mecânica a - prec - 2008

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Departamento de Engenharia Mecnica

PME 2100 MECNICA A Recuperao 03 de fevereiro de 2009 Durao da Prova: 120 minutos (no permitido o uso de calculadoras)

1 Questo (3,0 pontos): Na estrutura esquematizada abaixo, a barra BD articulada nos pontos B e D, a barra AB articulada em A e B e a barra CE articulada em C e E. Na articulao B encontra-se aplicada a fora F jr . Pedem-se

(a) Os diagramas de corpo livre das barras AB, CE e BD. (b) As foras atuantes na barra BD, nos pontos B, C e D.

2 Questo (3,0 pontos) : A extremidade A da barra AB desliza dentro de uma guia vertical com velocidade JvvA

rr= ( v constante); a barra gira ao redor do eixo z (ortogonal ao plano do papel e que

passa por A) com vetor de rotao Kr&&r = e vetor de acelerao angular Kr&&&&r = . Na extremidade B da barra h um motor que gira a esfera de centro C e raio R com um vetor de rotao i

rr = relativo

barra, de mdulo constante. O ponto D pertence esfera e sua posio tal que jRCD r= no instante considerado. Adotando a barra AB como referencial mvel e expressando as grandezas vetoriais na base ),,( kji

rrr, pedem-se:

a) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto D;

b) As aceleraes relativa, de arrastamento e absoluta do ponto D;

c) As aceleraes relativa, de arrastamento e absoluta do ponto C;

d) O vetor de acelerao angular da esfera de centro C.

F

B

x

A

D

C E

y

l

l l

2l

l



3 Questo (4,0 pontos): O sistema da figura composto por um disco homogneo de centro A, massa mA e raio R unido ao bloco de massa mB por meio de uma haste AB de massa desprezvel. Admite-se que o coeficiente de atrito nos contactos entre o disco e o solo e entre o bloco e o solo seja , que o atrito na articulao em A seja desprezvel e que o sistema parta do repouso ( 0= e 0=& ) sob a ao de um binrio de momento M constante. Nessas condies, pede-se:

a) Determinar a mxima acelerao aA (horizontal) do ponto A que pode ser imposta ao sistema sem que haja escorregamento entre o disco e o solo, supondo que o sistema se mova para a direita.

b) Determinar a expresso da acelerao horizontal aA do ponto A e da fora FAB na barra AB. c) Determinar a energia cintica T do sistema e o trabalho W realizado pelos esforos atuantes no

mesmo para lev-lo do estado inicial de repouso a um estado com e & arbitrrios, supondo que no haja escorregamento entre o disco e solo e lembrando que M constante.

d) Usando o resultado do item c determinar a velocidade angular & do disco em funo de .

Dado:

2

2RmJ AA z =

g

B A

M

i j



PME 2100 MECNICA A Gabarito da Prova de Recuperao

1 Questo: (3,0 pontos) Na estrutura esquematizada abaixo, a barra BD articulada nos pontos B e D, a barra AB articulada em A e B e a barra CE articulada em C e E. Na articulao B encontra-se aplicada a fora F jr . Pede-se: (a) Os diagramas de corpo livre das barras AB, CE e BD. (1,0 ponto) (b) As foras atuantes na barra BD, nos pontos B, C e D. (2,0 pontos)

SOLUO 1 Analisando o equilbrio das barras AB, CE e BD, notamos que: 1. As barras AB e CE esto em equilbrio sob a ao de duas foras aplicadas s suas extremidades.

Logo, essas foras devem ser iguais e opostas, conforme indicado nos diagramas de corpo livre da Figura 1. Naturalmente, os sentidos sero determinados oportunamente, aps a resoluo do sistema de equaes de equilbrio.

(a) (b)

Figura 1: Diagramas de corpo livre das barras: (a) AB; (b) CE.

2. A barra BD encontra-se em equilbrio sob a ao de trs foras aplicadas nos pontos B, C e D. Logo essas foras so, necessariamente, coplanares, e o plano em que atuam o plano BDE, pois os 3 pontos de aplicao das foras (ou, seja, B, C, D) situam-se sobre a reta BD e a direo de uma das foras ( CF

r) conhecida (CE). Resta, portanto, apenas verificar se se trata de um sistema de foras

concorrentes ou paralelas (vide Figura 2).

F

B

x

A

D

C E

y

z

l

l l

2l

l

FAB

FAB A

B C E FCE FCE



Figura 2: Anlise das foras atuantes na barra BD: a) 1 hiptese: concorrentes; b) 2 hiptese: paralelas.

Para tanto, analisamos a articulao B (vide Figura 3) sobre a qual se aplica uma fora externa jFr contida no plano Axy. Essa fora equilibrada pelas duas foras internas atuantes nas

extremidades das barras AB e BD. A primeira delas ( ABFr ) tem a direo de AB, ou seja, ir ; portanto,

ABFr

e jFr encontram-se no mesmo plano Axy. Consequentemente, a terceira fora ( BFr ) dever

tambm estar no plano Axy para que o sistema de foras concorrentes { jFr , ABFr

, BFr } se equilibre.

Figura 3: Equilbrio da articulao B.

Conclui-se, assim, que a linha de ao da fora BFr

se encontra na interseco dos planos Axy e BDE. Observando a Figura 1, notamos que essa linha tem a direo de CE (ou seja, ij rr ). Aplicando-se as equaes de equilbrio de foras atuantes na articulao B (vide Figura 3), resultam:

( ) 245cos FFFF BB ==

( ) FFF BAB == 45sin

A anlise precedente nos permitiu concluir que o sistema de 3 foras atuantes na barra BD, ou seja, { CDB FFF

rrr,, } um sistema de foras paralelas, conforme ilustrado na Figura 2-b.

Para calcular as magnitudes dessas foras, suficiente aplicar as equaes de equilbrio esttico no plano BDE. Todavia, uma simples inspeo da geometria do sistema (vide Figura 4) nos permite concluir que, por causa da simetria, as foras BF

re DF

rso iguais e tm mdulo CF

r

21

. Em outras

palavras: FFC 22=

B

E C

D

B

E C

D

FB

FC

FD

FB

FC

FD

F

FAB FB B



Figura 4: Foras atuantes na barra BD (plano BDE).

SOLUO 2: Constri-se o diagrama de corpo livre das 3 barras e, sem uma anlise mais detalhada do equilbrio da barra BD (conforme descrito na Soluo 1), aplicam-se as equaes de equilbrio esttico ao n B (vide Figura 5) e s barras AB, CE e BD (vide Figura 6).

Figura 5: Equilbrio do n B.

Figura 6: Diagrama de corpo livro das barras BD, AB e CE.

Considerando-se o equilbrio do n B, resultam as equaes (1) a (3) a seguir.

00 =+= BABx FXF (1) FYFYF BBy ==+= 00 (2)

000 === BBz ZZF (3)

Considerando-se o equilbrio da barra BD, resultam as seguintes equaes (4) a (9) abaixo: 0

220 =++= CEDBx FXXF (4)

0220 == CEDBy FYYF (5)

D

FC

FB FD

2l

l l

B C

B

D

XB x y

z

YB ZB

XD

YD ZD

FCE FBA

FBA B

A

C E FCE FCE

B

F

FBA

YB

ZB

XB



000 ==+= DDBz ZZZF (6)

02220 =+= ll DCEBx YFM (7)

02220 =+= ll DCEBy XFM (8)

02220 =+= ll DCEBz YFM (9)

Resolvendo-se o sistema de equaes (1) a (9) acima, obtm-se:

FX B = FYB = 0=BZ FX D = FYD = FZ D =

FFCE 22=

2 Questo: (3,0 pontos) A extremidade A da barra AB desliza dentro de uma guia vertical com velocidade JvvA

rr= ( v constante); a barra gira ao redor do eixo z (ortogonal ao plano do papel e que

passa por A) com vetor de rotao Kr&&r = e vetor de acelerao angular Kr&&&&r = . Na extremidade B da barra h um motor que gira a esfera de centro C e raio R com um vetor de rotao i

rr = relativo

barra, de mdulo constante. O ponto D pertence esfera e sua posio tal que jRCD r= no instante considerado. Adotando a barra AB como referencial mvel e expressando as grandezas vetoriais na base ),,( kji

rrr, pedem-se:

a) (1,0 ponto) As velocidades relativa, de arrastamento e absoluta do ponto D;

b) (1,0 ponto) As aceleraes relativa, de arrastamento e absoluta do ponto D;

c) (0,5 ponto) As aceleraes relativa, de arrastamento e absoluta do ponto C;

d) (0,5 ponto) O vetor de acelerao angular da esfera de centro C.

SOLUO: Inicialmente estabelecemos a transformao geomtrica entre os sistemas de coordenadas kji

rrre

KJIrrr

, ou seja:



=

+=

=

kKjiJjiI

rr

rrr

rrr

cossinsincos

Notemos que, para um observador fixo ao referencial ligado barra AB, a esfera realiza um movimento puro de rotao em torno do eixo i

r. Dessa forma, para esse observador, a velocidade do

ponto D dada por: ( ) ( ) kRjRiCDiVV relCrelD rrrrrr ==+= ,,

Para calcular a velocidade de arrastamento do ponto D fixamos a esfera barra AB, de modo a que ambas se comportem como um nico corpo rgido. Com isso, tem-se:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] jLRViRVjRiRLkJVADkVV AarrD v&r&rrr&rr&rr ++++=++=+= cossin, Logo, a velocidade absoluta do ponto D, ser:

( ) ( )[ ] kRjLRViRVVVV arrDrelDabsD rv&r&rrv ++++=+= cossin,,, Analisando-se o movimento da esfera em relao ao referencial fixo barra AB, observamos que os pontos da esfera no situados no eixo AB realizam movimento circular uniforme ao longo do plano normal ao eixo i

r, de modo que a acelerao relativa do ponto D corresponde sua acelerao

centrpeta, ou seja: jRa relDrr 2

,=

Para calcular a acelerao de arrastamento do ponto D mais uma vez fixamos a esfera barra AB e aplicamos a frmula geral da acelerao de um corpo rgido, ou seja:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) jRLRiLRRADkkADaa AarrD r&&&r&&&r&r&&&rr 22, ++++=++= A acelerao complementar do ponto D ser: ( ) 022

,

rrr&

rrr=== kRkva relarrCorD

Portanto, a acelerao absoluta do ponto D ser: ( )( ) ( )( ) jRRLRiLRRa absD r&&&r&&&r 222, ++++=

Analisando-se de forma similar o movimento do ponto C, tem-se: 0

,

rr=relCa

( ) ( )( ) ( ) ( )iLRjLRACkkACkaa AarrC r&r&&r&r&r&&rr ++=++= 2, 02

,

rrrr== relarrCorC va

( ) ( )iLRjLRa absC r&r&&r ++= , O vetor de acelerao angular da esfera dado por:

jkikksalarrrelr

&r&&

rr&

r&&

rrr +=+=++= Re

3 Questo: (4,0 pontos) O sistema da figura composto por um disco homogneo de centro A, massa mA e raio R unido ao bloco de massa mB por meio de uma haste AB de massa desprezvel. Admite-se que o coeficiente de atrito nos contactos entre o disco e o solo e entre o bloco e o solo , que o atrito na articulao em A desprezvel e que o sistema parta do repouso ( 0= e 0=& ) sob a ao de um binrio de momento M constante. Nessas condies, pede-se:



a) (1,0 ponto) Determinar a mxima acelerao aA (horizontal) do ponto A que pode ser imposta ao sistema sem que haja escorregamento entre o disco e o solo, supondo que o sistema se mova para a direita.

b) (1,0 ponto) Determinar a acelerao horizontal aA do ponto A e a fora FAB na barra AB. c) (1,0 ponto) Determinar a energia cintica T do sistema e o trabalho W realizado pelos esforos

atuantes no mesmo para lev-lo do estado inicial de repouso a um estado com e & arbitrrios, supondo que no haja escorregamento entre o disco e solo e lembrando que M constante.

d) (1,0 ponto) Usando o resultado do item c determinar a velocidade angular & do disco em funo de

SOLUO Para que possamos aplicar os teoremas da Dinmica ao sistema considerado, construiremos os diagramas de corpo livre dos dois corpos dotados de massa e inrcia o bloco e o disco (Fig. 7).

(a) (b) Figura 7: Diagramas de corpo livre: (a) do bloco; (b) do disco.

Notemos que a barra AB, de massa desprezvel, se comporta apenas como um vnculo cinemtico entre os movimentos do bloco e do disco, impondo aos pontos A e B as seguintes restries:

BA vv = (1)

BA aa = (2) Alm disso, como o disco rola sem escorregar, o ponto de contacto do mesmo com o solo corresponde ao CIR (vide Fig. 8).

Dado:

2

2RmJ AA z =

g

B A

M

B A

M

mBg

NB FatB

FAB

NA FatA

FAB mAg



Portanto, o centro A do disco realiza movimento horizontal de translao com velocidade e acelerao dadas, respectivamente, por:

&&&, Rv A &= (3) RaA &&= (4)

Figura 8: Movimento do disco. Aplicando-se o Teorema do Movimento do Baricentro (TMB) (vide Fig. 2-a) ao movimento do bloco, obtm-se:

atBBBABatBABBB FamFFFam +== (5) gmNgmN BBBB ==0 (6)

Como o bloco encontra-se em movimento, podemos afirmar que a fora de atrito atuante sobre ele dada por:

gmFNF BatBatB == (7) (Na equao acima, admitimos que os coeficientes de atrito esttico () e dinmico (d) so iguais) Substituindo-se (7) em (5), resulta:

( )gamF BBAB += (8) Aplicando-se o TMB ao movimento do disco (vide Fig. 2-b), obtm-se:

ABatAAA FFam = (9) gmNgmN AAAA ==0 (10)

Substituindo-se (8) em (9), resulta: gmamamF BBBAAatA ++= (11)

Para que no haja escorregamento entre o disco e solo deve-se ter: gmNF AAatA = (12)

Substituindo-se (11) em (12), resulta: ( )

BA

BAA

mm

mmga

+

(13)

Portanto, a mxima acelerao aA que pode ser imposta ao sistema, sem que haja escorregamento entre o disco e o solo, :

( ) ( )BA

BAA

mm

mmga

+

=

max

(13-a)

importante notar que as expresses (13) acima satisfazem condio de movimento de rolamento puro do disco apenas se BA mm > .

Aplicando-se o Teorema do Momento Angular (TMA) ao movimento do disco (Fig. 2-b), obtm-se:

C CIR

A



RFMJ atAAz =&& (14)

Utilizando-se as equaes (4), (11) e 2

2RmJ AAz = na equao acima (14), obtm-se:

( )RgmamamMRaRm

BABAAAA ++=

2

2

,

de onde resulta:

( )( )BA

BA

mmRgRmM

a23

2+

=

(15)

Para calcular a fora atuante na barra AB, utilizamos a equao (8), a equao vincular (2) e a expresso da acelerao do ponto A (equao (15)), ou seja:

( ) ( )gamgamF ABBBAB +=+= , do que resulta:

( )( )BA

ABAB

mmRgRmMmF

2332+

=

(16)

Em uma configurao arbitrria do sistema, a sua energia cintica, composta pelas parcelas devidas aos movimentos do bloco e do disco, dada por:

222

222 &zBA ABA

DiscoBloco

JvmvmTTT ++=+= (17)

Substituindo-se na equao acima as equaes (1) e (3), bem como a expresso do momento de inrcia zAJ , obtm-se:

( ) ( )422

2222 &&& RmRmRmT ABA ++=

ou seja: ( ) ( )

4232 BA mmRT += & (18)

Para calcularmos o trabalho realizado pelas foras e momentos atuantes no sistema, desde a configurao =0 at uma dada configurao arbitrria, notemos que: 1. As foras peso e as reaes normais no realizam trabalho, uma vez que tm direo normal ao seu

deslocamento; 2. A fora de atrito no disco no realiza trabalho, pois a velocidade no ponto de contacto com o solo

nula. Portanto, alm do momento externo M, a nica fora que realiza trabalho a fora de atrito FatB atuante no bloco, ou seja:

( ) dFMWWW atBFM atB =+= (19)



onde d() o deslocamento linear do bloco B correspondente a uma rotao do disco, ou seja: ( ) Rd = (20)

Substituindo-se (7) e (20) na expresso (19) resulta: ( ) gRmMW B= (21)

Finalmente, aplicando-se o Teorema da Energia Cintica (TEC) ao sistema, a partir da configurao de repouso (=0) at uma configurao arbitrria , obtm-se:

( ) ( ) ( ) gRmMmmRWTWTT BBA =+== 4232

0&

(22)

De onde se extrai a expresso da velocidade angular do disco em funo de :

( )BA

B

mm

gRmMR 232

+

=

& (23)

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