GEOMETRÍA 1

Secuencias de actividadesEducación Secundaria

Claudia ComparatoreLiliana Kurzrok

SOLUCIONARIOMATEMÁTICASerie Temática

Índice Capítulo 1: Figuras circulares ....................................................................... 3

Capítulo 2: Los triángulos .............................................................................. 7

Capítulo 3: Los cuadriláteros ...................................................................... 12

Capítulo 4: Los polígonos ............................................................................ 17

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Secuencias de actividadesEducación Secundaria

Matemática | Serie TemáticaSecuencias de actividades

1

• Geometría 1 • Geometría 2 • Geometría 3 • Geometría 4 • Probabilidad y estadística

• Números y operaciones 1 • Números y operaciones 2 • Números y operaciones 3• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 1• Iniciación al álgebra y al estudio de funciones 2

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ISBN 978-987-576-539-9

9 789875 765399

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Solucionario

Este solucionario desarrolla la propuesta didáctica de Matemática

Gerente general Claudio De Simony Directora Alina Baruj

AutoresLiliana Kurzrok (coord.)Claudia Comparatore

EditorasLiliana KurzrokClaudia Comparatore CorrectoraLaura Susin

Jefa de arteEugenia EscamezCoordinación de Diseño gráfico Diego Lucero

Fotografías Archivo ClarínJefa de Preprensa y fotografía Andrea BalbiSelección de imágenes Silvina PiaggioDanae Tzicas

© Tinta fresca ediciones S.A. Corrientes 526 (C1043AAS) Ciudad Autónoma de Buenos Aires

Serie Temática

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Capítulo 1: Figuras circulares

Página 51. Tiene que plantar las flores en el sector pintado de gris porque todos los puntos están a más de 2 metros del árbol.

árbol

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2.

Página 6 y 73. Tienen 2 posibilidades, porque las circunferencias se cortan en 2 puntos.

50 km. 50 km.

Plaza principaldel otro pueblo

Plaza principalde un pueblo Disatncia entre las plazas: 80 km.

Este punto está a 50 km de las dos plazas.

Este punto también está a 50 km de las dos plazas.

4. a. Si consideran la misma escala que en el problema 1:

b. Cada 20 m, porque cada uno ilumina hasta 10 m alrededor de su base.

5.

P

6. a. Menos de 2 cm.b. más de 2 cm y menos de 4 cm.c. más de 4 cm.7. a. Los puntos señalados están a 2 cm del centro.b. Los puntos señalados están a una distancia menor de 1,5 cm del centro.c. Los puntos señalados están a una distancia mayor de 1 cm del centro.d. Los puntos señalados están a una distancia a los centros menor a 1,5 cm y 1 cm respectivamente.

Páginas 8 y 98. a.

A B

b. Dos puntos. Son aquellos donde se cortan las dos circunferencias.9. a. 1. Tomar la medida del radio del sector circular con el compás. 2. Trasladar la medida sobre el cuadriculado para trazar dos segmentos perpendiculares que tengan un extremo en común.

3. Trazar el sector circular entre ellos.b. 1. Trazar los dos segmentos perpendiculares tomando la medida con el compás. 2. Marcar los centros de las dos circunferencias tomando la medida de los radios con el compás y trasladándolas desde los extremos no comunes de los dos segmentos.

3. Trazar las dos circunferencias.c. Se procede de forma similar que en los ítems anteriores.10. No es cierto, porque si se elige cualquier punto del lado como cen-tro, el diámetro podría no estar totalmente incluido en el lado.11. a. 1. Trazar el cuadrado sobre el cuadriculado a partir de la medida de los lados.

2. Trazar tres cuartos de circunferencias concéntricas tomando el radio de cada una con el compás y con centro en dos vértices consecutivos del cuadrado.

b. 1. Tomar el radio de las semicircunferencias y trazar una de manera tal que comience y termine en un punto del cuadriculado.

2. Tomar la medida de los segmentos horizontales y trazarlos paralelos, sobre el cuadriculado, desde los extremos de la semicircunferencia con el mismo sentido.3. Trazar la otra semicircunferencia con el mismo radio que la anterior y centro en el punto medio del segmento paralelo al diámetro de la otra semicircunferencia.

árbol

estaca

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c. Similar a los anteriores.

Páginas 10 y 1112.

13. 1. Dibujar un rectángulos de lados 6 cm y 4 cm.2. Trazar una semicircunferencia con centro en el punto medio del lado más largo del rectángulo y radio 3 cm.3. Trazar dos semicircunferencias con centros en los puntos medios de los lados más cortos y radios de 2 cm.4. Pintar de rosado todos los puntos que están a más de 2 cm de los puntos medios de los lados más cortos y a más de 3 cm del punto medio del lado largo donde trazaron la semicircunferencia.5. Pintar de violeta todos los puntos que están a menos de 3 cm del punto medio del lado largo donde trazaron la semicircunferencia y a más de 2 cm de los puntos medios de los lados cortos. 14. a. ii., iii y iv.b. Debería agregar en el paso 2 que el centro de la circunferencia tiene que ser el punto donde se crozan los segmentos que unen los pun-tos medios de los lados opuestos del cuadrado y que el radio debe ser igual que la mitad de la longitud del lado del cuadrado.15. a. i. 1. Trazar una circunferencia de 2 cm de radio.2. Trazar un diámetro de la circunferencia y llamar A y B a los extremos.3. Trazar dos circunferencias de 3 cm de radio, una con centro en A y otra con centro en B. Llamar C a uno de los puntos donde se intersecan las circunferencias.4. Unir A con C y B con C y marcar con la regla los puntos medios de los segmentos

___ AC y

___ BC . Llamar D y E a esos puntos.

5. Pintar los lados del triángulo ABC con rojo.6. Pintar los puntos interiores de las tres circunferencias con amarillo. ii. 1. Trazar un segmento

___ AB de 4 cm.

2. Trazar con la escuadra un segmento ___

AC perpendicular a ___

AB de 4 cm.3. Trazar un cuarto de circunferencia de centro A y radio 4 cm que lle-gue de B a C.4. Sombrear con azul el interior de la figura.iii. 1. Trazar un rectángulo ABCD con lados de 2 cm y 4 cm de modo que

___ AB = 4 cm.

2. Llamar O al punto medio de ___

AB .3. Trazar un arco de circunferencia con centro A, radio 2 cm y extremos D y O.4. Trazar un arco de circunferencia con centro B, radio 2 cm y extremos C y O.5. Pintar con verde todos los puntos del rectángulo que están a más de 2 cm de B y de A.b. Elaboración grupal.16. a. Es correcta.b. Es incorrecta. El paso 2 es poco preciso y los pasos 4 y 6 indican pin-tar puntos de más.c. Es incorrecta. Los pasos 6, 7 y 8 indican pintar puntos de más.

Páginas 12 y 1317. Porque hay muchos lugares que están a la misma distancia de las dos casas. En general, dados dos puntos, hay infinitos puntos del plano que equidistan de ellos.

18. a.

Hay uno solo.b. Hay dos.

A B

6 cm 6 cm

c. No hay ninguno.d.

A B

F

6 cm 6 cmI

H

19. b. No es cierto, porque los dos puntos sobre los que trazó la recta no están a la misma distancia de los puntos dados porque los radios de las circunferencias no tienen la misma longitud.20. Elegir un radio que sea mayor que la mitad de la medida del seg-mento. Trazar las circunferencias con el radio elegido y centro en cada vértice del segmento. Marcar los puntos de intersección entre las cir-cunferencias. Trazar la recta que pasa por los puntos marcados.21.

Página 1422. a. 4,1 cmb. La distancia entre A y B es la medida de la curva más corta con extre-mos en A y B. Esa es la medida del segmento con extremos en A y en B.

A B

A

B

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23. a.

árbol

paredón

cordón

b. Nacho tiene razón.24. Las dos rectas azules verifican lo pedido.

3 cm

C90°

25.

2 cm 4 cm

8 cmr

26.

2 cm

r

2 cm4 cm 4 cm

Página1627. a. i. 120°; ii. 60°; iii. 150°b. Agudo: ii.; obtusos: i. iii.c. Obtusos: i. iii. Agudos: ii. iv. Para distinguirlos se pueden comparar con un ángulo recto.

28. a. b.

A

A

29. 1. Trazar un segmento.2. Trazar un arco de circunferencia de cualquier radio, con centro en el vértice del ángulo a copiar y con extremos en las dos semirrectas que lo forman.3. Trazar un arco de circunferencia del mismo radio que el anterior y con centro en el extremo izquierdo del segmento dibujado en el paso 1.4. Tomar, con el compás, la distancia entre los dos extremos del arco trazado en el paso 2.5. Trasladar esa medida, con el compás, al arco trazado en el paso 3, tomando como uno de los extremos al que está en el segmento, haciendo una marca.6. Trazar un segmento que pase por el extremo izquierdo del segmento trazado en el paso 1 y por la marca hecha en el paso 5.

Página 1730. a. Elijan un punto en cada semirrecta que estén a la misma distan-cia del vértice O. Tracen una perpendicular a cada lado que pase por ese punto. El punto P de intersección de esas dos perpendiculares está a la misma distancia de las dos semirrectas. Tracen luego la semirrecta con vértice O que pasa por P. Todos los puntos de esta semirrecta están a la misma distancia de las semirrectas OA y OB.b. Porque al unir cualquier punto de la semirrecta construida en a. con un punto en cada lado del ángulo tales que estén a la misma distancia del vértice, quedan determinados dos triángulos iguales.31. Tracen un arco de circunferencia con centro P, que corte a los lados del ángulo en los puntos A y B. Tracen arcos de circunferencia con cen-tros en A y B y el mismo radio. Unan la intersección de los arcos con el vértice del ángulo.32. Tracen una circunferencia con centro en O que corte a la semirrecta OA en M y a la semirrecta OB en N. Tracen desde N un arco con radio

___ MN .

Llamen C al punto de intersección del arco con la circunferencia inicial. La semirrecta OC es el otro lado del ángulo.33. Sí, porque eligiendo un punto cualquiera en la bisectriz y unién-dolo con un punto en cada lado del ángulo que estén a la misma distancia del vértice, quedan determinados dos triángulos iguales. Entonces sus ángulos son iguales, en particular son iguales los ángulos que están formados por cada uno de los lados y la bisectriz y forman el ángulo total, entonces cada uno es la mitad del ángulo total.

Páginas 18 y 1934. Consideren tres puntos que pertenecen al arco de la circunferen-cia. Tracen la mediatriz de dos segmentos determinados por ellos. El punto de intersección de estas rectas es el centro del arco.35. Tracen dos rectas perpendiculares y dos circunferencias de 3 cm de radio con centros en los puntos de intersección de estas con la recta r. El conjunto pedido son las rectas paralelas que pasan por los puntos de corte de cada circunferencia con la perpendicular referida a ella.36. Tracen la circunferencia de centro P y radio de 2 cm. El segmento que tiene extremos en los dos puntos de intersección de la circunferencia con la recta r, es el conjunto de puntos pedido. Existen puntos porque la dis-tancia del punto P a la recta es menor a 2 cm, si esta distancia fuera de 2

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cm habría un solo punto, y si la distancia fuera mayor a 2 cm no existiría ningún punto, porque la circunferencia no se cortaría con la recta r.37. a. b. c.

AD

BC

AD

BC

AD

BC

38. a. Son interiores al ABCD y están más cerca de A que de C.b. Son interiores al EFGH y están más cerca de

__ EF que de

___ GH .

c. Son interiores al IJKL y están a una distancia menor o igual a __

IJ de I.

Páginas 21 y 22 integrar lo aprendido1. a.

A B

b. La circunferencia de centro A y radio de 3 cm.c. La circunferencia de centro B y radio de 3 cm.d. Sí, hay dos puntos, donde se cruzan las dos circunferencias.2.

A B

d. Sí, uno solo.3. a. Con azul: ii, v y viii. Con verde: i, iii y vi.b. i. 75° ii. 120° iii. 45° iv. 90°v. 150° vi. 45° vii. 90° viii. 150°4. No, solamente si el trapecio es isósceles. En este caso, las diagona-les, estas determinan con cada base y el par de lados iguales, dos trián-gulos iguales.5. Copiado. Se procede como se muestra en el problema 18 de la página 37.6. 1. Trazar una circunferencia con centro en el vértice del ángulo (O) y un radio cualquiera.

2. Llamar M y N a los puntos donde la circunferencia interseca a los lados del ángulo.3. Trazar una recta perpendicular a

___ MO que pase por M y una

perpendicular a ___

NO que pase por N.4. Llamar D al punto donde se intersecan las dos rectas.5. Trazar la recta que pasa por O y por D. Esa recta divide al ángulo en dos ángulos iguales.

7. a. Construyan un triángulo equilátero, sus ángulos miden 60°. Tra-cen la bisectriz deuno de sus sus ángulos. Esta determina dos ángulos de 30°.b. Si se copia el ángulo de 30°, del problema anterior, a un ángulo de 90°, que se puede construir con un segmento y su mediatriz, se obtie-ne un ángulo de 120°. c. Se traza la bisectriz de un ángulo de 90°.8.

A B

9. a. 1. Copiar el cuadrado, usando el transportador para los ángulos rectos, el compás para copiar la longitud de los lados y la regla no gra-duada para trazarlos. Pintar de color anaranjado el interior del cuadrado.

2. Marcar el punto medio de los lados de los cuadrados usando la regla no graduada.3. Trazar circunferencias con centros en los puntos medios de los lados del cuadrado y radios iguales a la mitad del lado del cuadrado.4. Pintar de color violeta el cuarto superior del círculo de la izquierda que queda fuera del rectángulo.

b. 1. Tomar la medida del lado del triángulo equilátero con el compás y trazar un segmento de esa medida.

2. Trazar circunferencias con esa medida como radio y centros en los extremos del segmento. Usar uno de los puntos de intersección de las dos circunferencias como el tercer vértice del triángulo equilátero.3. Tomar con el compás la medida del radio de las circunferencias y trazarlas usando como centros los vértices del triángulo.4. Sombrear los puntos que pertenecen a los tres círculos simultáneamente.

c. 1. Tomar, con el compás, la medida del radio de la circunferencia central y trazarla.

2. Elegir cualquier punto en la circunferencia trazada y usarlo como centro para trazar otra circunferencia con el mismo radio que la anterior.3. Usar los dos puntos de intersección de las dos circunferencias como centros de otras dos circunferencias con el mismo radio que las anteriores.4. Usar los dos nuevos puntos de intersección de la circunferencias trazadas en el paso anterior con la primer circunferencia como centros de otras dos circunferencias que tengan el mismo radio que todas las anteriores.5. Estas dos últimas circunferencias se tienen que cruzar en un único punto que tiene que estar sobre la circunferencia inicial, con centro en ese punto trazar otra circunferencia con el mismo radio que las anteriores.6. Pintar con rojo los puntos que están en 4 círculos simultáneamente y de azul los puntos que están solamente en un círculo.

d. 1. Tomar, con el compás, la medida del radio de las circunferencias y trazar una de las circunferencias.

2. Elegir cualquier punto de la circunferencia trazada y, con ese punto como centro y el mismo radio, trazar otra circunferencia.3. Unir los centros de las circunferencias con los dos puntos de intersección entre ellas para formar un rombo.

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4. Pintar el rombo de anaranjado.10. a. 1. Tomar la medida del radio de las circunferencias más grandes y trazar una.

2. Trazar un diámetro y, con centro en sus extremos, trazar circunferencias del mismo radio anterior.3. Trazar un diámetro perpendicular al diámetro anterior de la primera circunferencia.4. Tomar la medida del radio de las circunferencias más chicas, marcar los puntos medios de los radios que están sobre el diámetro perpendicular y trazar las circunferencias pequeñas.

b. 1. Tomar el radio de la circunferencia con el compás y trazarla.2. Trazar dos diámetros perpendiculares.3. Marcar los extremos de los diámetros y trazar las rectas perpendiculares a cada diámetro que pasan por esos puntos.4. Trazar las diagonales del cuadrado que se forma con las cuatro perpendiculares trazadas.

11. a. No, tiene varios errores. Los ángulos sobre el segmento no son de 30°, C y D tienen que ser el mismo punto y las circunferencias que se trazan al final deben ser ambas con radio de 2 cm y los centros deben ser F y G. Por otro lado, es más preciso trazar las dos circunferencias de radio de 4 cm con centro en A y en B, para hallar el punto C y así cons-truir el triángulo, en vez de apoyarse en la medición de los ángulos.b. Sí, C y D son el mismo punto.

Capítulo 2: Los triángulos

Página 231. i.

E

B

F

A

4 cm

4 cm4 cm

3 cm

3 cm

5 cm

Los dos triángulos que se ven en la figura pueden calcarse y se superponen perfectamente. Esto quiere decir que, en realidad, se puede construir un solo triángulo con los datos dados.ii.

2 cmA B

C

D

Los dos triángulos que se ven en la figura pueden calcarse y se superponen perfectamente. Esto quiere decir que, en realidad, se puede construir un solo triángulo con los datos dados.iii.

A B

2 cm3 cm

6 cm

No es posible dibujar un triángulo con esas características porque las circunferencias no se intersecan.iv.

3 cm3 cm

3 cm

3 cm

A B

CD

E

F

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Se pueden trazar infinitos triángulos. El tercer vértice debe estar sobre la circunferencia2. Sí, porque la longitud de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

Páginas 24 y 253. y 4.a.

A B

C

3 cm

2 cm

Se puede construir uno solo.b.

A B50°

D

C

F

5 cm

Se pueden construir infinitos triángulos. Basta con elegir un punto sobre la semirrecta BF.c.

30°40°A B

C

4 cm

Se puede construir uno solo.

d.

70°

C

B

A 60°

Se pueden construir infinitos triángulos. Basta con elegir una medida distinta para alguno de los lados.5. a.

A 4 cm

2,5 cm

B

E

D

C

Se pueden construir infinitos triángulos.b.

A

40°

B1

B

No se puede construir ningún triángulo.6. a. Lo que dicen los chicos es correcto porque tres datos que cum-plan ciertas condiciones determinan un único triángulo.b. Se necesitan las longitudes de tres lados, cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. Se nece-sitan dos ángulos, cuya suma sea menor que 180°, y la longitud de un lado. Se necesitan las longitudes de dos segmentos y el ángulo común a ellos que sea menor que 180°.

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Páginas 26 y 277. a. i.

30° 80°A

C

B

ii. No es posible.iii.

30°

110°40°A

C

B

iv. No es posible.v.

100° 50°

C

A B

vi. No es posible.b. i. Infinitos, porque los ángulos dados suman 180°. Se puede elegir cualquier número como longitud de un lado, determinar cuáles son los ángulos con vértice en sus extremos y, a partir de esas elecciones construir un único triángulo.ii. Ninguno, porque estos ángulos suman 170°, menos de 180°.iii. Infinitos.iv. Ninguno, porque estos ángulos suman 200°, más de 180°.v. Infinitos.vi. Ninguno.8. Es cierto lo que dicen ambos. La explicación es la misma que la dada en 7.b.i.

9. a. 60º, porque los tres son iguales y deben sumar 180°, entonces cada uno mide 180° : 3 = 60°.b. Uno solo, porque si tuviese más la suma daría mayor que 180°.c. Uno solo, por la misma razón que en b..d. Tres, porque la suma puede dar 180°.10. a. Uno solo, porque, como el triángulo es isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales y, como el tercer ángulo mide 120°, entonces los otros miden 30° cada uno.b. Infinitos, porque la información dada solo permite averiguar la amplitud de los ángulos interiores, que serán 90°, 45° y 45°.c. Ninguno, porque en los triángulos equiláteros los tres ángulos miden 60°.d. Infinitos, porque la información dada solo permite averiguar la amplitud de los ángulos interiores, 100°, 40° y 40°, no se da la longitud de ningún lado.e. Uno solo, porque los tres datos que se dan determinan el triángulo.

11. a. B^CD = 114°; B

^CA = 66°; C

^BA = 48°.

b. N^OM = 63°; N

^MO = 34°; M

^NO = 83°.

Páginas 28 y 2912. Construcción

a. b. c.

En los dos primeros triángulos, las alturas quedan similares a las de los triángulos del ejemplo de la sección Definiciones de la página 28. En el caso del tercer triángulo, por ser triángulo rectángulo, dos de sus alturas coinciden con los lados que forman el ángulo recto.13. a.

Se pueden construir infinitos, tomando D sobre la recta que pasa por C y D.

C D

A

4 cm

3 cm B

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Páginas 30 y 3119. Sí, porque la construcción es correcta. Con la circunferencia de centro A y radio

___ AB obtiene todos los posibles puntos B, pero sumando

la condición de la altura ___

BH , con la recta paralela a ___

AC a una distancia ___ BH , obtiene los dos únicos puntos B, y con éstos, los dos únicos trián-

gulos que cumplen lo pedido.20. Se puede construir uno solo. Ver actividad 18.21. c. Queda dividido en dos triángulos rectángulos. d. Son iguales.e. Siempre se forman dos triángulos rectángulos e iguales. El vértice opuesto al lado diferente está a la misma distancia de sus extremos porque el triángulo es isósceles, perteneciendo a la mediatriz de ese lado. Luego las figuras formadas son dos triángulos y no otras figuras. Los triángulos formados son rectángulos porque la mediatriz es per-pendicular al lado diferente. Los triángulos son iguales porque tienen los tres lados iguales entre sí.f. No sucede lo mismo en cualquier triángulo, por ejemplo:

A

B

C

Páginas 32 y 3322. a. Construcción.b. Solo si el triángulo es isósceles.23. a. 1. Trazar un segmento perpendicular a

___ AB que pase por T. Lla-

mar C al punto donde ese segmento corta al segmento ___

AB .2. Trazar la circunferencia con centro T y radio

___ CT y la

circunferencia con centro B y radio ___

CB . Llamar D a uno de los puntos donde se cortan las circunferencias.3. Trazar la semirrecta

‹

___ › BD .

4. Cualquier punto de la semirrecta puede ser el tercer vértice del triángulo.

FE

D

BT

C

A

24. No es correcto. Solo se verifica en los triángulos equiláteros y en los isósceles no equiláteros para el ángulo desigual.

25. D^BC = 34°, D

^CB = 78°; A

^DB = 112°, D

^AB = 34°

Páginas 34 y 35 26. Contrucción. 27. Cuando los triángulos son isósceles. 28. Las mediatrices de los tres lados de los triángulos siempre se inter-secan en un punto. Si el triángulo es acutángulo, el punto es interior al triángulo; si es obtusángulo, el punto es exterior y; si es rectángulo, el punto coincide con un vértice. 29. Es la misma.

b.

4 cm 5 cm

A B

C

Se puede construir uno solo.c.

C

E D

A B

Se pueden construir 5 triángulos. Depende de la altura correspondiente a cada lado.14. a. Sí, es correcto, porque el lado opuesto al ángulo recto de cada uno de los triángulos iguales es lado del triángulo grande, luego éste tiene dos ángulos iguales.b. Sí, es correcto, porque los dos triángulos tienen dos ángulos iguales y dos lados iguales.c. Sí15. 50°.16. 45°.17. 36°, 36°, 72°. Se puede construir uno solo.18. a.1. Trazar un segmento

___ AB de 4 cm.

2. Trazar dos circunferencias de radio 4 cm, una con centro en A y otra con centro en B.3. Llamar C a uno de los puntos donde se intersecan las circunferencias.4. Unir A, con B y C.b.

30° 30°

60°

A D B

90° 90°

C

60°

c. Si es cierto, porque los triángulos que quedan tienen los mismos lados y los mismos ángulos.

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d. Falsa. Porque las medidas de los lados no cumplen la desigualdad triangular.e. Verdadera. Porque dos ángulos obtusos ya suman más de 180° y los tres tienen que sumar 180°.7. a. 1. Trazar una recta y marcar un punto N.

2. Tomar la medida del lado BC— y trasladarla, como ___

NO , sobre la recta.3. Tomar la medida del lado AC— y trazar una circunferencia con centro en O y radio AC— .4. Tomar la medida del lado AB — y trazar una circunferencia con centro en N y radio AB— .5. Llamar M al punto de intersección de las dos circunferencias. Unir M con N y M con O.6. Tomar la medida del segmento CH y trasladarlo sobre ON desde O. Marcar el punto P. Unir M con P.

b. Construcciónc. Sí, se cruzan en un solo punto.8. a. No se puede construir porque no se cumple la propiedad triangular.b. Sí, se puede construir uno solo. Dibujen un segmento de 6 cm. Sobre cada extremo midan un ángulo de 70°. Donde se unen los lados de los ángulos queda determinado el tercer vértice. c. Sí, se puede construir uno solo. Dibujen un segmento de 8 cm. Con centro en uno de los extremos tracen una circunferencia de radio 6 cm y sobre el otro, una de radio 3 cm, donde se cortan las circunferencias queda determinado el tercer vértice. d. No se puede construir porque los triángulos 3 equiláteros tienen todos sus ángulos iguales de 60°.e. Es similar a a. 9. 1. Copiar el segmento

___ AC .

2. Copiar con regla y compás el ángulo P con vértice en A.3. Trasladar la medida del segmento sobre la otra semirrecta del ángulo marcado. 4. Unir B con C.

10. a. Construcción personal. b. Si es cierto.

11. E^AB = 72°; E

^BC = 43°

12. a. B^AC = B

^CA = 66º, A

^BC = 48º y B

^CD = 114º

b. M^NO = 83º, N

^OM = 63º y O

^MN = 34º

c. A^DB = B

^EC = 115º, A

^BD = E

^BC = 15º, B

^DE = 15º, B

^DE = D

^EB = 65º,

BCE = 50º y ABC = 80º

30. a. C

EA

B

1. Trazar la recta perpendicular a r que pasa por B.2. Llamar E al punto de intersección entre la perpendicular y r.3. Trazar la circunferencia con centro E y radio

___ BE .

4. Llamar C al punto de intersección de la perpendicular con la circunferencia.5. ABC es el triángulo pedido.

b. Con estos datos la construcción es única.

Páginas 37 y 38 integrar lo aprendido1. a. Se puede construir uno solo.b. Se puede construir uno solo.c. No se puede construir ninguno porque las medidas no cumplen la desigualdad triangular.d. Se puede construir uno solo.e. Se puede construir uno solo.f. No se puede construir ninguno porque las medidas no cumplen la desigualdad triangular.g. Se pueden construir infinitos. El lado

___ BC tiene que medir entre

1 cm y 15 cm. Para que la construcción sea única se puede agregar, por ejemplo, la medida de

___ BC o el ángulo A.

2. a. i. Se puede construir un solo triángulo.ii. Se puede construir un solo triángulo.iii. No se puede construir ninguno porque la suma de los ángulos es mayor a 180°.iv. Se puede construir un solo triángulo.v. Se puede construir un solo triángulo.vi. Se pueden construir infinitos triángulos. Para que la construcción sea única se puede agregar la medida de un lado.vii. No se puede construir ningún triángulo, porque la suma de los ángulos es mayor que 180°.viii. Se pueden construir infinitos triángulos. Para que la construcción sea única se puede agregar la medida de un lado.ix. No se puede construir ningún triángulo, porque la suma se los ángulos es mayor que 180°.b. i. Escaleno, obtusángulo. ii. Isósceles, obtusángulo.iii. No hay. iv. Escaleno, obtusángulo.v. Escaleno, rectángulo. vi. Isósceles, obtusángulo.vii. No hay. viii. Escaleno, acutángulo.ix. No hay.3. 51° 4. Si es posible, los otros ángulos miden 44,5°. 5. Si es posible, los otros ángulos miden 60,5°.6. a. Verdadera. Porque sus ángulos miden todos 60°, es decir que son menores que 90°.b. Falsa. Porque en un triángulo rectángulo uno de sus ángulos mide 90°, entonces los otros dos deben sumar 90°, luego son menores que 90°.c. Falsa. Porque dos ángulos de 98° ya suman más de 180° y en un triángulo los tres ángulos deben sumar 180°.

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Capítulo 3: Los cuadriláteros

Página 391. Producción personal.

Páginas 40 y 412. a. Dibujen el segmento

___ AB de 4 cm. Con centro en A tracen un arco de

circunferencia de 5 cm de radio. Elijan cualquier punto del arco y llámenlo D. Tracen con centro en B una circunferencia de 5 cm de radio y con centro en D una circunferencia de 4 cm de radio. Llamen C al punto donde se cor-tan estas circunferencias. ABCD es el paralelogramo buscado.b. Dibujen el segmento

___ AB de 4 cm. Con centro en A tracen un arco de

circunferencia de 5 cm de radio. Con centro en B tracen un arco de circun-ferencia de 8 cm de radio. Llamen D al punto donde se cortan estos arcos. Tracen con centro en D una circunferencia de 4 cm de radio y con centro en B una de 5 cm de radio. Llamen C al punto donde se cortan las circunfe-rencias. ABCD es el paralelogramo buscado.c. Dibujen el segmento

___ MB de 14 cm y tracen su mediatriz. El punto don-

de se cortan la mediatriz y ___

MB es el punto medio del segmento. Llámen-lo A. Tracen, con centro en A, un arco de circunferncia de 7 cm de radio. Llamen D al punto donde el arco corta a la mediatriz. Tracen dos circun-ferencias de 7 cm de radio. Una con centro en B y la otra en D. Llamen C al punto donde se cruzan. ABCD es el cuadrado buscado.d. Dibujen el segmento

___ AB de 7 cm. Con centro en A tracen un arco de

circunferencia de 7 cm de radio. Elijan cualquier punto del arco y llá-menlo D. Con centro en D, tracen una circunferencia de 7 cm de radio y con centro en B otra con el mismo radio, el punto donde se cortan es C. ABCD es el rombo buscado.3. Javier tiene razón porque los cuadrados son rombos. Natalia tiene razón porque el cuadrado es un paralelogramo que es rombo y rectán-gulo. Ana tiene razón porque el cuadrado tiene sus ángulos determina-dos, mientras que el rombo no.4. Lo mínimo necesario es: dos lados y el ángulo comprendido.5. Paralelogramo: dos lados consecutivos y el ángulo comprendido, o dos lados consecutivos y la diagonal correspondiente, o un lado y las dos diagonales, o un lado, o una diagonal y el ángulo comprendido, las dos diagonales y el ángulo comprendido entre ellas. Cuadrado: el lado, o la diagonal. Rectángulo: los dos lados, o un lado y la diagonal, o la diagonal y el ángulo que forma con un lado, o la diagonal y el ángulo comprendido entre ellas. Rombo: el lado y un ángulo, o el lado, una diagonal y el ángulo comprendido, o las dos diagonales.6. a. Un cuadrado. b. Un rectángulo.

Páginas 42 y 43 7. b. Rectángulo, cuadrado, rectángulo.8. a. Falsa. Por ejemplo, en este paralelogramo las diagonales no miden lo mismo.

b. Verdadera.Consideren un paralelogramo ABCD. Llamen O al punto donde se interse-can las diagonales

___ AC y

___ DB . Los triángulos DAB y BCD son iguales porque

tienen sus tres lados iguales entre sí. Por lo tanto los ángulos A^DB y D^BC son iguales. Los triángulos ADC y CBA son iguales. Luego los ángulos D^AC y A^CB son iguales.Los triángulos ADO y CBO tienen dos pares de ángulos iguales y los respectivos ángulos comprendidos iguales por ser lados opuestos del paralelogramo. Entonces son iguales y

___ DO =

___ BO y

___ AO =

___ CO , es

decir que O es punto medio de ___

DB y de ___

AC .

c. Verdadera. Dado que en un rombo los lados son iguales, cada una de sus diagonales lo divide en dos triángulos isósceles iguales. Entonces el rombo queda dividido en cuatro triángulos que tienen dos ángulos y el lado comprendido iguales entre sí, por lo tanto son iguales. Como los cuatro triángulos son iguales, entonces el ángulo de cada uno de ellos que tiene vértice en la intersección de las diagonales es el mismo y for-man un giro completo, 360°, lugo cada uno mide 90°.d. Verdadera. Cada diagonal determina con los lados dos triángulos rectángulos iguales, y estos cuatro triángulos son iguales entre sí. Por lo tanto las diagonales miden lo mismo. Por otro lado, éstas se cortan en sus puntos medios porque el rectángulo es un paralelogramo.9. Tracen una circunferencia de 2,5 cm de radio y dos de sus diámetros. Los puntos donde los diámetros tocan a la circunferencia son los vér-tices del rectángulo. Se pueden construir infinitos rectángulos porque hay infinitas diagonales distintas en la circunferencia.10. Sí, porque la circunferencia tiene infinitos diámetros.11. a. Tracen un segmento

___ AC de 6 cm y construyan su mediatriz.

Sobre ésta tracen dos segmentos de 3 cm a partir de la intersección uno en cada sentido y llamen a sus extremos, que no son el punto de intersección, B y D. ABCD es el rombo pedido. Se puede armar este único rombo con estos datos. Como las diagonales son iguales, este rombo es un cuadrado.b. Realicen la misma construcción que en a., pero los segmentos traza-dos sobre la mediatriz deben medir 2 cm.c. Realicen la misma construcción que en a., pero el segmento inicial debe medir 5 cm y los de la mediatriz 2,5 cm.

Páginas 44 y 4512. Tiene razón porque al trazar una diagonal en un cuadrilátero siempre se determinan dos triángulos.13. a. 117° b. 111° c. 95°14. Sí, porque, como en un paralelogramo los ángulos opuestos son igua-les, ^C mide 110° y, como la suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360°, ^B + ^D = 140°, que al ser iguales por ser opuestos, miden 70° cada uno.15. No, porque dos ángulos miden lo mismo y los otros dos tienen que ser suplementarios, 40° y 120° no lo son.16. 80° y dos de 100°, es un paralelogramo. 17. ^A = 120° y ^B = 60°.18. B^OC = 80°, porque es sumplementario al A^OB. O^CD = 40° porque el D^OC es isósceles. O^CB = 50° porque el D^CB es recto. 19. a. B^AP = A^BP = A^PB = 60° porque el triángulo ABP es equiláte-ro. D^AP = P^BC = 30° porque los ángulos del cuadrado son rectos. A^DP = A^PD = B^PC = P^CB = 75° porque los triángulos APD y BPC son isósceles. P^DC = P^CD = 15° porque los ángulos del cuadrado son rectos. D^PC = 150° para que los ángulos del triángulo DPC sumen 180°.b. En un paralelogramo no sucede lo mismo porque no se verifican las mismas relaciones entre los ángulos. c. En un cuadrilátero cualquiera tampoco, por la misma razón.

15° 15°150°

75° 75°

30° 30°

60° 60°

60°

Páginas 46 y 4720. Producción personal.

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Se pueden construir infinitos triángulos con estos datos porque la medida de puede ser cualquiera.d. No se puede construir ningún trapecio con esos datos porque el cuarto lado sería de 3 cm y resultaría un paralelogramo.24. a. Como MBCN es rectángulo,

___ BM =

___ CN y, como el trapecio es isós-

celes, ___

BA = ___

CD . Por lo tanto ABM y CDN son triángulos rectángulos y tienen dos lados iguales. Luego son iguales.b. Los ángulos que se apoyan en la misma base son iguales.25. a. 20° b. ^B = 58°, ^C = 75°26. a. Si se toma el lado de 6 cm como uno de los paralelos, entonces sí se puede construir y hay infinitos. Si se considera que ese lado es uno de los no paralelos, entonces no se puede construir, porque en un trapecio los ángulos adyacentes a los lados no paralelos deben sumar 180° y en este caso la suma es 150°.b. Es el mismo análisis que en a..

Páginas 48 y 4927. Copien el segmento

___ AB con regla y compás. Trasladen el ángulo ^E

con vértice en A. Tracen una circunferencia con centro en A y radio ___

CD . Llamen C al punto donde la circunferencia interseca a la semirrecta del ángulo que no es

‹

___ › AB . Tracen una recta paralela a

___ AB que pasa por

C. Tracen una circunferencia con centro en C y radio ___

CD . Llamen D al punto donde se cruzan la última recta y la última circunferencia. b. Se puede construir un solo paralelogramo.28. a. Trasladen el segmento

___ AB . Tracen, con centro en B, una circun-

ferencia de radio ___

CD . Llamen P a un punto de esta circunferencia. Tra-cen una circunferencia con centro en P y radio

___ AB y otra con centro en

B y radio ___

AP . Llamen Q al punto de intersección de las circunferencias. ABQP es el paralelogramo pedido.b. Infinitos. Para que exista uno solo es necesario agregar como dato la longitud de un lado o el ángulo entre la diagonal.29. a. Trasladen el segmento

___ AB y tracen su mediatriz. Tracen la mediatriz

de ___

CD y llamen M al punto medio de ___

CD . Tracen con centro en el punto medio de

___ AB , una circunferencia de radio

___ CM . Tracen uno de sus diáme-

tros ___

PQ . APBQ es el paralelogramo buscado.b. Infinitos. Para que la respuesta sea única, por ejemplo, se puede agregar la amplitud del ángulo entre las diagonales.30. a. Trasladen el segmento

___ AB y tracen su mediatriz. Llamen N al pun-

to medio de ___

AB . Tracen la mediatriz de ___

CD y llamen M al punto medio de ___ CD . Con vértice en N construyan un ángulo igual a ^E. Tracen con centro

en N una circunferencia de radio ___

CM . Llamen P y Q a los dos puntos de intersección de la misma con la recta anterior. APBQ es el paralelogramo buscado.b. La solución es única.31. Deben darse tres datos.32. Tracen dos rectas perpendiculares. Con centro en la intersección tra-cen una circunferencia cuyo radio tenga la misma longitud que el segmen-to dado. Donde corta a cada uno de ellos es un vértice del cuadrado. Con centro en cada uno de estos vértices y el mismo radio que el anterior, tra-cen arcos de circunferencia. Donde se cortan se obtiene el cuarto vértice.

Páginas 50 y 5133. a. No existe un paralelogramo con estos datos.b. Dibujen un segmento de 4 cm. Con centro en uno de sus extremos tracen una circunferencia de 4 cm de radio y con centro en el otro, una de 2 cm de radio. El punto donde ellas se intersecan es el punto de intersección de las diagonales. Tracen semirrectas con origen en los extremos del primer segmento que pasen por este punto. Con centro en el punto de intersección de las diagonales, tracen dos circunferen-cias, una de 2 cm de radio y otra de 4 cm de radio. Al cortar las semi-rrectas determinarán los dos vértices que faltan. Se puede construir un solo paralelogramo.

21. No es cierto, no existe ningún trapecio en el cual sea cierto.22.

A B

C D

E

Hay infinitos trapecios posibles.23. a.

3 cm

6 cm

4 cm

A

OC

D

B

Se pueden construir infinitos trapecios con esas condiciones. Basta con dibujar dos rectas paralelas a menos de 3 cm de distancia.b.

B

A DNM

C

Se puede construir un solo trapecio con estos datos.c.

90°

90°

C D

A B

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c. Es similar al problema 29.. 34. a. Dibujen un segmento de 6 cm. Tracen su mediatriz. Tracen una cir-cunferencia con centro en el punto medio del segmento y radio 4 cm. Unan los puntos donde corta a la mediatriz con los extremos del segmento.b. Uno solo porque las diagonales de los rombos son perpendiculares.35. a. Dibujen un segmento de 7 cm y tracen su mediatriz. Constru-yan un ángulo de 120° con centro en el punto medio del segmento, M, y como lado la semirrecta de origen M. Tracen una circunferencia de centro M y radio 2,5 cm. Donde corta al lado del ángulo queda deter-minado el vértice del paralelogramo. Tracen la semirrecta de origen M que no contenga al vértice y sobre ella repitan el procedimiento para obtener el cuarto vértice. Se puede construir uno solo.b. Dibujen un segmento

___ AB de 6 cm y un ángulo de 80° con centro en A.

Tracen la circunferencia de centro en A y radio 7 cm. Llamen C al punto donde corta a la semirrecta. Únanlo con B. Con centro en C tracen una circunferencia de radio 6 cm y con centro en A una de radio

___ BC , donde se

cortan se encuentra D. ABCD es el paralelogramo buscado. Se puede construir uno solo.c. Dibujen un segmento

___ AB de 4 cm. Tracen un ángulo de 70° con vértice

en A. Tracen la circunferencia de centro A y 4 cm de radio. Llamen D al pun-to donde ella corta a al lado del ángulo. Con centro en B y en D tracen cir-cunferencias de 4 cm de radio. Llamen C al punto donde se cortan. ABCD es el rombo buscado. Se puede construir uno solo.d. No es posible construirlo, porque el lado y una diagonal determi-nan un único rombo. e. Dibujen un segmento

___ AB que mida 8 cm. Tracen una recta que pase

por A y no por C. Elijan la recta de modo que la distancia entre C y ella sea menor que 5. Tracen la recta paralela a la anterior que pase por C. Elijan un punto D sobre la primera recta y tracen la circunferencia con radio 5 cm y centro D. Llamen B a uno de los puntos en que la circunfe-rencia corta a la otra recta.Pueden construirse infinitos triángulos. f. Tracen un segmento de 8 cm y llámenlo . Marquen un punto M que esté entre A y B, a 2 cm de A. Marquen un punto N que esté entre A y B, a 2 cm de B. Tracen dos segmentos perpendiculares a

___ AB , de la misma

medida, Uno con extremo en M y otro con extremo en N.Llamen C y D a los otros extremos de los segmentos. Unan A con C, C con D y D con B.36. Es cierto. Por un lado, los cuatro lados miden lo mismo porque los triángulos EAH, FBE, GCF y HDG son iguales. Por otro, los ángulos son rectos porque si uno de los ángulos de los triángulos mide α, entonces el otro mide 90° – α, por lo tanto para completar los 180º del ángulo lla-no el ángulo del cuadrilátero tiene que medir 90º.37. Queda determinado un paralelogramo porque los triángulos son igua-les de a pares dados los ángulos opuestos del rombo miden lo mismo.38. Sí, porque cada diagonal determina con los lados del cuadrado un triángulo rectángulo isósceles.39. No, porque los triángulos que determina cada diagonal con los lados de un rectángulo cualquiera no son isósceles.40. Según como se coloquen los lados menores del triángulo, puede quedar formado un paralelogramo o un romboide.

41. a.

30° 30°

DC

A B8 cm

b. Pueden construirse infinitos trapecios.c. Habría que agregar, por ejemplo, la altura del trapecio.

Páginas 52 y 5342. a. Se construye un cuadrado de 4 cm.b. Se construye un paralelogramo de lados de 4 cm y 8 cm y ángulo de 45° entre esos lados.43. D C

BF9 cmEA

Es un trapecio isósceles.44.

3 cm

D

CA O

45. Hay que pedir que los dos segmentos construidos en el paso 2 sean perpendiculares al segmento

___ AB .

Páginas 54 y 5546. a. Tracen la diagonal del cuadrado y su mediatriz para obtener su punto medio que es el centro de la circunferencia. Midan su radio y tracen la circunferencia. Consideren un punto sobre ella y trasladen los lados del cuadrado con el compás. Unan sus vértices. Con el compás midan los lados de los triángulos.b. Copien el cuadrado exterior realizando una contrucción como en 2. c. Tracen las mediatrices de sus lados y unan los puntos medios de los seg-mentos. Con centro en el punto de intersección de las mediatrices y radio igual a la mitad del lado del cuadrado exterior tracen una circunferencia.47. a. Un triángulo rectángulo. b. Sí, siempre es un triángulo rectángulo, porque al trazar el diámetro que contiene al punto, quedan dos diámetros y, al unir los cuatro pun-tos queda determinado un rectángulo, cuyos ángulos son rectos.48. La circunferencia que pasa por todos los vértices de una figura tiene su centro en el punto de intersección de las mediatrices de los lados. Se puede trazar en todos los triángulos y en el rectángulo, pero

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52. b. i. Se traza el arco de circunferencia de centro A y radio 5 cm.

AE

B

D

C

ii. Se traza la mediatriz del lado ___

AB .

A

B

D

C

iii. Hay que trazar la bisectriz del ángulo B.

A

B

D

C

53. b. i. Se traza el arco de circunferencia de centro A y radio 5 cm.D

A

C

B

ii. Se traza la mediatriz del lado ___

AB .D

A

C

B

iii. Hay que trazar la bisectriz del ángulo B.

D

A

C

B

no en las otras figuras, porque solo en los triángulos y rectángulos las mediatrices de todos los lados se cortan en un único punto. 49. Sí, porque las diagonales del rectángulo miden lo mismo y se cor-tan en su punto medio, al igual que los diámetros de la circunferencia.

Páginas 56 y 5750. N

M

A

P

Se puede construir una sola circunferencia. Para hallar el centro de la misma se trazan las mediatrices de los segmentos que unen dos de los puntos.51. a.

50°A

C

B

5 cm

9 cm

b. i. Se dibujó el arco de circunferencia de radio 5 cm y centro A.

50°

C D

A B

6 cm

9 cm

ii. Se dibujó la mediatriz del segmento .

50°

C D

A B

6 cm

9 cm

iii. Se traza la bisectriz del ángulo .

50°

C D

A B

6 cm

9 cm

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Páginas 59 y 60 integrar lo aprendido1. Hay infinitos rombos. Basta elegir un C distinto sobre la circunferen-cia verde.

BA

C D

6 cm

6 cm

6 cm

6 cm

2. No es posible, si tiene las diagonale perpendiculares es un rombo.3. Se puede construir un solo paralelogramo.

50° 130°

A B

CD

10 cm

8 cm

4. No se puede construir este paralelogramo porque los lados con la diagonal comprendida tienen que formar un triángulo, y los segmentos propuestos no cumplen la propiedad triangular, es decir que cada lado debe ser menor a la suma d elos otros dos y mayor a su diferencia.5. Es similar al 23. a..6. a. Sí, es posible. La construcción es similar a la del problema 35.c. de la página 50.b. Dos ángulos miden 50° y los otros dos 130°.7. Sí, es posible. La construcción es similar a la del problema 35.b. 8. Con la información disponible no es posible calcular la amplitud de los ángulos.9. A^BC = C^DA = 110°, B^CD = D^AB = 70°.10. a. Forman un rombo porque quedan determinados cuatro trián-gulos rectángulos iguales, el lado interior de cada triángulo es lado del rombo.b. Un rectángulo. Tiene sus lados opuestos iguales porque quedan determinados dos pares de triángulos iguales ya que los lados y los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo. Además sus ángulos son rectos, esto se deduce de que: los ángulos consecutivos de un rombo suman 180º porque es paralelogramo, los triángulos que se forman son isósceles porque los rombos tienen lados iguales, la suma de los ángulos interiores de u triángulo es 180º.

c. Un paralelogramo. Se forman dos pares de triángulos opuestos iguales ya que los lados y ángulos opuestos del paralelogramo son iguales. Entonces sus ángulos opuestos, que son los ángulos de los triángu-los, son iguales. 11. 1.Trazar las diagonales de los cuadriláteros involucrados.2. Con regla no graduada y compás, copiar los triángulos que quedan marcados. Ver como se hizo en el capítulo 2.12. Para el cuadrado es posible porque las mediatrices de los lados se cortan en un punto, como esto no sucede en el trapecio, no es posible. 13. a. Construcciónb. Quedó formado un rombo de lados de 4 cm y un ángulo de 45°.14. a.

1. Trazar un segmento de 7 cm. Llamar A y D a los extremos.2. Trazar un ángulo de 90° con vértice en A y uno de sus lados

___ AD .

3. Trazar un ángulo de 90° con vértice en D y uno de sus lados, ___

DA .4. Trazar circunferencias de 5 cm de radio. Una con centro en A y otra con centro en D.5. Llamar B y C a los puntos donde las circunferencias intersecan a los otros lados de los ángulos.

b. 1. Trazar un segmento de 4 cm. Llamar A y C a los extremos.2. Trazar la mediatriz del segmento.3. Llamar O a la intersección entre la mediatriz y el segmento.4. Trazar la circunferencia con centro en O y radio 2 cm.5. Llamar B y D a los puntos donde la circunferencia interseca a la mediatriz.6. ABCD es el cuadrado buscado.

c. 1. Trazar un segmento de 7 cm. Llamar A y B a sus extremos.2. Trazar una circunferencia con centro en A y radio 5 cm.3. Trazar un ángulo de 43° que tenga vértice en A y que BFsea uno de sus lados.4. Llamar C al punto donde la circunferencia corta al otro lado del ángulo.5. Trazar la circunferencia con centro C y radio

___ AB . Trazar la

circunferencia con centro B y radio ___

AC . Llamar D al punto donde se intersecan las circunferencias.

15. 1.Trazar un segmento de 6 cm. Llamar A y C a sus extremos.2. Trazar la mediatriz del segmento. Llamar O al punto de intersección del segmento con su mediatriz.3. Trazar la circunferencia con centro O y 2,5 cm de radio.4. Llamar B y D a los puntos de intersección de la circunferencia con la mediatriz.5. ABCD es la figura pedida.

16. a. Producción personal.b. Si, son correctas.c. Infinitos. Uno por cada diámetro distinto a

___ AC que se puede elegir

en el paso 5. 17. 3. Trazar una perpendicular a

___ AB que pase por el punto medio de

___ AB .

4. Llamar C y D a los puntos de intersección de la recta con la circunferencia. Unir A con C, C con B, B con D y D con A.

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cubrirse cómo mínimo con 3 triángulos.b. Un polígono de n lados puede cubrirse con n − 2 triángulos que no se superponen.20. a. 8 lados.b. 6 lados.c. 5 lados.d. 7 lados.

Páginas 68 y 6921. a. Construcciónb. Sí, porque en el centro de la figura formada quedan 6 ángulos de 60°, es decir 360°, un giro completo.c. Sí, porque los triángulos son equiláteros.d. Un hexágono regular.e. 120º cada uno.f. Producción personal.22. a. 1. Trazar una circunferencia de 2 cm de radio. Marcar en ella un radio. Lla-mar O al centro y A al punto donde el radio corta a la circunferencia.

2. Trazar una circunferencia con centro en A y 2 cm de radio. Llamar B y F a los puntos donde se intersecan las circunferencias.3. Trazar una circunferencia de centro B y radio 2 cm. Llamar C al punto que no es A, donde la circunferencia corta a la de centro O. 4. Trazar una circunferencia de centro C y radio 2 cm. Llamar D al punto que no es B, donde la circunferencia corta a la de centro O.5. Trazar una circunferencia de centro D y radio 2 cm. Llamar E al punto que no es C, donde la circunferencia corta a la de centro O.6. Unir A con B, B con C, C con D, D con E, E con F y F con A.

b. 1. Trazar una circunferencia con centro O y 2 cm de radio. Marcar un radio y llamar A al otro extremo del mismo.

2. Trazar un ángulo con vértice O, lado ___

OA , de 22,5°. Llamar B al punto donde el otro lado corta a la circunferencia.2. Trazar un ángulo con vértice O, lado

___ OB , de 22,5°. Llamar C al

punto donde el otro lado corta a la circunferencia.3. Trazar un ángulo con vértice O, lado

___ OC , de 22,5°. Llamar D al

punto donde el otro lado corta a la circunferencia.4. Trazar un ángulo con vértice O, lado

___ OD , de 22,5°. Llamar E al

punto donde el otro lado corta a la circunferencia.5. Trazar un ángulo con vértice O, lado

___ OE , de 22,5°. Llamar F al

punto donde el otro lado corta a la circunferencia.6. Trazar un ángulo con vértice O, lado

___ OF , de 22,5°. Llamar G al

punto donde el otro lado corta a la circunferencia.7. Trazar un ángulo con vértice O, lado

___ OG , de 22,5°. Llamar H al

punto donde el otro lado corta a la circunferencia.8. ABCDEFGH es el octógono pedido.

23. Producción personal.

Páginas 70 y 71 24. Sí, las dos formas son correctas. Julieta dividió el pentágono en 5 triángulos que no se superponen desde un punto interior, en cambio Micaela lo dividió en 4 desde un vértice.25. Hay que dividir el polígono en diferentes triángulos que no se superpongan, multiplicar la cantidad de triángulos por 180° y restar los ángulos que no son ángulos del polígono.26. a. 108°b. 120°, porque la suma de los ángulos interiores de cualquier hexá-gono es 720° y si éste es regular, como todos sus ángulos son iguales, entonces cada uno mide 720°: 6 = 120°.27. El polígono tiene 11 lados. Como 1.620 = 180 × 9, entonces 9 es dos menos que la cantidad de lados.28. Sí, es cierto, porque la suma de los ángulos interiores de un polí-gono siempre es múltiplo de 180 y 11.355 no lo es.

Capítulo 4: Los polígonos

Página 611. a. Paralelogramo, rectángulo, cuadrado o rombo. Para que sea una sola, hay que analizar la medida de los ángulos y la cantidad de lados de iguales.b. Trapecio.c. Cuadrado o rombo. Para que sea una sola hay que analizar la medida de los ángulos.d. Pentágono regular.2. Producción personal.

Páginas 62 y 633. Son polígonos las figuras b., c. y e..4. En las figuras b., e. y f.5. a. y c. no se pueden completar para que cumplan lo pedido.

6. Todos.

Páginas 64 y 657. b., d. y e..8. Si, todos los triángulos que quedan determinados por una diagonal y dos lados del polígono regular. 9. No hay. Porque los ángulos tienen que ser iguales y agudos. 10. Producción personal. Tiene 2 diagonales. 11. Producción personal. Tiene 9 diagonales. 12. Producción personal. Tiene 14 diagonales. 13. a. Producción personal. b. Sea n la cantidad de lados del polígono, la cantidad de diagonales es: n (n –1) _______ 2 – n.

Páginas 66 y 6714.

15. Ezequiel.16. Producción personal. 17. Se pueden trazar todas las diagonales desde un vértice o elegir un punto interior y trazar todos los segmentos que van desde ese punto a los vértices del polígono. 18. a. Hay varias maneras de hacerlo. Por ejemplo:i. ii. iii.

b. i. Tiene 20 diagonales. ii. Tiene 9 diagonales. iii. Tiene 14 diagonales.19. a. Un hexágono puede cubrirse, cómo mínimo con 4 triángulos trazando todas las diagonales desde un vértice. Un pentágono puede

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SOLUCIONARIO

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29. 20 lados.30. a. y c., porque la suma de los ángulo interiores siempre es múltiplo de 180.31. a. 12 lados.b. 1.800°c. 54 diagonales.

Páginas 72 y 73 32. 87°33. 360°. Como la suma de los cinco ángulos es 540°, y cada exterior es la diferencia entre 180° y el ángulo interior, la suma de ellos es 5 × 180° – 540° = 360°.34. Si los ángulos interiores son ^A, ^B, ^C, ^D, ^E, ^F, ^G y ^H, los ángulos exterio-res miden 180° − ^A, 180° − ^B, 180° − ^C, 180° − ^D, 180° − ^E, 180° − ^F, 180° − ^G y 180° − ^H.180° − ^A + 180° − ^B + 180° − ^C + 180° − ^D + 180° − ^E + 180° − ^F + 180° − ^G + 180° − ^H = = 1.040° − (^A + ^B + ^C + ^D + ^E + ^F + ^G + ^H) = 1.040° − 1.080° = 360°.35. Sí, es cierto, porque quedará: 180° × número de lados − suma de los ángulos interiores = 180° × n − 180° × (n − 2) = 180° × n − 180° × n + 360° = 360°.36. a. 72° b. 45° c. 60°37. 360° 38. 20 lados. 39. a. 180°b. Infinitas. Puede sumarse cualquier múltiplo de 180°.

Páginas 74 y 7540. a. ^B = 270° b. ^A = ^H = 178° c. ^A = 135,3°41. 116° 42. O

^ED = 68° 43. E

^CB = 123°

44. B^AD = A

^BC = H

^IJ = H

^FJ = 45°, G

^AE = A

^GF = E

^FG = A

^EF = 90°,

H^LK = H

^I K = 108°, F

^HI = B

^CD = 135°, L

^HI = 72°.

Páginas 76 y 77 45. Solo sirven los polígonos regulares cuyos ángulos interiores son divisores de 360°. Es decir: a. y c.46. Puede combinar a. con b. y c. con d.47. Deberían tener medidas que fueran divisores de 360°.48. a. Falso porque los ángulos interiores no son divisores de 360º.b. Falso. No se puede cubrir con dodecágonos regulares porque cada ángulo interior mide 150º que no es múltiplo de 360º.c. Verdadero. Se puede cubrir el plano con hexágonos regulares por-que cada ángulo interior mide 120º que es múltiplo de 360º.d. Verdadera porque no se sabe qué ángulos tiene.e. Falsa. Los pentágonos regulares tienen ángulos de 108º y los trián-gulos equiláteros 60º, su suma no puede ser 360º.

Páginas 79 y 80 integrar lo aprendido

1. Cóncavos: a., b., d., f. y h.. Convexos: c., e. y g..

2.

Figura Cantidad de ladosCantidad mínima de trián-

gulos que lo cubren sin superponerse

Triángulo 3 1

Cuadrado 4 2

Pentágono 5 3

Hexágono 6 4

Heptágono 7 5

Polígono de n lados n n − 2

3.

Polígono Suma de los ángulos interiores

Triángulo 180°

Cuadrilátero 360°

Pentágono 540°

Hexágono 720°

Heptágono 900°

Octógono 1.080°

Polígono de n lados 180° × (n − 2)

4.

Polígono regular Amplitud de cada ángulo interior ¿Cubre el plano?

Triángulo equilátero 60° Sí

Cuadrado 90° Sí

Pentágono 108° No

Hexágono 120° Sí

Heptágono 128,57° No

Octógono 135° No

5. Si es cierto porque se agrega un triángulo para cubrirlo.

6.

7. Tiene cuatro ángulos exteriores que miden 20° y dos que miden 140°.

8. a. Tiene 12 diagonales por vértice, porque de 15 hay 12 vértices para unir con el vértice elegido, no se pueden trazar diagonales con ninguno de los vértices adyacentes a éste.b. 17 lados.

Polígono regular Amplitud de cada ángulo interior ¿Cubre el plano?

Triángulo equilátero 60° Sí

Cuadrado 90° Sí

Pentágono 108° No

Hexágono 120° Sí

Heptágono 128,57° No

Octógono 135° No

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GEOMETRÍA 1

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9. a. 36.b. 58, porque se trazan todas las diagonales desde un vértice, y que-dan formados dos triángulos menos que la cantidad de vértices.

10. ^A = 62,5°, ^E = 125°.

11. 152,31°. Por que tiene 13 lados y la suma de los ángulos interiores es 1.980°.

12. a. y b., porque son múltiplos de 180.13.

Polígono regular Amplitud de cada ángulo interior

Amplitud delángulo central

Triángulo equilátero 60° 120°

Cuadrado 90° 90°

Pentágono 108° 72°

Hexágono 120° 60°

Heptágono 128,57° 51,43°

Polígono de n lados 180° × (n − 2): n 360°: n

16. a. Convexo.b. Consideren los triángulos rojos. La suma de los ángulos interiores de cada uno es 180°. Los dos ángulos que no tienen vértice en la cir-cunferencia son ángulos exteriores del polígono azul. Si se suman los ángulos interiores de los 5 triángulos queda:^A + ^B + ^C + ^D + ^E – 2 × (suma de los ángulos exteriores del pentágono azul) = 5 × 180°^A + ^B + ^C + ^D + ^E – 2 × 360° = 5 × 180°, entonces: ^A + ^B + ^C + ^D + ^E = 1.620°.Esta suma no cambia si se ponen los puntos en otro lado de la circunfe-rencia porque la suma de los ángulos interiores del pentágono interior seguirá siendo 360°.