UNIVERSIDADEESTADUALPAULISTAInstitutodeBiocincias,LetraseCinciasExatasDEPARTAMENTO DE CINCIAS DA COMPUTAO E ESTATSTICAANLISEDADINMICADEUMPNDULOELSTICOCOMEXCITAOVERTICALNOSUPORTEEduardoLimadeOliveiraDissertao de MestradoPs-Graduao em Matemtica AplicadaRua Cristovo Colombo, 2265Caixa Postal 13615054-000 - So Jos do Rio Preto - SP - BrasilTelefone: (017) 221-2200Fax: (017) 221-2200Anlisedadinmicadeumpnduloelsticocomexcitaovertical nosuporteEduardoLimadeOliveiraDissertao apresentada ao Instituto de Biocincias, Letras e Cincias Exatas da Uni-versidadeEstadual Paulista"JliodeMesquitaFilho", CmpusdeSoJosdoRioPreto, So Paulo, para a obteno do ttulo de Mestre em Matemtica Aplicada.Orientador: Prof. Dr. Masayoshi TsuchidaSo Jos do Rio PretoFevereiro 2006"Oinvernocobreminhacabea, eumaprimaveraenchemeucorao."VictorHugoDedicoaos meus pais Terezinha Lima e Osvaldo Alves;s minhas irms Elisngela, Elizabete, Tase e Tamara; adorvel Jaqueline Fioravante, e ao Brasil,terra me gentil.Agradecimentostodasaspessoasquecontriburampositivamentenaconstruodestetra-balho. Aos Professores. Dr. Masayoshi Tsuchida, pelaorientao, eincentivonodesenvolvimento deste trabalho; aos Professores , Geraldo Nunes Silva, Neuza KazukoKakuta, Dimitar K. Dimitrov, eminhanamoradaPaulaCarpintrodemoraesquemesopessoaspreciosssimas; aosamigosGleberNelsonMarqueseSrgioEduardoFerreira um agradecimento sincero pelas horas de discusses que foram imprescindveisna minha formao. Agradeo tambm aos meus amigos deste Instituto Fbio Lucas,Altamir, CristianePendeza, RicardoGodoy, JosMaricato, FlvioMolina, MarcelaFerreira, DanieleLozano, AnaCarolina, RodrigoChela, GabrielaPerez, ReginaldoIzelli, Nilton Delbem, Fernando Feltrin, Daniel, Alessandro Martins, Cssius, AdrianaO. Dias, Ambile Neiris, Danilo Elias, Rildo Pinheiro, Pedro Cruz, Jos Renato, OresteCauzeFernandoRafaeli pelasamizadesdedicadas. Capespeloauxlionanceiro.Com dedicao especial aos noivos Fernando Alessandro e Renata pela motivao quea vida presenteia.E Deus que me concede, amizades to is.iResumoO sistema dinmicoestudadoneste trabalhoconsiste deumpnduloelstico comco-ecientenolinear, presoemumsuportequeoscilaverticalmentecomfreqnciaeamplitude constantes e no afetadas pelo movimento do pndulo (problema ideal). Aanlisedosistemarealizadainvestigandoocomportamentodinmicoemfunodealguns parmetros de controle como a amplitude e freqncia de oscilao vertical. Us-ando a matriz Jacobiana da aproximao linear, escolhemos os valores dos parmetrosdoproblema,demodoqueosistemaapresenteressonnciasinternasdotipo1:1,1:2,4:9e2:5. Atravsdetcnicasnumricasusuaismostramosmovimentosregulareseirregulares(caticos), eaocorrnciadebifurcaes. Constatamosnumericamente, aexistncia de pontos de equilbrio do tipo sela, rbitas homoclnicas e ciclos limites noespao de fases.iiAbstractThe studied dynamic system in this work consists of a elastic pendulum with nonlinearcoecient, assembled in a support that oscillates vertically with constant frequency andamplitudeandnotaectedbythemovementofthependulum(ideal problem). Theanalysis of the system is performed investigating the dynamic behavior in function ofsome control parameters as the amplitude and frequency of vertical oscillation. Usingthe Jacobian matrix of linear approximation, we choose the values of the parameters ofthe problem, in way that the system presents internal resonances of the type 1:1, 1:2,4:9and2:5. Throughtheusual numerical techniquesweshowregularandirregularmovements (chaotic), and the occurrence of bifurcations. We evidence numerically, theexistenceofequilibriumpointsofthetypesaddle, homoclinicorbitsandlimitcyclesin the state space.iiiSumrioListadeFiguras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix1 SistemasDinmicosNoLineares 11.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistemas Dinmicos No Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Estabilidade do ponto de equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Estabilidade Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Linearizao e Estabilidade No Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Estabilidade Estrutural e Bifurcaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Caos em Sistemas Dinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Divergncia exponencial de trajetrias vizinhas . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Sistemas Clssicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9.1 Equao de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9.2 Equao de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9.3 Equao de Dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 AnlisedaDinmicadoPnduloElstico 23iv2.1 Equaes Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Solues Estacionrias do Pndulo Elstico. . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Consideraes Sobre o Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Resultado das Simulaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 OPnduloElsticoemRessonncia 383.1 Fase Estacionria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Fase Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 Concluso 494.1 Proposta de trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51vListadeFiguras1.1 Pndulo simples prximo aos pontos de equilbrio . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Possveis conguraes para o uxo prximo aos pontos de equilbrio no espaode fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Retrato de fases para equao de Van der Pol. . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 (a) Espao de estado do sistema de equaes de Lorenz com parmetros=10, = 28 e=83. (b) Respectivo expoente caracterstico de Lyapunov. . . 201.5 haste magneto-elstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 SecodePoincarparaoosciladordeDungcomparmetros =0.30, = = 1,= 0.15 e= 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7 Diagrama de bifurcaes da amplitude mxima para o intervalo do parmetrode controle0 3.0. Os outros valores para os parmetros so = 0.05,= 2.5 e= 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1 Ilustrao do pndulo elstico excitado parametricamente. . . . . . . . . . . 252.2 A gura (a) ilustra o uxo no espao de fases relativo ao deslocamento angular,eagura(b)ouxodadeformaodamola. AcondioinicialfoitomadaprximaaopontodeequilbrioP2. VericamosqueestepontoinstveleP1 ponto de equilbrio estvel. Os valores dos parmetros adotados nessassimulaes(a)e(b)foram=0.5, =0.2, =3.46, =1.0, =1.58,econdiesiniciais x1=ex2=0, x3=2x3, x4=0. Nagura(c)vitem-se=0, comopnduloabandonadonaposiox1=, x3=0.25evelocidade(x2, x4) = (0, 0.01). Vemos que o uxo oscila antes de convergirpara o ponto de equilbrio estvel, esse efeito pode ser explicado considerandooacoplamentoentreopnduloeamola; Nagura(d)estilustradoumasuperfciedopotencial total V/mgl com=0, quepodeesclarecermelhoresse efeito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3 Simulaorealizadacomosparmetros=0.2, =0.2, =1.0, =0,=0.5e=33_(12)2. Figura(a)e(b)ilustramosretratosdefaseparaouxox1ex3respectivamente. Sotomadasvriascondiesiniciaisprximas ao ponto de equilbrio de modo que visualizamos o ponto de sela. . 342.4 As guras (a) e (b) ilustram os retratos de fases para o deslocamento angularcomvalores deparmetros =0.01, =1.2, =0.2, =0.05e=33_(12)2, notequeoparmetrolinear dopotencial negativo. Con-statamos que o ponto de equilbrio(x1, x2) = (0, 0) ponto de sela enquantoque(x1, x2)=(, 0)focoestvel. Agura(c)mostraaamplitudex3noespao de fases, observamos que mantm oscilao constante. . . . . . . . . 352.5 Nas guras (a) e (b) esto mostradas duas simulaes geradas com condiesiniciaisx1=0.01, x2=0, x3=0, x4=0, ex1=0.01, x2=0, x3=0.03,x4= 0.03 respectivamente. Mostram a sensibilidade do sistema s condiesiniciais, j que os parmetros tm os mesmos valores. Para as condies iniciaistomadas em (b) o pndulo realiza um nmero maior voltas completas durantemesmotempo. Tambmpodemosobservarqueacondioinicialdex3teminuncia na resposta emx1, por causa do acoplamento. . . . . . . . . . . . 362.6 As guras ilustramciclos limites que surgemno espao de fases relativoaodeslocamentoangular (a), e deformaodamola(b). Foramtomadascondies iniciais dentro e fora dos ciclos, e vericamos que o uxo tende aosciclos. Osvaloresdosparmetrosparaassimulaesforamtomadoscomovii = 0.6,= 0.2,= 0.01, = 1.0, = 0.786 e = 0. . . . . . . . . . . . 362.7 rbitas homoclnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1 Nas guras (a) e (b) so ilustrados os diagramas de bifurcao angular (x1) eda mola (x3) em funo do parmetro de controle . Os valores dos parmetrosesto na coluna 1 da tabela. Notamos na gura (a) o ponto de bifurcao porduplicao de perodo. Na gura (b) vemos uma mudana signicativa entreaamplitudex3eaamplitudedeexcitaoexterna,poisouxoatravessaasecodePoincarsucessivamentecomamplitudescadavezmenores, atpraticamente se estacionar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Nos grcos so ilustrados os diagramas de bifurcao do pndulo e a mola re-spectivamente, cujos valores dos parmetros esto na tabela (coluna 2). Pode-se observar nas guras bifurcaes catastrcas, pelo fato de serem aparente-mente descontnuas no ponto de bifurcao. No ponto de bifurcao o perododo pndulo ca totalmente descompassado em relao ao perodo da fora ex-citatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Nas guras esto ilustrados os espectros dos expoentes de Lyapunov referentesaos diagramas de bifurcao acima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Nas guras (a) e (b) esto mostrados os diagramas de bifurcao para o pn-duloeamolarespectivamente. Osvaloresdosparmetrosestonatabela(coluna 3). O efeito do acoplamento ntido, pois os pontos se espalham emambasguras, nosmesmosintervalosdoparmetrodecontrole. Nessesintervalos os movimentos do pndulo e da mola so caticos. . . . . . . . . 423.5 Nas guras esto as simulaes, cujos valores dos parmetros esto na coluna3 da tabela. Em (a) temos uma viso mais ampla do diagrama de bifurcaomostradonagura3.3(a). Agura(b) mostraoespaode fases paraoviiideslocamentoangularcomparmetrodecontrole=0.33. Nagura(c)mostra o espao de fases com = 0.5, sendo que para este valor do parmetro o sistema no est em movimento catico. Em todas simulaes foi retiradaa mesma fase transiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 ExpoentescaractersticosdeLyapunovcalculadospara=0.33e=0.5.Em(a)e(b)mostramrespectivamentequeagura3.4(b)exibecomporta-mento catico, enquanto que em 3.4(c) regular. . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Na gura temos os espectros dos expoentes de Lyapunov para = 0.4, com opnduloemregimederessonncia,cujosvaloresestonacoluna3databela3.1. Ao mudarmos as condies iniciais os expoentes tornam-se diferentes masmantm-se positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8 Nasguras(a),(b)e(c),(d)estoilustradososdiagramasdebifurcaodopndulo e mola, com valores de parmetros dados nas colunas 5 e 4 respecti-vamente. Sistema com no linearidade cbica na mola. . . . . . . . . . . . 453.9 Nasguras(a)e(b)estoilustradososhitricosnotempoparaobservarocomportamento da oscilao da massa do pndulo em ressonncia 1:1(coluna1databela3.1). Quandomudamosaamplitudedeexcitaoexternade1.0para2.0,observamosnagura(a),com=1.0queamassaoscilacomamplitudeconstantedepoisdafasetransiente, eem(b)vemosqueamassarealiza voltas completas na fase estacionria se = 2.0. . . . . . . . . . . . 463.10 Ohistriconotempomostraqueaevoluoirregularenoobservadouma fase estacionria no movimento. Os valores para os parmetros esto nacoluna 3 da tabela 3.1, com = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.11 gura ilustrativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.12 Grcos de deformao mxima da mola. Em (a) mola linear (coluna 3 tabela3.1), e em (b) mola no linear(coluna 5 tabela 3.1). . . . . . . . . . . . . . 48ixCaptulo1SistemasDinmicosNoLineares1.1 IntroduoOinciododesenvolvimentodateoriadesistemas dinmicos estrelacionadocomas investigaes daMecnicaCeleste, acinciaquetratadomovimentodecorposdeslocando-se com velocidades pequenas, se comparadas velocidade da luz, especial-mente os corpos que compem o Sistema Solar [3]. Resumidamente, Newton estabele-ceuasleisqueregemomovimentodoscorposcelestesapartirdasleisdeKepler, eformulou as equaes de movimento com introduo do clculo diferencial. Com isso,foi decretado o m da anlise descritiva do sistema solar, e comeava uma nova formadeestudosondeagoraeramlevadosemconsideraoascausaseosefeitos. Nasciaassimamodelagemmatemticadesistemasdinmicosatravsdeequaesdiferenci-ais. Umasoluomuitoelegantedoproblemadedoiscorposfoi dadaporLaplace,masoproblemadetrsoumaiscorposnoadmitesoluoanalticacompleta[4]. O1grandedesaoenfrentadopelospesquisadoresdeuorigemavriastcnicasdeabor-dagemdoproblemade ncorpos, comopor exemploatcnicadeperturbaoeosmapeamentos. Com a rpida disseminao de modelagem matemtica em outras reasdo conhecimento, essas tcnicas foram adaptadas para sistemas dinmicos em geral.Nolivro"Essai Philosophiquesurlesprobabilits"(EnsaioloscosobreasProbabilidades), publicado em 1814, P. S. Laplace [1749-1827] reete a pretenso cien-tca daquela poca. Segundo ele, "se algum pudesse conhecer a posio e velocidadede cada partcula do universo num dado instante, assim como a massa dessas partcu-las, e fora a elas aplicada, ento esse algum poderia prever o futuro para o resto dotempo". EssedeterminismoLaplacianoperdeuaforanosculoXX, comaelabo-raodamecnicaqunticaeoaprofundamentonosestudosdeequaesdiferenciaisno lineares [3].J.H. Poincar [1854-1912] introduziu novas tcnicas para lidar com as equaesdiferenciais no lineares. Como podemos perceber, at o nal do sculo XIX buscavam-se frmulas que permitissem realizar previses precisas atravs da integrao analticadas equaes. Poincar percebeu que as propriedades qualitativas das solues podiamserinvestigadas, semquetaissoluesprecisassemserdeterminadasexplicitamente.Assim,em vez de procurar frmulas,ele partiu para uma abordagem qualitativa,quedescreve as caractersticas da topologia do espao de fases [3].Emsistemasnolineares, umavariaonoparmetrodosistemapodedarincioaumamudananocomportamentodosistema, muitas vezes paraumcom-portamentobastantecomplexo. Caosecomportamentocaticososinnimosusados2para descrever o comportamento temporal de um sistema quando o comportamento aperidico e "aparentemente aleatrio"(Caos Determinstico [11]) [10]. ProvavelmentePoincar foi o primeiro a vislumbrar a existncia do caos no problema dos trs corpos nasua verso simplicada [3]; Poincar concluiu que impossvel encontrar uma frmulaexata que descreva o movimento dos corpos, a partir de uma condio inicial qualquer.Ocaosocorreemumsistemadeterminstaquandoseucomportamentoaperidico(irregular)edependesensivelmentedascondiesiniciais. Poincarescreveu, sobreo problema dos trs corpos: "...pode acontecer que diferenas pequenas nas condiesiniciais produzam grandes efeitos no fenmeno nal. A previso torna-se impossvel...".O trabalho combinado de A.N.Kolmogorov [1903-1987], V.I.Arnold e J.Moser,realizadoemmeadosdosculoXX, mostrouquedependendodascondiesiniciais,as solues em srie do problema de trs corpos podem convergir ou divergir [3].Hoje podemos encontrar modelagem matemtica atravs de sistemas dinmicosem diversas reas da cincia, como os sistemas econmicos, em que se estuda a relaoentrevariveis deinteressenaeconomia, sistemas fsicos, qumicos, siolgicos, ge-olgicos, engenharias, etc. Poder haver mais que um modelo para o mesmo problema,dependendo das simplicaes introduzidas e dos objetivos a serem alcanados. Geral-menteassimplicaesdecorremdaeliminaodasinteraesrealmentedespresveis,masoenfoquedadoanlisedoproblemapodetambmdenirasimplicaoaserintroduzida. Nemsempreomodelomaiscompletooideal, poisoseuestudopodetornar-se demasiadamente complexo.31.2 SistemasDinmicosNoLinearesAdinmica no linear, essencialmente, constitui o estudo de sistemas deequaes diferenciais no lineares [10]. Considere um parmetro que descreva um sis-tema linear, tal como a constante k da fora elstica (F= kx). Se k mudado, ento afreqncia e amplitude das oscilaes resultantes mudaro, mas a natureza qualitativadocomportamentodinmicopermaneceramesma. Parasistemasnolineares,umapequenamudanaemumdosseusparmetrospodeinduzirumainesperadaesbitamudana no comportamento qualitativo do sistema.Neste captulo introduzimos alguns conceitos bsicos sobre a teoria de sistemasdinmicos, comoasdeniesdeestabilidade. Tambmmostramosexemplosclssi-cosdosquaisforamobtidos,atravsdesimulaes,grcosquejsoconhecidosnaliteratura.Temos como caracterstica bsica desistemasdinmicosnolinearesa sensi-bilidade s condies iniciais e variao de seus parmetros, e isto motiva a deniodada a seguir.Um sistema dinmico no linear contnuo, com n-0de graus de liberdade nito,pode ser descrito pelas equaes___ x = fi(x1, x2, ..., xN; 1, 2, ..., s),i = 1, 2, ...Nx = (x1, x2, ..., xN) IRNj, j= 1, 2, ... s(1.1)onde o lado direito so funes diferenciveis no lineares que dependem dos parmetrosj[2]. Os sistemas no lineares so chamados assim porque na sua constituio existe4algum componente ou subsistema no linear. Sistemas no lineares podem ter o tempoexplcitonasequaesouimplcito, dando-lheonomedeno-autnomoeautnomorespectivamente.Adinmicadossistemasnolinearesmaiscomplexadoqueadoslineares,e de um modo geral muito mais rica do que a destes,pois h fenmenos que ocorremapenas em sistemas no lineares. Uma maneira de observar o comportamento dinmicode um sistema observando osestadosdosistema.(i) Oespaodeestados,ouespaodefases,umespaoN-dimensional. Umestadorepresentadopelascoordenadasx1(t), x2(t), ..., xN(t)nesseespao. (ii) Adi-menso desse espao o nmero de equaes diferenciais de primeira ordem necessriaspara descrever esse sistema. (iii)Chama-se retrato de fases um conjunto de curvas obti-das pela evoluo do sistema a partir de um conjunto de condies iniciais. Designam-sepontosdeequilbrioaqueles que todo o estado que nele se inicia permanece inalterado,isto , sex0 ponto de equilbrio entof(x0(t)) = 0t IR.Emsetratandodesistemasnolinearespoderexistirmaisdeumpontodeequilbrio, como observado no sistema pndulo simples (gura 1.1), que tem xk= k,k =0, 1, 2, ... comopontos de equilbrio, emboraefetivamenteosistematenhasomente dois pontos de equilbrio. Um quando a massa est acima do suporte e outroquandoestabaixodele,isto,quandokforpar,querepresentaaposiodamassaabaixo, ekmpar que corresponde a massa do pndulo na posio acima do suporte.5Figura 1.1: Pndulo simples prximo aos pontos de equilbrio1.3 EstabilidadedopontodeequilbrioA denio de estabilidade do ponto de equilbrio que est apresentada abaixo no sentido de Lyapunov, e tem carter local.Umpontodeequilbrioxdito: (i)estvel se, esomentese, dado>0,existe() >0tal queparax(0) x 0 tal que para x(0) x < ,entox(t) x0,parat; (iii) instvelsearbitaseafastadopontodeequilbrionoespaodefases, isto, >0tal que >0, x(0) x0tal quese1(t0) 2(t1) 0 tal que x =fi(x; 1, 2, ..., s) topo-logicamenteequivalentea x=fi(x; 01, 02, ..., 0s), para jtais que ||j0j|| 0, talqueparaqualquercondioinicialx0equalquer >0, existepelomenosumpontox0com||x0 x0|| 0 (1.8)A taxa de crescimento exponencial chamado deexpoentecaractersticodeLyapunov. Este expoente pode ser determinado calculando o limite=limt1tLog_(t)(0)_(1.9)1notequesimplicamosanotaodafunodistncia16Esseexpoentedenidoem(1.9) naverdadeomaior dentreumconjuntodeexpoentesdeLyapunov, poisaquantidadedeexpoentesdeLyapunovigual dimenso do espao de estados.1.9 SistemasClssicosOssistemasdinmicosnolinearestmparticularidadesespeccas, ouseja,cada sistema se caracteriza pelo seu comportamento complexo e nico. Existem algunsexemplos importantes, quesolargamenteutilizados comoparadigmas, eportantotornaram-se sistemas clssicos. Apresentamos trs deles: o oscilador de Van der Pol, eos sistemas de Lorentz e Dung. O primeiro originou-se quando Van der Pol modelouum circuito eltrico. O segundo vem da simplicao das equaes diferenciais parciaisque governam a conveco em uidos, e o terceiro sistema o conhecido como osciladorde Dung, um sistema mecnico dotado de uma mola com no linearidade cbica [4].Realizamos simulaes com esses sistemas, usando os programas implementados, paravalidao dos mesmos.1.9.1 EquaodeVanderPolAequaodeVanderPol vemdeumamodelagemdoosciladorcomamor-tecimentono-linear. Essesistemapossuiumciclolimiteparaoqualconvergemass-intoticamentetodassolues. Nesteoscilador, aenergiadissipadaemamplitudesgrandesegeradaemamplitudespequenas. Essetipodesistemaapareceemmuitos17problemas fsicos [4]. A aplicao original descrita por Van der Pol [1927] modela umcircuito eltrico que possui uma vlvula com propriedades resistivas e que varia com acorrente, chamada vlvula triode. Quando a corrente pequena a resistencia baixa,mas torna-se maior quando a corrente cresce [4].A equao diferencial de Van der Pol escrita na forma x + (x, c) x + x = p(t) (1.10)onde(x)funopar,negativapara|x|c, c>0,ep(t)T-peridica, com, parmetros relacionados com as propriedades fsicas do sistema.Reescrevemos como um sistema de equaes de primeira ordem___ x = y y= x + p() (x, c) = 1(x, y, ) lR2S1(1.11)Existem estudos do sistema de Van der Pol [4] em fenmenos biolgicos, comoaspulsaesdocorao. NotrabalhodeM.SantosecoraboradoressoinvestigadososciladoresdeVanderPolacoplados[20]quepodemservirdemodeloparaoestudodo ritmo cardaco. Na gura (1.3) pode-se observar o ciclo limite no espao de fases dosistema (1.11), onde tomamos(x) = x2c,(x) = x3cx,c = 1 ep(t) = cos(t).18Figura 1.3: Retrato de fases para equao de Van der Pol.1.9.2 EquaodeLorenzEm1963, Lorenzummeteorologista, apresentaumaanlisedeumconjuntode trs equaes diferenciais ordinrias quadrticas acopladas___X= (YX)Y= X YY ZZ= X + XYonde, chamado nmero de Prandtl, nmero de Rayleigh, euma razo [4][3].Noespaoestadosdosistema, quandoosparmetrostmosvalores=83,= 10 e = 28, a gura tem semelhana com uma borboleta, como pode ser visto nagura (1.4). Para estes valores o sistema exibe um comportamento catico, e podemosconstatar que o expoente caracterstico de Lyapunov positivo conrmando a evoluocatica do sistema.19Figura 1.4: (a) Espao de estado do sistema de equaes de Lorenz com parmetros = 10, = 28 e=83. (b) Respectivo expoente caracterstico de Lyapunov.1.9.3 EquaodeDungAequaodeDung[1918] modelaumosciladornolinearcomumtermodeelas-ticidadecbicaparadescreveroefeitodadurezanamecnicadosslidos[4]. Aquivamos ilustrar esta forma da equao de Dung, particularizada quando< 0, isto ,o potencialV (x) =4x4+12x2tem o coecientenegativo. Um aparato experimentalconstitudodeumahasteexvel quevibrasobavariaodeumcampoeletromag-nticoexaemumsuportergido,ilustradonagura(1.5). Aequaodiferencialde Dung dada por x + x x + x3= sin()ou reescrevendo como sistema de equaes de primeira ordem, tem-se___ u = v v= u u3v + sin() = 120onde a amplitude da fora de excitao, com(u, v, ) IR2S1Figura 1.5: haste magneto-elstica.A gura (1.6) mostra um "atrator estranho", onde podemos observar a irreg-ularidadeemrelaoaoperododaforadeexcitaoexterna. Essaguraobtidacom a tcnica de seco de Poincar.Observequeagura(1.7) ilustraumabifurcaoobtidacomasimulao,ondeoparmetrovariadodedoismodos. Primeirode0at3,edepoisde3at0. Naverdadeestediagramadebifurcaesdeveriaserumpoucodiferente, comosramos sobrepostos, e associados a um tpico fenmeno de histerese. Mas para obter essediagrama, corretamente, exige-se o algortimo denominado detcnicadaforabruta,que no foi usado neste trabalho. Maiores detalhes sobre esse algoritmo encontradono livro de Fiedler [11].21Figura1.6: Secode Poincar paraooscilador de Dungcomparmetros =0.30, = = 1,= 0.15 e= 1.0.Figura 1.7: Diagrama de bifurcaes da amplitude mxima para o intervalo do parmetro decontrole0 3.0. Os outros valores para os parmetros so = 0.05,= 2.5 e= 0.222Captulo2AnlisedaDinmicadoPnduloElstico interessante notar que sistemas dinmicos simples do tipo massa-mola podem servirdemodeloparadiversosproblemascomplexos. Porexemplo, noincioosestudosdamecnicaqunticabasearam-senosmodelosdesistemasdinmicosdessetipo. Igual-mente, problemas vibratrios de engenharia como vibrao de estruturas ou mquinas,geralmentesomodeladoscomsistemasqueenvolvemmassaemola[21]. Poroutrolado, sistemas dinmicos pendulares desempenham um papel importante na modelagemdeproblemasvibratrios, comonoestudodefenmenosvibratriosemmecnicace-leste.Emvirtudedessecenrio,naturalqueestejamosobservandoumgrandein-teresse no estudo dessa natureza, com componente no linear e dois graus de liberdade.O modelo estudado neste trabalho constitudo por um pndulo, cuja massa suspensa23por uma mola que tem coeciente de elasticidade linear e no linear. Este pndulo estpresoaumsuportequeoscilaverticalmente[5]. Afreq unciaeaamplitudedaforaqueexcitaosistemamecnicosoconstantesenosoafetadaspelomovimentodopndulo, de modo que temos um problema ideal. O pndulo elstico (gura 2.1) para-metricamenteexcitadonadireoverticalfoimodeladoporAndradeecolaboradores[5] [6]. A modelagem matemtica foi feita a partir do formalismo Lagrangeano, atravsdas energias cintica e potencialT=12m[Z2+ u2+ (l + Z)2 2+ 2Z ucos 2 u(l + Z)sen] (2.1)V= mg((l + Z)cos + u) +kZ22+Z24(2.2)considerandou=Acos(wt), ondeAaamplitudeewafreqnciadeoscilaodaforaexterna. Adescriodosdemaisparmetrosfsicosdadaaseguir: mamassa;l o comprimento da mola em repouso;ga acelerao da gravidade terrestre;Za deformao da mola;o ngulo de oscilao do pndulo;ko coeciente linear e ocoeciente no linear da mola.Das equaes de Lagrange obtemos as equaes de movimento +2 z (l + z)+Aw2sen(wt)sen(l + z)+ gsen()(l + z)= c1 (2.3) z Aw2sen(wt)cos (l + z)2gcos() +kmz ++mz3= c2 z (2.4)24Figura 2.1: Ilustrao do pndulo elstico excitado parametricamente.ondec1 ec2 so os amortecimentos angular e radial respectivamente. Pode-se modelarum sistema dinmico usando o princpio de Hamilton e obter as equaes de movimento.DetalhesdaaplicaodoprincpiodeHamiltonpodemseremvistosnotrabalhodeBelato [16], onde o sistema modelado biela-manivela-pndulo, e tambm no trabalhodeFeniliecolaboradores[14],emqueosistemaconsideradoumaestruturaexvelcom elasticidade no linear.A anlise da dinmica do sistema pode ser feita atravs da variao de algunsparmetros,comoaamplitudeoufreqnciadeexcitaoexterna. Essesparmetrospassam a ser chamados deparmetrodecontrole, e obviamente a escolha dos mesmosdependedascaractersticasfsicasdoproblemamodelado, edotipodeinvestigaoque se deseja fazer.Asoluonumricadasequaesdiferenciaisdemovimentoajudaailustrar25o uxo no espaos de fases, e a anlise analtica realizada em torno de um ponto deequilbriodosistemaatravsdeumaaproximaoemprimeiraordemdasequaes.Umaaproximaoanalticaparaasoluodopnduloelsticoharmonicamenteexci-tadofoi obtidaporLeeePark[19] atravsdomtododemltiplasescalas. Zaki ecolaboradores [9] estudam o efeito da fora harmnica que excita um pndulo elsticotangencialmente ao deslocamento da massa, e so estabelecidas rotas para o comporte-mentocatico. Opnduloelsticoestsendobeminvestigadopordiversosautores,onde a excitao externa do suporte pode aparecer tanto na direo horizontal ou ver-tical. Paraalgunsmodelosdopnduloelsticoexistemmaisqueumafonteexternade excitao. Por exemplo no trabalho de Zadpoor [18], alm de ser considerada umaexcitao peridica externa vertical no suporte, existe tambm uma exitao peridicatangencial ao deslocamento da massa. Bishop e Xu [7] estudaram a dinmica e controlede um sistema pendular excitado verticalmente, porm com haste rgida.O estudo do comportamento global no espao de fases tambm pode ser feitoobtendoumasoluoanalticaaproximada. Essetipodeanlisepodeserrealizadocom o uso do mtodo de mltiplas escalas, ou obtendo a funo de Melnikov que medeadistnciaentreasvariedadesestvel einstvel deumpontodesela. Faouzi [15]usaafunodeMelnikovpararealizaroestudoderegiescaticascomrespeitoaosparmetrosdeumsistemaparametricamenteexcitado,enotrabalhodeHueDowell[17] pode ser vista a aplicao do mtodo de mltiplas escalas para a anlise das prin-cipaisressonnciasnoosciladordeDungforado. Apropostadesteestudolevaraefeitoumaanlisedocomportamentodinmicoutilizandoalgunsmtodosampla-26menteexperimentados, comodiagramasdebifurcaesdecodimensoum, expoentecaractersticodeLyapunovquemedeasensibilidadescondiesiniciaisparacertosintervalosdevaloresdosparmetros, emapasdePoincarparadestacarcomporta-mentos regulares e irregulares.O estudo de um sistema dinmico feito obedecendo uma seqncia lgica deprocedimentos, de modo que o conhecimento sobre o mesmo seja adquirido gradativa-mente. O primeiro passo a determinao das equaes diferenciais do movimento, asquais esto dadas em(2.3) e (2.4). As variveis e os parmetros fsicos que aparecemnas equaes possuem dimenses, e ento praxe utilizarmos grandezas adimensionais,inclusive a varivel independentet. Com o adimensionamento eliminamos o problemadeescolhaadequadadaescalaparaanalisarosistemadinmico. Aseguirimpre-scindvel a determinao dos pontos de equilbrio, pois sistemas dinmicos no linearessoanalisadosnavizinhanadessespontosdeequilbrio, atravsdossistemalinearassociado, mtodos de perturbao e simulaes numricas. A estabilidade dos pontosdeequilbrioestabelecidapelosautovaloresdamatrizJacobianaJ, quandoaparterealdosautovaloressonulasnadapodemosarmarsobreaestabilidadedosistemanolinear. Nestecasoopontodeequilbrioditonohiperblico, eoteoremadeHartmann-Grobman no pode ser utilizado.272.1 EquaesAdimensionaisIntroduzindoasrelaes =_glt=teZ=lz, asequaesdemovimento(2.3)e(2.4) escrevem na forma adimensional como +_2 z1 + z+(1 + z)2_ + (2sen() + 1)sen1 + z= 0 (2.5) z + z (1 + z) 2(2sen() + 1)cos + z + z3= 0 (2.6)onde =Al , =1,=c1ml21,=c2m1, =2l22=ml22e =202, com0=_kme =_m.Podemos adimensionar o tempo de uma outra forma, por exemplo, se tomandoa relao=_kmt ao invs de=_glt, ento a equao (2.4) ca z + z (1 + z) 2(2sen() + )cosz + z3= 0 (2.7)onde =Al , =0,=gl20, =2l220,=c220e=c120.A escolha de um ou outro adimensionamento no interfere na anlise qualita-tiva do sistema, mas apenas no modo de medir o tempo, isto , ou usamos a escala defrequncia da mola ou a escala de frequncia do pndulo.2.2 SoluesEstacionriasdoPnduloElsticoO ponto de equilbrio, tambm chamado de ponto xo, uma soluo estacionria dosistema. Nessepontoosistematemsuasvelocidadesnulas. Escrevemosasequaes(2.5)e(2.6)comoumsistemadeequaesdiferenciaisdeprimeiraordememtermos28das variveis de estado = x1 = x1= x2z= x3 z= x3= x4,isto ,(x1, x2, x3, x4) = (,, z, z), e escrevemos o sistema___ x1= x2 x2= (2sen+1)senx11+x3[2x41+x3+(1+x3)2]x2 x3= x4 x4= (2sen+ 1) cos x1 + (1 + x3)x22x3x33x4(2.8)Fazendo ( x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 0, 0) em (2.8), determinamos os pontos de equi-lbrioP1eP2, que so dados porP1=___x11= 0x21= 0x41= 0x31= {[(3)3+ (12)2]12+12}13{[(3)3+ (12)2]1212}13(2.9)P2=___x12= x22= 0x42= 0x32= {[(3)3+ (12)2]1212}13{[(3)3+ (12)2]12+12}13, (2.10)29ondeovalordex3j(j=1, 2)dependedoscoecienteslinear()enolinear()dopotencial elstico presente no sistema. Note quex31= x32.Realizamosumatranslaodosistemadecoordenadasparalevaropontodeequilbrio P1para origem. Como as coordenadas do ponto xo P1so todas nulas comexceo dex31,1assim a translao se resume na mudana de varivelx3x3 +x3, eescrevemos o sistema (2.8) como___ x1= x2 x2= (2sen+1)1+x3+x3senx1[2x41+x3+x3+(1+x3+x3)2]x2 x3= x4 x4= (2sen+ 1) cos x1 + (1 + x3 + x3)x22(x3 + x3)(x3 + x3)3x4(2.11)Observamos que os pontos de equilbrio, coma translao, so dados por P1=(0, 0, 0, 0) eP2= (, 0, 2x3, 0).AmatrizJacobiana(J44)diagonalporblocos,eissofacilitaoclculodosautovalores que so zeros do seu polinmio caracterstico. TemosJ=__0 1 0 011+x3(1+x3)20 00 0 0 10 0 3(x3)2__1nota: umavezescolhidoopontoPjparatranslao,suprimimosondicejdex3j30e os autovalores dessa matriz so= 212_24[ + 3(x3)2] (2.12)= 2(1 + x3)2_24(1 + x3)32(1 + x3)2. (2.13)Quando24[+3(x3)2]