módulo i: cálculo diferencial e integral · 2016-01-22 · limite e continuidade noc~ao intuitiva...

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”Universidade de Sao Paulo

Modulo I: Calculo Diferencial e IntegralLimite e Continuidade

Professora Renata Alcarde SermariniNotas de aula do professor Idemauro Antonio Rodrigues de Lara

PiracicabaJaneiro 2016

Renata Alcarde Sermarini Modulo I: Calculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de 2016 1 / 32

Limite e Continuidade

Nocao intuitiva de limite

Considere a funcao f definida por:

f (x) =(2x + 3)(x − 1)

x − 1.

Qual o domınio dessa funcao?Se x 6= 1, entao f (x) e dada por:

f (x) = 2x + 3.




O que acontece com a funcao quando x se aproxima de 1, por valoresmenores do que 1?

x 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999f (x) 4,8 4,98 4,998 4,9998 4,99998




Vejamos agora, o que acontece com a funcao quando x se aproxima de 1,por valores maiores do que 1.

x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001f (x) 5,2 5,02 5,002 5,0002 5,00002




Observe,

4, 8 < f (x) < 5, 2 sempre que 0, 9 < x < 1, 14, 98 < f (x) < 5, 02 sempre que 0, 99 < x < 1, 01

4, 998 < f (x) < 5, 002 sempre que 0, 999 < x < 1, 0014, 9998 < f (x) < 5, 0002 sempre que 0, 9999 < x < 1, 0001

4, 99998 < f (x) < 5, 00002 sempre que 0, 99999 < x < 1, 00001.

Desse modo,

5− ε < f (x) < 5 + ε sempre que 1− δ < x < 1 + δ,

ou ainda,|f (x)− 5| < ε sempre que 0 < |x − 1| < δ.



Definicao

Definicao 2.1

Limite de uma funcao. Seja f (x) definida num intervalo aberto I ,contendo a, exceto, possivelmente, no proprio a. Dizemos que o limitede f (x) quando x se aproxima de a e L e escrevemos

limx→a

f (x) = L,

se, para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que |f (x)− L| < ε sempre que0 < |x − a| < δ.



Definicao

Nos exemplos a seguir, provar os limites pela definicao formal.

Exemplo 2.1

limx 7→10

(2x + 1) = 21

Exemplo 2.2

limx 7→3

x2 = 9



Propriedades

Teorema 2.1

Unicidade. Se limx 7→a

f (x) = L1 e limx 7→a

f (x) = L2 entao L1 = L2.

Definicao 2.2

Propriedades dos limites. Considere limx 7→a

f (x) = L1, limx 7→a

g(x) = L2 e

c ∈ R.

P1. limx 7→a

(mx + n) = ma + n, m, n ∈ R,m 6= 0.

P2. limx 7→a

(c) = c;

P3. limx 7→a

cf (x) = c. limx 7→a

f (x) = cL1;

P4. limx 7→a

[f (x)± g(x)] = limx 7→a

f (x)± limx 7→a

g(x) = L1 ± L2;



Propriedades

P5. limx 7→a

[f (x).g(x)] = limx 7→a

f (x). limx 7→a

g(x) = L1.L2;

P6. limx 7→a

[f (x)

g(x)

]=

limx 7→a f (x)

limx 7→a g(x)=

L1

L2(L2 6= 0);

P7. limx 7→a

[f (x)]n = [ limx 7→a

f (x)]n = [L1]n;

P8. limx 7→a

[log(f (x))] = log[ limx 7→a

f (x)] = log[L1] (L1 > 0);

P9. limx 7→a

ef (x) = elimx 7→a

f (x)= eL1 ;

P10. limx 7→a

cos[f (x)] = cos[ limx 7→a

f (x)] = cos[L1].



Propriedades

Exemplo 2.3

Calcular os limites a seguir.

(a) limx 7→4

(x2 − 5x + 6)

(b) limx 7→2

x − 3

x3 − 2



Definicao

Definicao 2.3

Expressoes de indeterminacao. Na aritmetica dos limites asseguintes expressoes sao consideradas indeterminacoes:

1. ∞−∞2. 0.∞3. 0

0

4. ∞∞5. 00

6. ∞0

7. 1∞

Do ponto de vista da analise quando qualquer uma destas 7 expressoesocorre nada se pode afirmar, a priori, sobre o limite da funcao.



Definicao

Exemplo 2.4


(a) limx 7→0

x2

2x2

(b) limx 7→7

x2 − 49

x − 7

(c) limx 7→0

√4 + x − 2

x



Limites laterais

Definicao 2.4

Limites Laterais. Seja f (x) uma funcao definida em um intervaloaberto (a, c). Se quando x tende para a por valores maiores do que a, afuncao tende ao numero L, entao L e chamado de limite lateral a direitae denota-se:

limx 7→a+

f (x) = L

se, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre quea < x < a + δ.



Limites laterais

De modo analogo pode-se definir o limite lateral a esquerda, basta agoraconsiderar a funcao definida em um intervalo aberto (d , a). Assim, L serao limite lateral a esquerda de f (x) se quando x tender a a por valoresmenores, f (x) se aproximar do numero L, ou seja,

limx 7→a−

f (x) = L

se, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre quea− δ < x < a.



Limites laterais

Teorema 2.2

Existencia do limite. O limite de uma funcao quando x tende a aexiste e e L somente se existirem os limites laterais e ambos foremiguais a L.

Observacao: As propriedades de limites vistas anteriormente permaneceminalteradas quando “x 7→ a” for substituıdo por “x 7→ a−” ou “x 7→ a+”



Limites laterais

Exemplo 2.5

Calcular os limites laterais a seguir.

(a) limx 7→2+

(2x2 + 5)

(b) limx 7→0+

f (x), sendo y = f (x) dada pela lei:

f (x) :

{− |x |x se x 6= 0;

1 se x = 0;

Exemplo 2.6

Considere a funcao:

f (x) :

{x + 1 se x < 1;

−2x + 4 se x ≥ 1;

Existe limite de f (x) quando x tende a 1?



Limites no infinito

Definicao 2.5

Limites no infinito. Seja f uma funcao real definida no intervalo(a,+∞). Dizemos que o numero real L e o limite no infinito da funcaof e denota-se:

limx 7→+∞

f (x) = L

se, dado ε > 0, existe A > 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre que x > A.De modo analogo para uma funcao definida no intervalo (−∞, a):

limx 7→−∞

f (x) = L

se, dado ε > 0, existe A < 0 tal que | f (x)− L |< ε, sempre que x < A.



Limites no infinito

Teorema 2.3

Seja n ∈ N, entao:

(i) limx 7→+∞

1

xn= 0

(ii) limx 7→−∞

1

xn= 0

Exemplo 2.7


(a) limx 7→+∞

3

2x2

(b) limx 7→−∞

3x2 − 2x + 1

5x2 + x − 4

(c) limx 7→−∞

8x√3x2 + 4



Limites infinitos

Definicao 2.6

Limites infinitos. Seja f uma funcao definida em um intervalo abertocontendo a, exceto possivelmente em a. Diz-se que o limite:

limx 7→a

f (x) = +∞

e um limite infinito se, dado A > 0 existe δ > 0 tal que f (x) > Asempre que 0 <| x − a |< δ. De modo analogo para:

limx 7→a

f (x) = −∞

e um limite infinito se, dado A < 0 existe δ > 0 tal que f (x) < Asempre que 0 <| x − a |< δ.



Limites infinitos

Teorema 2.4

Seja n ∈ N, entao:

(i) limx 7→0+

1

xn= +∞

(ii) limx 7→0−

1

xn= −∞ (n ımpar) e lim

x 7→0−

1

xn= +∞ (n par)



Limites infinitos

Teorema 2.5

Sejam limx 7→a

f (x) = c (c 6= 0) e limx 7→a

g(x) = 0, entao:

(i) limx 7→a

f (x)

g(x)= +∞ se c > 0 e g(x) 7→ 0 por valores positivos;

(ii) limx 7→a

f (x)

g(x)= −∞ se c < 0 e g(x) 7→ 0 por valores positivos;

(iii) limx 7→a

f (x)

g(x)= −∞ se c > 0 e g(x) 7→ 0 por valores negativos;

(iv) limx 7→a

f (x)

g(x)= +∞ se c < 0 e g(x) 7→ 0 por valores negativos.



Limites infinitos

Exemplo 2.8


(a) limx 7→2+

x2 + 3x + 1

x2 + x − 6

(b) limx 7→−1

5x + 2

| x + 1 |



Assıntiotas

Definicao 2.7

Assıntotas horizontais e verticais do grafico de uma funcao.A reta y = b e uma assıntota horizontal do grafico da funcao y = f (x)se ao menos uma das condicoes a seguir for satisfeita:

(i) limx 7→+∞

f (x) = b

(ii) limx 7→−∞

f (x) = b



Assıntiotas

Figura: Exemplo de grafico de uma funcao com assıntota horizontalRenata Alcarde Sermarini Modulo I: Calculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de 2016 24 / 32


Assıntiotas

A reta x = a e uma assıntota vertical do grafico da funcao y = f (x) se aomenos uma das condicoes a seguir for satisfeita:

(i) limx 7→a+

f (x) = +∞

(ii) limx 7→a−

f (x) = +∞

(iii) limx 7→a+

f (x) = −∞

(iv) limx 7→a−

f (x) = −∞



Assıntiotas

Figura: Exemplo de grafico de uma funcao com assıntota verticalRenata Alcarde Sermarini Modulo I: Calculo Diferencial e Integral 11 de Janeiro de 2016 26 / 32


Assıntiotas

Exemplo 2.9

Encontrar, caso existam, as assıntotas horizontais do grafico da funcao:

y =x√

x2 + 4. Esboce o grafico da funcao.

Exemplo 2.10

Verificar se o grafico da funcao: y =x − 2

x2 − 4possui assıntotas. Esboce o

grafico da funcao.


Limite e Continuidade Limites fundamentais

Limites fundamentais

Teorema 2.6

Limite trigonometrico fundamental.

limx 7→0

sen(x)

x= 1

Exemplo 2.11

Calcular os limites:

(a) limx 7→0

sen(2x)

x

(b) limx 7→0

tag(x)

x



Limites fundamentais

Teorema 2.7

Limite exponencial fundamental.

limx 7→±∞

(1 +

1

x

)x

= e

ou

limu 7→0

(1 + u)1u = e

Exemplo 2.12

Calcular os limites:

(a) limx 7→+∞

(1 +

1

x

)3x

(b) limx 7→0

(1 + 2x)1x



Continuidade

Definicao 2.8

Diz-se que uma funcao f e contınua no ponto x = a se e somente se:

(i) Existe f (a);

(ii) Existe limx 7→a

f (x);

(iii) limx 7→a

f (x) = f (a).



Continuidade

Exemplo 2.13

Verificar se a funcao: y =x − 2

x2 − 4e contınua no ponto x = 2

Exemplo 2.14

Verificar se a funcao:

f (x) :

{x + 1 se x < 1;

−2x + 4 se x ≥ 1.

e contınua no ponto x = 1.



Continuidade

Observacoes

(i) Quando uma funcao y = f (x) e contınua em todos os pontos de umintervalo (a, b) entao ela e absolutamente contınua em (a, b);

(ii) Em geral, as funcoes racionais, trigonometricas, exponenciais elogarıtmicas sao contınuas em seus domınios;

(iii) Se f e g sao funcoes contınuas em x = a entao as funcoes f ± g ,f .g , f /g tambem serao contınuas em x = a.


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