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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHOUNINOVE

Material de apoioMatemática Financeira

Curso: Ciências Contábeis

Elaboração: Prof. Paulo Sergio Pereira da Silva

São Paulo, 2012

Matemática Financeira - Prof. Dr. Paulo Sergio P. da Silva 2

ÍNDICE

APRESENTAÇÃO..............................................................................................................................................................................................03

FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA...............................................................................................04

INTRODUÇÃO........................................................................................................................................................................................04

REGRA DE TRÊS SIMPLES............................................................................................................................................................04

PORCENTAGEM...................................................................................................................................................................................05

JUROS.......................................................................................................................................................................................................................09

JUROS SIMPLES....................................................................................................................................................................................11

DESCONTOS .SIMPLES.................................................................................................................................................................................19

JUROS COMPOSTOS.......................................................................................................................................................................................23

DESCONTOS COMPOSTOS...........................................................................................................................................................................28

OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS..............................................................................................................................................30

SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS.......................................................................................................................................38

POSTECIPADA.........................................................................................................................................................................................38

ANTECIPADA..............................................................................................................................................................................................43

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO................................................................................................................................................................49

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO-SFA./PRICE...................................................................................................52

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE-SAC.......................................................................................................61

EXERCICIOS SUPLEMENTARES...............................................................................................................................................................64

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................................................................................72

ANEXO 1 - PEQUENO MANUAL HP 12C.....................................................................................73

Todos os direitos reservado e protegidos pela Lei9.610 de 19/02/98. Nenhuma parte destaapostila, sem autorização prévia por escrito doautor, poderá ser reproduzida ou transmitidasejam quais forem o meios empregados:eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravaçãoou quaisquer outros.


APRESENTAÇÃO

Caro(a) aluno(a),

Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam

diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras

específicas, diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e

profissional. Esse universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será

que conseguiremos dominar todas essa novidades e sobreviver a elas?

Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e

linguagens e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas

que seguem, oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a

acadêmico. Não pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída., longe

disso. Você só aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das

ferramentas. No início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a

decodificá-las e a utilizá-las corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu

vocabulário quanto de seu repertório de práticas.

O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o

desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes

aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como

objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, os conceito da

matemática financeira e suas aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil

compreensão.

Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, e

apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material serve

como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não substitui,

em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos.

O autor,


FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

INTRODUÇÃO

A matemática financeira tem como objetivo principal estudar o valor do dinheiro em funçãodo tempo. Este conceito, aparentemente simples, tem vários detalhes quanto à forma de estudo dovalor do dinheiro tempo. Vejamos alguns conceitos para melhor compreendermos o objetivo damatemática financeira.

Risco: quando estamos concedendo crédito, estamos mesmo é analisando o risco contido nasoperações de crédito. Os conceitos de matemática financeira serão importantes para medir o riscoenvolvido em várias operações de créditos.

Prejuízo (ou despesa): Em qualquer operação financeira, normalmente, ocorre o pagamento dejuros, taxas, impostos, etc., caracterizando-se para alguns como prejuízo e para outros comopagamento de despesas financeiras. A matemática financeira irá mostrar quanto se pagou dedespesa ou medir o tamanho do prejuízo em uma operação financeira.

Lucro (ou receita): Da mesma forma que alguém ou uma instituição paga juros e caracteriza-ocomo prejuízo ou despesa, quem recebe pode classificar estes juros como lucro ou receita ousimplesmente como a remuneração do capital emprestado. A matemática financeira nos ajuda acalcular este juro ou receita, bem como a remuneração do capital emprestado.

REGRA DE TRÊS

Chamamos de regra de três simples os problemas nos quais figuram uma grandeza que édireta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

A regra de três simples trabalha com apenas duas grandezas.

Exemplos:

1) Comprei 6 m de tecidos por R$ 15,00. Quanto gastaria se tivesse comprado 8m?

Resolução: (grandezas diretamente proporcionais)Neste problema figuram duas grandezas: comprimento e preço do tecido.Chamamos de x o valor que desejamos conhecer.Então dispomos em duas colunas:

Comprimento(m) Preço(R$)6 158 x

Em seguida, colocamos uma seta vertical na coluna onde se encontra x, com a ponta voltada paraele. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, como no nosso exemplo, colocaremos umasegunda seta vertical de mesmo sentido na coluna dos outros dados. Assim:

6 158 x


Armamos à proporção formada pelas razões que construímos, seguindo as setas:

6 = 158 x

e determinamos o valor de x:

x = 8 . 15 x = 120 x = 206 6

Logo, o preço procurado é: R$ 20,00

2) Se seis operários fazem certa obra em 10 dias, em quantos dias 20 operários fariam a mesmaobra?

Resolução: (grandezas inversamente proporcionais)

Então dispomos em duas colunas:Operários Dias

6 1020 x

A coluna que contém x é assinalada como no problema anterior e a outra coluna é assinalada comuma segunda seta vertical, de sentido contrário. Assim:

6 1020 x

Em seguida, invertemos os valores da coluna do numero de operários (por ser uma grandezainversamente proporcional à de número de dias):

20 106 x

Daí:

20 = 106 x

e determinamos o valor de x:

x = 6 . 10 x = 60 x = 320 20

Logo, serão necessários: 3 dias.


PERCENTAGEM (%)

Em nosso dia-a-dia é comum observarmos expressões como as relacionadas abaixo:

“Desconto de até 30% na grande liquidação de verão.”“Os jovens perfazem um total de 50% da população brasileira.”“A inflação registrada em dezembro foi de 1,93%.”“O rendimento da caderneta de poupança foi de 1,99% em maio.”

Todas essas expressões envolvem uma razão especial chamada percentagem.

Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a umataxa.Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a porcentagem.

No entanto, o principal, a percentagem e a taxa são elementos do cálculo percentual.

Representando:O principal por P;A porcentagem por p;A taxa por i;

Temos, genericamente:100

iPp

3) Qual é a comissão de 10% sobre R$ 800,00?Resolução:

Neste caso teremos que:

p 10

800 100

100p = 800 . 10100p = 8000

p = 8000/100p = 80 Logo, a comissão é de R$ 80,00


E X E R C I C I O S

REGRA DE TRÊS

1) Ao comprar 2 kg de pães paguei R$ 12,50. Quanto pagaria se tivesse comprado 6 kg?R. R$ 37,50

2) Comprei 5 m de corda por R$ 4,00. Quanto pagarei por 14 m? R. R$ 11,20

3) Um operário recebe R$ 836,00 por 20 dias de trabalho. Quanto receberá por 35 dias?R. R$ 1463,00

4) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? R. 112 voltas

5) Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000refrigerantes? R. 8 horas

6) Com 12 operários podemos construir um muro em 4 dias. Quantos dias levarão 8 operários parafazer o mesmo muro? R. 6 dias

7) Um empreiteiro calculou terminar uma obra em 32 dias, empregando 15 operários. Tendoconseguido apenas 12 operários, em quantos dias terminará o mesmo trabalho? R. 40 dias

8) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmotrigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? R. 10 kg

9) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriamessa casa? R. 90 dias

10) Um ônibus, a uma velocidade media de 60km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará,aumentando a velocidade média para 80 km/h? R. 3 horas

11) Trabalhando 5 horas por dia um operário pode fazer um trabalho em 24 dias. Em quantos dias,nas mesmas condições, poderia fazê-lo, trabalhando 6 horas por dia? R. 20 dias

12) Cinco máquinas impressoras, trabalhando simultaneamente executam um determinado serviçoem 5 horas. Em quanto tempo o mesmo serviço seria executado se forem utilizadas apenas trêsmáquinas impressoras? R. 8,33 horas ou 8 horas e 20 minutos

PORCENTAGEM13) Calcule as porcentagens:

a) 8% de R$ 700,00 R p = 56b) 5% de R$ 4.000,00 R. p = 200c) 12% de R$ 5.000,00 R. p = 600d) 1,2% de R$ 40,00 R. p = 0,48

14) Qual a taxa percentual que:a) 125 representa de 250? R. i = 50%b) 112 representa de 320? R. i = 35%c) 28 representa de 80? R. i = 35%d) 352 representa de 1800? R. i = 19,55%


15) Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4.200,00, já incluídos R$120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informadode que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente ás taxasde embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem ávista. Então é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem: (R. c)

a) R$ 3.672,00 b) R$ 3.780,00 c) R$ 3.792,00 d) R$ 3.900,00

16) De 4000 funcionários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa percentual dos funcionáriosausentes? R. i = 3%

17) Para a venda de uma geladeira, o cartaz anuncia:

R$ 367,20 x 4ou

R$ 1.080,00 à vista

Pergunta-se: Quem comprar a prazo, pagará a mais quantos por cento? R. 36%

18) Represente a taxa de porcentagem do ingrediente sabão do desinfetante PINHO CHEIRO:R. 7%

DESINFETANTE PINHO CHEIROÁgua 47g

Álcool 12gSabão 7g

Óleo pinho 34gTOTAL 100g

19) Numa pesquisa sobre a preferência de cores, foram entrevistadas 50 pessoas e o resultadoobtido foi o seguinte:

PREFERENCIA NÚMERO DE PESSOASAzul 11

Branco 9Preto 1Verde 10

Amarelo 14Vermelho 5

Pergunta-se: Qual a taxa percentual de cada cor pesquisada ?R. 22%; 18%; 2%; 20%; 28%; 10%.

20) De 800 estudantes, 40 faltaram na escola num dia normal de aula. Qual a taxa percentual dosestudantes ausentes? R. i = 5%


JUROS (J)

É a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer apartir de dois pontos de vista:

- de quem paga: nesse caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo,etc.

- de quem recebe: podemos entender como sendo rendimento, receita financeira, ganho, etc.

Podemos concluir que os juros só existem se houver um capital empregado, seja este capital próprioou de terceiros.

Capital (C) ou Valor Presente (PV) ou Principal (P)

É o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operaçãofinanceira. Podemos entender como data focal zero a data de inicio da operação financeira ousimplesmente podemos dizer que é o valor aplicado como base para cálculo dos juros.Taxa (i)

É o coeficiente obtido da relação dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representadoem forma percentual ou unitária. Os conceitos e tipos de taxas são bastante variados, como porexemplo:

- taxa de inflação;- taxa real de juros;- taxa acumulada;- taxa unitária;- taxa percentual;- taxa over;- taxa equivalente;- taxa nominal, entre outras.-

Prazo ou Tempo ou Períodos (n)

É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita paraproduzir um montante (M). Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos umexemplo:

- período inteiro:1 dia; 1 mês comercial (30 dias), 1 ano comercial (360 dias), etc.- período fracionário:3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc.

Podemos também considerar como um período inteiro os períodos do tipo: um período de 15 dias,um período de 30 dias, etc., ou seja, a forma de entendimento dos períodos vai depender de comoestão sendo tratados nos problemas.

Montante (M) ou Valor Futuro (FV) ou Soma ( S)

É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeiraapós um determinado período de tempo, ou seja, é soma do capital (C) com os juros (J).

Assim temos: M = C + J

Partindo da fórmula acima, temos que: J = M – C e C = M - J


Exemplo 01:

Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado tempo, qual foio valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78 ?

Solução algébrica:J = 78,25 C= 1.568,78 M = ?M = C + JM = 1,568,78 + 78,25M = R$ 1.647,03

Exemplo 02:

Qual o valor dos juros resultante de uma operação em que foi investido um capital de R$ 1.250,18 eque gerou um montante de R$ 1.380,75 ?

Solução algébrica:C = 1250,18 M= 1380,75 J= ?J = M - CJ = 1380,75 – 1250,18J = R$ 130,57

Exemplo 03:

Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 1500,00, sabendo-se que o rendimentodeste investimento foi de R$ 378,25 ?

Solução algébrica:M= 1500,00 J=378,25 C= ?C = M - JC = 1500,00 – 378,25C = R$ 1.121,75

Regimes de Capitalização

São os métodos pelos quais os capitais são remunerados. Os regimes utilizados emMatemática Financeira são SIMPLES e COMPOSTOS ou linear e exponencial, respectivamente.

Exemplo 04:

Seja um capital de R$ 1000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. Qual o valoracumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples ?Solução algébrica: 01

Regime de Capitalização Simplesn Capital aplicado(R$) Juros de cada período Montante1 1000,00 1000 . 0,1= 100 1000 + 100 = 1100,002 1000,00 1000 . 0,1 =100 1100 + 100 = 1200,003 1000,00 1000 . 0,1 =100 1200 + 100 = 1300,00

Solução pela HP-12C

1568,78 ENTER

78,25 +R$ 1.647,03


1380,75 ENTER

1250,18 -

R$ 130,57


1500 ENTER

378,25 -

R$ 1.121,75


JUROS SIMPLES

Podemos entender juros simples como sendo o sistema de capitalização linear. O regime dejuros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor do capital inicial, ouseja, sobre os juros gerados, a cada período, não incidirão novos juros.

Sendo assim, teremos a fórmula dos juros simples:

J= PV . i . n

Colocando o PV em evidência, teremos:

PV = Ji.n

Colocando o n em evidência, teremos:

n = JPV.i

Colocando o i em evidência, teremos:

i = J ou i = FV - 1PV.n PV

Exemplo 05:Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% aomês.

Solução algébrica:

J = 1250 . 0,055 . 5J = R$ 343,75

Exemplo 06:

Qual foi o capital que gerou rendimento de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 2,5% aomês ?

Solução algébrica:J= 342,96PV = 342,96

0,025 . 11

PV = 342,96 = R$ 1.247,130,275


1250,00 ENTER

0,055 X

5 XR$ 343,75

R$ 1.121,75Solução pela HP-12C

342,96 ENTER

0,025 ENTER

11 X ÷R$ 1.247,13


Exemplo 07:

Pedro pagou ao Banco ECCOS S/A a importância de R$ 2,14 de juros por um dia de atraso sobreuma prestação de R$ 537,17. Qual o foi a taxa mensal de juros aplicada pelo banco ?

Solução algébrica:i = 2,14

537,17 . 1i = 2,14 = 0,003984....

537,17i = 0,003984 . 100i = 0,3984% ao diaimensal = 0,3984 . 30imensal = 11,95%

Exemplo 08:Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 967,74 que gerou rendimentos de R$ 226,45com uma taxa de 1,5% ao mês ?Solução algébrica:n = ? PV = R$ 967,74 i = 1,5% ao mês J= R$ 226,45n = 226,45 = 226,45

967,74 . 0,015 14,52

n =15,6 meses ou 15 meses e 18 dias

OBSEVAÇÃO:

- A parte inteira 15 representa os 15 meses.-A parte decimal do número 15,6, ou seja, 0,6, representa os 18 dias. Neste caso, para calcularmosos dias, basta multiplicar a parte decimal por 30 ( 0,6 . 30 = 18).

Exemplo 09:André emprestou R$ 15,00 de Almir. Após 6 meses Almir resolveu cobrar sua dívida. Andréefetuou um pagamento de R$ 23,75 a Almir. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação?Qual foi a taxa mensal de juros?Solução algébrica:PV = 15,00FV = 23,75N = 6 mesesi(ac) = ?imensal = ?

Solução pela HP-12C2,14 ENTER

537,17 ENTER

1

100 3011,95% ao mês

X

X

X


226,45

967,74

0,015

15,60meses

ENTER

X

ENTER

i(ac) = 23,75 - 1 . 10015

i(ac) = { 1,5833 – 1 } . 100

i(ac) = 0,5833 . 100i(ac) = 58,33% a. p. ou ao semestreimensal = 58,33 / 6imensal = 9,72% ao mês


15

23,75

58,33 a . p.

6

9,72% ao mês

ENTER

%


Montante (M) ou Valor Futuro (FV)Antes de apresentar a fórmula do montante ou valor futuro, devemos lembrar dos conceitos inicias,onde tenhamos que:

FV = PV + J e J = PV . i . nAssim teremos:

FV = PV ( 1 + i . n)

Exemplo 10:Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em um CDB pós-fixado de 90dias, a uma taxa de 1,45% ao mês?

Solução algébrica:n = 90 dias ou (3meses) PV = R$ 84.975,59 i = 1,45% ao mês FV= ?FV = 84.975,59(1 + 0,0145 . 3)FV = 84.975,59(1 + 0,0435)FV = 84.975,59(1,0435)FV = R$ 88.672,03

Capital (C) ou Valor Presente (PV)

A Fórmula do Capital ou Valor Presente pode ser deduzida a partir da fórmula do Montanteou Valor Futuro (FV).

Assim teremos: FV = PV(1 + i . n)Colocando PV em evidência:

PV = FV(1 + i . n)

Exemplo 11:Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.


PV = 84.248,00(1 + 0,0177 . 3)

PV = 84.248,00 = 84.248,00(1 + 0,0531 ) 1,0531

PV = R$ 80.000,00


84975,59

1,45

3

R$ 88.672,03

ENTER

%

X +


84248

1

0,0177

3R$ 80.000,00

ENTER

ENTER

ENTER

Xx

+


E X E R C Í C I O S

1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5000,00, pelo prazo de 5 meses,sabendo-se que a taxa cobrada é de 3,5 % ao mês ? R. J = R$ 875,00

2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2.756,31. Determine ataxa correspondente. R. i = 2,5%

3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25.Pergunta-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? R. ianual = 17,655%

4) Sabe-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750,00 à taxa de5% ao trimestre, pede-se que calcule o prazo. R. n = 16 trim

5) Qual o capital que aplicado, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em 360 dias?R. PV = R$ 2827,38

6) Qual é o juro obtido através da aplicação de capital de R$ 2500,00 a 7% a.a. durante 3 anos ?R. J = R$ 525,00

7) Determinar o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, àtaxa de 2,5% ao mês. R. FV = R$ 9834,51

8) Um financiamento de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 141 dias. Calcular ataxa mensal de juros. R. i = 5,73555 a m.

9) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu R$ 1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples anual ganha?R. i = 48% aa

10) Qual o valor do investimento que gerou um resgate de R$ 370,00, sabendo-se que o rendimentodeste investimento foi de R$ 148,50 ? R. PV = R$ 221,50

11) João pagou a uma financeira a importância de R$ 10,30 de juros por 2 dias de atraso sobre umaprestação de R$ 732,10. Qual foi a taxa mensal de juros aplicada pela financeira?R. i = 21,1% am.

12) Qual o capital que aplicado à taxa simples de 20% ao mês em 3 meses monta R$ 8.000,00 ?R. PV = R$ 5000,00

13) Determine o juro obtido com um capital de R$ 1250,00 durante 5 meses com a taxa de 5,5% aomês. R. J = R$ 343,75

14) Um capital de R$ R$ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante 3 anos, à taxa de 12% a.a.Determine o juro obtido. R. J = R$ 1800,00

15) Um Capital de R$ R$ 7.000,00 é aplicado à juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de 8%a.s. Obtenha os Juros e o Montante. R. J = R$ 1680,00; FV = R$ 8680,00

16) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2%a.m.? R. PV = R$ 30000,00


17) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$150.000,00, pelo prazo de 18meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 4% ao mês? R. J = R$ 108000,0018) Qual o capital emprestado, que em 18 meses, produziu os juros de R$ 108.000,00, à taxa dejuros simples de 4% ao mês? R. PV = R$ 150000,00

19) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 280.000,00, durante 15 meses, àtaxa de juros simples de 3% ao mês? R. FV = R$ 406000,00

20) Qual o capital investido, para que possa resgatar R$ 23.600,00, no prazo de 6 meses, à taxa dejuros simples de 3% ao mês? R. PV = R$ 20000,00

21) Que tempo de aplicação foi necessário, para que R$ 20.000,00, se transforme à taxa de 3% aomês, em R$ 23.600,00? R. n = 6 meses

22) (EPCAR) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% deentrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses.Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazoé de: R. (b)

a) 94%b) 96%c) 98%d) 100%


Cálculo dos juros simples para períodos não inteiros – Taxas equivalentes

Em algumas situações, o período de aplicação ou empréstimo não coincide com o período dataxa de juros. Nesses casos é necessário se trabalhar com a taxa equivalente .Taxas Equivalentes são aquelas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo períodode tempo, produzem o mesmo juro ou rendimento.

Exemplo 12:Um banco oferece uma taxa de 28% ao ano pelo regime de juros simples. Quanto ganharia derendimento um investidor que aplicasse R$ 15.000,00 durante 92 dias ?

Solução algébrica:PV = 15.000,00i = 28% ao anon = 92 diasJ = ?

Juros Exato e Comercial

Quando falamos em juro exato, estamos na verdade, nos referindo aos dias do calendário,ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como, por exemplo:Janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias). Desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias.

No caso do juro comercial devemos considerar sempre um Mês de 30 dias, e, sendo assim,um ano comercial vai ter sempre 360 dias.

Exemplo 13:

Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 01/02/03 sendo quitada em 15/03/03, com ataxa de 48% ao ano. Pede-se:

a) Determinar os juros exatob) Determinar os juros comercial

Solução algébrica:PV = R$ 14.500i = 48% ao ano

a) Jexato = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 800,88365

Opção1: transformando a taxaJ = 15000 . 0,28 . 92

360J = 15000 . 0,000778 . 92J = R$ 1.073,33

Opção2: transformando o prazoJ = 15000 . 0,28 . 92

360J = 15000 . 0,28 . 0,255556J = R$ 1.073,33

Opção3: transformando o produtoJ = 15000 . 0,28 . 92 = 386.400,00

360 360J = R$ 1.073,33

Solução pela HP – 12C

15000

0,28

92

360

R$ 1.073,33

ENTER

X

X


b) Jcomercial = 14500 . 0,48 . 42 = R$ 812,00360

E X E R C Í C I O S - JUROS PERIODO NÃO INTEIRO/TAXA EQUIVALENTE eJUROS EXATO E COMERCIAL

Considerar o ano comercial (360 dias)

1) Calcular o rendimento de R$ 12.000,00 aplicados durante 8 meses e 3 dias à taxa de jurossimples de 40% ao ano. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial (360 dias) e o ano exato(365 dias). R. Jcom = R$ 3240,00 e Jex = R$ 3195,61

2) Uma prestação no valor de R$ 6.332,00 venceu em 01/04/00 sendo quitada em 17/05 do mesmoano com a taxa de 25% ao ano. Determine os juros exato e comercial.R. Jex = R$ 199,50 e Jcom = R$ 202,27

3) Calcule as taxas equivalentes a 40% ao ano para:a) 7 dias; R. 0,77%b) 29 dias; R. 3,22%c) 1 mês; R. 3,33%d) 32 dias; R. 3,56%e) 1 trimestre; R. aprox. 10%f) 45 dias; R. 5%g) 1 semestre; R. aprox. 20%


14500

0,48

42

365

R$ 800,88

14500

0,48

42

360

R$ 812,00

ENTER

X

Xx

X+

X

ENTER


4) Calcular o valor dos juros de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazode 32 dias. R. J = R$ 821,18

5) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicados por 14 dias à taxa simples de 2,5% ao mês.R. J = R$ 268,33

6) Determinar a taxa simples para 22 dias de aplicação, equivalente à taxa de 3,05% ao mês.R. i22dias = 2,24%

7) Calcule a taxa mensal proporcional a:

a) 9% ao trimestre b)24% ao semestre c) 0,04% ao dia d)30% ao ano.R. a) 3% ao mês; b) 4% ao mês; c) 1,2% ao mês; d) 2,5% ao mês

8) Um capital de R$2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juroobtido. R$ 500,00

9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$18.500, aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10dias, à taxa de 36% ao ano. R. R$ 15.725,00

10) Uma aplicação de valor inicial de R$ 4.000,00 foi feita por um período de 72 dias, pelo regimede juros simples, sob a taxa de 9% ao mês. Podemos afirmar que o valor do Juro Exato e o valor doMontante final são: R. (c)

a) R$ 946,67 e R$ 4946,67b) R$ 946,67 e R$ 4864,00c) R$ 864,00 e R$ 4864,00d) R$ 946,67 e R$ 8644,00e) R$ 360,00 e R$ 4864,00


DESCONTOS

É a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título de crédito é resgatadoantes de seu vencimento. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no setor comercial,em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, notas promissórias etc., podelevantar fundos em um banco descontando o título antes do vencimento. O Banco naturalmente,libera uma quantia menor do que o valor inscrito no título, dito nominal. Podemos classificar ostipos de descontos como Simples (método linear) e Composto (método exponencial).

Desconto Racional ou Real Simples - “ desconto por dentro”

É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valorde resgate) do papel. O valor do desconto é a diferença entre o valor futuro ((VN) valor nominal oude resgate) e o valor atual ((VL) valor líquido liberado na data do desconto) calculado a jurossimples.

Vamos aplicar as seguintes fórmulas:

Para calcular o desconto racional simples:

DRS = VN – VL

O desconto racional simples (DRS) pode também ser encontrado diretamente pela seguintefórmula:

DRS = VN . i . n( 1 + i . n )

Para calcular o valor líquido:

VL = VN - DRS .

O Valor Líquido (VL) também pode ser encontrado pela seguinte fórmula:

VL = VN .( 1 + i . n )

Exemplo 01:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxade juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional simples e o valor líquido?

Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;i = 2,5% ao mês; DRS = ?

DRS = 25000,00 . 0,025 . 2( 1 + 0,025 . 2 )

DRS = 12501,05

Solução pela HP-12C25000 ENTER0,025 X 2 X1 ENTER0,025 ENTER2 X + CHS25000,00 +

R$ 23.809,52


DRS = R$ 1190,48

VL = VN - DRSVL = 25000 – 1190,48VL = R$ 23.809,52

Desconto Bancário ou Comercial - “ desconto por fora ”

É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor nominal (ouvalor de face) do papel. Na prática o que é utilizado é o desconto por fora. O valor do desconto éobtido multiplicando-se o valor nominal do título pela taxa de desconto fornecida pelo banco peloprazo a decorrer até o vencimento do título.

Vamos expressar esta situação através da seguinte fórmula:

DBS = VN . i . n e VL = VN – DBS

OBS.: CASO A DÍVIDA SEJA PRORROGADA: VL = VN + DBS

Exemplo 02:

Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxade juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto comercial (bancário) e o valor líquido?

Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;i = 2,5% ao mês; DBS = ?DBS = 25000,00 . 0,025 . 2DBS = R$ 1250,00VL = 25000 – 1250,00VL = R$ 23.750,00

Exemplo 03:

Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seuvencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título dedespesas administrativas e que o IOF (Imposto Sobre Operações Financeiras) é 0,0041% ao diasobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seriatomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção?


Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 2 meses;id = 2,5% ao mês; iadm= 1%; iIOF = 0,0041%;i = 2,8% ao mês(empréstimo)VL = ? DBS = ? DIOF = ? Dadm = ?ONDE:D = despesasDIOF = despesas com IOFDadm = despesas administrativas

Solução pela HP-12C25000 ENTER0,025 X 2 XCHS25000 +

R$ 23.750,00


VL = VN – DBS – DIOF – Dadm

DBS = VN . id . nDBS = 25000 . 0,025 . 2 = R$ 1250,00Dadm = 25000 . 0,01 = R$ 250,00DIOF = 25000 . 0,000041 . 60 = R$ 61,50VL = 25000 – 1250 – 250 – 61,50VL= R$ 23.438,50

Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos que a taxa destaoperação será:i = FV - PV

FV . ni = 25000 – 23.438,50 = 1561,50 = 3,12 % ao mês

25.000(2) 50.000A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será melhor opção.

Operações com um conjunto de títulos

Estudaremos nos próximos itens as situações em que haja mais de um título ou borderô detítulos ou duplicatas.

Exemplo 04:Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxade desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa ?

Duplicata Valor(R$) Prazo(vencimento)A 2.500,00 25 diasB 3.500,00 57 diasC 6.500,00 72 dias

Neste exemplo, vamos aplicar inicialmente a metodologia de cálculo para um único título.

Solução algébrica:a)Duplicata A:DBS = 2500 . 0,03 . 25 = R$ 62,50

30b)Duplicata B:DBS = 3500 . 0,03 . 57 = R$ 199,50

30c)Duplicata C:DBS = 6500 . 0,03 . 72 = R$ 468,00

30Valor líquido = 12500 - 62,50 – 199,50 – 468,00 = R$ 11.770,00



1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para90 dias, à taxa de 2,5% ao mês ? R. DBS = R$ 225,00

2) Qual a taxa mensal de desconto comercial simples utilizada numa operação a 120 dias cujo valornominal é de R$ 1000,00 e cujo valor líquido é de R$ 880,00 ? R. i = 3%

3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicatas descontadas a 2,4% ao mês, conforme oborderô a seguir:

a) 6.000 15 diasb) 3.500 25 diasc) 2.500 45 diasR. VL = R$ 11.768,00

4) Uma duplicata de R$ 32.000,00, com 90 dias a decorrer até o vencimento, foi descontada por umbanco à taxa de 2,70% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.R. VL = R$ 29408,00

5) Achar o valor líquido do borderô de cobrança a baixo, á taxa de desconto bancário é de 2% aomês. R. VL = R$ 4461,11

Duplicatas Valor (R$) Prazo (vencimento)X 800,00 13 diasY 1350,00 29 diasZ 2430,00 53 dias

6) Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento,sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 60% ao mês. Neste caso, dequanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 98.214,29

7) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento,tendo sido concedido um DRS à taxa de 10% ao mês. De quanto foi o valor pago pelo título?R. VL = R$ 2.740,00

8) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado 2 meses antes do seu vencimento,sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples à taxa de 20% ao mês. Neste caso, dequanto foi o valor pago pelo título? R. VL = R$ 5.300,00

9) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo o valor nominal é de R$ 2.040,00, 4 meses antes deseu vencimento. Qual o valor que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada nomercado é de 5% ao mês? R. VL = R$ 1.700,00


10) João deve a um banco R$ 190.000,00 de um título, que vencem daqui a 30 dias. Por não disporde numerário suficiente, propõe a prorrogação da dívida por mais 90 dias. Admitindo-se a data focalatual (zero) e que o banco adote a taxa de desconto comercial simples de 72% ao ano, o valor donovo título será de: R. VL = R$ 235.600,00

11) Em uma operação de resgate de um título, a vencer em 4 meses, a taxa anual empregada deverser de 18% ao ano. Se o desconto comercial simples é de R$ 180,00, qual o valor nominal do título?R. VN = R$ 3.000,00

12) O DCS de um título 4 meses antes do seu vencimento é de R$ 800,00. Considerando uma taxade 5% ao mês, obtenha o valor nominal. R. VN = R$ 4.000,00

13) Você possui uma duplicata cujo o valor de face é de R$ 150,00. essa duplicata foi descontada 3meses antes do vencimento, obtendo um DBS de R$ 9,50. Qual à taxa de desconto? R. i = 2,1%

14) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9800,00,que sofreu um DCS de R$ 448,50, à taxa de 18% ao ano. R. n = 92 dias

15) Um título de R$ 2000,00 será descontado a 12% ao mês, 2 meses antes do vencimento.Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando:

a) Desconto simples bancário. R. R$ 1.520,00

b) Desconto simples racional. R. R$ 1612,90


JUROS COMPOSTOS

Podemos entender os juros compostos como sendo o que popularmente chamamos de jurossobre juros.

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útilpara cálculos de problemas do dia-a-dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos éconhecido por cálculo exponencial de juros.

FÓRMULAS:Para calcular o Montante:

FV = PV( 1 + i )n

Montante para taxa em meses consecutivos – ( Obs.: n sempre igual a 1)

FV = PV( 1 + i )n . ( 1 + i )n . ( 1 + i )n .....

Para calcular o Capital:

PV = FV( 1 + i )n

Para calcular a Taxa em período quebrado:

FV QQ/QT

i = - 1 . 100PV

Onde: QQ = Quanto eu Quero ( o prazo da taxa a ser calculada)QT = Quanto eu Tenho ( o prazo da operação que foi informado)

Taxa acumulada:

iac = FV - 1PV

Para calcular o prazo :

n = LN (FV/ PV)LN(1 + i)

Onde: LN = Logaritmo neperianoPara calcular os juros :

J = PV[(1 + i )n – 1]


Exemplo 01:

Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses.


FV = 5000(1 + 0,04)5

FV = 5000(1,04)5

FV = 5000(1,2166529)FV = R$ 6.083,26

Exemplo 02:

Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% ao ano, monta R$ 14.000 ?

Solução algébrica:PV = FV = 14000

( 1 + i ) n (1,15)6

PV = 14000 = R$ 6.052,592,31306

Exemplo 03:

A loja “Leve Tudo” financia a venda de uma máquina no valor de R$ 10.210,72, sem entrada, parapagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 276 dias. Qual a taxa mensalcobrada pela loja ?

Dados:i = ?PV = R$ 10.210,72FV = R$ 14.520,68n = 276 dias


i = 14.520,68 30/276 - 1 . 10010.210,72

i = {(1,422101...)0,108696... – 1} . 100i = {0,039018...} . 100i = 3,90% ao mês


5000

4

5

R$ 6.083,26

CHS PV

i

n

FVV


14000

15

6

R$ 6.052,59

CHS FV

i

n

PVV


10210,72

14520,68

276

30

3,90% ao mês

CHS PV

i

n

FVV

ENTER


Exemplo 04:Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único pagamento de R$41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês ?Dados:n = ? i = 3% ao mêsPV = R$ 24.278,43 FV = R$ 41.524,33Solução algébrica:

LN 41.524,3324278,43

n =LN ( 1 + 0,03)

n = LN(1,710338)LN(1,03)

n = 0,536691...0,029559...

n = 18,156731... meses

Exemplo 05:Calcular os juros de uma aplicação de capital de R$ 1000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa de 10%ao mês.Dados:PV = R$ 1.000,00?i = 10% ao mêsn = 5 mesesJ = ?

Solução algébrica:J= 1000[(1 + 0,10)5 – 1]J= 1000[(1,10)5 – 1]J= 1000[1,61051 – 1]J= 1000[0,61051 ]J= R$ 610,51

Cálculo dos Juros Compostos para Períodos não Inteiros

As operações de juros compostos para períodos não inteiros podem ser facilitadas seadotarmos a convenção do prazo para dias, vejamos a seguir:

1 ano exato = 365 ou 366 dias;1 ano = 360 dias;1 semestre = 180 dias;1 trimestre = 90 dias;1 mês comercial = 30 dias;1 mês exato = 29 ou 31 dias;1 quinzena = 15 dias.

Quando deparamos com este tipo de situação devemos considerar o prazon = QQ (Quanto eu Quero) , sempre considerando o prazo em dias.

QT (Quanto eu Tenho)

Solução1 pela HP-12C6

41524,33

24278,43 LN

1,03 LN

18,156731.. meses

g

g

ENTER

fSolução 2 pela HP-12C

41524,33

24278,43

3

19 meses

FV

PV

i

n

CHS


1000

10

5

1.610,51

R$ 610,51

PV

FV

i

n

CHS

RCL PV +


Sendo assim, teremos a seguinte fórmula do Valor Futuro(FV):

FV = PV (1 + i )QQ/QT

Exemplo 06:Determinar o montante de uma aplicação de R$ 13.500,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano,para um período de 92 dias pelo regime de juros compostos.Dados:PV = R$ 13.500,00i =25% ao anon = 92 diasFV = ?


FV = 13500(1 + 0,25)92/360

FV = 13500(1,25)0,255556

FV = 13500(1,058683)FV = R$ 14.292,22


1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 15.000,00, admitindo-seuma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 meses. R. FV = R$ 22824,27

2) Calcular o capital aplicado pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês, cujo valorresgatado foi de R$ 98.562,25. R.PV = 88296,69

3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um montante de R$ 45.562,45com uma taxa de 0,98% ao mês ? R. n = 55,32 aprox. 56

4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 produzir um montante de R$4.489,64 durante um ano? R. i = 5% am.

5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 com uma taxa de 4,5% aomês durante 7 meses. R. J = R$ 209,38

6) Determinar o valor de um investimento que foi realizado pelo regime de juros compostos, comuma taxa de 2,8% ao mês, produzindo um montante de R$ 2.500,00 ao final de 25 meses.R. PV = R$ 1253,46

OBS.: neste caso a taxa está ao ano e o prazo está em dias.As perguntas:Qual é o prazo que eu Quero?Qual é o prazo que eu Tenho ?


13500

1 0,25

92 360

R$ 14.292,22

ENTER

ENTER +

ENTER

yx X


7) Quanto rende um capital de R$ 4.000,00 aplicado por 10 meses a juros efetivos de 2% a.m. ?R. J = R$ 875,97

8) Determinar o montante de uma aplicação de R$ 10.600,00, negociada a uma taxa de 25% ao ano,para um período de 119 dias pelo regime de juros compostos. R. FV = R$ 11411,43

9) Determinar o capital que, aplicado por 7 meses a juros efetivos de 4% ao mês, rende R$10.000,00. R. PV = R$ 31652,40

10) Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado por meio de um únicopagamento de R$ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% ao ano?R. n = 5 anos

11) Tenho R$ 10.000,00 e aplico em uma caderneta de poupança 23% do valor, a uma taxa de 2,5%ao mês a juros compostos durante 4 bimestres. Qual o valor do resgate no final do período?R. FV = R$ 2802,32

12) André pretende aplicar R$ 30.000,00. Ele fez uma análise em três bancos diferentes. Veja atabela abaixo com as condições oferecidas por cada banco.

BANCO X Y ZTaxa 2% ao mês 2% ao trim 2,5% ao mêsPrazo 2 bimestre 2 trimestre 3,5 meses

a) Calcule o montante referente as condições oferecidas por cada bancoR. FVx = R$ 32.472,96; FVy = R$ 31.212,00 e FVz = R$ 32.742,07

b) Qual é a melhor opção?

13) A loja MIX Ltda. vende um etrodoméstico por R$ 180,00 a unidade, sendo o pagamento feitoem 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é de R$ 165,00. Qual a taxa mensal dejuros cobrada no financiamento? R. i = 4,44% a.m

14) Em 3 meses consecutivos, um fundo rendeu, respectivamente, 1,2%, 1,5% e 1,8%. Se o capitalaplicado no início do primeiro mês foi de R$ 10.000,00, determine:

a) o Montante no final do terceiro mês; R. FV = R$ 10.456,69b) a taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre. R. iac = 4,56%

15) O quadro abaixo indica, em reais, as quantias que dois investidores A e B dispunham e asrespectivas taxas a que estas quantias foram aplicadas a juros compostos.

Investidor Capital TaxaA 100 000 100% ao anoB 100 000 60% ao semestre

Depois de um ano, a soma, em reais, dos montantes desses dois investidores será: R. (b)

a) 480.000b) 456.000c) 440.000d) 336.000e) 420.000


DESCONTOS COMPOSTOS

Desconto Racional Composto

O desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante (M), (FV) ou(VN). Utilizaremos todas as metodologias anteriores para os cálculos do desconto composto.

DRC = VN – VL

VL = VN .…(1 + i)n

Exemplo 01:Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 5000,00 considerandouma taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, sendo descontado 3 meses antes do seu vencimento.Dados:VN = 5000; i = 3,5% ao mês; n = 3 meses; DRC ?; VL = ?

Solução algébrica:VL = 5000 .……

(1 + 0,035)3

VL = 5000 = 5000__ = R$ 4509,71 .…= …(1,035)3 1,10872

DRC = 5000 – 4509,71 = R$ 490,29

Desconto Bancário ou Comercial ( para descontos compostos)

O Desconto Bancário Composto praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizadoem nosso país é o desconto bancário simples. Considere um título de Valor Nominal (VN), comvencimento em um período (n), e um Valor Líquido (VL), que produz um Valor Futuro (FV) igual aVN, quando aplicado por (n) períodos a uma taxa composta de descontos (id) por período. Vamosverificar:

DBC = VN – VLOnde: DBC = Desconto Bancário Composto

VL = VN (1 - i)n

Exemplo 02:Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxade 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquidocreditado na conta e o valor do desconto bancário concedido.Solução algébrica:Dados: VN = R$ 25.000,00; n = 60dias (2 meses);i = 2,5% ao mês; VL = ? DBC = ?VL = 25000(1- 0,025)2

VL = 25000(0,975)2

VL = 25000 (0,950625)VL = R$ 23765,63DBC = 25000 – 23765,63 = R$ 1.234,38

Solução pela HP-12C5000 FV3,5 i3 nPV 4509,715000 +R$ 490,29


25000 ENTER1 ENTER0,025 -2 Yx X23.765,63CHS 25000 +R$ 1.234,38FV 23795,3525000 -

R$ 1204,64



1) Um título no valor nominal de R$ 59.895,00 foi pago 3 meses antes do vencimento. Se a taxamensal de desconto racional composto era 10%, de quanto era o valor líquido deste título?R. VL = R$ 45.000,00

2) Determinar o desconto racional composto de um título de valor nominal de R$ 3.000,00considerando uma taxa de juros compostos de 1,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seuvencimento. R. DRC = R$ 206,62

3) Uma duplicata de R$ 17.000,00, 90 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 1,5%ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o Valor Líquido creditado naconta e o valor do Desconto Racional concedido.R. VL = R$ 16.257,46 e DRC = R$ 742,64

4) Determine o valor do DRC de um título de valor nominal de R$ 6.200,00, descontado 5 mesesantes do vencimento, sendo à taxa de 3% ao mês. R. DRC = R$ 851,82

5) Calcule o DRC obtido em um título de valor nominal R$ 3.800,00, resgatado 8 meses antes dovencimento, sendo à taxa de desconto de 30% ao ano. R. DRC = 681,17

6) Um título no valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 90 dias antes do vencimento à umataxa de 1,5% ao mês. Qual o valor líquido e o DRC? R. VL = R$ 23.907,89 e DRC = R$ 1.092,11

7) Uma nota promissória de R$ 5.000,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes dovencimento à taxa de juros de 3% ao mês. Calcular o valor líquido recebido e o DRC.R. VL = R$ 4. 712,98 e DRC = R$ 287,02

8) Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida representada por um títulocujo valor nominal é de R$ 1.000,00. sabendo-se que o banco credor utiliza uma taxa de descontocomposto de 3% ao mês, ache o valor líquido e o desconto racional. R. VL=R$ 915,14 e DRC= R$ 84,86


OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS

Conforme o Banco Central do Brasil S. A. , as taxas de juros de cada instituição financeirarepresentam médias geométricas ponderadas pelas concessões observadas nos últimos cinco diasúteis, período esse apresentado no ranking de cada modalidade de operação de crédito.

A taxa de juros total representa o custo da operação para o cliente, sendo obtida pela somada taxa média e dos encargos fiscais e operacionais.

Taxas Equivalentes a Juros Compostos

Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, quando aplicadas a um mesmocapital, por um período de tempo equivalente e gerem o mesmo rendimento.

ieq = ( 1 + ic)QQ/QT - 1 . 100

Onde:ieq = taxa equivalenteic = taxa conhecidaQQ = Quanto eu QueroQT = Quanto eu Tenho

Exemplo 01:Calcular a equivalência entre as taxas:

Taxa Conhecida Taxa equivalente para:a) 79,5856% ao ano 1 mêsb) 28,59% ao trimestre 1 semestrec) 2,5% ao mês 105 diasd) 0,5 ao dia 1 anoe) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias)

Solução algébrica:a)ieq = { ( 1 + ic)QQ/QT - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100ieq = { 1,049997 - 1 } . 100ieq = { 0,049997 } . 100ieq = 5% ao mês

Solução algébrica: Solução algébricac)ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100ieq = { 1,090269 - 1 } . 100ieq = { 0,090269 } . 100ieq = 9,03 %ao período

Solução algébrica:b)ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100ieq = { 1,653539 - 1 } . 100ieq = { 0,653539 } . 100ieq = 65,35% ao semestre

Solução pela HP-12C - a)1,7958

30 360

1 100

5% ao mês

ENTER

ENTER Yx

- Xx


Taxa Real, Taxa Aparente e Taxa de Inflação

Denominamos taxa aparente (i) aquela que vigora nas operações correntes (financeiras ecomerciais).

Quando não há inflação (I), a taxa aparente (i) é igual à taxa real (R); porém, quando háinflação (I), a taxa aparente (i) é formada por dois componentes:

- Um correspondente ao “juro real” e outro correspondente a inflação.Sendo:C: capital inicialR: taxa real de jurosI: taxa de inflaçãoi: taxa aparente

Exemplo 01:Qual a taxa aparente, correspondente a um ganho real de 9% ao ano se a taxa de inflação do períodofor 11,9% ?Resolução:i = ? R = 9%ao ano I = 11,9%

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)(1 + i) = (1 + 0,09) . (1 + 0,119)(1 + i) = (1,09) . (1,119)(1 + i) = 1,22

i = 1,22 - 1i = 0,22 . 100 → i = 22% ao ano

Exemplo 02:Qual a taxa real, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se a inflação do período for11,9% ?Resolução:i = 22% ao ano R = ? I = 11,9%(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)(1 + 0,22) = (1 + R) . (1+ 0,119)

(1,22) = (1+ R) . (1,119)1,22 = (1 + R)1,1191,09 = (1 + R)

1,09 – 1 = R0,09 = R

R = 0,09 . 100 → R = 9% ao ano

Solução algébricad)ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100ieq = { 6,022575 - 1 } . 100ieq = { 5,022575 } . 100ieq = 502,265% ao ano

Solução algébricae)ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100ieq = { 1,253880 - 1 } . 100ieq = { 0,253880 } . 100ieq = 25,39% ao período

Daí,

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)

Resolução pela HP 12C:1,22 CHS FV1,119 PV1 ni 9

Resolução pela HP 12C:1,09 ENTER1,119 X1 -100 X 22


Exemplo 03:Qual a taxa de inflação, correspondente a uma taxa aparente de 22% ao ano se o rendimento real forno período 9% ?Resolução:I = ? R = 9%ao ano i = 22% ao ano

(1 + i) = (1 + R) . (1 + I)(1 + 0,22) = (1 + 0,09) . (1+ I)

(1,22) = (1,09) . (1 + I)1,22 = (1 + I)1,091,119 = (1 + I)

1,119 – 1 = I0,119 = I

I = 0,119 . 100 → I = 11,9% ao ano

Taxa Acumulada de juros com Taxas Variáveis

É normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo,atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.

A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positiva ou negativas,nesse caso podemos exemplificar as taxa positiva como do tipo 4%; 2% e 15% e a taxas negativacomo do tipo -2%; -3,5% e -1,7%, etc.Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva pode ser representada (1+ i) e a taxanegativa (1 –i). assim teremos a seguinte fórmula genérica:

iac = [(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )– 1] . 100

Exemplo 04Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte sequencia de taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% E 6,5%.Resolução:iac = [(1+ 0,05) (1+ 0,03) (1-0,015) (1-0,02) (1+0,065)-1] . 100iac = [(1,05) (1,03) (0,985) (0,98) (1,065)-1] . 100iac = [1,1118...- 1] . 100iac = 11,18% ao período

Taxa Média de Juros

Imagine o conjunto de taxas (4%; 2% e 15%) neste exemplo, 3 é a quantidade deelementos deste conjunto de taxas. Temos a seguinte fórmula genérica:

ime ={[(1+ i1) . (1+ i2) . (1+ i3).... (1+ in )]1/n - 1} . 100

onde n = número de taxas analisadas

Resolução pela HP 12C:1,22 CHS FV1,09 PV1 ni 11,9

Resolução pela HP 12C:1,05 ENTER1,03 X1 ENTER 0,015 - X1 ENTER 0,02 - X

1,065 X1 - 100 X

11,18%


Exemplo 05Com base nos dados a seguir calcular a taxa média.Dados: IGP-M/FGV (Jan/2001) = 0,62%

IGP-M/FGV (Fev/2001) = 0,23%IGP-M/FGV (Mar/2001) = 0,56%IGP-M/FGV (Abr/2001) = 1,00%IGP-M/FGV (Mai/2001) = 0,86%

Resolução:im = {[(1+ 0,0062)(1+ 0,0023)(1+ 0,0056)(1+ 0,01)(1+ 0,0086)]1/5 – 1} . 100im ={[(1,0062)(1,0023)(1,0056)(1,01)(1,0086)]1/5 – 1} . 100im = {[1,033113...]0,2– 1} . 100im = {0,006536} . 100im = 0,6536%ao mês

E X E R C I C I O S

1) Determinar a taxa:

a) anual equivalente a 2% ao mês R. 26,82%b) mensal equivalente a 60,103% ao ano R. 3,99%c) anual equivalente a 0,1612% ao dia R. 78,57%d) trimestral equivalente a 39, 46 % a 1 semestre R. 18,09%

2) Calcule a taxa aparente anual que deva cobrar uma financeira para que ganhe 8% ao ano de jurosreais quando a inflação for de 5% ao ano. R. i = 13,40%aa

3) A taxa de juros para aplicações de curtos e médios prazos, em um banco é 40% ao ano. Queremuneração real recebe o cliente, se a inflação for de 38% ao ano? R. R = 1,45%aa

4) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% ao ano de juros reais,caso a taxa aparente seja de 25% ao ano ? R.I = 11,60%aa

5) Por um capital aplicado de R$ 6000,00, aplicado por dois anos, o investidor recebeu R$ 5.179,35 de juros. Qual a taxa aparente ganha se a inflação for de 30% ao ano e o juro real for de 5%ao ano ? R. i = 36,5%aa

6) Emprestam um dinheiro a 4,36% ao ano. Se a inflação foi de 1% no período, qual a taxa real daoperação? R. R = 3,32%aa

Resolução pela HP 12C:1,0062 ENTER1,0023 X1,0056 X1,01 X1,0086 X5 1/X YX

1 - 100 X0,65% ao mês


7) Um gerente empresta um dinheiro à taxa de 8%. A inflação do mês foi de 0,80%. Quanto foi ataxa real? R. R = 7,14%

8) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou a seguintes taxas de CDIs:Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Mai. = 1,63%; Jun. = 1,60%; Jul. = 1,69% para oano de 1998. Pergunta-se:

a) Qual a taxa média no período? R. 1,82% ao mêsb) Qual a taxa acumulada no período? R. 11,41% ao período

9) Calcular a taxa acumulada e a média das taxas 5%, 2%, 1%, -3,5% e 4%.R. iac = 8,56% ao período; im = 1,66% ao mês.

10) Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M (FGV) acumulada durante os mesesde junho/2000 a setembro/2000.

Junho/2000 0,85%Julho/2000 1,57%Agosto2000 2,39%

Setembro/2000 1,16%R. iac = 6,1% ao período

11) Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano comcapitalização mensal. Utilize o conceito de juros compostos. R. (a)

a) 2,595% ao mêsb) 19,405% ao semestrec) 18% ao semestred) 9,703% ao trimestree) 6,825% ao bimestre


SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS

São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos são constantes e ocorrem em intervalosiguais. Para classificar estes conceitos, vamos interpretar as palavras.

Séries – número de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, dispostos ouocorrendo em sucessão espacial ou temporal.

Uniformes – que tem uma só forma; igual, idêntico; muito semelhantes. Pagamentos – cumprimento efetivo da obrigação exigível.

Classificação das séries de pagamentos

a) Quanto ao tempo Temporária - quando tem um número limitado de pagamentos; Infinita – quando tem um número infinito de pagamentos.

b) Quanto à constância ou periodicidade Periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais; Não periódicas – quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.

c) Quanto ao valor dos pagamentos Fixos ou Uniformes – quando todos os pagamentos são iguais; Variáveis – quando os valores dos pagamentos variam.

d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento Imediata – quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro período da

série; Diferida – quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período da série, ou

seja, ocorrerá em períodos seguintes.

e) Quanto ao momento dos pagamentos Antecipadas – quando o primeiro pagamento ocorre no momento “0”(zero) da série de

pagamentos; Postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no final dos períodos.

Série Uniforme de Pagamento POSTECIPADA

São aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema é tambémchamado de sistema de pagamento ou recebimento sem entrada(0 + n).

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor de um pagamento ou prestação (PMT)será possível calcular o valor presente(PV) de uma série de pagamentos postecipada através daseguinte fórmula:

(1 + i)n - 1PV = PMT

(1 + i)n . i


EXEMPLO 01:Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$1500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% ao mês ataxa de juros negociada na operação.Dados: PV = ? n = 6 meses i = 3,5% ao mês PMT = R$ 1500,00Resolução algébrica:

(1 + i)n - 1PV = PMT

(1 + i)n . i

(1 + 0,035)6 - 1PV = 1500

(1 + 0,035)6 . 0,035

(1,035)6 - 1PV = 1500

(1,035)6 . 0,035

1,229255 - 1PV = 1500

1,229255 . 0,035

0,229255PV = 1500

0,043024

PV = 1500[5,328553]

PV = R$ 7992,83

Dado o Valor Presente(PV), Achar a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor presente(PV) de uma série depagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguintefórmula:

(1 + i)n . iPMT = PV

(1 + i)n - 1

Resolução pela HP-12Cf REG

1500 CHS PMT6 n3,5 i

PV 7992,83


EXEMPLO 02:Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se ocomprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que ataxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?Dados: PV = 500 n = 5 meses i = 5% ao mês PMT = ?Resolução algébrica:

(1 + 0,05)5 . 0,05PMT = 500

(1 + 0,05)5 - 1

(1,05)5 . 0,05PMT = 500

(1,05)5 - 1

1,276282 . 0,05PMT = 500

1,276282 - 1

0,063814PMT = 500

0,276282

PMT = 500[0,230975]

PMT = R$ 115,49

Dado o Valor Futuro(FV), Achar a Prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa(i), um prazo(n) e o valor futuro(FV) de uma série depagamentos postecipada, será possível calcular o valor das prestações (PMT) através da seguintefórmula:

iPMT = FV

(1 + i)n - 1


500 CHS PV5 n5 iPMT 115,49


EXEMPLO 03:Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7meses, produz um montante de R$ 5000,00, pelo regime de juros compostos.Dados: FV = 5000 n = 7 meses i = 4% ao mês PMT = ?Resolução algébrica:

0,04PMT = 5000

(1 + 0,04)7 - 1

0,04PMT = 5000

(1,04)7 - 1

0,04PMT = 5000

1,315932 - 1

0,04PMT = 5000

0,315932

PMT = 5000[0,126610]

PMT = R$ 633,05

Dado o Valor Presente(PV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), o valor presente(PV) e um pagamento ou prestação(PMT)em uma série uniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentosou prazo(n), através da seguinte fórmula:

PVLN 1 - . i

PMTn = -

LN(1+ i)


5000 FV7 n4 iPMT 633,05


EXEMPLO 04:Um produto é comercializado à vista por R$ 1750,00. Uma outra alternativa seria financiar esteproduto a uma taxa de 3% ao mês. Gerando uma prestação de R$ 175,81; considerando que ocomprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestações destefinanciamento.Dados: PV = 1750 n = ? i = 3% ao mês PMT = 175,81

Resolução algébrica:

1750LN 1 - . 0,03

175,81n = -

LN(1+ 0,03)

LN [1 – (9,953928) . 0,03 ]n = -

LN(1,03)

LN [1 – (0,298618) ]n = -

LN(1,03)

LN[0,701382 ]n = -

LN(1,03)

-0,354702n = -

0,02956

n = - - 12 n = 12meses

Dado o Valor Futuro(FV), Calcular o Prazo (n)

Sendo informados uma taxa(i), um valor futuro(FV) e a prestação(PMT) em uma sérieuniforme de pagamentos postecipada, será possível calcular o número de pagamentos ou prazo(n),através da seguinte fórmula:

Resolução pela HP-12Cf REG1750 PV3 i175,81 CHS PMT

n 12

FV . iLN +1

PMT

n = -LN(1 + i)


EXEMPLO 05:Um poupador deposita R$ 150,00 por mês em uma caderneta de poupança; após um determinadotempo observou-se que o saldo da conta era de R$ 30.032,62. Considerando uma taxa média depoupança de 0,08% ao mês, determine a quantidade de depósito efetuado por este poupador.Dados: FV = 30.032,62 i = 0,08% ao mês PMT = 150,00 n = ?Resolução algébrica:

30032,62 . 0,0008LN +1

150

n = -LN(1+ 0,0008)

24,026096LN + 1

150

n = -LN(1,0008)

LN[ 0,160174 + 1]n = -

LN(1,0008)

LN[ 1,160174 ]n = -

LN(1,0008)

0,148570n = - n = 185,712500 n = 186 meses

0,000800

Dada a prestação (PMT), calcular o Valor Futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor do pagamento ou prestação (PMT)de uma série uniforme de pagamentos postecipados, será possível calcular o valor futuro (FV),através da seguinte fórmula:

FV = PMT (1 + i )n - 1i

Resolução pela HP-12Cf REG30032,62 CHS FV

150 PMT0,08 i

n 186 meses


EXEMPLO 06:Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança;considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumuladoapós este período?Dados: PMT = 100,00 n = 30 anos ou 360 meses i =0,8% ao mês FV = ?

Resolução algébrica:

FV = 100 (1 + 0,008)360 - 10,008

FV =100 (1,008)360 - 10,008

FV = 100 17,611306 - 10,008

FV = 100 16,611306 FV = 100 (2076,4132) FV = R$ 207.641,320,008


1) Determinar o valor futuro de um investimento mensal de R$ 1000,00, durante 5 meses, à taxa de5% ao mês. R. FV = R$ 5.525,63

2) Determine o valor do investimento necessário para garantir um recebimento anual de R$10.000,00, no final de cada um dos próximos 8 anos, sabendo-se que esse investimento éremunerado com uma taxa de 10% ao ano, no regime de juros compostos. R. PV = R$ 53.349,24

3) Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1000,00 e que o prazo é de 4 meses.R. PMT = R$ 265,82

4) Um automóvel custa à vista o valor de R$ 14.480,00, e pode ser financiado em 48 parcelasmensais e iguais, com a taxa de 1,8% ao mês. Determinar o valor das prestações.R. PMT = R$ 453,06

5) No exercício anterior, considere uma entrada de 20% e uma taxa de 1,5% ao mês para recalcularo valor da prestação. R. PMT = R$ 340,28

6) Uma pessoa deposita em uma financeira, no final de cada mês, durante 5 meses, a quantia de $100.000,00. Calcule o Montante da renda, sabendo que a financeira paga juros compostos de 2% aomês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 520.404,02

7) Qual o período financeiro necessário, para se aplicar $ 500,00 anualmente e se resgatar omontante da renda de $12. 099,00, se a financiadora me oferecer 25% ao ano de rendimento?R. n = 8,78 aprox. 9anos

Resolução pela HP-12Cf REG100 CHS PMT0,8 i360 nFV 207.641,32


8) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processandonenhuma retirada, se tenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre osaldo credor. R. PMT = R$ 367,66

9) Um bem cujo preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas aofim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor dasprestações. R. PMT = R$ 618,89

10) A juros nominais de 36% ao ano capitalizado mensalmente, determinar o tempo necessário paraliquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de $ 120.R. n = 7,99 aproxima. 8 meses

11) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 2 anos, a quantia de R$200,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% aomês. R. FV = R$ 6.084,00

12) Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457,00 nofinal dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1,5% ao mês?R. PMT = R$ 750,00

13) Deposito em uma instituição financeira, no fim de cada mês, a importância de R$ 800, 00, a0,5% ao mês. Quanto terei no fim de 1 ano? R. FV = R$ 9.868,44

14) Uma pessoa deposita R$ 680,00 no final de cada mês. Sabendo que seu ganho é de 1,5% aomês, quanto possuirá em 2,5 anos? R. FV = R$ 25.526,3015) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que setenha R$ 60.000,00 no final do vigésimo mês, dentro do conceito de renda postecipada ?R. PMT = R$ 2.349,00

16) Determine o número de aplicações bimestrais e iguais a R$ 900,00, necessárias para se ter ummontante de R$ 11.863,00, considerando-se uma taxa de 6% ao bimestre. R. n = 10 prestações

17) O vendedor da loja oferece um sistema de som em oito parcelas mensais, iguais e seguidas deR$ 1.000,00. sabendo-se que a primeira prestação vencerá um mês depois da compra. Calcule ovalor do capital desse financiamento considerando a taxa de 3,5% ao mês. R. PV = R$ 6.873,95

18) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais seguidas de R$1.800,00, vencendo a primeira parcela um mês depois do recebimento do dinheiro. Considerando ataxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento.R. n = 4,99 ou 5 prestações

19) O financiamento será devolvido em 12 prestações mensais iguais e seguido de R$ 550,00, sendoo pagamento da primeira prestação realizado no final do primeiro mês depois do recebimento dodinheiro. Calcule o valor do financiamento considerando a taxa de juro de 2,85% ao mês.R. PV = R$ 5.524,04

20) Calcule o valor financiado sabendo que o devedor pagará dez parcelas mensais de R$ 1.200,00num plano de amortização postecipado com taxa de juro de 3,65% ao mês. R. PV = R$ 9.904,90

.


Série Uniforme de Pagamento ANTECIPADA

As séries uniformes de pagamentos antecipados são aqueles em que o primeiro pagamentoocorre na data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagamento é também chamado de sistema depagamento com entrada (1 + n).

Dada à prestação (PMT), calcular o valor presente (PV)

Sendo informados a taxa (i), um prazo (n) e valor da prestação (PMT) será possívelcalcular o valor presente (PV) de uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n –1PV = PMT

(1 + i )n-1 . i

EXEMPLO 01:Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagamentos de R$ 185,00; sabendo-se que a taxade financiamento é de 5% ao mês, e um dos pagamentos foi considerado como entrada, determine opreço à vista desta mercadoria.Resolução algébrica:Dados: n = 4 PMT = R$185,00 i=5%am PV= ?

(1 + 0,05)4 –1PV = 185

(1 + 0,05 )4-1 . 0,05

(1 ,05)4 –1PV = 185

(1,05 )3 . 0,05

1,215506 –1PV = 185

1,157625 . 0,05

0,215506PV = 185

0,057881

PV = 185[ 3,723248 ]

PV = R$ 688,80

Resolução pela HP-12Cf REGg BEG185 CHS PMT5 i4 nP V 688,80

OBS. : PARA SÉRIE UNIFORMEANTECIPADA, ANTES DEFAZER A RESOLUÇÃO PELAHP12-C PRESSIONAR ASTECLAS: g BEG


Dado o valor presente (PV), calcular a prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), um prazo (n) e o valor presente (PV) será possível calcularo valor dos pagamentos ou recebimentos (PMT) de uma série de pagamento antecipada através daseguinte fórmula:

(1 + i)n-1 . iPMT = PV

(1 + i )n - 1

EXEMPLO 02:Um automóvel que custava à vista R$ 17.800,00 pode ser financiado em 36 pagamentos iguais;sabendo-se que a taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mensaldeste financiamento.Resolução algébrica:Dados: n = 36meses PMT =? i = 1,99%am PV= R$ 17.800,00

(1 + 0,0199)36-1 . 0,0199PMT = 17800

(1 + 0,0199 )36 - 1

(1,993039)35 . 0,0199PMT = 17800

(1,0199 )36 - 1

0,039661PMT = 17800

2,032700 - 1

0,039661PMT = 17800

1,032700

PMT = 17800[ 0,038405 ]

PMT = R$ 683,62

Dado o valor presente(PV), calcular o prazo(n)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o valor presente (PV) será possívelcalcular o prazo (n) em uma série de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

PV . iln 1 -

n = - PMT. (1 + i)

ln(1 + i)

Resolução pela HP-12Cf REGg BEG17800 CHS PV1,99 i36 nP MT 683,62


EXEMPLO 03:Um produto custa à vista R$ 1500,00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de R$170,72, sendo que a primeira será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratadafoi de 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento?Resolução algébrica:

Dados: n = ? PMT =R$ 170,72 i = 3%am PV= R$ 1.500,00

1500 . 0,03ln 1 -

n = - 170,72 . (1 + 0,03)

ln(1 +0,03)

45ln 1 -

n = - 170,72 . (1,03)

ln(1,03)

45ln 1 -

n = - 175,84

0,029559

ln [1 - 0,255972 ]n = -

0,029559

ln [ 0,744028 ]n = -

0,029559

- 0,295596n = -

0,029559

n = - { - 10,000275 }

n = 10 meses

Resolução pela HP-12Cf REGg BEG1500 PV3 i170,72 CHS PMTn 10 meses


Dada à prestação (PMT), calcular o valor futuro (FV)

Sendo informados uma taxa (i), a prestação (PMT) e o prazo (n), será possível calcular ovalor futuro (FV) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguinte fórmula:

(1 + i)n - 1FV = PMT . (1+ i )

i

EXEMPLO 04:Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos a importância de R$ 37.500,00, e acreditaque, se na data de hoje abrir uma caderneta de poupança no Banco Popular S/A, com depósitosmensais de R$ 500,00, ele terá o valor de que precisa. Considerando que a poupança paga, emmédia, uma taxa de 0,8% ao mês, pergunta-se: o poupador vai conseguir acumular o valor queprecisa?Resolução algébrica:Dados: n = 5 anos(60meses) PMT =R$ 500,00? i = 0,8%am FV= ?

(1 + 0,008)60 - 1FV = 500 . (1 + 0,008)

0,008

(1,008)60 - 1FV = 500 . (1,008)

0,008

1,612991 - 1FV = 500 . (1,008)

0,008

0,612991FV = 500 . ( 1,008)

0,008

FV = 500[ 76,623867 ] . (1,008)FV = 38.311,93 . (1,008)FV = R$ 38.618, 43 (ainda sobrará dinheiro)

Resolução pela HP-12Cf REGg BEG500 CHS PMT0,8 i60 nFV 38.618,43


Dado o valor futuro (FV), calcular a prestação (PMT)

Sendo informados uma taxa (i), o valor futuro (FV) e o prazo (n), será possível calcular ovalor da prestação (PMT) em uma série uniforme de pagamento antecipada através da seguintefórmula:

FV . iPMT =

[(1 + i)n – 1] . ( 1 + i)EXEMPLO 05:Considere o poupador do exemplo anterior, que se depositar R$ 500,00 na data de hoje, pararesgatar no final de 5 anos a importância de R$ 37.500,00, deverá resgatar um pouco mais.Considerando a mesma taxa, ou seja, 0,8% ao mês, de quanto deverá ser o valor de cada depósitopara que o poupador consiga acumular exatamente o valor de R$ 37.500,00?Resolução algébrica:Dados: n = 5 anos (60 meses) PMT= ? i = 0,8% FV = R$ 37.500,00

37.500,00 . 0,008PMT =

[(1 + 0,008)60 – 1] . ( 1 + 0,008)

300PMT =

[(1,008)60 – 1] . (1,008)

300PMT =

[1,612991 – 1] . (1,008)

300PMT =

[0,612991] . (1,008)

300PMT = → PMT = R$ 485,52

0,617895

Resolução pela HP-12Cf REGg BEG37500 CHS FV0,8 i60 nPMT 485,52


E X E R C I C I O S

1) Uma pessoa deposita em uma financeira no início de cada mês, durante 5 meses,a quantia de R$100.000,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de2% ao mês, capitalizados mensalmente. R. FV = R$ 530.812,09

2) Qual o montante da renda, para aplicações mensais de R$ 120,00 cada, a taxa de juroscompostos de 3% ao mês, durante o período financeiro de 6 meses, sendo que o primeiro depósitofoi exigido no ato da abertura do contrato? R. FV = R$ 799,49

3) Um terreno é vendido em 4 prestações mensais iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo aprimeira dada como entrada. Se a taxa do financiamento for 14% ao mês, qual o preço à vista?R. PV= R$ 498.244,80

4) Uma geladeira é vendida em 5 prestações mensais de R$ 8000,00 cada uma, sendo a primeiradada como entrada. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do financiamento for de 9% ao mês?R. PV = R$ 33.917,75

5) Um automóvel usado é vendido à vista por R$ 300.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12prestações mensais iguais(antes de serem corrigidas monetariamente), sendo a primeira no ato dacompra. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é 2% ao mês, obter o valor de cadaprestação antes de serem corrigidos. R. PMT = R$ 27.811,08

6) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em 6 prestações mensais, àtaxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Qual será o valor de cada prestação?R. PMT = R$ 20.000,00

7) Uma mercadoria custa R$ 106.589,53 a vista, podendo ser vendida em prestações mensais de R$20.000,00, à taxa de 5% ao mês, sendo a primeira paga no ato da compra. Quantas prestaçõesdeverão ser pagas? R. n = 6 meses

8) Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de R$ 1.895.395,00 pagandoprestações mensais antecipadas de R$ 500.000,00 a juros efetivos de 10% ao mês?R. n = 5 meses

9) Quanto deverá ser depositado no início de cada período para obter um montante de R$305.200,00 no final de 30 períodos a uma taxa de 5% ao mês? R. PMT = R$ 4.374,95

10) Calcule o montante de uma renda trimestral antecipada de 8 termos iguais a R$ 7.000,00, sendode 2,5% ao trimestre a taxa de juros compostos. R. FV = R$ 62.681,63


11) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importância numa instituiçãofinanceira, à taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizados bimestralmente, de modo que com 8 depósitosantecipados constitua o montante de R$ 150.000,00. Calcule a importância. R. PMT = R$ 17.524,73

12) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $ 307. A juros efetivos de 10% ao mês, eum dos pagamentos foi considerado como entrada. Qual deveria ser seu valor à vista?R. PV = $ 2300,98

13) Um computador custa à vista $2500, 00, e foi adquirido a prazo, com uma prestação mensal de$168, 30, sendo que a 1a será paga no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juros contratado foide 3% ao mês, qual a quantidade de prestações deste financiamento? R. n = 20 meses

14) A compra de um conjunto de móveis será paga em 8 prestações de R$ 1.000,00, sendo aprimeira no ato da compra. Calcule o valor dessa compra considerando a taxa de juro de 3,5% aomês. R. PV = R$ 7.114,54

15) O financiamento de R$ 8.000,00 será devolvido em parcelas mensais, iguais e seguido de, nomáximo, R$ 1.800,00, vencendo a primeira parcela no ato do recebimento do dinheiro.Considerando a taxa de juro de 4% ao mês, calcule o número de capitais desse financiamento.R. n = 4,77 ou 5 meses

16) São financiados R$ 1.000,00 com a taxa de juro de 2,3% ao mês. Calcule o valor das quatroprestações mensais, iguais e seguidas, sabendo que a primeira prestação vencerá no ato de assinar ocontrato. R. PMT = R$ 258,59

17) Calcule o montante de uma renda bimestral antecipada de 4 termos iguais a R$ 6.500,00, sendode 1,5% ao bimestre. R. FV = R$ 26.989,73

18) A compra de roupas no valor de R$ 1.725,00 será financiada em seis prestações mensais iguaise antecipadas. Calcule o valor das prestações considerando a taxa de financiamento de 3% ao mês.R. PMT = R$ 309,16

19) Calcule o valor do financiado em 12 parcelas antecipadas mensais, seguidas e iguais a R$256,00, considerando a taxa de juro de 3,35% ao mês. R. PV = R$ 2.579,40


SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTO

Estudaremos as metodologias de sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos,e ainda, a metodologia para calcular as prestações não uniformes, ou seja, as prestações que mudama cada período do empréstimo ou financiamento.

Empréstimo: recurso financeiro que, em tese, não necessita ser justificado quanto àsua finalidade, como por exemplo: cheque especial e CDC (Crédito Direto aoConsumidor), entre outros.

Financiamento: recurso financeiro que tem a necessidade de ser justificado quanto àsua finalidade, por exemplo: compra de automóvel, imóvel e crediário, entre outros.

No financiamento, existe sempre a aquisição de um bem ou serviço atrelado à liberação dosrecursos financeiros financiados, enquanto no empréstimo exige-se apenas uma garantia dedevolução dos recursos financeiros emprestados.

Considere as seguintes nomenclaturas que usaremos para desenvolver as tabelas ou planilhasde amortização.

Saldo Devedor : é o valor nominal do empréstimo ou financiamento, ousimplesmente Valor Presente (PV) na data focal 0 (zero), que é diminuído da parcelade amortização a cada período (n).

Amortização: parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento.

Juros compensatórios: é o valor calculado a partir do saldo devedor eposteriormente somado à parcela de amortização.

Prestação: é o pagamento efetuado a cada período (n), composto da parcela deamortização mais juros compensatórios.

Sistema Francês de Amortização (SFA) - (Tabela PRICE)

Neste sistema, o financiamento (PV) é pago em prestações (PMT) iguais, constituídas deduas parcelas de amortização e juros compensatórios (J), que variam inversamente, ou seja,enquanto as parcelas de amortização diminuem ao longo do tempo, os juros aumentam.

Este sistema é considerado o sistema de amortização mais utilizado pelas instituiçõesfinanceiras e pelo comércio em geral, conhecido também com Sistema Price e tem como principaiscaracterísticas:

a prestação é constante durante todo o período do financiamento; a parcela de amortização aumenta a cada período (n), ou seja, os pagamentos são

periódicos, constantes e sucessivos; os juros compensatórios diminuem a cada período (n).

OBS.: Seu cálculo, pela HP12C é feito na mesma forma da série de pagamentos uniformespostecipados.


Exemplo 01:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação do financiamento


(1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =10000

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =10000

1,610510 - 1

0,1610551PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ 2.637,97

b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20Juros para o 3o período: J3 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03Juros para o 4o período: J4 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83Juros para o 5o período: J5 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82


c) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97Parcela de amortização para o 2o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15

d) cálculo do saldo devedor (SD)

SDn = SD(anterior) - PAn

SD1 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03SD2 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26SD3 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32SD4 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18SD5 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03

Assim teremos nossa planilha de financiamentoN Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,972 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,973 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,974 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,975 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

9.999,97 3.189,88 13.189,85

OBS.:A diferença de 0,03 é devido ao arredondamento.

Resolução pela HP-12Cf [REG]

10000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97

1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03


Sistema Francês (carência + juros compensatórios)

Neste caso, não haverá a parcela de amortização durante o período da carência, apenas opagamento dos juros compensatórios.

Exemplo 2:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, com 2 meses de carência, calculado pelo Sistema Francês de Amortização(SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaDados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação do financiamento


(1 + i)n - 1

(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =10.000

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =10000

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =10000

1,610510 - 1

0,1610551PMT =10000

0,610510

PMT = 10000[0,263797]

PMT = R$ 2.637,97

b) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00


Juros para o 2o período: J2 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.

Juros para o 3o período: J3 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 4o período: J4 = 8.362,03 . 0,1 . 1 = R$ 836,20Juros para o 5o período: J5 = 6.560,26 . 0,1 . 1 = R$ 656,03Juros para o 6o período: J6 = 4.578,32 . 0,1 . 1 = R$ 457,83Juros para o 7o período: J7 = 2.398,18 . 0,1 . 1 = R$ 239,82


PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 3o período: PA = 2.637,97 - 1.000,00 = R$ 1.637,97Parcela de amortização para o 4o período: PA = 2.637,97 - 836,20 = R$ 1.801,77Parcela de amortização para o 5o período: PA = 2.637,97 - 656,03 = R$ 1.981,94Parcela de amortização para o 6o período: PA = 2.637,97 - 457,83 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 7o período: PA = 2.637,97 - 239,82 = R$ 2.398,15



SD1 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00SD2 = 10.000,00 - 0,00 = R$ 10.000,00SD3 = 10.000,00 - 1.637,97 = R$ 8.362,03SD4 = 8.362,03 - 1.801,77 = R$ 6.560,26SD5 = 6.560,26 - 1.981,84 = R$ 4.578,32SD6 = 4.578,32 - 2.180,14 = R$ 2.398,18SD7 = 2.398,18 - 2.398,15 = R$ 0,03


0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,002 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,003 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,974 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,975 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,976 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,977 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97

9.999,97 5.189,88 15.189,85


Sistema Francês (carência + saldo devedor corrigido)

Neste caso, não se paga juros compensatórios, na verdade os juros serão acrescidos ao saldodevedor com base no regime de capitalização composta, e na seqüência, calcula-se a prestação combase no conceito de uma série uniforme de pagamento postecipado.

Exemplo 3:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, com 2 meses de carência; porém, não haverá o respectivo pagamento de jurosdurante o período da carência, devendo, portanto, ser incorporado ao saldo devedor, calculado peloSistema Francês de Amortização (SFA). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébricaa) atualização do saldo devedor durante o período de carência

período 1:SD = 10000 . 1,1 = R$ 11.000,00Período 2:SD = 11.000 . 1,1 = R$ 12.100,00

Dados: PV = R$ 12.100,00 n = 5 meses c = 2 meses i = 10% ao mês PMT = ?

b) cálculo do valor da prestação


(1 + i)n - 1


10000 ENTER % 100010000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97X Y 10 % 100010000 CHS PV 10 i 5 n PMT 2637,97

1 f [AMORT] 1000,00 X Y 1637,97 RCL PV – 8362,03

1 f [AMORT] 836,20 X Y 1801,77 RCL PV – 6560,26

1 f [AMORT] 656,03 X Y 1981,94 RCL PV – 4578,32

1 f [AMORT] 457,83 X Y 2180,14 RCL PV – 2398,18

1 f [AMORT] 239,82 X Y 2398,15 RCL PV – 0,03


(1 + 0,1)5 . 0,1PMT =12.100

(1 + 0,1)5 - 1

(1,1)5 . 0,1PMT =12100

(1,1)5 - 1

1,610510 . 0,1PMT =12100

1,610510 - 1

0,1610551PMT =12100

0,610510

PMT = 12100[0,263797]

PMT = R$ 3.191,95

c) Cálculo dos juros compensatórios

J = PV . i . n

Juros para o 1o período: J1 = 0,00Juros para o 2o período: J2 = 0,00Os demais serão exatamente iguais ao exemplo anterior.

Juros para o 3o período: J3 = 12.100,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.210,00Juros para o 4o período: J4 = 10.118,05 . 0,1 . 1 = R$ 1.011,81Juros para o 5o período: J5 = 7.937,91 . 0,1 . 1 = R$ 793,79Juros para o 6o período: J6 = 5.539,75 . 0,1 . 1 = R$ 553,98Juros para o 7o período: J7 = 2.901,77 . 0,1 . 1 = R$ 290,18

d) cálculo da parcela de amortização (PAn)

PAn = PMT - J

Parcela de amortização para o 1o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 2o período: PA = 0,00 - 0,00 = R$ 0,00Parcela de amortização para o 3o período: PA = 3.191,95 - 1.210,00 = R$ 1.981,95Parcela de amortização para o 4o período: PA = 3.191,95 - 1.011,81 = R$ 2.180,14Parcela de amortização para o 5o período: PA = 3.191,95 - 793,79 = R$ 2.398,16Parcela de amortização para o 6o período: PA = 3.191,95 - 553,98 = R$ 2.637,97Parcela de amortização para o 7o período: PA = 3.191,95 - 290,18 = R$ 2.901,77


e) cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 11.000,00 - 0,00 = R$ 11.000,00SD2 = 12.100,00 - 0,00 = R$ 12.100,00SD3 = 12.100,00 - 1.981,95 = R$ 10.118.05SD4 = 10.118,05 - 2.180,14 = R$ 7.937,91SD5 = 7.937,91 - 2.398,16 = R$ 5.539,75SD6 = 5.539,75 - 2.637,97 = R$ 2.901,78SD7 = 2.901,78 - 2.901,77 = R$ 0,01


0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 11.000,00 0,00 0,00 0,002 12.100,00 0,00 0,00 0,003 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,954 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,955 5.539,75 2.398,16 793,79 3.191,956 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,957 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95

12.099,99 3.859,76 15.959,75


10000 ENTER 1,1 X 1,1 X 12100CHS PV 10 i 5 n PMT 3.191,95

1 f [AMORT] 1210,00 X Y 1981,94 RCL PV – 10.118,05

1 f [AMORT] 1011,80 X Y 2180,14 RCL PV – 7937,90

1 f [AMORT] 793,79 X Y 2398.15 RCL PV – 5539,74

1 f [AMORT] 553,97 X Y 2637,97 RCL PV – 2901,77

1 f [AMORT] 290,17 X Y 2901,77 RCL PV – 0,00


Exemplo 4:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 12% ao ano, para ser pago em 7pagamentos mensais sem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Pede-se:Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébrica

Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 7 meses i = 12% ao ano (12/12 = 1% ao mês) PMT = ?

a) cálculo do valor da prestação


(1 + i)n - 1

(1 + 0,01)7 . 0,01PMT =10.000

(1 + 0,01)7 - 1

(1,01)7 . 0,01PMT =10000

(1,01)7 - 1

1,072135 . 0,01PMT =10000

1,072135 - 1

0,010721PMT =10000

0,072135

PMT = 10000[0,148628]

PMT = R$ 1.486,28

b) Cálculo dos juros

J = PV . i . nJuros para o 1o período: J1 = 10.000 . 0,01 = 100,00


PAn = PMT - J


Parcela de amortização para o 1o período: PA = 1.486,28 - 100,00 = R$ 1.386,28



SD1 = 10.000,00 - 1.386,28 = R$ 8.613,72


0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.613,72 1.386,28 100,00 1.486,282 7.213,58 1.400,14 86,14 1.486,283 5.799,44 1.414,14 72,14 1.486,284 4.371,15 1.428,29 57,99 1.486,285 2.928,58 1.442,57 43,71 1.486,286 1.471,59 1.456,99 29,29 1.486,287 0,03 1.471,56 14,72 1.486,28

9.999,97 403,99 10.403,96


10000 CHS PV 1 i 7 n PMT 1.486,28

1 f [AMORT] 100,00 X Y 1386,28 RCL PV – 8.613,72

1 f [AMORT] 86,14 X Y 1400,14 RCL PV – 7213,58

1 f [AMORT] 72,14 X Y 1414,14 RCL PV – 5799,44

1 f [AMORT] 57,99 X Y 1428,29 RCL PV – 4371,15

1 f [AMORT] 43,71 X Y 1442,57 RCL PV – 2928,58

1 f [AMORT] 29,29 X Y 1456,99 RCL PV – 1471,59

1 f [AMORT] 14,72 X Y 1471,56 RCL PV – 0,03


E X E R C Í C I O S (SFA- Tabela Price)

1) Um empréstimo de $ 200.000 será pago pela Tabela Price em quatro prestações mensaispostecipadas. A juros efetivos de 10% ao mês. Construir a planilha de amortização.

N Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

01234 -------------------------

2) Para o exercício anterior, considerando agora um período de carência de 2 meses em que serãopagos unicamente os juros devidos, construir a planilha de amortização.

n Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0123456 ----------------------------

3) Para o exercício 01, considerando agora um período de carência de 2 meses em que os juros sãocapitalizados e incorporados ao capital (principal), construir a planilha de amortização.


0123456 ----------------------------

4) Um empréstimo de $ 200.000 será pago em três prestações mensais iguais consecutivas.Considerando uma taxa de juros nominal de 180% ao ano com capitalização mensal, construir atabela de amortização.


0123 -------------------------


5) Montar a planilha de amortização de um empréstimo com as seguintes características: valor doempréstimo de $ 1.000.000; reembolso pela Tabela Price em cinco pagamentos trimestrais comcarência de dois trimestres; juros nominais de 28% ao ano capitalizado trimestralmente; e os jurosserão capitalizados e incorporados ao capital durante o período de carência.


01234567 ----------------------------


SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

É um sistema onde a principal característica é a da Amortização Constante. Conhecido comoMétodo Hamburguês, sendo utilizado em financiamentos de DFH e Financiamentos de empresaspor parte de entidades governamentais, a amortização é igual ao valor do empréstimo dividido pelonúmero de prestações.

- As prestações são uniformemente decrescentes, diminuindo sempre de um determinadofator que é constante.

- O valor dos juros é decrescente .- Os pagamentos são periódicos e sucessivos.

Exemplo 01:Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com taxa de 10% ao mês, para ser pago em 5pagamentos mensais, sem prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização Constante(SAC). Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.

Resolução algébrica

Dados: PV = R$ 10.000,00 n = 5 meses i = 10% ao mês PMT = ?

a) Cálculo da parcela de amortização(PAn)

PAn = PV ou SDn

PAn = 10.000 = R$ 2.000,005

b) Cálculo dos juros (J)

J = PV . i . nJuros para o 1o período: J1 = 10.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 1.000,00Juros para o 2o período: J2 = 8.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 800,00Juros para o 3o período: J3 = 6.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 600,00Juros para o 4o período: J4 = 4.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 400,00Juros para o 5o período: J5 = 2.000,00 . 0,1 . 1 = R$ 200,00

c) Cálculo do saldo devedor (SD)


SD1 = 10.000,00 - 2.000,00 = R$ 8.000,00SD2 = 8.000,00 - 2.000,00 = R$ 6.000,00SD3 = 6.000,00 - 2.000,00 = R$ 4.000,00SD4 = 4.000,00 - 2.000,00 = R$ 2.000,00SD5 = 2.000,00 - 2.000,00 = R$ 0,00


d) Cálculo da prestação (PMTn)

PMTn = PAn + Jn

PMT1 = 2.000,00 + 1.000,00 = R$ 3.000,00PMT2 = 2.000,00 + 800,00 = R$ 2.800,00

PMT3 = 2.000,00 + 600,00 = R$ 2.600,00PMT4 = 2.000,00 + 400,00 = R$ 2.400,00PMT5 = 2.000,00 + 200,00 = R$ 2.200,00

Assim teremos nossa planilha de financiamenton Saldo Devedor (SDn) Amortização (PAn) Juros (J) Prestação (PMT)

0 10.000,00 0,00 0,00 0,001 8.000,00 2.000,00 1.000,00 3.000,002 6.000,00 2.000,00 800,00 2.800,003 4.000,00 2.000,00 600,00 2.600,004 2.000,00 2.000,00 400,00 2.400,005 0,00 2.000,00 200,00 2.200,00

10.000,00 3.000,00 13.000,00

E X E R C I C I O S ( SAC)

1) Emprestei de uma financiadora “X”, o valor de $ 32.000, para ser amortizado em 10 meses, àtaxa de juros 1,25% ao mês. Quanto pagarei ao mês?


012345678910

2) Uma composição de dívida de $ 8.000.000, a ser paga em quatro prestações anuais, com taxa dejuros de 36% ao ano. Para elaborar a planilha de pagamentos sugerimos os seguintesprocedimentos:

a) calcular a amortização;b) calcular a parcela de juros;c) calcular o valor das prestações;d) apurar o saldo devedor do período.



01234

3) Uma operação no valor de R$ 70.000,00 foi contratada para ser paga em 4 prestações anuais,com taxa de juros de 17% ao ano. Então como ficará a planilha de pagamento?


01234

4) Emprestei de uma financiadora o valor de $ 25.000 à taxa de juros de 2% ao ano para seramortizada em 10 meses pelo SAC. Qual o valor da 3a prestação?


0123

5) Um cliente propôs pagar o saldo devedor de um empréstimo de R$ 120.000,00 em 4 parcelas,mas sugeriu que as prestações fossem decrescentes. Assim o ideal seria pelo SAC. Qual o valor daamortização? R. R$ 30.000


E X E R C I C I O S S U P L E M E N T A R E S

PORCENTAGEM E RACIOCÍNIO LÓGICO

1) Se a empresa “W4W” vende três produtos: K, T e R. Supondo que ao longo de 4 meses os produtos apresentam oitem de custo de acordo com a distribuição a seguir:

Produto Custo ( R$)K 20.000,00T 80.000,00R 70.000,00

Pergunta-se: De quantos por cento foi a mais o custo do produto T em relação ao produto R ? (R. C)a) 21,69%b) 21,56%c) 14,28%d) 16,09%e) 12,05%

2) Dada a distribuição de freqüência referente as taxa e aos valores dos produtos:

10|-------30 4%30|------50 2,5%50|------70 1,5%70|-------90 2,5%

Supondo que em suas vendas a prazo, era cobrado de seus clientes uma taxa mensal conforme o valor da mercadoriavendida. De acordo com a distribuição acima, qual a taxa média percentual que a “W4W” está cobrando ? (R. E)

a) 3,02% ao mêsb) 2,92% ao mêsc) 2,33% ao mês.d) 1,77% ao mêse) 2,63% ao mês

3) Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual o valor da sua comissão numa venda de R$3.600,00? (R. R$ 108)

4) No departamento de contabilidade de uma empresa 26% dos funcionários são mulheres. Quantos funcionáriospossui a empresa, se elas são em número de 182? (R. 700)

5) Uma pessoa devia R$ 20.000,00 e pagou R$ 7.400,00. Quantos por cento da dívida foram pagos? (R. R$ 37%)

6) Em São Paulo colhem-se 1.268.000,00 sacas de café. Se 25% desta produção destinam-se ao consumo interno, quala quantidade de sacas para este consumo? (R. 317.000sacas)

7) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de 67.200 habitantes e agora é de 92.400habitantes? (R. R$ 37,5%)

9 Em uma partida de futebol, um dos times obteve os seguintes resultados quanto aos chutes a gol:- bolas chutadas fora:10;- bolas defendidas pelo goleiro adversário:6;- bolas na trave:2;- gols:2.

a) Qual a percentagem dos gols em relação às bolas chutadas a gol? (R. 10%)b) Qual a percentagem das bolas chutadas fora?(R. 50%)c) Qual a percentagem das bolas defendidas pelo goleiro adversário?(R. 30%)


JURO SIMPLES1) Qual o capital aplicado por uma empresa que produziu R$ 300,00 a 20%a .t. durante 9 meses a juro simples?(R. PV =R$ 500,00)

2) Calcular os juros simples produzidos por uma aplicação feita por uma empresa de R$ 36.000,00 à taxa de 15% aa . ,durante 3 anos.(R. J = R$ 16200,00)

3) Determine o tempo em que uma empresa aplicando o capital R$ 12.000,00 rendeu de juros R$ 240,00 à taxa de 0,2%a m. (R. n = 10 meses)

4) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano.Qual será o valordo juro a ser pago pelo regime de capitalização simples? (R. R$ 720,00)

5) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 pelo prazo de 3 meses, à taxa de 1,2% ao mês pelo sistema decapitalização simples. Qual o valor do juro a receber? (R. R$ 108,00)

6) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200,00 à taxa de 5% ao trimestre, durante 3 trimestre peloregime de capitalização simples.(R. R$ 1.380,00)

7) Um capital de R$ 56.800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês, durante 2,5 meses. Calcule o juro produzidopelo regime de capitalização simples. (R. R$ 1.065,00)

8) Um capital de R$ 2.400,00 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido.(R. R$ 500,00)

9) Calcule o juro correspondente a um capital de R$ 18.500,00 aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de36% ao ano pelo regime de capitalização simples. (R. R$ 15.725,00)

10) Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de R$ 32.500,00 à taxa de 18% ao ano, durante 3 meses.(R. R$ 1.462,50)

11) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000,00 em regime de juro simples, durante 2 anos e 4 meses, à taxa de 24%ao ano. (R. R$ 2.800,00)

12) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi realizado em 20/07 e pago em 25/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de45% ao ano, qual o juro total a ser pago pelo regime de juro simples? (R. R$ 1.360,00)

13) Que quantia deve ser aplicada durante 3 meses, à taxa de 1,5% ao mês, para obtermos R$ 441,00 de juro?(R. R$ 9.800,00)

14) Qual o valor principal que, aplicado a juro simples durante 1 ano e 6 meses, à taxa de 1,2% ao mês, rendeu R$19.008,00? (R. R$ 88.000,00)

15)A que taxa foi empregado a juro simples o capital de R$ 12.000,00 que, no prazo de 2 anos, rendeu R$ 8.400,00 dejuro? (R. 35% aa)

16) Uma aplicação de R$ 8.000,00 pelo prazo de 6 meses, obteve um rendimento de R$ 1.680,00. Qual a taxa anualcorrespondente? (R. 42% aa)

17) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$ 12.800,00 que, à taxa de 1% ao mês, rendeuR$ 896,00 ao ser aplicado pelo regime de juro simples. (R. 7meses)

18) Durante quanto tempo devemos aplicar R$ 4.800,00 à taxa de 36% ao ano, para obtermos R$ 2.376,00 de juroatravés da capitalização simples? (R. 1,375anos ou 1 ano 4 meses e 15 dias)

19) Um capital de R$ 10.500,00 rendeu R$ 1.225,00 de juro. Sabendo que a taxa de juro simples contratada foi de42% ao ano e que a aplicação foi feita no dia 20/01/88 qual o tempo de vencimento? (R. 0,278ano ou 100dias)

20) Qual o capital a ser aplicado no período de 05/06 a 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render umjuro de R$ 5.696,00 pelo regime simples de capitalização? (R. R$ 32.000,00)


21) A que taxa de juro simples foi aplicado um capital de R$ 6.000,00 que, durante 6 meses, rendeu R$ 1.320,00 dejuro? (R. 3,66%ao mês)

22) Durante quanto tempo foram aplicados R$ 19.680,00 que à taxa de 33,6% ao ano, renderam R$ 9.368,00 de juro?(R. 1ano e 5 meses)23) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos. (R. R$ 8.000,00)

24) Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00.Qual foi a taxa anual cobrada pelo regime de capitalização simples? (R. 20%)

25) Um capital foi aplicado a juro simples à uma taxa de 45% ao ano. Efetuou-se o resgate no valor de R$ 107.800,00após 3 anos. Qual o valor do capital inicial? (R. R$ 45.872,34)

26) Qual o prazo para que uma aplicação de R$ 200.000, 00 a 2,5% ao mês, renda um montante de R$ 240.000,00pelo regime de juro simples? (R. 8 meses)

27) Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 8.000,00 à taxa de juro simples de 16% ao ano, para obtermosum montante de R$ 8.320,00 ? (R. 0,25ano ou 3 meses)

28) Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses a quantia de R$116.640,00. Determine a taxa de juro simples anual. (R. 42%aa)

29) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000,00 a juro simples durante 15 meses, à taxa de3% ao mês ? (R. R$ 40.600,00)

30) Qual é o tempo em que um capital de R$ 96.480,00 a 25% ao ano, rende R$ 79.395,00 de juro, aplicado a jurosimples? (R. 3,3 ano)

TAXA EQUIVALENTE A JURO SIMPLES1) Calcular a taxa anual equivalente a:

a) 6% ao mês; R. 72%b) 10% ao bimestre. R. 60%

2) Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:a) 60% ao ano; R. 30%b) 9% ao trimestre. R. 18%

JURO EXATO e COMERCIAL -1) Uma divida no valor de R$ 15.000,00 foi quitada 74 dias antes do vencimento, com a a taxa de 36% ao ano.Determine;

a) O juro exato; R. R$ 1.094,79b) O juro bancário. R. R$ 1.110,00

2) Calcular os juros de R$ 18.000,00 aplicados durante 5 meses ( de 30 dias) e 14 dias a taxa de juros simples de 32%ao ano. Efetuar os cálculos para os anos comercial e exato. R. Jcom = R$ 2.624,00 e Jex = R$ 2.588,05

DESCONTO SIMPLES1) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seuvencimento. Sendo de 42% ao ano à taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular:

a) O Desconto Racional Simples; R. $ 380,10b) O Valor descontado desta operação. R. $ 3.619,90

2) Calcular o valor atual de um conjunto de duplicatas descontadas num banco a 1,3% ao mês, conforme o borderô aseguir:

DUPLICATAS VALOR($) PRAZO (VENCIMENTO)C 4.500,00 12 diasE 2.800,00 27 diasB 1.900,00 51 dias

TOTAL................. 9.200,00 ..................................R. DBSc = $ 23,40 DBSe = $ 32,76 DBSb = $ 41,99 VA = $ 9.101,85


3) Seja um título de valor nominal de $ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seuvencimento. Sendo de 42% ao ano a taxa de desconto adotada, pede-se calcular o desconto comercial e o valorlíquido desta operação. R. DBS = $ 420,00 e VL = $ 3.580,004) Um título no valor nominal de R$ 4.500,00 é descontado 90 dias antes de seu vencimento, à taxa de juros simplesde 3,4% ao mês. Qual é o desconto racional? (R. e)

a) R$ 500,79b) R$ 200,43c) R$509,00d) R$308,00e) R$ 416,51

5) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 23.000,00, com vencimento para 120 dias, à taxa de2,4%a m?(R. a)

a) R$ 2.208,00b) R$ 2.356,00c) R$ 5.167,00d) R$ 3.000,00e) R$ 1.500,00

6) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 dias para o vencimento do título,determine:

a) o valor do desconto comercial simples; (R. R$ 189,00)b) o valor atual (líquido) . (R. R$ 5.811,00)

7) Determine o valor do desconto racional simples e o valor atual de um título de R$ 50.000, disponível dentro de 40dias, à taxa de 3% ao mês. (R. R$ 1.923,08 e 48.076,92)

8)Determine o desconto racional simples de uma promissória de R$ 3.000, à taxa de 40% ao ano, resgatada 75 diasantes do vencimento. (R. R$ 230,77)

JURO COMPOSTO1) Se uma pessoa deseja obter $ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa depoupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês? (R. $ 22.463,70)

2) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juroscomposta de 3,5% ao mês? (R. $ 15.801, 70)

3) Uma aplicação de $ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, ummontante de $ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. (R. 8 meses)

4) Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.(R. $ 21.664,02)

5) Calcule o montante de R$ 20.000 a juros compostos de 3,5% ao mês, durante 35 meses. (R. R$ 66.671,80)

6) Calcule o montante de R$ 5.000, a juros compostos de 2,25% ao mês, no fim de 4 meses. (R. R$ 5.465,41)

7) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de1,5% ao mês. (R. R$ 9.237,23)

8) Calcule o montante do capital de R$ 75.000, colocado a juros compostos à taxa de 1,5% ao mês, no fim de 6meses. (R. R$ 82.008,22)

9) Qual o montante produzido por R$ 12.000, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses?(R. R$ 26.496,47)

10) Calcule o capital inicial aplicado a juros compostos que, no prazo de 5 meses, a 3% ao mês, produziu o montante deR$ 4.058,00. (R. R$ 3.500,46)

11) Sabendo que um capital inicial, em regime de juro composto, à taxa de 2,5% ao mês, durante 4 meses, rendeuum montante de R$ 79.475, calcule esse capital. (R. R$ 72.000,42)


12) Uma loja financia um bem de consumo durável, no valor de R$ 3.200, sem entrada, para pagamento em umaúnica prestação de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja pelo regime de juro composto?(R. 4%)13) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juro composto a 5% ao mês, durante 2 meses.(R. R$ 2.205)

14) Uma pessoa toma R$ 3.000 emprestado, a juro de 3% ao mês, pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta.Qual o montante a ser devolvido? (R. R$ 4.031,74)

15) Determine em que prazo um empréstimo de R$ 11.000 pode ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,sabendo que a taxa contratada é de 15% ao semestre em regime de juro composto. (R. 5 semestre ou 2 anos e 6 meses)

16) Uma pessoa recebe uma proposta de investir, hoje uma quantia de R$ 12.000 para receber R$ 16.127 daqui a 10meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? (R. 3% )

17) O capital de R$ 8.700, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$11.456. Calcule esse tempo. (R. 8meses)

18) Qual será o montante de R$ 3.000, a juros compostos de 47% ao ano, em 4 anos e 3 meses? (R. R$ 15.424,81)

19) Empreguei um capital de R$ 25.000, em regime de juros compostos, à taxa de 35% ao ano, durante 2 anos e 6meses. Quanto recebi? (R. R$ 52.938,84)

20) Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizadostrimestralmente pelo regime de capitalização composta? (R. R$ 7.969,24)

21) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000, à taxa de 3% ao mês, num prazo de 14 meses pelo regime dejuro composto. (R. R$ 12.101,71)

22) Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000, a 4,5% ao mês, capitalizado mensalmente durante 8 meses a jurocomposto. (R. R$ 8.442,01)

23) Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxade 3,8% ao mês? (R. R$ 7.894,02)

24) Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses. (R. R$ 22.823,04)

25) Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% ao mês, sabendo que após 8 meses somou-se um montantede R$ 19.752. (R. R$ 15.000)

26) Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% ao mês a juroscompostos? (R. 13 meses)

27)O capital de R$ 12.000, colocado a juros compostos capitalizados mensalmente durante um período de 8 meses,elevou-se no final desse prazo a R$ 15.559. Calcule a taxa de juro. (R.3,29% ao mês)

28) O capital de R$ 18.000 foi aplicado a juros compostos por 2 anos a 20% ao ano, capitalizados trimestralmente.Qual o montante? (R. R$ 26.594,19)

29) Durante quanto tempo R$ 25.000 produzem R$ 14.846 de juro, a 24% ao ano, capitalizado trimestralmente a juroscompostos? (R. 2,42anos)

DESCONTO COMPOSTO1) Um título de valor nominal de $ 35.000,00 é negociado mediante uma operação de desconto bancário composto 3meses antes de seu vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% ao mês. Pede-se:

a) O valor atual; R. $ 30.008,12b) O desconto. R. $ 4.991,88

2) Determinar o valor atual e desconto racional composto de um título de valor nominal $ 3.500,00 adotando umataxa de juros de composto de 2,8% ao mês, sendo descontado 4 meses antes do seu vencimento.R. VL = $ 3.133,97e DRC = $ 366,03


3) Determine o valor atual de um título de R$ 800, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de descontoracional composto de 2% ao mês. (R. R$ 739,07)

4) Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 1.120, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de36% ao ano, capitalizado semestralmente pelo regime de desconto bancário composto. (R. R$ 415,22)

5) Qual o desconto bancário composto que um título de R$ 5.000 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seuvencimento, à taxa de 2,5% ao mês? (R. R$ 365,71)

6) Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratadoà taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto comercial composto concedido? (R. R$1.907,10)

7) Em uma operação de desconto comercial composto, o portador do título recebeu R$ 36.954 como valor líquido.Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e a taxa de juro mensal de 2%. Qual o valor nominal? (R. R$ 40.064,26)

8) Desejamos resgatar um título, cujo valor nominal é de 7.000, faltando ainda 3 meses para o seu vencimento. Calculeo valor atual, sabendo que a taxa de desconto bancário composto é de 3,5% ao mês. (R. R$ 6.290,42)

9) Calcule o valor atual de um título de R$ 40.000, resgatado 1 ano e 4 meses antes do seu vencimento, sendo a taxa dedesconto comercial composto de 24% ao ano. (R. R$ 28.951,90.)

TAXA EQUIVALENTE A JURO COMPOSTO – TAXAS: REAL, APARENTE E DE INFLAÇÃO1) Quais as taxas de juro composto mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano? (R. 1,87%am e 5,73% at)

2) Que taxa de inflação anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 9% ao ano de juros reais, caso a taxa aparenteseja de 18% ao ano? (R. I = 8,25% aa)

3) Qual a taxa real de um empréstimo contratado a uma taxa aparente de 12%, considerando uma inflação para o mesmoperíodo de 8% ? (R. R = 3,70%)

4) Qual a taxa aparente ganha se a Inflação for de 18% ao ano e o juro real for de 3,5% ao ano? (R. i = 22,13%)

SÉRIES UNIFORME DE PAGAMENTOS : POSTECIPADA e ANTECIPADA1) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule omontante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mensalmente.(R. FV = R$ 520,40)

2) Com o objetivo de formar um montante para compra de equipamentos, no final de cada mês uma empresa aplica $2.000,00. Quanto a empresa terá acumulado no final de sua sexta aplicação anual, sabendo-se que a taxa de juro é de12% ao ano? (R. FV = $ 16.230,37)

3) Uma empresa necessita contratar um empréstimo de liquidez para equilibrar seu caixa de curto prazo. Após analisarseu fluxo de caixa, verificou que sua capacidade de pagamento é de seis parcelas mensais postecipadas de $ 3.000,00.Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,59% ao mês, determinar a valor do capitalque a empresa pode tomar emprestado. (R. PV = $ 16.474,75)

4) Qual a importância constante a ser depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 6% ao ano, capitalizadosanualmente, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme um montante de R$ 400.000,00?(R. PMT = R$ 30.347,18)

5) Calcule o depósito anual capaz de, em 6 anos, dar um montante de R$ 200.000,00 à taxa de 25% ao ano.(R. PMT = R$ 17.763,89)

6) Quantas prestações mensais de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se construir omontante de R$ 6.706,00? (R. n = 12 prestações mensais)

7) Qual é o preço a vista de uma mercadoria cuja prestação é de $ 200, 00, sem entrada se a taxa é de 2,5% am. em 18meses. (R. PV= $ 2.870,67)


8) Calcular a prestação referente a uma mercadoria, cujo preço a vista é de $ 10.000,00 caso ocorra a seguinte hipótesesobre a taxa e respectivo prazo: taxa de juros 2,5% ao mês e prazo de 12 meses postecipado? (R. PMT = $ 974,87)

9) Em quantas prestações mensais de $ 1.004,62 sem entrada será pago um título de um clube de campo, se seu valor avista for de $ 10.000,00 e a taxa contratada for de 3% am? (R. n = 12 meses)

10) Uma empresa negociou uma dívida de $ 10.000,00 junto a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensaispostecipadas de $ 1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juro para essa modalidade de empréstimo é de 2,24% ao mês,quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? (R. n = 6)

11) No início de cada mês uma empresa aplica $ 2.000,00 de sua sobra de caixa. Calcular o valor futuro formado aofinal da sua sexta e última aplicação, sabendo que a taxa de juro é de 1,5% ao mês. (R. FV = $ 12.645,98)

12) Quanto se deverá depositar mensalmente para que, ao fim de 5 anos, não se processando nenhuma retirada, setenha $ 50.000,00? Considerar que a instituição paga 2,5% ao mês sobre o saldo credor. (R. PMT = $ 367,67)

13) Uma pessoa tomou emprestada a quantia de $ 1.200,00 e vai devolvê-la em 15 prestações mensais iguais, aprimeira a vencer um mês após a data do empréstimo. Se os juros são compostos, à taxa de 10% ao mês, determinar ovalor de cada uma das prestações. (R. PMT = $ 157,76)

14) Um equipamento custa a vista $ 12.766,56, uma empresa que adquirir a prazo, com prestação mensal de $1.000,00, sendo que a primeira será pago no ato da compra. Sabendo-se que a taxa de juro cobrada será de 2% ao mês,qual a quantidade de parcelas? (R. n = 14,54 aprox. 15)

15) Um banco está negociando uma cessão de crédito, composta de cinco recebimentos mensais de $ 3.000,00 com oprimeiro vencendo na data da operação. Calcular o capital que o banco deve pagar ao cedente, sabendo-se que a taxade juro é de 1,4% ao mês. (R. PV = $ 14.591,47)

16) Se um poupador aplicar R$ 250,00 mensais a partir de hoje durante 3 anos, a uma taxa de 1,2% ao mês, quantoterá acumulado no final do prazo determinado? (R. FV = R$ 11.308,66)

17) O preço a vista de um equipamento é de $ 16.000,00, pode ser pago em seis parcelas mensais iguais, com aprimeira vencendo na data da assinatura do contrato. Se a taxa de juro é de 2,5% ao mês, qual o valor das parcelas?(R. PMT = $ 2.833,95)

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SFA/PRICE e SAC1) Montar a planilha de amortização pelo SFA, de uma dívida de $ 1.200,00 a ser paga em 4 parcelas mensaisconsecutivas, à taxa de 3% ao mês com 2 meses de carência.

N SD PAN JUROS PMT0 1200,00 ----- --------- --------1 1200,00 ----- 36,00 36,002 1200,00 ---- 36,00 36,003456

TOTAL

2) Uma financeira empresta o valor de $15.000,00, com taxa de 16% ao ano, para ser pago em 5 pagamentos mensaissem prazo de carência, calculado pelo Sistema Price de Amortização. Elabore a planilha de financiamento.

N SD PAN JUROS PMT0 15.000,00 ----- ------ -----12345

TOTAL


3) Um banco empresta a uma empresa R$ 180.000,00 pelo prazo de 5 anos, à taxa de 8% ao ano. Sabendo queserá adotado o SFA, construa a planilha de amortização.

N SD PAN JUROS PMT0 180.000,00 ----- ----- -----12345

TOTAL

4) Uma financeira emprestou R$ 80.000,00, sem prazo de carência. Sendo a taxa de juro cobrada de 12% ao anodevendo a liquidação ser feita em 8 anos, construa a planilha de amortização pelo SFA.N SD PAN JUROS PMT0 80.000,00 ----- ----- -----12345678

TOTAL

5) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 1000.000,00, para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, à taxa de15% ao ano. Monte a planilha de amortização.

N SD PAN JUROS PMT0 100.000,00 ----- ----- -----1234

TOTAL

6) Um empréstimo de R$ 200.000,00 será saldado em 8 prestações semestrais pelo SAC, tendo sido contratada a taxade juro de 10% ao semestre. Confeccione a planilha de amortização.

N SD PAN JUROS PMT0 200.000,00 ----- ----- -----12345678

TOTAL

7) Um financiamento de R$ 30.000,00 deverá ser amortizado em 6 meses com taxa de juros de1,5% ao mês. Faça a planilha de amortização pedida abaixo, sabendo que o empréstimo foi no dia01/06/2008 com pagamento da primeira parcela em 01/07/2008.

a) Pelo Sistema Francês de Amortização – Tabela Price.b) Pelo Sistema de Amortização Constante.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ASSAF, Neto Alexandre – Matemática Financeira e suas Aplicações – 5a ed. – São Paulo:Atlas, 2000.ATHIAS, Washington Franco, José Maria Gomes – Matemática Financeira – 3a ed. – SãoPaulo: Atlas,2002.BRANCO, Anísio Costa Castelo – Matemática Financeira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Microsoft Excel – São Paulo: Pioneira Thomson Learning.CRESPO, Antonio Arnot – Matemática Comercial e Financeira fácil – 13ª edição – São Paulo:Saraiva, 2002.FARO, Clovis de – Matemática Financeira – São Paulo : Atlas, 1982.HAZZAN, Samuel , José Nicolau Pompeo– Matemática Financeira – 4a ed. – São Paulo: Atual,1993.SÁ, Ilydio Pereira de – Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira- R. de Janeiro: EditoraCiência Moderna Ltda., 2008.SAMANEZ, Carlos Patrício – Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos – 3a

ed. – São Paulo : Prentice Hall, 2002.SILVA, Daniel Jorge e Valter dos Santos Fernandes – Matemática para o Ensino Médio- SãoPaulo: IBEP, 2000VIEIRA Sobrinho, José Dutra – Matemática Financeira – 7a ed. – São Paulo: Atlas, 2000.


MATEMÁTICA FINANCEIRA - GRADE: 1º SEMESTRE/ 2012CURSO: CIÊNCIAS CONTÁBEIS - 3º Semestre

Carga Horária Semanal 04 – Carga Horária Semestral 68 horasO aluno poderá ter no máximo 25% de faltas durante o semestre

EMENTAPrincipais fundamentos. Conceitos básicos de Juros Simples. Estudo dos juros compostos, taxas equivalentesdas rendas, dos coeficientes, de financiamentos, dos sistemas de amortização e análise de investimento.

OBJETIVOAo final do curso, o aluno deverá estar apto a resolver problemas da vida prática: identificar os problemas e

resolvê-los com as ferramentas do cálculo (fórmulas), prático calculadora HP-12C , utilizando o raciocíniomatemático e aplicando os conceitos matemáticos na economia e em outras disciplinas, possibilitando maioracuidade nos processos decisórios e na análise dos resultados dos diversos nichos de negócios financeiros noâmbito das Ciências Contábeis.

Conteúdo1. Apresentação do Conteúdo: Fundamentos básicos de Matemática Financeira, Conceito: Valor Presente

(Capital), Juro, Valor Futuro (Montante), Taxa;2. Juros Simples: Taxas, Juro Exato e Juro Comercial;3. Desconto Simples;4. Juros Compostos:5. Taxas (nominal, equivalente, efetiva, média, acumulada, real, aparente e de inflação);6. Desconto Composto;7. Seqüência de Pagamentos Uniforme: Capitalização e Amortização (antecipada e postecipada)8. Empréstimos: Sistema Francês – Price, SAC,

METODOLOGIA DE ENSINOA metodologia de ensino consiste em aulas expositivas, durante as quais são apresentados e discutidos osconceitos, exercícios e suas aplicações principalmente na área econômica, busca-se a participação contínua docorpo discente, visando dinamizar as aulas práticas e consolidar os conceitos, além de permitir avaliar o grauda aprendizagem e absorção do discente em relação ao conteúdo ministrado.

SISTEMA DE AVALIAÇÃO:São tres avaliações valendo de Zero à 10,0As avaliações A1, A2, A3, prova escrita sem consulta e individual.

* Data aplicação das provas:

A1 – de 16 a 20.04 Será eliminada a menor nota entre A1 , A2 e A3A2 – de 21 a 25.05A3 – de 11 a 15.06

ATENÇÃO !!!!!!!!! Avaliação substutiva será aplicada mediante concessão do regime domiciliar deferido e

expedido pela Secretaria;

BIBLIOGRAFIA BÁSICAASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 11ª Ed. São Paulo: Editora Atlas, 2009.CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: Editora Thomson/Pioneira,2008.HAZAN, Samuel; POMPEU, José Nicolau. Matemática Financeira. 5ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.Bibliografia Complementar:

BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental. São Paulo: Editora Atlas, 2003.MATHIAS, Washington Franco; GOMES, Maria José. Matemática Financeira. 6ª Ed. São Paulo: EditoraAtlas, 2009.VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2001.


ANEXOPEQUENO MANUAL HP 12C

Esta é uma calculadora HP-12C. A partir de agora você irá utilizá-la para realizar todos os seuscálculos, então, vamos verificar qual é a função de cada tecla?

I) Teclas Principais: entenda-se por teclas principais aquelas cujos signos estão noscorpos das teclas ou flags, em branco.

1) ON: liga/desliga e sai do programa, mas mantêm a memória permanente.

2) Para mudar de ponto para virgula e vice-versa: segue . junto com o ON e solte primeiro o ON e

depois o .3)f a) pressionando essa tecla quando quiser acessar as funções escritas em dourado;

b) aumentar ou diminuir o número de casas decimais a trabalhar. Suponhamos que você quertrabalhar com 3 casas decimais, pressione f e depois 3 e todos os números aparecerão no formato00,000. À medida em que reduzimos o número de casas decimais, o valor que aparece no visorserá automaticamente arredondado, usando a seguinte convenção:

Se o número seguinte for: 0 a 4, mantém-se 5 a 9, arredonda-se

c) usar notação exponencial. Pressione f e .d) para retirar a notação exponencial. Pressione f e qualquer número.

Linha financeira

Teclas especiais

Teclas comuns emcalculadoras científicas

Acessofunçãoamarela

Acessoà

memória

entradaLigar

edesligar

Acessofunção

azul


4) g: pressione esta tecla quando quiser usar as funções escritas em azul.5) ENTER: colocar o número mostrado na tela (visor).6) CHS: muda o sinal do número ou expoente atual.7) EEX: depois de pressionar essa tecla, o próximo número ele considera como um expoente debase 10.8) CLX: limpa a tela (visor).9) f / CLX: limpará todos os registros10) f / FIN: limpa a memória dos financiadores11) f / PRGM: limpa as memórias de programação.12) f / REG: limpa toda a memória financeira e da função STO13) f / : limpa as funções estatísticas14) + - : são operações aritméticas.15) STO : esta teclas seguida de um número armazena na memória o valor desejado para posteriorutilização. Vamos dizer que você esta fazendo uma conta e quer guardar o resultado, ao invés deescrever num pedaço de papel você digita STO 2 e arquiva na memória o valor, só não podeesquecer com que número armazenou determinado valor.16) RCL: seguido por um número recupera da memória e apresenta na tela o valor armazenadonaquele registro.17) %: usado nos cálculos de porcentagem. Só que ele também armazena o resultado em uma seçãoda memória que vamos chamar de registro Y.18) %: Compara a diferença percentual entre o valor armazenado no registro Y e o valormostrado no visor.19) i: armazena e calcula os juros.20) n: armazena e calcula a quantidade de períodos.21) PV: armazena e calcula o valor presente.22) PMT: armazena e calcula os pagamentos (prestações).23) FV: armazena e calcula o valor futuro.24) g / BEG: “Begin” significa início do período, ou seja, quando a prestação é antecipada, ela é pagano início do período.25) g / END: quando as prestações forem postecipadas.26) yx: eleva o número registrador y pelo registrador x.27) 1/x: divide 1 pelo número mostrado no visor.28) x< > y: troca o conteúdo dos registradores x e y entre si.29) R : baixa o conteúdo registrado anterior no visor.30) SST: mostra o número da linha e o conteúdo do programa. Se utilizado em modo deprogramação.31) f / PRGM: mostra o número e o conteúdo de todas as linhas, uma por vez. No modo (RUN)executa as instruções, mostra o resultado e move para a próxima linha.32) g / CF0 :Significa fluxo de caixa do momento zero (fluxo de caixa inicial)33) g / CFj : Fluxo de caixa nos períodos seguintes34) g / Nj : Repete fluxos iguais e consecutivos35) f / IRR :Taxa interna de retorno (ou TIR)36) f / NPV: Valor presente líquido

II) Cálculos aritméticos simples:Para realizar os cálculos, os números devem ser informados na ordem. Após a introdução doprimeiro número, pressione a tecla ENTER e, em seguida, o segundo número e a operação a serrealizada ( x ou : ); a resposta aparecerá no visor.


Exemplo: 15 + 27 = 42Teremos: 15 ENTER 27 + 72Resultado: 72

III) Cálculos em cadeia:Toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor e se desejar armazená-lo para efetuar outrocálculo em seguida, não será necessário pressionar Enter , pois o resultado será armazenadoautomaticamente. Isto ocorre porque a HP-12C possui quatro registradores, os quais são usados paraarmazenamento de números durante os cálculos. Esses registradores (conhecidos por memórias depilha operacional) são designados por X, Y, Z e T.Exemplos:

a) 1 + 2 + 3 + 4 = 10Demonstração Gráfica dos Registradores da Pilha Operacional

X Y Z TDigitar 1 1,ENTER 1,00 1,00Digitar 2 2, 1,00ENTER 2,00 2,00 1,00Digitar 3 3, 2,00 1,00ENTER 3,00 3,00 2,00 1,00Digitar 4 4, 3,00 2,00 1,00

+ 7,00 2,00 1,00+ 9,00 1,00+ 10,00 1,00

b) 18

24 15 33 00

,

Teclado Visor18 ENTER 18,00

24 ENTER 24,00

15 ENTER 15,00

3 + 18,00

6,00

3,00

Lembre-se:A regra matemática diz que, primeiro, devemos resolver a multiplicação e a divisão, depois a somae a subtração, respeitando parênteses, colchetes e chaves.

Vamos exercitar?Calcule:

a) 7500 ENTER 230 + 2220 / 3,48

b) 4621 ENTER 2730 - 6230 ENTER 1723 + / 0,24

( 7.500 + 230) 2.220

(4.621 – 2.730)

(6.230 + 1.723)


IV) Funções:

1) Memórias de Armazenamento:a) STO: armazena na memória.b) RCL: recupera da memória

- A HP-12C possui 20 memórias para armazenamento de valores, que vão de 0 a 9 e de 0 a 9.

- Para armazenar um valor, deve-se digitá-lo e, em seguida, pressionar a tecla STO seguida donúmero da memória desejada.

- Para recuperar a informação contida na memória é necessário pressionar a tecla RCL seguida donúmero da memória.

Exemplo:Armazenar o número 15 na memória 0.Digitar: 15 STO 0 o número continua no visor, porém já está armazenado. Quando você forutilizar o número armazenado basta pressionar RCL 0 , que ele retornará ao visor, podendo serutilizado para qualquer cálculo.

2) Como extrair % de um número?10% de 1000 é?1000 enter 10%resposta:100

3) Como calcular a variação porcentual?a) 500 enter 800 %resposta: 60%b) No pregão de ontem, as ações da Cia. X S.A. subiram de R$ 5,37 para R$ 5,90. Qual foi a variaçãopercentual?5,37 ENTER 5,90 % = 9,87%

4) Como extrair o porcentual total ?Vamos supor que você tenha: 200,00 de despesas gerais;

90,00 de despesas com alimentação;41,00 de despesas com farmácia.

Digite 200 enter 90 + 41 + aparecerá o total de 331,00200 tecle %T = 60,42% (despesas gerais)CLX90 tecle %T = 27,19% (despesas com alimentação)CLX41 tecle %T = 12,39% (despesas com farmácia)

5) Funções calendário

A)Temos dois modos de operação: um modo brasileiro e outro americano.a) modo brasileiro: g 4(D.MY) aparecerá no visor direito D.MY(dia, mês e ano)b) modo americano: g 5(M.DY) aparecerá no visor direito M.DY(mês, dia e ano)

B) Operando intervalos de datas DYS: Quantos dias há entre 21/02/2000 e 27/12/2000?21.012000 ENTER 27.122000 g DYSResposta: 341 dias


C) Função Data Futuro: permite você calcular o futuro das datas, com os dias da semana: Quandovencerá uma duplicata comprada em 60 dias em 14/03/2006?14.032006 ENTER 60 g DATEResposta: vencerá em 13/05/2006 (6 = sábado)

D) Função Data Passado: permite você calcular o passado das datas, com os dias da semana: Noexemplo anterior vimos que o vencimento foi no dia 13.05.2006. Se a compra fosse feita compagamento em 45 dias, qual a data da compra?13.052006 ENTER 45 CHS g DATEResposta: a compra foi feita em 29.032006 (3 = quarta- feira)

6) Função PotênciaPara calcular o resultado de um número elevado a um expoente qualquer, introduza a base, em seguida,digite o expoente e pressione a tecla yx .Exemplos:

a) 45 = 1.024Na calculadora: 4 ENTER 5 yx 1.024

b) 25 30360 = 1,31

Na calculadora: 25 ENTER 30 ENTER 360 Yx 1,31

c) 3 –5 = 0,0041Na calculadora: 3 ENTER 5 CHS yx = 0,0041

7) Função Fluxo de Caixa

A capacidade da HP-12C no fluxo de caixa é de 20 memórias, isto significa dizer que somentepodemos calcular fluxos limitados a 20 valores informados nas funções CF0 e CFj , pois, quando temosvalores iguais na seqüência, podemos utilizar a função Nj que não conta como memória.

Outro detalhe importante é que, como nem sempre utilizamos todas as memórias disponíveis, énecessário que antes de iniciar os cálculos sejam zeradas as memórias f CLX .

a) Valor Presente Líquido (NPV)

O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular ovalor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes, a uma taxaconhecida.

V) Juros Simples e Juros Compostos

1) Conceitos:a) Capital ou Principal (C ou PV): entende-se por capital, sob ponto de vista da matemáticafinanceira, como qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.b) Juro (J): é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido como sendo o aluguelpago pelo uso do dinheiro.c) Prazo(n): é o intervalo de tempo existente entre cada aplicação.d) Taxa de juro (i): é a razão entre o juro recebido ou pago no fim de um período de tempo e ocapital inicial emprestado.e) Valor futuro (FV): é o valor total a ser pago ou recebido, é a soma do capital com o juro.


f) Juro simples é aquele calculado unicamente sobre o capital inicial.g) Juro composto: é aquele que em cada período financeiro, a partir do segundo é calculado sobre omontante relativo ao período anterior. Assim, o juro produzido no fim de cada período é somado aocapital que o produziu, passando os dois capital e juro a render no período seguinte.

2) Calculo de juro simples

a) Fórmula do juro simples: J= PV.i.nb) Fórmula do montante a juro simples: FV= PV(1+i.n)

Exemplo: Marcelo fez um empréstimo no banco, no valor de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa dejuros simples é de 4,5% ao mês, quanto pagará de juros no final de 4 meses e qual o montante a serpago?Dados: PV= 1.000,00

n = 4 mesesi= 4,5% a.m. = 0,045

Resolução: FV= PV(1+i.n)FV= 1000(1+0,045 . 4)FV= 1.180,00

HP 12C: limpe os financiadores f FINDigite 1000 CHS PVO prazo tem que estar em dias 4 ENTER 30 x nA taxa deve estar em ano 4,5 ENTER 12 x iO valor do juro aparecerá f INT 180,00Aparecerá o valor do montante + 1180,00

3) Juro bancário e juro exato

a) Juro bancário e comercial considera-se o ano com 360 dias e o mês com 30 diasb) Juro exato considera-se a quantidade exata de dias , sendo assim o ano tem 365 dias e quando forbissexto 366.

Exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 120.000,00 a taxa de 30% ao ano, noperíodo de 20/05/2004 a 15/09/2004. Utilizando os processos de juros simples.Dados: PV= 120.000,00

i = 30% ao ano = 0,3n= 20/05/2004 à 15/09/2004

HP12C: calculo de período 20.052004 ENTER 15.092004g DYS = 118 dias exatos

x><y =115 dias comerciaisjuro bancario 120.000 CHS PV

30 i 118 nf INT 11.800

juro exato f INT Rx><y 11.638,35

4) Método Hamburguês

É utilizado para calculo de juros em qualquer tipo de conta corrente sujeita a juros.Exemplo: No extrato abaixo sua conta ficou negativa por um determinado tempo e a taxa de juroscobrada foi de 50% ao ano, qual o total de juros a ser debitado em sua conta corrente?


Saldo Negativo dias1.250,00 6530,00 8

HP 12C f REG1250 ENTER 6 + =1

530 ENTER 8 + =2RCL 6 11740CHS PV50 i 1 nf INT 16,30(juro a ser debitado)

5) Juros compostosa) Fórmula do montante a juros compostos: FV= PV(1+i)n

Exemplo: Qual o valor futuro para uma aplicação de R$ 5.000,00 aplicado durante 5 meses, a taxade juros compostos de 12% ao mês?Dados: PV= 5000

n = 5 mesesi = 12% ao mês = 0,12

Resolução: FV= PV(1+i)n

FV= 5000(1+0,12)5

FV= 5000 (1,12)5

FV= 5000 . 1,762FV= 8.811,71

HP 12C: 5000 CHS PV12 i 5 n FV 8.811,71

6) Equivalência de taxas a juros compostosDuas taxas são equivalente quando são expressas em períodos distintos, mas produzem o mesmomontante, quando aplicadas pelo mesmo período de tempo, para um mesmo capital inicial.a) Formula: iq= {[1+it]Q/T- 1 }. 100Onde: iq= taxa equivalente que queremos

Q= prazo no qual queremos a taxa equivalenteit= taxa que temosT= prazo no qual temos a taxa dada

Exemplo: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.Dados: it= 2% = 0,02

Q= 12 mesesiq = ?T= 1 mês

Resolução: iq= {[1+it]Q/T- 1 }. 100iq={[1+0,02]12/1- 1}.100iq={[1,02]12-1}.100iq= {1,2682 – 1}.100iq= 0,2682 .100iq= 26,82% a. a.

HP 12C: 2 ENTER 100 1 +12 ENTER 1 yx = 1,268241 - 100 x = 26,82


Programação para este cálculo:F P/R F PRGM RCL i100 1 + RCL PVRCL FV yx 1 -100 x F P/R

Para que este programa seja utilizado, lembre-se: coloque a taxa que você tem no i; o tempo da taxa que você colocou na tecla i em FV; o tempo que você deseja ver a nova taxa em PV; agora é só pressionar R/S

7) Taxa Nominal e Efetiva a Juros compostosA taxa nominal anual = a taxa efetiva mensal x 12A taxa nominal mensal= a taxa efetiva diária x 30

Exemplo 1 : Desta forma, se temos uma taxa de 125% nominal ao ano com capitalização mensal, equisermos calcular a taxa efetiva ao ano, temos que calcular primeiro a taxa efetiva por período decapitalização mensal.Portanto: 125%a.a. 12=10,43%a.m.(taxa efetiva mensal)Agora iremos calcular a taxa efetiva ao ano fazendo a equivalência de taxa.HP 12C: 10,43 ENTER 100 1 +

12 ENTER 1 yx = 3,2881 - 100 x = 228,89%a.a

Exemplo 2 : Se quisermos a taxa efetiva de 58%a.a., com capitalização mensal e precisarmoscalcular a nominal ao ano.Calcule primeiro a taxa efetiva mensal fazendo a equivalência de taxa.HP 12C: 58 ENTER 100 1 +

1 ENTER 12 yx = 1,038851 - 100 x = 3,885%a.m

Portanto: 3,885%a.m. x 12 = 46,63%a.a.

VI) Para conferir se a calculadora esta funcionando perfeitamente

1) Com a calculadora desligada, aperte as teclas ON e juntas, soltando primeiro o ON apareceráalguns traços. Aperte todas as teclas da direita para esquerda e de cima para baixo, o enter deveráser apertado duas vezes. Quando chegar na ultima tecla (+) o visor apresentará o valor 12.

2) Com a calculadora desligada aperte as teclas ON e x juntas, soltando primeiro o ON acalculadora começara piscar e todas as funções ficaram acesas no visor.

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