + - -+---;n m ( bm- 1 a1 ao J x xm -1 x

"'-Xn =lim _"'"fl _ _

x-+ oo bmxm

Exemplos:

5 2 5 • lim 3x + 2x = lim ~ = lim x?- = oo X-+ oo 2x + 3x3 X-+ oo 3x3 X-+ oo

2 2 • lim 4x + 7x = lim ~ = lim i =i x-+oo3x2 + 2 x -+oo 3x2 x -+oo 3 3

I. 7x+ 8

1. 7x

1. 7

0 •1m = lm - = 1m - = x-+oo 4x2 + 2x x-+ oo 4x2 x -+ oo 4X

Observação:

Uma substituição direta numa fun­ção racional pode resultar em indetermi­nações do tipo.

00

- OU oo-oo

Limites Irracionais São limites que envolvem funções

que se apresentam sob um radical. O problema maior será "levantar" possíveis indeterminações que surgem no cálculo destes limites. No entanto, a grande maioria destes problemas são resolvidos racionalizando-se a expressão que en­volve radical, ou seja,

N N (-.ia+ vb) ..Ja - ,fD = ( ..Ja - ,fD) ( {ii + ...fb)

N _ N (-.ia+ vb) ...ra- ...fb - (..f8)2 - (...fb)2

N N (-.ia+ vb) ...fa-...fb= a - b

Exemplo:

lim x-+1

-./X- 1 --11- 1 o ~=~=o

(Indeterminação)

-rx - 1 c..JX - 1)(--IX + 1) (x - 1)

.......

X -1 (X - 1) (X + 1) (X - 1) (-fX + 1) -..../

Logo,

lim -{X - 1 = lim iX--11 = X -+ 1 X - 1 X -+ 1 ~ (-{X+ 1)

=lim -1- =-

1- =; x-+1 -1X+ 1 --11+ 1

Limite Trigonométrico O limite trigonométrico é o quociente

de seno de um arco sobre o arco {dado em radianos), quando este tende a zero.

Sendo x um arco dado em radianos (supondo x e 1º0), da trigonometria no círculo trigonométrico, obtemos:

lim

x ~ O

senx= 1 X

--

v

'-'

-

ESTUDO DAS DERIVADAS f

Derivada de uma Função Interpretação Geométrica O valor numérico da derivada de

uma função y = f(x) no ponto de coorde­nadas

{Xo; yo)

é o coeficiente angular da reta tangente à curva obtida pela função dada neste ponto, ou seja,

y-y0 = m. (x-xo)

ou

Y- Yo= f{xo) . {x- xo)

Verificação:

y , f(x) - ------ ------------------ /

Uma função f diz-se derivável em um certo intervalo aberto, se for derivá­vel em todos os pontos deste intervalo. A função derivada de f, representada por f e obtida pelo limite.

f(x + !J.x)

f'(x) = lim LU:-+0

f(x - âlc) - f(X)

6x

ou f'(x) = IIm tJ.y

LU:-+0 âX

y = f(x)

////,/ : ,,,,_.~, ,,,, ~--~ ~ ~- ~ ~ ---.:_-~~:-:.:~,:~-~.r f(Xo)

,' , - , I I e I I

------;.:: ~-- --'--~ -+----x'-------x-+~!J.x-~

6x ·I f(X) - f (x0)

tg a = - - --'-­x- ><o

fazendo a -+ ~

f(X)- f(Xo) tg ~ =lim

x-+Xo x- ><o

tg ~ =f(Xo)

X

Exemplo:

f(x) = 2x-3

f'(x) = lim f(x + tJ.x) - f(x) !J.X -+0 6x

Portanto, a equação da reta tangen­te no ponto de abscissa Xo. é:

f'(x) = lim 2 . (x + tJ.x) - 3 - (2x - 3) ÔX

ô'X-+0

Y- Yo = m . {X- xo)

ou

Y- Yo = tg ~ . {x- xo)

ou

Y-Yo=f(xo). {x- xo)

f(x) = lim 2 · !J.x ô'X-+Oõ.x

f' (x) = 2

-

Observação 1 : Como conseqüência imediata do limi­

te Trigonométrico Fundamental, temos lim sen kx = 1 x--+0 kx

Observação 2: Como conseqüência imediata do limi­

te Trigonométrico Fundamental, temos lim sen kx = k x--+0 x

Observação 3: Como conseqüência do limite Trigo­

nométrico Fundamental, temos lim sen ax =a

x --+ 0 sen bx o Limite Exponencial x

Dada a função f(x) = ( 1 + ~ ) , à

medida que x tende ao infinito, a imagem de f tende ao número 2,7182818 ... , tam­bém conhecido por número de Euler.

Verificação

f(x) =( 1 + ~ r X= 1--+ f(1) = ( 1 ++ r = 2

X = 2 ...... f(2) = ( 1 + ~ r = 2.25

X= 4--+ f(4) = ( 1 +i r = 2.441406

X = 8 ...... f(8) = ( 1 + ~ r = 2.565784

X =16--+ f(16) = ( 1 + 1~) 16

= 2,637928

x = 32 ...... f(32) = ( 1 + 31) 32 = 2,676990

X = 64 --+ f(64) = ( 1 + 6~) 64

= 2,697344

X= 12B--+~12B)=( 1+1~ ra3 =2,~

X = 256 ...... f(256) = ( 1 + 2~ r56 =2. 712991

X=512--+~512) =( 1+51121512

=2,715ffi2

1024 X= 1024--+f(1024) =( 1+ 1~4 ) =2,71a:J55

10000

x= 1om-+ f(1cx:x:Q=( 1+ 1~ ) =2.718145

x--+ = então f(x) --+ 2,7182818 .•.

e= 2,7182818

O número 2,7182818 ... é um número irracional, que é a base dos logaritmos neperianos. Sua representação é a letra e, ou seja,

e= 2,7182818 ••.

Conclusão:

lim x --+oo

lim x--+- oo

Observação 1 :

lim ( 1 +~r= ( 1 +~ r = (1 +0)~ = 1~ x --+ oo

1~ = símbolo de indeterminação

Observação 2:

Como conseqüência imediata do li­mite exponencial, temos

1 lim (1 + x) x = e X--+0

Observação 3: ex ac

~~ = ( 1 + :X J d =e bd

Observação 4:

O gráfico da função

f(x) = (1 + ~)x

\ . ..-

-

-

-

c

-Regras de Derivação

"-" Através da definição, dada anterior-mente, de derivada de uma função, pro­

- vam-se as seguintes regras de derivação.

_ • Derivada de uma Constante

'-' Sendo K um número real qualquer, tem-se

f (x) = k -+ f'(x) = O

• Derivada da Função Identidade

A derivada da função identidade é igual à unidade

f (x) = x -+ f'(x) = 1

• Derivada de uma Função do 19 grau

A derivada de uma função do 1 º grau é igual ao coeficiente de x.

f(x) = ax + b -+ f' (x) = a

• Derivada da Função Potência

A derivada de uma função potência de x, de expoente genérico "n", é verifi­cada pela definição de derivadas e pelo binômio de Newton.

f(x) = x" -+ f'(x) = n. x n-1

• Derivada do Produto de Função Constante

A derivada do produto de uma cons­"- tante por yma função é igual ao produto

da constante pela derivada da função. \......'

g(x) = K . f(x) -+ g'(x) = K . f '(x)

• Derivada da Soma de Funções

A derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas dessas funções.

f(x) = u(x) + v(x) -+ f'(x) = u'(x) + v'(x)

• Derivada da Função Potência

Sendo u uma função real de x, e sendo n um número real, então, aderi­vada da função y = u" é dada por

y = u" -+ y'= n . u n-1 . u'

onde u' é a derivada de u em relação a x.

• Derivada do prod&to de Funções Sendo u e v funções de x, a deriva­

da do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de uma das funções pela derivada da outra.

y =U .v-+ y'= u' v + uv' onde u' e v' são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x. • Derivada do Quociente de Funções

Sendo u e v funções reais de x, a derivada do quociente destas funções é dada pela relação:

Y -~-+ y, _liv - IN' -v - y2

onde u' e v' ·são as derivadas de u e v, respectivamente, em relação a x.

• Derivada da Função Exponencial Sencb ''à' t.rn rúrero real (a> O e a* 1)

e "u" uma função de x, então a derivada da função y = ax é dada por

y = au -+ y' = au . t na . u'

Importante:

Como conseqüência desta relação, obtém-se a seguinte fórmula:

y = eu -+ y' = eu • u'

• Derivada da Função Logarítmica A derivada de uma função logarítmi­

ca é dada pela fórmula:

I , li Y= OQaU -+ y = u . ena

Importante:

Como conseqüência desta relação, obtém-se a seguinte fórmula:

y =e nu -+ y'= ~

• Derivada da Função Seno A derivada da função seno de um

arco u, onde u é uma função de x, é:

y = sen u -+ y = u' . cos u

-

.J

1 I

Exemplo:

y = sen (5x2)

1 U= 5x2

u' = 10x y' = 10 x. cos (5x2)

Derivadas da Função Co-Seno A derivada da função co-seno de um

arco u, onde u é uma função de x, é:

y = cos u -+ y' =-u' sen u

Exemplo: y = cos (2x3- 3)

1 U=2i3-3 u' =6x2

y' = - 6x2 . sen (2x3 - 3)

Derivada da Função Tangente A derivada da função tangente de

um arco u, onde u é uma função de x, é:

y = tg u -+ y' = u' . sec2u Importante

y = senx-+ y' = cosx y = cos x -+ y' = - sen x

Outras Fórmulas de Derivação A seguir uma tabela de funções trigono­métricas com as respectivas derivadas:

y = cotg u -+ y' =- li. cosec2u

y = secu -+ y'=u'secu .tgu

y = oosec u -+y' =-lioosec u .axg u

y = are sen u -+

y=arccos u -+

y = arctg u -+

y = are cotg u -+

y=arcsec u-+

y = are cosec u -+

y' __ _ li _

~ - u'

y'=--~

u' y'= -1 + u2

u' y'= - -1 + u2

u' y' = -u-. -:..J=u2=+= 1

li y' =- u.~

~ ........ ____ ~ ~ Observação:

.I

y = uv -+ y' =v . uY-1 . u' + uv. ~ n u. v'

Variação de uma Função Ao introduzirmos o conceito sobre ,.....

derivadas, observamos a interpretação geométrica do valor da derivada de uma ,... função em um ponto: coeficiente angu-lar da reta tangente neste ponto.

y

Yo

Xo

y- Yo = m . (x - xo) X

onde: m = tg ex. = f'(xo)

A partir desta interpretação geomé­

r \ . .../

c

-trica, podemos analisar a variação de \_ uma função quanto ao seu crescimento, ou seja, • Função Constante

yl

y= f(x)

+---·X a =O

m=tg a =f'(x)=O

(Derivada nula)

• Função Crescente y

O<a <; m = tg a = f'(x) > O

(Derivada Positiva)

X

-'J

-"

I -.._;

........

;.,....:

'--'

'-'

~

v

~

.._., .......,

\,./

'-"

._,

.._,.

..._

-I '-"

,J

l "'--"

'-" ! v

........_;

'-

-..._?

"""' '-.J

-....{ .,

• Função Decrescente

y

1t 2<CL<1t

m = tg a = f'(x) < O

(Derivada Negativa)

Conclusões:

• Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto e f'(x) > O para todo x neste intervalo, então a função é crescente (no intervalo).

• Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto e f'(x) < O para todo x neste intervalo, então a função é de­crescente (no intervalo).

• Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto e f'(x) = O para todo x neste intervalo, então a função é constante (no intervalo).

Concavidade de uma Função A concavidade da curva de uma fun­

ção f pode ser determinada através do sinal da derivada de segunda ordem de f, ou seja,

f"(x) > o-+ concavidade voltada para cima.

f'(x) <O -+ concavidade voltada para baixo.

(Num certo intervalo aberto.)

Máximos ou Mfnimos Relativos A partir do sinal da derivada de se­

gunda ordem de uma função f, além da concavidade, podem-se obter pontos de

maxtmos ou m1n1mos, relativos a um certo intervalo desta função. Sendo o gráfico a seguir de uma função f qual­quer, tem-se:

y

• X1 = abscissa de um ponto de máximo local.

• X2 = abscissa de um ponto de mínimo local.

• X3 = abscissa de um ponto de máximo local.

• As retas tangentes r1, r2 e r3 nos pon­tos de abscissas x1. X2 e X3. respecti­vamente, são paralelas ao eixo x, logo, a derivada de f se anula para x1 , X2 e X3. ou seja, f(X1) =f(X2) =f(X3) = 0.

Observação:

Nos pontos de mínimo ou máximo relativo, a derivada primeira se anula.

Teste da Derivada de 2! Ordem A fim de verificar se um ponto, que

anula a derivada primeira de uma fun­ção, representa um ponto de máximo ou mínimo local, faz-se o teste da deriva­da de segunda ordem, ou seja,

• deriva-se a função

• iguala-se a derivada primeira a zero

• faz-se o teste da derivada de 2ª ordem para a raiz da derivada primeira

f'(Xo) = O -+ ~anula a derivada primeira.

f"(Xo) > O- Xo é abscissa de um mínimo local.

f"(Xo) < O - Xo é abscissa de um máximo local.

Ponto de Inflexão Se f '(Xn) = O e f "(Xo) "* O, então Xo é

abscissa de um ponto de inflexão.

Regra de L 'Hospital Ao resolvermos exercícios relaciona­

dos com limites é muito freqüente o apa­recimento de indeterminações do tipo:

Tais indeterminações podem ser le­vantadas através da Regra de L'Hospi­tal, ou seja,

Deriva-se separadamente o nume­rador e o denominador da função dada, tantas vezes quantas necessá­rias.

Exemplo 1:

. x2 - 4 O hm - - = -x-2 x- 2 o

-Aplicando a Regra de L'Hospital

lim :;x = 2 . 2 = 4 x -2

Exemplo2:

lim 5x3 + 3x2 + 1

x-oo

Aplicando a Regra de L' Hospital I"

lim x-oo

Aplicando a Regra de L' Hospital

lim 30x + 6 =~ x- oo ~ 00

Aplicando a Regra de L' Hospital

30 30 5 lim 12 =12 =2 x- oo

Observação:

A Regra de L'Hospital só pode ser utilizada quando o limite existir e a inde­terminação for

o 00

ou - ou ­o co

,..._...,

(

'-

-

-

c