matemática - projeto medicinaprojetomedicina.com.br/site/attachments/article/568/enem_em... ·...

introdução

Os números soltos, isolados, para nada servem, mas, embutidos de significados tudo explicam. Construir significados para as razões, proporções e porcentagem é o foco principal do texto seguinte. Para isso, você terá acesso a uma consistente fundamentação teórica, acompanhada de situações-problema dentro das habilidades de Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.

oBJEto do ConHECiMEnto

Razões e ProporçõesNa ficção ou na realidade, as razões e proporções

acompanham os seres. Afinal, tudo é uma questão de escala. Vejamos dois questionamentos, sendo o primeiro fictício, nos quais os conceitos de razão e proporção são fundamentais para a compreensão e a elaboração das respectivas respostas.

1. O que aconteceria se alguém crescesse e se tornasse grande como um gigante?

Certamente cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar o primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura aumenta em uma direção, a área, em duas e o volume, em três. Se a altura de uma mulher ficasse 10 vezes maior, a secção transversal (área) do conjunto de ossos e músculos que a sustenta contra a gravidade ficaria 10 · 10 = 100 vezes maior, já o seu volume (e, portanto, a sua massa) ficaria 10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior. O resultado disso tudo é que os ossos destinados a mantê-la erguida não suportariam o seu peso, sendo estilhaçados. É por essas e outras que cada ser deve ter o tamanho certo, pois mudanças quantitativas podem fazer imensas diferenças qualitativas.

“Uma questão de escala”. In: O universo e a xícara de chá, K.C. Cole – Adaptado.

2. Qual é o automóvel mais econômico: o de Carlos que consome 24 litros de gasolina para percorrer 240 km ou o de Fabíola que percorre 180 km com 20 litros de gasolina? Quantos por cento mais econômico?

MateMática e suas tecnologias

4Fascículo

EnEm Em fascículos - 2012

Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pela respectiva quantidade de gasolina consumida, temos:I. Para o automóvel de Carlos:

N de km

N de litros

km

Lkm L

º

º/= =240

2410

(dez quilômetros por litro)

Isso significa que, em média, o automóvel de Carlos percorre 10 km para cada litro de combustível consumido.II. Para o automóvel de Fabíola:

N de km

N de litros

km

Lkm L

º

º/= =180

209

(nove quilômetros por litro)

Isso significa que, em média, o automóvel de Fabíola percorre 9 km para cada litro de combustível consumido.

O automóvel mais econômico é o que gasta menos combustível para percorrer uma mesma distância. Observando que o m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distância de 90 km. Como o automóvel de Carlos gasta, em média, 1 litro para percorrer 10 km, então para percorrer 90 km ele gastaria apenas 90 : 10 = 9 litros, enquanto o automóvel de Fabíola gastaria 90 : 9 = 10 litros. Assim, o automóvel de Carlos é o mais econômico, economizando 10 – 9 = 1 litro de gasolina para cada 10 litros consumidos pelo carro da Fabíola. Matematicamente, temos:

Economia de Carlos

Consumo de Fab ola

L

Lí= = = =1

10

1

10

10

10010%

(“1 para 10” ou “10 para 100” ou “dez por cento”).

Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina consumidos pelo carro de Fabíola, o automóvel de Carlos gastaria 10 litros a menos, para fazer o mesmo percurso.

Se o amigo leitor teve dificuldade para compreender alguma passagem nesses questionamentos, não se preocupe.

Leia com atenção os tópicos a seguir e, depois, volte e reveja-as.

Conceito de Razão• Arazãoentreduasgrandezaséoquocienteentreelas.

Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e 30 mulheres, dizemos que:

I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na festa é:

n de s

n de

º

º

homen

mulheres(lê -se: 2 para 3)= =20

30

2

3

O presente fascículo tem como objetivo geral o estudo da proporcionalidade voltada para situações-problema vivenciadas no cotidiano,

conforme se tem contemplado no Enem. Para uma melhor compreensão desse tema, dividiremos o assunto em três tópicos:

• RazõeseProporções;• ProporcionalidadenaGeometria;• FunçãoAfim(Linearidade).

Bom estudo para você!

Caro aluno,

Enem em fascículos 2012

2 Matemática e suas Tecnologias

Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres.

II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas na festa é:

n de mulheres

n total de

º

º pessoas(lê -se: 3 para 5)=

+= =20

20 30

30

50

3

5

Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são são mulheres.• As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de

espécies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens consumiram 100, dizemos que:

I. A razão entre o número de salgados consumidos pelos homens e o número de homens foi de:

n de s s

n de s

º

º

algado

homens

salgados

homensalgados / homem= =100

205

(lê-se: 5 salgados por homem)

Isto significa que, em média, cada homem consumiu 5 salgados.

II. A razão entre o número de salgados consumidos e o número de pessoas foi de:

n de s s

n de pessoas

º

º

( )

( ),

algado

pessoas

salgados= ++

=120 100

30 204 44 salgados pessoa/

(lê-se: 4,4 salgados por pessoa)

Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.Em geral , dados dois números reais a e b , com

b ≠ 0 , usamos a

b ou a : b para indicar a razão entre a e b ,

respectivamente.

Na razão a

b (lê-se: a para b), o número a é chamado

de antecedente e o número b, de consequente.

Raz o entre ea

bã a b =

Porcentagem (ou percentagem)É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a

quantidade correspondente a 100 coisas quaisquer.

Pp

por cento% ( )=100

l -se:ê p

Exemplo:a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês

fluentemente, isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do grupo fala inglês. Note:

falam ingl s

totalpor cento

ê ê= =3

10013 13% ( )l -se:

Escalas numéricas (E)É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o seu

correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos numa mesma unidade.

Ed

D=

Uma escala pode ser representada graficamente. Nesse caso, usamos um segmento de reta graduado, em que cada graduação corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.

Escala1 cm 1 cm

E E300 km 30.000.000 cm

ou 1:30.000.000

0 km 300 km 600 km 900 km 1200 km

Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto maior o divisor (o denominador D, a distância real), menor é seu valor.

Exemplo:Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma

estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2.

Nessas condições, a fotograf ia está na esca la

Ecm

km

cm

cm= =5

12 5

5

1 250 000, . ., ou seja, E = 1

250 000.

E = 1: 250.000. Essa escala nos diz que 1 cm na fotografia corresponde a 250.000 cm (2,5 km), na realidade. Assim, 9 cm2 (área queimada na fotografia) corresponde a 9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km)2 = 56,25 km2.

ProporçãoProporção é uma igualdade entre duas razões. Quando

dizemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam, nessa ordem, uma proporção, significa que se tem a seguinte igualdade:

a

b

c

dou a b c d= =: :

(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)

Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d ficaram nas extremidades (a e d são chamados de extremos da proporção); já os termos b e c ficaram no meio (b e c são os meios da proporção).

Propriedades da proporção

Se a

b

c

d= , com a, b, c, d, reais não nulos, temos:

a

b

c

dk

a kbc kd

= = ⇒ =={ (constante de proporcionalidade).

Sendo assim, temos as seguintes propriedades:

I. a

b

c

d= ⇒ ad bc (propriedade fundamental)

“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.”

II. a

b

c

d

a

b

c

d

a c

b d= ⇒ = = +

+

III. a

b

c

d

a

a b

c

c d= ⇒

+=

+


3Matemática e suas Tecnologias

Exemplo:Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água

nas proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o suco da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito forte”, Dona Benta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporção ideal de poupa de fruta e água. Considerando J o volume de uma jarra, podemos descobrir essa proporção ideal, utilizando as propriedades das proporções. Veja:

I. Na primeira jarra:poupa

gua

poupa

poupa guapoupa J gua

á áá= ⇒

+=

+⇒ = ⋅ =3

7

3

3 7

3

10

7

10( ) e ⋅⋅ J

Note:poupa+água=J(volumedajarra)

II. Na segunda jarra:poupa

gua

poupa

poupa guapoupa J J

áá= ⇒

+=

+⇒ = ⋅ = ⋅3

5

3

3 5

3

8

5

8( )á e gua

III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:

poupa

gua

J J

J J

J J

J Já=

⋅ + ⋅

⋅ + ⋅=

+

+= =

310

38

710

58

12 1540

28 2540

27

5327 : 553

Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de fruta para 53 partes de água.

Números diretamente proporcionais

Considere as seguintes sequências numéricas:

1ª sequência: (2,6,4,10)

x2

x3

2ª sequência: (6,18,12,30)

x2

x3

Nessas sequências, observe que elas crescem ou decrescem na mesma razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente desse elemento na outra sequência também triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes nas duas sequências estão na mesma razão. Veja:

6

2

18

6

12

4

30

103

612 3 430 3 10

= = = =

⋅⋅

= ⋅= ⋅

, isto ,

6 = 3 218 = 3é

Em geral, dizemos que os números da sucessão numérica (a

1, a

2, a

3, ..., a

n ) são diretamente proporcionais

(ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão (b

1, b

2, b

3, ..., b

n ) quando as razões entre seus respectivos

correspondentes forem iguais, ou seja:

a

b

a

b

a

b

a

bk

a k ba k b

a

n

n

n

1

2

2

2

3

3

1 1

2 2= = = = =

= ⋅= ⋅

....................

== ⋅

k bn

Esta razão constante k é chamada de fator de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é maior que o respectivo consequente.

Exemplo:Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos,

14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir

R$ 240,00 entre eles, em partes diretamente proporcionais às

idades, quanto receberá cada um?

Sendo k a constante de porporcionalidade, a parte de

cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão

16k (João Victor), 14k (Gabriela) e 10k (Matheus)

Daí:

16 14 10 240 616 16 6 9614 14 6 8410 10 6 60

k k k kkkk

+ + = ⇒ = ⇒= == == =

···

Sendo assim, temos que:João Victor, Gabriela e Matheus receberam,

respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.

Grandezas diretamente proporcionaisObserve na tabela seguinte as quantidades (Q) de

picolés comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos valores pagos:

Valor (V) 3 6 15 24 18 36

Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12

Note que as razões obtidas entre os respectivos elementos das sequências de valores (V) e de quantidades (Q) são iguais.

V

Q

V

QCoeficiente deproporcionalidade

= = = = = ⇒ =3

1

6

2

15

5

36

123...

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra também aumenta na mesma proporção, isto é, quando as razões obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas e os respectivos valores assumidos pela outra forem iguais.

Em símbolos:

A BA

Bk

onde

∝ ⇔ = ,

a constante de proporcionalidadek é

Números inversamente proporcionaisConsidere as seguintes sequências numéricas:

1ª sequência: 1

2

1

6

1

4

1

10; ; ;

x

x

1

12

3

formada pelos

respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).



2ª sequência: (6,18,12,30)

x 3

x 2

Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra sequência reduz-se à sua terça parte.

Note que os inversos dos números da 1ª sequência são diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.

Inversos da 1ª sequência (2,6,4,10)

x 3

x 2

Em geral, dizemos que os números da sequência (a

1, a

2, a

3, ..., a

n) são inversamente proporcionais aos números

da sequência (b1, b

2, b

3, ..., b

n) quando os números de uma

delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos inversos da outra, ou seja:

a

b

b

b

a

b

a

b

kn

n

1

1

2

2

3

3

1 1 1 1= = = = =...

ou de outra forma:

ab a b a b a b kn n1 1 2 2 3 3= = = = =...

Aqui, a constante k também é chamada de fator ou coeficiente

de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos

elementos das sequências inversamente proporcionais.

Exemplo:Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias,

no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias,

respectivamente. Se o diretor financeiro dessa fábrica dividir

R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes inversamente

proporcionais às faltas, podemos calcular a parte de cada um.

Veja:As partes devem ser diretamente proporcionais aos

inversos dos números de faltas 1

8

1

5

1

2, ,e

respectivamente.

Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes serão, então:

1

8

1

5

1

2

5 2396 5 8

· ( ), · ( ) · ( ).k Lucas k Raquel e k Elias Daí

k kk

:

k

8+ + = ⇒ + kk k k

k

k

k

+ = ⇒ = ⇒

= =

= =

=

20 396 40 480

1

8

1

8480 60

1

5

1

5480 96

1

2

1

248

·

· ·

· ·

· · 00 240=

Sendo assim, temos que:Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e

R$ 240,00, respectivamente.

Grandezas inversamente proporcionaisMatheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre

os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os possíveis números de amigos e as respectivas quantidades (B) de bombons recebidos por cada amigo:

Numero de amigos (A)

2 3 4 5 6 10 30

Bombons recebidos (B)

30 20 15 12 10 6 2

Note que os produtos obtidos entre os respectivos elementos das sequências “número de amigos” (A) e “número de bombons recebidos“ (B) são iguais:

A B A B⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⇒ ⋅ =2 30 3 20 30 2 60�

Coeficiente de proporcionalidade

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais.

Em símbolos:

A BA

Bk

onde

∝ ⇔ = ,

a constante de proporcionalidadek é

Exemplo:

Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de

trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos

inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço

idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários”

(H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note:

“quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”).

Daí, H · D = k, onde k é constante.

Daí, para os dois serviços, devemos ter:

H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias

para a realização do outro serviço.

Assim, x = =20 15

2412 5

·, .

Grandezas proporcionais a duas ou mais outras grandezas

Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, então A é proporcional ao produto B · C, isto é:

C

constante

A

Bk

onde⋅

= ,

k é

Essa propriedade se estende para mais de duas outras grandezas. Por exemplo:a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:

X

Y Z Wconstante

⋅ ⋅=



b) A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então:

M C

A Bconstante

⋅⋅

=

c) A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Q, R e diretamente proporcional à grandeza S. Então:

X

S

P Q Rconstante

⋅ ⋅ ⋅ =

Regra de sociedade

Em uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser distribuídos entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais empregados pelos respectivos sócios e ao tempo durante o qual esses capitais estiveram empregados na constituição da sociedade. É justo quem aplicou mais ganhar mais. É justo quem aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar mais.

A regra de sociedade é uma aplicação prática da divisão

em partes proporcionais.

Lucro

capital( ) (tempo)constante

⋅=

Regra de três simples e regra de três composta

Existe uma regra prática que nos permite relacionar dois valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente, de outra ou outras grandezas proporcionais à grandeza A.

Essa regra pode ser resumida assim:– 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada

coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza.

– 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência, de preferência a que se quer saber o valor.

– 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma seta com sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser para cima).

– 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência cada uma das outras, isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas no mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).

– 5º passo: Colocamos a razão da grandeza de referência

isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos a outra

razão ou o produto das outras, caso tenha mais de uma

outra lembrando que se há proporcionalidade em relação à

grandeza de referência, devemos inverter os elementos da

respectiva coluna e escrever a razão inversa no membro da

igualdade formada.

Se o problema envolve apenas duas grandezas

proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema

envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á de uma

regra de três composta.

Exemplo:Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos

precisam conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser

obtida pelo seguinte processo: coloca-se a folha da planta sobre

uma cartolina e traça-se o seu contorno.Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com

10 cm de lado, como mostram as figuras a seguir:

10 cm

10 cm

Após serem recortadas, as duas figuras são pesadas em uma balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 g para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas. Supondo que o botânico obteve a massa da figura da folha igual a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:

Área(cm2) Massa(g)100

x1,443,24

Daí, 100 1 44

3 241 44 324 255

xx x= ⇒ = ⇒ =,

,,

Logo, a área da folha é 225 cm2.

QuEStão CoMEntadaCompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.

C-1H-3

• (UFSM - Adaptado) Uma banana sem casca tem cerca de 70% de água e o restante de matéria sólida (que não se perde no processo de secagem). Na produção de banana-passa, a secagem deve ser feita em estufa, com circulação

de ar aquecido a 65 graus entre bandejas, onde as bananas

são acomodadas uma ao lado da outra, em fileiras. O tempo

de secagem é de aproximadamente 24 horas para atingir

o ponto de passa com 20% de umidade (isto é, o ponto

em que a água represente 20% da massa total).

Nessas condições, a porcentagem que a massa de banana-

passa obtida representa em relação à massa total inicial de

fruta é igual a:

a) 25%.

b) 27,5%.

c) 37,5%.

d) 40%.

e) 42,5%.



Comentário

Sendo x a massa inicial total da banana sem casca, temos:

i)Massainicialdeágua=70%dex=70

100⋅ x =0,7x

ii)Massasólida(fixa)=x–0,7x=0,3xDaí,Massasólida(fixa)=(100%-20%)·(massafinal)0,3x=0,8·(Massafinal)

Massa final = 0 3

0 8

,

,

x

Massafinal=0,375·xOu seja:Massafinal=37,5%·(massainicial)

Resposta correta: c

EXErCÍCioS dE FiXaçãoCompreendendo a Habilidade– Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do

cotidiano.C-3

H-11

01. (Unicamp - Adaptado) A figura a seguir mostra um fragmento de mapa, em que se vê o trecho reto da estrada que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri. Os números apresentados no mapa representam as distâncias, em quilômetros, entre cada cidade e o ponto de início da estrada (que não aparece na figura). Os traços perpendiculares à estrada estão uniformemente espaçados de 1 cm.

Paraguaçu Posto Piripiri

4713

Imagine que você tenha que reproduzir o mapa dado usando a escala 1 : 500.000. Se você fizer a figura em uma folha de papel, a distância, em centímetros, entre as cidades de Paraguaçu e Piripiri será de:a) 5,6. b) 6,0.c) 6,4. d) 6,8.e) 7,2.

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas,

direta ou inversamente proporcionais.C-4

H-16

02. Para a reforma do Ginásio de Esportes de certo colégio, foram contratados 24 operários. Eles executaram 40% do trabalho em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. No final do 10º dia, 4 operários foram dispensados. No dia seguinte, os operários restantes retomaram o trabalho, trabalhando 6 horas por dia e concluíram a reforma. Sabendo-se que o trabalho foi executado nos dois momentos sem folga em nenhum dia, ao todo, a reforma foi realizada em:a) 25 dias. b) 27 dias.c) 29 dias. d) 31 dias.e) 33 dias.

dE olHo no EnEM

O QuE é uM QuIlAtE DE OuRO?

A palavra “quilate” vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como unidade de peso na antiga

Grécia. Uma joia é considerada de n quilates se n

24 de sua

massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou

igual a 24.

Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e 6

de outro metal é de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18 quilates

tem 75% de ouro, e os 25% restantes são ligas adicionadas para

garantir maior durabilidade e brilho à joia. Note que 18 quilates

= 18/24 = 75% de ouro (também chamado de ouro 750).

O ouro puro tem 24 quilates (contém 100% de ouro)

e é denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca

tem uma pureza total, e a classificação mais alta cai para

999 pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.

QuilatagemConteúdode Ouro

Pureza

24 K 100% 999

18 K 75% 750

14 K 58,3% 583

10 K 41,6% 416

Disponível em: http://pt.wikipedia.org - Adaptado.

introdução

Caminhando em direção ao Enem, firmaremos neste momento alguns conhecimentos de proporcionalidade vinculados à geometria.

Nesta seção, nosso trabalho consistirá na fundamentação das propriedades decorrentes da ampliação e redução de objetos, assegurando uma maior confiança na resolução dos quesitos a seguir.


Proporcionalidade na Geometria

A geometria surge a partir da necessidade de calcular distâncias, medir superfícies, construir habitações, templos e outras coisas. Através dos tempos, os seus registros estão presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus, árabes utilizaram as formas geométricas em seu dia a dia.



Atualmente, o projeto de construção de um edifício ou de uma aeronave, por exemplo, com frequência requer a produção de modelos e maquetes em miniatura, com a mesma forma que o objeto original, permitindo obter um amplo entendimento de sua complexa estrutura. A ampliação ou redução fotográfica é outro recurso utilizado para revelar com detalhes aspectos de difícil visualização de certas situações, como a confecção da planta de uma cidade, por exemplo. Trata-se de um procedimento muito útil, pois preserva a forma dos objetos fotografados.

É incontestável que o desconhecimento das formas geométricas e suas propriedades, indubitavelmente comprometerá a percepção, a compreensão e a capacidade de raciocínio visual que a vida diária exige de nós. Através do estudo da geometria é possível observar, analisar e refletir sobre as propriedades do plano e do espaço. Neste sentido, é importante que os estudantes adquiram a capacidade de observar, reconhecer as formas geométricas e através de suas propriedades, interpretar e solucionar situações-problema da vida cotidiana.

Teorema de Tales (proporcionalidade)O Teorema de Tales garante que um feixe de paralelas

determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.

t’t

A’A

B’B

C’C

ca

db

v

s

r

r // s // v (paralelas)t e t’ (transversais)

Propriedade

a

b

c

d=

SemelhançaUm conceito muito utilizado em geometria é a ideia

de figuras semelhantes, que vem sendo utilizado desde a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma congruência são exemplos claros de semelhança.

Entre as figuras geométricas planas que são sempre semelhantes, temos todos os círculos e quadrados, enquanto na geometria tridimensional temos as esferas e os cubos.

As figuras abaixo são semelhantes.

• Duas figuras são semelhantes quando os ânguloscorrespondentes são congruentes e a medida do comprimento dos segmentos que unem quaisquer dos pontos de uma é proporcional à medida do comprimento dos segmentos correspondentes na outra. Assim, duas figuras são semelhantes se uma é ampliação ou redução da outra ou se são congruentes.

• Numaampliaçãotodososcomprimentossãomultiplicadospor um número maior do que 1 e, numa redução, todos os comprimentos são multiplicados por um número positivo menor do que 1.

• Para relacionar as dimensões de figuras semelhantes define-se a razão de semelhança, r, que é o quociente entre as medidas dos comprimentos de qualquer segmento da figura transformada e as medidas dos comprimentos do segmento correspondente da figura inicial.

Se r > 1, a figura semelhante é uma ampliação. Se r < 1, a figura semelhante é uma redução. Se r = 1, as figuras são congruentes ou geometricamente

iguais.• Ofatordeescalaentreduasfigurassemelhanteséigual

ao valor da razão de semelhança.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus pares de lados correspondentes ordenadamente proporcionais e os ângulos correspondentes iguais.

A

c

a

b

B C

A’

B’ C’

b’c’

a’

Se os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes, então:

ˆ ˆ ’ˆ ˆ ’ˆ ˆ ’

’ ’ ’( )

A AB B

C C

ec

c

a

a

b

bk razão de semelhança

===

= = =

Casos de semelhança

• Primeirocasodesemelhançadetriângulos:doistriângulossão semelhantes quando têm dois ângulos ordenadamente iguais.

• Segundo caso de semelhança de triângulos: doistriângulos são semelhantes quando têm um ângulo igual, compreendido entre dois lados proporcionais.

• Terceirocasodesemelhançadetriângulos:doistriângulossão semelhantes quando têm os três lados ordenadamente proporcionais.



Exemplo:O ângulo sob o qual um observador vê o topo de um

prédio de 88 m de altura duplica quando esse observador se aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se aproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o observador e o prédio pode ser inferida, usando-se semelhança de triângulos.

α 2αB

A

110 m 50 m C D

88 m

3α

Para isso, veja no modelo matemático seguinte que os triângulos AEC e EBC são semelhantes.

α

αα

2α 3α110 50 x

88

BA C D

E

Daí, CE

CECE

50

16080002= ⇒ =( )

Agora, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, obtemos:

(CE)² = x² + 88² 8000 = x² + 7744 x = 16 m

Semelhança de Polígonos

Dois polígonos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais.

B

A

E

D

C

c

ba

c d

A’

e’

E’

B’

a’

b’

C’

D’

d’

c’

ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’

’ ’ ’ ’ ’

A A B B C C D D E Ea

a

b

b

c

c

d

d

e

ek

= = = = =

= = = = =

⇒ ABCDE A CDE~ ’ ’ ’ ’ ’B

Importantíssimo:• k é chamado razão de semelhança.• Sedois triângulossãosemelhantes,aproporcionalidade

se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, perímetros, inraios, circunraios etc.

• Éfácilprovarqueseospolígonossãosemelhantescomrazão de semelhança k, a razão entre as áreas é k².

• Uma extensão razoável dos resultados acima vemos que na geometr ia espac ia l quando se tem do i s sólidos semelhantes, dizemos que a razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança, isto é, k³.

Exemplo:Um bolo em forma de pirâmide tem altura 30 cm e

área da base igual a 150 cm2. Usando semelhança de sólidos geométricos, podemos determinar a área da secção superior do tronco da pirâmide obtida quando se corta o bolo paralelamente à base e a 17 cm dela. Veja:

Ab = 150 cm2

30

h

17

Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção transversal), podemos concluir que:• h = 30 – 17 = 13 é a razão de semelhança da pirâmide

menor (acima do corte) e a maior (bolo completo) é

k = 13

30;

• Área da secção (pirâmide menor)

Área da base (pirâmide maior)k ;= 2

• Assim, .150

1330

2

=

Área da secção (pirâmide menor)

Logo, a área da secção é aproximadamente igual a 28,2 cm2.

QuEStão CoMEntadaCompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas..

C-3 H-12

• Umreservatórioemformacônica, totalmentecheio,dealtura 6 dm e raio da base 2 dm, está com o vértice A voltado para baixo. Devido a um vazamento nesse vértice, a altura da água passou a ser 3 dm, como mostra a fig.1. Para fazer o reparo, esse reservatório foi invertido, ficando com o vértice A voltado para cima.



2 dm

6 dm

3 dm

A

A

(Fig. 1) (Fig. 2)

A água depositada no fundo do recipiente, com essa movimentação, conforme fig. 2, formou um tronco de cone, cuja altura mede:

a) 25 3 73+( ) dm

b) 12 3 73+( ) dm

c) 12 3 73−( ) dm

d) 6 3 73+( ) dm

e) 6 3 73−( ) dm

Comentário

2 dm

6 dm

3 dm

A

A

(Fig. 1)

V1

V1

V2

V2

(Fig. 2)

6 – h

h

i)Emvirtudedoparalelismoentreasuperfíciedolíquidoeabasedoreservatório(Fig.1),podemosescrever:

V V

VV V

semelhan a

1 2

2

3

1 26

38 7

+ =

= → =

ç ó de s lidos� ��

ii)Nafig.2,aplicandoraciocínioanálogo,temos:

V V

V h

V

V h1 2

1

32

2

36

6

8

7

6

6

+ =−

→ =−

Simplificando a sentença acima, concluímos:

8

7

6

6

6

6

2

76 3 73

3

3=−

→−

= → = −( )h h

h dm.

Resposta correta: e

EXErCÍCioS dE FiXaçãoCompreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.C-2

H-9

03. Na mesma escala, temos na ilustração a seguir, a planta de uma rede elétrica de um bairro. A reta r é um cabo de alta tensão e deve ser anexado à rede nos pontos Q1, Q2 e Q3. As demais retas, sempre paralelas ou perpendiculares entre si, representam as linhas normais de transmissão das ruas, sendo os postes seus pontos de interseção. A circunferência de raio 3 cm, centrada no poste P1 , é uma região de isolamento de segurança para o mesmo, e t seu ponto de tangência com a reta r.

P2

r

P1

P1

Q3

Q2

Q1

T

Se a distância entre os postes numa mesma reta é sempre

igual a 45

4cm, e TQ1 mede 4 cm, podemos concluir que

a medida da distância P Q2 3 , em centímetros, é igual a:a) 6,0 cmb) 7,8 cmc) 10,0 cmd) 13,4 cme) 16,8 cm

Compreendendo a Habilidade– Avaliarpropostadeintervençãonarealidadeutilizandoconhecimentos

geométricos relacionados a grandezas e medidas.C-3

H-14

04. Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone circular reto invertido, de eixo vertical, e está cheio até a boca (nível do solo) com 27000 litros de água e 37000 litros de petróleo (o qual é menos denso que a água).



Sabendo que a profundidade total do tanque é 8 metros e que os dois líquidos não são miscíveis, podemos concluir que a altura da camada de petróleo é:a) 6 metros. b) 2 metros.

c) 3 37

π metros.

d) 27

16 metros.

e) 37

16 metros.

dE olHo no EnEM

REtâNgulO ÁuREO

Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado ABFE, o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo original.

B

A

FF

a

a

b

ba

E

EC

C

D

D

B

A

FF

a

a

b

ba

E

EC

C

D

D

Como os retângulos ABCD e CDEF são semelhantes, temos:

a

a b

b

ab ab a

a

b

a

b+= ⇒ + = ⇒ + =

2 22

1

Daí, fazendo ka

b= , obtemos k² = k + 1

Portanto, ka

bn mero de ouro= = +1 5

2( )ú

Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou seja, a razão entre seus lados é igual ao número de ouro:

a

b= +1 5

2

a

b

Observe, no modelo matemático seguinte, que os triângulos 1 e 2 são semelhantes.

a

T2

T1

a

θ

θ

α

α

a

a – b

b

b

b

b

Assim, temos b

a

a b

b= −

, o que nos dá a

b= +1 5

2

(número de ouro)

introdução

Aideiadeproporcionalidadeestánaturalmenteembutidano raciocínio humano. Sua importância se dá pela sua ampla perspectiva de aplicação no estabelecimento de relações em todas as áreas do conhecimento. Diversas leis naturais, diversos fenômenos físicos, biológicos ou sociais podem ser explicados e quantificados através do conceito de proporcionalidade. Talvez nenhuma outra função matemática expresse tão bem essa ideia quanto a função afim.


Função afimToda função f de R em R dada por uma lei da forma

f(x) = ax + b, em que a 0 e b são constantes reais, é dita função afim ou função do 1º grau, cuja representação gráfica é uma reta. Nessa função, o coeficiente de x (a) é chamado de coeficiente angular e o termo independente de x (b), de coeficiente linear.



ObservaçãoPara a > 0, o gráfico de f é uma reta crescente e para

a < 0, uma reta decrescente.

y

x

raiz

b > 0a > 0

b < 0

b = 0

raiz raiz

y

xraizraiz

b > 0a < 0

b < 0

b = 0

raiz raiz

Taxa de variação

Sendo x1 e x

2 dois elementos distintos do domínio de f,

tais que f( x1 ) = y

1 e f( x

2 ) = y

2, temos:

f x ax +b y

f x ax +b y2 2 2

1 1 1

( ) = =( ) = =

Subtraindo membro a membro essas igualdades,

obtemos:a( x

2 – x

1) = y

2 – y

1 a

y y

x x= −

−2 1

2 1

Sendo assim, o coeficiente angular de f, a, pode ser

interpretado como sendo a taxa de variação de f(x) = y, em

relação a x, no intervalo fechado [x1, x

2 ], isto é:

af x f x

x x= −

−( ) ( )2 1

2 1

(constante)

Já calculando o valor numérico de f(0), obtemos:

f(0) = a · 0 + b f(0) = b

Isso nos mostra que o coeficiente linear b representa

o valor da função quando a variável assume o valor zero.

Frequentemente, b está associado ao valor inicial da função (ou

valor fixo), enquanto que a está relacionado ao valor variável

(ou unitário).

QuEStão CoMEntadaCompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

C-5 H-21

• DionísiopossuiR$600,00,eéomáximoquepodegastarconsumindo dois produtos A e B em quantidades x e y respectivamente. O preço por unidade de A é R$ 20,00 e o de B é R$ 30,00. Admite-se que as quantidades x e y sejam representadas por números reais não negativos e sabe-se que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com produto A. Nessas condições, o conjunto dos pares (x,y) possíveis, representados no plano cartesiano, determinam uma região cuja área é:a) 195 b) 205c) 215 d) 225e) 235

Comentário

Das informações do enunciado, temos as seguintes inequações:

20 30 60020 300

0 0

30 201

0 150

x yx

x y

x y

xy

+ ≤≤

≥ ≥

⇒

+ ≤

≤ ≤≥

e

Representado no plano cartesiano obtemos a seguinte figura:

20

y

10

15 30 x

Aáreadafiguraé: S = + =( )20 30 15

2225

Resposta correta: d

EXErCÍCioS dE FiXaçãoCompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.C-5

H-21

05. Por volta do século XIX, o cientista inglês William Thompson, mais conhecido como Lorde Kelvin, percebeu, através de experimentação, que quando um gás a volume constante era resfriado sua pressão diminuía linearmente. Sendo a pressão do gás uma consequência da agitação térmica das partículas, Kelvin concluiu que a temperatura



deveria diminuir até que cessasse o movimento das partículas, ou seja, o estado de agitação térmica das partículas deveria ser nulo, e adotou esse conceito que ficou conhecido como zero absoluto. No mundo físico não há temperatura abaixo desse valor. O zero absoluto é um estado térmico que existe teoricamente, mas na prática nunca foi atingido. Na realidade, ele é inatingível.

Abaixo, temos um esquema em que a pressão de um gás, mantido com volume constante, é medida através de uma coluna de mercúrio.

73 mm

– 200 ºC – 100 ºC 0 ºC 100 ºC

173 mm

273 mm

373 mm

De acordo com os dados do experimento, podemos concluir que:a) o zero absoluto é inatingível.b) o zero absoluto é –100 °C.c) o zero absoluto é –200 °C.d) o zero absoluto é –273 °C.e) o zero absoluto é –273,15 °C.

Compreendendo a Habilidade– Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.C-5

H-20

06. Em uma sala de cateterismo cardíaco foram feitas várias tomadas de pressão sistólica do ventrículo esquerdo. Foram feitas várias medidas de pressão, em intervalos regulares de tempo. Após 30 min de exame, foi feita uma injeção de contraste, fazendo com que a pressão se elevasse de A para B, para depois cair de B para C. O intervalo de tempo decorrido a partir da injeção de contraste até a pressão atingir 140 mmHg foi de (conforme o gráfico):

P (mmHg)B

155

150

140

130

120

0 10 20 30 40 50 (min)

AC

D

a) 2,5 min b) 3,0 minc) 3,5 min d) 4,0 mine) 4,5 min

dE olHo no EnEM

lEI DOlBEAR

Certamente todos nós já passamos, em algum momento, pelo incômodo de ouvir o estridente “criquilar” de um grilo. E, provavelmente, tenhamos verificado que num fim de tarde muito quente, os grilos “cantam” com uma frequência maior do que à noite, com temperatura mais fresca. Essa observação foi quantificada e publicada pela primeira vez em 1897 pelo inventor americano E. A. Dolbear, em um artigo chamado “O grilo como termômetro”, que forneceu a fórmula empírica:

TN= + −

1040

7

Essa fórmula, por vezes, é chamada de Lei de Dolbear, e foi formulada originalmente em graus Fahrenheit (mas acima, os valores estão em Celsius) e, é claro, varia de espécie para espécie. De acordo com a fórmula acima, se os grilos cantarem a uma taxa de 110 vezes por minuto, a temperatura é de 20 °C. Se cantarem 145 vezes por minuto, a temperatura é de 25 °C. Cada estrilado é feito quando o grilo fricciona sua asa dianteira direita contra sua asa dianteira esquerda, que é coberta de serras.

Nesse processo, a criação do som ocorre de maneira similar ao ato de passar sua unha sobre os dentes de um pente. Em insetos, a esse comportamento dá-se o nome de estridulação, já às pessoas que fazem barulho com as unhas e os dentes de um pente, dá-se apenas o nome de “chatos”.

EXErCÍCioS ProPoStoS

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.C-1

H-3

01. (Unicamp - Adaptado) Sabe-se que uma molécula de água é composta por dois átomos de hidrogênio e um átomo de carbono, cujas massas atômicas são, respectivamente, 1 u e 16 u, aproximadamente, em que u representa a unidade de massa atômica. O corpo humano é composto majoritariamente por água, cuja porcentagem, em massa, pode variar entre 80%, quando se nasce, e 50%, quando se morre, ou seja, perde-se água enquanto se envelhece.



Considere que, aos 3 anos de idade, 75% do corpo humano é água, e que todo o oxigênio do corpo humano seja o da água aí presente.

Nesse caso, pode-se afirmar que a proporção em massa de oxigênio no corpo da criança de 3 anos é de aproximadamente:

a) 3

4 b)

2

3

c) 1

2 d)

3

5

e) 2

5

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta

ou inversamente proporcionais.C-4

H-16

02. (UFRJ) Leia a tirinha.

OS BICHOSFred Wagner

Se juntarmos500 gravetospor dia...

...o que implica12 horas detrabalho, sem

almoço...

Isso na melhordas hipóteses!

...conseguiremos mon-tar o ninho em duas outrês semanas, querida!

E aquela gaiolavazia na casa

do sítio?Boaideia!

Admita que os pássaros levem exatamente três semanas para construir seu ninho, nas condições apresentadas nos quadrinhos.

Se eles quiserem construir o ninho em apenas duas semanas, trabalhando 9 horas diárias, deverão juntar, por dia, a seguinte quantidade de gravetos:a) 600b) 800c) 900d) 1000e) 1200

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta

ou inversamente proporcionais.C-4

H-16

03. (Profmat-Sbm) Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vendeu 4 vacas. Passando mais 15 dias ele compra 9 vacas. Depois desta última compra, a reserva de ração foi suficiente para alimentar as vacas por mais:a) 40 dias. b) 36 dias.c) 32 dias. d) 30 dias.e) 28 dias.

Compreendendo a Habilidade– Identificar representações algébricas que expressem a relação entre

grandezas.C-5

H-19

04. O tamanho de uma folha de papel é definido pela Norma Internacional ISO 216.

Na série A, uma folha consiste em um retângulo construído de forma a se manterem as razões entre o lado maior e o lado menor, quando o papel se divide ao meio.

Assim, o papel A0, que tem 1 m2 de área, ao ser dividido ao meio, dá origem a duas folhas de papel A1, como você pode ver na figura.

papel A0

papel A1

papel A1papelA1

yy

xx

yy

yy

x2x2

x2x2

x2x2

Cada folha de papel A1, por sua vez, dá origem a duas folhas de papel A2.

Cada folha de papel A2 dá origem a duas folhas de papel A3 e assim sucessivamente.

O tamanho de papel mais utilizado pelas pessoas em casa e nos escritórios, é o tamanho A4, cuja menor dimensão é 21 cm.

A fórmula que expressa o valor de x a partir do valor de y e a maior dimensão de uma folha A4 são, respectivamente:

(Use 2 ≈ 1,414)

a) x y= +2 2 e 31,694 cm.

b) x y= +2 1 e 30,694 cm.

c) x y= 2 e 29,694 cm.

d) x y= −2 1 e 28,694 cm.

e) x y= −2 2 e 27,694 cm.

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de

espaço e forma.C-2

H-8

05. A “divina proporção”, também conhecida como proporção áurea, foi usada por Leonardo da Vinci para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários pontos do quadro aparece o retângulo áureo, como ilustrado na figura 1.

Na figura 2, os quadriláteros ABDF, CDFH, EFHJ, GHJK, IJKL são retângulos áureos semelhantes e os quadriláteros ABCH, CDEJ, EFGK, GHIL são quadrados.

F DE

G

H

A

Figura 1: Mona Lisa e proporções Figura 2: Retângulos áureos

B

CJI

L Kx

x



Sabendo-se que a razão entre o maior lado e o menor lado do retângulo áureo é igual ao número de ouro j, e chamando a medida do lado do quadrado GHIL de x cm, pode-ser afirmar que a razão entre a área do quadrado GHIL e a área do quadrado ABCH é igual a:

a) 16ϕ

b) 14ϕ

c) 1

2ϕ d)

1

ϕe) j

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de

espaço e forma.C-2

H-8

06. Um cabo de aço AC de 7 m de comprimento foi utilizado para sustentar um muro, e uma barra de aço EB, paralela ao chão, foi fixada nesse cabo, perpendicularmente ao muro, como mostra a figura a seguir.

AA

EE BB

DD CC

Se AB = 3 m e AE = 2,4 m, então AD, em metros, é igual a:a) 3,0b) 4,0c) 4,6d) 5,6e) 6,0

Compreendendo a Habilidade– Avaliarpropostadeintervençãonarealidadeutilizandoconhecimentos

geométricos relacionados a grandezas e medidas.C-3

H-14

07. Numa escavação arqueológica, dois exploradores encontraram uma pirâmide de ouro maciço, com base quadrada de aresta a, e altura H, como mostra a figura (meramente ilustrativa e fora de escala) a seguir.

a

hH

Para dividi-la em dois sólidos de volumes iguais, cortaram a mesma com um plano paralelo à base a uma altura h do vértice da pirâmide.

Assim, a expressão matemática que permite calcular a medida h em função de H deve ser:

a) hH=3

b) hH=3

c) hH=2

d) hH=2

e) hH=23

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.C-5

H-21

08. Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$ 80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 96.000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variáveis, tais como matéria-prima, por exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00.

Em 2009, a empresa lucrou R$ 60.000,00. Para dobrar o lucro em 2010, em relação ao lucro de 2009, a quantidade vendida em 2010 terá de sofrer um aumento percentual, em relação a 2009, mais próximo de: a) 120 b) 100c) 80 d) 60e) 40

Compreendendo a Habilidade– Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.C-5

H-20

09. Maria comprou um aquário e deseja criar dois tipos de peixes: os vermelhos e os amarelos. Cada peixe vermelho necessita de 5 litros de água e consome 10 gramas de ração por dia. Cada peixe amarelo necessita de 3 litros de água e consome 4 gramas de ração por dia. O aquário de Maria tem 300 litros, e ela deseja gastar, no máximo, 500 gramas de ração por dia.

Considere as quantidades de peixes vermelhos e amarelos como valores reais x e y, respectivamente.

A região do primeiro quadrante do plano cartesiano xy, cujos pares ordenados definem as quantidades de peixes vermelhos e amarelos que podem estar no aquário, está melhor representada pelo gráfico:a)

y

125125

5x + 3y = 300

10x + 4y = 500

100

50

30 5050 60 x



b)

y

125125

5x + 3y = 300

10x + 4y = 500

100

50

30 5050 60 x

c)

y

125125

5x + 3y = 300

10x + 4y = 500

100

50

30 5050 60 x

d)

y

125125

5x + 3y = 300

10x + 4y = 500

100

50

30 5050 60 x

e)

y

125125

5x + 3y = 300

10x + 4y = 500

100

50

30 5050 60 x

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a

construção de argumentação.C-5

H-22

10. Até o ano de 2000, a inflação num certo país manteve-se em 4% ao ano, aproximadamente. A partir daí sofreu aumentos sucessivos de 2% ao ano, até 2002, declinando novamente em 2003, conforme mostra o gráfico abaixo. Segundo previsões otimistas de que esse declínio se manterá constante pelos próximos anos, pode-se esperar que a inflação volte ao patamar de 4% no ano de:

2000 2001 2002 2003

4%

6%

8%

a) 2008 b) 2009c) 2011 d) 2012e) 2010

GABARITOS

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01 02 03 04 05 06

d d c b d a

EXERCÍCIOS PROPOStOS

01 02 03 04 05

b d e c a

06 07 08 09 10

d e e a e

anotaçõES



Diretor-Superintendente: Tales de Sá CavalcanteDiretora Pedagógica: Hilda PriscoDiretora Controller: Dayse TavaresSupervisão Pedagógica: Marcelo PenaGerente do FBEscolas: Fernanda DenardinGerente Gráfico: Andréa Menescal

Coordenador Gráfico: Sebastião PereiraProjeto Gráfico: Joel Rodrigues e Franklin BiovanniEditoração Eletrônica: Robert OliveiraIlustrações: Gilberto AbreuRevisão: Kelly Gurgel

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