matemÁtica questões de 05 a 12 05. um dos vértices de …...05. um dos vértices de um triângulo...

MAT. – 5

1º VESTIBULAR UFOP 2009

GRUPO 1 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 05 a 12

05. Um dos vértices de um triângulo equilátero é o ponto )1,0(P do plano cartesiano e os outros dois estão sobre a reta 01: =++ yxr .

Faça o que se pede nos itens abaixo:

A) Calcule a área desse triângulo.

B) Encontre as coordenadas dos outros dois vértices.

MAT. – 6


GRUPO 1 – TIPO A

A B

M

D C

N

O P

. . . .

. . . .

.

.

.

V

K

.

06. Seja VABCD uma pirâmide quadrangular regular de altura igual a 1 metro e vértice V com base no quadrado ABCD , também de lado medindo 1 metro. Seja MNOP o quadrado obtido pela intersecção da pirâmide com um plano paralelo à sua base pelo ponto médio da altura. Ligando-se MNOP ao centro K do quadrado ABCD , obtemos uma nova pirâmide quadrangular regular conforme a figura.

Faça o que se pede nos itens abaixo.

A) Mostre que o lado da base dessa nova pirâmide é 2

1 m.

MAT. – 7


GRUPO 1 – TIPO A

B) Pode-se construir uma terceira pirâmide dentro da segunda da mesma forma que se construiu a segunda dentro da primeira. Repetindo-se essa construção sucessivamente, pergunta-se: qual é o volume e a área da superfície lateral da

ª10 pirâmide?

MAT. – 8


GRUPO 1 – TIPO A

07. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma αir + , onde r é um número racional e α é real:

2008453

26

27

2

3

)1,1(....)2727,0(

)2(.)3

283(cos8.)9(log

++−

−+ −−

iπ

MAT. – 9


GRUPO 1 – TIPO A

08. Considere um ângulo θ , com o900 ≤≤ θ , cuja representação em radianos é o

número real x , com 2

0π≤≤ x . Suponha que x satisfaça às equações

−=

−=

43

1sec

mtgx

mx

onde m é um número inteiro positivo.

Faça o que se pede nos itens abaixo. A) Mostre que 1sec 22 += xtgx , para qualquer valor real de x no domínio comum

das funções envolvidas.

B) Encontre os valores de m para os quais as equações acima, na incógnita x , sejam de fato compatíveis e, para tais valores, calcule x e o correspondente ângulo θ , com o900 ≤≤ θ .

MAT. – 1


GRUPO 5 – TIPO A

MATEMÁTICA


01. Quantos números compreendidos entre 1000 e 2000 são divisíveis por 3 e por 7 ao mesmo tempo?

MAT. – 2


GRUPO 5 – TIPO A

02. Seja f a função definida no conjunto [1,0[]1,10[ ∪−−=A por .4

4)(

2 += xxf Com

base nesses dados, resolva os itens a seguir:

A) Esboce o gráfico dessa função e encontre seu conjunto imagem.

B) Encontre a função inversa de f , incluindo seu domínio e sua imagem.

MAT. – 3


GRUPO 5 – TIPO A

03. Sendo i21− raiz de 10432)( 234 −++−= xxxxxp , encontre as outras raízes de )(xp .

MAT. – 4


GRUPO 5 – TIPO A

04. Calcule o algarismo das unidades do número 20083 .

MAT. – 5


GRUPO 5 – TIPO A

05. Lançando-se dois dados, um amarelo e outro vermelho, qual a probabilidade de se obter 8 como soma de suas faces superiores?

MAT. – 6


GRUPO 5 – TIPO A

06. Nas Olimpíadas de 2008, em Pequim, o Comitê Olímpico Norte-Americano, para justificar sua desvantagem olímpica em relação à China, enalteceu o total de medalhas obtidas pelos seus atletas (110), maior do que o total obtido pelos chineses (100). Argumentação parecida fez o presidente do Comitê Olímpico Brasileiro para valorizar o desempenho do Brasil (adaptado da matéria “COB faz malabarismo numérico e declara Pequim melhor da história brasileira”, publicada em 24 ago. 2008).

Observe os dados reais da tabela abaixo e responda ao que se segue.

Brasil China Cuba EUA

Ouro 3 51 2 36

Prata 4 21 11 38

Bronze 8 28 11 36

Total 15 100 24 110

Classificação 23o 1o 28o 2o

População aproximada (em milhões)

191 1331 11 303

Fonte: www.uol.com.br, 24 ago. 2008 e Almanaque Abril 2007.

A) Suponhamos que fossem atribuídos pesos às medalhas: 1 para a de bronze e 3 para a de prata. Haveria possibilidades de peso inteiro e maior do que 3 para a medalha de ouro de modo que os Estados Unidos ficassem melhor classificados do que a China? E para que Cuba ficasse melhor classificada do que o Brasil?

B) Qual dos países acima tem o maior número de medalhas por habitante? E de medalhas de ouro por habitante?

MAT. – 7


GRUPO 5 – TIPO A

07. Considere as funções f e g dadas por 2)( xxf = e xxg −= 3)( , com domínios restritos ao conjunto }0|R{ ≥∈ xx . Nessas condições, resolva o que se pede nos itens abaixo:

A) Faça, num mesmo plano cartesiano, um esboço dos gráficos de f e de g .

B) Com base no item anterior, explique por que a equação xx −= 32 possui uma única solução α e esta satisfaz 10 << α .

C) Represente, em termos de α , o conjunto dos números reais não negativos que são soluções da inequação xx −≤ 32 .

MAT. – 8


GRUPO 5 – TIPO A

08. Dado um triângulo ABC , construímos um outro triângulo, PQR , unindo os pontos médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo:

A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR .

B) Dado um triângulo de área 21m , construímos um outro triângulo da forma descrita no item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do º30 triângulo obtido?

MAT. – 9


GRUPO 5 – TIPO A

09. Uma circunferência de centro no ponto )2,1(C contém o ponto )6,4(P . Com base nesses dados, resolva os itens abaixo:

A) Encontre a equação da reta t , tangente à circunferência pelo ponto P .

B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a reta do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.

MAT. – 10


GRUPO 5 – TIPO A

10. Simplifique a expressão aritmética abaixo, escrevendo-a na forma αir + , onde r é um número racional e α é real.

( ) 200843

26

27

2

3

)1,1...).(2727,0(

)2(3

283cos8.9log

++−

−

+ −

i

π

MAT. – 11


GRUPO 5 – TIPO A



0π≤≤ x . Suponha que x satisfaça às equações:

−=

−=

43

1sec

mtgx

mx



A) Mostre que 1sec 22 += xtgx , para qualquer valor real de x no domínio comum das funções envolvidas.


MAT. – 12


GRUPO 5 – TIPO A

12. Na circunferência representada a seguir, A é o ponto )0,1( , α e β são os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AM e AP , onde M e P são pontos variáveis da circunferência, estando sujeitos à condição º60=− βα e tendo N e Q respectivamente como projeções ortogonais sobre o eixo das abcissas.

Nessas condições, mostre que ( ) ( ) 322

=+++ PQMNONOQ .

A

M

P

X

Y

O N Q

MAT. – 9


GRUPO 6 – TIPO A

MATEMÁTICA


07. Números inteiros ímpares são precisamente aqueles que podem ser escritos na forma 12 +k , onde k é um número inteiro. Por exemplo, se 4=k , então a expressão

12 +k é o ímpar 9.

Faça o que se pede nos itens a seguir:

A) Mostre que o quadrado de um número inteiro ímpar é ímpar.

B) Mostre que o quadrado de um número inteiro par é múltiplo de 4 .

C) Dados dois números inteiros ímpares, mostre que a soma de seus quadrados não é um quadrado perfeito.

MAT. – 10


GRUPO 6 – TIPO A

08. Lançando-se três dados, um amarelo, um vermelho e um azul, de quantas maneiras pode-se obter 9 como soma dos números obtidos nas suas faces superiores?

MAT. – 11


GRUPO 6 – TIPO A




Ouro 3 51 2 36

Prata 4 21 11 38

Bronze 8 28 11 36

Total 15 100 24 110



191 1331 11 303




MAT. – 12


GRUPO 6 – TIPO A

10. A parábola abaixo representa o gráfico de uma função quadrática. Determine que função é essa e encontre seu conjunto imagem.

x

-5

y

5 -1

MAT. – 13


GRUPO 6 – TIPO A

11. Dado um triângulo ABC , construímos um outro triângulo, PQR , unindo os pontos médios de seus lados. Com base nessas informações, faça o que se pede abaixo:

A) Mostre que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PQR .

B) Dado um triângulo de área 21m , construímos um outro triângulo da forma descrita no item (A). Repetindo o processo neste segundo triângulo, obtemos um terceiro triângulo. Prosseguindo-se desse modo, qual será a área do º30 triângulo obtido?

MAT. – 14


GRUPO 6 – TIPO A

12. Uma circunferência de centro no ponto )2,1(C contém o ponto )6,4(P . Com base nesses dados, resolva os itens abaixo:


B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência com um de seus lados sobre a reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.

MAT. – 7


GRUPO 7 – TIPO A

MATEMÁTICA





Ouro 3 51 2 36

Prata 4 21 11 38

Bronze 8 28 11 36

Total 15 100 24 110



191 1331 11 303




MAT. – 8


GRUPO 7 – TIPO A

10. Uma circunferência de centro no ponto )2,1(C contém o ponto )6,4(P . Nessas condições, resolva o que se pede:


B) Considere o quadrado circunscrito à circunferência e que tem um de seus lados sobre a reta t do item (A). Calcule a medida de sua diagonal.

MAT. – 9


GRUPO 7 – TIPO A

11. Considere um tetraedro regular ABCD com as arestas medindo l . Há quatro cones congruentes circunscritos a este tetraedro; por exemplo, o cone circular reto que tem vértice no ponto A e cuja base é a circunferência circunscrita à base BCD do tetraedro. Determine, em função de l , a área S da superfície lateral de qualquer um desses cones.

MAT. – 10


GRUPO 7 – TIPO A



0π≤≤ x . Suponha que x satisfaça às equações:

−=

−=

43

1sec

mtgx

mx



A) Mostre que 1sec 22 += xtgx , para qualquer valor real de x no domínio comum das funções envolvidas.


matemÁtica questões de 05 a 12 05. um dos vértices de …...05. um dos vértices de um triângulo...

Documents