md 6funcoes.pdfpombo

Funes

Antonio Alfredo Ferreira [email protected]

http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro

Olga Nikolaevna [email protected]

UFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 1

Sumrio

Introduo

Sequncia como funo

Funo como codificao/decodificao de bits

Autmato finito

Funo injetiva e funo hash

Funes sobrejetiva, bijetiva e inversa

Princpio da casa de pombo

Composio de funes

Funo de complexidadeUFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 2

Introduo

Sejam dois conjuntos A e B. Suponha que cada elemento de A possa serassociado a um elemento especfico de B. A relao entre elementos de A eB chamada de funo.

Funes so normalmente representadas por uma nica letra como, porexemplo, f , g, h, F , G. Funes especiais so denotadas por strings, comolog, exp e sin.


Introduo

Definio: A funo f de um conjunto X para um conjunto Y uma rela-o entre elementos de X e elementos de Y com a propriedade que cadaelemento de X est relacionado a um nico elemento de Y . A notao f : X Y significa que f uma funo de X para Y . O conjunto X chamado de domnio e o conjunto Y de co-domnio. Faixa de f ou imagem de X para f : conjunto de todos os valores que f

pode assumir:

Faixa de f : {y Y |y = f(x), para algum x X} Imagem inversa de y = {x X|f(x) = y}

Implicao: Cada elemento de X pode ser associado a um e somente um elemento

de Y .


Introduo

Sejam os conjuntos finitos X e Y definidos da seguinte forma: X = {a, b, c}e Y = {1,2,3,4}. A funo f : X Y pode ser definida por um diagrama,como por exemplo:

4

f

a

bc

123

Domnio de f = {a, b, c};Co-domnio de f = {1,2,3,4}.

f(a) = 2; f(b) = 4; f(c) = 2.

Faixa de f = {2,4}. Imagem inversa de 1 = ;

Imagem inversa de 2 = {a, c};Imagem inversa de 3 = ;Imagem inversa de 4 = {b};

A funo f representada como um conjunto de pa-res ordenados = {(a,2), (b,4), (c,2)}.


Introduo

Exemplos de funes: f : x x2.f : R R a funo quadrado.

f : n n+ 1.f : Z Z a funo sucessor.

f : r 2.f : Q N a funo constante.

Definio (Igualdade de funes): Sejam f e g funes definidas de X em Y .Ento,

f = g, sse f(x) = g(x), x X.


Introduo

Exemplos:Sejam f e g funes definidas para todo x R.(a) f(x) = |x| e g(x) =

x2. f = g?

Sim. |x| =x2, x R.

(b) Sejam as funes

f + g : R R eg + f : R R

definidas como:(f + g)(x) = f(x) + g(x), x R e(g + f)(x) = g(x) + f(x), x R.

f + g = g + f?

(f + g)(x) = f(x) + g(x) definio de f + g= g(x) + f(x) comutatividade da adio= (g + f)(x) definio de g + f


Sequncias como funes

Uma sequncia uma funo definida no conjunto dos inteiros a partir de umvalor especfico.

Por exemplo, a sequncia1, 12, 13, 14, . . . ,

(1)nn+1 , . . .

pode ser definida como uma funo f dos inteiros no-negativos para osnmeros reais, isto ,

0 11 122 13

...

n (1)nn+1

Formalmente, f : Z0 R, onde

f(n) =(1)nn+ 1


Sequncias como funes

A funo que define essa sequncia nica?No. Por exemplo, f : N R, onde

f(n) =(1)n+1

n


Funes de codificao/decodificao de bits

Mensagens transmitidas atravs de canais de comunicao so frequente-mente codificadas de formas especiais para reduzir a possibilidade de seremcorrompidas devido interferncia de rudos nas linhas de transmisso.

Uma possvel forma de codificao repetir cada bit trs vezes. Assim, amensagem

00101111

seria codificada como000000111000111111111111


Funes de codificao/decodificao de bits

Seja = {0,1}. o conjunto de todos os strings que podem ser for-mados com 0 e 1. Seja L o conjunto de todos os strings formados de quepossuem triplas de bits idnticos.

Funo de codificao:E : L, onde E(s) o string obtido de s trocando cada bit de s pelomesmo bit repetido trs vezes.

Funo de decodificao:D : L , onde D(t) o string obtido de t trocando cada trs bits conse-cutivos idnticos de t por uma nica cpia desse bit.

Qual a capacidade de correo deste mtodo? Um bit trocado em cada tripla de bits idnticos enviados pela origem.


Funo da distncia de Hamming

A funo da distncia de Hamming usada em Teoria da Informao. Essafuno fornece o nmero de bits que dois strings de tamanho n diferem posi-o a posio.

Seja = {0,1} e n o conjunto de todos os strings de tamanho n. A funoH : n n Z+ definida da seguinte forma:

Para cada par de strings (s, t) n n, H(s, t) o nmero deposies nos quais s e t tm valores diferentes.

Exemplo:Seja n = 5. H(11000,00000) = 2 H(11111,00000) = 5 H(10001,01111) = 4


Funes booleanas

Definio: Uma funo Booleana f uma funo cujo domnio o conjuntode todas n-tuplas ordenadas de 0s e 1s e cujo co-domnio {0,1}.Formalmente, o domnio de uma funo Booleana pode ser descrito como oproduto Cartesiano de n cpias do conjunto {0,1}, que representado por{0,1}n. Logo,

f : {0,1}n {0,1}.

Que tipo de circuito lgico definido por este tipo de funo? Circuito combinatrio, onde o valor da sada s depende dos valores da

entrada.


Funes booleanas

Exemplo: f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) mod 2

Entrada Sadax1 x2 x3 (x1 + x2 + x3) mod 2

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1


Verificando se uma funo bem-definida

Seja uma funo f definida do conjunto dos racionais para o conjunto dosinteiros, ou seja, f : Q Z, sendo que

f :m

n m, inteiros m, n e n 6= 0

A funo f bem-definida? No.

12 =

36

... f(12) = f(

36)

Mas,

f(12) = 1

f(36) = 3

... f(12) 6= f(36)


Funo Estado Os problemas em Cincia da Computao podem ser vistos, de uma forma

geral, conforme o diagrama abaixo:

ModeloComputacionaldo Problema

-Entrada 1

-Entrada n

...

-Sada 1

-Sada m

...

Em muitos casos, os valores das sadas dependem no somente dos valoresda entrada, mas tambm do estado corrente do sistema. Neste caso, a sadano pode ser representada por uma funo somente da entrada.

Alguns dos sistemas onde isso ocorre frequentemente so: Sistemas reativos Sistemas concorrentes Sistemas distribudos Sistemas digitais


Autmato finito

Um autmato finito (AF), em ingls Finite Automaton ou Finite State Automaton ou Finite State Machine um modelo matemtico de um sistema que possui entradas e sadas dis-cretas.

O sistema pode estar num estado dentre um conjunto finito de estados ouconfiguraes.

O estado do sistema sumariza a informao relacionada com entradas pas-sadas que necessria para determinar o comportamento do sistema ementradas subsequentes.


Autmato finito

Exemplo: O mecanismo de controle de um elevador no precisa lembrartodas as requisies anteriores de servio, mas somente o andar corrente, adireo de movimento e as requisies pendentes.

Computador digital: pode ser modelado por um autmato finito. Exemplo: mquina de doce que custa 20 centavos e aceita moedas de 5 e 10

centavos

10 Dep

5

10

5

5 5

5 10

10

10

0 Dep

5 Dep 15 Dep

20 Dep


Autmato finito

Definio: um autmato finito uma quintupla A = (I, S, s0, Q,N), ondeI: alfabeto de entrada para o autmato, ou seja, conjunto de smbolos vli-

dos.

S: conjunto de estados do autmato.

s0: estado inicial do autmato, onde s0 S.Q: conjunto de estados finais, onde Q S.N : funo de transio ou de prximo estado, onde N : S I S.

Observao importante: essa definio define um autmato determinstico.


Autmato finito

Seja um autmato A = (I, S, s0, Q,N), ondeI = {0,1}S = {s0, s1, s2}s0 = estado inicial do autmato, onde s0 S.Q = {s2}, onde Q S.N = {(s0,0, s1), (s0,1, s0), (s1,0, s1), (s1,1, s2), (s2,0, s1), (s2,1, s0)}.

A operao de um autmato finito normalmente descrito por um diagramade transio de estados.

10

1

01

0s 1s s 2

0


Autmato finito

Uma outra forma de representar a operao do autmato (funo de prximoestado N ) atravs da tabela do prximo estado.

Entrada0 1

Inicial s0 s1 s0Estado s1 s1 s2

Final s2 s1 s0

10

1

01

0s 1s s 2

0


Autmato finito com sada

Uma limitao do autmato finito apresentado que a sada restrita a um si-nal binrio SIM/NO que indica se a entrada aceita ou no, respectivamente.

Existem dois modelos que consideram um alfabeto de sada diferente desim/no (os dois modelos so equivalentes): Mquina de Moore (Moore machine) Mquina de Mealy (Mealy machine)

Mquina de Moore: uma sxtupla (I, S, s0, N,, ), onde I, S, s0 e N so como antes. o alfabeto de sada para o autmato e a funo de sada, onde : S . Sada associada com o estado.

Mquina de Mealy: uma sxtupla (I, S, s0, N,, ), onde todos os elementos da tupla soidnticos aos da Mquina de Moore exceto que definida de SI . Sada associada com a transio.UFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 22

Linguagem aceita por um autmato

Definio: Seja A um AF com alfabeto de entrada I. Seja I o conjunto detodos os strings sobre I e seja w um string em I. Diz-se que w aceitopor A sse A comea no estado inicial e aps todos os smbolos de w seremfornecidos em sequncia para A, o autmato pra num estado final.

A linguagem aceita por A, representada por L(A), o conjunto de todos osstrings aceitos por A. L(A) chamada de linguagem regular, e A representa um autmato que

aceita uma expresso regular.

Qual a linguagem aceita por A?

10

1

01

0s 1s s 2

0

Todos os strings que terminam com a sequncia 0 1, i.e., (0 1)0 1 ,onde o sobrescrito significa a ocorrncia de 0 ou mais vezes do smboloou sequncia em questo.


Funo do estado final

Suponha que um autmato esteja num estadono necessariamente oiniciale recebe uma sequncia de smbolos. Em que estado o autmatoterminar? Depende da combinao de smbolos de entrada e estados, e dado pela

funo do estado final.

Definio: Seja A um autmato e I definidos como antes e seja a funo doestado final N : S I S. Se s S e w I ento N(s, w) o estadopara o qual o autnomo pra quando todos os smbolos de w so fornecidosem sequncia para A a partir do estado s.


Funo do estado final

Exemplo: dado o autmato abaixo, determine N(s1,10110)

10

1

01

0s 1s s 2

0

s11 s2 0 s1 1 s2 1 s0 0 s1

ou seja,

N(s1,10110) = s1.


Projetando um AF que aceita uma linguagem

Projete um AF para aceitar strings de 0s e 1s que contm exatamente umnico 1.

0*10*0*Estado vlido

0*11(0*1*)* 0

1s 2s

0,10 01 1

s

Projete um AF para aceitar strings de 0s e 1s para os quais o nmero de 1s divisvel por 3.

11

0 0

0

1 1

s 2

s 0 s

Linguagem aceita: 0(101010)


Implementando um AF atravs de um programa

30

01

1

1

0

1

0s 0 s

1 s 2 s

Seja o autmato ao lado que reco-nhece todos os strings que terminamem 011.

Um possvel algoritmo em alto nvelque imita o funcionamento do aut-mato :

EXECUTAAUTMATO(A)

1 state 02 symbol primeiro smbolo do string de entrada3 while symbol 6= 4 do choose state of5 0: if symbol = 0 then state 1 else state 06 1: if symbol = 0 then state 1 else state 27 2: if symbol = 0 then state 1 else state 38 3: if symbol = 0 then state 1 else state 09 symbol prximo smbolo do string de entrada

10 return state O estado final 3 sse o string termina em 011


Implementando um AF atravs de um programa

Um outro possvel algoritmo em alto nvel que imita o funcionamento do aut-mato e usa a funo do prximo estado :

EXECUTAAUTMATO(A)

1 state 0 Para cada linha abaixo ser atribudo a cada coluna o valor correspondente

2 N [0, ] [1,0]3 N [1, ] [1,2]4 N [2, ] [1,3]5 N [3, ] [1,0]6 symbol primeiro smbolo do string de entrada7 while symbol 6= 8 do state N [state, symbol]9 symbol prximo smbolo do string de entrada

10 return state O estado final 3 sse o string termina em 011


Funo injetiva

Definio: Seja F : X Y . F uma funo um-para-um ou injetiva ssepara todos x1, x2 X,

se F (x1) = F (x2) ento x1 = x2,

ou

se x1 6= x2 ento F (x1) 6= F (x2)


Funo injetiva: Aplicao funo hash

Motivao: suponha que deseja-se procurar (pesquisar) o mais rpido poss-vel alguns valores (chaves) que no esto ordenados. Uma possvel soluo definir uma funo que usa a prpria chave para saber a sua localizao noconjunto de valores.

Esta funo conhecida como funo hash. Objetivo ideal: funo hash seja injetiva para que no haja colises de cha-

ves.

Para tornar este mtodo aceitvel temos que resolver dois problemas:(i) Encontrar uma funo h(k) que possa espalhar as chaves de forma uni-

forme pela tabela.(ii) Encontrar um mecanismo para resolver o problema de localizar um regis-

tro com chave k entre aquelas cujas chaves colidem na mesma entradada tabela.


Funo hash

Por melhor que seja a funo h(k) e por mais esparsa que seja a ocupaoda tabela colises ocorrem!

Paradoxo do aniversrio: Quando 23 ou mais pessoas esto juntas existe mais de 50% de chance

que duas pessoas tenham a mesma data de aniversrio.

Logo, uma tabela com 365 entradas e com 23 chaves ou mais, cujos en-dereos so calculados como se fossem uniformes e randmicos, mais dametade das vezes, duas ou mais chaves vo ter o mesmo endereo natabela.


Funo hash

Uma funo de transformao deve mapear chaves em inteiros (ndices) den-tro do intervalo [0..M 1] onde M o tamanho da tabela.

A funo de transformao ideal aquela que:1. Seja simples de ser computada, e2. Para cada chave de entrada, qualquer uma das sadas possveis igual-

mente provvel de ocorrer.

Mtodo mais usado: Usa o resto da diviso inteira por M :

h(k) = k mod M

onde k um inteiro correspondente chave e que representa um ndice natabela.


Exemplo de funo hash

Seja a i-sima letra do alfabeto representada pelo nmero i, ondeA = 1, . . .. Seja a funo hash

h(k) = k mod M

onde M = 7.

A insero das chaves L, U, N, E, S, nesta ordem, fornece os seguintes valo-res:

h(L) = 12 mod 7 = 5h(U) = 21 mod 7 = 0h(N) = 14 mod 7 = 0h(E) = 5 mod 7 = 5h(S) = 19 mod 7 = 5

Uma possvel insero na tabela seria:0 1 2 3 4 5 6U N S L E


Exemplo de funo hash

Transformao de chaves no numricas em nmeros:

k =ni=1

Chave[i] p[i],

onde n o nmero de caracteres da chave; Chave[i] corresponde representao ASCII do i-simo caractere da

chave; p[i] um inteiro de um conjunto de pesos gerados randomicamente para

1 i n.

Vantagem em usar pesos: Dois conjuntos diferentes de pesos p1[i] e p2[i], 1 i n, leva a duas

funes de transformao h1(k) e h2(k) diferentes.


Funo hash perfeita

Se h(ki) = h(kj) sse i = j, ento no h colises, e a funo de trans-formao chamada de funo de transformao perfeita ou funo hashperfeita (hp).

Se o nmero de chaves N e o tamanho da tabela M so iguais ento temosuma funo de transformao perfeita mnima.

Se ki kj e h(ki) h(kj), ento a ordem lexicogrfica preservada.Neste caso, temos uma funo de transformao perfeita mnima com ordempreservada.


Funo hash perfeita: Comentrios

No h necessidade de armazenar a chave, pois o registro localizado sem-pre a partir do resultado da funo de transformao.

Uma funo de transformao perfeita especfica para um conjunto de cha-ves conhecido.


Funes sobrejetiva, bijetiva e inversa

Definio (funo sobrejetiva):Seja F : X Y . F uma funo sobrejetiva sse para todo y Y possvelachar um x X tal que F (x) = y.

Definio (funo bijetiva):Seja F : X Y . F uma funo bijetiva sse F injetiva e sobrejetiva.

Definio (funo inversa):Seja F : X Y uma funo bijetiva. Existe uma funo F1 : Y X talque

F1(y) = x y = F (x)


O princpio da Casa de Pombo ouThe Pigeonhole Principle

Princpio (1a verso):Se n pombos (pigeons) entram em m casas numpombal (pigeonholes) e n > m, ento pelo menosuma das casas deve conter dois ou mais pombos.

Peter Dirichlet (1805-1859), matemticoalemo. Foi o pri-meiro a expressaresse princpio em1834, que tem im-

portantes aplicaes em teoria dosnmeros.


O princpio da Casa de Pombo ouThe Pigeonhole Principle

Princpio (2 a verso):Uma funo definida de um conjunto finito para outro conjunto finito menorno pode ser injetiva. Existem pelo menos dois elementos no domnio quetm a mesma imagem no co-domnio.

Aplicaes deste princpio esto por toda parte em Cincia da Computa-o.

Exemplo: funo hash em pesquisa e criptografia.


O princpio da Casa de Pombo: Exemplos

Num grupo de seis pessoas, existem obrigatoriamente pelo menos duas quenasceram no mesmo ms? No.

E se considerarmos 13 pessoas? Sim.

Existem pelo menos duas pessoas em BH que tm o mesmo nmero de fiosde cabelo? Sim, j que a populao de BH superior a 2 milhes de habitantes e

sabe-se que uma pessoa tem no mximo 300 mil fios de cabelo.

Voc acaba de acordar, mas ainda no abriu os olhos, e abre uma gaveta demeias que tem cinco pares de meias verde-limo e cinco amarelo-ouro. Qual o nmero mnimo de meias que voc deve pegar para ter um par da mesmacor? Trs. Duas podem ser diferentes mas a terceira tem que ser obrigatoria-

mente de uma das duas cores e assim tem-se um par.UFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 40


Seja um tringulo equiltero com lado igual a 1. Se cinco pontos so selecio-nados no interior do tringulo ento existe um par de pontos que est a umadistncia menor que 1/2? Sim. Basta dividir o tringulo em quatro tringulos equilteros com lado

igual a 1/2.

Seja A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Se cinco inteiros so selecionados de A,existe pelo menos um par de nmeros cuja soma 9? Sim. Existem quatro pares que tm soma 9: {1,8}, {2,7}, {3,6}, {4,5}.

Logo, pode-se selecionar quatro nmeros, cada um num conjunto. Como oquinto cair em um dos quatro ento tem-se a soma 9.

E se selecionarmos apenas quatro nmeros? No.



Seja S um conjunto com cinco nmeros inteiros positivos (Z+) e distintos cujomaior nmero 8. Prove que existem pelo menos duas somas iguais dos n-meros dos subconjuntos no-vazios de S.

Prova: Seja sA a soma dos nmeros de um subconjunto no-vazio de S. Qualquer subconjunto de S pode ter no mximo uma soma

sA 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30(Caso A tenha os maiores nmeros e considerando o subconjunto com todos eles)

e no mnimo uma soma de

sA 1.(Caso A tenha o nmero 1 e considerando o subconjunto com ele apenas)

i.e.,

1 sA 30.UFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 42


S possui 25 1 = 31 subconjuntos no-vazios.(Lembre-se que o conjunto potncia de um conjunto de n elementos possui 2n elementosincluindo um elemento que o conjunto vazio.)

Existem 30 pigeonholes, ou seja, qualquer soma desses subconjuntos estentre 1 e 30.

Alm disso, existem 31 conjuntos (pigeons), que devem ter somas entre 1 e30.

Assim, pelo princpio da Casa de Pombo existem pelo menos dois subcon-juntos que tm a mesma soma.



Seja L a linguagem que consiste de todos os strings da forma akbk, onde k uminteiro positivo. Simbolicamente, L a linguagem sobre o alfabeto = {a, b}definida por

L = {s |s = akbk, k 1}.Prove que no existe um autmato finito que aceita L.



Prova (por contradio): Suponha que exista um autmato finito A que aceita L.

A tem um conjunto finito de estados s1, s2, . . . , sn, onde n um inteiropositivo.

Considere agora os strings que comeam com a, a2, a3, a4, . . . . No entanto,existem infinitos strings que comeam com a e um nmero finito de estados.

Logo, pelo princpio da Casa de Pombo existe um estado sm (estado queconta as), com m n, e dois strings de entrada ap e aq, onde ou p ou q maior que n e os dois strings so relacionados com esse estado.

Isto significa que depois de entrar com p as, o estado do autmato sm eentrando com p bs o autmato vai para o estado final sm.

Mas isso tambm implica que aqbp vai para o estado final j que aq tambmpra em sm antes de entrar com os bs.

Por suposio, A aceita L. J que s aceito por A, s L. Mas pela definiode L, L consiste apenas dos strings que tm o mesmo nmero de as e bs ej que p 6= q, s 6 L. Logo, tem-se que s L e s 6 L, que uma contradio.

A suposio falsa e no existe um autmato que aceita L.UFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 45

Generalizao do princpio

Princpio (3 a verso):Para qualquer funo f , definida de um conjunto finito X para um conjuntofinito Y e para qualquer inteiro positivo k, se |X| > k |Y |, ento existealgum y Y tal que y a imagem de pelo menos k + 1 elementos distintosde X.

Princpio (4 a versocontrapositivo):Para qualquer funo f , definida de um conjunto finito X para um conjuntofinito Y e para qualquer inteiro positivo k, se para cada y Y , f1(y) temno mximo k elementos ento X tem no mximo k |Y | elementos.


Generalizao do princpio

Use a generalizao do princpio da Casa de Pombo para mostrar que numgrupo de 85 pessoas, a primeira letra dos nomes de pelo menos quatro pes-soas a mesma. 85 > 3 26 = 78. Logo, a letra inicial dos nomes de pelo menos quatro

pessoas a mesma.

O mesmo resultado pode ser dado usando a forma contrapositiva e a nega-o. Suponha que no existam quatro pessoas que tm a mesma letra inicial no

primeiro nome. Assim, no mximo trs pessoas tm a mesma letra. Pelaforma contrapositiva da generalizao do princpio da Casa de Pombo istoimplica num total de 3 26 = 78 pessoas. Mas isto uma contradio poisexistem 85 pessoas. Logo, pelo menos quatro pessoas tm a mesma letrainicial no primeiro nome.


Princpio da Casa de Pombo

Definio (conjunto finito): Um conjunto X finito sse o conjunto vazio ouexiste uma correspondncia um-para-um do conjunto {1,2, . . . , n} para X,onde n um inteiro positivo. No primeiro caso, o nmero de elementos zeroe no segundo caso n. Um conjunto que no finito chamado de infinito.

Teorema (O princpio da Casa de Pombo):Para qualquer funo f de um conjunto finito X para um conjunto finito Y , sea cardinalidade de X maior que a de Y ento f no injetiva.

Teorema:SejamX e Y conjuntos finitos com o mesmo nmero de elementos e suponhaque f uma funo de X para Y . Ento f injetiva sse f sobrejetiva. (f uma funo sobrejetiva sse para todo y Y possvel achar um x X tal que f(x) = y.)


Composio de funes

Definio (composio de funes): Sejam f : X Y e g : Y Z funescom a propriedade que a faixa de f um subconjunto do domnio de g, i.e.,Y Y . Defina uma nova funo g f : X Z da seguinte forma:

(g f)(x) = g(f(x)), x X.A funo g f chamada de composio de f e g.

Exemplo: f : Z Z, f(n) = n+ 1. g : Z Z, g(n) = n2.

f g ?= g f.(g f)(n) = g(f(n)) = g(n+ 1) = (n+ 1)2, n Z(f g)(n) = f(g(n)) = f(n2) = n2 + 1, n Z... f g 6= g f.


Composio com a funo identidade

f ix = f(ix) = f(x),onde ix a funo identidade.

ix f = ix(f(x)) = f(x),onde ix a funo identidade.

Teorema:Se f uma funo de X para Y , e ix a funo identidade em X e iy afuno identidade em Y , ento

f ix = f

iy f = f Teorema:

Se f : X Y uma funo bijetiva com funo inversa f1 : Y X,ento

f1 f = ix

f f1 = iyUFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 50

Composio de funo injetiva e funosobrejetiva

Teorema:Se f : X Y e g : Y Z so funes injetiva, ento g f injetiva.

Teorema:Se f : X Y e g : Y Z so funes sobrejetiva, ento gf sobrejetiva.


Cardinalidade de conjuntos

Definio (mesma cardinalidade): Sejam A e B quaisquer conjuntos. A tema mesma cardinalidade de B sse existe uma correspondncia um-para-umde A para B. Em outras palavras, A tem a mesma cardinalidade que B sseexiste uma funo f de A para B que injetiva e sobrejetiva (i.e., bijetiva).

Teorema:Para todos os conjuntos A, B e C,(a) A tem a mesma cardinalidade que A. propriedade reflexiva da cardinalidade.

(b) Se A tem a mesma cardinalidade que B, ento B tem a mesma cardina-lidade que A. propriedade simtrica da cardinalidade.

(c) Se A tem a mesma cardinalidade que B, e B tem a mesma cardinalidadeque C ento A tem a mesma cardinalidade que C. propriedade transitiva da cardinalidade.

Definio (mesma cardinalidade): A e B tm a mesma cardinalidade sse, Atem a mesma cardinalidade que B ou B tem a mesma cardinalidade que A.UFMG/ICEx/DCC MD Funcoes 52

Conjuntos contveis

Definio (conjunto contvel infinito): Um conjunto chamado contvel infinitosse ele possui a mesma cardinalidade do conjunto dos inteiros positivos Z+.Um conjunto chamado contvel sse finito ou contvel infinito. Um conjuntoque no contvel chamado de incontvel.

Exemplo: Mostre que o conjunto Z, conjunto de todos os inteiros contvel.0 11 21 3

2 42 5

... ... ...

Exemplo: O conjunto de todos os nmeros racionais positivos so contveis.


Conjuntos contveis

Teorema:O conjunto de todos os nmeros reais entre 0 e 1 incontvel.

Teorema:Qualquer subconjunto de um conjunto contvel contvel.

Exemplo: O conjunto de todos os nmeros reais tem a mesma cardinalidadeque o conjunto dos nmeros reais entre 0 e 1.

Exemplo: O conjunto de todos os programas de computador numa dada lin-guagem de programao contvel.


Como medir o custo de execuo de um algoritmo?

Funo de Custo ou Funo de Complexidade f(n) = medida de custo necessrio para executar um algoritmo para um

problema de tamanho n. Se f(n) uma medida da quantidade de tempo necessrio para executar

um algoritmo em um problema de tamanho n, ento f chamada funode complexidade de tempo de algoritmo.

Se f(n) uma medida da quantidade de memria necessria para exe-cutar um algoritmo em um problema de tamanho n, ento f chamadafuno de complexidade de espao de algoritmo.

Observao: tempo no tempo! importante ressaltar que a complexidade de tempo na realidade no re-

presenta tempo diretamente, mas o nmero de vezes que determinadaoperao considerada relevante executada.


Custo assinttico de funes

interessante comparar algoritmos para valores grandes de n.

O custo assinttico de uma funo f(n) representa o limite do comporta-mento de custo quando n cresce.

Em geral, o custo aumenta com o tamanho n do problema.

Observao: Para valores pequenos de n, mesmo um algoritmo ineficiente no custa

muito para ser executado.


Notao assinttica de funes

Existem trs notaes principais na anlise assinttica de funes: Notao .

Notao O (O grande).

Notao (mega grande).


Notao

f(n) = (g(n))


Notao

A notao limita a funo por fatores constantes.

Escreve-se f(n) = (g(n)), se existirem constantes positivas c1, c2 e n0tais que para n n0, o valor de f(n) est sempre entre c1g(n) e c2g(n)inclusive. Pode-se dizer que g(n) um limite assinttico firme (em ingls, asympto-

tically tight bound) para f(n).

f(n) = (g(n)),

c1 > 0, c2 > 0, n0, | 0 c1g(n) f(n) c2g(n), n n0

Observe que a notao define um conjunto de funes:

(g(n)) =

{f : N R+ | c1 > 0, c2 > 0, n0, 0 c1g(n) f(n) c2g(n), n n0}.


Notao : Exemplo 1

Mostre que 12n2 3n = (n2).

Para provar esta afirmao, devemos achar constantes c1 > 0, c2 > 0, n > 0,tais que:

c1n2 1

2n2 3n c2n2

para todo n n0.

Se dividirmos a expresso acima por n2 temos:

c1 1

2 3n c2.


Notao : Exemplo 1

A inequao mais a direita ser sempre vlida para qualquer valor de n 1 aoescolhermos c2 12.

Da mesma forma, a inequao mais a esquerda ser sempre vlida para qual-quer valor de n 7 ao escolhermos c1 114.

Assim, ao escolhermos c1 = 1/14, c2 = 1/2 e n0 = 7, podemos verificar que12n

2 3n = (n2).

Note que existem outras escolhas para as constantes c1 e c2, mas o fato impor-tante que a escolha existe.

Note tambm que a escolha destas constantes depende da funo 12n2 3n.

Uma funo diferente pertencente a (n2) ir provavelmente requerer outrasconstantes.


Notao : Exemplo 2

Usando a definio formal de prove que 6n3 6= (n2).


Notao O

f(n) = O(g(n))


Notao O

A notao O define um limite superior para a funo, por um fator constante.

Escreve-se f(n) = O(g(n)), se existirem constantes positivas c e n0 taisque para n n0, o valor de f(n) menor ou igual a cg(n). Pode-se dizer que g(n) um limite assinttico superior (em ingls, asymp-

totically upper bound) para f(n).

f(n) = O(g(n)), c > 0, n0, | 0 f(n) cg(n), n n0.

Observe que a notao O define um conjunto de funes:

O(g(n)) = {f : N R+ | c > 0, n0, 0 f(n) cg(n), n n0}.


Notao O

Quando a notao O usada para expressar o tempo de execuo de umalgoritmo no pior caso, est se definindo tambm o limite (superior) do tempode execuo desse algoritmo para todas as entradas.

Por exemplo, o algoritmo de ordenao por insero (a ser estudado) O(n2)no pior caso. Este limite se aplica para qualquer entrada.


Notao O

Tecnicamente um abuso dizer que o tempo de execuo do algoritmo deordenao por insero O(n2) (i.e., sem especificar se para o pior caso,melhor caso, ou caso mdio): O tempo de execuo desse algoritmo depende de como os dados de

entrada esto arranjados. Se os dados de entrada j estiverem ordenados, este algoritmo tem um

tempo de execuo de O(n), ou seja, o tempo de execuo do algoritmode ordenao por insero no melhor caso O(n).

O que se quer dizer quando se fala que o tempo de execuo O(n2) que no pior caso o tempo de execuo O(n2). Ou seja, no importa como os dados de entrada esto arranjados, o tempo

de execuo em qualquer entrada O(n2).


Notao

f(n) = (g(n))


Notao

A notao define um limite inferior para a funo, por um fator constante.

Escreve-se f(n) = (g(n)), se existirem constantes positivas c e n0 taisque para n n0, o valor de f(n) maior ou igual a cg(n). Pode-se dizer que g(n) um limite assinttico inferior (em ingls, asymp-

totically lower bound) para f(n).

f(n) = (g(n)), c > 0, n0, |0 cg(n) f(n), n n0.

Observe que a notao define um conjunto de funes:

(g(n)) = {f : N R+ | c > 0, n0, |0 cg(n) f(n), n n0}.


Notao

Quando a notao usada para expressar o tempo de execuo de um al-goritmo no melhor caso, est se definindo tambm o limite (inferior) do tempode execuo desse algoritmo para todas as entradas.

Por exemplo, o algoritmo de ordenao por insero (n) no melhorcaso. O tempo de execuo do algoritmo de ordenao por insero (n).

O que significa dizer que o tempo de execuo (i.e., sem especificar se para o pior caso, melhor caso, ou caso mdio) (g(n))? O tempo de execuo desse algoritmo pelo menos uma constante vezesg(n) para valores suficientemente grandes de n.


Limites do algoritmo de ordenao por insero

O tempo de execuo do algoritmo de ordenao por insero est entre(n) e O(n2).

Estes limites so assintoticamente os mais firmes possveis. Por exemplo, o tempo de execuo deste algoritmo no (n2), pois o

algoritmo executa em tempo (n) quando a entrada j est ordenada.

No contraditrio dizer que o tempo de execuo deste algoritmo no piorcaso (n2), j que existem entradas para este algoritmo que fazem comque ele execute em tempo (n2).


Funes de custo (no de comparaes) doalgoritmo de ordenao por Insero


Funes de custo e notaes assintticas doalgoritmo de ordenao por Insero

Pior Caso:

cPior Caso(n) = n2

2+ n

2 1 =

O

(n2)

Caso Mdio:

cCaso Medio(n) = n2

4+ 3n

4 1 =

O

(n2)

Melhor caso:

cMelhor Caso(n) = n 1 =O

(n)

O indica a notao normalmente usada para esse caso.


Teorema

Para quaisquer funes f(n) e g(n),

f(n) = (g(n))

se e somente se,

f(n) = O(g(n)) e f(n) = (g(n))


Mais sobre notao assinttica de funes

Existem duas outras notaes na anlise assinttica de funes: Notao o (o pequeno). Notao (mega pequeno).

Estas duas notaes no so usadas normalmente, mas importante saberseus conceitos e diferenas em relao s notaes O e , respectivamente.


Notao o

O limite assinttico superior definido pela notao O pode ser assintotica-mente firme ou no. Por exemplo, o limite 2n2 = O(n2) assintoticamente firme, mas o limite

2n = O(n2) no .

A notao o usada para definir um limite superior que no assintotica-mente firme.

Formalmente a notao o definida como:f(n) = o(g(n)), c > 0 e n0 | 0 f(n) < cg(n), n n0

Exemplo, 2n = o(n2) mas 2n2 6= o(n2).


Notao o

As definies das notaes O (o grande) e o (o pequeno) so similares. A diferena principal que em f(n) = O(g(n)), a expresso

0 f(n) cg(n) vlida para pelo menos uma constante c > 0.

Intuitivamente, a funo f(n) tem um crescimento muito menor que g(n)quando n tende para infinito. Isto pode ser expresso da seguinte forma:

limn

f(n)

g(n)= 0

Alguns autores usam este limite como a definio de o.


Notao

Por analogia, a notao est relacionada com a notao da mesma formaque a notao o est relacionada com a notao O.

Formalmente a notao definida como:f(n) = (g(n)), c > 0 e n0 | 0 cg(n) < f(n), n n0

Por exemplo, n22 = (n), mas n2

2 6= (n2).

A relao f(n) = (g(n)) implica em

limn

f(n)

g(n)=,

se o limite existir.


Classes de comportamento assintticoComplexidade constante

f(n) = O(1) O uso do algoritmo independe do tamanho de n. As instrues do algoritmo so executadas um nmero fixo de vezes.

O que significa um algoritmo ser O(2) ou O(5)?


Classes de comportamento assintticoComplexidade logartmica

f(n) = O(logn) Ocorre tipicamente em algoritmos que resolvem um problema

transformando-o em problemas menores. Nestes casos, o tempo de execuo pode ser considerado como sendo

menor do que uma constante grande.

Exemplo, supondo que a base do logaritmo seja 2: Para n = 1 000, log2 10. Para n = 1 000 000, log2 20. Algoritmo de pesquisa binria.


Classes de comportamento assintticoComplexidade linear

f(n) = O(n) Em geral, um pequeno trabalho realizado sobre cada elemento de en-

trada. Esta a melhor situao possvel para um algoritmo que tem que processarn ou produzir n elementos de sada.

Cada vez que n dobra de tamanho, o tempo de execuo tambm dobra.

Exemplo: Algoritmo de pesquisa sequencial. Algoritmo para teste de planaridade de um grafo.


Classes de comportamento assintticoComplexidade linear logartmica

f(n) = O(n logn) Este tempo de execuo ocorre tipicamente em algoritmos que resolvem

um problema quebrando-o em problemas menores, resolvendo cada umdeles independentemente e depois agrupando as solues.

Caso tpico dos algoritmos baseados no paradigma diviso-e-conquista.

Exemplo, supondo que a base do logaritmo seja 2: Para n = 1 000 000, log2 20 000 000. Para n = 2 000 000, log2 42 000 000. Algoritmo de ordenao MergeSort.


Classes de comportamento assintticoComplexidade quadrtica

f(n) = O(n2) Algoritmos desta ordem de complexidade ocorrem quando os itens de da-

dos so processados aos pares, muitas vezes em um anel dentro do outro.

Exemplo: Para n = 1 000, o nmero de operaes da ordem de 1 000 000. Sempre que n dobra o tempo de execuo multiplicado por 4. Algoritmos deste tipo so teis para resolver problemas de tamanhos rela-tivamente pequenos.

Algoritmos de ordenao simples como seleo e insero.


Classes de comportamento assintticoComplexidade cbica

f(n) = O(n3) Algoritmos desta ordem de complexidade geralmente so teis apenas

para resolver problemas relativamente pequenos.

Exemplo: Para n = 100, o nmero de operaes da ordem de 1 000 000. Sempre que n dobra o tempo de execuo multiplicado por 8. Algoritmos deste tipo so teis para resolver problemas de tamanhos rela-tivamente pequenos.

Algoritmo para multiplicao de matriz.


Classes de comportamento assintticoComplexidade exponencial

f(n) = O(2n) Algoritmos desta ordem de complexidade no so teis sob o ponto de

vista prtico. Eles ocorrem na soluo de problemas quando se usa a fora bruta para

resolv-los.

Exemplo: Para n = 20, o tempo de execuo cerca de 1 000 000 Sempre que n dobra o tempo de execuo fica elevado ao quadrado. Algoritmo do Caixeiro Viajante.


Hierarquias de funes

A seguinte hierarquia de funes pode ser definida do ponto de vista assinttico:

1 log logn logn n nc nlogn cn nn ccn

onde e c so constantes arbitrrias com 0 < < 1 < c.



Usando MatLab, ou um outro pacote matemtico/software grfico, desenheos grficos dessas funes, quando n.



Onde as seguintes funes se encaixam nessa hierarquia?

(a) pi(n) = nlnn. Esta funo define o nmero de primos menor ou igual a n.

(b) e

logn.Dica: ef(n) eg(n) limn(f(n) g(n)) = .


Hierarquias de funesPreliminares

A hierarquia apresentada est relacionada com funes que vo para o infinito.No entanto, podemos ter o oposto dessas funes j que elas nunca so zero.Isto ,

f(n) g(n) 1g(n)

1f(n)

.

Assim, todas as funes (exceto 1) tendem para zero:

1

ccn

1

nn 1cn 1nlogn

1nc 1n 1

logn 1

log logn 1


Hierarquias de funesSoluo de (a)

pi(n) = nlnn

Temos que (note que a base do logaritmo no altera a hierarquia):

1

n 1

lnn 1

Multiplicando por n, temos:n

n n

lnn n,

ou seja,

n1 pi(n) nNote que o valor 1 ainda menor que 1.


Hierarquias de funesSoluo de (b)

e

logn

Dado a hierarquia:

1 ln lnn

lnn lnne elevando a e, temos que:

e1 eln lnn e

lnn e lnn

Simplificando temos:

e lnn e

lnn n


Algoritmo exponencial Algoritmo polinomial Funes de complexidade:

Um algoritmo cuja funo de complexidade O(cn), c > 1, chamado dealgoritmo exponencial no tempo de execuo.

Um algoritmo cuja funo de complexidade O(p(n)), onde p(n) umpolinmio de grau n, chamado de algoritmo polinomial no tempo de exe-cuo.

A distino entre estes dois tipos de algoritmos torna-se significativa quandoo tamanho do problema a ser resolvido cresce.

Essa a razo porque algoritmos polinomiais so muito mais teis na prticado que algoritmos exponenciais. Geralmente, algoritmos exponenciais so simples variaes de pesquisa

exaustiva.


Algoritmo exponencial Algoritmo polinomial Os algoritmos polinomiais so geralmente obtidos atravs de um entendi-

mento mais profundo da estrutura do problema.

Tratabilidade dos problemas: Um problema considerado intratvel se ele to difcil que no se co-

nhece um algoritmo polinomial para resolv-lo. Um problema considerado tratvel (bem resolvido) se existe um algo-

ritmo polinomial para resolv-lo.

Aspecto importante no projeto de algoritmos.


Objetos recursivos

Um objeto recursivo quando definido parcialmente em termos de simesmo.

Exemplo 1: Nmeros naturais:(a) 1 um nmero natural.(b) o sucessor de um nmero natural um nmero natural.

Exemplo 2: Funo fatorial:(a) 0! = 1.(b) se n > 0 ento n! = n (n 1)!


Objetos recursivos

Exemplo 3: rvores.(a) A rvore vazia uma rvore.(b) se T1 e T2 so rvores ento T um rvore.

T

T1 T

TTTT

T2


Objetos recursivos: Exemplos


Poder da recurso

Definir um conjunto infinito de objetos atravs de um comando finito.

Um problema recursivo P pode ser expresso como P P[Si, P ], onde P a composio de comandos Si e do prprio P .

Importante: constantes e variveis locais a P so duplicadas a cada chamadarecursiva.


Problema de terminao

Definir um condio de terminao. Idia:

Associar um parmetro, por exemplo n, com P e chamar P recursivamentecom n 1 como parmetro.

A condio n > 0 garante a terminao. Exemplo:

P (n) if n > 0 then P[Si;P (n 1)]. Importante: na prtica necessrio:

mostrar que o nvel de recurso finito, e tem que ser mantido pequeno! Por que?


Razes para limitar a recurso

Memria necessria para acomodar variveis a cada chamada. O estado corrente da computao tem que ser armazenado para permitir a

volta da chamada recursiva.

Exemplo:

FATORIAL(n)

F : varivel auxiliar1 if n > 02 then F n FATORIAL(n 1)3 else F 14 return F

FATORIAL(4) 1 4FATORIAL(3)2 3FATORIAL(2)3 2FATORIAL(1)4 1FATORIAL(0)1


Quando no usar recursividade

Algoritmos recursivos so apropriados quando o problema definido em ter-mos recursivos.

Entretanto, uma definio recursiva no implica necessariamente que a im-plementao recursiva a melhor soluo!

Casos onde evitar recursividade: P if condio then (Si;P )

Exemplo: P if i < n then ( i := i+ 1;F := iF ;P )


Eliminando a recursividade de Cauda(Tail recursion)

FATORIAL(n)

F , i: variveis auxiliares1 i 02 F 13 while i < n4 do i i+ 15 F F i6 return F

Logo,

P if B then (S;P )deve ser transformado em

P (x = x0; while B do S).


Outro exemplo

FIB(A)

F : varivel auxiliar1 if n = 02 then F 03 else if n = 14 then F 15 else F FIB(n 1) + (n 2)6 return F

Observao: para cada chamada aFIB(n), FIB ativada 2 vezes

5 s

4 s

3 s

2 s

1 sBBBBBBB0 s

BBBBBBB1 s

JJJJJJJ2 s

1 sBBBBBBB0 s

,,,,,,,,l

lllllll3 s

2 s

1 sBBBBBBB0 s

BBBBBBB1 s


Soluo bviaFIB(n)

F , Fant , i, Temp: variveis auxiliares1 i 12 F 13 Fant 04 while i < n5 do Temp F6 F F + Fant7 Fant Temp8 i i+ 19 return F

Complexidade de tempo: T (n) = n 1. Complexidade de espao: E(n) = O(1).


Comentrios sobre recursividade

Evitar o uso de recursividade quando existe uma soluo bvia por iterao!

Exemplos: Fatorial. Srie de Fibonacci.


Anlise de algoritmos recursivos

Comportamento descrito por uma equao (funo) de recorrncia.

Enfoque possvel: Usar a prpria recorrncia para substituir para T (m), m < n at que todos

os termos tenham sido substitudos por frmulas envolvendo apenas T (0)ou o caso base.


Anlise da funo FATORIAL

Seja a seguinte funo para calcular o fatorial de n:

FATORIAL(n)

F : varivel auxiliar1 if n > 02 then F n FATORIAL(n 1)3 else F 14 return F

Seja a seguinte equao de recorrncia para esta funo:

T (n) =

{d n = 1c+ T (n 1) n > 1

Esta equao diz que quando n = 1 o custo para executar FATORIAL igual ad. Para valores de n maiores que 1, o custo para executar FATORIAL c mais ocusto para executar T (n 1).


Resolvendo a equao de recorrncia

Esta equao de recorrncia pode serexpressa da seguinte forma:

T (n) = c+ T (n 1)= c+ (c+ T (n 2))= c+ c+ (c+ T (n 3))

... = ...

= c+ c+ + (c+ T (1))= c+ c+ + c

n1+d

Em cada passo, o valor do termo T substitudo pela sua definio (ouseja, esta recorrncia est sendo re-solvida pelo mtodo da expanso). Altima equao mostra que depois daexpanso existem n 1 cs, corres-pondentes aos valores de 2 at n.Desta forma, a recorrncia pode serexpressa como:

T (n) = c(n 1) + d = O(n).


Alguns somatrios teis

ni=1

i =n(n+ 1)

2

ki=0

2k = 2k+1 1

ki=0

1

2i= 2 1

2k

ki=0

ai =ak+1 1a 1 (a 6= 1)

ni=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6


Algumas recorrncias bsicas: Caso 1

T (n) = T (n2) + 1 (n 2)T (1) = 0 (n = 1)

Vamos supor que:

n = 2k k = logn

Resolvendo por expanso temos:

T (2k) = T (2k1) + 1= (T (2k2) + 1) + 1= (T (2k3) + 1) + 1 + 1

... ...= (T (2) + 1) + 1 + + 1= (T (1) + 1) + 1 + + 1= 0 + 1 + + 1

k

= k

T (n) = lognT (n) = O(logn)


Algumas recorrncias bsicas: Caso 2

T (n) = 2T (n2) + n (n 2)

T (1) = 0 (n = 1)

Vamos supor que n = 2k k = logn. Resolvendo por expanso temos:T (2k) = 2T (2k1) + 2k

= 2(2T (2k2) + 2k1) + 2k

= 2(2(2T (2k3) + 2k2) + 2k1) + 2k... ...

= 2(2( (2(2T (1) + 22) + 23) + ) + 2k1) + 2k= (k 1)2k + 2k= k2k

T (n) = n lognT (n) = O(n logn)


Teorema Mestre

Recorrncias da forma

T (n) = aT (nb) + f(n),

onde a 1 e b > 1 so constantes e f(n) uma funo assintoticamente posi-tiva podem ser resolvidas usando o Teorema Mestre. Note que neste caso noestamos achando a forma fechada da recorrncia mas sim seu comportamentoassinttico.


Teorema Mestre

Sejam as constantes a 1 e b > 1 e f(n) uma funo definida nos inteirosno-negativos pela recorrncia:

T (n) = aT (nb) + f(n),

onde a frao n/b pode significar bn/bc ou dn/be. A equao de recorrnciaT (n) pode ser limitada assintoticamente da seguinte forma:

1. Se f(n) = O(nlogb a) para alguma constante > 0,ento T (n) = (nlogb a) .

2. Se f(n) = (nlogb a), ento T (n) = (nlogb a logn) .

3. Se f(n) = (nlogb a+) para alguma constante > 0 e se af(n/b) cf(n) para alguma constante c < 1 e para n suficientemente grande,ento T (n) = (f(n)) .


Comentrios sobre o teorema Mestre

Nos trs casos estamos comparando a funo f(n) com a funo nlogb a.Intuitivamente, a soluo da recorrncia determinada pela maior das duasfunes.

Por exemplo: No primeiro caso a funo nlogb a a maior e a soluo para a recorrncia

T (n) = (nlogb a). No terceiro caso, a funo f(n) a maior e a soluo para a recorrncia T (n) = (f(n)).

No segundo caso, as duas funes so do mesmo tamanho. Neste caso,a soluo fica multiplicada por um fator logartmico e fica da forma T (n) =(nlogb a logn) = (f(n) logn).


Tecnicalidades sobre o teorema Mestre

No primeiro caso, a funo f(n) deve ser no somente menor que nlogb amas ser polinomialmente menor. Ou seja, f(n) deve ser assintoticamentemenor que nlogb a por um fator de n, para alguma constante > 0.

No terceiro caso, a funo f(n) deve ser no somente maior que nlogb amas ser polinomialmente maior e satisfazer a condio de regularidade queaf(n/b) cf(n). Esta condio satisfeita pela maior parte das funespolinomiais encontradas neste curso.


Tecnicalidades sobre o teorema Mestre

Teorema no cobre todas as possibilidades para f(n): Entre os casos 1 e 2 existem funes f(n) que so menores que nlogb a

mas no so polinomialmente menores. Entre os casos 2 e 3 existem funes f(n) que so maiores que nlogb a

mas no so polinomialmente maiores. Se a funo f(n) cai numa dessas condies ou a condio de regula-

ridade do caso 3 falsa, ento no se pode aplicar este teorema pararesolver a recorrncia.


Uso do teorema: Exemplo 1

T (n) = 9T (n3) + n.

Temos que,

a = 9, b = 3, f(n) = n

Desta forma,

nlogb a = nlog3 9 = (n2)

Como f(n) = O(nlog3 9), onde = 1, podemos aplicar o caso 1 do teoremae concluir que a soluo da recorrncia

T (n) = (n2).



T (n) = T (2n3 ) + 1.

Temos que,

a = 1, b = 3/2, f(n) = 1

Desta forma,

nlogb a = nlog3/2 1 = n0 = 1

O caso 2 se aplica j que f(n) = (nlogb a) = (1). Temos, ento, que asoluo da recorrncia

T (n) = (logn).



T (n) = 3T (n4) + n logn

Temos que,

a = 3, b = 4, f(n) = n logn.

Desta forma,

nlogb a = nlog4 3 = O(n0.793).

Como f(n) = (nlog4 3+), onde 0.2, o caso 3 se aplica se mostrarmosque a condio de regularidade verdadeira para f(n).



Para um valor suficientemente grande de n:

af(nb) = 3(n4) log(

n4) (34)n logn = cf(n).

para c = 34. Consequentemente, usando o caso 3, a soluo para a recorrncia

T (n) = (n logn).



T (n) = 2T (n2) + n logn.

Temos que,

a = 2, b = 2, f(n) = n logn.

Desta forma,

nlogb a = n

Aparentemente o caso 3 deveria se aplicar j que f(n) = n logn assintoti-camente maior que nlogb a = n. Mas no entanto, no polinomialmente maior.A frao f(n)/nlogb a = (n logn)/n = logn que assintoticamente menorque n para toda constante positiva . Consequentemente, a recorrncia cai nasituao entre os casos 2 e 3 onde o teorema no pode ser aplicado.


Uso do teorema: Exerccio 5

T (n) = 4T (n2) + n.



T (n) = 4T (n2) + n2.



T (n) = 4T (n2) + n3.



O tempo de execuo de um algoritmo A descrito pela recorrncia

T (n) = 7T (n2) + n2.

Um outro algoritmo A tem um tempo de execuo descrito pela recorrncia

T (n) = aT (n4) + n2.

Qual o maior valor inteiro de a tal que A assintoticamente mais rpido queA?


Notao assinttica em funes

Normalmente, a notao assinttica usada em frmulas matemticas. Porexemplo, usando a notao O pode-se escrever que n = O(n2). Tambmpode-se escrever que

2n2 + 3n+ 1 = 2n2 + (n).

Como se interpreta uma frmula como esta?



Notao assinttica sozinha no lado direito de uma equao, como emn = O(n2). Sinal de igualdade significa que o lado esquerdo um membro do conjuntoO(n2);

n O(n2) ou n n2. Nunca deve-se escrever uma igualdade onde a notao O aparece sozinha

com os lados trocados. Caso contrrio, poderia se deduzir um absurdo como n2 = n de igualda-

des como em O(n2) = n.

Quando se trabalha com a notao O e em qualquer outra frmula que en-volve quantidades no precisas, o sinal de igualdade unidirecional. Da vem o fato que o sinal de igualdade ("=") realmente significa ou ,

usados para incluso de conjuntos



Se uma notao assinttica aparece numa frmula, isso significa que essa no-tao est substituindo uma funo que no importante definir precisamente(por algum motivo). Por exemplo, a equao

2n2 + 3n+ 1 = 2n2 + (n)

significa que

2n2 + 3n+ 1 = 2n2 + f(n)

onde f(n) alguma funo no conjunto (n). Neste caso, f(n) = 3n + 1que de fato est em (n).



O uso da notao assinttica desta forma ajuda a eliminar detalhes que noso importantes. Por exemplo, pode-se expressar uma equao de recorrnciacomo:

T (n) = 2T (n 1) + (n).Se se deseja determinar o comportamento assinttico de T (n) ento no necessrio determinar exatamente os termos de mais baixa ordem. Entende-seque eles esto includos numa funo f(n) expressa no termo (n).



Em alguns casos, a anotao assinttica aparece do lado esquerdo de umaequao como em:

2n2 + (n) = (n2).

A interpretao de tais equaes deve ser feita usando a seguinte regra: possvel escolher uma funo f(n) para o lado esquerdo da igualdade de

tal forma que existe uma funo g(n) para o lado direito que faz com que aequao seja vlida.

O lado direito da igualdade define um valor no to preciso quanto o ladoesquerdo. Por exemplo,

2n2 + 3n+ 1 = 2n2 + (n) (1)

2n2 + (n) = (n2). (2)



As equaes (1) e (2) podem ser interpretadas usando a regra acima: A equao (1) diz que existe alguma funo f(n) (n) tal que

2n2 + 3n+ 1 = 2n2 + f(n)

para todo n.

A equao (2) diz que para qualquer funo g(n) (n), existe uma funoh(n) (n2) tal que

2n2 + g(n) = h(n)

para todo n. Note que esta interpretao implica que 2n2+3n+1 = (n2),que o que estas duas equaes querem dizer.


Modelagem usando equao de recorrnciaTorre de Hanoi

Edouard Lucas (18421891), matemtico francs. Props o jogo Torre de Ha-noi em 1883. Escreveu o trabalho de matemtica recreativa Rcrations Math-matiques em quatro volumes (188294) que se tornou um clssico.

Configurao inicial: O jogo comea com um conjunto de oito discos empilhados em tamanho

decrescente em uma das trs varetas.



Objetivo: Transferir toda a torre para uma das outras varetas, movendo um disco de

cada vez, mas nunca movendo um disco maior sobre um menor.

Solues particulares: Seja T (n) o nmero mnimo de movimentos para transferir n discos de

uma vareta para outra de acordo com as regras definidas no enunciado doproblema.

No difcil observar que:

T (0) = 0 [nenhum movimento necessrio]

T (1) = 1 [apenas um movimento]

T (2) = 3 [trs movimentos usando as duas varetas]



Generalizao da soluo: Para trs discos, a soluo correta transferir os dois discos do topo para a

vareta do meio, transferir o terceiro disco para a outra vareta e, finalmente,mover os outros dois discos sobre o topo do terceiro.

Para n discos:1. Transfere-se os n 1 discos menores para outra vareta (por exemplo, a

do meio), requerendo T (n 1) movimentos.2. Transfere-se o disco maior para a outra vareta (um movimento).3. Transfere-se os n 1 discos menores para o topo do disco maior,

requerendo-se T (n 1) movimentos novamente.



Equao de recorrncia para este problema pode ser expressa por:T (0) = 0

T (n) = 2T (n 1) + 1, para n > 0



Para pequenos valores de n temos:

n 0 1 2 3 4 5 6T (n) 0 1 3 7 15 31 63

Esta recorrncia pode ser expressa por

T (n) = 2n 1.



Provando por induo matemtica temos:

Caso base. Para n = 0 temos que T (0) = 201 = 0, que o valor presentena equao de recorrncia.

Induo. Vamos supor que a forma fechada seja vlida para todos os valoresat n = k, i.e., T (k) = 2k 1. Vamos provar que esta forma fechada vlida para n = k + 1, i.e., T (k + 1) = 2k+1 1.T (k + 1) = 2T (k) + 1 = 2(2k 1) + 1 = 2k+1 2 + 1 = 2k+1 1.... A forma fechada proposta tambm vlida para n.


Modelagem usando equao de recorrnciaEstratgia para resoluo da equao

A recorrncia da Torre de Hanoi aparece em vrias aplicaes de todos os tipos.Normalmente, existem trs etapas para achar uma forma fechada para o valorde T (n):

1. Analisar pequenos casos. Com isto podemos ter um entendimento melhordo problema e, ao mesmo tempo, ajudar nos dois passos seguintes.

2. Achar e provar uma recorrncia para o valor de T (n).3. Achar e provar uma forma fechada para a recorrncia.


Modelagem usando equao de recorrnciaLinhas no plano

Problema: Qual o nmero mximo de regies Ln determinado por n retas no plano?

Lembre-se que um plano sem nenhuma reta tem uma regio, com uma retatem duas regies e com duas retas tm quatro regies.

41 2 1 L = 2

1 1

21

2

3

L =

4

0 L =


Modelagem usando equao de recorrnciaO nmero de Josephus

Durante os anos em que serviu no exrcito romano, Josephus vivia num aloja-mento com vrios outros soldados. Toda semana devia ser feita uma limpezageral que sempre tomava o dia todo. Os soldados decidiram entre si que todasemana seria sorteado um soldado que no faria a limpeza. O sorteio seriafeito da seguinte forma: os soldados formariam um crculo, percorreriam o cr-culo no sentido horrio e cada segundo soldado seria escolhido para a limpeza.O soldado que ficasse por ltimo seria o sorteado, ou seja, no participaria dalimpeza. Nos dias que Josephus queria tirar um dia de folga ele rapidamentecalculava onde ele deveria ficar nesse crculo, apenas conhecendo o nmerototal de soldados que participariam da limpeza naquele dia.


Modelagem usando equao de recorrnciaO nmero de Josephus

121

2

3

4

5

67

8

9

10

11

Por exemplo, suponha a configurao inicial com 12 soldados, conformefigura ao lado.

Neste caso, na primeira rodada seriam selecionados os soldados 2, 4,6, 8, 10 e 12, na segunda rodada os soldados 3, 7 e 11, e, finalmentena terceira rodada os soldados 5 e 11, sendo que o soldado 9 seria osorteado.

1a rodada 2a rodada 3a rodada

61

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12 1

2

34

5 2

4

3

7

11

8

9

12

3

4

5

67

8

9

10

11

12

34

5

6 1

7

9 10

11 1

5

4

3

7

11

8

9

2

3

4

67

8

10

11

12

34

5

6 1

7

2


Princpios para anlise de algoritmosTempo de execuo

1. Comando de Atribuio, Leitura, ou Escrita: O(1) Excees: linguagens que permitem atribuies que envolvem vetores

de tamanho arbitrariamente grandes.

2. Sequncia de comandos: Maior tempo de execuo de qualquer comando da sequncia.

3. Comando de deciso: Avaliao da condio: O(1). Comandos executados dentro do comando condicional: Regra 2.



4. Anel: Avaliao da condio de terminao: O(1). Comandos executados dentro do corpo do anel: Regra 2. Os dois itens ficam multiplicados pelo nmero de iteraes do anel.

5. Programa com procedimentos no recursivos: Tempo de execuo de cada procedimento deve ser computado sepa-

radamente um a um, iniciando com os procedimentos que no chamamoutros procedimentos.

Em seguida, devem ser avaliados os procedimentos que chamam os pro-cedimentos que no chamam outros procedimentos, utilizando os temposdos procedimentos j avaliados.

Este processo repetido at chegar no programa principal.



6. Programa com procedimentos recursivos: Para cada procedimento associada uma funo de complexidade f(n)

desconhecida, onde n mede o tamanho dos argumentos para o procedi-mento.

Obter e resolver a equao de recorrncia.


Operaes com a notao O

f(n) = O(f(n))

c O(f(n)) = O(f(n)) c = constanteO(f(n)) +O(f(n)) = O(f(n))

O(O(f(n)) = O(f(n))

O(f(n)) +O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)))

O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n))

f(n)O(g(n)) = O(f(n)g(n))


Operaes com a notao O

Duas operaes importantes: Regra da soma: O(f(n)) +O(g(n))

Suponha trs trechos de programas cujos tempos de execuo so O(n),O(n2) e O(n logn).

O tempo de execuo dos dois primeiros trechos O(max(n, n2)), que O(n2).

O tempo de execuo de todos os trs trechos ento

O(max(n2, n logn)),

que O(n2).

Regra do produto: O(f(n))O(g(n)) Produto de [logn+ k +O(1/n)] por [n+O(

n)]

n logn+ kn+O(n logn).


md 6funcoes.pdfpombo

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