matematik 1 cep kitabı (

8/3/2019 Matematik 1 Cep Kitab (www.derstekrari.com

1/73


2/73


3/73

IL.K aDZ

"Be,ikten mezmoa lcadGr ilim ofrminis."Ogre nm e, sa de ce s rru f o rtamm da g erc ;e kle e n b iretkinlik degild ir, O kulda gordOgOnOz bir ders i ya da

evde c;allbgm lz bir konuyu, baska ortam larda date k ra rl amahstmz. Sozge li rn l r bir yerde beklerken ya dab ir yo lcu luk e sn asm da , so n o gre nd ig in iz ko nu nun fo r-m Olle rin i z ih nin izd e ca nla nd rrrn aya cah sm alisu uz.B oy le b ir te kra r c ah srn asrru ya pa rk en , h an ria ya rn ad r-gm lz b ilg ile ri a mn da g ozd en g ecirrn en iz, e ksig in iz i bira n o nce ta ma rn la ma nrz g ere kir. H anrla yam ad rg mrzbilg ilere ya da form Oliere bakacagtm z, her ortam day ar uru zd a ta sty ab lle ce gin iz , y an i c eb in iz de b ile tasiya-b ile ce gin iz b ir k ita p b u i iliin b ic;ilm i ka fta nd rr; A ya kOs tO c ;ahma la r i c; in duunO leb il ec eg i gibl, m asa ba-smda c ;a lr lr ke n d e, h atr rla yamad rg rr uz b ir to rrn ul ic ;in ,do laptan bir kitap alrp ona bakm ak yerine m asaruzrnkenannda duran bir forrnul k itabma bakmak, sizehem zam an kazandm r hem de m otivasyonunuzu kay-be tme rn is o lu rs unuz.

Yasarruruzm her arum yeni seyler ,ogrenerek de-gerlendirmeruz, en buyOk d ile g ir nl zd lr ,

SavlaB o lu m 1 : Denklem


4/73

, B i i m 1 2 : Oran - Oronu 68 SOLUM"1ENKLEM~OZME

B a D m 1 3 : Denklem Kurma Problemleri , 75B O I , 1 i m 1 4 : Kumeler ' , , , .. , . , 84

B iR iNCi DERECEDEN aiRaiL iNM EY EN Li D ENKL EMLERB f i ii n 15 : Kartezven


5/73

8 Denklem ~ozme3) Sir e,itligin her iki taraf ayru say I ile carpihrsa

esitlik bozulmaz.a =: : : ; b ise, a c ==b . cdir.

4) Sir e~itligin her iki taraf srnrdan tarkh ayru say:ile bolunurse esitl ik bozulmaz.a = b ise, ~ = ~ dlr, (c 7 :- 0)C C

5) Sir e~itligin her iki taraftrun n .. kuvveti ahrnrsaeslffik bozulmaz.a = b ise, an ==bn dir.

6) a = b ise, r v a . = %dir.7) (a ==b ve b ==c) ise, a= c dir.8) (a = b ve c = d) ise, ac==bd dir.9) (a = b ve c = d) ise, ac=bd dir.

a b10) (a = b ve c = = d) ise, - = = - , (c * 0, d * 0)c d1 1 ) a . b ==0 ise, (a = 0 veya b = 0) du.12) a . b :;t: 0 ise, ( a : t : . 0 ve b 7 :- 0) dir,13) : = 0 ise, (a =0 ve b :;t:0) dir.

Denklem C;ozme 9 .c. ax + b = 0 DENKLE'MiNiN C;6ZUM

KUMES i1 ) a :t:.0 olmak uzere,

2) (a =: : : ; 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemi-hi butun sayilar saqlar, Buna gore, reel (qercsl)sayilarda cozurn kumesi IR dir.

3 ) (a = 0 ve b:t:. 0) ise, ax + b,== 0 denkleminisaqlayan hiQbir say: yoktur. Yani, Q = 0 dir.

r 0" - BiRiNCi DERECEDEN iKiI BiLiNMEYENLi OENKLEM SiSTEMiIl a, b, C E IR, a 1 = 0 ve b 7 :- 0 olmak uzere,ax + by + c = 0 denklemine birinci derecedeniki bilinmeyenli denklem denir.

ir

Bu denklem duzlernde bir dogru belirtir. Dogru uze-rindeki bOtOn noktalann olusturduqu ikiliN3r denkle-min cozurn kumesidlr,Buna gore, ax + by + c = 0 denkleminin gozumkurnesi bircok ikiliden olusur,


6/73

10 Denklem ~ozmea, b, C E lR olmak uzere,

ax + by + C = 0denklemi her (x, y) E}R2 iQinsaglamyorsa

a = b = c = 0 dir,Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden olusan sis-teme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemsistemi denir.

Coziim KOmesinin BulunmaslBirinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistem-lerinin cozurn kurnesi; yok etme y6ntemi, yerinekoyma yonternl, karsilasnrma yonternl, grafik yon-temi, determinant y6ntemi gibi y6ntemlerden biri ileyapihr,Biz burada 0CYnUyerecegiz.a. Yok Etme Yontemi: Degikenlerden biri yok edi-leeek blclmde verilen denklem sistemi duzentenirve taraf tarafa toplamr.Taraf tarafa toplandrqmda veya 91kanldlglnda (yada bir dOzenlemedensonra) degikenlerden birisadeleslyorsa "Yok etme yontemi" kolayllksaglar.

[I

I~

Denklem C;ozme 11b. Verine Koyma Yontemi: Veriten denklemlerinbirinden, degikenlerden biri ceklllp diger denklem-de yerine yazi larak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, degikenlerden biri kolay-ca gekilebiliyorsa, "Verine koyma yontemi"kolayhk saqlar,

c. Karllatlrma Vontemi: Verilen denklemlerin lkl-sinden de ayru degiken cekillr. Denklemlerin diger.taraflan karllatlnhr (esitlenir),

Her iki denklemden de aym degiken kolaycac;ekilebiliyorsa, "Karllatlrma yontemi"kolaylrk saglar.

ax + by + e = 0dx + ey + f = 0

denklem sistemini goz o-nOnealallm:-'Bu iki denklemin her birinin dOzlemde bir dogrubelirttigi goz onune ahmrsa uC j durum oldugugorOlur.


7/73

12 Denklem ~ozme TEM'ELK A V R A M L A R 2O L O Mx + by + c= 0

dx + ey + f = 0denklem sisteminde,Birinci durum:

A. SAYI1. RakamSayuan yazmaya yarayan ssrnbollere rakam denir.a bd* e i\s'e,bu iki dogru tek bir noktada kesiir. 2. Say.Rakamlann eokluk belirten ifadesine saYI denir.abc s av is i a , b, C rakamlanndan olusrnustur.

Bu durumda, verilen denklem slsteminln g6zumkOmesi bir tek noktadan olusur.Ikinci durum: Her rakam bir sayrdir. Fakat her sayi blr rakam ,

olmayabilir.bc. bu i- = - :::;; Ise u Iki dog-ru "'.akl~.ktlr.d e f' ~ ~Dogru uzerindekl her nokta denklem sisteminisaglar.Bu durumda, verilen denklem sisteminin g6zurnkOmesi sonsuz noktadan olusur.Uquncu durum:~ = : * ~ ise, bu iki dogru paraleldir.

B. SA YI KOMELERi1. Sayma SaYllan{1, 2, 3, 4, ... , n , ...} kurnesinin her bir elernanmasayma saYlsl denir.2. Dogal SaYllarN ={O, 1, 2,3, 4, '" I n ''',} kurnesinin her birele-rnaruna dogal say. denir.

Denklem sistemini saglayan higbir nokta buluna-maz . 3. Pozitif Dogal Sayllar

N+ = {1, 2, 3, 4, .... In, ...} kQmesinin her bir ele-rnaruna pozitif doga.1 saY I denir.Bu dururnda, verilen denklem sisteminin cozurnkurnesi bos kumedir.


8/73

14 Temel Kavramlar 15emeJ KavramlarPozitif dogaJ sayuar kumesl, sayma sayilan ku-mesine esittlr; Hem rasyonel hem de irrasyonel olan bir sayiyoktur.

, \4. TamSaYllar J2 ; s r s ; - V B ; e = 2,718 ...; 1t = 3,1415926 ...sayilan birer irrasyonel saytdir;= {... , - n , ... - 3, - 2, - 1, 0, 1. 2, 3, ... , n , ...}kumesinln her bir elernaruna tam say' denir.!Tam sayilar kumesl; negatif tam saynar kurnesi : Z - ,pozitif tam sayilar kurnesi : Z+ ve srnn eleman kabuleden: {O J kumenln blrtestm kurnesidir,Buna gore, Z =Z- UZ+UOJ dlr.

7. Reel (Gerc;el) Say,larRasyonel sayilar kurneslyle irrasyonel sayilar ku-mesinin birlesirnl olan kurneye reel (gen;el) sayilarkumesl denir.R = Q UQ I bicirnmde gosterilir.

5. Rasyonal SaYllar 8. Karmalk (Kompleks) Saydar. C = {a + bi I a, b e lR ve i2 = -1} kumssinln her birelernaruna karmalk sayIdenir.

a ve b birer tam sayl ve b * 0 olmak kosuluyta .!bi-T b

giminde y az na blle n s av ua ra rasyonel sayrlar denir.Q = {:: a, b E z ve b "" o } blclminde goslerilir. c. SAYI C;E~iT.LERi1. C i f t Say.

n E Z olmak kosuluyla 2n ifadesi ile belirtilen tamsavuara gift sayl denir.Q : : : { . . . . , -2n I ... , -4, -2, 0, 2, 4, ... , 2n I ... }kurnesinln elemanlanmn her biri 9ift savrdir,

6. Irrasyonel SaYllarVirgulden sonraki krsrrn tahmin edilemeyen sayuarairrasyonel sayuar denir. irrasyonel sayilar kurnesiQ ' ile gosterilir.Buna gore, Q ' kurnesinln elemanlan ~ bigimindeb

2. Tek SaYIn E Z olmak kosuluyla 2n + 1 ifadesi ile bellrtilentam sayilara tek saYI denir.osterilemez. (a, b E Z ve b;;t. 0)


9/73

16 Temel Kavramlar Temel KavramJar 17 T + C ; toplarru tek, C ; + T t op la rr u tek, T - Q farkl tek, C ; - T farkl tek, T . Q carpirru gift

sayrdir,

T = { . . . , -(2n + 1), ... , -3, -1, 1,3, ... , (2n + 1), ...}kurnesinm elemanlanrnn her biri tek sayrdir,

~ iki tek saymm toplarru ve farkt gift sayr, carpi-rm tek sayidir.T bir tek sayt olmak uzera, T + T toplarru gift, T - T farkt gift, T T earpuru teksayrdir;

~ T am sayrlar kurneslnde, bir carpirrun sonucug ift is e, carpanlardan en az b ir i g ift sayidrr.

~ ik i g ift saymm toplarru, farkl ve carpirm giftsayrdu;C blr gift say: olmak uzere, Q + Q toplarru gift, Q - Q fark, gift, Q. C carpmu giftsaYldlr .

~ Tam sayJlar kurnesinde, bir carpirrun sonucu1ek ise, carpanlardan her biri tek sayrdir ,

~ Q ift sayrlann tum pozitif tam kuwetleri vinebir g if t saY ld lr . Buna gore, n pozitif tam sayive 0 bir g ift s ay i olmak uzere, on nin sonucudaima gift sayrdir,

~ Sir tek sayi ile bir gift saymm toplarru ve farkttek sayi carpmu gift sayidu;T bir tek savt ve C bir gift say' olmak uzere,

e Tek sayrlann tum dogal sayi kuwetleri yinebir tek sayidir; Buna gore, n bit dogal saYI veT bir tek say' olmak uzere, Tn nin sonucu da-ima tek say id r r . .

Balme islemi igin yukandaki blclmds bir genelle-me yaprlamaz.


10/73

18 'Femel Kavramlar Temel Kavramlar 19

Tek sayrlar ve gift saytlar tam saytlardan olusur,c , " Hem tek hem de gift olan bir sayi yoktur. S rtrr (0) gift sayrdir ,

" Ayru lsaretll iki saYlnln garplml (ya "d e bolumu): .pozitiftit.

lit lsaretll iki saymm roplarm; negatif, pozitifveya srnrdrr,

lit lsaretll iki saymm carprrru (ya da bolurnu) ne-gatiftir.

Pozitif sayrrnn bCrtUnkuwetleri pozitiftir. Negatif saymm tek kuwetleri negatif, gift kuv-

vetled pozitiftir.

3. Pozitif Sayllar, Negatif SaYllarSlflrdan buyQk her reel (gergel) sayrya pozitif savr,smrdan kuguk her reel (gergel) sayrya negatif say'denir.

:;l a < b < 0 < c < d olmak uzere, a, b negatit sayilardir, c, d poz it if s ay ua rc nr , iki pozitif s aymm to p la rr u pozitiftir. (c + d > 0) i ki negatit sayrnrn toplarru negatift ir. (a + b < 0)

4. Asal Say.Kendisinden ve 1 den baska pozitif tam sayuaratam b610nmeyen 1 den buyuk dogal sayrlara asalsay' denlr;2 , 3, 5 , 7 , 11, 13 , 17 , 19, 23 sayilan birer asal sayrdir ;

Crkarma Islsmlndeeksilen cikandanbuyuk ise sonuc(fark) pozitit, eksilencikandan ku


11/73

20 Ternel. Kavramla,r5. Aralarmda AsalOrtak bolenlerinin en buyugu 1 olan tam sayrlaraaralarmda asal sayrlar denir.aile b aralannda asal ise, ~ oraru en sade bicirn-bdedir.

D. ARDIIK SAYILARBelirli bir kurala g6re art arda gelen say' dizilerineardllk saytlar denir. '

: > n bir tam sayl olmak uzere, Ardllk dart tam sayt s ir asi yla :

n, n + 1! n + 2, n + 3 tur, Ardllk dart c lf t' s a yi s ir as iy la :

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6 dtr, A rd istk dart tek say t s ir asi yla:

2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7 dir. OgOnkati olan ardllk dort tam sayi srrasiyla;

an, 3n + 3, 3n + 6, 3n + 9 duro

Ternel Kavramlar 21IBaZI Ardllk SaYllarmToplamlnbir sayma sayrs i olmak uzere, Ardllk sayma s ay na nnm to pla rru

n(n + 1) .1+ 2 + 3 + ... + n = . dir,. 2 Ardllk pozitif gift dogal sayilann toplarrn

2 + 4 + 6 + ...+ (2n) = n(n + 1) Ardllk tek dogal s ay ila nn to pla rm

1 + 3 + 5 + ...+ (2n -- 1) = n2 Artl miktan esit olan ardllk tam sayilann top-larru

r : ilk terimn: Son terimx : Artl miktan olmak uzera,

(n--r+xJ (n+rJr + (r + x) + (r +2x) +... +n = 'x . -2-.~~T erim saYls l O r tancatarimolur.

! Artl miktan eit olan ardllk sayilann toplarru,sayt adedine bolunurss ortanca terim bulunur.'Eger say! adedi gift ise, ortanca terim say! dizi-sine ait degildir.


12/73

SaY'1Sistemleri

S A Y I S ISTEMtER I BOLUM B ir s ay t sisteminde sayrrun b as am ak d eg erle rin i g os-tsrm ek lcin ku llam lan duzene taban denir.T taban b lm ak uzere,

3 C.TABANA. SAYI BASAMAGIB ir saY IY ' o lus turan rakam lardan her b irine bu say i-m n basarnaqi den ir. .B ir doga l sayida kag tane rakam varsa saY I 0 kadarbasam aklid lr.243 09 basam akh b lr say id ir.B. C;6ZUMLEMED og al sa ylY I o lus fu ran r aka rn lann bu lundugu yer-deki degerine basam ak degeri den ir:Basamak dege rl er in in top la rnma 0 saymm CDzOm-lenmis blcirni defli,r. O c ; basamakh abc saYISIaaglda '1oz0mlenmitir. .

(abcc), = a . T3 + b . T2 + c .T + d dir,Burada,'. T , 1 den buyuk doga l sayrd ir;'. a , b, C, d rakarn lan T den kU Q uktU r. T aban be lirtm eden ku lland lg lm lz sayilar 10 lu k

ta ba na g or ed ir . (abo.de), = a . T2 + b . T + c + d .T-1 + e ..T-2dir;

abc = 102 . a + 10 . b + cIL.0 la r (b lrle r) b as arn aq :L101 le r (o nla r) b as ama glL__,.._+ 102 le r ( yQ z le r) b as amag l ab = 10 a + b abc = 100 . a + 10 . b + c aaa = 111 . a. ab + ba = 11 . (a + 'b) ab+ ba = 9 . (a - b) abc - cba = 99 . (a-c) abed = c o + 100 . ab = bed + 1000 . a

1., Onluk Tabanda Verilen SaYln1nHerhangi Bir TabanaQevrilmesiOn lu k ta ba nd a ver lle n s ay r, h angi tabana cevri lmeklsteniyorsa, 0 tabana bo lunur, S olum tekrar tab anab610nur . Su ls lerne bolurn 0 olana kadar devamedii l ! i .r..Ardl :~ lk olarak yapilan bu b 6lm ele rd en ka la nla r so n-dan bas layarak (ilk ka lan son rakarn o lacak sek ilde)s na la nm a srv la is te ne n s ay ' o lu stu ru lu r,


13/73

24 S-aylSistemietl2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Saymln10 luk Tabana


14/73

_ -' ' ; ' ~ -~ " - . " ' ' : . . ; 1 " r"J_~ ~~.

2. : 3 ile B61iinebilme( . - 't ,

Rakamlannm sayrsal degerlerj toplarm 3 un kat:olan saytlar 3 ile tam bolurnrr.Sir saymm 3 ile bolurnunden kalan, rakarnlanruntoplarrurnn 3 ile bolurnunden kalana eslttit

3. 4 ile B610nebilmeSir saymm onlar basamaqmdakl rakam lle birlerbasarnaqmoakl rakamm (son ikl basamak) belirttigisayi , 4 O n kan alan saytla r 4 lle tam b6Iu~ur.

, ..., abc sayrsinm 4 He bo lu rnunden kalan be nin [soniki basamak) 4 lle bolurnunden katana eslttlr, ... abc saYlslnln 4 ile bolumunden kalan

c + 2 . b nin 4 lie bolurnunden kalana eslttir,"

4. 5 ile B61unebilmeBirler basamaglndaki rakarn 0 veya 5 olansayllar 5ile tam bollinur;Sir sayrrun ,5 ile bolurnundert , kal an " .o saY lo ln , :b ir le (basamaqmdakl rakarrun 5 ile b61umunden kalanaeslttlr.

5. 7 ire'B61linebilme(n + 1) basamakha n q " n _ 1 " ~4a3 .a2a1 ao ' say is inm7 lle tam b61unebilmesi lcln,

> :

e we BfdCmebllme 2 7

IE ~ oirnak uzere,

Shier basamaqi ao' onlar basamaql' a., yuzlerbasamagl a2, ... alan saymm C . . a5 a, a3 a2 a1 ao, isinm) 7 lie bolumunden kalan( a J o + 3a1 + 2a2) - (a3 + '3a4 + 2.a~) + ' : . . ~ , , . .;-Ieminin sonucunun 7ile b61umunden katanae~itti ir.,klz basamakh ABCDEFGH sayrsirun 7 H e

'. -Iumunden kalan,+ a .G + 2 . F) - (E + 3 . Df 2 C) +; tB It 3 . A)

- . lem in in s on uc un un 7 ile b61umunden kalandir.6,. 8,he B61unebilmeYI~ .er basamaqmdaki, onlar basarnaqmdaki ve bir-e basamaqmdakl rakamlann (son uc rakarrun)-e~kttigi say i 8 in kan alan sayrlar 8 ile tam bolunur,3000,3432, 65104 sayilan 8 ile tam bolunur,= Birler basamao: c, onlar basarnaqr b, yuzler

basarnaqt a, ,~,alan sayrrun (.', abc sayrsuun) 8He bo lu rnunden kalan C + 2b + 4 :'80toplarru-run 8 He bolumunden 'kalanaeslttir, '


15/73

28 Bolme ve BolunebJlme7. 9 ile BolunebilmeBaka rn la n ru n to p la rm 9 un kan olan s ay ua r 9 i le tamb6lunur.Bir saymm 9 i te bo lu rnunden kalan, 0 saymm ra-karn lanrun top la r ru rnn 9 ile bol i imunden kalana esltt ir,

8. 10 he BolunebilmeBirler b as arn aqmda kl ra ka rm 0 (srnr) olan s av ila r 1 0ile tam boluneblllr. Bir say In In birler basarnaqmdakirakam 0 sayirun 10 ile bolurnunden kalandrr,

9. 11 lle BolUnebilme(n + 1) basamakll anan_1 ... a4a3a2a1 ao sayrsmm11 ile tam boluneburnesl ic;in( C i a + ~ + a4 + ... - (a, + ~ + as + ...)... :::::11 . kve k E Z olmehdi r ,

: > (n + 1) basamakll anan_1 ... a4a3a2a180 sayi -smm 1iile b61umunden kalan(S o + .~ + a4 + ...) - (a, + ~ + as + ...) ... islernl-nin sonucunun 1.1i le bolurnunden kalana eslttlr.

29

.alannda asal iki sayrya bolunebilen blr sayr, bu

. s aymm car pir nma da tam bolLinur.2 ve 3 ile tam bolunen sayilar 2 . 3 = 6 ile detam belunur.

'. 3 ve 4 ile tam bolunen sayllar 3 . 4 = 12 ile deam b6lunur.4 ve 6 jle tam b61unen sayilar 4 . 6 = 24 iletarn bolunemeyebilir. yunkLi 4 ile 6 aralanndaasal degildir.

c. SOLENKALANiLi~KisiI 8, C, D, E, K" ~ uygun kosullarda birer dogal

sa.yl olmak uzere,. run C ile bolurnunden kalan K, veB nin C ile bolurnunden kalan K2 olsun.na g6re,

A B nin C ile bolurnunden kalan K1 . ~ dir. A + B nin C ile bolurnunden kalan K 1 + ~ dir.'. A - B nin C ile boturnunden kalan K1 - K2 dir. D A run C Ue bolurnunden kalan 0 . K1 dir. AE nin C ile bolurnundsn kalan ,(K1)E dir.Yukarldaki i,lemlerde kalan degerler bolenden(C den) buyuk ise, tekrar C lle bolunerek kalanbulunur.


16/73

30D .


17/73

E .B .O . B _ . - E . K . O . K . BOLUM 5A. EN BUYUK ORTAK BOLEN

(E.B.O.B.)En az biri smrdan farkll iki ya da daha fazla tamsavmm ortak bolenlerlnin en bOyugune bu sayilannen buyuk ortak b61eni denir ve e.b.o.b. blcirninde -gosterilir.E.b.o,b. bulunurken verilen sayuar asal carpanlan-na aYnllr. Ortak alan asal carpanlardan buyukolmayan uslulerin c arp irru b u s ay ila rm e.b.o.b. unuverir. Eger a,* 0 veya b '* 0 ise 'e.b.o.b. tanlmli olupe.b.o.b.ta ; b) ~ 1 dir. a = = b = 0 ise e.b.o.b.ta : b) tarurnsizdir.B. EN K O C O K ORTAK KAT(E.K.O.K.)Hepsi smrdan farkh .ikiya da daha fazla tam saymmpozitif ortak katlannm en kUQugune b u s ay rla nn enkCJ(;ukortak kan denir ve a.k.o.k. blclrntnde gosteri~lir.E.k.o.k. bulunurken v er lle n s ay ila r a sa l c ar pa nla nn aaynhr. Ortak alan asal carpanlardan kUQukolmayanuslulerln carpnm bu sayi lann e.k.o.k, unu verir. a va b tam sayilanndan en az biri srfrr iss,e.k.o.k.(a; b) tarurnsrzdu;

.O.B... E.K.O.K. 3 3-b pozitif tam sayi, a s b lse,

i e.b.o .b.ta : b) s a s b ;:;e.k.o.k, (a ; b)- a b = e.b.o.b.(a ; b) . e.k.o.k.(a ; b)

a il'e b aralannda asal lse, e.b.o.b.(a ; b) = 1

- i' pozitif tam sayirun carpimr, bu savuarme.b.o.b, u ile e.k.o.k, unun carpimma eslttlr," akat ikiden fazla pozitif tam s ay imn c ar pr rru ,U sallann e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun carpum-

I a esit olmayabilir.

= Apoz,itif tam sayrs: a . bile tam bolunebll lyor vee: o.k.{a; b) =x ise, A say)s}x j)e tam b6JUnur.bpozttlt tam sayt olrnak uzere,

a in en sade blcirnl ~ olmak uzers,ya x ..-=- lise,y, . .b ( . b) a b,_':.0 .' a; = - = - vex yEk.o.k(a; b) =b -x = = ay dir.


18/73

34 E.B.O.B . E.K.G.K.

a c 'I" 'I t m!') En sade bigimdeki b ve d kestr en Ie ab6lUnebilen en kuguk pozitif keslr,

eko.k.(a; c) dir.e.b.o.b.(b ; d) .

!') E.b.o.b.(a ; b)= x ise,eb.o.b. ( :; ~) ~ 1 dir.

:> E.b.o,b.(x. a ; x . b) = x . E.b.o.b.(a ; b)

~ E.k.o.k..(x. a ; x . b) = x . E.k.o.k,(a ; b)

!') a ile b ardllk ik i dogal sayi ise,E,b.o.,b.(a ; b) = = 1,E.k.o,k.(a; b) = = a . b dir.

:> a, b, c ardllk Gg dogal say' ise,E.b.o,b.(a; b ; c) = = 1 dlr,

'Y O N : E L SAY ILAR S O L O M 6

. h tam saYl, b:;j:; a olmak uzere, !_ seklindeb ._e edilen sayitara rasyonel sayIdenir.

k . . ,. a --+ pay'eSI!If


19/73

36 Rasyonel SaYllarAagldaki $ C J Y I dogrusunda koyu ve kahn C;iz~i ilegosterilen noktaiara karsihk gelen sayrlar baslt ke-sirdir. ..-------O~- ....--'UOu------+1R-1 0 1

~ pozitif basit kesir ise,b

2. Bile~ik Kesiriaretine bakilrnaksizm pay' paydasmdan kuc;uk 01-mayan (buyOk veya eit olan) kesirlere bileik ke-sir denir.

.', a .~ bileik kesir ise, ~ s -1 veya -b ~1 dir.b bAagldaki say' doqrusunda koyu ve kahn C;izgi i legosterilen noktalara _karlhk gelen sayilar bileikkesirdir.. . . - - - . . . - - - - - - - - - - - - - - IR-1 1

91;bir sayma sayis: ile birlikte yazllabilen ke- - e tam sayth kesir denir .- :3 Q, 4!birer tam saYI11kesirdir.5 7

iJe.ik kesir bir tam say,II kesir bigiminde yazila-b ac+b,a-=a+-=- __c c c

b a v c s b-,a-=----c c

'.. :RASYONEL SAYILARDA i~LEMLERGen.i,letme ve Sadefe,tirmeesrinin pay ve paydasi srnrdan farkll bir k tamJYla,c;arplldlglnda veya bolundugunde kesrin~eri degimez. Bu ireme kesrin geni,retilmesia sadeletiri lmesi denir.

aa k- = -, - . k i'0 (kesrin geniletilmesi)bka. a:k k k-:;:: -- I 0 ( esrin sadeletirilmesi)b:k

37


20/73

3 8 Rasyonel Say.lar2. Denk Kesirlera kesrinin geniletilmesi veya sadelesttrnmeslyteb~ ye eit pek cok kesir elde edilebilir. Bu kesirler ~b bye denktir denir, !. kesri, ~ kesrine denk lse,b d~ = = ~ bicirninde yaz,hr, "a b o l u b kesri c belli db d 'kesrine denktir" dive okunur.Her denk kesir avru zamanda eittir. Buna gore,a c. a cb=(j rse, i)=d"

ise, a d = b .c dir.3. Toplama- Clkarma i,lemlToplama ve


21/73

40 Rasyonel Say,lar

Toplama ile cikarma ilemi kendi ara~~nda~nee~lik tasnnaz. Aym ekilde garpma ile .?olme 1lemlde kendi araslnda 6neelik tasunez. Ozelikle carp-ma ile beirne de oneelik soz konusu ise buparantezle belirlenmitir.

a. (b : c) = = (a . b) : c = a . b : c a: (b .c) ;t: (a :b) . c a: (b . c) = F a : b .c (a: b) .c ;t: a : b . c

E. ONDALIK KESiR1. Ondahk KesirBir rasyonel savmm paylnl pavdasma b6ldugumOz-de bu rasyonel savmm ondahk acihrmm buluruz. Buondahk ag1hmaondallk kesir denir.

abcd b d-a+~+~+ d dir.1000 = a, C - 10 100 1000Burada a ya tam klslm, bed ye de ondahkh klSlmdenir.

41evrli (Periyodik) Ondahk Kesirndalik kesirde ondahkh krsrrn belli bir kuralae tekrartaruyorsa bu sayrya devirli ondahk kesir

_,cdedede ... =ab,cdea cdefgefgefg ... =a,cdefg

Ondahk Kesirlerde i!jlemler_ _oplama - C;lkarma: Ondahk kesirler toplanrrken,- _-ller alt alta gelecek sekllde yazihr ve dogal__ arda toplama - cikarrna ileminde olcuqu gibiama - cikarrna ilemi yapihr, Sonuc, virqullerin

- . smdan virgOHeaynhr,'Calrpma: Ondahk kesirlerin carpirru yapurrken.

- gul yokrnus gibi carprna islerni yapihr. Sonuc,ilan sayuann virgulden sonraki basamak sayi-run toplarm kadar, sagdan sola dogru virgulleihr,Beirne: Ondaltk kesirlerin bolme isleml yapi-HO, belen virqulden kurtulacak bicirnde 10 uneti ile carpihr. Bohinen de ayru 10 un kuweti ile

carprlarak beirne lslerru yapihr,


22/73

42 Rasyonel SaYllar4. Devirli Ondahk Kesirlerin RasyonelSaylya DOnihjturulmesiSir devirll ondahk acihrm : eklinde yazarken;VirgOI ve devreden dikkate ahnmadan; okunansayidan, devretmeyen saylyl


23/73

Rasyonel SaYllara ve n dogal sayt olsun.

a+n ..n sabit iken a buyudukge -- bilesik kesrinlnadegeri azalrt

G. iKi RASYONEL SAYI ARASINDAKiSAYILAR

~ He. arasmda sayilarruyacak coklukta rasyonelb dsayi vardrr, Bunlardan bazuanm bul~a~ igin bile dnin e.k.o.k. u bulunur. Verilen ~eslrlenn. paydalar~bulunan e.k.o.k. da eitlenir: Is!en~~ kosuldaklsaYIY'bulmak igin kesirler genlletllebrlrr.

e x ~ He~ kesirlerinin ortasmdakl bir sayt ise,I b dJ~ " .jR.. if "x c

b da c-+-b d dir.= 2

t R A L A M A B O L O MTANIM,ye eit degilse, "a 7 :. b" bic;iminde yazllrr.

~ b ise bu durumda' I.~ > b,"a buyuktur b den" ya da< b, "a kuguktUr b den" olur._ .Y, X < Y ve x s y eklindeki i fadelere eit-I demr.

8 ,. SfRALAMANfN OZELiKLERi a, b reel (g erg e/) sa Y"ar o/m ak uzers,

), IBir eitsizligin her ik i tarafma aym say. ekle-nebilir veya y.karllabilir. a < b ise a + c


24/73

Siralama462) Bir efiitsizligin her iki taraf. pozitif bir reel sa-Ylyla '1arplllr veya bolUnurse eitsizligin yoniJayO! kanr,

a < b ve e >0 ise a e Ise - < - Ir.e e

3) Bir eitsizligln her iki taran negatlf bir reel sa-YI ile '1arplhr veya bolunurse eitsizlik yondegitirir.

a cb ve c c O ise ac>be dir.b O a b d' a - .Ir.e e

4) Eitsizliklerde gefihjme ozeligi vardir,(x < y ve y < z) ise x < z dir.

5) Aym yonlU eitsizlikler, taraf tarafa toplanabi-lir; takat '1lkanlamaz.

(x < y ve a < b) ise x + a < y + b dlr,6) x lle yay", iaretli olmak uzere,

. 1 1 dlx < y Ise ->- ll'.x y7) x ile y Zit iaretli olmak uzere,

O . 1 0 1 d'x < < y Ise - < < - Ir.x y

ns N+ ve 0 < a < b ise an < bn dir.E N+ ve a < b < 0 olsun.

n Qiftsayma sayrst ise an > b'' di r,n tek sayma sayrst ise an < b'' di r ,

) n E . z + - {1} olmak uzere I a> 1 lse, an > a dir. 0 < a < 1 ise I an < a d Ir . -1 < a < 0 ise I an> a dIr . a < -1 ise, {a2n > a dir.a2n-1 a dIr.

1) (0 < a < b ve 0 < e < d) ise,O 0 ise aile b ayn I tsaretndlr,

47


25/73

48 srratamac. REEL (GER


26/73

M U T L A K D EG E R B O L O M.IA. TANIMSaYI dogrusu uzennde x reel (ger a ise, x < -a veya x > a drr.b J [x] ~ a ise, x s -a veya x -~ a dlr.


27/73

52 Mutlak Deger

a < b ve c E 1R+ olmak uzere,[x + al + [x + b] = c

e~itliginin cozurn kumesini bulmak icin 2 yon-tern vardtr.

1. YonternMutlak degsrlerin iglerinin koklerl bulunur.x + a = 0 ise, x = -a dir,x + b = 0 lse , x =-b dir.Buna gore, ug durum vardir. (-b < -a olsun.)-b ::;;x, -b < x ::;;-a ve x > -a dtr; Bu O~durumdainceleme yapthr.1. Durum-b ::;; ise, -x - a - x - b = c olur. Bu denklemink6kO -b s x kosulunu saghyorsa, verllen denkleminde k6kGdur.2. Durum-b < x : :; ;-a ise, -x - a + x + b = c olur, Bu denk-lamin k6kG -b < x s -a kosulunu saghyorsa, veri lendanklemin de k6kGdGr.3. Durumx -a ise, x + a + x + b = c olur. Bu denkleminink6ku x -a kosulunu saghyorsa, verilen denkleminde k6kOdGr.3 durumdan elde edilen koklerin oluturacaglkume, veriten denklemin qozum kumesidir.

5 3

em< b ve C E IR + olmak uzere,Ix+al + Ix+bl=c ... (*)

- iginin cozurn kumeslnde aagldaki O~m gegerlidir.- ~=0 ise, x = -a) ve (x + b = 0 ise, x = -b)

dogrusunda -b ile -a arasindakl uzakhk Cf '8:it ise,,:) daki denklemin ~6zi.im kOmesi,

c ; = [-b, -a] dir.dogrusunda -b He-a a ra sr nd ak i u za kh k cbuyuk lse,

;! 'c) daki denklemin g6zGm kOmesi,Q =0 dir.

I dogrusunda -b ile -a a ra sm da ki u za kh k ckLu;Gk ise,

~)_daki denklemi saglayan iki say I vardir, Busaytlan bulmak igin, c den, say! dogrusunda-b-a arasrndakl uzakhk cikanhr, farkm yansiulunur, Son- bulunan deger D olsun. Buna" :-re, ("-'t) daki denklemi saglayan sayilardan:- ".-b - D digeri -a + D dir. Bu durumda ('~)I aki denklemin gozum kurnesl,

Q {-b - D, -a + O} olur.

~._:-, ifadeler 5 5


28/73

O S L O I FADELER BOLUM 9A. TANIMa blr gergel (reel) saYI ve n bir sayma sayrsi olmakGzere,

an = = aaa ... a'--...---'n tane aifadesine GslG ifade denir.k an ifades.nde k yakat savr, a ya taban, n yeu s denir.B. O S L O iFADENiN OZELiKLERi1) a * - a ise, aO = 1 dir.2) 0 tammsizdir.3) n E Rise, 1n = 1 dir.

n n . +4) k .an = = an + an + a + ...+ a ,(k EN )k tane an

5) (am)n::: : . (an)m = am-n6}a-n = = _1_an

Pozitif sayl1ann bG~Gn kuvvetleri pozlflftir,.. !egatif sayilann; gift kuwetleri pozitif, tek kuv-vetieri negatiftir. .

I~ ,~ n bir tam sayi ve a srhrdan tarkh bir gergel (reel)say Iolmak uzere,

a) (_a)2n = a2n ifadesi calma pozitiftir.b) (_a2n ) = _a2n ifadesi daima negatiftir.c) (_a)2n + 1 = _a2n + 1 ifadesi; a pozitif isenegatif, a negatif ise pozltlftlr.

- - ' 1 ) (n + 1) basarnakh a 000 ... 00 sayisi a 10n.___,_.,n tane slfl r

ye eslttlr,

I., aOOO . .. 0 0 = a .100...____"._._..n tane Slf lr 0,000 ... OOOx= x 10-n'------..---"n basamak

x ., n basarnakh olmak uzere,1: = 999 ...999 = 10 n -1 dir.'--v---o tane 9

P ,I 1


29/73

Oslu ifadeler56c. O S L O iFA DELERD E D ORT i~ LEM1) x. an + y . an - z . an = (x + y - z) . an2) am. an = = am + n3) am . bm = = (ab )m

o. O S L O DENKLEMLER1) a"* 0, a;f:.1, a"* -1 o\mak uzere,

a X = = a Y t s e x = Y dir.2) n, 1 den farkll bir tek say' ve x n = = yn ise,

x : : : :y dir.3) n, 0 dan farkh bir c ; i f t say' ve x n : : : : yn ise,

x = = Y veya x = = -y dir.a = 1 dir. Veya

4) an = 1 ise, a = -1 va n qift say Id,r. Veyan :: 0 ve a *0 dir.

o I F A D E L E R BOLUM 10'TANIM_'en buyuk bir sayma sayist olmak uzere

. ~ a denkh:m!.ni saglayan x sayisma a run n yinci. den koku denir.= a ise, x = v a d Ir .

- KOKLU iFADELeRiN 6ZELiKLERiek ise, v a daima reeldir.~ift ve a < 0 ise, lfi. reel say: belirtmez.

a~ a ise, n . r a daima reeldir .ma>O' . nrr;- -_Ise, va'" = a n dir.

t k i n"--;-else, "a" = a dir .I


30/73

8 K6klu ifadeler 5 92.


31/73

60 KokJu ifadeler.4. Payday. Kokten KurtarmaUygun kosuuarda,

b t 5 . ' V a n-11) -=----=r v a r r a . ' V a n-1

b.~= ' V a 1+n-1b n~ dl= - . "a'" Ir.a

I ,I

1 1 (.Ja+Jb)2) Fa -.Jb - (J a -Jb) (.[8 +.Jb)= Ja+Jb dir.a-b

1 1.(Ja -Jb)3) . . r a +Jb - (J a +.Jb) (5-Jb)

= . . r a - Jb dir.a-b1 a.Jb +c . . J d4) =-----tt: G 2 2da 'Vb -c 'Vd a b-c .1 a.Jb-cJd5) =aJb+c.Jd a2b-c2d

IKoklu ifadeJer

1 1.(if i2+~+Vt7)6) =va-Vb (va-Vb)( if i2 +3 . Ja .b+W )ifi2 +~ +W= a-bifi2 -'~ +W '7) 1 =3 . J a . + ' V b

D. i C iC E KOKLER

~~kC mnkC2) 'Va = 'Va2"-1

3)~ a.~a.~a.... . J a =.' 2~a2n -1 = a2nn tane a

5) 0 < Y < X olmak uzere,~(X+Y)2'..rx.Y = J X . [ Y dir.

6 1

62 KokJU ifadel-er


32/73

E. SONSUZ'1(OKLER1) ~a.~a,~ = n - T a2) ~a:~a:~ = n + ; ; a3) ~a.~a.~a.~ ...

4) ~a.~b.~a.r11Jb ...

r n - n - 1 r m : ; :: ; -= ." a"" ,m.n-~ m b= a

I I -1+)4a+16) va-va-Ja- ... =-___;_-_2

Yukandaki son iki 6zelikte a, ardistk iki pozitif tamsaymm carm rm ise; 5. nin cevabi bu sayilannbOyOgO, 6. run cevab: bu sayilann kuc;ugudur.

F . KOKLU iFADELERDE SIRALAMAK6k dereceleri esit olan (ya da esitlenen) pozitifsayilarda, kok lclndeki sayllann buyOklOgune goresiralarna yapilir.(a, b, c pozitif) . n . . r a < ~ < r r c ise, a -cb -cc dir.

~ A R P A N L A R AA Y I R M A S O L O M 11A, ORTAKCARPAN PARANTEZiNEALMAA(x) . 8(x) A(x) . C(x) =A(x) . [8(x) C(x)]

En az dart terimi olan ifadeler ortak carpan pa-rantezine ahnacak bic;imde gruplandlnllr, sonraortak carpan parantezine ahrur,

B. 6ZDE~LiKLER1. iki Kare Farkl - Toplaml1) a2 - b2 = (a - b)(a + b)2) c l ' 2 + b2 = (a + b ) 2 - 2ab3) a2 + b2 = (a - b) 2 + 2ab

2. iki Kup Farkr - Toplaml1) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)3) a3 - b3 = (a- b)3+3ab(a - b)4) a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b)

64 ~arpanlara AYlrma C;arpanlara AYltma 6 5 ,


33/73

3. n.Dereceden Farkl - Toplarm1) n bir sayma saYlsl olrnak uzere,

rxn":yn = (x-"YHxn-1 + xn-2y + Xn-3y2 + ... +x yn - 2 + yn - 1) dJr.

2) n bir tek sayma saYlsl o lmak uzere,xn + yn = (x + y)(x" - 1 _ x n - 2y + X" - 3 y2 _ ...

_ xyn - 2 + yn ~ 1) dir.

4. Tam Kare ifadeler1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b22) (a - b)2 = a2 - 2ab + b23) (a + b + C)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ae + be )4) (a + b - C)2 = a2 + b2 + e2 + 2(ab - ae - be)n b ir tam say l ve a '* b o lm ak uzere, (a - b)2" = (b - a)2n (a - b)2n -1 = -(b - a)2n - 1 dir.

I . (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab

5. (8 b)" nln.AC; lhmlPascal Uc;genin = 0 lcln 1n = 1 i c ; l n .~ ~ . . . . . . 1 1n = 3 lcin 1 3 3 1n = 4 igin 1 46 4 1(a + b)" s cuum yapih rk en, once a run n , kuwettenbaslayarak azalan, b nin 0 dan baslayarak artankuwetlerinin carpirnlan yazihp toplarur,Sonra n nin Paskal u9genindeki kar~llIgl bulunarakkat sayilar belirlenir.(a - b ) n C yukandaki blclrnde yapihr ancak b nih; 9iftkuvvetlerlnde tertmm onune .(+), te k kuvvetlerlndeterimin onune (-) iareti konulur,

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (a + b) 4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4 (a - b)4 = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4

C;arpanla.ra Aylrma C;arpanlara AYlrma 6 7


34/73

6 6

Carplml a . e Vi,tcplarm b yi veren iki sayi bulunur.Bulunan sayilar P ve r olsun.Bu durumda,ax2 + bx + e =. ax2 + (p + r)x + e

= ax2 + px + rx + e olur . ... _(~)

x2 + bx + h.= x2 + (m + n)x + m . n= (x + m)(x + n) dir.

.2. a : , t : 1 iken a4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1)(a2 - a +1) a4 + 4 = (a2 + 2a + 2)(a2 - 2a + 2) a4 +"'4b4 = (a2.+ 2ab + 2b2)(a2 - 2ab + 2b2)

m . n = a, mp + qn = b ve c:= q . p ise~ + bx + c = m~ x2+ I(mp + nq)x l + pqm x : : > - < ,q

nx p(a + b + c)(a2 + b2 + e2 - ab - ae - be)mpx + nqx = I (mp + nq)xl

ax2 + bx + e = (mx + q) . (nx + p) .dir.c. ax2 + bx + cBiQ iMiNDEKi oc TERiMLiNiNc ;ARPANLARAAYRILMASI

2. Y QN TEM

ax2 + bx + e ifadesini carpanlanna aymrken birka~y6ntem kullamhr. Biz burada ikisini vereceqiz, En iyiogrendiginiz ycnteml daima kullanarak pratikliksaglaYlnlz.1 . Y ON TEM,1 . a = 1 ictin,b = m.+ n. ve e =m . n olmak uzere, (~") daki ifade gruplandlnlarak carpanlanna aynnr.

Oran - Orantl 69


35/73

B O L O M 12R A N - O R A N T I C. ORANTININ 6ZELiKLERiA.ORAN 1)~=~ lse.a-d=bc dir.b d

) a c. a b dl2 b = d " Ise, ~=d u .. d c d15e, -=- Ir.b a. b d diIse, -::=- Ir.a C

a ve b reel sayrlanrun en az biri sm rd an fa rk h olmakuzere, ~ ye a run b ye oraru denir.b

Oranlanan cokluklardan - ikisi ayrn anda srnroIamaz. Oramn payl ya da payoas i sm r o lab illr, Oranlanan cokluklann birimleri avru tur olma-

hdir. Orarun sonucu birimsizdir.

3) m He n den en az biri smrdan farkll olmak uzere,~ = . = k ise, (k ya oranti sabiti demr.)b d. _ "

rn v a nc --=--=k du.m ,. b n dB . OHANTI . - ' rn-a r n.c ----=k- dtr.mb+nd - -r:(En az iki orarun e~itligine orann denir. Yani ~ oraru- b-i~e~ nin eitligi olan ~ = C ye oranu denir.d b d

m.a2 + n c2,'- =2 dir.r n - b2 + n,d2a _ C k2 d' --'.- = Ir,b d

~ ::::~ iseI a: C = b :d dir. Buradab daile d ye dislar Ib i t e c ye lcler denir.

ac --+p=-+p=k+ p dir.-b da i-b - c+d k +1--'=--=-- dir. 'a-b c-d k-1


36/73

72 Oran - Orann Oran - Orantl 7 3


37/73

x 'ile y .;okluklanmn ters orannh oldugu grafikaagldaki gibidir. ( X > O ,y > 0 ve k > 0)

k .

kY =- k > Ox'Y

k2"1 2 x

igi saytst ile iin bitirilme surest ters orant ihdtr . S ir a racm belli bir yolu aldlgl zarnarr ile aracm

hlZI ters orannhdrr,'a, b ile dogru C ile ters orannh ve k pozitif bir oran-tl sabiti olmak uzere, ~. c = k dir.bE. ARiTMETiK ORTALAMAn tane saymm aritmetik ortalamasi -bu n sayiruntoplammm n ye b6lumudur.Buna gore, x1' x2' x3' ... .x, sayilanrun aritmetik or-

x1 + ) : :2 + X 3 + ... + X ntalarnasi, dir.n

. . . .

a ile' b"niri aritmetik ortalarnasi a ,f~b' dir.2 a, b, c bicimindekt ug sayirun aritmetikortala-a+b+cmasi, tur3 . n tane saytrun aritmetik orta lam asi x olsun.

Bu..n tane saynun herbiri; Aile carpthr, B ilaveedllirse olusan yeni sayilarrn aritmetik ortala-rnasi Ax + B olur.F. GEOMETRiK ORTALAMAn tane saymm geometrik ortalamasi bu sayr lanncarptmmm n. dereceden k6kudur.Buna gore,x1' x2' x3 ... ,x n sayi larmm geometrik ortaiamasrV X1 . x2 . x3 ... xn dir. aile b nin geometrik ortalarnasi (orta orantmsn.Ja:b dir. a, b, c bic;imindeki,uC; ,saYlnlngeometrik orta-

la rn asi, :;; a . b . c dir. aile b nin aritmetik ortaJamaslgeometrik orta-lamasma eit ise a = b dir.

Oran - Orann7 4 IDENKLEM KURM A


38/73

PROBLEMLER I 13OLUM. HARMONiK (AHENKLi)ORTAX1 X2 X31 ... ,Xn sayilanrun harmonik ortalarnasi A. PROBLEM C;6ZME STRATEJiSin-------- dir. e Bir soruyu cozrnek igin verilen zarnamn % 75 ln l

soruyu anlamaya, % 17 sini cozme yolunu olus-turmaya % 8 ini de soruyu cozrneye ayirrnahsr-rnz.

1 1 1 1-+-+-+ ...+-X1 X2 x3 xn aile b nin harmonik ortalamasi

2 2ab--= dir. Buna gore, soru\an cozerken;1) Soru, verilenler ve istenen anlasilana kadar

okunur.1 1 a +b-+-a b

a, b, c'gibi ug sayirun narrnonik ortalamasi3 3abe 2) Verilenler matematik diiinecevrillr,3) Denklem cozme metod Ian ile matematik dilinegevrilen denklem g6zUlur .

4) Bulunamn, soru cumlesinde istenen olup olma-dig I kontrol edilir.

----=1 1 1 ab +ae +be-+-+-abedir.

iki pozitifsSYlnin aritmetik o rta la m as i A , geomet-r\ k orta\amas\ G \ Ie narmo {\ \\


39/73

, .Bu i a . y l ~ i ~ 'anslnln a taz last : ~ + a tilt.. , 2 >Busaymm kOpunun a eksigi : > < 3 - a du, " "

2) Herhangi iki say Ix ve yolsun.Bu iki saYlmn'toplalillnln a kan :ax +y) dir., Bu iki saytntnkareleri toplarru x2 + y2 dir.Bu iki saymm toplamrrnn karesi: (x + y)2 dir.

3) Ardllk tam sayilardan en kUQugu x olsun.Ardllk ug tam saymm toplarm :

x + (x + 1) + (x + 2) dir.Ardllk ug gift saymm toplarru :x + (x + 2) + (x + 4) tur. (x, Qift sayi)Ardllk uQtek savmm toplarru :

x + (x + 2) + (x + 4) tur, (x, tek sayi):

c. KESiR PROBLEMLERi, , '

a, b E Z ve b = I- 0 iQin : ye kesir denlr. Herhangi bir sayt x olsun.

1 1 xBu saYlntn ..,......1: X - = - dir.a a aBu saymm _ ! _ sm m b faz lasr: ~ +b dir.a a

B 1 k ' a i t a+1u sayl - 51 adar artmhrsa:x . --;;::x . -- olur .a a aB a " 1 c . . . ax ex, u saytnln - 511 e, - Slnln to pla rm : -- + - dir.b d. b d

D. YA~ PROBLEMLERi Sir kislnln ya1 x ise,

Tyil onceki yasr : x - TT Y II sonraki yasi : x + T olur.

Ki~ileT arasmdakl ya farkl her zaman ayrudrr. iki kisinm yaslan oraru yillara gore, orannh de-

gildir. iki ki!?inin,ya!?larl to pla rru T yll soma 2 . Tartar. n k ls tn ln y asl an toplarm T Y II sonra n . Tartar.

E. iC i - HAVUZ PROBLEMLERiBir ii;A .igisi tek basma a saatte,B isclsl tel{ basma b saatte,C igisi tek basma c saatteyapabi liyorsa; A isclsi 1 saatte isln _ ! _ siru bitirir.a

--~------~-- - -- -- --- ~'

78 Denklem Kurma Problemlerl Oenklem KurmaProblemlerl 79


40/73

( 1 1) " bitl . A ile B birlikte t saatte lsln - + - . t stru "I mr,a b .

( 1 1 1 ) , . ABC birlikte t saatte lsln - + - + - - t sim, , ':t abcbitirir.Eger ugu t saatte ii bltirmis ise bu ifade 1 eesittir,

A igisi x saat, B ls cis l y saat C igisi z saatI k l , bltl ' x, Y z 1 dirca Iara II ,I myorsa, -; +b +C= " .

!' Havuz problemleri i~i problemleri gibi c ; a -zUlur.

~ A musluguhavuzun tamarruru asaatte doldura-blllyor,Tabanda bulunan B muslugu dolu havuzuntamarrnru tek basma b saatte bosaltabtliyorolsun.Bu ,iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

(: - ~ ) . t s in i do ldu ru r .

A rnustuqu havuzun tam am im a saatte dol dura-blllvor. Tabanda bulunan B musluqu doluhavuzun tarnarmru tek basma b saatte bosal ta-biliyor ise, bu iki musluk ayru anda aglldlgmdabu havuzun dclmasi igin b > a olmahdir,

ri

F . HAREKET PROBLEMLERiv : Hareketlinin hizix : Hareketlinin v hlzlyla t surede aldlgl yolt : Hareketlinin v hmyla x yolunu alma surest ise,

x d'v=- If.t Aralannda x km clan iki arac saatte v1 km ve v2km hizta aym anda birbirine dogru hareketxederlerse karsilasrna surest --- olur.

A Bkm

DenJ


41/73

iki arac saatte v1 km ve v2 km ruzla avm anda gem-bersel bir plstin, aym noktasmdan Zit yende aymanda hareket ederlerse karsilasrna surest,

iki arac saatte v1 km ve v2 km lu zla a yru anda gem-bersel bir pistin, ayru noktasmdan ayru yondehareket ederse hlZI buyuk olan aracm hlZI kugukolan araci yakalama surest,x---'dir.

V1 + v2 __ x__ olur.V1 - V2

Alman Toplam YolOrtalama Hiz = - - - - - - -Toplam Zaman Aralannda x km olan iki arac saatte v1 kin ve V2

km ruzla ayru arrda ayru yonde hareket eder-lerse arkadaki aracm (V 1 hrzh arac) ondeklnl.. . xyakalama surest dir.v1 - v2

E~it zamanda v1 ve v2 hizlanyla alman yoldav1 + V2 .hareketlinin ortalama tuzi, Vert = dlr.2

Belirli bir yolu v1 hmyla gidip v2 hiztyta donen2'V1 ,v2bir aracm ortalama tuzi, Vort = dir.V1 + v2

V1'__ .~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - -A xkm B

82 Denklem Kurma Problemlerl Denklem Kurma Problemleri 83


42/73

G. V OZD E PROBLEMLERia A sayrstrun % a SI: A - olur.100

A run %a 51 ile B nin % b sinin toplami:a .A + b . B otur.

100 A ya A r u n % a SI eklenirse:

A+A.~=A'(1+~J olur.100 100 A dan A r u n % a SI cikanursa:

A - A 1~ o ~ A (1 - 1::a ) olur.H. FAiz PROBLEMLERiF : Faiz miktanA : Anapara (Kapital) .n : Yllilk faiz orarut : Kapitalin faizde kalma surest olmak uzere,

A n tt Yllda, F = = 100A.nt Ant

t ayda, F = = 100 .12 = = 1200A.nt Ant"d F olur.t gun e, = = 100 .12.30 = 36000

~ Faizeyatmlan para her YI I getirdigi taiz He birl ik-te tekrar faize yatmhrsa elde edilen toplam faizeblleslk faiz denir.Buna gore, A liraYllilk bllesik faiz oraru % nolanbir bankaya yatmhyor, t YI I sonra

A + F = = A . (1 + _ n _ ) t alur.100I. , KARI~IM PROBLEIVILERi

Saf Madde Miktan:Kanl?lmmOraru = = .Toplam Madde Miktan

x It x+y It% A SI tuz + Y It = o /c Ax+ By t% B si tuz o uzx+y

A B C

A kabmda, tuz oraru % A olan x litrelik tuzlu sucozeltisi ile B kabmda tuz oraru % Balan y litre-lik tuzlu su cozeltisi, bos olan C kabmda kans-tmhrsa olusan x + Y l itrelik kanstrnm tuz oraruAx+By% olur.x+y

~ Tuz oraru % A olan tuzlu su cozeltlslnln su oraru% (100 - A) dlr.

riimeler 8 5


43/73

BOLUMO M E L E R 14A. TANIM Kume, nesnelerin iyi tarnmtanrrus listesidir. Kumeler genellikle A, B, C gibi buyuk harflerle

gosterilir. Kumeyi olusturan ogelere, kumsnln elemam

denir. a elernaru A kurnasine ait ise, a e A bicl-minde yazihr. "a, A kumeslnin elemanldlr."dive okunur. b elemanl A kOmesine ait degilse,b ~ A blciminde yazthr, lib, A kOmesinin ele-rnam degildir." dive okunur.

KOmede, ayru eleman bir kez yanhr, Elemanlann yerlerinin degitirilmesi kOmeyi

degitirmez. A kumesinln eleman sayist s(A) ya da n(A} lle

gosterilir.

KOmenin elemanlan aagldaki 3 yolla gosterilebilir.1. Liste YontemiKOmenin elemanlan { } sembolO igine, her bir ele-rn arn n a ra sma virgOI konularak yazihr,A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tOr.

2. Ortak Ozelik Yontemiurnanln elemanlanrn, daha somut ya da daha ke-y alqnarnr bigimde gerektiginde sozel , gerektigin-e matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma bigi-idir..= {x : (x in ozeligi)}Burada "x :" ifadesi "oyle x lerden olusur ki" diyeokunur.Bu ifade "x I" bigiminde de yaztlabilir,

3. $ema YontemiKume, kapah bir egri icinde her eleman bir nokta ilegosterilip noktarun yaruna elernarun ad: yazuarakgosterilir.Bu gosterime Venn ~emasl ile gosterim denir.

A

b

86 Kiimeler KfJmele,r 81


44/73

c. E~ iT KOME, DENK KOMEAym elemanlardan olusan kurnelere eit kumelerdenir. Eleman sayi lan eslt olan kumelers denkkurneler denir.A kOmesi B kOmesine esit ise A = B,C kumesi 0 kurnesine denk ise C = = Dbicirrunde gosterilir.Eit olan kurneler aym zamanda denktir. Fakatdenk kOmeler esit olmayabilir.D. BO~ KUMEHiQbir elemaru olmayan kOmeye bos kume denir.Bo kurne { } ya da0sembolleri ile gosterilir.{0} ve {O} kumeleri bos kurne olrnayip birerelemana sahip iki denk kOmedir.E. ALT KOME 6ZALT KUME1. Ait KumeA kOmesinin her elemam, B kOmesinin de elernaruise A ya B nin alt kumesl denir.A kLimesi B kOmesinin alt kumesl ise A cB biQi-minde gosterilir.

A kOmesi Bkumesinin alt kurnesi ise B kurnesi AkOmesini kapsiyor denir. B:J A bicirnlnde gosterilir.C kurnesi D kOmesinin alt kOmesi degilse C (t 0biclrnlnde g6sterilir.2. Ozalt Kumeair kurnenln, kendisinden farkh butun alt kOmele-rine kOmenin Qzalt kumeleri denir.3. Alt Kumenin Ozeliklerii) Her kOme kendisinin alt kOmesidir.

AcAii) Bcs kurne her kOmenin alt kOmesidir.

o c : . Aiii) (AcB ve acA) ? A = a dir.IV ) (Ac B ve Be C) ise, Ace dir.v) n elemanh bir kOmenin alt kOmelerinin sayrs i 2n

ve ozalt kOmelerinin sayrsi 2n - 1 dir.:> Elemanlan arasmda a bulunan n elemanlJ birkLimenin,

alt kOmelerinden2"-1 tanesinde a bulunmaz. alt kOmelerinden 2"-1 tanesinde a bulunur.

ss KOmeler -meIer 89


45/73

n elemanh bir kOmenin r tane (n :? : r) elemanh altkOmelerinin sayisr,r tan e q a rp an

(n)= n! = n.(n-1).(n-~) ... (n-r+1)r (n-r)!r! r.

dir.

n e(eman(, bi r kumenin 0 elem an /r (b o k iun e) ven elemanh alt kOmeleri savrst 1 dir.

n elernanh bir kurnenin 1 elemanh ve n - 1 ele-manh alt kOmeleri say,s l n dir.

n eternanh bir kumenln; x elemanh aft kumeferis aY IS I, Y elemanh alt kumeleri sayrsma eit ise,x = y veya n = x + y dir.( : ) = ( ~ ) ise, (x = y veya n = x +y) dir.

n elemanlJ bir kOmenin butOn alt kurneleri say's]; 2 l 1 oldugu icin,

F : KUMELERLE YAPIlAN ;~lEMLER1. Kumelerin BirleimiA run elemanlanndan veya B nin elemanlanndanolusar; kurneye bu iki kumenln birleim kumesidenir ve A u 8 biclrnlnde gosterilir.Au 8 = {x : x E A veya x E B} dir.

A B c o

Au 8 kGmesitarah bolgedir. CuD kurnesitarah bolqedir.


46/73

92 Kumeler Kumeler 93


47/73

G. EVRENSEL KOMEUzerinde lslern vapilan, butun kumelerl kapsayankurneve, evrensel kume denir. Evrensel kume ge-nellikle E lie gosterilir.

En A = A dir,E u A = E dir.AcE dir.BeE dir.

H. SiR KUMENiN TUMLEYENiEvrensel kumenin elernaru olup, A kurneslnln ele-man! olmayan elemanlardan olusan kurneye A runtUmleyeni denir ve A -ya da Nile gosterilir.A' = {x : x E E ve x ~ A, AcE} dir.

Tumleyenin Ozelikleri1) Bir kurnenln turnleyenlnln turnleyeni kendisidir.

Buna gore, (A')' = A olur.2) Evrensel kurnenln tUmleyeni bos kurnedlr, Buna

gore, E' = 0 olur,

3) Bos kurnenin tumleyeni evrensel kumedir, Bunagore, 0' = E olur.

4) Bir kurnenln eleman sayis: ile 0 kumenin tumle-yeninih eleman sayrsi toplarm evrenselkOme-nin eleman sayrsma eslttlr; Buna gore,

s(A) + s(A') = s(E) olur.5) Ac8 ise, B'cA' dir.6} 8' c A' ise, A c 8 dir.7) E, evrensel kurne olmakOzere,A u' =E dir.8) AnA' =0 dir.9) (Au)' = A'n'10) (An)' =A'u'11) E, evrensel kurne olmak uzere, E u A' = E dir.12) E, evrensel kuma olmak uzere, En' = A' dir.

I. KUWET KUMESiBir kumenin butun alt kurnelerln kurnesme kuwetkurnesi denir. Kuwet kurnesi P(A) ile qosterillr.seA) = n ise, s(P(A = 2n dir.

94 KOmeler .KOmeler 95


48/73

J~ iKi KOMENiN FARKIA kumesinde olup, 8 karnesinoe olmayan eleman-lannkU'mesine A fark B kurnesl denir. A fark Bkurnest A - B ya da A \ B bic;iminde gosterilir.A - B = {x : x EAve x ~ B} dir.

A c

B A - B kurnesi~ tarah bblgedir.III B - A kurnesl_ tarah b6lgedir.

C-D kurnesltarah b6lgedir.

Farkla ilgili OzeliklerA, 8, C kurneleri E evrensel kumesinin a1tkumeleriolmak uzere,i) E -- A = A'ii) A- B=An8'iii) (A - B)' = A' u B dir.lv) (A - B) u (B - A) = A A B (Simetrik Fark)

K . ELEMAN SAYISIA, B, C herhangi biter kurne olmak uzere,1) s(Au} = s(A) + s(8) - s(A 11 B)2) s(A u B u C)= s(A)+ s(B) + s(C) -s(A nB) - -s (AnC)

-s(BnC) + s(AnBnC)3) s(A u B) = s(A - B ) + s(An B) + s(8 - - -A)4) a + b + c + d tane ogrencinin bulundugu bir

smnta voleybol oynayan ogrenciler'in saYlsls(V) = b + c, tenis oynayan ogrencilerin sayrsis(T) =a + b, voleybol ve tenis_oynayanoqren-cilerin sayisi s(T nV)= b olsun.s Semadaki a, b, c, dbulunduklan boJgele-

rin (kumelerin) alemansayrlanrn g6stermek-tedir.

Tenis veya voleybol oynayanlann sayrsi:s(T.u V)= a + b + c

Tanis ya da voleybol oynayanlann saYlsl:s(T - V) + s(V - T) = a + c


49/73

98 Kartezyen C;arplm - BagmtlKartezyen C;arplm - Bag'"tl 99:> s(A) = = m ve 5(B) = n olmak uzere,


50/73

c. K ARTEZY EN Q AR PIM INQZELiKLERi1) s(A) = = m ve 5(8) = = n ises(A x B) = s(B x A) = = m . n dir.2) A x (B x C) = = (A x B) x C3) A x (BUC) ::: (A x B) u (A x C)4) (B u C) x A = (8 x A) u (C x A)5) A x (B (1C) = = (A x B) (1(A x C)6) (8 (1C)x A ::: (B x A) (1(C x A)7) Ax0=0xA==08) AxAxA ... xA;::An

n taneD . BA GINTIAve 8 herhangi iki kume olmak uzere A x B nin heralt kumesine A dan B ye baglntl denir.Baglntl genellikle ~ ile gosterilir.~ c A x 8 ise, ~ =={(x, y) : (x, y) E A x B} dir.:> s(A) ==m ve 5(B) = n ise,

A dan Bye 2mn tane bagmtl tanlmlanabilir.:> A x A run herhangi bir alt kume5ine A dan A ya

bagmtl ya da A da baglntl denir.

A dan B ye tarumlanabilen r elernanh (r s m . n)bagmtl sayrst

r tane

( m . nJ "" (m n) . (m 0 n -1) .0 . (m o n - r +1)r r! dir.: > ~ cA x B olmak uzere,

~= {(x, y) : (x, y) E A x B} bagmtl51n1n tersi~-1 c B x A dir,Buna gore, ~ baglnt lsJnIn tersi~-1 = = {(y, x) : (x, y) E ~} dlr.

E . BA GINTIN IN 6 ZELiKLERi~, A da tarurnh bir baglntl olsun.1. YanslrnaOzeligiA kumeslnln butun x elemanlan icin (x, x) E ~ ise,~ yansryandir;"ifx E A icln, (x, x) E ~ ise, ~ yansiyandir; (" if : Her)2. Sirnetri Ozeligi~ bagmtlslnm butun (x, y) elemanlan igin (y , x) E ~ise, ~ simetriktir.V(x, y) E ~ icln (y , x) E ~ ise, ~ simetriktir.


51/73

BOLUM 16ONKSlvON Fonkslyon 103~ Her tonksiyon bir bagmtldlr. Fakat her bagmtl


52/73

A. TANIMA * 0 ve B * (2 ) olmak uzere, A dan Bye bir ~ ba-gmtlsl verllrnis olsun. A run her elemam B nin ele-manlanyla en az bir kez ve en cok bir kez asleni-yorsa bu baqmnya fonksiyon denir.V x EAve y E B olmak uzere, A dan B ye bir ffonksiyonu f : A -+ B ya da x ~ f(x) = y bicimlndegosterilir. A ya fonksiyonun tarnm kumest, Bye dedeger kumesl denir.

fA~ B

C : G 6ru ntUkumes i

T amm K ume si De_gerkurnesi

Yukanda A dan B ye tammlanan f fonksiyonuf = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}blclrninde de qosterilir,

fonksiyon olmayabilir.~ G6rOntO kOmesi deger kOmesinin alt kOmesidir.~ s(A) = m ve s(8) = n olmak uzere,

i) A dan 8 ye nmtane fonksiyon tarurnlanabilir.ii) B den A ya m'' tane fonksiyon tarumlanablllr.iii) A dan B ye tarurnlanabilen fonksiyon olma-

yan baglntllann savrs i 2m. n - nm dir.~ Grafigi verilen bir baqmtrrun fonksiyon olup

olrnadiqm: anlamak icin, y eksenine paraleldogrular gizilir. Bu dogrular fonksiyonun belirt-ti9i egride en az bir ve en cok bir noktayi kesi-yorsa veri len bagmtl x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSiYONLARDA i~LEMLERAr,B * 0 olmak uzere,f : A ~ ~ ve 9 : B -+ lR . fonksiyonlan tarumlansm.1) (f +g) : A n B -o R, (f + g) (x ) = f(x) + 9 (x )2) (f - g) : An B ~ J R , (1- g)(x) = f(x) - g(x)3) (1 g) : AnB -+ IIt (1 g)(x) = f(x) . 9(x)

104 Fonkslyon Fonkslyon 105: > s(A) = m ve s(8) = n (n ~ m) olmak Ozere,


53/73

4) "Ix E An S icln, g(x) * - 0 olmak uzere,. . ! . . . A n B ~ 1 R ( . . ! . . ) ( x ) = f ( x )g' 'g g(x)

5) c E IR olmak uzere,(c v f) :A~lR, (cf)(x) =cf(x) tiro

c. FONKSiYON CE!?iTLERi1. .Bire 8ir FonksiyonSir fonksiyonda farklt elemanlann goruntuleri defarkhysa fonksiyon bire birdir.Buna gore, bire bir fonksiyonda,Vx1, ": 2 E A iQin, x1* - ": 2 iken f(x1) * - f(~) olur.Diger bir ifadeyle,V x1, x2 E A lcln I f(x1) = f(x2) ikenx1 = x2 ise, f fonksiyonu bire birdir.

A dan Bye tammlanabilecek bire bir fonksiyon-lann sayisr,

n lP(n,m)= .(n-m)!

=n(n-1)(n-2) ...(n-m+1) dir.mtane

2. Orten FonksiyonG6rOntu kurnesi deger kOmesine esit olan fonksi-yonlara orten fonksiyon denir.: > f:A-...,B

f(A} = S ise, f ortendlr,:> s(A) = m olmak uzere, A dan A ya tarurnlana-

bilen bire bir orten fonksiyonlann S~YISI,m! = m . (m - 1) . (m - 2) ..... 3 . 2 . 1 dir.

3. ic;ine FonksiyonOrten olmayan fonksiyona iqine fonksiyon denir.:;l lclne fonksiyonun deger kGmesinde eslenrne-

rnls eleman vardrr.: > s(A) = m olmak Ozere, A dan A ya tarurnlana-

bilen icine fonksiyonlann sayrsi rn'" - m! dir,

106 Fonkslyon4. Birim (Etkisiz)Fonksiyon

107: >


54/73

Her elemaru kendisine esleyen fonkslyona birimfonksiyon denir.

f : l R _ _ _ _ , . I R _f(x) = xise, f birim (etkisiz) fanksiyondur.

: > Birim fanksiyon genellikle IHegosterilir.5. Sabit FonksiyonTa rur n ku rne sln dek t butun elemanlan deger kurne-sindeki bir elemana esleyen fonksiyona sabit tonk-siyan denir.:> \/X EAve C E B icin,

f : A _ __ _,.f(x) = c -

ise, f sabit fOriksiybndur.:> s(A)== m, 5(8) == n olmak uzere,

A dan 8 ya n tane sabit fonksiyon tarnrnlanablllt6. qift ve Tek Fonksiyonf : I____.Rf(-x) = f(x) iS8, f fonksiyonu C ; i f t fonksiyondur.f(-x) == -f(x) ise, f fonksiyonu t ek fonksi yondur .

simetriktir.: > Tek fonksiyonlann grafikleri orijine gore simet-

riktir.

D. E~iT FONKSivONf : A _ __ _,.9 : A _ _ _ _ , . B

Her x E A i


55/73

F . TERS FONKSiYONf : A ~ B, f = {(x, y) I x E A, y E B} bire bir ve or-ten fonksiyon olmak uzere,r' : B - - > A, r1 = {(y, x) I (x , y) E f} fonksiyonunaf nin ters fonksiyonu denir.

-,.. -1(X,Y) E f ise, (y , x) E foldugu icin,y = f(x) ise, x = ry)dir. r'-1 f .Aynca, ( ) = dir,

f fonkslyonu bite bir ve orten degi'lse, r1f6nksi-yon degildir.

t : A ~ B ise, r' :6 ~ A oldugu lcln, f nln tarnrnkumesi, r in deger kumesidir. i nin degerkumesi de, r: ' in tarnm kumesidir,

r1 (b) = a iss, f(a) = b die

1) f(x)=ax+b ise, r1(x)= x-b dir.a2) f: IR- { - ~} 4IR- { :} olmak uzere,

f(x) = ax+b ise, r'x) = -dx +b d tr,ex + d' ex - a

.: > Y = f(x) fonksiyonunun grafigi He y = f1(x) ingrafigi y= x dogrusuna gore birbirinin slrnet-rigidir.

y = f(x)y=x........v= f-1(x). . . . . . .

". .,...'. . . . . . x

L


56/73

112 FonksJyon:> I birim fonksiyon olmak Ozsre,

Fonkslyon 113_ . ':_ -< ,H. FONMS iVONU~N G R A F i G i


57/73

fol - = lof = f ve'f-1 f -1. 0 = fof = I dir.

:> f, 9 ve h fonksiyorilan bire bir ve orten olmakuzere,(fog)-1 = 9-1or1 vet10gohf1 = \1-109-1 of-1 dir.

:> (fog) (x ) = h(x )ise, f(x) = (hog-1)(X) dir.ise, g(x) = (r10h)(x) tiro

ax+ bf(x) = = ise,cx-a r1 (x) = f(x) tiro ( fof )( x) = x (fofof)(x) = f(x) (fofofof)(x) = = x

Sir fonksiyonun elemanlanna analitik duzl.emdekarlllk gelen noktalann kumeslne bu fonksiyonungrafjgi denir. . -,f: A ~ B, f = {(x, y)-Ix E A, Y~E'B, Y = f{~)}

(a, b) E fo\dugundan .f(a) = b dir.Aynca, r\b) = adir;

b iA (a, b).a x

y

x

Yukandaki y = f(x) fonkslyonunun 0graflgihe' gore,'1(-3) = 3, f(~2) = = 1, f(-1) =2, f(O),= 2, f(1f= 1,1(2) = 0, 1(3) = 2, 1(4) = 1, -f(5) = 0 dlr.

I ~ L E M B O L O M 17 j~Jem 1 1 53. Birleme Ozeligi


58/73

A. TANIMHerhangi bir A kOmesinden A kOmesine tarurnlananher fonksiycna birli i ,lem denir.A c B olmak Ozere, A x A kumesinden B kumeslnstammlanan her _fonksiyona iklll ilem veya kisacailem denir.

iemler; + ,-, : , . IL1, 0 , [J , * gibi simgelerlegosterilir.

B. i~LEMiN QZELiKLERiA kumeslnda .A ve * ilemleri tarumtanrrus olsun.Buna gore, aagldaki 7 ozeligi inceleyelim.

1. Kapahllk OZ!. l igiV (Her) a, b E _A_iina .& . b nin sonucu AkOmesininhir elernaru ise, A kumes; .& . ilemine gore kapahdir,2. De,gime Ozeligi. .\:j (Her) a, bE A iQin, a .& . b = b .... a ise, .A ile.mi-nin degime ozeligi vardir;

V (Her) a, b, c E A icin a .... (b .... c) = (a .& . b) ... cise, ... lslerninln birlesme ozeligi vardrr,

4. Birim (Etkisiz) Eleman Ozeligi'If (Her) ~ E A icin, x ... e = e ....X.= x ise, e ye ...islerninin etkisiz lleman! denir.e E A ise, ... islemlne gore A kOmesi birim eleman6zeligine sahiptir.

5. Ters E lem an O zelig i.... ileminin etkisiz elemam e olsun.a E Alcln, a .....b = b ... a = e olacak bicirnde birbvarsa b elernamna. .. .. islernlne gore a run tarsi denir.a run tersi b ise genellikle b = a' biclrninde g6s-teriHr.A kOmesinin bOtOn elemanlanmn ... . islernlne gore,tersleri A run elernaru iss, .... lslernins gore A kOme-sl ters ..eleman ozeligine sahlptir,

Birim elemarun tersi kendisine eslttlr, Tersi kendisine eslt clan her eleman birim

eleman olmayabllir, _

: : : ; s : o

116 i~l_em6. Dagllma Ozeligi

j~lem 117

c . TABLO - iLETANIMLANMI~ i~LEMLER


59/73

'tr a, b, C E A loin, .a * (b ~ c) = (a * b) ~ (a * c) ise,

*i ) em j n in ~ -i ) em j J J ze J i/ J8so ) d a/ J da jj/ Jma oze@)vardir,\a .... '0) - - c = \a - o k c) ... \ " ' 0 - o k c) vse,* i~leminin ... ilemi uzerine sagdan dagllma

ozeligi vardir ,

* lslerninln ~ lslemi uzerlne: hem soldan, hemde sagdan dagllma ozelligi varsa *_ileminin ...lslernl uzerine dagllma ozeil igi vardtt

7. YutanEleman Ozeligiv x E A h;:in, x ... y = y ~ x = y olacak bigimde bir, y varsa y ye ~ i,leminin yutan elemam denir.YEA ise, ~ilemine gore A kumesi yutan elemanozeligine sahiptir.

Yutan elemanm tersi yoktur, Fakat tersi olmayanher eleman yutan eleman deg.ildir.

A = {a, b, c, d}kurnesinde *

(I 'm( yancfaK(\a.\)\~\~\a\\\m-

1 :k a: b : C ': d __.....-Ba~l.angltt... . . . satina ''\): c : d : a". I t...... +"fb C j '6t) a) b,...~ = rr:...r . : ~ ~ - - r....C d:a!h.:c...... ....-~--

0. 'a\ '0 \ c'~'t1.~Balanglt;sutunu

'\a~m.\~~\s\}.n.

~ b * c nin sonucu bulunurken, balangu:; sutu-nunda b, balangl

~ Balanglg sannndak' ve balangl

!:I Sonuclar kisrm, koegene gore simetrik ise, *ileminin deghjme ozeligi vardir,

!:I Tablonun sonuclar krsrnmda, balangl9 sutu-nunun ve balanglg satmnm goruldOgu sutu-nun ve satmn kesiimindeki eleman etkisiz ele-rnandir; Yukanda tablo Hetamrnlanan ~ iletni-nin etkisiz elemam d dir.

11 8 i~lem: > ' ':Yutan elernan hanql elernanta ileme girerse

j,~lem .. ,1~9


60/73

girsin, sonuc kendisine esit olur. Bunun icin,tablonun sonuclar kismrnda ayru elernandanolusan sanr ve sutun belirlenir. Bulunan yutanelemandir,

Yandaki tablo, A = {1 , 2, 3}kumesinde tarurnlanan *lslernlne gore duzenlen-rnistlr,Buna gore,* lsleminln yutan elernaru 1 dir.

* islerninin birim (etklslz)' etemaru 2' dir.

* '1 I I2 I 3I !I I ,-1 1 , 1 I 1III I- - - - - - __________, ,2 1 , 2 , 3II ,---~. I I . . - - t - - - - - ~ - - - -3 1 1 3 ! 2D. MATEMATiK SiSTEMLER1. , TammA, bos olmayan bir kurne olmak uzere, * ls lemt Ada tarurnh olsun. (A, *) iki lisine matematik sistemdenir,2. GrupA::/;0 olmak uzere, A kurneslnde tarurnh * islemia~agld~,ki dart kosutu saghyorsa, A kurnesl *islernine. gore bir gruptur.1) A, * lslemine gore kapahdir .

2) A uzerinde * ileminin birlemeozelligi vardir .3 ,) A uzerinde * ilemlnin biri in (etklslz) "aleman!"

vardir,4) A uzerinde *- lslernina gore her elemarun tersivard i r . .

A uzerinde tarurnh * islerninin degime ozelligide varsa (A, *) sistemi degi!jmeli 'gruptur;

3. HalkaA* 0 olmak uzere, A kurnesi uzerinde tammh l!. ve* ilemleri aagldaki u C ; kosulu saqhyorsa (A, l!., *)sistemi bir halkadir,1 i) (A, 6 .) sistemi degimeli gruptur.2) A kurnesi * lslernine gore kapahdtr.3) * lslermnin 6 . lslerni uzerind'e dagllma ozelligi

vardrr,:> * ileminin degime ozelligi de varsa (A, 6 . . , *)

sistemi deghjmeli hatkadtr,:> * lslemlnin A kumesinde birim (etkisiz) elernaru

da varsa (A, l!., *) sistemine birim halka denir.


61/73

122 Moduler Arltmetlk

Z I m deki lslernler (mod rn) ye gore yaplhr." ' a " til!J",; ~At".A ( 1 " " , i , . t , , ;


62/73

:> x, m nin tam katr olmayan pozitif bit tam sayi \ 1 1 ; 3 'm bir asal say1ise,

xm-1 = = 1 (mod m) dir.x in (m - 1) den daha kU9uk kuvvetinde de 1bulunabilir.

:> x ile m aralannda asal saytlar olmak uzsre , mnin asal carpanlannm kuvvetleri biclrnlndeyazunus hali m =ak . br cp olmak uzere ,

xT = = 1 (mod m) dir.

m asal sayt ise,(m - 1)! + 1 = = 0 (mod m) dir.

afematikten'agirl,kl,_ olarak soru ge/ebilecek,tonular.OSYM nin 29 Temmuz 2005 ve 10 Ekim 2005 ta-ihii,nde yaptlQI aciklarnalarda 2006 aSS'de Ortakersler Sinavi (O~S) sorulanmn 2005 ass sorulan-a benzer olacaqr, sadece toplam soru sayrsmm180 degil '120 0laca91 aciklanrmsur.OOS'de 30 tane Matematik1 sorusu sorulacakttr.Bu testi smava giren butun ogrenciler cevaplaya-caJk .Alan Dersleri Smavmda (ADS'de) Matematik 2 den:2.1soru sorulacaktn,

ODS Matematik konulan, bu kltapcikta lslenenkonulardan olacaktir.ADS smavi sorulan, "Polinornlar, ikinci DerecedenDenklemler, Esltslzltkler, Parabol, Trigonometri, Kar-rnasik Sayuar, Logaritma, PermQtasyon, Kombinas-yon, Ola sih k, T u rne van rn . Diziler, Seriler, Ozel Ta-rnrnh Fonksiyonlar, Limit ve Su re klif ik , T u re v , integ-ral, Matris ve Determinant" konulanndan olaoaknr,

124Matematik Clefsininde baafl/ ' olamanm yo/u.

125.

./ Konulan anhyorurn fakat ,ilem kabiliyetim az.


63/73

"Bana cozmsm icin bir soru sorulsa ve-t saat suretarunsa, tarunan surenin 45 dakikasim soruyu oku-maya ve an la rn a ya , 10 dakik a s. ru Qazum yolu geli~tirmeye, kalan zarnaru da cozmeye aymnrn." diyorunlu bil im adarm Albert Einstein.Cocukluqurnuzdan beri ogrenme konusunda akn-Q'lmlz bircok naslhat da bu dogrultuda degil midir?Ogretmenlerimizin, ,"Qocuklar! soruyu anlamakcozrnenin yansldlr.'' sazu hala kulaklanrruzdadtr;Kaldl ki Einstein bu oraru %50'den %75'e cikarta-rak "soruyu anlamarun" onemlnl vurqulamistu;Gelelim Matematik ogrenmeye ...Ogrenmenin ilk adnm "Kiinin bilmedigini farketme:sidir." Bilmedigini farkedemeyen kisiler hayatlan bo-y.u cahil kalmaya rnahkurn olurlar. Hatta diyebiliriz ki"Insanm bilmedigi konulan hissetmesi, bildigi'konu-lann buyuklugu nispetindedir."

"~imdi size bir soru; duunun ve dogru cevabi verin.Matematikse/ gec;miinizi blliyor musunuz?Aagldakilerden kendinize uyam belirleyin :./ lstern kabiliyet im az ve kornilan anlayarmyo-

rum../ ilem kabiliyethn iyi fakat konulara yabanci-

ylm.

_, [slern kabiliyetim iyi, hem de konulan biliyo-rum; fakat cok yan us yapiyorum.

./ Matematigirn rnukernmel, gelitirmek lstlvo-rum.ISu kurallardan hareketle bilmediklerimizi o.gren-

meye, ogrendiklerimizi de gelitirmeye balaya-bUiriz.., "ilem Kabiliyetim A z Ve Konularl Anlaya-

rmyorum" Diyenler ic;inaS11ki attabenin harflerini bilmeyen ~i~i okuyamaz,yazamaz, Matematigin temel kurallanru bilmeyen

ogrenci de Matematik konulanrn anlayamaz., ,

iki kare tarkmm acrhrruru (X2- y2 = (x - y) (x +Y))JTam k are a cih rru m {{x + y)2 = = x 2+ 2x y + y2)Jbilmeyen agrenciden Matematik konulanru anlama-SI beklenemez. Maternatlgfn alfabesi de bu tur ba-glntllardan olusur ..Demek kionce Ma.tematigin temel ozelik ve ozdes-liklerini ogrenmek gereklidir.Bunun i;in GOvender Matematik 1 konu anlatrmkltabnu bitirmelisiniz. Bu kitabm 1. bolUmde i,le-nen '~MATEMATiGE GiRi~" konusunda temel Ibazt matematik bilgileri verllmlstlr,

126,/ -"ilem Kabiliyetim iyi, Fakat K6nulara Vaban-_ clYlm" Diyenler ir;in

127-yle bir cahsrnayr daha verimli kilrnak icln GUVEN -ER YAYINLARI ass M aternatlk - 1 Soru Bankas t


64/73

lslern kabiliyetinizin iyi olrnasi, Matematik konulanruogrenebilecegiriizi gosteriL QClnku, bir blnamn sag-lamhgl temelinin saglam olusu nispetindedir. Slzlnvakit gegirmeden yapmamz gereken ey, hig bilme-diginiz konulardan degil de, az bildiginiz konular-dan cahsrnaya baslamaknr, Eger konuyu az-cok bi-liyor ve konu uzerlnde islern yapabiliyorsamz, bukonulan tam anlarruy la ogrenme yolu aglktlr.Boyle bir gallmaYI GUVENDER YAYINLARI,Matematik 1 konu anlatirn kltabi'ndan yapabilirsiniz.,/- "Konulan Anhyorum, Fai


65/73

-A-a~lk onerme: . i9inde deg.iken bulunan ve bu de-gikene verilen degerlerle dogrulugu veya yanh~hglbelli olan onerrne.akslyom: Dogrulugu ispatsiz kabul edilen onerrns.alt kume:.A kQmesinin her e la rn arn B k urn es in ln deelsrnaru ise A, B nin alt kumesldir.apsis: Analitik duzlernde bir noktarun dikey ekseneolan uzakhgl.ayrl l( kOmeler: Kesiimleri bos olan kumeler,a~l: Balangu;: noktasi ortak olan iki rsmm blrlestm ,kumesi.argument: Duzlemde bir karmasik saylYI orijine blr-lsst lren 1lnm, x ekseni ile yaptl91 pozit if yenlu a;1.artan fonkslyon: Reel degikenli bir fonksiyondaserb est degi~ken artarken, -bunlann goruntUlerinide arnran fonksiyon.anaJitik dOzlem: Uzerine koordinat sistemi yerle~ti-rilmi~ duzlem, .aralannda asal polinom: P(x) ve Q(x) polinomlan-ru n her ikisini de ooten (sabit olmayan) bir polino-mun olrnamast hall.

asal say': 1 ve kendisinden baska pozit if b~leni 01-ayan 1 den buyOk pozitif tam saynara denlr,

-8-baglmslz olaylar: ikisinden birisinin olusu ~eya 01-aYI1digerinin alma olasllIglnl etkilemeyen iki olay.

balang"; noktasi (ori jin): Koordinat eksenlerininesistikleri nokta.bire bir eslerne: iki kOmenin elemanlan arasmdair elemana kars: bir elernan ahnarak yapilan karl-astnma.birim 'iember: Merkezi orijin ve vancapi 1 birimolan cernber, Denklemi x2 + y2 = 1 dir.Ibire bir fonksiyon: Farkll elemanlan, farkl: eleman-lara gatOren fonksiyon.ba. kat sayl: Sir polinomda en bOYOkdereceli teri-min kat sayrsi.bire bir fonksiyon: Tarum kOmesinde bulunan herarkh elernaru deger kurnesinin farkh elemanlannaesleyen fonksiyon .birim eleman: A kurnesi uzerinde bir ~ il.emi veril-diginde \;j x E A olmak Ozere x t.e = e ~ x ise ebirim elemandir,

- 130 S6zl0kbirim (etkizslz) fonksiyon: Her elsmaru kendisineeleyen fonksiyon. (f: ~ ~ JR , f(x) = x fonksiyonu.)

,Sozluk 1 3 1deklemi t;;ozmek: Denklemin koklerinin bulma i-


66/73

birleme ozeUgi: A uzerinde .1 ileminin vx, y, Z, EAigin x A (y A z) = (x .1 y) A z ozeligi saglanmasl.bagmtl: Sir kartezyen carpirmn alt kOmesi.bot kume: Hig elernaru olmayan kume.

-c ..~-f;ember: Sir dOzlemdeki sabit bir noktadan eituzakllkta bulunan noktalann kumes;. .t;;embersel permutasyon: Sir kumenin elemanlan-run bir cembsr uzerindeki siralanma bi9imlerindenher birisi.t;;lktl: Sir olaslhk deneyinde, karllallmasl rnurnkunolan durumlardan her birisi:t;;ozum kumesi: Sir a91konermeyi saglayan deger-lerin kumesi.t;;eliki: Dogruluk degeri daima yanh (0 ) olan bile-ik onerme.

-0-denk pofinomlar: Aym derecel; terimlerininkat sa-Yllan eit olan polinomlar.

ami.denklemin t;;ozum (dogruluk) kumesi: Sir dekle-,in k6klerinin olusturduqu kOme.diskriminant: ax2 + bx + c = 0 denkleminde~= b2 - 4 ac say,slIdenklem sistemi: En az iki denklemin meydana'getirdigi sistem.deQime ozeligi: A kumes; uzerlnde verUen bir L \- leminin \tx, yeA i9in x .1 y = Y L \ x ozeligini sag-

aSI.

denk onermeler: Dogruluk degerleri avrn olanonermeler.denklik bagmtlsl: Yanslma, simetri ve ge9ime6zeliklerine sahip olan baglntl.

-E-elemarn KOmey;olusturan nesnelerin her birl.8,jtsizlik sistemi: En az iki eitsizligin meydana9,etirdigi sistem.evrensel niceleyici: \t sembolO ile gosterilir, IIherllveya IIbutunllanlarmndadtr ,esas ol;u: k E Z olmak uzers ol


67/73

"':'F-fonksiyon: Tarum kOmesinin her elernarurn, degerkumesinin yalruz bir elernarnyta esleyen bagJntl.faktoriyel: n bir dogaJ sayr olmak uzere 1 den n yekadar (n dahil) bOtOn dogaJ sayilarm carpirru, (n!) _fonksiyonun_ tamm kiimesi: f : A -j.B fonksiyonun-da, ,A kOmesi.fonksiyonun deger kumast. -f : A -j. B fonksiy~:nunda, B kOmesi.fonksiyonun goruntU kumesf: f : A ~ B fonksiyo-nunda, A r u n elemanlan ile elenmi olan elemanla-nn oluturdugu kOme.fonksiyonun grafigi: Fonksiyona ait ikil ilerin anali-t ik dOzlemde meydana getirdigi sekll,

-G-grad: Sir a~1 ol~Os(j (400 e parcaya aynlan bircembsnn, bu paf(;~lanndan bir tanesini goren mer-kez acmm olgOsu).gerektirme: p ~ q sarth onerrnesinin dogruluk de-ger; 1 ise bu onerma gerektirmedir.

-H-hilPotez: p =>q sarth onermesinde p onerrnesi.hukum: p => q sarth 6nermesinde q 6riermesi.

-i-ic;ine fonksiy_on: f : A --* B fonksiyonunda f(A) ~ B. e f igine fonksiyondur.indirgenemez poltnom: Sabit olmayan en az iklpolinomun carpnru olarak yazilamayan polinom: ,l,iem: A x A nm bir alt kumesindenB ye fonksiyon.lspat: Bir teoremin hukrnunun doqru olduqunugosterme.irrasyonel sayl: Devirli ondahk acthrru olmayan sayr.,imkanslz olay: Olaslhgl siftr olan otay.

-K-karakteristik: Sir saytrun onluk logarltrnasmtn tamkisml.Ikesin olay: Olaslhgl 1 olan olay.

134 SozlClkkalan Slnlflar,: Z I m kurneslmn elemanlan.

.sozlOk 13502delik: Degikenin her reel degeri igin dogru. Jan eitlik.


68/73

-M-mant is : 8ir say,n," on/uk /ogaritmas,nrn ondalrkhklsml. mantis mise, m E [0, 1) dir.

-0-olaslhk: Sir olaym olabilme sansim belirten sayi.olay: Orneklem uzaym her alt kurnesl,ordinat: Analitik duzlsrnde bir noktarun yatay ekse-ne olan uzakhgL

-0-onerme: Dogru ya da yanJI kesin bir hukum bildi-ren ifadeler.orten fonk.iron: Deger kumesindeki butlin ere-manlan tarurn kumesinin en az bir etemarn ile esle-nen fonksiyon.oza" kume: Bir kumenin kendinden farkh alt ku-mesi.

iirneklem uzay: Bir o(aS{(tKdeneyfnde butun glkan-lann kumesi.

-p-perm Litasyon: Bir kurnenln tarnarmmn ya da bira rc asmm , e lemanla nn rn s ira la nma b ig im le rin den, ,erbirisi.parabol: f : R ~ JR I f(x) = ax2 + bx + c fonksiyo-, unun grafigi.polinom: C;okterimli, H(X ) halkasmm(x ) = ao + aix + ...+ anxn elemant.po'linom denklem: P(x) = a eitligi.pol:inomlarda E.B.O.B.: Slflrdan farkll P(x) veOtx)polinomlartntn her ikisini de bojen en buyuk po-

linom.polinomlard~ E.I


69/73

sonlu kurne: Eleman sayrst sayilabillr coklukta olankume,sonsuz kuma: Eleman s ay is r s av uamavan cokluk-ta olan kume,arth onerrne: p : : : :}q ~eklindeki bi1e~ikonerrne.sanal birim: Karesf - 1 olarak dusunulsn i sayisi.sirah ikili: iki nesnenin olusturduqu elernan,

-1-terim: Bir bilim dalrlcinde ozel anlarm olan kelime.teorem: p = = 1 olmak ozere p ::::}q gerektirmesi.totoloji: Dogruluk degeri daima 1 o la n b ite ik 6 ne rm e .tumleyen kume: AcE olmak uzere, E de olup Ada olmayan elemanlann kOmesi.

-0-ustel fonksiyon: lcinde lislO bir ifade bulunduranve bu ifadenin ussu degiken olan fonksiyon.

- v -varllksal nigeleyici: 3 sernbotu ile g6sterilir "oazr"veya i1 en az bir" eklinde okunur.

Sembol

=

0,{ )\3

AxB:A--+BnfmZIm

AnlamlveveyaisegereK ve yeter KO U \p onerrnesinin degiliesittlreit degildirdenktirelemaru degild,rblrleeimkeslslmb o ku rn efark (kumelerde)bazi, en az birher, bOWnA kumestnin tLimleyeniA ve B kLimelerinin kartezyen carpmuA dan B ye f fonksiyonun tam sayrsi m tam savrsnu tam oolertam sayt lann mile b61unmesindekalan srruftanrun kurnesi


70/73

140 SemboUer{ ... }{x ] ... }

Kume iaretidir. Sir kumeyi gos_ter-meye yarar.Sembollermm

141

emMilimetreSanti metre


71/73

IIj_. . . . . . . . . . . .AOS. . . . . . . . . . . .s(AOS)

~~ASC. . . - . . .ASs(AB)ffi

. . . c : . . . .A(ASC)A

~C(ABC)

Kumenin ele~anlannm ortak ozeliklertmetoduyla yazllma51Yaklalk otarak eite~likparalellikdiklikAOS agl51Acrnm 619U5U ('~9!5al bolgenin olgi.i-rnu" yerine klsaca "acmm 61gU5u" dl-yoruz.)uggen isaretlABC i.iggeniAB yay!A .B yayirun 61gusl1$aat aritmetigininde toplamaSaat aritmetigininde carprnaABC uggeninin alan!AlanTaban alaruYana l a la ruHacimABC uggeninin gevresi

dmmdamhmkmmm2em2dm2m2darn?11m2km2

- DesimetreMetreDekametreHektometreKilometreMilimetre kareSantimetre kareDeslrnetre kareMetre kareDekametre kareHektometre kareKilometre kareArDekarHektarMilimetre kupSantimetre kOpDesirnetre kOpMetre kupDekametre kO pHektometre kup

adaaharnrn"cm3dm3m3dam3hm3

14 2 SemboUer

km 3 K ilometr e k upY T L Y en i T urk L irasl d a h a tazlasrru


72/73

YKr Yeni kurus (100 Y Kr = 1 Y TL )m l Milil itrec l Santilitred l DesilitreIt Litredal Dekalitrehi Hektolitrekl Kilol i tremg Mil igramcg Santigramdg Desigram9 Gramda g Dekagramhg Hektogramkg Kilogramq Kentalt To ngu G O nsa Saatd Dakikasn SaniyeM . S . Mi la tt an son raM . D . Milattan once

ister misiniz?A M n T o f f l e r : " V i rm i b i r i n G ! y ii z y tb n c a h i ll e rl o k , u m a - y a z m ab i lm e y e n l e r d e g i l , o g re n m e y i 6 g re n em e y e hl er o l ac a kt l r." d i y o r .

- S iz . . o g r e n m e y i t ig re n din iz m i ?, 8 a 31 1Y l ! y B t a m t ar zn a d o n O ~ t ii r e n, O ~A l t m K u r al ", b il iy o r m u s u n u z ?

D e s c a r t e s ' l n m e to t i l k e l e r i n i b i l i y o r m u s u n u z ?

D e r s e y o g u nla ~m a d a s ar u n m u y a~ ly o r s u nu z ?K o n u yu b ilm e n in , "S m a v a H az lr i l g m U Q A a m a s l" nm s a d e c eb ir in c is i o ld u gu n u , b il iy o r m u s u n u z?

~ _ - S m a v k ay g l sl y la b a a Q lk m a n in Q are s in i b il i y o r m u s u n u z?

T u rk iy e d ere e es i b e kle ne n M u ra t, n i~ in b a a ns lz a ld u -?

a s s T u r k iy e am p iy o nu A yd m A K C iO N , G 6 kh an M U M C U ,~ O ru Q S ab a i N A N n e s 6 yl O y o r?


73/73

matematik 1 cep kitabı (

Documents