AITTURO AGUILAR MÁRQUEZ
HERNIAN AuREuo GALLEGOS Ru1z
M IGUEL CERÓN VLLEGAS
REVISIÓN TÉCNICA
Ing. Carlos Lozano Sousa (M.Sc.) lng. Agustín Vázquez Sánchez (M. en C.)
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México
Prentice Hall
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/ Datos de catnlogación bibliográfica
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607 ·442-350· l
Tocios los derechos reservados
Editor de desarrollo: Alejandro Gómez Ruiz Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villa1obos
PRIMERA EDICIÓN, 2009
D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C. V. Atlacomulco 500-5° Piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Estado ele México
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ISBN: 97&-607-442-350-1
PEARSON -- Impreso en México. Printed in Mexico.
1234567 890-12111009
ING. A RTURO SANTANA PINEDA
El poder de las matemáticas
El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza y por ende
actúa con lógica en la vida cotidiana, por lo tanto, domina al mundo.
ING. ARTURO SANTANA PINEDA
Prefacio
El Colegio Nacional de Matemáticas es una institución que, desde su fundación, ha impartido cursos de regularización en las áreas de Matemáticas, Física y Química, con resultados altamente satisfactorios. Es por ello que su fundador y director general, el Ingeniero Arturo Santana Pineda,
decidió plasmar y compartir la experiencia adquirida en este libro que recopila lo aprendido en todos estos años y cuyo principio fundamental es que la persona que aprende matemáticas, piensa, razona, analiza y por tanto actúa con lógica.
A través de esta institución y sus docentes, se ha logrado no sólo resolver el problema de reprobación oon el que llega el estudiante sino, también, cambiar su apreciación sobre la materia, de tal forma, que se va oonvencido de que es racil aprender matemáticas y que puede incluso dedicarse a ellas. De ahí que jóvenes que han llegado con serios problemas en el área, una vez que descubren su potencial han decidido estudiar alguna carrera afín.
De esta forma, se decide unir a los docentes con mayor experiencia y trayectoria dentro de la institución para que conjuntamente escriban un libro que lejos de presunciones formales, muestre la parte práctica que requiere un estudiante al aprender matemáticas y que le sirva de refuerzo para los conocimientos adquiridos en el aula.
Enfoque
El libro tiene un enfoque 100% práctico, por lo que la teoria que se trata es lo más básica posible, sólo se abordan los oonceptos básicos para que el estudiante comprenda y se ejercite en la aplicación de la teoria analizada en el aula, en su libro de texto y con su profesor.
De esta manera, se pone mayor énfasis en los ejemplos, en donde el estudiante tendrá la referencia para resolver los ejercicios que vienen al final de cada tema y poder así reafirmar lo aprendido. Estamos oonvencidos de que es una materia en la cual el razonamiento es fundamental para su aprendizaje, sin embargo, la práctica puede lograr que este razonamiento se dé más rápido y sin tanta dificultad.
Estructura
El libro está formado por 1 7 capítulos, los cuales llevan un orden especifico tomando en cuenta siempre que el estudio de las matemáticas se va construyendo, es decir, cada capítulo siempre va ligado con los conocimientos adquiridos en los anteriores.
Cada capítulo está estructurado a base de teoría, ejemplos y ejercicios propuestos. Los ejemplos son desarrollados paso a paso, de tal forma que el lector pueda entender el procedimiento y posteriormente resolver los ejercicios correspondientes. Las respuestas a los ejercicios se encuentran al final del libro, de tal forma que el estudiante puede verificar si los resolvió correctamente y comprobar su aprendizaje. Por otro lado, en algunos capítulos aparece una sección de problemas de aplicación, la cual tiene como objetivo hacer una vinculación con casos de la vida cotidiana en donde se pueden aplicar los conocimientos adquiridos en cada tema.
Como recomendación se propone que se resuelvan los ejercicios preliminares de aritmética y álgebra que se encuentran al final del libro, para que el lector haga un diagnóstico de sus conocimientos en dichas áreas los cuales son fundamentales para poder iniciar el aprendizaje de la Geometria y la Trigonometria. De tener
VII
GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA
algún problema con dichos ejercicios se recomienda retomar los temas correspondientes y consultarlos en el libro de aritmética y álgebra publicado por la misma editorial.
En el primer capítulo se dan las definiciones básicas de Geometrla y algunas notaciones que se utilizarán en el desarrollo de los siguientes temas como son: recta, segmento de recta, arco, entre otros. En el segundo capítulo, se estudian los ángulos y sus generalidades.
El tercer capítulo estudia las rectas paralelas y perpendiculares, así como las rectas paralelas cortadas por una secante. En el capítulo cuatro, se estudian los triángulos y sus generalidades. Se continúa en el siguiente apartado con cuadriláteros, mientras que en el capítulo seis, se analizan los polígonos en forma general (ángulos interiores y exteriores, diagonales, etc.). El capítulo siete corresponde a transformaciones (escala, rotación, simetrla axial, simetrla central}.
la circunferencia, sus elementos, rectas notables y otras generalidades de ésta, se estudian en el capítulo ocho. En los capítulos nueve y 1 O se estudia el perimetro y área de figuras geométricas en el primero y volumen en el segundo.
En los capítulos 11 y 12 se comienza con el estudio de la Trigonometrla. Se dan los conceptos de funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo y valores para distintos ángulos, para estos capítulos se agregan las tablas de funciones trigonométricas que encontrará en la parte final del libro. En el capítulo 13 se analizan las gráficas de dichas funciones. Las distintas identidades trigonométricas se contemplan en ei capítulo 14.
En los dos capítulos siguientes, se estudia la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, respectivamente. La parte de Trigonometría termina en el capítulo 17 el cual corresponde a la forma trigonométrica de los números complejos.
VIII
Agradecimientos
Según Benjamín Franklin, invertir en conocimientos produce siempre los mejores intereses, por lo que espero que obtengas, a través de este libro, las más grandes ganancias para tu futuro profesional.
ARTURO SANTANA PINEDA
IJrREcroRGENERALDECONAMAT
A mi madre por darme la vida y enseñarme a vivirla, Andrey por ser y estar conmigo, Cherna e Hiram los alumnos que se volvieron mis hermanos, a mi fiunilia (Echevenia, Pineda y Sánchez), a la UNAM, al ingeniero Santana, Rox llegaste a tiempo, a los cuatro fantásticos: Herman, Fabián, Ricardo y Miguel, fue un placer compartir este trabajo. A mis alumnos que fueron y serán.
ARTURO AGUILAR MÁRQllEZ
A mis padres Maria Elena y Álvaro, por brindarme la vida, por sus enseñanzas y consejos; a mi esposa e hijos (Ana, Liam y Daniel), porque son la razón de mi vida y mi inspiración; a mis hermanos Belem, Adalid y Tania por apoyarme incondicionalmente y sobre todo a mis compañeros y amigos: Ricardo, Miguel, Arturo yHerman.
F ABIÁN V ALAPAI BRAVO V ÁZQllEZ
Una vez mi padre me dijo que "un hombre triunrador no es el que acumula riquezas o títulos, sino es aquel que se gana el cariño, admiración y respeto de sus semejantes", agradezco y dedico esta obra a la memoria de mi padre el Sr. Herman Gallegos Bartolo que me dio la vida y que por azares del destino ya no se encuentra con nosotros. A Eli y José Fernando que son el motor de mi vida.
HERMAN A. GALLEGOS RIJIZ
A toda mi ramilia muy en especial a Lupita y Agustín, por haberme dado la vida y ser un ejemplo a seguir; a mis hermanos Elizabeth y Hugo por quererme y soportarme. Quiero además, reconocer el esfuerzo de mis amigos y compañeros Arturo, Fabián, Herman y Ricardo con quien tuve la oportunidad de ver cristalizado este sueño.
MIGUEL CERóN Vil.LEGAS
A mis padres Rosa y Gerardo, por darme la vida; a mis hermanos Javier, Gerardo y Arturo; un especial agradecimiento a mi esposa Ma. Mercedes; a mis hijos Ricardo y Allan por su sacrificio, comprensión y tolerancia; un reconocimiento a mis amigos Herman, Arturo A., Fabián, Miguel, Roxana y Arturo S. por hacer realidad nuestro sueño.
RICARDO REYES FiGllEROA
Un agradecimiento especial a los alumnos que tomaron clase con alguno de nosotros, ya que gracias a ellos logramos adquirir la experiencia para poder escribir este libro.
Los AUTORES
Acerca de los autores
Arturo Aguilar Márquez. Llegó romo estudiante al Colegio Nacional de Matemáticas, desarrolló habilidades y aptitudes que le permitieron incorporarse a la plantilla de docentes de la Institución. Realizó estudios de Actuaria en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México y ha impartido clases de Matemáticas por más de 11 años en CONAMAT.
FabiánValapaiBravoVázquez. Desdemuytempranaedad,conlapreparacióndeprofesoresdeCONAMAT, participó en concursos de matemáticas a nivel nacional. Posteriormente, se incorporó a la plantilla docente de la misma institución donde ha impartido la materia de Matemáticas durante 12 años. Al mismo tiempo, estudió la carrera de Diseño Gráfioo en la Escuela Nacional de Artes Plásticas.
Herman Aurelio Gallegos Ruiz. Se inició como profesor en CONAMAT. Realizó estudios en la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional y Actuaria en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha impartido clases de Matemáticas y Física por más de 15 años en el Colegio Nacional de Matemáticas.
Miguel Cerón Vtllegll$. Es egresado de la Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas del Instituto Politécnico Nacional, realizó estudios de Ingeniería Industrial y tiene más de 15 años de experiencia en docencia.
Ricanfo Reyes Figueroa. Inició su trayectoria en la disciplina de las Matemáticas tomando cursos en CONAMAT. Dejando ver su gran capacidad para transmitir el conocimiento, se incorpora como docente en la misma institución donde ha impartido las materias de Matemáticas y Fisica durante 19 años. Realizó sus estudios de Matemáticas en la Escuela Superior de Fisica y Matemáticas del Instituto Politécnico Nacional, y de Matemáticas Puras en la Universidad Autónoma Metropolitana.
XI
CAP1TuLO 1 C.Onceptos básicos Conceptos básicos 4.
CAP1TuLO 2 Ángulos Cefinición, 8. fvl.edidas, 8 . Sistema sexogesimol, 8. Sistema cíclico o circular, 10. Conversión de grodas o rodiones yde rodiones o grodos, JO. Operociones, 12. Closifiooción de ocuerdo con su medido, 14. Convexos, 14. Llono o de lodos colineoles, 15. Cóncovo o enfronte, 15. Perigonol o de vuelto entero, 15. Complementarios, 15. Suplementarios, 15. Conjugados, 16.
ÚPlTuLO 3 Rectas perpendiculares y paralelas Perpendiculoridod, 22. Porolelismo, 22. Ángulos opuestos por el vértice, 23. Ángulos oontiguos, 23. Ángulos odyocentes, 23. Rectos porolelos oortodas por uno recto seoonte, 23.
CAPITULO 4 Triángulos Cefinición, 30. Closifiooción de los triángulos, 30. Por sus lodos, 30. Por sus ángulos, 30. Rectos y puntos notobles, 31. Teoremos, 32. Triángulos oongruentes, 37. Teoremas de congruencia, 37. Proporciones, 44. Teoremas de proporciones, 45. Semejonzo, 46. Propiedades fundomentoles, 46. Teoremas de semejonzo, 47. Teorema de Toles, 49. eoremo de Pitógoras, 54. Noturolezo del triángulo o porlir del teorema de Pitágoros, 56. Teoremas de semejonzo en triángulos rectángulos, 57.
CAPITULO 5 Cuadriláteros Cefinición, 62. Closifiooción, 62. eoremo, 63. Propiedodes de los porolelogromos, 63. Demostraciones, 65. Porolelogromos especiales, 66. Propiedades de los trapecios, 68. Propiedades de los trapecios i5ósceles, 68.
CAP1TuLO 6 Polígonos Cefinición, 72. Clasifiooción, 72. Por sus lodos, 72. Por sus ángulos, 72. Sementas, 73. Número de diogonoles, 73. NJmero de diogonoles trozados desde un mismo vérlice, 73. Número de diagonales l::>loles, 73. Ángulos de un polígono, 75.
ÚPlTuLO 7 Transformaciones Escalo, 82. Figuras o escolo, 82. Tronsformociones de figuros en el pleno, 84. Trosloción, 84. Roloción, 87. Simetría axiol, 91. Simetrío central, 96.
XIII
GfoNEIRÍA Y IRGONOVEIRÍA
CAPITULO 8 Grcunferencia y circulo Circunferencia, 102. Recios notables, 102. Porciones de un círculo, 102. Circunferencia y polígonos, 103. Ángulos notables, 103. 7eoremos, 107. Tangente o uno circunferencia, 112. longitud de uno tangente, 112. Propiedades de los tangentes, 112. Posiciones re lativos, 113.
CAPITULO 9 Perímetros y superficies l:efiniciones, 118. Perímetro y área de uno figura plano, 118. Fióngubs, 118. Coodril:reros, 119. Po#gonos ¡egubres, 121 . Orcooferencio yóro.ib, 122. Sector ysegmenb drcubr, 122. heo de figuras combinados, 125.
CAPITULO 10 Cuerpos geométricos, áreas y volúme nes Ángulo diedro, 132. Oosificoción, 132. Ángulo triedro, 132. Oosificoción, 133. Áng ulo poliedro, 134. Oosificoción, 134. Poliedro, 135. Bemenfos, 135. Clasificación, 135. Poliedros regulares, 136. Clasificación, 136. Desarrollo, 137. Áreo y volumen de un poliedro regular, 137. Prisma, 140 . Clasificación, 140. Área y volumen, 142. Pirámides, 144. Área y volumen, 145. Cuerpos con superficies no planos, 147. Cilindro circular, 148. Cono circular, 148. Esfera, 151. Figuras esféricos y zonas esféricos, 151. Área de figuras esféricos y volumen de cuerpos esféricos, 152.
CAPITULO 11 Funciones trigonométricas Funciones trigonométricos, 158. Definiciones, 158. Cofunciones, 159. Rango numérico, 160. Valor, 160. Signos de los funciones trigonométricos en el plano corlesiono, 162. Tablo de signos, 162. Funciones trigonométricos poro ángulos mayores que 90º, 164. Funciones trigonométricos de ángulos negativos, 166. \blores numéricos de los funciones trigonométricos circula res, 167.
CAPITULO 12 Funciones trigonométricas para ángulos notables \blor de los funciones trigonométricos de los ángulos de Oº, 90º, 180º, 270º y 360º, 172. Valor de los
funciones trigonométricos de los ángulos de 30º, 45º y 60º, 173. Aplicación de los valores trigonométricos ck los ángulos notables, 17 5.
CAPITULO 13 Representación gráfica de las funciones trigonométricas G ráficos de los funciones trigonométricos, 180. Gráfico de y= sen x, 180. Gráfico de y = cos x, 181. GráFico de y= fon x, 181 . Gráfico de y= dg x, 182. GráFico de y= sec x, 182. GráFico de y= ese x, 183. Resumen, 183. Amplitud, periodo y desplozomienfo de fose, 184. Gráficos de y = sen-1 x, y = cos-1 x, y= fon-1 x, 187.
CAPITULO 14 Identidades y ecuaciones trigonométricas Identidades trigonométricos, 192. Obtención de los identidades trigonométricos básicos, 192. l:emostrocián
de identidades trigonométricos, 193. O btención de los identidades trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de
ángulos, 198. Valor de uno función trigonométrico poro lo sumo y lo diferencio de ángulos, 200. Aplicación de los funciones trigonométricos de lo sumo y lo diferencio de ángulos, 20 l. Funciones trigonométricos del
ángulo doble, 205. Seno del ángulo doble sen (2a}. 205. Coseno del ángulo doble cos (2a}. 205. Tangente ckl ángulo doble fon (2a). 206. Funciones trigonométricos de lo mitad de un ángulo, 207. Seno de lo
mitad de un ángulo: sen(~} 207. Coseno de lo mitad de un ángulo: cos( ~} 207. Tangente de lo mitad
de un ángulo: fon(~)· 207. Identidades trigonométricos poro transformar un producto en sumo o resto, 212.
Demostración de identidades, 214. Identidades poro transfo rmar sumos o restos de funciones trigonométricos en un producto, 216 . l:emosfroción de identidades, 219. Ecuaciones trigonométricos, 220.
XIV
CAPITuLO 16 Triángulos oblicuángulos
Contenido
Solución de triángulos oblicuángulos, 236. ley de senos, 236. ley de cosenos, 238. ley de tangentes, 240.
ÚPÍlULO 17 Forma trigonométrica de los números complejos
Formo trigonométrico o polar, 250. Operaciones fundamentales, 251.
Solución o los ejercicios, 257
Anexo: Ejercicios preliminares, 285
XV
' , I
Los seis libYOs primeYOs de la geometrla de Euclides
mo de los matemáticos que se ocupo de los propiedades del es·
ocio. En su formo más elemen· tal, lo geometría se ocupo de problemas métricos como el cálculo del área y dió· metro de figuras pionas y de lo superfi· de y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de lo geometría son lo geome­ tría analítico, geometría descriptivo, to­ pología, geometría de espacios con 4 o más dimensiones, geometría fractal y geometría no euclídeo.
Geometria plana
Romo de lo geometría elemental que es· ludio los propiedades de superficies y figuras planos, como el triángulo o el círculo. Esto porte de lo geometría también se conoce como geometría euclídeo, en honor a l matemático griego Euclides, el primero en estudiarlo en el siglo IV o .C. Su extenso trotado Los seis libros primeros de lo geome­ tría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta lo aparición de los llamados geometrías no Euclídeos en el siglo XIX.
1 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Conceptos básicos
Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos conceptos básicos:
Geometría. Rama ele las matemáticas que estudia las propiedades, las formas y las dimensiones ele figuras y
cuerpos geométricos.
Punto. Según Euclides: "Punto es lo que no tiene partes", para evitar confusiones al dar una definición más compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un lápiz sobre el papel, tan pequeña que carece ele dimensión.
linea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma:
A B
RectaAB
Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden se le llama semirrecta.
e
Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes .
• • A e D
D Semirrecta CD
Arco. Porción ele curva limitada por 2 puntos no coincidentes.
A Áii B
Figura geométrica. Extensión limitada por puntos, lfnea¡ y superficies.
o Cuerpo sólido. Fs todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y altura.
Proposición. Enunciado que nos propone algo y que por tanto se puede calificar como falso o verdadero.
CAPÍTULO 1 Conceptos b6sioos
Ejemplos
Dos puntos diferentes determinan una recta y sólo una. Sobre cualquier recta hay al menos 2 puntos diferentes.
Postulado. Proposición cuya verdad aunque no tenga la evidencia de un axioma se admite sin demostración.
Ejemplos
Dos rectas determinan un punto y sólo uno. Siempre es posible describir una circunferencia de centro y radio dado.
'Thorema. Proposición cuya verdad necesita demostración.
Ejemplos Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
La suma ele los ángulos interiores ele todo triángulo son 180°.
Corolario. Proposición que es consecuencia inmediata ele otra.
Ejemplo Del postulado de Euclides: "Por un punto exterior a una recta, pasa una sola paralela a dicha recta". Se obtiene el siguiente corolario: "Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre si".
Lema. Proposición que sirve para facilitar la demostración ele un teorema.
Ejemplos Toda linea poligonal convexa es menor que cualquier otra linea envolvente que tenga los mismos extremos.
Un ángulo no nulo y no llano divide al plano en 2 regiones, ele tal suerte que en una y sólo una de las regiones, 2 puntos cualesquiera siempre pueden unirse por un segmento que oo interseca ninguna de las 2 semirrectas que forman el ángulo.
5
LOfU.F.MINTOJ ,. '"'"n" ' "•••IO--::¡::C­._.;:- -=-· :¡.,;,_.::::E...:=-:;.,. ·~~ ·==-....:~ . r=.-....., ... - :~-=-· -·- -----::, ·-- .. Es un sistema de numeración posi·
cionol que empleo lo base sesenta . Tuvo su origen en lo antiguo Babi·
lonio.
Definiciones de ángulos del libro A diferencio de lo mayoría de los demás l.oselementosdeEuclides sistemas de numeración, e l sexogesimol
no se uso mucho en lo computación ge­ neral ni en lo lógico, pero sí en lo medición de ángulos y coordenados geométricos. Lo unidad estándar en sexogesimol es el grado. Uno circun· ferencio se d ivide en 360 grados. Los d ivisiones sucesivos del grado don lugar o los minutos de orco ( 1 / 60 de grado) y segundos de orco ( 1 / 60 de minuto).
-
Definición
Un ángulo es la abertura comprendida entre 2 semirrectas que tienen un punto en común, llamado vértice.
Fl ángulo se representa como LA, L BAC, a, o con letras del alfabeto griego. Si un ángulo se mide en sentido con­ trario al movimiento de la> manecilla> de un reloj, entonces es positivo, si se mide en el mismo sentido entonces será negativo.
Medidas
Los ángulos se miden en grados o radianes de acuerdo al sistema.
Sistema sexagesimal
Este sistema de medir ángulos es el que se emplea normalmente: la circunferencia se divide en 360 partes llamadas grados, el grado en 60 partes llamadas minutos y el minuto en 60 partes que reciben el nombre de segundos.
1º=60'; 1'=60"
Ejemplos
A continuación se dan 3 números en sistema sexagesimal: a) 45º b) 21° 36' e) 135º 28' 32"
Relación de conversión Es la relación que existe entre los grados, minutos y segundos de un ángulo expresado en sistema sexagesimal.
R>r3600
::::-- Entre60___.-/ ...____ Entre60 ~ -----Entre3 600 -------
O: acuerdo con la gráfica, se establecen la> siguientes condiciones de conversión:
e Para convertir de una unidad mayor a una menor se multiplica por 60 o 3 600, según sea el caso. e Para convertir de una unidad menor a una mayor se divide entre 60 o 3 600, según sea el caso.
8
EJEMPLOS,------------­ ~ 1 •••Convierte 19º 47' 23" a grados.
E Solución .L w Los minutos se dividen entre 60 y los segundos entre 3 600:
CAPÍTULO 2 Ángulos
19º 47' 23" = 19º + ( ~ J +( 3~00 J = 19º + 0.7833° + 0.0063° = 19.7896°
Por tanto, 19º 47' 23" equivalen a 19.7897º.
2 •••Convierte 32º 12' IS' a minutos.
Solución
Los grados se multiplican por 60 y los segundos se dividen entre 60:
32° 12' 15" =(32)(60)' + 12' +(~~)' = 1920' + 12' +0.25' = 1932.25'
Por consiguiente 32º 12' IS' equivalen a 1 932.25'.
3 •••Convierte 45.5638° a grados, minutos y segundos.
Solución la parte decimal de 45.5638° se multiplica por 60 para convertir a minutos:
45.5638° = 45° + (.5638)(60') = 45° 33.828'
la parte decimal de los minutos se multiplica por 60 para obtener los segundos:
45°33.828' = 45° 33' + (.828)(60") = 45° 33'49.68"
EJERCICIO 1 Convíerte los siguíentes ángulos a grados:
l. 40° 10' 15"
6. 98°22'45"
Convíerte los siguíentes ángulos a su equivalente en grados, mínutos y segundos:
7. 40.32° 9. 18.255° 11. 19.99º
8. 61.24° 10. 29.411° 12. 44.01°
t::) Verffi:a tus nsultados en la sección de soludone1 cOf'ftspondiente ••• •.•• ••••••••• •••.•
9
Sistema cíclico o circular
Este sistema utiliza como unidad fundamental al radián. El radián es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio del círculo. Se llama valor natural o valor circular de un ángulo.
~ Oº
Un radián (1 rad) equivale a 57.29º y rr radequivalen a 180°.
Conversión de grados a radianes y de radianes a grados
Sea S un ángulo en sistema sexagesimal (grados) y R en el sistema cíclico (radianes), entonces para convertir:
Se multiplíca el número de grados por el factor
1 ;. y se simplifca, esto es:
Se multiplíca el número de radianes por el factor
180º . I"' -- y se somp nea, esto es: 1!
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~ ..... ~ 1 • • •Convierte 150° a radianes.
E Solución .ll.
R:>r consiguiente, 150° es equivalente a ~ 1! rad.
• •Convierte a grados 21! rad. 4
Solución
180° Se multiplica por el factor -- y se simplifica al máximo, obteniendo:
1!
2 1!=2 1!(180º)= 7(180º)1! - 7(180º) =315º 4 4 1! 41! 4
Finalmente, 21! rad equivalen a 315°. 4
10
Solución
Se convierte a grados el ángulo:
12° 15' 36" = 12° + (!~ J +( 3:0 J = 12° + 0.25° + 0.01° = 12.26°
La conversión a grados se multiplica por el factor ~ y se simplifica a su mínima expresión: 180°
12.260(~) = 12.26ºit = 1226it = 613it rad 180° 180º 18 000 9 000
. 613it Por tanto, 12° 15' 36" eio eqwvalente a -- rad.
9000
4 • •· Exprei¡a un ángulo 6 que mide 3 radianes en grados, minutos y segundos.
Solución
( 180º) Para convertir de radiane$ a grados se multiplica por el factor n
( 180º ) 3 rad = 3 n = 171.8873°
La parte decimal se convierte en minutos,
171.8873°=171° + (0.8873)(60') = 171° 53.238'
El nuevo decimal se convierte en segundos, entonces:
171.8873° = 171o53' + (0.238)(60") = 171o53' 14.28"
EJERCICIO 2 • Transforma a radíanes los sigulenteS ángulos:
l. 210° 8. 330°
2. 300° 9. 120°
3. 225° 10. 135°
4. 450° 11. 45.23°
5. 72° 12. 128.30°
CAPÍTULO 2 Ángulos
e Verifica tus r .. ultados en la .. ccl6n da .00.clonu CO<ft_....nta a -----------== 11
2 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJ E~CICIO 3 Convierte a grados sexagesimales los siguientes ángulos:
l. 2
4. 4
7. 13
2. 11
3. 3
6. 1
12. 1.1201 rad
e Ylriflca tusr .. ultaclos en la -cl6n do soluc:lonH oon .. pondionte • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Operaciones
A continuación se presentan las operaciones básicas con ángulos: suma, resta, multiplicación y división.
~EMPLOS~~~~~~~~~~~~~--. .. ...2 1 • • •Ffectúa la suma ele los siguientes ángulos: 29º 38' 22"; 18° 47' 52" ; 36° 42' 37'' a. E
L!- Solución Se acomodan en forma vertical ele acuerdo a su orden:
l\!ro 111" = 1' 51"
y 128' = 2° 08'
36° 42' 37"
83° 127' 111"
83° 127' 111" = 83° 127' + 1' 51" = 83° 128' 51"
83° 128' 51" = 83° + 2° 08' 51" = 85° 08' 51"
R>r tanto, el resultado es: 85° 08' 51".
2 •••Realiza lo que se indica: Resta 24º 42' 18" de 138º 29' 17''
Solución Se acomodan en forma vertical:
138° 29' 17" - 24º 42' 18"
Dacio que 42' > 29' y 18'' > 17'', entonces 138° 29' 17'' se transforman en
Y se realiza la resta,
138° 29' 17'' = 137° 89' 17'' = 137° 88' 77''
137° 88' 77" - 24º 42' 18"
113º 46' 59"
Finalmente, se concluye que el resultado es 113° 46' 59".
12
Solución 73° 16' 32"
2 117° 464' 928"
FJ resultado que se obtiene se simplifica, al transformar los segundos a minutos:
2 117° 464' 928" = 2 117° 464' + 15' 28" = 2 117° 479' 28''
Y después minutos a grados:
2 117° 479' 28" =2 117° + 7° 59' 28" =2124° 59' 28"
Por tanto, el resultado es: 2 124° 59' 28".
4 • • · Encuentra la novena parte de 165° 48' 29".
Solución
Se dividen los grados entre 9:
FJ residuo se transforma a minutos y se suma con 48',
18°
228'
Ahora 228' se divide entre 9 y el residuo se transforma a segundos,
Finalmente, 209" se divide entre 9:
13
228' 29" 3' = 180"
228' 29" 3'=180"
EJERCICIO 4 . Efectúa las síguíentes operaciones:
l. 40° 30' 18" 8. 35° 28" + 15° 16' 32" X 25
2. 25º 30" 9. 25° 35' 25.4" + 15° 12' 45" X 15
3. 36° 42' 28" 10. 25º 13' 42'' + 10° 23' 40" X 9
2° 13' 25''
4. 180° 11. 261118° 23' - 120° 40' 15"
5. 213° 25' 13" 12. 8 1125° 30' 25" -105° 17' 25"
6. 90º 13. 12 1 40° 20' 16''
- 14° 15' 38''
7. 14°30' 15" 14. 141185° 34' 12" X 17
e Ylriflca tus .. sultadosen la-cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a-----------=--= Clasificación de acuerdo con su medida
La magnitud de un ángulo depende ele su abertura comprendida entre los lados y no de la longitud de éstos. De acuer­ do con su magnitud, se clasifican en:
Convexos
Son los que mielen más de Oº y menos de 180º, a su vez se clasifican en:
Agudo. Es aquel que miele más ele Oº y menos ele 90º.
Recto. Es aquel cuya magnitud es ele 90°.
14
Obtuso. F.s aquel que miele más ele 90º y menos ele 180º.
Uano o de lados colineales
Fs el que miele 180º.
Cóncavo o entrante
Fs aquel que miele más ele 180° y menos ele 360°.
Perigonal o de vuelta entera
Fs el que miele 360°.
Complementarios
Son aquellos cuya suma e> igual a un ángulo recto (90°).
Suplementarios
180°
La+ Lb =90º
Son aquellos cuya suma e> igual a dos ángulos rectos (180°).
La+Lb=180º
Conjugados
Son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos (360°).
La+ Lb=360º
Solución
Por definición, 2 ángulos son complementarios si suman 90º, entonces:
38° 40' + X = 90º
X = 51° 20'
Rlr consiguiente, el complemento de 38° 40' es 51° 20'.
2 • •· D:termina el ángulo que es el triple de su complemento.
Solución
pero 90º = 89° 60'
Sea x el complemento, entonces 3x es el ángulo, al aplicar la definición de ángulos complementarios:
Ángulo+ Complemento= 90º
R>r tanto, el ángulo es de 67.5º = 67º 30'.
3x+ x=90º
90º x=4 x= 22.5°
3 • • •Fncuentrael valor de los ángulos que se muestran en la siguiente figura:
Solución
Los ángulos L AOB, L BOC y L COD son suplementarios, entonces:
LAOB=x - 10°
fu: - 30° = 180°
L BOC = 3x = 3{35°) = 105°
L COD = 2x-20° = 2(35°)- 20° = 70° - 20° = 50°
4 ••· Determina el valor de los ángulos de la siguiente figura:
Solución
N
Q
1 1 1 LMON= 2x+20º, LNOP= ¡x + 10º y LPOQ= Jx +20º
Los ángulos L MON, LNOP y L POQ forman un ángulo llano, entonces:
1 1 1 - x+20º+ - x + 10º+ - x +20º=180° 2 4 3
Donde x = 120º, ¡x>r consiguiente,
LMON=80º,LNOP=40º y LPOQ=flJº
EJERCICIO 5 . lndíca sí los pares de ángulos síguíentes son complementarios, suplementarios o conjugados:
l. 37°y 143° 6. 34° 48' y 55°12'
2. 42ºy 48° 7. 22° y 158°
3. 135ºy225º 8. 10° y 80°
4. 21ºy 339° 9. 270° y 90º
5. 132° y228º 10. 179º y 1°
Efectúa lo síguíente:
11. Determina el complemento de 80°.
12. Encuentra el suplemento de 123°.
13. Encuentra el conjugado de 280°.
14. Si el complemento de un ángulo mes 2m, ¿cuál es el valor del ángulo?
15. ¿Cuál es el ángulo cuyo complemento es 4 veces mayor que él?
16. Si el suplemento de un ángulo es 8 veces el ángulo, ¿cuánto vale éste?
17. Un ángulo y su complemento están en la razón 2:3. ¿Cuál es la medida del ángulo?
17
18. ¿Qué ángulo es igual al doble ele su suplemento?
19. Determina el valor ele los ángulos que se muestran en las siguientes figuras:
a) e b)
e
e Vlrlfk• tus nsultaclos •n 1.e Mec16n de soluciones cornisponclent• . ----------~=~
18
------------------ PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Los ángulos se encuentran en tocio aquello que tenga intersecciones de líneas, bordes, planos, etcétera. La esquina de una cuadra, el cruce de los cables de luz, al abrir un libro, la esquina de un cuarto, la abertura formada por las mane­ cillas de un reloj, la unión de una viga y una columna, son algunos ejemplos de ángulos, 6>tos tienen aplicación en la aviación, la navegación, la topograffa y la trigonometría, entre otros.
e Ángulo vertical
Sirve para definir el grado de inclinación del alineamiento sobre un terreno. Si se toma como referencia la línea
horizontal, al ángulo vertical se le conoce como pendiente de una línea, el cual es positivo (de elevación) o negativo (de depresión).
e Ángulo horizontal
9: Ángulo de elevación
a: Ángulo de depresión
Lo forman 2 líneas rectas situadas en un plano horizontal. El valor del ángulo horizontal se utiliza para definir la drección de un alineamiento a partir de una línea que se toma como referencia, y por lo regular son los puntos cardinales: norte (N), sur (S), este (E) y oeste (O).
N
Fn la figura se muestran las direcciones de los puntos A y B respecto al punto P.
Ilrección de A respecto a P N25º0 o 065ºN
Ilrección de B respecto a P ElOºS o S80º E
1 Un barco sale de un puerto con dirección 040°50' N, mientras que una segunda embarcación sale del mismo muelle con dirección E24º30' N. ¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos buques?
Solución Al establecer las direcciones de los dos barcos, se observa que el ángulo 8 que forman es:
8 = J 80" - ( 40° 50' + 24° 30')
8= 180° -65° 20'
8= J 14° 40'
19
o
N
E
s
2 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
2 ¿Cuál es el ángulo agudo formado por el horario y el minutero si el reloj marca las 18:20 hr?
Solución
En un reloj de manecillas cuando el minutero recorre una vuelta (360•), el ho­ rario sólo avanza 30•, esto significa que el horario avanza la doceava parte de lo qie recorre el minutero por vuelta, a partir de las 12:00 hr, luego, a las 18:20 hr,
el minutero avanzó 120• y está ubicado en el número 4 mientras que el horario 1
avanzó 12
(120•) = 10• y está entre las 6 y las 7 horas, por tanto, el ángulo agudo
es de 10•.
EJERCICIO 6 • Resuelve los siguientes problemas:
1. Un barco sale de un puerto con dirección norte y una segunda embarcación sale del mismo muelle con dirección sureste. Determina el ángulo que forman las direcciones de los dos buques.
2. Dos aviones parten de una ciudad con direcciones S32•Ey E s1•N, ¿cuál es el ángulo que forman sus direcciones?
3. El ángulo que forman las direcciones de 2 personas es 125•, Determina los ángulos 6y así la primera persona tiene drección OfJN, la segunda EaNy fJequivale a los cinco sextos dea.
4. Desde un punto P se observan dos edificios, el primero de ellos tiene una dirección NS• 39'0. Si el ángulo que for­ man las direcciones de estos edificios es de 144• 39', determina la dirección del segundo edificio si se encuentra en el plano oeste-sur.
5. ¿Cuál es el ángulo agudo formado por las manecillas del reloj cuando marcan las 14: 15 hr?
6. Determina el número de grados en el ángulo formado por las manecillas del reloj a las 10: 1 O hr.
7. Encuentra el número de grados en el ángulo mayor formado por las manecillas del reloj a las 5 ¡. 8. ¿A qué hora entre las 12:00 y las 13:00, las manecillas del reloj formarán un ángulo de 165•?
9. ¿Cuántos radianes girará el minutero de un reloj en un día completo?
10. ¿A qué hora entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj forman un ángulo de 130•7
e:> lllrlflca tus r .. ultados en la Mecl6n do soluclonu --diento • ------------~
20
AXIOMA DE PARALELISMO V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.)
Si 2 rectas distintas 1 y r. a:>planares cortadas por una secante ten puttos distittos, foanan con ella en d semiplano IL 2 ángulos itteriores, de tal 1111llera que la suma de sus medidas sea menor que 180°, entonces las 2 rectas se coitan en algún punto del semiplano II,.
El quitto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene un enunciado equivaleme, llamado el postulado de la paralela única de Playfuir, el cual dice: "por un pumo exterior a una = pasa una paralela a la =y sólo una".
E 1 quinto postulado (axioma de paralelismo de Euclides) causó un trastorno conside·
rabie desde la época de los grie­ gos. Muchos geómetras pensaron q.¡e tal vez podría deducirse como leorema a partir de los restantes axiomas o postulados. Eucl ides mismo trató de evitarlo mientras pudo, pues no lo utilizó en sus demostraciones sino hasta que lle­ gó a la proposición 120. Durante más de 2 000 años fueron ofre· cidas diferentes •demostraciones• del postulado, pero cada una se basaba en una suposición equiva· lente al mismo. La independencia
del postulado de las paralelas quedó establecida cuando fue demostrada la compatib ilidad de los otros geómetras donde el V Postulado se nega· bao cambiaba par otro. Cualquier geometría cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclides, es llamada no euclidiana. La primera de ellas que se inventó fue la geometría Lobachevsquiana. Gauss ( 1777· 1855) en Alemania, Bolya i ( 1802·1860) en Hungría y Lobachevsky ( 1793· 1856) en Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair ( 1748·1819) del postulado, considerando 3 pasibilidades: par un punto exterior a una recta pueden trazarse más de una, únicamente una o ninguna paralela a la recta .
3 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Perpendicularidad
Dos rectas son perpendiculares si, al cortarse, forman 4 ángulos rectos. Para denotar que una recta es perpendicular a ttra se utiliza el símbolo l..
c Si AB .L CD, entonces LAOC = LCOB = LBOD = LDOA = 90º
A o B
D
e Tuorema L Si por un punto exterior a una recta se traza una perpendicular y varias oblicuas, se verifica:
A
~ B C D
a) El segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta es menor que cualquier segmento de las oblicuas.
Si AC .L BD, entonces AC < AB y AC <AD
b) De 2 segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es mayor aquel que dista más.
Si BC <CD, entonces AB <AD
e) Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan al pie de la perpendicular, son iguales.
Si BC =CD, entonces AB =AD
e Tuorema 2. Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera.
Paralelismo
Dos rectas son paralelas si no tienen un punto en común y guardan siempre una misma distancia.
A---------B
C D
e Tuorema L Dos rec~ en el plano, parale~ a una tercera, son paralelas entre sí.
A---------------- B C D E F
22
CAPÍTULO 3 Rectos perpendiculares y paralelos
e 'I\!orema 2. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella.
p C~~~~ ...... ~~~- D
A B
e 'Ieorema 3. Si una recta ( 1 es perpendicular a €,, también es perpendicular a tocia paralela a la recta €,.
Ángulos opuestos por el vértice
Son aquellos que tienen el vértice común, y los lacios de uno de los ángulos son la prolongación de los del otro.
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales: La=Lc y Lb=Ld
Ángulos contiguos
Son aquellos que tienen un lacio y un vértice en común. L AOB es contiguo a L BOC, entonces:
LAOB + LBOC = LAOC
Ángulos adyacentes
Son ángulos contiguos cuyos ángulos no comunes están alineaclos, esto es, suman 180°.
L AOB es aclyacente a L BOC, entonces:
L AOB + LBOC = 180º
A
Dadas l~ rectas, RR'll rr' y SS' una recta secante, se forman los siguientes ángulos:
s
S'
e
Ángulos alternos internos. Ángulos internos no aclyacentes situados en distinto lacio de la secante; son iguales.
L 3 = L 5; L 4 = L 6
23
Ángulos alternos externos. Ángulos externos no adyacentes situados en distinto lacio de la secante; son iguales.
L 1 = L 1; L 2 = L 8
Ángulos correspondientes. Dos ángulos no adyacentes situados en un mismo lacio de la secante; son iguales.
L 1 = L 5; L 4 = L 8; L 2 = L 6; L 3 = L 7
Ángulos colaterales internos (suplementarios). Dos ángulos internos no adyacentes y situados del mismo lado de la secante; suman 180°.
L4+ L 5=180º; L3+ L6= 180º
Ángulos colaterales externos (suplementarios). Ángulos externos no adyacentes situados del mismo lacio de la s:cante; suman 180º.
L 1+L8= 180°; L2+ L1=180º
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-. ... ..S! 1 • • ·Si t, 11 t 2 , calcula el valor de los ángulos a, b, e, d, e,f, x, y 2x - 15º, de la siguiente figura: a.. E i!-
Solución
Los ángulos x y 2x- 15° son colaterales externos, entonces:
X+ (2x-15") = 180°
a+x= 180°
a= 180º -65º
a= 115° Para obtener los valores de los ángulos restantes, únicamente se torna la posición de cada par de ángulos:
L d =La por ser correspondientes, entonces L d = 115° Lc=La por ser opuestos por el vértice, en consecuencia Le = 115°
L e = L x por ser correspondientes, se determina que Le = 65° L f = Le por ser opuestos por el vértice, por tanto L f = 65 •
Luego, los valores de los ángulos son:
La=l15º Ld=ll5º
CAPÍTULO 3 Rectos perpendiculares y paralelos
2 • • •Si t 111 t,. obtén los valores de x y de yen la siguiente figura:
Solución
y= --=35° 2 2
Los ángulos x - y y 110º son alternos internos, entonces,
x - y = llOº donde
Finalmente, las soluciones son:
x= 145°; y= 35°
EJERCICIO 7 . Calcula el valor de cada uno de los ángulos que se indican en las figuras siguíentes:
l. 2. Si L, 11 L2
A B
a D L1
3 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
5. Si L1 11 L,. encuentra el valor el: los ángulos
7. Si L, 11 L,. determina el valor ele x, a y b
6. Si L, 11 L,. halla el valor de x
8. En la siguiente figura: A 11 B, C 11 D y el L 3 = 110º. Determina la medida ele los ángulos L 4, L 7, L 1, L 1 O, Ll3yL16
e
11 15
En los ejercidos del 9 al 11 determina el valor de x y y
9. Si AB 11 CD 10. Si AB 11 CD
12. Si AB 11 CD, encuentra la medida del ángulo R
26
CAPÍTULO 3 Rectos perpendiculares y paralelos
En las síguientes f¡guras encuentra la medida de los ángulos que se forman:
13. Si L. 11 L, 14. Si L. 11 L,
15. Si L. 11 L, 16. Si L. 11 L,
Resuelve los síguientes e_íercicíos:
17. Con ba5e en el croquis que se muestra, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
Av. Cuauhtémoc
Av. Xola
José Maria Vértiz
a) La calle de Uxmal es paralela a la ele Tajín
b) La avenida X ola es perpendicular a la calle ele Xochicalco
e) La avenida Diagonal de San Antonio es paralela a la avenida Xola
Av. Diagonal de San Antonio
d) El ángulo que forman la calle Petén y la avenida Diagonal de San Antonio es de 35° 20'
e) Las avenidas Xola y José María Vértiz son paralelas
f) Las avenidas Cuauhtémoc y José María Vértiz son paralelas
g) Las avenidas Diagonal de San Antonio y José María Vértiz son perpendiculares
e:> V.riflca tus ,...,atados en la sección de soludotlos con .. ponchnte • -----------~
27
-
hnagen de Pitágoras obtenida del Diccionario de Autores, pertene­ ciente a la obra 8/ustrium lmagi· nes de Ful vio Orsini, publicada en IS70.
conocido como pitagorismo.
CAPÍTULO 4 TRIÁNGULOS
Pitógoras (c. 582-c. 500 a C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido
en la isla de Somos, Pítógoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jo­ nios: Tales de M ileto, Anaximandro y Anaxí· menes. Se dice que Pítógoras fue condenado a exiliarse de Somos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a .C. se instaló en Crotona, una colonia gñega al sur de Ita lia , donde fundó un movimiento con propósitos relig iosos, políticos y filosóficos,
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóri· cos se encuentran sus estudios de los números pores e impores, y de los números primos y de los cuadrados, esencia les en la teoría de los núme­ ros. Desde el punto de vista aritmético cultivaron el concepto de número, que llegó a ser poro e llos el pñncipio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A pomr de estos estudios establecieron una base óentífica poro las matemáticas. En geometría el gran descubñmiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitó· goras: el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados.
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
Defin ición
Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices.
l¡
A, B y C: vértices
AB, BC y AC: lacios
Clasificación de los tr iángulos
Los triángulos se clasifican por la longitud de sus lacios o la magnitud de sus ángulos.
Por sus lados
B
e
B
B
30
B
B
Rectas y puntos notables
Son rectas y puntos con características especiales dentro de un triángulo y son:
Altura. Fs el segmento perpendicular tmzado desde un vértice al lado opuesto.
Ortocentro. Se define así al punto donde se intersecan las alturas.
Mediana. Así se denomina al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Baricentro. Fs el punto donde se intersecan las medianas.
Bisectm. Recta que divide en 2 ángulos iguales a un ángulo interior ele un triángulo.
lncentro. Fs el punto donde se intersecan las bisectrices.
Mediatriz. Recta perpendicular al lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de este mismo lado.
Circuncentro. Fs el punto donde se intersecan las mediatrices.
A
e
e
Teoremas
A continuación se mencionan y demuestran algunos teoremas importantes sobre triángulos.
e Tuorema L La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A
L 1+LA+L2=180°
La recta que pasa por el vértice A es paralela a BC y por ángulos alternos internos entre paralelas:
Ll=LB;L2=LC
Al sustituir en L 1 + LA+ L 2 = 180~ se obtiene:
LB+LA +LC= 180°
e Tuorema 2. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los 2 interiores no adyacentes a él.
A B
Demostración: En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180°.
LB+LA+LC=180º
LA+ L M= 1800 Al igualar:
LB+LA+LC=LA+LM
LB+LC=LA - LA+LM
LB+LC=LM
Rita L N y L P s: reali2'.a el mismo procedimiento.
32
LN = LA+LC
CAPÍTULO 4
e 'I\!orema 3. UI suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360".
L M + L N + L P = 360°
Demostración: Los ángulos M, P y N son ángulos exteriores, entonces al aplicar el teorema 2.
Por tanto, L M + L N + L P = 360°
LM=LB+LC
+ LP=LA+LB
LN=LA+LC
L M + L N + L P = 2L A + 2L B + 2L C
LM+LN+LP=2(LA+LB+Lq
L M + L N + L P = 2(180°) = 360°
e Thorema 4. En tocio triángulo la longitud del segmento que une los puntos medios de dos lacios es pamlela e igual a un medio de la longitud del lacio restante.
e
Trióngulos
2 6 A B
e 'I\!orema S. Úl suma de dos lacios cualesquiera de un triángulo es mayor que el lacio restante, mientras que su diferencia es menor.
e Thorema 6. Si 2 lacios de un triángulo son distintos, al mayor lacio se opone mayor ángulo.
e Thorema 7. Rita 2 ángulos distintos de un triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado.
33
e
EJEMPl.os~~~~~~~~~~~~~----e
"'o l • • Calcula el valor de los llngulos del siguiente triángulo: o..
l
Solución
Por definición, los ángulos interiores de un triángulo suman 1800
x+ 2.r+ 3x = 180° donde
Si x = 30°, entonces:
6
L A =x = 30º, L C= 2x = 2(30°) = 60° y LB= 3x= 3(30°) = 90°
l\:Jr consiguiente: L A = 30°, L C = 60° y L B = 90º
2 • •Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo:
Solución l\:Jr ángulos exteriores:
L e+ 53º = 135º donde L C= 135° -53° = 82°
l\:Jr ángulos suplemenlarios,
L B+ 135º= 180º
L A+53º= 180°
L C+L D=l80º
Por tanto, L A = 127º, L B = 45°, L C = 82º y L D = 98º
34
CAPÍTULO 4
3 ••· Determina el valor de los ángulos del siguiente triángulo:
Solución
2x+ X+ (2x-5") = 180°
Por ser ángulos suplementarios:
LB= 180°-2x + 5° = 180°-74°+ 5° = 111°
LC= 180º-2x= 180°-74º=106°
LB=lllº
Trióngulos
4 •••La medida de los ángulos interiores de un triángulo es equivalente a 3 nómeros pares consecutivos, ¿cuál es la medida de cada ángulo?
Solución
Sean los ángulos 2x, 2x + 2°, 2x+ 4°, si aplicas el teorema 1 de los triángulos:
2x+2x+2º +2x+4º = 180°
Por tanto, el valor de cada uno de los ángulos es:
58°, 60° y62º
EJERCICIO 8 . Resuelve los siguíentes problemas:
1. Calcula el valor ele los ángulos exteriores del siguiente triángulo:
3. En un triángulo isósceles, un ángulo ele la base es el cuádruplo del ángulo diferente. ¿Cuánto mide cada ángulo?
5. Encuentra los ángulos interiores cielos siguientes trián­ gulos:
112°
7. Determina el valor de los ángulos interiores del trián­ gulo ABC.
2. Uno de los ángulos agudos ele un triángulo rectángulo es 8 veces el otro. ¿Cuánto vale cada ángulo?
4. Uno de los ángulos interiores de un triángulo miele 84° y la diferencia ele los otros 2es ele 14°. ¿Cuánto mielen los ángulos restantes?
A
B
6. Determina los valores de {3 y 8. Si AC biseca al ángulo
DCBy DC IAB
8. En la siguiente figura el lado AC es bisectriz del ángulo L BAD. Determina los ángulos interiores ele los t;. ABC y
ACD sabiendo que L BAC = y+ 8~ L CAD= x + 13°, 10
LABC=3x-6ºyLACD= -y +7º 3
A
e -..rlftca tus NSUltac:los en la MCdón de soluciones COfft5piOnclente • -----------~
36
Si 2 triángulos son congruentes entonces:
a) Sus lacios homólogos son iguales. ó) Sus ángulos homólogos son iguales.
A A'
e 2 B C' 2
Los triángulos ABC y A 'B'C' son congruentes, porque tienen iguales tanto sus lados como sus ángula>, es decir, existe igualdad entre los 3 pares de lacios y los 3 pares de ángulos.
Esto se representa á ABC: á A 'B'C' y se lee: "El triángulo ABCes congruente con el triángulo A'B'C' ".
Teoremas de congruencia
e 'Ieorema I (lado, lado, lado). Dos triángulos son congruentes si tienen sus lacios iguales.
L L E F E' F'
DE= D' E', EF=E F' y DF=D' F'
e 'Ieorema U (ángulo, lado, ángulo). Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y el lado adyacente a ellos respectivamente iguales.
H J H' ]'
LH=LH', HJ = H'J' y LJ=LJ'
e 'Ieorema m (lado, ángulo, lado). Dos triángulos son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos son respectivamente iguales a sus homólogos del otro.
K K'
KL=K'U, LL=LL' y LM=L'M'
37
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
• ••Fn la siguiente figura MOllPN. Determina si los siguientes triángulos son congruentes y encuentra los valores de xy y.
N
Solución Se construye una tabla en la que se dan las afirmaciones y las razones que nos lleven a la demostración que se pide.
EJERCICIO 9
1. MO•PN 2. L MON• L PNO
3. ON• NO 4. a MON : .ó. PNO S. y•SSº
1. Datos
2. Datos 3. Por ser lado común a los triángulos MON y PNO 4. Por el teorema: lado, ángulo, lado S. los ángulos homólogos de triángulos congruentes son
íguales 6. En el triángulo OMN:
L MON+ L ONM+ L NM0• 180" 76º + x + ss•. 180"
x • 180"- 76º -ss• - "9°
En cada uno de los síguientes casos indica por qué son congruentes los triángulos y determina los valores de x y y.
1. 2. E
e \flrlfk• tus nsultaclos •n 1.e sección de soluciones contisponclent• • . •• • • • .. .. ..•... . . •..
38
CAPÍTULO 4 Trióngulos
Aplicación de los teoremas de congruencia Dacios dos triánguloo, establece loo criterioo por loo que son congruentes.
EJEMPLOS,------------- ~ 1 • • · Si ABIJDF, ACIJEF y CB=DE, demostrar que t!. ABC= ti. FDE
E i!-
2. CB : DE 3. L B :LD
4. 1!. ABC : 1!. FDE
C F
1. los lados AC y EF son paralelos y CE es la recta secante, por tanto. los ángulos C y E son alternos internos
2 Datos
l Los lados AB y DFson paralelos y CE es la recta secante, en c.onsecuencía, los ángulos B y O son alternos íntemos
4. Por el teorema: ángulo, lado, ángulo
2 • • •Si AB es bisectriz de L CAD y AC ;;, AD. Demuestra que BE es billectriz de L CBD.
Solución
1. AC : JlD 2. L CAB :LDAB 3. AB : AB 4. I!. CAB : I!. DAB 5. L CBA : L OBA
6. L CBE : L DBE
7. BE es bisectriz del ánguloL CBD
A
e E
1. Datos
2 Definición de bisectriz 3 Por ser lado c.omún a los triángulos CAB y DAB
4 Por el teorema: lado, ángulo, lado 5 los ángulos homólogos en triángulos congruentes son
iguales 6. L EBA• L ABE --+LCBA+ L CBE• L DBA+ L DBE,
peroL CBA • L DBA. entonces L CBE • L DBE 7. Definición de bisectriz:
L CBE• L DBE
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
--3 • • •Si L DCB = 111° y DB l.AC, demuestra que los triángulos DBC y ACB son congruentes y determina los valores dex yy.
A
Solución
1. LCEB•90º 1. Datos 2. L DBC•45° 2. Datos 3. L DCB• 111° 3. Datos 4. LECB•45° 4. En el triángulo EBC:
L CEB+ L EBC+ L ECB •100°, 9QO + 45°+ LECB • 100°
L ECB • 100°-135º L ECB • 45°
5. L AEC • 100° 5. Por ser ángulo llano
6. L AEB • 9QO 6. L AEC• L CEB+ L AEB 100° • 90° + L AEB 90º• L AEB
7. L ABE•66º 7. En el triángulo ABE: L AEB+ L EAB+ L ABE• 100°
<;()• + 24°+ L ABE• 100° L ABE• 100°-114° L ABE• 66º
8. LCBA• 111º 8. LCBA•LCBE+ LABE L CBA• 45°+ 66º L CBA• 111°
9. LDBC:LACB 9. Por las aflnnacíones 2 y 4, sí L ACB • L ECB
10. CB: BC 10. Por ser lado común a los tríángulos DBC y ACB
11. L DCB : L ABC 11. Por las aflnnacíones 3 y 8, sí L ABC • L CBA
12. a DBC: a ACB 12. Por el teorema: lado, ángulo, lado 13. x• 12, y• 24° 13. los lados y ángulos homólogos de tríángulos congruentes
son íguales
4 •• Fn la figura, 0Q = PQ , (;Ji = QR , U es el punto medio de QS, Tes el punto medio de QR , L OQR = L PQS. Demuestra que OU = PT.
p
o
40
CAPÍTULO 4 Trióngulos
Solución Para comprobar que OU = PT, es necesario demostrar que los triángulos TQP y UQO son congruentes, entonces:
1. 05: CR
2. ar -: ou
6. L OOS-: ¿ POR
9. aJ : PT
iguales a los lados OS y QR
l Datos
4. Ángulos contiguos
S. Ángulos contiguos
6. De 3 se tiene que: L OQR -: L POS, entonces: L OQS +L SQR : L PQR+ L RQS, pero L SOR -: L ROS, por tanto:L OQS -: L POR
7. Datos
9. Los lados homólogos en triángulos congruentes son iguales
EJERCICIO 10 . Demuestra cada uno de los siguientes e_íercicios:
l. En la figura, los puntos P. Q y R son colineales, S, Q y T son colineales y U. Q y V son colineales. Si SQ E QT y UQ E QV , demuestra que á PUQ E á RVQ
p U T
>K S V R
2. En la tiguraMED, con AE:DE y AB:CD. Demuestra queL CBE: L BCE
E
3. En la figura, L CDH E L CEH, FH E GH , DH E EH , AC E BC y DC E EC. Demuestra queá ADG E á BEF
e
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
4. En la figura, L ABC;;; L ACB; BF;;; CF y L BFD;;; L CFE. Demuestra que BE;;; CD
A
5. En la figura, AD s BC , AC s BD, AE s BF y AG s BH . Demuestra que EG s FH
D
R
p
e
Q
e
R
p
a) EneláPQR, PR :QR y L7 = L3,demuestraque RS s RT
ó) En el á PQR, L RPQ;;; L RQP y L 6;;; L 4, comprueba que PS ;;; QT
e Elt• ejercicio no 1ion• ooluclonu .. &al del libro, por ... clemostreclonu . ••• •••• •••••• •.•• • • ••
42
Relación entre ángulos y lados homólogos de dos triángulos congruentes Sean los triángulos congruentes ABCy A'B'C':
A
B e B' e· Entonces se verifica que sus lacios y ángulos homólogos son iguales:
CAPÍTULO 4 Trióngulos
LA=LA',LB=LB',LC=LC', AB = A'B', BC = B'C' yAC = A'C'
~EMPLos.~~~~~~~~~~~~~--... ~ 1 ••· Determina los valores de las incógnitas en los siguientes triángulos congruentes:
E i!-
Solución
Dado que los triángulos son congruentes, sólo basta con igualar los ángulos y lacios homólogos para determinar los valores tanto de xcomo de y, entonces:
Paray
Parax
X 3y + 15° es homólogo a 48º y ''.x + 4" es homólogo a " - + 6"
2
y= 11•
--+ 2= ! 2
x=4 En consecuencia, los valores de x y y son: 4 y 11 •
43
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO 11 En las síguientes figuras los triángulos 1 y 11 son congruentes. Determína el valor de las Incógnitas.
l. B
AD =x+30, EC=3x
3. 4. B
5.
B
e
e:> Ytriflca t\lt ,...,lt.dos en la -cl6n de solucionu oon..,,pocu:llont• •• ••••• •••••••••• ••••
Proporciones
La razón es la comparación ele dos cantidades.
Una proporción es una igualdad ele 2 razones. a e - = - b d
Y se lee: aes a b como e es a d.
44
CAPÍTULO 4 Trióngulos
Teoremas de proporciones
e Tuorema l. En tocia proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
Si a:b = c:d, entonces ad= be
e Thorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer términos, y se obtiene una proporción cierta.
Si a:b = c:d, entonces a:c = b:d
e Tuorema 3. En una proporción pueden invertiJSe las razones.
Si a:b = c:d, entonces b:a = d:c
~eMPLos.~~~~~~~~~~~~~-..
~ X 3 ...2 1 • • •Encuentra el valor de x en la proporción - = - ~ 20 5 E Solución
&!- Se despeja la incógnita x, X 3 - =- donde x= 3(20) = 60 =12
5 5 20 5 Por consiguiente, x = 12
2 • • •Determina el valor dex en la proporción ~ = ~ X 5
Solución
X 5 donde
3 • •Determina el valor de x en la proporción x: 2x -3 = 3: 5
Solución Se establece en forma de cociente la proporción:
X 3 --=- 2x-3 5
2 2
Ahora de la igualdad se realiza un producto cruzado y se resuelve para x:
5x= 3(2x - 3)
4 • • •Determina el valordexenlasiguiente proporción 32 =~ X 2
Solución Se realiza un producto cruzado y se resuelve para x,
32 X -=- donde X 2
45
- x= - 9 x=9
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJE~CICIO 12 Precisa el valor de x en las siguíentes proporciones:
l. x:4=6:8 2. 3:5=x:12 3. 3:x=x:27 4. X; 5 = 2x; (X+ 3) 5. (x-2):4=7:(x+2)
6. (2x + 8): (x + 2) = (2x + 5): (x + 1) 7. X: 2y = 18y : X
8. (x + 4): 3 = 3: (x-4) 9. (x-1) :3 = 5: (x+l)
JO. 2x:(x+7) =3:5
e -.rfflc. tul NSUltados •n la MCC'6n de soluckHtes cornsportdliente • • • • • • • • • • • • • • •
Semejanza
Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.
Lados homólogos. Son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales.
a con a', b ron b', e oon e'
e b A C' b' A'
Para indicar que 2 triángulos son semejantes se escribe ti. ABC - ti. A' B'C', donde el símbolo ( - ) se lee: es semejante.
Propiedades fundamentales
l. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales.
LA = LA', L B =L B' y L C =L C'
2. Dos triángulos son semejantes si la razón de cada par de lados homólogos es constante, es decir, si sus lados
son respectivamente proporcionales. a b e -=-=- a' b' e'
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-.
4
La proporcionalidad entre los lados se establece como 2. = !!. = ~ , de la cual se obtiene: 3 4 5
e 9 - = - 5 3
b 9 4 3
CAPÍTULO 4 Trióngulos
Teoremas de semejanza
e Tuorema l. Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos homólogos.
B
Si L C=L C' y LA= L A'entonces,.6 ABC - .dA'B'C'
e Tuorema 2 . Dos triángulos son semejantes si sus 3 lacios son proporcionales.
B
Si !!.. =!.=.E.. entonces,llABC-llA'B'C' a' b' e'
e Tuorema 3. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que los forman son proporcionales.
H
h
Si L K = L K'y .K..= .!!. ,entonces ll GHK - ll G'H'K' g' h'
~EMPLOS.-~~~~~~~~~~~____.,.
h'
S l • • •Los siguientes triángulos son semejantes, determina la longitud del lado a en el triángulo a ABC
~ e i!-
Se sustituyen los valores respectivos y se despeja para a,
a 24 -=-
47
B
2 • •· Fncuentra la longitud de los lados b' y e:
e
B' c'=6 A'
Fn los triángulos LA= LA', L C = L C' entonces, t:.ABC - 11A'B'C' por lo que se establece la proporcionalidad
entre los lados homólogos.
~ esta relación se obtiene:
12 24 4 b'
12 e - =- 4 6
EJ E~CICIO 13
b'= (4)(24) =8 12
e= (12)(6) = 18 4
En cada uno de los síguientes ejercicios se dan tríángulos semejantes y las medídas de alguno de sus lados. Encuentra
las medídas de los lados restantes y los valores de las íncógnítas.
l.
8
e 'lllriflca tuu .. ultados • n la sección de &oluclonu correspondiente ••• •• • •• ••••• •••••••••
.48
CAPÍTULO 4 Trióngulos
Teorema de Tales
Cuando en un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lacios, el triángulo que se forma es semejante al pri­ mero.
e
EJEMPLOS·------------- S 1 •••Fn el siguiente triángulo determina el valor dex, si DE 11 BC o. E Solución ;!- Por semejanza de triángulos, la proporcionalidad se establece como:
12 14 --=- x+12 42
Se realiza un producto cruzado y se resuelve la ecuación para x:
(12)(42) = (14)(x+ 12)
Por tanto x = 24
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJERCICIO 14 . Calcula el valor de x en las síguientes figuras:
t. Si RTllQS 2. Si QRllSP
T
Q
R
e Q
A R
T
50
------------------ PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1 Para encontrar la longitud ele la base ele un cerro, se construyó una pareja de triángulos rectángulos semejantes como
se muestra en la figura, en la cual PA = 180m, CD = 150 m y PC = 50m. ¿Cuánto mide la longitud del cerro?
Solución Por semejanza de triángulos:
AB PA === CD PC
150 50 Donde,
AB= 150(180) = 27000 = 540 50 50
Por tanto, AB = 540 m p
2 ¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de 16 m, al mismo tiempo que un observador de 1.80 m de
estatura proyecta una sombra de 1.20 m?
A
Solución
De acuerdo con el problema, la relación entre los ángulos es la siguiente:
L CAB = L C'A'B' y L ABC = L A'B'C'
Por tanto,~ ABC- ~ A'B'C y la proporcionalidad se establece como:
H S
Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:
H 16 - =- Entonces, se resuelve para H:
1.80 1.20
H = (16)(1 .80) = 28.8 = 24 m 1.20 1.20
Finalmente, resulta que la altura del poste es de 24 m.
51
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
3 A cierta hora del día un edificio de flJ ft de altura proyecta una sombra de 42 ft. ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta un semáforo de 10 ft de altura a la misma hora?
Solución ~la figura,
e
Rir tanto, los triángulos son semejantes:
flABC - 6. DBE
AC CB === DE EB
Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:
Y al despejar EB,
60 42 - = = 10 EB
60
Rir consiguiente, la sombra que proyecta el semáforo es de 7 ft.
52
EJERCICIO 15 . Resuelve los siguíentes problemas:
l. Para encontrar la anchura AB de un río se construyeron 2
triángulos semejantes, como se muestra en la figura. Y al medirse encontró que: AC = 17 m, CD= 5 m, DE= 20 m. ¿Cuál es la anchura del río?
2. Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes
triángulos semejantes, en los cuales se tiene que: AC = 215 m,
A' C = 50 m, A' B' = 112 m. ¿Cuál es la longitud del lago?
3. Para medir laanchuradeunríoseforman los siguientes trián­ gulos, en los que: AO = 32 m, CD = 30 m, OD = 6 m. Encuentra AB.
4. Un árbol proyecta una sombra de 5 mala misma hora en que un poste de 2 m de altura, muy próximo al árbol, proyecta una
2 sombra de 3 m. Determina la altura hdel árbol, si tanto éste como el poste son perpendiculares al terreno.
5. Un árbol de 14 m dealtura próximo a una torre, proyecta una sombra de 24 m a la misma hora. Determina:
a) La altura de la torre, si su sombra es de 48 m
b) La sombra que refleja la torre, si su altura es de 70 m
CAPÍTULO 4 Trióngulos
,... ,... .... .... .... .... .... .... .... t-=-=-= 24m - - - -::.. ...
e Verifica tul r .. ult..io. en fa H«f6n de soludonH con'H.pondlent• • -----------~
53
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
A
c2=á1+b2
A
Los triángulos Ji ABC - a CBD por ser L ABC = L CBD y LCAB = L DCB entonces,
e a -== a BD
donde c·BD= a2
Los triángulos Ji ABC - Ji ACD por ser L CAB = L DAC y L ABC = L ACD entonces,
e b -== b AD
C· AD=b
Al sumar e· BD = a2 y e· AD= b2. se obtiene,
- - 2 2 e· BD+c· AD= a +b
e (BD + AD)= a2+b2
l\!ro BD + AD = e, por tanto:
c2 =a2+b2
CAPÍTULO 4 Trióngulos
Ejemplo Determina el valor de la hipotenusa del triángulo que se muestra, según los datos proporcionados en cada uno de los siguientes incisos:
a) b = 12, a= 9
Soluciones a) a= 12, b = 9
é2=a2+b2
é2 = (9)2 + (12)2
é2 = 81+144
~a
c2=a2+b2
c2 = (3)2 + (6)2
c2 =9+36
c2 =58
e= ./58
Obtención de los catetos. Fn todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto.
Ejemplo Utiliza la figura para determinar el cateto que se pide en cada inciso:
a) a = 24, e = 25 b)b=6,c=8 e) a=4J3,c=8
e
Soluciones
a) a = 24, e = 25 b)b=6,c=8 e) a= 4 J3, e= 8
b2=é2-a2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
b2 = (25)2 - (24 )2 a2 = (8)2- (6)2 b2 = (8)2- ( 4J3)'
b2 = 625-576 a2=64-36 b2=64-48
b2 = 49 a2 =28 b2 = 16
b= J49 =7 a= .J2s = 2..J7 b= Jf6 =4
55
Naturaleza del triángulo a partir del teorema de Pitógoras
Sea el triángulo ABC, cuyo lacio mayor es el lacio e, éste será un triángulo: rectángulo, acutángulo u obtusángulo, si al aplicar el teorema de Pitágoras se cumple que:
l. Si c2 = a2 + b2, el triángulo es rectángulo
{
c2 < a2 + b2, el triángulo es acutángulo 2. Si c2 * a2 + b2
, entonces c2 > a2 + b2, el triángulo es obtusángulo
~EMPLos~~~~~~~~~~~~~-4
~ 1 • • •Sea un triángulo cuyos lacios miden 3, 4 y 5 unidades. Comprueba si es un triángulo rectángulo.
E Solución i!-
R>r tanto, el triángulo es rectángulo.
(5)2 = (3)2 + (4)2
25 = 9 + 16
25 = 25
2 •••Sea el triángulo cuyos lacios miden 7, 9 y 12 unidades. Determina qué tipo de triángulo es:
Solución Se toma el mayor de los lacios como e, entonces:
(12)2 = (9)2 + (7)2 144 = 81 + 49
144" 130
Dacio que 144 > 130, el triángulo es obtusángulo.
3 •· O:termina la naturaleza de un triángulo cuyos lacios miden 6, 4 y 5 unidades.
Solución Al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene:
(6)2 = (4)2 + (5)2 36 = 16 + 25 36•41
Pues to que 36 < 41, el triángulo es acutángulo.
56
Teoremas de semejanza en triángulos rectángulos
e Tuorema L La altum trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo dacio, y a su vez semejantes entre ellos.
e
t!. CAB - t!.ADB
e 'Ieorema 2. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la me­ dida de los segmentos de la hipotenusa.
e
e Tuorema 3. Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y la medida del segmento de la hipotenusa interceptado por la altura, y el lacio que es adyacente a ese cateto.
- 2 -- AB = CB·DB
4 CAPÍTULO GroNmíA Y TlllGONONmÍA
EJERCICIO 16 . Sí a y bson los catetos de un triángulo y csu hipotenusa, determina el lado que falta:
1. a = 15, b = 20 5. a = 12, e = 20
2. a= 5,b= 4 6. b=6,c =8
3. a= S. b = 4 7. b = 15, e = 17
4. a= 7, b = 7 8. a=5Ji,c=10
Determina la naturaleza de los siguientes triángulos, cuyos lados miden:
13. 4, 5 y7 cm 16. 7, 24y25cm
14. S, 12 y 13 cm 17. 6, 8y IOmm
15. 7, 9y 11 cm 18. 1, Ji y2cm
9. a=6myb= 3
10. a= 12myc = 13m
12. b=15dmyc=20dm
20. 0.5, 0.7y0.8m
21. x,x-ly hx2 -2x+l
22. Fn el triángulo rectángulo PQR, con Q el ángulo recto y QS como altura trazada mcia la hipotenusa:
a) Determina QS si PS = 12 y SR= 5
b) Encuentra QR si PR = 25 y RS = 13
c) Halla QR si PS=6, PQ=2M y RS=4
d) Encuentra PQ si PS = 21 y RS = 15
e) Determina PQ si RS = 6, RQ = 10 y QS = 8
f) Determina QS si PQ = 13 y QR = 7
g) Encuentra RS si PQ = 17 y QS = 13
e ,.rffka h.IS NIUltadOS en la MCC'6n de soluckHtel COfftsportclente • -----------~
58
------------------ PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1 Determina la longitud de la diagonal de un cuadrado de ladoxcm.
Solución
Al tra7.ar la diagonal en un cuadrado, se forman 2 triángulos rectángulos, entonces:
(hip )2 = (cat)2 + (cat)2 i=r+r i=2x2 y= M =x·..fi.
Por tanto, la diagonal es x .J2. xcm
2 Al abrir una escalera de pintor, se forma un triángulo isósceles, la distancia entre las bases es de 1 m y los lacios
iguales miden 1.40 m. Determina la altura de la escalera.
Solución
La altura de un triángulo isósceles divide a la base en 2 partes iguales, formándose 2 triángulos rectángulos:
lí1 = (1.4)2-(0.5)2 lí1=1.96-0.25
h = .J1Ti h = 1.3 m
Por consiguiente, la altura de la escalera es de 1.3 m.
0.5m
3 Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2.5 mis y pasa por debajo de un puente peatonal. Determina a
los 12 s, ladistanciaentreel automóvil y el punto ubicado exactamente arriba del paso del mismo, si la altura del puente es de 6 m.
Solución
La altura del puente es de 6 m y a los 12 sel automóvil recorre 12(2.5) = 30 m, entonces:
d1- = (6)2 + (30)2 d1- = 36 + 900
d1- = 936
59
EJERCICIO 17 . Resuelve los siguíentes problemas:
1. Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 300 y 800 m.¿Qué cantidad de malla se
necesita para cercarlo?
d
2. Con una escalera de 6 m se desea subir al extremo de una barcia de 4 m de altura. ¿A qué
cistancia se necesita colocar la ba.5e de la escalera para que el otro extremo coincida con
la punta de la torre?
3. Calcula la altura de un triángulo isósceles si su ba.5e mide 60 cm y cada uno de sus lados mide 50 cm. 4. Calcula la altura de un triángulo equilátero que de lado mide JO cm. 5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m? 6. ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo en un muro vertical, si su
¡:ie está a 3 m del muro?
7. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal mide 5.J2 cm? 8. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm,¿cuánto mide su apotema?
9. Una persona camina 7 kilómetros hacia el sur, 3 hacia el oeste, 2 hacia el sur y 6 más hacia el oeste. ¿Cuál es la cistancia entre el punto de partida y su destino?
N
E
s 10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. Encuentra la longitud de los catetos.
11. Fn un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a m y la mediana de uno de los ángulos agudos es igual a
mJ3. Determina la magnitud de los catetos. 3
12. En un triángulo rectángulo, m y n representan la longitud de las medianas tra7.adas a los catetos. Obtén la longitud el: éstos y la hipotenusa en función de m y n.
e Ylriflca tus .. sultadosen la -cl6n do soluclonH"°'"'opondionte a------------~
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- CAPÍTULO 5 CUADRllÁ TEROS
Estaba destinado al oficio religioso, pero lo impresión que le produjo lo lectura de los Ele­ mentos de Euclides le llevó hacia los motemó·
ticos. Se interesó por lo mecánico, por el incipiente cálculo infinitesimal y por lo geometría .
Teorema de Varignon Pierre Varignon (1654-1722)
Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD, el polígo­ no que determinan los puntos medios (E, F, G, H) de sus lodos es un poro· lelogromo, y el áreo de éste es lo mitad de lo del cuadrilátero inicial.
1 ÁrcO.UCB = - Árt::a.MCI>
Defin ición
Clasificación
Paralelogramo. & el cuadrilátero cuyos lacios opuestos son paralelos.
Cuadrado. & el paralelogramo que tiene tocios sus lacios iguales y sus ángulos son rectos.
Rectángulo. & el paralelogramo que tiene sus lacios contiguos desigualei> y los 4 ángulos rectos.
Rombo. & el paralelogramo que tiene los lacios iguales y ángulos contiguos desiguales.
Romboide. & el paralelogramo que tiene los lacios contiguos desiguales y ángulos oblicuos.
'frapecio. & el cuadrilátero que sólo tiene 2 ele sus lacios paralelos.
'frapecio rectángulo. & el que tiene 2 de sus ángulos rectos.
Thapecio isósceles. & el que tiene 2 lacios no paralelos iguales.
'frapecio escaleno. & aquel que tiene sus lacios no paralelos diferentes.
'frapezoide. & el cuadrilátero que no tiene ningún lacio paralelo a su opuesto.
D CJ o LJ Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
o D Q d Trapecio Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapezoide
Diagonal. Fs el segmento de recta que une 2 vérticei> ele un cuadrilátero no adyacentes.
AC y BD son diagonales
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Teorema
la suma ele los ángulos interiores ele un cuadrilátero es igual a 360°.
Demostración: Dacio el cuadrilátero ABCD, se traza una ele sus diagonales:
B
D
Se observa que se forman dos triángulos !J. ABC y !J. ACD. la suma ele los ángulos interiores de los triángulos es igual a 180°.
L BAC+ LABC+ L ACB= 180°
L CAD+ LADC+ LACD= 180°
Al sumar ambas expresiones, se obtiene:
L BAC+ L ll4C+ L ABC+ LADC+ LACB + LACD=360º
pero L BAC+ L ll4C= L BADy L ACB+ LACD = L BCD
Al sustituir estas igualdades en la expresión anterior:
(L BAC+ L DAC)+ L ABC+ LADC+(L ACB + L ACD)=360º
L BAD + L ABC + L ADC + L BCD = 360°
Por consiguiente, queda demostrado el teorema.
Propiedades de las paralelogramos
AB=CD Y AC=BD
2. Los ángulos opuestos son iguales.
L