mcÁlculo -...

930M||||MCÁLCULO

1-4 Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar

coordenadas polares ou retangulares e escreva hhR f (x, y) dA

como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contí-

nua em R.

1. 2.

3. 4.

5-6 Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a

5. hp

2ph4

7r dr du 6. h

0

p/2h0

4 cos ur dr du

7-14 Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

7. hhD xy dA, onde D é o disco com centro na origem e raio 3

8. hhR (x y) dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y

e entre as circunferências x2 y2

� 1 e x2 y2

� 4

9. hhR cos(x2 y2) dA, onde R é a região acima do eixo x e dentro

da circunferência x2 y2

� 9

10. hhR

√–––––4 � x2 � y2––––

dA, onde R � {(x, y)� x2 y2

� 4, x � 0}

11. hhD e�x2�y2

dA, onde D é a região delimitada pelo semicírculo

x � √–––––4 � y2 e o eixo y

12. hhR yex dA, onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo

círculo x2 y2

� 25

13. hhR

arctg (y/x) dA, onde R � {(x, y)�1 � x2 y2

� 4, 0 � y � x}

14. hhD

x dA, onde D é a região do primeiro quadrante compreendida

entre os círculos x2 y2

� 4 e x2 y2

� 2x

15-18 Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

15. Um laço da rosácea r � cos 3u

16. A região delimitada pela curva r � 4 3 cos u

17. A região interior a ambos os círculos r � cos u e r � sen u

18. A região dentro do círculos r � 1 cos u e fora do círculo

r � 3 cos u

19-27 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do só-

lido dado.

19. Abaixo do cone z � √–––––x2 y2– e acima do disco x2 y2

� 4

20. Abaixo do paraboloide z � 18 � 2x2 � 2y2 e acima do plano xy

21. Delimitado pelo hiperboloide �x2 � y2

z2 � 1 e pelo plano

z � 2

22. Dentro da esfera x2 y2

z2 � 16 e fora do cilindro

x2 y2

� 4

23. Uma esfera de raio a

24. Limitado pelo paraboloide z � 1 2x2 2y2 e pelo plano

z � 7 no primeiro octante

25. Acima do cone z � √–––––x2 y2– e abaixo da esfera x2

y2 z2

� 1

26. Limitada pelos paraboloides z � 3x2 3y2 e z � 4 � x2

� y2

27. Dentro do cilindro x2 y2

� 4 e do elipsoide

4x2 4y2

z2 � 64

28. (a) Uma broca cilíndrica de raio r1 é usada para fazer um furo

que passa pelo centro de uma esfera de raio r2. Determine o

volume do sólido em formato de anel resultante.

(b) Expresse o volume da parte (a) em termos da altura h do

anel. Observe que o volume depende somente de h e não de

r1 ou r2.

29-32 Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordena-

das polares.

29. h3�3 h

0

√–––––9 � x2

sen(x2 y2) dy dx 30. ha

0 h0

�√–––––a2 � y2– x2y dx dy

31. h10 h

y

√–––––2 � y2

(x y) dx dy 32. h20 h

0

√–––––2x � x2

–

√–––––x2 y2– dy dx

33. Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundi-

dade é constante ao longo das retas de leste para oeste e cresce

linearmente de 1 metro na extremidade sul para dois metros na

extremidade norte. Encontre o volume de água da piscina.

34. Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular

de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de e�r

metros por hora a uma distância de r metros do pulverizador.

(a) Se 0 � R � 100, qual a quantidade total de água fornecida

por hora para a região dentro do círculo de raio R centrada

no pulverizador?

(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água

por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do

círculo de raio R.

0

y

x

6

3

0

y

x�1 1

1

0

y

x�1 1

1 y�1�x2

0 4

4

y

x

EXERCÍCIOS 15.4

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INTEGRAIS MÚLTIPLASM||||M931

35. Utilize coordenadas polares para combinar a soma

h11/√

–2 hx

√–––––1 � x2

xy dy dx h1

√–2hx

0xy dy dx h2

√–2 h

0

√–––––4 � x2

xy dy dx

em uma única integral dupla. Em seguida calcule essa inte-

gral dupla.

36. (a) Definimos a integral imprópria (sobre todo o plano �2)

I � h�2

h e�(x2y2) dA � h∞�∞h∞

�∞e�(x2y2) dy dx

� limam∞ hDa

h e�(x2y2) dA

onde Da

é o disco com raio a e centro na origem. Mostre que

h∞�∞h∞

�∞e�(x2y2) dA � p

(b) Uma definição equivalente da integral imprópria da par-

te (a) é

h�2

h e�(x2y2) dA � limam∞ hSa

h e�(x2y2) dA

onde Sa é o quadrado com vértices (�a, �a). Use esse re-

sultado para mostrar que

h∞�∞

e�x2

dx h∞�∞

e�y2

dy � p

(c) Deduza que

h∞�∞

e�x2

dx � √–p

(d) Fazendo a mudança de variável t � √–2 x, mostre que

h∞�∞

e�x2/2dx � √–––2p

(Esse é um resultado fundamental em probabilidade e

estatística.)

37. Utilize o resultado do Exercício 36, parte (c), para calcular as

seguintes integrais:

(a) h∞0

x2e�x2

dx (b) h∞0

√–x e�x dx

APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DUPLAS

Já vimos uma aplicação da integral dupla: o cálculo de volumes. Outra aplicação geométricaimportante é a determinação de áreas de superfícies, o que será feito na Seção 16.6. Nestaseção, vamos explorar as aplicações físicas, tais como cálculo de massa, carga elétrica, cen-tro de massa e momento de inércia. Veremos que essas ideias físicas também são importan-tes quando aplicadas a funções densidade de probabilidade de duas variáveis aleatórias.

DENSIDADE E MASSA

Na Seção 8.3, no Volume I, calculamos momentos e centro de massa de placas finas oulâminas de densidade constante, usando as integrais unidimensionais. Agora, com auxí-lio das integrais duplas, temos condições de considerar as lâminas com densidade variá-vel. Suponha que uma lâmina ocupe uma região D do plano xy e que sua densidade (emunidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em D é dada por r(x, y), onde ré uma função contínua em D. Isso significa que

r(x, y) � lim

onde Δ m e Δ A são a massa e a área de um pequeno retângulo que contém (x, y) e toma-mos o limite quando as dimensões do retângulo se aproximam de 0 (veja a Figura 1).

Para determinar a massa total m da lâmina, dividimos o retângulo R contendo D emsub-retângulos R

ij, todos do mesmo tamanho (como na Figura 2), e consideramos r(x, y) como 0 fora de D. Se escolhermos um ponto (x*

ij, y*

ij) em R

ij, então a massa da parte

da lâmina que ocupa Rijé aproximadamente r(x*

ij, y*

ij)Δ A, onde Δ A é a área de R

ij. Se so-

marmos todas essas massas, obteremos uma aproximação do valor da massa total:

m � ∑k

i�1∑

l

j�1r(x*ij, y*ij)Δ A

Δ mΔ A

15.5

FIGURA 1

0 x

y

D

(x,�y)

FIGURA 2

Rijy

0 x

(xij,�yij)* *

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990M||||MCÁLCULO

1-16 Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

1. hC y3 ds,MMC: x � t3,My � t,M0 � t � 2

2. hC xy ds,MMC: x � t2,My � 2t,M0 � t � 1

3. hC xy4 ds,MMC é a metade direita do círculo x2 � y2

� 16.

4. hC

x sen y ds,MMC é o segmento de reta que liga (0, 3) a (4, 6).

5. hC

(x2y3 � √–x) dy,

C é o arco da curva y � √–x de (1, 1) a (4, 2).

6. hC

sen x dx,

C é o arco da curva x � y4 de (1, �1) a (1, 1).

7. hC xy dx � (x � y) dy,MMC consiste nos segmentos de reta de

(0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).

8. hC x √–y dx � 2y √

–x dy,MMC consiste na metade superior da cir-

cunferência x2 � y2

� 1 de (1, 0) a (1, 0) e no segmento de reta

de (1, 0) a (4, 3).

9. hC xy3 ds,MMC: x � 4 sen t,My � 4 cos t,Mz � 3t,M0 � t �p/2

10. hC xyz2 ds,MMC é o segmento de reta de (�1, 5, 0) a (1, 6, 4).

11. hC xeyz ds,MMC é o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).

12. hC (2x � 9z) ds,MMC: x � t,My � t2,Mz � t3,M0 � t � 1

13. hC x2 y√–z dz,MMC: x � t3,My � t,Mz � t2,M0 � t � 1

14. hC z dx � x dy � ydz,MMC: x � t2,My � t3,Mz � t2,M0 � t � 1

15. hC

(x � yz) dx � 2x dy � xyz dz,MMC consiste nos segmentos

de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1) e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2).

16. hC x2 dx � y2 dy � z2 dz,MMC consiste nos segmentos de reta de

(0, 0, 0) a (1, 2, �1) e de (1, 2, �1) a (3, 2, 0).

17. Seja F o campo vetorial mostrado na figura.

(a) Se C1 é o segmento de reta vertical de (�3, �3) a (�3, 3),

determine se hC1F � dr é positiva, negativa ou zero.

(b) Se C2 é o círculo de raio 3 e centro na origem percorrido no

sentido anti-horário, determine se hC2F � dr é positiva, ne-

gativa ou zero.

18. A figura mostra um campo vetorial F e duas curvas, C1 e C2. As

integrais de linha de F sobre C1 e C2 são positivas, negativas ou

nulas? Explique.

19-22 Calcule a integral de linha hC

F � dr, onde C é dada pela fun-

ção vetorial r(t).

19. F(x, y) � xy i � 3y2 j,Mr(t) � 11t4 i � t3 j,M0 � t � 1

20. F(x, y, z) � (x � y) i � (y � z) j � z2 k,M

r(t) � t2 i � t3 j � t2 k,M0 � t � 1

21. F(x, y, z) � sen x i � cos y j � xz k, M

r(t) � t3 i � t2 j � t k, M0 � t � 1

22. F(x, y, z) � zi � y j � x k,Mr(t) � t i � sen t j � cos t k,

0 � t � p

23-26 Use uma calculadora ou um SCA para calcular a integral de

linha correta até a quarta casa decimal.

23. hC

F � dr, onde F(x, y) � xy i � sen y j e r(t) � et i � e�t2 j, 1 �

t � 2

24. hC F � dr, onde F(x, y, z) � y sen z i � z sen x j � x sen y k e

r(t) � cos t i � sen t j � sen 5t k, 0 � t � p

25. hC x sen( y � z) ds, onde C tem equações paramétricas x � t2,

y � t 3, z � t4, 0 � t � 5

26. hC

ze�xy ds, onde C tem equações paramétricas x � t, y � t 2,

z � e�t , 0 � t � 1

27-28 Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para dizer se

a integral de linha de F ao longo de C é positiva, negativa ou nula. Em

seguida, calcule a integral.

27. F(x, y) � (x � y) i � xy j , C é o arco de círculo x2 � y2

� 4 per-

corrido no sentido anti-horário de (2, 0) a (0, �2) .

28. F(x, y) � i � j,

C é a parábola y � 1 � x2 de (�1, 2) a (1, 2).

29. (a) Calcule a integral de linha hC

F � dr, onde

F(x, y) � ex�1 i � xy j e C é dada por r(t) � t2 i � t3 j,

0 � t � 1.

y�√

–––––x2 � y2–

x�√

–––––x2 � y2–

y

x

C1

C2

y

x0 1

1

2 3

2

3

�3 �2 �1

�3

�2

�1

EXERCÍCIOS 16.2

SCA

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CÁLCULO VETORIALM||||M991

(b) Ilustre a parte (a) utilizando uma calculadora gráfica ou um

computador para desenhar C e os vetores do campo vetorial

correspondentes a t � 0, 1/√–2 e 1 (como na Figura 13).

30. (a) Calcule a integral de linha hC F � dr, onde

F(x, y, z) � x i � zj � y k e C é dado por

r(t) � 2t i � 3t j � t2 k, �1 � t � 1.

(b) Ilustre a parte (a) utilizando um computador para desenhar C

e os vetores do campo vetorial correspondentes a t � �1 e

� 12– (como na Figura 13).

31. Encontre o valor exato de hC x3y2z ds, onde C é a curva com equa-

ções paramétricas x � e�t cos 4 t, y � e�t sen 4 t, z � e�t ,

0 � t � 2p.

32. (a) Determine o trabalho realizado pelo campo de força

F(x, y) � x2 i � xy j sobre uma partícula que dá uma volta no

círculo x2 � y2

� 4 no sentido anti-horário.

(b) Utilize um sistema de computação algébrica para desenhar o

campo de força e o círculo na mesma tela. Use essa figura

para explicar sua resposta para a parte (a).

33. Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência

x2 � y2

� 4, x 0. Se a densidade linear for uma constante k, de-

termine a massa e o centro de massa do arame.

34. Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro qua-

drante da circunferência com centro na origem e raio a. Se a fun-

ção densidade for r(x, y) � kxy, encontre a massa e o centro de

massa do arame.

35. (a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de

massa (x–, y–, z– ) de um arame fino com função densidade

r(x, y, z) e forma da curva espacial C.

(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da

hélice x � 2 sen t, y � 2 cos t, z � 3t, 0 � t � 2p, se a den-

sidade for uma constante k.

36. Determine a massa e o centro de massa de um arame com for-

mato da hélice x � t, y � cos t, z � sen t, 0 � t � 2p, se a den-

sidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da sua distância

do ponto à origem.

37. Se um arame com densidade linear r(x, y) está sobre uma curva

plana C, seus momentos de inércia em relação aos eixos x e y

são definidos por

Ix � hC y2

r(x, y) dsMMMMIy � hC x2r(x, y) ds

Determine os momentos de inércia do arame do Exemplo 3.

38. Se um arame com densidade linear r(x, y, z) está sobre uma

curva espacial C, seus momentos de inércia em relação aos

eixos x, y e z são definidos por

Ix

� hC

(y2 � z2)r(x, y, z) ds

Iy

� hC

(x2 � z2)r(x, y, z) ds

Iz � hC (x2

� y2)r(x, y, z) ds

Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 35.

39. Determine o trabalho realizado pelo campo de força

F(x, y) � x i � (y � 2) j sobre um objeto que se move sobre um

arco da cicloide r(t) � (t � sen t) i � (1 � cos t) j, 0 � t � 2p.


F(x, y) � x sen y i � y j em uma partícula que se move sobre a

parábola y � x 2 de (�1, 1) a (2, 4).


F(x, y, z) � ky � z, x � z, x � yl sobre uma partícula que se

move ao longo do segmento de reta (1, 0, 0) a (3, 4, 2).

42. A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre

uma partícula carregada em um ponto (x, y, z) com vetor posi-

ção r � kx, y, zl é F(r) � Kr/�r�3, onde K é uma constante (veja

o Exemplo 5 da Seção 16.1). Determine o trabalho realizado

quando a partícula se move sobre o segmento de reta de (2, 0, 0)

a (2, 1, 5).

43. Um homem pesando 160 lb carrega uma lata de tinta de 25 lb por

uma escada helicoidal em torno de um silo com raio de 20 pés. Se

o silo tem 90 pés de altura e o homem dá três voltas completas em

torno do silo, quanto trabalho é realizado pelo homem contra a

gravidade para subir ao topo?

44. Suponha que exista um furo na lata de tinta do Exercício 43 e

9 lb de tinta vazam da lata de modo contínuo e uniforme durante

a subida do homem. Quanto trabalho é realizado?

45. (a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho

nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa

uniformemente na circunferência x2 � y2

� 1.

(b) Isso também é verdadeiro para um campo de força

F(x) � kx, onde k é uma constante e x � kx, yl?

46. A base de uma cerca circular de raio 10 m é dada por

x � 10 cos t, y � 10 sen t. A altura da cerca na posição (x, y) é

dada pela função h(x, y) � 4 � 0,01(x2 � y2), portanto a altura

varia de 3 m a 5 m. Suponha que 1 L de tinta permita pintar

100 m2. Faça um esboço da cerca e determine quanto de tinta

você precisará para pintar os dois lados da cerca.

47. Um objeto se move sobre a curva C, mostrada na figura, de

(1, 2) a (9, 8). Os comprimentos dos vetores do campo de força

F são medidos em newtons pela escala nos eixos. Estime o tra-

balho realizado por F sobre o objeto.

0 1

1

y(metros)

x(metros)

C

C

;

;

SCA

SCA

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1. A figura mostra uma curva C e um mapa de contorno de uma

função f cujo gradiente é contínuo. Determine hC f � dr.

2. É dada uma tabela de valores de uma função f com gradiente con-

tínuo. Determine hC f � dr, onde C tem equações paramétricas

x � t2 � 1,MMMy � t3

� t,MMM0 � t � 1.

3-10 Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se

for, determine uma função f tal que F � f .

3. F(x, y) � (2x � 3y) i � (�3x � 4y � 8) j

4. F(x, y) � ex cos y i � ex sen y j

5. F(x, y) � ex sen y i � e cos y j

6. F(x, y) � (3x2 � 2y2) i � (4 xy � 3) j

7. F(x, y) � (yex � sen y) i � (ex � x cos y) j

8. F(x, y) � (xy cos xy � sen xy) i � (x2 cos xy) j

9. F(x, y) � (ln y � 2xy3) i � (3x2y2 � x/y) j

10. F(x, y) � (xy cosh xy � senh xy) i � (x2 cosh xy) j

11. A figura mostra o campo vetorial F(x, y) � k2xy, x2l e três cur-

vas que começam em (1, 2) e terminam em (3, 2).

(a) Explique por que hC

F � dr tem o mesmo valor para as

três curvas.

(b) Qual é esse valor comum?

12-18 (a) Determine uma função f tal que F � f e (b) use a parte

(a) para calcular hC F � dr sobre a curva C dada.

12. F(x, y) � x2 i � y2 j, C é o arco da parábola y � 2x2 de (�1, 2)

a (2, 8)

13. F(x, y) � xy2 i � x2y j,

C: r(t) � kt � sen 12–pt, t � cos 12–ptl, 0 � t � 1

14. F(x, y) � i � 2y arctg x j,

C: r(t) � t2 i � 2t j, 0 � t � 1

15. F(x, y, z) � yz i � xz j � (xy � 2z) k, C é o segmento de reta de

(1, 0, �2) a (4, 6, 3)

16. F(x, y, z) � (2xz �y2) i � 2 xy j � (x2 � 3z2) k,

C: x � t2, y � t � 1, z � 2t � 1, 0 � t � 1

17. F(x, y, z) � y2 cos z i � 2 xy cos z j � xy2 sen z k,

C: r(t) � t2 i � sen t j � t k, 0 � t � p

18. F(x, y, z) � ey i � xe y j � (z � 1)ez k,

C: r(t) � t i � t2 j � t3 k, 0 � t � 1

y2

�1 � x2

y

x0 3

3

2

1

21

1

3

8

6

5

2

4

7

9

xy

0

1

2

0 1 2

y

x0

10

2030

4050

60

C

nida como P(x, y, z) � �f (x, y, z), e temos F � �P. Então, pelo Teorema 2, temos

W � hC

F � dr � �hC

P � dr � �[P(r(b)) � P(r(a))] � P(A) � P(B)

Comparando essa equação com a Equação 16, vemos que

P(A) � K(A) � P(B) � K(B)

que diz que, se um objeto se move de um ponto A para outro B sob a influência de umcampo de forças conservativo, então a soma de sua energia potencial e sua energia ciné-tica permanece constante. Essa é a chamada Lei de Conservação de Energia e é a razãopela qual o campo vetorial é denominado conservativo.

EXERCÍCIOS 16.3

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1000M||||MCÁLCULO

19-20 Mostre que a integral de linha é independente do caminho e

calcule a integral.

19. hC 2x sen y dx � (x2 cos y � 3y2) dy,

C é qualquer caminho de (�1, 0) a (5, 1)

20. hC (2y2 � 12x3y3) dx � (4xy � 9x4y2) dy,

C é qualquer caminho de (1, 1) a (3, 2)

21-22 Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao

mover um objeto de P a Q.

21. F(x, y) � 2y3/2 i � 3x√–y j;MMP(1, 1), Q(2, 4)

22. F(x, y) � e�y i � xe�y j;MMP(1, 1), Q(2, 0)

23-24 A partir do gráfico de F você diria que o campo é conserva-

tivo? Explique.

23. 24.

25. Se F(x, y) � sen y i � (1 � x cos y) j, use um gráfico para con-

jecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura

estava correta.

26. Seja F � f, onde f (x, y) � sen(x � 2y). Determine curvas C1

e C2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.

(a) hC1F � dr � 0 (b) hC2

F � dr � 1

27. Mostre que, se um campo vetorial F � P i � Q j � R k é con-

servativo e P, Q, R têm derivadas parciais de primeira ordem

contínuas, então

� MMM

� MMM

�

28. Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha

hC y dx � x dy � xyz dz não é independente do caminho.

29-32 Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo

e (c) simplesmente conexo.

29. {(x, y)�x � 0, y � 0} 30. {(x, y)�x � 0}

31. {(x, y)�1 x2 � y2

4}

32. {(x, y)�x2 � y2

� 1 ou 4 � x2 � y2

� 9}

33. Seja F(x, y) � .

(a) Mostre que ∂P/∂y � ∂Q/∂x.

(b) Mostre que hC

F � dr não é independente do caminho. [Su-

gestão: calcule hC1

F � dr e hC2

F � dr, onde C1 e C2 são as meta-

des superior e inferior do círculo x2 � y2

� 1 de (1, 0) a

(�1, 0).] Isso contraria o Teorema 6?

34. (a) Suponha que F seja um campo vetorial inverso do quadrado,

ou seja,

F(r) �

para alguma constante c, onde r � x i � y j � zk. Determine

o trabalho realizado por F ao mover um objeto de um ponto

P1 por um caminho para um ponto P2 em termos da distância

d1e d2 desses pontos à origem.

(b) Um exemplo de um campo inverso do quadrado é o campo

gravitacional F � �(mMG)r/�r�3 discutido no Exemplo 4

da Seção 16.1. Use a parte (a) para determinar o trabalho rea-

lizado pelo campo gravitacional quando a Terra se move do

afélio (em uma distância máxima de 1,52 � 108 km do Sol )

ao periélio (em uma distância mínima de 1,47 � 108 km).

(Use os valores m � 5,97 � 1024 kg, M � 1,99 � 1030 kg e

G � 6,67 � 10�11 N�m2/kg2.)

(c) Outro exemplo de campo inverso do quadrado é o campo

elétrico F � eqQr/�r�3 discutido no Exemplo 5 da Seção

16.1. Suponha que um elétron com carga de �1,6 � 10�19 C

esteja localizado na origem. Uma carga positiva unitária é

colocada à distância de 10�12 m do elétron e se move para

uma posição que está à metade da distância original do elé-

tron. Use a parte (a) para determinar o trabalho realizado pelo

campo elétrico. (Use o valor e� 8,985 � 109.)

cr��r�3

�y i � x j�

x2� y2

∂R�∂y

∂Q�∂z

∂R�∂x

∂P�∂z

∂Q�∂x

∂P�∂y

y

x

y

x

16.4 TEOREMA DE GREEN

O Teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha em torno de uma curvafechada simples C e uma integral dupla na região D do plano delimitada por C (veja a Fi-gura 1. Vamos supor que D consista em todos os pontos dentro de C, bem como nos pontossobre C). Para enunciar o Teorema de Green, usaremos a convenção de que a orientação po-sitiva de uma curva fechada simples C se refere a percorrer C no sentido anti-horário umaúnica vez. Assim, se C for dada como uma função vetorial r(t), a � t � b, então a região Destá sempre à esquerda quando o ponto r(t) percorrer C (veja a Figura 2).

y

x0

D

C

FIGURA 1

SCA

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1006M||||MCÁLCULO

1-4 Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e

(b) utilizando o Teorema de Green.

1. ∮C (x � y)dx � (x � y)dy, C é o círculo com centro na origem e

raio 2

2. ∮C xy dx � x2 dy, C é o retângulo com vértices (0,0), (3, 0),

(3, 1) e (0, 1)

3. ∮C

xy dx � x2y3 dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e

(1, 2)

4. ∮C

x dx � y dy, C consiste nos segmentos de reta de (0, 1) a (0, 0)

e de (0, 0) a (1, 0) e na parábola y � 1 � x2 de (1, 0) a (0, 1)

5-10 Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao

longo da curva dada com orientação positiva.

5. hC ey dx � 2xey dy, C é o quadrado de lados x � 0, x � 1,

y � 0 e y � 1

6. hC x2y2 dx � 4 xy3 dy, C é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 3),

e (0, 3)

7. hC (y � e√–x ) dx � (2x � cos y2 ) dy, C é a fronteira da região en-

globada pelas parábolas y � x2 e x � y2

8. hC xe�2x dx � (x4 � 2x2 y2) dy, C é a fronteira da região entre os

círculos x2 � y2

� 1 e x2 � y2

� 4

9. hC y3 dx � x3 dy, C é o círculo x2 � y2 � 4

10. hC sen y dx � x cos y dy, C é a elipse x2 � xy � y2

� 1

11-14 Use o teorema de Green para calcular hC F � dr . (Verifique a

orientação da curva antes de aplicar o teorema.)

11. F(x, y) � k√–x � y3, x2

� √–yl,

C consiste no arco da curva y � sen x de (0, 0) a (p, 0) e no seg-

mento de reta (p, 0) a (0, 0)

12. F(x, y) � ky2 cos x, x2 � 2y sen xl,

C é o triângulo de (0, 0) a (2, 6) a (2, 0) a (0, 0)

13. F(x, y) � kex � x2 y, ey

� xy2l, C é a circunferência x2

� y2 � 25, orientada no sentido horário

14. F(x, y) � ky � ln(x2 � y2), 2 tg�1 (y/x)l,

C é a circunferência (x � 2)2 � (y � 3)2

� 1, orientada no sen-

tido anti-horário

15-16 Verifique o Teorema de Green, usando um sistema de com-

putação algébrica para calcular tanto a integral de linha como a inte-

gral dupla.

15. P(x, y) � y2ex,MMQ(x, y) � x2ey,

C consiste no segmento de reta de (�1, 1) a (1, 1) seguido pelo

arco da parábola y � 2 � x2 de (1,1) a (�1, 1)

16. P(x, y) � 2x � x3y5,MMQ(x, y) � x3y8,

C é a elipse 4x2� y2

� 4

17. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela

força F(x, y) � x(x �y) i � xy2j ao mover uma partícula da

origem ao longo do eixo x até (1, 0), em seguida ao longo de um

segmento de reta até (0, 1), e então de volta à origem ao longo

do eixo y.

18. Uma partícula inicialmente no ponto (�2, 0) se move ao longo

do eixo x até (2, 0) e então ao longo da semicircunferência

y � √–––––4 � x2 até o ponto inicial. Utilize o Teorema de Green para

determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de

força F(x, y) � kx, x3 � 3xy2l.

19. Use uma das fórmulas em (5) para achar a área sob um arco da

cicloide x � t � sen t, y � 1 � cos t.

20. Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior

da circunferência x2 � y2

� 16, um ponto fixo P de C descreve

uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas

x � 5 cos t �cos 5t, y � 5 sen t � sen 5t. Faça o gráfico da epi-

cicloide e use (5) para calcular a área da região que ela envolve.

21. (a) Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto

(x2, y2), mostre que

hC x dy � y dx � x1y2 � x2y1

(b) Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn), mostre que a área do polígono é

A � 12– [(x1y2 � x2y1) � (x2y3 � x3y2) � . . .

� (xn�1yn � xnyn�1) � (xny1 � x1yn)]

(c) Determine a área do pentágono com vértices (0, 0), (2, 1),

(1, 3), (0, 2) e (�1, 1).

22. Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no

plano xy. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as

coordenadas do centroide (x–, y–) de D são

x– � ∮C

x2 dyMMMMy– � � ∮C

y2 dx

onde A é a área de D.

23. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide de um quarto de

uma região circular de raio a.

24. Use o Exercício 22 para encontrar o centroide da região trian-

gular de vértices (0, 0), (a, 0) e (a, b), onde a � 0 e b � 0.

25. Uma lâmina plana com densidade constante r(x, y) � r ocupa

uma região do plano xy limitada por um caminho fechado sim-

ples C. Mostre que seus momentos de inércia em relação aos

eixos são

Ix

� � ∮C

y3 dxMMMMIy

� ∮C

x3 dyr�3

r�3

1�2A

1�2A

EXERCÍCIOS 16.4

;

SCA

Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:38 Page 1006


26. Utilize o Exercício 25 para achar o momento de inércia de um cír-

culo de raio a com densidade constante em relação a um diâmetro

(compare com o Exemplo 4 da Seção 15.5).

27. Se F é o campo vetorial do Exemplo 5, mostre que hC F � dr � 0

para todo caminho fechado simples que não passe pela origem e

nem a circunde.

28. Complete a demonstração do Teorema de Green demonstrando

a Equação 3.

29. Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mu-

dança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para

o caso onde f (x, y) � 1:

hhR

dx dy � hS

h� �du dv

Aqui, R é a região do plano xy que corresponde à região S do

plano uv sob a transformação dada por x � t(u, v), y � h(u, v).

[Sugestão: observe que o lado esquerdo é A(R) e aplique a

primeira parte da Equação 5. Converta a integral de linha sobre

∂R para uma integral sobre ∂S e aplique o Teorema de Green no

plano uv.]

∂(x, y)�∂(u, v)

ROTACIONAL E DIVERGENTE

Nesta seção, definiremos duas operações que podem ser realizadas com campos vetoriaise que são essenciais nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos e em ele-tricidade e magnetismo. Cada operação lembra uma derivação, mas uma produz um campovetorial enquanto a outra gera um campo escalar.

ROTACIONAL

Se F � P i � Q j � R k é um campo vetorial em �3 e as derivadas parciais de P, Q e R exis-tem, então o rotacional de F é o campo vetorial em �3 definido por

rot F � ( � ) i � ( � ) j � ( � )k

Para auxiliar na memorização, vamos reescrever a Equação 1 usando notação de ope-radores. Introduziremos o operador diferencial vetorial (“del”) como

� i � j � k

Quando ele opera sobre uma função escalar, produz o gradiente de f :

f � i � j � k � i � j � k

Se pensarmos em como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z, podemos tambémconsiderar o produto vetorial formal de pelo campo vetorial F, como segue:

i j k

� F � � �P Q R

� ( � ) i � ( � ) j � ( � )k

� rot F

∂R��∂y

∂Q��∂z

∂P��∂z

∂R��∂x

∂Q��∂x

∂P��∂y

∂��∂z

∂��∂y

∂��∂x

∂f��∂z

∂f��∂y

∂f��∂x

∂f��∂z

∂f��∂y

∂f��∂x

∂��∂z

∂��∂y

∂��∂x

∂P��∂y

∂Q��∂x

∂R��∂x

∂P��∂z

∂Q��∂z

∂R��∂y

1

16.5

Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:39 Page 1007


1-8 Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

1. F(x, y, z) � xyz i � x2y k

2. F(x, y, z) � x2 yz i � xy2z j � xyz2 k

3. F(x, y, z) � ex sen y i � ex cos y j � zk

4. F(x, y, z) � xey j � yez k

5. F(x, y, z) � (x i � y j � zk)

6. F(x, y, z) � exy sen z j � y tg�1(x/z) k

7. F(x, y, z) � kln x, ln(xy), ln(xyz)l

8. F(x, y, z) � kex, exy, exyzl

9-11 O campo vetorial F é mostrado no plano xy e é o mesmo em

todos os planos horizontais (em outras palavras, F é independente de

z e sua componente z é 0).

(a) O div F será positivo, negativo ou nulo? Explique.

(b) Determine se o rot F � 0. Se não, em que direção rot F aponta?

9. 10.

11.

12. Seja f um campo escalar e F um campo vetorial. Diga se cada ex-

pressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê.

Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.

(a) rot f (b) grad f

(c) div F (d) rot(grad f )

(e) grad F (f) grad(div F)

(g) div(grad f ) (h) grad(div f)

(i) rot(rot F) (j) div(div F)

(k) (grad f ) � (div F) (l) div(rot(grad f ))

13-18 Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for

conservativo, determine uma função f tal que F � f.

13. F(x, y, z) � y2z3 i � 2xyz3 j � 3xy2z2 k

14. F(x, y, z) � xyz2 i � x2yz2 j � x2y2z k

15. F(x, y, z) � 2xy i � (x2 � 2yz) j � y2 k

16. F(x, y, z) � ez i � j � xez k

17. F(x, y, z) � ye�x i � e�x j � 2z k

18. F(x, y, z) � y cos xy i � x cos xy j � sen zk

19. Existe um campo vetorial G em �3 tal que

rot G � kx sen y, cos y, z � xyl? Explique.

20. Existe um campo vetorial G em �3 tal que

rot G � kxyz, �y2z, yz2l? Explique.

21. Mostre que qualquer campo vetorial da forma

F(x, y, z) � f (x) i � t(y) j � h(z) k

onde f, t e h são diferenciáveis, é irrotacional.

22. Mostre que qualquer campo vetorial da forma

F(x, y, z) � f (y, z) i �t(x, z) j � h(x, y) k

é incompressível.

23-29 Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais

apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F, G

forem campos vetoriais, então f F, F � G e F � G serão definidos por

( f F)(x, y, z) � f (x, y, z) F(x, y, z)

(F � G)(x, y, z) � F(x, y, z) � G(x, y, z)

(F � G)(x, y, z) � F(x, y, z) � G(x, y, z)

23. div(F � G) � div F � div G

24. rot(F � G) � rot F � rot G

25. div ( f F) � f div F � F � f

26. rot ( f F) � f rot F � (f ) � F

27. div(F �G) � G � rot F � F � rot G

28. div( f � t) � 0

29. rot (rot F) � grad(div F) � 2F

30-32 Seja r � x i � y j � z k e r � �r�.

30. Verifique as identidades.

(a) � r � 3 (b) � (rr) � 4r

(c) 2r3 � 12r

y

x0

y

x0

y

x0

1��√

–––––x2 � y2 �

––––z2

EXERCÍCIOS 16.5

Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:39 Page 1013

1014M||||MCÁLCULO

31. Verifique as identidades.

(a) r � r/r (b) � r � 0

(c) (1/r) � �r/r3 (d) ln r � r/r2

32. Se F � r/r p, ache div F. Existe um valor de p para o qual

div F � 0?

33. Use o Teorema de Green na forma da Equação 13 para de-

monstrar a primeira identidade de Green:

hD

h f 2t dA � ∮C f (t) � n ds � h

D

h f � tdA

onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as

derivadas parciais apropriadas de f e t existem e são contínuas.

(A quantidade t � n � Dnt aparece na integral de linha. Essa é

a derivada direcional na direção do vetor normal n e é chamada

derivada normal de t.)

34. Use a primeira identidade de Green (Exercício 33) para de-

monstrar a segunda identidade de Green:

hD

h ( f 2t � t

2f ) dA � ∮C

( f t � t f ) � n ds

onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as

derivadas parciais apropriadas de f e t existem e são contínuas.

35. Lembre-se, da Seção 14.3, que uma função t é dita harmônica

em D quando satisfaz a equação de Laplace, ou seja, 2t � 0 em

D. Use a primeira identidade de Green (com as mesmas hipóte-

ses que no Exercício 33) para mostrar que se t for harmônica

em D, então ∮C Dn t ds � 0. Aqui, Dnt é a derivada normal de t

definida no Exercício 33.

36. Use a primeira identidade de Grenn para mostrar que se f for

harmônica em D, e se f (x, y) � 0 na curva fronteira C, então

hhD �f �2 dA � 0. (Suponha que são válidas as mesmas hipóte-

ses que no Exercício 33.)

37. Este exercício ilustra a relação entre vetor rotacional e rotações.

Seja B um corpo rígido girando em torno do eixo z. A rotação

pode ser descrita pelo vetor w � �k, onde � é a velocidade an-

gular de B, ou seja, a velocidade tangencial de qualquer ponto P

em B dividido pela distância d do eixo de rotação. Seja

r � kx, y, zl o vetor posição de P.

(a) Considerando o ângulo u da figura, mostre que o campo de

velocidade de B é dado por v � w � r.

(b) Mostre que v � ��y i � �x j.

(c) Mostre que rot v � 2w.

38. As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o

campo magnético H, quando eles variam com o tempo em uma

região que não contenha carga nem corrente, como segue:

div E � 0 div H � 0

rot E �� rot H �

onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demons-

trar o seguinte:

(a) � ( � E) �

(b) � ( � H) � �

(c) 2E � [Sugestão: Use o Exercício 29.]

(d) 2H �

39. Vimos que todos os campos vetoriais da forma F � t satisfa-

zem a equação rot F � 0 e que todos os campos vetoriais da forma

F � rot G satisfazem a equação div F � 0 (supondo a continui-

dade das correspondentes derivadas parciais). Isso sugere a per-

gunta: existe alguma equação que todas as funções da forma

f � div G devam satisfazer? Mostre que a resposta para essa per-

gunta é “não”, demonstrando que toda função contínua f em �3 é

o divergente de algum campo de vetores. [Sugestão: Tome

G(x, y, z) � kt(x, y, z), 0, 0l, onde t(x, y, z) � h0x f (t, y, z) dt.]

∂2H�∂t2

1�c2

∂2E�∂t2

1�c2

∂2H�∂t2

1�c2

∂2E�∂t2

1�c2

∂E�∂t

1�c

∂H�∂t

1�c

0

u

P

dB

w

v

z

y

x

Cal_16v2:Layout 1 04.08.09 18:39 14

A86M||||MCÁLCULO

23.

25. 47,5 27. 16627–– 29. 2 31. 64

3–

33. 21e � 57

35. 65–

37. O Teorema de Fubini não se aplica. O integrando tem uma

descontinuidade infinita na origem.

EXERCÍCIOS 15.3 PÁGINA 924

1. 920– 3. 3

10– 5. e � 1 7. 256

21–– 9. p 11. 1

2– e16

� 172–

13. 12– (1 � cos 1) 15. 147

20–– 17. 0 19. 6

35– 21. 31

8–

33.

35. 13,984,735,616/14,549,535 37. p/2

39. h0

2 h4y2 f (x, y) dx dy 41. h3

�3h

0

√–––––9�x2

f (x, y) dy dx

43. h0

ln 2 h2ey x2 f (x, y) dx dy

45. 16–(e9

� 1) 47. 13– ln 9 49. 1

3–(2√

–2 � 1) 51. 1

53. (p/16)e�1/16� hhQ e

�(x2�y2)2

dA � p/16 55. 34–

59. 8p 61. 2p/3


1. h0

3p/2 h0

4 f (r cos u)r dr du 3. h1

�1h

0

(x�1)/2 f (x, y) dy dx

5. 33p/2

7. 0 9. 12– p sen 9 11. (p/2)(1 � e�4) 13. 3

64–p2

15. p/12 17. 18–(p � 2) 19. 16

3–p 21. 4

3–p

23. 43–pa3 25. (2p/3)[1 � (1/√

–2)]

27. (8p/3)(64 � 24√–3)

29. 12– p (1 � cos 9) 31. 2√

–2/3

33. 37,5pm3 35. 1516– 37. (a)√

–p/4MMM(b)√

–p/2


1. 643– C 3. 4

3–, ( 4

3–, 0) 5. 6, ( 3

4– , 3

2–)

7. 14–(e2

� 1), ( , )9. L/4, (L/2, 16/(9p)) 11. ( 3

8–, 3p/16) 13. (0, 45/(14p))

15. (2a/5, 2a/5) se o vértice for (0, 0) e os lados estiverem nos eixos

positivos

17. 116– (e4

� 1), 18– (e2

� 1), 116– (e4

� 2e2 � 3)

19. 7ka6/180, 7ka6/180, 7ka6/90 se o vértice for (0, 0) e os lados es-

tiverem nos eixos positivos

21. m � p2/8 (x–, y–) � ( � , ) Ix � 3p2/64

Iy �1

16– (p4

� 3p2), I0 � p4/16 � 9p2/64

23. rbh3/3, rb3h/3; b/√–3 h/√

–3

25. ra4/16, ra4/16; a/2, a/2

27. (a) 12– MM(b) 0,375 MM(c) 5

48– � 0,1042

29. (b) (i) e�0,2 � 0,8187

(ii) 1 � e�1,8 � e�0,8

� e�1 � 0,3481MM(c) 2, 5

31. (a) � 0,500 (b) � 0,632

33. (a) hhD

(k/20)[20 � √–––––(x � x0)

2–––––� (y �

––––––y0)

2–] dA, onde D é o disco

de raio 10 km centrado no centro da cidade

(b) 200pk/3 � 209k, 200(p/2 � 89–)k � 136k, na periferia


1. 274– 3. 1 5. 1

3– (e3

� 1) 7. � 13– 9. 4 11. 65

28–

13. 8/(3e) 15. 160– 17. 16p/3 19. 16

3– 21. 8

15–

23. (a) h0

1 h0

xh0

√––––1�y2

dz dy dxMMM(b) 14–p �

13–

25. 60,533

x�2

y�0

y

x0

2ln

1 2

y � ln x ou x � ey

2p�3

1�p

16�9p

e2� 1

�2(e2

� 1)

4(e3� 1)

�9(e2

� 1)

y

0 x

4 7

R

x=4

y�0

y�√x

y

x0

2

4

–x2�y2�9

y�0

y

x0

3

3�3

0

z

y

x

(0,�0,�1)

(1,�0,�0)

(0,�1,�0)

2

0

y1

0

x10

z

z

yx

0

1

1

4

Cal_apen A:Layout 1 04.08.09 10:07 Page A86

APÊNDICESM||||MA89

7. 9.

11. II 13. I 15. IV 17. III

19. A reta y � 2x

21. �f (x, y) � i � j

23. �f (x, y) � i � j

� k

25. �f (x, y) � 2x i � j

27.

29. III 31. II 33. (2,04, 1,03)

35. (a) (b) y � 1/x, x 0

y � C/x


1. 154– (1453/2

� 1) 3. 1638,4 5. 2438– 7. 17

3– 9. 320

11. 112– √

––14 (e6

� 1) 13. 15– 15. 97

3–

17. (a) Positivo (b) Negativo

19. 45 21. 65– � cos 1 � sen 1 23. 1,9633 25. 15,0074

27. 3p �23–

29. (a) 118– � 1/e (b)

31. 172,7045,632,705––––– √

–2(1 � e�14p) 33. 2pk, (4/p, 0)

35. (a) –x� (1/m) hC xr(x, y, z) ds,

y– � (1/m) hC yr(x, y, z) ds,–z � (1/m) hC zr(x, y, z) ds, onde m � hC r(x, y, z) ds

(b) (0, 0, 3p)

37. Ix � k ( 12– � �

43–), Iy � k ( 1

2– � �

23– )

39. 2p2 41. 26 43. 1,67 � 104 pés-lb

45. (b) Sim 47. �22 J


1. 40 3. f (x, y) � x2 � 3xy � 2y2

� 8y � K

5. f (x, y) � ex sen y � K 7. f (x, y) � yex� x sen y � K

9. f (x, y) � x ln y � x2y3 � K

11. (b) 16 13. (a) f (x, y) � 12– x2y2MMM(b) 2

15. (a) f (x, y, z) � xyz � z2MMM(b) 77

17. (a) f (x, y, z) � xy2 cos zMMM(b) 0

19. 25 sen 1 � 1 21. 30 23. Não 25. Conservativo

29. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Sim

31. (a) SimMMM(b) SimMMM(c) Não


1. 8p 3. 23– 5. e � 1 7. 1

3– 9. �24p 11. 4

3– � 2p

13. 6252

––p 15. �8e � 48e�1 17. � 1

12– 19. 3p 21. (c) 92–

23. (4a/3p, 4a/3p) se a região for a parte do disco x2 � y2

� a2no

primeiro quadrante

1,6

�0,2

0 1

F(r(1))

F(r(0))

F (r ( )1√2

1,6

–

2,5

�2,5

�2,5 2 0,5

y

x0

6

6�6

�6

0�2�4�6 4 6 x

y

�2

2

z��√

–––––x2 � y2––––

� z2–

x��√

–––––x2 � y2––––

� z2–y

��√

–––––x2 � y2––––

� z2–

1�x � 2y

2�x � 2y

4,5

�4,5

�4,5 4,5

z

yx

z

y

x


A90M||||MCÁLCULO


1. (a) �x2 i � 3xy j � xz kMM(b) yz

3. (a) 0MM(b) 1

5. (a) 0MM(b) 2/√–––––x2 � y2 �

–––––z2

7. (a) k1/y, �1/x, 1/xl (b) 1/x � 1/y � 1/z

9. (a) NegativoMMM(b) rot F � 0

11. (a) ZeroMMM(b) rot F aponta na direção de z negativo

13. f (x, y, z) � xy2z3 � K 15. f (x, y, z) � x2y � y2z � K

17. Não conservativo 19. Não


1. P: não; Q: sim

3. Plano por (0, 3, 1) contendo os vetores k1, 0, 4l, k1, �1, 5l5. Cilindro circular com eixo no eixo x

7.

9.

11.

13. IV 15. II 17. III

19. x � 1 � u � v, y � 2 � u � v, z � �3 � u � v

21. x � x, z � z, y � √–––––1 � x2 � z2–––––

23. x � 2 sen f cos u, y � 2 sen f sen u,

z � 2 cos f, 0 � f � p/4, 0 � f � 2p

[ou x � x, y � y, z � √–––––4 � x2 �

––––y2, x2

� y2 � 2]

25. x � x, y � e�x cos u, z � 4 sen u, 0 � x � 5, 0 � u � 2p

29. x � x, y � e�x cos u,

z � e�x sen u, 0 � x � 3

0 � u � 2p

31. (a) Inverte o sentidoMMM(b) O número de voltas dobra

33. 3x � y � 3z � 3 35. �x � 2z � 1 37. 3√––14

39. 415– (35/2

� 27/2 � 1) 41. (2p/3)(2 √

–2 � 1)

43. (p/6)(17 √––17 � 5√

–5)

45. 12– √

––21 � 17

4–[ln(2 � √

––21) � ln √

––17] 47. 4

49. 13.9783

51. (a) 24.2055 (b) 24.2476

53. 458– √

––14 � 15

16– ln[(11√

–5 � 3√

––70)/(3√

–5 � √

––70)]

55. (b)

(c) h0

2ph0

p√

–––––36 sen4u

–––––cos2v �

–––––9–––––sen4u sen2v

–––––�

–––––4 cos2u

–––––sen2u––––

du dv

57. 4p 59. 2a2(p � 2)


1. 49,09 3. 900p 5. 171√––14 7. √

–3/24

9. 5√–5/48 � 1/240 11. 364√

–2/3p

13. (p/60)(391√––17 � 1) 15. 16p 17. 12

19. 713180–– 21. � 1

6– 23. 108p 25. 0 27. 48

29. 2p �83– 31. 0,1642 33. 3,4895

35. hhS F dS � hhD[P(�h/�x) � Q � R(�h/�z)]dA, onde

D � projeção de S no plano xz

37. (0, 0, a/2)

39. (a) Iz� hh

S(x2

� y2)r(x, y, z) dSMMM(b) 4.329√–2/5

41. 0 kg/s 43. 83–pa3e0 45. 1.248p


3. 0 5. 0 7. 1 9. 80p

11. (a) 81p/2 (b)

�2

5

0

�5

z

0y

2�2 2

0x

2

0

�2

�2 �10 2 1 0

z

y x

20�101�1

0

1

y

z

x

�10

x1

�1

0y

1

�1

0z

1

v constante

u constante

�1

0x

1

�10

y

z

u constante

v constante

�1

0

1

1

2

0

�2

2

1

0

2

1,5

1

xy

z

u constante

v constante


mcÁlculo -...

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