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Matemática Comercial & Financeira

F U N D A M E N T O S E A P L I C A Ç Õ E S

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Nelson Martins Garcia

Matemática Comercial & Financeira

F U N D A M E N T O S E A P L I C A Ç Õ E S

Prefácio Doherty Andrade

Maringá2011

Copyright © 2011 para Nelson Martins Garcia

Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor.Todos os direitos reservados desta edição 2011 para Eduem.

Revisão textual e gramatical: João Bacellar de SiqueiraProjeto gráfico/diagramação: Marcos Kazuyoshi SassakaImagens: fornecidas pelo autorCapa - arte final: Jaime Luis L. PereiraFicha catalográfica: Edilson Damasio (CRB 9-1123)Tiragem - versão impressa: 500 exemplares

Dados Internacionais de Catalogação-na-Publicação (CIP) (Eduem - UEM, Maringá – PR., Brasil)

G216m Garcia, Nelson Martins Matemática comercial & financeira : fundamentos e aplicações ; prefácio Doherty Andrade /

Nelson Martins Garcia. -- Maringá : Eduem, 2011.323 p. : il. ISBN 978-85-7628-368-3

1. Matemática financeira. 2. Análise de investimentos. 3. Engenharia econômica. 4. Dinheiro - Valor no tempo. 5. Taxa de juros. 6. Tabela Price. 7. Financiamento e capitalização. I. Título.

CDD 21. ed. 650.01513513.93

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SUMÁRIO

Apresentação ......................................................................................... 7Prefácio .................................................................................................. 8

1. Introdução ........................................................................................ 92. Razões e Proporções ........................................................................ 123. Divisão Proporcional de um Número .............................................. 174. Regra de Sociedade .......................................................................... 195. Taxa de Porcentagem e Porcentagem .............................................. 226. Acréscimo e Decréscimos ................................................................ 277. Acréscimos e Decréscimos Sucessivos ............................................ 308. Operações Comerciais de Compra e Venda ..................................... 359. Descontos e Descontos Sucessivos .................................................. 3910. Imposto de Renda, Retido na Fonte de Pessoa Física ...................... 4211. Cálculo do INSS na Folha de Pagamento ........................................ 4712. Cálculo do ICMS nas Contas de Luz e Telefone ............................. 4913. Atualização Monetária e Correção Monetária ................................. 5314. Mudanças do Padrão Monetário Brasileiro...................................... 6115. Valores Monetários na História do Brasil ........................................ 6616. Inflação e Atualização Monetária ..................................................... 6917. O Dinheiro Brasileiro ....................................................................... 7418. Capital em Matemática Financeira .................................................. 7919. Correção Monetária ......................................................................... 8120. Origem da Palavra Juro .................................................................... 8521. Juro Remuneratório e Moratório ...................................................... 8722. Cálculo de Juro Simples sobre Capital Nominal ............................. 9023. Cálculo de Juro Simples sobre Capital Atualizado .......................... 9524. Cálculo do Montante Simples – Nominal e Atualizado ................... 9925. O Método Hamburguês nos Juros Bancários ................................... 10226. A Inconsistência de Taxas sem Limitações ...................................... 10527. Teoria do Crédito Rotativo – Cheque Especial ................................ 10728. Desconto Simples............................................................................. 11229. Taxa Efetiva de Juro ......................................................................... 11630. Equivalência de Capitais por Capitalização Simples ....................... 11831. Equivalência de Conjuntos de Capitais – Simples ........................... 12432. Modelo de Financiamento com Prestações Constantes – Transporte

Comercial Simples ........................................................................... 12833. Cálculo de Juro Simples pelo Prazo Médio ..................................... 131

MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: fundamentos e apl icações

6

34. Cálculo de Juro Simples pela Taxa Média ....................................... 13335. Fracionamento do Tempo em Capitalização Simples ...................... 13536. Regime de Capitalização Composta ................................................ 13937. Montante e Juros Compostos – Capital Atualizado ......................... 14638. Taxas de Juro – Efetivas e Nominais ............................................... 15039. Equivalência entre Taxas de Juro ..................................................... 15440. Relação entre Taxa de Juro Simples e Composto ............................ 15741. Desconto Composto ......................................................................... 16042. Equivalência entre Capitais – Regime Composto ............................ 16643. Consistência da Equivalência entre Capitais – Regime Composto . 16944. Equivalência entre Conjuntos de Capitais ....................................... 17245. Depreciação Sucessiva ou Composta............................................... 17646. Modelo Básico de Financiamento .................................................... 18047. Modelo Básico de Capitalização ...................................................... 19548. Planos de Amortização de Empréstimos .......................................... 20649. Sobre o Anatocismo nos Planos de Financiamento ......................... 22150. Regime de Capitalização Contínua .................................................. 22951. Perpetuidade – Infinidade de Prestações ou Parcelas ...................... 23652. Valor Presente e Futuro por Capitalização Contínua ....................... 23953. Sistema Price com Prestações Corrigidas........................................ 24654. Valor Atual de um Fluxo Uniforme de Capitais............................... 25055. Valor Futuro de um Fluxo Uniforme de Capitais............................. 25456. Noções de Análise de Investimentos................................................ 25857. Cálculos Práticos na Internet ........................................................... 264

Apêndice ................................................................................................ 2701. A eternidade da dívida externa brasileira ......................................... 2712. Como nascem as riquezas no mundo à custa dos países emergentes

– O oráculo de Omaha ou o calvário dos miseráveis? ..................... 2753. O suplício da classe média brasileira ............................................... 2784. Aposentadoria do professor universitário ........................................ 2825. Plano de Demissão Voluntária da Aposentadoria – PDVA – ou

Carrapato da Sociedade? .................................................................. 2926. Polícia rodoviária pública e pedágios .............................................. 2977. Professores universitários – salários calamitosos ............................ 3008. Como zerar o IR da pessoa física ..................................................... 3029. Professor universitário – profissão filantrópica................................ 30410. Sacrifício antes do prazer ou o contrário? ........................................ 31011. Previdência deficitária: a grande farsa ............................................. 31312. Tabelas financeiras ........................................................................... 31513. Respostas dos exercícios .................................................................. 31714. Sugestões metodológicas de ensino ................................................. 322

Referências ............................................................................................ 323

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Apresentação

As altas e distorcidas taxas de juros incorporam riquezas aos patrimônios individuais e no futuro nada conseguirá equacionar essa concentração absurda de riquezas.Maringá, dezembro de 2005.

Este livro tem como horizonte um Curso de Licenciatura em Matemática à distância, após ser utilizado intensamente na disciplina presencial de Matemática Financeira da UEM há mais de dez anos, com sensível sucesso.

Optamos por lições em capítulos para facilitar os estudos sem a presença de um professor, mas também poderão ser aplicados em aulas presenciais.

Os conceitos atinentes estão apresentados, com um rigor desejável em Matemática e para uma boa compreensão do conteúdo. O desenvolvimento requer apenas máquina simples científica que, apesar de dificultar o desenvolvimento de cálculos mecânicos, julgamos que os conceitos ficam mais explícitos e assimiláveis para a compreensão da construção das fórmulas ou equações. A vantagem é que as fórmulas são explicadas de forma que cada um consiga montar planilhas eletrônicas pessoais, na forma mais conveniente para seu trabalho de cálculos financeiros.

O conjunto de todos os fascículos pode ser exposto e compreendido, com aulas ou orientações em 60 horas de estudos.

O apêndice é composto de artigos e sugestões para leituras extras, onde se exploram as contradições consideradas “tabus” para a maioria da população que não domina a Matemática Financeira. Por vezes optamos pela “ironia construtiva” para atingir objetivos e recados subjacentes.

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Prefácio

No mundo capitalista em que vivemos, saber utilizar a sua principal ferramenta, a moeda, é questão fundamental. Os conceitos envolvidos na matemática financeira incluem desde as mais simples operações de adição e multiplicação até exponenciais, logaritmos, limites e cálculo diferencial e integral.

Essas ferramentas matemáticas tanto servem para estabelecer com precisão as relações matemáticas entre os diversos entes financeiros quanto para afastar o inocente usuário, pois o vocabulário não é acessível a todos. Só para citar um exemplo simples, quantas vezes já tivemos a necessidade de investigar a taxa absurda de juros que foi embutida em uma prestação? Todos os segredos da matemática financeira estão desvendados aqui nesse excelente livro. Além disso, o livro possui rigor de linguagem e de matemática elogiáveis.

O Prof. Nelson Martins Garcia teve a paciência de explicar assuntos pouco apresentados nos livros de matemática financeira: análise de vantagens e desvantagens, e os fatores considerados “imponderáveis” ou “irredutíveis”. Como exemplos de fatores imponderáveis, citamos valor de estima, prestígio, imagem pessoal e da empresa, satisfação por parte dos empregados e receptividade de clientes. A credibilidade, pessoal ou empresarial, é tratada nos dias de hoje como um fator mensurável, embora possamos dizer que se trata de um fator imponderável.

Um texto instigante como esse não seria completo se nele não contivesse alguma crítica ao sistema financeiro nacional. De acordo com o Professor Nelson, as “altas e distorcidas taxas de juros, incorporam riquezas aos patrimônios individuais e no futuro nada conseguirá equacionar essa concentração absurda de riquezas”.

Outras questões, também importantes, como poupança e previdência são abordadas nesse livro. Essas questões são de fundamental importância para a educação fiscal do cidadão comum e, principalmente, do futuro professor. O livro, em seus 57 capítulos objetivos e bem distribuídos, contém inúmeros exercícios, exemplos com dados reais e informações oficiais. O livro também traz um apêndice com diversos artigos relacionados ao assunto que vão desde a dívida externa do Brasil e dos países subdesenvolvidos, exploração dos pobres pelos países ricos, fundos de pensão, planos de demissão voluntária, entre outros.

Doherty Andrade Professor Associado - Departamento de Matemática da UEM

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1Introdução

Abordaremos, neste texto, alguns fundamentos e aplicações de Matemática Financeira. Daremos ênfase às construções das fórmulas e menos prioridade aos cálculos, posto que estes envolvem apenas manipulação de máquinas programáveis.

Seria interessante que o leitor acompanhasse o texto, resolvendo os exercícios com uma máquina científica “simples”. Pois, além de ser mais acessível em termos do preço, é possível perceber como funcionam as construções algébricas.

A Engenharia Econômica pode ser entendida como um conjunto de conhecimentos necessários à tomada de decisão, em investimentos em geral. O estudo de Engenharia Econômica se aplica às diversas áreas, tais como, em problemas de transporte de materiais e avaliação de alternativas de investimentos.

Na análise de vantagens e desvantagens, questões mais complexas de Engenharia Econômica, são fatores considerados “imponderáveis” ou “irredutíveis”. Como exemplos de fatores imponderáveis, podemos citar: valor de estima, prestígio, imagem pessoal e da empresa, satisfação por parte dos empregados e receptividade de clientes. A credibilidade, pessoal ou empresarial, é tratada nos dias de hoje como um fator mensurável, embora possamos dizer que se trata de um fator imponderável.

Geralmente, a unidade de medida usual na análise de alternativas e em negócios é a unidade monetária, ou seja, o dinheiro.

No transcorrer dos capítulos, desenvolveremos conceitos da Matemática Financeira e serão aplicados em contextos atuais.


10

Um corolário geral deste trabalho é que as taxas de juros praticadas no Brasil, desde o início do Plano Real, deixaram marcas negativas para muitas gerações, independentemente de medidas atenuadoras que venham a ser tomadas. As “altas e distorcidas” taxas de juros incorporam riquezas aos patrimônios individuais que, no futuro, nada conseguirá equacionar essa concentração absurda de riquezas. Certamente, as futuras gerações de brasileiros receberão monstruosas dívidas públicas, matematicamente impagáveis.

A matemática financeira é a ciência que estuda o “valor do dinheiro no tempo”, pois um capital não é um valor estático. Ao contrário, é dinâmico e constitui um fluxo no tempo, uma vez que sempre estará submetido à influência de alguma taxa de juro ou atualização.

O valor real de um capital é seu “poder de compra” em relação a bens e serviços. Imagine uma pessoa que tenha um capital monetário aplicado na bolsa de valores. A cada dia seu capital tem um valor nominal diferente, maior ou menor, dependendo das variações dos valores das ações.

Os capítulos iniciais se referem à Matemática Básica e poderão ser dispensados, dependendo do nível de conhecimento dos alunos. Suas inclusões possibilitam consultas, quando necessárias, e apresentam os conceitos de forma mais rigorosa que em muitos textos existentes nessa área.

A verbalização de situações políticas e jurídicas alertará às pessoas que a Matemática é antecedida de decisões que podem modificar as interpretações de fenômenos financeiros. Na frieza dos números tudo pode ser explicado e a culpa dos erros e acertos certamente não está na Matemática Financeira e sim nas decisões e ambições erráticas.

Desenvolvemos os tópicos sempre baseados em problemas práticos e com exemplos do cotidiano das pessoas. Logo, o leitor encontrará noções e problemas ausentes na maioria dos livros de Matemática Financeira. Citamos, por exemplo, juros sobre capitais atualizados. Incluímos informações jurídico-financeiras, focando principalmente o anatocismo e a consistência da equivalência de capitais por transportes no regime de juros compostos.

Não se encontra neste texto nenhuma originalidade em termos de conceitos e resultados de Matemática Financeira, mas, certamente, apresenta interpretações peculiares em vários assuntos.

11


Último recado: um livro de Matemática Financeira não é para ser apenas lido. A leitura deve ser acompanhada do refazer dos exemplos e resolvendo os exercícios com atenção. Isso possibilitará ao leitor uma melhor fixação dos conceitos e situações.

12

2Razões e Proporções

• Razão

Uma razão é o quociente entre dois números reais. Mais especificamente, dados a e b com 0b ≠ números reais, a razão de a para b é o quociente ab

. Frequentemente se chama o número a de antecedente e b de consequente.

Dizemos também que duas razões são razões inversas, quando o antecedente de uma é igual ao consequente da outra, e vice-versa.

Exemplos 2.1

• A razão de 5 para 10 é: 5

10 e as razões

510

e 105

são razões inversas;

• É comum na linguagem cotidiana ser enunciadas razões. Por exemplo, se temos dois jornais A e B , com 1.000 e 2.000 leitores respectivamente,

então dizemos que as razões 10002000

e 20001000

indicam as razões de leitores

de um jornal para o outro.

• Proporção

Uma proporção é a igualdade entre duas razões. Dadas duas razões ab

e cd

, temos uma proporção se, a cb d

e leia-se: “ a está para b assim como c

está para ”. Os números a e d são chamados os extremos, e b e c os meios da proporção.

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Propriedade fundamental das proporções: em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

a c a d b cb d= ⇔ × = × .

Exemplo 2.2

Como no exemplo anterior, temos que 1000 12000 2

AB= = , pois,

2 1000 1 2000× = × . Portanto, há um leitor do jornal A para cada dois leitores do jornal B .

Analogamente, tem-se que 2000 21000 1

= = , ou pode-se dizer que o jornal B

tem o dobro de leitores do jornal A .Em outras palavras, dizemos que os leitores do jornal A estão para os leitores

do jornal B , assim como 1 está para 2.

• Transformação de proporção

Em resolução de problemas é útil transformar uma proporção em outra mais conveniente. Esse processo se dá por meio de operações algébricas adequadas, a partir de uma proporção fixa.

Dada uma proporção a cb d= , obtemos novas proporções.

(2.1) a c ab d b+

=+

, para tanto fazemos:

a c a d b c a d a b b c a b a b db d

( )= ⇒ × = × ⇒ × + × = × + × ⇒ × + =

a a cb a cb b d

( ) +× + ⇒ =

+ .

De forma semelhante, ficando como exercício, pode-se deduzir outras transformações:


14

(2.2) a c ab d b−

=−

; (2.3) a c cb d d−

=−

; (2.4) a c cb d d+

=+

;

(2.5) a b c da c+ +

= ; (2.6) a b c db d+ +

= ; (2.7) a b c da c− −

=

(2.8) − −=

a b c db d

.

Os resultados citados sobre transformações de proporções se estendem para uma sequência arbitrária de razões. Por exemplo,

a c e a c e a c eb d f b d f b d f

+ += = ⇒ = = =

+ +.

• Proporcionalidade – simples e composta

Dadas as sequências numéricas 1 2 3A a a a( , , , )= ⋅⋅ ⋅ , 1 2 3B b b b( , , , )= ⋅⋅ ⋅ e

1 2 3C c c c( , , , )= ⋅⋅ ⋅ , podemos formular os conceitos de proporcionalidade direta, inversa e composta.

a) A sequência A é diretamente proporcional à sequência B , com coeficiente de proporcionalidade k se:

31 2

1 2 3

aa a kb b b

= = = ⋅⋅ ⋅ = .

b) A sequência A é inversamente proporcional à sequência B , com coeficiente de proporcionalidade k se:

31 21 1 2 2

1 2 3

1 1 1aa a k a b a b k

b b b

= = = ⋅⋅ ⋅ = ⇔ × = × = = .

c) A sequência A é diretamente proporcional a B e C , de forma composta, com coeficiente de proporcionalidade k se:

31 2

1 1 2 2 3 3

aa a kb c b c b c

= = = ⋅⋅ ⋅ =× × ×

.

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d) A sequência A é inversamente proporcional a B e C ,

de forma composta, com coeficiente de proporcionalidade k , se:

31 2

1 1 2 2 3 3

1 1 1aa a k

b c b c b c

= = = ⋅⋅ ⋅ = ⇔

× × ×

1 1 1 2 2 2 3 3 3a b c a b c a b c k× × = × × = × × = ⋅⋅ ⋅ = .

e) A sequência A é proporcional a B e C , de forma composta, direta a B e inversa a C , com coeficiente de proporcionalidade k se:

31 2

1 2 31 2 3

1 1 1aa a k

b b bc c c

= = = ⋅⋅ ⋅ =× × ×

.

Exemplo 2.3

Encontrar x e y na proporção dada por 3 5x y= e supondo que

80x y+ = .A solução logicamente pode ser obtida por um sistema 2 2× , mas podemos

utilizar as transformações (2.1) e (2.2) dadas antes:

80 308 3

803 5 3 5 3 5 508 5

x xx y x y x y

y y

= ⇒ =+ = ⇒ = = ⇒ + = ⇒ =

Exercícios

2 1E . – Deduzir as transformações de proporções: (2.2); (2.3); (2.4); (2.5); (2.6) e (2.7).

2 2E . – Utilize a noção de razão e proporção para construir exemplos e definir o conceito de escala.

2 3E . – Utilize a noção de razão e proporção para construir exemplos e definir o conceito de densidade demográfica.

2 4E . – Encontre dois números positivos, com razão entre eles de 4 5: e o produto entre os mesmo sendo 64.


16

2 5E . – As torcidas do Santos e do Corinthians compareceram ao estádio na razão de 3 para 4. Se 77.000 é o número de torcedores presentes, quantos eram os santistas?

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3Divisão Proporcional de um Número

A divisão de um número real a em partes proporcionais é uma n-upla de números reais 1 2 nA a a a( , , , )= ⋅⋅ ⋅ que se enquadra em uma das situações de proporcionalidade dos itens anteriores e satisfaça:

1 2 na a a a= + + ⋅⋅⋅+ .

Exemplo 3.1

Suponha que duas cidades limítrofes decidem dividir o custo de 10 000 000 00$ . . ,R (dez milhões de reais) da construção de uma ponte.

Como critério de divisão foi acordado que o custo seria dividido em partes de proporcionalidade composta, sendo direta às suas populações e inversa às distâncias que as separam da ponte.

Com base no quadro de dados abaixo, encontre quanto caberá a cada cidade.

Cidade População Distância da ponteA 150.000 30 kmB 220.000 11 km

Para resolver esta questão, devemos modelar o critério pelo conceito (e) do parágrafo anterior. Assim, temos que:

(3.1) 10 000 000A B . .+ = e (3.2) 1 1150 000 220 00030 11

A B

. .=

× ×. Esta

última proporção, simplificando os denominadores, equivale à proporção:


18

5 20 1 4A B A B= ⇔ = .

Usando a transformação (2.1), temos que: 1 4 1 4A B A B+

= =+

.

Portanto, substituindo o resultado da equação (3.1) nestas duas últimas proporções, concluímos que,

000 000 00$ 2. . ,A R= e 8 000 000 00$ . . ,B R= .

Exercícios

(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até neste capítulo).

3 1E . – Divida um número N em três partes ,x y e z , diretamente proporcionais

a ,p q e r e mostre que: N px

p q r×

=+ +

. Similarmente encontre os

valores de x e y

3 2E . – Divida o capital de 200 000 00$ . ,R para duas pessoas, em partes

inversamente proporcionais a 13

e 15

.

3 3E . – Divida o capital de 990 000 00$ . ,R em partes de proporcionalidade

composta, direta a ( )2 2 3, , e inversa a ( )5 4 4, , .

3 4E . – Dois números reais satisfazem 34

xy= e 21 000x y .+ = . Determine

esses números.

3 5E . – Um capital de 38 000 00$ . ,R foi divido em partes inversamente proporcionais a ( )2 5 4, , . Qual o valor da maior parte?

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4Regra de Sociedade

Em geral, se duas ou mais pessoas se unem para formar uma sociedade com fins lucrativos de qualquer natureza, no final de um período ou no fechamento da empresa os sócios precisam dividir os lucros ou prejuízos auferidos. É frequente ser acordado que a divisão seja proporcional à composição do capital e o tempo de participação de cada um, na participação na empresa. Por mais complexa que seja uma empresa, pequena, média ou grande, temos somente três casos a caracterizar:

1º Caso

Os sócios com capitais diferentes e tempos de participação iguais. Neste caso, os lucros ou prejuízos serão divididos proporcionalmente aos capitais investidos.

2º Caso

Os sócios com capitais iguais e tempos de participação diferentes. Neste caso, os lucros ou prejuízos serão divididos proporcionalmente aos tempos de investimentos.

3º Caso

Os sócios com capitais diferentes e tempos diferentes de participações. Neste caso, os lucros ou prejuízos serão divididos proporcionalmente, de forma composta, aos capitais e tempos de investimentos.


20

Exemplo 4.1

Um empreendedor A iniciou uma empresa com um capital de 2 000 000 00$ . . ,US . No final do décimo mês de funcionamento admitiu um

novo sócio B , o qual ingressou com um capital de 4 000 000 00$ . . ,US . Passados 24 meses, desde o início da empresa, o negócio gerou um lucro de

2 000 000 00$ . . ,US . Calcule a parte do lucro que coube a cada sócio.A questão dada envolve apenas os capitais e os tempos investidos, pois o

trabalho de cada sócio, por exemplo, é outra questão de análise não abordada aqui. Para visualizar melhor a situação proposta, colocamos:

Sócio Capital Tempo aplicado

A 2 000 000 00$ . . ,US 24 meses

B 4 000 000 00$ . . ,US 14 meses

Se identificarmos AL como o lucro do sócio A e BL o lucro do sócio B , então temos:

2 000 000A BL L . .+ = e 2 000 000 24 4 000 000 14

A BL L. . . .

=× ×

.

Fazendo as devidas simplificações obtemos,

2 000 000A BL L . .+ = e 6 7 6 7 6 7A B A B A BL L L L L L+= ⇒ = =

+. O que nos

fornece:

2 000 000 923 076 9213 6

2 000 000 1 076 923 0813 7

. . $ . ,

. . $ . . ,

AA

BB

L L US

L L US

= ⇒ ≈ = ⇒ ≈

Exercícios


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4 1E . – Em uma sociedade um sócio entrou com 2 5 do capital durante 3 4 do tempo, e o outro sócio entrou com o resto do capital durante 2 3 do tempo. Ocorrendo um prejuízo de 49 210 00$ . ,R , calcule o prejuízo que coube a cada sócio.

4 2E . – Duas pessoas fundaram uma sociedade. Três meses depois admitiram um sócio e, sete meses depois da entrada do terceiro, aceitam um quarto sócio. Sabendo-se que todos entraram com capitais nominalmente iguais, calcular a parte do quarto sócio no lucro de 227 835 00$ . ,R , verificados dois anos após a fundação da sociedade.

4 3E . – Considere uma sociedade com dois sócios A e B , com capital social de 210 000 00$ . ,R . A metade do capital investido por A é igual a 1 5 do capital investido por B . Qual o capital investido por cada sócio?

4 4E . – Um pai deixou um capital de 500 000 00$ . ,R a seus dois únicos herdeiros, 1H com 30 anos e 2H com 20 anos , com a condição de que o capital fosse dividido inversamente proporcional às idades dos herdeiros. Qual é o valor que coube a cada um?

4 5E . – Resolva o exercício anterior, com a condição de que a divisão seja diretamente proporcional às idades.

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5Taxa de Porcentagem e Porcentagem

• Taxa de porcentagem

Uma razão centesimal é uma razão com denominador igual a 100 e taxa de porcentagem é toda razão centesimal. Para representar as razões centesimais usamos o símbolo %, que se lê: “por cento”.

Temos as seguintes representações para taxa de porcentagem: centesimal, decimal e fracionária. Por exemplo:

10 110 0 1100 10

% ,= = = e 6161 0 61100

% ,= =

Os símbolos acima representam taxas de porcentagens e não porcentagens. Com isso, a princípio não podemos operar com esses símbolos e erroneamente pensar que: 10 61 71% % %+ = . Esta notação somente faz sentido quando as porcentagens se referem ao mesmo valor ou objeto. As expressões com o símbolo de porcentagem são relativas e não têm sentido dizer: “18% ”, pois a taxa de percentagem sempre deve ser seguida de alguma coisa. Por exemplo: “18% de tal valor” ou “18% de tal objeto”. É uma forma de se referir a uma parte bem definida de um todo.

• Porcentagem

Porcentagem é a fração centesimal de um todo, ou o resultado obtido quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um valor. Podemos dizer x% de um valor dado, ou de um objeto de natureza diversa da numérica.

Por exemplo: 30% de uma pizza.

23


3 0 %

3 0 %

4 0 %

Recordando como se calcula 23

do valor 120? Calculamos por multiplicação:

2 240120 803 3× = = .

Para calcular uma porcentagem procedemos de duas maneiras:• Na forma de fração centesimal,

20% de 120 é 20 2400120 24100 200

× = = ;

• Na forma decimal ou direta,

20% de 120 é 0 20 120 24, × = .

Em geral, a porcentagem de um principal é dada por:

(5.1) P p i= × ,

onde P é a porcentagem procurada, p é o principal dado e i é a taxa de porcentagem dada.

Observe que na equação (5.1) temos 3 variáveis e qualquer uma delas pode ser determinada a partir de valores conhecidos das outras duas.

A porcentagem é largamente utilizada nos noticiários, relatórios ou análises, quando se quer avaliar a magnitude de uma quantidade ou o valor relativo de um número dado. Um número, por maior que seja, pode ser insignificante se comparado com outro. Assim, a porcentagem passa a ser uma medida de comparação.

Exemplo 5.2

Os ativos da PARANAPREVIDÊNCIA ultrapassaram 3 7$ ,R bilhões no início de 2005. Este é o patrimônio que deverá garantir no futuro o pagamento mensal de 88 mil beneficiários, entre inativos e pensionistas, vinculados atualmente


24

à previdência pública do Estado do Paraná. Parece-nos um número estrondoso: três bilhões e setecentos milhões, mas esse valor, embora seja um valor financeiro muito grande se olhado isoladamente, é uma quantia ínfima se comparado, por exemplo, ao Produto Interno Bruto - PIB Brasileiro.

Para situar a magnitude desse número em relação ao PIB/2004 – Brasil veja o quadro a seguir:

A - PIB BRASILEIRO – 2004. 1 769 000 000 000 00$ . . . . ,R

B - ATIVOS DA PRPREVIDÊNCIA. 3 700 000 000 00$ . . . ,R

A razão BA

fornece um PERCENTUAL de 0 21, %

Notem que o percentual de 0 21, % é menor que a CPMF - Contribuição Provisória de Movimentação Financeira de 0 38, % , extinta em 31/12/2007.

Exemplo 5.3

Quanto por cento de 1500 representa 525 ?Para resolver, temos neste caso 1500p = e 525P = .A taxa de porcentagem é dada por:

525 0 35 351500

Pip

, %= = = = .

• Taxa sobre Taxa

O que é usualmente chamada de taxa sobre taxa, na verdade é a determinação da porcentagem de um valor que já é a porcentagem de algo.

Exemplo 5.4

Quanto é 50% de 60% , de um valor p ? A resposta é 30% deste valor p , pois:

50 60 0 50 0 60 0 30100 100

P p p p( , , ) , = × × = × × = ×

.

25


O que significa 30% do valor p . Também, podemos simplesmente multiplicar as duas taxas de porcentagem nas representações decimais.

Isso é válido para um número qualquer de porcentagens.

Exercícios


5 1E . – Temos as seguintes regras para determinar o número de deputados estaduais.

Câmara Federal: O número de vagas que cada unidade da federação ocupa na Câmara Federal é proporcional à sua população, não podendo ser menor que 8 nem maior que 70.

Assembléias Estaduais/Distrital: O número de vagas nas Assembléias Estaduais/Distrital (DF) é proporcional à população de cada UF e está relacionado ao número de vagas da UF na Câmara Federal.

Cada deputado federal corresponde a três deputados estaduais e distritais, até que o número destes se iguale a 36, quando então, para cada deputado federal acima de 12, corresponderá igual número de deputados estaduais/distrital.

Determine o nº de deputados estaduais dos seguintes estados:UF Senadores Dep. Federal Dep. Estadual

Paraná 3 30 ?Santa Catarina 3 16 ?Rio G. do Sul 3 31 ?Rio de Janeiro 3 46 ?São Paulo 3 70 ?

5 2E . – O Brasil investe atualmente em ciência e tecnologia um percentual do PIB de 0 75, % . Se decidisse investir 2 25, % do PIB em ciência e tecnologia, de quanto seria o aumento percentual aproximado sobre a aplicação?

5 3E . – Um jogador de futebol foi contratado legalmente com um salário fixo de 350 000 00$ . ,R . Utilize somente os dados deste capítulo para encontrar

o salário líquido deste jogador, caso tenha um desconto total de 27,42% do salário para a Previdência e IRRF.


26

5 4E . – O Sr. João comprou um apartamento por 100 000 00$ . ,R e para escriturar o imóvel, sobre esse valor ele pagou mais 12% de imposto e 3% para o corretor. Qual foi total desembolsado pelo Sr. João?

27

6Acréscimos e Decréscimos

Dado um valor ou um objeto qualquer, um acréscimo é um valor ou um objeto de mesma espécie, que se adiciona ao valor ou objeto inicial. Por exemplo, quando adicionamos a metade de uma pizza em uma mesa que já tem uma, teremos uma pizza e meia.

Em finanças, comércio e investimentos, as grandezas envolvidas são sempre valores monetários ou mesmo numéricos que representam quantidades monetárias.

Quando é acrescido um valor negativo, dizemos que houve um decréscimo.Para facilitar o entendimento e comparações é muito comum expressar um

acréscimo ou decréscimo, em termos de um percentual do valor inicial.Assim, dado um valor inicial p , um acréscimo com taxa i sobre p é dado

por i p∆ = × e um decréscimo por i p( )∆ = − × .A letra i representa a taxa de acréscimo ou taxa de decréscimo.

Exemplo 6.1

Certo funcionário Felisberto tem um salário mensal 480 00$ ,S R= e conseguiu um acréscimo 120 00$ ,R∆ = ao seu salário. Logo, seu novo salário será: 600 00$ ,SN R= .

Na linguagem financeira é importante referir-se ao acréscimo em termos de uma porcentagem do salário anterior.

O novo salário de Felisberto é dado por:

480 00 120 00 600 00$ , $ , $ ,SN S R R R= + ∆ = + = .

Como 120 0 25 480,∆ = = × , podemos também escrever:


28

( )0 25 1 0 25 480 00SN S S S, , ,= + ∆ = + × = + × .

De forma mais direta, podemos concluir:

600 1 25 1 0 25 25480

i i, , %= = = + ⇒ = = .

Que é o percentual de acréscimo sobre o salário anterior.Em geral, se temos um valor principal p , então ao se propiciar um acréscimo i p∆ = × neste principal, teremos um valor acrescido, determinado por:

1A p p i p i p( )= + ∆ = + × = + × .

Analogamente podemos ter um valor decrescido, determinado por:

1A p p i p i p( ) ( )= − ∆ = − × = − ×

O coeficiente 1( )i+ é chamado de fator de acréscimo, sendo i a taxa de acréscimo. De forma semelhante o coeficiente 1 i( )− é chamado de fator de decréscimo com i a taxa de decréscimo.

Na situação de fator de acréscimo ou decréscimo, usando a mesma notação 1 i( )+ , temos três possibilidades:

• Caso 0i = , então não haverá acréscimo e A p= ;• Caso 0i > , então haverá um acréscimo e A p> , pois o fator de acréscimo

é 1 1i( )+ > ;• Caso 0i < , taxa de acréscimo negativa, então temos um acréscimo

negativo que é um decréscimo, pois o fator de acréscimo neste caso é 1 1i( )+ < . Assim podemos dispensar o uso da notação 1 i( )− para o

fator de decréscimo. Quando dissermos que i é uma taxa de decréscimo, podemos dizer que é uma taxa de acréscimo negativo.

Exemplo 6.2

Se as taxas de acréscimo são: 12%− ; 8%− ;12% ;89% ; 98% ; 115% e 138% , então os fatores de acréscimos são respectivamente: 0 88, ; 0 92, ; 1 12, ; 1 89, ; 1 98, % ; 2 15, e 2 38, .

Observe que os fatores menores que um significam decréscimos.

29


Exercícios


6 1E . – O salário mínimo passou de 300 00$ ,R para 420 00$ ,R . Qual foi o percentual de aumento nominal ocorrido?

6 2E . – Comprei uma bicicleta por 200 00$ ,R e a vendi em seguida por 260 00$ ,R . De quantos por cento foi o meu lucro?

6 3E . – A multa pelo atraso do pagamento do condomínio de 2% foi de 11 00$ ,R . Qual era o valor do condomínio sem a multa?

6 4E . – Um representante comercial, a título de comissão, retém 20 00$ ,R de cada 100 00$ ,R do total das vendas. Qual é o percentual que recebe sobre o valor repassado ao distribuidor dos produtos vendidos?

6 5E . – Um veículo está sendo vendido na promoção à vista, de 30 000 00$ . ,R por 25 000 00$ . ,R . Quais os percentuais de descontos sobre o preço promocional e sobre o preço inicial?

30

7Acréscimos e Decréscimos Sucessivos

De forma análoga ao tópico de taxa sobre taxas, temos o fator de acréscimo aplicado seguidas vezes, que são chamados de fatores de acréscimos sucessivos.

Dado um valor inicial ou principal p , simbolicamente podemos montar os acréscimos sucessivos como segue:

• Como primeiro estágio, obtemos um acréscimo,

1 11A i p( )= + × ;• No segundo estágio, obtemos o acréscimo,

2 2 1 2 21 1 1A i A i i p( ) ( ) ( )= + × = + × + × , por substituição do valor 1A da equação anterior;• Após n estágios, obtemos o acréscimo geral com fator de acréscimos

sucessivos,

1 21 1 1 1ni i i i( ) ( ) ( )+ × + ×⋅⋅ ⋅× + = + .

A taxa resultante i é chamada de taxa total de acréscimo.

Observação

Se todas as taxas são iguais, isto é: 1 2 ni i i i= = = = , então o fator total de acréscimo é dado por:

1 21 1 1 1 nni i i i( ) ( ) ( ) ( )+ × + ×⋅⋅ ⋅× + = + .

É muito utilizado também o fator médio de acréscimo, que é obtido pela medida geométrica dos n -acréscimos dados:

1 21 1 1 1nni i i i( ) ( ) ( )+ = + × + ×⋅⋅ ⋅× + .

31


Exemplo 7.1 – Aumento Salarial

Foi acordado que o salário que certo empregado receberá durante

no ano, terá três reajustes salariais de: 12% , 5% e 10% . Assim, o

seu salário, ao terminar o ano, estará acrescido pelo fator multiplicativo:

1 0 12 1 0 05 1 0 1 1 2936( , ) ( , ) ( , ) ,+ × + × + = .

O que se conclui é que o seu salário receberá um reajuste acumulado de

29 36, % sobre o atual salário.

Por exemplo, se o salário desse empregado é de 1 000 00$ . ,R , então o seu

novo salário, após os 3 reajustes, será de:

1 000 00 1 2936 1 293 60$ . , , $ . ,R R× = .

Exemplo 7.2 – Variação do Dólar

O quadro seguinte mostra a variação do valor do dólar americano, cotação

para venda em relação ao real, no início de maio de 2005. Selecionamos esse

histórico por questão de espaço, mas contas semelhantes podem ser feitas para

qualquer período.

A título de informação e compreensão, esses são os valores pagos por

importadores, para realizarem importações. É chamado de dólar comercial, preço

de venda pelo Banco Central.

Pense um pouco: o que é venda para um é compra para outro. Aqui o

referencial é o Banco Central do Brasil por ser oficialmente o responsável pela

compra e venda de dólares.

Um exportador quando recebe o pagamento de suas vendas, ele troca

(vende) os dólares por reais no Banco Central, e um importador, para realizar

um pagamento das mercadorias compradas, deve comprar os dólares do

Banco Central. Em todo caso o Banco Central é sempre o vendedor de

dólares.


32

Dólar Comercial VendaData Valor em R$ Decréscimo % Fatores

1/5/2005 2,531 1,00002/5/2005 2,515 0,6322% 0,99373/5/2005 2,501 0,5567% 0,99444/5/2005 2,477 0,9596% 0,99045/5/2005 2,469 0,3230% 0,99686/5/2005 2,459 0,4050% 0,99597/5/2005 2,459 0,0000% 1,00008/5/2005 2,459 0,0000% 1,0000

Fonte: www.debit.com.br e Folha de São Paulo

Como se observa na 2ª coluna do quadro, todos os dias houve decréscimos dos valores. Começando no dia 01/05/05, referencial inicial, os demais dias com taxas de decréscimos iguais a: 1 0 6322= , %i ; 2 0 5567= , %i ; 3 0 9596= , %i; 4 0 3230= , %i ; 5 0 4050= , %i ; 6 0 0000= , %i e 7 0 0000= , %i . Assim, fazendo 1 i( )− para as taxas absolutas acima descritas, obtemos os fatores de decréscimos na 4ª coluna. Note que, multiplicando todos os fatores de decréscimos, teremos:

0 9937 0 9944 0 9904 0 9968 0 9959( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )× × × × ×

2 4591 0000 1 0000 0 97162 531,( , ) ( , ) ,,

× = = .

Fazendo as contas na máquina, nota-se uma pequena diferença no produto 0 9716, em virtude de arredondamentos. Mais adiante voltaremos a falar de truncamentos e arredondamentos e quais as necessidades de aproximações decimais em finanças.

Convém mencionar que um decréscimo de 0% é igual a um acréscimo também nulo e o seu fator de acréscimo é igual ao fator de decréscimo que é 1, fica constante sem variação.

Exemplo 7.3 – Crescimento do PIB Brasil

No inicio de março de 2005, diversos meios de comunicação veicularam a seguinte notícia: O PIB (Produto Interno Bruto) do Brasil somou 1 769, bilhões de

33


reais no ano de 2004, segundo dados do IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Em 2003, a soma de todas as riquezas produzidas no país, que é o PIB, havia ficado em 1 556, bilhões de reais. Portanto, o crescimento do PIB de 2004 foi de 5,2% em relação a 2003.

Como se chega nessas contas, pelo quadro abaixo?

PIB – 2004 1 769 000 000 000 00$ . . . . ,R

PIB – 2003. 1 556 000 000 000 00$ . . . . ,R

FATOR DE CRESCIMENTO 1 1369,

O fator de crescimento, na tabela anterior, fornece uma taxa de crescimento de 13,69%. Por que razão então a notícia se refere a 5,2%? A resposta é que o cálculo do PIB em valores nominais leva em consideração uma inflação de 8,1%, calculada pelo IBGE. Este índice mede a variação média dos preços de toda a economia, incluindo as variações para o consumidor (IPCA) e no atacado (IPA).

Sobre o índice real de crescimento e seu cálculo, voltaremos a abordar mais adiante. Neste momento, a título de informação, dizemos que, para obter o índice real de crescimento, devemos “retirar” multiplicativamente o fator da inflação:

1 1369 1 0521 081, ,,

≈ . O que resulta numa taxa real de crescimento de 5 2, % .

Exercícios


7 1E . – A cesta básica de alimentos, na Cidade de São Paulo, sofreu três baixas de preços consecutivas de 10% . Se o valor inicial era de

220 00$ ,R , qual será o seu novo valor?

7 2E . – Um funcionário receberá, sobre o valor do salário atual, cinco aumentos de 10% . Qual será o aumento percentual de seu salário?

7 3E . – Um funcionário receberá cinco aumentos consecutivos de 10% . Qual será o aumento percentual de seu salário?

7 4E . – Um funcionário teve aumentos salariais durante o ano. O seu salário de dezembro ficou 18% maior que o salário de janeiro. Se a inflação


34

do mesmo ano foi de 9% , qual foi o aumento real aproximado do seu salário?

7 5E . – Comprei um objeto por 200 00$ ,R e em seguida o vendi por 100 00$ ,R . Qual foi o percentual do meu prejuízo sobre o preço de

venda do objeto?

35

8Operações Comerciais de Compra e Venda

Em toda transação comercial, de compra, venda ou permuta de mercadorias, estão envolvidas três variáveis - O preço de venda, o preço de custo e o lucro - denotadas por:

vP = Preço de venda;

cP =Preço de custo;

L = Lucro.

Assim podemos considerar a equação geral do comércio:

(8.1) v c v c c vL P P P P L P P L= − ⇔ = + ⇔ = − .

Caso 0L < tem-se uma operação com prejuízo ou também chamado de lucro negativo.

Deve-se observar que no comércio em geral, o valor cP não se restringe ao valor de aquisição da mercadoria e sim ao custo total do produto, incluindo as despesas de armazenamento, despesas financeiras, velocidade do giro, entre outros.

Desta equação geral do comércio, derivamos quatro equações que possibilitam decidir sobre lucros ou prejuízos. O resultado será sempre uma equação envolvendo três variáveis e facilmente resolvível, quando se conhecem duas delas.

As explicitações dos quatro casos são desnecessárias aos que dominam resoluções de equações do primeiro grau. Sua utilidade é quando se precisa de cálculos rotineiros e montagem de planilhas com grande quantidade de valores.


36

• Lucro sobre o valor cP =o preço de custo

Neste caso, o lucro é proporcional ao preço de custo. Tomando c cL i P= × , então ci é chamada de taxa de lucro sobre o preço de custo. Substituindo este valor de L na equação (8.1) temos:

1v c v c c c c cP P L P P i P i P( )= + ⇒ = + × = + × ⇒

(8.2) 1v c cP i P( )= + × .

• Lucro sobre o valor vP = o preço de venda

Neste caso, o lucro é proporcional ao preço de venda, v vL i P= × e vi é chamada de taxa de lucro sobre o preço de venda.

Substituindo este valor de L na equação (8.1), temos:

v c v c v v v v cP P L P P i P i P P( )= + ⇒ = + × ⇒ − × = ⇒

(8.3)1

cv

v

PP

i=

−.

• Prejuízo sobre o valor cP =o preço de custo

Neste caso, o prejuízo é proporcional ao preço de custo. Tomando

( )c cL i P= − × , então ci é chamada de taxa de prejuízo sobre o preço de custo.Substituindo este valor de L na equação (8.1) temos:

( ) ( )1v c v c c c c cP P L P P i P i P= + ⇒ = − × = − × ⇒

(8.4) ( )1v c cP i P= − × .

• Prejuízo sobre o valor vP = o preço de venda

Neste caso, o prejuízo é proporcional ao preço de custo. Tomando

( )v vL i P= − × , então vi é chama de taxa de prejuízo sobre o preço de venda.Substituindo este valor de na equação (8.1) temos:

37


( ) ( )1v c v c v v v v cP P L P P i P i P P= + ⇒ = − × ⇒ + × = ⇒

(8.5)( )1

=+

cv

v

PP

i.

Exemplo 8.6

Vejamos agora um exemplo bem simples, como forma de fixar o conceito.Suponha que se compre uma mercadoria por 50 00$ ,R e em seguida a venda

por 100 00$ ,R . Portanto, auferimos um lucro de 50 00$ ,L R= . Assim, temos os seguintes dados:

100vP = ;50cP = ;

50 L = .

Podemos então obter as seguintes conclusões:

•

50 1 10050 c c

c

L i iP

%= = = ⇒ = , que é a taxa de lucro sobre o preço de

custo;

•50 0 5 50

100 v vv

L i iP

, %= = = ⇒ = , que é a taxa de lucro sobre o preço de

venda.

Exemplo 8.7

Suponha agora que compramos uma mercadoria por 100 00$ ,R e em seguida a vendemos por 50 00$ ,R . Portanto, auferimos um lucro negativo de

( )50 00$ ,L R= − ou um prejuízo de 50 00$ ,L R= . Assim, temos os seguintes dados:


38

50vP = ;100cP = ;50L = − .

Também podemos obter as seguintes conclusões:

•50 0 5 50

100 c cc

L i iP

, %−= = − = ⇒ = − . Que é a taxa de lucro negativo

sobre o preço de custo, ou 50ci %= a taxa de prejuízo sobre o preço de

custo;

•50 1 10050 v v

v

L i iP

% −

= = − = ⇒ = − . Que é a taxa lucro negativo sobre o

preço de venda, ou 100vi %= de prejuízo sobre o preço de venda.

Exercícios


8 1E . – Comprei algo por 1 200 00$ . ,R e o vendi com lucro de 25% da terça parte do valor de compra. Qual foi o lucro percentual sobre vP ?

8 2E . – Um produto industrializado é fabricado com cinco insumos, todos com o mesmo peso na composição do custo. Se apenas um dos insumos sofre um aumento de 50% em seu preço, de quanto aumentará o custo do produto a ser fabricado?

8 3E . – Um comerciante de veículos vendeu um carro por 18 000 00$ . ,R , com um prejuízo de 10% sobre o preço de compra. Qual foi o preço de compra?

8 4E . – Um camelô vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Calcule o seu lucro sobre o preço de compra.

8 5E . – Um colega comprou um carro por 10 000 00$ . ,R e vendeu com um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual foi o preço de venda desse carro?

39

9Descontos e Descontos Sucessivos

Em nosso dia-a-dia, a todo momento nos deparamos com descontos, seja no supermercado, na feira livre, no banco e em inúmeras situações.

Sabemos da aritmética que:

(9.1) V p d= − ,

onde p = o valor inicial ou principal, d = o valor do desconto concedido e V =o valor final ou valor descontado.

É muito útil nos referirmos ao desconto d como uma percentagem do valor

inicial p . Consideremos di d i pp

= ⇔ = × na equação (9.1), onde i é chamada

de taxa de desconto, obtemos:

(9.2) ( )1V p i p V i p= − × ⇔ = − × .

Exemplo 9.2

Se um produto é oferecido por 180 00$ ,R com desconto 12% de desconto, então o preço final de pagamento será:

( )1 0 12 180 0 88 180 158 40, , $ ,V R= − × = × = .

Analogamente ao tópico de acréscimos sucessivos, podemos construir o fator de descontos sucessivos.

Dado um valor inicial ou principal p , simbolicamente podemos construir os descontos sucessivos como segue:

• Como primeiro estágio, obtemos o valor final,


40

1 11V i p( )= − × ;• No segundo estágio, obtemos o valor final,

2 2 1 2 21 1 1V i V i i p( ) ( ) ( )= − × = − × − × ,

por substituição do valor 1V da equação anterior.• Após n estágios, obtemos o fator chamado de fator de descontos

sucessivos:

1 21 1 1 ni i i( ) ( ) ( )− × − ×⋅⋅ ⋅× − .

Observação

Se todas as taxas são iguais, isto é: 1 2 ni i i i= = = = , então o fator de desconto é dado por:

1 21 1 1 1 nni i i i( ) ( ) ( ) ( )− × − ×⋅⋅ ⋅× − = − .

É muito utilizado também o fator médio de desconto, que é obtido pela medida geométrica dos n descontos dados:

1 21 1 1 1nni i i i( ) ( ) ( )− = − × − ×⋅⋅ ⋅× − .

Exemplo 9.3

O famoso jargão de que 10 10% %+ não é 20% !Se um comerciante está oferecendo um produto de valor p com desconto

de 10 10% %+ , para pagamento à vista, então temos valor final como segue. Tivemos oportunidade de comentar esta questão na definição de porcentagem. Pois o primeiro 10% nos dá um primeiro valor final 1 1 0 1 0 9V p p( , ) ,= − × = × . O segundo desconto de 10% incide sobre o valor final 1 0 9V p,= × . Logo, teremos como valor final depois do segundo desconto:

( ) ( ) ( )211 0 1 0 9 0 9 0 9 0 81V V p p p, , , , ,= − × = × × = × = × ⇒

( )1 0 19V p,= − × .

41


Portanto, nestas condições temos a aparente contradição que: 10 10 19% % %+ = .

Exercícios

(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos até este capítulo).

9 1E . – Um aparelho de TV foi comprado com desconto de 12% por 792 00$ ,R . Qual era o preço normal dessa TV?

9 1E .9.2 – Um aparelho de TV de R$1000,00 está sendo vendido com desconto de 20%+20%. Qual é o valor a ser pago?

42

10Imposto de Renda, Retido na Fonte de Pessoa

Física

Nesse capítulo vamos estudar a tabela progressiva do Imposto de Renda Retido na Fonte de pessoa física – IRRF, seu gráfico e os cálculos envolvidos.

Como o próprio nome diz imposto sobre a renda, apesar disto a legislação ou a Constituição Federal não define de forma precisa o significado de renda.

Salário é renda?

Esta indagação já foi formulada por muitos, mas pouco se sabe de uma resposta simples e satisfatória. Nosso objetivo não permite entrar nessa seara, por se afastar dos propósitos destas notas.

De forma mais concreta, a conclusão mais óbvia é que o salário formal é atualmente a renda mais vulnerável ao IRRF.

A tabela progressiva do IRRF para o ano de 2005, Medida Provisória nº 232, de 30 de dezembro de 2004, define o que deve ser descontado mensalmente no contracheque:

Base de Cálculo - CB Alíquota Parcela a Deduzir

Até R$1.164,00 0% 0 00$ ,R

De R$1.164,01 até R$2.326,00 15% 174 60$ ,R

Acima de R$2.326,00 27,5% 465 35$ ,R

Tabela Progressiva.

43


A Base de Cálculo - CB é o salário bruto menos os descontos permitidos por lei. Por exemplo, a lei permite descontar no ano de 2005 a quantia de

117 00$ ,R por cada dependente legal e a Previdência efetivamente paga, além de outros itens descritos na lei. O cálculo da previdência será visto no próximo tópico.

Exemplo 10.1

Consideremos um empregado de empresa privada, registrado em sua carteira profissional com um salário integral bruto de 5 000 00$ . ,R e com dois dependentes legais; então seu salário líquido será calculado conforme o demonstrativo sintético:

DEMONSTRATIVO SALARIAL EM REAIS –R$Salário/vantagens 5.000,00

Desconto Previdência − INSS − 11% de 2.668,15. (293,50)

Desconto do Imposto de Renda Retido na Fonte - IRRF (764,59)

Salário Líquido 3.941,91

• Explicações sobre o IRRFO IRRF pode ser calculado, usando a tabela progressiva citada, pela seguinte

equação:

( )764 59 0 275 5 000 00 293 50 234 00 465 35, , . , , , ,IRRF = = × − − − .

As alíquotas também podem ser calculadas diretamente na decomposição do salário pelas respectivas faixas:

0 1 164 00 15 1 162 00 27 5 2 146 50% de . , % de . , , % de . ,IRRF = + + .

Outra explicação necessária é sobre as parcelas a deduzir:

• 174 60 0 15 1 164 00, , . ,= × ;

• 465 35 0 275 1 164 00 0 125 1 162 00, , . , , . ,= × + × .As parcelas a deduzir tornam a tabela progressiva contínua, evitando o

equívoco de inverter salário líquido.Vamos esboçar o gráfico do IRRF em função de CB .


44

Como se vê, o gráfico do CIRRF B× é uma função cujo gráfico é uma reta em cada intervalo. Pela tabela progressiva, podemos dizer, então, que a função estendida a todos os números reais positivos é definida pela regra geral:

0 0 1 1640 150 174 60 1 164 2 3260 275 465 35 2 326

C

C C C

C C

BIRRF B B B

B B

se .( ) , , se . .

, , se .

≤ ≤= × − < ≤ × − < < ∞

Como exercício, verifique que esta função é contínua na variável CB . Com isso podemos concluir a razão das constantes 174 60, e 465 35, , nas expressões anteriores. Também concluímos que o IRRF não provoca diminuição de salário líquido, em virtude de o salário bruto mudar de alíquota. É muito comum se ouvir a incoerente frase:

Se meu salário aumentar, vai mudar de faixa do imposto de renda e daí o salário líquido vai ser menor!

Logicamente quando tratamos com moeda, com apenas duas casas décimas, o modelo será um gráfico discreto. Pois, certamente ninguém jamais recebeu, por exemplo, um salário de 1 000 2$ .R × , mas sim pode ter recebido o valor aproximado de 1 414 21$ . ,R .

Exemplo 10.2

Consideremos agora um servidor público do Paraná, nomeado antes da Emenda 41 de dezembro de 2003, com salário de 5 000 00$ . ,R e com dois

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dependentes legais. Neste caso, seu salário líquido será calculado conforme demonstrativo salarial sintético:

DEMONSTRATIVO SALARIAL EM REAIS -R$Salário/vantagens 5.000,00

Desconto Previdência − PRPREVIDÊNCIA. (*) (652,00)

Desconto do Imposto de Renda Retido na Fonte - IRRF (666,00)

Salário Líquido 3.682,00

(*) Novas mudanças podem ocorrer na lei, este cálculo atualmente é feito pela seguinte fórmula:

( )652 00 0 14 5 000 00 1 200 00 0 10 1 200 00, , . , . , , . ,= × − + × .

Ou seja, o servidor está pagando de Previdência:

10% sobre 1 200 00$ . ,R e 14% sobre ( )5 000 00 1 200 00 . , . ,− .

Comparando os dois exemplos, verifica-se que o salário líquido do indivíduo da iniciativa privada é superior ao salário líquido do indivíduo do serviço público em:

259 91 3 941 91 3 682 00$ , $ . , $ . ,R R R= − .

Esta diferença surge em virtude dos descontos, uma vez que, o empregado da iniciativa privada, como paga menos de previdência então paga mais de IRRF .

Mencionamos a Emenda 41 pelo fato de que, a partir de então, o cálculo do desconto para a previdência mudou para os novos servidores. Os antigos continuam pagando na forma apresentada sem, no entanto, ter garantido o direito à aposentadoria integral. São regras de “confisco”, imposta pelo Governo Federal aos servidores públicos.

Exercício


10 1E . – Repetir os exemplos (10.1) e (10.2), para o caso do empregado e do servidor público não ter dependentes.


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10 2E . – Verificar a continuidade da função ( )CIRRF B incluído no exemplo (10.1).

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11Cálculo do INSS na Folha de Pagamento

Neste capítulo pretendemos mostrar as incoerências matemáticas e sociais dos índices de cálculo dos descontos em folha para a previdência INSS, Portaria nº 822, de 11 de maio de 2005.

Salário-contribuição (R$) Alíquota de recolhimentoAté R$ 800,45 7,65 %De R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65 %De R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00 %De R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11,00 %

Portaria nº 822, de 11 de maio de 2005.

Veja a inconsistência desta tabela, quando estamos com salários nos limítrofes percentuais.

Suponha que temos dois salários brutos:

1 1 334 07$ . ,S R= e 2 1 344 07$ . ,S R= .

Note que 1 2S S< , pois 2 1 10 00$ ,S S R− = . Pela tabela anterior, temos os descontos para o INSS :

1 9 00 1 334 07 120 07( ) , % de . , $ ,INSS S R= = e

2 11 00 1 344 07 147 85( ) , % de . , $ ,INSS S R= = .

Assim, os salários líquidos 1LS S( ) e 2LS S( ) são:

1 1 334 07 120 07 1 214 00( ) $ . , $ , $ . ,LS S R R R= − = e


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2 1 344 07 147 85 1 196 22( ) $ . , $ , $ . ,LS S R R R= − = .

Portanto:

1 2 1 227 78( ) ( ) $ , ( ) ( )L L L LS S S S R S S S S− = ⇒ > .

O que evidencia uma inconsistência muito grande, para não dizer um contra-senso, uma vez que 1 2S S< . O correto seria o cálculo em “cascata”, como no IRRF.

Exercício

11 1.E – Um executivo tem salário bruto mensal de 80 000 00$ . ,R , com 2 dependentes. Quais serão os descontos de INSS e de IRRF sobre seu salário bruto e o seu salário líquido, de acordo com as tabelas aqui apresentadas?

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12Cálculo do ICMS nas contas de Luz e

Telefone

Neste parágrafo pretendemos demonstrar artifícios do fisco, especificamente estadual, no cálculo do ICMS nas contas de Água, Luz e Telefone. Os argumentos se estendem para outros impostos e tarifas públicas.

Encontramos num informativo de uma empresa de energia elétrica a seguinte explicação sobre o ICMS:

Como o ICMS é um imposto cobrado “por dentro”, simplesmente aplicar a alíquota de 27% sobre o consumo de energia não funciona, explica a empresa. A razão disso começa na Constituição Federal. Assim como as leis complementares promulgadas depois, ela determina, no artigo 155, que o montante do imposto também faça parte da sua base de cálculo.A base de cálculo é definida somando o consumo (VC), os acréscimos, no caso o encargo de capacidade emergencial para evitar apagões (AC) e o próprio valor do ICMS, ainda não definido. A fórmula, então, fica assim:

ICMS = (VC + AC + ICMS) x 30%.

Será que é possível entender esse imbróglio explicativo? Inicialmente devemos lembrar que o mencionado art. 155 da Constituição Federal não explicita a afirmativa anterior de que o imposto seja parte da base de cálculo.

É óbvio que não tem explicação plausível para este engodo sob o ponto de vista do direito tributário. Como o próprio nome diz: ICMS – Imposto sobre Circulação de Mercadorias e Serviços – a taxa de %x deveria incidir sobre


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o valor da mercadoria. No entanto, o cálculo anterior em última análise, está aplicando a alíquota sobre o próprio imposto ICMS.

Perante a Matemática não existe erro nessa forma de calcular; a questão é jurídica e de interpretação do que a lei define como base de cálculo, a qual deve incidir a alíquota de %x do ICMS .

Tudo se resume na definição correta da base de incidência!Para melhor entender, verificando uma NOTA FISCAL de venda de

mercadoria do ano 2000, constata-se que no Paraná a alíquota de 17 é aplicada sobre o valor final pago pelo cliente.

Teoricamente, o comerciante pagará ao fisco estadual o valor correspondente a 17% sobre o valor da nota fiscal. Em outras palavras, se uma mercadoria tem valor total na nota fiscal de 100 00R$ , para pagamento do consumidor, então:

100 00 83 00 17 00$ , $ , $ ,R R R= + .

Veja que estranha aritmética, nas duas componentes acima, tem-se:83 00$ ,R = o valor da mercadoria;17 00$ , R ICMS= a ser recolhido ao fisco. Mas,

17 00 0 2048 20 4883 00

, , , %,

≈ = .

Assim, podemos dizer que o ICMS é de 20 48, % e não 17% como se divulga e escreve na nota. Tudo é uma questão de ponto de vista e passível de análise jurídica e interpretação da lei.

Simbolicamente, vamos modelar a situação geral da conta de energia, considerando o caso de uma FATURA da COPEL do Paraná. Em se tratando de conta de energia elétrica, fica mais confusa a questão do cálculo do ICMS . Pois, a ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica divulga, por meio de Resolução, o valor final do kWh sem impostos, a ser cobrado dos consumidores residenciais.

Denotando por:

Preço final

Preço da tabela da Aneel sem impostosImposto

f

c

p

P

PI ICMS .

=

= =

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No caso do Paraná o ICMS é de 27% sobre o preço final, ou seja, 0 27 fICMS P,= × . Logo temos a seguinte equação:

( )0 27 1 0 27f c c f f cP P ICMS P P P P, ,= + = + × ⇒ − × = ⇒

( )1 1 36986 1 0 369860 73f c c cP P P P, ,,

= × ≈ × = + × .

Portanto, concluímos que efetivamente o ICMS é 36 99, % sobre o valor cP . Aritmeticamente não existe incongruência, o que se pode dizer é que ocorre uma confusão proposital, da base de cálculo, em prejuízo para o consumidor.

Observação

Além dos comentários anteriores sobre a base de cálculo do ICMS , ainda onerando a conta do consumidor existe a taxa de iluminação pública e o famoso ENCARGO DE CAPACIDADE EMERGENCIAL. Este último, definido pela ANEEL em 2005 com o valor de: 0 0082191$ ,R por kWh consumido, incluído aí o ICMS, vigorou até 2006.

Por exemplo, uma família média que consome 400kwh , pagará mensalmente desse ENCARGO a quantia de:

400 0 0082191 3 29$ , $ ,R R× = .

Este aparente “pequeno” valor, pois são milhões de consumidores, também faz parte da base de cálculo do ICMS. Poucas pessoas têm conhecimento de quem recebe esses valores, chamados de seguro contra um possível “apagão”.

A imaginação dos políticos, de qualquer partido de nosso País, é fantasticamente fértil para criar encargos financeiros e impostos aos indefesos e incautos consumidores brasileiros!

Este é um bom exemplo do princípio pacificamente assimilado pelo imaginário popular, por desconhecimento:

É melhor “roubar” pouco de muitos que muito de poucos!


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Exercícios


12 1E . – Uma conta de telefone, fatura total de 298 65$ ,R , inclui 27% de ICMS nesse preço. Qual foi o valor dos serviços consumidos?

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13Atualização Monetária e Correção

Monetária

Mais adiante, vamos estudar com mais detalhes a questão de transporte e equivalência de capitais. Neste momento, nosso interesse é fazer atualização monetária, utilizando os acréscimos sucessivos vistos anteriormente. A atualização monetária é muito utilizada em decisões judiciais e em negócios de longo prazo.

Por meio de fatores de atualização é possível corrigir capitais localizados em datas anteriores, de forma a possibilitar comparações de valores monetários em datas diferentes.

Como o valor de um capital é sua capacidade de compra, corrigir um capital é torná-lo com o mesmo poder de compra, que representava na data original. Nesse sentido, um capital ou valor monetário é tratado com diversas adjetivações: valor nominal, valor corrigido, valor atual, valor presente e valor futuro entre outros.

• Primeira providência

A primeira providência a tomar, para corrigir um capital, é escolher um índice ou um referencial de atualização.

Uma maneira simples de atualizar seria transformar o capital em moeda ouro na data de realização. Isto é, quantos gramas de ouro se compravam naquela data e posteriormente se calcula o quanto vale a mesma quantidade de ouro. O fator que deve ser multiplicado para comprar a mesma quantidade de outro é chamado de fator de atualização. Assim, teremos um índice constituído de apenas


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um “produto”, que é o ouro. Um exemplo muito utilizado nos dias atuais, para operações agrícolas ou da agroindústria, é a denominação popular: equivalência produto.

Os valores estudados devem sempre estar no mesmo padrão monetário. Para entender a questão do padrão monetário, discorreremos mais diante um quadro comparativo de todas as mudanças de padrão monetário ocorridas no Brasil desde o Império.

Voltando à questão inicial deste parágrafo, um índice de variação de preço é uma medida da variação dos preços num período pré-fixado, para um determinado conjunto de produtos. Mais especificamente, um índice de variação de preço é a média aritmética ponderada dos aumentos e diminuições dos preços de um conjunto de produtos e serviços, considerando os pesos que os mesmos representam no conjunto.

• O INPC – Índice Nacional de Preços ao Consumidor

O INPC é um índice calculado pelo IBGE com o objetivo de indicar reajustes salariais para diversas categorias. O universo da pesquisa é constituído pelo hábito de consumo das pessoas que ganham de 1 a 8 salários mínimos, nas cidades de: Rio de Janeiro, Porto Alegre, Belo Horizonte, Recife, São Paulo, Belém, Fortaleza, Salvador e Curitiba, Distrito Federal e o Município de Goiânia.

A composição dos grupos de despesas deste universo, para o cálculo do INPC, é definida por:

Descrição Percentagem

Alimentação 33,10%

Artigos de residência 08,85%

Habitação 12,53%

Transporte e comunicação 11,44%

Vestiário 13,16%

Saúde e cuidados pessoais 07,56%

Despesas pessoais 13,36%

Total 100,00%

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O INPC – Índice Nacional de Preço ao Consumidor é um índice calculado pelo IBGE desde abril de 1979.

Por questão de espaço, vamos explicitar um quadro contendo o INPC mensal, desde julho de 1994, em 3 tabelas. O interesse desta data inicial é por se tratar do primeiro mês do padrão monetário real.

Convém dizer que existem dezenas de índices que medem variação de preços, cada um com um universo de produtos dado pelo hábito de um segmento da sociedade.

Eis alguns deles, com o respectivo fator de variação. Os números apresentados significam o produto de 131 fatores, desde julho de 1994.

Fatores acumulados de julho de 1994 a abril de 2005

Índice Fator

IGP-M 3,6748404

IGP-DI 3,6418477

INPC 2,9402052

IPCA 2,8731750

IPC-BRASIL 3,0757210

IPC-SP 2,6056931

Fonte: Sitio do Banco Central do Brasil.

Observe nesta tabela que, por exemplo, o IGP-M ficou 24 99, % superior ao INPC no período, pois:

3 674840424 99 1 1 249858479 1 0 24992 9402052

≈ − = − ≈,, % , ,,

• Tabelas do INPC

A seguir, apresentamos três tabelas detalhadas do INPC.


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Tabela 1: INPC/IBGE – Percentuais mensais (jul./1994 a abr./2005)

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Janeiro 1,44 1,46 0,81 0,85 0,65 0,61 0,77 1,07 2,47 0,83 0,57

Fevereiro 1,01 0,71 0,45 0,54 1,29 0,05 0,49 0,31 1,46 0,39 0,44

Março 1,62 0,29 0,68 0,49 1,28 0,13 0,48 0,62 1,37 0,57 0,73

Abril 2,49 0,93 0,60 0,45 0,47 0,09 0,84 0,68 1,38 0,41 0,91

Maio 2,10 1,28 0,11 0,72 0,05 -0,05 0,57 0,09 0,99 0,40

Junho 2,18 1,33 0,35 0,15 0,07 0,30 0,60 0,61 -0,06 0,50

Julho 7,75 2,46 1,20 0,18 -0,28 0,74 1,39 1,11 1,15 0,04 0,73

Agosto 1,85 1,02 0,50 -0,03 -0,49 0,55 1,21 0,79 0,86 0,18 0,50

Setembro 1,40 1,17 0,02 0,10 -0,31 0,39 0,43 0,44 0,83 0,82 0,17

Outubro 2,82 1,40 0,38 0,29 0,11 0,96 0,16 0,94 1,57 0,39 0,17

Novembro 2,96 1,51 0,34 0,15 -0,18 0,94 0,29 1,29 3,39 0,37 0,44

Dezembro 1,70 1,65 0,33 0,57 0,42 0,74 0,55 0,74 2,70 0,54 0,86

Acumulado 19,81 21,98 9,12 4,34 2,49 8,43 5,27 9,44 14,74 10,38 3,89

Fonte: Revista Conjuntura Econômica e IBGE

Esta tabela exibe os percentuais mensais do INPC, no período indicado.

No final de cada ano, apresenta o percentual do ano, com a ressalva de que no

ano de 1994 o percentual de 19 81, % se refere ao percentual acumulado de

julho a dezembro. Não foram utilizados os percentuais do INPC de janeiro a

junho de 1994, constados apenas para informação da situação ocorrida com

os índices no momento da mudança da moeda.

Convém ressaltar que a fonte indicada na Tabela – 1 mostra os percentuais

com duas casas decimais, outras fontes podem apresentar mais casas

decimais.

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Tabela 2: INPC/IBGE – Fatores mensais (jul./1994 a abr./2005)

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Janeiro 1,000000 1,014400 1,014600 1,008100 1,008500 1,006500 1,006100 1,007700 1,010700 1,024700 1,008300 1,005700

Fevereiro 1,000000 1,010100 1,007100 1,004500 1,005400 1,012900 1,000500 1,004900 1,003100 1,014600 1,003900 1,004400

Março 1,000000 1,016200 1,002900 1,006800 1,004900 1,012800 1,001300 1,004800 1,006200 1,013700 1,005700 1,007300

Abril 1,000000 1,024900 1,009300 1,006000 1,004500 1,004700 1,000900 1,008400 1,006800 1,013800 1,004100 1,009100

Maio 1,000000 1,021000 1,012800 1,001100 1,007200 1,000500 0,999500 1,005700 1,000900 1,009900 1,004000

Junho 1,000000 1,021800 1,013300 1,003500 1,001500 1,000700 1,003000 1,006000 1,006100 0,999400 1,005000

Julho 1,077500 1,024600 1,012000 1,001800 0,997200 1,007400 1,013900 1,011100 1,011500 1,000400 1,007300

Agosto 1,018500 1,010200 1,005000 0,999700 0,995100 1,005500 1,012100 1,007900 1,008600 1,001800 1,005000

Setembro 1,014000 1,011700 1,000200 1,001000 0,996900 1,003900 1,004300 1,004400 1,008300 1,008200 1,001700

Outubro 1,028200 1,014000 1,003800 1,002900 1,001100 1,009600 1,001600 1,009400 1,015700 1,003900 1,001700

Novembro 1,029600 1,015100 1,003400 1,001500 0,998200 1,009400 1,002900 1,012900 1,033900 1,003700 1,004400

Dezembro 1,017000 1,016500 1,003300 1,005700 1,004200 1,007400 1,005500 1,007400 1,027000 1,005400 1,008600

F. Acumulado 1,198073 1,219814 1,091171 1,043401 1,024873 1,084303 1,052720 1,094418 1,147400 1,103839 1,061332 1,026758

% - ano 19,81% 21,98% 9,12% 4,34% 2,49% 8,43% 5,27% 9,44% 14,74% 10,38% 6,13% 2,68%

2,9402

Esta tabela é montada a partir da Tabela – 1, considerando o fator como

sendo: 1 i+ , onde i é a taxa indicada na mesma posição, procurando o endereço

de cada entrada em uma matriz.

Por exemplo, o fator correspondente ao mês de junho de 2003 é:

0 991 1 0099 1100

i ,,+ = = + ,

pois o percentual do mesmo mês e ano é 0 99, na Tabela -1. De maneira semelhante

pode ser visto todos os fatores.


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Tabela 3: INPC/IBGE – Fatores acumulados (jul./1994 – abr./2005).

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Janeiro 1,000000 1,215325 1,482763 1,607582 1,678019 1,716346 1,860299 1,961488 2,153078 2,504662 2,720495 2,879903

Fevereiro 1,000000 1,227600 1,493291 1,614816 1,687080 1,738487 1,861229 1,971100 2,159753 2,541230 2,731105 2,892575

Março 1,000000 1,247487 1,497621 1,625797 1,695347 1,760739 1,863648 1,980561 2,173143 2,576045 2,746672 2,913691

Abril 1,000000 1,278550 1,511549 1,635552 1,702976 1,769015 1,865326 1,997197 2,187920 2,611595 2,757933 2,940205

Maio 1,000000 1,305399 1,530897 1,637351 1,715237 1,769899 1,864393 2,008582 2,189890 2,637449 2,768965

Junho 1,000000 1,333857 1,551258 1,643082 1,717810 1,771138 1,869986 2,020633 2,203248 2,635867 2,782810

Julho 1,077500 1,366670 1,569873 1,646039 1,713000 1,784245 1,895979 2,043062 2,228585 2,636921 2,803124

Agosto 1,097434 1,380610 1,577722 1,645545 1,704607 1,794058 1,918920 2,059202 2,247751 2,641668 2,817140

Setembro 1,112798 1,396763 1,578038 1,647191 1,699322 1,801055 1,927172 2,068263 2,266407 2,663329 2,821929

Outubro 1,144179 1,416318 1,584034 1,651968 1,701192 1,818345 1,930255 2,087704 2,301990 2,673716 2,826726

Novembro 1,178046 1,437704 1,589420 1,654446 1,698130 1,835437 1,935853 2,114636 2,380028 2,683609 2,839164

Dezembro 1,198073 1,461426 1,594665 1,663876 1,705262 1,849020 1,946500 2,130284 2,444288 2,698101 2,863581

Esta tabela é construída a partir da Tabela - 2, multiplicando os fatores até o mês de referência ou do endereço na matriz.

Para entender a construção, note que o fator acumulado do mês em consulta é o fator do mês anterior multiplicado pelo fator do mês em consulta.

Vamos acompanhar o seguinte cálculo:

Fator dezembro de 1994 1 198073 1 178046 1 017000, , ,= ≈ × .

As planilhas dos fatores estão apresentadas com 6 casas decimais; frequentemente é necessário trabalhar com mais casas decimais para se ter uma melhor aproximação.

• Sobre o Salário Mínimo Nacional

Vamos considerar a série histórica do valor do Salário Mínimo, vigente nacionalmente, desde julho de 1994, início do padrão monetário Real.

59


Data do início da vigência Valor em $R01/07/1994 64,79

01/05/1995 100,00

01/05/1996 112,00

01/05/1997 120,00

01/05/1998 130,00

01/05/1999 136,00

03/04/2000 151,00

01/04/2001 180,00

01/05/2002 200,00

01/04/2003 240,00

01/05/2004 260,00

01/05/2005 300,00

01/04/2006 350,00

01/04/2007 380,00

01/03/2008 415,00

01/02/2009 465,00

Fatos importantes podem ser inferidos desta tabela da evolução do salário mínimo. Um dos relevantes é que houve um crescimento real, bem acima da evolução dos preços pelo INPC.

Vejamos algumas contas:a) O salário evoluiu nominalmente, de 64 79$ ,R em julho de 1994,

para 300 00$ ,R em maio de 2005. Portanto, houve um reajuste de

363 03, % , uma vez que, 300 001 4 630344 363 0364 79

i i, , , %,

+ = ≈ ⇒ ≈ .

b) Como o fator de crescimento do INPC/IBGE no mesmo período foi de 2 940205, , então temos que o salário mínimo teve um aumento real acima do INPC/IBGE, de 57 48, % no mesmo período, de:

4 6303441 1 574837 57 482 940205, , , %,

i i+ = = ⇒ ≈ .

Logicamente, em uma análise mais fina, que foge dos objetivos destas notas, os preços relativos podem ter sofrido distorções importantes. Por exemplo, um


60

salário mínimo poderia comprar mais litros de gasolina em julho de 1994 que compra hoje. Isso em economia se chama preços relativos. As contas anteriores demonstram que, na média da cesta de consumo definida pelo INPC, o salário mínimo está com poder de compra, em maio de 2005, 57 48, % superior que em julho de 1994.

Para atualizações anteriores a 1994, precisamos estudar um pouco sobre conversão dos padrões monetários brasileiros.

Exercícios


13 1E . – Um indivíduo ganhava em 01/07/1994 um salário bruto de 6 479 00$ . ,R e até 01/05/2005 obteve todos os reajustes pelo INPC. Qual foi sua perda salarial percentual, em relação ao salário mínimo?

13 2E . – Um especulador comprou uma casa de praia em 01/07/1994 por 50 000 00$ . ,R e em 01/05/2005, alegre pelo lucro, a vendeu por 147 010 00$ . ,R . Qual foi o seu lucro real percentual sobre o preço de

compra, em relação ao INPC?

13 3E . – Calcule, no exercício anterior, qual foi o prejuízo financeiro do especulador se for considerado o IGP-M como inflação.

13 4E . – Em julho de 1994 a tarifa básica do telefone no Paraná era de 0 61$ ,R (sessenta e um centavos) e em abril de 2005 essa mesma tarifa chegou a 44 26$ ,R . Qual foi o aumento real da tarifa básica em relação ao INPC?

13 5E . – Pesquise um produto, que se comprava com um salário mínimo em julho/1994 e que hoje necessite mais de um salário mínimo para comprar.

61

14Mudanças do Padrão Monetário Brasileiro

A conversão gerada pelas reformas do padrão monetário, desde o Mil Réis,

foi literalmente retirada da página do Banco Central.

PADRÃO LEGISLAÇÃO

MIL RÉIS

1 000. réis = Cr$ 1(com centavos).Antes de 01.11.1942Converte para o Real R$, multiplicando pelo fator:

( )5 181 1

2 75 101 000 2 750 ,. .=

××

O Decreto-lei nº 4.791, de 05.10.1942 (D.O.U. de 06.10.42), instituiu o CRUZEIRO como unidade monetária brasileira, com equivalência a mil réis. Foi criado o centavo, correspondente à centésima parte do cruzeiro.Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinqüenta mil e quatrocentos réis), passou a expressar-se Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinqüenta cruzeiros e quarenta centavos).

CRUZEIRODepois de 01.11.1942Converte para o Real R$, multiplicando pelo fator:

151

2 75 10, ×


62

CRUZEIRO(sem centavos)Depois de 02.12.1964Converte para o Real R$,Multiplicando pelo fator:

151

2 75 10, ×

A Lei nº 4.511, de 01.12.1964 (D.O.U. de 02.12.64), extinguiu a fração do cruzeiro denominada centavo.

Exemplo: no exemplo anterior passou a ser escrito sem centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e cinqüenta cruzeiros).

CRUZEIRO NOVOCr$ 1.000 = NCr$ 1(com centavos) 13.02.1967.Converte para o Real R$, multiplicando pelo fator:

121

2 75 10, ×

O Decreto-lei nº 1, de 13.11.1965 (D.O.U.de 17.11.65), Regulamentado pelo Decreto nº 60.190, de 08.02.1967 (D.O.U. de 09.02.67), restabelecendo o centavo. O Conselho Monetário Nacional em 08.02.1967 estabeleceu a data de 13.02.67 o início de vigência do novo padrão.Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinqüenta cruzeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos).

CRUZEIROde NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970.Converte para o Real R$, multiplicando pelo fator:

121

2 75 10, ×

A Resolução nº 144, de 31.03.1970 (D.O.U. de 06.04.70), do Conselho Monetário Nacional, restabeleceu a denominação CRUZEIRO, a partir de 15.05.1970, mantendo o centavo.

Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a expressar-se Cr$ 4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos).

CRUZEIRO(sem centavos) 16.08.1984Converte para o Real R$, multiplicando pelo fator:

121

2 75 10, ×

A Lei nº 7.214, de 15.08.1984 (D.O.U. de 16.08.84), extinguiu a fração do Cruzeiro denominada centavo. Assim, a importância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos), passou a escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vírgula e os algarismos que a sucediam.

CRUZADOCr$ 1.000,00 = Cz$ 1,00(com centavos)28.02.1986.Converte para o Real R$: multiplicando pelo fator:

91

2 75 10, ×

O Decreto-lei nº 2.283, de 27.02.1986 (D.O.U. de 28.02.86), instituiu o CRUZADO, equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo.

Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milhão, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinqüenta centavos).

63


CRUZADO NOVOCz$ 1.000,00 = NCz$ 1,00 (com centavos) 16.01.1989.Converte para o Real R$: multiplicando pelo fator:

61

2 75 10, ×

A Medida Provisória nº 32, de 15.01.1989, convertida na Lei nº 7.730, de 31.01.1989 (D.O.U. de 01.02.89), instituiu o CRUZADO NOVO, correspondente a um mil cruzados, mantendo o centavo.

Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinqüenta centavos) passou a expressar-se NCz$ 1,30 (um cruzado novo e trinta centavos).

CRUZEIROde NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990Converte para o Real R$: multiplicando pelo fator:

61

2 75 10, ×

A Medida Provisória nº 168, de 15.03.1990 (D.O.U. de 16.03.90), convertida na Lei nº 8.024, de 12.04.1990 (D.O.U. de 13.04.90), restabeleceu o CRUZEIRO, correspondendo um cruzeiro a um cruzado novo com centavo.

Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) passou a expressar-se Cr$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzeiros).

CRUZEIRO REALCr$ 1000 = CR$ 1(com centavos) 01.08.1993.Converte para o Real R$: multiplicando pelo fator:

31

2 75 10, × ,Até 30/06/1994.Após essa data entra em vigor o padrão real – R$.

A Medida Provisória nº 336, de 28.07.1993 (D.O.U. de 29.07.93), convertida na Lei nº 8.697, de 27.08.1993 (D.O.U. de 28.08.93), instituiu o CRUZEIRO REAL, a partir de 01.08.1993, em substituição ao Cruzeiro, equivalendo um cruzeiro real a mil cruzeiros, com a manutenção do centavo. A Resolução nº 2.010, de 28.07.1993, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a mudança na unidade do sistema monetário.

Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milhão, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se CR$ 1.700,50 (um mil e setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos).

REALCR$ 2.750 = R$ 1

(com centavos)01.07.1994.

Converte para o Real R$: multiplicando pelo fator:

1

A Medida Provisória nº 542, de 30.06.1994 (D.O.U. de 30.06.94), instituiu o REAL, a partir de 01.07.1994, com a equivalência de CR$ 2.750,00 (dois mil, setecentos e cinqüenta cruzeiros reais), igual à paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30.06.94 e mantido o centavo.Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhões de cruzeiros reais) passou a expressar-se R$ 4.000,00 (quatro mil reais).

Fonte: Sitio do Banco Central do Brasil

• Comentários

Inicialmente esclarecemos que não deve ser confundido índice de correção

monetária com mudança da unidade monetária. O índice mede a variação dos


64

preços dos produtos e serviços pesquisados, ocorrida na moeda corrente no momento da coleta.

Assim, na análise de uma situação concreta, temos duas tarefas a realizar:• Conversão do padrão monetário – realizar a multiplicação pelos fatores

das tabelas anteriores.• Correção monetária – atualizar, por algum índice, o poder de compra

de um valor monetário. Isso é equivalente a transportar o valor monetário para outra data, de forma a manter o mesmo poder de compra desse valor em relação aos produtos que compõem o conjunto que define o índice de atualização escolhido.

A conversão é estática, enquanto a atualização monetária é dinâmica e se realiza por um índice adequado para cada situação.

No sítio do Banco Central do País é encontrado o primeiro índice de atualização monetária do Brasil: o IPC-SP. O primeiro fator do IPC-SP data de dezembro de 1942, registrado pela FIPE - Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas. Ele mede a variação do custo de vida das famílias com renda de 1 a 20 salários mínimos do município de São Paulo. Para o cálculo das variações quadrissemanais, leva-se em consideração a amostra total mensal de aproximadamente 110.000 tomadas de preços.

O fator total, resultante de todos os fatores desde a origem, até abril de 2005 é o número astronômico:

( ) 818 466 112 476507 10Fator IPC SP/ . . ,= × .

Notem que esse simples conjunto de algarismos é resultado do trabalho de milhares de pessoas durante dezenas de anos, pela Instituição responsável pelo seu cálculo.

Esse fator geral é o produto de 749 fatores mensais.

( ) ( ) ( ) ( )1 2 7491 1 1 1Fator IPC SP i i i i/ = + = + × + × × + .

Exercício


65


14 1E . – Pesquisar em alguma conta de família um valor monetário antigo, de forma a comparar o seu significado financeiro com o dos dias atuais. Por exemplo, o valor de algum imóvel de família, constante de escrituras antigas.

Sugestão: fazer correção monetária na “calculadora do cidadão” no site do Banco Central do Brasil: www.bcb.gov.br.

66

15Valores Monetários na História do Brasil

Vamos utilizar o Fator Total do IPC/SP, por ser o mais antigo índice, pelos dados do Banco Central, para analisar uma situação envolvendo valores monetários na História do Brasil.

Em 2003, o fotógrafo e pesquisador baiano Antonio Olavo, em entrevista, falou sobre o Relatório do Comitê Patriótico da Bahia (1897-1901), cuja 2ª edição saiu 101 anos depois. Escolhemos aleatoriamente alguns trechos dessa entrevista, onde aparecem informações sobre valores monetários da época.

Antonio Olavo – é um caso interessantíssimo, pois o comitê movimentou uma soma fabulosa de dinheiro, 129 contos de réis. A pressão exercida pelo Colégio Salesiano sobre o Comitê querendo dinheiro para construir sua sede, em troca de aceitar cuidar de cinco órfãos de Canudos. Foi proposta, por um dos membros do comitê, a doação de 20 contos de réis. Para se ter idéia, um boi custava 80 mil réis e veja que mil réis era um conto de réis. Naquela que foi a maior reunião do comitê, 27 membros estavam presentes e a não aprovação da verba para o Colégio gerou um racha. Depois que o comitê encerra suas atividades regulares, em 1898, num balanço final de 1901, aparece uma doação para o Salesiano de 5 contos e 900 mil réis. Esse texto do comitê reabre pistas para inúmeros estudos e pesquisas de Canudos, porque os órfãos de Canudos tornaram-se um negócio para instituições filantrópicas e beneficentes. A lista das que procuravam receber órfãos em troca de donativos vultosos era imensa.

Essa entrevista de Antonio Olavo, onde aparecem várias referências de valores monetários, mostra muita semelhança com nossos dias. Não é possível

67


desconfiar dos números, pois se trata de um relatório de prestação de contas do referido Comitê.

Em destaque, observamos como qualquer ideologia se move por dinheiro e a maioria se “locupleta”, quando o assunto são finanças em proveito próprio.

Relevamos que certamente existia inflação nessa época e o índice que iremos utilizar para atualizar os valores monetários surgiu somente 42 anos depois desses fatos.

Como já comentamos, os valores monetários datam dos anos 1897 a 1901. Assim, as conclusões podem estar distorcidas para menor, embora seja possível tirar algumas conclusões.

Vamos agora converter alguns dos valores mencionados no Relatório do Comitê, observados com certa ironia pelo fotógrafo e pesquisador Antonio Olavo na entrevista recente de 2001:

• 129 contos de reis – 129:000$000: Em novembro de 1942, mil réis foram transformados em Cr$1,00 (um cruzeiro). Portanto, temos nessa data:

129 000 000 129 000 00: $ $ . ,Cr= , (Centro e vinte e nove mil cruzeiros). Agora, convertendo para a moeda Real - $R , e depois multiplicando pelo

( / )Fator IPC SP , temos:

129 000 818466112 47652 10 86 622 85152 75 10. , $ . ,

,R× × =

×.

Convenhamos, a valores de hoje, não chega a ser uma soma fabulosa como alude o autor. A não ser que entre os 42 anos que separam o Relatório e o início do Cruzeiro, ocorreu inflação alta em Mil Réis.

Não conseguimos apurar este fato, mas seria interessante, como pesquisa, tentar descobrir a inflação desse período.

Agora, suponha que a moeda Réis teve uma inflação média de 22% aa. de 1900 a 1942. Essa foi a média anual dos 5 primeiros anos da moeda Cruzeiro. Então o valor total acima se tornaria, a valor de maio de 2005, a quantia ainda irrisória de:

367 067 012 20$ . . ,R .• 80 mil réis – 80$000 – valor de um boi: Em novembro de 1942 esse valor

passou para:


68

80 000 80 00$ $ ,Cr= - oitenta cruzeiros. Utilizando os mesmos fatores, temos:

815

80 18466112 47652 10 53 722 75 10

, $ ,,

R× × =×

.

Sem comentários, pois o preço estável do boi gordo em São Paulo (Presidente Prudente), em maio de 2005 pago aos produtores era de 55 00$ ,R por arroba (15 kg). Valor maior que o anterior por um boi inteiro.

Exercício


15 1E . – Retiramos o trecho abaixo sobre a história do Brasil Colônia. Pesquise, para traduzir para nossos dias, os valores monetários aludidos nesse trecho da história do Brasil, em grifos:

A alegada expulsão dos holandeses de Pernambuco, em 1654, que fora o ponto mais rico do mundo colonial português com sua exportação de açúcar atingindo 700 mil arrobas, fez com que, entre 1661 (Tratado de paz de Haia) e 1730, Portugal tivesse que pagar à Holanda, 4 milhões de cruzados de indenização, além de entregar o Ceilão e as ilhas Molucas para a Holanda. (...). Em 1800 Portugal já está sem força, pois acabara o dinheiro que vinha do Brasil, cujo apogeu foi entre 1750 e 1760, quando se estima que se foi uma fortuna, de 2,5 milhões de toneladas de ouro e 1,5 milhões de quilates de diamantes, que ajudou a reconstruir Lisboa destruída pelo tempo de D. José I e do Marquês de Pombal. Portugal era um país em processo de alienação como metrópole, avançou a ponto de sacrificar nossa indústria em prol da britânica e acabou por concordar em eliminar a lavoura brasileira para favorecer a agricultura das colônias inglesas nas Antilhas.

Sugestão: pesquise o valor da tonelada de ouro em preços atuais e tire as conclusões.

69

16Inflação e Atualização Monetária

A origem e as formas de combate à inflação é um problema da Economia ou interface de diversas áreas do conhecimento. Nosso propósito, em Matemática Financeira, é analisar os números coletados e noções de seu cálculo.

Inicialmente, entende-se por Inflação, num determinado período de tempo, a taxa média de aumento dos preços de um determinado conjunto de produtos e serviços. Essa taxa média nos fornece a taxa de inflação do período. Por exemplo:

Tabela

Descrição Mês – 01 Mês - 02

Produto Quantidade Preço ($) Subtotal Preço ($) Subtotal

Arroz 10 kg 1,20 12,00 1,30 13,00

Carne 10 kg 4,50 45,00 4,80 48,00

Feijão 4 kg 1,69 6,76 1,80 7,20

Óleo 2 latas 2,40 4,80 2,45 4,90

Leite 20 litros 1,00 20,00 1,10 22,00

Café 2 kg 7,60 14,20 8,00 16,00

Açúcar 10 kg 0,80 8,00 0,90 9,00

TOTAL 110,76 120,10

A taxa de acréscimo no valor total desta cesta de alimentos é dada por:

120 10 1 0 0843 8 43110 76

i , , , %,

= − ≈ = .


70

Na Tabela anterior, temos uma cesta de alimentos, consumida mensalmente por uma família, com os seus respectivos preços em dois meses consecutivos. O percentual de 8 43, % , que é uma média ponderada, é chamado de inflação da cesta básica de alimentos, dessa hipotética família no mês em referência. Note que alguns produtos aumentaram mais que outros, por exemplo, o açúcar subiu em 12 5, % o seu preço. Verifique esses cálculos como exercício.

Como não figuram na Tabela outros produtos e serviços consumidos mensalmente pela mesma família, a taxa determinada não reflete a sua inflação mensal total. Não constam da tabela: luz, água, telefone, entre tantos outros itens de consumo. Pois o cálculo da inflação total é complexo e com métodos estatísticos apropriados, como citamos no caso do IPC/SP. Cada índice, divulgado nacionalmente, tem sua metodologia própria de cálculo e diversas instituições são responsáveis pelos seus cálculos.

Exemplo 16.1 - Defasagem salarial – Servidor Público

Agora vamos considerar um exemplo mais recente para fazer conversões de moedas e correção de valores. Escolhemos o início de 1988, era do Cruzado e um ano antes do Cruzado Novo.

Um contracheque de um Professor com Doutorado e Dedicação Exclusiva da Universidade Estadual de Maringá, indica que o seu salário base em janeiro de 1988 era de 109 836 20$ . ,Cz . Em abril de 2005 (o salário estava congelado desde março de 1997) este mesmo Professor recebeu um salário base de 2421 60$ ,R . Assim, surge a pergunta: seu salário tem o mesmo poder de compra do seu salário de janeiro de 1988? Vamos apenas fazer as contas utilizando o INPC como índice de correção.

Não faremos nenhuma análise mais fina, como, por exemplo, sobre os preços relativos e hábitos de consumos desse professor, pois se estenderia muito e se agravaria ainda mais a situação.

• Convertendo a moeda e corrigindo pelo fator do INPC, o salário corrigido deveria ser:

91 169962336 0 109 836 20 6 788 36

2 75 10, . , $ . ,

,S R= × × =

×

71


• Concluímos, assim, que o atual salário base de 2 421 60$ . ,R está defasado em relação ao salário corrigido pelo INPC em:

6 788 36 1 2 8033 180 332 421 60. , , , %. ,

− = = .

Exemplo 16.2 - Alguns valores do Salário Mínimo no Brasil

Todo início de ano, os políticos começam a dizer absurdos em relação ao

Salário Mínimo Nacional. Cada qual dizendo aquilo que seus eleitores querem

ouvir. O governo sempre, independente da bandeira partidária, afirma que se

aumentar o salário mínimo vai explodir a Previdência Pública e Prefeituras em

todo o Brasil.

O DIEESE – Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Sócio-

Econômicos existe desde 1955 e foi criado pelo Movimento Sindical, tendo

por objetivos: desenvolver atividades de pesquisa e assessoria de temas

relacionados ao mundo do trabalho.

Um dos seus principais trabalhos é o cálculo do Salário Mínimo

Necessário.

2005 Mínimo Nominal Mínimo Necessário

Janeiro R$ 260,00 R$ 1.452,28

Fevereiro R$ 260,00 R$ 1.474,96

Março R$ 260,00 R$ 1.477,49

Abril R$ 260,00 R$ 1.538,64

• Salário Mínimo Nominal é o salário mínimo vigente.• Salário Mínimo Necessário é o salário mínimo, de acordo com o

preceito constitucional, necessário para cobrir as despesas com moradia, alimentação, educação, saúde, lazer, vestuário, higiene, transporte e previdência social de uma família com dois adultos e duas crianças.

Aleatoriamente escolhemos alguns salários mínimos, em épocas bem distantes, convertemos para o Real e corrigimos pelo IPC-SP, para comparar o


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seu poder de compra. Usaremos o IPC-SP por se tratar do índice mais antigo, abrangendo o período de existência do Salário Mínimo.

Inicio da Vigência Valor NominalConvertido e Corrigido para

04/2005

04/07/1940 240 mil réis R$ 161,16

01/01/1943 Cr$ 300,00 R$ 201,87

01/05/1952 Cr$ 1.200,00 R$ 233,41

01/02/1965 Cr$ 66.000,00 R$ 213,04

01/05/1980 Cr$ 4.149,60 R$ 204,88

01/11/1985 Cr$ 600.000,00 R$ 265,38

01/11/1988 Cz$ 30.800,00 R$ 221,94

01/01/1990 NCz$ 1.283,95 R$ 331,37

01/12/1993 CR$ 18.760,00 R$ 216,72

01/02/1994 CR$ 42.829,00 R$ 254,59

01/07/1994 R$ 64,79 R$ 168,82

01/05/1999 R$ 136,00 R$ 208,49

03/04/2000 R$ 151,00 R$ 218,17

01/04/2001 R$ 180,00 R$ 248,09

01/04/2002 R$ 200,00 R$ 257,58

01/04/2003 R$ 240,00 R$ 271,44

01/05/2004 R$ 260,00 R$ 280,65

01/05/2005 R$ 300,00 R$ 300,00

Conversão e Correção (IPC-SP): sitio do Banco Central do Brasil

Com esses números, para tornar o Salário Mínimo Nacional com o mesmo poder de compra do Salário Mínimo Necessário, em abril de 2005, de acordo com o DIEESE, deveríamos reajustá-lo em:

1 538 64 1 491 77260 00. , , %

,− = ,

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ou multiplicar por um fator de correção ( )1 5 9177i ,+ =

Exercício

16 1E . – Pesquise a relação dos valores de um salário mínimo de 1940 com algum produto conhecido até nossos dias.

74

17O Dinheiro Brasileiro

Encontramos na internet, com endereço na bibliografia, uma boa cronologia

do meio circulante brasileiro, desde o açúcar até o advento do Real. É um quadro

histórico curioso.

1580 -1640. Circulavam no Brasil os reales hispano-americanos. A equivalência

com a moeda “Réis Português” foi estabelecida em 1582.

1614. O açúcar tornou-se moeda legalmente reconhecida.

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Século XVII. Os escravos negros da Bahia usavam como moedas pequenas conchas, também conhecidos por guimbombo (ou vulgarmente búzios).

1645. Surgiram em Pernambuco as primeiras moedas feitas no Brasil, cunhadas pelos invasores holandeses.

1653. O pano de algodão, segundo o Padre Vieira, valia como moeda no Maranhão.

1654. O real português voltou a circular na Colônia.

1663. O valor das moedas aumentou em 25%.

1668. Portugal aumentou em 10% o valor das moedas de ouro. A medida não foi adotada no Brasil.

1669. Por ordem da Coroa, circularam no Brasil moedas de prata, com carimbo de 80, 160, 320 e 640 réis.

1694. É criada a primeira Casa da Moeda do Brasil, na Bahia.

1695. A casa da Moeda da Bahia cunhou suas primeiras moedas de ouro, nos valores de 1.000, 2.000 e 4.000 réis, e de prata de 20, 40, 80, 160, 320 e 640 réis.

1698. A Casa da Moeda foi transferida para o Rio de Janeiro.

1699-1700. No Rio, a Casa da Moeda fez moedas de ouro, de 1.000, 2.000 e 4.000 réis, e de prata, de 20, 40, 80, 160, 320 e 640 réis.

1700. A Casa da Moeda mudou-se para Pernambuco.

1695 -1702. Por determinação real, passaram a circular no Brasil as moedas de cobre cunhadas no Porto, em Portugal. Valiam 10 e 20 réis.

1700 -1702. A Casa da Moeda, em Pernambuco, cunhou moedas de ouro no valor de 4.000 réis, e de prata nos mesmos valores anteriores.

1702. A Casa da Moeda foi transferida novamente para o Rio de Janeiro, iniciando-se a cunhagem de moedas com matéria-prima inteiramente nacional.

1714. As descobertas de ouro deram ensejo ao funcionamento simultâneo de duas Casas da Moeda: uma no Rio, outra na Bahia.


76

1722. Em 4 de abril regulamentou-se definitivamente o padrão legal para a moeda brasileira: a oitava de ouro valia 1.600 réis e a de prata 100 réis.

1724. Uma terceira Casa da Moeda entrou em funcionamento. Ficava em Vila Rica, atual Ouro Preto, Estado de Minas Gerais.

1724 -1727. Entraram em circulação a Série de Dobrões, de: 20.000, 10.000, 4.000, 2.000, 1.000 e 400 réis.

1735. A Casa da Moeda de Vila Rica encerrou suas atividades.

1749. O Maranhão passou a ter moeda própria, cunhada em Portugal. As de ouro valiam 1.000, 2.000 e 4.000 réis; as de prata 80, 160, 320 e 640 réis; as de cobre 5, 10 e 20 réis.

1752. Nas Minas Gerais as moedas de prata de 75, 150, 300 e 600 réis; serviam de troco para ouro em pó.

1788. Suspendeu-se a derrama, cobrança de impostos reais sobre o ouro das Minas Gerais.

1810. Os reales espanhóis ainda em circulação foram re-cunhados passando a valer 960 réis. Moedas de cobre de 37,5 e 75 réis foram cunhadas no Rio e em Vila Rica.

1821. D. João VI retornou a Portugal, esvaziando o tesouro. Os pagamentos foram suspensos iniciando-se a emissão de dinheiro sem lastro metálico.

1832. O valor de uma oitava de ouro foi fixado em 2.500 réis. Surgiram moedas de ouro de 10.000 réis, com peso de 4 oitavas.

1834 -1848. Começaram a circular as moedas de prata da série dos cruzados de 1.200, 800, 400, 200 e 100 réis.

1846. A oitava de ouro passou a valer 4.000 réis. Cunharam-se moedas de ouro de 20.000, 10.000 e 5.000 réis. E moedas de prata de 2.000, 1.000, 500 e 200 réis.

1868. Apareceram moedas de bronze, valendo 10 e 20 réis.

1871. Surgiram as moedas de níquel, de 200, 100 e 50 réis.

1873. Cunharam-se moedas de bronze, de 40 réis.

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1901. Passaram a circular as moedas de níquel, de 400 réis.

1911. O real brasileiro registrou sua primeira alta no mercado internacional.

1922. Fizeram-se as últimas moedas de ouro, de 20.000 e 10.000 réis. Continuavam a circular as moedas de prata de 2.000, 1.000 e 500 réis. No mesmo ano surgiram moedas de bronze e alumínio de 1.000 e 500 réis.

1936. Apareceram moedas de níquel no valor de 300 réis.

1942. O Cruzeiro tornou-se a nova moeda nacional.

1967. A desvalorização do cruzeiro levou à criação do Cruzeiro Novo, com valor mil vezes maior.

1970. O cruzeiro novo voltou a chamar-se apenas Cruzeiro.

1986. Cruzado é a nova unidade monetária em substituição ao cruzeiro.

1989. Com a desvalorização do cruzado surge o Cruzado Novo.

1990. Restabelece-se a denominação para a moeda o Cruzeiro.

1993. Instituiu-se o Cruzeiro Real em substituição ao cruzeiro.

1994. O Brasil passa a ter o Real (R$) com a nova unidade monetária – 01/07/1994 – com o valor 2.750 vezes o Cruzeiro Real.

Moeda de 2.000 réis de 1888.Anverso: PETRUS II.D.G.C.IMP.ET PERP.BRAS.DEF.1888

Reverso: DECRETO DE 1870 - 2000 RÉIS

Uma pesquisa interessante e pouco encontrada é saber os valores relativos das mercadorias, serviços e as moedas em circulação em cada época.


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Uma questão muito útil é calcular o quanto custava a manutenção média de um escravo, mesmo que não ganhasse nada pelo seu trabalho. O fazendeiro certamente tinha um custo por isso. Seria menos ou mais que o salário pago hoje?

Essas e outras questões são afetas mais à Sociologia que à Matemática Financeira.

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18Capital em Matemática Financeira

O conceito de Capital em economia ou em sociologia é complexo, profundo e não é objeto desta exposição. Neste texto restringiremos à noção de “Capital em Matemática Financeira”, para conceituar taxa de juro, juro, montante e seus cálculos. De forma genérica em dicionários, Capital é definido como: riqueza ou valores disponíveis.

Consultando um dicionário financeiro específico, encontramos alguns, dentre tantos, conceitos adjetivados de Capital, sempre o circunscrevendo em um contexto próprio:

• Capital Aberto: característica do tipo de sociedade anônima em que o capital representado por ações que podem ser negociadas nas Bolsas de Valores é dividido entre muitos e indeterminados acionistas.

• Capital Autorizado: limite estatutário, de competência de assembléia geral ou do conselho de administração, para aumentar o capital social de uma empresa.

• Capital de Giro: parte dos bens de uma empresa, representada pelo estoque de produtos e pelo disponível imediato e em curto prazo.

• Capital de Risco: capital investido ou em investimentos, nos quais existe possibilidade de perdas e ao mesmo tempo possibilidade de ganhos superiores aos habituais.

• Capital de Terceiros: valor de terceiros utilizados para a manutenção da atividade de uma empresa.

• Capital Especulativo: diz-se do capital que só procura obter vantagens de uma determinada situação, não trazendo benefícios para a economia ou setor no qual se acha investido.

• Capital Externo: capital de origem estrangeira.


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• Capital Fechado: característica do tipo de sociedade anônima na qual o capital representado por ações é dividido entre poucos acionistas e essas ações não são negociadas em Bolsas de Valores.

• Capital Garantido: modalidade de fundo de renda variável que protege o investimento inicial no caso de uma variação negativa do índice IBOVESPA. A rentabilidade do fundo de capital garantido é positiva, se a rentabilidade do índice IBOVESPA também for positiva. Mas se o índice IBOVESPA cair, o investidor tem assegurado que receberá no vencimento da aplicação a mesma quantia inicialmente investida.

• Capital Social: valor dos recursos financeiros colocados na empresa, pelos seus sócios ou acionistas.

• Capital Financeiro: é o capital representado por títulos, obrigações, certificados e outros papéis negociáveis que podem ser convertidos em dinheiro instantaneamente.

Quando nos referirmos a Capital em nossos estudos, o que mais interessa é esse último, ou seja, o Capital Financeiro.

Em geral, por liquidez de um Capital entende-se a sua capacidade de ser transformado ou convertido em dinheiro ou em moeda corrente. O prazo desta conversão é chamado de prazo de liquidez. Quando esse prazo de liquidez é suficientemente pequeno, dizemos que o Capital possui liquidez instantânea.

Capital algum, a menos que seja a própria moeda guardada em um “cofre”, possui liquidez instantânea. Pois, mesmo um saldo a vista num banco, dependendo do valor, tem um prazo bancário para o seu saque. Uma quantia guardada no cofre, em moeda diferente da corrente, para ser transformada na moeda do negócio pode levar horas ou mesmo dias para o seu câmbio.

Intuitivamente, um capital é dinâmico e se constitui um fluxo no tempo. Pois, como o valor de um capital é o seu poder de compra ou valor de troca, então o mesmo tem variação no tempo.

Capital Inicial significa um valor monetário em uma data fixada que dá início a uma operação financeira. Nesta data de análise, o capital em tela deve ter liquidez instantânea, para qualquer apreciação financeira que se pretenda.

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19Correção Monetária

Existe muita diferença entre correção monetária e juro. De forma ingênua podemos dizer que correção monetária é a forma de “devolver” o poder de compra de um capital ou valor financeiro. Se existisse uma moeda constante, isto é, sempre com o mesmo poder de compra, não haveria necessidade de correção monetária e um capital nessa moeda manteria seu poder de compra constante.

A grande ilusão da população brasileira é imaginar que depois do nascimento da moeda real, não tivemos mais desvalorização na moeda e uma nota de 100 00$ ,R compra hoje as mesmas coisas que comprava em 01 de julho de 1994. Pura ilusão! Entendemos de que as principais “virtudes” do Plano Real foram dilatar os prazos para se atingir os objetivos e favorecimentos de uma pequena parcela da população. Essa atitude do governo, aplaudida por políticos de todos os matizes ideológicos, encontrou simplesmente uma maneira engenhosa para transferir rendas de alguns segmentos da sociedade para outros, sem “gritarias” descontroláveis. Sempre em benefício dos mandatários e setores internacionais.

Qual o objetivo de nossa digressão sobre esta questão? Com uma inflação mensal medida pelo INPC de 48 24, % . .a m , percentual do último mês do cruzeiro real, em junho de 1994, certamente brotaria uma “insatisfação geral” se os salários ficassem dois ou mais meses sem reajustes e isso certamente não era interessante para as classes abastadas do Brasil.

Vamos mostrar, matematicamente, o que ocorreu com o Plano Real. Suponha que um trabalhador ganhasse antes de julho de 1994, um salário de

1 000 00$ . ,S R= que permaneceu dois meses com seu salário congelado. Para


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quanto reduziria o seu poder de compra nessa situação? Com dois meses seguidos de INPC de 48 24, % , temos um fator de acréscimo no custo de vida de:

( ) ( ) ( )21 0 4824 1 0 4824 1 0 4824 2 19750976, , , ,+ × + = + = .

Portanto, para manter o poder de compra de seu salário, deveria ganhar um novo salário SN no valor de:

1 000 00 2 19750976 2 197 51. , , $ . ,SN R= × =

Supondo que o salário ficou congelado, então o seu salário congelado S passou a valer, em relação ao custo de vida:

1 000 0 4551 45 512 197 51

∆ = = =. , , %

. ,.

Isto quer dizer que seu salário, nas condições dadas, dois meses depois adquiria apenas 45 51, % dos produtos de julho de 1994.

Algumas categorias profissionais continuam com os salários congelados literalmente. E o poder de compra desse salário congelado, como ficou em junho de 2005?

O INPC de todo o período do Plano Real, atingiu em maio de 2005 o percentual de 196 07867, % . Portanto, para manter o mesmo poder de compra, em relação ao INPC, seu salário atual SN deveria ser:

1 000 00 2 9607867 2 960 79. , , $ . ,SN R= × = .

Como o salário permaneceu congelado desde julho de 1994, então o salário congelado S passou a valer, em relação ao custo de vida:

1 000 0 3377 33 772 960 79

. , ,. ,

∆ = = = .

De forma análoga, o aludido salário nas condições dadas, em junho de 2005 adquire apenas 33 77, % dos produtos de julho de 1994.

Cada um pode tirar a sua própria conclusão. A situação melhorou para esse trabalhador, com o advento do Plano Real? Entendemos que não, pois a única diferença entre as situações é o tempo para a redução inflacionária do salário. Em julho de 1994 a redução se concretizava em apenas dois meses.

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Em síntese, correção monetária é manter constante pelo menos periodicamente, o poder de compra de um valor monetário de um salário ou um capital financeiro.

Por circunstâncias diversas, a Justiça em geral leva muito tempo para considerar uma sentença como transitado em julgado. Sendo assim, a Justiça do Trabalho em especial procede à correção monetária dos valores reclamados e concedidos, para em seguida calcular os juros, pelo método de juros simples pro rata die. Ou seja, calcula o juro considerando o número de dias, com uma taxa anual prefixada, corrigido até uma data referencial.

Exemplo 19.1

Vamos verificar como o poder de compra de uma moeda se “deteriora”, em relação a um determinado produto essencial.

Suponha que o salário de João seja de 300 sacas de arroz neste mês e permaneça congelado. Suponha agora que o arroz sofra um aumento de 20% . Qual será o poder de compra de arroz do salário do João no segundo mês?

Considerando A = valor da saca de arroz, então:

300SalárioA

= .

Considerando que rA = novo preço da saca de arroz, então:

( ) 3001 0 20 1 20, ,rr

Salário AA A AA

×= + × = × ⇒ =

1 20, A×⇒

300 2501 20

= =,r

SalárioA

.

Portando, o salário do João comprará, no próximo mês, apenas 250 sacas de arroz. Perdeu o poder de compra em 50 sacas.

Este exemplo mostra o significado maléfico da inflação, na vida de cada trabalhador assalariado. Os índices de inflação medem a corrosão do salário, utilizando uma média ponderada com produtos que um determinado segmento da população consome mensalmente. Os pesos dessa média são únicos para cada


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índice particular, por isso dissemos anteriormente que, rigorosamente, cada pessoa tem uma inflação particular.

De forma similar, essa comparação com o arroz poderia ter sido feita com qualquer outro produto com cotação no mercado, tais como: ouro, café e soja. Este último muito comum nas operações de compra e venda de imóveis nos dias atuais.

Exercício

19 1E . – Refazer o exercício 13 4E . , sobre a tarifa básica do telefone, comparando o aumento de preço com a correção monetária do período. Qual seria o valor do salário mínimo em 2005, com a aplicação do mesmo índice da tarifa básica?

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20Origem da Palavra Juro

A origem da palavra “juro” é permeada de “místicas” e controvérsias. É difícil se encontrar, nos usos e costumes, uma explicação para o uso da palavra “juro” apenas para designar o aluguel do “dinheiro”. Para outros empréstimos utilizam-se outras palavras, tais como: aluguel de imóvel, aluguel de carro, remuneração por trabalho prestado, entre tantas denominações.

Nunca perguntamos a alguém: Qual é o juro mensal que você quer para emprestar a sua casa? A remuneração por utilizar-se de um capital financeiro de outrem, sempre está associada à palavra juro.

Universalmente define-se juro como a remuneração pelo uso de dinheiro de outrem. Em última análise, juro é o aluguel que se paga pela utilização de um valor monetário de terceiro.

Como a palavra juro sempre está associada à usura, então é mais freqüente encontrar a condenação ética pela sua cobrança. Veja citações bíblicas condenando a cobrança de juro:

DEUTERONÔMIOS 23,19:Do teu irmão não exigirás juros; nem de dinheiro, nem de comida, nem de qualquer outra coisa que se empresta a juros.

DEUTERONÔMIOS 23,20:Do estrangeiro poderás exigir juros; porém do teu irmão não os exigirás, para que o Senhor teu Deus te abençoe em tudo a que puseres a mão, na terra à qual vais para a possuíres.

Encontramos também na Política de Aristóteles a condenação da usura, com base em razões éticas:


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A forma de obter riqueza mais odiada, e com mais razão, é a usura, que lucra a partir do próprio dinheiro, e não de seu objeto. Pois o dinheiro foi criado para ser usado em permuta, mas não para aumentar com usura (...) logo, esta forma de ganhar dinheiro, entre todas, é a mais contrária à natureza.

Como se vê, a cobrança de juro é condenável pelos povos, mesmo antes de Cristo, embora existam algumas explicações relacionadas com a existência de um monopólio bancário da Igreja Católica. Alguns sinônimos são usados para tornar mais pejorativa a palavra juro: usura, agiotagem e judaizar.

Uma razão aparente, dessa secular condenação, está na abstrata representação do dinheiro. Intrinsecamente o que significa o dinheiro? Em essência, podemos dizer que dinheiro ou valor monetário é uma energia não palpável, que se realiza concretamente pelo seu poder de compra ou de troca. Poderíamos imaginar metaforicamente que, para um indivíduo de uma tribo isolada do mundo, o valor de um isqueiro funcionando é maior que uma mala com um milhão de dólares.

Voltando à questão do cálculo de juro. Se o definimos como sendo a remuneração paga pelo uso de capital financeiro de outrem, esta definição independe da forma como é calculado. A diferença que surge no valor calculado do juro dependerá do regime de capitalização.

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21Juro Remuneratório e Moratório

Anteriormente comentamos que não se pode confundir correção monetária com juro. Os juros, em termos jurídicos, também são classificados em remuneratório e moratório:

Juro remuneratório é a remuneração que uma pessoa paga, pelo uso de capital financeiro de terceiro.Juro moratório é o valor indenizatório que um inadimplente deve pagar como fator inibidor, pelo atraso na quitação de uma dívida, na data pactuada.

Essencialmente, a diferença entre um e outro é de natureza jurídica e contratual. Os cálculos abordados aqui são os mesmos.

Para efeito informativo, o juro moratório e multa, como noções jurídicas, estão descritos no CDC – Código de Defesa do Consumidor – Lei 8.078/90, em especial no artigo 52, quanto às taxas permitidas.

Lembramos que juro moratório não se confunde com multa por atraso, pois esta é de natureza indenizatória, por descumprimento de obrigação contratual.

A menos que seja dito o contrário, todos os estudos que faremos se referem aos juros remuneratórios.

Os juros, em geral, podem ser classificados, quanto ao sistema de capitalização, em: simples, composto e contínuo. Como veremos em todo o texto, seja qual for o regime de capitalização, podem ser exigidos critérios específicos para os cálculos dos juros, desde uma determinação judicial ou um algum interesse particular de negócio.


88

Taxa de Juro

Dados um capital C , um valor acordado de juro J em determinado intervalo

de tempo, escolhido como unidade, definimos como taxa de juro desse período a

razão:

JiC

= .

Exemplo 21.1

Considerando 120 00C R$ ,= e 12 00J R$ ,= , em uma unidade de tempo t ,

então a taxa de juro nessa unidade se escreve como:

12 0 10 10120

, % i at at at= = = .

Lê-se: “10 por cento ao t”. A unidade de tempo t pode ser dia, mês, ano,

trimestre, quinzena ou qualquer unidade conveniente de tempo. Em

particular citamos: 0 1, % ad - “um décimo por centro ao dia; 3% am -

três por cento ao mês; 19 75, % aa - dezenove vírgula setenta e cinco por

cento ao ano.

A taxa de juro pode ser escrita na forma percentual ou decimal (ou

unitária).

Forma percentual: indica o juro gerado por 100 unidades de capital, em

uma unidade de tempo. Por exemplo: 1% i am= , que se lê, “um por

cento ao mês”.

Forma decimal (ou unitária): indica o juro gerado por uma unidade capital

em uma unidade de tempo. Por exemplo, 0 01, i am= , que se lê da

mesma maneira, pois:

10 01 1100

, % i ad ad ad= = = .

89


Exemplo 21.2

Uma pessoa emprestou de uma cooperativa a quantia de 10 000 00$ . ,R , para devolver em 120 dias o valor de 12 000 00$ . ,R . Qual a

taxa de juro envolvida nessa operação?

2 000 1 0 2 2010 000 5

i ao quadrimestre. , %.

= = = = .

90

22Cálculo de Juro Simples sobre Capital

Nominal

Quanto ao sistema de capitalização, chama-se de regime de juro simples quando o seu cálculo em cada período do tempo é realizado sempre sobre o capital inicial.

Em outras palavras, da equação que define taxa de juro temos a equivalência:

Ji J C iC

= ⇔ = × .

Portanto, dado uma taxa i referente a um período de tempo, então o juro gerado nesse período é dado por:

J C i= ×

Em geral, se estamos considerando um tempo com n períodos, então o juro simples gerado nesse tempo é dado por:

J C i C i C i C i n= × + × + + × = × × ⇒

(22.1) J C i n= × × .

Onde i é uma taxa dada, na forma decimal ou unitária relativa a um período e n é o número desses períodos.

Devemos estar atentos, para que o número n deve se referir à mesma unidade de tempo da referida na taxa i . Isso é o que se chama de compatibilidade entre a taxa e o tempo.

91


Nota 1 - Compatibilidade entre taxa e tempo

Quando a taxa e o tempo não estão na mesma unidade de tempo, então deve

ser feita a compatibilidade entre taxa e o tempo.

Por exemplo, se temos em um cálculo de juro, 3% i am= e 75t = dias,

então devemos reduzir um ou outro à mesma unidade de tempo:

3 0 130

% , % i ad ad = =

ou 75 2 5 , t d m= = .

Exemplo 22.2

O juro simples gerado em doze meses, que é um ano, por um capital inicial

de 150 00$ ,R a uma taxa de 3% . .a m é dado por:

150 0 03 12 150 0 36 1 54 00, , $ ,J C i n R= × × = × × = × × = .

Exemplo 22.3

A taxa de juro, que gera um juro simples de 38 25$ ,J R= , em 9 meses, para

um capital no valor de 850 00$ ,R , é dada por:

38 2538 25 850 00 9 7 650 00 0 0057 650 00

,, , . , ,. ,

i i i= × × = × ⇒ = = ⇒

0 5, % . .i a m= .

Definição 22.4

Juro exato: é o juro calculado pelo prazo exato considerando o calendário

civil.

Juro comercial: é o juro calculado considerando o prazo comercial em que

todo mês tem 30 dias e o ano tem 360 dias.


92

Nota 2 - Ambiguidade na equação (22.1)

A equação (22.1) é muita utilizada em nosso cotidiano, mas apresenta uma inconsistência intrínseca. Essa ambigüidade ocorre porque efetua uma soma de valores monetários (capitais) localizados em datas diferentes. A rigor, só podemos somar capitais localizados na mesma data, pois como já foi dito, o capital é dinâmico e em cada instante está sob a influência de alguma taxa de atualização.

Nesse sentido, deve estar claro a noção de realização do juro, também chamada de exigibilidade do juro, que é a data fixada para o pagamento do juro em uma operação financeira qualquer. Ao contrário disso, o que se vê na referida equação é a soma dos juros relativos a cada período, juntamente com o capital inicial, todos somados na data n .

Exemplo 22.5

Vejamos, a seguir, um exemplo muito utilizado pela Justiça do Trabalho, um edital de citação de cobrança e publicado em jornal local de Maringá – PR, em 21/12/2003.

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EDITAL DE CITAÇÃOAutos: RT 3136/91Reclamante: SINDICATO DOS EMPREGADOS NO COMÉRICO DE MARINGÁReclamados: HERMES MACEDO S/A (MF), ALFA SERV DE CRÉDITO E INFORMÁTICA S/C LTDA, AH ADM. DE CONSÓRCIO S/C LTDA.

A doutora VALÉRIA R. F. DA ROCHA, MM. Juíza da 2ª Vara do Trabalho de Maringá, no uso de suas atribuições legais, F A Z S A B E R a todos quantos o presente Edital virem ou dele tiverem conhecimento que está sendo CITADO (A),EDUARDO LOPES PEREIRA GUIMARÃESna condição de sócio (a) do (a) executado (a), como responsável subsidiário (a), nos termos do artigo 10 do Decreto n.º 3.708, de 10-01-1919, que regula a constituição sociedade por quotas de responsabilidade limitada, para pagar, em 48 (quarenta e oito) horas, pagar (em) ou garantir (em) a execução, sob pena de penhora, a importância de R$ 16.544,05, valor este atualizado até 31.12.03, incidindo correção monetária e juros até o efetivo pagamento. O presente edital é expedido em conformidade com o r. despacho de fl. 1482 de seguinte teor: “... Quanto ao Edital, deve ser expedido por este Juízo. Em 17/11/03. LIANE MARIA DAVID – Juíza do Trabalho”. (grifo nosso):

Principal em 31/12/03 R$ 5.782,10Juros: 11/12/91 a 31/12/03 = 4.403 dias R$ 8.486,19FGTS a depositar R$ 878,55Juros simples – 4.403 dias R$ 1.289,41Custas Processuais (0,65590034%) R$ 107,80TOTAL DA EXECUÇÃO EM 31/12/03 R$ 16.544,05

Para que chegue ao conhecimento de todos os interessados é passado o presente Edital de Citação que será publicado pela Imprensa local e afixado na sede desta Junta no local de costume.

Eu, Geny Kazuko Kuramoto, Diretora de Secretaria, em 11/12/2003, subscrevi. ap

VALÉRIA RODRIGUES FRANCO DA ROCHAJuíza do Trabalho

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Analise financeira do Edital.

Vamos analisar nesse Edital de Citação a forma em que foram realizados os cálculos, em cada item do quadro.

A taxa utilizada é de 12%aa , o que fornece uma taxa diária de 12360

% . .a d

e o tempo é de 4 403.n = dias, assim temos:

125 782 10 4 403 8 486 19360 100

. , . . ,J C i n= × × = × × = ⇒×

8 486 19$ . ,J R= .

Este é o valor do juro, relativo ao principal de 5 782 10$ . ,R , durante 4 403. dias , onde o valor é a dívida atualizada por algum índice definido pela Justiça do Trabalho. Portanto, não existe inconsistência nesse cálculo, uma vez que o valor está localizado na data do cálculo que é 31/12/2003.

De forma análoga, com taxa de 12% . .a a , taxa diária de 12360

%

e com

tempo de 4 403.n = dias, podemos calcular o segundo juro simples apresentado

no quadro relativo ao FGTS:

12878 55 4 403 1 289 41360 100

= × × = × × = ⇒×

, . . ,J C i n 1 289 41$ . ,J R= .

Esse é o valor do juro relativo ao principal de 878 55$ ,R durante 4 403. dias.Para completar a análise, veja que as custa processuais é calculada em

0 6590034, % sobre a soma dos itens anteriores:

Custas Judiciais 0 0065590034 16 436 25 107 80, . , $ ,R= × =

95

23Cálculo de Juro Simples sobre Capital

Atualizado

Com base no exemplo anterior sobre cálculo trabalhista, podemos inferir uma fórmula geral para cálculo de juros simples com capitais atualizados.

MATEMÁTICA COMERCIAL & FINANCEIRA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES

PROFESSOR NELSON MARTINS GARCIA

99

23 Cálculo de Juro Simples sobre Capital Atualizado.

Com base no exemplo anterior sobre cálculo trabalhista, podemos inferir uma fórmula

geral para cálculo de juros simples com capitais atualizados.

0 1 2 n-1 n

Dados um capital inicial C , na data zero, taxas de atualizações 1 2, , ..., ni i i e uma taxa

de juro i , então temos que:

(23.1) A AJ C i n , onde 11 1A nC i i C .

É bom frisar que na equação anterior o valor do juro AJ foi calculado tomando por

base o capital atualizado AC . Pela observação anterior é a maneira correta do cálculo do juro,

ao levar em conta a noção de realização do juro.

Se considerarmos que os períodos aludidos aqui são dias ou meses, então o juro de um

período é realizável no final de cada período de tempo pactuado.

Em particular, caso não haja índices de correção, ou seja, considerando as taxas de

correções nulas, temos,

1 2 0ni i i , o que implica que:

1 0 1 0 1 0A AC C C C C .Concluímos assim que,

A AJ C i n C i n J .

Neste caso particular, os juros calculados nas equações (22.1) e (23.1) serão iguais, pois não

houve correção de valores no tempo.

Agora, vamos inverter o raciocínio e calcular o juro no final de cada período, sobre um

capital C atualizado. Após este cálculo, atualizamos os juros pelos restantes de períodos:

1 1 21 1A nJ J i i , com 1 1J C i . Então 1 11C i C 1A AJ C i ;

Dados um capital inicial C , na data zero, taxas de atualizações 1 2, , ..., ni i i e uma taxa de juro i , então temos que:

(23.1)A AJ C i n= × × , onde ( ) ( )11 1A nC i i C= + × × + × .

É bom frisar que na equação anterior o valor do juro AJ foi calculado tomando por base o capital atualizado AC . Pela observação anterior é a maneira correta do cálculo do juro, ao levar em conta a noção de realização do juro.

Se considerarmos que os períodos aludidos aqui são dias ou meses, então o juro de um período é realizável no final de cada período de tempo pactuado.

Em particular, caso não haja índices de correção, ou seja, considerando as taxas de correções nulas, temos,

1 2 0ni i i= = = = , o que implica que:

( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0A AC C C C C= + × + × × + × = ⇒ = .

Concluímos assim que,

A AJ C i n C i n J= × × = × × = .


96

Neste caso particular, os juros calculados nas equações (22.1) e (23.1) serão iguais, pois não houve correção de valores no tempo.

Agora, vamos inverter o raciocínio e calcular o juro no final de cada período, sobre um capital C atualizado. Após este cálculo, atualizamos os juros pelos restantes de períodos:

( ) ( )1 1 21 1A nJ J i i= × + × × + , com 1 1J C i= × .

Então ( )1 11C i C= + × ⇒ 1A AJ C i= × ;

( ) ( )2 2 31 1A nJ J i i= × + × × + , com 2 2J C i= × .

Então, ( )2 2 1 21 A AC i C J C i= + × ⇒ = × ;

( )

( )1nA n nJ J i= × + , com n nJ C i= × .

Então, ( ) 11n n n nA AC i C J C i−= + × ⇒ = × .

De forma a localizar o juro total atualizado na data final n , temos:

1 2 A A nA Ajuro total J J J J= + + + = .

Concluímos assim que o juro total é igual ao juro AJ que é calculado sobre o capital atualizado AC . Pois,

1 2 A A nA A A Ajuro total J J J C i C i C i= + + + = × + × + + × .

Finalizando, obtemos assim a consistência aludida nos cálculos da justiça trabalhista sintetizado pelo seguinte.

Teorema 23.2

Dados uma taxa de juro simples i e um tempo com n períodos, então o total de juro simples, calculado sobre o capital inicial atualizado para a data n é o mesmo valor que a soma dos juros simples, atualizados também para a data n .

97


Cada juro parcial é calculado sobre o capital inicial atualizado até o respectivo

período.

Em termos simbólicos temos:

1 2A A A nAJ J J J= + + + .

Exemplo 23.3

Vamos considerar um exemplo idealizado, bem simples, para testarmos o

resultado geral anterior.

Suponha que temos taxas de atualizações, durante dois meses: 1 10%i = e

2 10%i = , uma taxa de juro 1% . .i a m= e um capital inicial de 100 00$ ,C = .

Assim temos os seguintes dados:

( ) ( ) ( )1 0 10 1 0 10 100 1 21 100 121 00, , , $ ,AC = + × + × = × = ;

1 1 10 100 110 00, $ ,C = × = e 2 AC C= ;

( )1 1 10 01 1 0 10 1 1 1 21, , , ,AJ C J= × ⇒ = + × = ;

2 2 2 20 01 121 0 01 1 21 1 21, , , ,AJ C J J= × = × = ⇒ = = .

Portanto, 1 22 2 42$ ,A A A AJ C i J J= × × = = + .

Notem que se utilizar apenas a equação (22.1) obtém-se:

100 0 01 2 2 00, $ ,J C i n= × × = × × = .

O que se deve observar neste exemplo é a questão da realização dos juros.

O resultado de 2 00$ ,R também está correto, desde que assumamos que o juro

simples calculado tem como data de realização o final do segundo mês e as taxas

de correção monetária do capital são todas nulas.


98

Exercício


23 1E . – Suponha que em um período de 12 meses ocorreu uma inflação de 6 5, % e um cliente emprestou um capital de 1 000 00$ . ,R , com cláusula de correção sobre o principal, taxa de juro simples 5% . .i a m= e realização do juro no final do prazo. Qual o juro a ser pago?

23 2E . – Suponha que, em empréstimo a juro simples, com correção monetária, o total de juros em 8 meses foi 2 500 00$ . ,R . Se a taxa de juro é de 3% a.m. , qual foi a taxa média mensal de inflação nesse período, caso o capital nominal foi de 5 000 00$ . ,R ?

23 3E . – No edital do exemplo (22.5), analise o caso em que o devedor realizou o efetivo pagamento, apenas dois anos após aquela data do cálculo, sendo que nesse período de atraso a inflação foi de 18% .

99

24Cálculo do Montante Simples – Nominal e

Atualizado

De forma geral, o Montante Simples é o capital acrescido do juro num determinado de tempo.

Todos os conceitos e comentários, feitos no capítulo anterior, se aplicam integralmente aqui. Com isso temos os conceitos de Montante Simples (com atualização monetária nula) e Montante Simples Atualizado:

(24.1) M C J= + → Montante simples sem atualização

e

(24.2) A A AM C J= + →Montante simples atualizado.Na equação (24.2), os valores de AC e AJ são determinados pela equação

(23.6). Obviamente se as taxas de correção monetária, 1 2, , ..., ni i i são nulas, então temos:

AM M= .

O montante simples acumulado depois de transcorrido um tempo com n período, a uma taxa de juro i é dado por:

J C i n M C C i n= × × ⇒ = + × × ⇒

(24.3) 1M C i n( )= × + × .A equação (24.3) tem 4 variáveis, portanto em cada problema precisamos de

3 delas para calcular a 4ª.


100

O montante simples acumulado atualizado, depois de transcorrido um tempo com n período, a uma taxa de juro i e taxas de correção 1 2, , ..., ni i i é dado por:

(24.4) ( )1A AM C i n= × + × , onde ( ) ( )11 1A nC i i C= + × × + ×

Exemplo 24.5

Com os dados do exemplo (23.8) anterior, temos que:

100 2 102 00$ ,M C J = + = + = e

121 2 42 123 42, $ ,A A AM C J = + = + = .

Exemplo 24.6

Em quanto tempo, um capital qualquer C triplicará de valor a uma taxa de juro simples (sem atualização monetária) de 2 5, % . . a m ?

Para resolver esta questão, devemos inicialmente saber que um capital triplicará, quando 3M C= × . Ou seja, o montante após n períodos, será 3 vezes o capital inicial:

( )3 3 1 0 025 1 0 025 3, ,M C C C n n= × ⇒ × = × + × ⇒ + × =

2 800 025,

n meses= = .

Como já comentado, esse é o tempo para triplicar um capital, a juro simples, sem considerar correção monetária. O calculo é o tradicional que se encontra na maioria dos livros de Matemática Financeira.

Exercício


24 1E . – Suponha que em um período de 12 meses ocorreu uma inflação de 6 5, % e um cliente emprestou um capital de 1 000 00$ . ,R , com

101


cláusula de correção sobre o principal, taxa de juro simples 5% . .i a m= e realização do juro no final do prazo. Quais os montantes nominal e atualizado dessa aplicação?

24 2E . – Suponha que, em empréstimo a juro simples, com correção monetária, rendeu um montante atualizado em 8 meses de 12 500 00$ . ,R . Se a taxa de juro é de 3% a.m. , qual foi a taxa média mensal de inflação nesse período, considerando o capital nominal 5 000 00$ . ,C R = .

24 3E . – Uma pessoa investiu em um banco 10 000 00$ . ,R , com taxa de juro simples de 2% a.m. , com retirada mensal e correção monetária de 1% a.m. durante 12 meses . Determine os montantes atualizado e nominal, desta aplicação.

102

25O Método Hamburguês nos Juros Bancários

Este método é usado pelos bancos para lançar a cobrança de juros, no final de cada mês, em conta corrente com crédito rotativo ou cheque especial.

Cálculos confusos e errados são comuns em livros de Matemática Financeira e mesmo em artigos disponíveis na internet.

Em rápidas palavras, podemos dizer que o Método Hamburguês consiste em calcular juros diários, sempre sobre o saldo devedor, e somar nominalmente esses valores no final do mês, em um dia pré-estabelecido pelo banco.

Os elementos envolvidos nesse cálculo são:• A taxa de juro fixada para cada mês de acordo com a política da instituição

financeira.• Por exemplo, se a taxa mensal é de 9% . .mi a m= , então teremos uma

taxa diária de 0 3, % . .di a d= .• Alguns bancos calculam a taxa diária pelo número de dias úteis, ao invés

de mês comercial de 30 dias. Mas isso não é o mais importante se não houver má fé no procedimento.

• Sobre o saldo devedor no final de cada dia, aplica-se a taxa diária e a soma desses valores nominais é lançada na data pré-estabelecida.

• O lançamento do juro em uma determinada data significa implicitamente que a realização dos juros se efetiva nessa data.

• A taxa mensal geralmente não é conhecida pelo cliente desatento, pois, para se obter, somente com muita insistência com a gerência do banco.

A maior questão envolvida nesses cálculos rotineiros é de natureza jurídica e restrições impostas pelas leis brasileiras. A dúvida que se arrasta em tribunais judiciais é a questão do Anatocismo, que significa juridicamente incidência de juro sobre juro. Isso ocorre apenas quando passamos de um mês para o mês seguinte.

103


Consideremos, no exemplo seguinte, um extrato bancário de uma conta corrente com cheque especial, para melhor entender o processo de cálculo dos juros bancários e o método hamburguês.

Exemplo 25.1

O extrato fictício seguinte se refere a uma conta corrente com cheque especial e com data de realização dos juros no último dia útil do mês em curso. Os números representam quantidade em reais e a última coluna sombreada não é visível ao cliente.

Por praticidade, consideremos uma taxa de 0 3 9, % . . % . .a d a m= .

Banco Fictício S. A.

Cliente: Nelson Martins Garcia - AG. 001 C/C 00001-01

Extrato Mensal da Conta Corrente

DATA DOC HISTÓRICO VALOR SALDO DIA JURO

01/06/05 00000 SALDO ANTERIOR 0,00

01/06/05 00001 DEPÓSITO EM $ 900,00 900,00

05/06/05 00002 CHEQUE COMPENSADO (900,00) 0,00

05/06/05 00003 CHEQUE COMPENSADO (1.000,00) (1.000,00) 30,00


30/06/05 00006 DEPOSITO EM $ 2.000,00 0,00

30/06/05 00007 JURO DO MÊS – 06 (120,00) (120,00) 120,00

• Nota explicativa sobre a tabela

Para facilitar a compreensão, fizemos apenas lançamentos redondos e não consideramos outros lançamentos comuns de: manutenção da conta corrente e IOF – Imposto sobre Operações Financeiras e os dias com saldos positivos sem geração de rendas.

Para facilitar a forma de cálculo, fizemos dois lançamentos de juros; para o cliente do banco só aparece o último de 120 00$ ,R , lançado no dia 30/06/05.

Cálculos dos juros:

→01/06/05 – depósito inicial de 900 00$ ,R ;


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→05/06/05 - saldo negativo de 1 000 00$ . ,R , foi mantido durante 10 dias, até 15/06/05. Portanto, o juro é

1 1 000 0 003 10 30 00. , $ ,J C i n R= × × = × × = ;

→15/06/05 - saldo negativo de 2 000 00$ . ,R , foi mantido durante 15 dias, até 30/06/05. Portanto, o juro é:

2 2 000 0 003 15 90 00. , $ ,J C i n R= × × = × × = ;

→30/06/05 – depósito de 2 000 00$ . ,R ;

→30/06/05 - juro mensal lançado no valor de,

1 2 30 00 90 00 120 00$ , $ , $ ,J J J R R R= + = + = .

De forma geral, o método bancário consiste nos seguintes passos para o cálculo do juro mensal:

→Tome a taxa de juro mensal e ache a taxa de juro diária;

→Verifique os saldos devedores, 1 2; ; ; kSD SD SD com os respectivos dias de permanência, 1 2; ; ; kn n n com

1 2 30 kn n n+ + + ≤ dias;

→Se tomarmos o prazo comercial, 30 dias para todo mês, então o juro mensal total será dado por:

1 11 2 30

k kk

SD i n SD i nJ J J J × × + + × ×= + + + =

.

A grande questão: caso não ocorra o depósito no dia 30/06/05, então ocorrerá o anatocismo uma vez que passará a incidir juro sobre juro a partir do dia 01/07/05; pois o juro do mês se incorpora ao saldo devedor.

Exercício

25 1E . – Analise um extrato bancário, com cheque especial, de algum familiar e veja o que aconteceu em um mês escolhido. Pesquisar.

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26A Inconsistência de Taxas sem Limitações

Quem vivenciou o momento político da elaboração da Constituição Federal de 1988, deve lembrar a importância histórica do artigo 192, especialmente o seu §3º, que limitava as taxas de juros a 12% ao ano. Esse princípio foi fruto de lutas de décadas. Sua revogação caracteriza traição ao povo brasileiro! Muitos dos atuais “neoliberais” difundem a idéia de que esse artigo era um atraso no mundo globalizado em que vivemos. Mesmo que não cumprido na prática diária, apenas a sua existência já limitava a ganância do sistema financeiro.

O §3º, do artigo 192, determinava:

As taxas de juros reais, nelas incluídas comissões e quaisquer outras remunerações, direta ou indiretamente, referidas à concessão de crédito, não poderão ser superiores a doze por cento ao ano; a cobrança acima deste limite será conceituada como crime de usura, punido, em todas as suas modalidades, nos termos que a lei determinar.

É lamentável que um princípio que vigorou em nossa legislação por 70 anos, tenha sido revogado por um governo popular, o qual se definia como o defensor dos pobres e oprimidos. É uma ironia do destino para o Povo Brasileiro!

Essa mudança profunda foi introduzida em nossa vida, por meio da Emenda Constitucional nº 40, de 29/05/2003 que retirou toda limitação das taxas de juros e certamente vai acirrar a exploração dos menos favorecidos, que precisam de um sistema financeiro justo.

Os responsáveis pela política econômica afirmam à exaustão e de forma enganosa, que o referido artigo era uma “aberração” em nossa Constituição. Dizem eles, também, que não existe limitação de juros em parte alguma no mundo. Não


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é nosso objetivo, mas buscando na internet, podemos constatar que em muitos outros países existe limitação legal nas taxas de juros. Além disso, não se tem notícia de outro país que pratica taxas de juros nos níveis do Brasil.

Quem se interessar por este assunto pode fazer uma busca na internet, que encontrará um vasto material jurídico e político sobre a limitação legal das taxas de juros.

Uma questão que foge dos objetivos deste estudo é que as taxas de juros praticadas em um país qualquer, não poderiam superar a taxa de crescimento de seu PIB. Uma razão: enquanto as aplicações financeiras oferecem ganhos com juros superiores aos investimentos, certamente poucos se aventuram a investir suas reservas no setor produtivo da economia.

• Uma demonstração da inconsistência

Vamos abordar essa questão sobre outro ângulo. Se considerarmos os conceitos de juros remuneratórios e juros moratórios, encontraremos uma inconsistência em nosso arcabouço jurídico. Pois, enquanto o juro moratório tem limitação da taxa em 12% . .a a , o juro remuneratório, a partir de maio de 2003, com a revogação do artigo 192, ficou sem limite algum.

Se fizermos uma comparação entre esses dois conceitos de juros e a noção de realização do juro - data do pagamento - introduzida anteriormente, podemos verificar uma inconsistência da situação gerada pela Emenda 40 que revogou o artigo 192.

Com efeito, se o juro remuneratório deve ser pago em uma determinada data, e por alguma razão o devedor inadimplir, então a partir daquela data o mesmo pagará juros moratórios pelo atraso no pagamento. Mas isso implica que os juros moratórios devem ser obrigatoriamente maiores ou iguais ao juro remuneratório, uma vez que o fito do juro moratório é inibir o atraso de obrigações contratuais. Ao contrário disso, a situação passa a ser um incentivo à inadimplência, nas obrigações contratuais, o que nos leva a um absurdo. Fica assim demonstrada a inconsistência da não limitação da taxa de juros remuneratórios se os juros moratórios estão limitados. Assim, a taxa de juro remuneratório deve ser obrigatoriamente menor ou igual à taxa do juro moratório e uma conclusão lógica é que a taxa de juro remuneratório no Brasil deve ser limitada a 12% . .a a , mesmo após a Emenda 40.

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27Teoria do Crédito Rotativo – Cheque

Especial

O modelo que iremos desenvolver é estritamente um exercício acadêmico, pois não temos conhecimento que algum banco ou instituição financeira pratique tal processo.

Como o modelo é idealizado, não nos preocuparemos com detalhes técnicos, a não ser que comprometam a veracidade das conclusões apresentadas.

Os bancos trabalham com lançamento de juros apenas sobre saldos devedores. O máximo que a legislação permite é a remuneração em conta poupança vinculada, mas com taxas de juros muito inferiores às taxas aplicadas sobre os saldos devedores.

Alguém conhece uma situação imaginária, de um cliente bancário que ficasse 15 dias com saldo credor de 1 000 00$ . ,R e os outros 15 dias com saldo devedor de 1 000 00$ . ,R , e no final do mês não tivesse juros a pagar, pois os saldos teriam sidos compensados? Certamente não existe tal situação!

Esta ilusória questão não é simples, pois entre a captação e o empréstimo existe um valor precioso que é o lucro do banco.

O que iremos expor é o que deveria ocorrer na prática, em todas as contas de cheques especiais.

O cheque especial é um valor colocado pela instituição financeira à disposição do cliente, para que sejam apresentados cheques para compensação sem um prévio saldo positivo, deixando assim o saldo devedor.


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Para que ocorresse equidade nas relações financeiras, os contratos e informações bancárias deveriam ser de forma transparente e de fácil entendimento por parte dos clientes bancários. Atualmente, de forma generalizada, existem contratos leoninos impostos pelos bancos e financeiras.

Isso nos induz a concluir que deveria obrigatoriamente constar nos contratos de conta corrente com cheque especial, de forma explícita o que segue:

→Taxa de juro mensal e a correspondente taxa diária.

→A data de realização ou pagamento do juro.

→Taxa do juro moratório, caso não seja efetivado o pagamento na data pactuada.

→Taxa da multa por inadimplência – limitada a 2% do valor do juro não pago.

→Extrato detalhado de todos os lançamentos na conta corrente do cliente.

→Caso não haja disposição legal para remuneração dos dias com saldo credor, então o juro mensal calculado pela equação:

1 11 2 30

k kk

SD i n SD i nJ J J J × × + + × ×= + + + =

.

Consideramos o mês comercial com 30 dias, a taxa de juro mensal i pré-definida no contrato e ln é o número de dias que ficou com saldo devedor SDj.

→A expressão à direita do sinal de igualdade anterior é chamada de saldo médio devedor diário, uma vez que:

1 1 1 130 30

k k k kSD i n SD i n SD n SD n i× × + + × × × + + × = ×

;

→Na data aprazada, o juro deve ser pago pelo cliente devedor.

→Caso o cliente não efetue o pagamento do juro, esse valor deve ser destacado e não somado ao saldo devedor, por se tratar de valores de natureza diversa. O saldo devedor é o capital emprestado e o juro a remuneração deste capital, pelos dias que ficou com saldo devedor.

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→Sobre o valor do juro não pago na data de sua realização, deve incidir apenas multa e juro de mora, até o dia do efetivo pagamento.

→Todas as precauções devem ser tomadas para que não ocorra o anatocismo.

→Pode ocorrer correção monetária sobre o valor “emprestado”, desde que definida em contrato a periodicidade e o índice.

Vamos explicitar um extrato fictício como antes, para melhor visualizar como ficariam os itens abordados anteriormente. Este extrato abrange três meses, para identificar como se transpõe a situação de um mês para outro. Suponhamos também, para facilitar as contas, que a taxa mensal de juro seja 9% , em todos os meses:


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Banco Múltiplo S. A.

Cliente: Nelson Martins Garcia - AG. 001 C/C 00001-01

Extrato Mensal da Conta Corrente

DATA DOC HISTÓRICO VALOR SDO. DIA JURO

01/06/05 00000 SALDO ANTERIOR 0,00

01/06/05 00001 DEPOSITO EM $R 900,00 900,00

05/06/05 00002 CHEQUE COMPENSADO (900,00)



30/06/05 00006 DEPOSITO EM $R 2.000,00 0,00

30/06/05 00007 JURO DO MÊS – 06 0,00 120,00


31/07/05 00010 JURO DO MÊS – 07 90,00


17/08/05 00012 DEPÓSITO EM $R 1.045,00 45,00 45,00

31/08/05 00013 JURO DO MÊS – 08 45,00 0,00

01/09/05 00014 DEPÓSITO EM $R 500,00 500,00

01/09/05Resumo da dívida com juros em atraso: R$120,00 com atraso de 60 dias e R$90,00 com atraso de 30

dias.

• Nota explicativa sobre extrato anterior.

Como já dito, o extrato é fictício e apenas uma proposta coerente, de como deveria ocorrer na prática bancária com uma taxa mensal de 9% . .a m .

O juro lançado no dia 30/06/05 de 120 00$ ,R foi obtido considerando 1 000 00$ . ,R durante 10 dias, o que fornece juro de 1 30 00$ ,J R= e 2 000 00$ . ,R durante 15 dias, que fornece juro de 2 90 00$ ,J R= . Com isso,

temos um juro total referente ao mês 06 de 1 2 120 00$ ,J J J R= + = . Como o cliente não pagou este juro, então ficou inadimplente e sobre esse valor serão cobrados: multa e juro moratório até o efetivo pagamento.

O juro lançado no dia 31/07/05 de 90 00$ ,R foi obtido considerando 1 000 00$ . ,R durante 30 dias, o que fornece juro referente ao mês 07 de

90 00$ ,J R= . Novamente o cliente não pagou também esse juro, então do

111


mesmo modo que o anterior ficou inadimplente e sobre esse valor serão cobrados multa e juro moratório até o efetivo pagamento.

O juro lançado no dia 31/08/05 de 45 00$ ,R foi obtido considerando 1 000 00$ . ,R durante 15 dias, o que fornece juro referente ao mês 08 de

45 00$ ,J R= . Agora o cliente depositou 1 045 00$ . ,R e por isso consta o saldo nulo no dia 31/08/05.

Para finalizar, deve ficar claro que o cliente fictício, aludido no extrato, está em dívida com a Instituição Financeira. O valor da dívida deverá ser calculado de acordo com o contrato, com correção monetária, multa e juro moratório até o dia do efetivo pagamento.

Lembramos que a correção monetária, até o dia do efetivo pagamento, deve ser determinada por algum índice explicitado no contrato da conta corrente.

Exercício

23 1E . – Pesquise, em um extrato bancário de uma conta corrente real, a ocorrência de anatocismo no cálculo de juro mensal.

112

28Desconto Simples

• Título de Crédito

Por título de crédito se entende um documento que comprova um compromisso financeiro assumido. Em todo título de crédito existe um credor e um devedor. O credor é a pessoa que está de posse legalmente do título e o devedor é a pessoa que deverá realizar o pagamento.

Dentre tantas modalidades de títulos de créditos, figuram: Nota Promissória, Letra de Câmbio e Duplicata.

Mais recentemente, também podemos citar o cheque pré-datado como um título de crédito.

A nota promissória, o mais popular dos títulos de créditos, é um título de crédito emitido pelo devedor, sob a forma de promessa de pagamento de um valor financeiro na data do vencimento. Assim, nela constam os seguintes elementos básicos: data de vencimento, valor nominal em moeda corrente e escrito por extenso, data da emissão, nome do credor e nome com a assinatura do devedor. No verso deve constar o nome e assinatura do avalista.

• Desconto por Dentro ou Racional Simples

As leis que regulam as operações financeiras permitem a mudança de titularidade de um título de crédito, mediante um endosso no seu verso. O endosso possibilita uma operação de desconto do título mediante cobrança na forma de desconto.

Dado um título de crédito, desconto é um valor cobrado pelo novo credor, em função de receber o título em uma data anterior ao vencimento.

113


Denominando por d Desconto= e N Valor Nominal= , definimos então

o valor Atual do Título (valor no momento da efetivação da transferência de

titularidade) como:

(28.1) A N d d N A= − ⇔ = − .

Quando d é um percentual do valor atual A , no período de referência da

taxa, chamamos de desconto por dentro ou desconto racional simples e o valor

atual associado é chamado de valor atual racional simples.

O desconto racional simples é uma modalidade de juro simples em que o

capital inicial é o valor atual do título.

Se o desconto racional ocorre n períodos antes do vencimento a uma

taxa de desconto i , na mesma unidade de tempo, similar ao juro simples,

temos:

(28.2) r rd A i n= × × .

Como na fórmula (23.1) de juro simples, temos aqui: i uma taxa de desconto

dada, na forma decimal ou unitária relativa a um período e n o número desses

períodos. O índice r nas letras d e A consta apenas para diferenciar os dois

tipos de descontos.

A partir da fórmula (28.2) e a definição do valor atual racional, podemos

concluir que:

( )1r r r r rA N d A N A i n N A i n= − ⇒ = − × × ⇒ = × + × ⇔

(28.3)( )1r

NAi n

=+ ×

.

Exemplo 28.4

Uma nota promissória com valor nominal 30 000 00$ . ,N R = foi descontada

em um banco, 3 meses antes do vencimento com taxa de desconto mensal de

3% . . a m . Quais os valores do desconto racional simples e o valor atual racional

simples do título aludido?

O cálculo é uma trivial substituição na fórmula (28.3):


114

30 000 27 522 941 09

. $ . ,,rA R = ≈ e 2 477 06$ . ,r rd N A R = − = .

• Desconto por Fora ou Comercial Simples

Quando o desconto d é um percentual do valor nominal N no período de referência da taxa, chamamos de desconto por fora simples ou desconto comercial simples e o valor atual associado é chamado de valor atual comercial simples.

Se o desconto comercial simples ocorre n períodos antes do vencimento, a uma taxa i na mesma unidade de tempo, então:

(28.5) c cd N i n= × × .Temos aqui: i uma taxa dada, na forma decimal ou unitária relativa a um

período e n é o número desses períodos. O índice c nas letras d , A e i serve apenas para diferenciar os dois tipos de descontos.

A partir da fórmula (28.5) e a definição do valor atual racional, podemos concluir que:

( )1c c c c c cA N d A N N i n A N i n= − ⇒ = − × × ⇒ = × − × ⇔

(28.6) ( )1c cA N i n= × − × .

Exemplo 28.7

Uma nota promissória com valor nominal 30 000 00$ . ,N R = foi descontada em um banco, 3 meses antes do seu vencimento com taxa de desconto mensal de 3% . . a m . Quais os valores do desconto comercial simples e o valor atual comercial simples do título?

O cálculo é uma trivial substituição na fórmula (28.6):

( )30 000 1 0 03 3 27 300 00. , $ . ,cA R = × − × = e 2 700 00$ . ,c cd N A R = − = .

Observe a diferença, para mais, entre os descontos comercial e racional:

222 94$ ,cd d R − = .

115


Exemplo 28.8 – Títulos Públicos do Tesouro Nacional

O Tesouro Nacional Brasileiro utiliza a emissão de Títulos Públicos, como uma das formas de captação de recursos para financiar atividades do governo federal e serviços de dívidas passadas. Os títulos públicos são uma opção de investimento para a sociedade e representam a dívida mobiliária da União.

Os recursos provenientes das aplicações em fundos de investimento são utilizados pelas instituições financeiras, para adquirir títulos públicos e são resgatáveis em data pré-determinada por um valor específico, atualizado ou não por indicadores de mercado, como, por exemplo, índices de preços.

O Título do Tesouro mais comum é a LTN - Letras do Tesouro Nacional. Sua rentabilidade é com taxa definida no momento da compra e o seu pagamento ou recebimento se realiza no vencimento e calculada pelo sistema de juro simples comercial.

Agora considere um lote de LTN’s, com valor nominal de 1 000 000 00$ . . ,R comprado no Banco Central com prazo de resgate de 45 dias e taxa de desconto comercial de 19 75, % . . a a . Qual será o valor de compra do lote?

Como 45 0 125 dias ano,= , então na equação (28.6.) temos:

( )1 000 000 00 1 0 1975 0 125 975 312 50. . , , , $ . ,cA R = × − × = ,

que é o valor de compra pois se trata do valor atual do lote.Por outro lado, atentamos para o fato de que o “comprador” desse lote

desembolsou o valor 975 312 50$ . ,cA R = em moeda corrente e ficou de posse do lote de títulos, para resgatar em 45 dias , no valor de 1 000 000 00$ . . ,R . Assim, esse suposto investidor auferiu um rendimento efetivo, pelo critério racional simples, de:

1 000 000975 312 50 20 251 0 125

. .. , , % . .,

i a ai

= ⇒ ≈+ ×

.

Isso nos leva ao conceito de taxa efetiva de juro.

116

29Taxa Efetiva de Juro

Em uma operação de compra de título de crédito, o comprador desembolsa o

valor de compra do título.

No caso do exemplo anterior, a taxa comercial era de 19 75, % . .ci a a= e a

taxa efetiva de 20 24992, % . .i a a= .

Assim, define-se como taxa efetiva de juro ou taxa de rentabilidade, a taxa

que produz, pelo método racional, o mesmo valor do desconto comercial.

No caso do exemplo anterior das LTN’s temos:

975 312 50 0 2025 0 125 24 687 50. , , , . ,r cd A i n= × × = × × = e

1 000 000 00 0 1975 0 125 24 687 50. . , , , . ,c cd N i n= × × = × × = .

A taxa efetiva i está associada à taxa comercial ci e ao tempo n .

• Relação entre as taxas comercial e efetiva

Considerando uma taxa comercial de desconto ci e a taxa efetiva de

rentabilidade i . Das equações (28.2) e (28.5), temos:

( )1c c c cA i n N i n N i n i N i× × = × × ⇒ × − × × = × ⇒

(29.1)1

c

c

ii

i n=

− ×.

Convém mencionar que, a taxa efetiva de juro (desconto), determinada pela

equação (29.1), depende obviamente da taxa comercial ci e do tempo n .

117


Exemplo 29.2

Com a taxa 19 75, % . .ci a a= do Exemplo (28.8), podemos determinar diretamente na equação (29.1) a taxa efetiva:

0 1975 0 2024992 20 251 0 1975 0 125

, , , % . ., ,

i aa a a= = ≈− ×

.

Caso o desconto ocorresse, digamos com 180 dias de antecipação, então a taxa efetiva de rendimento seria:

180 0 5 dias ano,= ⇒

0 1975 0 219140 21 911 0 1975 0 50

, , , % . ., ,

i aa a a= = ≈− ×

,

que é superior à anterior, em função do tempo maior.

Exercício


29 1E . – Um comerciante descontou, em uma instituição financeira, duplicatas no valor de 100 000 00$ . ,R , com 30 dias antes do vencimento. Se o banco cobrou do comerciante 3 000 00$ . ,R pela operação de antecipação, qual foi a taxa efetiva se considerar a operação de desconto como um empréstimo?

29 2E . – Dada uma taxa comercial simples de 3% . . a m , com 10 meses de antecipação, qual será a taxa efetiva associada a ela?

29 3E . – Um agiota da esquina aceita cheque de 100 00$ ,R , para 30 dias , mediante pagamento em dinheiro de 90 00$ ,R . Qual a taxa de juro que o agiota está praticando?

29 4E . – Um título de 5 000 00$ . ,R , descontado a 6% . . a a , reduz para 4 400 00$ . ,R . Analisando os dois tipos de taxas, qual foi o tempo de

antecipação em cada tipo?

29 5E . – Um título de valor nominal 7 540 00$ . ,R sofreu um desconto racional de 1 5, % . . a m , com 1 mês e 17 dias antes do vencimento. Qual o valor descontado do título?

118

30Equivalência de Capitais por Capitalização

Simples

Equivalência de capitais é um conceito que se apresenta frequentemente confuso na literatura de Matemática Financeira. É muito comum o conceito ser apresentado com um círculo vicioso, onde são usados dois vocábulos - equivalência e transporte - de capitais, sem que seja dada uma definição de pelo menos a um deles.

Aqui vamos apresentar a noção de transporte de capitais, validando assim a noção de equivalência de capitais.

Em Matemática Financeira, transporte de capitais se refere ao transporte de um valor monetário no tempo. É como se acompanhássemos o capital durante um período de tempo, observando a variação de seu poder de compra.

• Transporte de Capital no Tempo

Um capital localizado no tempo é um par ordenado ( ), nn C C≡ , onde n é uma data ou um momento do calendário civil e C é um capital na data n .



121

30. Equivalência de Capitais por Capitalização Simples.

Equivalência de capitais é um conceito que se apresenta frequentemente confuso na

literatura de Matemática Financeira. É muito comum o conceito ser apresentado com um

círculo vicioso, onde são usados dois vocábulos - equivalência e transporte - de capitais, sem

que seja dada uma definição de pelo menos a um deles.

Aqui vamos apresentar a noção de transporte de capitais, validando assim a noção de

equivalência de capitais.

Em Matemática Financeira, transporte de capitais se refere ao transporte de um valor

monetário no tempo. É como se acompanhássemos o capital durante um período de tempo,

observando a variação de seu poder de compra.

Transporte de Capital no Tempo.

Um capital localizado no tempo é um par ordenado , nn C C , onde n é uma data ou

um momento do calendário civil e C é um capital na data n .

0 1 2 n tempo

Vamos identificar o par ordenado n C, com a notação nC , chamado de capital

financeiro na data n .

De forma geral, por transporte de capitais entendemos como sendo uma função rt ,

que associa a cada capital nC um capital mC . Em outras palavras, :r n mt C C e rt é a

função transporte. O capital mC é chamada de imagem transportada do capital nC e vice-

versa.

Como veremos adiante, a função transporte de capitais rt pode ser construída de

várias maneiras, cada qual recebendo um nome particular.

nC

Vamos identificar o par ordenado ( )n C, com a notação nC , chamado de capital financeiro na data n .

119


De forma geral, por transporte de capitais entendemos como sendo uma função rt , que associa a cada capital nC um capital mC . Em outras palavras,

:r n mt C C e rt é a função transporte. O capital mC é chamada de imagem transportada do capital nC e vice-versa.

Como veremos adiante, a função transporte de capitais rt pode ser construída de várias maneiras, cada qual recebendo um nome particular.

• Transporte Comercial Simples – data focal 0

Utilizando-se da equação (28.6): ( )1c cA N i n= × − × que fornece o valor atual cA , de um capital com valor nominal N, temos o capital cA na data zero e o capital N na data 0n ≥ . Assim podemos considerar:

0 cC A= e nC N= , sendo que ( ) ( )1c

r cc

At A N

i n= =

− ×.

Esta função particular recebe o nome de transporte comercial simples. Devemos observar que, para cada taxa comercial dada, teremos uma função transporte comercial simples.O presente caso transporta o capital 0C para N e a operação tem inversa transportando o capital para 0C :

( ) ( )101r c ct N N i n A C− = × − × = = .

• Transporte Racional Simples – data focal 0

Utilizando-se da equação (28.3): ( )1r

NAi n

=+ ×

fornece o valor atual

racional rA , de um capital com valor nominal N . Como se vê nesta situação, temos o capital rA na data 0 e o capital N na data 0n ≥ . Assim podemos considerar:

0 n

N

Ar


120

0 rC A= e nC N= , sendo que ( ) ( )1r r rt A A i n N= × + × = .

Esta função particular recebe o nome de transporte racional simples. Devemos alertar que, para cada taxa racional dada, teremos uma função transporte racional simples.

O caso presente transporta o capital rA para o capital N . A operação tem inversa, transportando o capital N para o capital 0C :

( ) ( )1

01 rNtr N A Ci n

− = = =+ ×

• Equivalência de Capitais

Dois ou mais capitais, distribuídos no tempo, são equivalentes em uma data focal estabelecida, por uma taxa de transporte pré-estabelecida, quando transportados para essa data focal, por um e apenas um critério descrito anteriormente, tiverem imagem transportadas iguais.

Observe que pelos critérios descritos anteriormente, temos:a) Os capitais 0 rC A= e nC N= são equivalentes na data focal 0 .b) Os capitais 0 cC A= e nC N= são equivalentes na data focal 0 .Se não estiverem fixadas as taxas i ou ci , teremos sempre uma equivalência

entre dois capitais. O que seria um absurdo! Assim, para verificar se dois capitais são ou não equivalentes em uma data focal dada é necessário explicitar o critério e a taxa de transporte.

• Transporte para uma data qualquer t

Considere a data focal t com m t n≤ ≤ e capitais mC e nC localizados nas datas m e n respectivamente.

Transportar os dois capitais para a data focal t , pelo mesmo critério racional simples, é considerar as imagens transportadas:

( )1 1mA C i t m = × + × − e ( )2 1nC

Ai n t

=+ × −

.

121


Assim, os capitais mC e nC são equivalentes na data focal t , com taxa racional i , se ocorrer 1 2A A= , como capitais localizados na data focal t .

De forma análoga, transportar os dois capitais para a data focal t , pelo critério de comercial simples e taxa comercial simples ci , é considerar as imagens transportadas:

( )1 1m

cC

Ai t m

=− × −

e ( )2

1c nA C i n t = × − × −

Portanto, os capitais mC e nC são equivalentes na data focal t , com taxa comercial ci , se ocorrer

1 2c cA A= como capitais localizados na data focal.

• Conceitos Finais

Consideramos mC e nC capitais localizados nas datas m e n respectivamente, distribuídos no tempo aleatoriamente, e uma data focal 0 .

Supondo, sem perda de generalidade que m n< , temos apenas uma das 3 possibilidades:

(a) A data focal 0 está antes da data m , ou seja, 0 m n< < .(b) A data focal 0 está entre às datas m e n , ou seja, 0m n< < .(c) A data focal 0 está posterior à data n , ou seja, 0m n< < .



124

De forma análoga, transportar os dois capitais para a data focal t , pelo critério de

comercial simples e taxa comercial simples ci , é considerar as imagens transportadas:

1 1m

cC

Ai t m

e 2

1c nA C i n t

Portanto, os capitais mC e nC são equivalentes na data focal t , com taxa comercial

ci , se ocorrer 1 2c cA A como capitais localizados na data focal.

Conceitos Finais:

Consideramos mC e nC capitais localizados nas datas m e n respectivamente,

distribuídos no tempo aleatoriamente, e uma data focal 0 .

Supondo, sem perda de generalidade que m n , temos apenas uma das 3

possibilidades:

(a) A data focal 0 está antes da data m , ou seja, 0 m n .

(b) A data focal 0 está entre às datas m e n , ou seja, 0m n .

(c) A data focal 0 está posterior à data n , ou seja, 0m n .

0 m n

Cm Cn

tempo

De forma semelhante se definem capitais equivalentes pelos critérios racional e

comercial, para datas focais nessas posições relativas citadas.

Em linguagem popular é comum dizer: puxar o capital se estiver posterior à data focal

e empurrar o capital, caso esteja antes da data focal.

De forma semelhante se definem capitais equivalentes pelos critérios racional e comercial, para datas focais nessas posições relativas citadas.

Em linguagem popular é comum dizer: puxar o capital se estiver posterior à data focal e empurrar o capital, caso esteja antes da data focal.


122

Exemplo 30.1 – Inconsistência do Transporte Comercial



125


0 1 2 3 4 5 6

2 4000C $ .

6 5000C $ .

Os capitais 2 4 000$ .C e 6 5 000$ .C são equivalentes na data focal 2 , pelo

transporte comercial simples com taxa de 5% . .ci a m , pois:

5 000 1 0 05 4 5 000 0 8 4 000. , . , .

Por outro lado, os mesmos capitais não são equivalentes com a mesma taxa, na data

focal 4 , pois:

4 000 4 000 4 444 441 1 0 05 2 0 9

c

c

Ai n

. . . ,, ,

e

1 5 000 1 0 05 2 5 000 0 9 4 500cN i n . , . , . . Veja, pela figura anterior, que o capital 2C foi empurrado para a data 4 e o capital 6C

foi puxado para a data 4 .

Esse fato ocorre porque a equivalência de capitais, por transporte comercial simples, é

inconsistente.

Exemplo 30.2 – Inconsistência do Transporte Racional.

0 1 2 3 4 5 6

2 4 000C $ .

6 5 000C $ .


transporte racional simples com taxa 6 25, % . .ri a m , pois:

5 000 5 000 5 000 4 0001 1 0 0625 4 1 25i n

. . . ., ,

Os capitais 2 4 000$ .C = e 6 5 000$ .C = são equivalentes na data focal 2 ,

pelo transporte comercial simples com taxa de 5% . .ci a m= , pois:

( )5 000 1 0 05 4 5 000 0 8 4 000. , . , .× − × = × =

Por outro lado, os mesmos capitais não são equivalentes com a mesma taxa,

na data focal 4 , pois:

4 000 4 000 4 444 441 1 0 05 2 0 9

c

c

Ai n

. . . ,, ,

= = ≈− × − ×

e

( ) ( )1 5 000 1 0 05 2 5 000 0 9 4 500cN i n . , . , .× − × = × − × = × = .

Veja, pela figura anterior, que o capital 2C foi empurrado para a data 4 e o

capital 6C foi puxado para a data 4 .

Esse fato ocorre porque a equivalência de capitais, por transporte comercial

simples, é inconsistente.

Exemplo 30.2 – Inconsistência do Transporte Racional



125


0 1 2 3 4 5 6

2 4000C $ .

6 5000C $ .


transporte comercial simples com taxa de 5% . .ci a m , pois:

5 000 1 0 05 4 5 000 0 8 4 000. , . , .

Por outro lado, os mesmos capitais não são equivalentes com a mesma taxa, na data

focal 4 , pois:

4 000 4 000 4 444 441 1 0 05 2 0 9

c

c

Ai n

. . . ,, ,

e

1 5 000 1 0 05 2 5 000 0 9 4 500cN i n . , . , . . Veja, pela figura anterior, que o capital 2C foi empurrado para a data 4 e o capital 6C

foi puxado para a data 4 .

Esse fato ocorre porque a equivalência de capitais, por transporte comercial simples, é

inconsistente.

Exemplo 30.2 – Inconsistência do Transporte Racional.

0 1 2 3 4 5 6

2 4 000C $ .

6 5 000C $ .


transporte racional simples com taxa 6 25, % . .ri a m , pois:

5 000 5 000 5 000 4 0001 1 0 0625 4 1 25i n

. . . ., ,

123


Os capitais 2 4 000$ .C = e 6 5 000$ .C = são equivalentes na data focal 2 , pelo transporte racional simples com taxa 6 25, % . .ri a m= , pois:

5 000 5 000 5 000 4 0001 1 0 0625 4 1 25i n

. . . ., ,

= = =+ × + ×

Por outro lado, os mesmos capitais não são equivalentes com a mesma taxa, na data focal 4 , pois:

( ) ( )1 4 000 1 0 0625 2 4 000 1 125 4 500rA i n . , . , .× + × = × + × = × = e

5 000 5 000 5 000 4 444 441 1 1 0 0625 2 1 125

Ni n i n

. . . . ,, ,

= = = =+ × + × + ×

Este fato ocorre porque a equivalência de capitais, por transporte racional simples, é inconsistente.

Finalizando, ao contrário do que vimos nos exemplos anteriores, no sistema de capitalização composta o transporte é consistente. Capitais equivalentes em uma data focal, com uma taxa composta, serão equivalentes em qualquer outra data focal escolhida.

124

31Equivalência de Conjuntos de Capitais –

Simples

Utilizando os conceitos desenvolvidos no capítulo anterior, equivalência entre dois ou mais capitais, podemos definir agora a noção de equivalência entre dois ou mais conjuntos de capitais, também pelo sistema de capitalização simples. Esta noção é pouco aplicada nas relações comerciais e financeiras, mas é sempre interessante conhecer alternativas nas operações financeiras.

Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais são equivalentes, se as somas dos elementos transportados do mesmo conjunto, para uma mesma data focal, por uma mesma taxa e um mesmo critério de transporte, são iguais.

A confirmação da equivalência em cada situação é complexa, pois devemos “puxar” ou “empurrar” os capitais de cada conjunto para uma mesma data focal, utilizando o mesmo critério.

No caso do regime capitalização simples os critérios são racional e comercial.

Essa noção de equivalência de capitais evidencia o que já comentamos anteriormente: não tem sentido somar nominalmente capitais localizados em datas distintas. Dizendo de outra forma, só podemos somar dois capitais quando os mesmos estiverem localizados em uma mesma data.

De forma mais precisa, consideremos, como na figura seguinte, dois conjuntos de capitais:



127

31. Equivalência de Conjuntos de Capitais – Simples

Utilizando os conceitos desenvolvidos no capítulo anterior, equivalência entre dois ou

mais capitais, podemos definir agora a noção de equivalência entre dois ou mais conjuntos de

capitais, também pelo sistema de capitalização simples. Esta noção é pouco aplicada nas

relações comerciais e financeiras, mas é sempre interessante conhecer alternativas nas

operações financeiras.

Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais são equivalentes, se as somas dos

elementos transportados do mesmo conjunto, para uma mesma data focal, por uma mesma

taxa e um mesmo critério de transporte, são iguais.

A confirmação da equivalência em cada situação é complexa, pois devemos “puxar”

ou “empurrar” os capitais de cada conjunto para uma mesma data focal, utilizando o mesmo

critério.


Essa noção de equivalência de capitais evidencia o que já comentamos anteriormente:

não tem sentido somar nominalmente capitais localizados em datas distintas. Dizendo de outra

forma, só podemos somar dois capitais quando os mesmos estiverem localizados em uma

mesma data.

De forma mais precisa, consideremos como na figura abaixo são dois conjuntos de

capitais:

1 2, , , nC C C e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm

e



127












critério.





mesma data.


capitais:

1 2, , , nC C C e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm

.

125




127












critério.





mesma data.


capitais:

1 2, , , nC C C e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm

Denotamos por ( )r kt C e ( )r lt B o transporte para a data zero com o mesmo critério, de cada elemento elemento kC e lB respectivamente. Assim, os dois conjuntos são equivalentes na data e elemento kC e lB respectivamente. Assim, os dois conjuntos são equivalentes na data respectivamente. Assim, os dois conjuntos são equivalentes na data focal 0 se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2r r r n r r r mt C t C t C t B t B t B+ + + = + + +

Exemplo 31.1

Uma revendedora de automóveis oferece um carro à vista por 25 000 00$ . ,R ou em 5 prestações fixas de 5 000 00$ . ,R , sem entrada. Se a taxa de juro simples é de 2% . . a m e a data de compra a data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?



128

Denotamos por r kt C e r lt B o transporte para a data zero com o mesmo critério, de cada

elemento kC e lB respectivamente. Assim, os dois conjuntos são equivalentes na data

focal 0 se:

1 2 1 2r r r n r r r mt C t C t C t B t B t B

Exemplo 31.1.

Uma revendedora de automóveis oferece um carro à vista por 25 000 00$ . ,R ou em 5

prestações fixas de 5 000 00$ . ,R , sem entrada. Se a taxa de juro simples é de 2% . . a m e a data

de compra a data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?

0 1 2 3 4 5 meses

P1 P2 P3 P4 P5

F

Solução.

Pelo critério comercial simples.

Estamos considerando prestações, com valores nominais fixos, no final de cada mês:

1 2 3 4 5 5 000 00$ . ,P P P P P R . Os índices 1 2 3 4 5, , , e nas prestações são apenas para indicar a localização das

prestações no tempo. Com isso, os valores nominais das prestações são fixas, mas os valores

reais vão “diminuindo” já que os capitais estão sob a influência de uma taxa de juro de

2% . . a m .

Somando as prestações transportadas, com a taxa comercial dada de 2% . . a m , para

data focal 0 , temos:

1 2 3 4 51 1 1 2 1 3 1 4 1 5P i P i P i P i P i

5000 0 98 5000 0 96 5000 0 94 5000 0 92 5000 0 90. , . , . , . , . ,

4 900 4 800 4 700 4 600 4 500 23 500 00. . . . . $ . ,R . Portanto, para ser justo o negócio, o verdadeiro preço à vista deveria ser:

23 500 00$ . ,à vistaP R .

Solução

• Pelo critério comercial simples

Estamos considerando prestações, com valores nominais fixos, no final de cada mês:

1 2 3 4 5 5 000 00$ . ,P P P P P R = = = = = .

Os índices 1 2 3 4 5, , , e nas prestações são apenas para indicar a localização das prestações no tempo. Com isso, os valores nominais das prestações são fixas,


126

mas os valores reais vão “diminuindo” já que os capitais estão sob a influência de uma taxa de juro de 2% . . a m .

Somando as prestações transportadas, com a taxa comercial dada de 2% . . a m , para data focal 0 , temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 51 1 1 2 1 3 1 4 1 5P i P i P i P i P i× − × + × − × + × − × + × − × + × − × =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 000 0 98 5 000 0 96 5 000 0 94 5 000 0 92 5 000 0 90. , . , . , . , . ,× + × = × + × + × =

4 900 4 800 4 700 4 600 4 500 23 500 00. . . . . $ . ,R + + + + = .

Portanto, para ser justo o negócio, o verdadeiro preço à vista deveria ser:

23 500 00$ . ,à vistaP R = .

• Pelo critério racional simples

Agora vamos resolver a mesma questão, com mesma taxa de 2% . . a m , pelo critério de transporte racional simples.Para isso, vamos transportar todas as prestações para a data focal e somar as prestações transportadas:

3 51 2 41 1 1 2 1 3 1 4 1 5

P PP P Pi i i i i

+ + + + =+ × + × + × + × + ×

5 000 5 000 5 000 5 000 5 0001 02 1 04 1 06 1 08 1 10. . . . ., , , , ,

+ + + + ≈

4 901 96 4 807 69 4 716 98 4 629 63 4 545 45. , . , . , . , . ,+ + + + =

23 601 71$ . ,R .

Neste caso de critério racional, para ser justo o negócio, o verdadeiro preço à vista deveria ser:

23 601 71$ . ,à vistaP R = .

O fato das respostas diferentes pelos dois critérios está coerente com o que já vimos, pois o valor atual racional é maior que o valor atual comercial.

127


Em relação aos dois critérios deste exemplo, fizemos uso de uma equivalência entre um conjunto de capitais contendo 5 elementos e o outro conjunto contendo um único elemento, que é o preço à vista.

128

32Modelo de Financiamento com Prestações

Constantes – Transporte Comercial Simples

Motivado pelo Exemplo (31.1) podemos construir uma fórmula geral para um financiamento a ser pago em um número qualquer de prestações. Sua formulação é interessante em problemas práticos, pois com isso é possível estabelecer um fator multiplicativo, em função apenas do número de prestações e a taxa de juro comercial de interesse comum, em financiamentos com prestações constantes.

A figura representa a situação.



131

32. Modelo de Financiamento com Prestações Constantes – Transporte

Comercial Simples.

Motivado pelo Exemplo (31.1) podemos construir uma fórmula geral para um

financiamento a ser pago em um número qualquer de prestações. Sua formulação é

interessante em problemas práticos, pois com isso é possível estabelecer um fator

multiplicativo, em função apenas do número de prestações e a taxa de juro comercial de

interesse comum, em financiamentos com prestações constantes.

A figura representa a situação.

0 1 2 n m eses

P1 P2 Pn

F

Podemos transportando cada prestação kP , todas com o mesmo valor nominal, porém,

localizadas em datas distintas, para a data focal 0 , data do negócio. Fazendo o transporte pelo

critério comercial com taxa comercial ci , a soma dos valores transportados deve igualar-se ao

valor financiado F :

1 21 1 2 1c c n cF P i P i P i n . Sabendo que, 1 2 nP P P P , então obtemos:

1 1 2 1c c cF P i i i n

1 2cF P n i n . Valendo-se da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética, temos:

12cn n

F P n P i

2 2 1 2 1c cF P n P n i n P n i n

2

2 1c

FPn i n

ou 2 1

2 cP nF i n .

Podemos transportar cada prestação kP , todas com o mesmo valor nominal, porém, localizadas em datas distintas, para a data focal 0 , data do negócio. Fazendo o transporte pelo critério comercial com taxa comercial

ci , a soma dos valores transportados deve igualar-se ao valor financiado F :

( ) ( ) ( )1 21 1 2 1c c n cF P i P i P i n= × − + × − × + + × − × .

129


Sabendo que, 1 2 nP P P P= = = = , então obtemos:

( ) ( ) ( )1 1 2 1c c cF P i i i n = × − + − × + + − × ⇒

( )1 2cF P n i n = × − × + + + .

Valendo-se da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética,

temos:

( )12cn n

F P n P i + ×

= × − × × ⇒

( ) ( )2 2 1 2 1c cF P n P n i n P n i n × = × × − × × × + = × × − × + ⇒

( )2

2 1c

FPn i n

×=

× − × + ou ( )2 1

2 cP nF i n× = × − × + .

A partir dessas duas últimas relações e dados ci e n , podemos determinar: P =

valor da prestação fixa ou F = valor financiado.

Pelo critério racional não temos uma fórmula geral similar à obtida

acima, mas sempre será possível determinar os valores das prestações

fixas a partir do valor financiado F , e uma taxa racional dada pela relação

similar:

1 1 11 1 2 1 1 1 2 1

P P PF Pi i n i i i n i

= + + + = × + + + + + × + × + + × + × .

Exemplo 32.1

Como no exemplo (31.2), uma revendedora de automóveis oferece um carro

em 5 prestações fixas de 5 000 00$ . ,R , sem entrada, pelo mesmo preço à vista,

com uma taxa de juro simples, de 2% . . a m e a data de compra como data focal.

Qual é o verdadeiro preço à vista?


130

• Pelo critério comercial

( )5 000 5 2 0 02 1 52

F . ,× = × − × + ⇒ 23 500 00$ . ,F R =

• Pelo critério racional

1 1 1 1 15 0001 02 1 04 1 06 1 08 1 10

F ., , , , ,

= × + + + + ⇒

23 601 71$ . ,F R =

131

33Cálculo de Juro Simples pelo Prazo Médio

Proposição 33.1

Dados k capitais iniciais 1 2 kC C C, , , , com prazos de aplicações

1 2 kn n n, , , respectivamente com mesma taxa simples i , então temos um prazo

médio em que o capital:

1 2 kC C C C= + + +

produz a mesma soma dos juros, independentemente da taxa.

Com efeito, considere: l l lJ C i n= × × o juro do capital lC , para cada l

com 1 l k≤ ≤ . Assim, obtemos:

( )1 2 1 1 2 2k k kJ J J J C n C n C n i C i n= + + + = × + × + + × × = × × ⇔

1 1 2 2 k kC n C n C n C n× + × + + × = × ⇔

1 1 2 2 k kC n C n C nn

C× + × + + ×

= ⇔

1 1 2 2

1 2

k k

k

C n C n C nn

C C C× + × + + ×

=+ + +

.

O prazo médio dado pela relação acima não depende da taxa i .


132

Exemplo 33.2

Considere dois capitais: 1 100 00$ ,C = aplicado por 3 meses e 2 300 00$ ,C = aplicado por 4 meses, pelo critério de juro simples, com qualquer taxa. Então o capital 1 2 400 00$ ,C C C = + = produz o mesmo resultado por um prazo de:

( ) ( )100 3 300 4 300 1200 1 500 3 75100 300 400 400

n meses. ,× + × +

= = = =+

.

Veja que o capital 400 00$ ,C R = produz o mesmo juro em 3 75 meses, que a soma dos dois capitais dados.

1 1 3 300J C i i= × × = × e 2 2 4 1 200J C i i.= × × = × ⇒

1 2 1 500J J i.+ = × e 3 75 400 3 75 1 500J C i i i, , .= × × = × × = × .

133

34Cálculo de Juro Simples pela Taxa Média

Proposição 34.1

Dados k capitais iniciais 1 2 kC C C, , , , com taxas simples de aplicação

1 2 ki i i, , , respectivamente, durante o mesmo tempo. Então, temos uma taxa média em que o capital:

1 2 kC C C C= + + + ,

produz a mesma soma dos juros, independentemente do tempo.Com efeito, considere: l l lJ C i n= × × , o juro do capital lC , para cada l com 1 l k≤ ≤ . Assim, obtemos:

( )1 2 1 1 2 2k k kJ J J J C i C i C i n C i n= + + + = × + × + + × × = × × ⇔

1 1 2 2 k kC i C i C i C i× + × + + × = × ⇔

1 1 2 2 k kC i C i C ii

C× + × + + ×

= ⇔

1 1 2 2

1 2

k k

k

C i C i C ii

C C C× + × + + ×

=+ + +

A taxa média dada pela relação acima não depende do prazo n .

Exemplo 34.2

Considere dois capitais: 1 100 00$ ,C = aplicado a 6% . . a m por n meses e

2 300 00$ ,C = aplicado a 3% . . a m por n meses, pelo critério de juro simples. Então, o capital 1 2 400 00$ ,C C C = + = produz o mesmo resultado com uma taxa de:


134

( ) ( )100 0 06 300 0 03 15 0 0375 3 75100 300 400, ,

, , % . .i a m× + ×

= = = =+

.

Veja que o capital 400 00$ ,C R = produz o mesmo resultado com uma taxa de 3 75, % . . a m que a soma dos dois capitais dados:

1 1 0 06 6J C n n,= × × = × e 2 2 0 03 9J C n n,= × × = × ⇒

1 2 15J J n+ = × . Como 400 0 0375 15J n n,= × × = × , temos:

1 2J J J= + .

135

35Fracionamento do Tempo em Capitalização

Simples

Em muitos textos de Matemática Financeira aparece a frase:

No regime de capitalização simples não se pode fracionar o tempo.

O próximo exemplo nos mostra como essa afirmação pode ser confusa e sem sentido.

Exemplo 35.1

O Senhor João assumiu compromissos financeiros de 1 10 000 00$ . ,P R = para o final de três meses e 2 15 000 00$ . ,P R = , dois meses após o primeiro. Contando com reserva em caixa, uma instituição financeira lhe ofereceu uma taxa de juro simples de 36% . . a a . Qual o capital C que ele deve aplicar hoje, de forma a retirar exatamente os valores dos compromissos nas datas marcadas?



137

35. Fracionamento do Tempo em Capitalização Simples.

Em muitos textos de Matemática Financeira aparece a frase:

“No regime de capitalização simples não se pode fracionar o tempo”.

O próximo exemplo nos mostra como essa afirmação pode ser confusa e sem sentido.

Exemplo – 35.1.

O Senhor João assumiu compromissos financeiros de 1 10 000 00$ . ,P R para o final de

três meses e 2 15 000 00$ . ,P R , dois meses após o primeiro. Contando com reserva em caixa,

uma instituição financeira lhe ofereceu uma taxa de juro simples de 36% . . a a . Qual o capital

C que ele deve aplicar hoje, de forma a retirar exatamente os valores dos compromissos nas

datas marcadas?

0 1 2 3 4 5 meses

P1 P2

C

Como já comentamos no transporte comercial, a solução vai depender da data focal

escolhida. Seguindo a necessidade dos saques, devemos transportar cada prestação para a data

focal 0 e somar os valores atuais racionais simples, com taxa de 3% . .a m :

10 000 15 000 22 217 791 0 03 3 1 0 03 5

. . $ . ,, ,

C R

.

Vamos conferir para ver se fecha a conta. Se aplicar hoje o valor C , então passados 3

meses, o montante será de:

1 22 217 79 1 0 03 3 24 217 39M . , , . , . Nesse dia ele retira 10 000 00$ . ,R , que é o valor da prestação 1P , e assim sobrará um

saldo de 14 217 39$ . ,R . Sendo aplicado por mais 2 meses, dará um montante de:

2 14 217 39 1 0 03 2 15 070 43M . , , . , .


136

Como já comentamos no transporte comercial, a solução vai depender da data focal escolhida. Seguindo a necessidade dos saques, devemos transportar cada prestação para a data focal 0 e somar os valores atuais racionais simples, com taxa de 3% . . a m :

10 000 15 000 22 217 791 0 03 3 1 0 03 5

. . $ . ,, ,

C R = + =+ × + ×

.

Vamos conferir para ver se fecha a conta. Se aplicar hoje o valor C , então passados 3 meses, o montante será de:

( )1 22 217 79 1 0 03 3 24 217 39M . , , . ,= × + × = .

Nesse dia ele retira 10 000 00$ . ,R , que é o valor da prestação 1P , e assim sobrará um saldo de 14 217 39$ . ,R . Sendo aplicado por mais 2 meses, dará um montante de:

( )2 14 217 39 1 0 03 2 15 070 43M . , , . ,= × + × = .

Mas como seu compromisso com a prestação 2P é 15 000 00$ . ,R , então sobrará 70 43$ ,R .

Onde está o erro da solução? O erro é sutil, mas de fácil explicação:Com efeito, no momento em que calculamos o montante 2M por mais 2

meses, mudamos o regime de capitalização para composto. É aí que surge erro:

( )1 110 000 9 174 31 10 000 9 174 31 1 09

1 0 03 3A R P. $ . , . . , ,

,= = ⇒ = = ×

+ ×;

( )2 215 000 13 043 48 15 000 13 043 48 1 15

1 0 03 5A R P. $ . , . . , ,

,= = ⇒ = = ×

+ ×.

Quando dissemos “este valor vai ficar aplicado mais 2 meses”, para achar o montante 2M fizemos:

( ) ( ) ( ) ( )2 14 217 39 1 06 13 043 48 1 09 1 06 13 043 48 1 1554M . , , . , , , . , ,= × = × × = × .

Como precisamos, para pagar prestação, de ( )2 13 043 48 1 15. , ,P = × , então estará sobrando: ( )13 043 48 0 0054 70 43. , , ,× = que é igual à diferença apontada. É muito comum esse tipo de confusão no regime de capitalização simples.

137


Em geral se justifica a confusão, dizendo que não podemos fracionar o tempo

no regime de capitalização simples. Mas essa frase, muito comum em livros de

Matemática Financeira, é outra confusão desnecessária, uma vez que facilmente

se verifica:

( ) ( )( )1 21 1 1C n i C n i n i× + × ≠ × + × + × , mesmo com 1 2n n n= + .

Para entender a correta operação, nesse exemplo de calculo do capital

necessário para resgate futuro, devemos decompor como soma de dois

capitais:

1 2C C C= + , onde

110 000 9174 31

1 0 03 3. $ ,,

C R = =+ ×

e 215 000 13 043 48

1 0 03 5. $ , ,,

C R = =+ ×

.

Cada parte do capital será “carimbada” e resgatável apenas ao final da aplicação.

Diferentemente do que dissemos antes, podemos fracionar o tempo, calculando

o juro em cada fração do tempo:

Se 1 2n n n= + , então para calcular o juro e o montante simples, com o tempo

fracionado, devemos proceder:

( )1 2 1 2J C i n C i n n C i n C i n= × × = × × + = × × + × × ;

( )1 2 1 21M C J C C i n C i n C i n n = + = + × × + × × = × + × + .

Finalmente lembramos que a questão principal nesses tipos de aplicações,

pelo regime de capitalização simples é a exigibilidade dos juros, ou seja, as datas

de pagamento dos juros.

O que não podemos é fazer um saque durante o decorrer do tempo, e, o

saldo continuar aplicado. Pois, isso provoca uma capitalização fracionada, não

permitida pelo sistema de juro simples.


138

Exercício


35 1E . – Uma pessoa assumiu 3 prestações que vencem em 30 dias , 60 dias e 90 dias , todas com o valor de 5 000 00$ . ,R . No mesmo dia recebeu um dinheiro que daria para pagar as três parcelas à vista, mas encontrou outro banco que remunera as aplicações com taxa de juros simples de 3% . . a m . Analise o valor que deverá depositar e como ele deveria aplicar, para sacar nas datas certas os valores exatos das prestações. [Sugestão: abrir mais de uma conta investimento].

139

36Regime de Capitalização Composta

O regime de capitalização composta é por definição um processo de cálculo

financeiro em que o juro de um período incorpora-se ao capital, para formar a base

de cálculo do juro do período seguinte. Em termos jurídicos, esse procedimento se

constitui em um “anatocismo”, ou seja, juro sobre juro.

Em todo este capítulo a exigibilidade do juro será considerada somente no

final do prazo contratado. Pois, se a exigibilidade é periódica, então não existe

capitalização composta.

Também neste capítulo continuaremos nos referindo aos juros remuneratórios,

uma vez que para os juros moratórios se aplicam as mesmas fórmulas de

cálculos.

Nas tabelas seguintes, consideramos um capital inicial de 1 000 00$ . ,C R =

aplicado a uma taxa de 10% . . a m , durante 5 meses , para termos uma visão da

dinâmica do montante ao longo do tempo, pelos dois regimes de capitalização.

A primeira tabela pela capitalização simples e a segunda pela capitalização

composta.

Tabela – 1. Juro do mês de 10% sobre o capital inicial

Mês Início do mês Juro do mês Montante - final do mês

1º 1.000,00 100,00 1.100,00

2º 1.100,00 100,00 1.200,00

3º 1.200,00 100,00 1.300,00

4º 1.300,00 100,00 1.400,00

5º 1.400,00 100,00 1.500,00


140

Tabela – 2. Juro do mês de 10% sobre o capital do mês anterior

Mês Início do mês Juro do mês Montante- final do mês1º 1.000,00 100,00 1.100,002º 1.100,00 110,00 1.210,003º 1.210,00 121,00 1.331,004º 1.331,00 133,10 1.464.105º 1.464,10 146,41 1.610,51

Enfatizamos que a questão colocada envolve diretamente a exigibilidade ou realização do juro, pois, no regime de capitalização a ser estudado agora, esta questão se manifesta com mais vigor.

Por exigibilidade periódica entende-se o pagamento do juro no final de cada período vencido. No caso do período ser um mês, com exigibilidade mensal, o juro deve ser pago no final de cada mês.

Com exigibilidade mensal, as duas planilhas anteriores serão idênticas. Pois o montante no final de cada mês continuará o mesmo que o capital inicial, após a retirada (ou o pagamento) efetiva do juro mensal de 100 00$ ,R . Por isso, se o juro é realizado no final de cada mês, não há diferença entre os dois regimes de capitalização.

Com esse preâmbulo, podemos concluir que nas fórmulas apresentadas de juro simples ou juro composto, nos livros de Matemática Financeira, supõe-se que a exigibilidade do juro ocorre somente no final do prazo contratado. Assim, no caso de juro composto ocorre realmente o famoso juro sobre juro ou anatocismo.

Exemplo 36.1

Considere uma aplicação com capital inicial de 1 000 00$ . ,R , por um período de 60 meses , à taxa de 2% . . a m , pelo regime de capitalização composta mensal, com exigibilidade no final do prazo.

Vejamos que o juro de cada mês é calculado sobre o montante do mês anterior. Portanto, temos:

( ) ( ) ( )601 000 1 0 02 1 0 02 1 000 1 02. , , . ,M = × + × × + = × ⇒

3 281 03$ . ,M R = .

141


Por outro lado, nas mesmas condições do exemplo, se o regime de capitalização for o simples, teremos um montante de:

( ) ( )1 000 1 0 02 60 1 000 2 2 2 200 00. , . , $ . ,M R = × + × = × = .

• Montante e Juros Compostos – Capital Nominal

Nossas relações iniciais versarão sobre o capital inicial nominal ou sem atualização monetária.

Consideremos um capital inicial C localizado na data focal 0 , uma unidade de tempo - chamada de período de capitalização – e i uma taxa de juro efetiva na mesma unidade de tempo. Com isso, temos um fluxo de montantes nas respectivas datas, de acordo com a definição do regime de capitalização composta:

( )1 1M C J C C i C i→ = + = + × = × + ;

( )2 1 1 1 1 1M M J M M i M i→ = + = + × = × + ⇒ ( )22 1M C i= × + ,

por substituição do valor de 1M .Pelo princípio da indução finita, concluímos que, para todo número natural

n = o número de capitalizações, o montante composto localizado na data n denotado apenas por M , é dado por:

(36.2) ( ) ( )1 1n nM C i C M i −= × + ⇔ = × +

Podemos visualizar na figura a seguir o significado do cálculo do montante composto , a partir de um capital inicial C , com uma taxa de juro i e n o número de períodos de tempo.



143

Montante e Juros Compostos – Capital Nominal.

Nossas relações iniciais versarão sobre o capital inicial nominal ou sem atualização

monetária.

Consideremos um capital inicial C localizado na data focal 0 , uma unidade de tempo

- chamada de período de capitalização – e i uma taxa de juro efetiva na mesma unidade de

tempo. Com isso, temos um fluxo de montantes nas respectivas datas, de acordo com a

definição do regime de capitalização composta:

1 1M C J C C i C i ;

2 1 1 1 1 1M M J M M i M i 22 1M C i , por substituição do valor de

1M .

Pelo princípio da indução finita, concluímos que, para todo número natural n o

número de capitalizações, o montante composto localizado na data n denotado apenas por

M , é dado por:

(36.2) 1 1n nM C i C M i

Podemos visualizar na figura a seguir o significado do cálculo do montante composto

M , a partir de um capital inicial C , com uma taxa de juro i e n o número de períodos de

tempo.

0 1 2 n tempo

M

C

1 ni

1 ni

Das equações equivalentes (36.2), temos dois fatores:

1 ni Fator de Valor Futuro;

1 ni Fator de Valor Atual.


142

Das equações equivalentes (36.2), temos dois fatores:• ( )1 ni + →Fator de Valor Futuro;• ( )1 ni −+ → Fator de Valor Atual.Empiricamente, dizemos que o fator ( )1 ni+ “empurra” o capital C ,

enquanto o fator ( )1 ni −+ “puxa” o capital M no tempo.O montante M é chamado de valor futuro e o capital inicial C de valor

presente do montante.

• Equações Derivadas do Montante Composto

A equação (36.2) apresenta o Montante M em função do capital inicial C , a taxa de juro i e o tempo de aplicação n :

( )1 nM C i= × + .

Portanto, nesta relação temos quatro variáveis e, por manipulações algébricas básicas, podemos explicitar cada uma dessas variáveis em função das outras três.

( )( )

( )

1

1

1

1

n

n

n

M C i

C M i

MiC

MCn

i

log

log

−

→ = × +→ = × + → = −

→ = +

∗ Deduzir como exercício essas relações anteriores.

Exemplo 36.3

Como aplicação imediata de uma das fórmulas anteriores, podemos achar em quanto tempo uma dívida inicial D quintuplica, com taxa de juro composto de 10% . . a m , desde que o juro seja exigido junto com a dívida no final do tempo.

Para responder, considere na equação geral do montante composto, 5M D= ×, como o montante da dívida e D como sendo o capital inicial. Assim temos:

143


( ) ( ) ( )( )

55 1 0 10 1 10 5 16 8863

1 10n nD D n meses

log, , ,

log ,× = × + ⇒ = ⇒ = ≈ .

O que nos dá aproximadamente 16 meses e 27 dias .

Exercício

Analise as equações deste parágrafo quando M C< .

• Homogeneidade entre taxa e o tempo

Neste ponto deve estar claro que o tempo e a taxa devem ser compatíveis em relação ao tempo, como no exemplo (36.1) anterior.

Exemplo 36.4

Pelo estudado até o momento, pode ser confuso calcular o montante gerado por um capital inicial, digamos 100 00$ ,R , com uma taxa de juro composto

12% . .i a a= , durante 9n meses= . Com efeito, tomando sM =montante simples e cM =montante composto:

∗ 9 0 75n meses ano,= = ⇒ ( )0 75100 1 12 108 87,, $ ,cM R = × ≈ ;

∗ 12 1% %i a.a. a.m.= ≡ ⇒ ( )9100 1 01 109 37, $ ,cM R = × ≈ .

Estamos diante de dois montantes diferentes, para os mesmos dados. Isso seria um absurdo, se não houvesse uma explicação. Ao tomar a taxa equivalente de 1% . . a m , provocamos uma mudança no período de capitalização de anual para mensal. E aí está o erro!

É muito importante exigir que, nas fórmulas de juros simples ou compostos, a taxa i e o tempo n se refiram à mesma unidade de tempo. Em outras palavras, a taxa deve referir-se ao mesmo período de tempo que a quantidade n representa. A situação deste exemplo confunde ainda mais, quando verificamos que nessas condições o montante simples é dado:


144

( ) ( )100 1 0 01 9 100 1 0 12 0 75 109 00, , , $ ,sM R = × + × = × + × = .

Uma explicação convincente virá no próximo parágrafo.

• Comparação entre Montante Simples e Composto

O montante simples ( )1sM C i n= × + × tem um crescimento linear no

tempo, formando uma sequência em progressão aritmética com razão r C i= × .

O montante composto ( )1 ncM C i= × + tem crescimento exponencial no

tempo, formando uma sequência em progressão geométrica com razão ( )1q i= +

.

Escolhendo uma mesma unidade de tempo e imaginando o tempo fluindo

continuamente até a reta real, temos os gráficos justapostos de sM =montante

simples e cM =montante composto.



146

O montante composto 1 ncM C i tem crescimento exponencial no tempo,

formando uma sequência em progressão geométrica com razão 1q i .

Escolhendo uma mesma unidade de tempo e imaginando o tempo fluindo

continuamente até a reta real, temos os gráficos justapostos de sM montante simples e

cM montante composto.

1 n

M o n t a n t e

sM

cM

Observamos pelo gráfico que:

* 0 1 c sn M M ;

* 1 c sn M M e

* 1 c sn M M .

No exemplo (36.4) o montante simples é maior que o montante composto quando

tomamos o tempo 0 75 1,n ano ano . Quando tomamos a taxa de juro 1% . .i a m , o

montante simples é menor que o composto. Isso é coerente, pois mudamos a unidade de

tempo e nesse caso o número 1 do gráfico representa 1 mês .

Mais adiante vamos tratar de problemas em que a taxa de juro e o tempo não se

referem à mesma unidade de tempo. Serão então necessárias algumas convenções, para saber

como se convertem taxa e tempo para uma mesma unidade de tempo.

Observamos pelo gráfico que:

* 0 1 c sn M M< < ⇒ < ;

* 1 c sn M M< < ∞⇒ > e

* 1 c sn M M= ⇒ = .

No exemplo (36.4) o montante simples é maior que o montante composto

quando tomamos o tempo 0 75 1,n ano ano= < . Quando tomamos a taxa de

juro 1% . .i a m= , o montante simples é menor que o composto. Isso é coerente,

pois mudamos a unidade de tempo e nesse caso o número 1 do gráfico representa

1 mês .

145


Mais adiante vamos tratar de problemas em que a taxa de juro e o tempo não se referem à mesma unidade de tempo. Serão então necessárias algumas convenções, para saber como se convertem taxa e tempo para uma mesma unidade de tempo.

146

37Montante e Juros Compostos - Capital

Atualizado

O montante composto gerado por um capital atualizado, depois de transcorrido um tempo com n períodos, uma taxa de juro composto i e taxas de correções

1 2, , , ni i i nos respectivos períodos, é dado por:

(37.1) ( )1 nA AM C i= × + , onde ( ) ( )11 1 A nC i i C= + × × + × .

Na equação (37.1), o valor de AC é o capital inicial atualizado. Obviamente, se as taxas de correção monetária, 1 2, , , ni i i são todas nulas, então temos:

37.2 ( )1 nAM M C i= = × + .

Exemplo 37.3 – Rendimento da Poupança no Brasil

Sempre ouvimos dizer que a poupança no Brasil, uniforme para todas as instituições financeiras, tem como rendimento mensal:

0 5TR + de juro, % .

Convém dizer que a TR é fornecida diariamente, relativa aos últimos trinta dias, pelo Banco Central.

O método se enquadra no cálculo de juro composto de um capital atualizado, se não houver saque da conta poupança.

Explicando, os rendimentos da poupança são creditados mensalmente, em cada aniversário mensal da aplicação, chamada de data-base. No último dia de cada mês, para resgate a partir do dia seguinte, a conta terá como

147


rendimento 0 5TR + de juro, % sobre o menor saldo diário do mês em questão.

Montamos um extrato de uma conta fictícia, para melhor entender o método de cálculo dos rendimentos. Os dados das TR s' e dos juros são oficiais da Caixa Econômica Federal.

A nota explicativa, após o extrato, fornece os detalhes das operações realizadas nos cálculos dos rendimentos e saldos.

Data Base Histórico Valor Saldo26/02/2005 Depósito de abertura 106,55 106,55

26/03/2005 Remuneração básica TR= 0,16 106,71

Crédito de juros 0 5, %= 0,53 107,24

(1) Rentabilidade na data base, relativa ao mês: 0,655574%.27/03/2005 Disponível para saque 107,24

26/04/2005 Remuneração básica TR= 0,22 107,46

Crédito de juros 0 5, %= 0,54 108,00

(2) Rentabilidade na data base, relativa ao mês: 0,709040%.27/04/2005 Disponível para saque 108,0026/05/2005 (3) Saque 108,00 0,00

Nota explicativa do extrato

Os cálculos no extrato anterior, seguiram a fórmula de cálculo de juro e montante de capital atualizado pela ( )TR data e com taxa de juro de 0 5, % . . a m :

(a) ( ) ( )1 1107 24 106 55 1 1 005$ , , ,M R i= = × + × , onde ( )1i TR data= , e

(b) ( ) ( )2 2108 00 107 24 1 1 005$ , , ,M R i= = × + × , onde ( )2i TR data= .

(c) Saque antes da data-base, perdeu a rentabilidade do mês.A taxa de juro de 0 5, % . . a m aplicado para a poupança é uma taxa efetiva,

obtida por convenção, da taxa anual nominal de 6 0, % . . a a . Como veremos no próximo capítulo, uma taxa mensal efetiva de 0 5, % . . a m nos fornece uma taxa efetiva anual de:


148

( )121 0 005 1 6 1678, , %i a.a.= + − ≈ .

Exemplo 37.4 – Taxas de juro e inflação imbricadas

Como já comentamos em capítulos anteriores, não podemos confundir

correção monetária com juros remuneratórios. No mundo dos negócios financeiros

é comum não separar as taxas de correção monetária e taxa de juros. É comum

estabelecer uma taxa única de juro, chamada de taxa de juro, que engloba dois

fatores: um fator que é o fator da inflação é outro fator que é chamado de taxa de

juro real.

Consideramos um capital C , aplicado durante um tempo com n períodos

de capitalizações e taxa de juro i em cada período; então temos uma taxa total de

juro ao final do tempo totali :

( ) ( )1 1ntotalM C i C i= × + = × + .

Por exemplo, se 5% . .i a m= , então temos uma taxa total efetiva anual de:

( ) ( )121 1 0 05 1 795856326 79 5856, , , % . .total totali i a a+ = + ≈ ⇒ ≈ .

Voltando no caso geral, podemos decompor o fator como:

( ) ( )1 1 1total r infi i i+ = + × + ;

onde ri = taxa real de juro e infi = taxa de inflação durante o tempo

considerado.

Assim, temos uma taxa de juro real dada por:

1 11 1

1 1total total

r rinf inf

i ii i

i i+ +

+ = ⇒ = −+ +

.

No caso específico abordado, se um capital C for aplicado por 12 meses

com taxa de juro mensal de 5%i a.m.= e suponha que nesses 12 meses houve

uma taxa de inflação 8infi %= , então teremos uma taxa real de juro total no ano

de:

149


( )( )

121 0 051 1 662829931 66 28299

1 0 08,

, , % . .,r ri i a a

++ = ≈ ⇒ =

+.

Como observação final, essa taxa real de juro no ano, embora seja uma taxa “astronômica”, é um dado bem próximo da realidade brasileira no momento atual.

Exercício

37 1E . – Um americano aplicou um capital no Brasil em reais a uma taxa efetiva anual foi de 19 75, % durante um ano. Se o dólar se desvalorizou perante o real em 25% no mesmo ano, qual foi o ganho real em dólares desse americano esperto?

150

38Taxas de Juro - Efetivas e Nominais

No regime de juro simples, vimos que taxas proporcionais e equivalentes significam a mesma coisa, pois produzem aos mesmos montantes. O motivo desse fato é que o juro simples progride, para cada taxa, linearmente no tempo. Conclui-se, então, que a homogeneização da unidade na taxa e no tempo é realizada de forma direta e simples.

No Regime de Juro Composto a situação se difere sensivelmente. Pois o montante composto progride, para cada taxa fixa, de forma exponencial no tempo.

Para contornar esta questão, em Matemática Financeira e nos negócios financeiros, quando as unidades no tempo e na taxa não estão homogeneizadas, aparecem duas características de taxas de juro: efetiva e nominal.

Exemplo 38.1

Num cálculo particular do montante composto, com taxa efetiva composta de 0 5, % . .i a m= e tempo de 1 ano , procedemos:

( )121 0 005 1 0616778M C C, ,= × + ≈ × .

Nesse cálculo subentende-se que a taxa e a capitalização são mensais. Ou seja, o juro de um mês incorpora-se ao capital do mês como base para o cálculo do juro do mês seguinte. Se isso não estiver explícito no contrato, poderá causar confusão jurídica em uma operação financeira concreta.

É comum no mundo dos negócios e contratos aparecer expressões em relação à taxa como:

“Taxa de juro de 12% a.a. , capitalizada mensalmente”; ou,

151


“Taxa de juro de 3% a.m. , capitalizada diariamente”.

Frases como essas causam ambigüidades se não houver um predicativo

para as diversas taxas compostas de juros. É o que veremos no parágrafo

seguinte.

• Taxa Efetiva de Juro Composto

Definimos como taxa efetiva de juro, no regime composto, quando a

unidade referida na taxa, coincide com a unidade de tempo em que se realiza a

capitalização.

Por exemplo: “ 3%i a.m.= capitalizada mensalmente” é uma taxa efetiva.

• Taxa Nominal de Juro Composto

Definimos como taxa nominal de juro no regime composto quando,

diferentemente da taxa efetiva, a unidade do tempo referida na taxa não coincide

com a unidade de tempo em que se realiza a capitalização.

Por exemplo: “ 3%i a.a.= capitalizada mensalmente” é uma taxa nominal.

Por ser de uso extenso nos negócios financeiros no Brasil, são estabelecidas

algumas convenções aceitas na prática.

Convenção 1

→Quando uma taxa de juro composto não é seguida do período de capitalização, subtende-se uma taxa efetiva.

→Quando se escreve uma taxa nominal de juro, sempre deve ser explicitada a frequência da capitalização.

Por exemplo, quando se escreve uma taxa de juro composto, por “ 5% a.m.”,

subtende-se que se trata de uma taxa efetiva e nesse caso a capitalização é

necessariamente mensal.

Uma frase do tipo “taxa nominal de 5% a.m.”, não tem sentido.


152

Convenção 2

Dada uma taxa nominal ki , onde k é o número de períodos de

capitalizações, então a taxa efetiva i associada à taxa nominal dada é

por convenção: kiik

= .

Exemplo 38.2

Considerando uma taxa nominal “ 36% . .ki a a= capitalizada mensalmente”,

então 12 36 312 12

% . . % . .ii a m a m = = =

é uma taxa efetiva, associada à taxa

anual nominal dada. O motivo do grifo anterior é que, para cada número k , temos

uma taxa efetiva associada à mesma taxa nominal considerada.

Em síntese, uma taxa efetiva numa unidade de tempo, pode ser nominal

quando definidas novas subunidades de capitalizações.

∗ Como exercício, reflita sobre esta questão!

Exemplo 38.3

Considerando uma taxa nominal 36%ki a.a.= , com capitalização mensal,

podemos determinar a taxa efetiva anual obtida desta taxa efetiva mensal.

Com efeito, 12 312

%mii a.m.= = é a taxa efetiva mensal que, capitalizada

por 12 meses , fornece uma taxa efetiva anual de:

( )121 0 03 1 0 4258 42 58, , , % . .ai a a= + − ≈ = .

Esse exemplo mostra uma operação financeira muito comum em contratos

bancários em que a taxa nominal 36% . .ki a a= , com capitalização mensal,

conduz a uma taxa efetiva anual, sensivelmente maior, de 42 58, % . .ai a a= .

Se a capitalização for diária, com essa mesma taxa nominal, a taxa efetiva

anual é maior ainda:

153


0 36 0 1360, % , % . .di ad a d = = ⇒

( ) ( )360 3601 1 0 001 1 0 4331 43 31, , , % . .a di i a a= + = + − ≈ = .

154

39Equivalência entre Taxas de Juro

No regime de capitalização simples, as taxas de juro 36% . .ki a a= e 3% . .i a m= , como já mostrado, produzem no mesmo prazo o mesmo montante

para capitais iniciais iguais.Por definição, em qualquer regime de capitalização, duas ou mais taxas

efetivas de juros são ditas equivalentes, se aplicadas a capitais iguais e por tempos iguais, produzem montantes iguais. Não há necessidade das taxas referirem-se ao mesmo período de capitalização.

No regime de capitalização composto, as taxas aludidas anteriormente 36% . .ki a a= e 3% . .i a m= , não são equivalentes como mostrou o Exemplo

(38.3).

Exemplo 39.1

As taxas efetivas de juro composto, mensal de 1% . . a m e trimestral de 3 0301, % . . a t , são equivalentes:

( ) ( ) ( )1

3 31 0 030301 1 0 030301 1 0 01nn n, , ,

+ = + = +

,

para todo natural n = número de meses do prazo. Portanto, teremos o mesmo montante para capitais iniciais iguais.

Relações entre taxas equivalentes usuais.

As taxas efetivas de juro composto, mais usuais em operações financeiras no Brasil, são:

155


d

m

t

q

s

a

i capitalização diáriai capitalização mensali capitalização trimestrali capitalização quadrimetral

i capitalização semestrali capitalização anual

→ → → → → → .

Como consequência imediata da definição, essas taxas efetivas são

equivalentes se e somente se, satisfazem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3360 12 4 2 11 1 1 1 1 1d m t q s ai i i i i i+ = + = + = + = + = + .

Observe nestas equações que, dada uma taxa efetiva com um período de

capitalização, é sempre possível achar outra equivalente, com outro período

conveniente de capitalização.

Exemplo 39.2

Em um contrato bancário, se for escrito uma taxa efetiva de

12%ai a.a.= , então a taxa efetiva mensal equivalente é dada por:

( ) ( )1121 1 0 12mi ,+ = + ⇒ 121 1 12mi ,+ = ⇒ 0 9488793, % . .mi a m≈ .

O sinal ≈ designa “aproximadamente”, sendo a aproximação matemática

calculada conforme a exigência de cada situação.

Esclarecimento: a taxa 0 948879, % . .mi a m= capitalizada mensalmente

totaliza ao final de um ano 12%ai a.a.= . Obviamente que essas duas taxas não

são proporcionais, mas são equivalentes.

∗ Como exercício, verifique que uma aplicação de dois ou mais anos nas

mesmas condições, produzem montantes iguais quando calculados por essas duas

taxas equivalentes.


156

Exemplo 39.3

A taxa efetiva mensal relativa à taxa nominal 12%ki a.a.= capitalizada

mensalmente é 12 112

% . . %mi a m a.m. = =

. Por convenção, temos então uma

taxa efetiva anual de:

( )121 0 01 1 12 68825, , % . .ai a a= + − ≈ .

Essa última taxa é sensivelmente superior à taxa nominal dada e, por este motivo, frequentemente a taxa nominal é chamada de aparente ou fictícia.

157

40Relação entre Taxa de Juro Simples e

Composto

Em todas as instâncias do poder judiciário se discutem interminavelmente a questão da proibição ou não, pela legislação brasileira, do anatocismo em operações financeiras.

O regime de juro composto é mais adequado que o regime de juro simples por propiciar transportes de capitais de forma consistente. Assim, vamos mostrar que, mais importante que a questão do “juro sobre juro”, a usura ocorre em virtude da magnitude da taxa de juro e não em função do regime de capitalização. Especialmente no Brasil, as sanhas por taxas de juros elevadas tornam os montantes astronômicos quando calculados pela capitalização composta. A usura é uma questão cultural no Brasil!

Sempre é possível atingir o mesmo montante, a partir do mesmo capital inicial e tempo. Quando isso ocorre, dizemos que as taxas de juros são equivalentes.

Podemos obter uma relação entre duas taxas equivalentes, sendo uma taxa simples e a outra composta.

Para isto, sejam si uma taxa efetiva de juro simples, ci uma taxa efetiva de juro composto e n o número de períodos referidos nas duas taxas dadas. Para um mesmo capital inicial C , temos os seguintes montante simples e montante composto:

( )( )1

1

s sn

c c

M C i n

M C i

= × + ×

= × +

Para que duas taxas sejam equivalentes, devemos ter:


158

( ) ( )1 11 1

+ −= ⇒ + × = + ⇒ =

nn c

s c s c si

M M i n i in

.

Esta equação nos diz que, para cada tempo n e uma taxa composta ci , temos

uma taxa simples si que produz o mesmo montante nesse tempo. Uma conclusão

importante comprova que o regime de capitalização é “irrelevante” na obtenção

de montantes quando a taxa de juro está indefinida.

Exemplo 40.1

Considerando a taxa composta 1% . .ci a m= , um prazo de 12n meses= ,

então temos uma taxa simples mensal equivalente:

( )121 0 01 10 010568752 1 0568752

12,

, , % . .si a m+ −

= ≈ = .

Se as taxas são fixadas ao ano, então para 12n meses< temos c sM M< e

para 12n meses> se obtém c sM M> . Este fato é mostrado com nitidez pelo

gráfico seguinte, semelhante à figura do capítulo (36):



158

Exemplo – 40.1.

Considerando a taxa composta 1% . .ci a m , um prazo de 12n meses , então temos

uma taxa simples mensal equivalente:

121 0 01 10 010568752 1 0568752

12,

, , % . .si a m

.

Se as taxas são fixadas ao ano, então para 12n meses temos c sM M e para

12n meses se obtém c sM M . Este fato é mostrado com nitidez pelo gráfico seguinte,

semelhante à figura do capítulo (36):

n = 12 tem p o

M on tan te

sM

cM

Exemplo – 40.2.

Vamos demonstrar novamente que o problema do valor do montante não é questão do

regime de capitalização e sim a magnitude da taxa.

Considere uma taxa simples mensal de 10% . .si a m durante um prazo de

12n meses , temos uma taxa composta equivalente:

12121 1

10 1 2 2 6 791140212

% , , % . .cc c

ii i a m

.

Em geral, dados uma taxa simples si e um tempo n , podemos obter a taxa composta

equivalente:

1 11 1

ncn

c s si

i i n in

.

Ms

Mc

Exemplo 40.2

Vamos demonstrar novamente que o problema do valor do montante não é

questão do regime de capitalização e sim a magnitude da taxa.

Considere uma taxa simples mensal de 10% . .si a m= durante um prazo de

12n meses= , temos uma taxa composta equivalente:

159


( )12121 1

10 1 2 2 6 791140212

% , , % . .cc c

ii i a m

+ −= ⇒ + = ⇒ ≈ .

Em geral, dados uma taxa simples si e um tempo n , podemos obter a taxa composta equivalente:

( ) ( )1 11 1

ncn

c s si

i i n in

+ −= + × − ⇔ = .

160

41Desconto Composto

Semelhantemente ao capítulo sobre o Desconto Simples é muito comum nos negócios financeiros o desconto composto, quando é necessário descontar um título de crédito antes de seu vencimento. Como o desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título de crédito, então a equação geral é dada por:

d N A= − .

O que vai diferenciar, nesta equação, desconto composto racional ou comercial é a forma de calcular o valor atual A . O número d é chamado de valor de desconto do título e o valor A chamado de valor atual ou descontado do título.

O desconto composto pode ser classificado em desconto racional composto e desconto comercial composto.

• Desconto Racional Composto

Definimos o desconto racional composto como sendo o juro pago pelo desconto de um título antes da data de seu vencimento, onde o valor atual é o empréstimo. Assim, podemos calcular o desconto adaptando a fórmula do montante composto:

(41.1) ( ) ( )1 1n nN A i A N i −= × + ⇔ = × +

Portanto, o desconto racional composto é dado por:

( )1 nd N A d N N i −= − ⇒ = − × + ⇒ ( )1 1 nd N i − = × − + , onde

161


d Desconto racional compostoi Taxa de desconto racional compostoA Valor atual racional compostoN Valor nominal do títulon Número de períodos de antecipação

→ → → →

→

Frequentemente, o valor nominal N é chamado de valor futuro do título e A de valor presente do título. A taxa i é chamada de taxa de desconto racional

composto e n o prazo de antecipação representando o número de períodos referidos na taxa.

Como no cálculo do montante composto, a taxa e o tempo devem referir-se à mesma unidade de tempo.

Ressaltamos que a equação (41.1) nos diz que o valor nominal N é o montante gerado pelo capital inicial A . Como no fluxo do montante composto, temos uma visualização dos transportes no tempo do valor nominal e do valor atual de um título, os quais são referidos como “empurra” e “puxa” os capitais pelos fatores:

( )1 ni+ e ( )1 ni −+ respectivamente.



160

Como no cálculo do montante composto, a taxa e o tempo devem referir-se à mesma

unidade de tempo.

Ressaltamos que a equação (41.1) nos diz que o valor nominal N é o montante gerado

pelo capital inicial A . Como no fluxo do montante composto, temos uma visualização dos

transportes no tempo do valor nominal e do valor atual de um título, os quais são referidos

como “empurra” e “puxa” os capitais pelos fatores:

1 ni e 1 ni respectivamente.

0 1 2 n tempo

N

A

1 ni

1 ni

Exemplo – 41.2.

Um título de crédito com valor de face de 10 000 00$ . ,R será resgatado 5n meses

antes do vencimento com taxa de desconto racional composto de 3% . .i a m . Determine o

valor do desconto e o valor descontado.

Para resolver, devemos lembrar que o valor descontado é o atual racional e o valor de

face é o nominal. Logo:

51 10 000 1 0 03nN A i A. , 510 000 8 626 091 03

A . . ,,

.

Como d N A , então 8 626 09$ . ,A R e 1 373 91$ . ,d R .

Para comparar, veja o que ocorre se o desconto for o racional simples, com os mesmos

dados do exemplo:

10 000 8 695 651 1 0 03 5

. $ . ,,

NA A A R i n

.

Exemplo 41.2

Um título de crédito com valor de face de 10 000 00$ . ,R será resgatado 5n meses= antes do vencimento com taxa de desconto racional composto de 3% . .i a m= . Determine o valor do desconto e o valor descontado.


162

Para resolver, devemos lembrar que o valor descontado é o atual racional e o valor de face é o nominal. Logo:

( ) ( )51 10 000 1 0 03nN A i A. ,= × + ⇒ = × + ⇒( )510 000 8 626 091 03

A . . ,,

= ≈ .

Como d N A= − , então 8 626 09$ . ,A R = e 1 373 91$ . ,d R = .Para comparar, veja o que ocorre se o desconto for o racional simples, com os

mesmos dados do exemplo:

10 000 8 695 651 1 0 03 5

. $ . ,,

NA A A R i n

= ⇒ = ⇒ =+ × + ×

.

Exemplo 41.3

Um agiota compra cheque de 1 000 00R $ . , por 800 00$ ,R , com 69 dias antes do vencimento. Qual é a taxa racional composta mensal que o agiota está cobrando?

Como 69 2 3 dias meses,= , então:

( )1

2 32 3 101 000 800 1 1 10 198

,,. , % . .i i i a m = × + ⇒ + = ⇒ ≈

.

Esse mesmo valor também poderia ser obtido calculando a taxa diária e a capitalizando por 30 dias.

• Desconto Comercial Composto

Este método de desconto é pouco utilizado no sistema financeiro do Brasil. O interesse aqui é comparar, por meio de exemplos, os valores atuais: racional simples, comercial simples, racional composto e comercial composto.

No presente caso, representamos a equação geral por:

c cd N A= − .

O número cd é chamado de desconto comercial composto, cA chamado de valor atual ou descontado e N o valor nominal, onde o valor cA é obtido por descontos sucessivos sobre N .

163


Embora já tenha desenvolvido o significado de descontos sucessivos, vamos explicitar novamente quando é dada uma taxa de desconto ci . Pelo princípio da indução finita, podemos encadear os descontos sucessivos como segue:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

12

2 1 1 1 2

1 1 1

1

1 1

1 1

c c

c c c

nn n n c n c n c

A N N i N i

A A A i A i A N i

A A A i A i A N i− − −

= − × = × − = − × = × − ⇒ = × −

= − × = × − ⇒ = × −

Para simplificar notações, consideramos como c nA A= o valor atual comercial composto após n períodos e obtemos então:

( )1 nc c c cd N A d N N i= − ⇒ = − × − ⇒ ( )1 1 n

c cd N i = × − − .

Resumindo, obtemos três equações, para melhor visualizar as variáveis envolvidas no desconto comercial composto:

( )1 nc cA N i= × − ;

( )1c

nc

AN

i=

− e ( )1 1 n

c cd N i = × − − onde,

c

c

c

d Desconto comercial compostoi Taxa de desconto comercial compostoA Valor atual comercial compostoN Valor nominal do títulon Número de períodos de antecipação

→ → → → →

Exemplo 41.4

Um título de crédito com valor de face de 10 000 00$ . ,R será resgatado 5n meses= antes do vencimento, com taxa de desconto comercial composto de 3% . .i a m= . Determine o valor do desconto comercial composto e o respectivo

valor descontado.Para resolver, devemos estar cientes de que o valor descontado é o atual

comercial composto e o valor de face é o nominal do título, assim:


164

( ) ( )551 10 000 1 0 03c c cA N i A . ,= × − ⇒ = × − ⇒ 8 587 34cA . ,≈ .

Como c cd N A= − , então 8 587 34$ . ,cA R = e 1 412 66$ . ,cd R = .Para comparar, considere os mesmos dados do exemplo para o desconto

comercial simples:

( ) ( )1 10 000 1 0 03 5 8 500 00. , $ . ,s c s sA N i n A A R = × − × ⇒ = × − × ⇒ = .

Observe que este é um valor atual menor que o calculado pelo regime comercial composto do presente exemplo.

Observe também que nos exemplos – (41.2) e (41.4) tem-se:

8 626 09$ . ,A R ≈ e 8 587 34$ . ,cA R ≈ cA A⇒ < .

Para facilitar uma tomada de decisão, podemos comparar as duas taxas de desconto – racional composta e comercial composta:

Proposição 41.5

Se os descontos racional e comercial compostos são iguais com taxas i e ci respectivamente, então independentemente do número de período de antecipação n temos:

1c

c

ii

i=

−.

Com efeito, considere:

( )1 nc cA N i= × − → O valor atual comercial composto e

( )1 nA N i −= × + → O valor atual racional composto.

Os descontos são iguais se, e somente se, cA A= . Portanto, temos:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1n nn nc c cA A N i N i i i− −= ⇒ × − = × + ⇒ − = + ⇒

( )( )

1 11 111

nn

cc

i iii

+ = ⇒ + = ⇒−− 1

c

c

ii

i=

−.

165


É importante recordar que essa equação é muito diferente da relação entre

taxas de descontos simples. Pois, no caso da relação das taxas no desconto simples

tínhamos: 1

1 ci

i n=

− ×, o que diz que a taxa efetiva i depende de ci e do tempo

n .

Exercícios

(Resolver os exercícios utilizando apenas os conceitos desenvolvidos neste capítulo).

41 1E . – Uma pessoa, por alguma razão, adiantou o pagamento de uma prestação em 5 meses. Se o financiamento foi feito com taxa de juro racional composta de 3% . . a m , qual o valor percentual que pagou pelo adiantamento? Sugestão: utilize o desconto racional composto.

166

42Equivalência entre Capitais - Regime

Composto

Dois ou mais capitais distribuídos no tempo são equivalentes se suas imagens, transportadas para uma mesma data focal por uma mesma taxa, forem iguais.

O principal objetivo neste capítulo é mostrar que a equivalência entre capitais no regime composto é consistente, no sentido de que a equivalência não depende da data focal fixada. Em outras palavras, mostraremos que, se os capitais são equivalentes em uma data, então serão equivalentes em qualquer outra data.

Todos os conceitos e comentários que introduzimos no capítulo 30 continuam válidos aqui, desde que não se refiram ao regime de capitalização.

Estudaremos apenas o critério racional, pois o desconto comercial composto é pouco utilizado nas operações financeiras no Brasil.

O critério comercial ficará como exercício.

• Transporte Racional Composto – data focal 0

Pela equação (41.1) temos:

( )1 nrA N i −= × + e ( )1 n

rN A i= × +

O valor atual racional composto rA é dado em termos do valor nominal N e vice-versa. Nesta situação, temos que o capital rA na data 0 e o capital N na data n e podemos considerar:

( ) ( )1 nr rf A A i N= × + =

167




165

42. Equivalência entre Capitais - Regime Composto.

Dois ou mais capitais distribuídos no tempo são equivalentes se suas imagens,

transportadas para uma mesma data focal por uma mesma taxa, forem iguais.

O principal objetivo neste capítulo é mostrar que a equivalência entre capitais no

regime composto é consistente, no sentido de que a equivalência não depende da data focal

fixada. Em outras palavras, mostraremos que, se os capitais são equivalentes em uma data,

então serão equivalentes em qualquer outra data.

Todos os conceitos e comentários que introduzimos no capítulo 30 continuam válidos

aqui, desde que não se refiram ao regime de capitalização.

Estudaremos apenas o critério racional, pois o desconto comercial composto é pouco

utilizado nas operações financeiras no Brasil.

O critério comercial ficará como exercício.

Transporte Racional Composto – data focal 0 .

Pela equação (41.1) temos:

1 nrA N i e 1 n

rN A i

O valor atual racional composto rA é dado em termos do valor nominal N e vice-

versa. Nesta situação, temos que o capital rA na data 0 e o capital N na data n e podemos

considerar:

1 nr rf A A i N

0 n

N

Ar

Esta função particular f recebe o nome de transporte racional composto. Pois transporta o capital rA para o capital N e a operação inversa transporta N para rA :

( ) ( )f N N i A= × + = .

• Transporte Racional Composto - data focal t

Considere uma data focal qualquer t e capitais mC e nC localizados em datas m e n respectivamente.

De forma semelhante, transportar os dois capitais para a data focal t , pelo mesmo critério racional composto e pela mesma taxa de juro composto i , é considerar as imagens transportadas:

( )1 t mmA C i −= × + e ( )1 t n

nB C i −= × + .

Desse modo, dizemos que os capitais mC e nC são equivalentes na data focal t , com taxa composta i , se ocorrer A B= como capitais localizados na data focal t .



166

Esta função particular f recebe o nome de transporte racional composto. Pois

transporta o capital rA para o capital N e a operação inversa transporta N para rA :

1 1 nrf N N i A .

Transporte Racional Composto - data focal t .

Considere uma data focal qualquer t e capitais mC e nC localizados em datas m e n

respectivamente.

De forma semelhante, transportar os dois capitais para a data focal t , pelo mesmo

critério racional composto e pela mesma taxa de juro composto i , é considerar as imagens

transportadas:

1 t mmA C i e 1 t n

nB C i .

Desse modo, dizemos que os capitais mC e nC são equivalentes na data focal t , com

taxa composta i , se ocorrer A B como capitais localizados na data focal t .

0 1 2 t m n tem po

C m

C n

A B

Este caso de transporte racional composto independe da posição relativa da data t . Se,

por exemplo, a data estiver antes da data m , como na figura anterior, então o expoente

0t m o que confere com o “puxar” o capital mC . A mesma conclusão se tem quando a

data t está em qualquer posição relativa, em relação às datas m e n .

Este caso, de transporte racional composto, independe da posição relativa da data t . Se, por exemplo, a data estiver antes da data m , como na figura anterior,


168

então o expoente 0t m− < o que confere com o “puxar” o capital mC . A mesma conclusão se tem quando a data t está em qualquer posição relativa, em relação às datas m e n .

169

43Consistência da Equivalência entre Capitais

- Regime Composto

O resultado mais importante neste capítulo é que o transporte racional composto não depende da data focal escolhida. Esse fato se traduz no seguinte teorema.

Teorema 43.1 – Independência da data focal

Dados dois capitais mC e nC , localizados nas datas m e n respectivamente, uma taxa de juro composto i e duas datas com 0t fixa e t qualquer. Se os dois capitais dados são equivalentes por transporte racional composto na data 0t , então serão equivalentes pelo mesmo critério na data t .

Demonstração

Como mC e nC são equivalentes na data 0t , então:

( ) ( )0 01 1t m t nm nC i C i− −× + = × + .

Multiplicando ambos os lados por ( ) 01 t ti −+ , temos:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 01 1 1 1t m t t t n t tm nC i i C i i− − − −× + × + = × + × + .

Com a mesma base ( )1 i+ , podemos simplificar o expoente 0t e assim temos

( ) ( )1 1t m t nm nC i C i− −× + = × + .


170

Esta última igualdade nos diz que mC e nC são equivalentes na data t , como queríamos demonstrar.



167

43. Consistência da Equivalência entre Capitais - Regime Composto.

O resultado mais importante neste capítulo é que o transporte racional composto não

depende da data focal escolhida. Esse fato se traduz no seguinte teorema.

Teorema – 43.1 – Independência da data focal.

Dados dois capitais mC e nC , localizados nas datas m e n respectivamente, uma taxa

de juro composto i e duas datas com 0t fixa e t qualquer. Se os dois capitais dados são

equivalentes por transporte racional composto na data 0t , então serão equivalentes pelo

mesmo critério na data t .

Demonstração.

Como mC e nC são equivalentes na data 0t , então:

0 01 1t m t nm nC i C i .

Multiplicando ambos os lados por 01 t ti , temos:

0 0 0 01 1 1 1t m t t t n t tm nC i i C i i .

Com a mesma base 1 i , podemos simplificar o expoente 0t e assim temos

1 1t m t nm nC i C i .

Esta última igualdade nos diz que mC e nC são equivalentes na data t , como

queríamos demonstrar.

t0 t m n tempo

Cm

Cn

AB

Da figura anterior, podemos fazer uma observação interessante sobre um aspecto

geométrico da demonstração. O realizado: “puxar” os dois capitais para a data 0t e depois

Da figura anterior, podemos fazer uma observação interessante sobre um aspecto geométrico da demonstração. O realizado: “puxar” os dois capitais para a data 0t e depois “empurrar” o resultado para a data t . O procedimento oferece o mesmo resultado que “puxar” os capitais diretamente para data t .

Em síntese, ficou demonstrada a consistência do sistema de capitalização composta, pelo método do transporte racional composto. O mesmo resultado é válido quando o transporte de capitais for realizado pelo desconto comercial composto.

∗ Este assunto não será apresentado aqui pela sua pouca utilização, mas deixamos como exercício.

Exemplo 43.2 - Transporte Racional Composto



168

“empurrar” o resultado para a data t . O procedimento oferece o mesmo resultado que “puxar”

os capitais diretamente para data t .

Em síntese, ficou demonstrada a consistência do sistema de capitalização composta,

pelo método do transporte racional composto. O mesmo resultado é válido quando o

transporte de capitais for realizado pelo desconto comercial composto.

Este assunto não será apresentado aqui pela sua pouca utilização, mas deixamos

como exercício.

Exemplo 43.2 – Transporte Racional Composto.

0 1 2 3 4 5 6

2 4 000C $ .

6 5 000C $ .

Os capitais 2 4 000$ .C R e 6 5 000$ .C R são equivalentes na data focal 2 , pelo

transporte racional composto com taxa de 5 7371263, % . .i a m , pois:

04

5 000 4 000 1 057371263 4 000 001 057371263

. . , $ . ,,

R

O mesmo vale para a data focal 4 , pois:

2

25 000 4 000 1 057371263 4 472 14

1 057371263

. . , $ . ,,

R

Como exercício de fixação, constate que, com a taxa composta dada, os capitais são

equivalentes em qualquer outra data.

Os capitais 2 4 000$ .C R = e 6 5 000$ .C R = são equivalentes na data focal 2 , pelo transporte racional composto com taxa de 5 7371263, % . .i a m= , pois:

( )( )04

5 000 4 000 1 057371263 4 000 001 057371263

. . , $ . ,,

R = × =

171


O mesmo vale para a data focal 4 , pois:

( )( )22

5 000 4 000 1 057371263 4 472 141 057371263

. . , $ . ,,

R = × =

∗ Como exercício de fixação, constate que, com a taxa composta dada, os capitais são equivalentes em qualquer outra data.

172

44Equivalência entre Conjuntos de Capitais

Utilizando os conceitos de equivalência entre dois ou mais capitais, podemos definir agora a noção de equivalência entre dois ou mais conjuntos de capitais, pelo sistema de capitalização composta.

Dizemos que dois ou mais conjuntos de capitais são equivalentes, se as somas dos elementos transportados de cada conjunto, para uma mesma data focal, com mesma taxa e um mesmo critério de transporte composto, são iguais.

A confirmação da equivalência em cada situação pode ser trabalhosa, pois devemos “puxar” ou “empurrar” os capitais de cada conjunto, para uma mesma data focal utilizando o mesmo critério.

Essa noção de equivalência entre conjuntos capitais evidencia o que largamente já comentamos: não tem sentido somar nominalmente, capitais localizados em datas distintas.

Mais precisamente, consideremos então, como na figura a seguir, dois conjuntos de capitais:

1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , . e 1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , ..



169

44. Equivalência entre Conjuntos de Capitais.

Utilizando os conceitos de equivalência entre dois ou mais capitais, podemos definir

agora a noção de equivalência entre dois ou mais conjuntos de capitais, pelo sistema de

capitalização composta.


elementos transportados de cada conjunto, para uma mesma data focal, com mesma taxa e um

mesmo critério de transporte composto, são iguais.

A confirmação da equivalência em cada situação pode ser trabalhosa, pois devemos

“puxar” ou “empurrar” os capitais de cada conjunto, para uma mesma data focal utilizando o

mesmo critério.

Essa noção de equivalência entre conjuntos capitais evidencia o que largamente já

comentamos: não tem sentido somar nominalmente capitais localizados em datas distintas.

Mais precisamente, consideremos então, como na figura a seguir, dois conjuntos de

capitais:

1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm

Denotamos por r kt C e r lt B , o transporte para a data focal 0 , com o mesmo critério de

transporte composto, de cada elemento kC e lB respectivamente. Assim, os dois

conjuntos são equivalentes na data focal 0 se:

1 1r r n r r mt C t C t B t B

173


Denotamos por ( )r kt C e ( )r lt B , o transporte para a data focal 0 , com o mesmo critério de transporte composto, de cada elemento kC e lB e kC e lB respectivamente. Assim, os dois conjuntos são equivalentes na data focal 0 se:

( ) ( ) ( ) ( )1 1r r n r r mt C t C t B t B+ + = + + ⇔

1 11 11 1 1 1n m

n mC i C i B i B i .

Exemplo 44.1

Uma revendedora de automóveis oferece um carro à vista por 25 000 00$ . ,R ou em 5 prestações mensais fixas de 5 000 00$ . ,R sem entrada. Se considerarmos uma taxa de juro racional composto de 2% . . a m e a data de compra como data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?



170

1 11 11 1 1 1n m


Exemplo 44.1.


prestações mensais fixas de 5 000 00$ . ,R sem entrada. Se considerarmos uma taxa de juro

racional composto de 2% . . a m e a data de compra como data focal, qual deveria ser o

verdadeiro preço à vista?

0 1 2 3 4 5 meses

P1 P2 P3 P4 P5

Solução.

Estamos considerando prestações com valores nominais fixos, no final de cada mês:

1 2 3 4 5 5 000 00$ . ,P P P P P R .

Em termos de conjuntos de capitais, vamos comparar na data focal 0 os conjuntos e

acharemos qual deve ser o elemento de .

à vistaP e 1 2 3 4 5P P P P P, , , , .

Os valores nominais das prestações são fixas, mas os valores na data focal vão

“diminuindo”, pois os capitais estão sob a influência de uma taxa de juro de 2% . . a m .

Somando as prestações transportadas, com a taxa racional composta de 2% . . a m para

data focal 0 , tem-se:

1 2 3 4 51 2 3 4 51 02 1 02 1 02 1 02 1 02P P P P P, , , , ,

1 2 3 4 55000 1 02 1 02 1 02 1 02 1 02. , , , , ,

5000 4 713460 23567 30. , $ . ,R

Portanto, para ser justo o negócio o preço à vista deveria ser:

23 567 30$ . ,à vistaP R .

Solução

Estamos considerando prestações com valores nominais fixos, no final de cada mês:

1 2 3 4 5 5 000 00$ . ,P P P P P R = = = = = .

Em termos de conjuntos de capitais, vamos comparar na data focal 0 os conjuntos e acharemos qual deve ser o elemento de kC e lB .

à vistaP e 1 2 3 4 5P P P P P, , , , . e à vistaP e 1 2 3 4 5P P P P P, , , , ..

Os valores nominais das prestações são fixas, mas os valores na data focal vão “diminuindo”, pois os capitais estão sob a influência de uma taxa de juro de 2% . . a m .

Somando as prestações transportadas, com a taxa racional composta de 2% . . a m para data focal 0 , tem-se:


174

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 51 2 3 4 51 02 1 02 1 02 1 02 1 02P P P P P, , , , ,− − − − −× + × + × + × + × =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 55 000 1 02 1 02 1 02 1 02 1 02. , , , , ,− − − − − × + + + + =

( )5 000 4 713460 23 567 30. , $ . ,R × =

Portanto, para ser justo o negócio o preço à vista deveria ser:

23 567 30$ . ,à vistaP R = .

Pois, os dois conjuntos de capitais devem ser equivalentes na data 0 . Compare este valor à vistaP com os resultados do Exemplo (31.1).

• Consistência no Regime de Capitalização composta

Nosso principal resultado aqui é mostrar que a equivalência de conjuntos de capitais no regime composto é consistente.

Todos os conceitos introduzidos no capítulo de equivalência entre conjuntos de capitais, por transporte simples, valem também aqui. O que diferencia é a forma de realizar o transporte de cada elemento dos conjuntos a comparar.

Teorema 44.1 – Independência da data focal

Dados dois conjuntos de capitais:

1 nC C, , e 1 mB B, , e 1 nC C, , e 1 mB B, , ,

onde os elementos dos conjuntos estão localizados nos índices indicados, uma taxa de juro composto i e duas datas com 0t fixa e t quaisquer. Se os dois conjuntos de capitais dados são equivalentes por transporte racional composto na data 0t , então os conjuntos de capitais serão equivalentes por transporte racional composto, também na data t .

Demonstração

Como mC e nC são equivalentes na data 0 , então:

175


1 11 11 1 1 1n m

n mC i C i B i B i e

Multiplicando ambos os lados da equação anterior pelo fator 1 ti teremos:

1 11 11 1 1 1t t n t t m


e

Multiplicando ambos os lados da equação anterior pelo fator ( )1 ti+ teremos:

1 11 11 1 1 1n m

n mC i C i B i B i e

Multiplicando ambos os lados da equação anterior pelo fator 1 ti teremos:

1 11 11 1 1 1t t n t t m

n mC i C i B i B i ..

Esta última equação nos diz que mC e nC são equivalentes na data t , o que demonstra que a equivalência de conjuntos de capitais não depende da data focal escolhida.

∗ Fazer as contas para calcular o valor de todas as prestações na data 3 do Exemplo 44.1.

176

45Depreciação Sucessiva ou Composta

Por depreciação se entende como o valor de perda de um bem físico, tangível

ou corpóreo, em decorrência de desgastes, perda de utilidade pelo uso, ação da

natureza e obsolescência.

Contabilmente, a efetivação da depreciação é importante por influir

sensivelmente nos cálculos de imposto de renda da pessoa jurídica e nos

fechamentos dos balanços.

O método adotado pela Receita Federal é o linear, em função da vida útil do

bem. Dentre tantas, foram fixadas taxas percentuais máximas, para a depreciação

por categoria:

Bens Tangíveis Percentagem anual Vida útil

Edifícios 4% 25 anos

Veículos 20% 05 anos

Móveis e utensílios 10% 10 anos

Tratores 25% 04 anos

A depreciação anual acima é dada simplesmente calculando:

Depreciação anual x do Valor de aquisição%= ,

onde o x% é a porcentagem máxima definida pela Receita Federal para cada

categoria de bens. Existe liberdade restritiva para escolher taxas menores ou

maiores de depreciação, sendo que taxas maiores somente são permitidas com

laudos periciais.

177


Uma proposta considerada conveniente na prática é realizar a depreciação por descontos sucessivos sobre o valor de aquisição, com uma taxa adequada i para cada categoria de bens.

( )1 nr aV V i= × − , com

r

a

V valor residual em cada período nV valor de aquisição do bem

i taxa de depreciação de um período em relação ao anterior n número de períodos de tempo de uso do bem.

= =

= =

r

a

V valor residual em cada período nV valor de aquisição do bem

i taxa de depreciação de um período em relação ao anterior n número de períodos de tempo de uso do bem.

= =

= =

O fator ( )1 ni− é chamado de fator de depreciação total em n períodos. A taxa i de depreciação por período pode ser obtida por uma média geométrica de taxas periódicas, determinadas por dados estatísticos para cada categoria.

Este método é mais adequado?

Consideramos que sim, pois o bem vai depreciando proporcionalmente ao seu valor em cada ano, tornando assim mais fácil avaliar a depreciação e fazer análise para tomada de decisão sobre a manutenção ou substituição.

Uma segunda vantagem, o valor residual será em cada período não nulo, embora decrescente, estando assim mais próximo da realidade de mercado. É possível imaginar um prédio ter valor residual nulo quando completar 20 anos de uso?

Por exemplo, um veículo tem taxa de depreciação anual não uniforme no tempo, mas é possível ser calculada pela média geométrica, a partir de fatores de depreciação anuais distintos.

Exemplo 45.1

Considere um veículo com valor de aquisição aV e taxa de depreciação anual composta de 11 4184, % . . a a , então o seu valor residual após 11 anos de uso será:

( ) ( )111 0 114184 0 2635r a aV V V, ,= × − ≈ × .


178

Esse último resultado diz que o valor residual, após 11 anos , rV é igual a 26 35, % do valor de aquisição aV . Pelo método linear da Receita Federal o valor residual seria nulo em cinco anos.

Exemplo 45.2

Para visualizar concretamente a depreciação de veículos, considere um modelo que se manteve estável nos últimos 10 anos , o Santana 2.0 (2p-4p), cotação divulgada pela FIPE – Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas da USP em 29-09-2005. Os valores da tabela, na coluna dois, se referem os preços médios de veículos.

Tabela de Cotação Santana – FIPE em 29-09-2005

Ano Valor A - % Depreciação B - % Depreciação

1995 12.062,00 69,40% 73,65%

1996 13.763,00 65,09% 69,94%

1997 14.975,00 62,02% 67,29%

1998 16.623,00 57,84% 63,69%

1999 19.464,00 50,63% 57,48%

2000 21.772,00 44,78% 52,44%

2001 23.452,00 40,51% 48,77%

2002 26.194,00 33,56% 42,77%

2003 28.964,00 26,53% 36,73%

2004 34.456,00 12,60% 24,74%

2005 39.424,00 00,00% 13,89%

Zero 45.781,00 -------- 00,00%

Legenda da 3ª e 4ª colunas:A - % Depreciação: em relação ao valor de 2005.B - % Depreciação: em relação ao valor do Novo.

179


Tabela de Cotação Santana – FIPE em 29-09-2005

Ano Valor C - % Depreciação D - % do Valor

1995 12.062,00 12,36% 26,35

1996 13.763,00 08,09% 30,06

1997 14.975,00 09,91% 32,71

1998 16.623,00 14,60% 36,31

1999 19.464,00 10,60% 45,52

2000 21.772,00 07,16% 47,56

2001 23.452,00 10,47% 51,23

2002 26.194,00 09,56% 57,22

2003 28.964,00 15,94% 63,27

2004 34.456,00 12,60% 75,26

2005 39.424,00 13,89% 86,11

Zero 45.781,00 00,00% 100,00

Legenda da 3ª e 4ª colunas:C – % Depreciação: anual a partir do valor do Zero.D – % do Valor: Porcentagem do valor do Zero.

Compare o resultado final com o exemplo anterior (45.1).

180

46Modelo Básico de Financiamento

Em operações financeiras e comerciais são ofertados aos consumidores

produtos com preço à vista ou para pagamento em parcelas periódicas. O número

e o período das parcelas são variáveis, dependendo do produto oferecido e créditos

disponíveis.

Amortizar uma dívida é extingui-la aos poucos ou em prestações. Este

vocábulo também significa abater parte de uma dívida, efetuando o pagamento

correspondente. Por exemplo, o Sr. João amortizou 30% do principal da dívida

com o Sr. Pedro.

Com essa definição, a equação geral do montante – simples ou composto –

pode ser usada para amortizar uma dívida em uma única parcela, no final do prazo

acordado.

Exemplo 46.1

O Sr. João emprestou 100 000 00$ . ,R para pagar em 6 meses , com taxa

mensal de juro de 3% . . a m . Qual é o valor que deverá desembolsar para quitar a

dívida e o juro no final do prazo?a) Pelo regime de capitalização simples sua dívida será:

( )100 000 1 0 03 6 118 000 00. , $ . ,M R = × + × =

b) Pelo regime de capitalização composta sua dívida será:

( )6100 000 1 0 03 119 405 23. , $ . ,M R = × + ≈ .

181


Este valor de M é o montante a ser pago no final do 6º mês, com juro exigível

juntamente com a dívida inicial.

O modelo a ser desenvolvido é aplicado para qualquer número de parcelas,

sendo que os financiamentos imobiliários oferecem os maiores prazos com até 30

anos.

Um conjunto 1 2 nP P P, , , contendo n parcelas distribuídas

uniformemente no tempo, pode ser classificado em uma das categorias:

∗Antecipadas Primeira prestação na data focal

∗Postecipadas Primeira prestação um período depois da data focal

∗Diferidas Primeira prestação com carência depois da data focal

As figuras adiante, em cada situação, ilustram prestações futuras transportadas

para a data focal 0 .

O modelo mais utilizado no mercado é o das prestações postecipadas, com

o valor a financiar F localizado na data focal 0 , data da operação de compra

ou financiamento e representa a dívida líquida nessa data. O valor da entrada na

operação não é considerado para o financiamento:

( ) ( )F Preço à vista Entrada= − .

É necessário que as prestações sejam distribuídas regularmente no tempo,

depois de escolhido o período de seus vencimentos – mensal, diário ou outros

– desde que compatível com a unidade referida na taxa. É necessário também

que uma vez iniciados, os pagamentos devem ocorrer no final de cada período,

sem interregnos. Nos casos de “carências” intermitentes ou interregnos entre

as prestações é necessário adaptar um modelo particular para cada situação em

análise.

No capítulo (32) desenvolvemos um método semelhante pelo critério do

transporte comercial simples, mas de pouca utilidade no comércio ou mercado

financeiro, por causa de sua inconsistência.


182

• Prestações Variáveis Postecipadas

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA & COMERCIAL –PROFESSOR NELSON MARTINS GARCIA

178

As figuras adiante, em cada situação, ilustram prestações futuras transportadas para a

data focal 0 .

O modelo mais utilizado no mercado é o das prestações postecipadas, com o valor a

financiar F localizado na data focal 0 , data da operação de compra ou financiamento e

representa a dívida líquida nessa data. O valor da entrada na operação não é considerado para

o financiamento:

F Preço à vista Entrada .

É necessário que as prestações sejam distribuídas regularmente no tempo, depois de

escolhido o período de seus vencimentos – mensal, diário ou outros – desde que compatível

com a unidade referida na taxa. É necessário também que uma vez iniciados, os pagamentos

devem ocorrer no final de cada período, sem interregnos. Nos casos de “carências”

intermitentes ou interregnos entre as prestações é necessário adaptar um modelo particular

para cada situação em análise.

No capítulo (32) desenvolvemos um método semelhante pelo critério do transporte

comercial simples, mas de pouca utilidade no comércio ou mercado financeiro, por causa de

sua inconsistência.

Prestações Variáveis Postecipadas.

Fluxo de Prestações Variáveis Postecipadas

0 1 2 n t e m p o

P 1 P 2 P n

F

O objetivo é explicitar uma relação entre um capital F localizado na data

focal 0 e as n prestações periódicas e postecipadas 1 2, , , nP P P , localizadas nas datas 1 2, , , n , de tal forma que a somas das prestações

transportadas para a data focal 0 quite ou amortize totalmente a dívida inicial.

Usando a linguagem de equivalência de conjuntos do capítulo (44), os dois conjuntos

F e 1 2 nP P P, , , são equivalentes na data focal 0 , quando:

(46.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n n

n nF P i P i P i P i .

, localizadas

nas datas 1 2, , , nP P P , localizadas nas datas 1 2, , , n , de tal forma que a somas das prestações




(46.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n n


, de tal forma que a soma das prestações transportadas para

a data focal 0 se iguale a dívida inicial.

Usando a linguagem de equivalência de conjuntos do capítulo (44), os dois

conjuntos

1 2, , , nP P P , localizadas nas datas 1 2, , , n , de tal forma que a somas das prestações




(46.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n n


e





(46.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n n


são equivalentes na data focal 0 ,

quando:

(46.2)





(46.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n n

n nF P i P i P i P i ..

Sendo i a taxa de juro e n o número de períodos de tempo referidos nesta taxa.

O ponto crucial aqui é a equivalência entre dois conjuntos de capitais, na

data focal 0 . Como ilustra a figura anterior, a primeira prestação ocorre no final

do primeiro período. Esse princípio é chamado de prestações postecipadas. A

explicação é que qualquer valor desembolsado na própria data focal 0 não se

constitui como financiamento ou empréstimo.

Nos próximos parágrafos veremos que, com prestações fixas, é possível obter

relações gerais que facilitam calcular o valor nominal das prestações e o valor

financiado.

183


É comum dizer que F é o valor atual da sequência regular de prestações futuras. Alguns autores referem como séries periódicas uniformes de pagamentos outros a rendas certas. Nestas notas, em uma linguagem mais moderna, sempre nos referiremos como fluxo de caixa que é uma sequência de pagamentos ou recebimentos.

Exercícios

46 1E . – Suponha um financiamento de 12 000 00$ . ,R sem entrada e em 3 vezes, com taxa de juro de 3% a.m. . Considere também que as prestações vão se reduzindo 5% ao mês. Qual o valor das prestações? Sugestão: utilize a equação (46.2) e o desconto composto sucessivo. [Resposta: 1ª

4 457 23R$ . , ; 2ª 4 234 37R$ . , e 3ª 4 022 65R$ . , ].

• Prestações Fixas Postecipadas


180

Prestações Fixas Postecipadas.

Fluxo de Prestações Fixas Postecipadas.

0 1 2 n t e m p o

P 1 P 2 P n

F

Suponha que todas as prestações sejam nominalmente fixas 1 2 nP P P P . Com

isto a equação (46.2) se transforma em:

1 2 11 1 1 1 n nF P i P i P i P i

1 2 11 1 1 1

1 1 1 1n nF Pi i i i

1 2 11 1 1 1


(46.3) 1 2 1

1 1 1 1


.

A última implicação é uma simples mudança na ordem dos fatores da soma, para facilitar o

cálculo final.

Relembrando, toda progressão geométrica com razão q é uma sequência de números reais da forma:

21 1 1 1

nx x q x q x q x, , , , , .

E a soma dos n primeiros termos desta progressão é dada por:

1

1

1

n

n

qS x

q

, onde 1x é o primeiro termo e q a razão.

Suponha que todas as prestações sejam nominalmente fixas Suponha que todas as prestações sejam nominalmente fixas 1 2 nP P P P . Com


1 2 11 1 1 1 n nF P i P i P i P i

1 2 11 1 1 1


1 2 11 1 1 1


(46.3) 1 2 1

1 1 1 1


.


cálculo final.


21 1 1 1

nx x q x q x q x, , , , , .

. Com isto a equação (46.2) se transforma em:



1 2 11 1 1 1 n nF P i P i P i P i

1 2 11 1 1 1


1 2 11 1 1 1


(46.3) 1 2 1

1 1 1 1


.


cálculo final.


21 1 1 1

nx x q x q x q x, , , , , .



1 2 11 1 1 1 n nF P i P i P i P i

1 2 11 1 1 1


1 2 11 1 1 1


(46.3) 1 2 1

1 1 1 1


.


cálculo final.


21 1 1 1

nx x q x q x q x, , , , , .


184



1 2 11 1 1 1 n nF P i P i P i P i

1 2 11 1 1 1


1 2 11 1 1 1


(46.3) 1 2 1

1 1 1 1


.


cálculo final.


21 1 1 1

nx x q x q x q x, , , , , .

(46.3)



1 2 11 1 1 1 n nF P i P i P i P i

1 2 11 1 1 1


1 2 11 1 1 1


(46.3) 1 2 1

1 1 1 1


.


cálculo final.


21 1 1 1

nx x q x q x q x, , , , , .

.

A última implicação é uma simples mudança na ordem dos fatores da soma, para facilitar o cálculo final.

Relembrando que toda progressão geométrica, com razão q , é uma sequência de números reais da forma:



1 2 11 1 1 1 n nF P i P i P i P i

1 2 11 1 1 1


1 2 11 1 1 1


(46.3) 1 2 1

1 1 1 1


.


cálculo final.


21 1 1 1

nx x q x q x q x, , , , , ..

E a soma dos n − primeiros termos desta progressão é dada por:

( )1

1

1

n

n

qS x

q

−= ×

−, onde 1x é o primeiro termo e q a razão.

Na equação (46.3) a expressão entre “colchetes” é a soma dos n − primeiros

termos de uma progressão geométrica, com razão ( )1q i= + e primeiro termo

( )1

1

1 nxi

=+

. Com isso, segue que:

1 2 1

1 11 1 1 1 11 11 1 1 1 1

n

n n n

i

ii i i i i

( )( )

( )1 1 1 1

1

n n

n

i iii i

−+ − − +=

× +.

Este resultado final é o fator chamado de FVA - Fator de Valor Atual e denotado por:

( )( )

( )1 1 1 1

1

n n

n i n

i ia

ii i

−+ − − += =

× +.

185


O símbolo n ia é lido como: “a n cantoneira i”. O seu valor aproximado,

para cada valor de n e i , pode ser encontrado tabulado (obsoleto) em diversos

livros de Matemática Financeira.

Pelos objetivos pedagógicos deste texto, esperamos que o leitor utilize nos

cálculos uma calculadora científica simples. A vantagem deste procedimento é

que os cálculos podem ser realizados com aproximações desejadas em situações

concretas. Além disso, os valores da taxa i e do tempo n podem ser arbitrários,

enquanto as tábuas financeiras constantes em livros apresentam um número

limitado de possíveis valores.

De forma sintética, a equação (46.3) pode ser escrita por:

(46.4) ( ) 1n i n iF P a P F a

−= × ⇔ = × .

Portanto, dados uma dívida F , uma taxa de juro i e um número n , é

possível achar o valor de cada prestação P e, reciprocamente, se dado P , o valor

F pode ser encontrado.

Este modelo é o mais importante, pois os demais - prestações antecipadas e

diferidas – são derivados deste.

Exemplo 46.5

Uma revendedora de automóveis oferece um carro à vista por 25 000 00$ . ,R

ou em 5 prestações fixas mensais de 5 000 00$ . ,R sem entrada. Utilizando o

modelo básico com prestações fixas postecipadas, com taxa de juro de 2% . . a m

e a data de compra como data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à

vista?


182

Exemplo 46.5.


prestações fixas mensais de 5 000 00$ . ,R sem entrada. Utilizando o modelo básico com

prestações fixas postecipadas, com taxa de juro de 2% . .a m e a data de compra como data

focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?

0 1 2 3 4 5 meses

P1 P2 P3 P4 P5

F

Solução.

Substituindo os dados na fórmula (46.4) e supondo o verdadeiro preço à vista

à vistaF P , temos:

51 1 0 02

5 000 5 000 4 7134595080 02

,. . ,

,F F

23 567 30$ . ,F R

Portanto, para ser justo o negócio o verdadeiro preço à vista deveria ser:

23 567 30$ . ,à vistaP R .

Comparando os valores deste exemplo com os do (31.1):

Pelo método comercial simples 23 500 71$ . ,à vistaP R

Pelo método racional simples 23 601 71$ . ,à vistaP R

Pelo método racional composto 23 567 30$ . ,à vistaP R

As respostas são diferentes, pois foram aplicados critérios diferentes. O que aguça a

curiosidade é que o método racional composto não é o menos vantajoso neste exemplo. Como

veremos mais adiante, é o método ideal para zerar uma dívida em um tempo requerido. Como

mencionamos anteriormente, as discussões nos tribunais sobre a existência de anatocismo no

sistema price não encontram guarida neste critério.


186

Solução


à vistaF P= , temos:

( ) ( )51 1 0 02

5 000 5 000 4 7134595080 02

,. . ,

,F F

−− += × ⇒ ≈ × ⇒

23 567 30$ . ,F R ≈


23 567 30$ . ,à vistaP R = .

Comparando os valores deste exemplo com os do (31.1):

Pelo método comercial simples 23 500 71$ . ,à vistaP R =

Pelo método racional simples 23 601 71$ . ,à vistaP R =

Pelo método racional composto 23 567 30$ . ,à vistaP R =

As respostas são diferentes, pois foram aplicados critérios diferentes. O que aguça a curiosidade é que o método racional composto não é o menos vantajoso neste exemplo. Como veremos mais adiante, é o método ideal para zerar uma dívida em um tempo requerido. Como mencionamos anteriormente, as discussões nos tribunais sobre a existência de anatocismo no sistema price não encontram guarida neste critério.

• Prestações Fixas Diferidas


183

Prestações Fixas Diferidas.

Fluxo de Prestações Fixas Diferidas.

0 c c + 1 c + 2 c + n t e m p o

P 1 P 2 P n

F

Em um plano de pagamento ou série de prestações fixas, quando a primeira prestação

ocorre no final de um dado período escolhido, dizemos que é uma operação com prestações

diferidas.

Por carência, definimos como sendo o número de períodos sem ocorrência de

pagamentos de prestação alguma. Sendo assim, dada uma data c , então a primeira parcela

ocorrerá na data 1c , a segunda na data é 2c e assim sucessivamente, até a n ésima

parcela localizada na data c n . Agora, transportando o capital inicial F para a data c ,

temos um novo capital:

1 cF F iˆ .Os índices nos valores lP são tão somente para marcar a posição no tempo das parcelas fixas,

para 1 2, , ,l n .

Com esse transporte, o capital F̂ está na data c e na mesma posição em relação à

primeira prestação que o parágrafo anterior, das prestações postecipadas. Portanto, podemos

obter uma relação similar à equação (46.4):

1n i n iF P a P F a ˆ ˆ ˆ ˆ

.Voltando novamente com o valor inicial do financiamento F e usando a mesma notação

P P̂ para as prestações fixas, temos:

1 cn i n iF P a F i P a ˆ ˆ

(46.6) 11 c

n iP F i a

.

187


Em um plano de pagamento ou série de prestações fixas, quando a primeira prestação ocorre no final de um dado período escolhido, dizemos que é uma operação com prestações diferidas.

Por carência, definimos como sendo o número de períodos sem ocorrência de pagamentos de prestação alguma. Sendo assim, dada uma data c , então a primeira parcela ocorrerá na data 1c + , a segunda na data é 2c + e assim sucessivamente, até a n ésima− parcela localizada na data c n+ . Agora, transportando o capital inicial F para a data c , temos um novo capital:

( )1 cF F iˆ = × + .

Os índices nos valores lP são tão somente para marcar a posição no tempo das parcelas fixas, para 1 2, , ,l n .

Com esse transporte, o capital F̂ está na data c e na mesma posição que F do parágrafo anterior, das prestações postecipadas. Portanto, podemos obter uma relação similar à equação (46.4):

( ) 1n i n iF P a P F a ˆ ˆ ˆ ˆ −

= × ⇔ = × .

Voltando novamente com o valor inicial do financiamento F e usando a mesma notação P P̂= para as prestações fixas, temos:

( ) ( )1 cn i n iF P a F i P a ˆ ˆ= × ⇒ × + = × ⇒

(46.6) ( ) ( ) 11 c

n iP F i a −

= × + × .

Um alerta: a prestação P, neste caso, depende da carência c .

Exemplo 46.7

Uma revendedora de automóveis oferece um carro à vista por 25 000 00$ . ,R ou em 5 prestações fixas mensais de 5 000 00$ . ,R , com carência de 2 meses. Utilizando o modelo básico de prestações fixas diferidas, com taxa de juro de 2% . . a m e a data de compra como data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?


188


184


Exemplo 46.7.


prestações fixas mensais de 5 000 00$ . ,R , com carência de 2 meses. Utilizando o modelo

básico de prestações fixas diferidas, com taxa de juro de 2% . .a m e a data de compra como

data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?

0 1 2 3 4 5 6 7 m eses

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5

F F̂

Solução:



2 251 02 5 000 1 02 5 000 4 713459508 2%F a F, . , . , 22 652 15$ . ,F R


22 652 15$ . ,à vistaP R . As condições concedidas no negócio é o fator que ocasionou um valor menor para

à vistaF P , pois o início do pagamento das parcelas se deu no final do 3º mês depois da

compra, enquanto no modelo de prestações postecipadas ocorreu no final do 1º mês.

Prestações Fixas Antecipadas.

Fluxo de Prestações Fixas Antecipadas.

0 1 2 n - 1 n t e m p o

P 0 P 1 P 2 P n - 1

F

Solução



( ) ( ) ( )2 251 02 5 000 1 02 5 000 4 713459508 2%F a F, . , . ,× = × ⇒ × ≈ × ⇒

22 652 15$ . ,F R ≈


22 652 15$ . ,à vistaP R = .

As condições concedidas no negócio é o fator que ocasionou um valor menor para à vistaF P= , pois o início do pagamento das parcelas se deu no final do 3º mês depois da compra, enquanto no modelo de prestações postecipadas ocorreu no final do 1º mês.

• Prestações Fixas Antecipadas


184


Exemplo 46.7.


prestações fixas mensais de 5 000 00$ . ,R , com carência de 2 meses. Utilizando o modelo

básico de prestações fixas diferidas, com taxa de juro de 2% . .a m e a data de compra como

data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?

0 1 2 3 4 5 6 7 m eses

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5

F F̂

Solução:



2 251 02 5 000 1 02 5 000 4 713459508 2%F a F, . , . , 22 652 15$ . ,F R


22 652 15$ . ,à vistaP R . As condições concedidas no negócio é o fator que ocasionou um valor menor para

à vistaF P , pois o início do pagamento das parcelas se deu no final do 3º mês depois da

compra, enquanto no modelo de prestações postecipadas ocorreu no final do 1º mês.

Prestações Fixas Antecipadas.

Fluxo de Prestações Fixas Antecipadas.

0 1 2 n - 1 n t e m p o

P 0 P 1 P 2 P n - 1

F

Como preliminares, para localizar os leitores nas aplicações dos modelos em questão, citamos:

189


→O modelo das prestações postecipadas é utilizado na grande maioria das vendas a prazos em que ocorre uma entrada arbitrária e n parcelas fixas. Geralmente não é informada a taxa de juro nessas operações, embora o Código de Defesa do Consumidor determine que a mesma seja disponibilizada.

→O modelo das prestações diferidas, ou com carência, é muito utilizado em financiamentos para investimentos de pessoas jurídicas. Atualmente, excessivamente divulgados, os famosos créditos consignados para aposentados e funcionários públicos, a primeira prestação não ocorre no final do primeiro período (mês) após o empréstimo.

→O modelo das prestações antecipadas é largamente utilizado nos financiamento de apólice de seguro. O início da cobertura de um seguro de carro, por exemplo, se dá com o pagamento da primeira prestação do parcelamento contratado. Este modelo se caracteriza como um parcelamento em n prestações iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Rigorosamente falando, esse tipo de parcelamento na realidade ocorre com entrada e mais 1n − parcelas fixas, todas de mesmo valor. Como já dito, entrada não pode ser chamada de parcela.

O modelo a ser desenvolvido agora, de prestações fixas antecipadas, pode ser encarado como um modelo de prestações fixas com carência negativa 1− . Transportamos o valor do financiamento F para a data imaginária 1− e aplicamos em seguida o modelo das prestações fixas postecipadas. Com isso, a primeira parcela fixa ocorrerá no ato da compra e as demais 1n − parcelas sempre no final dos períodos seguintes.

Consideremos o capital na data 1− dado por:

( ) 11F F iˆ −= × + .

Em seguida, aplicamos na relação dada pela equação (46.6), e temos:

( ) ( )11n i n iF P a F i P a ˆ −= × ⇒ × + = × ⇒

(46.8) ( ) ( ) 111 n iP F i a −−= × + × .


190

Exemplo 46.9

Uma revendedora de automóveis oferece um carro à vista por 25 000 00$ . ,R ou em 5 prestações fixas de 5 000 00$ . ,R sendo uma no ato da compra. Utilizando o modelo básico de prestações fixas antecipadas, com taxa de juro de 2% . . a m e a data de compra como data focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?


186

11n i n iF P a F i P a ˆ

(46.8) 111 n iP F i a .

Exemplo 46.9.


prestações fixas de 5 000 00$ . ,R sendo uma no ato da compra. Utilizando o modelo básico de

prestações fixas antecipadas, com taxa de juro de 2% . .a m e a data de compra como data

focal, qual deveria ser o verdadeiro preço à vista?

0 1 2 3 4 meses

P1 P2 P3 P4 P5

F

Solução:



1 151 02 5 000 1 02 5 000 4 713459508 2%F a F, . , . , 24 038 64$ . ,F R


24 038 84$ . ,à vistaP R .

As condições concedidas no negócio é que ocasionou um valor maior para à vistaF P .

Pois o início do pagamento das parcelas fixas se deu no ato da compra, enquanto nos modelos

anteriores se deram no final do 1º mês e no final do 3º mês respectivamente.

Exemplo 46.10.

Para clarear os diversos modelos de prestações, vamos analisar os mesmos dados dos

exemplos anteriores, sob outro ponto de vista. Uma revendedora de automóveis oferece um

carro por 25 000 00$ . ,R em 5 prestações fixas, pela forma de pagamento que o cliente escolher

Solução



( ) ( ) ( )1 151 02 5 000 1 02 5 000 4 713459508 2%F a F, . , . ,− −× = × ⇒ × ≈ × ⇒

24 038 64$ . ,F R ≈


24 038 84$ . ,à vistaP R = .

As condições do negócio é que ocasionaram um valor maior para à vistaF P= . Pois, o início do pagamento das parcelas fixas se deu no ato da compra, enquanto nos modelos anteriores se deram no final do 1º mês e no final do 3º mês respectivamente.

Exemplo 46.10

Para clarear os diversos modelos de prestações, vamos analisar os mesmos dados dos exemplos anteriores, sob outro ponto de vista. Uma revendedora de automóveis oferece um carro por 25 000 00$ . ,R em 5 prestações fixas, pela forma de pagamento que o cliente escolher – prestações postecipadas, diferidas ou

191


antecipadas. Utilizando-se dos modelos básicos, com taxa de juro de 2% . . a m e

a data de compra como data focal, qual o valor nominal das prestações, em cada

modelo?a) Prestações postecipadas.

( ) ( )1

525 000 25 000 0 212158394 2%P a P. . ,−

= × ⇒ ≈ × ⇒

5 303 96$ . ,P R ≈ .

Este é o valor das 5 prestações fixas, a serem pagas no final de cada mês, sem entrada.

b) Prestações diferidas.

( )2 525 000 1 02 2%P a . ,× = ×

( ) ( )2 125 000 1 02 4 713459508P . , , −≈ × × ⇒

5 518 24$ . ,P R ≈

Este é o valor das 5 prestações fixas a serem paga no final de cada mês, sendo a primeira no final do 3º mês.

c) Prestações antecipadas.

( ) ( ) 11525 000 1 0 02 2%P a . ,

−−= × + × ⇒

5 199 96$ . ,P R ≈

Este é o valor das 5 prestações fixas, sendo a primeira como entrada e 4 no final de cada mês seguinte.

∗ Veja que não existe um modelo melhor que outro; tudo depende do

custo de oportunidade, em cada situação problema para o comprador ou

tomador do empréstimo. Visualizando apenas o valor nominal, a menor

prestação é desse último caso – prestações antecipadas - mas isso não

significa financeiramente coisa alguma, se não for analisada em um contexto

de possibilidades.


192

• Fórmulas úteis em cálculos financeiros

As fórmulas, na maioria das vezes, ajudam a fazer cálculos rápidos com

máquina científica simples e em planilhas tipo Excel.

A equação (46.4) fornece uma relação que determina o valor das prestações

fixas postecipadas. É uma equação com 4 variáveis e em todo problema específico

devemos conhecer três delas para encontrar a quarta variável:

( )1 1 niF P

i

− − + = ×

.

Nesta equação também dizendo que o valor F está em função dos três

parâmetros: P , a taxa de juro i e o tempo n .

Sob certas condições é sempre possível explicitar cada uma das variáveis:

a. ( )1 1 niF P

i

−− += × ;

b. ( ) ( )1

1 1 1 1n ni iF P P F

i i

−− − − + − + = × ⇒ = ×

;

c. ( ) ( )1 1

1 1n

ni FF P i ii P

−−− +

= × ⇒ − + = × ⇒

( )

1

1

1

F iPn

i

log

log

− × =

+.

Neste caso, para a existência de n , devemos ter,

1 0 1F Fi i P F iP P

− × > ⇒ > × ⇒ > × .

Quando P F i≤ × , dizemos que o financiamento é impagável ou

impossível.

193


d. ( ) ( )( )

1 1 1 1

1

n n

n

i i FF Pi Pi i

−− + + −= × ⇒ = ⇒

× +

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 0n n nF Fi i i i iP P

+ − = × × + ⇒ − × × + − = ⇒

1 1 1 0n nF Fx xP P

+ × − + × + =

, com 1x i= + .

Encontrar a taxa i é mais trabalhoso, pois somente pode ser revolvido por uma equação polinomial de grau 1n + , utilizando algum método numérico de solução de equações polinomiais.

Exercícios


46 2E . – O Sr. Pedro ganha 3 200 00$ . ,R e vai financiar 70% do valor de um apartamento de 100 000 00$ . ,R . Suponha que a Caixa Econômica Federal exige as seguintes condições: taxa nominal de 12% a.a. para esse tipo de financiamento e comprometimento de no máximo 30% do salário (nem um centavo a mais). Se o Sr. Pedro vai financiar o total permitido, de quanto tempo será o financiamento e o respectivo valor exato da prestação?

[Resposta: 132n meses= e 957 45$ ,P R = ]

46 3E . – Um aposentado vai comprometer 30% de seus proventos, com um empréstimo de 3 000 00$ . ,R . O Banco Feliz 3ª Idade cobra uma taxa de juro de 1 75, % . . a m em 12 parcelas fixas postecipadas, sendo a 1ª, neste caso, com vencimento em 60 dias . Se o aposentado não tem qualquer outro desconto, qual será o valor líquido a receber mensalmente de aposentadoria, após o desconto do crédito consignado? [Resposta:

664 20$ ,R ]

46 4E . – O Sr. João colocou o filho para estudar fora de casa por 48 meses . Para custear as despesas do filho, encontrou um banco que remunera


194

investimentos com taxa de 1 5, % a.m. , podendo sacar uma quantia mensalmente. Suponha que o filho tenha um gasto fixo mensal com moradia, alimentação e universidade de 1 762 50$ . ,R . Quanto deverá depositar hoje no banco, para que seu filho possa sacar mensalmente a partir do próximo mês, o valor de seus gastos fixos? [Resposta:

60 000 00$ . ,R ]

46 5E . – Um comerciante tem capacidade para pagar 1 800 30$ . ,R , mensalmente e durante 48 meses . Um banco financia com 2 5, % a.m. , levando em conta seu cadastro. Qual o valor máximo que o comerciante pode emprestar para as suas necessidades? [Resposta: 50 000 00$ . ,R ]

195

47Modelo Básico de Capitalização

Capitalizar significa acumular ou ajuntar dinheiro, visando um capital no futuro.

Comparando resumidamente, para facilitar o entendimento: no capítulo anterior desenvolvemos os cálculos de financiamentos, que consistem em avaliar o valor presente de uma sequência de prestações distribuídas uniformemente no tempo; capitalização é o processo que avalia o valor futuro de uma sequência de depósitos ou parcelas, também distribuídas discretamente no tempo.

Exemplo 47.1

O Sr. João depositou hoje 100 000 00$ . ,R , para saque em 6 meses , em uma instituição financeira que remunera o capital com taxa de juro composto de 3% . . a m . Qual é o montante que o Sr. João disporá para saque no final do tempo?

Este exemplo é uma capitalização com um único depósito. O montante é dado por:

( ) ( )61 100 000 1 0 03nM C i M . ,= × + ⇒ = × + ⇒ 119 405 23$ . ,M R ≈ .

Este valor de M é o saldo para saque que o Sr. João terá no final do 6º mês, com juro realizado juntamente com o depósito inicial.

O propósito do processo de capitalização é a formação de capital no futuro.Analogamente ao processo de financiamento, um conjunto 1 2 nP P P, , , , contendo n parcelas distribuídas uniforme e

discretamente no tempo, pode ser classificadas em uma das três categorias:


196

∗Antecipadas Primeira parcela na data focal

∗Postecipadas Primeira parcela um período depois da data focal

∗Diferidas Primeira parcela com carência depois da data focal

Embora a fórmula mais utilizada seja as postecipadas, a mais usual é das antecipadas, pois em geral quem contrata um investimento de capitalização deposita no ato a primeira parcela.

• Parcelas Variáveis Postecipadas


192

Parcelas Variáveis Postecipadas.

Fluxo de Prestações Variáveis Postecipadas.

0 1 2 n t e m p o

P 1 P 2 P n

S

Este tipo de capitalização (postecipadas) é pouco utilizado como já comentado, mas é o mais adequado em termos da simplicidade das fórmulas e serve de modelo básico para os demais. O objetivo é comparar um capital S localizado na data focal n , com n prestações

periódicas e postecipadas 1 2, , , nP P P , localizadas nas datas 1 2, , , n , de tal forma que a

somas das prestações transportadas para a data focal n , totalize o montante S .

Usando a linguagem de equivalência de conjuntos do capítulo (44), dois conjuntos

S e 1 2 nP P P, , , são equivalentes na data focal n , quando:

(47.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n- n- 0

n nS P i P i P i P i .

Onde i é a taxa de juro e n é o número de períodos de tempo referidos nesta taxa.

O ponto crucial aqui é a equivalência entre dois conjuntos de capitais na data focal n .

O modelo construído pela equação (47.2) pode ser usado, mas necessita da construção

de uma tabela para cada caso particular.

Nos próximos parágrafos veremos que, com parcelas fixas, é possível obter relações

gerais que facilitam calcular o valor nominal das prestações e o consequente montante

capitalizado.

É comum dizer que S é a soma dos valores futuros de uma sequência de parcelas

distribuídas regularmente no tempo.

Este tipo de capitalização (postecipadas) é pouco utilizado como já comentado, mas é o mais adequado em termos da simplicidade das fórmulas e serve de modelo básico para os demais.

O objetivo é comparar um capital S localizado na data focal n , com n prestações periódicas e postecipadas

O objetivo é comparar um capital S localizado na data focal n , com n prestações





(47.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n- n- 0


, localizadas nas datas O objetivo é comparar um capital S localizado na data focal n , com n prestações





(47.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n- n- 0


, de tal forma que a somas das prestações transportadas para a data focal n , totalize o montante S .







(47.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n- n- 0


e






(47.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n- n- 0


são equivalentes na data focal n , quando:

(47.2)






(47.2) 1 2 11 2 11 1 1 1 n- n- 0

n nS P i P i P i P i ..

Onde i é a taxa de juro e n é o número de períodos de tempo referidos nesta taxa.

197


O ponto crucial aqui é a equivalência entre dois conjuntos de capitais na data focal n .

O modelo construído pela equação (47.2) pode ser usado, mas necessita da construção de uma tabela para cada caso particular.

Nos próximos parágrafos veremos que, com parcelas fixas, é possível obter relações gerais que facilitam calcular o valor nominal das prestações e o consequente montante capitalizado.

É comum dizer que S é a soma dos valores futuros de uma sequência de parcelas distribuídas regularmente no tempo.

• Parcelas Fixas Postecipadas


193

Parcelas Fixas Postecipadas.

Fluxo de Prestações Fixas Postecipadas.

0 1 2 n tempo

P1 P2 Pn

S

Suponha que todas as parcelas sejam nominalmente fixas: 1 2 nP P P P . Com

isto, a equação (47.2) se transforma em:

1 1 1 1 n-1 n-2 1 0S P i P i P i P i

1 1 1 1 0 1 n-2 n-1S P i P i P i P i

(47.3) 1 1 1 11 n-2 n-1S P i i i .

Na equação (47.3) a expressão entre “colchetes” é a soma dos n primeiros termos de

uma progressão geométrica, com razão 1q i e primeiro termo 1 1x . Com isso, segue

que:

1 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1

n n n i i

i i ii i

.

O fator resultante final é chamado de FAC - Fator de Acumulação de Capital e

denotado por:

1 1n

n ii

si

Suponha que todas as parcelas sejam nominalmente fixas: Suponha que todas as parcelas sejam nominalmente fixas: 1 2 nP P P P . Com


1 1 1 1 n-1 n-2 1 0S P i P i P i P i

1 1 1 1 0 1 n-2 n-1S P i P i P i P i

(47.3) 1 1 1 11 n-2 n-1S P i i i .

. Com isto, a equação (47.2) se transforma em:



1 1 1 1 n-1 n-2 1 0S P i P i P i P i

1 1 1 1 0 1 n-2 n-1S P i P i P i P i

(47.3) 1 1 1 11 n-2 n-1S P i i i .



1 1 1 1 n-1 n-2 1 0S P i P i P i P i

1 1 1 1 0 1 n-2 n-1S P i P i P i P i

(47.3) 1 1 1 11 n-2 n-1S P i i i .(47.3)



1 1 1 1 n-1 n-2 1 0S P i P i P i P i

1 1 1 1 0 1 n-2 n-1S P i P i P i P i

(47.3) 1 1 1 11 n-2 n-1S P i i i ..


198



1 1x = . Com isso, segue que:

1 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1

n n n i i

i i ii i

.

O fator resultante final é chamado de FAC - Fator de Acumulação de Capital e denotado por:

( )1 1n

n ii

s i

+ −=

O símbolo n is é lido como: “s n cantoneira i ” e o seu valor

aproximado, para cada valor de n e i , pode ser encontrado tabulado em

diversos livros de Matemática Financeira. Mas também, pelos objetivos

pedagógicos deste texto, esperamos que o leitor utilize nos cálculos uma

calculadora científica simples. A vantagem deste procedimento é que os

cálculos podem ser realizados com aproximações desejadas em situações

concretas. Além disso, os valores da taxa i e do tempo n podem ser

arbitrários, enquanto as tábuas financeiras constantes em livros apresentam

um número limitado de possíveis valores.De forma sintética, a equação (47.3) pode ser escrita por:

(47.4) ( ) 1n i n iS P s P S s

−= × ⇔ = ×

.Portanto, dados um montante S , uma taxa de juro i e um número n , é

possível achar o valor das parcelas fixas P e, reciprocamente, se dado P o valor de S pode ser encontrado.

Exemplo 47.5

O Sr. João, pensando em comprar um automóvel daqui a cinco meses,

resolveu investir em uma instituição financeira que remunera capitalização

programada, com taxa de juro composto de 2% . . a m . Com parcelas

199


postecipadas, depositou mensalmente parcela fixas de 5 000 00$ . ,R durante

os cinco meses. Utilizando o modelo básico de capitalização com parcelas

fixas postecipadas e a data focal 5n = , quanto terá capitalizado no momento

do depósito da 5ª parcela?

Solução: Deve estar claro que o Sr. João não estará comprando algo em 5

pagamentos e sim capitalizando em 5 parcelas para obter um montante ao final do

prazo. Vejamos o fluxo das parcelas e os transportes para a data focal 5n = , na

figura seguinte:


195

Solução: Deve estar claro que o Sr. João não estará comprando algo em 5 pagamentos e sim

capitalizando em 5 parcelas para obter um montante ao final do prazo. Vejamos o fluxo das

parcelas e os transportes para a data focal 5n , na figura seguinte:

0 1 2 3 4 5 meses

P1 P2 P3 P4 P5

S

Substituindo agora os valores do problema na equação (47.4), obtemos:

51 0 02 1

5 000 5 000 5 204040160 02,

. . ,,

S

26 020 20$ . ,S R

O montante S é o valor disponível para saque no final do 5º mês. A rigor constata-se que

houve apenas quatro depósitos, pois a última parcela foi depositada e sacada no mesmo

momento.

Compare este exemplo com o modelo (46.5) e conclua como a capitalização, que

significa poupança antes da compra, é o negócio mais vantajoso do ponto vista de valor

nominal.

Parcelas Fixas Antecipadas. Fluxo de Prestações Fixas Antecipadas.

0 1 2 n - 1 n t e m p o

P 0 P 1 P 2 P n - 1

S

Substituindo agora os valores do problema na equação (47.4), obtemos:

( ) ( )51 0 02 1

5 000 5 000 5 204040160 02,

. . ,,

S + − = × ≈ × ⇒

26 020 20$ . ,S R ≈

O montante S é o valor disponível para saque no final do 5º mês. A rigor constata-

se que houve apenas quatro depósitos, pois a última parcela foi depositada e sacada

no mesmo momento.

Compare este exemplo com o modelo (46.5) e conclua como a capitalização,

que significa poupança antes da compra, é um negócio mais vantajoso do ponto

vista de valor nominal.


200

• Parcelas Fixas AntecipadasFUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA & COMERCIAL –


196

Fluxo de Prestações Fixas Antecipadas

0 1 2 n - 1 n t e m p o

P 0 P 1 P 2 P n - 1

S

Transportando igualmente todas as parcelas para a data focal n , obtemos um

montante:

1 1 1 1 n n 2 1S P i P i P i P i

1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i

(47.6) 1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i .


uma progressão geométrica, com razão 1q i e primeiro termo 1 1x i . Com isso,

segue que:

1 2 1 1 11 1 1 1 1

1 1

n n n i

i i i i ii

.

Pelo parágrafo anterior 1 1n

n ii

si

, então:

(47.7) 111 1n i n iS P i s P S i s .

Exemplo 47.8.

O Sr. João, pensando em comprar um automóvel daqui a cinco meses, resolveu

investir em uma instituição financeira que remunera capitalização programada, com taxa de

juro composto de 2% . .a m . Com parcelas fixas antecipadas, depositou mensalmente cinco

parcelas fixas de 5 000 00$ . ,R , sendo a primeira no ato. Utilizando o modelo básico de

capitalização com parcelas fixas postecipadas e a data focal zero como a data do contrato com

a financeira, quanto terá capitalizado no final de cinco meses?

Transportando igualmente todas as parcelas para a data focal n , obtemos um

montante:

1 1 1 1 n n 2 1S P i P i P i P i

1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i

(47.6) 1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i .



segue que:

1 2 1 1 11 1 1 1 1

1 1

n n n i

i i i i ii

.

1 1 1 1 n n 2 1S P i P i P i P i

1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i

(47.6) 1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i .



segue que:

1 2 1 1 11 1 1 1 1

1 1

n n n i

i i i i ii

.

(47.6)

1 1 1 1 n n 2 1S P i P i P i P i

1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i

(47.6) 1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i .



segue que:

1 2 1 1 11 1 1 1 1

1 1

n n n i

i i i i ii

.



( )1 1x i= + . Com isso, segue que:

1 1 1 1 n n 2 1S P i P i P i P i

1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i

(47.6) 1 1 1 1 1 2 n-1 nS P i P i P i P i .



segue que:

1 2 1 1 11 1 1 1 1

1 1

n n n i

i i i i ii

.

Pelo parágrafo anterior ( )1 1n

n ii

s i

+ −= , então:

(47.7) ( ) ( ) ( ) 111 1n i n iS P i s P S i s −−= × + × ⇔ = × + × .

201


Exemplo 47.8

O Sr. João, pensando em comprar um automóvel daqui a cinco meses,

resolveu investir em uma instituição financeira que remunera capitalização

programada, com taxa de juro composto de 2% . . a m . Com parcelas fixas

antecipadas, depositou mensalmente cinco parcelas fixas de 5 000 00$ . ,R ,

sendo a primeira no ato. Utilizando o modelo básico de capitalização com

parcelas fixas postecipadas e a data focal zero como a data do contrato com

a financeira, quanto terá capitalizado no final de cinco meses?

Solução: Deve estar claro que o Sr. João não estará comprando algo em cinco

pagamentos, e sim capitalizando em cinco parcelas iguais para obter um montante

ao final do prazo. Pelo fluxo das parcelas e os transportes para a data focal 5n = ,

no final do 5º mês não há depósito, apenas o saque do montante, conforme figura

seguinte:


197

Solução: Deve estar claro que o Sr. João não estará comprando algo em cinco pagamentos, e

sim capitalizando em cinco parcelas iguais para obter um montante ao final do prazo. Pelo

fluxo das parcelas e os transportes para a data focal 5n , no final do 5º mês não há depósito,

apenas o saque do montante, conforme figura seguinte:

0 1 2 3 4 5 m e s e s

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5

S

Agora substituindo os dados na equação (47.7), temos:

,. , $ . ,

,S R

51 0 02 15 000 1 0 02 26 540 60

0 02.

Note que o valor capitalizado encontrado no exemplo (47.5) tem uma relação direta com o

resultado deste.

126 540 60 26 020 20 1 0 02$ . , $ . , ,R R .

Proposição 47.9.

De forma geral, se consideramos:

p n iS P s o montante capitalizado com parcelas postecipadas e

1a n iS P i s o montante capitalizado com parcelas antecipadas, então é

imediato que:

1a pS i S .

Para verificar, basta comparar as expressões de aS e pS .

Parcelas Fixas Diferidas.

Agora substituindo os dados na equação (47.7), temos:

( ) ( ),. , $ . ,

,S R

+ −= × + × ≈

51 0 02 15 000 1 0 02 26 540 60

0 02.

Note que o valor capitalizado encontrado no exemplo (47.5) tem uma relação

direta com o resultado deste.

( )126 540 60 26 020 20 1 0 02$ . , $ . , ,R R ≈ × + .


202

Proposição 47.9

De forma geral, se consideramos:

p n iS P s = × o montante capitalizado com parcelas postecipadas e

( )1a n iS P i s = × + × o montante capitalizado com parcelas antecipadas, então

é imediato que:

( )1a pS i S= + × .

Para verificar, basta comparar as expressões de aS e pS .

• Parcelas Fixas Diferidas

Esta categoria não será desenvolvida, pois segue imediatamente de uma das

anteriores, para cada carência definida.

• Relação entre os fatores: n iFVA a = e n iFAC s = .

Como desenvolvido, o FVA – Fator de Valor Atual e o FAC – Fator de Acumulação

de Capital, são dados, por:

( )( )

1 1

1

n

n i n

ia

i i

+ −=

× + e ( )1 1n

n ii

s i

+ −= .

Portanto,

( )( )

( ) ( )1 1 1 11

1

n nn

n i n i n in

i ia a i s

ii i

+ − + −= ⇒ × + = = ⇒

× +

(47.10) ( ) ( )1 1n nn in i n i

n i

s s a i i

a = × + ⇔ = + .

203


Exemplo 47.11

No exemplo (46.5), calculamos 23 567 30$ . ,F R ≈ e no exemplo (47.5) temos 26 020 20$ . ,S R ≈ , confirmando assim a equação (47.10):

( )55 2 5 1 0 02 2%s a % ,= × + .

A equação (47.10) confirma que, em qualquer situação, é mais vantajoso para quem capitaliza antes de comprar, do ponto de vista apenas de capitais nominais.

Exemplo 47.12 – Fundo de Previdência e Aposentadoria

No exemplo (10.2) estudamos o contracheque de um servidor público com salário bruto de 5 000 00$ . ,R . O desconto para a previdência é de 652 00$ ,R . Por lei, o Estado e a União devem entrar com pagamento na razão de “1 para 1‘”. Isto é, a cada 1 real descontado do servidor o Estado deve depositar 1 real no Fundo de Previdência. Portanto, será depositado no Fundo para a aposentadoria desse servidor, o valor mensal de 1 304 00$ . ,R .

Suponha que o Fundo funcione com critério atuarial e que capitalize os fundos individuais. Suponhamos também que o Fundo Público seja administrado profissionalmente, sem taxa administrativa, proporcionando rendimento real de 0 6, % . . a m .

Pelas regras anteriores a dezembro de 2003, o servidor contribuía durante 30 360 anos meses= antes de se aposentar, então o montante individual acumulado de contribuição será:

( )3601 006 11 304 1 655 069 98

0 006,

. $ . . ,,

S S R −

= × ⇒ = .

É um valor astronômico! É por isso que um fundo de aposentadoria bem administrada nunca se apresentará deficitário.

Um pergunta importante: Se viver na aposentadoria por mais 30 anos , qual o valor da aposentadoria que o servidor poderá receber até zerar o fundo individual? Queremos saber o quanto o servidor poderá receber, sem subsídio do Estado, de seu fundo individual. Para responder essa questão, precisamos inverter o ponto de vista.


204

No momento da aposentadoria, o Fundo de Previdência passará a dever ao servidor o montante S . Este valor poderá ser devolvido à vista ou em prestações, de maneira similar a alguém que vai pagar em prestações um empréstimo financiado. O mais comum é devolver em prestações de acordo com regras estabelecidas em lei.

Denotando por AP o valor dos proventos do servidor na aposentadoria e sendo S o fundo individual acumulado com as contribuições mensais, pelo modelo básico de financiamento temos:

1 655 069 98. . ,A An i n iS P a P a = × ⇒ = × .

Considerando a mesma taxa de juro de 0 6, % . .i a m= e 360n meses= o tempo que receberá na inatividade, então:

( ) 360360

1 655 069 98 1 655 069 98

1 1 0060 006

A A 0,6%

P Pa . . , . . ,

,,

−= ⇒ = ⇒

−

11 234 42$ . ,AP R = .

Constate que este valor é 2 25 vezes, o valor do salário do servidor na ativa. Com esses valores, podemos ainda acreditar nas mentiras sobre o déficit da Previdência?

Aos mais preocupados com o cálculo atuarial, aos poucos que viverão mais de 30n anos= na inatividade, convém verificar que o montante S rende somente

com juros, eternamente, a quantia mensal:

( )1 655 069 98 0 006 9 930 42. . , , $ . ,J J R = × ⇒ = .

Portanto, mesmo neste caso o hipotético servidor público poderá receber, mesmo vivendo uma infinidade de anos, a quantia de quase duas vezes o seu salário da ativa, sem dar prejuízo à Previdência Pública.

Exercícios


205


47 1E . – Uma pessoa contribui durante 420 35 meses anos= , mensalmente o valor de 60 00 20$ , %R = do salário mínimo atual, para um fundo público de previdência sem taxa administrativa e que remunera o capital com 1% a.m. . Suponha que essa pessoa se aposentou com 50 anos e viverá até aos 80 anos recebendo de seu fundo também com 1% . . a m . Qual é o valor que poderá receber durante os 30 anos de aposentado? Sugestão: utilize capitalização para os depósitos e financiamento para os saques. [Resposta: 3 968 98$ . ,R mensalmente]. Este é um exercício acadêmico e não reflete a realidade das taxas de juros do mercado.

206

48Planos de Amortização de Empréstimos

A todo instante somos bombardeados por anúncios de produtos em geral, em 10 vezes sem juros. Essa é uma dúvida que os alunos nos perguntam logo no primeiro dia de aula de Matemática Financeira. A resposta sempre é a mesma: como se trata de lojas que dão prioridade à venda a prazo, certamente o juro está incluído no preço chamado de preço à vista.

Os exemplos que serão tratados, a menos que se diga o contrário neste capítulo, referem-se a prestações postecipadas.

Exemplo 48.1

Vejamos como a afirmativa anterior é verdadeira. No ano de 2005, a taxa de juro efetiva do Banco Central estava em 19 75, . . a a . Portanto, a taxa mensal efetiva associada era próxima a 1 51, % . . a m .

Analisemos uma propaganda do tipo: televisão 29’’ à vista por 1 000 00$ . ,R , ou em 10 vezes, sem juros, com parcelas fixas de 100 00$ ,R . Qual deveria ser o verdadeiro preço à vista, considerando um custo de oportunidade de 1 51, % . . a m ? É evidente que o juro cobrado será no mínimo o custo de oportunidade, pois, caso contrário, o comerciante estaria subsidiando a compra a prazo para a população e tudo indica que isso não é verdadeiro.

Utilizando a equação (46.4), podemos determinar qual deveria o verdadeiro preço à vista:

( ) 10

10 1 511 1 0151

100 1000 0151 F a F, %,,

−−= × ⇒ = × ⇒ $ ,F R = 921 73 .

207


Se o custo de oportunidade é de % . . a m5 , mais próximo do mercado

financeiro, então o verdadeiro preço à vista deveria ser:

10 5100 772 17% $ , F a F R = × ⇒ = .

Neste caso o comerciante, para ser honesto, deveria oferecer um desconto de

22 78, % para pagamento à vista.

Em qualquer operação financeira de empréstimo, a partir da data de sua

efetivação, o credor tem direito ao recebimento de juro sobre seu capital financeiro

emprestado. É muito raro taxa de juro zero em operações de empréstimos ou

financiamentos.

Um financiamento é um fluxo de pagamentos ou recebimentos, de forma

que, no final do prazo estabelecido, se consiga a quitação da dívida inicial. Neste

capítulo trataremos somente de prestações postecipadas, distribuídas de forma

regular ao longo do prazo contratado.

Se não existisse inflação ou juro sobre um valor F emprestado, durante um

prazo com n períodos, então não teríamos nada a fazer, pois, bastava tomar n

prestações fixas no valor de:

FPn

= .

Atualmente isso não ocorre nem em negócios de pai para filho!

Em um empréstimo, cada parcela envolve dois fatores:

a jP P P= + , onde:

a

j

P parte chamada de amortização do principalP parte que compreende o juro sobre o empréstimo

= =

Por questões contábeis e de interesse principalmente para empréstimos de

médio e longo prazo é necessário que se analisem esses fatores das prestações ao

longo do tempo.

Existem diversos sistemas de amortização, entre os mais conhecidos

mencionamos:


208

Sistema Francês de Amortização ou Tabela Price Sistema de Juro Constante ou Sistema Americano Sistema de Amortização Constante - SAC Sistema de Amortização Crescente - SACRE Sistemas Especiais

→→→→→

Vamos desenvolver cada sistema, por meio de conceitos e exemplos em parágrafos distintos.

Como a questão é polêmica, convém frisar que em cada um dos sistemas a serem desenvolvidos, o juro do período é calculado sobre o saldo devedor do momento. A parcela descoberta não é incorporada ao saldo devedor, sendo destacada e com trâmite de cobrança por atraso. Os modelos funcionam se ocorrer exigibilidade das prestações nas datas indicadas nas condições do financiamento.

Nossas planilhas de amortização de empréstimos, para que sejam transparentes e auto-explicativas, serão construídas com cinco colunas de acordo com o seguinte modelo.

Modelo de Planilha de Liquidação de Financiamento

Período Juro do Período Amortização Prestação Saldo Devedor

Data 0 0,00 0,00 0,00 F SD= 0

1 jP F i= × 1a jP P P= − 1P 1 aSD F P= −

2 P SD i= × 2a jP P P= − 2P 2 1 aSD SD P= −

(...) (...) (...) (...) (...)

n 1j nP SD i−= × a n jP P P= − nP 0,00

Embora este modelo se trate de uma planilha auto-explicativa, os seus principais elementos são:

Período é uma unidade de tempo escolhida→ =Período é uma unidade de tempo escolhida→ =

→ =i é uma taxa de juro efetiva no período→ =i é uma taxa de juro efetiva no período

F é valor do financiamento ou empréstimo nada data 0→ =F é valor do financiamento ou empréstimo nada data 0→ =

jP F i é o juro de um período→ = ×

209


k a jP P P valor da prestação no perído k→ = + =

0 1, , ,tSD Saldo devedor do período t n

O fator determinante nessas planilhas é o valor da prestação. De certa forma, os agentes envolvidos em uma operação escolhem a forma de determinar o valor da prestação. De todo modo, o valor da prestação deve ser estritamente maior que o juro em cada período, pois caso contrário, a amortização será negativa e o valor inicial F impagável:

0= − >a jP P P .

• Sistema de Amortização com Prestações Fixas – TP

Este sistema é chamado de Sistema Francês de Amortização ou TP – Tabela Price, por ter sido inicialmente desenvolvido na França, século XIX, pelo economista Richard Price.

Vamos estudar este sistema por meio de um exemplo, e nas notas explicativas da tabela esclareceremos mais alguns pontos.

O valor inicial F tem que ser liquidado ou amortizado em n períodos a uma taxa de juro composto i efetiva em cada período.

O valor da prestação constante P , a ser paga no final de cada período, foi determinado no capítulo (46) pela relação:

( ) 1n iP F a

−= × , onde ( )1 1 n

n ii

a i

−− += .

Exemplo 48.2 – Tabela Price

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,R , ou em 5 prestações fixas, sem entrada, com taxa de juro

composto de 2% . . a m e data da compra como data focal. Utilizando o modelo básico com prestações fixas postecipadas – TP, construa uma planilha de liquidação do financiamento.

Calculando o valor da prestação fixa:


210

( ) 1525 000 25 000 4 713459508 5 303 96. . , $ . , 2%P a P P R −= × ⇒ ≈ × ⇒ = .

Planilha de Financiamento – Tabela Price


Data 0 25.000,00

1 500,00 4.803,96 5.303,96 20.196,04

2 403,92 4.900,04 5.303,96 15.296,00

3 305,92 4.998,04 5.303,96 10.297,96

4 205,96 5.098,00 5.303,96 5.199,96

5 104,00 5.199,96 5.303,96 0,00

Nota explicativa desta planilha

→Para construir uma planilha de liquidação de empréstimo, pela tabela Price, o primeiro passo é calcular o valor da prestação constante.

→Cada prestação tem exigibilidade no final de cada período e não deve ocorrer soma do saldo devedor com parcelas não pagas, para evitar o anatocismo ou ambiguidade contábil.

→O saldo devedor em cada linha é dado por:

aSaldo devedor Saldo da linha anterior P = − .

→O juro de um período é calculado sobre o saldo devedor anterior:

10 02,t tJ SD −= × .

→O último elemento da planilha – última linha e última coluna – deve ser sempre zero ou um resíduo identificável como eventuais arredondamentos durante os cálculos.

→A única coluna em que é possível somar os elementos é a coluna das amortizações, sendo que o resultado deve ser o valor nominal inicial

25 000 00$ . ,F R = .

211


→É muito comum, ingenuamente, somar-se os valores das prestações. Neste exemplo, operar 5 5 303 96 26 519 80. , . ,× = e fazer ilações sobre taxas de juro ou outros dados, um procedimento que não faz sentido, pois as prestações estão localizadas em datas distintas, portanto, não somáveis.

→Pela clareza da planilha, em nenhum momento ocorre juro sobre juro. Os juros são calculados sempre sobre a parcela não amortizada do valor inicial F . Portanto, não existe anatocismo nesse sistema de amortização.

→Veja que as prestações, transportadas para a data focal, têm como soma o valor do financiamento:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 25 303 96 1 02 1 02 1 02 1 02 1 02 3 4 5. , , , , , ,− − − − − × + + + + =

25 000 00$ . ,R F= .

• Sistema de Amortização Americano – 1º Caso

O Sistema de Amortização Americano não é único, podendo ocorrer em

diversas situações.

O mais comum é realizar o juro pactuado em cada período e no final do

prazo amortizar totalmente o valor inicial do empréstimo juntamente com o

juro do último período. É o mais simples dos sistemas e satisfaz a equação de

transporte.

1 2 11 2 11 1 1 1 n n


Exemplo 48.3

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,R , ou em 5 prestações meses pelo Sistema de Amortização Americano – 1º caso -

sem entrada, com taxa de juro de 2% . . a m e data da compra como data focal.

Construa uma planilha de liquidação do financiamento.


212

Planilha de Financiamento – Sistema Americano 1º


Data 0 25.000,00

1 500,00 0,00 500,00 25.000,00

2 500,00 0,00 500,00 25.000,00

3 500,00 0,00 500,00 25.000,00

4 500,00 0,00 500,00 25.000,00

5 500,00 25.000,00 25.500,00 0,00

Veja que o conjunto das prestações pagas é equivalente ao valor do empréstimo, quando transportadas para data focal.

25 000 00$ . ,F R = e

( ) ( ) ( ) ( )1 2500 1 02 500 1 02 500 1 02 500 1 02 3 4, , , ,− − − −× + × + × + × +

( )25 500 1 02 25 000 00. , $ . , 5 R −× ≈ .

Este sistema é muito utilizado na agiotagem informal entre pessoas.


Este modelo também chamado de modelo americano de amortização é imbricado com a formação de um fundo de amortização – espécie de capitalização – no mesmo prazo que o do empréstimo, de modo a obter a quitação do empréstimo com o saque do fundo. O sistema exige também o pagamento do juro do período.

Por custo financeiro do empréstimo se entende como sendo a diferença entre a taxa de remuneração do fundo de amortização e a taxa do empréstimo.

Exemplo 48.4

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,F R = , ou em 5 prestações mensais pelo Sistema de Amortização

Americano – 2º caso - sem entrada, com taxa de juro exigido mensalmente de 2% . . a m e data da compra como data focal. O comprador resolveu abrir uma

213


conta em um Fundo de Investimento que remunera com taxa 1% . . a m , para

amortizar a dívida pelo sistema americano.

A seguinte planilha de liquidação do financiamento é auto-explicativa, mas

fica como exercício refazer os cálculos.


Saldo devedor para pagamento no 5º mês 25.000,00

Período Juro Quota do Fundo Prestação = Juro+Quota Saldo do Fundo

Data 01 500,00 4.901,00 5.401,00 4.901,002 500,00 4.901,00 5.401,00 9.851,013 500,00 4.901,00 5.401,00 14.850,524 500,00 4.901,00 5.401,00 (*)19.900,005 500,00 4.901,00 5.401,00 25.000,00

(*) Este valor é de 19.900,03 – arredondou para fechar o valor final.


Neste caso os juros são pagos apenas no final do último período, pelo regime

composto, juntamente com a amortização da dívida inicial. O saldo devedor é

corrigido mensalmente.

Exemplo 48.5

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por

25 000 00$ . ,F R = , ou em 5 prestações mensais pelo Sistema de Amortização

Americano - 3º caso - sem entrada, com taxa de juro composto de 2% . . a m ,

exigível no final do prazo, juntamente com o principal e data da compra como

data focal.

Em outras palavras, o tomador do empréstimo paga no final do prazo o capital

inicial mais os juros:


214

25 000 2 602 03a jP P P . . ,= + = + , onde:

25 000 00$ . ,aP R = é a parte da prestação relativo à amortização e

2 602 02$ . ,jP R = é a parte da prestação relativo ao juro composto.



Data 0 25.000,00

1 0,00 0,00 25.500,00

2 0,00 0,00 26.010,00

3 0,00 0,00 26.530,20

4 0,00 0,00 27.060,80

5 2.602,02 25.000,00 27.602,02 0,00

Como é evidente na planilha, a operação consiste apenas em capitalizar o

saldo devedor pela taxa de juro dada.

Em geral, a escolha de um dos sistemas é uma questão gerencial, pois envolve

outros parâmetros empresariais ou pessoais.

• Sistema de Amortização Constante - SAC

Neste sistema as amortizações periódicas são constantes, o que provoca

prestações variáveis, pois os juros periódicos são calculados sobre o saldo devedor

de cada respectivo período.

Se o financiamento na data focal 0 tem valor nominal F , e o prazo é de n

períodos, então cada parcela periódica tem valor:

a jP P P= + , onde:

a

j

FP n

P juro sobre o saldo devedor

= =

215


Exemplo 48.6


Constante - SAC, sem entrada, com taxa de juro composto de 2% . . a m e data da compra como data focal.

A amortização mensal será constante:

a jP P P= + , onde 25 000 5 0005a

FPn

. .= = = .

Planilha de Financiamento – SAC

Período Juro do Período

Amortização Constante Prestação Saldo Devedor

Data 0 25.000,00

1 500,00 5.000,00 5.500,00 20.000,00

2 400,00 5.000,00 5.400,00 15.000,00

3 300,00 5.000,00 5.300,00 10.000,00

4 200,00 5.000,00 5.200,00 5.000,00

5 100,00 5.000,00 5.100,00 0,00


→As prestações deste sistema, quando transportadas para a data focal, têm como soma o valor inicial 25 000 00$ . ,F R = :

( ) ( ) ( ) ( )1 25 500 1 02 5 400 1 02 5 300 1 02 5 200 1 02 3 4. , . , . , . ,− − − −× + × + × + × +

( )5 100 1 02 5 392 16 5 190 31 4 994 31 4 804 00 4 619 23. , . , . , . , . , . , 5 −× = + + + + =

25 000 00$ . ,R .

→O saldo devedor em cada período é dado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior com a amortização do período. Na linha t , temos:

1tF tSD F t Fn n

= − × = × −

, para 0t ≥ .


216

→O juro de um período é calculado sobre o saldo devedor do período anterior. Assim, na linha t temo:

( )1

11t t t

tJ i SD J i F

n− −

= × ⇒ = × × −

.

→Concluímos que a t ésima− prestação é dada por:

( )11t t t

tF FP J P i Fn n n

−= + ⇒ = + × × − ⇒

( ) ( )1

1 1 1ttF FP i F i n t

n n n −

= + × × − = × + × − + , para 1t ≥ .

Este sistema é o mais fácil para entender a razão dos sistemas de amortização não praticarem anatocismo.

O juro sempre é calculado sobre o saldo devedor do período anterior e o saldo devedor não contém parte de juros de períodos anteriores, uma vez que a amortização é sempre positiva.

• Sistema de Amortização Crescente - SACRE

Este sistema de amortização é uma combinação dos sistemas Price e SAC em que cada prestação é a média aritmética simples das respectivas prestações dos dois sistemas.

Exemplo 48.7


Crescente - SACRE, sem entrada, com taxa de juro composto de 2% . . a m e data da compra como data focal.

A prestação é a média aritmética simples das prestações das tabelas do TP e SAC. A partir das prestações, calculamos os demais elementos da planilha. A coluna dos juros é determinada pela taxa dada e a amortização é calculada por:

a j a jP P P P P P= + ⇒ = − .

217


Planilha de Financiamento – SACRE


Amortização Crescente Prestação Saldo Devedor

Data 0 25.000,00

1 500,00 4.901,98 5.401,98 20.000,00

2 401,96 4.950,02 5.351,98 15.000,00

3 302,96 4.999,02 5.301,98 10.000,00

4 202,98 5.049,00 5.251,98 5.000,00

5 102,00 5.099,98 5.201,98 0,00


→As prestações deste sistema, quando transportadas para a data focal, têm como soma o valor inicial 25 000 00$ . ,F R = :

( ) ( ) ( )1 25 401 98 1 02 5 351 98 1 02 5 301 98 1 02 3. , , . , , . , ,− − −× + × + × +

( ) ( )5 251 98 1 02 5 100 1 02 5 392 16 5 190 31 4 994 31. , , . , . , . , . , 4 5 − −× + × = + + +

4 804 00 4 619 23 25 000 00. , . , $ . ,R + =

∗ Como exercício, verifique os valores das prestações.

• Sistema Específico de Amortização - Diferida

Em contrato de financiamento pode surgir acordo entre as partes e ser definido plano específico de amortização. Em princípio, qualquer acordo que não infrinjam a Legislação Brasileira pode ocorrer.

Nesses modelos podem surgir várias situações. Exemplificamos uma situação, entre tantas que podem ser acordadas.

Exemplo 48.8

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,F R = , ou em 10 prestações mensais, sendo considerada a data

focal a data de compra nas seguintes condições:

→Taxa de juro composto de 2% . . a m ;


218

→Carência de 3 meses, com prestação nula e após o 4º mês se paga apenas o juro, por mais 3 meses;

→Após o 7º mês com amortização constante e juro.

Planilha de Financiamento – Específico


Amortização Diferida Prestação Saldo Devedor

Data 0 25.000,00

1 500,00 0,00 0,00 25.500,00

2 510,00 0,00 0,00 26.010,00

3 520,20 0,00 0,00 26.530,20

4 530,60 0,00 530,60 26.530,20

5 530,60 0,00 530,60 26.530,20

6 530,60 0,00 530,60 26.530,20

7 530,60 6.632,55 7.163,15 19.897,65

8 397,95 6.632,55 7.030,50 13.265,10

9 265,30 6.632,55 6.897,85 6.632,55

10 132,65 6.632,55 6.765,20 0,00

Exercícios


48 1E . – Sistema de Amortização Alemão. O Sistema de Amortização Alemão é chamado de sistema dos juros

antecipados com prestações constantes. Um mutuário deve pagar o juro do primeiro período no ato do empréstimo e no fim de cada período a cota de amortização juntamente com os juros do período a vencer. A última prestação é igual à cota de amortização, pois não há juros a vencer.

Um financiamento pelo Sistema Alemão de Amortização com valor F , taxa de juro i e prazo n tem o seguinte:

219


( )( )

( )

1

1

1 1

11

1

n

n

k k

F iP Valor da Prestação Fixai

P iA Amortização do período k

i

−

−

× = →− −

× − = → ≥−

Pesquise a dedução dessas fórmulas e complete a planilha a seguir, para 100 000 00$ . ,F R = , 5% . .i a m= e 10n meses= .

Planilha de Financiamento – Sistema Alemão


Amortização Alemã Prestação Saldo Devedor

Data 0 5.000,00 100.000,00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

48 2E . – Em todos os sistemas de amortização de financiamentos abordados neste capítulo, como demonstramos nas notas explicativas das planilhas, tem-se que as prestações, quando transportadas para a data focal, apresentam como soma o valor inicial financiado F .

Verifique que no exercício anterior, no Sistema Alemão, esse fato não acontece. [Sugestão: o transporte sempre é feito pelo método do valor atual composto.]

48 3E . – Montar em uma planilha Excel o exemplo (48.2) – Tabela Price – considerando o prazo de 36n meses= e iguais os demais dados.

48 4E . – Montar uma planilha Excel – Tabela Price um financiamento oferecido nos jornais de grande circulação de um financiamento de veículo com prazo 60n meses= com prestações fixas.


220

48 5E . – O valor de um apartamento à vista é 100 000 00$ . ,R ou com uma entrada de 5% deste valor, 4 parcelas postecipadas semestrais de valores iguais e 24 parcelas mensais fixas, com taxa de juro de 2% . . a m . Montar uma planilha no Excel para a quitação do apartamento. [Sugestão: transporte as parcelas semestrais para a data da compra e após calcule primeiro o valor das 24 prestações fixas].

221

49Sobre o Anatocismo nos Planos de

Financiamento

Como comentado em outros capítulos, esta é uma questão polêmica que perdura nos tribunais brasileiros há muitas décadas. Desde o nascimento da Lei de Usura - Decreto nº 22.626, de 7 de abril de 1933.

Para dirimir as dúvidas, o melhor é recorrer aos especialistas. Para tanto, transcrevemos a seguir trechos de uma secção de perguntas, de um jornal de circulação nacional, que consideramos esclarecedoras para os nossos propósitos.

Juros: usura liberada?“Coluna publicada na edição de 31/08/02 do Jornal da Tarde”Josué Rios é advogado especializado em Direito do Consumidor, professor de Direito da PUC-SP e autor do “Guia dos Seus Direitos”O leitor Ricardo Canuto intriga-se com o fato de “todas” as instituições financeiras aplicarem juros compostos nos cálculos de financiamentos e empréstimos, já que seus professores de matemática financeira vivem dizendo que os bancos devem utilizar juros simples.O leitor quer saber qual a lei que trata do assunto – e se a norma continua em vigor.A cobrança de juros (limite, fórmula de cálculo) foi regulada em 1933, pela chamada “Lei de Usura”. Lei, que na verdade, é um decreto (Decreto nº 22.626, de 7/4/33), pois o Brasil vivia o período da ditadura do presidente Getúlio Vargas – o Congresso Nacional estava fechado e as matérias que deveriam ser reguladas por leis, feitas pelos representantes do povo, eram disciplinadas por ato do presidente (decreto).A propósito da questão do leitor, o artigo 4º do Decreto nº 22.626/33, dizia: “É proibido contar juros dos juros.” Quer dizer: usar a fórmula de


222

cálculo dos juros compostos (juros capitalizados – ou juros sobre juros).De acordo com o decreto, o correto, então, seria usar na fórmula do cálculo os chamados juros simples. Só que há muito tempo, financeiras e demais fornecedores de crédito ao consumidor “revogaram”, no peito e na raça, a “Lei de Usura” e implementaram a prática ilegal do anatocismo – a cobrança de juros sobre juros.Veja o exemplo. O sr. Furtado, o Consumidor, deve R$ 1.500 no cheque especial e vai pagar 10% de juros ao mês. Logo, no primeiro mês, passa a dever R$ 1.650. No segundo mês a conta vai para R$ 1.815 (10% de juros sobre R$ R$ 1.650); terceiro mês: R$ 1.996,50 (10% de juros sobre R$ 1.815) e assim vai. Observe que o débito vai virando uma bola de neve, porque o montante principal, que é a base de cálculo dos juros mensais, também vai sendo aumentado mês a mês. E, como para o Senhor Furtado o cheque especial se tornou um caminho sem volta, depois de 12 meses nessa toada ele estará devendo R$ 4.707,64, sendo somente de juros R$ 3.207,64, com aumento de 213, 84% no período de um ano.Enquanto, no mesmo exemplo, se a cobrança mensal de juros seguisse o cálculo dos juros simples, a situação do sr. Furtado, seria menos ácida. Por esse critério, a taxa mensal de 10% de juros incidiria sempre sobre o montante original (R$ 1.500). E assim a conta do devedor, 12 meses pendurado no débito do especial, chegaria, via juros simples, a R$ 3.300 e não à quantia de R$ 4.707,64, resultante da aplicação dos juros compostos. Veja que o débito do sr. Furtado, no período de um ano, por conta do desrespeito à “Lei de Usura”, sofre um acréscimo de R$ 1.407,64.

Juros simples na JustiçaMesmo que o devedor pagasse a conta apenas acrescida de juros simples, estaria pagando uma taxa anual de juros de 120% (variação de R$ 1.500 a R$ 3.300). É pouco? E que tal no mesmo período – um ano – o Senhor Furtado 2 receber no máximo 10% quando empresta o dinheiro ao banco? Certa vez um lobista do setor me procurou e disse: “Mas tudo é assim. O banco, também paga juros sobre juros no rendimento da poupança.” Juro que fui educado. Ora, o rendimento da poupança não chega a 1% ao mês – e o banco cobra 10% mensal no cheque especial, além de outros encargos.Alguma luz? A Justiça sempre resistiu à prática da cobrança de juros sobre juros – (na prática, a capitalização mensal de juros). E os tribunais brasileiros nunca hesitaram em ratificar nos estritos termos a “Lei de Usura” – a proibição do anatocismo. Acho que nenhum assunto amealhou

223


do Judiciário brasileiro tamanho grau de consenso como a condenação do ilícito referido.A proibição do anatocismo chegou ao status de Súmula do Supremo Tribunal Federal (STF) – Súmula 121 do STF. Veja o seu teor: “É vedada a capitalização de juros, ainda que expressamente convencionada.”A súmula é a uniformização da jurisprudência – a formação do maior grau de consenso dos membros do tribunal sobre uma determinada questão. E as súmulas do STF não obrigam os demais tribunais (não têm poder vinculante), mas gozam de um prestígio enorme – na prática são “leis”. E a Súmula 121 esbanja, há quase 40 anos, unânime receptividade perante a magistratura.Só para os bancos e financeirasDada a forte tradição da jurisprudência de nossa Corte Máxima, o Congresso Nacional quase sempre incorpora o direito sumulado às novas leis que aprova. Exigem muita reflexão do Legislativo para chegar ao ponto de aprovar leis contrárias ao bom direito expresso em súmulas do STF.Só que no mundo pragmático (e complexo...) das medidas provisórias (MPs), a história é outra. Tudo pode desabar do teto a qualquer momento. Por MPs, um dia podemos amanhecer com o nosso dinheiro bloqueado (Plano Collor); outro dia com o Código do Consumidor mutilado, etc., etc. E por que não, a qualquer hora, também com o anatocismo legalizado? Não estou fazendo aqui exercício de imaginação. O impacto só ainda não chegou ao seu bolso. Mas pode estar próximo. A medida provisória revogando o artigo 4º da “Lei de Usuras” foi editada em 31/3/2000 (MP 1963).Chegou-se a pensar que ela não seria reeditada. Mas foi. E hoje é a MP de número 2.170. Veja o que diz o seu artigo 5º: “Nas operações realizadas pelas instituições integrantes do Sistema Financeiro Nacional, é admissível a capitalização de juros com periodicidade inferior a um ano.”Veja aí, com todas as letras, o fim da proibição de “contar juros dos juros”, como era previsto no Decreto de 1933 e consta da Súmula 121 do STF. E, quando a MP acima fala em “periodicidade inferior a um ano”, quer, exatamente, legalizar a capitalização mensal que hoje é praticada.E a Justiça nesses dois anos da MP do anatocismo se curvou? Volto ao ponto sábado próximo. Até lá.A legalização do anatocismoVeja a evolução da lei sobre o assunto.– 1933: Getúlio Vargas edita o Decreto nº 33.626, em abril (Lei de Usura),


224

que limita a taxa de juros contratada a 12% ao ano. E o artigo 5º do decreto proíbe “contar juros de juros”, ou seja, cobrar juros compostos – a capitalização mensal que se faz hoje. Os juros poderiam ser capitalizados, mas de ano a ano.– 1963: o Supremo Tribunal Federal (STF) edita a Súmula 121, que diz: “É vedada a capitalização de juros, ainda que expressamente convencionada.”– 1964: é aprovada a Lei nº 4.595, de 31 de dezembro, que autoriza o Conselho Monetário Nacional a “limitar” os juros. Um eufemismo. O conselho traduziu limitar por liberar. E os juros – só para as instituições financeiras – ficaram ao sabor do mercado, sem limite.– 1977: o Supremo Tribunal Federal edita a Súmula 596, que ratifica a decisão acima do Conselho Monetário Nacional, e consolida o entendimento dos tribunais no mesmo sentido – pela liberação da taxa de juros.Mas veja o detalhe: ao confirmar a liberação da taxa de juros, o que garante aos bancos imporem hoje índices letais aos consumidores e à produção, a Súmula 596 do STF manteve em vigor a proibição do artigo 5º da Lei de Usura, assim como continuou intacta a Súmula 121 da Corte Máxima – vale dizer: continuou proibida a cobrança de juros sobre juros.Só que, em 2000, o presidente da República editou uma medida provisória sobre alhos, que depois virou bugalhos. Explico. A MP 1.963, de 31/3/2000, tratava da administração de recursos do Tesouro. Numa de suas reedições (as MPs são reeditadas porque não são apreciadas tempestivamente pelos congressistas – muitos dos gazeteiros que hoje voltam a lhe pedir o voto), porém, a referida MP recebeu um torpedo: o artigo 5º que diz que “é admissível a capitalização de juros com periodicidade inferior a um ano.” E aí sim: revogou-se a proibição de cobrar “juros de juros” do artigo 5º da Lei de Usura, bem como se afrontou meio século de jurisprudência pacífica dos tribunais brasileiros, inclusive os 30 anos da Súmula 121 do STF. E é só festa: juros ilimitados, juros compostos, a mina de ouro das tarifas que paga o total da folha de pagamento, multas, juros de mora, comissão de permanência etc., etc.

A análise de Rios é uma mostra do impacto desses questionamentos há mais de 70 anos. O motivo óbvio é tratar-se de interesses particulares envolvendo muito dinheiro.

225


A matéria jornalística transcrita é de agosto 2002, portanto, não contempla a sanha do atual governo em atender o poderoso setor financeiro. O Presidente Lula, como uma de suas primeiras iniciativas de governo, no início de 2003, patrocinou o maior incentivo à prática da usura no Brasil com a revogação do artigo 192 da Constituição Federal de 1988, por meio de uma Emenda Constitucional.

Se na vigência do referido artigo da Constituição ocorriam abusos de taxas e anatocismo na cobrança de juros, o que se pode esperar de agora em diante sem obstáculo algum?

À Luz da Matemática Financeira os questionamentos jurídicos anteriores podem ser eliminados. Tivemos a oportunidade de “brincar” com as fórmulas de juros simples e composto, para mostrar que a questão em termos de usura, não está no regime de capitalização – simples ou composto – e sim na magnitude da taxa de juro praticada. Vejamos o que diz o Decreto nº 22.626, de 7 de abril de 1933 - Lei de Usura no artigo 4º: “É proibido contar juros dos juros.” Na matéria, o ilustre jurista conclui que isso é: usar a fórmula de cálculo dos juros compostos (juros capitalizados – ou juros sobre juros). Se não for bem explicado de que está se falando, pode-se concluir qualquer coisa. O exemplo abaixo, embora bem trivial, diz como a confusão pode se instalar.

Exemplo 49.1

Suponha um empréstimo 1 000 00$ . ,R a ser pago no final do prazo de 283

meses ano= , com taxa efetiva de 6% . . a a . Qual o montante da dívida se

os juros são exigíveis juntamente com o capital inicial no final do prazo?Vamos abordar a questão pelos dois sistemas:

• Sistema Simples:

( ) 21 1 000 1 0 063s sM C i n M . , = × + × ⇒ = × + × ⇒

1 040 00sM R$ . ,= ;


226

• Sistema Composto

( ) ( )231 1 000 1 0 06n

c cM C i M . ,= × + ⇒ = × + ⇒

1 039 61c c sM R M M$ . ,= ⇒ < .

Neste caso, o montante simples é maior que o composto. A razão disso, mostrada anteriormente, é que o tempo em questão é menor que a periodicidade da capitalização e o regime simples não detectam essa informação. Os gráficos, dos montantes simples e composto, também evidenciam esse fato.

Em síntese, como comentado exaustivamente no capítulo (40), podemos enunciar questões importantes que conduzem a conclusões, aparentemente contraditórias nos negócios financeiros e gerar questionamentos legais e jurídicos.

• Questões Gerais

1ª - Qual é a exigibilidade do juro? Uma questão central para a Matemática Financeira é a exigibilidade do juro ou da prestação. Sem explicitar essa condição, a questão ficará incompleta ou falsa, o que poderá conduzir a conclusões absurdas. Se o juro é exigível em cada período, não haverá diferença entre o regime de capitalização – simples ou composto – e sempre se obterá o mesmo resultado. Pois o juro de um período não compõe a base de cálculo para o período seguinte. Em cada período o juro é calculado sobre o capital inicial e imediatamente liquidado. Os juros não pagos devem ser destacados para outra conta, na qual poderá incidir multa e juro moratório, nunca juro remuneratório.

2ª - A taxa é efetiva ou nominal para cada período referido na análise? Se uma taxa é efetiva para um dado período, por exemplo, anual, e a exigibilidade também anual então, como no exemplo (49.1), o montante simples será superior ao montante composto.

3ª - O que é mais importante? É a magnitude da taxa, pois uma taxa simples pode ser equivalente a uma taxa composta, gerando montantes iguais, segundo as relações:

227


( ) ( )1 11 1

ncn

c s si

i i n in

+ −= + × − ⇔ =

Com estas relações, o importante é o resultado aonde se quer chegar. É no resultado que ficará explícita a existência de usura ou não, por algum parâmetro não matemático. Os parâmetros da usura são de caráter econômico e cultural e não financeiro. Somente medidas judiciais ou o bom senso podem evitar o enriquecimento sem causa.

• Questões sobre os Sistemas de Amortizações

Semelhantemente ao parágrafo anterior, a existência ou não de anatocismo,

nas planilhas de amortização de empréstimos ou financiamentos, depende de

que ângulo se está olhando. Vamos elucidar algumas questões envolvidas nessa

celeuma.1ª – Devemos admitir como princípio que cada prestação ou parcela deve ser

com valor no mínimo igual ao juro correspondente ao período vencido. Caso contrário, a amortização será negativa, uma vez que:

a jP P P= − .

2ª – Podemos concluir facilmente que, havendo alguma carência ou prestações diferidas, como no exemplo (48.8), obviamente teremos o anatocismo presente na tabela. Convém frisar novamente que o problema agravante é a magnitude da taxa e neste caso sempre existirá uma solução que afaste a usura.

3ª – Supondo que as amortizações periódicas sejam positivas em cada período, então não ocorrerá anatocismo. Pois o juro é calculado sobre o saldo devedor do final do período anterior e, portanto, não haverá saldos anteriores de juros. Isso quer dizer que o saldo devedor de um período será sempre menor que o anterior, pois decrescente no tempo:

a n n a nSD F P F SD SD P SD 1 1 2 2 ,

uma vez que aP > 0 em cada período.


228

Exercícios


49 1E . – Verifique se no Sistema de Amortização Alemão existe ocorrência de anatocismo. Sugestão de estudos.

229

50Regime de Capitalização Contínua

Os modelos estudados até o momento tratam de modelos discretos na variável tempo. A unidade de capitalização, mesmo que “pequena”, ou seja, capitalização por hora no cálculo de juro composto, ainda assim será uma unidade discreta.

Nas áreas mais recentes de Finanças e Engenharia Econômica, envolvendo análises mais refinadas de opções de: investimentos, geração de lucros, análise de riscos, aplicações em derivativos entre outros, as funções matemáticas com variáveis contínuas se mostram mais convenientes. Dentre os modelos mais elementares, figura o regime de capitalização contínua contendo juro e montante contínuos.

Estudamos no capítulo (38) em detalhes, os conceitos de taxas de juros nominais e efetivas. Com ênfase, o exemplo (38.2) concluiu: “Em síntese, uma taxa efetiva numa unidade de tempo, pode ser nominal se forem definidas novas subunidades de capitalizações”. Pelo que já vimos, continuaremos analisando apenas capital nominal, uma vez que já foi explicado como se faz cálculos para capitais dinâmicos ou atualizados no tempo.Dados um capital inicial C na data 0 , uma unidade de tempo chamada de período de capitalização e i uma taxa de juro composta efetiva nessa unidade, então o montante composto é:

( )1 nM C i= × + .

Relembramos que a unidade referida pode ser dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre ou ano. Apesar de não usual, unidades como hora, segundo ou décimo de segundo, também pode ser considerada. O importante é que a taxa dada i seja efetiva na unidade fixada.


230

Fixando então uma unidade de tempo, n = número dessas unidades, i uma taxa efetiva nessa unidade e determinando que a capitalização seja k vezes nessa unidade, então pela Convenção – 2 do capítulo (38), o montante composto é dado por:

(50.1)1

n kiM Ck

× = × +

.

Exemplo 50.2

Considerando capital de 1 000 00$ . ,R aplicado durante 60 5 meses anos= , com uma taxa de juro nominal de 12% . . a a , determine os montantes correspondentes às capitalizações: simples, anual, semestral, quadrimestral, trimestral, bimestral, mensal, quinzenal, diária e horária.

No caso de capitalização simples, para comparação, temos:

( ) ( )1 1 000 1 0 12 5 1 600 00. , $ . ,M C i n M R = × + × ⇒ = × + × = .

Substituindo 1k ≥ na equação (50.1), temos:

Capitalização Valor de k Montante em R$

Anual 1k =5 1

10 121 000 1 1 762 34

1,. $ . ,M R

× = × + =

Semestral 2k =5 2

20 121 000 1 1 790 85

2,. $ . ,M R

× = × + =

Quadrimestral 3k =5 3

30 121 000 1 1 800 94

3,. $ . ,M R

× = × + =

Trimestral 4k =5 4

40 121 000 1 1 806 11

4,. $ . ,M R

× = × + =

Bimestral 6k =5 5

50 121 000 1 1 809 25

5,. $ . ,M R

× = × + =

231


Mensal 12k =5 12

60 121 000 1 1 816 7012,. $ . ,M R

× = × + =

Diária 360k =5 360

70 121 000 1 1 821 94360,. $ . ,M R

× = × + =

Horária 8 640k .=5 8 640

80 121 000 1 1 822 118 640

.,. $ . ,.

M R ×

= × + =

Como consequência desse exemplo, podemos afirmar intuitivamente que os

montantes satisfazem:

1 2 8M M M< < < <

.

E também formam uma sequência numérica crescente e convergente. Está evidente

pela tabela anterior que quanto maior é a frequência das capitalizações do juro,

maior será o montante, porém, limitado superiormente. Mais que isso, o limite da

sequência existe e podemos calcular o seu valor.

Com efeito, permitindo que k →∞ ou equivalentemente o número inteiro k

crescendo indefinidamente, com i e n fixados, então temos o seguinte:

Teorema 50.3

1n k

n ik

i ek

lim×

×

→∞

+ =

.

Este teorema é um corolário de um limite fundamental que figura nos livros

de cálculo diferencial e integral:

11m

m e

mlim→∞

+ =

,

onde o número real irracional (transcendental) é 2 7182818e ,≈ 28.

Para elucidar o resultado que interessa neste capítulo, vamos fazer algumas

considerações algébricas:


232

Tomando 1i k m i n k n m i

k m= ⇒ = × ⇒ × = × × , então podemos escrever

a expressão inicial de outra forma:

1 11 1 1n in k n m i mi

k m m

×× × × + = + = +

.

Como 1 0k m

ik m

lim lim→∞ →∞

= =

e 11limm

m e

m→∞

+ =

, então:

1 11 1 1lim lim limn i n in k m m

nik m m

i ek m m

× ××

→∞ →∞ →∞

+ = + = + =

.

Atualmente, com programas recentes de matemática computacional, o número transcendental 2 7182818e ,≈ pode ser determinado com aproximações de centena de casas decimais.

A taxa i , denotada por (delta), é uma taxa nominal quando tomamos “infinitas” capitalizações nos subperíodos infinitesimais, sendo chamada de taxa instantânea. O correspondente montante é chamado de montante contínuo e indicado por:

(50.4)(50.4) n nM C e C M e .

Exemplo 50.5.

Considerando um capital de 1 000 00$ . ,R aplicado durante 60 5 meses anos , com

uma taxa de juro instantânea 12% . .a a , determine o montante contínuo, com realização

dos juros somente no final do prazo acordado.

O montante contínuo é dado por substituição direta na equação (50.4):

5 0 121 000 1 822 12,. $ . ,nM C e e M R .

.

Exemplo 50.5

Considerando um capital de 1 000 00$ . ,R aplicado durante 60 5 meses anos= , com uma taxa de juro instantânea

(50.4) n nM C e C M e .

Exemplo 50.5.





5 0 121 000 1 822 12,. $ . ,nM C e e M R .

, determine o montante contínuo, com realização dos juros somente no final do prazo acordado.


(50.4) n nM C e C M e .

Exemplo 50.5.





5 0 121 000 1 822 12,. $ . ,nM C e e M R ..

Notemos que este último resultado é muito próximo da capitalização horária no exemplo (50.2); a diferença é de apenas um centavo.

233


• Taxas Equivalentes – Composta e Continua

No capítulo (40), estudamos a equivalência entre taxas de simples e composta, estabelecendo a relação:

( ) ( )1 11 1

ncn

c s si

i i n in

+ −= + × − ⇔ = .

Como anteriormente enunciado, duas taxas são equivalentes quando produzem montantes iguais, para os mesmos capitais iniciais e tempos iguais. Portanto, usando esse princípio, podemos estabelecer a seguinte relação:

1 11 1

ncn

c s si

i i n in

.

Como anteriormente enunciado, duas taxas são equivalentes quando produzem

montantes iguais, para os mesmos capitais iniciais e tempos iguais. Portanto, usando esse

princípio, podemos estabelecer a seguinte relação:

1 nnM C e C i 1 nnC e C i

1 1nne i n ln e n ln i

(50.5) 1ln i e 1i e

Essas duas relações, entre taxa efetiva discreta e taxa contínua, independem do tempo

n .

Exemplo 50.6.

Dada uma taxa de juro instantânea 12% . .a a , determine a taxa de juro composto

que produz o mesmo montante que no mesmo tempo de aplicação.

Resolvendo:

0 121 1 12 7497, , % . .i e i e i a a .

1 11 1

ncn

c s si

i i n in

.






(50.5) 1ln i e 1i e


n .

Exemplo 50.6.



Resolvendo:

0 121 1 12 7497, , % . .i e i e i a a .

(50.5)

1 11 1

ncn

c s si

i i n in

.






(50.5) 1ln i e 1i e


n .

Exemplo 50.6.



Resolvendo:

0 121 1 12 7497, , % . .i e i e i a a .

Essas duas relações, entre taxa efetiva discreta e taxa contínua, independem do tempo n .

Exemplo 50.6

Dada uma taxa de juro instantânea

1 11 1

ncn

c s si

i i n in

.






(50.5) 1ln i e 1i e


n .

Exemplo 50.6.



Resolvendo:

0 121 1 12 7497, , % . .i e i e i a a .

, determine a taxa de juro composto que produz o mesmo montante que

1 11 1

ncn

c s si

i i n in

.






(50.5) 1ln i e 1i e


n .

Exemplo 50.6.



Resolvendo:

0 121 1 12 7497, , % . .i e i e i a a .

no mesmo tempo de aplicação.Resolvendo:

1 11 1

ncn

c s si

i i n in

.






(50.5) 1ln i e 1i e


n .

Exemplo 50.6.



Resolvendo:

0 121 1 12 7497, , % . .i e i e i a a ..

Para concluir, lembramos novamente que uma questão importante aqui é a realização do juro. No caso de capitalização contínua sempre existirá anatocismo, pois os intervalos de capitalizações são infinitesimais, o que acarretará sempre a incidência de juro sobre juro.

Exemplo 50.7

Dada uma taxa de juro composto nominal 36% . .ki a a= capitalizada mensalmente, determine a taxa de juro instantânea a ela equivalente.


234

12 1212 0 361 1 1 42576088712 12

nn iC e C e , ,

35 47, % . . a a e 12i .

12 1212 0 361 1 1 42576088712 12

nn iC e C e , ,

35 47, % . . a a e 12i . e

12 1212 0 361 1 1 42576088712 12

nn iC e C e , ,

35 47, % . . a a e 12i ..

• Observações sobre o Anatocismo

É importante frisar que as relações dadas em (50.5) independem do número n e evidenciam mais uma vez que a usura nos cálculos de juros e montantes existe mais pelas questões da magnitude das taxas e menos por problemas com a Matemática Financeira.

Além disso, no cálculo do montante sempre haverá o anatocismo, a menos que ocorram realizações dos juros em intervalos infinitesimais (impossível), na mesma frequência que a capitalização. Por exemplo, mesmo supondo que se pague o juro diariamente, neste modelo de capitalização contínua sempre haverá anatocismo, pois a capitalização do juro é efetivada de forma contínua no tempo.

O anatocismo poderá ser afastado na prática, se for utilizada a equação (50.5), explicitando a taxa de juro discreta para uma dada taxa contínua e realizar o juro no mesmo período da capitalização.

Exercícios


50 1E . – Dados um capital inicial 100 000 00$ . ,R e uma taxa nominal de 10% . . a a e 18n meses= , determine os montantes quando a capitalização realizada é: mensal, bimestral, trimestral, quadrimestral e semestral.

50 2E . – Dados um capital inicial 100 000 00$ . ,R e uma taxa nominal de

10% . . a a e 283

n meses ano= = . Determine os montantes: simples,

composto e contínuo.

50 3E . – Ache a taxa de juro contínuo equivalente à taxa efetiva discreta de 5% . . a m .

235


50 4E . – Ache a taxa de juro efetiva e discreta equivalente à taxa de juro contínuo de 5% . . a m .

50 5E . – Constate que, dado uma taxa efetiva de juro discreta de 3% a.m. , o montante com capitalização por hora é muito próximo que a capitalização contínua.

236

51Perpetuidade – Infinidade de Prestações ou

Parcelas

Perpetuidade discreta é uma sequência com um número grande e indefinido

de capitais, distribuídos regularmente no tempo:

1 2, , , ,nP P P .

O valor futuro, ou a capitalização de uma perpetuidade, não pode ser calculado,

pois no caso de todas as parcelas iguais, temos:

( )1 1n

n ii

F P s F Pi

+ −= × ⇔ = × e ( )n in

s lim→∞

= ∞( )n ins lim

→∞= ∞( )n in

s lim→∞

= ∞ .

• Valor Presente de uma Perpetuidade

Em financiamentos ou empréstimos, faz sentido calcular o valor presente de

uma perpetuidade. Pelo modelo básico de financiamento ou empréstimo – com

n prestações postecipadas e a taxa i efetiva na mesma unidade – obtivemos a

relação:

( )1 1 n

n ii

F P a F Pi

−− += × ⇔ = × .

Fixada uma taxa efetiva 0i > e permitindo n →∞ , temos:

237


( ) ( )1 1 11 0n

n

n n

ii

i ilim lim

−−

→∞ →∞

− + + = ⇒ =

.

Um significado financeiro prático desse limite: quando n →∞ , a operação com um número grande de prestações, o valor atual do empréstimo ou financiamento é dado por:

PF P F ii

= ⇔ = × .

Exemplo 51.1

Suponha que uma pessoa foi condenada, em uma ação que já transitou em julgado, ao pagamento perpétuo de um salário mínimo, com valor atual de

300 00$ ,R . Geralmente a sentença define toda a vida do beneficiário e pode ocorrer continuidade aos seus herdeiros.

Em uma iniciativa inusitada, o devedor propõe, na execução da sentença, pagar à vista todas essas parcelas futuras.

Sendo assim, qual o valor que o devedor poderia oferecer, considerando uma taxa de juro composto de 1% . . a m ?

A solução do problema é saber qual o valor atual da perpetuidade formada pelas prestações futuras:

300 30 000 000 01

$ . ,,

PF F R i

= = ⇒ = .

Como comentado no capítulo (46), uma conclusão óbvia: Em um financiamento qualquer F , se o valor das prestações fixas P é dado pela equação P F i= × , então o financiamento é impagável. Em outras palavras, somente uma perpetuidade de prestações constantes P quitará o financiamento.

Exemplo 51.2

Um exemplo clássico de perpetuidade possível é o modelo de amortização americano – 1º caso. Nesse modelo, no final de cada período, o devedor pagará


238

apenas o juro referente ao período e o principal inicial continuará constante, conforme exemplo (48.3).

Exemplo 51.3

Um fundo de previdência que remunera os fundos individuais, com taxa efetiva de 0 8, % . . a m , qual o valor que o beneficiário deveria ajuntar num fundo individual, para poder usufruir de uma aposentadoria de 5 000 00$ . ,R eternamente?

Esse é um caso típico que, nas condições ideais colocadas, dispensa cálculo atuarial. Suponhamos também que o beneficiário aposentado receberá uma perpetuidade de parcelas.Assim, o montante necessário no início dos recebimentos deve ser:

5 000 625 000 000 008

. $ . ,,

APF F R i

= = ⇒ = ,

onde AP = valor da aposentadoria a receber eternamente e F é o fundo individual que cobrirá essa aposentadoria “eterna”. Note que o valor mensal do juro produzido por F é $ 5.000,00R , eternamente.

239

52Valor Presente e Futuro por Capitalização

Contínua

Neste capítulo estudaremos a situação da capitalização e empréstimo de um fluxo finito de rendas no tempo. Mais precisamente, vamos repetir as mesmas idéias dos capítulos (46) e (47), no caso em que os transportes de capitais são realizados por capitalização contínua.

O modelo a ser desenvolvido não aparece comumente, mas é um exercício interessante de como podemos quitar uma dívida ou outra situação problema, com taxa de capitalização contínua.

• Valor Presente – Capitalização Contínua

Com as mesmas noções do capítulo (44), consideremos como, na figura seguinte, dois conjuntos de capitais:

1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm

Denotamos por ktr C e ltr B o transporte para a data focal 0 , pelo critério de transporte

contínuo, com taxa , de cada elemento kC e lB , respectivamente, então pela

equação (50.4), os dois conjuntos são equivalentes na data focal 0 se:

e 1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm




.


233

52 Valor Presente e Futuro por Capitalização Contínua.

Neste capítulo estudaremos a situação da capitalização e empréstimo de um fluxo

finito de rendas no tempo. Mais precisamente, vamos repetir as mesmas idéias dos capítulos

(46) e (47), no caso em que os transportes de capitais são realizados por capitalização

contínua.

O modelo a ser desenvolvido não aparece comumente, mas é um exercício interessante

de como podemos quitar uma dívida ou outra situação problema, com taxa de capitalização

contínua.

Valor Presente – Capitalização Contínua.

Com as mesmas noções do capítulo (44), consideremos como, na figura seguinte, dois

conjuntos de capitais:

1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm




1 1r r n r r mt C t C t B t B

(52.1) 1 11 1

n mn mC e C e B e B e .

Analogamente à equação (46.3), tomando um capital F na data focal 0 , n prestações

fixas discretas 1 2 nP P P P e uma taxa de juro contínua, com F e

1 2 nP P P, , , , então:

Denotamos por ( )ktr C e ( )ltr B o transporte para a data focal 0 , pelo critério de transporte contínuo, com taxa

1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm




, de cada elemento

1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm




e

1 2 nC C C, , , e 1 2 mB B B, , , .

0 1 2 m n

C1 C2 Cn

B1 B2 Bm




,


240

respectivamente, então pela equação (50.4), os dois conjuntos são equivalentes na data focal 0 se:

( ) ( ) ( ) ( )1 1r r n r r mt C t C t B t B+ + = + + ⇔

(52.1)(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .

Como a expressão entre “colchetes” é a soma dos n primeiros termos de uma progressão

geométrica com razão q e e primeiro termo 1x e , então podemos achar a soma dos

seus n termos, denotado por na :

1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.

Voltando na equação (52.2), obtemos:

(52.3)1

1

neF Pe

.

Uma observação interessante é que, substituindo a taxa contínua , pela sua equivalente

discreta 1 1i e ln i , obtemos de volta a equação:

1 1 1 11 1 11

n nn ln i ln in ie e ei i ie

.

Analogamente à equação (46.3), tomando um capital F na data focal

0 , n prestações fixas discretas

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


e

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


uma taxa de juro

contínua, com

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


e

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


, então:

(52.2)

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


Como a expressão entre “colchetes” é a soma dos n − primeiros termos de uma progressão geométrica com razão

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


e primeiro termo

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


, então podemos achar a soma dos seus n termos, denotado por

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


:

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11



(52.3)

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


Uma observação interessante é que, substituindo a taxa contínua

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


, pela sua equivalente discreta

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


, obtemos de volta a equação:

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


241


( )1 1 niF P

i

− − + = ×

.

Exemplo 52.4

Como no exemplo (48.2), suponha que uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,R , ou em 5 prestações fixas, sem entrada com taxa de juro contínua

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


2% . . a mδ = e data da compra como data focal. Utilizando o modelo descrito neste capítulo, prestações fixas postecipadas – Price adaptada construa uma planilha de liquidação do financiamento.

Calculando o valor das prestações fixas:

( )5 0 02

15 0 02

125 000 25 0001

,

,. . =2%eP a P P 4,71070641

eδ

− ×− −

= × = × ⇒ ≈ × ⇒ −

5 307 06$ . ,P R = .

Agora podemos montar a planilha de liquidação, como segue:

Planilha de Financiamento – Tabela Price Taxa Instantânea.

Período Juro do Período Amortização Prestação Saldo

Devedor

Data 0 25.000,00

1 505,03 4.802,03 5.307,06 20.197,97

2 408,03 4.899,03 5.307,06 15.298,94

3 309,06 4.998,00 5.307,06 10.300,94

4 208,09 5.098,97 5.307,06 5.201,97

5 105,09 5.201,97 5.307,06 0,00


→As prestações deste sistema, quando transportadas para a data focal,têm como soma o valor inicial 25 000 00$ . ,F R = :

1 2 3 45 307 06 5 307 06 5 307 06 5 307 06e e e e. , . , . , . ,− − − −× + × + × + × +


242

55 307 06 5 201 97 5 098 97 4 998 00 4 899 03 4 802 03e. , . , . , . , . , . ,−× = + + + + =

25 000 00. , .

→A prestação fixa 5 307 06$ . , a jP R P P= = + foi calculada antes da

tabela, com aP = amortização e jP = juro.

→O saldo devedor em cada período é dado pela diferença entre o saldo

devedor do período anterior e a amortização do período. No período t ,

temos:

1t t aSD SD P−= − sendo 0 25 000 00$ . ,SD F R = = .

→O juro de cada período foi calculado pela equação:

1J M C C e C J C e ,

onde o valor C neste equação é o saldo devedor do período anterior,

como segue:

( )0 021 25 000 00 1 505 03,. , $ ,J e R = × − = ;

( )0 022 20 197 97 1 408 03,. , $ ,J e R = × − = ;

( )0 023 15 298 94 1 309 06,. , $ ,J e R = × − = ;

( )0 024 10 300 94 1 208 09,. , $ ,J e R = × − = ;

( )0 025 5 201 97 1 109 09,. , $ ,J e R = × − = .

→A amortização é determinada por: a jP P P= − em cada período da

tabela.

Todas as planilhas apresentadas neste texto são facilmente construídas em

Excel, facilitando sua extensão para um número qualquer de prestações.

243


• Valor Futuro – Capitalização Contínua

Analogamente à equação (47.3), tomando um capital S na data focal n , n parcelas fixas discretas

Analogamente à equação (47.3), tomando um capital S na data focal n , n parcelas

fixas discretas 1 2 nP P P P e uma taxa de juro contínua, então os conjuntos

S e 1 2 nP P P, , , são equivalente na data n , se:

(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .

Como a expressão entre “colchetes” é a soma dos n primeiros termos de uma

progressão geométrica com razão q e e primeiro termo 1 1x , então podemos achar a soma

dos seus n termos, denotado por ns :

1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.

Diferentemente do exemplo (52.4), suponha que uma pessoa quer comprar um produto

à vista por 25 000 00$ . ,R daqui a 5 meses . Para isso, começa a depositar num fundo de

capitalização que remunera com taxa de juro contínua 2% . .a m .

e




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




uma taxa de juro contínua, então os conjuntos




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




e




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




são equivalente na data n , se:

(52.5)




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




Como a expressão entre “colchetes” é a soma dos n − primeiros termos de uma progressão geométrica com razão




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




e primeiro termo 1 1x = , então podemos achar a soma dos seus n termos, denotado por




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




:




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.





(52.6)




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




Exemplo 52.7.

Diferentemente do exemplo (52.4), suponha que uma pessoa quer comprar um produto à vista por 25 000 00$ . ,R daqui a 5 meses . Para isso, começa a depositar num fundo de capitalização que remunera com taxa de juro contínua




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.



capitalização que remunera com taxa de juro contínua 2% . .a m .. Utilizando o modelo descrito neste capítulo parcelas fixas postecipadas, determine qual o valor de cada parcela.

Calculando o valor das parcelas fixas:

( )5 0 02

15 0 02

125 000 25 0001 =2%

eP s P P 5.206135735e

,

,. .δ

×− −

= × = × ⇒ ≈ × ⇒ −

4 802 03$ . ,P R = .


244

• Relação Entre os Fatores Fatores na e ns .

Considere os fatores: 11

n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.

Comparando as prestações fixas do exemplo (52.4) 1 5 307 06$ . ,P R e as parcelas

fixas do exemplo (52.7) 2 4 802 03$ . ,P R , obtemos a seguinte relação:

5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.

Em geral, chamando fP o valor fixo da prestação de um financiamento F , cP o

valor fixo das parcelas de uma capitalização, S F durante um mesmo prazo de n períodos e

uma taxa de juro contínuo nas duas situações, então temos a seguinte relação entre esses

valores:

nf cP P e .

Uma conclusão óbvia é que o valor das parcelas fixas de uma capitalização é bem

menor que o valor das prestações fixas de um financiamento.

Para verificar isso, basta considerar:

nnf c f c cn n

n

sF S P a P s P P P e

a

.

e Fatores na e ns .


n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.



5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.




valores:

nf cP P e .




nnf c f c cn n

n


a

.

Considere os fatores:

Fatores na e ns .


n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.



5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.




valores:

nf cP P e .




nnf c f c cn n

n


a

.

e

Fatores na e ns .


n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.



5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.




valores:

nf cP P e .




nnf c f c cn n

n


a

.

. Então:

Fatores na e ns .


n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.



5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.




valores:

nf cP P e .




nnf c f c cn n

n


a

.

(52.8)

Fatores na e ns .


n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.



5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.




valores:

nf cP P e .




nnf c f c cn n

n


a

.

Exemplo 52.9

Comparando as prestações fixas do exemplo (52.4) 1 5 307 06$ . ,P R =

e as parcelas fixas do exemplo (52.7) 2 4 802 03$ . ,P R = , obtemos a seguinte

relação:

5 0 021 2P P e ,×= × , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , ×= × .

Proposição 52.10

Em geral, chamando fP = o valor fixo da prestação de um financiamento F ,

cP = o valor fixo das parcelas de uma capitalização, S F= durante um mesmo

prazo de n períodos e




(52.5) 1 2 1 0n nS P e e e e .




1 111 1

nn

n

e ese e

.


(52.6)1

1

neF Pe

.

Exemplo 52.7.




uma taxa de juro contínuo nas duas situações, então

temos a seguinte relação entre esses valores:

Fatores na e ns .


n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.



5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.




valores:

nf cP P e .




nnf c f c cn n

n


a

.

Uma conclusão óbvia é que o valor das parcelas fixas de uma capitalização é

bem menor que o valor das prestações fixas de um financiamento.


Fatores na e ns .


n

nea

e

e 1

1

n

nese

. Então:

1 11 1

n nn n

n n e ee a e s

e e

(52.8) n nnn n

n

se a s e

a

.

Exemplo 52.9.



5 0 021 2P P e , , pois 5 0 025 307 06 4 802 03 e ,. , . , .

Proposição 52.10.




valores:

nf cP P e .




nnf c f c cn n

n


a

.

245


Exemplo 52.11

Um exemplo singular é quando tomamos 24n meses= e

(52.1) 1 11 1




1 2 nP P P, , , , então:

(52.2) 1 2 1nnF P e e e e .




1 1 11 1 1

nn n

n

e e ea e ee e e

e

.


(52.3)1

1

neF Pe

.



1 1 1 11 1 11


2% . . a mδ = . Então

24 0 02 1 616×= × ≈ ×, , .f c cP P e P

Isto nos diz que o valor fP supera em 61% o valor cP .

246

53Sistema Price com Prestações Corrigidas

Nos dias atuais, em financiamentos imobiliários, os bancos calculam o valor da 1ª prestação mensal na data 0 pela tabela Price. No ato do pagamento, as prestações são corrigidas por algum índice de inflação definido no contrato. Não incluímos nos cálculos as despesas iniciais de avaliação do imóvel, taxa de abertura de crédito entre outras, por não fazer parte propriamente do financiamento.

Em décadas passadas, existiam métodos no SFH – Sistema Financeiro de Habitação com correção anual nos valor da prestação e correções mensais nos saldos devedores. Essa política gerou um “problema social” no País, pois os saldos devedores eram corrigidos mensalmente por um índice – a inflação oficial – e as prestações corrigidas anualmente pelo índice de correção salarial da categoria funcional, invariavelmente menor que a inflação do ano.

Dessa forma, esse procedimento provocava no final do contrato o famoso resíduo, que é o saldo devedor remanescente após o pagamento da última prestação contratada.

Essas incongruências ocorriam pelo fato de não termos uma moeda estável e a legislação brasileira ser muito complexa. Teoricamente, o sistema de amortização Price supõe o cálculo das prestações fixas em uma moeda constante. Ou melhor, uma moeda com poder de compra constante, ao longo do prazo do contrato.

Enunciamos sinteticamente um método congruente: corrigir mensalmente a prestação e o saldo devedor pelo mesmo índice.

Como consequência disso, a prestação terá o mesmo valor que o obtido que pela aplicação da tabela Price no saldo devedor corrigido. Em outras palavras, temos um cálculo equivalente a fazer um novo financiamento, a cada mês, do saldo devedor atualizado, pelo prazo restante do contrato.

247


No exemplo a seguir vamos utilizar uma correção monetária constante. Em geral, os índices podem variar mensalmente.

Exemplo 53.1

Este exemplo é muito utilizado atualmente pelos bancos em financiamentos imobiliários, sendo que a maioria opera com taxa de juro menor e com correção monetária mensal das prestações por algum índice variável.

Suponha um financiamento imobiliário hipotético no valor de 25 000 00$ . ,R , com taxa de juro composto 2% . .i a m= e taxa de correção monetária constantes de 1% . . a m . Utilizando o roteiro descrito anteriormente, com prestações fixas postecipadas – Price corrigidas, vamos construir uma planilha que liquide o financiamento aludido sem deixar resíduo no final de 12n meses .

O cálculo do valor da 1ª prestação fixa, com valor monetário na data do contrato é dado por:

( ) ( )12

112

1 1 0 0225 000 25 000

0 02 2%P a P P 10,57534122,

. .,

−−

− + = × = × ⇒ ≈ × ⇒

2 363 99$ . ,P R = .Agora construímos a planilha de liquidação, como segue:

Planilha de Financiamento – Tabela Price na 1ª Prestação.

Mês Saldo (-)Corrigido Juro do Mês Amortização Prestação

CorrigidaSaldo Devedor

Início Mês

0 Data 0 Valor da 1ª Prestação 2 363 99$ . ,R 25.000,00

1 25.250,00 505,00 1.882,63 2.387,63 23.872,37

2 23.601,04 472,02 1.939,49 2.411,51 21.661,56

3 21.878,17 437,56 1.998,06 2.435,62 19.880,12

4 20.078,92 401,58 2.058,40 2.459,98 18.020,52

5 18.200,72 364,01 2.120,56 2.484,58 16.080,16

6 16.240,96 324,82 2.184,60 2.509,42 14.056,36

7 14.196,92 283,94 2.250,58 2.534,52 11.946,34

8 12.065,81 241,32 2.318,55 2.559,86 9.747,26

9 9.844,73 196,89 2.388,57 2.585,46 7.456,17

10 7.530,73 150,61 2.460,70 2.611,32 5.070,03

11 5.120,73 102,41 2.535,01 2.637,43 2.585,71

12 2.611,57 52,23 2.611,57 2.663,80 0,00


248


→A primeira prestação 2 363 99$ . ,P R = postecipadas foi calculada antes da tabela. No momento do seu pagamento incide a primeira correção de 1% :

( )2 363 99 1 0 01 2 387 63. , , . ,× + = .

As demais prestações são corrigidas mensalmente também pela correção monetária de 1 am% . Caso a correção seja variável, o calculo mês a mês se procede da mesma maneira.

→Cada linha indica o final do período (mês), sendo a linha zero o ato da compra e cada prestação decomposta como:

j aP P P= + , onde o juro jP , com 1 2 12, , ,j

é calculado sobre o saldo devedor do período anterior corrigido:

( )1 505 00 0 02 25 000 00 1 01, , . , ,P = = × × ;

( )2 472 02 0 02 23 367 37 1 01, , . , ,P = = × × ;

( )

( )12 52 23 0 02 2 585 71 1 01, , . , ,P = = × × ;

→O saldo devedor em cada período é dado pela diferença entre o saldo devedor do período anterior corrigido e a amortização do período. No período t , temos:

( )11 01t t aSD SD P, −= × − e 0 25 000 00$ . ,SD F R = = .

→A amortização é determinada por: a jP P P= − em cada período da tabela.

→Para verificar o fato mais importante, que é a igualdade entre a prestação corrigida e a simulação de um novo financiamento pelo prazo restante, escolhemos o mês 7:

( )72 363 99 1 0 01 2 534 52. , , $ . ,corrigidaP R = × + = . A prestação “nova” do saldo devedor 7 12 065 81$ . ,SD R = é dada por.

249


( ) ( )16

16

1 1 0 0214 196 92 14 196 92

0 02nova 2%P a ,

. , . ,,

−−− − +

= × = × ⇒

2 534 52$ . ,nova corrigidaP R P= = .

Este exemplo pode ser construído com o auxílio de uma planilha Excel, para um número qualquer de prestações e correções mensais variáveis.

Exercícios


53 1E . – Verificar as demais igualdades nova corrigidaP P= , no Ex. (53.1).

53 2E . – Constate na Tabela Price Corrigida, que, caso a correção monetária seja nula, então essa tabela coincide com a Tabela Price sem correção monetária.

53 3E . – Visite um banco e estude um plano de financiamento de imóvel, mesmo que fictício, para entender a Tabela Price e outras taxas envolvidas em operações desse tipo.

53 4E . – Refazer a planilha do exemplo (53.1), considerando a correção monetária apenas no saldo devedor. Isto é, as prestações permanecendo constantes até o final do prazo. Após, verifique qual será o resíduo deficitário no final do prazo do financiamento.

53 5E . – Construa uma planilha de financiamento de veículo, a partir de um anúncio publicitário. Se possível, visite uma revendedora para conferir se os cálculos teóricos conferem com a prática.

250

54Valor Atual de um Fluxo Uniforme de

Capitais

Para uma avaliação financeira mais refinada, em análise de investimentos, é necessário utilizar conhecimentos básicos de integrais definidas, para estudar uma distribuição contínua de série de capitais ao longo de um prazo fixado.

Vamos “tangenciar” ligeiramente o uso de integrais e estudar os valores, atual e futuro, de um capital distribuído uniformemente no tempo, a partir de ferramentas conhecidas nos modelos discretos. Aplicações importantes desse método surgem em: fluxo de caixa de uma grande empresa; despesas com máquinas e equipamentos de grande porte e lucros de uma rodovia pedagiada.

A análise que faremos agora difere sensivelmente dos conceitos desenvolvidos no capítulo (52). Enquanto lá tínhamos uma distribuição discreta com capitalização contínua, aqui temos uma distribuição contínua de capitais com capitalização contínua.

A técnica em foco é muito utilizada em análise de investimentos, no cotidiano financeiro de financiamentos e em avaliações de opções de projetos.

Para isso, seja um capital F n P= × distribuído em um fluxo uniforme, durante um prazo fixado composto de n períodos− congruentes.

Considerando uma fração pontual F n P Pn n

×= = do capital F em uma

data t , com 1 t n≤ ≤ , então o transporte de F Pn= , pelo regime racional

composto (discreto), fornece como valor atual na data 0 , para uma taxa efetiva

em cada n períodos− :

251


( )1 ttA P i −= × + .

Subdividimos os n períodos− em k subperíodos− e consideramos a taxa

i nominal para os k superíodos− . Por convenção, a taxa ik

é efetiva em cada

um dos k subperíodos- e valor atual com k capitalizações em cada período ,

e obtemos como valor atual:

1t k

tiA Pk

− × = × +

Consideramos agora o capital F Pn= fracionado nas k datas dos

k subperíodos- de forma postecipadas e valores nominais constantes Pk

. Veja

figura seguinte:


244

1t k

tiA Pk

Consideramos agora o capital F Pn fracionado nas k datas dos k subperíodos- de

forma postecipadas e valores nominais constantes Pk

. Veja figura seguinte:

0 1 2 k 1 n tem po

Pk

Pk

Pk

P P

F n P

pV

O valor atual pV das n k frações do capital F , pelo modelo discreto, é dado por:

1 111 1

n ikn ki

p

iP P kkV

i kk k ik i

11 1

n iki

pPV

kii

.

Como 1 11 1

ki

m

k me

k mi

lim lim

e p pkV Vlim

, então segue que:

11n i

n ip

P eV e Pi i

.

Para continuar com a mesma notação de taxa instantânea, consideremos i e temos

então:

(54.1)1 n

peV P

.

O valor atual pV das n k frações× − do capital F , pelo modelo discreto,

é dado por:

1 111 1

n ikn ki

p

iP P kkV

i kk k ik i

− ×− × − + = × = × − + ⇒


252

11 1

n iki

pPV

kii

− × = × − +

.

Como 1 11 1

ki

m

k me

k mi


+ = + =

e ( )p pkV Vlim

→∞= , então segue que:

( ) 11n i

n ip

P eV e Pi i

− ×− × −

= × − = ×

.

Para continuar com a mesma notação de taxa instantânea, consideremos i e temos então:

(54.1)1 n

peV P

.

e temos então:

(54.1)

i e temos então:

(54.1)1 n

peV P

.

Este é o valor atual ou valor presente do capital F n P= × uniformemente distribuído no intervalo de tempo de n períodos− .

Exemplo 54.2

Suponha em uma situação ideal que pudéssemos pagar prestações em fluxo contínuo, que totalizam o valor mensal de 1 000 00$ . ,P R = , durante 12 meses , com taxa de juro nominal de 3% . .i a m= . Qual o valor atual pV desse fluxo de prestações, pelos métodos de capitalizações discreto (tomando o fluxo diário) e contínuo?

Método Discreto - capitalização diária

12 300 031 11 000 30 10 073 270 0330

30

,. $ . ,,p pV V R

− × − + = × ⇒ =

.

253


Método Contínuo – capitalização instantânea

12 0 0311 000 10 077 460 03

,. $ . ,

,p peV V R − × −

= × ⇒ =

.

Observemos que se aplicarmos a equação (46.4), com prestações mensais 1 000 00$ . ,P R = , logo discreta, tem-se:

( ) 121 1 031 000

0 03p n iV P a ,

.,

−−= × = × ⇒ 9 954 00$ . ,pV R = ,

o que está perfeitamente coerente pelos métodos utilizados.

Exemplo 54.3

Uma rodovia com pedágio tem previsão de auferir durante 20 anos um lucro líquido de:

50 000 000 00 1 000 000 000 00$ . . , / $ . . . ,R ano R .

Suponha que o lucro esteja distribuído em fluxo uniforme no tempo, com uma taxa

efetiva de juro 12% . .i a a . Qual o valor atual pV desse fluxo uniforme de lucros líquidos?

Resolvendo: A equivalência entre taxa efetiva composta e contínua é:

12i aa% 1 0 12 11 33286853, , % . .ln a a .

Suponha que o lucro esteja distribuído em fluxo uniforme no tempo, com uma taxa efetiva de juro 12% . .i a a= . Qual o valor atual pV desse fluxo uniforme de lucros líquidos?


50 000 000 00 1 000 000 000 00$ . . , / $ . . . ,R ano R .




12i aa% 1 0 12 11 33286853, , % . .ln a a ..Portanto, podemos determinar o valor atual dos lucros líquidos por:

20 0 113328685307150 000 000 395 457 351 500 11332865307

,. . $ . . ,

,p peV V R − × −

= × ⇒ = .

Este é o valor atual do lucro líquido futuro, uniformemente distribuído no tempo nos próximos 20 anos . Para um empreendimento deste, a solução exposta pode ser um método eficiente de avaliação em caso de alienação ou indenização de contratos de concessões de estradas.

254

55Valor Futuro de um Fluxo Uniforme de

Capitais

Seja um capital S n P= × distribuído em um fluxo uniforme durante um prazo fixado composto de n períodos− congruentes.

Considerando uma fração pontual S n P Pn n

×= = do capital S em uma

data t , com 1 t n≤ ≤ , então o transporte de S Pn= , pelo regime racional

composto (discreto), fornece como valor futuro na data n , para uma taxa efetiva

i em cada n períodos− :

( )1 ttN P i= × + .

Subdividimos os n períodos− em k subperíodos− , números em negrito na figura a seguir e consideramos a taxa i nominal para os k superíodos− . Por convenção, a taxa

ik

é efetiva em cada um dos k subperíodos- e valor futuro com k capitalizações em cada período , obtemos como valor futuro:

1t k

tiN Pk

× = × +

Consideramos agora o capital P fracionado nas k datas dos k subperíodos- ,

de forma postecipadas e com valores nominais constantes Pk

. Veja figura

seguinte:

255



247

55. Valor Futuro de um Fluxo Uniforme de Capitais.

Seja um capital S n P distribuído em um fluxo uniforme durante um prazo fixado

composto de n períodos congruentes.

Considerando uma fração pontual S n P Pn n

do capital S em uma data t , com

1 t n , então o transporte de S Pn , pelo regime racional composto (discreto), fornece

como valor futuro na data n , para uma taxa efetiva i em cada n períodos :

1 ttN P i .

Subdividimos os n períodos em k subperíodos , números em negrito na figura a

seguir e consideramos a taxa i nominal para os k superíodos . Por convenção, a taxa ik

é

efetiva em cada um dos k subperíodos- e valor futuro com k capitalizações em cada período ,

obtemos como valor futuro:

1t k

tiN Pk

Consideramos agora o capital P fracionado nas k datas dos k subperíodos- , de forma

postecipadas e com valores nominais constantes Pk

. Veja figura seguinte:

0 1 2 k 1 n t e m p o

Pk

Pk

Pk

P P

S n P

fV

O valor futuro fV das n k frações do capital S , pelo modelo discreto, é dado por:

1 111 1

n ikn ki

f

iP P kkV

i kk k ik i

11 1

n iki

fPV

kii

.

O valor futuro fV das n k frações× − do capital S , pelo modelo discreto,

é dado por:

1 111 1

n ikn ki

f

iP P kkV

i kk k ik i

×× + − = × = × + − ⇒

11 1

n iki

fPV

kii

× = × + −

.

Como 1 11 1

ki

m

k me

k mi


+ = + =

, então seque que:

( ) 11n i

n if

P eV e Pi i

×× −

= × − = ×

.

Para continuar com a mesma notação de taxa instantânea, consideremos

i e temos então:

(54.1)1 n

peV P

.

e temos então:

(55.1)(55.1)1n

feV P

.


256

É bom frisar que a taxa instantânea i e temos então:

(54.1)1 n

peV P

.

é efetiva em cada um dos n intervalos− e nominal para os k − subintervalos infinitesimais, pois são neles que ocorrem as capitalizações.

Exemplo 55.2

Uma rodovia com pedágio auferirá durante 20 anos um lucro líquido de 50 000 000 00 1 000 000 000 00$ . . , / $ . . . ,R ano R .




12i aa% 1 0 12 11 33286853, , % . .ln a a .

Suponha que o lucro esteja distribuído em fluxo uniforme no tempo, com uma taxa efetiva de juro 12% . .i a a= . Qual o valor futuro desse fluxo uniforme de lucros líquidos?

A relação entre taxa efetiva composta e taxa contínua é:

12i aa% 1 1 0 12 11 33286853, , % . .ln i ln a a .

Portanto, podemos determinar o valor futuro dos lucros por:

20 0 1133286853 150 000 000 3 814 697 519 000 1133286853

,. . $ . . . ,

,f feV V R

× −= × ⇒ =

.

Este é o valor futuro, no final do prazo, do lucro líquido uniformemente distribuído no tempo nos próximos 20 anos .

Nota

No exemplo (54.3) calculamos: 395 457 351 50$ . . ,pV R = ;No exemplo (55.2) calculamos: 3 814 697 519 00$ . . . ,fV R = .Podemos relacionar esses dois valores por:

20 0 113328685307395 457 351 60 3 814 697 519 00 e ,. . , . . . , − ×= × ,

a diferença de 10 centavos é devido aos arredondamentos.Em geral, vale a relação:

np fV V e δ− ×= × .

257


Exercícios


55 1E . – Uma empresa industrial gastou, no período de 10 meses , a quantia de US$ 50.000,00 em lubrificantes para manutenção de seus equipamentos. Com juro contínuo equivalente à taxa efetiva discreta de 5% . . a m , calcular o valor presente desses gastos, considerando-os realizados de maneira uniforme no tempo. Para análise.

258

56Noções de Análise de Investimentos

Em todo sistema de amortização que estudamos no capítulo (48) incidem encargos inerentes aos financiamentos. Entre tantos citamos: Impostos sobre Operações Financeiras – IOF e Taxa de Abertura de Crédito – TAC e Seguros prestamistas. Com esses encargos incluídos nas prestações, o custo efetivo do financiamento não reflete a taxa inicial contratada.

A taxa efetiva verificada em um financiamento, após o carregamento das prestações com encargos, é chamada da Taxa Interna de Retorno – TIR . Em outras palavras, dados um fluxo de caixa 1 2, , , nC C C distribuídos regularmente no tempo e um valor inicial F na data focal 0 , então o Valor Presente Líquido - LVP do fluxo de caixa é dado por:

(56.1) ( )( ) ( ) ( )

1 21 21 1 1

nL n

CC CVP i Fi i i

×× × ×

= − + + + + + +

.

A TIR é por definição uma taxa de juro i× que satisfaz a equação polinomial de grau n : ( ) 0LVP i× = . Como não existe solução analítica para polinômio com grau maior que cinco, a determinação da taxa i × na equação polinomial

( ) 0LVP i× = , utiliza métodos numéricos, tais como: interativo, de Newton e das tentativas.

Mais adiante veremos como se realizam cálculos on line em sítios públicos, uma vez que o acesso à internet está ao alcance de quem trabalha com esses cálculos financeiros.

Quando os capitais são todos iguais nominalmente,

1 2 nC C C C= = = = , então podemos escrever a equação (56.1) de maneira mais simples:

259


(56.2) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 nLVP i F C i i i− − −

× × × × = − × + + + + + +

.

Vamos utilizar a motivação do exemplo (46.5), para entender melhor a TIR .

Exemplo 56.3 - TIR

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,R , ou em 5 prestações fixas postecipadas de

5 303 96$ . ,P R = . Qual é a taxa de juro deste financiamento?A equação do LVP deste fluxo de caixa é dada por:

( ) 5 525 000 5 303 96 0 4 713459L i iVP i a a . . , ,× ×

× = − × = ⇒ ≈ .

Utilizando uma tabela financeira para o fator 5 ia ×

, podemos achar o valor da taxa TIR deste fluxo de caixa: 2i %× ≈ .

No caso de exigir, com taxas e impostos, 5 prestações fixas de 5 458 86$ . ,R , então teremos outra TIR :

( ) 5 525 000 5 458 86 0 4 579707L i iVP i a a . . , ,× ×

× = − × = ⇒ ≈

Utilizando novamente a tabela financeira para o fator 5 ia ×

, podemos achar o valor da taxa deste fluxo de caixa: 3i %× ≈ .

Em muitos casos não encontramos nas tabelas financeiras valores intermediários. Essas questões podem ser resolvidas por interpolação linear, como no exemplo seguinte.

Exemplo 56.4 - TIR

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,R ou em 5 prestações fixas postecipadas de 5 350 00$ . ,P R = , incluindo despesas financeiras e taxas, e data da compra como data focal. Qual é a taxa efetiva de juro deste financiamento?

Podemos, neste exemplo, ver que o valor da parcela está entre os valores das parcelas dos dois exemplos anteriores:

5 4 713459 2%a ,≈ e 5 4 579707 3%a ,≈ .


260

O LVP para o fluxo com prestações constantes de 5 350 00P R$ . , é dado por:

( ) 5 525 000 5 350 00 0 4 672897L i iVP i a a . . , ,× ×

× = − × = ⇒ ≈ .

Agora podemos fazer uma interpolação linear para achar o valor aproximado da taxa 2 3i% %×< < :

5

5

5

2 4 713459

4 672897

3 4 579707

2%

i

3%

a

i a

a

% ,

,

% ,×

×

→ ≈ → ≈

→ ≈

2 4 672897 4 7134593 2 4 579707 4 713459i , ,

, ,× − −

⇒ = ⇒− −

2 0 303263 2 3, , %i i a.m.× ×− = ⇒ ≈ .

Esta taxa é o custo efetivo mensal do financiamento.Em Análise de Investimentos, para selecionar quando um projeto é

economicamente viável ou não, existem dois critérios de decisão básicos e muito utilizados.

• Critério do Valor Presente Líquido - LVP

No processo de seleção de alternativas de investimentos, embora não seja o único parâmetro, um dos mais importantes é o cálculo do fluxo financeiro gerado pelo projeto ao longo do tempo. Este, quando confrontado com o custo de oportunidade do capital inicial, fornece um indicativo importante da viabilidade econômica.

Devemos avaliar o fluxo de caixa proporcionado ou esperado pelo projeto, com valores localizados na data focal.

Dados um projeto que demanda um investimento inicial IC com taxa de custo financeiro , um fluxo de caixa do projeto com valores nominais 1 2 nR R R, , , e n o número de períodos do projeto, então o Valor Presente Líquido - LVP é dado por:

261


(56.5)(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.

O projeto será economicamente viável se: 0LVP . É óbvio que nos outros

possíveis casos em que 0LVP , o fluxo de resultados 1 2 nR R R, , , , quando transportados

para a data focal 0 , não recupera o capital inicial investido, ou seja, terá resultado menor que

o capital inicial IC . Por isso se diz que o projeto é inviável economicamente. Em síntese,

projetos com LVP positivos significam que tem retorno garantido.

A questão do custo do capital, escolha da taxa de juro que o remunera, é central nesse

tipo de problema, além de muitos outros parâmetros a serem analisados para uma tomada de

decisão.

Em análise de investimentos, verificar se o LVP de um projeto é positivo é o

primeiro passo para uma tomada de decisão.

A verificação é um problema matemático muito simples, pois basta encontrar uma

taxa que remunere o capital inicial IC e substituir na equação (56.5) para constatar se

0LVP - projeto viável - ou 0LVP - projeto inviável.

Exemplo 56.6 – Critério do LVP .

Uma revendedora de automóveis oferece um produto a vista por 25 000 00$ . ,R , ou em

5 prestações fixas postecipadas de 5 250 00$ . ,P R . Um comprador possui o capital para

comprar a vista, porém encontra um banco que remunera seu capital, para saque mensal, com

uma taxa de 1 8, % . .a m . Qual é mais vantajoso para o comprador: comprar à vista ou

aplicar o capital e comprar pela oferta da revendedora, pelo critério do LVP ?

O projeto será economicamente viável se:

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












. É óbvio que nos

outros possíveis casos em que

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












, o fluxo de resultados

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












,

quando transportados para a data focal 0 , não recupera o capital inicial investido,

ou seja, terá resultado menor que o capital inicial IC . Por isso se diz que o

projeto é inviável economicamente. Em síntese, projetos com

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












positivos

significam que tem retorno garantido.

A questão do custo do capital, escolha da taxa de juro que o remunera, é central

nesse tipo de problema, além de muitos outros parâmetros a serem analisados para

uma tomada de decisão.

Em análise de investimentos, verificar se o

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












de um projeto é positivo

é o primeiro passo para uma tomada de decisão.

A verificação é um problema matemático muito simples, pois basta encontrar

uma taxa que remunere o capital inicial IC e substituir na equação (56.5) para

constatar se

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












- projeto viável - ou

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












- projeto inviável.

Exemplo 56.6 – Critério do LVP

Uma revendedora de automóveis oferece um produto a vista por

25 000 00$ . ,R , ou em 5 prestações fixas postecipadas de 5 250 00$ . ,P R = .

Um comprador possui o capital para comprar a vista, porém encontra um banco

que remunera seu capital, para saque mensal, com uma taxa de

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












.

Qual é mais vantajoso para o comprador: comprar à vista ou aplicar o capital e

comprar pela oferta da revendedora, pelo critério do LVP ?

( ) 51 8 25 000 5 250 00 110 04 0L 1,8%VP a , % . . , ,= − × = > .

Uma interpretação do resultado: ( )1 8 0LVP , % > (projeto viável) segue

que mais vantajoso é comprar pela oferta da revendedora, pois, neste caso, o

significado é que o fluxo das prestações nominais, na data 0 , é menor que o

capital inicial.


262

• Critério da Taxa Interna de Retorno (TIR)

De forma rudimentar, utilizando uma planilha Excel ou uma máquina científica, o valor da TIR pode ser calculado por aproximação, substituindo valores para a taxa i× , até mudar de sinal do polinômio ( )LVP i× . Se necessário, por uma interpolação linear se determina a taxa intermediária entre as duas taxas dadas.

Como já definida, a TIR é uma taxa que satisfaz a equação polinomial ( ) 0LVP i× = . Portanto, em termos financeiros, a TIR satisfaz a equação:

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.

Assim, se o custo do capital inicial é i , então Assim, se o custo do capital inicial é

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.

Assim, se o custo do capital inicial é i , então , então o projeto é viável, ou melhor, ( ) 0LVP i× > . Configura-se assim a TIR como um critério rápido de decisão

sobre a viabilidade econômica de um determinado projeto de investimento.A vantagem do critério da TIR sobre o LVP é que os resultados são conhecidos em termos percentuais, o que facilita a compreensão.

Exemplo 56.6 – Critério do TIR

Uma revendedora de automóveis oferece um produto à vista por 25 000 00$ . ,R , ou em 5 prestações fixas postecipadas de

5 250 00$ . ,P R = . Um comprador possui o capital para comprar à vista, porém encontra um banco que remunera seu capital, para saque mensal, com uma taxa de

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












. Qual é mais vantajoso para o comprador: comprar à vista ou aplicar o capital e comprar pela oferta da revendedora?

A solução é determinar a TIR do fluxo de caixa dado pelas prestações e comparar com o custo do capital, que é

(56.5)

1 21 21 1 1

nL I n

RR RVP C

.








decisão.












:

5 525 000 5 250 00 0 4 761905 i ia a . . , ,× ×

− × = ⇒ = .

5

5

5

1 4 853431

4 761905

2 4 713460

1%

i

2%

a

i a

a

% ,

,

% ,×

×

→ ≈ → ≈

→ ≈

1 4 761905 4 8534312 1 4 713460 4 853431i , ,

, ,× − −

⇒ = ⇒− −

263


1 6539, % . .i a m× ≈ .

Como a TIR é menor que o custo do capital, i , então é mais vantajoso para o comprador aceitar o plano da revendedora.

264

57Cálculos Práticos na Internet

No cotidiano de profissionais ou aprendizes de cálculos financeiros, o

instrumento mais utilizado é a calculadora financeira. Atualmente, são vendidos

softwares específicos e muitos peritos em cálculos financeiros se utilizam de

planilhas eletrônicas ou o Excel.

Neste texto foram desenvolvidos conceitos e instruções, de forma que o

interessado consiga implantar as fórmulas em uma planilha eletrônica, entendendo

os mecanismos de cálculos. Com um pouco de esforço, é possível qualquer

iniciante configurar cálculos de rotinas, com grande quantidade de dados em uma

planilha Excel.

Existem sítios para assinante na internet, especializados em cálculos

financeiros on line. Alguns bancos oferecem simuladores de financiamento, sem

muita transparência nos métodos.

Para cálculos rápidos, consideramos o sítio do Banco Central do Brasil

- http://www.bcb.gov.br/?CALCULADORA - que oferece serviços públicos

gratuitos de excelente nível e tem propiciado às pessoas oportunidade

de conferir ou calcular suas operações diárias de conversão de moeda,

atualização monetária, financiamentos com prestações fixas e capitalização

ou depósitos regulares. Esse endereço mereceria maior divulgação para a

população em geral.

No endereço indicado encontra-se a Calculadora do Cidadão com as seguintes

funções práticas:

265


Calculadora do CidadãoAplicação com depósitos regularesCorreção de valoresFinanciamento com prestações fixasValor futuro de um capital

A seguir aportamos o layout de uma das janelas mais utilizadas da página, com a respectiva metodologia do cálculo de financiamentos com prestações fixas. A sua utilização é bem simples, didaticamente compreensível e com exemplos apresentados abaixo de cada da janela.

Os cálculos podem ser repetidos com uma máquina científica simples, exceto o cálculo da taxa que é sempre mais complexo.

Financiamento com prestações FixasCalcule a informação desejada

(Informe 3 valores e pressione o botão 'Calcular' para obter o 4º)

Nº de meses:

Taxa de juro mensal: %

Valor da prestação:(Considera-se que a 1a. prestação não seja no ato.)

Valor financiado:(O Valor financiado não inclui o valor da entrada.)

Calcular Limpar

Metodologia do Cálculo com Prestações Fixas

( )1 1 niF P

i

− − + = ×

,

onde:

n número de mesesi taxa de juro mensal - forma percentualP valor da prestação mensal postecidaF valor financiado

= = = =


266

Observação 1

O modelo só funciona quando a primeira prestação ocorre 30 1 dias mês= após o ato financeiro. Se a operação for com carência (prestações diferidas), a situação deve ser adaptada.

Caso queira resolver problema com prestações diferidas, deve transportar o valor F de forma a transformar a situação em prestações postecipadas.

Observação 2

O cálculo da taxa de juros ( i ) é feito por aproximação do valor da prestação ( P ) com margem de erro sobre P inferior a 0 000001, . Se houver necessidade de encontrar taxas, com erros menores que esse, o interessado deve procurar métodos numéricos mais refinados de cálculos.

Exemplo 57.1 - Utilizando a Calculadora do BCB

Uma revendedora de automóveis oferece um produto por 30 000 00$ . ,R em prestações fixas de 6 550 64$ . ,R postecipadas, com taxa de juro de 3% . . a m . Em quanto tempo o comprador liquidará o financiamento?

Calcule a informação desejada(Informe 3 valores e pressione o botão 'Calcular' para obter o 4º.)

Nº de meses:

Taxa de juro mensal: 3 %

Valor da prestação:(Considera-se que a 1ª prestação não seja no ato.) 6550,64

Valor financiado:(O Valor financiado não inclui o valor da entrada.) 30000

Calcular Limpar

Solução: digite a taxa de juro mensal 3 , o valor da prestação com a vírgula dos centavos e o valor financiado. Pressionando o botão “Calcular”, vai aparecer o número de meses 5.

A página do Banco Central é um “divertimento” para entender mais sobre matemática financeira.

267


Transcrevemos os exemplos apresentados na página do Banco Central, logo abaixo da “janela” de cálculo. Os três passos para o cálculo, devem ser seguidos como apresentados, no quadro de cada exemplo:

Exemplos

1) Um cidadão está devendo 2 000 00$ . ,R , tendo ficado acertado que o tomador irá pagar juros de 1% . . a m . Sabendo que as parcelas serão de

261 50$ ,R , em quanto tempo o empréstimo será quitado?

Taxa de juro mensal = 1 Valor da prestação = 261,50 Valor financiado = 2000 Clique em ‘Calcular’ para obter o nº de meses.

2) Um cidadão está pensando em comprar um bem que custa à vista 750 00$ ,R . O vendedor oferece a opção de pagar em 10 parcelas

fixas de 86 00$ ,R sem entrada. Qual a taxa de juros embutido no financiamento?

Nº de meses = 10 Valor da prestação = 86 Valor financiado = 750 Clique em ‘Calcular’ para obter a taxa de juros mensal.

3) A um cidadão é oferecido um bem no valor de 1 290 00$ . ,R . Para esse pacote, existe a opção de pagar em 4 prestações mensais fixas sem entrada, com taxa de juros de 1 99, % . . a m . Qual o valor da prestação?

Nº de meses = 4 Taxa de juro mensal = 1,99 Valor financiado = 1290 Clique em ‘Calcular’ para obter o valor da prestação.

4) Um bem está sendo vendido em 24 parcelas fixas de 935 00$ ,R . Sabendo que a taxa de juros anunciada é de 1 99, % . . a m , qual o valor do bem?

Nº de meses = 24 Taxa de juro mensal = 1,99 Valor da prestação = 935 Clique em ‘Calcular’ para obter o valor financiado.


268

Exemplo 57.2 – Adaptando para utilizar a Calculadora do BCB

Uma revendedora de automóveis oferece um produto no dia 15 de um mês, por 30 000 00$ . ,R em 5 prestações fixas postecipadas, sendo a primeira prestação no dia trinta do próximo mês, com taxa efetiva de juro de 3% . . a m . Qual o valor das prestações que liquidará o financiamento?

Para resolver, devemos então constatar que se trata de um problema com prestações diferidas ou com carência.

Para adequar essa situação, para a situação ideal do modelo básico de prestações postecipadas, deve-se transportar o montante financiado para 15 dias posterior à data da compra, pela mesma taxa.

a) Cálculo da taxa diária equivalente à taxa mensal dada:

( )1301 0 03 1 0 0985779, , % . .di a d= + − ≈ .

b) O “novo” valor a ser financiado será:

( )1530 000 1 0 000985779 30 446 67. , $ . ,vN R = × + = .

c) Introduzindo esses dados na calculadora do BB, o valor de cada prestação a ser paga todo dia 30, a partir do próximo mês, será:

6 648 17$ . ,P R = .

Observe que o valor desta prestação se relaciona com a prestação do Exemplo (57):

( )126 648 17 6 550 64 1 0 03P R$ . , . , ,= = × + .

269


Aplicação com depósitos regulares

Cópia da Janela do Banco Central

Calcule a informação desejada(Informe 3 valores e pressione o botão 'Calcular' para obter o 4º)

Nº de meses:

Taxa de juro mensal: %

Valor do depósito regular:(Considera-se que a 1º. depósito no início do mês)

Valor obtido ao final:

Calcular Limpar

Metodologia do Cálculo com Depósitos Regulares - parcelas antecipadas ou a 1ª no ato da contratação

( ) ( )1 11

niS P i

i

+ − = × + ×

,

Onde:

n número de mesesi taxa de juro mensal - forma percentualP valor do depósito mensal - antecipadoS valor obtido ao final

= = = =

Observação

O cálculo da taxa de juros ( i ) é feito por aproximação do valor do obtido no final ( S ) com margem de erro sobre S inferior a 0 000001, . Se houver necessidade de encontrar taxas, com erros menores que esse, o interessado deve procurar métodos numéricos mais refinados de cálculos, para encontrar as raízes de um polinômio de grau n .

270

APÊNDICE

No apêndice incluímos um vasto material correlato aos temas desenvolvidos, servindo de base de informações interessantes e complemento de leitura.

Neste material figuram artigos, assinados pelo autor, publicados em jornais e revistas, além de técnicas de montagem de tabelas financeiras. Como o objetivo pedagógico é a compreensão dos fundamentos da matemática financeira, com o advento das máquinas científicas e financeiras, as tabelas financeiras impressas se tornaram obsoletas. Assim, neste texto de Matemática Financeira, ao contrário que a maioria, não incluímos tabelas financeiras exaustivas.

Os artigos, veiculados em jornais e revistas, não apresentam nenhuma originalidade de Matemática, o que julgamos importante são os problemas práticos envolvidos. Apesar de tratarem de questões idealizadas, não perdem a conexidade com o cotidiano e interesses imediatos da sociedade.

O foco principal nos artigos de divulgação trata-se de análise de “grandes números” e suas consequências em adoção de políticas equivocadas, quando confrontadas com os interesses da Nação Brasileira e sua população.

271

1A eternidade da dívida externa brasileira

Embora não sendo um especialista em dívida externa, tomamos coragem de escrever estas trivialidades, de tanto ler e ouvir pronunciamentos inconsistentes sobre a matéria. Para efeito didático e idealização do problema, faremos as seguintes hipóteses:

• Não levamos em conta o mérito, tampouco as causas da formação do montante da dívida externa.

• O total da dívida externa, sendo US$ 115 bilhões (em 1988).• A existência de um único devedor, no caso o Estado Brasileiro, representado

pelo governo federal.• Uma desvinculação da dívida atual, com novos empréstimos para

investimentos.• Nenhum empréstimo novo para saldar prestações da dívida atual.• A existência de um “órgão” internacional que se disponha a emprestar

US$ 115 bilhões.• A decisão política de pagar o total da dívida atual.Com essas suposições, analisaremos as consequências de sermos honestos no

pagamento dessa dívida.Para melhor entendimento do problema, comparemos o Brasil com um

mutuário do SFH (Sistema Financeiro de Habitação). Um indivíduo pode comprar uma casa ou apartamento, fazendo um empréstimo pelo SFH. Para tanto, o mesmo deverá estar apto a pagar o financiamento, somente com o resultado financeiro de seu trabalho. Nesse caso, o indivíduo só pode comprar um imóvel em prestações mensais em longo prazo, desde que sua renda mensal seja no mínimo 3 (três) vezes o valor da prestação.


272

Uma das formas de pagamento em longo prazo é pela Tabela Price, que significa prestações constantes com juros decrescentes, em valores nominais.

Por analogia, se quiséssemos liquidar a dívida externa em longo prazo, a Tabela - 1 nos mostrará o valor da prestação mensal em 20 anos e 50 anos, taxas nominais de juros anuais de 6% . . a a e 12% . . a a . e sem carência. Explicando: sem carência significa financiar hoje e pagar a 1ª prestação daqui a 1 mês.

Seria interessante que os presidenciáveis, antes de fazerem qualquer promessa, que excluam o calote da dívida externa, leiam a tabela aqui publicada para não caírem em demagogia.

Se estivéssemos em uma democracia transparente, o Povo Brasileiro receberia respostas convincentes, para as seguintes perguntas:

• Qual é a capacidade atual do Brasil para continuar pagando essas prestações, sem novos empréstimos e por quanto tempo?

• Qual o poder que o País possui para conseguir a taxa histórica de 6% . . a a ao invés dos 12% . . a a que vem pagando ultimamente?

• De onde virão novos investimentos, para conseguirmos manter o pagamento mensal por até 50 anos, dessas prestações, e ainda crescermos o suficiente para a melhoria do nível de vida da atual população bem como da expansão demográfica?

Sem sermos sarcásticos, gostaríamos que se conseguisse para o Brasil o mesmo que o artigo 47 do Ato das Disposições Constitucionais Transitórias da atual Constituição Federal concedeu aos empresários. Se a comunidade internacional tivesse a mesma “inconsciência” de nossos constituintes, a aritmética da nossa dívida externa melhoraria muito a nosso favor!

Além disso, vejamos pela tabela que, na melhor das hipóteses, com uma taxa de 6% . . a a teremos uma sangria do Brasil de aproximadamente US$ 600 milhões por mês. A situação é catastrófica se considerarmos que, nos últimos 10 anos, pagamos em média US$ 870 milhões mensais, só de juros e com um tremendo arrocho no mercado interno. A única maneira de pagar a dívida externa é com superávit da balança comercial. O mais grave é que, nos últimos 3 anos, o superávit médio ficou em torno de US$ 1,2 bilhão mensais, segundo a revista Suma Econômica (1989).

Como forma de diminuir o pessimismo da população, seria importante que o Governo divulgasse a resposta das seguintes perguntas:

273


• Do total da dívida externa brasileira, qual o valor da dívida da União, dos estados, dos municípios e dos empresários?

• Quais são os investimentos realizados, que estão produzindo o suficiente para pagar sua parcela dos empréstimos externos, para os quais foram contraídos?

• Qual é o subsídio dado pelo tesouro, para que a “eficiente iniciativa privada” consiga exportar competitivamente e contribuir para o pagamento da dívida externa?

• Qual é o montante da produção e de serviços internos, que deveriam ser voltados para o mercado interno e que estão sendo “desviados” para exportação?

• Qual é a parcela dos empréstimos estrangeiros que foi investida em C&T no Brasil, de modo a diminuir as diferenças do avanço tecnológico com os países ricos?

• Qual é o valor hoje, a valores nominais, do capital contabilizado como dívida externa?

Para finalizar, caro leitor, faça o raciocínio inverso da tabela apresentada. Admitamos dispor de US$1 bilhão mensais para pagar a dívida externa, com uma taxa 12% . . a a . Lembremos que esta quantia mensal é quase tudo que conseguimos nos últimos anos com a balança comercial. Sabe quanto tempo levaremos para pagar a dívida? Considere ( n →∞ ) e veja a razão, matematicamente.

A fórmula de amortização de uma dívida pela Tabela Price é a seguinte:

n iM P a = × , onde ( )1 1 n

n ii

a i

−− += ,

com M =montante da dívida, i = taxa de juro, P = prestação mensal e n =tempo.

Logo, para que exista n de modo que com que P dólares mensais é possível pagar a dívida de M dólares, obrigatoriamente,

M i P× < .

No caso em que 115$M US = bilhões, 1$P US = bilhão e uma taxa efetiva 0 94888, % . .i a m= tem-se:

115 0 0094888 1 091M i , ,× = × = bilhão de dólares, valor maior do que supusemos conseguir mensalmente.


274

Notemos como estamos em situação e momento críticos, com essa taxa de juro exorbitante. Como já demonstrado, com US$1bilhão mensais, nunca pagaremos a dívida. Mas como os “gringos” são agiotas espertos, eles não nos deixarão ficar nessa situação. Fazendo as contas pela mesma fórmula, podemos calcular que com US$ 1,1 bilhão mensais, valor pouco superior à situação anterior, 42 anos e alguns meses são necessários para liquidar a dívida. Senhor Presidente, negocie hoje a dívida externa, que no ano de 2031 estaremos livres dessa cruz. Isso a valores de 1989, nos dias de hoje, devemos carregar a cruz até no mínimo, o ano 2041.

Tabela – 1 (Dívida de U$ 115 bilhões)

EM U$ 1.000,00Prestações Mensais

MESES 6 0 5% . . , % . . a a a m≅ 12 1 0 aa am% , %≅

240 823.895,72 1.266.249,05600 605.365,51 1.152.944,31

Artigo publicado

JORNAL: CORREIO DE NOTÍCIAS Edição de 17.07.89JORNAL: INDÚSTRIA E COMÉRCIO Edição de 13.07.89JORNAL: O DIÁRIO Edição de 15.10.89JORNAL: FOLHA DE LONDRINA Edição de 22.11.89

275

2Como nascem as riquezas no mundo à custa

dos países emergente - O oráculo de Omaha

ou o calvário dos miseráveis?

Com o título O oráculo de Omaha, a Revista Veja publicou na página 119 da Edição nº 1.597, o exemplo de vida do americano Warren Buffett, que, em menos de cinquenta anos de trabalho, acumulou uma fortuna de 33 bilhões de dólares.

A primeira pergunta que nos surgiu: qual seria o ramo de negócio do ilustre americano? Lembramos, então, do parágrafo de um artigo sobre matemática financeira que recentemente submetemos a uma revista de divulgação acadêmica. Naquele instante, não tivemos dúvida - deve tratar-se de um investidor em fundos internacionais.

O que julgamos importante na referida reportagem é que os leitores poderão continuar a admirar o exemplo citado, mas devem tomar consciência de que o Sr. Buffett não é um iluminado divino. Ao contrário, se trata de um americano, dentre tantos outros, que se beneficiam da agiotagem internacional.

Com o que se ouve na mídia, sobre a crise financeira internacional e sua repercussão nos países emergentes, não é difícil concluir que o grande mal deste de século, são as escorchantes taxas de juros, situação que no Brasil ultrapassou o exagero.

Em nosso País é muito freqüente, há décadas, falar em taxa de juro real superior a 12% aa. (doze por cento ao ano), que em tese é o limite constitucional. Chegamos a praticar taxa de juro superior a 12% . . a m para crédito ao consumidor. Não é difícil demonstrar que essa situação é um absurdo, quando se trata de


276

operações em longo prazo. Tomando como base estritamente os dados oficiais, a taxa nominal de juro, o Banco Central a definiu no início de março de 1999, em 45% . . a a . Essa taxa, definida certamente para atender os interesses da agiotagem internacional, fornece uma efetiva de 3 75, % . . a m . Convém lembrar que os “mortais” brasileiros poupam seus recursos a uma taxa de apenas 0 5, % . . a m .

Suponhamos, então, que a taxa do Banco Central fosse mantida por longo período, por exemplo, durante 35 anos. Estamos tomando trinta e cinco anos para facilitar a comparação com os prazos praticados pelos fundos de aposentadoria.

É fácil calcular o montante futuro que um “ilustre americano” terá após poupar durante 35 anos ou 420 meses, apenas U$ 1,00 (um dólar americano) mensalmente. Isso mesmo, com um investimento de apenas um dólar mensal, capitalizados a essa alta taxa de juro é possível concluir como nascem as “riquezas” à custa do pobre povo brasileiro. Alguém mais desavisado poderia fazer as contas rapidamente: o americano teria U$ 420,00 mais os juros! Não senhores, o total capitalizado como já vimos, é dada por:

n iM P s = × , com ( )1 1n

n ii

s i

+ −= ,

onde n = número de meses de aplicação, i = taxa de juro mensal e P é o valor das parcelas fixas de investimento.

Substituindo na fórmula acima: 420n = meses, 3 5, %i a.m.= e 1 00P US$ , = obtemos a quantia astronômica de:

53 811 938 61US$ . . , .

É isso mesmo que estamos vendo, uma quantia próxima a 54 milhões de dólares. Pergunta-se: é possível viver com essas taxas de juros?

Usando a mesma fórmula de capitalização, qualquer um poderá simular várias hipóteses, variando a taxa de juro e o tempo.

Se quiser ficar mais “nervoso” com essa situação, tome como exemplo a taxa de 3 75, % . . a m definida pelo Banco Central. Substituindo esses números, na citada fórmula, chega-se à quantia capitalizada em 420 meses de: US$ 138 348 007 90. . , .

Infelizmente, a aritmética não mente. Para cada mísero dólar poupado ao mês, o filho da terra do “Tio San” terá em 35 anos o equivalente a 1.383 apartamentos

277


de US$ 100.000,00 cada. Alugando-os a uma média mensal de U$ 500,00 cada, o ilustre ser humano americano terá uma renda perpétua aproximada de US$ 692.000,00 mensais. Comparável aos valores da “mega-sena”!

As contas acima se referem a um mísero dólar mensal. Caso o americano colocasse US$ 1.000,00 por mês, o que é uma quantia irrisória para os padrões americanos, a estrela do “Woodstock Capitalista” teria mil vezes a quantia apontada, ou seja, uma quantia superior a 138 bilhões de dólares!

Ao mesmo tempo, se um mortal brasileiro, imitando o “iluminado americano”, colocar mensalmente US$ 1,00 na poupança tradicional brasileira, terá em 35 anos, com nossa taxa de poupança de 0 5, % . . a m , um montante de:

US$ 1.424,71.

Não precisamos de muitas contas para concluir que o mundo, globalizado ou não, certamente não suportará esses disparates das altas taxas de juros. A situação se tornará, em pouco tempo, muito pior que a exploração imperial nos tempos das colônias. As camadas mais pobres das populações estão pagando a conta desta “orgia internacional” de poucos.

Triste destino dos países, hoje chamados de emergentes, que começaram o século financiando as guerras fabricadas pelos “grandes” e o terminam com dívidas para os próximos cem anos. Se não reagirem a essa situação, estarão comprometendo o futuro das gerações de nossos filhos, netos e bisnetos.

Artigo publicado:

JORNAL: O Estado do Paraná Edição de 27.06.99REVISTA: Aduem 2(1) JAN/JUN, 1999Matemática Comercial e Financeira – Miscelânea de Aplicações – Série Apontamentos Nº 90 – EDUEM/UEM. Março/2000.

278

3O suplício da classe média brasileira

Tivemos no dia primeiro de julho de 1999 a “satisfação” de assistir à comemoração do quinto aniversário do Plano Real, pelo Palácio do Planalto. Será que o resto da população realmente tem o que comemorar? As estatísticas e os economistas a serviço do governo, na linguagem do “economês” afirmam: nesse período houve uma grande transferência de riqueza para as camadas mais pobres da população brasileira! Será que os ilustres economistas poderiam dizer de onde saíram essas riquezas? O país cresceu o suficiente, nesse período, para sustentar essa transferência? Ou existem algumas camadas que a sustentaram? A massa de recursos obtida, por exemplo, com o aumento das tarifas públicas e os milhares de pedágios nas estradas, foi transferida para que camada da população?

Não é preciso ser pessimista, para constatar que a situação se complicará mais no futuro, se atentarmos para o fato da quintuplicação da dívida pública brasileira, em apenas 5 anos. Claro está para todos, que a situação da dívida pública é consequência direta das altas taxas de juros praticadas pelo sistema financeiro. A revista Veja, em 02 de dezembro, publicou um intrigante artigo sobre o “efeito estufa”, no qual demonstra que as taxas básicas do governo, na época em torno de 34 5, % . . a a quintuplicam quando chegam ao cliente final! A agiotagem nacional, fomentada pelo Governo, abocanha hoje toda a produção e riqueza nacional.

O suplício da classe média nesses cinco anos de plano real está evidente ao respondermos a seguinte situação hipotética: suponha que um indivíduo, em 01 de julho de 1994, ingressou na nova moeda com um saldo devedor de, digamos, R$ 1.000,00 no cheque especial e até 01 de Julho de 1999 não conseguiu saldar. Uma situação teórica, mas bem possível de ter acontecido. Suponhamos também que o indivíduo não movimentou mais sua conta, portanto, ficou durante 60

279


meses com o referido R$ 1.000,00 de saldo devedor. As taxas, durante todo esse tempo, giraram próximas de 11% . . a m , sem considerar multas, impostos, renovação trimestral do contrato e tarifas bancárias de toda ordem. Alguém consegue imaginar quanto o “finado cliente” estaria devendo no banco hoje? Acreditemos ou não, mas seu saldo devedor seria hoje:

R$ 524 057 24. ,

É preciso explicar melhor, pois, certamente uma pessoa comum, mesmo que faça algum esforço mental não consegue imaginar como se chega a essa quantia astronômica. Alertamos para o fato de que esse montante foi gerado exclusivamente da dívida inicial de apenas R$ 1.000,00. Em outras palavras, o sistema financeiro nacional consegue transformar uma dívida de apenas mil reais, em mais da metade de 1 milhão de reais em apenas 60 meses.

Que negócio lícito suporta essa verdadeira extorsão?

Se fizermos os devidos cálculos e determinarmos um fator do período em tela, chegaremos à conclusão de onde saíram os monstruosos lucros do sistema financeiro nacional e também qual camada da população é que pagou essa orgia nacional. Isso sem contar o famoso PROER, recursos sugados do tesouro nacional, que indiretamente saíram dos impostos pagos pela “ex-classe média”.

• A sensibilidade das taxas no cálculo de uma dívida

Voltando à fórmula de acumulação de capital, vamos explicar como chegamos à quantia astronômica anterior. Frisamos que a sistemática de cálculo usada pelos bancos, para calcular o saldo devedor do cheque especial, é determinada pela seguinte fórmula de capitalização da dívida:

( )1 nM C i= × + ,

onde C = capital ou dívida inicial; i = taxa de juro mensal e n = número de meses em que o saldo C permaneceu devedor.

Simular alguns valores para i e n :a) Tomando 60n meses= , 11% . .i a m= , obtemos:


280

( )601 000 1 0 11 524 057 24. , $ . ,M R = × + = , que é o valor que já tínhamos mencionado.b) Tomando, 60n meses= , 12% . .i a m= , obtemos:

( )601 000 1 0 12 897 596 93. , $ . ,M R = × + =

Sucessivamente podemos calcular o montante da dívida, a partir da dívida inicial, a taxa de juro e o tempo, dados.

A fórmula exponencial do cálculo do montante capitalizado foge de qualquer intuição humana. Talvez por isso é que várias doutrinas jurídicas não aceitam o cálculo exponencial para a determinação de dívidas. Para compreender essa distorção, simulemos com a taxa limitada pela Constituição Brasileira, no máximo de 12% . . a a . Para isso, tomemos 60n meses= , 1% . .i a m= efetiva, ou 12% . .i a a= (nominal), e obtemos:

601 000 1 0 01 1 816 70 . , $ . ,M R

Para entender mais dessa agiotagem nacional é bom lembrar que grande parte dos recursos colocados à disposição do crédito direto, por exemplo, o cheque especial, provém do depósito a vista. Em outras palavras, são recursos da população, disponíveis sem custos financeiros para os bancos e, portanto, não provêm de capital das empresas financeiras. O sistema financeiro nacional é um verdadeiro “moto contínuo”, gerando fortunas a partir de nenhum capital investido! No final, se isso não bastasse, o governo garante os estouros de caixa dos bancos, através de mecanismos do PROER.

Com o beneplácito do governo, o sistema financeiro é intrinsecamente perverso, pois parte do princípio básico – condenável em todos os sentidos, por meio de tarifas e taxas, de que: é melhor roubar pouco de muitos, que muito de poucos. Onde está o vício dessa lógica maléfica, do ponto de vista da coletividade? Está no fato de que a sociedade vai se aniquilando, como uma “anemia coletiva”, sem que nenhum de seus membros, individualmente, tome consciência ou tenha força para reagir contra esse descalabro.

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Publicado em:

Matemática Comercial e Financeira – Miscelânea de Aplicações – Série Apontamentos Nº 90 – EDUEM/UEM. Março/2000.

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4Aposentadoria do professor universitário

Neste artigo, faremos alguns cálculos sobre a aposentadoria do professor

universitário que, pela nova legislação, perdeu o direito de aposentar-se aos 30

anos de efetivo exercício e contribuição.

A mídia “oficial” explora frequentemente que o atual direito do professor

universitário é um privilégio descabido, sem base em cálculo atuarial, e que

inviabiliza o sistema público de previdência.

Com muito pouco conhecimento de Matemática Financeira é possível

desmistificar essas afirmações tendenciosas, cujo objetivo é confundir a

opinião pública. Usaremos, para tanto, um Modelo Básico de Financiamento e

Capitalização, muito comum nos negócios financeiros. Certamente esse modelo

básico não é a regra vigente, mas serve para entender o que está acontecendo

com o montante das contribuições mensais, que cada professor universitário

arca mensalmente sobre o total de seus vencimentos. O que os servidores

contribuem por mês, teoricamente deveriam compor um “fundo especial de

capitalização”, para que no futuro fosse possível pagar as aposentadorias. Ao

contrário, o que está acontecendo é que os governos “desviam” esses recursos

para outras finalidades.

Enfocaremos a situação atual de um professor que contribuiu com 10% de seu

salário bruto, durante 30 anos (caso do homem) para a Previdência. Provaremos

que, na situação atual, a contribuição de 30 anos de atividade é suficiente para

pagar 127 anos de inatividade. É isso mesmo que está escrito! Um professor que

se aposenta aos 50 anos de idade poderá viver até aos 177 anos sem dar prejuízo

a ninguém.

283


Ainda podemos afirmar que a aposentadoria do professor universitário não é um privilégio descabido. O que se ouve é mais uma ”verborréia oficial” sem base matemática que a sustente.

• Professor universitário nunca teve estabilidade

Os resultados aqui expostos se aplicam aos funcionários públicos em geral. O motivo de focalizarmos os professores universitários é que há meses estão sendo “bombardeados” e apontados como os vilões que perderam seus privilégios.

A aposentadoria especial é o direito de algumas categorias profissionais de aposentar-se com tempo de contribuição menor que os demais trabalhadores. As razões das legislações anteriores concederem ao professor universitário o direito de aposentar-se aos 30 anos de contribuição para os homens e aos 25 anos para as mulheres, não entrarão em nossa análise. Mesmo assim, entendemos que não se tratava de uma simples ação corporativa, visto que a Constituição Federal, em seu §3º do art. 19, Ato das Disposições Constitucionais Transitórias, exclui os professores de nível superior da estabilidade dos servidores públicos civis, em todos os níveis da administração pública. Os professores universitários é o único segmento dos servidores públicos que não adquiriu estabilidade.

No afã de justificar o descalabro em que se encontram as finanças públicas, as autoridades governamentais chegam a confundir a opinião pública com o argumento de que, a arrecadação com os servidores da ativa não cobrem as despesas com os proventos dos servidores inativos. O que devemos lembrar é que esses valores não são comparáveis, uma vez que as atuais aposentadorias devem ser pagas com recursos recolhidos no passado. As atuais contribuições devem ser aplicadas para pagar as futuras aposentadorias. Devemos alertar a todos, pois encobertos por essa campanha difamatória dos funcionários públicos, os governos atuais poderão mais uma vez, estar “desviando” as atuais contribuições previdenciárias. Não é demais apontar que, se hoje estão faltando recursos na previdência, é porque os mesmos foram usados indevidamente em alguma época anterior. Necessário seria levantar os verdadeiros “irresponsáveis” que gastaram esses recursos, ao invés de responsabilizarmos as atuais vítimas, que contribuíram durante toda a vida.

Na verdade, o funcionário público não deveria pagar fundo de previdência, uma vez que a correlação salarial e funcional direta entre o pessoal ativo e o


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inativo obriga historicamente o Estado a se responsabilizar pelo pagamento de seus servidores. A liberdade profissional, inerente à iniciativa privada, não faz parte do cotidiano do servidor público. As relações de trabalho no serviço público são limitadas pelos estatutos, planos de carreira, concursos públicos e avaliações periódicas de desempenho. Portanto, não está presente a dicotomia patrão e empregado. Todo servidor público de carreira é um representante do Estado, enquanto os cargos eletivos são temporários e limitados pelos respectivos mandatos. Logo, ninguém poderia estar acima das funções de Estado.

O mito do inchaço das folhas de pagamentos é outra “balela”, que se apregoa vorazmente. Um servidor público não emprega ninguém e facilmente poderia identificar os verdadeiros responsáveis pelo inchaço nos quadros funcionais.

Uma dúvida que paira na sociedade é qual a razão do Governo não abrir a “caixa preta” das folhas de pagamento, estratificando-as por código de remuneração em sua totalidade. Com isso, saberíamos qual é o real gasto com salários dos funcionários públicos, e qual o gasto com os penduricalhos salariais e os cargos temporários de legalidade duvidosa. Aí sim, poderíamos fazer um grande debate com a sociedade organizada e concretizar uma verdadeira reforma do Estado Brasileiro.

• Fundos de Capitalização

A partir do sistema de capitalização composta, podemos refletir como, ao longo de nossas vidas, contribuímos para fundos que se tornam deficitários ou simplesmente “somem” e nada acontece aos verdadeiros responsáveis. Alguém se lembra do Fundo 147? Aqueles que na década de 80 aplicavam como incentivo, no Imposto de Renda? E o MONGERAL, CAPEMI e tantos outros que evaporaram como bolha de sabão, mas com certeza enriqueceram os seus gestores!

Hoje a ordem do dia, são os fundos de aposentadoria em cada Estado da Federação, como se o passado nada indicasse ao futuro. Todos viraram “santos”, como num passe de mágica! Os governadores, para se adequarem à Lei Camata, aquela que limita os gastos com pessoal em 60% da arrecadação, estão criando fundos de previdência. Talvez “desconhecendo” o sábio ditado popular que diz que do “couro sai a correia”, estão apenas trocando de nome os gastos dos mesmos recursos públicos. Estão novamente fazendo uma campanha do falso saneamento

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das finanças públicas, com intuito de confundir a população. A única verdade existente é que vamos gastar ainda mais, pois esses fundos serão privados, mantidos pelos estados, e não precisamos de grandes elucubrações para entender o que acontecerá com os grandes recursos que nesses fundos privados serão aportados. Sobre os mesmos incidirão: altas taxas administrativas, gestões ineficientes, benesses, desvios de finalidades e outras artimanhas conhecidas entre nós. Ignorar esses fatos é desconhecer o que acontece com as obras públicas executadas por empresas privadas e mais recentemente com os socorros financeiros promovidos pelo Banco Central. Uma leitura atenta do livro “Mauá – Empresário do Império” de Jorge Caldeira, editado pela Companhia das Letras em 1995, esclarecerá parte do que vem acontecendo com a administração pública brasileira desde o tempo do Império.

• Contribuições mensais – Fundo de Aposentadoria

Apenas como estratégia didática, suponhamos que um hipotético professor contribuiu com um percentual de um salário fixo durante 30 (trinta) anos. Isto é, não levaremos em conta as promoções ou outras vantagens agregadas (ou incorporadas) ao salário durante o tempo de contribuição, situação que certamente provoca variação salarial e, portanto, variação no valor nominal de sua contribuição. Em termos atuariais, se o fundo de aposentadoria for público, ou seja, sem taxas administrativas e de fins não lucrativos, essa restrição interfere muito pouco nos resultados. Claramente, para que o fundo seja auto-sustentável, é necessária uma eficiente administração para manter os gastos administrativos e outras despesas, somente com os excedentes financeiros. Também vamos supor que o salário seja em uma moeda constante, isto é, não serão consideradas as possíveis correções salariais, por conta da inflação, e tampouco a correspondente correção no “fundo de previdência”.

A partir disso, deduziremos qual é o montante que o hipotético professor acumulou após 30 (trinta) anos de contribuição, e derivaremos o tempo necessário para que o mesmo “consuma” na aposentadoria o respectivo montante.

Suponhamos uma situação individualizada, em que o salário bruto constante do hipotético professor tenha sido na ativa, S unidades monetárias, e que sobre esse incidiu um desconto de 10% (dez por cento) para a previdência. Somando uma


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idêntica parcela que o Estado (patrão) contribuiu, teremos então uma contribuição mensal para o fundo de previdência de:

0 2P S,= × ,onde S é o salário bruto mensal do professor. Em outras palavras, a parcela mensal que será depositada no fundo, será de 20% (vinte por cento) sobre o salário S.

Agora, capitalizando todas essas parcelas constantes P, que somam 360 (trezentos e sessenta), a uma taxa efetiva real mínima de 0,5%am (meio por cento ao mês) e substituindo esses dados na equação (1) teremos:

( )3601 0 005 10 2

0 005M S

,,

,+ −

= × × .

O que nos dá um montante de:

200 9M S,= × .

Invertendo o ponto de vista, o valor M representa também o valor que o Instituto de Previdência deve, ao final de 30(trinta) anos, ao hipotético professor.

A primeira controvérsia, amplamente divulgada pela “mídia”, é que o montante das contribuições acaba antes do “aposentado” morrer. Isso não se confirma, e podemos demonstrar que essa afirmação é falsa. De fato, mesmo numa perspectiva de cálculo de renda perpétua, veremos que esse montante nunca se acabará.

Atentemos para a conta, deliberadamente feita errada. Aqui está o fulcro da questão! Dividindo o valor de M pelo fator 12 S× , que é o número de meses do ano, multiplicado pelo salário, chegaremos à conclusão de que o montante será consumido em 16 anos e 9 meses. Ouvimos muitas vezes essas afirmações na “mídia”, por autoridades de todos os níveis, e definitivamente esse argumento está cheio de vícios e com cálculo totalmente errado.

A divisão indicada anteriormente não tem o menor sentido. Pois a “devolução” será em parcelas, portanto deve ocorrer juro também na devolução. É como se o “instituto de previdência” fosse pagar uma dívida em prestações, como qualquer pessoa paga um financiamento na compra de um objeto.

Corretamente, podemos dizer que o montante M, que será devolvido em n vezes a uma taxa de juro i , em parcelas de valor aP = valor da aposentadoria, está condicionado à seguinte equação:

287


a n iM P a = × onde ( )1 1 n

n ii

a i

−− += .

• Perpetuidade

O fator ( )1 1 n

n ii

a i

−− += na equação anterior, quando n tende para

o infinito tem limite: ( )1 1 1

n

n in n

ia

i ilim lim

−

→∞ →∞

− += = . Portanto, temos que:

200 9 aPM S

i,= × =

Como estamos admitindo a taxa mensal 0 5i am, %= . teremos o valor de

aP dado em função de S pela equação:

1 0045aP S,= × .

Aqui temos uma importante conclusão: para “consumir” o montante M, o valor da aposentadoria aP obrigatoriamente deve ser maior que o salário da ativa S. Para ser mais preciso, aP deve ser no mínimo maior que S em 0,45%. Mesmo assim, estamos admitindo uma perpetuidade, ou seja, os recursos do fundo nunca se acabarão.

• A aposentadoria deve ser maior que o salário da ativa

Fixando as variáveis aP e i , como o montante M já está dado, podemos explicitar o valor de n na equação:

( )1 1 niM P

i

− − + = × ⇒

( )a

M iP

ni

log

log

− − ×

=+

1

1.

Neste caso, para a existência de n devemos ter:

1 0 1 aa a

M Mi i P M iP P

− × > ⇒ > × ⇒ > × .


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Concluímos que o valor da aposentadoria aP deve ser no mínimo maior em 0 45, % que o valor do salário da ativa. Novamente se conclui que, para

1 0045aP S,= × o montante 200 9M S,= × nunca se acabará.

• Quanto tempo durará o fundo individual?

Vamos provar agora que sobram recursos para pagar a aposentadoria até para os netos. Para tanto, suponhamos que o valor da aposentadoria seja 1 005aP S,= × , ou seja, com o valor 0 5, % (meio por cento) superior ao salário da ativa: por quanto tempo o aposentado poderá receber o valor aP , sem comprometer o fundo de previdência?

Substituindo na equação de n os valores 1 005aP S,= × , a taxa de 0 5, % a.m. o montante de 200 9M S,= × , obtemos:

( )

200 91 0 0051 005 1 524 98

1 0 005

SSn meses

,log ,, . ,

log ,

× − − × × = =+

.

Que é aproximadamente 127n anos= . É isso mesmo, 127 anos!

• Fixando uma expectativa de vida

Qual é a expectativa de vida de um professor universitário? Pode ser 80 anos? Não sabemos, pois estudos dessa natureza são muito específicos e as seguradoras poucos sabem sobre esses dados. Para colocarmos uma margem de segurança, admitiremos que a maioria dos professores universitários sobreviva até aos 85 anos de idade. Suponhamos também que o professor se aposente precocemente aos 50 anos de idade, com 35 anos de inatividade.

Partindo dessa hipótese, aparentemente absurda, a segunda pergunta importante a fazer é: qual é o valor que deverá receber na aposentadoria, em função de seu salário da ativa, para não inviabilizar o “fundo de previdência”? Assumindo que o tal professor hipotético acumulou, durante os 30 anos de ativa, um montante de 200 9M S,= × e colocando como variável a calcular o valor

aP , à mesma taxa de juro 0 5i am, %= e o tempo 420n meses= , obtemos as seguintes implicações:

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( ) ( )1 14201 1 1 1 005

200 90 005

n

a ai

P M P Si

,,

,

− −− − − + − = × ⇒ = × × ⇒

1 15aP S,≈ × .

O valor aP é o provento da aposentaria que consumirá o montante M acumulado durante a ativa, que perfaz 15% superior o salário da ativa.

A título de esclarecimentos, considerando, neste caso, 90 anos ao invés de 85 anos , o que significa 480 meses de inatividade, ainda assim chegamos a um valor de 1 11aP S,≈ × , que perfaz 11% superior o salário da ativa.

• Onde está a aparente contradição?

Vamos chamar de 0 2cP S,= × o valor da parcela de contribuição e 1 005aP S,= × o valor do provento na aposentadoria, como anteriormente.

Resumindo, contribuindo durante 30 anos com cP mensais, que mistério existe para levar 127n anos= recebendo proventos mensais de valor aP , uma vez que claramente o valor cP é bem menor que o valor aP ?

A maneira mais simples de explicar é pela seguinte analogia: suponhamos que uma pessoa deposite mensalmente uma quantia constante 1P durante um tempo n , capitalizando mensalmente com uma taxa de juro i e ao final do período compre um objeto de valor X . Se de outro modo, outra pessoa compra o mesmo objeto pelo valor X financiado durante esse mesmo tempo, com a mesma taxa de juro e com parcelas constantes de valor 2P , demonstramos que o valor 2P é muito maior que 1P :

( )2 1 1 nP P i= × + .

Aplicando esta equação para o caso da aposentadoria e suponhamos que o professor universitário contribuiu durante 30 anos e ficará recebendo a aposentadoria também durante 30 anos, então temos a seguinte relação entre o valor da contribuição e o valor da aposentadoria:

( ) ( )360 3601 0 005 0 2 1 005 1 2a c a aP P P S P S, , , ,= × + ⇒ = × × ⇒ ≈ × .


290

Por este fato, podemos afirmar que um professor que (somado com a contribuição do Estado) contribuiu com 20% de S para o “fundo de previdência”, durante 360 30 meses anos= , poderá receber uma aposentadoria durante o mesmo tempo, no valor de 1 2 S, × , sem dar prejuízo a ninguém. Comparando com a expectativa de vida da população brasileira, as hipóteses levantadas acima estão próximas da realidade.

É fácil demonstrar que, se aP S , ou seja, a regra em vigor até há pouco (salário da atividade igual ao provento da inatividade) e estabelecendo o limite natural de 30 anos na aposentadoria, basta uma contribuição durante 27 anos e não 30 anos de contribuição que eram exigidos. Em outras palavras, um professor que se aposenta aos 55 anos de idade, após 27 anos de contribuição, poderia viver até os 85 anos e alguns meses sem propiciar prejuízo a ninguém.

Nossas reflexões, embora estritamente acadêmicas, demonstram que, com um mínimo de transparência e um necessário compromisso social dos governantes, é possível pactuar uma solução satisfatória para a sobrevivência dos fundos públicos de previdência. Se nada fizermos, assistiremos pacificamente a um desmonte irreversível dos serviços públicos, em particular na área de educação.

Certamente, ninguém pode avaliar hoje aonde chegaremos com essa campanha difamatória e com as atitudes irresponsáveis dos governos de plantão. Será que alguém lúcido no governo já refletiu como serão as futuras gerações de funcionários públicos de carreira, ingressantes por sérios concursos públicos? Como reporemos os quadros, após tamanha campanha milionária, na mídia há mais de quatro anos, que visa colocar todos os servidores públicos à mercê da execração pública? Isso merece estudos mais profundos, pois somente trabalhos específicos poderão detectar os reflexos dessa nefasta reforma do Estado, engendrada pelo ex-ministro Bresser Pereira. Reforma que, propositadamente não distingue o bem público do privado. O ministro Bresser, como um dos mandarins do governo neoliberal, com seu ímpeto “destrutivo”, conseguiu fazer escola e formar discípulos. O povo brasileiro levará décadas para avaliar a visão tacanha de Estado imaginado pelo então ministro. Nesse momento futuro, não teremos mais nada a fazer a não ser começar de novo, pois a história está aí para nos ensinar.

Neste estudo não analisamos a famigerada contribuição previdenciária dos aposentados, criada pelo Governo Federal em 1999, pois entendemos que esse

291


novo imposto não tem razão de existir. A menos que inventemos um fundo de previdência para pós-morte! Também não abordamos questões execráveis, como por exemplo, o reino dos marajás, que por sinal inclui professores universitários federais, questão que nos parece malabarismos jurídicos, de incorporação de penduricalhos salariais que merecem ser tratadas com instrumentos jurídicos e administrativos específicos.

Publicado em:

Matemática Comercial e Financeira – Miscelânea de Aplicações – Série Apontamentos Nº 90 – EDUEM/UEM. Março/2000.

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5Plano de Demissão Voluntária da

Aposentadoria – PDVA - ou Carrapato da

Sociedade?

A Rede Globo veiculou diariamente no mês de maio deste ano de 2003,

duas singulares campanhas publicitárias: uma em comemoração aos seus

38 anos de existência e outra campanha “arquitetada” de desmoralização

do servidor público brasileiro. A maledicência contra todos os servidores

indistintamente, patrocinada pelo atual Governo Petista, foi uma continuidade

à engenharia nefasta do senhor Bresser Pereira, nos idos de 1994. Na época,

enquanto toda a população saboreava a pseudo-estabilidade monetária do

plano real, o PT criticava com veemência a privatização do Estado e o

Governo de FHC trabalhava nos porões do palácio para servir a agiotagem

internacional.

Existem milhares de brasileiros que nasceram na década de 50, viveram

suas adolescências trabalhando arduamente na década de 60, completaram seu

curso universitário e começaram a trabalhar no serviço público na década de

70. Sempre trabalharam sem mordomias, sem salário de marajá e sem fundo

de garantia – FGTS, se dedicando em tempo integral e exclusivamente ao

seu cargo. Nunca tiveram privilégios como os espalhados aos quatro cantos

pelo atual Governo. Um destino muito triste de todos que acreditaram nesse

governo, após derrotas eleitorais do Sr. Lula.

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Charge do Jornalista Ricardo Borges

A atual proposta de reforma da Previdência, em que a quebra de contrato está evidente – não estamos falando em rompimento de direito adquirido e sim em quebra de contrato –, foi iniciada em dezembro de 1998 com a emenda 20 da Constituição Federal. A postura execrável do Governo passado foi assimilada com naturalidade pelo Governo Lula. Por isso, este Governo é um conjunto de políticos e tecnocratas que a história certamente o classificará como os “camaleões da política” de nosso século!

Previsto por muitos, o Governo atual está sendo responsável pelo fecho da campanha de difamação iniciada pelo Fernando I (de Melo) justificada pelos marajás dos serviços públicos; continuada pelo Fernando II (Henrique) e sacramentada pelo seu amigo confesso, o rei do sertão.

Como já disse sabiamente, na década de 60, a matriarca da família Kennedy: “meus filhos e netos, não se envolvam com a Presidência dos Estados Unidos, pois esta pode ser exercida pelos serviçais. Nunca sujem as mãos, quando existem capachos para realizar o serviço braçal”.

Gostaríamos muito de saber quem são os mandarins do poder nos dias atuais!

Esta campanha contra os servidores públicos, impinge aos mesmos a pecha de formarem um verdadeiro “carrapato da sociedade”, o sangue suga das classes mais pobres. Todos os “aliados” capitularam e nossa única saída


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é exigirmos um PDVA - Plano de Demissão Voluntária da Aposentadoria. De forma sucinta isso significa: devolvam apenas o que nós recolhemos para a previdência pública e não queremos usufruir aposentadoria alguma amaldiçoada pelo atual Governo. Restituam o que é nosso para fazer justiça a todos que não querem mais ser taxados de “carrapato da sociedade”! Dê-me apenas o que é meu, e não exigirei nem multa pela quebra literal do contrato assinado por mim em 1975, quando ingressei no serviço público estadual. Nesses quase 30 anos ininterruptos de serviços prestados à população, todos os ganhos foram conseguidos com muito sacrifício e muito trabalho, me dedicando exclusivamente à universidade pública. Sem dizer do assintótico achatamento salarial nunca reposto ao longo dos anos!

Senhores mandarins do poder, assim como assinaram compromissos com os credores internacionais de continuarem pagando juros escorchantes e iludir a população com falsas promessas de saldar uma dívida matematicamente impagável, pensem também nos brasileiros que aqui sobrevivem.

Há quanto tempo ouvimos a ladainha: diminuir a dívida pública, baixar os juros para crescermos de forma sustentada. Os atuais poderosos entendem bem que, somente um servidor bem remunerado pode coibir a corrupção. E sobre isso se calam! E os corruptores, que são os verdadeiros vampiros dos cofres públicos nacionais desde a época do Império, como ficam?

Senhor Presidente, não engane a Nação Brasileira sobre a dívida externa que é impagável e de fácil comprovação. Com efeito, suponha que temos uma dívida de U$300 bilhões com taxa nominal de 6%aa. Compatriota! Sabe qual é o valor de cada prestação fixa anual a pagar perpetuamente? Estamos condenados a pagar eternamente uma prestação anual de 18 bilhões de dólares.

Agora, uma singela pergunta: em quais anos da recente história, a balança comercial atingiu um superávit nas contas externas de 18 bilhões no ano? Os atuais serviçais do poder ficam comemorando superávits que nunca atingirão o patamar que torne a dívida pagável.

Os capitais voláteis, que vêm buscar juros exorbitantes em nosso País, se tratam de fundos de pensões dos países ricos. Que horror! A pseudo-reforma previdenciária proposta pelo Governo Lula se presta a gerar superávits primários para viabilizar o pagamento das aposentadorias dos países ricos. E

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ainda, nos obriga a assistir nos telejornais diário os ministros serem aplaudidos nos organismos financeiros internacionais!

Poucas coisas teriam a ser acrescentadas, além do excelente trabalho de autoria de Maria Lúcia Fattorelli Carneiro, Auditora Fiscal da Receita Federal, intitulado: “Mentiras e verdades sobre a reforma da previdência”. Desde 1988, este autor também vem escrevendo sobre a esbórnia nacional com o dinheiro público e a eternidade da dívida externa brasileira.

Neste momento, nós, funcionários públicos, deveríamos estar lutando para ser tratados igualmente aos credores estrangeiros no cumprimento dos contratos. Não podemos aceitar a pecha que este Governo está nos impondo, perante a opinião pública nacional, de sermos o “carrapato da sociedade”.

Para contribuir com essa campanha do PDVA, juntei todos os meus contracheques, cada servidor poderá fazer isso facilmente. Em seguida, construí uma planilha transportando os valores mensais descontados religiosamente, para a data focal de dezembro de 2002, mediante taxa de juros de 0 5, % . . a m somado com um índice oficial de correção de valores. Essa taxa é menor que as taxas aceitas pacificamente nas ações judiciais. No meu caso particular, com 27 anos e 10 meses de serviço considerei a razão de um para um, isto é, cada real descontado no meu salário, o Estado do Paraná entrou com outro um real. A soma na data focal totalizou: R$ 3.309.293,84 (três milhões, trezentos e nove mil, duzentos e noventa e três reais e oitenta e quatro centavos). Esse é o valor que deveria estar depositado em algum lugar para garantir a minha aposentadoria. É o crédito que tenho e o Governo está querendo dar o calote.

Em virtude do patriotismo, aceito receber apenas 50% desse crédito. O montante de R$ 1.654.646,92 (um milhão, seiscentos e cinqüenta e quatro mil, seiscentos e quarenta e seis reais e noventa e dois centavos) oferece uma renda perpétua de R$ 8.273,23. Valor que é o dobro do meu salário atual na ativa.

Se hipoteticamente, com o pensionista agregado, vivêssemos 40 anos de inatividade, ou seja, aposentamos com 50 anos (e não 60 como querem os “companheiros” do Berzoíne), teríamos uma soma de 90 anos. Essa idade é muito maior que a expectativa de vida dos brasileiros. Com isso, o montante aludido renderá por 480 meses, R$ 9.106,04 mensais. Queremos apenas o que nos pertence.


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Ao Governo Lula, indagamos se, no compromisso oferecido aos bancos estrangeiros, sobre o cumprimento integral dos contratos, estão incluídos os contratos de trabalho dos servidores públicos? O contrário disso será uma aberração passível de ação judicial. Se numa avaliação política/financeira constatarem que não têm como cumpri-los na íntegra, então convide os credores internacionais e nacionais para dividirem o prejuízo, uma vez que as promessas pré-eleitorais de analisarem a origem e os culpados pelo endividamento público nacional não estão sendo cumpridas, pelo governo petista.

Os servidores públicos não podem, pacificamente, arcarem sozinhos com essa dívida. Vamos nos calar diante desse descalabro?

Publicado em:

JORNAL: Folha de Londrina Edição de 24.07.2003INFORMATIVO 74: SINTEEMAR Edição de 06.08.2003

Diversas revistas eletrônicas e sítios especializados veicularam:http://www.espacovital.com.br/artigonelsonmartins.htmhttp://www.sinteemar.com.br/Documentos/BOLETIM 74.dochttp://www.sinasempu.org.br/cons/cons43/sitecons/opiniao02.htmA charge é de autoria do jornalista Ricardo Borges (risco.clic3.net) e permitida a reprodução, desde que citado o nome do artista.

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6Polícia rodoviária pública e pedágios

Em uma viagem de carro com destino a Curitiba, começamos a refletir sobre algumas perguntas e possíveis respostas:

• Porque temos que pagar doze pedágios, no trecho de ida e volta de Maringá a Curitiba, se já pagamos o IPVA – Imposto de Propriedade de Veículos Automotores? Qual o objetivo do IPVA, se não é para construir e conservar as estradas?

• Se os contratos de concessão são de trinta anos, em quantum a sociedade paranaense engordará os bolsos das concessionárias durante este tempo?

• Quanto o Estado do Paraná gastará durante os trinta anos com toda a infra-estrutura e salários da Polícia Rodoviária, para cuidar de um espaço privado? Ou a despesa com a Polícia Rodoviária deveria ser arcada pelas concessionárias?

• Se as concessionárias têm o direito de contar com a Polícia Rodoviária Pública nas estradas (propriedade privada por concessão), porque o dono de uma boate não pode solicitar segurança interna constante da Polícia Militar, para seu estabelecimento comercial?

• Qual o montante inicial que as concessionárias investiram, antes da operação das praças de pedágios? Construíram e pagaram com recursos próprios as imponentes praças de pedágios, ou receberam algum empréstimo com juro subsidiado pelo Estado ou pelo BNDES?

• A manutenção dessas estradas se resume em tapa buraco e pintura das faixas?

• O que rezam os contratos, com respeito às duplicações das estradas pedagiadas? Pelo que se nota a duplicação se resume a um trecho de onze quilômetros na Serra do Cadeado. Os demais trechos serão duplicados daqui a trinta anos?


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• Porque os pedágios (assim como a luz e a água) são reajustados por índices pré-fixados e o reajuste dos salários dos servidores públicos depende da boa ou má vontade do Governador?

Para responder essas perguntas, precisaríamos colher dados. Com alguns dias de procura não conseguimos sequer o volume do tráfego de veículos. Chegamos à conclusão de que as estradas pedagiadas são realmente privadas, pois os dados relativos à sua operação não são publicados.

Para exemplificar o disparate dos pedágios do Paraná, tomemos por base os Estados Unidos da América. Lá, paralelamente a uma estrada pedagiada sempre existe uma estrada pública sem pedágios. Transitar por uma estrada pagando pedágio é uma opção pessoal de cada americano. Embora o poder aquisitivo do americano seja muito superior ao paranaense, uma estrada com aproximadamente 400 km, o pedágio gira em torno de 6 dólares. Aqui no Paraná para essa mesma distância, o pedágio soma 8,3 dólares. Não é preciso dizer que as estradas pedagiadas dos USA têm no mínimo 4 pistas e uma qualidade inigualável. Aqui no Paraná, chegaram ao cúmulo de pedagiar estradas com pistas simples.

Sobre o montante amealhado da população, para os cofres das concessionárias, ao longo dos 30 anos de contrato, chegamos a números assustadores. Como é impossível de saber o volume de veículos que trafegam, vamos partir de algumas hipóteses. A hipótese está muito abaixo dos valores reais, pois dados divulgados pela imprensa indicam que alguns trechos o fluxo atinge 10.000 carros diários. Supomos que apenas mil veículos façam 15 (quinze) viagens por mês no Trecho Maringá - Curitiba.

Com o valor do pedágio de um carro de passeio pequeno (guardei todos os recibos) e capitalizando a uma taxa de 1% ao mês, teremos ao final de 30 anos, o montante de:

15 2 24 90 1000 3494 964136 2 610 738 210 00M R , , $ . . . ,= × × × × = .

O multiplicador 3494,964133 é o fator de valor futuro na data focal no final do contrato de 30 anos.

A quantia de quase 3 bilhões de reais é o valor que nossa população repassará para meia dúzia de empresários que tiveram o privilégio de receber de graça do Governo Lerner as nossas estradas.

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Para entender melhor as magnitudes destes números, tomem por base uma avenida urbana com 16 metros de largura, incluindo as galerias de escoamento de águas pluviais e terraplanagem. Em valores de junho de 2003 que é de R$ 65,08 por metro quadrado, o custo aproximado da construção é de R$ 1.041.280,00 por quilômetro. Assim, o montante M capitalizado, cobre a construção de 2.507 quilômetros de estrada em pista dupla. Valor próximo ao traçado do anel rodoviário concebido por Lerner. Podemos também dizer que equivale a 6 estradas com 420 quilômetros. É muito dinheiro desviado da população!

Utilizando os mesmos custos, podemos indagar: que número de veículos diários é necessário para se construir uma estrada de 420 km (distância de Maringá a Curitiba), com pista dupla? O custo de construção será de R$ 437.337.600,00, o que corresponde a uma prestação mensal de R$ 4.498.509,65, em um financiamento de 30 anos à taxa de juro mensal de 1%. Assim, com apenas 3.011 carros diários (passeio pequeno), pagando esse escárnio pedágio, pagamos a estrada. O volume inferido de veículos diários é muito inferior ao volume real do fluxo na estrada em questão.

Contas similares podem ser feitas em relação à privatização do BANESTADO, transação fraudulenta que também condenou o povo paranaense a pagar uma dívida superior a 50 milhões de reais mensais nos próximos 30 anos. Alguém deveria pagar por todos esses “rombos” nos cofres públicos e da população.

Publicado em:

JORNAL: O Diário do Norte do Paraná Edição de 03.01.200

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7Professores universitários: salários

calamitosos

Qualquer pessoa, mesmo sem especialidade em economia, pode concluir que os salários dos servidores das universidades estaduais estão extremamente defasados em relação ao custo de vida, quando comparado a qualquer índice oficial de inflação. De fato estamos com os salários literalmente congelados, desde 1º de março de 1997, data da implantação da Carreira do Pessoal Docente das instituições de Ensino Superior do Estado do Paraná.

Nesse longo período de mais de 90 meses, conquistamos apenas um reajuste linear para os professores e técnicos de nível superior de 13,55%, sobre os salários de fevereiro de 2002. Estudos indicam que nossas perdas nesse período totalizam um percentual de 73,59% em relação ao salário de agosto de 2004, se considerado a variação do INPC/IBGE desde março de 1997. Descontando multiplicativamente, o percentual de 13,55%, conquistados na longa greve de 2001/02, resta um saldo de recomposição salarial de 52,87% sobre o salário de agosto/2004. Essa defasagem acumulou neste período uma reposição de 22,9 salários de agosto/2004. É o lado perverso do plano real.

Os docentes universitários, principalmente das universidades públicas brasileiras, são os profissionais que mais perderam direitos trabalhistas nessa última década e paradoxalmente de forma mais acentuada neste governo petista. Esse sofrido professor perdeu entre outros, o abono pecuniário, as férias de 45 dias anuais, que era garantida por lei no Paraná, a aposentadoria por tempo de serviço ao completar 30 anos de trabalho e a licença especial que era garantida desde 1970. Além de se exigir dele a idade mínima de 60 anos para se aposentar e 53 anos para

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os demais trabalhadores. Isso sem falar no constante achatamento salarial, que inviabilizará a dedicação exclusiva ao ensino e à pesquisa. É espantoso como isso vem ocorrendo sem nenhuma resistência contundente, tanto em nível estadual como federal. O que será que temos mais para ser extirpado, depois da grande campanha difamatória promovida pelo governo federal e do ‘’esquecimento’’ por parte do governo estadual?

O Governo Requião não está preocupado com os salários dos professores universitários. Em 1991, no seu primeiro governo, já passamos por situação semelhante e infelizmente esquecemos todos os males causados. O poder de pressão da categoria docente parece ter chegado a zero e as reitorias, por limitações legal e orçamentária, pouco podem fazer em relação aos salários. Qual será nosso posicionamento frente a esta situação?

A única solução que nos resta, como um ato de desespero e humanitário, é reivindicar que seja liberada a licença sem vencimentos para fins particulares, com substituição do professor. Como consequência, muitos professores poderão trabalhar em outras instituições, particulares ou públicas, ganhando melhores salários, durante algum tempo. Neste prazo, o governo já terá terminado o mandato e, quem sabe, no futuro, outro governante prestigiará melhor nossa categoria profissional.

Publicado em:

JORNAL: Folha de Londrina Edição de 26.11.2004.JORNAL da ADUEM Edição de dezembro/2004

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8Como zerar o IR da pessoa física

O Governo Federal utiliza-se da mídia para informar enganosamente à população, sobre a queda de arrecadação caso haja uma correção plena na tabela do imposto de renda. Inverteram a lógica para justificar um “confisco” na renda de todos os trabalhadores, apoderando-se de parte do reajuste inflacionário de seus salários. Não se entende até onde esse irresponsável governo quer chegar! Entre as muitas injustiças do sistema tributário brasileiro, o imposto de renda do assalariado é a mais perversa, pois não atinge os que têm salários “por fora” ou sem registro. Dentre esses, o funcionário público é o mais penalizado, uma vez que sofre o desconto do imposto de renda no contracheque mensal e, além disso, paga 13% sobre seu salário bruto, para a previdência pública. Para o funcionário público, não há teto de recolhimento para a Previdência e, contraditoriamente, ainda se questiona a razão de sua aposentadoria ser pelo salário integral.

Para demonstrar nossa afirmação, suponha hipoteticamente que um funcionário público, com 3 dependentes, tenha um salário bruto de R$ 5.000,00 (cinco mil reais). Por exemplo, este é o salário de um professor universitário com mais de 30 anos de serviços e de posse de todos os títulos acadêmicos, no Paraná. Neste exemplo, a “vítima” terá como desconto na fonte: R$ 652,00 para a previdência, R$ 633,83 de imposto de renda, pela tabela do IR de 2005 e R$ 50,00 para o sindicato. Com isso, o mesmo recebe um salário líquido de R$3.664,18. Com isso ficou fora de seu bolso, 26,72% do salário mensal. Essas cifras de descontos, muitos brasileiros privilegiados nunca experimentaram! Altos executivos, donos de empresas e profissionais liberais, registram-se na previdência social pelo salário mínimo, são praticamente isentos do imposto de renda e poucos são importunados pela Receita Federal por monstruosas sonegações. Sem pagar imposto de renda,

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esses “sonegadores legais” conseguem amealhar em pouco tempo patrimônios pessoais incomparáveis aos demais mortais contribuintes.

Para comparar, suponha que o hipotético funcionário público conseguisse trabalhar 30 anos isento do leão da receita e tivesse investido mensalmente os

633 83$ ,R , num fundo que pagasse apenas 1% ao mês. Nesse tempo, o mesmo teria um patrimônio de aproximadamente: R$ 2.215.213,00. Qualquer pessoa pode entender que se trata de um razoável patrimônio, pois equivale a 44 apartamentos de R$ 50.000,00. É muito dinheiro “surrupiado” do infeliz trabalhador, que jamais recebeu em troca as obrigações do Estado - saúde e educação. Os números demonstram a razão de que alguns conseguem ajuntar patrimônios significativos, enquanto outros não conseguem nada.

É possível legalmente se obter a proeza do título deste artigo? Sim, simulando abaixo o contracheque do hipotético funcionário público cujo salário bruto é de R$ 5.000,00, pode-se visualizar melhor.Caso ele faça um acordo judicial com a esposa, partilhando o salário aos três dependentes, terá uma renda familiar líquida (dinheiro no cofre da casa) de R$ 4.298,01 e zero de imposto de renda, enquanto que se nada fizer seu salário líquido continuará R$ 3.664,18.

Este ensaio tem por objetivo mostrar como nosso sistema tributário é injusto e sem coerência lógica, onde alguns pagam muito impostos enquanto outros sonegam impunemente.

Para concluir, se esse “infeliz” funcionário público arrumasse um trabalho temporário extra e formal, para comprar um carro de R$ 50.000,00, o mesmo teria que ganhar um valor bruto de R$ 85.470,09. Pois 41,5% daquilo que ganhar ficará para os descontos de IR (imposto de renda) 27,5%, ISSQN (Prefeitura) 3% e INSS (serviços esporádicos) 11%. Isso sem contar os impostos embutidos no valor do veículo. Frase da semana: “Os brasileiros pagam impostos escandinavos em troca de serviços africanos”.

Publicado em:

JORNAL: Folha de Londrina Edição de 01.04.2005.

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9Professor universitário: profissão

filantrópica

O dicionário diz que filantropia é amor à humanidade. No Brasil, a atividade filantrópica teve início com a Igreja Católica, expandindo-se com associações profissionais e sindicatos. Com o advento da Constituição Cidadã de 1988, proliferou-se as ONGS – Organizações não Governamentais. As ONGS se enquadram no chamado terceiro setor da economia; incluem-se nesse setor os clubes de futebol, as faculdades particulares, as igrejas e os hospitais.

Professor universitário é a profissão que mais perdeu direitos nos últimos dez anos. Nunca haverá reajuste salarial, possível de repor todas as perdas dos professores universitários neste País. Como repor os reflexos negativos da campanha difamatória que antecedeu as reformas da previdência? Retiraram acintosamente direitos consagrados, com o nosso total beneplácito. O mais estranho é que tudo isso aconteceu, com um contingente considerável de congressistas oriundos dos quadros das universidades públicas. Ou seria um reflexo do “mensalão” do Governo Federal, para aprovar a reforma da previdência?

Mais adiante mostraremos que, especialmente no Paraná, o professor universitário se transformou, nos últimos 20 anos, em um agente de atividade filantrópica. Somente o futuro poderá dizer quão pernicioso para a sociedade foi esse ímpeto maléfico dos governos em prejudicar a classe docente e estranhamente assimilada sem lutas contundentes. Alivia-nos a consciência pensar que o amor à humanidade nos levará à felicidade da vida eterna?

Com todo esse descalabro em que vivemos o máximo que ouvimos de alguns colegas é para não nos lembrarmos disso, pois a depressão certamente aumentará.

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Será melhor então ficarmos quietos e assumir de vez uma posição de resignação coletiva? Ou será que perdemos a dignidade de outrora e não temos força de lutar por melhores salários? Talvez sejamos todos egocêntricos por natureza e individualistas por formação. Exageros à parte, em nossa Universidade, com mais de 1.300 docentes, as entidades representativas não conseguiram reunir mais de 30 professores, nas assembléias que discutem o maior arrocho salarial de nossa história.

Convém lembrar que os salários atuais estão piores, em termos de poder de compra, do que em meados 1991, no primeiro Governo Requião. Vamos continuar imaginando que melhores condições de vida cairão dos céus, como o insight em uma pesquisa científica? É muita ingenuidade pensar assim, a não ser que a água ainda não chegou ao pescoço da maioria dos docentes. O Requião certamente conhece nossas fraquezas!

Se quisermos mudar essa situação, temos de gritar, lutar e pressionar, pois nada nos chegará por piedade. Alguém imagina que houve época em que nossa categoria tinha a remuneração semelhante aos magistrados? Atualmente, não ganhamos nem o equivalente a um ajudante, com formação secundária, de juiz de direito. É uma decadência exponencial, para assimilarmos com naturalidade e nos acovardarmos diante de governos insensíveis.

Vamos acordar e pensar no mínimo sobre as futuras gerações de professores universitários que nos sucederão.

Em nosso dia-a-dia, cheio de atribulações e problemas rasteiros pela sobrevivência, ouvimos frequentemente frases de domínio popular, do tipo:

Luz, água e telefone pesam muito mais hoje em nossos bolsos!

Esse senso comum, aparentemente ingênuo, reflete fielmente a situação econômica de nossa categoria. Os preços de luz, água e telefone se distorceram relativamente de forma crítica, após as privatizações. Fato que ainda é negado por todos os governantes, de forma deslavada.

Não repor a inflação mensal em nosso salário, em médio prazo, é uma maneira muito eficiente de aniquilar a categoria, sem que surjam reações contundentes. Esse é o resultado de cooptação das lideranças do meio universitário. Não raro,


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professores que não conviveram com o desgaste físico e mental, do trabalho em

sala de aula e o desenvolvimento de pesquisas em nossas universidades públicas,

ocupam altos cargos administrativos e eletivos nas esferas, estaduais e federais.

Quantos professores universitários atualmente pertencem ao congresso nacional?

Refrescando a memória, no início de 1988, vivemos a efervescência da luta

política pela manutenção da universidade pública e gratuita e o financiamento

da pesquisa. Muitos temas nos ocuparam até a promulgação da Constituição

Cidadã de 1988 e não é preciso autocrítica, para concluir como fomos usados e

ingênuos.

Para responder algumas indagações, fomos buscar um holerite de fevereiro

de 1988, de um Professor Adjunto IV, com Doutorado e Dedicação Exclusiva

da Universidade Estadual de Maringá e por razões óbvias desconsideramos os

qüinqüênios:

Descrição Fevereiro/1988 Abril/2005Salário Base Cz$ 99.783,00 R$ 5.183,70Gratificação de D.E – 25% Cz$ 24.945,80 R$ 1.295,92Incentivo Doutorado – 25% Cz$ 24.946,00 R$ 1.295,93

Total Salário Bruto Cz$ 149.674,80 R$ 7.775,55

Na tabela, apenas convertemos para o padrão monetário real e corrigimos

pelo INPC/IBGE – Índice Nacional de Preços ao Consumidor para os valores de

abril de 2005. Para nos localizar, o salário mínimo de fevereiro de 1988 era de Cz$

5.280,00. Portanto, o aludido salário de 1988 equivalia a 28,35 salários mínimos.

Para informar ao Governador e seus asseclas, que afirmam ser uma

esculhambação as folhas de pagamentos das universidades, eis abaixo um

holerite real. Para aumentar nossa indignação, este holerite está escrito segundo

os parâmetros da atual Carreira e considerando o mesmo professor do quadro

anterior:

Descrição Vigente-Abril/2005

Sonho INPC

Salário Base – TIDE – 55% R$ 2.261,37 R$ 8.034,74Incentivo Doutorado – 75% R$ 1.696,28 R$ 6.026,06

Total Salário Bruto R$ 3.957,65 R$ 14.060,80

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Acreditando ou não, somente um reajuste salarial de 255,28% sobre o nosso salário atual reporia o seu poder de compra de fevereiro de 1988. Isso é verdade se estivermos convictos de que as mudanças na Carreira em 1997 - do TIDE e Incentivo de Titulação - foram ganhos reais da categoria. Na coluna sonho, os valores foram obtidos atualizando pelo INPC, o salário base de fevereiro de 1988 e aplicando os percentuais do TIDE e do incentivo à titulação da atual Carreira Docente.

Essa enorme diferença de 255,28%, entre o atual salário e o que deveria ser, demonstra inequivocamente que o Professor Universitário do Paraná pratica filantropia.

De forma mais realista, admitamos que jamais se recupere o poder de compra de nosso salário no nível de 1988 e tomando como “marco zero” a data da implantação de nossa Carreira Docente aprovada pela Lei nº 11.713, de março de 1997. Assim, como o INPC de março de 1997 até abril de 2005, acumula um percentual de 82,08% e nesse período conquistamos a cifra “astronômica” de 13,55% em março de 2002, na longa greve, ainda temos um direito a um reajuste de 60,35% sobre o salário de abril de 2005. Logicamente, sem calcular os resíduos gerados nesses longos períodos sem reajustes.

Para melhor clareza do significado dos percentuais mencionados, devemos entender que inflação é um sintoma sentido individualmente. Cada pessoa percebe a variação de preços de uma maneira particular, uma vez que o hábito de consumo é pessoal e cada um adapta o consumo em função de seu rendimento ou o “tamanho” do bolso.

Qual a razão de se ouvir tanta “chiadeira”, entre os docentes, sobre o custo de vida? Primeiro, porque vários professores estão no “sufoco” há muito tempo e no limite da resistência. Cada qual foi mudando seus hábitos e queimando suas reservas financeiras e patrimoniais, poupadas ao longo da vida. Segundo, porque o INPC é um índice que mede a variação dos preços dos produtos consumidos pelas pessoas com renda de 1 a 8 salários mínimos. Portanto, o consumo de alguns itens para esse público é menor que para outros que têm hábitos diferentes.

A categoria de professores universitários, por diversas razões, consome produtos e serviços que tiveram aumentos muito superiores ao INPC. Alguns preços sobem menos que a média, e outros muito mais.


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Desde julho de 1994, nossos salários tiveram um reajuste acumulado de 153%, incluindo os ganhos com a implantação da Carreira Docente e o fatídico 13,55%, da longa greve de 170 dias. Sem considerar os ganhos da implantação da Carreira, os reajustes conquistados acumulam um índice de 95% e o INPC do mesmo período foi de 194,02%.

O quadro abaixo, ilustra a razão de o professor universitário estar no limite da resistência, em termos financeiros.

Itens que compõem o INPC Variação do preço – julho/1994 a abril/2005Média geral de todos os itens = INPC 194,02%01. Hortaliças e verduras 216,25%02. Pescados 252,52%03. Aluguel e taxas 448,70%04. Combustíveis (domésticos) 595,71%05. Energia elétrica residencial 426,78%06. Transporte público 379,49%07. Combustíveis (veículos) 328,22%08. Produtos farmacêuticos 201,70%09. Serviços médicos e dentários 203,50%10. Plano de saúde 250,65%11. Cursos 209,36%12. Comunicação 651,42%

Fonte: IBGE

Evidentemente que todos esses itens são fundamentais na vida cotidiana de um professor universitário. Um caso aberrante é o item 12 – Comunicação, com 651,42%. Por exemplo, um professor que gastava R$ 100,00 com telefone em julho de 1994, hoje estará gastando R$ 751,42. O mesmo ocorre com a luz, se naquele mês gastava R$ 30,00 com energia elétrica, hoje estará gastando, com o mesmo consumo em quilowatts, R$ 158,03. Assim, com o seu salário, totalmente comprometido com despesas fixas de sobrevivência, certamente não terá tranquilidade intelectual para pensar nos problemas inerentes à sua vida acadêmica.

Não sejamos ingênuos, todos os problemas financeiros levantados anteriormente são de conhecimento do Governador do Estado e de seus auxiliares diretos e indiretos. O Governo sabe até quando nos pode “anemiar”, pois tem

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como avaliar com informações fidedignas a não ruptura de nossa parte. São os “vampiros” dos servidores públicos e sabem perfeitamente quanto podem sugar de sangue, de um coletivo desarticulado. A situação é econômica e devemos dar uma resposta econômica. Vamos ser solidários, ao menos uma vez na vida, e disseminar uma grande campanha, para que todo professor saque seu minguado salário no primeiro dia do pagamento do banco oficial dos pagamentos.

Publicado em:

INFORMATIVO 035: SINTEEMAR Edição de 08.07.2005http://www.sinteemar.com.br/noticias/30-06-2005%20b.asp

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10Sacrifício antes do prazer ou o contrário?

O maléfico fenômeno coletivo, de comprar a prazo e em prestações é relativamente recente em nossa sociedade. Sempre ouvimos de nossos pais e avós que devemos comprar, quando temos o dinheiro guardado para esse fim. Evite assumir dívidas para comprar necessidades adiáveis, ensinavam-nos os familiares!

Uma sabedoria popular facilmente explicada pela Matemática: é mais vantajoso seguir o caminho do “sacrifício antes do prazer”, que o inverso do “prazer antes do sacrifício”.

No mundo atual de consumismo exacerbado, por ironia do destino do socialismo dos espertos, o Governo do PT se atolou até o pescoço na exploração desenfreada de um dos segmentos mais pobres da população. Nem os mais esclarecidos entendem a avalanche de propaganda ofertando crédito fácil consignado. Parte da explicação está evidente: os bancos e financeiras imiscuíram-se com corruptos, antes falsos defensores da moralidade, para achacar os indefesos aposentados e funcionários públicos. O crime de “roubar pouco de muitos” é menos visível que o crime de “roubar muito de poucos”. O Governo está cometendo um crime contra esse coletivo.

Como na propaganda do fumo, que vem acompanhada de informações sobre seus malefícios, a propaganda enganosa do crédito fácil consignado deveria vir acompanhada de alertas sobre o “assalto incentivado” em que os infelizes e candidatos a eternos devedores são vítimas, no momento em que assinam um contrato de crédito consignado. O melhor seria proibir esse tipo de propaganda enganosa, pois o Povo está se endividando e certamente mergulhará na armadilha da atual e impagável dívida pública Brasileira.

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Este Governo, ao invés de patrocinar com artistas de renome nacional e apego popular o crédito fácil consignado, deveria incentivar a poupança, pois economistas afirmam que os países que mais crescem são os que produzem poupança interna.

Um desafio ao Governo e seus assessores entreguistas: sejam honestos e ofereçam ao Povo, pelo Banco do Brasil, um grande programa de fundos de investimentos e poupança programada, com essas taxas de juros de 2% . . a m . Uma taxa de dois por cento ao mês é menor que 3 9, % . . a m cobrada dos aposentados em créditos consignados. A propaganda de taxa a partir de 1 75, % . . a m é enganosa e não existe. Por que não se divulgam a origem e o custo aos bancos dessa montanha de dinheiro ofertada pelo crédito consignado?

A população deveria ser incentivada ao caminho do “sacrifício antes do prazer” e saber o quanto isso é mais vantajoso. Nesse sentido, um aposentado que se disponha a poupar uma prestação mensal de R$100 00, (um terço do salário mínimo), acumulará ao final de 36 parcelas antecipadas, com taxa de 2% . . a m , a quantia de R$ 5 199 44. , . Esse montante é calculado utilizando um modelo básico de capitalização.

Se esse hipotético aposentado quiser seguir o consumismo – primeiro o prazer e depois o sacrifício – e emprestar esse valor de R$ 5 199 44. , , com taxa de juro de 2 5, % . . a m em 36 prestações postecipadas, quanto pagará de cada prestação? Com o mesmo modelo aplicado pelos bancos, a prestação fixa será de R$ 220 72, . Isso mesmo, o custo mensal para poupar a quantia mencionada é menos que a metade dessa prestação. É o custo que o aposentado pagará pela opção do consumo imediato!

Como só o juro mensal com taxa de 2 5, % . . a m am de um empréstimo de R$ 5 199 44. , é de R$129 99 , então com uma prestação mensal de R$100 00, a dívida se torna impagável. Somente com uma infinidade de prestações é que poderá quitar essa dívida! Digamos que o infeliz aposentado quisesse correr o risco e pagar uma prestação mensal um centavo a mais, de 130 00$ ,R , a dívida de R$ 5 199 44. , seria quitada somente em 370 meses ou 30 anos, 10 meses. Uma armadilha!

Vejam o absurdo que o nosso Governo está proporcionando ao Povo Brasileiro, com esse incentivo ao crédito consignado. Tudo em benefício dos banqueiros!


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Não há mais dúvida de que essa política é fruto do famigerado mensalão, quando revogaram o artigo 192 da Constituição!

Publicado em:

JORNAL: Folha de Londrina Edição de 03.09.2005.JORNAL DA ADUEM – ANO 1 Nº 3 Edição novembro/2005http://www.espacovital.com.br/novo/noticia_ler.php?idnoticia=1649

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11Previdência deficitária: a grande farsa

Utilizando um modelo financeiro simples – desprezando cálculos atuarias – podemos demonstrar as monstruosas mentiras, incrustadas nas matérias veiculadas por analistas e comentaristas sobre o déficit da Previdência. Por que não se divulga os valores arrecadados no passado que hoje deveriam estar disponíveis para pagar as atuais aposentadorias? Essa nefasta campanha do Governo Federal objetiva incutir nos aposentados um cruel sentimento de “travadores do crescimento do Brasil”.

Caros leitores, a questão central do déficit na Previdência são os desvios (legais e ilegais) e a má gestão. A aposentadoria recebida pelo cidadão não é esmola e tão pouco “bolsa-sobrevivência”. Em verdade, é o legítimo direito de receber de volta seu capital depositado mensalmente durante a vida laboral.

Para demonstrar essa farsa, suponhamos que uma pessoa com 53 anos, tenha um saldo em caderneta de poupança – a mais simples das aplicações no Brasil e que remunera com juros reais de 0,5% ao mês – um capital de R$ 155.353,97, e queira realizar saques mensais para o seu sustento, durante 30 anos. Uma pergunta crucial é: qual o valor desses saques, de forma que o saldo se extinga apenas no último saque? A resposta correta dos 360 saques é de R$ 931,43 cada. Simulações com quaisquer valores, podem ser feitos no site do Banco Central (http://www.bcb.gov.br/?PRESTFIXA).

Os mais astutos poderão estar perguntando: o que significa o valor exato de R$ 155.353,97? Obviamente que para saldos maiores os saques mensais poderão ser maiores. Este saldo é conseguido após 420 depósitos regulares mensais de R$ 108,50 que é igual ao valor da contribuição obrigatória, para o INSS, de qualquer trabalhador autônomo com uma renda mensal de R$ 350,00. No caso de


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empregado registrado, a contribuição somada com a do empregador é bem maior. O mesmo site do BCB calcula a capitalização dos depósitos regulares durante 35 anos.

Vejam como é simples demonstrar que o déficit absurdo de Previdência é uma grande farsa!

Resumindo, um cidadão que contribuiu com 31% sobre um salário mínimo, durante 35 anos, ao completar a idade de 53 anos poderá receber uma aposentadoria durante 30 anos, no valor de R$ 931,43 = 2,66 salários mínimos, sem causar prejuízos a quem quer que seja. Compare este fato, com a expectativa de vida calculada pelo IBGE, que é inferior a 83 = (53 + 30) anos. O IBGE divulgou recentemente que a expectativa de vida do brasileiro em 2020 será de 76,1 anos. Se algum especialista procurar erros nos cálculos aqui apresentados, alertamos que o saldo citado sustenta um saque mensal eterno de R$ 776,77. Mesmo vivendo 120 anos, um segurado do INSS jamais receberá de volta sua poupança previdenciária. Portanto, devemos mudar essa lógica de desprezar a arrecadação passada, na avaliação do atual déficit previdenciário. Ou vamos aceitar pacificamente um confisco no patrimônio previdenciário?

Publicado em:

Folha de Londrina Edição 12/02/2007 pg. 02

http://www.espacovital.com.br/novo/noticia_ler.php?idnoticia=6475

http://www.anaprevis.com.br/?pg=noticia&codigo=19

http://www.nuncamais.net/site/noticias/artigo.cfm?arti_id=11

http://www.amebrasil.com.br/index.php?mod=noticias&inc=mais_procurados&opt=interna&id=859&sub

http://www.wesselcontabilidade.com.br/?Artigos

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12Tabelas financeiras

Com o advento das máquinas eletrônicas científicas populares, não tem sentido colocar tabelas financeiras em livros. Com máquinas simples, a maior dificuldade é calcular a taxa de juro, pois demanda cálculo numérico ou uma máquina financeira. Alertamos no capítulo sobre cálculos on line, como realizar essas operações, usando o sítio do Banco Central do Brasil.

( )1 1 n

n ii

a i

−− += → FVA – Fator de Valor Atual.

( )1 1n

n ii

s i

+ −= → FAC – Fator de Acumulação de Capital.

Vamos indicar agora como montar uma planilha no Excel para o fator

n ia , sendo possível montar uma tabela financeira arbitrária. Brinque à vontade com uma Planilha Excel, que você poderá se tornar um grande perito contábil!

Cálculo de ( ) 4

4 51 1 0 05

0 05 a %,

,

−− += com 8 casas decimais:


316

Planilha Excel

C6 = =(1-(1+B2)^(-A6))/B2A B C D E

1 Tempo Taxa 5% 5n a %

23 14 25 36 4 3,545950507 58 69 710 8

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13Respostas dos exercícios

As respostas aqui apresentadas são apenas um horizonte para testar os conhecimentos. O mais importante é o desenvolvimento em cada questão

2 1E . – Fazer com os artifícios aplicados em 2.1.

2 2E . – distância no desenhoescala métrica distância real

=

2 3E . – nº de habitantes de uma regiãodensidade demográfica área da região

=

2 4E . – 4 164 5 e 55 5

x y xy= ⇒ = = .

2 5E . – 33.000 e 44.000S C= = torcedores.

============⊗==============

3 1E . – dedução a partir do sistema x y z Nx y zp q r

+ + = = =

3 2E . – $75.000,00 e y $125.000,00x R R= =

3 3E . – $ 240.000,00; $ 300.000,00 e $ 450.000,00= = =x R y R z R


318

3 4E . – 9.000 e y 12.000x = =

3 5 – $ 20.000,00; $ 8.000,00 e $ 10.000,00= = =x R y R z R

============⊗==============

4 1E . – $ 21.090,00 e $ 28.120,00A R B R= =

4 2E . – 1 2 3$ 65.880,00; $ 65.880,00; $ 57.645,00= = =S R S R S R

e 4 $ 38.430,00=S R

4 3E . – 1 1 $ 60.000,00 e $ 150.000,002 5× = × ⇒ = =A B A R B R .

4 4E . – 1 2$ 200.000,00 e $ 300.000,00= =H R H R .

4 5E . – 1 2$ 300.000,00 e $ 200.000,00= =H R H R .

============⊗==============

5 1E . – 54; 40; 55; 70; e 94PR SC RGS RJ SP= = = = = .

5 2E . – 200% de aumento.

5 3E . – $ 254.030,00=L R .

5 4E . – $ 115.000,00R .

============⊗==============

6 1E . – 40%i = de aumento nominal.

6 2E . – 23,0769%Lucro i= ≈ sobre o preço de venda e 30%= ≈Lucro i

sobre o custo.

6 3E . – Condominio $ 550,00= R .

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6 4E . – 25% sobre o valor repassado.

6 5E . – 20% sobre o preço de promoção e 16% sobre o preço inicial.

============⊗==============

7 1E . – $ 160,38 valor final= =V R .

7 2E . – 50% de acréscimoi = .

7 3E . – 61,051%i = .

7 4E . – 8,2569% é o aumento real.

7 5E . – 100%i = de prejuízo sobre o preço de venda.

============⊗==============

8 1E . – 7,6923%vi =

8 2E . – 10% é o aumento do custo de produção.

8 3E . – $ 20.000,00=cP R .

8 4E . – 100%L = sobre cP .

8 5E . – $ 8.333,33=vP R .

============⊗==============

9 1E . – $ 900,00=p R

============⊗==============

11 1.E – $ 58.316,91=LS R .

============⊗==============

12 1E . – $ 218,02=cP R

============⊗==============


320

13 1E . – 36,50% ; 13 2E . – $0,26R de prejuízo; 13 3E . – Prejuízo de 20% ;

13 4E . – 2.367,77% de aumento real; 13 5E . – Pesquisar.

============⊗==============

19 1E . – 72,557377 64,79 $ 4.700,99= × =S R

============⊗==============

23 1E . – $ 639,00=J R .

23 2E . – 9,60865% . .=i a m .

23 3E . – $ 21.420,67=Dívida R .

============⊗==============

24 1E . – $ 1.600,00 e $ 1.704,00= =AM R M R

24 2E . – 9,1603% . .=i a m

24 3 – $ 11.268,25 juros com retiradas mensais=M R .

============⊗==============

29 1E . – 3% . . e 3,0928% . .= =ci a m i a m

29 2E . – 4,2857% . .=i a m

29 3E . – 11,1111% . .=i a m

29 4E . – 6% . . 2,2727

e para 6% 2 = ⇒ =

= ⇒ =r

c

i a m n mesesi n meses

29 5E . – $ 7.366,88=rA R

============⊗==============

321


37 1E . – 59,67%i = de ganho real em dólares.

============⊗==============

41 1E . – 86,26% do valor da prestação.

============⊗==============

50 1E . –

$ 116.111,23;$ 116.039,88$ 115.969,34;

$ 115.899,61$ 115.762,50

⇒ =⇒ =⇒ =

⇒ =⇒ =

mensal M Rbimestral M Rtrimestral M Rquadrimestral M Rsemestral M R

50 2E . – $ 106.666,67=sM R ; $ 106.864,38=compostoM R e

$ 116.560,42=continuoM R .

50 3E . – 4,8790% . .δ = a m

50 4E . – 5,1272% . .=i a m

50 5E . – apenas verificar que serão iguais até a 5ª casa decimal.

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14Sugestões metodológicas de ensino

Entendemos que os problemas abordados neste texto são úteis para a formação da cidadania, incluindo a conscientização dos jovens do ensino fundamental e médio, sobre os graves problemas vividos pelo mundo atual. Principalmente nos países periféricos. Todos os conteúdos desenvolvidos servem como material para trabalho de campo. Por meio de trabalhos de campo em bancos, lojas e o comércio em geral, os alunos entenderão a influência das elevadas taxas de juros praticadas, nas causas dos problemas sociais brasileiros.

É fácil observarmos que, em geral, os alunos se empolgam com problemas dessa natureza, uma vez que podem trabalhar com planilhas eletrônicas e resolver problemas práticos de seu cotidiano, com a utilização de matemática elementar de simples assimilação.

REFERÊNCIAS

CALDEIRA, J. Mauá. Empresário do império. São Paulo: Companhia das Letras, 1996.

CAPLA, F. O Ponto de Mutação - A Ciência, a Sociedade e Cultura Emergente. 20. ed. São Paulo: Cultrix, 1997.

MORGADO, A. C. et al. Progressões e matemática financeira. Rio de Janeiro: SBM–IMPA, 1993. (Coleção do Professor de Matemática).

PARENTE, E.; CARIBÉ, R. Matemática comercial & financeira. São Paulo: FTD, 1996.

SAMANEZ, C. P. Matemática financeira – Aplicações à Análise de Investimentos. 3. ed. São Paulo: Makron, 1994.

GARCIA, N. M. Matemática comercial & financeira – Miscelânea de Aplicações. Maringá-PR: Eduem – nº 90, 2000.

JUER, M. Matemática financeira – Aplicações no Mercado de Títulos. 3. ed. Rio de Janeiro: IBMEC, 1985.

SANTOS, P. Matemática financeira em multimídia. São Paulo: Editora Estuda. Pro, 2003.

matemática comercial - universidade estadual de …...8 prefácio no mundo capitalista em que...

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