matemÁtica professor 3a sÉrie – volume iii · apresentação: olá, querido aluno. o material...

MATEMÁTICA PROFESSOR 3a SÉRIE – VOLUME III

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesCamila OliveiraDominique CoutinhoErlon Pedro Pereira

Estagiários:Carolina BarrosThalles Arariba

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no 114 – Tijuca – RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:

Língua Espanhola: Língua Inglesa: Língua Portuguesa:

Literatura:

Matemática: Química:Sociologia:

Biologia: Língua Espanhola: Língua Inglesa: Química:

Autores:

Atualizações:

Leandro MaiaGustavo BertocheWilmington CollyerDuarte VieiraMontgomery Miranda / Bernardo PadulaLeila Noronha / Marcelo BeauclairMizael Souza Jaqueline HalackLeila Noronha / Marcelo BeauclairLeila Noronha / Marcelo BeauclairJoão Luiz / Gláucio PitangaWendel MedeirosAnne Nunes

Cid Medeiros Maria Izadora ZarroMaria Izadora ZarroBeattriz Guedes

17 04 19 1901

Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Além dos exercícios tradicionais, de concursos, propomos uma atividade mais experimental no final de cada capítulo. Na seção Pesquisando, você encontrará uma proposta de reflexão e/ou pesquisa com o intuito de tornar o aprendizado teórico mais prático e concreto. Essa atividade poderá ser usada para seminários e apresentações, de acordo com a agenda pedagógica da escola.

Além dos exercícios tradicionais, propomos uma atividade de revisão importante, que chamamos de Resumindo. No final de cada aula, convidamos os alunos a relembrar os pontos mais importantes e resumi-los com as suas próprias palavras. Essa atividade é essencial para a consolidação da apren-dizagem, pois, ao criar um resumo próprio, o aluno deixa a postura passiva e assume o protagonismo do processo e, ao escolher as próprias palavras que sintetizam o conteúdo, torna mais acessível essas informações em seu cérebro.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender“A Educação é a arma mais poderosa

que você pode usar para mudar o mundo.”(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

MATEMÁTICA I 3a SÉRIE

CAPITULO TOPICO AULAS TÍTULO1.1 Conjuntos1.2 Interpretação de dados2.1 Medidas de tendência central2.2 Medidas de dispersão3.1 Porcentagem3.2 Juros4.1 Introdução / Relações4.2 Classificação, função composta e inversa6.1 Equações e Inequações do 1o grau6.2 Funções do 1o grau6.1 Equações do 2o grau6.2 Problemas de máximo e mínimo / Inequações

Funções Exponenciais e 7.1 Funções ExponenciaisLogaritmicas 7.2 Log / Funções logarítmicas

8.1 Princípio Multiplicativo e Permutações8.2 Arranjos e Combinações9.1 Casos básicos9.2 Probabilidade condicional

10.1 PA10.2 PG11.1 Matrizes e determinantes11.2 Sistemas lineares

Problemas de raciocínio 12.1 Problemas de raciocínio I12.2 Problemas de raciocínio II

MATEMÁTICA II 3a SÉRIE

CAPITULO TOPICO AULAS TÍTULONúmeros e 13.1 Múltiplos e divisoresGrandezas 13.2 Grandezas e medidasRazões e 14.1 Razões e Escalas

proporções 14.2 Proporções e Regra de trêsGeometria plana: 15.1 Plano cartesiano e simetria

conceitos, ângulos e polígonos 15.2 Ângulos e polígonosGeometria plana: 16.1 Triângulos

triângulos 16.2 Relações métricas nos triângulosGeometria plana: 17.1 Quadrilateros

quadriláteros e circunferências 17.2 CircunferênciasGeometria plana: 18.1 Relações métricas nas circunferências

relações métricas nas circunferências 18.2 Polígonos regulares e circunferênciasGeometria plana: 19.1 Áreas de polígonos

áreas 19.2 Áreas circularesGeometria espacial: 20.1 Conceitos e projeções

conceitos e poliedros 20.2 PoliedrosGeometria espacial: 21.1 Prismas e Cubosprismas e cilindros 21.2 Cilindros

Geometria espacial: 22.1 Pirâmides e Conespirâmides, cones e esferas 22.2 Esferas

Trigonometria: 21.1 Triângulo retânguloconceitos 21.2 Círculo trigonométrico

Trigonometria: 24.1 Equações trigonométricasfunções 24.2 Funções trigonométricas

Analise Combinatoria

Probabilidade

Sequências

Matrizes

Estatística

Estatística

Matemática Financeira

Funções

Equações e Funções 1º grau

Equações e Funções 2º grau

24

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

12

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

EM3M

AT05

EQUAÇÕES E FUNÇÕES DO 1o GRAU

1

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Equações e funções do 1o grau

Objetivos de aprendizagem:• Compreender a equação do 1o grau e os mé-

todos de adição, substituição e comparação para resolução de sistemas de equação do 1o grau;

• Compreender os aspectos pertinentes da função do 1o grau, como os coeficientes, zero da função e a construção do gráfico dessa função.

• Estudar o sinal dessa função para resolver inequações e sistema de inequações;

• Resolver problemas envolvendo equação, inequação, função e sistemas de equações ou de inequações do 1o grau e exercícios de construção e interpretação de gráficos dessa função.

Praticando: 1) 9

2) a) 2310 m b) 660 m c) 1050 m

3) a) 160 gramas b) 295 gramas

4) E – 7

5) 25 candidatos

6) 40 bombons

7) Maria foi beneficiada, dois comprou 15 dúzias com Vera e 15 dúzias com Paulo, totalizando 30 dúzias.

Habilidades do ENEM: 8) E

Praticando: 9) D

Para não ter prejuízo, faturamento e custo de-vem ser iguais.

FT(q) = CT(q) 5q = 2q + 125q – 2q = 123q = 12Q = 12/3Q = 4

10) BGasolina: 6000 km / 10km = 600L x 2,20 = 1320Gás: 6000 km / 12km = 500m³ x 1,10 = 550Economia: 1320 – 550 = 770 por mês3000 /770 = 3,9 meses = 4 meses

11) DJaneiro = 880 605 – 4 300= 876.305Fevereiro = 880 605 Y = Produção de Janeiro + incrementoxY = 876.305 + 4300x

12) C Pagamento com atraso = pagamento original

+ multa = 500 + 10 = 51040 centavos por dia de atraso = 0,40 xM(x) = 510 + 0,40x

13) Deveria ser a questão 22, pois tem conceitos básicos de função.a) f(1) = – 4.1+ 8 = – 4 + 8 = 4

f(1) = 4

b) (0,b) = (0,8)y

x2

8

(– b

, 0) = (– 8

) = (2, 0

) = (2, 0)a – 4 –x + 2

EM3M

AT05


2

14) B

15) B

16) C

17) D

Habilidades do ENEM: 18) A

Aprofundando:19) Resposta: A pessoa A possui R$302,00; B pos-sui R$ 1208,00; C possui R$594,00 e a pessoa D, R$614,00.

20) Resposta: a) O preço de uma corrida de 11 km é R$12,90. b) A distância percorrida pelo pas-sageiro que pagou R$21,50 pela corrida foi de 21 km.

21) f(x) = 2x + 12Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, 12)Interseção com o eixo x:

(– b

, 0) = (– 12

, 0) = (–6,0)a 2

12

x

y

– 6

22) 5

y

x

23) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, 2) – b = 2Interseção com o eixo x: (–2 / a, 0)= (–6, 0)–2 / a = –6–2 = –6aA= –2 / –6A = 1 / 3Y = ax + bY = 1/3 x + 2

24) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0,8) – b = 8Interseção com o eixo x: (–8 / a, 0) = (4, 0)–8 /a = 4–8 = 4aA = –8 / 4A = –2Y = ax + bY = –2x + 8

25) Interseção com o eixo y: (0, b) = (0, –5) – b= –5Interseção com o eixo x: (–(–5)) / a, 0) = (–10, 0)5 / a = –105 = –10aA = –5/10A = –1/2Y = ax + bY = –1 / 2 x – 5

26) Interseção com o eixo y: (0,b) = (0,8) – b = 8Interseção com o eixo x: (–(8) / a, 0) = (–2, 0)–8 / a = – 2–8 = –2aA= –8 / –2A = 4Y = ax + bY = 4x + 8

27) Parcela fixa = coeficiente linear = 50Parcela variável = coeficiente angular = 1550 + 15 . 8 = 170 reais140 – 50 = 90 / 15 = 6 horasC(h) = 50 + 15h

28) BQO = – 20 + 4P QD = 46 – 2PQO =QD– 20 + 4P = 46 – 2P4P + 2P = 46 + 206P = 66P = 11

EM3M

AT05


3

29) V = Y + 5 = 65 reais

30) C

31) B

32) C

33) Vamos considerar:Julho 2000 – 0 – (0,35,6) – b = 35,6Y = ax + bY = ax + 35,6Julho 2001 – (12,22)22 = 12a + 35,622 – 35,6 = 12a–13,6 = 12aA = –13,6 / 12A = –1,13Maio 2001 – (10,y)Y = –1,13x + 35,6Y = 1,13.10 + 35,6Y = –11,3 + 35,6Y = 24,3 bilhões de dólares

34) DS = A + Bt + Ct2

Precisamos que c = 0, pois como o gráfico é uma reta, será uma função do primeiro grau.

S = A + BtO A é o coeficiente linear, então A = 12, pois o

ponto é (0,12) = (0,coeficiente linar).S = 12 + BtEscolhemos o ponto (3,0):0 = 12 + B . 3–12 = 3bB = –12/3B = –4A = 12 B = – 4 C = 0

35) DComo é dito que a variação da temperatura

seja, aproximadamente, linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, e 400 m está entre 100m e 500m, então:

100m – 21 – (21,100)400m – x – (x,400)

500m – 7 – (7,500)Y = ax + b100 = 21a + bB = 100 – 21a400 = ax + b500 = 7a + bB = 500 – 7aB = B100 – 21a = 500 – 7a–21a + 7a = 500 – 100–14a = 400A = 400 / –14A = –28,6B = 100 – 21 (–28,6)B = 100 + 600,6B = 700,6400 = – 28,6x + 700,6400 – 700,6 = –28,6x–300,6 = –28,6xX = 300,6 / 28,6X = 10,5

36) DPlano K: 29,90 + 0,20 (x – 200)Plano Z: 49,90 + 0,10 (x – 300)Só montando as equações podemos eliminar

as opções A, B e E.Vamos igualar os planos para saber qual a op-

ção correta:K: 29,90 + 0,20 (x – 200) = 29,90 + 0,20x – 40Z: 49,90 + 0,10 (x – 300) = 49,90 + 0,10x – 3029,90 + 0,20x – 40 = 49,90 + 0,10x – 300,20x – 0,10x = 49,90 + 40 – 30 – 29,900,10x = 20+100,10x = 30X = 30 / 0,10X = 300 (momento em que os dois planos cus-

tam a mesma coisa).400 minutosK: 29,90 + 0,20x – 40 = 29,90 + 0,20 . 400 – 40

= 29,90 + 80 – 40 = 29,90 + 40 = 69,90Z: 49,90 + 0,10x – 30 = 49,90 + 0,10 . 400-30 =

49,90 + 40 – 30 = 49,90 + 10 = 59,90

37) D

Habilidades do ENEM: 38) B

EM3M

AT05


4

Desafiando: 39) D

y (%

de

carg

a)

100

90

75

0 z t (t + 2)

Para resolver essa questão vamos usar seme-lhança de triângulos:

Triângulo com vértices 100, t e 0 com o triân-gulo com vértices 100,75 e x

t–0 / z–0 = 100–0 / 100–75t / z = 100 / 25t / z =4z = t / 4 Triângulo com vértices 90, t+ 2 e 0 com o

triângulo com vértices x, t + 2 e zt+2–0 / t+2–z = 90–0 / 75t+2 / t+2–t / 4 = 90 / 75t + 2 –t / 4 = 4t + 8 – t 4 = 3t+8 / 4t+2 / 3t+8 / 4 = 18 / 1515(t+2) = 18(3t+8) / 415t + 30 = 9(3t+8) / 230t + 60 = 27t + 7230t – 27t = 72 – 603t = 12T = 12 / 3T = 4

40) D

EM3M

AT06


5


Equações e funções do 2o grau

Objetivos de aprendizagem:• Identificar uma função polinomial do 2o grau,

compreendendo sua importância e aplicações;• Calcular e analisar seus principais parâmetros e

interseções com os eixos cartesianos;• Determinar raízes e realizar estudos de sinal;• Resolver problemas de maximização e mini-

mização de funções quadráticas;• Determinar conjuntos–solução de inequações

produto e quociente.

Praticando: 1) f(x) = 3x2 –5x –10 f(–2) = 3.4+10 –10

f(–2) = 3(–2)2–5(–2) –10 f(–2) = 12

2)a) S = (–b)/a = (–(–10))/1 = 10b) P = c/a = 24/1 = 24c) m + n = 10 m . n = 24Método da substituição:n = 10 – mm(10 – m) = 2410m – m2 = 24–m2 + 10m – 24 = 0m2 – 10m + 24 = 0x =( –b± (b2 – 4ac)) / 2ax = (–(–10)± (–10)2 – 4.1.(24))/(2(1))x = ( 10± (100–96))/2x = (10± 4)/2x = (10±2)/2X1 = 12/2 = 6X2 = 8/2 =4As raízes são 4 e 6.

3) V(t) = –2t2 – 8t + 120V(3) = –2(3)2 – 8(3) + 120V(3) = –2.9 – 24 + 120V(3) = –18 – 24 + 120V(3) = –2.9 – 24 + 120V(3) = 78Letra D

4) F(x) = ax2 + bx + cP(0, 2) – logo, c = 2Q(1, 2) → 2= a + b + 2R(–3, 0) → 0= 9a – 3b + 2Sistema:2 = a + b + 2A + b = 0A = – bSubstituindo A=–b em:0= 9a – 3b+2–9b – 3b = –2–12b= –2B=1/6, logo como A=–b, então: a=(–1)/6Portanto, F(x)= (–1)/6x2+1/6x+2Letra A.

5) f(x)= x2 – 10x + 16a) (0,16)b) x = (–b± b2–4ac)/2ax = (–(–10)± (–10)2–4.1.(16))/2.1x = (10± 100–64)/2x = (10±6)/2X1 = 16/2 = 8 → (8,0)X2 = 4/2 = 2 → (2,0)

c) Xv = (–b)/2a = (–(–10))/2.1 = 10/2.1 = 5Yv = (–∆)/4a = (–36)/4.1 = –9 5, –9)

d)

e) Im = [–9,+∞)

6) C

7) Percebemos que as interseções com o eixo x são: (0,0) e (10,0)

Logo, a forma fatorada é h(t) = a(t – t1 )(t – t2).h(h) = a(t – 0 )(t – 10)h(t) = a(t)(t – 10)h(t) = a(t2 – 10t)fht) = at2 – 10atPara descobrirmos o valor do a, substituímos

o ponto (1,18) na forma fatorada:

EM3M

AT06


6

h(t) = at2 – 10at 18/ (–9)=a18 = a – 10a A= – 218=–9aLogo, a forma fatorada é h(t) = –2t2 +20t.Para descobrir a altura do projétil, basta subs-

tituir em t=2.h(2) = –2.22 + 20.2 h(2) = 32h(2)=–8+40 A altura é 32 metros.

8) y = –x2/36 + cComo podemos perceber no gráfico, o ponto

de interseção com o eixo y é (0,9), logo c=9. As-sim: y=–x2/36+9

Para descobrirmos quando a bola toca no chão, fazemos:

0 = –x2/36+9–x2/36= –9–x2 = –324x2 = 324x = 324x = 18 mA bola tocaria o chão atrás do gol, então te-

mos que testar qual altura estará quando estiver na posição de 16 metros na horizontal. Ou seja, devemos colocar x=16

y = –162/36+9 y = –7,11+9y = –256/36+9 y = 1,89 m

Como a altura de 1,89m é menor do que a altura interna do gol, portanto a bola foi parar dentro do gol.

Letra C.

9) D

Habilidades do ENEM:10)

39 = (–t2)/4+400 –1444 = –t2(–1)39 – 400=(–t2)/4 1444 = t2

–361=(–t2)/4 T = 1444–361 x 4 = –t2 T = 1444 T = 38Letra D

11) a) y – 5 = x .x – 10 . xy – 5 = x2 – 10xy = x2 – 10x + 5

Na verdade, devemos calcular Xv = (–b)/2a = (–(–10))/2.1 = 10/2 = 5.

O valor x = 5 torna o y mínimo.b) Devemos calcularYv = –∆ = –[(–10)²–4.1.5] = –[100–20] = –80 = –20. 4a 4 4.1 4 O valor mínimo de y é –20.

c) Isso já foi calculado na letra a e b, retirar essa opção.

Vértice = (5,–20).

12) V(n) = –4n² + 120n + 10C(x) = – 2n² + 20n + 100Lembre–se que lucro= venda – custoL(x)= – 4n² + 120n + 10 – [– 2n² + 20n + 100]L(x)= – 4n² + 120n + 10 +2n² – 20n – 100L(x)= – 2n² + 100n – 90Veja que é pedida a quantidade de unidades, e

a unidade faz o papel de x, logo, calcula–se o Xv.Xv= (–b)/2a = (–(100))/(2.(–2)) = (–100)/(–4) = 25Letra A.

13) O volume é a multiplicação entre x, 20 – x e 2.V(x) = x.(20 – x).2V(x) = 2x(20 – x)V(x) = 40x – 2x2Como queremos saber o volume e o volume

é o Yv = (–∆)/4a = (–[(40)² – 4. (–2).0])/(4.(–2)) = (–[1600])/(–8) = (–1600)/(–8) = 200.

Letra C.

14)

Perceba que para o perímetro será 2x + y = 20 e a área é A = xy

2x + y = 20A = xySistema – método da substituição:y = 20–2xA(x) = (20 – 2x)xA(x) = 20x – 2x2Como se quer saber as dimensões, devemos cal-

cular o Xv = (–b)/2a = (–(20))/(2.(–2)) = (–20)/(–4) = 5y = 20 – 2.5y = 20 – 10y = 10As dimensões são 10 metros de comprimento

e 5 metros de largura.

EM3M

AT06


7

15) E

16) D

17) L = –2q2 + 800q – 60000Para não ter prejuízo, basta que L ≥ 0. –2q2 + 800q – 60000≥0q = (–b± b²–4ac)/2aq = (–800± 800²–4(–2)(–60000))/(2(–2))q = (–800± 640000–480000)/(–4)q = (–800± 160000)/(–4)q = (–800±400)/(–4)q = (–800+400)/(–4)=(–400)/(–4) = 100q = (–800–400)/(–4)=(–1200)/(–4) = 300

A quantidade de litros para não ter prejuízo é entre 100 e 300 litros, inclusive os extremos.

18) (2 –x)(3x – 18)(x² –16)<0L = 2 – x

Raiz: x=(–b)/a=(–2)/(–1)=2M = 3x – 18Raiz: x=(–b)/a=(–(–18))/3=18/3=6

N = x² – 16Raiz: x2 – 16=0x²=16x² = 16x = ±4

Como queremos os valores negativos, então o conjunto de dados é

X = {x Є IR/–4<x<2 ou 4<x<6}

Habilidades do ENEM:19) R(x) = k.x. (P – x)

R(x) = kxP – kx²Perceba que a equação é de uma função do

segundo grau, então só podemos considerar as opções C e E. Como o coeficiente a é negativo (–k), então só pode ser a opção E.

Letra E.

20) R(x) = 44.000kx – kx²O número de pessoas responsáveis pela má-

xima rapidez de propagação faz papel de x, en-tão calcula–se

Xv = (–b)/2a = (–(44.000k))/(2.(–k)) =(–44.000k)/(–2k) = 22.000Letra B.

Aprofundando:21) 10 pessoas

22) Valor da parcela: 120/n, sendo n o número de pessoas.

Novo valor do jogo: 140/(n – 5)Novo valor = valor antigo +4120/(n–5) = 120/n + 4120n = 120(n – 5) + 4n (n – 5)120n = 120n – 600 + 4n² – 20n4n2 – 20n – 600 = 0n = (–b± b²–4ac)/2an = (–(–20)± (–20)²–4(4)(–600))/(2(4))n = (20 ± 400 + 9600)/8n = (20 ± 10.000)/8n = (20±100)/8n = 120/8 = 15n = (–80)/8 = –10 (não pode considerar, pois é

negativo!)15 pessoas. Logo, 10 amigo efetivamente com-

praram o jogo.

23) a) Valor do serviço recebido por pessoa: 10800/n, sendo n o número de pessoas.

Novo valor do serviço: 10800/(n–3)Novo valor = valor antigo +60010800/(n–3)=10800/n+60010800n=10800(n–3)+600n(n–3)10800n=10800n – 32400 +600n²–1800n (:100)108n=108n – 324 +6n²–18n6n²–18n–324=0n = (– b± b² – 4ac)/2a

EM3M

AT06


8

n = (–(–18)± (–18)² – 4(6)(–324))/(2(6))n = (18± 324 + 7776)/12n =(18± 8100)/12n =(18 ± 90)/12n =108/12=9n = (–72)/12 = –6 (não pode considerar, pois é

negativo!)9 pessoas, como 3 desistiram, então foram 6

pessoas que fizeram o serviço.b) Novo valor do serviço: 10800/(9–3) = 10800/6 = R$1800,00

24) Letra D

25) A

26) A

27) h(t) = 3t – 3t²a) Para retornar ao solo, h(t)=0

3t – 3t²=03t(1–t)=03t=0T=01–t=0 (sai do solo)–t=–1T=1 (instante 1 segundo)

b) Para achar o tempo para atingir a altura má-xima, bata calcular o Xy, pois o tempo está no lugar do x:

Xv = (–b)/2a=(–(3))/(2.(–3))=(–3)/(–6)=1/2 (meio segundo)c)Para achar a altura máxima, bata calcular o Yy, pois a altura está no lugar do y:

Yv=(–∆)/4a=(–(3²–4(–3)(0))/(4.(–3))=(–(9))/(–12)=3/4= 0,75 metros

28) C(x) = mx² + nx + pI) Com essa afirmação, sabemos que p=80, C(x) = mx² + nx + 80II) é o ponto (30,50)

50 = 30²m + 30n + 8050=900m+30n+80900m+30n+80–50=0900m+30n+30=0 (:30)30m+n+1=0

III) é o ponto (50,130)130 = 50²m + 50n + 80

130 = 2500m + 50n + 802500m + 50n + 80 – 130=02500m+50n–50=0 (:50)50m+n–1=0Sistema30m+n+1=0 –––– 30m+n=–1 ––––– n=–1–30m50m+n–1=0–––– 50m+n=1Método da substituição:50m+n=150m–1–30m=120m=2M=1/10n=–1–30.1/10n=–1–3n=–4LogoC(x) = 1/10x² –4x + 80

a) Devemos achar o Xv, pois queremos saber quantas peças para o custo ser mínimo

Xv = (–b)/2a=(–(–4))/(2.(1/10))=4/(2/10)=4.10/2=20 peças!

b) Devemos achar o Yv, pois queremos saber o custo mínimo:

Yv=(–∆)/4a=(–((–4)²–4(1/10)(80))/(4.(1/10))=(–(16–32))/(4/10)=(–(–16))/(2/5)=

16/(2/5)=16.5/2=40 reais

29) a) Para tornar o lucro zero, devemos encontrar as raízes. Uma delas é vista no gráfico que é 100.

A outra raiz é encontrada através do Xv=(x1+x2)/2

300=(100+x2)/2600=100+x2X2=600–100X2=500

b) Quando x<100 ou x>500 tornam o lucro ne-gativo. c) Precisamos encontrar a função quadrática:

Interseções com o eixo x: (100,0) e (500,0)Pela forma fatorada: f(x) = a(x –100)(x – 500)Para descobrir o a, devemos aplicar o ponto

(300, 800) na formaf(x) = a(x –100)(x – 500)800 = a(300 –100)(300– 500)800 = a(200)(–200)A=800/(–40000)A=(–1)/50

EM3M

AT06


9

Logo a função quadrática é f(x) = (–1)/50 (x –100)(x – 500)

Como ele quer saber quantas peças vendidas para um lucro de 350 reais, f(x)=350

350 = (–1)/50 (x –100)(x – 500)350/((–1)/50) = (x –100)(x – 500)350.(–50)/1=(x –100)(x – 500)–17500=(x –100)(x – 500)–17500= (x² – 500x –100x +50000)–17500= x² – 600x +50000x² – 600x +50000+17500=0x² – 600x +67500=0x= (–(–600)± (–600)²–4(1)67500)/2.1x= (600± 360000–270000)/2x= (600± 90000)/2x= (600±300)/2x= (600+300)/2=450x= (600–300)/2=150Caso sejam vendidas 150 ou 450 peças, o lu-

cro será de 350 reais.

30) Letra A.

31) y= (–1)/7x²+8/7x+2Como é dado que a cesta está a 3 metros do

chão, então o ponto da cesta é (x,3)3 = (–1)/7x²+8/7x+2(–1)/7x²+8/7x+2–3=0(–1)/7x²+8/7x+–1=0MMC(7,1)=7–x²+8x–7=0x= (–8± 8²–4(–1).(–7))/(2(–1))x= (–8± 64–28)/(–2)x= (–8± 36)/(–2)x= (–8±6)/(–2)x= (–8+6)/(–2)=(–2)/(–2)=1x= (–8–6)/(–2)=(–14)/(–2)=7 Perceba que temos duas respostas, mas a

que utilizaremos é 7 metros, pois a distância de 1 metro é quando a bola está subindo.

32) Percebemos que as interseções com o eixo x são A(–4,0) e C(4,0).

Ao utilizara forma fatorada:f(x) = a(x +4)(x – 4)O ponto C(0;5,6) é aplicado na forma fatorada5,6 = a(0 +4)(0 – 4)5,6=–16a56/10.(–1)/16=a(–7)/20=aLogo a forma fatorada é f(x) = (–7)/20 (x +4)(x – 4)Para descobrirmos a distância do ponto P ao

eixo Oy:2,45 = (–7)/20 (x +4)(x – 4)245/100 = (–7)/20 (x +4)(x – 4)245/5 = –7(x +4)(x – 4)49=–7(x +4)(x – 4)49: (–7)=(x +4)(x – 4)–7=(x +4)(x – 4)–7=x²–16x²–16+7=0x²–9=0x²=9x= 9x=+3 ou x=–3Ou seja, a distância é de 3 metros.

33) y = x2 – 9Interseção com o eixo y: (0,–9)Interseção com o eixo x: x =( –4.1.(–9))/2.1 x =(± 36)/2=±3 → (–3,0) e (3,0)

Perceba que a união dos pontos forma um triângulo, logo, para calcular a área do triângulo, devemos fazer a multiplicação de base e altura e dividir por 2: 6.9/2 = 3.9 = 27 u.a.

EM3M

AT06


10

34) y = x2 – 1a) Percebemos que um dos pontos de interseção é a primeira raiz da parábola e o segundo ponto é (2,y).

Para calcular as raízes:x2 – 1=0x2 = 1x = 1x = ±1, logo (–1,0) e (1,0), portanto a primeira

interseção é (–1,0).O segundo ponto é (2,y):y = 22 – 1 y = 3y=4–1 O ponto é (2,3).Por fim, os pontos são (–1,0) e (2,3).

b) Para encontrar a equação da reta, calculamos o coeficiente a utilizando os dois pontos (–1,0) e (2,3):

a = (y1 – y2)/(x1 – x2) = (3 – 0)/(2 – (–1)) = 3/3 = 1 Logo: y = ax + by = 1x + bPara encontrar o coeficiente b, escolhemos

um dos pontos, no caso (–1,0), e substituir:0 = 1.(–1)+b0 = –1+b1 = bA equação da reta é y=1x+1.

35) L(x) = −x² + 12x – 20Percebe–se que o lucro faz o papel de y, como

queremos saber quantos bonés terão em cada pacote, devemos calcular o Xv:

Xv = (–b)/2a=(–(12))/(2.(–1))=(–12)/(–2)=6

Letra B.

36) C = 5 + 10nV = –5n² + 100n – 320L= V– CL= –5n² + 100n – 320 – (5 + 10n)L= –5n² + 100n – 320 – 5 – 10nL= –5n² + 90n – 325 (:5)L= –n² + 18n – 65 n= (–(18)± (18)²–4(–1).(–65))/(2(–1))n= (–18± 324–260)/(–2)n= (–18± 64)/(–2)n= (–18±8)/(–2)n= (–18+8)/(–2)=(–10)/(–2)=5n= (–18–8)/(–2)=(–26)/(–2)=13Para ter lucro, n deve estar 5<n<13.

b) L= –n² + 18n – 65 Para calcular o valor de n para ter lucro máximo,

devemos calcular Xv, pois n está no lugar do xXv = (–b)/2a=(–(18))/(2.(–1))=(–18)/(–2)=9N=9Para calcular o lucro máximo, devemos fazer

Yv, pois o lucro está no lugar do y

Lucro máximo = 80 reais

37) A = x –4 Raiz: x = (–b)/a = (–(–4))/1 = 4/1 = 4

B = x² –25Raiz: x² – 25 = 0x² = 25x = 25x = ±5

C= – x2 + 5x –4, lembre–se que o denomina-dor deve ser diferente de zero.

x=(–b± b²–4ac)/2ax=(–5± 5²–4(–1)(–4))/(2.(–1))x=(–5± 25–16)/(–2)x=(–5± 9)/(–2)x=(–5±3)/(–2)x=(–5+3)/(–2)=(–2)/(–2)=1x=(–5–3)/(–2)=(–8)/(–2)=4 Logo, X={x Є IR/x≤–5 ou 1<x<4 ou 4<x≤5}

38) Essa é uma inequação com apenas funções do primeiro grau, aconselho retirar.

(2x + 3)/(x–1) ≥ 1(2x + 3)/(x–1) –1/1 ≥ 0Tirando o MMC (x–1, 1)=x–1(2x + 3–(x–1))/(x–1)≥ 0(2x + 3–x+1)/(x–1)≥ 0(x + 4)/(x–1)≥ 0A = x+4

EM3M

AT06


11

Raiz: x = (–b)/a = (–(4))/1 = (–4)/1 = –4B = x – 1, lembre–se que o denominador deve

ser diferente de zero.Raiz: x=(–b)/a=(–(–1))/1=1/1=1

Logo, X={x Є IR/x≤–4 ou x>1}

39) Lembre–se que uma raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero.

x/1–900/x ≥ 0Tirando o MMC (x, 1) = x(x² – 900)/x≥0A = x² – 900x² – 900 = 0x² = 900X = 900X = ±30

B=x, lembre–se que o denominador deve ser diferente de zero.

Logo, D={x Є IR/–30≤x<0 ou x>30}

40) 5x² – 2x + 1 < 4x² + 4x – 7.5x² –4x² – 2x –4x + 1 +7< 0x²–6x+8<0x= (–(–6)± (–6)²–4(1).(8))/(2(1))x= (6± 36–32)/2x= (6± 4)/2x= (6±2)/2x= (6+2)/2=4 – (4,0)x= (6–2)/2=2 – (2,0)X={x Є IR/2<x<4}

41) ((x – 4)(x² – 25) )/(–x² + 5x –4)≥ 0Lembre–se que o denominador deve ser dife-

rente de zeroa) x–4=0

x=4

b) x² – 25=0x²= 25X= 25X=±5

c) –x² + 5x –4=0x= (–(5)± (5)²–4(–1).(–4))/(2(–1))x= (–5± 25–16)/(–2)x= (–5± 9)/(–2)x= (–5±3)/(–2)x= (–5+3)/(–2)=(–2)/(–2)=1x= (–5–3)/(–2)=(–8)/(–2)=4X={x Є IR/x≤–5 ou 1<x<4 ou 4<x≤5 }

Habilidades do ENEM:

42) D

Desafiando:43)

Os triângulos OAB e CPB são semelhantesOA/OB=CP/PB

OA/3=q/(3–p)

3q=OA(3–p)Sendo OA=d

EM3M

AT06


12

Como o produto de p x q é mencionado, então P x q e q=d/3 (3–p)

P x d/3 (3–p)

P x d/3 (3–p)

Pd – d/3p²

Perceba que temos uma função do segundo grau, pois p é variável e d fixo.

Y=Pd – d/3p²

O máximo dessa função é 4,5. Yv=(–∆)/4a=4,5(–(d²–4.d/3.0))/(4 d/3)=4,5

(–(d²–0))/(4 d/3)=4,5

(–(d²–0))/(4 d/3)=9/2

4 d/3.9=–2d²4.d.3=–2d²12d=2d² (:2d)6=dO triângulo OAB é retângulo

AB² = OA²+OB²AB² = d²+3²AB² = 6²+3²AB² = 36+9AB² = 45AB = 45AB = 3 5Letra C.

44)

a) Perímetro da semicircunfe-rência: πx

Perímetro da área retangular: 2x+2y

Assim πx+2x+2y=4Colocando em função de x:Y=(4–πx–2x)/2Área da semicircunferência:(πx²)/2

Área do retângulo: 2xyÁrea total: (πx²)/2 +2xySubstituindo y na área total(πx²)/2 +2x(4–πx–2x)/2=AT(πx²)/2 +x(4–πx–2x)=AT(πx²2)/2 +4x–πx²–2x²=AT–(πx²)/2 +4x–2x²=AT(–π/2–2)x² +4x=AT–(π/2+2)x² +4x=AT

b) Temos uma equação do segundo grau e, portan-to, o valor de x quando a área for máxima é o Xv

Xv = (–b)/2a=(–(4))/(2.–(π/2+2))=(–4)/(–2(π/2+2))=2/((π/2+2))=2/(((π+4)/2))=2.2/(π+4)=4/(π+4)

45) S1= a1 t² + b1t, veja que o coeficiente c=0Colocando na forma fatorada, pois as interse-

ções com o eixo x são: (0,0) e (t1,0)S1=a1(t–0)(t–t1)S1=a1(t)(t–t1)

S2 = a2t² + b2t, veja que o coeficiente c=0Colocando na forma fatorada, pois as interse-

ções com o eixo x são: (0,0) e (2t1,0)S2=a2(t–0)(t–2t1)S2=a2(t)(t–2t1)Perceba que o Yv é igual para os dois, ou seja:S1(t1/2)=S2(t1)=h

a1(t1/2)(t1/2–t1)=a2(t1)(t1–2t1)a1/a2=((t1)(t1–2t1))/((t1/2)(t1/2–t1))a1/a2=((t1)(–t1))/((t1/2)(–t1/2))a1/a2=(–1(t1)(t1))/(–1(t1/2)(t1/2))a1/a2=((t1)(t1))/((t1/2)(t1/2))a1/a2=t1²/(t1/2)² a1/a2=t1²/(t1²/4)a1/a2=t1².4/t1² a1/a2=4Letra C

46) ∆ = 0 → b2 – 4 aC = 0→ m2 – 4.1 (8 – m) = 0→ m2 + 4m – 32 = 0mI = (4 + 12) → mII = 8mI = (4 – 12) → mII = –4S = (8, –4)

47) C

48) 592

EM3M

AT17

GEOMETRIA PLANA: QUADRILÁTEROS E CIRCUNFERÊNCIAS

13


Geometria plana: quadriláteros e circunferências

Objetivos de aprendizagem:• Definir elementos e propriedades básicas

da geometria plana;• Conceituar polígono, seus principais exem-

plos e relações;• Estabelecer as principais classificações e pro-

priedades dos triângulos;• Apresentar e identificar os principais seg-

mentos e pontos notáveis de um triângulo;• Estabelecer as principais classificações e pro-

priedades dos quadriláteros.

Praticando 1) C

2) 160cmAo retirar os dois quadrados perdem-se 14 cm,

mas ao ganhar seis segmentos, cada um medindo 7cm, ganhando 42 cm, logo 42 – 14 = 28cm.

É o perímetro original, que era 2 x 48 + 2 x 18 = 132 + 28 = 160cm.

3) C

4) DComo o ângulo D tem uma bissetriz, por isso

o ângulo é dividido ao meio.Como CD é paralelo a AB, por isso foi marca-

do o alterno interno e percebemos que os lados são iguais.

O perímetro é 6 + 6 + 9 + 9 = 12 + 18 = 30 .

A E B

CD

36

66

9

5) 140o

6) AComo o triangulo CDE é equilátero, então os

ângulos são de 60 graus.A diagonal BD divide o ângulo de 90 na me-

tade.O triângulo BDE: x+45+60+60=160X + 165 = 180X = 180 – 165X = 15

A

B

D

E

C

x

60o

60o45o

60o

7) D

40º

α

β90 – α

90 – α

90 + 40 + 90 – α – β = 90130 = α + β

8) PM + PN + PS = K

A

M

N

C B

P

S

K3

3

K3+

K3+

K3= K

3 3 3

K3

3K3

3

K3

3

K3

3

K3

3

EM3M

AT17


14

Habilidades do ENEM:9) C

10) E

11) B

12) 319 voltas

13) D

14) B

15) B

16) D

17) 8√2 m

18) C

Habilidades do ENEM:19) C

Aprofundando:20) D

A D

CB

E

2x + 30o = 180o

2x = 180 – 30o

2x = 150o

x = 75o

60o

60o

30o

x

21) DPB = 45 graus

AD

C B

P

15o

15o

60o

60o

60o

60o

150o

22) ADE = 10 graus

E

B C

AA

140o

40o

40o63o

10o

10o

360 – (60 + 140)360 – 200 = 160o

23) D – A altura da grade é igual ao comprimento de x tubos, portanto haverá (x + 1) fileiras hori-zontais de tubos = x . (y + 1)

A largura equivale ao comprimento de y tu-bos, portanto haverá (y + 1) fileiras verticais de tubos = y (x + 1)

Total de tubosx . (y+1) + y (x+1)xy + x + yx + y2xy + x + y

24) Considerando AOB = 2xe BOC = 2yÂngulos da bissetriz OM valem x e x e para

ON valem : y e y OZ bissetriz de MON, ângulos formados va-

lem: (x + y) / 2OT bissetriz de AOC, ângulos formados va-

lem: x+yBOZ = (x + y) /2 – x = (y – x) /2ZOT = (x + y) /2 – x = (y – x) /2BOT = (y – x) /2 + (y – x ) /2 = (y – x)Como a diferença dos ângulos BOC e AOB

vale 24o

2y – 2x = 24o

y – x = 12o

BOZ = 6o

ZOT= 6o

BOT= 12o

25) ( 6 – 2 ) cm

26) 4 6 m

27) C

28) D

29) C

30) 0,16 m

EM3M

AT17


15

31) E

32) C

Desafiando:33) E

Aumento = 12x – 8x = 4x8x ----- 100%4x ----- P8xP = 400x8P = 400P = 400/8P = 50%

2p . 4(2x) = 8x

x

x

x

x

x x

x x

2p . 4(3x) = 12x

x

x

x

x2x2x

2x2x

34) A

35) E

36) B

37) E

EM3M

AT17


16

EM3M

AT18

GEOMETRIA PLANA: RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

17


Geometria plana: relações métricas nas circunferências

Objetivos de aprendizagem:• Estabelecer as principais classificações e pro-

priedades dos quadriláteros.

Praticando 1) a) 12b) 9c) 6d) 9

2) Somando os ângulos ABC e ADC, temos que: ABC + ADC = 180o → 150o + ADC = 180o

ADC = 30o. Como: ADC + 3X = 180o → 3X = 180o – 30o → 3X = 150o → X = 50o

Gabarito: D

3) 2α + 64o = 180o → 2α = 116o → α = 116o/2 → α = 58o

Gabarito: E

4) E

5) E

6) 157o 30’’

7) a) alinha do horizonte é tangente à circunfe-rência no ponto Ld2 + R2 = (R + h)²d2 + R2 = R2 + 2Rh + h²d2 = 2Rh + h²d2 = (2R + h) . hSubstituindo como sugerido no enunciado, 2R + h = 2R, segue que: d2 = 2R . hd = 2Rh .b) 21 km

8) Os triângulos abaixo são semelhantes na razão de 3/5, logo: PO2 = (3/5).R

PB

AO2O2

5RC3

R

D

Como: O2C = R, temos que: R2 = (PC)2 + (PO2)2 => PC = (4/5).R

Como PC = BC/2 ou BC = 2PC, então: BC = (8/5).R

9) 10 cm

10) 10 cm

11) 10 cm

12) 12 cm

13) 15 2 cm

14) A

15) E

16) B

17) B

Habilidades do ENEM:18) A

Aprofundando:19) De acordo com a figura, temos que:

3X + 60o = 180o => X = 120o/3 => X = 40o

Gabarito: C

20) 2α + 130o + 180o = 360o => 2α = 50o => α = 25o

Gabarito: A

21) De acordo com a figura, temos que: BN = X; NA = 8 – X; CM = 7 – X = CP; AP = 2 + X

Como: AN = AP, então: 8 – X = 2 + X => 2X = 10 => X = 5 cm.

Gabarito: B

EM3M

AT18

GEOMETRIA PLANA: RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS

18

22) De acordo com a figura, temos que:X = 1/2.(80o/2) = 80o/4 => X = 20o Gabarito: C

23) De acordo com a figura, temos que:ABC = (70o + 180o)/2 = 250o/2 = 125o

Gabarito: A

24) AEC = (BD - AC)/2 => 80o = (BD – 100)/2 => BD = 160o + 100o

BD = 260o

25) De acordo com a figura, temos que:12o = (68o – 2Y)/2 → 24o = 68o – 2Y → 2Y = 44o →

Y =22o

26) De acordo com o triângulo isósceles forma-do, temos que:

2α + 160o = 180o → 2α = 20o → α = 10o

Gabarito: B

27) De acordo com a figura e com as informações contidas no enunciado da questão, temos que:

α = 60o (ângulo interno de um triângulo equilá-tero)

β = α/2 = 30o

Logo: α + β = 90o = π/2Gabarito: B

28) 0,8 m

29) B

Desafiando:30) D

Habilidades do ENEM:31) B

matemÁtica professor 3a sÉrie – volume iii · apresentação: olá, querido aluno. o material...

Documents