MATEMÁTICA: TEMAS E METAS, VOL 3; SISTEMAS LINEARES E COMBINATÓRIA

CAPÍTULO - 2 TEORIA DAS MATRIZES

1. NOÇÃO DE MATRIZ E REPRESENTAÇÃO

01. Associe cada matriz A, B, C, D e E ao seu tipo m x n (de I a IV):

, , , e

(I) 1 x 3 (II) 2 x 3 (III) 3 x 1 (IV) 3 x 2 (V) 2 x 4

02. Quantos elementos possui uma matriz 3 x 4? E uma matriz quadrada de ordem 6 ?

03. Quais podem ser os tipos das matrizes que possuem 4 elementos? E das que possuem 12 elementos ?

04. Na matriz dê o valor de:

a) a22 b) a31 c) a13 d) a42 e) a34 f) a12

g) todos os elementos da diagonal principalh) todos os elementos da diagonal secundária.

05. Forme a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = 2i + j - 1

06. Forme a matriz A = (aij)2x2 definida por aij = i ² + j²

07. Forme a matriz A = (aij)2x3 definida por aij = 2ij – 1

08. Forme a matriz A = (aij)3x3 definida por aij =

09. Forme a matriz A = (aij) 3x3 definida por aij =

10. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = (aij)4x4 onde aij = (- 1) i + (-1 ) j

11. Calcule o produto dos elementos da 2ª linha da matriz A = (aij)4x3 onde aij =

12. Calcule a soma dos elementos da 3ª coluna da matriz A = (aij) 3x3 onde aij = 2i – 2j.

13. Dada a matriz A = (aij)2x2 em que aij = (i + j) ² - 1 calcule o valor da expressão a11a22 – a12a21.

14. Dada a matriz A = (aij) 3x3 em que aij = calcule a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o da

diagonal secundária.

2. IGUALDADE

15. Calcule a, b, c e d para que seja válida a igualdade de matrizes

16. Calcule x e y para que seja verdadeira a igualdade

17. Verifique se existem valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade .

18. Verifique se existem valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade .

19. Se , qual é o valor da soma x + y ?

20. Se , qual o valor da expressão abc + def ?

21. Forme todas as matrizes quadradas de ordem 2, distintas, em que dois elementos são iguais a 1 e outros dois iguais a 2.

22. Forme todas as matrizes quadradas de ordem 3, distintas, onde em cada linha e em cada coluna um elemento é igual a 1 e os demais são iguais a zero.

3. MATRIZ TRANSPOSTA

23. Forme a matriz transposta de cada matriz dada.

a) b) c) d)

24. Obtenha a matriz transposta de

a) b)

25. Se , qual é a matriz transposta da matriz transposta de A ?

26. Determine a matriz A sabendo que A t = .

27. Dada A t = (bij)3x4 com bij = i – j, determine a matriz A.

28. Dadas as matrizes e , calcule a, b,c e d para que se tenha A = Bt

29. Se , qual é a condição que a,b,c e d devem satisfazer para que se tenha At = A.

4. ADIÇÃO DE MATRIZES

30. Dadas as matrizes , , e , calcule, se existir:

a) A + B b) B + C c) C – A d) A + D e) B – C f) D – C

31. Dadas as matrizes , e , calcule:

a) A + B + C b) A + B – C c) A – B – C d) A – B + C

32. Dadas as matrizes e , calcule:

a) B – A b) At + B c) A + Bt d) At - Bt

33. Dadas as matrizes e , calcule se existir:

a) A + B b) At + B c) A + Bt d) At + Bt

34. Dadas as matrizes e ,

a) calcule A + B, (A + B)t e At + Bt e verifique que (A + B)t = At + Bt;b) calcule A - B, (A - B)t e At - Bt e verifique que (A - B)t = At - Bt.

35. Dadas as matrizes e , determine a matriz X em cada equação.

a) X – At = 0 c) X + A = Bb) X + At = 0 d) X – B = A t

36. Dadas as matrizes e , determine a matriz X nos casos:

a) X + A = 0 c) X + At = Bt

b) X + B = A d) X + A + B = 0

37. Se , determine X nos casos:

a) X + At = 0 b) Xt – A = 0

38. Dadas as matrizes e , determine as matrizes X e Y em cada caso.

a) b)

39. Se , determine X nos casos:

a) X + At = A b) X – A = A

40. Resolva a equação A – X = B sendo dadas A = (aij)2x2 com aij = i² + 2i – j e B =(bij)2x2 com bij = aji.

5. MULTIPLICAÇÃO DE NÚMERO POR MATRIZ

41. Dada a matriz , determine as matrizes:

a) 2A b) -3A c) d) e) 3At f) -2At

42. Dada a matriz calcule as matrizes 10A, (10A)t e 10.At e verifique que (10A)t = 10.At.

43. Dadas as matrizes e calcule as matrizes:

a) 2A + 3B b) At – 2B c) d)

44. Se , e calcule as matrizes:

a) A + 2B + 3C b) 3A – 2B – C c) d)

45. Se A = ( 1 -1), B = (3 0) e C = (-2 4), calcule as matrizes:

a) 3(A - B) + 2C b) 5(2A - 3B + C) – 3(B - A)

46. Dada , calcule a 5(2A)t – 3(-A).

47. Resolva a equação 2X + A = 3B, sendo dadas as matrizes e .

48. Resolva a equação 2A – 5X = Bt sendo dadas as matrizes e

49. Calcule os números a, b, c e y que tornam verdadeira a igualdade

50. Dadas as matrizes e , calcule as matrizes X e Y em cada sistema:

a) b)

6. MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

51. Calcule os seguintes produtos:

a) c)

b) d)

52. Copie e complete o quadro colocando o tipo mxn da cada matriz(se existir)

53. Calcule o produto indicado em cada caso.

a) c)

Matriz A Matriz B Matriz AB2x3 3x45x2 2x23x3 3x12x4 3x45x3 3x53x5 5x31x3 1x4

2x5 3x5

b) d)

54. Calcule o produto indicado em cada caso.

a) b)

55. Calcule AB e BA sendo dadas e

56. Calcule AB e BA sendo e .

57. Dadas as matrizes , , e , calcule:

a) AB d) BA g) CA j) DAb) AC e) BC h) CB l) DBc) AD f) BD i) CD m) DC

58. Dadas as matrizes , e , calcule se existir:

a) AB d) CB c) BtC j) BBb) AC e) CBt h) BtAt l) BBt

c) BC f) CtBt i) CC m) AAt

59. Dadas as matrizes , e , calcule se existir

a) AB c) AC e) BC g) AtCb) BA d) CA f) CB h) CCt

60. Dadas as matrizes , , e , calcule:

a) AB + CD b) BC – AD c) AC + CA d) BD – DB

61. Sendo , determine

a) A.A b) At.At c) A.At d) At.A

Propriedades

I. Propriedade comutativa

62.Verifique se e são matrizes comutáveis.

63. Verifique se são matrizes comutáveis:

a) , b) e

c) d)

64. Para quais valores de x e y as matrizes são comutáveis?

65. Dada , calcule a e b para se tenha A.At = At.A.

66. Verifique que as matrizes não são comutáveis, .

67. Verifique que as matrizes são comutáveis,

68. Prove que as matrizes são comutáveis se, e somente se, a = d e b = c

II. Propriedade associativaIII. Propriedade distributivaIV. Anulamento do produto. Lei do Cancelamento.

69. Dadas as matrizes

a) verifique que (AB)C = A(BC)b) verifique que A(B + C) = AB + AC

70. Dadas as matrizes , calcule se existir:

a) C(A + B) c)(A + B)Db) (C + D)(B – A) d)(A + B)tD

71. Dadas calcule

a) A.B.C c) (A + B).(A + C)b)C.B.A d)A.(B + C).(B – C)

72. Se , prove que vale a igualdade (A.B)t = Bt.At

73. Calcule x e y para que se verifique a igualdade:

74. Se , calcule a e b de modo que se tenha AB = AC.

75. Se , calcule x e y para que se verifique a igualdade AC – AC = 0

76. Calcule x e y de modo que as matrizes sejam comutativas em relação à multiplicação.

77. Calcule x, y, e z de modo que se verifique a igualdade

78. Calcule a, b, c e d de modo que se verifique a igualdade

79. Dadas , determine a matriz X que satisfaz à equação A.X = B.

80. Se , determine a matriz X na equação A.X = B

7. MATRIZES QUADRADAS

Matriz diagonal, matriz simétrica e matriz anti-simétrica

81. Dentre as matrizes dadas abaixo, diga

a) quais são matrizes diagonais;b) quais são matrizes simétricas;c) quais são matrizes anti-simétricas.

.

82. Calcule x, y e z de modo que a matriz seja uma matriz simétrica.

83. Sabe-se que a matriz é uma matriz anti-simétrica. Calcule o valor da expressão (x + y + z).(a + b + c ).

84. Quantas são as matrizes diagonais de ordem 3 onde os elementos da diagonal principal são números inteiros positivos cujo produto é igual a 8?

85. Dadas as matrizes , calcule x de modo que PtAP seja uma matriz diagonal onde a soma de

todos os elementos é igual a -28.

Matriz inversível e matriz inversa

86.