medida de risco por teoria de valores extremos
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Medida de Risco via Teoria de Valores Extremos
Análise de Risco (8)R.Vicente
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Resumo
EVT: Idéia geralMedidas de riscoTeoria de Valores Extremos (EVT)Distribuição de MáximosDistribuição de ExceedancesEstimação de ParâmetrosIntervalos de ConfiançaBibliografia
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EVT: Idéia Geral
1. Teoremas limite similares ao Teorema do Limite Central para o comportamento de desvios extremos;
2. Permite inferência do comportamento de eventos raros e extremos a partir de poucas observações;
3. Suposição de que, apesar da variedade de causas possíveis, há comportamentos estatísticos gerais nos extremos;
4. Teoremas de EVT se aplicam desde que o comportamento (desconhecido) dos extremos possa ser descrito por distribuições que se enquadrem em uma família suficientemente bem comportada (e.g. com segundo momento pelo menos).
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Novamente: Medidas de Risco1. VaR
2. Expected Shortfall
1. Nível de Retorno
, onde H é a distribuição de máximos observados em janelas sucessivas sem intersecção de comprimento n. A medida de risco é o valor que se espera violar em 1 em k períodos de comprimento n.
( )1 1pVaR F p−= −
( ) ( )p p p p pES E X X VaR E X VaR X VaR VaR= > = − > +
1 11knR H
k− ⎛ ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
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Extremos: Definição1. Máximo em Blocos
2. Violações de um limiar
Limiar u
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Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos1. Máximo em Blocos
(Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)) Seja uma seqüência de variáveis aleatórias iid. Sejam os máximos de blocos com tamanho n. Se existem constantes e uma distribuição não-degenerada H tal que
nM( )tX
0,n nc d> ∈
dn n
n
M d Hc− ⎯⎯→ então ( )
( ) 1/1 0
0x
x
e
e seH x
e se
ξξ
ξ
ξ
ξ
−
−
− +
−
⎧⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎪⎩Generalized Extreme Value (GEV) distribution
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Teoremas Limite 1: Máximo em BlocosGeneralized Extreme Value (GEV) distribution
1ξα
=1ξα
= − 0ξ =
( )
( ) 1/1 0
0x
x
e
e seH x
e se
ξξ
ξ
ξ
ξ
−
−
− +
−
⎧⎪ ≠⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎪⎩
Fréchet Weibull Gumbel
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Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
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Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar1. Violações de um Limiar
(Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974)) Pra uma classe grande de distribuições F a distribuição do excedente condicional para u suficientemente grande é bem aproximada por :
( )uF y
( ),
1/
/
1 1 0
1 0y
y seG y
e seσ
ξ
ξσ
ξ ξσ
ξ
−
−
⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− + ≠⎪ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪⎪ − =⎪⎪⎩Para
Limiar u
[0,( )] 0Fy x u se ξ∈ − ≥ 0, 0y seσ ξξ
⎡ ⎤⎢ ⎥∈ − <⎢ ⎥⎣ ⎦
Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
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Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
( ),
1/
( )/
1 1 ( ) 0
1 0x u
x u seG y
e seσ
ξ
ξσ
ξ ξσ
ξ
−
− −
⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜− + − ≠⎪ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠= ⎨⎪⎪ − =⎪⎪⎩
Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
limite exponencial Caudas pesadas
: : :forma u posiçao escalaξ σ
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Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
Obtendo a distribuição de extremos:
n é o número total de observações e é o número de observações acima do limiar u
uN
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Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
Calculando risco dos extremos:
Considerando o seguinte resultado de EVT para :1ξ <
Assumindo
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Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
Três parâmetros para estimar:
: : :forma u posiçao escalaξ σ
1. POSIÇÃO: Ainda não há um algoritmo que permita estimação automática do parâmetro de posição. Utilizando o seguinte resultado de EVT:
Pode-se estimar:
Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta.
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Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
1. POSIÇÃO:
Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta.
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
u
S ample mean exces s function
1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
u
S ample mean exces s function
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Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
2. ESCALA e FORMA: os outros dois parâmetros podem ser obtidos via maximização da log-verossimilhança, dado o limiar u (POSIÇÃO):
Para maximização dessa função pode-se utilizar algoritmos de gradiente.
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Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros
0 5 10 150.97
0.975
0.98
0.985
0.99
0.995
1
1.005
1.01
GPD ajustada via maximização de log-verossimilhança. De posse dessa distribuição pode-se, em princípio, calcular VaR com confianças superiores a 99%.
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Determinação de Barras de Erro para o Risco estimado.
Como as estimações de EVT envolvem sempre poucos dados é estritamente necessário calcular barras de erro para os parâmetros, e conseqüentemente para o risco estimado. Há, pelo menos, duas formas clássicas de estimar estas barras de erro:
1. Invertendo o teste de razão de verossimilhança;
2. Realizando simulações (bootstraping).
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Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança.
Nessa alternativa leva-se em conta que a distribuição assintótica do log da razão de verossimilhanças é conhecida (Qui-quadrado com dois graus de liberdade) .
Assim calculam-se as diferenças entre log-verossimilhanças
A região de confiança dos parâmetros é escolhida de forma que a probabilidade de estar dentro do intervalo de parâmetros da barra de erro seja, por exemplo, 95%.
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Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ξ
σ
Região de 95 % de Confiança
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Determinação de Barras de Erro: Bootstraping
Essa alternativa é computacionalmente mais pesada mas é mais apropriada para situações em que o número disponível de observações é limitado.
No bootstrapping amostram-se com reposição subconjuntos de dados e reestimam-se os parâmetros para cada subconjunto utilizando máxima verossimilhança. O resultado é uma nuvem de pontos que pode ser utilizada para estimar barras de erro através da construção de histogramas
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Determinação de Barras de Erro: Bootstraping
0 0.2 0.4 0.6 0.80
2
4
6
0.4 0.6 0.8 10
2
4
6
2.2 2.4 2.60
2
4
6
3 3.5 4 4.5 5 5.50
1
2
FORMA ESCALA
VaR(0.001) ES(0.001)
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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES
É possível obter barras de erro diretamente para o VaR ou ES utilizando:
para reparametrizar as distribuições.
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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES
Com as mudanças apropriadas de variável obtemos:
para 0ξ ≠
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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ESPara o ES obtemos:
3 3.5 4 4.5 5 5.5 6-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
ES 0.01
3 3.5 4 4.5 5 5.5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ES 0.01
ξ
Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança
Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o
resultado bootstrap
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Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ESPara o VaR obtemos:
Intervalo de confiança a 95% para a razão de verossimilhança
Região equivalente de confiança a 95%. Pontos representam o
resultado bootstrap
2 2.5 3 3.5-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
VaR0.01
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Bibliografia
• Gilli, M. and Këllezi E., Na application of Extreme Value Theory for Measuring Risk, Fevereiro 2003.
•Efron, B. and Tibshirani R.J., An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall, Nova York (1993)