matemÁtica d paralelepípedo e cubo apostila 03olimpíadas rio 2016 possui as medidas oficiais...

paralelepípedo e cubo

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matemÁtica dapostila 03

Matemática D - Apostila 03

TESTES01.(UFPR) Diana pretende distribuir 6 litros de geleia em 25 potes iguais. Cada pote possui internamente o formato de um paralelepípedo de base quadrada com 5 cm de lado. Dividindo igualmente a geleia em todos os potes, qual é a altura interna que a geleia atingirá em cada recipiente?

a) 6,0 cm. b) 7,5 cm. c) 9,6 cm. d) 15,0 cm. e) 24,0 cm.

02.(UFPR) A piscina usada nas competições de natação das Olimpíadas Rio 2016 possui as medidas oficiais recomendadas: 50 metros de extensão, 25 metros de largura e 3 metros de profundidade. Supondo que essa piscina tenha o formato de um paralelepípedo retângulo, qual dos valores abaixo mais se aproxima da capacidade máxima de água que essa piscina pode conter?

a) 37.500 litros. b) 375.000 litros. c) 3.750.000 litros. d) 37.500.000 litros. e) 375.000.000 litros.

03. (ENEM) Para a Olimpíada de 2012, a piscina principal do Centro Aquático de Londres, medindo 50 metros de comprimento, foi remodelada para ajudar os atletas a melhorar suas marcas. Observe duas das melhorias:

A capacidade da piscina em destaque, em metro cúbico, é igual a:

a) 3750b) 1500c) 1250d) 375e) 150

04. (ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passa por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2400cm3

a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.

05. (ENEM) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5mL desse produto para cada 1000L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7m com largura e comprimento iguais a 3m e 5m respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50cm da borda da piscina.

A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é:

a) 11,25b) 27,00c) 28,80d) 32,25e) 49,50

06. (UEPB) Um reservatório em forma de cubo, cuja diagonal mede 2√3m, tem capacidade igual a:

a) 4.000 litrosb) 6.000 litrosc) 8.000 litrosd) 2.000 litrose) 1.000 litros

3Matemática D - Apostila 03

matemÁtica dapostila 03paralelepípedo e cubo

12. (PUC-PR) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a 2, 3, e 5. Sabendo-se que o volume do paralelepípedo é 240 m3, calcular a sua área total:

a) 62 m2

b) 30 m2

c) 124 m2

d) 248 m2

e) 300 m2

13. (UFSC) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12 cm e 16 cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2 cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3 é:

a) 50b) 64c) 70d) 80e) 84

08. (ENEM) Uma caixa-d’água em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 4m de comprimento, 3m de largura e 2m de altura, necessita de higienização. Nessa operação, a caixa precisará ser esvaziada em 20min no máximo. A retirada da água será feita com o auxílio de uma bomba de vazão constante, em que vazão é o volume do líquido que passa pela bomba por unidade de tempo.A vazão mínima, em litro por segundo, que essa bomba deverá ter para que a caixa seja esvaziada no tempo estipulado é:

a) 2b) 3c) 5d)12e) 20

09. (ENEM) Um petroleiro possui reservatório em formato de um paralelepípedo retangular com as dimensões dadas por 60m x 10m de base e 10m de altura. Com o objetivo de minimizar o impacto ambiental de um eventual vazamento, esse reservatório é subdividido em três compartimentos, A, B e C, de mesmo volume, por duas placas de aço retangulares com dimensões de 7m de altura e 10m de base, de modo que os compartimentos são interligados, conforme a figura. Assim, caso haja rompimento no casco do reservatório, apenas uma parte de sua carga vazará.

Suponha que ocorra um desastre quando o petroleiro se encontra com a sua carga máxima: ele sofre um acidente que ocasiona um furo no fundo do compartimento C. Para fins de cálculo, considere desprezíveis as espessuras das placas divisórias. Após o fim do vazamento, o volume de petróleo derramado terá sido de:

a) 1,4 x 10³ m³b) 1,8 x 10³ m³c) 2,0 x 10³ m³d) 3,2 x 10³ m³e) 6,0 x 10³ m³

10. (UNICAMP) Uma caixa d’água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura.

Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa:

a) 1728 litros de água.b) 1440 litros de água.c) 1000 litros de água.d) 572 litros de água.e) 532 litros de água

11. (UNEB) A pele é o maior órgão de seu corpo, com uma superfície de até 2 metros quadrados. Ela tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna.De acordo com o texto, a superfície máxima coberta pela pele humana é equivalente à de um cubo cuja diagonal, em m, é igual a:

a) 1/3b) √3/3c) √3/2d) 1,00e) √3

07. (UFSC) Na figura abaixo, que representa um cubo, o perímetro do quadrilátero ABCD mede 8 (1 + ) cm.Calcule o volume do cubo em cm3.

a) 40 b) 50c) 64d) 74e) 80

paralelepípedo e cubo

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14. (UNOPAR-PR) Depositam-se 5.000 litros d’ água no interior de um reservatório com a forma de um paralelepípedo reto retângulo de 10 m de comprimento por 5 m de largura. A partir desse instante, um vazamento começa a baixar o nível d’água, à base de um centímetro a cada 24 horas. O número de horas que, no mínimo, deverão transcorrer para que o reservatório fique completamente vazio é:

a) 96b) 120c) 144d) 192e) 240

15. (UFV-MG) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um paralelepípedo retangular, e mede 1,20 m de comprimento, 0,50 m de largura e 2,00 de altura. Uma pedra de forma irregular é colocada no recipiente, ficando totalmente coberta pela água. Observa-se, então, que o nível da água sobe 1 m. Assim é correto concluir que o volume da pedra, em m3, é:

a) 0,06b) 6c) 0,6d) 60e) 600

16. (UNICENTRO) Um aquário com o formato de um paralelepípedo retângulo de dimensões 15 cm x 16 cm x 36 cm, está com 4/5 de seu volume ocupado pela água.Quando um cubo de ferro maciço é imerso lentamente nesse aquário, a água passa a ocupar todo o volume desse recipiente, sem extravasar.

É CORRETO concluir que a área total, em cm², desse cubo vale

a) 1728.b) 864c) 576d) 432e) 288

17. (UFPR) As dimensões de um paralelepípedo retângulo, de área de 376 cm2, são três números em progressão aritmética de razão 2. Achar, em cm, a soma das dimensões.

a) 18b) 20c) 22d) 24e) 26

CILINDRO

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TESTES18. (UFPR) As duas latas na figura ao lado possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h?

a) 5 cm.b) 6 cm.c) 6,25 cm. d) 7,11 cm.e) 8,43 cm.

19. (ENEM) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3m de altura e 2m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81m³ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

a) 0,5b) 1,0c) 2,0d) 3,5e) 8,0

20. (UFPR) No setor de embalagens de uma fábrica são produzidas latas de dois tipos, ambos sem tampa e com 20 cm de altura. Um desses tipos, que denominaremos lata quadrada, tem a forma de um paralelepípedo reto cuja base é um quadrado de 10 cm de lado; o outro, que denominaremos lata redonda, tem a forma de um cilindro circular reto cuja base tem 5 cm de raio. Considere que as latas sejam feitas com o mesmo tipo de folha metálica tanto nas laterais quanto nas bases e analise as afirmativas a seguir, utilizando π = 3,14.

I. O rótulo de papel colado na lata redonda, envolvendo sua lateral totalmente e sem sobras, tem área suficiente para envolver também a lateral da lata quadrada, totalmente e sem sobras.II. A capacidade da lata redonda é menor do que a da lata quadrada.III. A quantidade de folha metálica usada para produzir a lata redonda é 70% da quantidade necessária para produzir a lata quadrada.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa II é verdadeira.b) Somente a afirmativa III é verdadeira.c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.e) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

21. (UEM-PR) Um reservatório de água, de forma cilíndrica, está disposto horizontalmente. Se o diâmetro da sua base mede 20 m e o seu comprimento mede 24 m, a altura máxima da água armazenada para que a área da superfície da agua nele armazenada seja 384 m2 é:

a) 8b) 10c) 12d) 14e) 16

22. (USF-SP) Um cilindro circular reto, de volume 20π cm3, tem altura de 5 cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é igual a:

a) 10πb) 12πc) 15πd) 18πe) 20π

23. (IFAL) Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é 20 cm, qual o volume do objeto? (Use π = 3)

a) 3000 cm³

b) 2000 cm³c) 1500 cm³d) 4500 cm³e) 6000 cm³

24. (UEL-PR) Certa peça de um motor é feita de aço maciço e tem a forma de três cilindros retos, de alturas iguais, um sobre o outro. Se a peça for seccionada por um plano contendo os centros das bases dos cilindros, tem-se a situação abaixo ilustrada:

O volume dessa peça, em centímetros cúbicos, é:

a) 1 580πb) 1330πc) 1170πd) 970πe) 190π


matemÁtica dapostila 03CILINDRO

25. (UNIFOR) Um posto de combustível inaugurado recentemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical como mostra a figura abaixo. O tanque está completamente cheio com 42m3 de gasolina e 30m3 de álcool. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, a altura da camada de gasolina é:

a) 6m b) 7mc) 8md) 9me) 10m

26. (UEPG-PR) Um cilindro reto possui raio da base igual a 4 cm. Sabendo-se que a base e a seção meridiana têm áreas iguais, o volume desse cilindro vale:

a) 32π cm3

b) 64π2 cm3

c) 32π2 cm3

d) 64π cm3

e) 16π cm3

27. (ENEM) Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1m de profundidade e volume igual a 12m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4m3.

Considere 3 como valor aproximado para π.

Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de:

a) 1,6.b) 1,7.c) 2,0.d) 3,0.e) 3,8.


matemÁtica dapostila 03PIRÂMIDES

33. (FUVEST – SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a) 90b) 100c) 110d) 120e) 130

34. (UECE) O perímetro da base uma pirâmide hexagonal regular é 6 cm e sua altura, 8 cm. O volume, em cm3, é:

a) 4b) 7c) 5d) 8e) 6

35. (PUC-PR) Uma pirâmide quadrangular regular tem a sua base equivalente a uma face de um cubo de aresta 1 cm. Qual deve ser a altura da pirâmide para que a sua área total seja igual à área total do cubo?

a) 2 cmb) 3 cmc) cmd) cme) 4 cm

33333

36. (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

TESTES

29. (UEPG-PR) Uma barraca em forma de pirâmide regular de base quadrada de 8 m de lado está coberta com quatro lonas triangulares de 5 m de altura. Quantos litros de ar cabem na barraca?

a) 16.000b) 8.000c) 64.000d) 4.000e) 32.000

30. (UEPG-PR) A aresta lateral e a aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular são iguais e medem cm. Qual a altura da pirâmide, em cm?

a) b) 4c) 1d) 2e) 2

31. (UNIRIO-RJ) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a figura acima. Sabendo-se que o volume da pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a:

a) 9b) 12c) 15d) 18e) 21

32. (UEL-PR) Considere uma pirâmide de base quadrada, com todas as arestas medindo 6 m. A altura dessa pirâmide mede, em metros:a) 3

b) 3

c) 3

d) 6e) 6

3

3

28. (UFPR) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide em cm3?

a) (16√3)/3 b) 16√3c) 32d) (32√2)/3e) 64/3

PIRÂMIDES

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37. (ITA-SP) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e de área da base 64 m2 vale:

a) 128 m2

b) 64 m2

c) 135 m2

d) 60 m2

e) 32 ( + 1) m2

38. (UFPR) Sabendo que a aresta do cubo abaixo mede 6 cm, considere as seguintes afirmativas:

1. A área do triângulo ACD é 9 cm2.2. O volume da pirâmide ABCD é 1/6 do volume do cubo.3. A altura do triângulo ABC relativa a qualquer um dos lados mede 3√2cm.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras

39. (UEL-PR) As superfícies de um cubo e de um octaedro regular interpenetram-se, dando origem à figura F mostrada abaixo. Sobre cada face do cubo elevam-se pirâmides que têm a base quadrada e as faces em forma de triângulos equiláteros. Os vértices das bases das pirâmides estão localizados nos pontos médios das arestas do cubo e do octaedro. A aresta do cubo mede 2 cm. Qual o volume do sólido limitado pela figura F ?

a) 12 cm3 b) 14 cm3 c) 16 cm3 d) 18 cm3 e) 20 cm3

40. (ACAFE-SC) A figura mostra um cubo com lados de 6 cm. A e B são vértices; C e D são pontos médios de arestas. O volume da pirâmide ABCD é:

a) 6 cm3

b) 9 cm3

c) 13,5 cm3

d) 18 cm3

e) 27 cm3

41. (UFRGS) Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua altura à metade, o volume desta pirâmide:

a) Será reduzido à quarta parte.b) Será reduzido à metade.c) Permanecerá inalterado.d) Será duplicado.e) Aumentará quatro vezes.

42. (INSPER) Dois faraós do antigo Egito mandaram construir seus túmulos, ambos na forma de pirâmides quadrangulares regulares, num mesmo terreno plano, com os centros de suas bases distando 120m. As duas pirâmides têm o mesmo volume, mas a área da base de uma delas é o dobro da área da base da outra. Se a pirâmide mais alta tem 100m de altura, então a distância entre os vértices das duas pirâmides, em metros, é igual a:

a) 100.b) 120.c) 130.d) 150.e) 160.

43. (EPCAR) Um sólido maciço foi obtido quando a base de uma pirâmide hexagonal regular de altura 6cm foi colada à base de uma pirâmide reta de base retangular e altura 3cm de forma que 4 dos 6 vértices da base da primeira coincidam com os vértices da base da segunda, conforme figura. Desprezando-se o volume da cola, se a aresta da base da pirâmide hexagonal mede √5 cm então, o volume do sólido obtido, em cm3 é igual a:

a) 15√3b) 20√3c) 25 √3d) 30√3e) 35√3


matemÁtica dapostila 03PIRÂMIDES

44.(UEPA) As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das civilizações mais intrigantes da humanidade. Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao quadrado da altura da pirâmide.

Texto Adaptado: ‘Contador’, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida - 2a Ed. rev. - São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.

Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 2a a altura H e altura da face H, construída segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é correto afirmar que:

a) S= (a+h)(a-h)b) S=(h+a)(h-a)c) S=(a+h)²d) S=(h-a)²e) S=a²-h²

45. (PUC) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são.

1º Sua base é um quadrado com 100 m de lado.2º Sua altura é de 100 m.

Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m3, os escravos, utilizados como mão de obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de:

a) 40 anos.b) 50 anos.c) 60 anos.d) 90 anos.e) 150 anos

46. (UEG) Uma barraca de lona, em forma de pirâmide de base quadrada, tem as seguintes medidas:

Base com 3 metros de lado e laterais triângulos com 2,5 m de altura. A lona utilizada na construção da barraca, nas laterais e na base, perfaz um total de

a) 9 m2

b) 15 m2

c) 20 m2

d) 24 m2

e) 39 m2


matemÁtica dapostila 03CONE

TESTES47. (ITA-SP) Sabendo-se que um cone circular reto tem 3 dm de raio e 15π dm2 de área lateral, o valor de seu volume em dm3 é:

a) 9πb) 15πc) 36πd) 20πe) 12π

48. (UFPR) Maria produz pirulitos para vender na feira ao preço unitário de R$ 0,80. Ela usa formas com formato interno de cone circular reto e costuma fazer os pirulitos colocando o doce nessas formas até a borda. Tendo recebido uma encomenda de minipirulitos para uma festa infantil, decidiu fazê-los colocando o doce até a metade da altura da forma. Para manter o preço diretamente proporcional à quantidade de doce utilizado para produzir o pirulito, ela deve vender cada minipirulito por:

a) R$ 0,10.b) R$ 0,40.c) R$ 0,20.d) R$ 0,25.e) R$ 0,16.

49. (ENEM) Em regiões agrícolas, é comum a presença de silos para armazenamento e secagem de produção de grãos, no formato de um cilindro reto, sobreposto por um cone, e dimensões indicadas na figura. O silo fica cheio e o transporte dos grãos é feito em caminhões de carga cuja capacidade é de 20 m³. Uma região possui um silo cheio e apenas um caminhão para transportar os grãos para a usina de beneficiamento.

Utilize 3 como aproximação para π.

O número mínimo de viagens que o caminhão precisará para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é

a) 6b) 16c) 17d) 18e) 21

50. (PUC-RS) Numa peça metálica, com a forma da figura, o raio da borda circular superior mede 5 cm. Sendo 9 cm a altura da peça completa e 3 cm a altura do cone, o volume da peça, em cm3, é:

a) 75πb) 115πc) 125πd) 175πe) 225π

51. (UFPA) Um cone equilátero tem de área da base 4π cm2. Qual a sua área lateral?

a) 2π cm2

b) 4π cm2

c) 8π cm2

d) 16π cm2

e) 32π cm2

52. (CEFET-PR) Se um cone equilátero tem 72π cm2 de área lateral, seu volume, em cm3, será igual a:

a) 72π

b) 72π

c) 216π

d) 216π

e) 144π

53. (FUVEST-SP) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, como mostra a figura. A razão b/a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π.

Então, o comprimento g da geratriz do cone é

a) 5b) 6c) 7d) 10e) 11

3

3

CONE

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54.(ENEM) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2, considerando π = 3,14, a altura h será igual a:

a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 9 m e) 16 m

55. (EEAER) A geratriz de um cone de revolução mede 6cm e o ângulo da geratriz com a altura do cone é de 30º. O volume desse cone, em cm3, é

a) 9π b) 3π√3 c) 9π√3 d) 27π√3d) 32π√3

56. Um cone circular reto tem altura de 8 cm e raio da base medindo 6 cm. Qual é, em centímetros quadrados, sua área lateral?

a) 30π b) 50π c) 60π d) 80π e)100π

57. (MACK-SP) Na figura, o cone reto está inscrito no cubo. Se a diferença entre os volumes do cubo e do cone é 1 - , então a diagonal da face do cubo mede:

a) 6b) 4c) 3d) 2e)

p12

58. Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é:Adote π = 3.

a) 81/2b) 27/4c) 9/4d) 27/2e) 81/4

59. (UEL-PR) Considere um triângulo retângulo e isósceles cuja hipotenusa mede 2 cm. Girando-se esse triângulo em torno da hipotenusa, obtém-se um sólido cujo volume, em centímetros cúbicos, é:

a) 2πb) 5π/3c) 4π/3d) πe) 2π/3

ESFERA

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Fuso EsféricoParte da superfície esférica compreendida entre dois semi--círculos cujos diâmetros correspondem ao diâmetro da esfera. Para cálculo da área, é só usar uma regra de três:

R

R

O α

360o → 4πR2

α → St

Cunha EsféricaParte da esfera compreendida entre dois semicírculos cujos diâmetros correspondem ao diâmetro da esfera. O volume se calcula por regra de três:

α

R

R

O

R

R

O

360o → 4 πR2 3

α → Vc

Partes da Superfície Esférica


matemÁtica dapostila 03ESFERA

TESTES60. (ULBRA-RS) O volume de uma esfera é de 288π cm3. Seu diâmetro mede:

a) 12 cmb) 8 cmc) 6 cmd) 4 cme) 2 cm

61. (UNOPAR-PR) Numa esfera, com área de superfície igual a 36π m2 tem um volume, em m3, igual a:

a) 18πb) 36πc) 52πd) 108πe) 216π

62. (UNIMEP-SP) Uma bexiga de forma perfeitamente esférica foi inflada até atingir um raio de 8 cm e continuou sendo inflada até atingir novo raio de 10 cm. A diferença entre os volumes correspondentes às duas situações é de: (use π = 3).

a) 2048 cm3

b) 5856 cm3

c) 108 cm3

d) 1952 cm3

e) 432 cm3

63. (PUC-PR) Nas figuras abaixo, estão representados uma semi-esfera de raio R e um cone circular reto de raio da base R e de altura 2R. Se o volume da semi-esfera é V1 e o do cone é V2, podemos afirmar que:

a) V1 = V2b) V1 < V2c) V2 < V1d) V1 = 2V2e) V1 = 3V2

64.(ENEM) Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para π.

A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a

a) 168b) 304c) 306d) 378e) 514

65. (UFPR) Um tanque para armazenamento de produtos corrosivos possui, internamente, o formato de um cilindro circular reto com uma semiesfera em cada uma de suas bases, como indica a figura. Para revestir o interior do tanque, será usada uma tinta anticorrosiva. Cada lata dessa tinta é suficiente para revestir 8 m2 de área. Qual o número mínimo de latas de tinta que se deve comprar para revestir totalmente o interior desse tanque? (Use π = 3,14).

a) 3 latas. b) 4 latas. c) 5 latas. d) 7 latas. e) 10 latas.

66. (UNITAU-SP) Aumentando em 10% o raio de uma esfera, a sua superfície aumentará:

a) 21%b) 11%c) 31%d) 24%e) 30%

67. (UNAMA) Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de 16π cm2 de área, sabendo-se que o plano dista 3 cm do centro da esfera, então o volume da esfera é igual a:

a) 100π/3 cm3

b) 125π/3 cm3

c) 150π cm3

d) 500π/3 cm3

e) 200π cm3

68. (UFRGS) O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera A mede:

a) 5b) 4c) 2,5d) 2e) 1,25

ESFERA

18



69. (PUC-MG) A razão entre os volumes de duas esferas é 1/8. A razão entre seus raios é:

a) 1/8b) 1/2c) 4/3d) 3/4e) 2/3

70. (PUC-PR) Um vaso cilíndrico de 6 cm de diâmetro e 16 cm de altura contém água até 3/4 de sua altura. Despejando-se no vaso uma quantidade de água equivalente ao volume de uma esfera de 6 cm de diâmetro, de quanto aumentará o nível da água no vaso?

a) 4 cmb) 5 cmc) 4/3 cmd) 6 cme) 5,33 cm

71. (PUC-PR) O boiler é um aquecedor constituído de uma parte cilíndrica e de duas semi-esferas nas extremidades, conforme a figura. Se o boiler tem as dimensões abaixo, qual o número de litros mais próximo de sua capacidade?

a) 200b) 300c) 400d) 500e) 600

72. (UFPR) Duas esferas metálicas maciças, uma com raio igual a 4 cm e a outra com raio de 8 cm, são fundidas e moldadas em forma de um cilindro circular reto com altura igual a 12 cm. Determine, em cm, o raio do cilindro.

a) 6b) 8c) 10d) 12e) 14

73. (UFG) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60ocom a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina.

Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de

a) 2,0b) 2,8c) 3,0d) 3,8e) 4,0

74. (UFPR) Um cilindro de raio r está inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo. Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 72π.

a) √13/2b) 3c) 3√2 d) 2√5e) 4

75. (UFPR) Para testar a eficiência de um tratamento contra o câncer, foi selecionado um paciente que possuía um tumor de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio desse tumor diminuiu a uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa taxa de redução se mantenha, qual dos valores abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor original que restará após 5 meses de tratamento?

a) 29,6%b) 30,0%c) 30,4%d) 30,8%e) 31,4%

76. (ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos,também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá

a) Encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.b) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.c) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.d) Encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.e)encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.


matemÁtica dapostila 03GABARITO

01 C 11 D

02 C 12 D

03 A 13 B

04 C 14 E

05 B 15 C

06 C 16 B

07 C 17 D

08 E 18 D

09 D 19 C

10 A 20 A

21 E 31 D

22 E 32 A

23 A 33 A

24 B 34 A

25 B 35 D

26 C 36 A

27 A 37 B

28 D 38 B

29 C 39 A

30 C 40 B

41 D 51 C

42 C 52 B

43 B 53 D

44 B 54 B

45 E 55 C

46 D 56 C

47 E 57 E

48 A 58 B

49 D 59 E

50 D 60 A

61 B 71 C

62 D 72 B

63 A 73 D

64 E 74 E

65 D 75 A

66 A 76 A

67 D 77 D

68 A 78 B

69 B

70 A

GABARITO

TESTES

77. (ENEM) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a

a) R$ 230,40.b) R$ 124,00.c) R$ 104,16.d) R$ 54,56.e) R$ 49,60.

78. (ENEM) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às sua faces laterais, conforme mostra a figura

O raio da perfuração da peça é igual a

a) 1 cmb) 2 cmc) 3 cmd) 4 cme) 5 cm

matemÁtica d paralelepípedo e cubo apostila 03olimpíadas rio 2016 possui as medidas oficiais...

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